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Le ct u r es Le c t u r es

ob l i ga t o i r esob l i ga t o i r es 11

1 Selon l’auteur du module, les lectures obligatoires respectent le droit d’auteur et ne contreviennent en aucun cas au copyright.

11. LECTURES OBLIGATOIRES

Lecture #1

Référence Complète : RAMILISON, H. A. (2006). Fondements de l’optique géométrique

Madagascar. Université d’Antanarivo. Cours inédit..

Résumé : Le cours est une introduction à l’optique géométrique. Il va faire un bref historique

de l’optique et faire apparaître la limite de la sensibilité de l’œil qui se limite au domaine du

visible. Malgré ALHAZEN (965-1039), physicien arabe qui comprend le premier que l’œil

n'émet pas de rayons venant «scruter » les objets mais que ceux-ci, éclairés par des

sources, sont à l'origine de rayons lumineux rectilignes, l’imagination populaire, de

l’hypnotiseur capable de dicté sa volonté par la « force » de son regard, reste persistant. Ce

cours va nous montrer que l’optique géométrique n’est qu’une approximation de la théorie

ondulatoire. Le concept de rayon lumineux sera mieux appréhender avec cette théorie et va

nous permettre de mieux comprendre les différents principes et limites de l’optique

géométrique. Les lois de l’optique qui seront introduites ici sont certes très anciennes, mais

elles ont le mérite d’être fondées sur des observations simples. Ce cours va nous familiariser

avec la nature des objets et des images.

Justification: Cette lecture permettra aux apprenants de mieux suivre les justifications et

limitations afin de :

comprendre les conditions imposer pour aboutir au stigmatisme approché;

se familiariser avec la nature des objets et des images.

connaître les définitions de concepts tels que : rayon lumineux, point d’incidence, réflexion,

réfraction, etc.

Lecture #2

Référence Complète : RAMILISON, H. A. (2006). Dioptre et miroir plans. Madagascar

Université d’Antanarivo. Cours inédit.

Résumé : Le cours est une application des lois de Snell-Descartes. Il va mettre en évidence

l’existence d’un angle limite de réfraction en fonction de l’indice de réfraction des milieux en

contact. Au-delà de cet angle la lumière est totalement réfléchi. Ces propriétés seront

appliquées à l’étude des miroirs et des dioptres plans. Il sera mis en évidence que la nature

des objets et des images est toujours opposée dans le cas de miroir et dioptre plan. Les

conditions de stigmatisme seront abordées et les formules de conjugaison établies.

Justification : Cette lecture permettra aux apprenants de mieux suivre les justifications et


comprendre l’existence de l’angle limite de réfraction ;

comprendre les conditions imposer pour aboutir aux stigmatisme approché;

se familiariser avec la nature des objets et des images ;

savoir interpréter graphiquement les lois de Snell-Descartes ;

savoir tracer les incidents, émergents, angle de réflexion, angle de réfraction, etc.

Lecture #3

Référence Complète : RAMILISON, H.A. (2006). Dioptre et miroir sphérique. Madagascar

Université d’Antanarivo. Cours inédit.

Résumé : Le cours est une préparation à l’étude des lentilles, éléments essentiels de tout

système optique. Il va faire les caractéristiques d’un dioptre sphérique, une étude brève du

stigmatisme rigoureux va permettre de définir les conditions de validité du stigmatisme

approché appelées aussi conditions de Gauss. Moyennant ces conditions, il sera possible de

définir les points caractéristiques d’un dioptre sphérique. On établira alors différentes

formules de conjugaison selon les origines choisies : au sommet (Descartes), au foyer

(Newton), au centre. Dans le cadre des conditions de Gauss on pourra alors définir des

plans caractéristiques tels plans principaux, plans focaux, qui vont facilité le tracé des

chemins lumineux et donc la possibilité de résolution graphique. Le passage du dioptre

sphérique au miroir sphérique sera alors aisé puisqu’il suffit de constater que dans un miroir

il y a réflexion totale. On utilise ainsi tous les résultats obtenus précédemment. On obtient

ainsi, de même, les formules de conjugaison. On pourra suivre une présentation sous Power

Point, une présentation de tracé des chemins lumineux et aussi la détermination graphique

des images d’un miroir sphérique dans les conditions de Gauss.

Justification: Cette lecture permettra aux apprenants de mieux suivre les justifications et


comprendre les conditions imposer pour aboutir au stigmatisme approché;

se familiariser avec la nature des objets et des images.

Se familiariser avec la notion de vergence.

connaître les définitions de concepts tels que : grandissement, plans focaux, plans

principaux.

Lecture #4

Référence Complète : RAMILISON, H. A. (2006). Les lentilles. Madagascar. Université

d’Antanarivo. Cours inédit :

Résumé :

Les différents systèmes optiques que nous utilisons quotidiennement font appelle aux

lentilles dites minces. Pour leur usage optimum, nous verrons dans ce cours comment et à

quelles conditions la simplification en lentille mince est possible. Nous pourrons alors

envisager de combiner des lentilles minces pour réaliser des appareils optiques.

Justification :

Ce cours va nous préparer à l’étude des différents systèmes optiques (loupe, microscope,

télescope…). Pour cela nous aurons besoin d’étudier les lentilles épaisses (calcul des

caractéristiques), il sera alors possible de définir les conditions pour pouvoir en donner une

représentation réduite à une portion de droite perpendiculaire à l'axe principal. Ce que nous

appellerons lentilles minces. Ces mêmes éléments vont faciliter la détermination (graphique

ou analytique) des caractéristiques d’une lentille mince.

Lecture # 5

DIOUF, S. (2004). L’Evaluation des apprentissages. Sénégal. Université Cheikh Anta DIOP

de Dakar. FASTEF (ex ENS)

Résumé

Ce texte dont la lecture est recommandée pour pouvoir répondre à l’évaluation formative

optionnelle à caractère pédagogique, contient différentes parties dont

La problématique de l’évaluation qui traite des différentes questions relatives à l’évaluation

Les différentes formes d’évaluation où il est aussi question des rôles et des moments

d’évaluation

Les stratégies de recueil d’information. Dans cette partie vous trouverez les questions à

correction objective et les questions à correction subjective.

On y trouve aussi les étapes de construction d’un sujet d’examen et les caractéristiques de

l’évaluation

Justification de cette lecture

La lecture de ce texte permet aux apprenants de répondre correctement aux

questions de l’évaluation formative optionnelle à caractère pédagogique. Tous les

éléments de réponse à cette évaluation sont contenus dans ce texte.

Le ct u r e ( s ) # 1Le c t u r e ( s ) # 1

Le contenu a été réalisé par : Pr. Sémou DIOUF Consultant et HERIMANDA A. RAMILISON Expert. L’auteur s’est inspire de nombreuses références dont notamment les sites :

- http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/enseignement/DeugA/Physique1/optique/cours/chap1.html#x1-200003

- http://www.uel-pcsm.education.fr/consultation/reference/physique/optigeo/menumodule/menuthemes/menu_reduit.html

- http://fr.wikipedia.org/wiki/Optique - http://cours.cegep-st-jerome.qc.ca/203-301-r.f/partie2/chap5/default.htm

Chapitre 1 FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 1.1 Evolution des idées sur l’optique

1.1.1 Objet de l’optique

Pendant très longtemps, l'optique a eu pour objet la recherche du mécanisme de la vision. L’optique s’intéresse alors à l’ensemble des phénomènes perçus par l’œil. Cependant la sensibilité de l’œil est réduite au domaine du visible. Il existe des radiations lumineuses non perçues par l’œil (infrarouge et ultraviolet) mais qui donnent lieu à des phénomènes analogues à ceux observés lorsqu’ils sont éclairés en lumière visible (échauffement, réactions photochimiques, photo émission). La cause de ces phénomènes est la lumière. Celle-ci est émise par la matière dans certaines conditions et se manifeste par son action sur divers récepteurs :

o l’œil, o la plaque photographique : elle amorce une transformation chimique de sels

comme les halogénures d’argent. o une lame métallique noircie : celle-ci s’échauffe ce qui montre que la lumière

transporte de l’énergie(utilisée, par exemple, dans les chauffe-eau solaires). o certains métaux ou semi-conducteurs : ils émettent des électrons par effet

photoémissif utilisé, par exemple, dans les tubes photomultiplicateurs, dans les tubes vidicon ou orthicon des caméras de télévision, ou sont le siège, par effet photoélectrique de la création de paires électron-trous utilisées dans les dispositifs à transfert de charges (C.C.D.) des caméscopes modernes ou dans les photopiles.

1.1.2 Bref historique

La lumière a été étudiée très tôt dans l’histoire des sciences, aussi bien du point de vue de sa propagation que du point de vue de sa nature. Dès le 1er siècle les lois de la réflexion par un miroir étaient connues des Grecs. HERO d’ALEXANDRIE affirmait qu’ « un rayon lumineux quittant un point S, puis se réfléchissant sur un miroir pour parvenir à un point M, parcourt dans l’espace le plus court chemin possible » .

Au siège de Syracuse, ARCHIMEDE aurait utilisé des miroirs paraboliques pour incendier les navires ennemis. Le doute est permis car il est très difficile de renvoyer de la lumière à l'aide de miroirs sur une cible mouvante. On doit au mathématicien, astronome, géographe grec d'Alexandrie PTOLÉMÉE (90-168) un traité d'optique et des tables de mesure concernant la réfraction. Le physicien arabe ALHAZEN (965-1039), comprend le premier que l’œil n'émet pas de rayons venant «scruter » les objets mais que ceux-ci, éclairés par des sources, sont à l'origine de rayons lumineux rectilignes. C’est au XVIIe siècle que furent établies les lois de la réfraction (passage de la lumière à travers deux milieux transparents différents: air/eau, eau/verre ...).

GALILÉE 1564-1642 : physicien et astronome italien. On lui doit la lunette astronomique avec laquelle il découvre les satellites de Jupiter, les anneaux de Saturne, les taches et la rotation du Soleil.

KEPLER 1571-1630 : astronome allemand découvre le mouvement elliptique des planètes autour du Soleil. Son ouvrage « Dioptrique » (dans lequel il expose le principe d'une lunette à deux lentilles convergentes), publié en 1611, est l'ouvrage d'optique le plus important publié avant l' « Optique » de Newton.

SNELL 1580-1626 : astronome et mathématicien hollandais. Découvre la loi de la réfraction (1620).

NEWTON 1642-1727 : mathématicien, physicien et astronome anglais. A l'aide d'un écran percé d'un trou, suivi d'un prisme, il découvre, en projetant la lumière sur le mur opposé qu'elle se compose d'une infinité de couleurs (1666). Construction du premier télescope (1672). Publication d'un traité d'optique dans lequel il explique la complexité de la lumière blanche. Celle-ci serait formée de corpuscules : grains de nature imprécise lancés à toute vitesse par l'émetteur. Il explique ainsi la coloration de l'arc-en-ciel (1704).

DESCARTES 1596 - 1650 : philosophe et scientifique français. Formalise les lois de la réflexion et réfraction (1637). Publication d'un ouvrage « Dioptrique ». Le problème de stigmatisme est posé et Descartes donne une théorie de l'arc-en-ciel mais ignore la complexité de la lumière blanche, il ne peut pas expliquer la coloration de l'arc-en-ciel.

FERMAT : retrouve les lois de la réflexion et réfraction à partir du principe selon lequel la lumière met un temps minimal pour aller d’un point à un autre(1657). Comme celles de la mécanique, les lois de l’optique géométrique se présentent alors sous forme variationnelle.

ROENER : est le premier à mesurer la vitesse de la lumière à l'observatoire de Paris (1676).

HOOKE : émet l’idée que la lumière est une vibration de haute fréquence qui se propage (1665). Cette idée est développée par HUYGENS mais contrariée par NEWTON qui défend une théorie corpusculaire. Dans son ouvrage « La théorie de l’émission », NEWTON suppose que ”la lumière est constituée par des grains de nature non précisée lancés à très grande vitesse par l’objet lumineux et qui frappent le fond de l’œil ”.

Au début du XIXe siècle la théorie ondulatoire est reprise :

YOUNG 1773-1829 : médecin et physicien anglais. Effectue la première mesure de longueur d'onde à partir de ses célèbres fentes et reprend la théorie ondulatoire pour étudier les phénomènes d’interférences. Il découvre aussi l'accommodation du cristallin et les interférences lumineuses.

FRESNEL réalise la synthèse des idées de HUYGENS et de YOUNG pour expliquer la diffraction (1818), c’est-à-dire la présence de lumière dans les zones d’ombre géométrique. Selon FRESNEL ”la lumière est propagée par le mouvement vibratoire de l’éther . Sous l’action de certains ébranlements, l’éther devient le siège de vibrations transversales se propageant de proche en proche ”.

MAXWELL 1831-1879 : physicien écossais. Construit la théorie électromagnétique et conclut que la lumière est une onde électromagnétique caractérisée par une vibration dont la fréquence ! en Hertz et qui se propage dans le vide à une vitesse c = 2.99792458 × 108 m s -1. Il précise que l’onde est transversale, c’est-à-dire que les

grandeurs physiques qui la caractérisent: le champ électrique E et le champ magnétique

B , sont perpendiculaires à la direction de propagation . EINSTEIN 1879 - 1955 : physicien allemand. Explore la notion de photon pour interpréter

l'effet photoélectrique. Des corps convenablement illuminés expulse des photons. Or il faut fournir énormément d'énergie à un atome pour lui arracher des électrons. Par ailleurs cette extraction se fait sur des niveaux d'énergie discontinus. L'apport énergétique de la lumière se fait sous forme corpusculaire (notion de photons). L'extraction étant obligatoirement continue si la lumière était uniquement de nature ondulatoire.

Louis de BROGLIE postule la dualité onde corpuscule et relie les aspects ondulatoire et corpusculaire en posant que l’énergie E du photon vaut h où h est la constante de PLANCK. De sorte que pour la lumière visible l’énergie d’un photon vaut quelques électron-volts puisque 1eV = 1.60217733 × 10-19J.

L'invention du laser (1960), de l'holographie (imaginée en 1949 par Gabor, n'a donné des résultats satisfaisants qu'en 1960 grâce aux lasers qui fournissent une lumière cohérente), l'utilisation de fibres optiques (400 000 communications téléphoniques en même temps sur la même fibre, 5Gbits/s) sont quelques-uns des aspects de l'optique moderne.

1.2 L’optique géométrique est une approximation

1.2.1 Emprunts à la théorie ondulatoire de la lumière

Grandeurs caractéristiques de l’onde lumineuse

On établit théoriquement et expérimentalement (à l’aide d’un prisme ou d’un réseau) que toute onde lumineuse peut être considérée comme la superposition d’ondes sinusoïdales monochromatiques, c’est-à-dire d’une seule couleur, de la forme: r! ) ou plus simplement ! . La fréquence correspondante ! et est exprimée en Hz. v est la vitesse de propagation dans le milieu considéré. Dans le vide cette vitesse est c 3 108 m.s-1

La période T est égale à !

1 . On définit la longueur d’onde 0! dans le vide comme la

distance parcourue dans ce cas par la lumière pendant une période : 0! = c.T.

Dans le domaine visible on retiendra que 0! = 600 nm et ! = 5 1014 Hz. Le tableau ci-

après indique les correspondances entre les longueurs d’ondes dans le vide et les couleurs :

spectre électromagnétique Longueur d'onde Domaine Commentaire

> 10 cm radio (150 kHz - 3 GHz) de 1 mm à 10 cm micro-onde et radar (10 cm - +- 1cm, 3 - 300 GHz) de 1 µm à 500 µm infrarouge

de 400 nm à 700 nm lumière visible

rouge (620-700 nm) orange (592-620 nm) jaune (578-592 nm) vert (500-578 nm) bleu (446-500 nm) violet (400-446 nm)

de 10 nm à 400 nm de 10-8 m à 10-7 m ultraviolet (400 - 280 nm)

de 10-11 m à 10-8 m rayon X de 10-14 m à 10-12 m rayon γ De nombreuses sources de lumière comme le soleil ou la lampe à filament de tungstène émettent de la lumière ”blanche” qui couvre tout le spectre visible. Les corps qui reçoivent cette lumière : soit la réfléchissent sans filtrage et paraissent blancs, soit absorbent plus ou moins certaines longueurs et sont vus avec la couleur des longueurs d’onde réfléchies, soit absorbent tout le spectre et apparaissent noirs.

Indice d’un milieu

Un milieu est homogène s’il a les mêmes propriétés en tout point. Un milieu est isotrope si les propriétés observées en un point ne dépendent pas de la direction d’observation. Par définition: l’indice n d’un milieu est égal au rapport de la vitesse c de la lumière dans le vide à la vitesse v de la lumière dans ce milieu. Pour l’air, n = 1,000293 1

1.2.2 Diffraction - Concept de rayon lumineux

Mise en évidence de la diffraction

On considère un faisceau de lumière qui tombe sur un diaphragme D perpendiculairement à celui-ci. (il s’agit par exemple du soleil éclairant un trou d’aiguille dans un carton dont le plan est perpendiculaire à la direction du soleil ou d’un laser éclairant une fente).

Avec un diaphragme de grande dimension on obtient sur un écran d’observation une tache lumineuse représentative du faisceau découpé par le diaphragme. Par contre, si on réduit l’ouverture, on peut observer de la lumière en dehors du cylindre s’appuyant sur les bords du diaphragme. C’est le phénomène de diffraction parfaitement analysable en optique ondulatoire et schématisé sur Figure 1-2

Figure1-1: Trou de grande dimension et cas idéal

Figure 1-2: Trou très petit : diffraction Ce phénomène est également observable pour les ondes mécaniques créées à la surface du liquide d’une ”cuve à onde” ou sur la mer à l’entrée d’un port. C’est la diffraction due à la limitation matérielle de l’étendue d’une onde. La diffraction ne s’observe facilement que si la dimension du diaphragme n’est pas trop grande vis-à-vis de la longueur d’onde.

Rayon lumineux

Si on néglige la diffraction dans l’expérience précédente, l’énergie lumineuse se trouve localisée dans le cylindre limité par le trou. On appelle ”RAYON LUMINEUX” la droite obtenue en réduisant les dimensions du diaphragme à un point tout en négligeant la diffraction. Le rayon lumineux s’identifie alors à la normale à la surface d’onde.

La notion de rayon lumineux est une idéalisation car on ne peut pas fermer le trou sans observer, au contraire, une augmentation de l’importance de la diffraction. Mais en optique géométrique on considère que la réalité physique d’un faisceau lumineux peut toujours être décomposée en ”rayons” tant que les dimensions des ouvertures restent assez grandes.

1.3 Lois de l’optique géométrique

Ces lois sont très anciennes et fondées sur des observations simples (éclipses, ombre portées, etc.) pour lesquelles ont peut effectivement négliger la diffraction. Dans ce paragraphe elles sont énoncées comme des principes issus de l’observation. On peut les démontrer sur la base de la théorie ondulatoire de la lumière (on trouvera cette démonstration dans un cours sur les ondes).

1.3.1 Propagation rectiligne de la lumière

DANS UN MILIEU HOMOGENE ET ISOTROPE LA LUMIERE SE PROPAGE EN LIGNE DROITE Un milieu est homogène si ses propriétés sont les mêmes en tout point et isotrope si elles sont, en un point donné, indépendantes de la direction d’observation.

1.3.2 Principe de retour inverse

LE TRAJET SUIVI PAR LA LUMIERE EST INDEPENDANT DU SENS DE PROPAGATION.

1.3.3 Lois de Descartes

Etablies en Angleterre par SNELL en 1621 et retrouvées indépendamment en 1637, en France, par DESCARTES d’une manière expérimentale on sait aujourd’hui qu’elles résultent de la nature ondulatoire de la lumière.

Si on considère la surface de deux milieux homogènes isotropes ce dispositif constitue un dioptre. Quand on envoie à partir d’une source située dans le premier milieu (1) un faisceau de lumière incidente, l’expérience permet de distinguer de la lumière réfléchie (celle qui revient dans le milieu (1) ) et (ou) de la lumière réfractée (celle qui passe dans le milieu (2) ).

Figure 1-3:

Soit A1I un rayon arrivant à la surface de séparation des deux milieux (Figure 1-3). Le point I où le rayon rencontre la surface de séparation des deux milieux est le point d'incidence. Menons au point I la normale IN au plan tangent à la surface de séparation des deux milieux. Le plan d’incidence est défini par le rayon d’incidence (A1I) et la normale (IN). Au rayon incident A1I correspond un rayon réfléchi IR et un rayon réfracté IA2, tous ces rayons sont contenus dans le plan d’incidence. Le rayon incident fait avec la normale au point d’incidence un angle d’incidence A1IN = i1, le rayon réfracté fait avec cette même normale un angle de réfraction NIA2 = i2 et le rayon réfléchi un angle de réflexion géométrique (inférieur à 90o) noté NIR = r. Avec ces conventions on a :

EN RESUME :

1ère LOI : Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans le plan d’incidence. 2e LOI : Les angles d’incidence et de réflexion sont égaux et de sens contraire :

r= -i1 (1.1) 3e LOI : Pour chaque lumière monochromatique, les sinus des angles d’incidence et de réfraction sont liés par la relation :

n1 sin i1 = n2 sin i2 (1.2) Remarque importante : Formellement les lois de la réflexion et de la réfraction se réduisent à n1 sin i1 = n2 sin i2 si on convient de poser n2 = -n1 pour traduire le fait que la lumière se propage en sens contraire après réflexion à la surface de séparation de deux milieux.

1.4 LOIS DE KEPLER

Au tout début du XVIIe siècle l’astronome KEPLER avait simplement posé que pour chaque couple de milieux (1) et (2) il existait un rapport constant n entre l’angle d’incidence i1 et l’angle de réfraction i2 :

21

2

1n

i

i= (1.3)

Il est aujourd’hui aisé de comprendre que c’est une approximation des lois de Descartes, en bon accord avec l’expérience seulement si les angles sont petits. En effet dans ce cas on peut confondre les sinus avec les angles exprimés en radians et la troisième loi de Descartes devient simplement :

2211inin = (1.4)

Cette relation permet d’interpréter la constante n21 introduite par KEPLER

comme l’indice relatif du milieu (2) par rapport au milieu (1) égal à 1

2

n

n .

Ainsi, dans la pratique, un des milieux est l’air. Dans ce cas l’indice relatif du second milieu est pratiquement égal à son indice absolu n.

1.5 Systèmes optiques - Objets et images

1.5.1 Stigmatisme

Le rôle des instruments d’optique est de permettre d’observer des reproductions appelées images, des objets, aussi fidèles que possible.

Si un système optique, c’est-à-dire, un instrument ou une partie de celui-ci fait passer les rayons issus d’un point objet Ao en un point Ai, on dit que Ai est l’image de Ao. D’après le principe de retour inverse de la lumière, Ai et Ao peuvent échanger leurs rôles c’est pourquoi on dit également que Ai et Ao sont conjugués.

Lorsque les rayons issus d’un point Ao qui entrent dans l’instrument en ressortent en passant tous par un point Ai on réalise le stigmatisme rigoureux pour le couple de points Ao Ai. Cette propriété est difficile à réaliser même pour des systèmes optiques très simples De plus, mis à part le cas du miroir plan, les surfaces correspondantes ne sont rigoureusement stigmatiques que pour un seul couple de points ce qui limite beaucoup leur intérêt pour la formation des images d’objets étendus.

Par ailleurs le stigmatisme rigoureux est un idéal qui ne tient pas compte :

- des phénomènes de diffraction qui tendent toujours à élargir l’image d’un point - des caractéristiques du détecteur. La rétine de l’œil, par exemple est formée de cellules de quelques microns de diamètre et deux points lumineux qui sont sur la même cellule ne sont pas distingués par l’observateur.

Pratiquement on peut se contenter de systèmes optiques qui réalisent un stigmatisme approché, c’est-à-dire qui sont tels que les rayons issus d’un point Ao qui entrent dans l’instrument en ressortent en passant tous assez près d’un point Ai à l’échelle du pouvoir séparateur du dispositif d’observation (film photographique, œil, etc..)

1.5.2 Nature des objets et des images

Les objets de la vie courante sont réels. Du point de vue de l’optique, tout point d’un objet réel envoie des rayons lumineux vers la face d’entrée des instruments. Un point objet réel, pour un système optique, est situé avant la face d’entrée de celui-ci, dans le sens de propagation de la lumière.

Figure 1- 4: Objet réel et image réelle pour S De même, les rayons émergents de la face de sortie du système optique forment une image réelle s’ils passent par ”un point” situé après cette face toujours dans le sens de propagation de la lumière. Expérimentalement une image réelle peut être recueillie sur un écran. Dans le cas où ce ne seraient pas les rayons eux-mêmes mais leurs supports qui passent par ”un point” en sortant de l’instrument, on dit que l’image est virtuelle. Elle ne peut pas être recueillie sur un écran.

Figure 1- 5: Objet réel, image virtuelle pour S Il est important de bien comprendre que l’image réelle Ai donné par le système S, comme l’image virtuelle Ai donnée par le système S' peuvent jouer le rôle d’objet réelle pour un système S''comme le montrent la figure 1-6

Figure 1-6: Dans les deux cas Ai joue le rôle d’objet réel pour S'' Enfin dans le cas où la face d’entrée d’un système comme S'' intercepte les rayons provenant d’un système donnant une image réelle, le point de convergence des supports des rayons incidents constitue un point objet virtuel pour le système S' ' .

Figure 1-7: Ai joue le rôle d’objet virtuel pour S”

Le contenu a été réalisé par : Pr. Sémou DIOUF Consultant et HERIMANDA A. RAMILISON Expert. L’auteur s’est inspire de nombreuses références dont notamment les sites :




Chapitre 2 LOIS DE SNELL-DESCARTES : Applications élémentaires 2.1 COMPLÉMENTS SUR LES LOIS DE LA RÉFRACTION

2.1.1 ANGLE DE RÉFRACTION LIMITE

Si la lumière passe d’un milieu (1) moins réfringent à un milieu (2) plus réfringent, c’est-à-dire si n1 < n2, d’après la 3ème loi de DESCARTES on a :

1212211122 ii,ainsi,isinisinnncommeisinnisinn <<!<= (2.1) comme les 2 angles sont aigus et de même signe figure2-1 à tout rayon incident A1I correspond donc un rayon réfracté IA2 qui se rapproche de la normale en pénétrant dans le milieu plus réfringent.

Figure 2-1: Réfraction sur un dioptre

Vérifier cette propriété à l'aide d'une simulation Pour l’incidence rasante, le rayon incident est tangent à la surface du dioptre. Lorsque i1 prend la valeur 90°, i2 prend la valeur particulière l appelée angle de réfraction limite défini par:

2

1

21n

nsinsinn

2sinn =!=

"ll (2.2)

Remarque : Si le milieu (1) est l’air et si n est l’indice relatif du milieu (2) par rapport à l’air, la formule de définition de l’angle de réfraction limite devient simplement :

n

1sin:pardéfiniestmilieu/airitelimréfractiondeangle: =ll (2.3)

Pour étudier les variations de i2 en fonction de i1 il suffit de différentier la 3ème loi de DESCARTES :

2

1

2

1

1

2

2221112211icos

icos

n

n

di

divientildiicosndiicosnisinnisinn ==!= (2.4)

La dérivée toujours positive s’annule si i1 = 2

! et elle est peu différente de 2

1

n

n si i1 est

faible (loi de KEPLER) comme le montre la figure 2-2

Figure 2-2: Cas n2 > n1

2.1.2 RÉFLEXION TOTALE

Si la lumière passe d’un milieu plus réfringent (1) à un milieu moins réfringent (2), le rayon réfracté s’éloigne de la normale. Si l'on fait croître l'angle d'incidence i1 depuis la valeur 0 (correspondant à l'incidence normale) l'angle de réfraction i2 croît plus vite:

1212211122iivientilisinisinnncommeisinnisinn >>!>= (2.5)

L’angle i2 devient égal à 90° lorsque l’angle i1 prend la valeur l! angle de réfraction limite telle que :

1

2

21n

nsin

2sinnsinn =!"

#=! ll (2.6)

D’après le principe de retour inverse de la lumière l! est égal à l’angle de réfraction limite

2l au milieu plus réfringent d’indice n1 .

Les rayons qui arrivent sous un angle d’incidence supérieur à l! (ou inférieur à -l! ) ne peuvent pas être réfractés : ils subissent une réflexion totale et la surface de séparation des deux milieux se comportent alors comme un miroir parfait. Ainsi, lorsque les rayons incidents arrivent sur le dioptre avec un angle d'incidence supérieur à l'angle limite, ils subissent une réflexion totale alors que pour une valeur inférieure à l'angle limite, ils ne subissent qu'une réflexion partielle. On notera que quelle que soit la valeur de l'angle d'incidence sur un dioptre séparant deux milieux d'indices différents il existe toujours un rayon réfléchi. On peut à nouveau tracer la courbe de variation de i2 en fonction de i1 (figure 2-3 ) :

la pente de la tangente à l’origine donnée par la loi de KEPLER est toujours 2

1

n

n

Vérifier cette propriété à l'aide d'une simulation

Figure 2-3: Cas n2 < n1

2.1.3 VÉRIFICATION EXPÉRIMENTALE

Emploi d’un demi cylindre d’indice n

Dans un plan de section principale, c’est-à-dire dans un plan perpendiculaire à l’axe du demi-cylindre, un faisceau étroit de lumière parallèle passe par le centre de celui-ci. Dans ce plan le ” rayon lumineux ” qui traverse le milieu d’indice n est confondu avec un rayon du demi-cercle et est normal à la surface courbe qu’il traverse donc toujours sans déviation.

Figure 2-4: Passage d’un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent

Comme l’indique les figures 2-4,2-5 ce montage peut être utilisé aussi bien dans le cas du passage de la lumière d’un milieu moins réfringent (l’air d’indice 1) vers un milieu plus réfringent (le demi cylindre d’indice n) que l’inverse.

Figure2-5: Passage d’un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent

Pour l’étude de l’indice d’un liquide, on peut utiliser une cuve de forme également demi-cylindrique, mais en verre ou en plastique à parois minces. Il faut remarquer que si la lumière utilisée n’est pas monochromatique, on observe un étalement coloré du faisceau pour les forts angles d’incidence : ce phénomène est connu sous le nom de dispersion.

2.1.4 CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE

Méthode des surfaces d’indice.

Le plan d’incidence est pris pour plan de figure.

En prenant I, le point d’incidence, pour centre, on trace deux cercles de rayons proportionnels à n1 et n2. Le prolongement du rayon incident A1I coupe le cercle ” de rayon n1 ” en A. Si TT' est la trace du plan tangent en I à la surface de séparation des deux milieux d’indices n1 et n2, la normale AH à TT' coupe le demi cercle ” de rayon n2 ” en A2 . Le rayon réfracté est IA2. En effet :

)HIA(sinIAIHetisinnisinnisinIAIH 2222111 !===!= (2.7) Dans le cas n2 > n1 le cercle ” de rayon n1 ” est intérieur au cercle ” de rayon n2 ” et la construction est toujours possible.

Si, au contraire, n2 < n1 le rayon extrême qui peut pénétrer dans le milieu d’indice n2 coupe le cercle ” de rayon n1 ” en un point B tel que la normale BH soit tangente au cercle ” de rayon n2 ”. On a ainsi construit graphiquement l’angle limite l! = l

l===1

2

n

n

IB

IL)LIB(sin (2.8)

2.1.5 RÉFRACTION DANS UN MILIEU NON HOMOGÈNE

Cas d’un milieu formé de couches d’indices décroissant vers le haut

Il y a réfraction à la traversée de chacune des surfaces de séparation et le trajet de la lumière est formé d’une suite de tronçons rectilignes (figure 2-6) . L’angle d’incidence augmentant à chaque fois, une réflexion totale peut se produire en J et le rayon lumineux est alors renvoyé vers les couches inférieures. Si la variation de l’indice est continue, la ligne brisée est remplacée par une courbe.

Figure 2-6

Applications

Ces propriétés sont mises à profit pour réaliser des fibres optiques schématisées figure 2-7. La lumière est guidée à l’intérieur de la fibre et est intégralement transmise si le rayon de courbure n’est pas trop petit. En utilisant des fibres pour éclairer et des fibres pour regarder, il est ainsi possible au médecin d’examiner ce qui se passe, par exemple, dans l’estomac d’un patient, technique connue sous le nom d’endoscopie.

Figure 2-7: Principe des fibres optiques à gradient d’indice

Les mirages sont explicables quand on sait que l’indice n de l’air augmente avec sa masse volumique !

Cte1n=

!

" (2.9)

Dans une situation où le sol est très chaud, au fur et à mesure que l’on s’élève, la température de l’air décroît assez rapidement pour que la masse volumique et donc l’indice n croissent.

Dans ces conditions la lumière issue de A, dirigée vers le bas rencontre des couches à indice décroissant. Pour des inclinaisons convenables, elle peut subir la réflexion totale. La lumière est renvoyée vers le haut et l’œil de l’observateur O qui la reçoit situe la source sur la tangente OA' : le coin de ciel bleu A donne l’illusion de la nappe d’eau en A'

Figure2-8

Dans ces conditions la lumière issue de A (figure2-8), dirigée vers le bas rencontre des couches à indice décroissant.

Pour des inclinaisons convenables, elle peut subir la réflexion totale. La lumière est renvoyée vers le haut et l’œil de l’observateur O qui la reçoit situe la source sur la tangente OA' : le coin de ciel bleu A donne l’illusion de la nappe d’eau en A' .

2.2 MIROIRS PLANS

2.2.1 DÉFINITION et RÉALISATIONS

UN MIROIR EST UNE SURFACE CAPABLE DE RÉFLÉCHIR LA LUMIÈRE PRESQU’EN TOTALITÉ QUEL QUE SOIT L’ANGLE D’INCIDENCE. LE MIROIR EST PLAN SI LA SURFACE EST PLANE. Le pouvoir réflecteur de la surface de séparation de deux milieux transparents, c’est-à-dire le rapport de ”la quantité” de lumière réfléchie sur celle de lumière incidente varie avec l’angle d’incidence. C’est le cas de la surface air/eau d’un lac par exemple où on sait qu’on peut être ébloui par la lumière réfléchie du soleil couchant (incidence rasante proche de 90°) mais pas par la lumière réfléchie du soleil au zénith (angle d’incidence faible). C’est aussi le cas de la surface air/verre représenté par la courbe a (figure 2-9). En revanche, pour les surfaces polies de certains métaux ou alliages, le pouvoir réflecteur R est élevé, de l’ordre de 0,9, même pour un angle d’incidence nul (courbe b).

Figure 2-9

On obtient des miroirs de bonne qualité en taillant une surface de verre à la forme souhaitée (plan, sphère, parabole) et en y déposant une pellicule métallique soit par voie chimique (cas des miroirs anciens à l’argent), soit par évaporation sous vide (cas des miroirs à l’aluminium ou au chrome). Pour éviter l’altération de la couche métallique celle-ci est : soit derrière le verre et protégée par une peinture opaque dans le cas des miroirs à usage domestique (salles d’eau, magasins, etc. ), soit sur le verre et protégée par une couche de quelques dixièmes de micron de silice, déposée par pulvérisation cathodique, dans le cas plus coûteux des miroirs de qualité ” optique ”.

2.2.2 STIGMATISME DU MIROIR PLAN

On dit qu'un système est stigmatique si à un point objet correspond un point image unique.

Le rayon AH, normal au miroir, fait un retour sur lui-même : l’image de A, si elle existe, est donc sur la normale.

Figure 2-10 Le rayon réfléchi IR d’un rayon incident quelconque AI (figure2-10) est dans le plan d’incidence AIN qui contient aussi AH (puisque AH et IN sont parallèles, comme droites perpendiculaires à un même plan, et que par définition A appartient au plan d’incidence). Le support de IR rencontre AH en un point A’. Dans le triangle AIA' la hauteur IH est aussi la bissectrice, donc ce triangle est isocèle. Par conséquent IH est aussi la médiane et on a AH = HA'. Ceci montre que A' est le symétrique de A par rapport au plan du miroir quel que soit le rayon incident considéré. Au point A, choisi quelconque pour la démonstration, correspond toujours un point A' tel que tous les rayons issus de A qui arrivent sur la surface du miroir se réfléchissent en passant par A'. On dit que A' est l’image de A. Elle est rigoureusement stigmatique et on peut énoncer : LE MIROIR PLAN RÉALISE LE STIGMATISME RIGOUREUX POUR TOUT POINT DE L’ESPACE. L’IMAGE A’ D’UN POINT A EST LE SYMÉTRIQUE DE A PAR RAPPORT AU PLAN DU MIROIR. La figure ci-après montre que l’objet et l’image sont toujours de natures opposées.

2.2.3 IMAGE D’UN OBJET ÉTENDU

La propriété étant vraie pour chaque point de l’espace, l’image d’un objet étendu est l'ensemble des points images correspondant aux différents points de l'objet. L'image est donc symétrique de l'objet par rapport au miroir et par suite ne lui est donc pas superposable en général. Un trièdre objet à droite donne un trièdre image à gauche. L'image d'une main droite est une main gauche. Un texte, réfléchi par un miroir, est inversé.

Figure 2_11 L’image est égale à l’objet dans toutes ses dimensions mais ne lui est, en général, pas superposable

2.2.4 CHAMP D’UN MIROIR PLAN

Le champ d'un miroir est la portion de l'espace observable dans le miroir. Il varie avec la position de l’œil de l'observateur. On remarque, en effet, que, en se déplaçant, on aperçoit des objets différents.

Soit un miroir M; l’œil étant en O, les points de l’espace vus par O dans le miroir constituent le champ du miroir. Un point A est vu si parmi tous les rayons issus de A il en existe au moins un qui, réfléchi par M, passe par O. C’est le cas de AI qui passe par l’image O' de O à travers le miroir M.

Figure 2-12

Ainsi, LE CHAMP DU MIROIR EST LIMITÉ PAR LE CÔNE DE SOMMET O’ S’APPUYANT SUR LE CONTOUR DU MIROIR.

2.3 DIOPTRE PLAN

2.3.1 RECHERCHE DU STIGMATISME RIGOUREUX

UN DIOPTRE PLAN EST UNE SURFACE PLANE QUI SEPARE DEUX MILIEUX TRANSPARENTS, HOMOGENES ET ISOTROPES, D'INDICES DIFFERENTS.

On dit aussi que les deux milieux sont inégalement réfringents. C’est ainsi que, par exemple, la surface de l’eau calme d’une piscine ou d’un lac, réalise un dioptre plan. Les rayons issus du point objet A1 situé dans le milieu (1) d’indice n1 se réfractent en passant dans le milieu (2) d’indice n2. On cherche, en effectuant un raisonnement purement géométrique, s’il existe des points particuliers qui réalisent le stigmatisme rigoureux : c’est-à-dire pour lesquels tous les rayons issus du point objet passent par un même point après réfraction.

A1 est à distance finie

Le système est de révolution autour de la normale A1H au plan du dioptre. Le rayon A1H traverse la surface sans déviation. Si une image de A1 existe, elle est donc nécessairement sur A1 H.

Figure 2-13:

Pour dessiner la figure 2-13 on se place dans le plan d’incidence correspondant à un rayon incident quelconque. Le rayon réfracté coupe A1H en A2 . On a :

2

1122211

itan

itanHAHA,ainsiitanHAitanHAHI === (2.10)

Pour les différents rayons issus de A1 à distance finie non nulle, i1 varie et

2

1

itan

itan n’est pas constant, même si 1

2

2

1

n

n

isin

isin= l’est. Les rayons réfractés ne se

rencontrent donc pas tous en un même point. On peut préciser :

IL N’Y A PAS STIGMATISME RIGOUREUX POUR LES POINTS A DISTANCE FINIE NON NULLE.

A1 est sur la surface.

Lorsque le point source A1 est situé sur le dioptre plan. Dans ce cas, 0HA1= et par

suite 0HA2= . Concrètement, tout point de la surface du dioptre est à lui-même son

image, ce qui signifie que tout faisceau conique de rayons incidents venant converger en un point A1 de cette surface donne naissance à un faisceau conique divergent de rayons réfractés partant de A1 ; le dioptre modifie simplement l'ouverture du faisceau lumineux

A1 est à l’infini

Figure 2-14:

Lorsque le point source A1 est un point à l'infini, tous les rayons incidents issus de A1 sont parallèles entre eux et forment un faisceau cylindrique; quelle que soit la position du point I sur le dioptre, l’angle d’incidence i1 est constant et par conséquent i2 (loi de la réfraction); le rapport de leur tangente est donc constant: la condition de stigmatisme rigoureux est bien satisfaite. D’après la 3ème loi de DESCARTES : n1 sin i1 = n2 sin i2 tous les rayons émergents sont eux aussi parallèles et donc, pour un observateur, ils paraissent provenir d’un point A2 unique qui est également à l’infini. Cette propriété intéressante mérite d'être soulignée, car elle est mise à profit dans la réalisation d'instruments d'optique tels que les spectroscopes et spectrographes à prisme.

Le dioptre plan n'est donc rigoureusement stigmatique que dans deux cas de figure:

Lorsque le point source est sur la surface du dioptre; le point image est alors confondu avec le point objet. Lorsque le point source est à l'infini; son image, ponctuelle est elle-même à l'infini.

2.3.2 ÉTUDE DES IMAGES DANS LE CAS DU STIGMATISME APPROCHÉ

Stigmatisme.

A défaut d'être rigoureusement stigmatique pour tous les points de l'espace, le dioptre plan peut satisfaire à la condition de stigmatisme approché.

Le dioptre plan est approximativement stigmatique pour tout point-source situé à distance finie, à condition que les rayons émis et réfractés soient peu inclinés par rapport à la direction de la normale au dioptre.

Pratiquement cela signifie que le dioptre plan doit travailler à faible ouverture, faute de quoi l'image qu'il donnera d'un point objet sera une tache lumineuse, optiquement inexploitable. Dorénavant nous n'allons donc considérer que le cas d'objets lumineux satisfaisant aux conditions de stigmatisme. Si l’angle i1 est faible il en est de même pour l’angle i2 et on peut écrire :

2211isinitanetisinitan !! (2.11)

On obtient alors avec une bonne approximation à partir de la relation 2.10 :

1

2

1

2

1

1

2

1

12n

nHA

isin

isinHA

itan

itanHAHA =!= (2.12)

Cette relation peut être mise sous la forme symétrique :

2

2

1

1

n

HA

n

HA= (2.13)

On verra lors de l’étude du dioptre sphérique qu’on peut considérer un plan comme le cas particulier d’une sphère de rayon infini et qu’on retrouve alors plus facilement la formule de conjugaison du dioptre plan sous la forme :

0HA

n

HA

n

2

2

1

1 =+! (2.14)

Les relations établies montrent que HA1 et HA2 sont de même signe, puisque n1 et n2 sont des grandeurs positives, et donc que A1 et A2 sont dans le même milieu et, par conséquent, de natures opposées : si l'un est réel, l'autre est virtuel et réciproquement, de plus si n1 > n2 , A1 est toujours plus éloigné de la surface du dioptre que A2 ; inversement si n1 < n2 , A1 est toujours plus proche de cette surface que A2, comme le montre la figure2-15. L’image A2 se déduit de A1 par une translation apparente, le long de la normale, d’amplitude :

!!"

#$$%

&'=+=+=

1

2

1

1

2

112121n

n1HA

n

nHAHAHAHAAA (2.15)

Figure 2-15

2.3.3 ÉTUDE D’IMAGE D'UN OBJET ETENDU; GRANDISSEMENT LINEAIRE.

La recherche de l'image A2B2 d'un objet lumineux A1B1 revient à déterminer la position des images conjuguées à travers le dioptre plan des différents points

composant l'objet. Pour que cette image soit nette, il est clair que si A1B1 est à distance finie, les conditions de stigmatisme approché doivent être satisfaites. Examinons dans cette hypothèse et pour des milieux d'indice n1 et n2 tels que n1 > n2, les cas de figure suivants: - Si les rayons émis par un objet réel situé dans un plan P normal à la surface du dioptre son image est dans le plan P dont chaque point A 2 est l’image d’un point A1 de P, il résulte de la formule de conjugaison du dioptre aux deux points A1 et B1 :

HBn

nnBBetHA

n

nnAA

1

1

21

211

1

21

21

!=

!= (2.16)

L'image virtuelle A2B2 de l'objet se forme sur la normale A1B1H du dioptre. L'application de la formule de conjugaison du dioptre plan aux couples de points conjugués (A1A2) et (B1B2) permet d'autre part d'établir que le grandissement linéaire reste positif mais n'est plus égal à 1; on

trouve en effet que:

1

2

11

22

n

n

BA

BA==!

Figure 2-16:

- Mais, si l’objet A1B1 est réel et dans un plan P parallèle à la surface du dioptre (c’est à dire dans un plan perpendiculaire à ”l’axe” A1H ou B1K), l’image A2B2 est virtuelle et se déduit de leur point conjugué objet par une simple translation ce qui résulte de la formule de conjugaison du dioptre aux deux points A1 et B1.:

211

1

21

1

1

21

21BBKB

n

nnHA

n

nnAA =

!=

!= (2.17)

On peut donc conclure que l'image virtuelle A2B2 est parallèle à la surface du dioptre et que le grandissement linéaire est:

1BA

BA

11

22 +==!

Figure 2-17:

Si P n’est pas parallèle à la surface du dioptre, les proportions ne sont pas conservées dans toutes les directions et l’image n’est plus semblable à l’objet.

Dans ces conditions on dit que le dioptre plan réalise l’aplanétisme. L’ensemble des conditions énoncées s’appliquera à beaucoup d’autres systèmes optiques.

Le stigmatisme approché et l’aplanétisme sont réalisés pour les points voisins du point objet AO et du point image AI (qui sont sur l’axe sur lequel est placé l’œil de l’observateur) pour lesquels les rayons à considérer, c’est-à-dire ceux qui traversent l’instrument et parviennent à l’observateur, sont peu inclinés sur l’axe.

Ces deux exigences :

- POINTS VOISINS DE L’AXE OPTIQUE - RAYONS PEU INCLINÉS SUR L’AXE

constituent les conditions de l’APPROXIMATION DE GAUSS qu’on résume couramment en disant que les rayons concernés par la formation de l’image à travers l’instrument sont des RAYONS PARAXIAUX.

Le contenu a été réalisé par : Pr. Sémou DIOUF Consultant et HERIMANDA A. RAMILISON Expert. L’auteur s’est inspiré de nombreuses références dont notamment les sites :




Chapitre 3 DIOPTRE ET MIROIR SPHÉRIQUE 3.1 DÉFINITIONS ET CONVENTIONS

Un dioptre sphérique est un ensemble constitué de deux milieux transparents, homogènes et isotropes, d'indices différents séparés par une surface sphérique.

Figure 3-1:

Le centre et le rayon ” du dioptre ” sont le centre et le rayon algébrique R = SC de la sphère. Nous choisirons un sens positif suivant le sens de propagation de la lumière et les angles seront orientés positivement dans le sens trigonométrique. Le milieu d'indice n1 sera qualifié de milieu objet tandis que celui d'indice n2 sera qualifié de milieu image.

L’axe principal du dioptre est le diamètre de la sphère perpendiculaire au plan de base de la calotte sphérique utile : c’est l’axe optique. L'axe principal coupe le dioptre en son sommet S du dioptre. Ù est le demi angle d'ouverture du dioptre.

3.2 CONDITIONS DU STIGMATISME APPROCHÉ

Le stigmatisme rigoureux est réalisé pour le centre du dioptre qui est sa propre image ainsi que pour certains couples bien particuliers de points : les points de WEIERSTRASS ou de YOUNG qui sera défini à la fin de ce chapitre. On admet que, comme pour le dioptre plan, le stigmatisme approché sera bien réalisé dans les conditions de l’approximation de Gauss.

Dans le cadre de cette approximation les rayons sont paraxiaux ce qui correspond aux deux hypothèses suivantes : 1) le plan perpendiculaire à l’axe en I peut être confondu avec le plan tangent en S 2) pour les rayons voisins de l’axe les angles i1 et i2 seront toujours petits de telle sorte qu’on pourra utiliser, si i est exprimé en radians, les égalités approchées suivantes :

1icosetitanisin !!

Mathématiquement ceci revient à se limiter aux termes du premier ordre des développements en série de Taylor pour sin i et cos i.

3.3 FORMULE DE CONJUGAISON AVEC ORIGINE AU SOMMET

Figure 3-2: Le rayon axial A1C n’étant pas dévié, l’image A2 sera le point d’intersection des émergents avec l’axe. On repère la position de A1 par rapport au sommet S par SA1, de même, celle de A2 par SA2. La position du point incident par rapport à l’axe au moment de la réfraction est mesurée par x SI.

Posons 1

! l’angle que fait l’axe optique avec le rayon incident A1I et 2

! l’angle que fait cet axe avec le rayon réfracté correspondant IA2. L’angle que fait CI avec CS est noté!

Le théorème sur l’angle extérieur d’un triangle avec la convention d’orientation des

angles donne : !+"=

!+"=

222

111

i:CIAtriangle

i:CIAtriangle

D’après la loi de Kepler : 2211inin =

En combinant ces trois équations on obtient : )(n)(n 2211 !+"=!+" , d’où on tire : !"=#"# )nn(nn 122211 En remarquant que :

SC

xtanet

SA

xtan,

SA

xtan

2

22

1

11

+=!"!

#=$"$

#=$"$

Il vient en substituant !"" et, 21 :

SC

nn

SA

n

SA

n12

2

2

1

1!

=+! (3.1)

3.4 FOYERS ET VERGENCE

3.4.1 FOYER IMAGE

Dans les conditions du stigmatisme approché, si A1 s’éloigne indéfiniment sur l’axe, son conjugué A2 est, par définition, le FOYER IMAGE F2 du dioptre et SF2 est la DISTANCE FOCALE IMAGE du dioptre. A partir de la relation 3.1 faisons tendre SA1 vers l’infini, il vient :

12

2

2nn

SCnSF

!= (3.2)

3.4.2 FOYER OBJET

Le point image A2 est à l’infini dans la direction de l’axe optique quand le point objet est au FOYER OBJET F1 du dioptre. SF1 est la DISTANCE FOCALE OBJET du dioptre. A partir de la relation 3.1 faisons tendre SA2 vers l’infini, il vient :

12

1

1nn

SCnSF

!!= (3.3)

3.4.3 POSITION DES FOYERS

A partir des relations 3.2 et 3.3 il vient :

2

1

2

1

21n

n

SF

SFetSCSFSF !==+ (3.4)

LE RAPPORT DES DISTANCES FOCALES D’UN DIOPTRE SPHÉRIQUE EST ÉGAL AU RAPPORT DES INDICES CHANGÉ DE SIGNE.

Les foyers F1 et F2 sont toujours de part et d’autre du sommet S. Si F2 est dans le milieu d’indice n2, donc réel, F1 est dans le milieu d’indice n1, donc également réel. De la même façon, si F2 est dans le milieu n1 il est virtuel et F1 qui est alors dans le milieu n2 est également virtuel.

LES DEUX FOYERS SONT DE MÊME NATURE: TOUS DEUX RÉELS OU TOUS DEUX VIRTUELS.

3.4.4 VERGENCE

Dans le cas où le foyer image F2 d’un dioptre est réel, tous les rayons incidents paraxiaux parallèles à l’axe convergent en F2. Ce dioptre à foyers réels est alors dit convergent. La distance focale image SF2 est une quantité positive et on en déduit que le ” rayon ” algébrique R = SC et (n2 -n1) sont de même signe dans ce cas. Le dioptre est dit divergent dans le cas contraire.

Figure 3-3:

Par définition, la vergence V d’un dioptre sphérique est :

2

2

1

112

SF

n

SF

n

SC

nnV =!=

!= (3.5)

La vergence s’exprime en DIOPTRIES (symbole! ). On peut remarquer que le centre d’un dioptre convergent est toujours situé dans le milieu le plus réfringent, et inversement, le centre d’un dioptre divergent est toujours situé dans le milieu le moins réfringent.

3.5 FORMULE DE NEWTON (Formule avec origines aux FOYERS)

Si on divise la relation de conjugaison avec origine au sommet 3.1 par V et en utilisant les valeurs de V dans 3.5 on obtient :

1SA

SF

SA

SF

VSC

nn

VSA

n

VSA

n

2

2

1

112

2

2

1

1 =+=!

=+!

Cette dernière relation s’écrit aussi :

1AFSF

SF

AFSF

SF

SA

SF

SA

SF

222

2

111

1

2

2

1

1 =+

++

=+

Cette relation permet de repérer la position de l’objet A1 par rapport au foyer objet F1 et la position de l’image A2 par rapport au foyer image F2. Ce qui donne :

)AFSF()AFSF()AFSF(SF)AFSF(SF 22211111122221 ++=+++ et on obtient finalement une relation parfaitement symétrique qui constitue la formule de conjugaison de Newton:

221121AF.AFSF.SF = (3.6)

3.6 PLANS CONJUGUÉS, PLANS FOCAUX

Si un point B1 est assez voisin de l’axe principal pour n’envoyer que des rayons paraxiaux, il a une image B2 située sur l’axe secondaire B1C.

Figure 3-4:

Tout point tel que B1 appartenant à une portion de sphère de centre C et de rayon CA1 a une image située sur une portion de sphère de centre C et de rayon CA2. Dans les conditions du stigmatisme approché, ces portions de sphère peuvent être assimilées aux portions des plans tangents P1 et P2 en A1 et A2. Ces deux plans perpendiculaires à l’axe principal CS constituent deux plans ” de front ” conjugués.

On retrouve que le dioptre sphérique réalise l’APLANÉTISME dans les conditions de l’approximation de GAUSS.

Si l’un des deux plans conjugués est reporté à l’infini, l’autre est un PLAN FOCAL. Par exemple, le PLAN FOCAL IMAGE est le plan perpendiculaire à l’axe (principal) en F2 : ce plan est le lieu des ” foyers secondaires ” tels

2! où convergent les

faisceaux cylindriques de direction parallèle à C2

! .

Figure 3-5:

N.B1 : En pratique les systèmes optiques habituels sont employés dans les conditions de l’approximation de GAUSS en limitant la surface utile des dioptres à l’aide de diaphragmes.

N.B2 : Un tel dioptre limité à une petite calotte sphérique très voisine du plan de front en S est représenté schématiquement comme le montre la Figure 3-5. Sur une telle figure l’échelle suivant l’axe optique est différent de l’échelle dans la direction perpendiculaire à l’axe optique. La figure est dilatée suivant cette direction de telle sorte que, pour des raisons de lisibilité, les angles apparaissent beaucoup plus grand qu’ils ne sont en réalité : ceci obligera à utiliser des résultats de géométrie plane faisant intervenir les tangentes des angles mais au final on pourra remplacer ces ”tangentes” par les sinus (pour exploiter les lois de Descartes) ou par les angles eux-mêmes (lois de Kepler) exprimés en radians pour les applications numériques.

3.7 GRANDISSEMENTS, FORMULE DE LAGRANGE HELMHOLTZ

3.7.1 GRANDISSEMENT LINÉAIRE ( Γ )

Figure 3-6:

Le grandissement linéaire Γ est le rapport d’une dimension de l’image dans le plan de front en A2 à la dimension correspondante de l’objet en A1 :

11

22

BA

BA=! (3.7)

Dans SA1B1 on a A1B1 = SA1 tan i1 = SA1 i1 dans les conditions de GAUSS (avec SA1 < 0, i1 < 0 et A1B1 > 0).

De même dans SA2B2 on a A2B2 = SA2 tan i2 = SA2 i2 dans les conditions de GAUSS (avec SA2 > 0, i2 < 0 et A2B2 < 0).

D’après la loi de Kepler n1i1 = n2i2 :

D’où l’expression de Γ avec origine au sommet S:

1

2

2

1

11

22

11

22

SA

SA

n

n

iSA

iSA

BA

BA===! (3.8)

Pour obtenir une autre expression de Γ , remarquons que F2A2B2 et F2SI sont des

triangles semblables et que A1B1 = SI. Il vient alors : SF

AF

SI

BA

BA

BA

2

2222

11

22 ===!

et finalement, avec la relation 3.6 221121

AF.AFSF.SF = il vient l’expression de Γ avec origine aux foyers:

11

1

2

22

2

22

AF

SF

SF

AF

SF

AF!=!==" (3.9)

3.7.2 FORMULE DE LAGRANGE HELMHOLTZ

Soit un rayon incident quelconque A1I : Posons 1

! l’angle que fait l’axe optique avec le rayon incident A1I et

2! l’angle que fait cet axe avec le rayon réfracté correspondant

IA2.

Figure 3- 7: Les angles ! sont sur la figure 3-7 tels que 0

1>! et 0

2<! .

Ainsi, il vient 2211

SASASI !"=!"= d’où, en utilisant l’expression du

grandissement linéaire ! dans la relation 3.8 :11

22

1

2

1

2

1

2

2

1

BA

BA

n

n

n

n

SA

SA=!==

"

"

Il vient alors la relation de Lagrange-Helmholtz :

22221111BAnBAn !=! (3.10)

Cette relation de LAGRANGE - HELMHOLTZ, exprime évidemment la réalisation de l’aplanétisme dans les conditions simplificatrices de la limitation aux rayons paraxiaux.

N.B. On pourra vérifier qu’il s’agit du passage à la limite des petits angles d’une relation plus générale connue sous le nom de relation des sinus d’ABBE

22221111BAsinnBAsinn !=!

3.7.3 RAPPORT DE CONVERGENCE G

Si on désigne par G = 1

2

!

! le rapport de convergence pour le couple de points

conjugués A1, A2 , la relation 3.10 donne directement : 2

1

n

n.G =!

3.7.4 GRANDISSEMENT AXIAL g

Si A1 se déplace de d(SA1) sur l’axe, son image A2 se déplace de d(SA2) sur ce

même axe. Par définition, le grandissement axial est : )SA(d

)SA(dg

1

2= . Or, d’après les

relations 3.1 et 3.5 il vient VSC

nn

SA

n

SA

n12

2

2

1

1 =!

=+!

En différentiant cette relation il vient : 0SA

)SA(dn

SA

)SA(dn2

2

22

2

1

11 =! ,ainsi, 2

12

2

21

SAn

SAng =

g est toujours positif. Par conséquent l’image se déplace dans le même sens que l’objet si celui-ci se déplace le long de l’axe.

La relation 3.8 et la définition de G nous donne finalement : G.Gn

ng

22

1

2 !=

!

!=!=

d’où la relation : !=g.G

3.9 FORMULES DE CONJUGAISON AVEC ORIGINE AU CENTRE

Il est possible de transformer la relation 3.1 avec origine au sommet et prendre le centre C pour origine. En effet,

0SA

SC1n

SA

SC1nnn

SA

SCn

SA

SCn

SC

nn

SA

n

SA

n

2

2

1

112

2

2

1

112

2

2

1

1 =!!

"

#

$$

%

&''!

!

"

#

$$

%

&'('=+'(

'=+'

ce qui peut s’écrire :

0CA

SAn

CA

SAn0

SA

CAn

SA

CAn

SA

SCSAn

SA

SCSAn

1

1

2

2

2

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1=!"=!=

!!

!

soit encore :

0nnCA

SCn

CA

SCn1

CA

SCn1

CA

SCn

21

1

2

2

1

1

2

2

1=!+!="

"

#

$

%%

&

'+!"

"

#

$

%%

&

'+

et donc finalement :

VCS

nn

CA

n

CA

n21

2

1

1

2 =!

=+! (3.11)

Et pour le grandissement si on considère les triangles CA1B1 et CA2B2 de la Figure 3-7 ils sont semblables ainsi :

1

2

11

22

CA

CA

BA

BA==! (3.12)

3.9 MIROIRS SPHÉRIQUES

3.9.1 DÉFINITIONS

Un miroir sphérique est une portion de sphère réfléchissante qui, généralement, est en forme de calotte sphérique limitée par une base circulaire dont le diamètre AB est appelé diamètre d'ouverture du miroir. Le centre C d'un miroir sphérique est évidemment le centre de la sphère sur laquelle il s'appuie; son sommet S est le pôle de la calotte. L'axe CS qui contient le centre et le sommet du miroir est l'axe principal du miroir. Comme CS constitue un axe de symétrie pour le miroir, tout plan qui le contient est dit plan de section principale du miroir sphérique. On appelle par ailleurs angle d'ouverture d'un miroir sphérique le demi-angle au sommet Ω du cône de sommet C, ayant pour directrice le contour du miroir.

Il existe deux types de miroirs sphériques: - les miroirs concaves, appelés aussi convergents; ce sont des calottes

sphériques dont la surface réfléchissante est tournée vers le centre C. - les miroirs convexes, ou divergents, qui eux réfléchissent la lumière sur la

surface extérieure de la sphère.

Figure 3- 8:

3.9.2 FORMULES DES MIROIRS SPHÉRIQUES

Elles se déduisent immédiatement de celles du dioptre sphérique en remarquant que la lumière est totalement réfléchi par le miroir, ainsi, on passe de la troisième loi de DESCARTES : n1 sin i1 = n2 sin i2 , à la loi de réflexion : i = -r en considérant que n1 = +n lorsque la lumière se dirige vers le miroir et n2 = -n quand elle se propage en sens inverse. Si A désigne un point objet et A' son image à travers le miroir on obtient sans difficultés les formules ci-après en substituant systématiquement A1 par A, A2 par A’, n1 par +n, n2 par –n, F1 par F, F2 par F’.

Formules avec origine au sommet :


SA

ASet

SC

2

AS

1

SA

1 !"=#=

!+ (3.13)


confondussontFetFaon,miroirdufocalcetandisf2

SCFSSF !==!=

En posant p=SA ; p’=SA’ et f= SF on obtient les formules de DESCARTES

p

pet

f

1

p

1

p

1 !"=#=

!+ (3.14)

Formules avec origine aux foyers. Formules de NEWTON :

A partir de la relation 3.6 et 3.9 il vient :

FA

SF

SF

AFetfSFFS.SFAF.FA

22

!="

!=#=="="" (3.15)

Formules avec origine au centre :

A partir de 3.11 et 3.12 il vient :

CA

ACet

f

1

SF

1V

CS

2

AC

1

CA

1 !="====

!+ (3.16)

Autres résultats :

Grandissement axial 2

2

2

SA

ASg !"=

#"=

Dans le cas d’un miroir sphérique l’objet et l’image se déplacent en sens inverse lors d’une translation sur l’axe.

Relation de LAGRANGE HELMHOLTZ

De la relation 3.10 il vient : BAAB !!"!#="

Ce contenu a été réalisé par : Pr. Sémou DIOUF Consultant et HERIMANDA A. RAMILISON Expert. Les auteurs se sont inspirés de nombreuses références dont notamment les sites :



- http://www.univ-Lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/ - http://fr.wikipedia.org/wiki/Optique - http://cours.cegep-st-jerome.qc.ca/203-301-r.f/prtie2/chap6/default.htm

Chapitre 5 LENTILLES

5.1 LENTILLES ÉPAISSES

5.1.1 DÉFINITIONS

Une lentille est un système centré formé par un milieu transparent homogène et isotrope limité par deux surfaces sphériques de rayons respectifs R1 et R2. L'étude des éléments cardinaux d'une lentille épaisse sera faite dans le cas d'un système centré quelconque mais en ne considérant que le cas particulier général d'un système constitué d'un milieu réfringent d'indice n dont les deux faces sont plongées dans des milieux extrêmes d'indices identiques n0.

Figure 5- 1: On distingue 6 types différents de lentilles On définira les rayons de courbure de chacun des dioptres par leurs mesures

algébriques:

222111CSRCSR == où C1 et C2 sont les centres des dioptres correspondant.

Une lentille épaisse étant formée par l'association de deux dioptres constitue un système centré qui ne réalisera le stigmatisme approché que dans les conditions de Gauss

5.1.2 CALCUL DE LA DISTANCE FOCALE D’UNE LENTILLE

Remarque : Comme tout système centré une lentille a évidemment une distance focale objet f et une distance focale image f'. Mais puisqu’il s’agit d’un système centré avec milieux extrêmes identiques d’indice égal à n0, il est convenu que ” LA ” distance focale d’une lentille est sa distance focale image que l’on notera

- le dioptre d’entrée de rayon S1C1 = R1. Pour celui-ci, avec les conventions habituelles n1 = n0 et n2 = n et les points principaux H1 et H1

' sont confondus avec S1 .

- le dioptre de sortie de rayon S2C2 = R2. Pour celui-ci, avec les conventions habituelles n1 = n et n2 = n0 et les points principaux H2 et H2

' sont confondus avec S2 .

La vergence d’un dioptre est donnée par : SC

nnV

12!

=

La vergence du dioptre d’entrée est donc : 11

0

1

CS

nnV

!=

et celle du dioptre de sortie :22

0

2

CS

nnV

!=

On applique alors la formule de GULLSTRAND en remarquant que:

l’indice N du milieu intermédiaire est dans ce cas égal à n et e = H1

'H2 = S1S2 e = épaisseur de la lentille.

La relation n

VVeVVV

21

21!+=

donne : ( )

2211

2

0

22

0

11

01

CSCSn

enn

CS

nn

CS

nnV

!!

"+

"+

"=

#= (5.1)


Le foyer image F' de la lentille est l’image du foyer image F1' du dioptre d’entrée à

travers le dioptre de sortie. Par application des formules de conjugaison de NEWTON il vient :

'''.'22212ffFFFF = (5.2)

De même, le foyer objet F de la lentille a pour image le foyer objet F2 du dioptre de sortie à travers le dioptre d’entrée :

''.11211ffFFFF = (5.3)

En introduisant « l’intervalle optique » F1'F2 = F1

'S1 + S1S2 + S2F2 qui s’écrit aussi :

2121fefFF ++!= '' (5.4)

Il apparaît que la position du foyer objet F de la lentille par rapport au foyer objet F1 du dioptre d’entrée tout comme la position du foyer image F' de la lentille par rapport au foyer image F 2' du dioptre de sortie sont données par des relations déjà rencontrées dans le cas le plus général.

5.1.4 CENTRE OPTIQUE

Le centre optique O d'une lentille est un point de l'axe, appartenant au milieu réfringent n, qui peut être intérieur ou extérieur au segment S1S2, et tel qu'à tout rayon se propageant dans la lentille et passant par ce point correspondent un rayon incident et un rayon émergent parallèles.

Figure 5- 2:

Remarque : le point O « appartient » toujours au milieu d’indice n mais ceci n’implique pas qu’il soit obligatoirement situé entre S1 et S2.

Pour déterminer O, on considère (figure 5-2) une normale arbitraire C1I1 au dioptre d’entrée et la normale C2I2, au dioptre de sortie, qui lui est parallèle.

Suivant la 3ème loi de Descartes l’incident SI1 et l’émergent I2R qui correspondent au rayon intérieur I1I2 sont parallèles entre eux. Le support de I1I2 coupe l’axe qui joint les centres C1 et C2 des deux faces de la lentille, c’est-à-dire l’axe principal, au point O conformément à la définition du centre optique.

Les triangles OC1I1 et OC2I2 sont semblables puisque tous leurs angles sont égaux. On en déduit :

2

1

2

1

222

111

22

11

2

1

R

R

OS

OS

CSOC

CSOC

CS

CS

OC

OC==

!

!==

Le point O divise le segment S1S2 dans le rapport des valeurs algébriques des rayons de courbure et est donc unique. Il ne dépend pas de la valeur de l'indice du

verre constituant la lentille épaisse. O est situé entre S1 et S2 si R1 et R2 sont de signes contraires, O est extérieur à S1S2 si R1 et R2 sont de même signe; O est toujours plus proche de la face la plus courbe.

d’où :

12

1

1

12

1

12

1

RR

ReOS

RR

R

OSOS

OS

!="

!=

! (5.5)

et de même :

12

2

2

2

12

2

12

RR

ReOS

R

RR

OS

OSOS

!="

!=

! (5.6)

Remarquons que, dans les conditions de l’approximation de GAUSS, l’incident et l’émergent correspondants à un rayon intérieur passant par le centre optique O coupent l’axe aux points nodaux N et N' de la lentille qui sont confondus avec les points principaux H et H' . Autrement dit : le centre optique O est l’image du point nodal objet N de la lentille à travers le dioptre d’entrée, ou l’image du centre optique O à travers le dioptre de sortie est le point nodal image N'.

5.2 LENTILLES MINCES

Nous considérerons dans ce qui suit que la lentille a ses deux faces au contact d’un même milieu d’indice n0.

En optique une lentille est considérée comme mince lorsque son épaisseur est négligeable devant les rayons de courbure de ses deux faces. Les sommets pourront alors être confondus en un même point S; mais cette condition ne permet pas de confondre S avec le centre optique O.

Ainsi, si e << R1 et e << R2 la vergence de la lentille ne dépend pas de e , d’après la relation 5.1, est simplement exprimée par :

!!"

#$$%

&''=

(=

21

0

111

RRnnV )( (5.7)

5.2.1. CENTRE OPTIQUE, POINTS PRINCIPAUX, POINTS NODAUX.

Rappelons que pour une lentille épaisse nous avions la relation (5-6) qui nous

permet d'écrire: 12

2

2

RR

ReOS

!=

On pourra donc considérer que O et S2 sont confondus si l'épaisseur S1S2 est petite devant la valeur absolue de la différence des valeurs algébriques des rayons de courbure R2 - R1.

Lorsque les deux conditions précédentes seront satisfaites, le centre optique O pourra être confondu avec les sommets S1 et S2; les points nodaux et les points principaux seront également confondus en O.

Ainsi un faisceau convergent en O n'est modifié ni en direction ni en position par une lentille mince dont le centre optique est en O.

La propriété qu'a la lentille mince d'avoir ses plans principaux confondus nous permettra d'en donner une représentation réduite à une portion de droite perpendiculaire à l'axe principal. Pour les lentilles à bords minces les flèches sont dans le sens où l'on s'éloigne de la droite perpendiculaire par rapport à l'axe principal et sont orientées en sens inverse pour les lentilles à bords épais Figure 5-3.

Figure 5- 3:

5.2.2 FOYERS, PLANS FOCAUX. DISTANCES FOCALES.

La lentille mince qui est un système centré dioptrique possède deux plans focaux perpendiculaires à l'axe principal aux foyers objet F et image F'. Comme les milieux extrêmes sont identiques les distances focales sont égales en valeur absolue et l'on a: fOFfFO !=!==" '

On déterminera la valeur de la distance focale image à partir de la vergence V d'une lentille épaisse en considérant que: 0

21!SS

On obtient alors à partir de l’équation (5-7) :

!!"

#$$%

&''=!!

"

#$$%

&''=

(=

2211

0

21

0

11111

CSCSnn

RRnnV )()( où S1 et S2 sont confondus avec

le point O.

Cette expression de la vergence V d'une lentille mince permet de montrer qu'il existe deux sortes de lentilles minces:

- les lentilles minces convergentes pour lesquels f ' est positive. Le foyer objet F est situé dans espace objet et le foyer image F ' est situé dans l'espace image; les deux foyers sont réels.

- les lentilles minces divergentes pour lesquelles f ' est négative et les foyers sont virtuels. SC sera compté positivement si la face est convexe et négativement si la face est

concave.

Ainsi la lentille biconvexe, plan convexe ou le ménisque convergent avec

2211CSCS ! sont des lentilles convergentes.

Tandis que la lentille biconcave 011!CS , plan concave 0

11!CS ou le ménisque

divergent 1122CSCS ! sont des lentilles divergentes.

Les lentilles à bords minces sont convergentes.

Les lentilles à bords épais sont divergentes.

5.3 CONSTRUCTION DE RAYONS

5.3.1 Construction de l'image d'un objet AB perpendiculaire à l'axe.

Dans le cadre de l'approximation de Gauss, l'image A'B' d'un objet AB perpendiculaire à l'axe est également perpendiculaire à l'axe. Pour trouver l'image A'B' de AB il suffira donc de déterminer l'image B' de B et d'abaisser de B' une perpendiculaire à l'axe principal pour obtenir A'.

Pour ce faire nous pourrons utiliser deux des trois rayons particuliers issus de B:

- le rayon qui passe par le centre optique O et qui n'est pas dévié.

- le rayon qui passe par le foyer objet F de la lentille et qui émerge parallèlement à l'axe principal.

- le rayon parallèle à l'axe principal et qui émerge en passant par le foyer image F'.

5.3.2 Construction de l'émergent correspondant à un incident quelconque.

Deux méthodes de construction peuvent être envisagées pour tracer le rayon émergent correspondant à un incident quelconque:

- la première méthode consiste à remarquer que tout faisceau issu d'un foyer secondaire Fs appartenant au plan focal objet émerge en un faisceau de rayons parallèles à l'axe secondaire FsO

- la deuxième méthode utilise le fait qu'un faisceau de lumière parallèle incident sur la lentille converge en un foyer secondaire image F's appartenant au plan focal image; F's est l'intersection de l'axe secondaire parallèle au faisceau incident avec le plan focal image.

d'où les constructions suivantes pour un rayon incident quelconque:

On cherche l'intersection du rayon incident avec le plan focal objet Fs; le rayon émergent sera parallèle à FsO.

On trace une parallèle au rayon incident passant par le centre optique O qui coupe le plan focal image en F's; le rayon émerge en passant par le foyer secondaire F's.

5.4 Formules de conjugaison

5.4.1 Formules de conjugaison avec origine au centre.

Reprenons la formule de conjugaison des systèmes centrés avec origine aux

points principaux: 1=!!

!+

AP

FO

PA

OF comme les points principaux sont confondus avec le

centre optique et que les distances focales objet et image sont égales en valeur

absolue: FOOF !"= on pourra écrire: fAOOA !

=!

+"111 que l'on écrit souvent en

posant: AOpetOAp !=!= il vient fpp !

=!

+"111

Le grandissement s'exprimera par: p

p

OA

AO

AB

BA !=!

=!!

="

5.4.2 Formules de conjugaison avec origines aux foyers.

On a:

2fFOOFAFFAdoncet

FA

FO

AB

OJ

OF

AF

OI

BA

AB

BA

!"=!#=!#

==!

!!=!!

=!!

soit en posant: 2fxxxAFetxFA !"=!!=!!= .

on a également:f

x

OF

AF

AB

BA

OI

BAet

x

f

FA

FO

AB

BA

AB

OJ

!

!"=

!

!!=!!

=!!!

==!!

=

on en déduit la formule du grandissement : f

x

x

f

!

!"=

!=#

5.4.3 Formules de Lagrange-Helmholtz.

Le rayon AI admet IA' comme rayon conjugué et on peut écrire dans les conditions de Gauss:

BA

AB

p

pet

ppsoitAOOAOI

!!=!

=!

!"!="!"!="=

#

#

####

d'où la formule de Lagrange-Helmholtz: BAAB !!!=""

Le grandissement axial est défini par: dp

pdg

!= où dp' est le déplacement de l'image

correspondant à un déplacement dp très petit de l'objet . En différentiant la relation:

fpp !=!

+"111

, on obtient: 022=!

"

"

p

dp

p

pd d’où 2

2

2

2

!=""#

$%%&

' (=

(=(

=p

p

p

p

dp

pdg

Ce qui signifie que g est toujours positif.

5.5 EXEMPLE DE CALCUL

Pour illustrer les considérations générales sur les lentilles, on se propose d’étudier, à

titre d’exemple, une lentille biconcave en verre d’indice n = 3

5 . Les faces ont des

rayons de courbure égaux à 12cm et leurs sommets sont séparés de 1,2cm.

Figure 5- 4:

Pour commencer, après avoir fait un croquis à une échelle pratique, il faut donner les valeurs algébriques correctes aux variables intervenant dans les formules.

En s’aidant de la figure 5-4 on voit que :

S1 C1 = R1 = -12cm = -120mm, S2C2 = R2 = +12cm = +120mm, e = S1S2 = +12mm.

On calcule alors la distance focale image en utilisant la relation 5.1:

)())(( 12003

5

9

4

120

3

4

1201203

5

1213

5

120

3

51

120

13

5

1

2

!

+

!=

!

"#

$%&

'!

+

!+

!

!=

(

soit mmoumm 90235884500

1

90

11!"#!=#$!!=

#,

Le second résultat qui correspond à la relation 5.7 est une bonne approximation du premier si on ne cherche pas une précision supérieure à 2%.

On calcule ensuite la position du centre optique. A l’aide de la relation 5.6, on obtient :

mmOS 6120120

12012

2=

!!=

)(

Conformément à la symétrie du système on trouve bien O au centre de la lentille.

Si on ne cherche pas une très grande précision la lentille qui est divergente peut être considérée comme mince avec une distance focale de -90mm.

Si on veut davantage de précision, il est nécessaire de déterminer la position des éléments cardinaux. Comme on connaît déjà la distance focale '. Du fait de la symétrie du système on pourra se contenter de calculer FF

2!! : on aura FFFF

21!!"= .

Auparavant il faut calculer les distances focales des dioptres d’entrée et de sortie après avoir pris soin d’identifier aux données du problème les variables intervenant dans les relations 3.2 et 3.3.

Pour le dioptre d’entrée : n1 = 1, n2 = n = 3

5 , R = R1 = -120mm.

D’où (3.2) la distance focale image :

mm180

3

51

)120(1f

nn

Rnf 2

12

22 !=

!

+="#

!="

et (3.3) la distance focale objet :

mm300

3

51

)120(3

5

fnn

Rnf 2

12

12 !=

!

+!

="!

!=

Pour le dioptre de sortie : n1 = n = 3

5 , n2 = 1, R = R2 = +120mm

D’où (3.2) la distance focale image :

mm180

3

51

)120(1f

nn

Rnf 2

12

22 !=

!

+="#

!="

et (3.3) la distance focale objet :

mm300

3

51

)120(3

5

fnn

Rnf 2

12

12 +=

!

+!

="!

!=

On peut remarquer que ces derniers résultats sont évidents du fait de la symétrie entrée-sortie.

L’intervalle optique 22211121FSSSSFFF ++!=! est donné par :

mm61230012)300(fefFF 2121 +=++!!=++"!="

On en déduit d’après 5.3 que :

mm235,88612

)300(180

FF

ffFF

21

111 !=

!=

"

"=

et d’après 5.2:

mm235,88612

)180)(300(

FF

ffFF

21

222 +=

!!=

"

"!="

Ceci permet de calculer, par exemple la position du point principal image H' par rapport au sommet S2 de la face de sortie :

mm53,3235,88235,88180

FFfHFFFFSHS 222222

!=++!=

"!#+#=##+#+#=#

On trouverait de même S1H = +3,53mm. Les plans principaux sont à l’intérieur de la lentille entre le centre optique et les faces.

Remarque : on pourra contrôler les résultats en calculant la position de l’image du centre optique O à travers le dioptre de sortie. On sait qu’il s’agit du point nodal image N' qui doit être confondu avec le point principal image H' puisque les deux faces de la lentille baignent dans le même milieu.

Cours de M. Sémou DIOUF 1/8

Université Cheikh Anta Diop de Dakar Ecole Normale Supérieure

Département de Sciences Physiques

L’EVALUATION DES APPRENTISSAGES

Sémou Diouf


L’EVALUATION DES APPRENTISSAGES Elle peut être formelle ou informelle. Elle est formelle si elle est communiquée aux élèves ou aux parents d’élèves. Elle est informelle si elle n’est communiquée ni aux élèves ni aux parents d’élèves. Elle intéresse uniquement l’enseignant qui veut savoir si son acte didactique a porté ses fruits. C’est le cas de l’Indice de Différenciation Spécifique (IDS). L’EVALUATION FORMELLE Elle est sujette à un certain questionnement : Qu’est ce qu’évaluer ? Qui évalue ? Qui évaluer ? Quoi évaluer ? Pourquoi évaluer ? Pour qui évaluer ? Quand évaluer ? Comment évaluer ? Qui évalue ? C’est l’enseignant même si d’une manière non formelle il est évalué par les élèves. Qui évaluer ? lés élèves Quoi évaluer ? Les objectifs Pour qui évaluer ? l’administration en général Pourquoi évaluer ? pour prendre une décision (voir définition) Quand évaluer ? Avant apprentissage, pendant apprentissage, après apprentissage Comment évaluer ? En posant des questions oralement ou par écrit ou par l’observation I DEFINITION DE L’EVALUATION Qu’est ce qu’évaluer ? Evaluer : confronter un ensemble d’informations à un certain nombre de critères en vue de prendre une décision (J.M. Deketele, 1980) Trois mots clés dans la définition Informations : exemple : notes des élèves Critères : exemple : 10/20 Décision : exemple : admis, échec, redouble La décision à prendre dépend généralement du quand évaluer.

• Elle peut être une décision d’orientation : l’évaluation a lieu avant apprentissage L’évaluation est dite prédictive si elle sert à prédire les chances de réussite ou d’échec d’un apprenant. L’évaluation est dite diagnostique si elle permet d’identifier les lacunes, les forces, ou les faiblesses des apprenants avant d’aborder une unité d’apprentissage.

• La décision peut être une décision de régulation : l’évaluation a lieu pendant l’apprentissage

L’évaluation est alors formative si elle permet d’améliorer ou d’effectuer des remédiations. L’évaluation est formatrice si l’enseignant l’exploite pour agir sur les stratégies et les moyens (l’enseignant doit se remettre en cause). Généralement les enseignants ne régulent pas. Ils suivent le schéma classique Chapitre I TD Chapitre II TD, ceci quelque soit le degré de maîtrise des élèves. Or si les élèves éprouvent des difficultés, l’enseignant doit revenir au chapitre précédent. Les séances de TD peuvent être des moments de régulation.

• La décision peut être une décision de certification : l’évaluation a lieu à la fin de l’apprentissage

L’évaluation est dite sommative : elle est un bilan d’acquis Exemple : Les contrôles continus, les compositions sont des évaluations sommatives. Le BFEM, le BAC sont des évaluations sommatives et certificatives. Toute évaluation est sommative et doit être formatrice pour l’enseignant et pour l’élève.


Comment évaluer ? Cela pose la question du questionnement, donc les stratégies de recueil d’informations. II STRATEGIES DE RECUEIL D’INFORMATIONS Le questionnaire de contrôle de connaissance Ecrit : devoir surveillé, interrogation écrite, composition, examen, concours… Oral : test d’entrée (vérification de prérequis) L’observation : utilisée en travaux pratiques et lors des TP cours

L’évaluation doit être efficace : c’est à dire les compétences recherchées chez l’élève doivent correspondre aux compétences définies dans les objectifs. Il existe deux types de questions : Des questions à production convergente qui sollicitent une et une seule réponse considérée comme juste Des questions à production divergente demandent à chaque élève de fournir un effort personnel de composition d'une réponse originale. En raison du processus mental, on peut établir une correspondance entre D'une part les questions à production divergente et les questions ouvertes qui sont des questions à réponse construite par l'élève dans une démarche et un vocabulaire qui prouve qu'il a maîtrisé plus ou moins la matière, d'autre part les questions à production convergente et les questions fermées qui sont des questions à réponse choisie dans un ensemble de réponses proposées par l'auteur. II-1. LE QUESTIONNAIRE DE CONTROLE DE CONNAISSANCE

II-1-1.Les questions à production convergente (questions à réponse fermée) Elles sont peu utilisées en sciences physiques et pourtant présentent un avantage certain : une correction facile et objective. Ce sont :

• Les questions à réponse courte Exemple question directe : quelle est l’unité de la résistance d’un conducteur dans le SI ? Phrase à compléter (question à trou, phrase lacunaire ou phrase à indice): La résistance d’un conducteur s’exprime dans le SI, en ……………… Ces questions sont utilisées pour mesurer le rendement de l’élève, car elles mesurent plus le rappel que la récognition (reproduction), le rappel étant un processus mental plus actif que la récognition (Ebel et Frisbie,1991). Précaution à prendre : ne jamais créer deux espaces à compléter dans une seule question, tous les espaces vides (à compléter) doivent être en fin de phrase et avoir la même longueur qui ne doit pas être un indice de réponse)

• Les questions dichotomiques ou à deux choix (binary-choice question) Type vrai/faux ; oui/non ; (true/false) Ce type de question est à éviter car contient une grande part de hasard. L’élève peut deviner facilement la réponse correcte et obtenir 50% des points. Avantages : elles peuvent permettre à l’enseignant de couvrir une grande partie du contenu de son programme scolaire et d’évaluer une variété d’objectifs. Limites : Si l’élève répond faux il est difficile de savoir pourquoi il a commis une erreur. On peut réduire la part de hasard en notant en négatif quand c’est faux.

• Les questions à pairage (à appariement) Elles se présentent en deux colonnes. L’enseignant doit dire à l’élève comment il doit apparier. Exemple associer chiffre et lettre pour répondre ou mettre des flèches…. Colonne des prémisses colonne des réponses 1. alcanes a. benzène 2. alcyne b. méthane 3. alcène c. acétylène d. éthylène


Précaution : le nombre de réponses doit être plus grand que le nombre de prémisses car s’il y a égalité un élève qui trouve 2 des 3 réponses, trouve la 3ème réponse sans réfléchir. Il faut utiliser le même vocabulaire dans chaque colonne (mots de même catégorie). Avantages : permettent de mesurer des connaissances de base (définitions, formules, ….)

permettent d’évaluer à quel point l’élève est capable d’intégrer ses connaissances, compte tenu que celles-ci se combinent entre elles de façon simple ou complexe.

Limites : ne permettent pas de mesurer la capacité à raisonner • Les questions à choix multiples (QCM)

Une seule réponse est correcte parmi les possibilités offertes à l’élève. Précaution : attribuer 50% de chance à la bonne réponse et les 50 autres % devant être répartis équitablement entre les réponses fausses. Si on a plusieurs questions, éviter de placer la bonne réponse au même endroit. Par exemple : l’unité de l’intensité du courant est

1. Le volt 2. L’ampère . L’ohm Avantages : l’élève mérite sa note ; la correction est facile ; ces questions permettent de mesurer une variété de connaissances. Limites : elles ne permettent pas de mesurer la capacité de l’élève à faire une synthèse ou une analyse.

• Les questions à réponse multiple. Plusieurs réponses sont correctes contrairement aux QCM. Exemple : La tension U aux bornes d’un résistor parcouru par un courant est :

R*I P/I P*I R*I2

Encercler la ou l(es) bonne(s) réponse(s). II-1-2.Les questions à production divergente (questions à réponse construite) Elles sont les plus utilisées en PC. L’élève répond en construisant ses propres phrases. Exemple : calculer, décrire, expliquer, interpréter, analyser, dégager les idées, justifier…. L’enseignant doit indiquer le temps de réponse pour chaque question ou pour chaque exercice pour que l’élève puisse planifier et organiser son temps. L’enseignant doit indiquer la note attribuée à chaque question pour aider l’élève équilibrer et organiser son temps. L’élève évitera ainsi à s’attarder sur les questions à peu de points et dont il ne connaît pas la réponse. Dans ces types de questions, la correction est personnelle et subjective ; elle peut varier d’un enseignant à un autre ou chez le même enseignant d’une période à une autre ; le matin l’enseignant peut être alerte et attentif et le soir il peut être affecté par la fatigue et être moins exigent. La question doit être posée dans un langage accessible aux élèves. Elle doit être comprise de la même façon par tous les élèves. Avantages : elles permettent à l’élève de s’exprimer librement et de manifester son originalité et son point de vue de façon créative. Limites : il y a manque de constance dans la correction des réponses ; la correction est fastidieuse et présente beaucoup de subjectivité. Le temps de correction est long. Après chaque épreuve écrite (devoir surveillé ou composition), l’enseignant doit calculer le taux de réussite pour chaque question . Taux de réussite p= R/T (R est le nombre d’élèves ayant répondu juste à la question ; T est le nombre d’élèves ayant répondu à la question.


Conseils pour la correction • Elaborer un modèle de réponse pour chaque question ; modèle souple et exhaustif pour

englober toutes les bonnes réponses possibles ; • corriger sans regarder les noms des élèves ; • corriger les réponses d’une même question pour tous les élèves pour augmenter

l’objectivité et la fidélité de la correction ; • ne pas être découragé par le nombre de copies • ne pas se laisser distraire par des influences extérieures telles que des problèmes

familiaux • être dans une ambiance morale et psychologique neutre et équilibrée ; • être constant dans la correction (analytique/holistique)

II-2. L’OBSERVATION : Elle est utilisée pour évaluer un savoir faire pratique L’ enseignant doit donner des consignes claires aux élèves et bien expliquer le travail à faire. On l’utilise en séance de TP (Travaux Pratiques). III LES CARACTERISTIQUES DE L’EVALUATION La pertinence : adéquation de l’objet par rapport à l’objectif visé : On se pose les questions suivantes : Est ce que je ne me trompe pas d’objectif pour remplir la fonction visée ? Est ce que je ne me trompe pas d’informations à recueillir ? La validité : adéquation de la stratégie. Mes critères permettent-ils de vérifier ce que je déclare vouloir vérifier ? La stratégie mise en place me donne t-elle toutes les garanties que l’information que je vais recueillir est bien celle que je déclare vouloir recueillir ? La fiabilité : qualité de la mise en œuvre de la stratégie. L’utilisation que je fais des stratégies est-elle la même pour tout le monde ? La façon de recueillir l’information est elle semblable d’une personne à l’autre, d’un endroit à l’autre, d’un moment à l’autre. IV. LES ETAPES DE CONSTRUCTION D’UN SUJET D’EXAMEN Tout enseignant qui prépare bien sa leçon et qui choisit des activités et des stratégies d’intervention facilitant l’apprentissage des élèves doit évaluer les objectifs à atteindre d’où l’importance de bien concevoir un examen et donc de connaître les différentes étapes que comporte l’élaboration d’un examen.

1. dresser la liste des objectifs spécifiques à atteindre à la fin de la période d’apprentissage ; pour être valide l’examen doit être bâti sur cette liste ;

2. identifier les objectifs de connaissance, de compréhension, d’application, d’analyse, de synthèse ;

3. faire un tableau de spécification à double entrée (voir page suivante); 4. proportionner l’effort consacré à chaque unité d’apprentissage/leçon/chapitre

(combien d’heures l’enseignant a consacré à chaque unité….) 5. Choisir le type de questions à poser (QRC, QCM…..) ; 6. choisir/construire les exercices en fixant le nombre et le timing 7. choisir un barème en tenant compte de l’effort fourni pour chaque unité

d’apprentissage et du niveau taxonomique . pondération recommandée pour un examen équilibré : pas plus de 10% pour la 1ère et la 2ème unité d’apprentissage et pour le reste pas plus de 40%.

Remarque. LES NOTES COMPOSITES


Généralement lors des évaluations (sous forme écrite) formatives et sommatives, les enseignants notent les élèves sans faire attention aux différentes questions réussies. Ces notes étant la somme de tous les points obtenus dans l’ensemble du sujet, sont appelées notes composites. Elles ne renseignent pas sur les compétences que l’élève à réussies ou échouées. L’enseignant lors de la confection de ses épreuves écrites doit dresser la liste des compétences traitées dans chaque chapitre concerné. Pour être valide (mesurer ce qu’il est censé mesurer) l’examen doit être bâti à partir de cette liste de compétences. Après l’enseignant peut préparer pour chaque classe un tableau de spécification. Un tableau de spécification permet à l’enseignement d’avoir des renseignements sur les compétences les mieux réussies et les non réussies par chaque élève afin de mieux conseiller l’élève sur ses forces et faiblesses. Dans ce tableau, l’enseignant doit mettre dans chaque colonne et pour chaque élève l’ensemble des points obtenus pour toutes les questions relatives à la connaissance, à la compréhension… COMPETENCES élèves Connaissance Compréhension Application Analyse synthèse Total

de points

E1 2/2 1/3 3/4 3/5 2/6 11/20 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 …….. Dans ce tableau, l’élève E1 a bien réussi les compétences : connaissance, application et analyse. Par contre il a des problèmes en compréhension et en synthèse. En plus du tableau de spécification qui informe l’enseignant sur les compétences réussies ou non par l’élève, la note d’un élève peut être interprétée autrement. Elle est d’abord comparée au critère qui est généralement 20. Elle peut être comparée à la moyenne de la classe (rapport entre la somme des notes des élèves et le nombre d’élèves). Elle peut donc être inférieure, supérieure ou égale à la moyenne de la classe. Pour un même élève, sa note peut être comparée à ses autres notes dans les devoirs antérieurs. On calcule alors le gain brut (la perte brute). Le gain brut est la différence des deux notes n2-n1 ; n2, n1 sont les notes de l’élève dans deux devoirs ; si cette différence est négative on a une perte brute. On peut aussi calculer le gain relatif G ou la perte relative P pour le même élève ou pour deux élèves. G= 100*

1

12

nM

nn

!

! : n2 est la note obtenue au deuxième devoir et n1 la note au premier devoir. M est la note maximale qui est généralement 20. Si 30%<= G<= 40% ; c’est acceptable ; Si 40%<G<= 60%, c’est bon ; Si G> 60%, excellent ; Ce rapport permet de comparer deux élèves qui sont dans la même classe pour voir quel est le meilleur des deux. La perte relative est par contre P = 100

1

12

n

nn ! . Ces calculs de gain et de perte permettent de mieux suivre un élève et de renseigner ses parents sur les progrès ou non de son enfant.


LE QUESTIONNEMENT ORAL ET LA RETROACTION (FEEDBACK°) A l’oral les questions sont généralement à production divergente. L’interrogation orale présente certains avantages qu’on ne retrouve pas à l’écrit : Le professeur peut

reformuler les questions ; s’assurer que la question posée est bien comprise ; mettre à l’épreuve le degré de profondeur de la compréhension manifestée par l’élève

sur un point de matière ; recueillir des informations sur les démarches de pensée développées par l’élève ; évaluer non seulement la maîtrise de la matière mais aussi les capacités de

communication orale de l’élève observer une large gamme de réactions des élèves suscitées par les questions posées

(stress, hésitation, précipitation, réflexion, intérêt…) ; Une des faiblesses majeures de l’oral est la subjectivité. En effet, les critères de l’évaluation orale ne sont pas précis

Un avantage que l’oral a sur l’écrit c’est la possibilité de donner un feedback approprié à l’élève, le feedback étant un message qu’on doit présenter à l’élève afin de l’informer de la qualité de sa réponse, et lorsque cette dernière n’est pas satisfaite, de l’aider à découvrir la réponse correcte. Il est regrettable que certains feedbacks soient réduits à des oui et à des non. Même si la réponse de l’élève est juste on doit lui expliquer en quoi sa réponse diffère de la bonne réponse, l’informer du degré de maîtrise de l’objectif. On peut classer les feedback en deux catégories : le feedback positif (feedback qui suit une réponse correcte) et le feedback négatif (feedback qui est fourni suite à une réponse incorrecte). Un feedback a un double rôle : informer et motiver. S’il est positif, il peut être personnalisé si on l’accompagne du nom de l’élève. Exemple : Très bien, Moussa, mes félicitations Ce genre de feedback ne renseigne pas l’élève sur l’écart de sa réponse à la bonne réponse. C’est un feedback générique. Le feedback négatif doit être informatif et ne doit pas être démotivant. Exemple : le nombre que tu as trouvé est exact, mais tu as oublié de préciser les unités ; Ta réponse est bonne mais dans le désordre. Eviter de dire à un élève : tu ne fais aucun effort Le feedback le plus informatif est celui qui permet à l’élève de comprendre en quoi il s’est trompé ou pourquoi il a répondu juste. Il serait donc plus intéressant de classer les feedback en feedback de confirmation et en feedback de redressement d’erreur. Le feedback de confirmation est proposé suite à une réponse jugée correcte afin d’informer l’élève de la pertinence de son activité. Le feedback de confirmation peut être :

générique : Exemple : OK, c’est bon ou, très bien, ta réponse est correcte. Ce genre de feedback ne fait pas référence au déroulement du processus d’apprentissage. Il est à éviter.

spécifique c’est à dire tenir compte dans sa formulation de la manière dont l’apprentissage s’est déroulé. Exemple : ta réponse est cette fois correcte, évite de répondre trop précipitamment la prochaine fois.

justifiée : dans ce cas en plus de l’aspect confirmatoire le feedback doit comporter un certain nombre d’informations complémentaires en vue de montrer à l’élève en quoi sa réponse est correcte.


Exemple Très bien, l’ohm étant des volt par ampère, la résistance du résistor est bien

R= IU

partielle lorsqu’il souligne la pertinence de la réponse tout en insistant sur le fait que

certains éléments, jugés secondaires par rapport à l’apprentissage à réaliser, présentent certains incorrections ou alors la réponse tout en restant correcte mérite d’être nuancée ou complétée. Exemple : Très bien la réponse est correcte, mais tel mot s’écrit…..

Le feedback de redressement d’erreur : il doit être centré sur l’erreur commise par l’élève. Il peut être :

générique : exemple : non tu t’es trompé ; il est à éviter car l’élève ne sait pas sur quoi il s’est trompé ; ce genre de feedback peut avoir un effet négatif sur la motivation des élèves. spécifique : il tient compte de l’erreur particulière commise par l’élève mais sans

nécessairement explorer tous les aspects erronés de la réponse discriminatif : il met ben évidence, de manière exhaustive, les différents éléments qui

distinguent la réponse fournie de la réponse attendue. Il fournit généralement à l’élève davantage d’éléments susceptibles de l’aider à faire évoluer sa réponse vers la réponse attendue.

Inducteur : il met l’erreur en évidence en faisant apparaître à l’élève l’incohérence de sa réponse ou du raisonnement qui a conduit à cette réponse.

Bibliographie DE KETELE, J.M. (1986). L’évaluation : approche descriptive ou prescriptive ? De Boeck Université DE LANDSHEERE , G (1984). Evaluation continue et examens. Précis de docimologie. Editions Labor. Education 2000. DAWOUD. M. (1995). Elaboration d’un examen de rendement scolaire. Techniques et procédures. Editions Nouvelles. ODILE, et VESLIN, J. (1992). Corriger des copies. Evaluer pour former. DEPOVER , C et al .(1994) La conception des logiciels éducatifs (titre provisoire). Inédit


Université Cheikh Anta Diop de Dakar Ecole Normale Supérieure

Département de Sciences Physiques

L’EVALUATION DES APPRENTISSAGES

Sémou Diouf


L’EVALUATION DES APPRENTISSAGES Elle peut être formelle ou informelle. Elle est formelle si elle est communiquée aux élèves ou aux parents d’élèves. Elle est informelle si elle n’est communiquée ni aux élèves ni aux parents d’élèves. Elle intéresse uniquement l’enseignant qui veut savoir si son acte didactique a porté ses fruits. C’est le cas de l’Indice de Différenciation Spécifique (IDS). L’EVALUATION FORMELLE Elle est sujette à un certain questionnement : Qu’est ce qu’évaluer ? Qui évalue ? Qui évaluer ? Quoi évaluer ? Pourquoi évaluer ? Pour qui évaluer ? Quand évaluer ? Comment évaluer ? Qui évalue ? C’est l’enseignant même si d’une manière non formelle il est évalué par les élèves. Qui évaluer ? lés élèves Quoi évaluer ? Les objectifs Pour qui évaluer ? l’administration en général Pourquoi évaluer ? pour prendre une décision (voir définition) Quand évaluer ? Avant apprentissage, pendant apprentissage, après apprentissage Comment évaluer ? En posant des questions oralement ou par écrit ou par l’observation I DEFINITION DE L’EVALUATION Qu’est ce qu’évaluer ? Evaluer : confronter un ensemble d’informations à un certain nombre de critères en vue de prendre une décision (J.M. Deketele, 1980) Trois mots clés dans la définition Informations : exemple : notes des élèves Critères : exemple : 10/20 Décision : exemple : admis, échec, redouble La décision à prendre dépend généralement du quand évaluer.

• Elle peut être une décision d’orientation : l’évaluation a lieu avant apprentissage L’évaluation est dite prédictive si elle sert à prédire les chances de réussite ou d’échec d’un apprenant. L’évaluation est dite diagnostique si elle permet d’identifier les lacunes, les forces, ou les faiblesses des apprenants avant d’aborder une unité d’apprentissage.

• La décision peut être une décision de régulation : l’évaluation a lieu pendant l’apprentissage

L’évaluation est alors formative si elle permet d’améliorer ou d’effectuer des remédiations. L’évaluation est formatrice si l’enseignant l’exploite pour agir sur les stratégies et les moyens (l’enseignant doit se remettre en cause). Généralement les enseignants ne régulent pas. Ils suivent le schéma classique Chapitre I TD Chapitre II TD, ceci quelque soit le degré de maîtrise des élèves. Or si les élèves éprouvent des difficultés, l’enseignant doit revenir au chapitre précédent. Les séances de TD peuvent être des moments de régulation.

• La décision peut être une décision de certification : l’évaluation a lieu à la fin de l’apprentissage

L’évaluation est dite sommative : elle est un bilan d’acquis Exemple : Les contrôles continus, les compositions sont des évaluations sommatives. Le BFEM, le BAC sont des évaluations sommatives et certificatives. Toute évaluation est sommative et doit être formatrice pour l’enseignant et pour l’élève.


Comment évaluer ? Cela pose la question du questionnement, donc les stratégies de recueil d’informations. II STRATEGIES DE RECUEIL D’INFORMATIONS Le questionnaire de contrôle de connaissance Ecrit : devoir surveillé, interrogation écrite, composition, examen, concours… Oral : test d’entrée (vérification de prérequis) L’observation : utilisée en travaux pratiques et lors des TP cours

L’évaluation doit être efficace : c’est à dire les compétences recherchées chez l’élève doivent correspondre aux compétences définies dans les objectifs. Il existe deux types de questions : Des questions à production convergente qui sollicitent une et une seule réponse considérée comme juste Des questions à production divergente demandent à chaque élève de fournir un effort personnel de composition d'une réponse originale. En raison du processus mental, on peut établir une correspondance entre D'une part les questions à production divergente et les questions ouvertes qui sont des questions à réponse construite par l'élève dans une démarche et un vocabulaire qui prouve qu'il a maîtrisé plus ou moins la matière, d'autre part les questions à production convergente et les questions fermées qui sont des questions à réponse choisie dans un ensemble de réponses proposées par l'auteur. II-1. LE QUESTIONNAIRE DE CONTROLE DE CONNAISSANCE

II-1-1.Les questions à production convergente (questions à réponse fermée) Elles sont peu utilisées en sciences physiques et pourtant présentent un avantage certain : une correction facile et objective. Ce sont :

• Les questions à réponse courte Exemple question directe : quelle est l’unité de la résistance d’un conducteur dans le SI ? Phrase à compléter (question à trou, phrase lacunaire ou phrase à indice): La résistance d’un conducteur s’exprime dans le SI, en ……………… Ces questions sont utilisées pour mesurer le rendement de l’élève, car elles mesurent plus le rappel que la récognition (reproduction), le rappel étant un processus mental plus actif que la récognition (Ebel et Frisbie,1991). Précaution à prendre : ne jamais créer deux espaces à compléter dans une seule question, tous les espaces vides (à compléter) doivent être en fin de phrase et avoir la même longueur qui ne doit pas être un indice de réponse)

• Les questions dichotomiques ou à deux choix (binary-choice question) Type vrai/faux ; oui/non ; (true/false) Ce type de question est à éviter car contient une grande part de hasard. L’élève peut deviner facilement la réponse correcte et obtenir 50% des points. Avantages : elles peuvent permettre à l’enseignant de couvrir une grande partie du contenu de son programme scolaire et d’évaluer une variété d’objectifs. Limites : Si l’élève répond faux il est difficile de savoir pourquoi il a commis une erreur. On peut réduire la part de hasard en notant en négatif quand c’est faux.

• Les questions à pairage (à appariement) Elles se présentent en deux colonnes. L’enseignant doit dire à l’élève comment il doit apparier. Exemple associer chiffre et lettre pour répondre ou mettre des flèches…. Colonne des prémisses colonne des réponses 1. alcanes a. benzène 2. alcyne b. méthane 3. alcène c. acétylène d. éthylène


Précaution : le nombre de réponses doit être plus grand que le nombre de prémisses car s’il y a égalité un élève qui trouve 2 des 3 réponses, trouve la 3ème réponse sans réfléchir. Il faut utiliser le même vocabulaire dans chaque colonne (mots de même catégorie). Avantages : permettent de mesurer des connaissances de base (définitions, formules, ….)

permettent d’évaluer à quel point l’élève est capable d’intégrer ses connaissances, compte tenu que celles-ci se combinent entre elles de façon simple ou complexe.

Limites : ne permettent pas de mesurer la capacité à raisonner • Les questions à choix multiples (QCM)

Une seule réponse est correcte parmi les possibilités offertes à l’élève. Précaution : attribuer 50% de chance à la bonne réponse et les 50 autres % devant être répartis équitablement entre les réponses fausses. Si on a plusieurs questions, éviter de placer la bonne réponse au même endroit. Par exemple : l’unité de l’intensité du courant est

1. Le volt 2. L’ampère . L’ohm Avantages : l’élève mérite sa note ; la correction est facile ; ces questions permettent de mesurer une variété de connaissances. Limites : elles ne permettent pas de mesurer la capacité de l’élève à faire une synthèse ou une analyse.

• Les questions à réponse multiple. Plusieurs réponses sont correctes contrairement aux QCM. Exemple : La tension U aux bornes d’un résistor parcouru par un courant est :

R*I P/I P*I R*I2

Encercler la ou l(es) bonne(s) réponse(s). II-1-2.Les questions à production divergente (questions à réponse construite) Elles sont les plus utilisées en PC. L’élève répond en construisant ses propres phrases. Exemple : calculer, décrire, expliquer, interpréter, analyser, dégager les idées, justifier…. L’enseignant doit indiquer le temps de réponse pour chaque question ou pour chaque exercice pour que l’élève puisse planifier et organiser son temps. L’enseignant doit indiquer la note attribuée à chaque question pour aider l’élève équilibrer et organiser son temps. L’élève évitera ainsi à s’attarder sur les questions à peu de points et dont il ne connaît pas la réponse. Dans ces types de questions, la correction est personnelle et subjective ; elle peut varier d’un enseignant à un autre ou chez le même enseignant d’une période à une autre ; le matin l’enseignant peut être alerte et attentif et le soir il peut être affecté par la fatigue et être moins exigent. La question doit être posée dans un langage accessible aux élèves. Elle doit être comprise de la même façon par tous les élèves. Avantages : elles permettent à l’élève de s’exprimer librement et de manifester son originalité et son point de vue de façon créative. Limites : il y a manque de constance dans la correction des réponses ; la correction est fastidieuse et présente beaucoup de subjectivité. Le temps de correction est long. Après chaque épreuve écrite (devoir surveillé ou composition), l’enseignant doit calculer le taux de réussite pour chaque question . Taux de réussite p= R/T (R est le nombre d’élèves ayant répondu juste à la question ; T est le nombre d’élèves ayant répondu à la question.


Conseils pour la correction • Elaborer un modèle de réponse pour chaque question ; modèle souple et exhaustif pour

englober toutes les bonnes réponses possibles ; • corriger sans regarder les noms des élèves ; • corriger les réponses d’une même question pour tous les élèves pour augmenter

l’objectivité et la fidélité de la correction ; • ne pas être découragé par le nombre de copies • ne pas se laisser distraire par des influences extérieures telles que des problèmes

familiaux • être dans une ambiance morale et psychologique neutre et équilibrée ; • être constant dans la correction (analytique/holistique)

II-2. L’OBSERVATION : Elle est utilisée pour évaluer un savoir faire pratique L’ enseignant doit donner des consignes claires aux élèves et bien expliquer le travail à faire. On l’utilise en séance de TP (Travaux Pratiques). III LES CARACTERISTIQUES DE L’EVALUATION La pertinence : adéquation de l’objet par rapport à l’objectif visé : On se pose les questions suivantes : Est ce que je ne me trompe pas d’objectif pour remplir la fonction visée ? Est ce que je ne me trompe pas d’informations à recueillir ? La validité : adéquation de la stratégie. Mes critères permettent-ils de vérifier ce que je déclare vouloir vérifier ? La stratégie mise en place me donne t-elle toutes les garanties que l’information que je vais recueillir est bien celle que je déclare vouloir recueillir ? La fiabilité : qualité de la mise en œuvre de la stratégie. L’utilisation que je fais des stratégies est-elle la même pour tout le monde ? La façon de recueillir l’information est elle semblable d’une personne à l’autre, d’un endroit à l’autre, d’un moment à l’autre. IV. LES ETAPES DE CONSTRUCTION D’UN SUJET D’EXAMEN Tout enseignant qui prépare bien sa leçon et qui choisit des activités et des stratégies d’intervention facilitant l’apprentissage des élèves doit évaluer les objectifs à atteindre d’où l’importance de bien concevoir un examen et donc de connaître les différentes étapes que comporte l’élaboration d’un examen.

1. dresser la liste des objectifs spécifiques à atteindre à la fin de la période d’apprentissage ; pour être valide l’examen doit être bâti sur cette liste ;

2. identifier les objectifs de connaissance, de compréhension, d’application, d’analyse, de synthèse ;

3. faire un tableau de spécification à double entrée (voir page suivante); 4. proportionner l’effort consacré à chaque unité d’apprentissage/leçon/chapitre

(combien d’heures l’enseignant a consacré à chaque unité….) 5. Choisir le type de questions à poser (QRC, QCM…..) ; 6. choisir/construire les exercices en fixant le nombre et le timing 7. choisir un barème en tenant compte de l’effort fourni pour chaque unité

d’apprentissage et du niveau taxonomique . pondération recommandée pour un examen équilibré : pas plus de 10% pour la 1ère et la 2ème unité d’apprentissage et pour le reste pas plus de 40%.


Remarque. LES NOTES COMPOSITES Généralement lors des évaluations (sous forme écrite) formatives et sommatives, les enseignants notent les élèves sans faire attention aux différentes questions réussies. Ces notes étant la somme de tous les points obtenus dans l’ensemble du sujet, sont appelées notes composites. Elles ne renseignent pas sur les compétences que l’élève à réussies ou échouées. L’enseignant lors de la confection de ses épreuves écrites doit dresser la liste des compétences traitées dans chaque chapitre concerné. Pour être valide (mesurer ce qu’il est censé mesurer) l’examen doit être bâti à partir de cette liste de compétences. Après l’enseignant peut préparer pour chaque classe un tableau de spécification. Un tableau de spécification permet à l’enseignement d’avoir des renseignements sur les compétences les mieux réussies et les non réussies par chaque élève afin de mieux conseiller l’élève sur ses forces et faiblesses. Dans ce tableau, l’enseignant doit mettre dans chaque colonne et pour chaque élève l’ensemble des points obtenus pour toutes les questions relatives à la connaissance, à la compréhension… COMPETENCES élèves Connaissance Compréhension Application Analyse synthèse Total

de points

E1 2/2 1/3 3/4 3/5 2/6 11/20 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 …….. Dans ce tableau, l’élève E1 a bien réussi les compétences : connaissance, application et analyse. Par contre il a des problèmes en compréhension et en synthèse. En plus du tableau de spécification qui informe l’enseignant sur les compétences réussies ou non par l’élève, la note d’un élève peut être interprétée autrement. Elle est d’abord comparée au critère qui est généralement 20. Elle peut être comparée à la moyenne de la classe (rapport entre la somme des notes des élèves et le nombre d’élèves). Elle peut donc être inférieure, supérieure ou égale à la moyenne de la classe. Pour un même élève, sa note peut être comparée à ses autres notes dans les devoirs antérieurs. On calcule alors le gain brut (la perte brute). Le gain brut est la différence des deux notes n2-n1 ; n2, n1 sont les notes de l’élève dans deux devoirs ; si cette différence est négative on a une perte brute. On peut aussi calculer le gain relatif G ou la perte relative P pour le même élève ou pour deux élèves. G= 100*

1

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nM

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!

! : n2 est la note obtenue au deuxième devoir et n1 la note au premier devoir. M est la note maximale qui est généralement 20. Si 30%<= G<= 40% ; c’est acceptable ; Si 40%<G<= 60%, c’est bon ; Si G> 60%, excellent ; Ce rapport permet de comparer deux élèves qui sont dans la même classe pour voir quel est le meilleur des deux. La perte relative est par contre P = 100

1

12

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nn ! .


Ces calculs de gain et de perte permettent de mieux suivre un élève et de renseigner ses parents sur les progrès ou non de son enfant. LE QUESTIONNEMENT ORAL ET LA RETROACTION (FEEDBACK°) A l’oral les questions sont généralement à production divergente. L’interrogation orale présente certains avantages qu’on ne retrouve pas à l’écrit : Le professeur peut

reformuler les questions ; s’assurer que la question posée est bien comprise ; mettre à l’épreuve le degré de profondeur de la compréhension manifestée par l’élève

sur un point de matière ; recueillir des informations sur les démarches de pensée développées par l’élève ; évaluer non seulement la maîtrise de la matière mais aussi les capacités de

communication orale de l’élève observer une large gamme de réactions des élèves suscitées par les questions posées

(stress, hésitation, précipitation, réflexion, intérêt…) ; Une des faiblesses majeures de l’oral est la subjectivité. En effet, les critères de l’évaluation orale ne sont pas précis

Un avantage que l’oral a sur l’écrit c’est la possibilité de donner un feedback approprié à l’élève, le feedback étant un message qu’on doit présenter à l’élève afin de l’informer de la qualité de sa réponse, et lorsque cette dernière n’est pas satisfaite, de l’aider à découvrir la réponse correcte. Il est regrettable que certains feedback soient réduits à des oui et à des non. Même si la réponse de l’élève est juste on doit lui expliquer en quoi sa réponse diffère de la bonne réponse, l’informer du degré de maîtrise de l’objectif. On peut classer les feedback en deux catégories : le feedback positif (feedback qui suit une réponse correcte) et le feedback négatif (feedback qui est fourni suite à une réponse incorrecte). Un feedback a un double rôle : informer et motiver. S’il est positif, il peut être personnalisé si on l’accompagne du nom de l’élève. Exemple : Très bien, Moussa, mes félicitations Ce genre de feedback ne renseigne pas l’élève sur l’écart de sa réponse à la bonne réponse. C’est un feedback générique. Le feedback négatif doit être informatif et ne doit pas être démotivant. Exemple : le nombre que tu as trouvé est exact, mais tu as oublié de préciser les unités ; Ta réponse est bonne mais dans le désordre. Eviter de dire à un élève : tu ne fais aucun effort Le feedback le plus informatif est celui qui permet à l’élève de comprendre en quoi il s’est trompé ou pourquoi il a répondu juste. Il serait donc plus intéressant de classer les feedback en feedback de confirmation et en feedback de redressement d’erreur. Le feedback de confirmation est proposé suite à une réponse jugée correcte afin d’informer l’élève de la pertinence de son activité. Le feedback de confirmation peut être :

générique : Exemple : OK, c’est bon ou, très bien, ta réponse est correcte. Ce genre de feedback ne fait pas référence au déroulement du processus d’apprentissage. Il est à éviter.

spécifique c’est à dire tenir compte dans sa formulation de la manière dont l’apprentissage s’est déroulé. Exemple : ta réponse est cette fois correcte, évite de répondre trop précipitamment la prochaine fois.


justifiée : dans ce cas en plus de l’aspect confirmatoire le feedback doit comporter un certain nombre d’informations complémentaires en vue de montrer à l’élève en quoi sa réponse est correcte. Exemple Très bien, l’ohm étant des volt par ampère, la résistance du résistor est bien

R= IU

partielle lorsqu’il souligne la pertinence de la réponse tout en insistant sur le fait que

certains éléments, jugés secondaires par rapport à l’apprentissage à réaliser, présentent certains incorrections ou alors la réponse tout en restant correcte mérite d’être nuancée ou complétée. Exemple : Très bien la réponse est correcte, mais tel mot s’écrit…..

Le feedback de redressement d’erreur : il doit être centré sur l’erreur commise par l’élève. Il peut être :

générique : exemple : non tu t’es trompé ; il est à éviter car l’élève ne sait pas sur quoi il s’est trompé ; ce genre de feedback peut avoir un effet négatif sur la motivation des élèves. spécifique : il tient compte de l’erreur particulière commise par l’élève mais sans

nécessairement explorer tous les aspects erronés de la réponse discriminatif : il met ben évidence, de manière exhaustive, les différents éléments qui

distinguent la réponse fournie de la réponse attendue. Il fournit généralement à l’élève davantage d’éléments susceptibles de l’aider à faire évoluer sa réponse vers la réponse attendue.

Inducteur : il met l’erreur en évidence en faisant apparaître à l’élève l’incohérence de sa réponse ou du raisonnement qui a conduit à cette réponse.

Bibliographie DE KETELE, J.M. (1986). L’évaluation : approche descriptive ou prescriptive ? De Boeck Université DE LANDSHEERE , G (1984). Evaluation continue et examens. Précis de docimologie. Editions Labor. Education 2000. DAWOUD. M. (1995). Elaboration d’un examen de rendement scolaire. Techniques et procédures. Editions Nouvelles. ODILE, et VESLIN, J. (1992). Corriger des copies. Evaluer pour former. DEPOVER , C et al .(1994) La conception des logiciels éducatifs (titre provisoire). Inédit

Lect u r es Lec t u r es

s upp l ém ent a i r ess upp l ém ent a i r es 11

1 Selon l’auteur du module, les lectures obligatoires respectent le droit d’auteur et ne contreviennent en aucun cas au copyright.

Chapitre 4 SYSTEMES CENTRÉS DIOPTRIQUES

4.1 GÉNÉRALITÉS

4.1.1 DÉFINITION - CONDITIONS DE L’ÉTUDE

Un système centré dioptrique est constitué par des suites de milieux transparents, séparés par des dioptres (plans ou sphériques): les centres des faces sont alignés sur un même axe qui constitue l’axe optique ou axe principal du système.

Dès qu'un système centré comporte plus d'un dioptre il est, en général, impossible d'obtenir un système rigoureusement stigmatique.

Aussi notre étude des systèmes centrés sera réalisée dans les conditions de l’approximation de GAUSS, c'est à dire: - les objets sont plans, perpendiculaires à l'axe et de petites dimensions (aplanétisme) et les images sont planes et perpendiculaires à l'axe. - les rayons lumineux sont peu inclinés par rapport à l'axe du système (approximation de Gauss)

Si ces conditions sont satisfaites, à un point OBJET correspond un point IMAGE ; un élément d’un plan de front admet une autre portion d’un autre plan de front comme image à travers le système : les deux plans sont des plans conjugués.

4.1.2 CORRESPONDANCE OBJET - IMAGE : RELATION DE LAGRANGE HELMHOLTZ

L’unicité de la correspondance objet - image se met facilement en évidence dans les conditions de l’approximation de GAUSS :

- le dioptre D1 séparant les milieux d’indice n0 = n et n1 donne de l’objet A une image A1 qui sert d’objet pour le dioptre D2. - le dioptre D2 séparant les milieux d’indice n1et n2 donne de l’objet A1 une image A2 qui sert d’objet pour le dioptre D3. - ... - le dioptre Di séparant les milieux d’indice ni-1 et ni donne de l’objet Ai-1 une image Ai qui sert d’objet pour le dioptre Di+1. - ... - finalement, le dioptre Dp séparant les milieux d’indice np-1 et np = n' donne de l’objet Ap-1 une image A' qui est unique.

Les rôles de A et A' peuvent être échangés par application du principe de retour inverse de la lumière. A et A' sont des points conjugués. Leur correspondance est biunivoque pour un système donné.

Après un choix convenable des origines on pourra donc toujours établir une relation de position biunivoque entre A et A'.

Figure 4- 1 L’établissement d’une relation de grandeur est immédiat : pour chacun des dioptres constituant le système étudié, lorsque les conditions de l’approximation de GAUSS sont satisfaites, un rayon passant par A passera successivement par les points A1, A2, Ap et A' en vérifiant pour chacun des dioptres traversés la relation de Lagrange-Helmholtz:

!""""=!==!==!=!=! .BA.n.BA.n....BA.n....BA.n.BA.n.AB.n ppppiiii22221111

C’est la relation de LAGRANGE-HELMHOLTZ pour le système étudié où n et n' sont les indices des milieux respectivement à l’entrée et à la sortie du système centré. AB et A'B' sont les mesures algébriques des dimensions correspondantes de l’objet et de l’image. Enfin, le rayon incident fait l’angle ! avec l’axe principal en A et !"est l’angle que fait en A' le rayon émergent avec l’axe principal :

!""""=! .BA.n.AB.n

4.2 ÉLÉMENTS CARDINAUX

4.2.1 INTÉRÊT DES ÉLÉMENTS CARDINAUX

Pour certains systèmes centrés simples comme les lentilles, on peut déterminer la position et la dimension de l’image A'B' d’un objet AB en considérant l’action successive de chacun des dioptres. Mais, plus souvent, on a intérêt à utiliser des points ou des plans possédant des propriétés particulières permettant de construire de façon simple, certains rayons réfractés. Ces points et ces plans constituent les éléments cardinaux du système.

Il faut bien remarquer que pour déterminer la position des éléments cardinaux on a besoin de connaître de façon très précise la géométrie (positions des centres et des sommets) et la composition (valeurs des indices des différents milieux) du système. En revanche, une fois ces éléments déterminés, toutes les études ultérieures pourront être effectuées très simplement sans avoir à connaître la structure physique du système centré, en utilisant sa représentation à l’aide de ses éléments cardinaux.

4.2.2 FOYERS ET PLANS FOCAUX

Par définition, si le point objet est à l’infini sur l’axe, son conjugué est le foyer principal image F '. Un faisceau cylindrique incident parallèle à l'axe optique convergera au point F' foyer principal image du système centré et conjugué d'un point source objet situé à l'infini sur l'axe.

Par définition, le point objet F sur l’axe ayant pour conjugué le point image à l’infini sur l’axe est le foyer principal objet F; dans ce cas un faisceau de rayons lumineux, issus de F, émergera du système en un faisceau de rayons parallèles entre eux et à l'axe optique.

Pour un système, le foyer principal image et le foyer principal objet sont uniques.

Figure 4- 2

N.B.il convient de bien remarquer que les deux foyers ne sont pas les conjugués l’un de l’autre : l’expérience montre que cette erreur est souvent commise.

Le plan de front passant par F est appelé plan focal objet et admet comme conjugué le plan situé à l'infini. De même le plan de front passant par F' sera appelé plan focal image et constituera le conjugué d'un plan objet situé à l'infini.

Si les foyers objet et image sont à distance finie on dira que le système est à foyers, tandis que s'ils sont rejetés à l'infini le système sera dit afocal.

4.2.3 PLANS PRINCIPAUX

Figure 4- 3 Si, comme sur la figure 4-3, les foyers F et F' sont à distance finie, un incident SI, parallèle à l’axe, émerge suivant I'F'. Considérons l’incident FJ tel que l’émergent correspondant a même support que SI. Les points de rencontre K des incidents choisis et K' des émergents correspondants sont conjugués et existent à distance finie. Ce résultat est valable pour tous les couples de points voisins de l’axe des plans de front P et P' passant par K et K' tels que KH = K'H'.

On remarque que le grandissement pour les plans P et P' est égal à 1 : ces deux plans sont par définition les plans principaux.

LES PLANS PRINCIPAUX SONT DEUX PLANS DE FRONT CONJUGUÉS : LE PLAN PRINCIPAL OBJET (P) ET LE PLAN PRINCIPAL IMAGE (P’) POUR LESQUELS LE GRANDISSEMENT LINÉAIRE EST ÉGAL A 1.

Les points H et H' sont les points principaux de l’axe du système centré. Par définition la distance HH' caractérise l’interstice du système

Propriétés : - Le plan principal image P’ est le lieu des points K' intersection des incidents parallèles à l'axe et des émergents correspondants passant par F’. - Le plan principal objet P est le lieu des points K intersections des incidents passant par F et des émergents correspondants parallèles à l'axe.

4.2.4 DISTANCES FOCALES

La distance focale objet est par définition la mesure algébrique HF , parfois notée HFf = .

La distance focale image est par définition la mesure algébrique FH !! , parfois notée FHf !!=!

Figure 4- 4

Sur la figure 4- 4 le système est représenté par ses foyers et ses plans principaux : n est l’indice du milieu que voit la face d’entrée et n' l’indice du milieu que voit la face de sortie.

Tous les rayons issus d’un point du plan focal objet émergent parallèles entre eux et donc à K' F '. Si on applique la relation de LAGRANGE HELMHOLTZ à l’objet HK et à son image H' K', on a :

!""=!!""""=! .n.n:casnotredanssoit.KH.n.HK.n

Par ailleurs, dans les conditions de l’approximation de GAUSS :

0et0FH,0KHavec)(FHtanFHKHHK

0etHF,0HKavec.HFtanHFHK

<!">"">""!"#""$!"""#=""=

<!>!$!=

soit finalement : !"""#=! .FH.HF En utilisant ce résultat et la relation de Lagrange Helmholtz, il vient :

n

n

HF

FH !"=

!! (4.1)

Dans un système dioptrique, les distances focales sont toujours de signes contraires et leur rapport est celui des indices des milieux extrêmes changé de signe. Comme pour les dioptres on définit la vergence V du système :

HF

n

FH

nV !=

""

"= (4.2)

La vergence se mesure en dioptries. Par définition, la dioptrie est la vergence d’un système optique de distance focale 1 mètre dans un milieu d’indice 1.

Le sens positif le long de l'axe étant pris selon le sens de propagation de la lumière, lorsque la vergence sera positive le système sera convergent alors qu'il sera divergent pour une vergence négative.

4.2.5 APPLICATIONS AUX CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES

Construction de l’émergent correspondant à un incident donné

Figure 4- 5

On considère le rayon incident (figure 4-5 et 4-6) qui coupe le plan principal objet en K : l’émergent correspondant passe par le conjugué K' qui appartient au plan principal image: on connaît alors un point du support du rayon émergent et il reste seulement à déterminer sa direction par l’une des deux méthodes décrites ci-après :

a. Soit on considère le foyer secondaire objet ! intersection de l’incident initial avec le plan focal objet. Par définition du plan focal objet, tous les rayons incidents passant par ! et parallèle à l’axe coupe les plans principaux P et P’ en G et G’ et convergent au foyer principal image F'. Par suite l’émergent cherché est la parallèle à G'F' passant par K' figure 4-5.

b. Soit on trace FJ parallèle à l’incident initial. Au rayon FJ qui est issu du foyer objet F correspond un émergent, parallèle à l’axe, qui coupe le plan focal image en !" . Par définition du plan focal image, tous les rayons incidents parallèles à FJ convergent au foyer secondaire image !" et par suite l’émergent cherché est !""K figure 4-6.

Figure 4- 6

Construction de l’image d’un objet AB

Figure 4- 7

L’aplanétisme étant réalisé dans les conditions de l’approximation de GAUSS, L'objet AB étant dans un plan de front son image est également dans un plan de front comme A est sur l’axe, il suffit de construire l’image du point B. On l’obtient en construisant les émergents correspondants à deux incidents particuliers issus de B : Un rayon incident BI parallèle à l'axe émerge suivant I'F' en passant par le foyer image F' et un rayon incident BJ passant par le foyer objet émerge parallèlement à l'axe principal suivant J'B'. L'intersection des deux rayons émergents définit le point image B' et l'on en déduit l'image A'B'. L’image A' de A est le point de l’axe dans le plan de front passant par B' figure 4-7.

Figure 4- 8

Si l'objet AB est dans le plan focal objet alors l'image est rejetée à l'infini avec A' dans la direction de l'axe et B' dans la direction I'F'. Le rayon incident BH émerge à partir de H' (conjugué de H) suivant un rayon parallèle à I'F' figure 4-8. On rencontre ce cas de figure dans les instruments d'optique tels la loupe ou le microscope quand ils sont réglés pour une vision à l'infini.

L'objet AB est alors vu sous le diamètre apparent:f

AB

FH

HI

!"=

!!

!!=#!

4.2.6 POINTS NODAUX

LES POINTS NODAUX N ET N’ SONT DEUX POINTS CONJUGUES, SITUES SUR L’AXE, TELS QU’A TOUT RAYON INCIDENT PASSANT PAR LE POINT NODAL OBJET N, CORRESPOND UN RAYON ÉMERGENT PASSANT PAR LE POINT NODAL IMAGE N’ ET PARALLÈLE AU RAYON INCIDENT.

Figure 4- 9

Pour construire les points nodaux à partir des éléments cardinaux déjà connus on procède comme l’indique la figure 4-9 :

Le rayon incident G! , issu du foyer secondaire objet ! parallèle à l’axe, émerge suivant un rayon qui passe par le foyer image F' du système. Tous les

rayons émergents, correspondant à des incidents issus de ! , seront parallèles à G'F' : en particulier, au rayon incident J! parallèle à G'F' et coupant l'axe au point nodal objet N, correspondra l'émergent J'N' parallèle à G'F', donc à J! , qui coupe l'axe en N' point nodal image. Sur la figure 4-9 on voit que les triangles FHGetNF !!!" sont égaux donc :

fFHFN !=!!= (4.3)

De même les triangles JNHetHNJ !!! sont égaux d’où : fHFHNNFNHHFNF ==+=!!+!!=!!

fHFNF ==!! (4.4) On en déduit alors :

ffNHFHNFFNHFHN !+=!!=!!+!!=+= (4.5)

Remarque: si les milieux extrêmes sont identiques alors en vertu de la relation 4-2 on a f = - f ' et les points nodaux sont confondus avec les points principaux.

Par ailleurs dans le parallélogramme NN'J'J les côtés opposés NN' et JJ' sont égaux. Comme de plus JJ' = HH' on en déduit que la distance des points nodaux est égale à l’interstice du système :

HHJJNN !=!=! (4.6)

4.2.7 REDUCTION D’UN SYSTEME CENTRE A UN DIOPTRE SPHÉRIQUE

Un système centré dioptrique est complètement déterminé par la connaissance de ses éléments cardinaux. Compte tenu des relations qui les relient, il suffit de connaître les foyers et les points principaux ou les foyers et les points nodaux.

Le système avec foyers à distance finie le plus simple est le dioptre sphérique. En utilisant les définitions on peut voir que, dans ce cas, les plans principaux sont confondus avec le plan tangent au sommet : H et H' sont en S. Les points nodaux sont confondus avec le centre C.

On retrouve ces résultats en utilisant les relations 3.2 et 3.3 du Chapitre 3 et à l’aide de la relation 4.5. En effet :

SCffHN)33(nn

SCnSFfet)23(

nn

SCnSFf

12

11

12

22 =!+="#

#

#==#

#==! (4.7)

4.3 FORMULES DES SYSTÈMES CENTRÉS

4.3.1 FORMULES DE CONJUGAISON

Origines aux points principaux

On repère la position de l’objet A par rapport au point principal objet H à l’aide de HA et la position de l’image A' par rapport au point principal H' à l’aide de H' A' .

On pose alors : fFH,fHF,pAH,pHA !=!!=!=!!=

Figure 4- 10

Sur la figure 4-10, les triangles LHF et LKB, d’une part, et les triangles K'H'F' et K'L'B’, d’autre part, sont semblables. On a donc :

p

f

AH

FH

LK

HK

KL

KHet

p

f

HA

HF

KB

HF

LK

LH

!

!=!!

!!==

!!

!!===

En ajoutant les deux égalités membre à membre il vient :

p

f

p

f

AH

FH

HA

HF1

LK

HKLH

KL

KH

LK

LH

!

!+=

!!

!!+==

+=

!!

!!+

1p

f

p

f

AH

FH

HA

HF=!

!+=

!!

!!+ (4.8)

D’après 4.1 Vf

n

f

n

HF

n

FH

n

n

n

HF

FH=!=

"

"=!=

""

"#

"!=

"" Ainsi en multipliant la

relation 4.8 par cette égalité il vient la relation importante entre vergence, distance focale et indice des milieux :

Vf

n

f

n

p

n

p

n

HF

n

FH

n

AH

n

HA

n=!=

"

"=!

"

"=!=

""

"=""

"+! (4.9)

Origines aux foyers : Formules de NEWTON

On repère la position de l’objet par FA et la position de l’image par F'A'. On voit sur la figure 4-10 les triangles FAB et FHL, d’une part, F'H'K' et F'A'B', d’autre

part, sont semblables. On en déduit : BA

AB

BA

KH

AF

HFet

BA

AB

HL

AB

FH

FA

!!=!!

!!=!!

!!

!!==

D’où on tire la relation de conjugaison : FH.HFAF.FA !!=!! (4.10)

et les expressions du grandissement linéaire:

FH

AF

FA

HF

HF

AF

FA

FH

AB

BA

!!

!!"="=

!!

!!==

!!=# (4.11)

Puisque HF et H'F' sont de signes contraires, il en est de même pour FA et F'A'. Par ailleurs, à chaque valeur du grandissement, correspond une seule position de l’objet.

4.3.2 AUTRES RELATIONS

Comme pour le dioptre sphérique par définition G=1

2

!

! est le rapport de

convergence et )SA(d

)SA(dg

1

2= le grandissement axial.

De la relation de LAGRANGE HELMHOLTZ, BAnABn !!"!!=" on tire :

n

nG.

n

n

AB

BA

!="#

!=

$

$!!! (4.12)

Soient A et A' deux points conjugués et AC un petit déplacement de l’objet le long de l’axe. Le déplacement correspondant de l’image est A'C'.

Figure 4- 11

Si, comme le montre la figure 4- 11, I'C' est le rayon émergent correspondant à l’incident CI, et A' B' est l’image de AB. On voit que :

CA

AC

AB

BACAABetACBA

!!"

#

#!=!!

$#=!!#!=!!

Si le déplacement AC est assez petit on peut confondre les valeurs de g et CA

AC !!,

gG !=" (4.13)

De la relation ci-dessus, en remplaçant G par sa valeur tirée de la relation 4.12,

on voit que 2

n

ng !

"= est toujours positif. On peut donc conclure :

POUR LES SYSTÈMES CENTRÉS DIOPTRIQUES L’OBJET ET L’IMAGE SE DEPLACENT TOUJOURS DANS LE MÊME SENS.

4.3.3 CAS PARTICULIER: MILIEUX EXTRÊMES IDENTIQUES

Ce cas particulier est très important dans la pratique puisqu’il correspond à tous les systèmes optiques usuels [lentilles, loupes, microscopes (sauf cas du microscope à immersion) lunettes astronomiques, terrestres, etc. ] dont les faces d’entrée et de sortie baignent dans l’air. Si n = n' on a d’après la relation 4.9

ffHFFH !="=!="" . Posons alors FH !!=" la distance focale du système on obtient les résultats suivants où les formules les plus utilisées sont :

- Formules de conjugaison de 4.9 et 4.10 : 2AFFAet

1

AH

1

HA

1!"=##$

!=##

+"

- Grandissement, des relations de NEWTON 4.11 donnent :

FAHA

AF

HF

AF

FA

AFAH

FA

FH

FH

AF

FA

HF

AB

BA

!

""=""

=""!""

=""

=""

""!=!=

""=#

d’où, on tire - en sommant les numérateurs et les dénominateurs de la quatrième et de la dernière expression ci-dessus - une nouvelle forme très utile du grandissement :

HA

AH !!="

- Eléments cardinaux : de 4.5 on a 0ffNHFHNFFNHFHN =!+=!!=!!+!!=+= Ainsi, les points nodaux sont confondus avec les points principaux.

- 2g != : le grandissement axial est le carré du grandissement linéaire.

4.4 ASSOCIATION DE DEUX SYSTÈMES CENTRÉS

On cherche à déterminer les éléments cardinaux d’un nouveau système constitué par l’association de deux systèmes dont les éléments cardinaux sont connus. Avec les notations habituelles (H et H', F et F') on caractérise les éléments du premier système par l’indice 1 et ceux du second système par l’indice 2. Les lettres sans indice désignent des éléments du système complet.

n et n' sont les indices des milieux d’entrée et de sortie du système complet ; N est l’indice du milieu qui sépare les deux systèmes. La face d’entrée du système (1) baigne donc dans le milieu d’indice n tandis que sa face de sortie voit le milieu d’indice N. Pour le système (2) c’est le milieu d’indice N qui est en contact avec la face d’entrée tandis que la face de sortie baigne dans le milieu d’indice n'.

La position du second système par rapport au premier est définie si on se donne

21HHe != qui donne la ”distance” entre le plan principal image du premier

système et le plan principal objet du second.

4.4.1 CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE DES FOYERS ET DES PLANS PRINCIPAUX

Figure 4- 12 A partir de la figure 4-12 a : Un rayon incident sur le premier système parallèle à l'axe du système émergera de celui-ci en passant par le foyer image F'1. Le foyer image F' de l'ensemble des deux systèmes ne sera autre que l'image de F'1 à travers le deuxième système. Pour définir F’ considérons l’émergent F’1I2 il coupe la normale à l’axe passant par F2 en Q2. Si on considère un incident passant par Q2 et parallèle à l’axe pour le deuxième système il émergera de celui-ci en passant par le foyer image F’2. Ainsi, F’ est l’intersection de l’axe du système avec la droite passant par I’2 et parallèle à G’2F’2. On définit le plan principal image du système comme étant le lieu des points d'intersection entre un rayon incident parallèle à l'axe du système et le rayon émergent correspondant. C'est donc le lieu des points K', intersection du rayon incident parallèle à l’axe du premier système et le rayon émergent I’2F’, dont la projection sur l'axe est H' qui constitue le point principal image. A partir de la figure 4-12 b : Si l'on veut que le rayon émergent du second système soit parallèle à l'axe il faut que l'incident sur le deuxième système passe par le foyer objet F2. Le foyer objet F de l'ensemble des deux systèmes sera donc défini comme étant l'image de F2 à travers le premier système. En vertu du principe de retour inverse de la lumière on peut définir F, K et H de la même façon que précédemment.


Le foyer image F’ de l’ensemble (1) + (2) est donc l’image du foyer image F’1 du système (1) à travers le système (2). Par application de la formule de conjugaison de NEWTON on trouve :

22212ffFFFF !=!!"! (4.14)

Le foyer objet F de l’ensemble a pour image, à travers le système (1), le foyer objet F2 du système (2). On trouve alors :

11211ffFFFF !=!" (4.15)

Les positions des foyers se déduisent des relations précédentes.

N.B. On trouve parfois désignée par le nom de”’ intervalle optique ” la quantité 21FF!

qui caractérise aussi la position du système (2) par rapport au système (1). On a en effet :

2122211121fefFHHHHFFF ++!"=+!+!!=! (4.16)

4.4.3 CALCUL DES DISTANCES FOCALES

Pour calculer la distance focale image f' on considère, à l’aide de la figure 4- 12 a, les égalités résultant de la similitude des triangles H’K’F’ et H’2G’2F’2 d’une part et H’1I’1F’1 et F2Q2F’1 d’autre part, il vient :

partautre'dFF

FH

QF

IHet,partune'd

GH

KH

FH

FH

12

11

22

11

2222 !

!!=

!!

!!

!!=

!!

!!

Comme 222211 QFGHetKHIH =!!!!=!! les deux rapports sont égaux et on en déduit :

21

21

21

2211

FF

ff

FF

FHFHfFH

!

!!"=

!

!!#!!"=!=!! (4.17)

Un raisonnement analogue à partir de la figure 4- 10 b, on considère, les égalités résultant de la similitude des triangles HKF et H1G1F1 d’une part et F2J2H2 et F2Q1F’1 d’autre part, ou, plus simplement, l’utilisation du principe de retour inverse de la lumière donnent :

21

21

21

2211

FF

ff

FF

FHFHfHF

!=

!

"== (4.18)

Comme N étant l’indice du milieu intermédiaire on a N

n

f

fet

n

N

f

f

2

2

1

1!

"=!

"=!

. En

tirant le rapport des expressions 4.17 et 4.18 on retrouve bien le résultat général 4.1 établi précédemment..

4.4.4 FORMULE DE GULLSTRAND

Le nouveau système a pour vergence : 21

21

ff

FFn

f

nV

!!

!!"=

!

!=

En utilisant la relation 4.16 exprimant l’intervalle optique, la vergence s’écrit alors :

)fef(f

1

f

n

ff

)fef(nV 21

1221

21 ++!"!!

!"=

!!

++!"!"=

Dans cette expression on fait alors apparaître les vergences V 1 et V 2 des deux systèmes :

22

2

11

1f

N

f

nVet

f

n

f

NV !=

"

"=!=

"=

soit finalement, la formule de Gullstrand qui donne la vergence du système complet en fonction des vergences des deux systèmes qui le composent, de l’indice N du milieu qui les sépare et de la distance

21HHe != :

N

VVeVVV

21

21!+= (4.19)

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