Stage CIRUISEF « Armoire de Physique » de BAMBEY

Mécanique

Le pendule simple

Par Michel Gouet Le pendule simple

— Idée générale : une masse est pendue à un fil, on analyse les oscillations (transformations énergie potentielle-énergie cinétique).

— Matériel : support vertical rigide 1 à 1,5 m, masses diverses munies de crochet, balance, chronomètre. Les matériels et des exemples d’endroits où se les procurer sont indiqués en fin du document, avec le cas échéant des références.

— Développements possibles : Analyse graphique (tableur), étude vitesse (webcam), influence de l’air (grosses masses très légères > amortissement), des oscillations de grande amplitude. Analogies avec masse+ressort, lames vibrantes, quartz (électronique).

L’intérêt n’est pas seulement historique, ou de vérification d’une « loi » expliquée en théorie. Manipulation simple, mais les mesures doivent être réfléchies :

Influence de la masse du pendule (elle devrait être imperceptible, sauf freinage par l’air, cas d’un pendul très léger)

Influence de la longueur du fil de suspension. Cette influence n’est pas linéaire, c’est l’occasion d’effectuer une représentation linéarisée sur tableur par un choix judicieux de coordonnées

Précision : Bien entendu, il faut mesurer des périodes entières (on ne compte pas « 1 » lorsqu’on lâche le pendule !), on a intérêt à mesurer sur 10 ou 20 périodes. Mais quel point-repère choisir : lorsque le pendule est au plus haut, ou lorsque sa vitesse est la plus grande (passage à la verticale) ? Et pour vérifier la loi, il est utile d’avoir au moins un point très éloigné des autres (ex : pendule accroché au plafond ).

Limites du modèle théorique : amortissement éventuel, écart pour les grandes amplitudes, le centre d’inertie n’est pas au centre de gravité si la masse n’est pas ponctuelle..

Et des questions plus fondamentales : on mesure un phénomène d’échage entre énergie potentielle et énergie cinétique. Et l’on fait cette mesure avec un chronomètre dont le fonctionnement est basé (même s’il est à quartz…) sur le même phénomène fondamental. Est-ce bien légitime ?

Et dans la théorie, on parle de masse. Or il y en a deux : la masse gravifique (poids du pendule) et la masse inertielle … Pourquoi les confond-t-on ? Et nous mesurons un temps. Mais qu’est-ce que le temps ? Ceci nous amène à la théorie de la relativité !

Cette expérience simple est l’occasion pour les étudiants de s’exercer à travailler avec rigueur, et précision, réfléchir aux limites d’une « théorie » et, si possible, d’exploiter astucieusement des mesures sur un tableur.

On voit donc que cette expérience qui paraît triviale est un sujet de réflexions approfondies.

Coût d’un poste de travail Entre 30 et 50 € par poste pour 6 postes Potence, masses réalisées sur place, fil de pêche + équipement de base d’un labo de Physique, en commun : balance « standard » achetée en Chine servant aussi à d’autres expériences, chronomètre d’un téléphone portable ou logiciel chronomètre sur PC, Si possible microordinateur.

La construction mécanique Expérimentalement, il s’agit de suspendre une masse (variable) au bout d’un fil (de longueur variable) et de mesurer avec précision le temps nécessaire pour un aller et retour (période). Le support doit avant tout être stable, et très rigide.

De nombreuses façons de réaliser le support sont envisageables :

Ici, en métal : cadre en tubes de fer soudés (pouvant être utilisé pour bien d’autres expériences), potences démontable pour faciliter le rangement., matériel pour vitrines de magasins…

Plateau support horizontal : Dimensions 40 x 40 cm au moins. Contreplaqué ou aggloméré d’épaisseur 1,5 à 2 cm.

Les tranches et les surfaces , comme d’habitude, devront être enduites et peintes ou, plus facile si c’est possible chez votre marchand de bois, revêtus comme ici de chants plastiques pour obtenir un ensemble impeccable Il est souhaitable (mais pas indispensable) de le poser sur 3 points aussi écartés que possible pour éviter des mouvements s’il est posé sur un support glissant ou pas très plan (carreaux de faïence par exemple). Les trois points peuvent être matérialisés par 3 pastilles de feutre, des pieds réglables à vis (simplement forcées dans un trou de diamètre 0,5 mm inférieur à celui de la vis), etc .

Pied réglable

(notez la fente pour régler du dessus) Pied réglable

installé Réglage du pied par le dessus

Une horizontalité parfaite n’est pas nécessaire. Parfois les masses tombent bruyamment sur le plateau à la suite de maladresses. Ce n’est pas grave, mais gênant dans la salle de T.P. On peut poser une mousse plastique pour amortir ces chocs (par exemple découpée dans un matelas de camping de 5mm d’épaisseur). Tige verticale : Elle doit être aussi rigide que possible (ex : tube métallique rond ou carré de 2,5 cm de diamètre ou de côté, tasseau de bois de 3,5 x 3,5 cm au moins) et longue (1,2 m ou plus si possible).

Fixation de la tige sur le plateau : Doit être extrêmement rigide, collée et vissée si l’ensemble est en bois (voir notice « constructions en bois » rubrique « assemblages », on peut s’inspirer de la photo ci-après réalisée au cours du stage de Bambey, montage pas très joli mais solide… Il comporte deux petites équerres devant, une derrière et un blocage sur le plateau « ajusté» avec de l’Araldite).

La fixation doit être très solidement vissée si l’assemblage est métallique. On peut même envisager un système démontable pour faciliter le rangement.

Les photos ci-dessous montrent des dispositifs satisfaisants que nous avons personnellement utilisés à diverses occasions.

Pied de table (fixation), acier chromé Support pour étalage, alu moulé

Té d’étalage (fixation horizontale) Pied de table Support ci-dessus, et tube chromé 25 mm

Tige horizontale : Là aussi, la fixation doit être bien rigide. Pour la concevoir, prendre conscience que le poids tirera vers le bas, et que les oscillations tendront à faire bouger de droite à gauche. Si le montage est en bois, on peut utiliser des équerres mais il sera judicieux de renforcer par collage (Araldite).

Pour éviter des oscillations erratiques, il est quasiment indispensable de fixer les pendules par deux fils. La longueur est ajustée en tirant ces fils jusqu’au niveau désiré (boucle et crochets) plutôt qu’en montant ou descendant la potence, ce qui s’est avéré mal commode.

Ceci oblige à fixer deux petites boucles métalliques au moins sous la potence, et des crochets à des hauteurs diverses (4 suffisent largement). Si on utilise un tube de fer, de forts aimants sont aussi pratiques, et permettent un réglage continu (photo de droite)

Une autre solution consiste à fixer quelques millimètres sous la potence une barrette percée de deux trous où passent les fils (stage de Bambey, barrette tirée d’une chute de gaine électrique)

Un ou deux points à grande longueur Il est souhaitable de ne pas se limiter aux longueurs permises par le montage principal (dans la pratique 20 cm à 1,1 m environ). Pour cela, dans la salle de T.P. on peut prévoir une ou deux potences fixées au mur à 1,5 ou 2m de haut pour que les étudiants aient des points supplémentaires (une simple équerre suffit, avec un fil simple). On peut même fixer un crochet au plafond (3 m de haut !). Fil : Du fil de pêche, tressé si possible pour être plus souple, convient parfaitement. Pour faciliter les mesures, il faut maintenir les oscillations dans un plan en utilisant deux fils (voir photos). Afin de modifier aisément la longueur, nous avons utilisé un système de coulisse (photos et schémas ci-dessous), ce qui évite de faire et défaire des nœuds. Il est également inutile de faire un nœud ou une boucle au niveau des masses, dans la pratique il est plus commode de laisser une possibilité de coulissement.

Les masses : Cela peut être à peu près n’importe quoi… même des cailloux auxquels on a collé un crochet avec de la colle forte (Araldite) ! Des masses que l’on trouve partout, qui sont économiques et indestructibles, ce sont simplement de gros boulons (de 10 mm de diamètre de filetage ou plus…). Ils sont faciles à fixer (passer le fil dans le trou, et hop c’est fait !). Mais c’est trop simple pour assurer le prestige d’une salle de travaux pratiques… Une solution élégante et facile et apportant ce prestige consiste à sacrifier un ensemble de pendules (dit « pendules de Newton = Newton cradle » pour récupérer les boules. Ces boules sont en acier.

Pendules de Newton

Le fil de nylon est en général bloqué dans un petit tube soudé à la boule par une goutte de colle. Il faudra re-percer dans cette colle (perçeuse Dremel et foret 0,8 ou 1 mm) (à gauche). On peut aussi couper les fils de nylon et les rabouter par des nœuds au nouveau fil de suspension (à droite):

Une autre façon de confectionner ces masses consiste à découper des tronçons de tube (plastique : tubes de diamètre 2 cm env. pour encastrer des fils électriques dans les murs, tubes de vidange de plomberie de diamètre 3,2 cm, ou tubes métalliques (tringles à rideau, plomberie…). On y place un morceau de fil de fer ou de cuivre, un peu tortillé au milieu pour éviter ensuite son coulissement, et on bourre (en plusieurs fois) de plâtre ou de ciment. Après durcissement partiel, on fignole les extrémités. Après durcissement total, on peut plier les extrémités des fils en crochets et peindre les tranches. Attention, le poids dépend un peu des conditions d’humidité, et du degré de séchage du plâtre ou du ciment, ce n’est pas gênant pour cette expérience.

Selon les diamètres et longueurs de tube, on obtient aisément des masses entre 20 et 60 g.

Pour avoir des masses beaucoup plus lourdes, on peut insérer des boulons métalliques autour du fil de fer-crochets, qui seront noyés dans le plâtre ou le ciment. On peut ainsi dépasser 200 g.

Au moins une balance est indispensable pour peser les masses :

Le temps L’idéal serait de disposer d’un chronomètre. Notre expérience nous fait éviter les chronomètres électroniques, en général trop perfectionnés (ils sont souvent conçus maintenant pour effectuer plusieurs chronométrages, garder les résultats en mémoire, et sont souvent fragiles). Le bon vieux chronomètre mécanique nous semble préférable. On peut aussi utiliser un chronomètre électronique de table (donné dans certains « kits de démarrage »). La plupart des téléphones portables peuvent faire office de chronomètre. Enfin, si vous disposez d’un microordinateur PC sur le plan de travail, vous pouvez utiliser le logiciel chrono-PC que vous pouvez télécharger sur les sites http://www.commentcamarche.net/download/telecharger-34055864-pc-chrono ou http://telecharger.tomsguide.fr/PC-Chrono,0301-11874.html. Les chronomètres perfectionnistes avec repérage par cellules photoélectriques, etc. sont coûteux, difficiles à régler selon la longueur de la suspension du pendule. C’est un « luxe » totalement inutile. La manipulation : Masses m, longueurs L La connaissance des masses (balance) et des longueurs (mètre ruban) ne semble poser aucun problème (attention, dans un deuxième temps, on peut se poser des questions à ce sujet, voir plus bas chapitre « réflexions » !). Comment repérer les périodes T ? Faire réfléchir les étudiants à la manière de s’y prendre. Quel repère ? La tendance naturelle est de prendre pour repère une position haute du pendule. Mais les « tops » ne sont pas précis, puisque le pendule ralentit jusqu’à s’arrêter pour repartir… Les « tops » sont repérés avec beaucoup plus de précision lors du passage rapide au voisinage de la verticale, en se fiant au passage devant un objet fixe, par exemple simplement le support vertical. Combien d’oscillations ? Pour plus de précision, on comptera le temps nécessaire à 10 ou 20 oscillations, et on divisera d’autant pour obtenir la durée d’une. Quand démarrer le compte ? Il s’agit évidemment de compter les périodes (temps d’un aller et d’un retour) et non les demi-périodes (temps entre deux passages à la verticale). Presque tous les étudiants commencent à compter « Un ! » quand le pendule passe la première fois devant le repère. Il faut compter alors « zéro » puisque c’est le moment du départ !.

Première expérience : Constater que la période ne dépend pas de la masse Essayer avec au moins 3 masses très différentes, et pour 2 longueurs très différentes. Bien faire attention à ajuster le cas échéant la longueur effective si les crochets n’ont pas les mêmes longueurs. L’indépendance observée ne sera qu’une première approximation (cf plus loin les réflexions : centre de gravité et centre d’inertie), mais ne pas aborder ce problème au début pour ne pas embrouiller les esprits ! On peut prévoir ce comportement, en réfléchissant à ce que donneraient deux pendules identiques. Si on les rapproche, s’ils se touchent, ils conservent chacun la même période. Et si on les colle l’un à l’autre, rien ne permet de penser que le comportement de l’ensemble serait modifié. Donc la période d’un pendule de masse 2m est la même que celle des pendules de masse m !

Deuxième expérience : Pour une première masse, déterminer 4 à 8 points (longueur – période). Il est souhaitable d’ajouter 1 ou 2 points très éloignés (1,5 ou 2,5 m…). Expériences suivantes : Recommencer avec au moins deux autres masses et des longueurs diverses et variées (on pourra se contenter de moins de points, cela servira à constater que tous les points seront sur la même courbe…). Exploitation des résultats :

De préférence avec un tableur, qui facilite énormément les changements d’échelle. D’abord représenter les courbes T = f(L) pour les différentes masses, sur des courbes séparées.

On obtient… des courbes. Tout au plus, on peut se rendre compte qu’elles sont quasi identiques pour les différentes masses. Ceci peut aisément être confirmé en faisant une courbe assemblant tous les résultats.

La théorie prévoit une relation T proportionnelle à L . On peut aisément le vérifier visuellement avec un tableur en créant soit une colonne T2 soit une colonne

L . , et en représentant : - T2 = f(L)

- Ou T = f ( L ) On obtient alors des points alignés. Sur tableur on peut forcer le passage à l’origine (L=0 T=0), tracer une courbe de tendance (ici linéaire) et vérifier que l’équation d’une droite convient, calculer le coefficient de détermination R2 (qui doit être très proche de 1). (Cette méthode de changement d’échelles est générale pour vérifier qu’une relation mathématique est respectée. Les étudiants doivent être amenés à y penser tout seuls).

Mesures et exploitations complémentaires possibles On peut s’exercer à faire les calculs classiques de majorants des incertitudes…

Moins classique mais plus visuel et plus fondé, profiter des possibilités du tableur pour faire une « courbe de tendance » et déterminer le coefficient de détermination R2.

On peut calculer l’accélération de la pesanteur g, et imaginer ce que deviendrait la période sur un satellite de la Terre (pesanteur en 1/R2), sur la Lune ou sur Mars…

Il est possible de faire apparaître un amortissement, sur un grand nombre d’oscillations, et avec des masses de faibles masses volumiques (pour augmenter la traînée sans augmenter l’inertie et la pesanteur), voire en munissant l’équipage d’une « voile » augmentant la résistance de l’air).

On peut mettre en évidence un effet de grandes oscillations. L’approximation sin ≈ faite dans la théorie, et que tout le monde oublie, n’est plus valable…

Avec une webcam, on peut enregistrer une vidéo qui permet de calculer en plusieurs points de la trajectoire du pendule sa vitesse et son altitude (cf logiciel AVIMECA, qui sera vu au cours d’une manipe sur les accélérations et chutes, et sur les chocs).. C’est un exercice amusant, mais qui n’apporte pas grand’chose.

En accrochant au même support 2 pendules identiques sauf une très faible différence de longueur de suspension, on peut mettre en évidence des « battements » :

Ci-dessus, deux pendules de 45 cm lâchés simultanément restent synchrones, mais un de 45 et un de 47 cm se décalent nettement après quelques oscillations, passent en opposition de phase, puis retrouvent un mouvement quasi-simultané après quelques dizaines d’oscillations. (On peut utiliser les matériels habituels, en ne fixant les pendules qu’avec un seul fil passant dans les deux boucles de la potence, et pouvant coulisser pour les décaler, l’un montant et l’autre descendant de 1 cm).

Si l’on veut être rigoureux, il faut se poser la question du comportement d’un pendule réel (cylindrique, ou même sphérique) par rapport au pendule « théorique » pour lequel la masse est supposée ponctuelle. En effet, si la force de pesanteur agit sur le centre de gravité (distance « moyenne » du point de suspension), l’inertie agit sur le centre d’inertie différent du centre de gravité. Pour une même vitesse angulaire, l’énergie cinétique de chaque parcelle du solide est en ½ dm.v2, donc dans une rotation de rayon L, la vitesse étant proportionnelle à L, l’énergie cinétique d’une parcelle est en L2 ! . Il faut refaire tout le calcul « théorique » à partir de la vitesse angulaire et de la distance de chaque parcelle au centre de rotation, et intégrer… La différence est notable en particulier si la « masse » est très longue vis-à-vis de la longueur de suspension (c’est vérifiable expérimentalement avec notre dispositif).

A partir du même matériel, en ajoutant un ressort à boudin souple, il est aisé de réaliser une

manipulation complémentaire sur le pendule élastique. Nous vous laissons le soin de l’adaptation.

Réflexions plus fondamentales sur ces résultats Des réflexions moins classiques méritent d’être menées. Tout d’abord, comment mesure-t-on le temps ?

Avec un chronomètre, évidemment. Or ce que l’on mesure est un échange entre énergie cinétique (1/2 mv2) ↔ énergie potentielle (mgh). Et tous les chronomètres que les étudiants sont susceptibles d’utiliser (mécaniques à ressort spiral, à lames vibrantes, électroniques pilotés par un quartz qui n’est autre qu’une lame vibrante…) sont aussi basés sur un échange énergie cinétique↔ énergie potentielle. Il apparaît une tautologie !

Ensuite, qu’est-ce que la masse m ? Dans la théorie, on définit l’énergie cinétique par l’inertie ½ mv2, où m représente la masse inertielle. C’est un coefficient qui caractérise la résistance d’un corps à une variation de son état de mouvement. Et on définit la force de rappel du pendule par mgh, où m représente la masse gravitationnelle. C’est alors un coefficient qui caractérise l’attraction entre deux corps dans l’espace (ici la Terre et le Pendule). Qu’est-ce qui nous dit que m(inertie) = m (gravitation) ? Les observations confirment bien que pour tous les corps le rapport entre les deux est le même. Ceci nous mène tous simplement à aborder la théorie de la relativité générale, qui réalise une synthèse entre inertie et gravitation, comme des propriétés de l’espace, la pesanteur étant interprétée comme une « courbure » de l’espace au voisinage des corps pesants. Et cette même théorie donne une signification au temps, qui n’a pas grand-chose à voir avec nos sens ! Tenez-nous au courant de vos propres réalisations, innovations, remarques et développements, avec des dessins et des photos ! Cela intéressera tous les Collègues !

. Matériel à acquérir En local (d’autres solutions sont possibles): Tubes pour confectionner les masses, plâtre ou ciment, fil de fer Bois pour plateau-support (aggloméré 17 mm ou contreplaqué), tasseau pour potence Petites équerres, vis, petits crochets à vis fermés et ouverts, colle type Araldite A l’extérieur (prix indicatifs port compris pour la France): Pendule de Newton (pour les jolies boules, non obligatoire) (Newton cradle) ex : DX.com ref 3896 , 8,5 € (5 boules moyennes) , ref 4864 14,5 € (5 grosses boules) Petite balance « standard » (Pocket scale) 200g à 500g, résolution 0,01 g ex : Deal Extreme DX.com ref 134719 env 12 € , ref 402850 env 23 € Prévoir poids de calibration ex : ref 20010 env 2 € (5g) Chronomètre (ou téléphone portable) ou logiciel PC-Chrono à télécharger ici : http://www.commentcamarche.net/download/telecharger-34055864-pc-chrono ou http://telecharger.tomsguide.fr/PC-Chrono,0301-11874.html