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  • Le tenseur des contraintes de Cauchy

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Lois dEuler du mouvement

    d

    dt

    t

    v dv = R

    d

    dt

    t

    OP v dv = M 0

    Lois dEuler du mouvement 3/59

  • Lois dEuler du mouvement

    d

    dt

    t

    v dv =

    t

    (x , t)f (x , t) dv +

    t

    t (x , t , t) ds

    d

    dt

    t

    OP v dv =

    t

    OP (x , t)f (x , t) dv

    +

    t

    OP t (x , t , t) ds

    Elles sappliquent a tout sousdomaine D t . On a besoin des deux equations! Referentiel non galileen : mettre les forces dinertie dans f

    Lois dEuler du mouvement 4/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • La controverse des elasticiens du XIXeme siecle

    Cote francais : Navier, Cauchy, SaintVenant lhypothese moleculaire

    Cote anglais : Young, Green lapproche phenomenologique

    Representation des efforts interieurs 6/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Description des efforts interieurs

    t

    D

    D

    le vecteurcontrainte

    R surf =

    D

    t (x , D, t) ds

    Representation des efforts interieurs 8/59

  • Description des efforts interieurs

    tD

    D

    n

    t

    le vecteurcontrainte

    R surf =

    D

    t (x , D, t) ds

    le postulat de Cauchy :

    t (x , D, t) := t (x ,n , t)

    normale sortante

    Representation des efforts interieurs 9/59

  • Description des efforts interieurs

    D1

    D1D2

    D2n

    t

    le vecteurcontrainte

    R surf =

    D

    t (x , D, t) ds

    le postulat de Cauchy :

    t (x , D, t) = t (x ,n , t)

    normale sortante

    une consequence

    t (x , D1, t) = t (x , D2, t)

    Representation des efforts interieurs 10/59

  • D1

    D1

    D2

    D2

    n 1

    n 2

    Representation des efforts interieurs 11/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Largument du cachet daspirine

    t

    S

    D

    n

    n

    x

    D

    D

    S = S D

    D = D+ D H

    f , a bornees

    t continu (pas deffortssurfaciques concentres)

    premiere loi dEulerD

    t (x ,n , t) ds =

    D

    (x , t)(a f ) dv

    Representation des efforts interieurs 13/59

  • Largument du cachet daspirine

    t

    S

    D

    n

    n

    x

    D

    D

    S = S D

    D = D+ D H

    f , a bornees

    t continu (pas deffortssurfaciques concentres)

    premiere loi dEulerD

    t (x ,n , t) ds =

    D

    (x , t)(a f ) dv

    Representation des efforts interieurs 14/59

  • Largument du cachet daspirine

    t

    S

    D

    n

    n

    x

    D

    D

    S = S D

    D = D+ D H

    f , a bornees

    t continu (pas deffortssurfaciques concentres)

    Lemme dimparitet (x ,n , t) = t (x ,n , t)

    actio = reactio

    Representation des efforts interieurs 15/59

  • Largument du cachet daspirine

    t

    S

    D

    n

    n

    x

    D

    D

    S = S D

    D = D+ D H

    f , a bornees

    t continu (pas deffortssurfaciques concentres)

    Lemme dimparitet (x ,n , t) = t (x ,n , t)

    actio = reactio

    Exemple de representation de t (n ) remplissant cettecondition?

    Representation des efforts interieurs 16/59

  • Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :

    t = p n

    Representation des efforts interieurs 17/59

  • Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :

    t = p n

    Representation des efforts interieurs 18/59

  • Une remarque...

    premiere loi dEulerD

    t (x ,n , t) ds =

    D

    (x , t)(a f ) dv

    Quelles sont les conditions sur t pour quune integrale devolume se reduise a une integrale de surface?

    Representation des efforts interieurs 19/59

  • Le theoreme de la divergence et autres formes

    div v dv =

    v .n ds

    Representation des efforts interieurs 20/59

  • Le theoreme de la divergence et autres formes

    div v dv =

    v .n ds

    plus generalement, ,i dV =

    ni ds

    f dv =

    f n ds

    div v dv =

    v .n ds

    div T dv =

    T .n ds

    Representation des efforts interieurs 21/59

  • Une remarque...

    premiere loi dEulerD

    t (x ,n , t) ds =

    D

    (x , t)(a f ) dv

    Quelles sont les conditions sur t pour que lon puisse passerainsi du volume a la surface?Si t est un flux t lineaire en n t = .n , alors lepassage surfacevolume est possible.

    La reciproque constitue le theoreme de Cauchy.

    Representation des efforts interieurs 22/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Largument du tetraedre de Cauchy

    n

    1

    2

    3

    P1

    P3

    P2M

    n = [n1 n2 n3]T

    tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)

    surfaces S1,S2,S3,S

    h

    (x , t)(a f ) dv =

    h

    t (x ,n , t) ds

    Representation des efforts interieurs 24/59

  • Largument du tetraedre de Cauchy

    n

    1

    2

    3

    P1

    P3

    P2M

    n = [n1 n2 n3]T

    tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)

    surfaces S1,S2,S3,S

    t1(M,n ) = t1(M,3

    i=1

    nie i ) =3

    i=1

    ni t1(M, e i )

    Representation des efforts interieurs 25/59

  • Largument du tetraedre de Cauchy

    n

    1

    2

    3

    P1

    P3

    P2M

    n = [n1 n2 n3]T

    tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)

    surfaces S1,S2,S3,S

    t1(M,n ) = t1(M,3

    i=1

    nie i ) =3

    i=1

    ni t1(M, e i )

    t2(M,n ) = t2(M,3

    i=1

    nie i ) =3

    i=1

    ni t2(M, e i )

    t3(M,n ) = t3(M,3

    i=1

    nie i ) =3

    i=1

    ni t3(M, e i )Representation des efforts interieurs 26/59

  • Largument du tetraedre de Cauchy

    n

    1

    2

    3

    P1

    P3

    P2M

    n = [n1 n2 n3]T

    tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)

    surfaces S1,S2,S3,S

    ti (M,n ) =3

    j=1

    nj ti (M, e j)

    ti = ijnj , ij(M) := ti (M, e j)

    Representation des efforts interieurs 27/59

  • Le theoreme de Cauchy

    Il existe un champ de tenseurs du second ordre (x , t) tel que, entout point regulier de t (t continu, f , a finis),

    t = .n t1t2t3

    = 11 12 1321 22 23

    31 32 33

    n1n2n3

    Representation des efforts interieurs 28/59

  • Le tenseur des contraintes

    Le tenseur des contraintes est la machine a produire les effortssexercant sur les elements de surface en M :

    t ds = .n ds = .ds

    n

    t

    n

    x3

    x1

    x2

    33

    2313

    32

    22

    12

    31

    1121

    Representation des efforts interieurs 29/59

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

    6 Etats de contraintes remarquables

  • Plan

    1 Lois dEuler du mouvement

    2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

    3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

    4 Equations aux discontinuites

    5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux co

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