Chapitre II

Croissance et accumulation de capital :

Le modèle de Solow

Introduction

1 Le modèle de Solow

1.1 Hypothèses

1.1.1 Croissance de la population active

LtLt

= n

⇔ Lt = L0ent

1.1.2 La fonction de production

� Fonction de production agrégée :

Yt = F (Kt, Lt)

� On impose les propriétés suivantes :∗ Rendements factoriels décroissants :

F ′K =dF

dK> 0 et F ′′KK =

d2F

dK2 < 0

F ′L =dF

dL> 0 et F ′′LL =

d2F

dL2 < 0

∗ Rendements d'échelle constants

F (zK, zL) = zF (K,L)

1

∗ Conditions d'Inada véri�ées

limK→∞

F ′K = 0 et limL→∞ F′L = 0

limK→0

F ′K =∞ et limL→0 F′L =∞

∗ Pas de progrès technique dans un premier temps� Ecriture en forme intensive On note :

y =Y

L

k =K

L

c =C

L

En divisant Y par L

y =Y

L=

1

LF (K,L) = F

(K

L,L

L

)= F

(K

L, 1

)soit

y = f(k)

� Productivités marginales des facteurs de production :

F ′K = f ′(k)

F ′L = f(k)− kf ′(k)

� Les conditions d'Inada impliquent

limk→0

f ′(k) =∞, limk→∞

f ′(k) = 0

1.1.3 L'équilibre macroéconomique de court terme

(a) Marché des facteurs de production

wt = f(kt)− kf ′(kt)

rt = f ′(kt)− δavec le taux de dépréciation du capital exogène δ (0 < δ < 1)

2

(b) Fonction de consommation

Ct = (1− s)Yt

avec 0 < s < 1 le taux d'épargne exogène et constant

(c) Marché des biens et services- Equilibre sur le marché des biens et services :

Yt = Ct + It

avec It l'investissement

- Ecart entre revenu et consommation = Epargne = Investissement

St = It = sYt

1.2 La dynamique de l'économie

1.2.1 Accumulation du capital et dynamique de l'économie

(a) La loi d'évolution du capital par tête- Equation d'accumulation du stock de capital :

Kt = It − δKt

Kt = sF (Kt, Lt)− δKt

- Evolution du stock de capital par travailleur

kt =d(Kt/Lt)

dt=

∂kt∂Kt

dK

dt+∂kt∂Lt

dLtdt

=1

L

dK

dt− K

L2

dL

dt

=Kt

Lt− Kt

Lt

LtLt

=sF (Kt, Lt)− δKt

Lt− nKt

Ltkt = sf(kt)− (n+ δ)kt (1)

3

(b) Dynamique de l'économie- Quand

sf(kt) > (n+ δ)k → kt > 0

- Quandsf(kt) < (n+ δ)k → kt < 0

- Quand les deux termes sont égaux :

sf(kt) = (n+ δ)k → kt = 0

k est constant, on le note k∗

- Figure 1

1.2.2 Le sentier de croissance équilibrée (SCE)

� SCE = situation où toutes les variables de l'économie croissent à un tauxconstant.

� Taux de croissance du PIB/tête

ktkt

= sf(k)

k− (n+ δ) (2)

� Figure 2

� Pour que l'économie soit sur le SCE : k/k soit constant, soit

sf(k)

k− (n+ δ) constant

- Or [sf(k)

k

]′=s [f ′(k)k − f(k)]

k2 < 0

- L'économie ne sera à l'état stationnaire que si k est constant∗ si k = 0

∗ soit k∗ tel que

f(k∗) =n+ δ

sk∗

4

� Quand k = k∗

- Variables par tête sont constantes (y, k, c)

- Taux d'intérêt et le taux de salaire constants (f ′(k) et (f(k)− kf ′(k))- Grandeurs agrégées croissent au taux n (L, K, Y , C)

1.2.3 Salaire et taux d'intérêt

- Leur valeur sur le SCE est respectivement donnée par :

r∗ = f ′(k∗)− δw∗ = f(k∗)− f ′(k∗)

⇒ Salaire réel d'équilibre w∗ constant

- Au cours de la transition

wt = −ktf ′′(kt)kt

w du signe de k (f ′′(k) < 0)

Etrt = f ′′(kt)kt

r du signe opposé à k (f ′′(k) < 0)

⇒ Quand k < k∗ :k > 0, w > 0, r < 0

1.3 Processus de convergence dans le cas d'une fonction de produc-tion Cobb-Douglas

(a) Résolution- Fonction de production sous forme intensive :

y = f(k) = Akα

avec 0 < α < 1 et A > 0

- Equation fondamentale de Solow

kt = sAkαt − (n+ δ)kt

5

- Changement de variable, soit b = KY le coe�cient de capital.

bt =1

Ak1−αt et bt =

1

A(1− α)k−αt kt

Alors

bt =1

A(1− α)k−αt [sAkαt − (n+ δ)kt]

= (1− α)(s− (n+ δ)bt)

- Equation di�érentielle linéaire du premier ordre à coe�cients constants

- Solution stationnaire :b∗ =

s

n+ δ

- D'où :bt = −(1− α)(n+ δ)(bt − b∗)

dont la solution est

bt = b∗ + (b0 − b∗)e−(1−α)(n+δ)t (3)

(b) Implication : Vitesse de convergence- Equation (3) : vitesse de convergence de b vers b∗ est

β = (1− α)(n+ δ)

- Avec n = 1% par an, δ = 5% et α = 0.3, on obtient β = 0.042

- Durée T (en années) du processus de convergence pour que b comble 90%de la distance entre b0 et b

∗ ?

On cherche T tel quebT − b∗ = 0.1(b0 − b∗)

- Soit

T = − 1

(1− α)(n+ δlnb∗ − bTb∗ − b0

= −1

βln 0.1

6

⇒ T ' 54.8 années

- Demi-vie

T = −1

βln 0.5 ' 16.5 années

⇒ Très rapide

1.4 Le rôle du taux d'épargne

1.4.1 Taux de croissance et taux d'épargne : le long terme

- Soit une augmentation du taux d'épargne s, ds > 0.

- Pas d'incidence sur le taux de croissance de long terme n

- Joue sur le niveau de la production et du capital par tête stationnaires :

∂k∗

∂s=

f(k∗)

sf′(k∗)k∗ − f ′(k∗)

1.4.2 Taux de croissance et taux d'épargne : la dynamique de transi-tion

� A tout instant t :

gk =ktkt

=sf(kt)

kt− (n+ δ)

- Donc∂gk∂s

=f(kt)

kt> 0 pour k 6= k∗

1.4.3 Synthèse

Figures 3 & 4

Remarque : le rôle de n

7

2 La dimension normative du modèle de Solow : la règled'or

2.1 Le stock de capital optimal

- La consommation par travailleur :

c = f(k)− sf(k)

- Le long d'un SCEsf(k∗)︸ ︷︷ ︸épargne

= (n+ δ)k∗︸ ︷︷ ︸investissement

⇒ Consommation par tête stationnaire :

c∗ = f(k∗)− (n+ δ)k∗

- Choisir k∗ pour que c∗ atteigne un maximum

- Ceci advient pour k∗ = k∗g tel que :

dc(k∗g)

dk∗g= f ′(k∗g)− (n+ δ) = 0

⇒ f ′(k∗g) = n+ δ (4)

- Equation (4) = SCE de la règle d'or

- Taux d'épargne permettant d'atteindre k∗g :

sg =(n+ δ)k∗gf(k∗g)

(5)

- Représentation graphique : Figure 5

8

2.2 La transition vers la règle d'or : la possibilité de l'ine�ciencedynamique

- Le SCE de règle d'or est tel que

f ′(k∗g) = n+ δ

⇔ rg = n (6)

- Que se passe-t-il si l'économie n'est pas sur le SCE de la règle d'or ?

- Deux cas de �gures

Selon que l'économie (sur son SCE) a plus ou moins de capital que le stockde capital de règle d'or.

� Trajectoire de la consommation par tête durant la dynamique de transitionvers le SCE de règle d'or : Figure 6

(a) Cas où k∗ > k∗g� Soit

r1 = f ′(k∗1)− δ < n

� Il faut diminuer s

� Ine�cience dynamique

� Figure 6, graphique de gauche

(b) Cas où k∗ < k∗g� Soit

r2 = f ′(k∗2)− δ > n

� Le taux d'épargne devrait augmenter

� Gain de consommation par tête futur

� Mais baisse instantanée

� Figure 6, graphique de droite

� Gain en termes de bien-être ?

9

3 Le modèle de Solow avec progrès technique

3.1 Le modèle avec progrès technique augmentant le travail

- La fonction de production devient :

Yt = F (Kt, AtLt)

At = e�cience du facteur travail

- At croît au taux exogène constant g :

At

At= g

- En normalisant A0 = 1 :

Yt = F (kt, egtLt)

ou encoreYt = F (Kt, Et)

Et = AtLt = egtLt le travail e�cace

- Fonction Cobb-Douglas avec rendements d'échelle constants

Yt = Kα(egtLt)1−α

- E = AL croit au taux n+ g

� Analyse précédente est conservée

A condition de remplacer L par E et de raisonner en unités de travaile�cace :

y =Y

AL=Y

E

k =K

AL=K

E

10

3.2 La dynamique de l'économie

� Accumulation du capital physique :

Kt = It − δKt

soitKt = sF (Kt, AtLt)− δKt (7)

� On étudie la dynamique de k ≡ K/AL

� Comme k est une fonction de K, L and A

˙kt =

∂kt∂Kt

Kt +∂kt∂Lt

Lt +∂kt∂At

At

� Soit

˙kt =

Kt

AtLt− Kt

[AtLt]2

[AtLt + LtAt

]˙kt =

Kt

AtLt− Kt

AtLt

LtLt− Kt

AtLt

At

At(8)

� On a

K/AL = kAt

At= g

LtLt

= n

Evolution de K : Equation (7)� Donc

˙kt =

sYt − δKt

AtLt− nkt − gkt

˙kt = s

YtAtLt

− (δ + n+ g)kt

� Avec YAL = f(k), on obtient

˙kt = sf(kt)− (δ + n+ g)kt (9)

11

3.3 Le sentier de croissance équilibrée

- Dans quel cas K croît-il à taux constant ?

- On a

K = sF (K,AL)− δKKt

Kt= sF (1,

AtLtKt− δ

⇒ SCE = situation oùk ⇔ ˙

k = 0

Equation (9) ⇒ SCE tel que :

sf(k∗) = (n+ g + δ)k∗

(a) Propriétés- k reste constant

� Variables en unités de travail e�caces constantes

- Taux d'intérêt réel constant :

r∗ = f ′(k∗)

- Le �salaire e�cace� wt = wt/At constant :

w = f(k∗)− k∗f ′(k∗)

Le salaire réel sur le SCE :

w∗ = egt[f(k∗)− k∗f ′(k∗)

]⇒ Salaire réel croît au taux g

- K/L et Y/L croissent au taux du progrès technique g

- L'ensemble des variables par tête plus largement

- K et Y croissent au taux n + g, de même que l'ensemble des variablesagrégées

12

(b) Statique comparative

(c) Règle d'or- Nouvelle condition de maximisation de la consommation :

f ′(k∗) = n+ g + δ

soitr = n+ g

- Interprétation identique

4 La convergence des revenus par tête

4.1 Modèle de Solow et faits stylisés de la croissance

� Prédictions du modèle de Solow avec progrès technique sur la vitesse deconvergence

avec toujours bt = Kt/Yt

bt = b∗ + (b0 − b∗)e−(1−α)(n+δ+g)t (10)

� g= 2 %, n = 1%, δ = 5% et α = 1/3, on obtient β = 5.3% par an

- Demi-vie du processus de convergence de 13 ans

T =ln 2

β= 13

� Très rapide et a priori peu réaliste

� Etudes empiriques, autour de deux types d'analyses

∗ Prédictions du niveau des variables stationnaires

∗ Convergence et rattrapage

4.2 Prédictions du niveau des variables stationnaires avecle modèle de Solow

A partir de l'article de Mankiw, Romer et Weil (�A Contribution to the Empiricsof Economic Growth�, The Quarterly Journal of Economics, 1992)

13

4.2.1 Evaluation du modèle de Solow avec progrès technique

- Fonction de production Cobb-Douglas à rendements d'échelle constants etPT incorporé au travail.

En notations intensivesyt = kαt

- Alors à l'état stationnaire

k∗ =

(s

n+ g + δ

) 11−α

y∗ =

(s

n+ g + δ

) α1−α

- Produit par tête le long du SCE :

y∗t = y∗At

= y∗egt

= egt(

s

n+ g + δ

) α1−α

(11)

- Equation (11) en log :

ln yt = gt+α

1− α[ln s− ln(n+ g + δ)] (12)

- MRW (1992) estiment l'équation (12) sous la forme suivante :

ln yi = a+ b(ln si − ln(ni + 0.05)) + εi

- Résultatsln yi = 6.87︸︷︷︸

(0.12)

+ 1.48︸︷︷︸(0.12)

(ln si − ln(ni + 0.05))

Avec R2 = 0.59Interprétation

14

∗ Coe�cients de si et ni : signes conformes à la théorie∗ R2 élevé∗ Limite : la valeur estimée de b implique une valeur de α trop forte

b =α

1− alphaPour b = 1.48, on a α ' 0.6

- Ces résultats amènent MRW (1992) à la conclusion suivante (p. 407-408) :

Yet all is not right for the Solow model. Although the model correctly

predicts the directions of the e�ects of saving and the data the e�ects

of saving and population growth on income are too large. To understand

the relation between saving, population growth, and income, one must go

beyond the textbook Solow.

4.2.2 Le modèle de Solow augmenté du capital humain

� Fonction de production

Yt = Kαt H

γt (AtLt)

1−α−γ α + γ < 1

Soit, en unités de travail e�cace

yt = kαt hγt

avecy = Y/(AL) k = K/(AL)h = H/(AL)

� Equations d'accumulation en notations intensives :

kt = sK yt − (n+ g + δ)kt

ht = sH yt − (n+ g + δ)kt

� A l'état stationnaire

y∗ =

[sαKs

γH

(n+ g + δ)α+γ

] 11−α−γ

soit pour le PIB par tête :

15

yt = egt[

sαKsγH

(n+ g + δ)α+γ

] 11−α−γ

En log :

ln yt = gt+1

1− α− γ[α ln sK + γ ln sH − (α + γ) ln(n+ g + δ)] (13)

� MRW (1992) estiment l'équation (13) sous la forme :

ln yi = a+ bK(ln sKi − ln(ni + 0.05)) + bH(ln sHi − ln(ni + 0.05)) + εi

- Résultats (même échantillon)

ln yi = 7.86︸︷︷︸(0.14)

+ 0.73︸︷︷︸(0.12)

(ln sKi − ln(ni + 0.05)) + 0.67︸︷︷︸(0.07)

(ln sHi − ln(ni + 0.05))

avec R2 = 0.78

⇒ Importance de l'accumulation de capital humain dans la croissance :

Including human-capital accumulation lowers the esti- mated e�ects of sa-

ving and population growth to roughly the values predicted by the aug-

mented Solow model. Moreover, the augmented model accounts for about

80 percent of the cross- country variation in income. Given the inevitable

imperfections in this sort of cross-country data, we consider the �t of this

simple model to be remarkable. It appears that the augmented Solow mo-

del provides an almost complete explanation of why some countries are

rich and other countries are poor.

4.3 Convergence

4.3.1 La convergence absolue

(a) Les prédictions du modèle� Modèle de Solow (avec PT) prédit que sur le SCE

sf(k∗) = (n+ g + δ)k∗

� Figure 8

16

(b) Tests empiriques

4.3.2 La convergence conditionnelle

� Considérons un pays riche et un pays pauvre

Le premier ayant un stock de capital k0 et un taux d'épargne plus élevéque le second

- Partons de l'équation d'accumulation

˙k = sf(k)− (n+ g + δ)k

soit

˙k = (n+ g + δ)

[sf(k)

n+ g + δ− k

]

= (n+ g + δ)

[k∗f(k)

f(k∗)− k

]- En utilisant le fait qu'à l'état stationnaire

s =(n+ g + δ)k∗

f(k∗)

- Taux de croissance du capital par unités de travail e�cace

gk =˙k

k= (n+ g + δ)

[k∗f(k)

f(k∗)k∗− 1

]

- Plus k est proche de k∗, plus gk est faible

- Figure 9

4.3.3 Les tests empiriques de l'hypothèse de convergence

Comment tester l'hypothèse de convergence dans les données ?

17

- Equation fondamentale du modèle de Solow avec fonction de productionCobb�Douglas :

˙k

k= skα−1 − (n+ g + δ)

- Log-linéarisation autour de l'état stationnaire k∗ :

ln kt − ln k∗ = e−βt(ln k0 − ln k∗

avec β = (1− α)(n+ g + δ)

- Soitln kt = e−βt ln k0 + (1− e−βt) ln k∗

� Production par tête

yt = Atyt = egtyt = egtkαt

Soit en log

ln yt = gt+ α ln kt

= gt+ α[e−βt ln k0 + (1− e−βt) ln k∗

]avec

k0 = k0 = y1α0

et

k∗ =

[s

n+ g + δ

] 11−α

- On obtient alors

ln yt = gt+ α

[e−βt

ln y0

α+ (1− e−βt)ln s− ln(n+ g + δ)

1− α

]ln yt = gt+ e−βt ln y0 +

α

1− αe−βt(ln s− ln(n+ g + δ))

soit

ln yt− ln y0 = gt− (1− e−βt) ln y0 +α

1− αe−βt(ln s− ln(n+ g+ δ)) (14)

18

Les résultats de Mankiw, Romer et Weil (1992)� Test de l'hypothèse de convergence absolue

� Variable dépendante = log-di�érence du PIB par personne en âge de tra-vailler entre 1960 et 1985.

Tab. 1 � Test de la convergence absolue

98 pays OCDE (22 pays)

constante -0.266 3.69(0.380) (0.68)

ln y0 0.0943 -0.341(0.050) (0.079)

R2 0.03 0.46β -0.036 0.0167

Ecart-type entre parenthèses.

ln y0 correspond à la valeur en 1960.

Source : Mankiw, Romer et Weil (1992)

� Test de la convergence conditionnelle (Equation (14))

� Appliqué au modèle de Solow avec PT et capital humain

Tab. 2 � Test de la convergence conditionnelle

98 pays OCDE (22 pays)

constante 2.46 3.55(0.48) (0.63)

ln y0 -0.289 -0.402(0.061) (0.069)

ln sK − ln(n+ g + δ) 0.5 0.396(0.082) (0.152)

ln sH − ln(n+ g + δ) 0.238 0.236(0.06) (0.141)

R2 0.46 0.86β 0.0142 0.0206α 0.48 0.38

Ecart-type entre parenthèses.

Le taux de croissance du PIB par tête est calculé sur la période 1960-1985.

ln y0 correspond à la valeur en 1960.

Source : Mankiw, Romer et Weil (1992)

Autres analyses économétriques de la croissance� Principaux déterminants de la croissance, analyses en coupe instantanées(travaux de Barro) sur des centaines de pays

19

� La variables expliquée est le taux de croissance du PIB/tête.

� Les variables explicatives pertinentes, avec leur signe, sont∗ lny (-)

∗ lns (+)∗ ln(n+ g + δ) (-)

∗ scolarisation masculine (+)

∗ espérance de vie (en log) (+)

∗ taux de fécondité (en log) (-)

∗ taux de consommation gouvernementale (-)

∗ indice du respect de la loi (+)

∗ indice de démocratie (+)

∗ indice de démocratie au carré (-)

∗ taux d'in�ation (-)

5 Quelle stabilité de la croissance ?

5.1 Instabilité de la croissance selon Harrod et Domar

5.1.1 Les hypothèses

- Taux de croissance de la population n

- Taux d'épargne exogène et constant s (0 < s < 1)

- Taux de dépréciation du capital δ

- Progrès technique exogène, neutre au sens de Harrod, croissant à tauxconstant g

At = A0egt

- Mais : technologie à facteurs complémentaires

Y = F (K,L) = min

[K

v,AL

z

]⇒ En unités de travail e�caces (y = Y/(AL), k = K/AL)

y = f(k) = min

[k

v,1

z

]20

5.1.2 L'accumulation du capital

- Accumulation de capital physique :

K = I − δK⇒ K = sY − δK

- Soit, en notations intensives :

k = sf(k)− (n+ δ + g)k

c'est-à-dire :k

k= s

min[kv ,

1z

]k

− (n+ δ + g) (15)

5.1.3 Les conditions de la croissance

- Cas où le stock de capital est totalement employé et la main d'oeuvreexcédentaire :

min

[K

v,AL

z

]=K

v

soit :k

v<

1

z∗ Alors

Y = aK ⇒ Y = aK

∗ SoitY = a(sY − δK)

∗ Sachant que K = vY :

Y =1

v[sY − δvY ]

ieY

Y=s

v− δ (16)

∗ Equation d'évolution du capital (en notations intensives) :

γk =s

v− (n+ g + δ) (17)

21

� Cas où le plein-emploi est réalisé et où une partie du stock de capital estinutilisé :

min

[K

v,AL

z

]=AL

z

soit :k

v>

1

z∗ Alors :

Y =AL

z⇒ Y

Y=A

A+L

L∗ Soit :

Y

Y= n+ g (18)

∗ Equation d'évolution du capital (en notations intensives) :

γk =s

vz− (n+ g + δ) (19)

5.1.4 L'instabilité de la croissance

- A quelle condition(s) y a-t-il équilibre dans la croissance ?A partir des équations (16) et (18) :

s

v− δ︸ ︷︷ ︸

taux garanti

= n+ g︸ ︷︷ ︸taux naturel

(20)

- La croissance est stable si la condition (20) est remplie

- Si elle ne l'est pas ?

Premier cas : sv < n+ g + δ

- L'économie tend vers une situation où ALz −

Kv augmente

- Le chômage augmente donc dans l'économie

Second cas : sv > n+ g + δ- Partant d'une situation où

k

v<

1

z

22

- Accumulation de capital à taux constant(Equation (17))Jusqu'à ce que

k

v=

1

z

- Accumulation de capital à taux décroissant(Equation (19))

5.2 Extinction de la croissance : existence d'un facteur rare

5.2.1 Le modèle de Solow avec terre

Le cadre d'analyse- Fonction de production

Y = KαLβT γ

avec α + β + γ = 1- Taux de croissance du produit :

Y

Y= α

K

K+ β

L

L︸︷︷︸n

+γT

T︸︷︷︸0

Sentier de croissance équilibrée- S'il existe un sentier de croissance équilibré au taux g, ie tel que

γY = γK = g

- Alors il doit véri�er

g =β

1− αn =

1− α− γ1− α

n

Rémunération des facteurs sur le SCE- Rémunération du capital

r = αY

K

23

⇒ Constante- Rémunération du travail

w = β = αY

L⇒ Salaire réel décroissant- Rémunération de la terre

t = γY

T⇒ Croissante

5.2.2 Avec progrès technique augmentant la productivité de la terre

- Fonction de production

Yt = Kαt L

βt (AtTt)

γ

avec α + β + γ = 1- Et

At = eµtA0

(normalisation A0 = 1) µ = taux de croissance du progrès technique aug-mentant la productivité de la terre

- Le taux de croissance du produit :

Y

Y= α

K

K+ β

L

L+ γ

[A

A+T

T

]soit

Y

Y= α

K

K+ βn+ γµ

- S'il existe un SCE au taux g, alors

g =βn+ γµ

1− α- g est supérieur à n ssi µ > n

24