le spin ½ et la résonance magnétique nucléaire · le moment cinétique orbital n’explique pas...
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Chapitre 12
Le spin ½ et la résonance
magnétique nucléaire
1.
Le spin ½
Le moment cinétique orbital n’explique pas tout
L’expérience de Stern et Gerlach
L’effet Zeeman
Pour certains atomes, on observe un nombre pair : effet Zeeman anormal.
La structure fine de l’hydrogène
Raies spectrales dédoublées. Degré de liberté supplémentaire?
Valeurs propres :
Nombre impair
Pour une valeur de donnée, on s’attend donc à valeurs possibles.
On s’attendrait à un nombre impair de taches.
De plus, l’hydrogène a un moment cinétique orbital nul dans son état
fondamental , de même que l’argent.
Aucune déviation du faisceau d’atomes n’aurait donc dû être observée.
Clivage des niveaux d’énergie sous l’action d’un champ magnétique.
Nombre impair de valeurs possibles.
L’électron possède un moment cinétique
intrinsèque dû à sa rotation sur lui-même (spin).
L’hypothèse d’Uhlenbeck et Goudsmit (1925)
Mais, la théorie du moment cinétique nous dit qu’un objet en rotation sur
lui-même devrait avoir un moment cinétique entier et non demi-entier.
Même si l’image physique d’une particule tournant sur elle-même
est simpliste, les faits expérimentaux nous contraignent à postuler
l’existence d’un moment cinétique intrinsèque, le spin, objet
quantique sans équivalent classique.
Le spin de l’électron :
Le spin de l’électron est décrit par un espace de Hilbert de dimension 2 corres-
pondant à un moment cinétique intrinsèque, noté , associé à
Base :
ou encore :
Les matrices de Pauli
On introduit
On peut aussi écrire :
D’après l’amphi 3 :
On pose sont les matrices de Pauli.
(voir QCM)
Opérateur rotation
De façon générale, on a pour une rotation d’un angle infinitésimal
autour de l’axe la représentation suivante dans l’espace de Hilbert:
d’où l’on déduit
(PC3)
Pour le spin :
Pour une rotation d’angle fini , on en déduit l’équation différentielle
(exercice)
Rotation d’un spin ½
A.
B.
C.
D.
On applique une rotation d’un angle à un spin ½
initialement dans l’état , avec
On appelle et l’état du système et la valeur
moyenne du spin après la rotation.
Indiquez les égalités ci-contre qui sont correctes.
2.
La précession de Larmor
Moment magnétique et moment cinétique
En physique classique : avec
charge de la particule
masse de la particule
En physique quantique, l’invariance par rotation permet de montrer de
façon générale que dans un sous-espace propre de , on a:
Pour le moment cinétique intrinsèque, cela dépend de la nature de la particule:
Dans le cas de , le principe de correspondance impose :
Electron
Proton Neutron
Spin ½ dans un champ magnétique uniforme
Précession de Larmor
L’évolution du système se ramène donc à un
mouvement de rotation autour de l’axe à la
fréquence
NB : pour le proton, est négatif.
(PC2)
La sphère de Bloch
L’état quantique d’un spin ½ (ou d’un système à deux niveaux) est
entièrement déterminé – à une phase globale près – par la position d’un
point sur une sphère.
La précession de Larmor correspond simplement à
3.
La Résonance Magnétique Nucléaire
(RMN)
Conditions de l’expérience
On superpose un champ fixe et un champ tournant
En général, et
Hamiltonien du problème
Problème : l’Hamiltonien dépend du temps!
Solution : On se place dans un référentiel géométrique tournant autour
de l’axe à la fréquence . Dans ce référentiel, le champ
tournant sera fixe.
Etat du système dans le référentiel tournant
Dans le référentiel tournant :
Dans le référentiel fixe :
Condition initiale :
Transformation unitaire (voir QCM)
Calcul de l’hamiltonien effectif
car
car est un opérateur unitaire.
hermitique
conjugué
Champ magnétique effectif
est indépendant du temps!
Dans un référentiel tournant à , la
fréquence de précession de Larmor
autour de devient
Dans le référentiel tournant,
le champ tournant est fixe et
reste aligné selon l’axe
avec
Précession de Larmor autour
de à la fréquence ,
appelée fréquence de Rabi.
Les oscillations de Rabi
Temps
La Résonance Magnétique Nucléaire
Lorentzienne de largeur
à mi-hauteur .
La RMN : un exemple de processus résonnant
Lorentzienne de largeur
à mi-hauteur .
Le phénomène de résonance magnétique nucléaire peut également s’inter-
préter comme l’interaction d’une onde électromagnétique de fréquence w
avec un système à deux niveaux.
Se généralise à de nombreux autres
types de spectroscopie :
résonance électronique de spin,
spectroscopie d’absorption laser, etc.
Evolution du spin dans le référentiel fixe
Combinaison d’une précession (rapide) autour de l’axe z et d’une
précession (lente) autour du champ tournant.
4.
Aspects expérimentaux et applications
Mise en évidence expérimentale
Préparation et détection de l’état de spin à l’aide d’un
appareil de Stern et Gerlach.
I. Rabi (prix Nobel de physique 1944)
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1944/
F. Bloch & E. Purcell (prix Nobel de physique 1952)
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1952/
RMN en phase condensée
Préparation : équilibre thermique
ex :
Détection : mesure de l’absorption de l’onde tournante en fonction de
(ou plus souvent de ).
Ab
so
rptio
n
Le déplacement chimique
Spectre RMN de l’éthanol
J.T. Arnold et al., J. Chem. Phys. 19, 507 (1951)
La spectroscopie RMN est un puissant outil d’analyse chimique
Le champ magnétique appliqué est légèrement écranté par l’environnement
électronique du proton, ce qui déplace la résonance d’une valeur relative de
l’ordre de quelques 10-6 (déplacement chimique), quantité caractéristique
de la molécule considérée et de l’emplacement du proton dans la molécule.
Imagerie par résonance magnétique (IRM) Paul Lauterbur et Peter Mansfield (prix Nobel de médecine 2003)
http://nobelprize.org/nobel_prizes/medicine/laureates/2003/
pour un gradient selon
Champ
homogène
Avec un
gradient
On introduit un champ magnétique inhomogène en ajoutant au champ
un gradient contrôlé à l’aide de bobines additionnelles.
Relation affine entre et
Résonance pour
Imagerie neurofonctionnelle : http://www.ifr49.org/ (Neurospin)
Reconstruction tomographique
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
La RMN par transformée de Fourier
Richard Ernst (prix Nobel de chimie 1991)
http://nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1991/
Au lieu d’un champ tournant continu, on utilise une excitation percusionnelle
dite impulsion p/2, qui amène le spin dans le plan équatorial.
Temps
Aim
an
tatio
n
Temps
acquisition du signal
Sp
ectr
e
Avantages de la RMN par transformée de Fourier
Pour l’IRM : possibilité d’appliquer des gradients séquentiels
Acquisition plus rapide
Imagerie 3D
RMN à deux dimensions
Codage
de phase
Richard Ernst (prix Nobel de chimie 1991)
http://nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1991/
Lecture
acquisition du signal
Temps
Sélection
de coupe
Temps acquisition de
Kurt Wüthrich (prix Nobel de chimie 2003 : structure de biomolécules)
http://nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/2002/