S~minaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 1Be et 19e annie, ]978/1979.

18

CompgEaison de topologies sur des espaces

d!applications holomorphes

pa r

Jorge Alberto Barroso (*)

PARTIE I

Soient E et F des espaces localement convexes complexes

o2 F est s6par~, U une partle ouverte nonvide de E, et ~(U;F)

l'espace vectoriel des applications holomorphes de U dane F.

Pour m 6 ~, nous avons l'espace vectoriel e(mE;F) des polyn~mes

m-homQg~nes continus de E dans F. Si f E ~(U;F) st { E U,

alors ~=0 _i_ ~m f(~)(x_~) represente la s6rie de Taylor de f m!

dane ~ , o~ ~m f ( ~ ) 6 ~ ( % ; F ) . Sur f ' ( % ; F ) , on a quatre t o p o -

l o g i e s naturelles:

(2..) La topologie limite, d6finie comme il suit. Si

6 SC(E), 8 E SC(F) (ensembles des seminormes continues sur E,F)

et E~, E~ representent E, F seminorm~s par ~, 8 respectivement,

nous avons

• m E . e(mE;F B) = U e ( a;F~) ~E sc (E)

Or, e(mE~;Fs) est seminorm6 par

p ~ P(m~;FB)--~ JIPH,~ s . sup B[P(~)] ~ =(,)~i

e t nous pouvons considerer sur p(mE;Fs) la topologie limite in-

(') Nous remercions Leopoldo Nachbin par sa collaboration au sujet

de co papier.

19

ductive correspondante ~ cette union. D'au%re part

p(mE;F) = ~ P(mE;Fs)

e t alors la topologie limite ~(mE;F)

correspondante ~ cette intersection.

(f) La topologie forte ~f(mE;F)

famille de seminormes

o~ BC E

(o)

est la limite projective

est d6finie par la

p ~ P(~E~P)~- sup B[P(x)] c xEB

est born6e et 8 E SC(F).

La topologie ~c(mE;F) de la convergence uniforme

s ° . sur les parties compactes deflnle par la famille de seminormes

P 6 P(m~;F)~- sup B[P(x)] 6 xEK

o~ K C E est compacte et 8 6 SC(F).

(p) La topologie ~p(mE;F) de la convergence ponctuelle

d6finle par la famille de seminormes

P 6 P(mE,F)-- SIP(x)] e

o~ x ~ E et 8 6 SC(F).

P¢ (mEIF) , Of(mE;F), 0 c(mE;F) et P p(mE ;F) represent ent

p(mE;F) muni de ces topologies, respectivemente. On a ~p(mE;F)

~c(mE;F) ~ ~f(mE;F) ~ ~&(mE;F), avec 6galit6 si E est de di-

mension finie, ou F = Op ou m = O. Si E est seminormable,

o~ a q~e ~(~E~;) = Zr(%~). Po~r si~plirior, on suppo~era

dor6navant que F est norm6, sauf mention du contraire. Alors,

pour chaque ~ £ SC(E), on a la norme

2O

P ~ ~(~=;F)--i;~ll= = sup Ilp(x)Ii E =(x)gl

ot la topologie correspondante sur ~(mE~;F), dire do la semi-

norme ~.

LEMME I. Si f E ~(U;F), m 6 ~, alors ~mf 6 C(U; P6(mE;F)).

PREUVE. Etant donn6 ~ 6 U, il existe une pattie ~-ouverte V

de U pour une certaine = 6 SC(E) telle que f soit ~-holo-

morphe sur V. Afore ~mf est =-continue de V vers e(mEa;F).

m E Comme l'incluslon P( ~;F) @ ~6(mE;F) est continue, ~mf est

=-continue de V vers [~2 (mE;F). Donc ~rnf est continue de U

vers e t (mE ;F) . CQFD

REMARQUE i. Une petite modification de la preuve du Lemme 1

montre que ~,nf 6 ~(U; P6(m~;F)). C'est clair que le Le~mne 1 et

cette Remarque 1 restent valable pour lee autres topologies

cit6es moins fines sur p(mE;F).

PARTIE II

Nous conslderons F norme.

Nous avons plusieurs topologies naturelles sur ~(U;F):

(W) La topologie Z de Nachbin est d6finie de la faqon w

suivante. Une seminorme p sur ~(U;F) est port6e par tune

partle compacte K de U si lee conditions 6quivalentes suivantes

sont satisfaites :

I) Pour route partie ouverte V de U contenant K il existe

c(V) > 0 telle que, pour n'importe quelle f 6 ~(U;F),

p(f) ,; c(v) • sup {{f(~){{. xEV

21

2) Pour route a E SC(E)

n'importe quelle f E M(U;F),

p(f) • z =0 sup ll , amf( )ll= xEK "

Alors ~ est d6finie par la £amille des seminormes sur

chacune des quelles eSt portSe par une pattie compacte de

(®~)

semlnormes

La topologle ~=6

il existo c(~) > 0 telle que, pour

U.

est d6finie par la famille des

xEK

o~ K C U est compacte, T est txne seminorme continue sur

pi(mE;F) et m E ~. R6marquons que, d'apr~s le Lemme i, on a

que ~mt est la limite projective correspondante ~ la famille

d'applications f E ~(U;F)~-~ ~mf E C(U; P4(mE;F)) pour m 6 ~.

La %opologie ~=f es% d6finie par la famille de (-f)

s eminormes

x E K , y E B

o h K C U e s t c o m p a c t e , B c E e s t b o r n ~ e e t m 6 ~ . O n a u n e

s s r e m a r q u e a n a l o g u e ~ c e l l e A l a f i n d u c a s p r e c e d e n t °

~M,aQUE 2. A~aloguoment pour los topologies ~(~;F) et

~p(mE;F) sur p(mE;F), nous pouvons d6finir des topologies ~®c

et ~ p sur M(U;F). L'in6galit6 de Cauchy prouve que ~mp = ~mc

sont la topologie ~o de la convergence compacte sur ~(U;F).

O n a ~ p ~ c ~ ~ ~ m ~ ~ Z w

22

PARTIE III

TI~OREME I. Faisons l'hypoth~se suivante:

(H) L'ensemble des seminormes continues ~ sur E telles

~(mE;F) induit la topologie de la seminorme ~ sur que

p(mE~;F) pour tout m E N (voir Pattie I) est filtrant et il

d6finit la topologie de E.

Alors ~w et % ~ induisent la memo structure uniforme,

en partlculler la mSme topologle, sur toute partie localement

born~e I de ~(U;F).

PREUVE. Supposons initialoment que O 6 ~. Nous affirmons que

une partie de i est un voisinage de O pour la topologie in-

duito sur I par ~ si et seulement si elle est un voisinage W

~®t" " " de 0 pour la topologie induite sur ~ par Une moltle

de cette affirmation est claire parce que ~6 g ~w" Recipro-

quement, soit p une seminorme sur ~(U;F), continue pour ~W'

donc port6e par une partie compacte K de U. Pour chaque

~ sc(E), solt c(=) > o telle que

( i ) p(f) ~ c(~) ~m=o ,up 11~ • ® ~"f (x)lt~ x6K

pour toute f E M(U;F). Or, I 6tan% localement bourn6e, il

existe = E SC(E) telle que

~I(K) = U B=l(x) : u, xEK

c -- sup llf(x)I1 < +-, fEI, X6~l(K)

o~ B@I indique une boule ouverte par rapport ~ ~ de rayon i.

23

Par l'hypoth~se (H), nous pouvons supposer que cotte ~ est telle

~(mE;F) induit la topologie de la seminorme ~ sur que

p(mEG;F) pour tout m E ~. Prenons 8 = 2~ et appliquons l'in6-

galit6 de Cauchy. Alors

(2) Ilm~ dmf (x)II8 2 m . 2 m

pour x E K, f E I et m 6 ~. Choisissons ~ 6 ~ tel que

C 1 (3) c(~) ~m>~ 2-~ ~ ~ •

Pour chaque m 6 ~, 0 ~ m ~ ~, nous pouvons trouver une semi-

norme 'm sur ~(mE;F) continue pour ~6(mE;F) telle que

IIPIl8 ~ ,re(P) pour tout P 6 p(mE8 ;F). D6£inissons la seminorme

q sur M(U;F) continue pour ~ par

(4) q(f) = °(8) z ~ sup , m=O m[m~ fimf (x)] x6K

pour route f 6 ~(U;F). Si x E K, f £ I et m 6 ~, l'in~ga-

llt~ (2) mont=e que ~mf(x) ~ ~(~;F). Ale=s, ~i f ~ I, il

est clair que p(f) ~ q(f) + 1/2 d'apr~s (i), (2), (3) et (4),

de faqon que, si f E I et q(f) ~ 1/2, on a p(f) ~ i. Ceci

prouve l'affirmation faite ci-dessus.

Consld6rons en suite une partie localement bernie quel-

conque ~ de N(U;F). L'ensemble I-I des diff6rences de deux

616ments de I est localement born6 et il contient 0 (exclusion

faite du cas trivial oG I est vide). Comme les voisinages de

et sent 0 pour les topologies induites sur I-~ par Z ~ &

identlques~ nous avons que les structures uniformes induites sur

par les structures uniformes sur ~(U;F) associ6es ~ ~ et

24

~mt sent identiques. C~FD

Un exemple simple d'espace localement convexe E satis-

faisant ~ l'hypoth~se (H) du Th~orSme i pour un espace norm6

• s queleonque F est le cas d'un espace semlnorme E. Alors, pour

~(U;F), les ensembles des parties localement born~es et des

parties borntes pour ~ coincident. Un exemple plus gtn6ral W

est le suivant.

PROPOSITION i. Si (Et)tE L est une famille d'espaces semlnormes

complexes, alors l'espace localement convexe E = ITS6 L E t sa-

tisfait ~ l'hypoth~se (H) du Th6or~me I pour un espace norm~ com-

plexe quelconque F.

PREUVE. La topologie de E est dtfine par la famille filtrante

(aA) de seminormes sur E, o~ A est une pattie finie de L

et ~A(X) = ttAsup llxtl I pour x = (xt)t6 L 6 E. On a sur ~(mE~A;F )

la topologie de la seminorme a A (voir Partie I). D'autre part,

considtr0ns le sousespace vectoriel E de E des x = (xt)tEEtE

tels que llxl1= = sup llxtl I < +~, seminorm6 par x 6 E ~llxll~ 6 R. tEL

Nous avons ~^(x) ~ llxl1® pour ~ ~ E A1ors 1'i~elusion E QE

est continue. Par suite, si P E p(mE;F), on a pour sa restriction

PIE= E ~(mE~;F) et l'on peut considerer sa norme IIPll~ = IIPIE II= =

I Ip(x) l l . Nous affirmons que: = sup ~ , = ,tl xll,.,~ 1

(i) ~^(P) = llPll.

;F), o~ ~A(P) = sup llP(x)ll. En fait, on a

llP(~)ll ~ ~^(p) • C~^(~)] m pour ~ ~ E, de~o pour ~ ~ E®, ~

25

qui ~ontre que llrll. ~ ~A(P). En plus, sl P ~ ~(m~A:F), il on

(y~) ~ E r6sulte que P(x) = P(y) pour x = (xt)6 L 6 E, Y = ~6L

gels que xt = Yt quel que soit $ 6 A. Par suite, la relation

llP(x)ll ~ llpll. • Eilxll®] m po~ tout ~ e E ontraine que llP(x)ll

IIPII® " [=A(~)] m pour tout ~ e E. En fair, we lois

X = (xt)£E E E E dormS, nous pouvons detelNniner Y 6 E. gel que

p(x) -- P(y) et llYll® = ~^(~) (d,apr~s l'obser~ation ei-de~sus,

en prenant Y6 = xt si t 6 A, y~ = O si i = h-L). Alors

IIP(x)l I : llP(y)II ~ llPII" • [IIyI[.] m = lIPil~ • [~A(X)] m pour tout

x 6 E, done ~A(P) g llPl[ . Csei prouve (i). Repres6ntons par

~n(mE;F) la topolo~ie sup e(mE;F) par la topologie de la norme

de {~(mE ;F); et par On(mE;F) l ' e s p a e e Q(mE;F) muni de

~n(mE;F). A partir de (I) nous avons que l'inclusion

e(mE ;F) C~en(mE;F) est continue° Comus (~h) d6finit la topo- ah

logie de E etest filtrante, on conelut que ~n(mE;F) ~ z6(mE;F).

Ceci montre que ~t(mE;F) induit sup p(mE~A;F ) une topologie

plus fine que cello indulge par ~n(mE;F), done plus fine que la

%opologie de la seminorme ~A' d'apr~s (i). D'autre part,

~(mE;F) induit sur ~(mE A;F ) une topologie moins fine que la

topologie de la seminorme ~A' par d6finition de ~(mE;F).

Done ~(mE;F) induit sup P(%A;F) la topologie de la seminorme

~h pour tout A et tout m E ~o Ceci prouve (H). CQFD

PROPOSITION 2. Un espace loealemenge convexe complexe E muni i

d'une topologlo faible satisfait ~ l'hypoth~se (H) du ThSor&me 1

pour un espace norm~ complexe quelconque F.

28

PR/DUVE. Soit E' l'espace dual de E. La topologie de E est

dSfinie par la famille filtrante (~A) do seminormes, chacune des

quelles est dorun6e par ~A(X) = sup l (x)l pour x ~ E, ^ ~6A

est une partie finie de E'. En plus, ~ ;F) est separee et

elle induit sur chaque ~(mE~ ;F) une topologie moin fine que la ^

topologie de la seminorme ~A (voir Pattie I). Le fait que

~(mE A ;F ) a dimension finie entraine que ~¢(mE;F) induit sur

e(mE~ ;F) la topologie de la seminorme ~A pour tout m 6 N. Ceci A

prouve (H). CQFD.

REMARQUE 3. Si E est muni d,une topologie faible, la condition

(H) est fortement satisfaite au sens quo, pour toutes les semi-

normes continues ~ sur E, on a que Dr(mE;F) induit sur

e(mE~;F) la topologie de la seminorme ~ pour tout m E ~. En

fait, ~ est domin6e par une ~A et, par suite, p(mE ;F) a

aussi dimension finie comme sousespace vectoriel de P(mE~ ;F). h

Malgr6 cola, la condition (H) n'est pas toujours satisfaite au

sens forte. Par exemple~ soient E tun espace norm6 complexe de

dimension infinie, F = C et m = I. Si ~ est une seminorme

continue sur E, il n'est pas toujours vrai que ~t(IE;c),

c'ost-~-dire la topologie de la norme sur E' , induit sur

e(~;C) = (E~)' la topologie de la seminorme ~.

EXEMPLE I. Soient E = ~(C) l'e~pace de Fr6chet M(C ;C) des

fonctions complexes enti~res d'une variable complexe, et

E' = ~' (C) sont dual e(~;C) = ~(E;C). Pour route seminorme

continue ~ sur ~(C), posons ~(C) = e(%~;C) = ~(E~;C).

L'ensemble des ~ telles que ~ (h;C) induit sur ~'(C) la 4 ~- -

27

topologie de la seminorme ~ (voir Pattie I) ou bien n'ost pas

filtrant ou bien ne d6finit pas la topologie de ~(C); comparer

avec l'hypothSse (H). En fait, soit u m 6 ~(C) d6finie par

m

Um(Z ) = z pour z 6 C et m E ~- Si ~ est une seminorme

continue sur ~(C), on a que [~(um) ] i/m est bornS pour m > 0

parce que, pour toute suite ~m 6 C (m £ ~) telle que ]~mll/m4 0

quid m~-, on a X u ~ 0 dans ~(C) et aZors IXml'~(u m) =

= a(kmUm) 4 0 quand m 4 . , d'o~ l'assertion. Soit q~,n 6 ~t (C)

dSfinit par ~m(f) = f(m)(o)/m! pour f 6 ~(C) et m 6 ~. Si

T ~ s t u~e s e m ~ o r ~ e sur ~ ' ( c ) oontlnu~ p o u r ~ C ( 1 E ; C ) , a Z o r s

[T(~m) ] 1 / m . O quand m * -. En fait, pour chaque seminormo

continue a sur M(C) il existe c(a) > O tel que Iv(~)l g

g c(G)-a($) pour route ~ 6 ~(C). Si P > O, soit 8 0 la

seminorme continue sur ~(C ) d~finie par

Bp(f) = X'm=O pm • l % ( f ) l

• °

pour f E H(C). L'usage des serxes de Taylor montre que, si

e ~' (c) alors ~ ~ ~' (c) si ot seulement si l~(um) l.P -m ' Bp

est born6e pour m E ~; et que 8p(~) = sup I~(Um)l.p -m. Ii men

slen suit que 1 ~ ( ~ ) 1 ~ cCBp) • sup I~(um) l • p -~ p o u r t o u t e mEN

> o . Noun o b t e n o n s en s u i t e que l ~ ( ~ m ) l P

pour m 6 ~, ce qui prouve l'assertion

~0 e ~' (c ) et Bp

c(Sp) - p-m

[ T (q~m)] i/m ~ O quand m ~ m, en £aisant p ~ ~. Noun afflrmons,

en suite, que si ~ est une seminorme continue sur ~(C ) telle

q u o ~(~;C) i n d u i t s u r ML(C) l a t o p o l o g i e de la s e m i n o r m e ~ ,

alors ~m q M~(C) souloment pour un ensemble finie de valeurs de m.

28

En fair, il existo u/le seminorme ~ sur M' (C) continue pour

t ~ ( ~ , c ) t e n e qua ~(~) • ¢(~) pour route ~ ~ ~ ( c ) , c ,es t -~ - l

dire l~(r)l ~ T(~)'=(f) pour toutes f £ ~(C) et ~ 6 ~:(C).

i (C) pour Prenons f : Um' ~ = ~m et supposons que ~m 6 ~

obt~Ir 1 ~ ,(~m)-~(Um), ce qul est impossible pour ~ne ~nf~n~t,

de valeurs de m (on prenant la racine m-%me et faisant m w m).

' (C) est fini Done, l'ensemble des m E N tels que ~m 6 ~

Finalement, observons quill existe une seminorme 8 continue sur

' (C) pour tout m E ~ il surf it de prendre ~(C) relic que ~m 6 ~8

8 = 81 (en faisant p = I dans la d6finition de 80) et observer

qua l~m(f)l ~ ~(f) pour route f ~ ~(C). Or, si les seminorme~

continues ~ sur ~(C), telles qua Dt (IE;c) induit sur

la topologie de la seminorme 4, formaient un ensemble filtrant

d6finissant la topologie de E, il existerait une telle ~ pour

• ( C ) C • ( C ) p o u r t o u t m 6 ~ , c e laquelle ~ ~ ~. Alors ~m 6 ~ ~

qui est une contradiction. Signalons que Boland et Dineen [2] on•

prouv6 que les topologies ~o et ~6 coincident sur ~(E), done

~o = ~6 = ~W = ~6 dane cecas.

PARTIE IV

Nous allons en suite indiquer tune classe raisonnablement

~6n6rale dtespaces localement convexes E satisfais~It ~ l'hypo-

th~se (H) du Th6or~me 1 pour un espace norm6 complexe quelconque

F. Co•to classe con•lent cello de la Proposition i.

Scion• E tun espace vectoriel complexe, S un sousespace

vectoriel de E seminorm6 par ~ et ~ ,~n ensemble de sous-

29

espacos vectoriols do E lequol est filtrant ~ gaucho au sons que,

6tant donn6s arbitrairement NI,N 2 E ~ il existe N 6 ~ tel que

N I n N 2 D N. Supposons que soient satisfaites les conditions ~qui-

valentes suivantes:

(i) Pour tout x E E, N 6 ~, il existe Y E S tel que

x-y E N.

(2) s n (x÷N) ~ ~ quels qu~ soient x ~ E et N ~ h.

(3) E = S + N pour tout N 6 ~.

(4) Pour tout N 6 ~p l'application naturelle de E sur E/N

applique S sur E/N.

Pour tout N 6 h, d6finissons la seminorme ~N sur E

par ~N(x) = inf [o(y); y 6 S n (x+N)] en rue de la condition (2)

ci-dessus. Si NI,N 2 6 ~ et N 1 c N2, alors GN1 ~ ~N2. Par

suite, (~N)N6 ~ est filtrante. Munissons E avecla topologie

d6finie par cette famille de seminormes. ~videment aNIS % G pour

tout N E ~. Alors l'application d'inclusion S C.E est continue

quand on consid~re sur S la topologio de la seminorme G et E

a la topologie indiqu6e. Par cons6quent, si P 6 ~(mE;F), alors

PIS E p(mS;F) et nous dSfinissont G(P) = G(PIS ) = sup llP(x)ll. xES,O (x)~l

Nous affirmons que ~N(P) = C(p) si P E p(mEaN;F)- En fait,

IIP(x)II ~ ~N(P) • [~N(X)] m pour tout x E E et alors pour tout

~ s si P ~ p(mE~N~S), d'o~ a(P) ~ ~S(~). En plu~, si

P E ~(mE; F ) est continue pour ~N' il en r6sulte que P(x) = P(y)

si x,y E E et ~N(x-y) = O, oeci 6tant lecas si x-y 6 N parce

que N C ~NI(O). Par suite IIP(x)I I ~ C(P) • [~(x)] m pour tout

~ s i~plique que IIP(~)II ~ a(P) • [~(~)]~ pour tout ~ ~ E

30

En fait, cetto derni~re in6galit6 est claire si aN(X ) = 0 parce

que ~iors P(x) = 0, si %(x) > O, ~ chaise , > 0 correspond

un Y 6 S n (x+N) gel que S(y) K (l+,)~N(X), de faqon que

P(x) = P(y) implique I Ip (~) l l = IIP(Y)II ~ ~(P) " [a(Y)] m ~

~(P) " (i+') m [=N(X)] m, et alors, en faisant , w 0, nous avons

llP(x)If = s(p) • [=N(X)] m pour tout x 6 E, area aN(P ) ~ ~(P).

Ceci compl~ge la preuve de l'assertion.

La Proposition 3 suivante et sa preuve song une extension

de la Proposition 1 et sa preuve.

PROPOSITION 3. Soient E un espaee vectoriel complexe, S un

sousespace vectoriel do E seminorm6 par ~ et ~ un ensemble

de sousespaces veotoriels de E filtrant ~ gaucho, tels que

S 0 (x+N) ~ ~ quels que soient x 6 E et N 6 U. Alers E sa-

tisfait h l'hypoth&se (H) du Th6or~me 1 pour un espace norm6 com-

plexe quelconque F, quand E est muni de la topologie d6finie

par la famille (~N)NE ~ de seminormes, o~, pour tout x E E,

1'on pose ~N(~) = i~r [~(y); y ~ S n (~÷N)}.

PREUVE. Soient Pc(mE;F) l'espace vectoriel p(mE;S) norm6 par

a (veir l'explication un peu avant l'6nonc6 de la Proposition 3)

et m (mE;F) la topologie correspondante. Chaque application G

d'inclusion G(% ;F) c~P (mE;F) est 9ontinue. Une lois que N a

(aN)NE ~ est filtrante et d6finit la topologie de E, on conclut

qu~ ~a(%;F) ~ ~,(%;s). No~s s.vons hue ~(~;S) ina~it sur

chaque e (% ;F) une topologie moins fine que la topologie de N

la sominorme a N . Comme ~c(mE;F) induit la topologie d e l a

seminorme ~N sur p(mE ;F), on conclut que la topologie induite % A

N

31

par ~(mE;F) sur chaque P(mE~N,F ) coincide avecla topologie

de la seminorme ~N' ceci pour tout N 6 h et m 6 N. C~FD

EXEMPLE 2. Soient X tun espace compl&tement r6gulier et D un

espace seminorm6. Alors l'espace localement convexe E = C(X;D)

de toutes les applications continues sur X ~ valeurs dans D,

muni de la topologie de la convergence compacte, satisfait

l'hypoth~se (H) du Th6or~me 1 pour un espace norm6 complexe quel-

conque F. En fair, soit S le sousespace vectoriel de E de

toutes les applications continues et born6es sur X h valeurs

dans D seminorm6 par le supreme. Pour toute pattie compacte

K C X, soit N le sousespace vectoriel de E des applications

s'annulant sur K. Indiquons par ~ l'ensemble de tels N.

Alors, les conditions de la Proposition 3 sent satisfaites et, en

plus, N(f) = up-" " ""ttlft j11, x K) si N

comme eidessus.

| ^ REMARQUE 4. L int6ret de savoir que

u)

et K sent relatlones

et ~ induisent la

mSme topologie sur route pattie iocalement born6e de ~(U;F) est

illustr6 par la caract6risation des parties relativement compactes

de ~(U;F) pour ~ . Voir Barroso [i]. W

BIBLIOGRAPHIE

[ i] J.A. BARROSO, A characterization of relatively compact sets

of holomorphic mappings, Indagationes Mathematicae, vol.

39, PP. 353-356 (1977).

[2] P.J. BOLAND & S. DINEEN, Duality theory for spaces of germs

and holomorphic functions on nuclear spaces, Advances

in Holomorphy (Editor: J.A. Barroso), pp. 179-207, North-

32

llolland (1979).

[3] L. NACHBIN, Topology on spaces of holomorphic mappings,

Springer-Verlag (1969) •

[4] L. NACHBIN, A glimpse at infinite dimensional Holomorphy,

Proceedings on Infinite Dimensional lIolomorphy (Editors:

T.L. llayden & T.J. Suffridge), Lecture Notes in Mathematics,

vol. 364, pp. 69-79, Springer-Verlag (1974).

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