Le progrès technique et le modèle de Solow

AES L3 AGE, AGT, CAI

2016-2017

Le modèle de Solow de [1954] nous apprend que la croissanceest transitoire et que le taux de croissance diminue lorsqu’on serapproche de l’ ES.

Figure – Evolution du PIB par tête aux États-Unis

Cependant, si l’on observe l’évolution du PIB par habitant desétats-Unis, les faits ne sont pas en accord avec la théorie.

L’étonnante stabilité de la croissance américaine

Figure – Taux de croissance annuel moyen américain

Pourquoi l’économie américaine ne converge-t-elle pas vers unÉtat Stationnaire, aurait-on "oublié" un facteur de production ?

L’hypothèse du progrès technique

Définition du progrès technique :

Le progrès technique permet l’augmentation de l’efficacité d’unou de l’ensemble des facteurs de production. On le note At.La fonction de production possède trois facteurs :

Yt = f (Kt;Lt;At)

Le progrès technique peut augmenter l’efficacité du capital, dutravail ou bien de l’ensemble des facteurs de production.

Le PT modifie la fonction du production au cours dutemps

Figure – Effet du progrès technique

Le problème de la neutralité du progrès technique

On dit qu’un progrès technique est neutre s’il laisse inchangécertaines proportions dans la fonction de production. Cettedéfinition ne dit pas grand chose sur ce qu’est la neutralité.Cependant si l’on se réfère aux faits stylisés de Kaldor, onobserve que :

I K/Y = k/y constant,(identique à y/k constant)I K/L = k croissant,I Y/L = y croissant,I Pmk = R constant,I Pml = w croissant.

Un progrès technique permettant cela est qualifié dePT neutre au sens de Harrod.

visualisation du progrès technique neutre au sens deHarrod

Figure – Progrès technique neutre au sens de Harrod

Le modèle de Solow avec progrès technique neutre ausens de Harrod

Nous allons développer le modèle dans lequel nous introduisonsdu progrès technique neutre au sens de Harrod.

Barro et Sala-i-Martin montre que seul ce type de progrèstechnique peut conduire à une solution de croissance à tauxconstant. L’idée est simple, toute forme de PT qui modifieraitdans le temps le rapport K/Yt ne permettrait pas d’avoir unesolution du type γk = syt/kt − n+ δ comme nous l’avons vuprécédemment.

De plus nous faisons l’hypothèse selon laquelle le PT croît àtaux constant.

DAt

At= x

Dans ce cas la fonction de production devient :

Yt = f (Kt;At.Lt)

En divisant par Ats.Lt, on obtient :

Yt

At.Lt= f

(Kt

At.Lt; At.Lt

At.Lt

)= f

(Kt

At.Lt; 1

)En posant :

Yt

At.Lt= yt, et

Kt

At.Lt= kt

On peut écrire :

yt = f(kt

)

L’accumulation du capital par tête efficace

On nomme kt le capital par tête efficace et yt la production partête efficace.L’accumulation du capital est donné par :

DKt = s.Yt − δKt

Divisons par Ats.Lt :

DKt

At.Lt= s.

Yt

At.Lt− δ Kt

Ats.Lt

On obtient :DKt

At.Lt= s.yt − δkt

Déterminons l’expression Dkt

On cherche Dkt = D(

KtAt.Lt

)Avec un peu de patience on trouve :

Dkt = D

(Kt

At.Lt

)= At.LtDKt −Kt(LtDAt +DLtAt)

A2t .L

2t

en arrangeant un peu :

Dkt = DKt

At.Lt− (x+ n)kt

Enfin en remplaçant DKtAt.Lt

par son expression, on obtient :

Dkt = syt − (x+ n+ δ)kt

Similitude du modèle avec PT et sans PT

Dans le cas du modèle de Solow simple, on avait :

Dkt = syt − (n+ δ)kt

Dans le cas du modèle avec PT on a :

Dkt = syt − (x+ n+ δ)kt

La ressemblance est frappante aux changement de variables prèset à l’introduction dans l’investissement requis du taux decroissance du PT.

Graphique du modèle de Solow avec PT

Figure – Modèle de Solow avec progrès technique

L’État Régulier (ER)

Sur le graphique précédent et de façon identique au modèle deSolow, il existe un équilibre tel que :

Dkt = 0 → s.y∗ = (n+ x+ δ)k∗

Ou encore :k∗

y∗ = s

n+ x+ δ

Par définition de kt et de yt on constate qu’à l’équilibre de ratiok/y est constant à l’équilibre mais que kt et yt augmente aucours du temps.

kt∗

yt∗ = s

n+ x+ δ

Taux de croissance des variables par tête

On sait qu’à l’équilibre k∗ est constant. Par définition :

kt = Kt

AtLt→ kt = ktAt

En prenant le logarithme puis la dérivée :

Dkt

kt= Dkt

kt

+ DAt

At= x

Le capital par tête croît au même taux que le progrès technique.De la même façon, nous montrerions que :

γk = γy = γc = x

Taux de croissance des variables

On sait qu’à l’équilibre k∗ est constant. Par définition :

kt = Kt

AtLt→ Kt = ktAtLt

En prenant le logarithme puis la dérivée :

DKt

Kt= Dkt

kt

+ DAt

At+ DLt

Lt= x+ n

Le stock de capital croît au taux n+ x. De la même façon, nousmontrerions que :

γK = γY = γC = x+ n

Conclusion

Sans le progrès technique, l’accumulation du capital finit parsubir les rendements décroissants.

Le progrès technique implique une amélioration continue de latechnologie qui permet d’éliminer l’effet des rendementsdécroissants en renforçant la productivité du travail.

Cela conduit alors à une croissance par tête dans le modèle deSolow avec progrès technique.