S~minaire P.LELONG (Analyse) 9e annie, 1968/69 12 F~vrier 1969

COHOMOLOGIE DE DE R H A M D'UN ESPACE ANALYTIQUE

par Thomas B L 0 0 M

Les r~sultats exposfis ici font l'objet de l'article ~] et nous y apportons

quelques compl~,ents.

Nous commen~ons en rappellant le th~or~me classique de de RHAM . Soit M une

vari~t~ difffirentiable et paraeompacte. Soit ~" le complexe des falseeaux de for-

mes difffirentielles C~ ~ valeurs complexes sur M. Alors, le leone de Poincarfi mon-

tre que 0 ~ C --~ est une rfisolution du faisceau constant ~ sur M. Les

faisceaux ~ Pont fins, done acycliques. Alors H'(M,¢ ) ~ H~P(M, ~')) .

Soit ~ le complexe des faisceaux des cochaines difffirenti~bles singuli~res

sur M. C'est aussi une r~solution de ~ par des faisceaux acycliques. L'int~gration

nous donne un morphisme (de faisceaux gradufis) ~" I > /- qui, par le th~0r~me

de STOKES est un morphisme de falsceaux diff~rentiels, e'est-~-dire compatible avee

les diff~rentiables. Done on a des isomorphismes des groupes de cohomologie :

H" (M, g) --~ H ° (D(M, ~')) ~ H'C~(M,~')) [3, p. 124~

Maintenant, soit M un sous-ensemble semi-analytique d'un espace analytique rfiel

X . Nous d~finirens des formes difffirentielles sur Met nous obtiendrons un complexe

~'. des faisceaux O ---~¢ --~ Ce n'est pas, en g~n~ral, une r~solution de ~ ear le

lemme de Poincar~ n'est pas valable g~nfiral~ment aux points singuliers. Nous

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d~finirons l'analogue de 4~ui sera le complexe des faisceaux des cochaines semi-

analytiques. Ii sera une r~solution de ¢ par des faisceaux acycliques. La th~orie

d'int~gration d~velopp~e par HERRERA [7] (volt aussi l'expos~ de COLOMB~ dans ce vo-

lume) nous donne un morphisme ~- I L ~'qui, par le th~or~me de STOKES, ~galement du

HERRERA ~7~ , est un morphisme de faisceaux diff~rentiels.

Donc on obtient une scission :

H" (p(M, ~')) ~ H" (~(M, ~')) • B" ~ H" (M, ¢ ) • B °

Cette scission est compatible avec les morphismes d'espaces analytiques. On en dfiduit

le rfisultat analogue pour des espaces analytiques complexes : Soit (X,~) un espace

analytique complexe et j~" le complexe des faisceaux de formes holomorphes. Alors

il y a une scission de l'hypercohomologie

~" ( X, jO_') ~ H" (X, ¢ ) • A"

qui est aussi compatible avec les morphismes d'espaces analytiques complexes.

I. - Fomes diff~rentielles et lenane de Polncar~ .

D~finition I. - Un espace analytique r~el est un espace an_nel~ X = (~(X)) tel

que

a) X est paracompacte

b) tout point xEX poss~de un voisina~e ouvert V tel que (V, ~(X)/,) soit iso- V

morphe ~ (E~ (Sulk)/E) o~ E est un ensembie r~el analytique d'un ouvert U C ~n

un Zd~l coherent d. fals~au des fonctions analytlq,es s~r U, ~U' et s.p<~o/j) " E.

D~finition 2. - Soit pun point de X . La collection Ap de germes ~ p d'ensembles

semi-anai~tiques est d~finit cosine la plus petite collection des germes d'ensembles

telle que

I ) a , b E Ap ~ a - b , a o b e Ap

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alors ~x6XIf(x) > 0} 6 A 2) sl f ~ ~(X)p P

o~ ~ : ~ ~ ~ est la fonction ~ valeurs dans R associ~ ~ f. P

D~finition 3. - Un sous-ensemble MdX est semi-analytique si MpeAp pour tout

p G X • Un ensemble semi-analytique est localement ferm~ et on pose bM = M - M o~

est la fermeture de M.

D~finitlon 4. - Un point p 6M est un point r~ulier de M sl M est le germe P

d'une sous-vari~t~ analytique. On d~signe par M ~ l'ensemble des points r~guliers de M.

D~finition 5. - Pour M un ensemble semi-analytique on d~finit

dim M = max,~dim Mpl pc=M

1.2. Nous al~ons d~finir le complexe des formes diff~rentielles CC°sur un ensemble

semi-analytlque M c~ . D'abord, nous co,~nen~ons avec le cas o~ X est une varietY. Soit

i : M m --~X l'injection canonique. Posons

= w = 0 o~ ~° (X) est le faisceau gradu~ des for-

rues diff~rentielles C~ valeurs complexes sur X. Notons que d(~°(M, X))C ~'(M, X)

~ /~ ~/ , d induit une diff~rentielle et donc, en d~finissant ~'(M) = "(X) "(M, X M

sur ~'(M). Si M' est un sous-ensemble semi-analytique d'une autre vari~t~ X' et

f : (X, M) --~(X', M') une application analytique , alors f~ induit un morphisme

~" (M') ---~ ~'(M) qui est fonctoriel en f.

D~finition 6. - Soit M un sous-ensemble d'un espaee analytique r~el X. Le fais-

ceau des formes diff~rentielles C ~, ~" (M) est d~fini comme le faisceau diff~ren-

tiel tel que (avecla notation de d~finition ].) ~'(M)/V soit isomorphe ~ ~'(N) o~

l'isomorphisme entre (V, @(~)/V ) et (E, ~(U)~)/E) transforme M{~V en N.

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Remar~ues : a) Sif : (X, M) ---~(Y, N) est un morphisme dVespaces analytiques

r~els alors il y a un morphisme, not~ f$, f" : ~• (N) ---~) qui est fonctoriel

en f.

b) Leg faisceaux ~ p sont fins

c) ~q(M) = 0 pour q>dim. M.

1.3. Exemple : Nous allons donner un exemple o~ le le~me de Poincar~.n'est pas vala-

ble . Prenons M l'image de l'application @ : R ,~ 2.. ou @(t) = t5, t 6 + t 7. Alors

dim M = I . Consid~rons la section w de ~l(M) induite par x| dx 2 dans R 2 . Alors,

d'apr~s ~a remarque c) ci-dessus, dw = O . Apr~s avoir trouv~ la section o( de ~(~)

( unique ~ une constante pros) telle que d~- ~(w), un calcul explicite de sa slrie

de Taylor ~ l'origine montre que o( nVest pas de la forme @~(~) o~ ~ est une section

de ~(1~2). Male, s ' i l ex i s te ~ o ~ ( M ) ° '= tel que d ~'o Wo , alors d¢¢=~o )= %'w o.

Done un tel ~o n'existe pas.

Rem@rque : Le eomplexe des formes diff~rentielles ~'(M) p~mut 8tre exact ~ un

point singulier p de M. Sip ~M~R n et s'il y a une r~traetion diff~rentiable de rR n

p compatible avec M (par exemple , si M est un cSne, so-,net p), la d~monstration

habituelle du le~me de Poincar~ [4 , p. 27~ montre que ~°(M) sera exacte en p.

2. - Cocha~nes se~i-analTti~ues.

2.1. Nous utiliserons la th~orie d'homologie de BOP.EL-MOORE [2~ et nous commengons

en rappelant sa d~finition.

Soit X un espace topologique~ localement compact et k un corps . Le groupe d'homo-

logie H • (X, k) est d~fini comme suit.

On co~mence avecla r~solution canonique de k O ---~k ___>fo (X; k) C53 • Soit

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~H(X, k) le faisceau engendr~ par le pr~faisceau

> HO~k( Pc ( d'(X, k)/~), k) oh Pc

t

d~signe sections a support compact.

D~finition 7. - H (X, k) est l'homologie du complexe f~(eH(X , k)).

Maintenant, soit FoX un fermi. On a une suite longue exacte [2]

iFX k)Jx,x-F )'~ Hq(F, k) r~- Hq(X, y Hq(X-F, k X-F,F > Hq_I(F, k) . >-

Nous poserons H. (X, £) = H, (X)

Soit M un ensenble semi-analyt~ue. Nous dfifinirons pour chaque entier q >10

les pr~chaines semi-analytiques de dimension q de M, qui seront notfies PSq(M).

D~finition 8. - PSq(M) = ~ ~(N, c) , Nest un sous-ensemble semi-analytique

de M de dimension x< q et c 6Hq(N). )

On met la structure d'espace vectoriel sur PSq(M) con~ne suit

a) Pour ~ ~ C on d~finit ~ (N, c) comme (N, ~c)

b) Pour (NI, Cl) , (N2, c2) ePSq(M) on d~finit

(N~, Cl) + ( N2, c 2) = (N, c | + c 2) oh N = N I

£'image de c i par le compos~ des applications :

"~Ni, Ni-L IN.-L, N H (N.) >H (N. -L) i > Hq (N) . q l q l

Ces applications sont injectives ~ cause de la dimension de Net de l'exactitude de

£a suite d'homologie.

D~inition 9. - Le bord d'une pr~cha~ne est d~fini comme

-~ (N, c) = (bN, "~ (c)). N,bN

i tiN 2 - L, L = bN I UbN 2 et c est

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Evidennnent ~ o ~ = O.

D~finition IO. - Sur PS • (M) on consid~re la relation d''~quivalence suivante :

(Nl, c I) ~ (N2, c 2) si (N I, c I) + (N2,-c 2) = (N, 0).

Cette relation est compatible avec la structure d'espace vectoriel sur PS 6 (M) et le

bord ~ et on d~finit S, (M), les chaines semi-anaiytiques consne ie quotient"

de PS. (M) par cette relation .

Pour U un ouvert de M , en le consid~rant comme sous-ensemble semi-analytique

d'un ouvert V de X tel que VNM - U on peut d~finir S. (U) (qui est ind~pendant de

choix de V) et on a :

Th~or~me I. - Le pr~faisceau~ U

les compacts).

D~finition II. - Le pr~faisceau des cocha~nes semi-analytique est

~': u > nom( p (s. (u), ~ ) . C

Le~me I. - [2] Soit X un espace topologique localement compact et ~)~ un

faisceau c-mou de k-espaces vectoriels. Alors le pr~faisceau

• U > Hom( ~ (O.(U) , k) est un faisceau flasque. C

La diff~rentlelle sur~induit une diff~rentielle sur ~*et on a :

Corollaire. - ~est_. un faisceau diff~rentiel flas~ue.

En identifiant C avec les cocha~nes semi-analytiques de dimension z~ro et

constant on obtient un complexe des faisceaux 0 ~ ~ > ~ En utilisant le

th~or~ne de triangulation de LOJACIEWICZ ~8~ on obtient

>'S (U) est un faisceau, c-mou (c d~si~ne

- 7 1 -

Th~or~me 2. - O - - b ¢ >~est une s u i t e e x a c t e .

2.2. Si (N, c) ~ PSq(M) et Nest compact, alors la th~orie d'int~gration d~velopp~e

dans [7] s'~tend faeilement et nous permet de d~finir ~ w o~ w6 D(M, ~q(M)) .

(N~c) si (N|, el) ~ (N2, c 2) (avec N let N 2 compacts) alors

l~,C w " .~,c w pour tout w & p (M, ~q(M)) . Chaque ~l~ment de Dc(Sq(M)) ~ un (N l) (N~2) repr~sentant dans PSq(M) ~ support compact et done l'int~gration noue donne un

morpbisme de faisceaux gradu~s ~" I ~ ~, , compatible avec les augmentations.

Le th~or~me de STOKES [7] , encore valable ici, nous montre que l'int~gration

est un morphisme de faisceaux diff~rentiels.

Sur un espace analytique complexe (X, ~) soit ./Z'le complexe des formes diff~-

rentielles holomorphes sur X [6] . En consld~rant (X, ~) comme espace analytique r~el,

on obtient unmorphisme (non n~cessairement injectif) J~" --~et en composant avec

l'int~gration, on obtient un morphisme de faisceaux diff~rentielsJ~'---~.

3. - Les th~or~mes de scisSion.

3.I. Maintenant, les th~or~mes de seission sont une consequence du lemme ei-dessous.

D'abord :

D~finition |2. - Soit ~'un falsceau diff~rentiel (~P = 0 pour p <o)

sur un espace topologique X. On d~finit l'hypercohomolo~ie de X ~ valeur dans~

~" (X, ~') comme la cohomologie du complexe p (X, e ° (~) o~ ~'(~ est le com-

plexe double des r~solutions canoniques des ~'et U (X, ~'(~)) est muni de sa gra-

duation et diff~rentielle totale.

- 72 -

Lemme 2. - Soit~'et ~' deux faisceaux diff~rentiels (27Z p, ~P = O

pour p <O) sur X. Soit I :)7~'---~un morphisme. Supposons que

(b) 0 ---)~ --~'est une rgsolution de f par des faiseeaux aeycliques.

(c) Ii existe une injection~-~ )~o~ tel que le compos~

~-->~JT[) ---~ ~ soit l'identit~ . Alors il y a une scission

6(x,~) = skx,ff) • ~'.

D~monstration t On eonsidare la sui£e de faiseeaux dlff~rentlels

ou ~' est le e~pl=e des falseea= ~:°~ ~ , ~P = 0 p ~ O

Alors en appliquant le foneteur hypercohomologie on obtient

m" (x, ~" ) --~" (x,~') --~Hlx,~').

Mais ~" (X, ~" )Z H'(X, ~) et, par (b) la premiere suite speetrale

d'un faiseeau diffgrentiel [5, p. |77] montre que ~" (X,~') ~S~X, ~).

Par (e), I o a indult l'identit~ R" (X, ~) --kH(X,~) et done on obtient la seission.

R~,arque. L'injection H " (X,~) --~ R~X,~%') est un homomorphisme du bord de la

premiere suite spectrale assoeige ~ ~" (X, ~ °) .

r~el

Corollaire. - Soit M un sous-ensemble semi-analytique d'un espace analytique

X . Alors il y a une scission eanonique

~' ( P(M, ~'(M)) ~ H" (M.C) • B" .

D@monstration : Paree que les faisceaux ~P(M) sont acyeliques, alors

s" (M, ~M)) ~ ~" ( p (M, ~" (M)) .

- 73 -

Corollaire. - Soi.t (X, ~) un espace anal[tique complexe. Alors il y a une

scission canonique

s(x,J~') _~ H'(x,¢) • A"

Si X est de STEIN,aloes S'(X, ~') ~--- H'(P (X, J3.')) et dans ce cas

il y a une scission canonique :

H' ( ~ ( x , ~ ) ) _~ H'(x, ¢ ) , A"

3.2. Pour d~montrer que les scissions sont compatibles avec les morphismes d'espaces

analytiques il faut d~montrer que i' integration est compatible avec ses morphismes.

Les chalnes semi-analytiques ne se maintiennent pas par les morphismes d'espaces ana-

lytiques. N~ar~oins, apr~s avoir not~ que l'homologie du complexe Pc(S, (M)) est

isomorphe a l'homologle ~ support compact de M dans C , HC(M, ~ ), le fair que les

scissions sont compatibles avec les morphismes sera une consequence i~n~diate du

Th~or~me 3. - Soit f : (XI,__M_M}) ---)- (X2, M 2) un morphisme d'es•aces analyti-

ques r~els et HL(f) le morphisme .ind,lit sur l'homolo~ie :

H~l ( f ) : HC,(M|, ~ ) ---)- H.C(M2, £ ) .

Si (~&P(M2, ~P(Mz)) est fermi, alors, pour toutc~ 6 HC(p~Ml, ~) f" (~ (d~) = @(Hp(f)(=()

3.3. Nous all'ons aborder la question suivante : ~tant donn~ une forme ferm~e

w de P(M, ~n(M)) quand la classe qu'elle repr~sente dans Hn(fI(M, ~(M)) est-elle

dans l'image de Hn(M, C ) ? Une condition n~cessaire est que w soit localement exacte

parce que M eat localement contractile et la scission est fonctionnelle. Cette condi-

tion n'est pas suffisante en g~n~ral. Elle est suffisante pour H 1 ou si M ~ des sin-

gularit~s isol~es. Plus pr~cisS-,ent,

rh~or~me 4. - Si HP(M. ~n-P(~'(M)~) = 0 pour p = l, ..., n-| alors une • r | , .. . .

forme ferm~e w de ~ (M, ~n(M)) et localement exacte repr~sente une classe de

Hn( [I(M, ~'(M)) qui est dans l'imase de Hn(M, @).

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D~monstration : Pour ia premi6re filtration du complexe double associ~ au fais-

ceau diff~rent~el ~" (M) , la suite spectrale ~ les termes

IEPq = HP(M, ~q(~'(M)) ~ HP+q([I(M,~'(M))

Sous notre hypoth~se, E p' n-p est nul saul sip = O, n. Donc il y a une suite exacte:

0 ~ %.,o >~(~(M, ~'(M)) , o,n --bE --~ 0 ~O

' O,n ffi H ° (M,~n(~*(M)) Si w est £ocale- Mais /E°~ n s'injecte dans E 2

merit exacte elle d~finit la section nulle de~n~'(Fl)) donc sa classe [w] est

envoy~e dans l'~l~ment nul de /E°~ n. Donc, [w] provient d'un ~l~ment de IEn'° .

Mais d'apr~s le th~or~me de scission, l'homomorphisme du bord

I~n,o = Hn(M,C ) ~ Hn( C (M ~(M)) -2

est une injection, alors ,E2n,o = JE n'° etla danonstration est compl~te.

BIBLIOGRAPHIE

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