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Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison 2011-2012 d'exercices de maths donnés en devoirs en seconde sur 36

Le mot de l'auteur

Comme à chaque début d'été, je publie le recueil des exercices que j'ai donnés

en devoir durant la saison. Voici la cuvée 2011-2012 de seconde...qui

ressemble beaucoup aux précédentes.

La chose qui m'a le plus marquée cette saison est que la relation

qu'entretenaient les parents d'élèves avec la matière mathématique était en

train de changer. Avant, lorsque leurs enfants butaient sur une difficulté ou

«se plantaient», ils admettaient que leurs enfants ne pouvaient pas tout

comprendre et que l'apprentissage d'une notion prenait du temps. Mais cette

patience raisonnable est désormais en voie de disparition.

La faute en revient à cette calamiteuse notion de «réussite scolaire pour tous»

et aux programmes de collège qui, dans cette perspective, ont été expurgés de

tous les points difficiles (notamment la géométrie) qui, antérieurement,

permettaient de faire réfléchir et chercher les élèves.

Les mauvaises habitudes étant tenaces, ces parents si sourcilleux arrivent au

lycée avec leurs «habitudes de collège» et entendent que leur progéniture

comprenne tout tout de suite. Et peu importe qu'il ne travaille pas ! Car il n'y

a plus de mauvais élèves, il n'y a que des mauvais profs avec des mauvaises

méthodes.

Sauf qu'à l'instar du marathon, les mathématiques ne sont pas une matière

instantanée où il suffit d'apprendre des choses par cœur. C'est l'utilisation des

connaissances et donc la manœuvre qui sont au cœur de la discipline. Les

mathématiques n'ont d'intérêt que dans la réflexion abstraite qu'elles

permettent d'engendrer.

Hélas, l'esprit des temps est à l'immédiateté, à la marchandisation et au

consumérisme. On ne suit pas un cours de mathématiques mais on l'achète. Et

les clients sont exigeants !

Mais personne n'a songé à dire à ces parents inconscients que la garantie

légale d'une année n'appliquait pas...

es exercices de ce volume sont classés par catégories : Algèbre, équation et inéquation.................................................................................. 2 Algorithmique .............................................................................................................. 8 Les fonctions ...............................................................................................................10 Géométrie analytique .................................................................................................19 Géométrie classique................................................................................................... 25 Probabilités et statistiques .........................................................................................31

La taverne de l'Irlandais [http://www.tanopah.com]

présente

Tous les exercices du présent document ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON,

professeur (dés)agrégé de mathématiques.

Tous droits réservés.

Edition du samedi 30 juin 2012

http://www.tanopah.com/


Algèbre, équation et inéquation

La tradition des équations

Le contexte

Cinq équations et inéquations du premier ou du second degré à résoudre. La forme

canonique doit être connue.

L'énoncé

Résoudre dans � les équations et inéquations suivantes. Chaque résolution sera conclue en

donnant l'ensemble des solutions, éventuellement sous la forme d'un intervalle.

( ) ( )2 2 2

2 1 49 5 4 6 1 2 3

3 7 7

16 15 0 3 7 9 42 50 0

x x x

x x x x x x

− ≤ − < × − − ≥ − × −

− + = = + + =

a. b.

c. d. e.

Le corrigé

a) Résolvons dans � l'inéquation : 4 5

9 5 4 6 5 5 10 1 2x x x

+ ÷→ →− ≤ − < ⇔ − ≤ < ⇔ − ≤ <

Nous en concluons que l'ensemble des solutions de cette inéquation est :

[ [S 1;2= −

b) Résolvons dans � l'inéquation :

( ) ( )

D'abord, on développe...

Les termes en à gauche, le reste à droite...

2 1 4 2 2 1 12 41 2 3 2

3 7 7 3 3 7 7 7

2 4 12 2 12

3 7 7 3 7

14 12 42 36 14 3 2

21 21 21 21 21 1 21

x

x x x x

x x

x x

× − − ≥ − × − ⇔ − − ≤ − +

⇔ − ≤ − + +

⇔ − ≤ − + + ⇔

��

��

23

21x ≥

223

2 23 11,52

x x

÷→⇔ ≥ ⇔ ≥ =

Conclusion : l'ensemble des solutions de cette inéquation est l'intervalle [ [11,5;+∞

Les trois prochaines équations étant du second degré, nous ne pourrons les résoudre que si

nous aboutissons à un produit nul. Autrement dit, il va falloir factoriser !

c) Résolvons dans � l'équation :

( )

( )( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )2 2

Début de cette... ...identité remarqu

22 2

2

2

ée

2

16 15 0 2 8 15 0 8 64 15 0

8 49 0

8 7 0 8 7 8 7 0

15 1 0 15 0 ou

15

a b a ba b

x x x x x

x

x x x

x x x x

x

− +−

− + = ⇔ − × × + = ⇔ − − + =

⇔ − − =

⇔ − − = ⇔ − − × − + =

⇔ − × − = ⇔ − = −

=

��

��

��

��

1 0

1x

=

=

Conclusion : cette équation du second degré à deux solutions qui sont 1 et 15.

d) Résolvons dans � l'équation proposée...qui est aussi du second degré :

( )

Facteur commun

2

:

23 7 3 7 0 3 7 0

3 7 0 0 ou 3 7 0

3 7

7

3

x

x x

x

x x x x x

x x x

x

x

= ⇔ − = ⇔ × − × =

⇔ × − = ⇔ = − =

=

=

��

Nous en concluons que les solutions de cette équation sont :

{ }S 1;15=

e) Résolvons dans � l'équation :

( ) ( )

( )

( )

Début de cette... ...identité remarquée

Un carré n'est jamais négatif

2 22

!

2

2

9 42 50 0 3 2 3 7 50 0 3 7 49 50 0

3 7 1 0

3 7 1

x x x x x

x

x

+ + = ⇔ + × × + = ⇔ + − + =

⇔ + + =

⇔ + = −

��

Conclusion : cette équation du second degré n'a pas de solution.

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est...

On factorise le membre de gauche en recherchant sa forme canonique.

Voilà la forme canonique !

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est...

Là aussi, une factorisation s'impose mais la technique est différente.

Ainsi se conclut la résolution de cette équation.

Voilà la forme canonique ! Mais ce n'est pas une différence de deux carrés. Donc elle ne se factorise pas.

A nouveau, on recherche une factorisation en utilisant la forme canonique !

Attention ! On ne peut pas diviser par x car x peut être nul. D'ailleurs, 0 est solution


Mauvais signe !

Le contexte

Trois inéquations produits à résoudre au moyen d'une factorisation, puis d'un tableau de

signe. La dernière de ces inéquations requiert la forme canonique...

L'énoncé

Résoudre dans � les inéquations suivantes. Chaque résolution sera conclue en donnant

l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.

a. ( ) ( )3 4 2 3 0x x− × − − <

b. ( ) ( )2 25 3 2 1x x− ≥ +

c. 23 15 14x x+ <

Le corrigé

a) La résolution de cette première inéquation ne pose guère de problèmes !

( ) ( )3 4 2 3 0x x− × − − <

Examinons les facteurs composant ce produit :

� Le facteur affine 3 4x − : son coefficient directeur 3a = est positif.

Il s'annule en : 4

3 4 0 3 43

x x x− = ⇔ = ⇔ =

� Le facteur affine 2 3x− − : son coefficient directeur 2a = − est négatif.

Il s'annule en : 3

2 3 0 2 3 1,52

x x x− − = ⇔ − = ⇔ = = −−

En conséquence, le tableau de signe du produit de ces deux facteurs est le suivant :

x −∞ 3

2−

4

3

+∞

3. 4x −

–

– 0 +

2. 3x− −

+ 0 –

–

Leur

produit

– 0 + 0 –

Le produit est strictement négatif avant 1,5− et après 4 / 3 . Nous en concluons que

l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

3 4S ; ;

2 3

= −∞ − ∪ +∞

Pour résoudre les deux inéquations à venir, nous allons devoir rechercher une factorisation.

Puis, nous aurons à nous prononcer sur le signe d'un produit.

b) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ]( ) ( )

Différence de deux carrés

La somme La d

2 2 2

ifférenc

2

e

5 3 2 1 5 3 2 1 0

5 3 2 1 5 3 2 1 0

5 3 2 1 5 3 2 1 0

6 5 4 0

x x x x

x x x x

x x x x

x x

− ≥ + ⇔ − − + ≥

⇔ − + + × − − + ≥

⇔ − + + × − − − ≥

⇔ − + × − + ≥

��

��

Examinons les deux facteurs composant ce produit :

� Le facteur affine 6x− + : son coefficient directeur 1a = − est négatif.

Il s'annule en : 6 0 6 6x x x− + = ⇔ − = − ⇔ =

� Le facteur affine 5 4x− + : son coefficient directeur 5a = − est aussi négatif.

Il s'annule en : 4

5 4 0 5 4 0,85

x x x−

− + = ⇔ − = − ⇔ = =−

Nous en déduisons que le tableau de signe de ce produit est

x −∞ 4

5

6

+∞

6x− +

+

+ 0 –

5. 4x− +

+ 0 –

–

Leur

produit

+ 0 – 0 +

Le produit est positif ou nul avant 0,8 et après 6, les deux inclus. Nous en déduisons que

l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

] ] [ [S ;0,8 6;= −∞ ∪ +∞

c) Résolvons dans � l'inéquation :

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )2 2

Début de cette... ...identité remarquable

2

2

32 2 2

2

2

3 15 14 3 14 15 0 9 42 45 0

3 2 3 7 45 0 3 7 49 45 0

3 7 2 0 3 7 2 3 7 2

a b a ba b

x x x x x x

x x x

x x x

−

×

− +

+ < ⇔ − + < − + <

⇔ − × × + < ⇔ − − + <

⇔ − − < ⇔ − − × − +

→

��

��

��

��

�

��

( ) ( )

0

3 9 3 5 0x x

<

⇔ − × − <

��

Après avoir tout multiplié par 3, on factorise le membre de gauche en recherchant sa forme canonique.

Quand ce produit est-il négatif ?

Quand ce produit est-il positif ou nul ?

On termine toujours par le signe du coefficient directeur a

Quand ce produit est-il négatif ?

On termine toujours par le signe du coefficient directeur a


Le tableau de signe de ce produit est :

x −∞ 5 / 3 3 +∞

3 9x − – – 0 +

3 5x − – 0 + +

Leur

produit

+ 0 – 0 +

Nous en concluons que l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

5S ;3

3

=

Quotients pour intellectuels

Le contexte

Deux inéquations quotients et une inéquation produit (du second degré) à résoudre au

moyen d'un tableau de signe précédé de petits calculs ou d'une forme canonique.

L'énoncé

Résoudre dans � les inéquations suivantes. Chaque résolution sera conclue en donnant

l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.

a. ( )( )

4 20

3 1 7

x

x x

−≤

+ −

b. 5 1

32 7

x

x

+≥

−

c. 25 4 1x x< −

Le corrigé

a) Cette première résolution se résume à savoir quand le quotient ( )( )

4 2

3 1 7

x

x x

−

+ − est

négatif ou nul. Examinons les facteurs le composant :

� Le facteur affine 2 4x− + : son coefficient directeur 2a = − est négatif.

Il s'annule en : 4

2 4 0 2 4 22

−− + = ⇔ − = − ⇔ = =

−x x x

� Le facteur affine 3 1x + : son coefficient directeur 3=a est positif.

Il s'annule en : 1

3 1 0 3 13

x x x+ = ⇔ = − ⇔ = −


Il s'annule en : 7 0 7 7x x x− + = ⇔ − = − ⇔ =

Nous en déduisons que le tableau de signe de notre quotient est :

x −∞ 1/ 3− 2 7 +∞

2 4x− + + + 0 – –

3 1x + – 0 + + +

7x− + + + + 0 –

Le quotient – + 0 – +


L'ensemble des solutions de l'inéquation est l'ensemble des réels x pour lesquels le

quotient est négatif ou nul. D'après le tableau ci-dessus :

[ [1S ; 2;7

3

= −∞ − ∪

b) Pour résoudre cette seconde inéquation, nous allons d'abord tout ramener dans le

membre de gauche, puis nous effectuerons une mise au même dénominateur 2 7−x avant

d'avoir à nous prononcer sur le signe d'un quotient :

( )5 1 35 1 5 13 3 0 0

2 7 2 7 2 7

5 1 6 21 220 0

2 7 2 7

2 7xx x

x x x

x

x

x x

x x

+ −+ +≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥

− − −+ − + − +

⇔ ≥ ⇔ ≥− −

× −

Examinons les numérateur et dénominateur de ce quotient :


Il s'annule en : 22 0 22 22x x x− + = ⇔ − = − ⇔ =

� Le facteur affine 2 7x − : son coefficient directeur 2a = est positif.

Il s'annule en : 2 7 0 2 7 7 / 2 3,5x x x− = ⇔ = ⇔ = =

Nous en déduisons que le tableau de signe de ce quotient :

x −∞ 3,5 22 +∞

22x− + + + 0 –

2 7x − – 0 + +

Leur quotient – + 0 –

Le quotient est positif ou nul entre 3,5 et 22. L'ensemble des solutions de l'inéquation est :

] ]S 3,5;22=

c) Pour résoudre cette dernière inéquation, nous allons devoir faire preuve d'ingéniosité

afin de faire apparaître le forme canonique ! Puis, nous chercherons à factoriser...

( ) ( )

( ) ( )

2 2

Début de cette... ...identité remarquabl

Un cCette somme n'est pas

factorisabl

2 2 2

2 2

2 2

e avec

5

e

5 4 1 5 4 1 0 25 20 5 0

5 2 5 2 5 0 5 2 4 5 0

5 2 1 0 5 2 1

a b

x x x x x x

x x x

x x

×

−

< − ⇔ − + < − + <

⇔ − × × + < ⇔ − − + <

⇔ − + <

−

→

⇔ < −

��

��

��

arré n'étant jamais négatif,il n'est jamais inférieur à 1.−

��

Cette inéquation n'a aucune solution. Son ensemble des solutions est l'ensemble vide.

S = ∅

Intermède équationnel

Le contexte

Deux inéquations à résoudre via un tableau de signe : une produit et une quotient.

L'énoncé

Résoudre dans � les inéquations suivantes. On conclura chaque résolution en donnant

l'ensemble des solutions.

( ) ( ) ( ) ( ) 3 52 3 7 2 3 4 5

2 7x x x x

x x+ ⋅ + ≥ + ⋅ − ≥

+ +a. b.

Le corrigé

a) Nous allons résoudre cette première inéquation au moyen d'une factorisation.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) [ ]( ) ( )

Facteur... ...commun

2 3 7 2 3 4 5 2 3 7 2 3 4 5 0

2 3 7 4 5 0

2 3 7 4 5 0

2 3 3 12 0

x x x x x x x x

x x x

x x x

x x

+ ⋅ + ≥ + ⋅ − ⇔ + ⋅ + − + ⋅ − ≥

⇔ + × + − − ≥

⇔ + × + − + ≥

⇔ + × − + ≥

��

Examinons les deux facteurs composant ce produit :

Facteur 2 3 : 2 et 2 3 0 2 3 1,5

Facteur 3 12 : 3 et 3 12 0 3 12 4

x a x x x

x a x x x

+ = + = ⇔ = − ⇔ = −

− + = − − + = ⇔ − = − ⇔ =

Par conséquent, le tableau de signe de ce produit est :

x −∞ 1,5− 4 +∞

2 3x + – 0 + +

3 12x− + + + 0 –

Leur produit – 0 + 0 –

Nous en déduisons que l'ensemble des solutions de cette première inéquation est :

[ ]S 1,5;4= −

Quand ce quotient est-il positif ou nul ?

Quand ce produit est-il positif ou nul ?


b) Cette seconde inéquation sera résolue via une mise au dénominateur commun.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 53 5 3 50 0

2 7 2 7 2 7

3 21

7 2

5 10 2 110 0

2 7 2 7

x x x x x x

x x x

x x x

x

x

x−≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥

+ + + + + × +

+ − − − +⇔

× + × +

≥ ⇔ ≥+ × + + × +

Le tableau de signe de ce dernier quotient est :

x −∞ 7− 2− 5,5 +∞

2 11x− + + + + 0 –

2x + – – 0 + +

7x + – 0 + + +

Leur quotient + – + 0 –

Nous en concluons que l'ensemble des solutions de l'inéquation précédente est :

] [ ] ]S ; 7 2;5,5= −∞ − ∪ −

Encadrement au second degré

Le contexte

Un exercice de recherche pratique nécessitant la résolution d'une équation du second

degré...où est utilisée une factorisation par identification des coefficients...hors

programme !

L'énoncé

On dispose d'une feuille de carton de 13 centimètres de longueur sur 8 de largeur.

On souhaite créer sur le pourtour de la feuille un bord de x centimètres dans le sens de la

largeur et 1,5 x× centimètres dans le sens de la longueur ainsi que cela est indiqué sur la

figure ci-dessous :

On appelle A l'aire de la partie hachurée centrale exprimée en centimètres carrés.

a) Calculer la valeur de l'aire de la partie hachurée centrale lorsque 1x = [cas de la figure].

b) De manière générale, exprimer l'aire A en fonction de x.

c) A quel intervalle appartient nécessairement le réel x ?

1,5x 1,5x

x

x

13

8

Quand ce quotient est-il positif ou nul ?


d) On souhaite que l'aire de la partie hachurée centrale fasse de 48 centimètres carrés.

1. Déterminer deux coefficients entiers a et b tels que pour tout réel x, on ait :

( ) ( )26 50 56 7x x x ax b− + = − × +

2. En déduire la valeur de x pour laquelle la partie hachurée centrale mesure 48

centimètres carrés.

Le corrigé

a) Lorsque x vaut 1, la partie hachurée centrale est un rectangle de 10 centimètres de

longueur sur 6 de largeur. Par conséquent, son aire est de 210 6 60 cm× =

b) La partie hachurée centrale est un rectangle de 13 2 1,5 x− × × centimètres de longueur

sur 8 2 x− × centimètres de largeur. Par conséquent, son aire est donnée par :

( ) 2 2 2

longueur largeur

(13 3 ) 8 2 104 26 24 6 6 50 104 cmx x x x x x x

= ×

= − × − = − − + = − +

A

c) Le réel x est contraint par les dimensions du grand rectangle dans deux sens :

Celui de la longueur... celui de la largeur...

0 3 13 0 2 8

13 0 40

3

et

x x

xx

≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤≤ ≤

Conclusion : le réel x appartient à l'intervalle [ ]0;4 .

d.1) On veut écrire la forme du second degré 26 50 56x x− + sous la forme :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2 2

6 50 56 7

7 7

6 50 56 7 7

x x x ax b

ax bx ax b

x x a x b a x b

− + = − × +

= + − −

+ − + = + − + −

Deux polynômes égaux ont des coefficients de même degré égaux :

( )

1

0

2: 6 6

: 50 7 50 7 6

Egalité en

Egal 5ité 0 42 8

: 56 7 56 / 7 8Egalité en

en

a a

b a b

b b

x

x

x

= ⇔ =

− = − ⇔ = − + × = − + = −

= − ⇔ = − = −

Nous en déduisons la factorisation :

( ) ( )26 50 56 7 6 8x x x x− + = − × −

d.2) On cherche les valeurs de x pour lesquelles :

( )( )

[ ]

[ ]

Impossible car 0;

Un produit est nul... ...l'un de ses... ...facteurs l'est

4

!

Possible car 0

2

4

2

;

48 50 104 48

50 56 0

7 6 8 0 7 0 ou 6 8 0

7 6 8

8 4

6 3

x

x

x x

x x

x x x x

x x

x∈

∈

= ⇔ − + =

⇔ − + =

⇔ − − = ⇔ − = − =

= =

= =

A

��

��

��

��

��

�

�

��

Conclusion : pour que la partie hachurée centrale mesure 48 centimètres carrés, il faut que

le réel x soit égal à 4

31,33≈ centimètres.


Algorithmique

Tout un programme ! Et même deux...

Le contexte

Un exercice où il s'agit d'exécuter à la main deux programmes regroupant les principales

instructions exigibles.

L'énoncé

Cet exercice est composé de deux sous-parties indépendantes. Dans chaque sous-partie, un

programme est donné au cours duquel des questions sont posées. Ces questions sont

introduites par une flèche �. On se contentera de répondre à ces questions.

On rappelle que les instructions d'un même bloc sont écrites sur une même colonne.

a) Le premier programme est le suivant :

a, b et i sont trois entiers relatifs a=1 b=0 Pour i=2 jusqu'à 4 faire :

a=a+i b=b+a � Question : que valent les variables a et b ?

b) Le second programme est le suivant.

Les valeurs des variables seront données (au pire) au dix-millième près, soit quatre

chiffres après la virgule. De plus, on rappelle que x^3 désigne le cube 3x .

a, b, x et y sont quatre nombres décimaux a=1 b=2 Tant que b-a>0,1 faire :

x=(a+b)/2 y=x^3-x-1 Si y<0 alors a=x sinon b=x � Question : que valent les variables a, b, x et y ?

a=(2*a+b)/3 � Question : que vaut la variable a ?

Question subsidiaire : Sur le graphique ci-dessous quadrillé toutes les unités, on a tracé la

courbe (C) représentant la fonction ( ) 3 1f x x x= − − .

Qu'a-t-on recherché avec ce second programme ?

x

y

(C)

3 1y x x= − −


Le corrigé

a) Exécutons ce premier programme instruction par instruction, ligne après ligne.

Instruction Son action a b i

a=1 b=0 Affectent les variables a et b avec 1 et 0. 1 0

Pour i=2... � Première boucle avec 2i = 1 0 2

a=a+i On affecte 1 2 3a i+ = + = à la variable a. 3 0 2

b=b+a On affecte 0 3 3b a+ = + = à la variable b. 3 3 2

� Les variables a et b sont toutes deux égales à 3.

Pour i=3... � Seconde boucle avec 3i = 3 3 3



� Les variables a et b ont pour valeurs respectives 6 et 9.

Pour i=4... � Troisième et dernière boucle avec 4i = 6 9 4



� Les variables a et b ont pour valeurs respectives 10 et 19.

b) Exécutons ce second programme.

Instruction Son action a b

a=1 b=2 Les variables a et b prennent pour valeurs 1 et 2. 1 2

Tant que b-a>0,1

Comme 1b a− = , alors la condition est remplie.

On entame une première boucle...�

1 2

x=(a+b)/2

y=y^3-x-1

La variable x est égale à ( )1 2 / 2 1,5+ =

La variable y est égale à 3

1,5 1,5 1 0,875− − = .

1 2

Si y<0... Comme 0y > , alors on affecte la valeur de x à la

variable b.

1 1,5

� 1 1,5 1,5 0,875a b x y= = = =

Tant que b-a>0,1

Comme 0,5b a− = , alors la condition est remplie.

On entame une seconde boucle...�

1 1,5

x=(a+b)/2

y=y^3-x-1

La variable x est égale à ( )1 1,5 / 2 1,25+ =

La variable y vaut 3

1,25 1,25 1 0,296875− − = − .

1 1,5

Si y<0... Comme 0y < , alors on affecte la valeur de x à la

variable a.

1,25 1,5

� 1,25 1,5 1,25 0,296875a b x y= = = = −

Tant que b-a>0,1

Comme 0, 25b a− = , alors la condition est

remplie. On entame une troisième boucle...�

1,25 1,5

x=(a+b)/2

y=y^3-x-1

La variable x est égale à ( )1,25 1,5 / 2 1,375+ =


1,375 1,375 1 0,2246− − ≈ .

1,25 1,5

Si y<0... Comme 0y > , alors on affecte la valeur de x à la

variable b.

1,25 1,375

� 1,25 1,375 1,375 0,2246a b x y= = = ≈

Tant que b-a>0,1

Comme 0,125b a− = , alors la condition est

remplie. On entame une quatrième boucle...�

1,25 1,375

x=(a+b)/2

y=y^3-x-1

La variable x vaut ( )1,25 1,375 / 2 1,3125+ =


1,3125 1,3125 1 0,0515− − ≈ − .

1,25 1,375

Si y<0... Comme 0y < , alors on affecte la valeur de x à la

variable a.

1,3125 1,375

� 1,3125 1,375 1,3125 0,0515a b x y= = = ≈ −

Tant que b-a>0,1

Comme 0,0625 0,1b a− = ≤ , alors la condition

n'est plus remplie. On casse la boucle

1,3125 1,375

a=(2*a+b)/3 La variable a vaut ( )2 1,3125 1,375 / 3 1,33× + ≈ 1,3333 1,375

� La variable a est égale à environ 1,33333 soit 4 / 3 .

Question subsidiaire : au travers ce programme, nous avons recherché une valeur

approchée de la seule solution de l'équation ( ) 0f x = . Nous pouvons en conclure qu'une

valeur approchée de l'abscisse du point d'intersection de la courbe (C) et de l'axe des

abscisses est 1,33.


Les fonctions

La tradition de la lecture graphique

Le contexte

Un exercice classique et basique de lecture graphique à partir de la courbe d'une fonction.

L'énoncé

La fonction f est définie sur l’intervalle [ ]2;9− . Sa courbe représentative (C) est tracée sur

le graphique ci-dessous.

En utilisant le graphique précédent et avec toute la précision permise par celui-ci, on

répondra aux questions ci-contre directement sur la feuille.

a) Compléter les phrases suivantes :

L'image de 0 par la fonction f est ..................................................

L'image de 3− par la fonction f est ................................................

Les antécédents de 2 par la fonction f sont .........................................

Les antécédents de 4 par la fonction f sont ..........................................

Le minimum de f sur l'intervalle [ ]2;9− est........ Il est atteint en =x ...............

Le maximum de f sur l'intervalle [ ]1;3− est........ Il est atteint en =x ...............

b) Compléter le tableau de variation de la fonction f sur son ensemble de définition se

trouvant ci-dessous :

x

f

c) Compléter le tableau de signe de ( )f x se trouvant ci-dessous.

x

( )f x

d) Résoudre les inéquations suivantes :

( ) 1f x < −

S = ...................................

( ) 1f x ≥

S = .....................................

( )0 2f x< ≤

S = ...................................

( ) 3f x x> −

S = ...................................

x

y

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

(C)


Le corrigé

a) Tout point de la courbe représentative (C) a des coordonnées de la forme ( )( );x f x .

Autrement dit, l'ordonnée de tout point de (C) est l'image de son abscisse par la fonction f.

� L'image de 0 par f est l'ordonnée du point A dont l'abscisse est 0. Ainsi : ( )0 1f = −

� 3− n'appartenant pas à l'ensemble de définition de la fonction f, il ne peut avoir d'image

par cette fonction. D'ailleurs, aucun point de la courbe (C) n'a pour abscisse 3− .

� Trois points de la courbe (C) ont pour ordonnée 2. Il s'agit de B dont l'abscisse est 2− ,

D dont l'abscisse est 3 et E dont l'abscisse est 7,5.

Donc 2 a trois antécédents par la fonction f : 2; 1 et 7,5−

� Aucun point de la courbe (C) n'a pour ordonnée 4. Par conséquent, ce dernier n'a pas

d'antécédent par la fonction f.

� Le minimum de la fonction f sur l'intervalle [ ]2;9− est 3− . Il est atteint en 0,5x =

� Le maximum de la fonction f sur l'intervalle [ ]1;3− est 2. Il est atteint en 3x =

b) D'après la courbe (C), le tableau de variation de la fonction f est le suivant :

x -2 0,5 5,5 9

2 3

f

�

�

�

-3 1

c) Le signe de ( )f x est donné par la position de la courbe (C) vis-à-vis de l'axe des

abscisses (Ox) qui marque le niveau 0. Le tableau de signe de ( )f x est :

x -2 -0,5 1,5 9

( )f x

+ 0 – 0 +

d) Pour résoudre l'inéquation ( ) 1f x < − ,

nous devons considérer tous les points de la

courbe (C) dont l'ordonnée est strictement

inférieure à 1− .

Ceux-ci ont une abscisse qui est comprise

entre 0 et 1 strictement. Par conséquent :

] [S 0;1=

� Pour résoudre l'inéquation ( ) 1f x ≥ , nous

devons nous intéresser aux points de la

courbe (C) dont l'ordonnée est supérieure ou

égale à 1.

Nous en déduisons que l'ensemble des

solutions de l'inéquation est :

[ ] [ ]S 2; 1 2;9= − − ∪

x

y

-2 2 4 6 8

-2

2

4

(C)

x

y

-2 2 4 6 8

-2

2 (C)

x

y

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

(C)

A

B D E

Minimum


� L'inéquation ( )0 2f x< ≤ se résout en

s'intéressant aux points de la courbe (C) dont

l'ordonnée est strictement supérieure à 0 et

inférieure ou égale à 9.

L'ensemble des solutions de l'inéquation est :

[ [ ] ] [ ]S 2; 0,5 1,5;3 7,5;9= − − ∪ ∪

Car en 0,5− et 1,5, la fonction f est nulle...

� Avant toute chose, traçons la courbe ∆ représentant la fonction ( ) 3g x x= − + .

La fonction g étant affine, sa courbe ∆ est une droite qui passe par les points :

( ) ( )( ) ( )

G 0;3 car 0 0 3 3

H 1;2 car 1 1 3 2

g

g

= − + =

= − + =

Résoudre l'inéquation ( ) ( )f x g x> , c'est

savoir quand la courbe (C) est au-dessus de

la droite ∆. Nous en déduisons :

] ]S 2;9=

Les expressions bien droites

Le contexte

Un exercice sur les expressions des fonctions affines et les droites qui les représentent

graphiquement.

L'énoncé

a) Sur le graphique ci-dessous, les droites ( )fC , ( )gC et ( )hC représentent les fonctions

affines f, g et h. Déterminer les expressions de ces trois fonctions.

x

y

( )fC

( )gC

( )hC

x

y

∆

-2 2 4 6 8

-4

-2

2

4 G

H (C)

x

y

-2 2 4 6 8

-2

2

4

(C)


b) Tracer sur le graphique ci-contre les courbes représentant les fonctions :

( ) ( ) 5 42 3

3

xj x x k x

+= − + =

Le corrigé

a) Leurs courbes représentatives étant des droites, les trois fonctions f, g et h sont affines,

c'est-à-dire qu'une de leurs expressions est de la forme × +a x b

Pour la fonction f :

Son coefficient directeur est égal à 3

Son ordonnée à l'origine vaut 5 −

a

b

Donc, pour tout réel x, ( ) 3 5f x x= − .

Pour la fonction g :

3 3Son coefficient directeur

5 5

Son ordonnée à l'origine vaut 2

a

b

−= = −

+

Donc, pour tout réel x, ( ) 32

5g x x= − + .

Pour la fonction h :

4 4Son coefficient directeur

7 7

On ne peut pas lire directement

a

b

−= = −

+

Donc h est de la forme ( ) 4

7h x x b= − +

On détermine l'ordonnée à l'origine b en sachant

( ) ( )4 12 14 12 23 2 3 2 2

7 7 7 7 7h b b− = ⇔ − × − + = ⇔ = − = − =

b) Les courbes ( )jC et ( )kC représentant les fonctions affines

j et k sont deux droites se traçant avec deux paires de points.

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

2

0 2 0 3 3 J 0;3

3 2 3 3 6 3 3 J 3; 3

j

j

jCj C

j C

= − × + = ⇒ ∈

= − × + = − + = − ⇒ − ∈

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2

5 2 4 62 2 K 2; 2

3 3

5 1 4 91 3 K 1;3

3 3

k

k

kC

k C

k C

× − + −− = = = − ⇒ − − ∈

× += = = ⇒ ∈

x

y

+5

-3

Ordonnée à l'origine

( )gC

x

y

+7

-4 ???

( )hC

x

y

J1

J2 K1

K2

( )jC

( )kC

Les deux droites peuvent aussi être tracées à partir de l'ordonnée à l'origine b et du coefficient directeur a.


Parabole, pas de bol !

Le contexte

Un exercice d'association entre les fonctions du second degré et les paraboles qui les

représentent graphiquement.

L'énoncé

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé quatre paraboles ( )1C , ( )2C , ( )3C et ( )4C

représentant chacune l'une des quatre fonctions du second degré suivantes :

� ( ) 23 12 5f x x x= − − −

� ( ) 22 4 1g x x x= − + −

� ( ) 22 8 3h x x x= + +

� ( ) 23 6 4j x x x= − +

Attribuer chaque courbe à la fonction du second degré qu'elle représente. Aucune

justification n'est demandée.

Le corrigé

Les variations de la fonction du second degré ( ) 2x ax bx cϕ = + + sont induites par le

signe de son coefficient dominant a. De plus, elles s'inversent en 2

bx

a= − .

Examinons les quatre fonctions du second degré proposées.

x −∞ 2− +∞

?

�

�

La fonction ( ) 23 12 5f x x x= − − −

Son coefficient dominant 3a = − est négatif.

Changement de variation : ( )12

22 2 3

b

a

−− = − = −

× −

La courbe ( )2C représente la fonction f.

f

x −∞ 1 +∞

?

�

�

La fonction ( ) 22 4 1g x x x= − + −

Son coefficient dominant 2a = − est négatif.

Changement de variation : ( )4

12 2 2

b

a− = − =

× −

La courbe ( )4C représente la fonction g.

g

x −∞ 2− +∞

�

�

La fonction ( ) 22 8 3h x x x= + +

Son coefficient dominant 2a = est positif.

Changement de variation : 8

22 2 2

b

a− = − = −

×

La courbe ( )1C représente la fonction h.

h

?

x −∞ 1 +∞

�

�

La fonction ( ) 23 6 4j x x x= − +

Son coefficient dominant 3a = est positif.

Changement de variation : 6

12 2 3

b

a

−− = − =

×

La courbe ( )3C représente la fonction j.

j

x

y

( )1C

( )2C

( )3C

( )4C


Homo graphicus !

Le contexte

Un problème classique consistant en l'étude complète d'une fonction homographique.

L'énoncé

La fonction f dont la courbe représentative est notée ( )fC est définie par :

( ) 3 1

2 4

xf x

x

− +=

−

a) Déterminer l'ensemble de définition fD de la fonction f.

b) Dresser le tableau de signe de ( )f x

c) Les points A d'abscisse A 4x = − et B d'ordonnée B 3y = − appartiennent à ( )fC .

Déterminer par le calcul les ordonnée Ay et abscisse Bx de ces points.

d) Sur le graphique ci-contre, tracer la courbe ( )fC représentant la fonction f.

e) Soient α et β deux réels de l'intervalle ] [;2−∞ tels que α < β .

1. Etablir que ( ) ( ) ( )( ) ( )

10

2 4 2 4f f

× α −βα − β =

α − × β −

2. En déduire le signe de la différence d'images ( ) ( )f fα − β .

3. Conclure en donnant le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ] [;2−∞ .

f) Dans ces questions, α et β deux réels tels que 2 < α < β .

1. Déterminer deux coefficients a et b tels que pour tout réel fx D∈ , on ait :

( )2 4

bf x a

x= +

−

2. Au moyen d'un enchaînement d'inégalités partant de 2 < α < β , établir le sens de

variation de la fonction f sur l'intervalle ] [2;+∞ .

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur son ensemble de définition.

g) Tracer sur le graphique la courbe ( )gC représentant la fonction ( ) 2 1g x x= −

Résoudre graphiquement l'inéquation ( ) ( )f x g x≥ .


Le corrigé

a) Les numérateur 3 1x− + et dénominateur 2 4x − constituant la fonction homographique

f sont deux fonctions affines définies sur �. Sauf que ( )f x est un quotient...

( )Le quotient existe Le dénominateur 2 4 est non nul

2 4 0 2 4 2

f x x

x x x

⇔ −

⇔ − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

Conclusion : tous les réels à l'exception de 2 ont une image par la fonction f.

{ } ] [ ] [\ 2 ;2 2;fD = = −∞ ∪ +∞�

b) Examinons les facteurs affines apparaissant dans le quotient ( )f x .

� Le numérateur 3 1x− + . Son coefficient directeur 3a = − est négatif.

Il s'annule en : 1 1

3 1 0 3 13 3

x x x−

− + = ⇔ − = − ⇔ = =−

� Le dénominateur 2 4x − . Son coefficient directeur 2a = est positif.

Il s'annule en : 2 4 0 2 4 2x x x− = ⇔ = ⇔ =

Nous en déduisons que le tableau de signe de ( )f x est :

x −∞ 1/ 3 2 +∞

3. 1x− + + 0 – –

2. 4x − – – 0 +

( )f x – 0 + –

c) Comme le point A appartient à la courbe ( )fC , alors ses coordonnées en vérifient

l'équation. Par conséquent :

( ) ( )( )

AA A

A

3 4 13 1 12 1 13

2 4 2 4 4 8 4 12

xy f x

x

− × − +− × + += = = = = −

× − × − − − −

De même, les coordonnées de B vérifiant l'équation de la courbe ( )fC , il vient :

( ) ( ) ( )BBB B

B B

BB B

BB B

B

Son numérateur Son dénominateurUn quotient est nul...l'est... ne l'est p

B

as.

B

.

3 3 13 13 0 0

2 4 2 4

3 110 3 11 0 et 2

2

4 02 4

3 11 2 4

11 2

4

3

xxy f x

x x

xx x

xx

xx

x

x

− − − +− += ⇔ − − = ⇔ =

− −

− +⇔ = ⇔ − + = − ≠

−

×

− = − ≠

≠

−

=

�� .��

x

y

-4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

A

B


d) La courbe ( )fC représentant la fonction homographique f est une hyperbole à deux

branches s'appuyant sur les asymptotes verticale d'équation 2x = et horizontale

d'équation 1,5y = − .

e.1) Nous pouvons écrire :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3 1 3 1

2 4 2 4

3 1 2 4 3 1

2 4 2 4

6

2 4

f f− α + − β +

α − α = −α − β −

− α + − − β +=

α − ×

× β − × α −

β −

− αβ=

12 2 4+ α + β − 6+ αβ 12 2 4− β − α +

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

2 4 2 4

1010 10

2 4 2 4 2 4 2 4

α − × β −

× α −βα − β= =

α − × β − α − × β −

e.2) Examinons les facteurs composant le quotient ( ) ( )f fα − β .

� Le facteur 10 est...positif !

� Le facteur α − β est négatif car 0α < β ⇒ α − β <

� Le facteur 2 4α − est négatif car 2 4

2 2 4 2 4 0× −

α < ⇒ α < ⇒ α − <

� Le facteur 2 4β − est aussi négatif car 2 4

2 2 4 0× −

β < ⇒ ⇒ β − <…

Par conséquent, le quotient ( ) ( ) ( )( ) ( )

10

2 4 2 4f f

× α − βα − β =

α −

×

× β=

×−

⊕ ⊖

⊖ ⊖ est négatif.

e.3) Récapitulons ce que nous ont appris les questions précédentes sur l'intervalle ] [;2−∞ .

( ) ( ) ( ) ( )] [ conserve l'ordre sur l'intervalle ;2

Si alors 0 soit

f

f f f f

−∞

α < β α − β < α < β��

Conclusion : la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ] [;2−∞ .

f.1) On veut écrire la fonction homographique f sous la forme décomposée.

( ) ( )

( )

2 4 2 4

2 4 2 4 2 4

2 43 1

2 4 2 4

a x bb ax a bf x a

x x x

a x b ax

x x

× − + − += + = =

− − −

× + −− × +=

− −

x

y

-4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

A

B

( )fC

( )fC

( ) : 2 1gC y x= − 2x =

1,5y = −


En identifiant les coefficients de même degré des numérateurs, il vient alors :

Egalit

Egalit

é des

é des coeffi

coefficients

: 3 2 3 / 2

const

cients

ant

1,5

:

en

4s 1 1 6 5

a a

b

x

a b b

− = ⇔ = − = −

= − ⇔ = + ⇔ = −

Nous en concluons :

( ) 3 1 51,5

2 4 2 4

xf x

x x

− += = − −

− −

Une autre méthode consiste à extraire le dénominateur de chacun des termes du

numérateur.

( ) ( ) ( )

Combien 3de fois 2 4 ?

2 41,5 2 4 6 13 11,5

2 4 2 4

xx

xxxf x

x x

−−

−− × − − +− += = = − ×

− −

��

2 4x −

5

2 4x

−+

−

f.2) L'enchaînement d'inégalités demandé est le suivant :

Conclusion : la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ] [2;+∞

x −∞

2

+∞

+∞ 1,5−

�

�

f

1,5− −∞

g) La courbe ( )gC représentant la fonction

affine ( ) 2 1g x x= − est une droite de

coefficient directeur 2 et passant par le

point de coordonnées ( )0; 1− .

Graphiquement, on trouve que l'ensemble

des solutions de l'inéquation est ] [;2−∞ .

Variation totale !

Le contexte

Dans cet exercice, il s'agit d'établir la variation d'une fonction sur un intervalle au moyen

d'un enchaînement d'inégalités en s'appuyant sur les variations des fonctions de référence.

L'énoncé

Au moyen d'un enchaînement d'inégalités, établir le sens de variation de la fonction

( )2

1

12 3

f x

x

=−

sur l'intervalle ] [2;0− .

Le corrigé

Soient α et β deux réels de l'intervalle ] [2;0− tels que α < β .

Comment leurs images ( )f α et ( )f β sont-elles rangées ? Nous pouvons écrire :

Conclusion : la fonction f est (strictement) décroissante sur l'intervalle ] [2;0− .

Décroissante sur ]0 ;+∞[

Croissante sur ]0;+∞[

Décroissante sur ]-∞;0[

Inverse

Racine

+12

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 0

4 0

12 3 3 0

0 12 3 12 3 12

0 12 3 12 3 12

1 1

12 3 12 3

f fα β

− < α < β <

> α > β >

− < − α < − β <

< − α < − β <

< − α < − β <

>− α − β

��

La fonction f change

l'ordre sur ]-2 ; 0[

×(-3)

Carré

� Deux réels positifs �

� Deux réels négatifs �

( ) ( )

2

4 2 2

0 2 4 2 4

1 1

2 4 2 4

5 5

2 4 2 4

5 51,5 1,5

2 4 2 4

f fα β

< α < β

< α < β

< α − < β −

>α − β −

− −<

α − β −

− −− + < − +

α − β −��

La fonction inverse est

décroissante sur ]0 ; +∞[

� Deux réels positifs � La fonction f conserve l'ordre sur ]2 ; +∞∞∞∞ [

-1,5

×(-5)

Inverse

-4

×2


Géométrie analytique

Problème analytique !

Le contexte

Un problème qui recourt à tous les outils de la géométrie analytique (calcul sur les

coordonnées, déterminant, norme d'un vecteur) à l'exception des équations de droites.

L'énoncé

Sur la figure ci-contre �, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( )O; ,i j� �

où

une unité graphique vaut un centimètre. Par défaut, les unités de longueur sont des

centimètres.

Dans ce repère, on a positionné les points :

( ) ( ) ( ) ( )A 3; 4 B 4;1 C 2;6 E 1,6;3− − −

a) Le point E appartient-il à la droite (BC) ? On justifiera sa réponse.

b) Le point F est le quatrième sommet du parallélogramme AEBF.

1. Déterminer les coordonnées du point F.

2. Placer au compas le point F sur la figure ci-contre.

c) Déterminer les coordonnées du point I qui est le milieu du segment [AC].

d) Le point G est défini par la relation vectorielle :

3 BG 4 CG 2 CA× + × = ×��

1. Déterminer par le calcul les coordonnées du point G.

2. Vérifier que G est le point d'intersection des droites (AE) et (BI).

3. Placer précisément le point G.

e) Déterminer les coordonnées du point J qui est l'intersection de la droite (AB) et de l'axe

des abscisses ( )Ox .

f) Les points O et I appartiennent-ils au même cercle de centre A ? On justifiera sa réponse.

g) Déterminer les coordonnées du point K qui est l'intersection du cercle Γ de centre C passant par O et du segment [BI].

h) L est un point de l'axe des ordonnées ( )Oy tel que le triangle ABL soit rectangle en B.

Déterminer les coordonnées du point L.

i�

j�

x

y

O

A

B

C

E


Le corrigé

a) Les vecteurs ( )1,6 4 2,4

BE3 1 2

− − − =

− =

��

et ( )2 4 6

BC6 1 5

− − =

− =

��

sont-ils colinéaires ?

( ) 2,4 6det BE,BC 2,4 5 2 6 12 12 0

2 5= = × − × = − =

��

Comme leur déterminant est nul, les vecteurs BE��

et BC��

sont colinéaires.

Donc les points B, C et E sont alignés. La réponse à la question est affirmative.

b) Le quatrième sommet F du parallélogramme AEBF vérifie la relation vectorielle :

( )

Vecteurs égauxAbscisses égales Ordonnées é

FF F

F

g s

F

e

F

al3 2,4

AF EB 3 2,4 et 4 24 2

0,6 6

xx y

yx y

− − = ⇔ = ⇔ − = − + = − − − − = = −

��

��

Conclusion : le point F a pour coordonnées ( )0,6; 6− . Sa construction précise se fait au

compas.

c) Comme I est le milieu du segment [AC], ses coordonnées sont données par :

( )A C A CI I

4 63 2 5 22,5 et 1

2 2 2 2 2 2

x x y yx y

− ++ ++= = = = = = = =

Conclusion : le milieu I a pour coordonnées ( )2,5;1 .

d.1) Le point G est défini par la relation vectorielle :

Vecteurs

G G

G G

G G

G G

G

G

G

égaux

Ab

G

G

4 2 13 BG 4 CG 2 CA 3 4 2

1 6 10

3 12 4 8 2

3 3 4 24 20

7 4 2

7 27 20

7 4 2

7 2

2

7

x x

y y

x x

y y

x

y

x

x

x

+ − × + × = × ⇔ × + × = × − − −

+ − ⇔ + = − − −

+ ⇔ = − −

⇔ + =

= −

= −

��

��

��

��

�

��

�

scisses égales Ordonnées égal

G

es

G

G

et 7 27 20

7 7

1

y

y

y

− = −

=

=

��

Conclusion : le point G a pour coordonnées 2;1

7

−

.

d.2) Le point G est aligné avec les points B et I car ils ont la même ordonnée 1.

� Pour savoir si le point G appartient aussi la droite (AE), regardons si les vecteurs

( )2 / 7 3 23 / 7

AG1 4 5

− − = − − − =

��

et ( )

1,6 3 4,6AE

3 4 7

− − = − − − =

��

sont colinéaires en calculant leur

déterminant.

( ) 23 / 7 4,6 23det AG,AE

5 7 7

− − −= =

��

7× ( )5 4,6 23 23 0− × − = − + =

Comme leur déterminant est nul, les vecteurs AG��

et AE��

sont colinéaires.

Par conséquent, le point G appartient bien à la droite (AE).

d.3) On place précisément G comme étant le point d'intersection des droites (BI) et (AE).

e) D'abord, le point J appartenant à l'axe ( )Ox , son ordonnée Jy est nulle.

Ensuite, le point J faisant partie de la droite (AB), les vecteurs J 3

AJ4

x −

��

et 7

AB5

−

��

sont colinéaires. Par conséquent, leur déterminant est nul. Il vient alors :

( )( ) ( )

J

J

J J J

3 7det AJ,AB 0 0

4 5

3 5 4 7 0

135 15 28 0 5 13 2,6

5

x

x

x x x

− −= ⇔ =

⇔ − × − × − =

⇔ − + = ⇔ = − ⇔ = − = −

��

Conclusion : les coordonnées du point J sont ( )2,6;0−

f) Pour savoir si les points O et I appartiennent au même cercle de centre A, calculons les

distances AO et AI.

( )

( )

2 2

2 2

3Comme AO alors AO 3 4 9 16 25 5 cm

4

0,5Comme AI alors AI 0,5 5 0,25 25 25, 25 cm

5

− = − + = + = =

− = − + = + =

��

��

Conclusion : leurs distances vis-à-vis du centre A étant différentes, les points O et I ne se

trouvent pas sur le même cercle de centre A.


g) Le point K appartenant au segment [BI], son ordonnée Ky est égale à 1.

Ensuite, K appartient aussi cercle Γ dont nous ignorons le rayon. Calculons le !

( ) ( )2 2Rayon de CO 0 2 0 6 4 36 40 2 10 cmΓ = = − + − = + = =

Comme K fait partie du cercle Γ de centre C et de rayon 40 cm, alors :

( ) ( )

( )( )

22 22

K

2K

2K K K

K K

CK 40 CK 40 2 1 6 40

2 25 40

2 15 2 15 ou 2 15

2 15 2 15

x

x

x x x

x x

= ⇒ = ⇒ − + − =

⇒ − + =

⇒ − = ⇒ − = − = −

= + = −

K étant sur le segment [BI], son abscisse Kx est comprise entre B 4x = − et I 2,5x = .

Seule la seconde solution trouvée vérifie cette contrainte.

Conclusion : le point K a pour coordonnées ( )2 15;1− .

h) D'abord, le point L faisant partie de l'axe ( )Oy , son abscisse Lx est nulle.

Ensuite, le triangle ABL étant rectangle en B, les vecteurs 7

BA5

−

��

et L

4BL

1y

−

��

sont

orthogonaux. Par conséquent, leurs coordonnées vérifient l'égalité :

( ) ( )L L

L L

7 4 5 1 0 28 5 5 0

33 335 33 6,6

5 5

y y

y y

× + − × − = ⇔ − + =

−⇔ − = − ⇔ = = =

−

Conclusion : les coordonnées du point L sont ( )0;6,6 .

A l'issue de l'exercice, la figure est celle ci-dessous ��

i�

j�

x

y

O

A

B

C

E

F

I G

Γ

K

J

L


Problème de droites !

Le contexte

Un problème de fin de chapitre qui récourt à tous les outils de la géométrie analytique, y

compris les équations de droites.

L'énoncé

Sur la figure ci-contre, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( )O; ,i j� �

où une

unité graphique vaut un centimètre. Dans ce repère, on a positionné les points :

( ) ( ) ( ) ( )A 2;0 B 5; 2 C 4;4 G 2;1− −

Tous les constructions et positionnements se feront au compas, à l'équerre et à la règle.

a) Résoudre les systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues :

( ) ( )2 7 20 9 15 13

4 2 12 20 15

x y x yS S

x y x y

+ = − = ′

− + = − =

(1) (1)

(2) (2)

b) Le triangle ABC est-il isocèle en A ? On justifiera sa réponse.

c) On appelle E le milieu du segment [AC].

1. Calculer les coordonnées de E.

2. Démontrer la relation vectorielle 3

BG BE4

= ×��

.

3. Placer précisément le point E.

d) Le point F est défini par la relation vectorielle :

3 AF 2 BF o× + × =��

1. Déterminer par le calcul les coordonnées du point F.

2. Vérifier que F appartient à la droite (CG).

3. Placer précisément le point F.

e) On appelle ∆ la droite d'équation 2 7 20x y+ = .

1. Placer précisément à l'équerre ou au compas le point K de coordonnées ( )4;4− .

2. Le point K appartient-il à la droite ∆ ? On justifiera sa réponse. 3. Donner un vecteur directeur u

� de la droite ∆.

4. Justifier que les droites (AB) et ∆ sont parallèles. 5. Construire au compas la droite ∆.

f) On appelle D le point d'intersection des droites (AG) et ∆. 1. Déterminer une équation de la droite (AG).

2. En déduire les coordonnées du point D.

3. Vérifier que les points B, C et D sont alignés.

i�

j�

x

y

O A

B

C

G

On laissera

apparents les

traits de

construction.


Le corrigé

a) D'abord, regardons les rapports des coefficients du système ( )S .

Rapport Rapport Rapport des coefficients en des coefficients en des coefficients constants

2 7 202 1,75 10

1 4 2

x y

a b c

a b c= = − = = = =

′ ′ ′−

��

Comme les coefficients en x et y ne sont pas proportionnels, alors le système ( )S admet

une unique solution que nous allons déterminer par...substitution.

A partir de l'équation (2), on exprime l'inconnue x en fonction de y.

4 2 4 2x y x y− + = ⇔ = −

Puis, on remplace dans l'équation (1) l'inconnue x par ce qu'elle vaut en y.

( )2 7 20 2 4 2 7 20 8 4 7 20

24 815 24 1,6

15 5

x y y y y y

y y

+ = ⇔ × − + = ⇔ − + =

⇔ = ⇔ = = =

Il vient alors pour l'autre inconnue :

224 2 4 1,6 2 6,4 2 4,4

5x y= − = × − = − = =

Conclusion : le système ( )S admet pour seule solution ( )4,4;1,6 .

� Effectuons les rapports de coefficients du système ( )S ′ .

Rapport Rapport Rapport des coefficients en des coefficients en des coefficients constants

9 3 15 3 13 30,75 0,75

12 4 20 4 15 4

x y

a b c

a b c

−= = = = = = = ≠

′ ′ ′−

��

Conclusion : comme seuls ses coefficients en x et y sont proportionnels, alors le système

( )S ′ n'admet aucune solution.

b) Pour savoir si le triangle ABC est isocèle en A, calculons les longueurs AB et AC.

( )22

2 2

7Comme AB alors AB 7 2 49 4 53 7,28 cm

2

6Comme AC alors AC 6 4 36 16 52 7,21 cm

4

= + − = + = ≈ −

= + = + = ≈

��

��

Conclusion : comme les distances AB et AC ne sont pas égales, alors le triangle ABC n'est

pas isocèle en A.

c.1) E étant le milieu du segment [AC], ses coordonnées sont données par :

( )A C A CE E

2 4 2 0 4 41 et 2

2 2 2 2 2 2

x x y yx y

− ++ + += = = = = = = =

c.2) Les coordonnées des deux vecteurs sont 3

BG3

−

��

et 4

BE4

−

��

.

On observe :

4 43 3BE

44 4

− −× = × =

�� 3 / 4×

4 3 / 4×

3BG

3

− = =

��

L'égalité demandée est démontrée !

c.3) Les vecteurs BG��

et BE��

étant colinéaires, les points B, G et E sont alignés.

Ainsi, E se place précisément comme étant l'intersection des droites (AC) et (BG).

d.1) Déterminons les coordonnées du point F en traduisant sous forme de coordonnées la

relation vectorielle le définissant.

F F

F F

F F

F F

FF F

F

Vecteurs égauxAbscisses égales

F

2 5 03 AF 2 BF o 3 2

2 0

3 6 2 10 0

3 2 4 0

5 4 05 4 0 et 5 4

5 4 04

5

x x

x y

x x

y y

xx y

y

x

+ − × + × = ⇔ × + × = +

+ − ⇔ + = +

− ⇔ = − = + +

=

⇔

��

��

��

�

� � �

Ordonnées égales

F

0

4

5y

=

= −

��

Conclusion : le point F a pour coordonnées ( )0,8; 0.8−

d.2) Pour savoir si les trois points C, G et F sont alignés, calculons le déterminant des

vecteurs 2

CG3

− −

��

et 3,2

CF4,8

− −

��

.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3,2

det CG,CF 2 4,8 3 3, 2 9,6 9,6 03 4,8

− −= = − × − − − × − = − + =

− −

��

Conclusion : leur déterminant étant nul, les vecteurs CG��

et CF��

sont colinéaires. Donc le

point F appartient bien à la droite (CG).

d.3) Le point F se place précisément comme étant le point d'intersection des droites (AB)

et (CG). Ou alors à la règle graduée, au compas ou à l'équerre.

On peut aussi procéder par combinaisons linéaires.

Dans chaque coordonnée des vecteurs :

Arrivée - Départ

On recherche une proportionnalité...


e.1) D'abord, on place le point ( )I 4;0− à 4 centimètres du point O sur l'axe ( )O; i�

.

Puis, on positionne le point ( )J 0;4 à 4 centimètre du point O sur l'axe ( )O; j�

.

Le point K se construit alors soit au compas comme étant le quatrième sommet d'un

parallélogramme, soit à l'équerre comme étant le quatrième sommet du carré IOJK en

traçant deux perpendiculaires aux axes.

e.2) Regardons si les coordonnées du point K vérifient l'équation de la droite ∆.

( )K K2 7 2 4 4 7 8 28 20x y+ = × − + × = − + =

Conclusion : ses coordonnées en vérifiant l'équation, le point K appartient à la droite ∆.

e.3) D'après son équation 2 7 20x y× + × = , un vecteur directeur de ∆ est 7

2u

−

�.

e.4) Les coordonnées du vecteur u� sont celles du vecteur BA

��

.

Les droites ∆ et (AB) partageant le même vecteur directeur BAu =��

, elles sont parallèles.

e.5) La parallèle ∆ se construit en construisant au compas le vecteur AB��

au départ de K.

f.1) La droite (AG) est défini par son point A et son vecteur directeur AG��

.

( ) ( )

( )

( )

On écrit

le déterminant de AM et AG avec leurs coordonnées

2 4M ; AG Les vecteurs AM et AG sont colinéaires

1

det AM,AG 0

2 40 2 1 4 0

1

xx y

y

xx y

y

+ ∈ ⇔

⇔ =

+⇔ = ⇔ + × − × =

��

��

��

��

��

�

��

2 4 0 4 2 0x y x y⇔ + − = ⇔ − + =

��

Conclusion : une équation de la droite de la droite (AG) est 4 2 0x y− + = .

f.2) Le point D appartenant aux droites ∆ et (AG), ses coordonnées en vérifient leurs deux équations :

( ) ( )( )

D DD D

D D D D

D 2 7 20Le couple ;

D AG 4 2 0 4 2est solution de .

x yx y

x y x yS

∈ ∆ ⇔ + =⇒

∈ ⇔ − + = ⇔ − + =

Conclusion : d'après la question a, le point D a pour coordonnées ( )4, 4;1,6 .

f.3) Calculons le déterminant des vecteurs BC��

et BD��

.

( ) ( ) ( )1 0,6

det BC,BD 1 3,6 6 0,6 3,6 3,6 06 3,6

− −= = − × − × − = − + =

��

Conclusion : leur déterminant étant nul, les vecteurs BC��

et BD��

sont colinéaires. Donc le

point D fait partie de la droite (BC).

A l'issue de l'aventure, la figure est la suivante :

i�

j�

x

y

∆

AB��

O A

B

C

G

E

F

I

J K

D


Géométrie classique

Première vectorielle

Le contexte

Un exercice basique de calcul vectoriel et de placement de points.

L'énoncé

Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle tel que :

AB 7cm AC 6cm BC 5cm= = =

a) Construire les points D et I définis par les relations vectorielles :

2CD AB BI AC

3= = ×

��

b) Le point E est défini par la relation vectorielle :

3 BE 2 CE o× + × =��

1. Exprimer le vecteur BE��

en fonction du vecteur BC��

.

2. Placer le point E sur la figure.

c) Le point G est défini par la relation vectorielle :

5AG AE

9= ×

��

1. Placer le point G sur la figure.

2. Etablir la relation vectorielle 4 AG 5 EG o× + × =��

3. Démontrer la relation vectorielle : 4 AG 3 BG 2 CG o× + × + × =��

Indication : on pourra introduire le point E dans deux des trois vecteurs...

Le corrigé

a) Le point D est le quatrième sommet du parallélogramme CABD.

Le point I se situe sur la parallèle à la droite (AC) passant par B à 2

6 43

× = cm de B.

b) Le point E est défini par l'égalité vectorielle :

2 CE

3 BE 2 CE o 3 BE 2 CB 2 BE o 5 BE 2 BC

2BE BC

5

×

× + × = ⇔ × + × + × = ⇔ × = ×

⇔ = ×

��

��

��

��

��

Conclusion : le point E se trouve aux deux cinquièmes du segment [BC] à partir de B.

c.1) Le point G se situe aux cinq neuvième du segment [AE] à partir de A.

c.2) Modifions la relation vectorielle définissant le point G.

5/9 AE par Chasle !

9

s

5 5 5 5AG AE AG AE o AG AG GE o

9 9 9 9

4 5AG EG o 4 AG 5 EG o

9 9

− ×

×

= × ⇔ − × = ⇔ − × − × =

⇔ × + × = → × + × =

��

��

��

��

��

��

��

� �

��

�

�

�

�

�

A B

C

C'est la relation de Chasles dans le sens décomposition...


c.3) Pour établir la relation proposée, nous allons partir de la somme de gauche et prouver

qu'elle est égale au vecteur nul en introduisant le point E dans les vecteurs BG��

et CG��

.

3 BC

od'après la relation

od'a déprè fs

C

i

2 G

4 AG 3 BG 2 CG 4 AG 3 BE 3 EG 2 CE 2 EG

4 AG 5 EG 3 BE 2 CE

= × = ×

= =

× + × + × = × + × + × + × + ×

= × + × + × + ×

��

��

��

��

��

� ��

��

��

�

�

c.2 nissant E

o o o= + =

��

� �

��

�

�

A la fin de l'exercice, la figure est la suivante :

Tourcoti, tournicota, je terminais la tête en bas !

Le contexte

Un exercice franchement hors programme mais très simple sur les angles orientés et le

radian. Ces deux notions relativement simples vues en première S sont néanmoins utiles

pour introduire de manière confortable les fonctions cosinus et sinus.

L'énoncé

Sur la figure ci-dessous, le triangle ABC est isocèle rectangle en C, alors que les triangles

ABD, ACE et BCF sont tous trois équilatéraux.

Donner une mesure exprimée en radians des angles orientés suivants.

( )AC,AE =��

( )CA,CB =��

( )BA,BC =��

( )FB,FC =��

( )AD,AC =��

( )CE,CB =��

( )CB,EC =��

( )DC,BA =��

♥ ♥

♣

♣ ♣

♣

A B

C

♥

♣ ♣

D

E F AB��

2AC

3

��

A B

C

D

I E

G

Une double décomposition avec Chasles...


Le corrigé

Avant toutes choses, rappelons qu'un angle plat, c'est-à-dire de 180°, mesure π radians.

Les angles du triangle isocèle rectangle ABC mesurent soit 454

π° = , soit 90

2

π° = .

Les angles des triangles équilatéraux mesurent tous 603

π° = .

Ces choses ayant été dites, nous pouvons écrire :

( ) ( )

( ) ( )

AC,AE 60 CA,CB 903 2

BA,BC 45 FB,FC 604 3

π π= + ° = + = + ° = +

π π= − ° = − = − ° = −

��

��

Les deux angles suivants se trouvent par bonds...

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 3 7AD,AC AD,AB AB,AC

3 4 12 12 12

2 3 5CE,CB CE,CA CA,CB

3 2 6 6 6

π π π π π= + = + = + =

π π π π π= + = + = + =

��

��

L'angle ( )CB,EC��

est le complémentaire sur un angle plat de l'angle ( )CE,CB��

.

( ) ( ) ( ) 5CB,EC CB,CE CE,EC

6 6

π π= + = − + π =

��

Les points C et D appartenant à la médiatrice du segment [AB], nous avons :

( )DC,BA2

π=

��

♥ ♥

♣

♣ ♣

♣

A B

C

♥

♣ ♣

D

E F


Ses sinus plein les mirettes

Le contexte

Un exercice de trigonométrie sur le cercle trigonométrique : radian, sinus et cosinus

L'énoncé

a) Sur la figure ci-dessous où le plan est muni d'un repère orthonormé direct ( )O; ,i j� �

,

placer sur le cercle trigonométrique les points suivants :

4 9Le point A associé au réel Le point B associé au réel

3 4

19Le point C associé au réel Le point D associé au réel 33

6

π π−

π− π

1. 2.

3. 4.

b) En s'aidant du cercle trigonométrique ci-dessus, résoudre les équations d'inconnue t

suivantes :

1. Résoudre l'équation ( ) 2cos

2t = dans l'intervalle [ ]0;2π .

2. Résoudre l'équation ( ) 3sin

2t = − dans l'intervalle [ ];−π π .

3. Résoudre l'équation ( )sin 1t = − dans l'intervalle 3;

2 2

π π −

.

4. Résoudre l'équation ( ) 1cos

2t = − dans l'intervalle [ ];3π π .

Le corrigé

a) A, B, C et D sont les

points du cercle

trigonométrique tels que :

( )

( )

( )

( )

4,OA

3

9,OB 2

4 4

19,OC

6

52 2

6

,OD 33 16

i

i

i

i

π= −

π π= = π +

π= −

π= − × π +

= π = × π + π

��

��

��

��

b) En s'aidant du cercle trigonométrique complété, on détermine que les solutions des

équations proposées sont :

1. ( ) [ ]2 7cos avec 0;2 ou

2 4 4t t t t

π π= ∈ π ⇔ = =

2. ( ) [ ]3 2sin avec ; ou

2 3 3t t t t

π π= − ∈ −π π ⇔ = − = −

3. ( ) 3 3sin 1 avec ; ou

2 2 2 2t t t t

π π π π = − ∈ − ⇔ = − =

4. ( ) [ ]1 4 8cos avec ;3 ou

2 3 3t t t t

π π= − ∈ π π ⇔ = =

i�

j�

O

i�

j�

O

A

B

C

D


Prisme au piège !

Le contexte

Un exercice classique de géométrie dans l'espace où il s'agit de construire les droites

d'intersection de deux plans avec notamment les théorèmes d'incidence et du toit.

Le corrigé

ABCDEF est un prisme droit s'appuyant sur deux triangles isométriques ABC et DEF

respectivement rectangles A et D, et vérifiant :

AB 3cm AC 5cm AD 4cm= = =

Toutes les constructions demandées seront effectuées à la règle et au compas et, justifiées

sur la feuille de copie. Les parties cachés des droites et segments seront représentées en

tirets.

a) Calculer le volume exprimé en litres du prisme ABCDEF.

b) Les points I et J appartiennent tous deux au plan (ADE).

Sur la figure ci-dessous, construire l'intersection des plans (BCI) et (EFJ).

c) L, M et N sont trois points appartenant respectivement aux arêtes [AB], [DE] et [BC].

Sur la figure ci-dessous, construire l'intersection des plans (DEF) et (LMN).

d) Les points P et Q appartiennent respectivement aux arêtes [EF] et [DF].

Construire l'intersection des plans (AEQ) et (BDP).

A

B

C

D

E

F

P

Q

A

B

C

D

E

F

L

M

N

A

B

C

D

E

F

J

I


Le corrigé

a) Le volume du prisme ABCDEF est donné par la formule :

3

Volume Base du triangle ABC Hauteur

AB AC 3 5AD 4 30 cm 0,03 litre

2 2

= ×

× ×= × = × = =

b) D'abord, disons que cette intersection des plans (BCI) et (EFJ) est une droite que nous

appellerons ∆. Ensuite, les droites (BI) et (EJ) sont sécantes dans le plan (ADE) qui porte la face

rectangulaire ABED. Leur point d'intersection K appartenant aux deux plans (BCI) et (EFJ)

fait de facto partie de leur intersection ∆. Enfin, comme la droite (BC) du plan (BCI) est parallèle à la droite (EF) du plan (EFJ),

alors, en application du théorème du toit, l'intersection ∆ est parallèle à ces deux droites. Conclusion : L'intersection ∆ est la droite parallèle à (BC) et (EF) passant par K. Cette droite d'intersection ainsi que le point K se trouvent derrière le cube.

c) Encore une fois, l'intersection des plans (DEF) et (LMN) est une droite que nous

noterons ∆' et qui passe par leur point commun M.

Ensuite, l'intersection des plans (LMN) et (ABC) est la droite (LN) car les points L et N

sont communs à ces deux plans.

Enfin, le plan (LMN) coupe les plans parallèles (DEF) et (ABC) suivant deux droites

parallèles. Par conséquent, la droite ∆' est parallèle à la droite (LN). Conclusion : l'intersection ∆' est la parallèle à la droite (LN) passant par M.

d) Encore une fois, l'intersection des plans (AEQ) et (BDP) est une droite ∆". Les droites (BD) et (AE) sont sécantes dans le plan (ADEB) en un point que nous

appellerons R.

Les droites (EQ) et (DP) sont sécantes dans le plan (EDF) en un point S.

Les points R et S appartenant aux deux plans, ils font partie de la droite ∆". Conclusion : l'intersection des plans (AEQ) et (BDP) est la droite (RS).

∆'

A

B

C

D

E

F

L

M

N

∆''

A

B

C

D

E

F

P

Q

R

S

A

B

C

D

E

F

J

I

K ∆


Probabilités et statistiques

Pommes, pommes, pommes, pommes !

Le contexte

L'exercice classique sur les statistiques : classes, histogramme, polygone des fréquences

cumulées croissantes, moyenne et indicateurs de dispersion.

L'énoncé

La cueillette des pommes vient de s'achever aux Vergers Blancois. Le chef comptable de

la coopérative a comptabilisé la masse de pommes que chaque pommier a produite. Puis, il

a rassemblé ces données en classes. Il en a résulté la série statistique suivante qui,

malheureusement, est partielle.

Classe exprimée en

kilogrammes [ [0;25 [ [25;45 [ [45;55 [ [55;60

Effectif

Nombre de pommiers 160 96

Heureusement, le tableau ci-dessus est complété par l'histogramme ci-dessous où un

centimètre carré représente 16 pommiers.

a) Compléter le tableau et l'histogramme ci-dessus.

b) Combien les Vergers Blancois possèdent-ils de pommiers ? On entourera la bonne

réponse parmi les propositions ci-dessous :

456 480 504 528

c) Calculer la masse moyenne de pommes produite par un pommier.

d) Sur le graphique ci-après, construire le polygone des fréquences cumulées croissantes

correspondant à la série statistique précédente.

e) A partir du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

1. Déterminer la médiane eM ainsi que les deux quartiles 1Q et 3Q .

2. On rapporte au chef comptable qu'il y a autant de pommiers qui produisent moins

de 10 kilogrammes de pommes que de pommiers qui produisent plus de 50

kilogrammes de pommes.

Cette affirmation est-elle vraie ? On justifiera sa réponse.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Masse en kilogrammes de pommes produites par un pommier

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1


Fréquences Cumulées Croissantes


Le corrigé

a) Complétés, le tableau et l'histogramme sont les suivants :

Classe exprimée en

kilogrammes [ [0;25 [ [25;45 [ [45;55 [ [55;60

Effectif

Nombre de pommiers 160 224 96 24

Aire du rectangle en

centimètres carrés 10 14 6 1,5

Dimensions en

centimètres 5 2× 4 3,5× 3 2× 1 1,5×

b) Au total, les Vergers Blancois possèdent 160 224 96 24 504 pommiers+ + + =

c) En supposant que dans une même classe, les pommiers sont répartis de façon régulière

ou homogène, la masse moyenne de pommes produite par un pommier est donnée par :

effectif Milieu de la classe 160 12,5 224 35 96 50 24 57,531,8 kg

Effectif total 504

× × + × + × + ×= ≈

∑

d) Pour construire le polygone en question, il faut au préalable calculer les fréquences,

puis les fréquences cumulées croissantes de la série statistique.

Classe exprimée en

kilogrammes [ [0;25 [ [25;45 [ [45;55 [ [55;60

Effectif 160 224 96 24

Fréquence 0,32 0,44 0,19 0,05

Fréquences cumulées

croissantes 0,32 0,76 0,95 1

Ce qui donné le polygone des fréquences cumulées croissantes suivant :

e.1) La médiane est la modalité prise pour une fréquence cumulée croissante de 0,5.

D'après le graphique, le «pommier médian» produit eM 33,2 kilogrammes=

Les quartiles 1Q et 3Q correspondent aux modalités prises pour des fréquences cumulées

croissantes respectivement de 0,25 et 0,75. D'après le graphique, on trouve

1 3Q 19,7kg et Q 44,5kg= =

e.2) La fréquence cumulée croissante correspondant à une modalité de 10 kilogrammes est

de 0,13. Celle correspondant à une modalité de 50 kg est de 0,86.

Il y a donc 13% des pommiers qui produisent moins de 10 kilogrammes et 14% plus de 50

kilogrammes. Avec l'incertitude introduite par toutes nos imprécisions, on peut dire que

l'affirmation est vraie : il y a autant de pommiers qui produisent moins de 10 kg de

pommes que de pommiers qui en produisent plus de 50.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1


Fréquences Cumulées Croissantes

0,32

0,76

0,95

1

Médiane

33,2

Q1

19,7

Q3

44,5

0,13

0,86


Roule ou crève

Le contexte

Un exercice simple de probabilité qui se solutionne au moyen d'un arbre pondéré.

L'énoncé

Un réparateur de vélos a acheté 65% de son stock de pneus à un premier fournisseur et le

reste chez un second.

Des études ont montré que :

� 10% des pneus produits par le premier fournisseur présentaient un défaut.

� 20% des pneus produits par le second fournisseur présentaient un défaut.

Le réparateur prend au hasard un pneu dans son stock.

a. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.

b. Calculer la probabilité que ce pneu soit sans défaut.

Le corrigé

a) La situation est la suivante :

b) Avant toutes choses, on définit les événements suivants :

1

2

F «Le pneu vient du fournisseur » S «Le pneu ne présente aucun défaut»

F «Le pneu vient du fournisseur »

= =

=

1

2

On souhaite calculer la probabilité :

( ) ( ) ( )1 2p S p F S p F S 0,65 0,9 0,35 0,8 0,865= ∩ + ∩ = × + × =

Trois...deux...un...et c'est reparti !

Le contexte

Un exercice classique de probabilité mais surtout de dénombrement...qui peut aussi se

résoudre au moyen d'un arbre pondéré.

L'énoncé

La Blancoise de l'espace s'apprête à lancer son nouveau vaisseau spatial. Pour ce faire, elle

doit constituer un équipage de trois spationautes : un pilote, un copilote et un scientifique.

Pour les postes de pilote et de copilote, elle dispose de sept candidats dont trois femmes.

Chacun de ses sept candidats peut occuper le poste de pilote ou le poste de copilote.

Pour le poste de scientifique, elle dispose de quatre autres candidats dont trois femmes.

Les candidats ne peuvent être à la fois pilote (ou copilote) et scientifique.

Pour constituer son équipage, l'entreprise décide de procéder à un tirage au sort.

a) Combien y a-t-il d'équipages possibles ?

b) Déterminer les probabilités des événements suivants. Les probabilités seront données

sous la forme d'une fraction irréductible.

A = «Le pilote du vaisseau spatial est une femme»

B = «L'équipage est constitué de trois femmes»

C = «L'équipage comprend au moins un homme»

D = «L'équipage comprend exactement deux hommes»

Le corrigé

a) Constituons notre équipage !

candidatscandidats candidats

Pilote C

so

opilot

it 7 6

e Scienti

4 1687 6 é

f

quipag s4

que

e

i

× × =

Conclusion : Il y a 168 équipages possibles.

b) Comme toutes les personnes ont la même probabilité d'être tirée au sort pour un poste

donné, nous sommes en situation d'équiprobabilité. Par conséquent, la probabilité d'un

événement est donnée par :

Nombre d'équipages favorables à l'événementprobabilité

Nombre total d'équipages=

De quel fournisseur vient le pneu ? Le pneu présente-t-il un défaut ?

0,65

Fournisseur 1

Fournisseur 2

0,35 Sans défaut

Avec défaut

0,8

0,2

Sans défaut

Avec défaut

0,9

0,1

On choisit un pneu au hasard :


Déterminons les probabilités demandées des événements.

A = «Le pilote du vaisseau spatial est une femme»

Combien existe-t-il d'équipages où le pilote est une femme ? Dénombrons-les !

candidatscandidates candidats

Pilote Co

so3 6 it

pilote S

3 64

cienti

4 72

f

équipage

ique

s× × =

Il existe 72 équipages favorables à l'événement A. Par conséquent :

( ) 72 3 24A

168p

×= =

7 24×

3

7=

B = «L'équipage est constituée de trois femmes» Combien existe-t-il d'équipages composés de trois femmes ? Dénombrons-les !

candidatescandidates candidates

Pilote Co

so

pilote Scientifiqu

it 3 2 3 18 équ3 i2 3 p es

e

ag× × =

Il existe 18 équipages favorables à l'événement B. Il vient alors :

( ) 18 3 6B

168p

×= =

28 6×

3

28=

C = «L'équipage comprend au moins un homme» Le contraire de «au moins un homme» est «aucun homme» c'est-à-dire «trois

femmes». Autrement dit, l'événement C est le contraire de l'événement B. D'où :

( ) ( ) 3 28 3 25C 1 B 1

28 28 28 28p p= − = − = − =

D = «L'équipage comprend exactement deux hommes» Si l'équipage comprend exactement deux hommes, cela signifie que le poste

restant (pilote, copilote et scientifique) est occupé par une femme.

Pour dénombrer tous les équipages favorables à l'événement D, nous devons

envisager tous les postes que peut occuper la femme.

→ La femme peut occuper le poste de pilote...

candidats candidatcandidates

Pilote Copilote Scientifique

3 4 1 soit 3 4 1 12 équipages× × =

→ La femme peut occuper le poste de copilote...

candidats candidatcandidates

Pilote Co

so4 3 it

pilote

4 31

Scienti

1 12

fiqu

équ g

e

ipa es× × =

→ La femme peut occuper le poste de scientifique...

candidats candidats candidates

Pilote Copilote Scientif

soit 4 3 3 36 équipages

iqu

4 3 3

e

× × =

Il y a au total 12 12 36 60+ + = équipages favorables à l'événement D.

Nous en concluons :

( ) 60 5 12D

168p

×= =

14 12×

5

14=


Le troisième y fait Bis Boules

Le contexte

Un exercice de probabilité assez costaud qui se résout au moyen d'un arbre pondéré.

L'énoncé

La Blancoise des Jeux vient de lancer un nouveau jeu de hasard : le Bis Boules.

Le principe du jeu est le suivant. Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher et

numérotées de 1 à 9 :

� Une boule verte numérotée 1.

� Trois boules jaunes numérotées 2, 3 et 4.

� Cinq boules rouges numérotées 5, 6, 7, 8 et 9.

Le joueur tire au hasard une première boule. S'il tire la boule verte, il a gagné. S'il tire une

boule rouge, il a perdu. Dans ces deux cas, le jeu s'arrête. Mais s'il tire une boule jaune,

alors il retire une seconde boule dans l'urne mais sans avoir remis la première boule tirée.

Si la seconde boule tirée est la verte, il a gagné. Si elle est rouge, il a perdu. Dans ces deux

cas, le jeu s'arrête. Mais si la seconde boule tirée est jaune, alors il tire une troisième boule

sans avoir remis les deux boules précédemment tirées dans l'urne.

Si la troisième boule tirée est verte, il a gagné. Sinon il a perdu. Quelque soit le résultat de

ce dernier tirage, le jeu s'arrête.

Calculer la probabilité que le joueur gagne une partie de Bis Boules.

Le corrigé

Une partie de Bis Boule peut être représentée par l'arbre suivant :

( ) ( ) ( ) ( )"Gagné" "Verte" "Jaune-Verte" "Jaune-Jaune-Verte"

1 3 1 3 2 1 1 3 6 83

9 9 8 9 8 7 9 8 7 5

8

0

7

4

7

p p p p= + +

+ += + × + × × = =

× ×

× × ×

La théorie et l'improbable pratique

Le contexte

Un dernier exercice de probabilité se résolvant au moyen d'un arbre pondéré et se

terminant par une question sur un intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Passionnant !

L'énoncé

La Blancoise des Jeux vient de lancer un nouveau jeu : Maths pour gens brillants.

Son principe est le suivant : d'abord, le joueur tire au hasard une question.

Un tiers de ces questions portent sur la géométrie, les deux cinquièmes portent sur

l'analyse et les restantes sur les probabilités.

Des études ont montré que :

� Le joueur répondait correctement à une question de géométrie dans 60% des cas.

� Le joueur répondait correctement à une question d'analyse dans 65% des cas.

� Le joueur répondait correctement à une question de probabilités dans 90% des

cas.

Un joueur se présente pour jouer, la partie commence...

a) Construire un arbre pondéré décrivant la situation d'une partie de Maths pour gens

brillants.

b) Etablir que la probabilité que le joueur réponde correctement à une question posée est

de 0,7.

c) Les quatre enfants de la famille Vercère ont répondu chacun à une série de 250

questions de Maths pour gens brillants. Leurs taux de réussite respectifs à l'issue de leurs

séries de 250 questions sont les suivants :

Nom Joy Boby Eudes Annie

Taux de

réussite 68% 78% 64% 73%

Parmi ces quatre personnes, lesquelles ont un taux de réussite se situant dans l'intervalle de

fluctuation au seuil de 95% ?

Le corrigé

a) La probabilité d'avoir une question de probabilités est 1 2 15 5 6 4

13 5 15 15

− −− − = =

L'événement C désigne «la réponse apportée est correcte» et l'événement F est «la réponse

apportée est fausse».

Gagné ! Gagné !

Gagné !

On tire une

première boule...

On tire une

second boule...

Jaune

1/9

3/9

5/9

Verte

Rouge

Verte 1/7

6/7 Autre

Jaune

1/8

2/8

5/8

Verte

Rouge

On tire une

dernière boule...


La situation d'une partie de Question de maths pour gens brillants est la suivante :

b) La probabilité de l'événement C est donnée par :

( ) 1 2 4C 0,6 0,65 0,9 0,2 0,26 0,24 0,7

3 5 15p = × + × + × = + + =

c) L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est donné par

[ ]soit 0,636;0,764

1 10,7 ;0,7

250 250

− +

��

.

Seuls Joy, Eudes et Annie Vercère ont un taux de réussite se situant dans cet intervalle.

Boby est en dehors.

Le joueur tire une

question au hasard...

La réponse donnée

est-elle correcte ?

Probabilités

1/3

2/5

4/15

C

F

0,6

0,4 Géométrie

Analyse

C

F

0,65

0,35

C

F

0,9

0,1

le mot de l'auteur la taverne de l'irlandais comme à...

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