le nouveau programme de 4ème en application pour la rentrée 2007

Le nouveau programme de 4ème

En application pour la rentrée 2007

Documents utilisés :

• Nouveau programme de 4ème

• Les documents d’accompagnement

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Classe de sixième Classe de cinquième Classe de quatrième Classe de troisième

Fonctions

Proportionnalité : passage par l’image de l’unité, utilisation d’un rapport de linéarité, du coeffi cient de proportionnalité Reconnaissance de situations relevant ou non de la proportionnalité. Application d’un taux de pourcentage.

Proportionnalité : compléter un tableau de nombres, déterminer une quatrième proportionnelle, Comparaison de proportions, calcul et utilisation d’un pourcentage, échelle, mouvement unif orme.

Utilisation de la proportionnalité : déterminer une quatrième proportionnelle (« égalité des produits en croix »), calculs f aisant intervenir des pourcentages. Proportionnalité : représentations graphiques.

Notion de fonction. Fonction linéaire (détermination, représentation). Fonction affi ne (détermination, représentation).

ORGA

NIS

AT

ION

ET

GES

TIO

N D

E

DO

NN

EES

/FO

NCT

ION

S

Organisation et gestion de données

Organiser des données en choisissant un mode de présentation adapté. Lire et compléter une graduation sur une demi-droite graduée. Lire et interpréter des inf ormations à partir d’une représentation graphique.

Repérage sur une droite graduée et dans le plan. Classes, eff ectif s, f réquences. Tableau de données (lecture, interprétation, élaboration, représentations graphiques).

Moyennes pondérées.

Caractéristiques de position (quartiles). Approche de caractéristiques de dispersion (étendue).

Nombres et calcul numérique

Nombres entiers et décimaux : désignations, ordre, valeur approchée décimale, opérations +, -, x, ordre de grandeur. Division, quotient : Division euclidienne. Ecriture f ractionnaire. Division décimale.

Calculs sur les nombres entiers et décimaux positif s : enchaînement d’opérations, distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, division par un décimal, multiples et diviseurs, divisibilité. Nombres positif s en écriture f ractionnaire : sens, comparaison, addition et soustraction (dénominateurs égaux ou multiples), multiplication. Nombres relatifs entiers et décimaux

Opérations {+,-, x, :) sur les nombres relatif s en écriture décimale ou f ractionnaire (non nécessairement simplifiée). Puissances d’exposant entier relatif . Notation scientifique.

Nombres entiers et rationnels : diviseurs communs à deux entiers, f ractions irréductibles. Calculs élémentaires sur les radicaux : racine carrée d’un nombre positif , produit et quotient de deux radicaux.

NO

MBRES

ET

CA

LCU

L

Calcul littéral *Substitution de valeurs numériques à des lettres dans une f ormule.

*Utilisation, production d’une expression littérale. *Egalités k(a+b) = ka + kb et k(a-b) = ka – kb. *I nitiation à la notion d’équation : test de validité d’une égalité.

Développement. Comparaison de deux nombres relatif s. Résolution de problèmes conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.

Ecritures littérales, puissances, f actorisation, identités remarquables. Problèmes du premier degré : I néquation du premier degré à une inconnue, Système de deux équations du premier degré à deux inconnues. Problèmes se ramenant au premier degré : équations produits.

Figures planes Propriétés des quadrilatères et des triangles usuels. Reproduction, construction de fi gures usuelles, de figures complexes. Médiatrice d’un segment. Bissectrice d’un angle. Cercle. Vocabulaire et notations.

Parallélogramme (propriétés caractéristiques) Caractérisation angulaire du parallélisme. Triangle : somme des angles, construction et inégalité triangulaire, cercle circonscrit, médianes et hauteurs.

Triangles : milieux et parallèles. Triangles déterminés par deux parallèles coupant deux sécantes. Triangle rectangle : théorème de Pythagore et sa réciproque, cosinus d’un angle aigu, cercle circonscrit. Distance d’un point à une droite. Tangente à un cercle. Bissectrices et cercle inscrit.

Triangle rectangle : relations trigonométriques. Théorème de Thalès et sa réciproque. Angle inscrit, angle au centre. Polygones réguliers.

Configurations dans l’espace

Parallélépipède rectangle : patrons, représentation en perspective.

Prismes droits, cylindres de révolution : patrons, représentation.

Pyramide et cône de révolution. Problèmes de sections planes de solides. Sphère.

GEO

MET

RIE

Transformations

Symétrie orthogonale par rapport à une droite Construire le symétrique de diff érents objets.

Symétrie centrale Construire le symétrique de diff érents objets.

Agrandissement et réduction. I mages de figures par une translation, Translation et vecteur, égalité vectorielle. I mages de fi gures par une rotation.

GRA

ND

EU

RS

ET

M

ES

URES

Grandeurs et mesures

Longueurs, masses, durées : comparaison, calcul, changements d'unités. Angles : comparaison, rapporteur. Aires : mesure, comparaison et calcul d’aires (fi gures élémentaires). Volume du parallélépipède rectangle : approche et calculs simples. Liaisons unités de volume et de contenance, changements d'unités.

Longueurs, masses, durées : Calculs. Angles (mesure). Aires : parallélogramme, triangle, disque, changements d'unités Volumes : prisme, cylindre de révolution.

Calculs d’aires et volumes (pyramide et cône). Grandeurs quotients courantes, vitesse moyenne.

Aire de la sphère, volume de la boule. Eff et d’une réduction, d’un agrandissement sur des aires, des volumes. Grandeurs composées (changement d’unités).

Rappels :

• Obliger ou inciter le plus possible les élèves à se mettre en « activités mathématiques ».

• Mettre les élèves (souvent passifs en cours) en situation de « recherche de problèmes ».

L’enseignant veillera régulièrement:

• À se poser la question « Quel problème at-on posé à l’élève ? »

• À ne pas se contenter « des applications de cours », mais aider l’élève à se questionner dans l’acquisition de son apprentissage.

Justification du produit en croix

1. Calcul numérique avec habillage ou pas. On part d’un tableau de proportionnalité.

2. Introduction d’une seule lettre

3. On arrive à la généralisation

4. Réciproque du produit en croix

1)Calcul numérique (avec habillage ou pas) On part d’un tableau de proportionnalité

Activité 1 : Mise en évidence du produit en croixOn considère le tableau suivant :

Nombre de fleurs 3 5 8

Prix en € 4,2 7 11,2

Question : Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de fleurs ?




Prix en € 4,2 7 11,2

Question :Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de fleurs ?Réponse attendue :

4,2 7 11,21,4

3 5 8




Prix en € 4,2 7 11,2


Quel est le prix d’une fleur ?

4,2 7 11,21,4

3 5 8

1)Calcul numérique avec habillage ou pas On part d’un tableau de proportionnalité



Prix en € 4,2 7 11,2


Quel est le prix d’une fleur ?

Réponse attendue: car

4,2 7 11,21,4

3 5 8

4,21,4

3 4,2 1,4 3

• On choisit deux colonnes du tableau :

3 5

4,2 7

Calculer 3x7 puis 4,2x7Comparer les résultats.Reprendre avec d’autres colonnes.Conjecturer.

(Nécessité d’insister lors de la conjecture sur l’égalité des quotients.)

2. Introduction d’une seule lettre.• Activité 2 : ( Mise en évidence du produit en

croix avec introduction d’une seule lettre.)• Ce tableau est de proportionnalité :

5 17

7 xOn regarde la démarche Quelle relation peut-on écrire entre les nombres : 5 ; 17 ; 7 et x ?

2. Introduction d’une seule lettre.• Activité 2 : ( Mise en évidence du produit en

croix avec introduction d’une seule lettre.)• Ce tableau est de proportionnalité :

5 17

7 xOn regarde la démarche Quelle relation peut-on écrire entre les nombres : 5 ; 17 ; 7 et x ?

Réponse attendue : 5 x x = 7 x 17

• Déterminer la valeur de x en utilisant l’expression précédente.

• Réponse attendue : 7 17

5x

Démontrons ce résultat ( A l’aide du coefficient de proportionnalité )

• Quel est le coefficient de proportionnalité k permettant de passer de la 1ère colonne

à la 2ème colonne du tableau?

5 17

7 x



à la 2ème colonne du tableau?

• Réponse attendue : puis

5 17

7 x

5 17k 17

5k

• Démontrons ce résultat :• ( A l’aide du coefficient de proportionnalité )


• à la 2ème colonne du tableau.


• Déterminer la valeur de x en utilisant • le coefficient de proportionnalité k.

5 17

7 x

5 17k 17

5k


• Quel est le coefficient de proportionnalité k permettant de passer de la 1ère colonne à la 2ème colonne du tableau?


• Déterminer la valeur de x en utilisant • le coefficient de proportionnalité k.• Réponse attendue :

5 17

7 x

5 17k 17

5k

17 7 177

5 5x

Démontrons ce résultat : (Avec l’introduction du quotient)

5 17

7 x

Ce tableau étant de proportionnalité, quelle égalité sur les quotients peut on écrire ? 7 ...

5 ...

Rappelez ce que cela signifie en terme de quotient.

Réponse attendue : est le nombre qui multiplié par … donne ....Le quotient de 7 par 5 est égal au quotient de x par 17.Ainsi, exprimez x en utilisant les nombres 5; 17; 7.Réponse attendue :

7

5

7 17 717

5 5x

3. On arrive à la généralisation Activité 3 : Généralisation du produit en croix

Quelle égalité sur les quotients peut-on écrire, pour exprimer que ce tableau est un tableau de proportionnalité.

réponse attendue: ou « ou les relations inverses »

Que peut on écrire en terme de produits en croix ? réponse attendue : ou ad=bc

a c

b d

a c

b d a b

c d

a d b c

Résumé de cours :

• Si ce tableau : est un tableau de proportionnalité

• alors ad=bc.

a c

b d

Démontrons ce résultat à partir de l’interprétation du quotient.

• En utilisant, l’égalité suivante : • Exprimer a en fonction de b, c et d.• Réponse guidée par l’enseignant :

Cela signifie en terme de quotient que :

• Autre démonstration de ce résultat à partir de la différence :

b d

a c

bc d

a

db a

c

a c

b d

4. Réciproque du produit en croix

Activité 4 : Réciproque du produit en croix

Si on a : , quelle égalité de quotients peut-on écrire ?

a) Justifier votre résultat à l’aide du quotient .

b) Justifier votre résultat en utilisant la définition de l’inverse.

c) Que peut-on alors dire de ce tableau ?a c

b d

a d b c