ÉLECTRONIQUE 4 ÉLECTRONIQUE NUMÉRIQUE

1. INTÉRÊT DES SIGNAUX NUMÉRIQUES

1.1 Transmission du signal Le traitement du signal est réalisé par des circuits électroniques (analogiques ou numériques). La grandeur physique à mesurer : onde de pression sonore, onde électromagnétique, température, …doit être convertie en signal électrique avant de la traiter, c’est le rôle d’un capteur. Le signal est donc une tension électrique en général fonction du temps. Elle est l’image des variations temporelles de la grandeur physique à mesurer. Ce type de signal est qualifié d’analogique (par opposition aux signaux logiques ou numériques) : c’est une fonction continue du temps : s( t). Numériser un tel signal consiste à le remplacer par un ensemble dénombrable de valeurs numériques. Dans le cas d’un signal de durée finie, on passe d’un ensemble non dénombrable de valeurs à un ensemble fini. Les nombres ainsi obtenus sont alors codées en binaire (0 et 1). Les avantages associés à cette conversion sont nombreux. Que les signaux soient transmis (radio, TV, …) ou stockés (CD, DVD, …) leur codage sous forme de bit permet une lecture simplifiée. En effet, soit le niveau lu dépasse un seuil, on détecte alors un 1, soit le niveau est inférieur, on lit un 0. Ainsi, dans le cas d’un bruit additif de faible niveau le signal pourra être recueilli de façon parfaite ; ce qui n’est pas le cas pour un signal analogique.

Remarque : dans le cas où le bruit additif devient important par rapport au niveau du signal utile, on peut alors effectuer des erreurs de détection. Pour lutter contre ces erreurs, on code en général le signal binaire de manière à faire apparaître une redondance dans le signal. La méthode la plus répandue pour détecter une erreur de détection éventuelle est l’ajout d’un bit supplémentaire à la fin de chaque trame de bits (en général 7) représentant la somme modulo 2 de ces 7 bits. À la lecture, il suffit alors de vérifier que le bit de contrôle (appelé bit de parité) correspond bien à la somme des 7 bits lus. Si celle-ci est différente, c’est qu’il y a une erreur de lecture. Il faut alors relire les données.

Cette méthode permet seulement de détecter une erreur unique de transmission ou de lecture. Elle est mise en défaut si l’on est en présence de deux erreurs. Elle ne permet pas non plus de corriger l’erreur. D’autres codes plus performants (codes correcteurs d’erreur) permettent de détecter l’erreur et de la corriger automatiquement.

1.2 Traitement du signal La robustesse du signal numérique vis-à-vis du bruit permet également d’en créer des copies parfaites . Cette supériorité du signal numérique par rapport à l’analogique peut être constatée sur la qualité sonore d’un CD par rapport à un disque vinyle, ou sur la qualité de l’image et du son d’un DVD par rapport à un enregistrement sur cassette VHS, ou encore entre la TV numérique (TNT) et la TV analogique. D’autre part, le traitement d’un signal numérique est en général réalisé par un calculateur . Il en résulte de nombreux avantages par rapport à un traitement réalisé grâce à une électronique analogique (résistances, capacités, transistors, amplificateurs opérationnels A.L.I, …). En effet, les principaux défauts liés à l’électronique analogique sont ainsi levés. Les problèmes de précision et de dispersion des composants électroniques (donnés, en général à 5 ou 10%), ainsi que les problèmes de dérive en température n’existent plus en numérique. On réalise par exemple le filtrage numérique d’un signal en appliquant des algorithmes de calcul, et non plus à l’aide de circuits réalisant un filtrage analogique (la fréquence de coupure d’un filtre numérique est maîtrisée plus facilement qu’en analogique : grande reproductibilité entre les différents systèmes réalisés). Un autre avantage lié au traitement du signal par calculateur réside dans la facilité de faire évoluer les performances d’un matériel sans modifications de son électronique. En effet, si le constructeur d’un appareil développe un traitement plus performant ou corrige certaines erreurs, il est en général facile de modifier le programme exécuté par le calculateur sans modification électronique du système. C’est le cas par exemple sur certains lecteurs de DVD de salon (mise à jour de la version de l’algorithme de décodage vidéo, mpeg2 ou 4), pour certains décodeurs TNT. Cette facilité d’évolution est également utilisée dans l’automobile où des systèmes de contrôle (ABS, ESP, contrôle moteur, …) sont mis à jour lors des visites chez le garagiste, ou lors de campagnes de rappels dans le cas de défauts plus importants.

1.3 Conversion analogique / numérique Comme nous l’avons présenté précédemment, le signal électrique provenant d’un capteur est en général analogique. L’opération de numérisation correspond à la succession de 2 étapes : - L’échantillonnage qui permet de prélever un ensemble de valeurs prises à des instants discrets { }kt . - La quantification qui alloue à chacun de ces échantillons une valeur approchée, codée sur un nombre fini de bits (2 bits sur l’exemple de la figure ci-contre). Cette opération est réalisée à l’aide d’un convertisseur analogique / numérique (CAN) ; l’opération inverse avec un CNA.

2. ÉCHANTILLONNAGE

2.1 Périodisation du spectre

Pour comprendre dans quelles conditions le signal analogique s(t) est échantillonnable sans perte d’information, nous allons introduire la fonction périodique

)(tγ ci-dessous (« peigne d’impulsions »), ainsi que le signal échantillonné )()()(e tstts ⋅γ= .

)(tγ étant eT -périodique, elle se décompose en série de Fourier, soit, en prenant )(tγ paire :

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=π=

π=γn

nn

n tfnCtTn

Ct )2cos(2

cos)( ee

,

en introduisant la fréquence d’échantillonnage e

e1

Tf = .

On calcule aisément :

)(sinc2

)sin(2d)2cos(

2

d)2cos()(2d)2cos()(1

eee

ee2

0

ee

2

0ee

2

2

ee

ee

e

επ=π

επ⋅ε

=πε

=

πγ=πγ=

∫

∫∫

ε

−

fnffnfnf

ttfnf

ttfntfttfntT

C

TT

Tn

Lorsque 0→→→→εεεε , le signal )(e ts ne contient que les informations )0(s , )( eTs , )2( eTs ,… et

efCn →→→→ , indépendant de n. s(t) peut elle aussi se décomposer en signaux sinusoïdaux (cf. transformée de Fourier) et possède le spectre ci-contre : Pour une seule composante sinusoïdale de fréquences 0f± de s :

)2cos(2

)2cos(2

)2cos( 000

000

0000 ψ+π+ψ−π−=ψ+π= tfS

tfS

tfSs ,

on a :

[ ] [ ]{ }∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

ψ++π+ψ−−π=

πψ+π=⋅γ=

n

n

tfnftfnfSf

tfntfSftstts

00e00e0e

e000e0e

)(2cos)(2cos2

)2cos()2cos()()()(

Ainsi le spectre de )(e ts contient les fréquences 0e fnf ± avec

l’amplitude 20

eS

f :

Le spectre de )(e ts est donc périodique, de période ef

Si le spectre de f est borné à une fréquence maximale maxf (ou si la partie du spectre maxff >

est d’amplitude négligeable devant celle de la partie maxff < ), le motif de ce spectre se répète,

centré sur les fréquences enf .

2.2 Théorème de Shannon

Pour que l’opération d’échantillonnage soit réversible, c’est-à-dire pour pouvoir repasser sans perte d’information de )(e ts à s(t), il ne faut pas que les différents motifs du spectre se

chevauchent. Il est donc nécessaire d’avoir maxmaxe fff >− soit maxe 2ff ≥ : Théorème de Shannon : la fréquence d’échantillonnage doit être supérieur e ou égale à deux fois la fréquence maximale du signal maxe 2ff ≥≥≥≥

On pourra alors retrouver le signal d’origine s(t) par filtrage passe-bas.

2.3 Repliement de spectre

Si le spectre du signal a une amplitude non négligeable pour des fréquences supérieure à 2ef

(fréquence de Nyquist) , des composantes fictives apparaissent dans le spectre du signal échantillonné, composantes qui ne sont pas présentes dans le spectre du signal réel.

Cette règle fait apparaître la nécessité de l’existence d’une fréquence maximale dans un signal pour pouvoir l’échantillonner. Pour un signal de durée finie, cette fréquence maximale n’existe pas, en général. Il faut donc utiliser un filtre passe-bas (appelé filtre anti-repliement) pour limiter les fréquences du signal que l’on désire échantillonner. Prenons l’exemple d’un signal musical. L’oreille humaine n’est sensible aux fréquences que jusqu’à 20 kHz dans le meilleur des cas. On choisit ainsi de filtrer les signaux musicaux à 20 kHz de manière à ne conserver que les fréquences inférieures. Ce signal filtré est ensuite échantillonné à 44,1 kHz, codé et gravé sur un compact-disc. La fréquence d’échantillonnage est choisie avec une marge par rapport à la fréquence minimale requise par le théorème de Shannon (40 kHz) pour pouvoir filtrer plus facilement lors de la reconversion du signal numérique vers le signal analogique. Illustrons le problème du repliement de spectre pour un signal sinusoïdal s(t) de fréquence

Hz 1000 =f .

S’il est échantillonné à Hz 2002Hz 250 0e =>= ff : le critère de Shannon est respecté, il y a plus d’un échantillon par demi-période (ronds sur le courbe ci-dessous) et la sinusoïde s(t) est correctement décrite. Si s(t) est échantillonné à Hz 2002Hz 150 0e =<= ff : le critère de Shannon n’est plus respecté, il n’y a plus assez d’échantillons (croix sur la courbe ci-dessous) et c’est une sinusoïde de fréquence plus basse qui apparaît.

Le spectre du signal réel contient deux raies pour les fréquences 0f± . L’effet de l’échantillonnage est une répétition périodique du spectre réel : on retrouve dans

l’intervalle

= Hz 752

,0 ef de fréquences représenté à l’oscilloscope une raie correspondant à

la fréquence 0f− translatée de ef : raie fictive de fréquence Hz 500e =− ff qui n’existe pas

dans le signal réel, alors que la raie réelle de fréquence 0f n’apparaît pas !

Comme 22

)( e00e ffff =−+−, la raie fictive et la raie réelle sont symétriques par rapport à la

fréquence de Nyquist 2ef : on parle de repliement de spectre .

2.4 Analogie avec la stroboscopie C’est ce phénomène que l’on peut constater lorsque l’on regarde une roue qui tourne lorsqu’elle est filmée. On voit souvent apparaître une vitesse de rotation différente de la vitesse d’avancement réelle de la charrette. Parfois même, la roue semble aller en sens inverse. Cela est dû au fait qu’un film correspond à un échantillonnage d’un phénomène continu par une succession de photos prises à intervalles réguliers. Pour le cinéma, la fréquence d’échantillonnage est en général de 24 images par secondes et 25 pour les standards français ou européen de la télévision. Ainsi tous les phénomènes périodiques dont la fréquence est supérieure à 12 Hz vont se replier fréquentiellement. On peut également constater le même résultat lorsque l’on observe un écran d’ordinateur filmé à la télévision. La fréquence de rafraîchissement des images d’un écran d’ordinateur est en général comprise entre 50 et 80 Hz ; cette fréquence va donc se replier et l’on va voir apparaître une fréquence plus basse.

À la date t la roue a tourné de l’angle tf02π=θ . En photographiant la roue tous les e

e1f

T = on

n’a accès qu’à des angles orientés e

0e0

)1( 22ff

kkTfk π=π=θ .

On constate que pour une fréquence de rotation e0a fff −= , on aurait :

)1(

e

0

e

0

e

e0ee0

)2( 2222)(2 kk ff

kkff

kf

ffkkTff θ=π=π−π=−π=−π=θ . La fréquence apparente (la

plus basse) est ici e0a fff −= . Dans l’exemple de la figure où 0e0e 23

32

ffTT =⇒= , la fréquence

apparente vaut 021

0a <−= ff : la roue semble tourner en sens inverse.

Le phénomène de repliement trouve des applications quand on l’utilise à bon escient : c’est le rôle de la stroboscopie qui permet d’analyser des phénomènes rapides. Les premiers à s’y être intéressés sont des scientifiques de la fin du XIXème siècle qui étudièrent ainsi les mouvements de la course de certains animaux. On peut même figer un phénomène de fréquence 0f quand 0e ff = (on retrouve bien une fréquence nulle pour le repliement de 0f par

rapport à 220e ff = ) et mesurer précisément cette fréquence 0f .

3. QUANTIFICATION Suite à l’opération d’échantillonnage, nous sommes passés d’un signal continu en temps à un nombre fini de valeurs numériques. Cependant, ce vecteur de données ne peut pas être directement traité par un calculateur. En effet, du fait de la structure électronique de tout calculateur, il ne sait analyser que des niveaux de tension binaires (0 volt correspondant à 0, et +V volts correspondant à 1). Les données numériques à traiter devront donc être codées par une structure binaire. Cette opération est appelée la quantification. Contrairement à l’échantillonnage, cette opération ne s’effectue pas sans perte. Le fait de coder un chiffre sur un certain nombre de bits s’accompagne d’une approximation. Le calculateur ne sait traiter qu’un nombre fini de valeurs numériques quantifiées. Le pas de quantification et la précision d’un CAN dépendent du nombre de bits en sortie,

appelé résolution . Pour un CAN à N bits, le nombre d’états possibles en sortie est N2 , ce qui

permet d’exprimer des signaux numériques de 0 à 12 −N en code binaire naturel. Un CAN est caractérisé également par la plage de variation acceptable de la tension analogique d’entrée, appelée Pleine Echelle (FS pour Full Scale en anglais) et que nous noterons PEv . La pleine échelle est divisée en autant de plages d’égale dimension (cas de la quantification uniforme) qu’il y a d’états possibles de la sortie numérique. Chaque plage est associée à un code numérique représentant la tension analogique d’entrée. La figure ci-dessous représente la caractéristique de transfert idéale (sans défaut) en escalier d’un CAN à 2 ou 3 bits.

Le quantum N

vq

2PE= est la dimension des plages. Les tensions de seuil kqvk = pour

{ }12,1 −∈ Nk correspondent aux transitions entre les codes de sortie. On a ici une quantification linéaire par défaut ; la droite de transfert idéale en pointillés correspond à un CAN de résolution

∞→N . Plus la résolution est élevée, plus la sortie numérique est une image précise du signal analogique d’entrée comme on le voit sur le tableau suivant pour V10PE =v :

N q 8 39,1 mV

10 9,77 mV 12 2,44 mV 14 610 µV

L’erreur de quantification (ou de codage) est la différence entre la valeur du signal échantillonné et la valeur analogique d’entrée correspondant au code de sortie (correspondance donnée par la droite de transfert idéale), l’erreur de codage est exprimée en

q. La figure suivante donne l’erreur de codage d’un CAN à 3 bits pour une quantification linéaire par défaut :

L’erreur de codage est comprise entre 0 et q. Ainsi tous les signaux analogiques compris entre

3v et 4v , par exemple, sont représentés par le code binaire 011. On peut diminuer cette erreur en utilisant une quantification linéaire centrée :

Les caractéristiques précédentes sont celles de CAN unipolaires dont la tension analogique d’entrée est positive. Bien souvent, un même CAN peut être configuré également en mode bipolaire de façon à accepter une tension analogique d’entrée négative ou positive (la plage de

variation est alors symétrique entre 2PEv− et

2PEv

). La figure ci-dessous présente la

caractéristique de transfert correspondante :

La dynamique maximale que l’on peut obtenir (rapport entre la tension maximale admissible et

la tension minimale que l’on peut coder) est de 12 −N soit en décibels :

NNN 62log20)12log(20dyn ≈≈−= (pour N grand). Le choix du nombre de bits N est donc fixé par la précision requise. Par exemple pour de la musique haute fidélité gravée sur un CD, on utilise une quantification sur 16 bits soit une dynamique de 96 dB. On peut augmenter la dynamique tout en minimisant le nombre de bits employés en utilisant une quantification non uniforme. Ce type de quantification consiste à allouer un pas de quantification plus fin pour les faibles tensions et augmenter le pas au fur et à mesure que l’amplitude croit.

Grâce à cette technique on peut coder finement les signaux de faible niveau tout en évitant une éventuelle saturation pour les signaux de forte amplitude. Les quantifications non uniformes à pas logarithmiques sont par exemple utilisées pour coder les signaux de téléphonie fixe. La quantification peut également entraîner un autre type d’erreur que la simple erreur d’arrondi : l’erreur de saturation. En effet, le nombre de niveau de quantification étant fini, on ne peut recevoir que des signaux d’amplitude maximale prédéfinie. Si un signal d’amplitude supérieure est présent, il sera écrêté. Nous venons de voir comment transformer un signal analogique en signal numérique et les avantages qui découlent de cette conversion. Nous avons vu qu’un signal était, en général une fonction du temps (signal de télécommunication, signal audio, ....). Cependant les notions présentées s’appliquent également aux images. Celle-ci peuvent être considérées comme l’extension à 2 dimensions d’un signal. Les axes x et y de l’image remplacent l’axe temporel du signal.

4. ANALYSE SPECTRALE NUMÉRIQUE

4.1 Principe L’algorithme FFT (Fast Fourier Transform : transformée de Fourier rapide) a été mis au point en 1965 par Cooley et Tukey, puis amélioré par Hadamard. Il correspond à une transformée de Fourier discrète où une partie du

signal de durée aT est échantillonnée en p2 valeurs, soit pour les oscilloscopes numériques les plus courants : 2048 points du domaine temporel ( 11=p ). Le signal FFT affiché à l’écran contient 1024 points qui vont du continu (CC) à la fréquence de Nyquist (fréquence d’échantillonnage ef divisée par deux).

pT

T2

ae ≈≈≈≈ est la période d’échantillonnage

aee

21TT

fp

======== est la fréquence d’échantillonnage

4.2 Problèmes liés à aT finie — Les échantillons sont pris sur une durée finie (correspondant souvent à la partie centrale de la largeur visible de l’écran de l’oscilloscope). Les calculs supposent que le signal s(t) dont on recherche la transformée de Fourier est périodique et que le motif à l’écran correspond à une

période e

ea2

)12(f

TTp

p ≈−= (cette fonction, a priori différente de la fonction réelle, s’appelle

« périodisée de s » : l’algorithme calcule donc p2 coefficients d’une série de Fourier pour des

fréquences p

nfTn

2e

a= , avec 12,...,2,1,0 −= pn ). Seules sont affichées les fréquences

correspondant à 12,...,2,1,0 −= pn , c’est-à-dire jusqu’à la fréquence de Nyquist 2ef .

Pour N points d’acquisition donné, la résolution en fréqu ence est d’autant meilleure que

aT est grand : l’écart a

1T

entre deux raies du spectre calculées par l’algori thme diminue.

— Dans le cas d’un signal périodique, si le signal s(t) analysé contient un nombre entier de périodes, il n’a pas de discontinuité dans la périodisée. En revanche, dans le cas où la partie du signal échantillonnée ne contient pas un nombre entier de périodes, la fonction FFT réalise l’analyse de Fourier d’un signal périodique discontinu, les discontinuités étant provoquées par les transitions entre les points de début et de fin. L’effet est l’apparition de raies parasites autour des fréquences que contient réellement le signal. Le fait d’appliquer une fenêtre au signal s(t) change ce signal de sorte que les valeurs de début et de fin soient proches l’une de l’autre, ce qui réduit les discontinuités. Dans le cas d’un signal transitoire s(t), la durée de l’échantillonnage aT doit être suffisamment grande pour que l’évolution significative de s(t) y soit contenue. Le choix d’une fenêtre FFT (différentes fenêtres peuvent être implémentées selon le logiciel) résulte d’un compromis entre la résolution en fréquence et la précision en amplitude. Il dépend donc en partie de ce que l’on veut mesurer et des caractéristiques du signal source : ♦ La fenêtre rectangulaire, Rectangular , correspond à celle de l’échantillonnage (pas de fenêtre appliquée). Elle convient pour des signaux périodiques contenant un nombre entier de périodes et pour des signaux transitoires qui n’ont pas de discontinuités entre le début et la fin de la fenêtre. ♦ La fenêtre de Hanning s’avère utile pour des signaux périodiques lorsque l’on cherche une bonne résolution en fréquence et pour une utilisation générale, notamment pour séparer deux fréquences proches ou pour effectuer des mesures de fréquence. La précision en amplitude est moins bonne qu’avec Flattop. ♦ La fenêtre à sommet plat, Flattop , est la mieux adaptée pour effectuer des mesures d’amplitude. La précision en fréquence est moins bonne qu’avec Hanning.

4.3 Problèmes liés à l’échantillonnage L’échantillonnage est comme on l’a vu, responsable d’une périodisation du spectre avec une période ef . Il faut donc échantillonner avec une fréquence suffisante maxe 2ff ≥ pour éviter le repliement de spectre.

Néanmoins, le nombre d’échantillons pN 2= étant limité, prendre ef trop grande revient à

prendre e

a fN

T ==== trop petite, et donc à perdre en résolution fréque ntielle.

Sauf éventuel problème de stockage ou de temps de c alcul, on prend N maximal si on a le choix, puis on s’assure que le critère de Nyquis t maxe 2ff ≥≥≥≥ est vérifié, tout en limitant

la valeur de ef pour garder la résolution en fréquence souhaitée. On évite enfin de faire apparaître des discontinuit és en faisant le calcul de la FFT entre deux points de même ordonnée ou en utilisant un fen êtrage.