Histoire du nombre d’orDepuis toujours les artistes ont été en quête d’harmonie, de beauté au sein de leurs œuvres. Depuis l’antiquité, les géomètres et les philosophes ont cru à l’existence d’une proportion privilégiée permettant d’obtenir harmonie et beauté. C’est un rapport, un quotient, c’est-à-dire le résultat de la division de deux longueurs. Celles-ci peuvent être mesurées sur des objets, sur une fleur, sur l’homme… La proportion est formée par deux rapports égaux entre eux. Le résultat prend la valeur numérique de 1,618033…. Les artistes de la Renaissance l’appelèrent la proportion divine ou la proportion dorée. Léonard de Vinci donna à cette « proportion divine » le nom de « Section aurea », section dorée d’où l’appellation du « Nombre d’Or ». 

Le nombre d’or fascine les esprits depuis des millénaires. On le désigne par la lettre grecque φ (phi) en référence au sculpteur grec Phidias (500 avant JC) qui l’utilisa pour travailler sur la statue d’Athéna décorant le Parthénon à Athènes.Il semble être utilisé par la nature, les peintres l’ont employé, il fut de très nombreuses fois utilisé par les architectes pour trouver des proportions harmonieuses, et finalement, il fut étudié par beaucoup de brillant mathématiciens. Le nombre d’or se retrouve également dans la musique, aussi bien chez Beethoven que dans les oeuvres de Béla Bartok.

Propriétés algébriques du nombre d’or

Afin d’utiliser la divine proportion, il faut calculer a = φ * b

Pour calculer le carré du nombre d’or, il suffit de lui ajouter 1 : φ2 = φ + 1

Pour calculer l’inverse du nombre d’or, il faut lui retrancher 1 : φ2 = φ - 1

Les puissances du nombre d’or s’expriment en fonction de φ et de 1 Pour obtenir une puissance du nombre d’or, il suffit de connaître les deux puissances précédentes et de les additionner, ce qui est le procédé de construction de la suite de Fibonacci.

φ2 = φ + 1

Φ3 = φ2 + φ = 2φ + 1

φ4 =2 φ + φ = 2φ+ 2 + φ = 3 φ + 2

L’architecture

L’utilisation du nombre d’or a permis de réaliser de grands chefs d’œuvres car il leur offre une belle esthétique ; parmi ces chefs d’œuvres, on trouve des pyramides d’Egypte (Kheops) ou des temples grecs (le Parthénon d’Athènes) ou encore des cathédrales (Strasbourg). De plus, le nombre d’or a traversé les époques pour nous parvenir. Au XXème siècle, de grands peintres, architectes et sculpteurs ont accompli leurs œuvres en alliant l’Art et les Mathématiques.

La Pyramide de Kheops

La pyramide de Kheops fut bâtie sur le site archéologique de Gizeh il y a près de 4 500 ans en l’honneur des Pharaons. D’après les recherches mathématiques de sa construction, on peut constater que le nombre d’or est au centre de cette pyramide. Voici ces recherches : le hauteur b vaut 148,2 m et le côté de la base carré vaut 232,8 m. En appliquant le théorème de Pythagore, on trouve : (a)2 = (b)2 + (c)2 d’où (a)2 = (148,2)2+ (116,4)2 et par conséquent a = 188,44. On obtient que a/c = 188,44/116,4 = phi.Les côtés du triangle ABS sont en progression géométriques. Il n’existe pas d’autre triangle ayant cette propriété remarquable. Le triangle méridien BCS se retrouve dans les cathédrales gothiques, notamment dans la cathédrale de Strasbourg.

Le Parthénon d’AthènesDe nombreux architectes ont travaillé

sur ce monument pour essayer de faire apparaître la proportion divine

dans sa constitution. Tous présentent des résultats souvent incompatibles puisqu'ils découpent le Parthénon

suivant des figures (rectangles principalement) relativement

différentes. Par exemple, l'un trace la hauteur de son rectangle principal au

niveau de la troisième marche du temple, l'autre lève son carré au

niveau du fût des colonnes externes. C'est pour cette raison que la

présence de la proportion divine dans le Parthénon a été bien souvent

controversée.

Il fut construit par Périclès en l’honneur de la déesse Athéna,

protectrice de la cité

La cathédrale de Strasbourg

La photo  montre que la façade de la cathédrale est inscrite dans un rectangle d’or ABCD dont le rapport de la hauteur par la largeur vaut = 1,272. En fait, d’après les mesures modernes, ce rapport est égal à AD/AB = 1,279, soit une erreur de l’ordre du millième.