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LE JEU CONCOURS FFJM-SCM

2013/2014

Jeu Concours FFJM/SCM 2013-2014 Michel Bénézit Avril 2014 1

L'ÉNONCÉ EN BREF

LA PRODUCTION


● 1000 cylindres par jour x 10 jours

● 1 cylindre : D = 1m , h = 0,5m , m ≈ 3000 kg

● 1 cylindre = 5 couches de 80 cellules considérées comme cubiques

● Valeur marchande : 60 à 70 millions d'euros.

z=0 DT Test χ² = 0.23% 25,68 16,92 z=0 NDT Test χ² = 15.77% 13,11 16,92

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0,23% 5,00% -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 15,77% 5,00%

4 7 7 1 0 15 20 4 14 8 16 16 54 50

3 3 5 2 2 2 3 6 4 27 40 3 14 15 11 14 5 10 16 18 103 100

2 0 2 3 3 5 5 7 11 36 40 2 11 16 14 14 6 11 14 14 100 100

1 5 10 9 6 5 9 5 7 5 6 67 50 1 13 18 14 21 15 15 3 16 15 10 140 125

0 5 7 5 9 5 4 4 5 4 7 55 50 0 14 5 11 14 12 13 8 5 5 13 100 125

-1 5 5 4 5 1 4 8 5 6 6 49 50 -1 15 6 6 7 16 14 14 7 8 14 107 125

-2 6 8 9 9 7 6 6 6 7 6 70 50 -2 10 15 15 8 14 18 12 18 13 11 134 125

-3 6 7 5 3 3 4 8 3 39 40 -3 15 13 10 7 20 17 19 12 113 100

-4 6 4 1 4 3 2 2 5 27 40 -4 12 18 12 8 7 16 16 16 105 100

-5 2 3 5 5 15 20 -5 14 11 7 12 44 50

400 400 1000 1000

5,00 5,00 12,50 12,50

2,30 2,22 3,99 3,51

Teneur Prix ($/lb) Prix ($/t) Valeur ($/t d'inox)

Fer 74% 365 270

Chrome 18% 1,10 2 425 440

Nickel 8% 7,00 15 432 1 230

100% 1 940

LES SPÉCIFICATIONS

● L'ADMINISTRATION

A. Dans tous les cas

16,95 ≤ %Cr ≤ 19,10

6,94 ≤ %Ni ≤ 9,10

B. 95% du temps

17,00 ≤ %Cr ≤ 19,00

7,00 ≤ %Ni ≤ 9,00


● L'ENTREPRISE

C. 99% du temps

16,96 ≤ %Cr ≤ 19,00

6,95 ≤ %Ni ≤ 9,05

D. 95% du temps

17,10 ≤ %Cr ≤ 18,90

7,10 ≤ %Ni ≤ 8,90

LES PRÉLÈVEMENTS ET LES PÉNALITÉS

● L'ADMINISTRATION

Contrôle a posteriori

100 cylindres au hasard

Découpage en cellules

10 cellules/cylindre au hasard

Loi uniforme


● L'ENTREPRISE

NDT : 10 cylindres/jour au hasard

Tests des faces sommitales

2x10 cellules par cylindre au hasard

Loi uniforme

Retour au stock

DT : 10 cylindres/jour au hasard

Découpage en cellules

20 cellules par cylindre au hasard

Loi uniforme

Remplacement des cylindres ainsi

détruits

● LES PÉNALITÉS 1 million € par infraction au

critère A

1 million € si le critère B est

enfreint (plus de 50 cellules

hors spécifications).

L'ANALYSE DE LA BASE DE DONNÉES

REMARQUES DE MÉTHODE ET CONVENTIONS D’ÉCRITURE

Jeu Concours FFJM/SCM 2013-2014 Michel Bénézit Avril 2014

● Pour simplifier les manipulations, on a fusionné les bases de données des 2000 tests destructifs (DT) et des 2000 tests non destructifs (NDT).

On a ainsi constitué un fichier unique de 4000 tests, numérotés de 1 à 4000 après un tri effectué comme suit :

par ordre chronologique (jour puis index croissants) ;

pour un jour et un index donnés, tests NDT puis tests DT dans l’ordre où ils apparaissent dans les fichiers de l’énoncé.

● Dans les pages qui suivent, le fichier fusionné fait l’objet de calculs sur Excel 2007. La précision des résultats obtenus dépend donc de celle de ce logiciel. Treize chiffres significatifs semblent garantis.

● On cherche ici des formules analytiques pour %Ni et %Cr sans se préoccuper de démontrer pas à pas la justesse des hypothèses faites dans cette quête. L’adéquation du résultat vaudra justification globale de la démarche.

● Nombre de quantités définies et utilisées ci-dessous, notamment H et Q, sont des fonctions de variables qu’on omettra souvent de citer explicitement dans les calculs pour ne pas alourdir inutilement les notations.

7

I. DE L’ÉCHANTILLONNAGE

LE CHOIX DES CYLINDRES ANALYSÉS PAR L’ENTREPRISE N’EST PAS CONFORME À L'ÉNONCÉ,


● Selon l’énoncé, l’entreprise sélectionne chaque jour dix cylindres parmi les mille qu’elle a produits, procède sur ceux-ci à des tests NDT puis les remet dans le circuit de production. Elle prélève ensuite dix cylindres "au hasard" pour des tests DT.

● On observe cependant qu'il n'arrive jamais qu'un cylindre ayant fait l'objet d'un test NDT soit choisi à nouveau pour un test DT.

● Ceci est très peu probable :

● Il est raisonnable d'imaginer que l'industriel, loin de choisir totalement "au hasard" les cylindres qu'il analyse, s'efforce d'en tester le plus grand nombre possible : pour ce faire, il s'interdit de faire subir un test DT à un cylindre déjà choisi pour un test NDT.

● Il est donc probable qu'en fait les opérateurs choisissent vingt cylindres chaque jour, dix pour des tests NDT et dix autres destinés à être détruits.

49

100

108

10

100

10

90

NDTDTP

MAIS IL SEMBLE ÊTRE RAISONNABLEMENT ALÉATOIRE (1).


● Sous cette hypothèse, la répartition des index semble couvrir sans biais apparent la plage des possibles :

de 1 101 201 301 401 501 601 701 801 901

à 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

NDT 8 10 9 11 11 11 9 13 9 9 99%

DT 6 12 15 10 9 12 11 11 5 9 55%

Tous tests 14 22 24 21 20 23 20 24 14 18 73%

χ²

Jour

1 124 130 182 237 274 413 451 560 573 608 636 670 733 735 746 835 886 905 927 966

2 10 16 22 98 117 226 231 281 312 422 444 510 523 523 665 752 790 838 905 939

3 39 160 181 191 256 269 351 352 365 445 568 572 584 612 650 711 732 733 916 969

4 75 154 190 251 287 334 340 375 496 513 573 597 611 663 709 711 727 897 980 985

5 3 108 113 114 130 166 171 190 303 365 460 498 509 535 542 640 686 705 808 892

6 63 92 121 137 159 206 214 283 395 439 454 457 462 463 529 698 726 784 792 908

7 79 92 153 218 222 240 292 295 296 328 600 653 680 721 733 740 790 812 842 858

8 36 223 300 383 401 437 523 528 606 611 633 648 688 868 905 920 928 935 970 973

9 61 143 214 264 297 315 334 351 364 386 398 461 477 561 730 800 812 824 841 934

10 97 140 278 348 360 365 422 464 465 518 534 552 577 636 649 714 715 773 869 956

TOUS TESTS

MAIS IL SEMBLE ÊTRE RAISONNABLEMENT ALÉATOIRE (2).


● De même, la manière dont alternent cylindres DT et NDT au cours de la journée de production parait équilibrée :

● Enfin, si on regroupe ceux-ci quatre par quatre (cf. tableau ci-dessus) et que l'on trie les quadruplets ainsi obtenu selon le nombre de DT qu'ils comportent, on trouve une répartition très proche de celle qui résulterait d'un tirage à pile ou face des choix DT/NDT.

Jour

1 124 130 182 237 274 413 451 560 573 608 636 670 733 735 746 835 886 905 927 966

2 10 16 22 98 117 226 231 281 312 422 444 510 523 523 665 752 790 838 905 939

3 39 160 181 191 256 269 351 352 365 445 568 572 584 612 650 711 732 733 916 969

4 75 154 190 251 287 334 340 375 496 513 573 597 611 663 709 711 727 897 980 985

5 3 108 113 114 130 166 171 190 303 365 460 498 509 535 542 640 686 705 808 892

6 63 92 121 137 159 206 214 283 395 439 454 457 462 463 529 698 726 784 792 908

7 79 92 153 218 222 240 292 295 296 328 600 653 680 721 733 740 790 812 842 858

8 36 223 300 383 401 437 523 528 606 611 633 648 688 868 905 920 928 935 970 973

9 61 143 214 264 297 315 334 351 364 386 398 461 477 561 730 800 812 824 841 934

10 97 140 278 348 360 365 422 464 465 518 534 552 577 636 649 714 715 773 869 956

Nbre de DT

χ² = 100,0%

NDT en noir ; DT en rouge

23 18 17 24 18

20 20 20 20 20

Nbre de DT 0 1 2 3 4

Fréquence observée 4 11 19 13 3

Fréquence attendue 3,1 12,5 18,8 12,5 3,1

χ² = 98%

EN REVANCHE, LES MÉTHODES D’ÉCHANTILLONNAGE UTILISÉES PAR L'ENTREPRISE NE SONT PAS CELLES DÉCRITES DANS L'ÉNONCÉ (1).


● L'énoncé annonce que l’entreprise procède "au hasard" à vingt tests NDT, dix sur la face inférieure (z=0) et dix sur la face supérieure (z=4) de chacun des 10 x 10 cylindres sélectionnés à cette fin.

● En réalité, ces tests ne sont pas vraiment faits au hasard. On s'aperçoit en effet que chaque face testée est divisée en dix zones de huit emplacements et que les cellules sont analysées à raison d'une cellule (prise au hasard ?) par zone.

● S'il est vrai que contraindre ainsi le hasard présente l'intérêt de toujours répartir uniformément les prises d'échantillons, cela ne correspond néanmoins pas du tout à la méthode décrite dans l'énoncé.

● A noter que les tests n° 1601 et 1611, attendus en zone 1, sont effectués en zone 2. On verra plus bas que cette anomalie doit être considérée comme une très vraisemblable erreur matérielle dans le recueil des données.

637

200

10

10

10

80

8fixeszones10surNDTteststousP

EN REVANCHE, LES MÉTHODES D’ÉCHANTILLONNAGE UTILISÉES PAR L'ENTREPRISE NE SONT PAS CELLES DÉCRITES DANS L'ÉNONCÉ (2).


● Concernant les tests DT, l’énoncé stipule que pour chacun des 10 cylindres sélectionnés chaque jour, on teste 20 cellules prises "au hasard" parmi les 400 cellules obtenues par découpage destructif.

● Or on observe qu'en fait les opérateurs prélèvent toujours une cellule par niveau z (0≤z≤4) et par quadrant (SW, SE, NW et NE qui sont toujours échantillonnés dans cet ordre), soit 4 x 5 x 100 = 2000 fois une cellule parmi 20.

● La probabilité d'une telle régularité est infinitésimale. Elle vaut en effet :

● Que les tests soient destructifs ou non, ces zonages des prélèvement en garantissent l'indépendance. Ceci permet de réaliser des tests du χ² pour explorer les méthodes de choix des emplacements prélevés.

743100

2000

103

20

400

20quadrantparcel lule1P

LE CHOIX DES EMPLACEMENTS TESTÉS NDT NE SUIT PAS UNE LOI UNIFORME.


● La façon dont sont choisis les emplacements des tests NDT n'est visiblement pas celle qui résulterait d'un tirage aléatoire uniforme. Les graphiques des deux pages suivantes montrent en effet que :

Les six zones numérotées 1, 4, 5, 6, 7 et 8 ne passent pas le test du χ².

Un test du χ² global est lui aussi largement négatif.

Une simple observation visuelle des fréquences de choix des emplacements donne l'explication de ce phénomène. Deux bandes (x+y = 4 ou 5 d'une part, x+y = 2 ou 3 de l'autre) apparaissent lourdement sous échantillonnées.

Un comptage plus précis montre en fait que les deux emplacements extrémaux de chacune des dix zones (cf graphiques) sont choisis environ une fois sur quatorze, soit moitié moins souvent que les six autres !

NDT : SIX ZONES SUR DIX NE PASSENT PAS LE TEST DU KHI DEUX.


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

4 21 14 31 263 27 32 25 33 10 22 33 282 25 28 29 31 9 28 28 251 23 36 26 34 27 26 14 30 30 200 28 15 21 29 23 28 16 12 13 31

-1 32 13 13 16 34 29 28 16 15 30-2 18 24 29 15 28 36 27 31 30 23-3 31 27 23 10 38 30 37 23-4 29 30 26 20 20 32 26 29-5 29 26 14 26

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

4 6

3 2% 72 1 2 3 2% 8

1 1% 35% 22% 4 2%

0 0%

-1 5-2 1 0% 6 7 8

-3 1% 2 2% 2% 2%

-4 35% 3

-5 22%

9

15%

16%0

NDT : DEUX BANDES LOURDEMENT SOUS ÉCHANTILLONNÉES.


Nombre de tests NDT par emplacement (x,y,.) (après correction des emplacements des tests

n°1601 et 1611)

Σ = 2000

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

4 21 14 31 263 27 32 25 33 10 22 33 282 25 28 29 31 9 28 28 251 23 36 26 34 27 26 14 30 30 200 30 13 21 29 23 28 16 12 13 31

-1 32 13 13 16 34 29 28 16 15 30-2 18 24 29 15 28 36 27 31 30 23-3 31 27 23 10 38 30 37 23-4 29 30 26 20 20 32 26 29-5 29 26 14 26

Emplacement 1 2 3 4 5 6 7 8

Observé 151 281 281 277 289 290 290 141

Hypothèse 1/14 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/14

Attendu 143 286 286 286 286 286 286 143

χ² = 99%

L’ÉCHANTILLONNAGE DT RÉALISÉ N’EST PAS TOTALEMENT FAIT AU HASARD.


• Des tests du χ² font rejeter l'hypothèse d'équiprobabilité des emplacements DT.

• Comme pour les tests NDT, il apparait cependant possible de découper les quadrants partitionnants DT en secteurs composés d'emplacements équiprobables.

• Une symétrie par rapport à l'axe des cylindres se dessine.

• Des tests du χ² incitent à valider les probabilités de choix des emplacements ci contre.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

Pa=

Pb=

Pc=

Pd=

1/30

1/27

11/180

16/243 Attendu :Obs : -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Obs : Attendu :

61 63 4 30 33 19 7 26 37,04

67 70 3 21 20 14 15 17 18 21 21 77 74,07

67 64 2 8 11 22 23 34 33 29 32 128 131,69

153 136 1 24 28 31 28 25 40 35 26 39 28 168 164,61

χ² = 47,8% 153 167 0 36 38 37 31 25 24 12 17 25 23 101 92,59 χ² = 36,2%

93 103 -1 29 28 16 21 9 21 33 33 43 31 161 152,78

165 164 -2 35 31 30 29 39 30 30 31 33 26 150 152,78

132 128 -3 31 35 29 33 15 14 27 15 71 66,67

74 73 -4 20 20 17 16 20 15 14 15 64 66,67

χ² = 74,0% 37 32 -5 18 14 23 31 54 61,11 χ² = 78,9%

χ² = 79,1% χ² global = 90,5% χ² = 73,5%

Tests DT (0 ≤ z ≤ 4)

8 x 1/30+12 x 11/180 = 1

11x1/27 + 9 x 16/243 = 1

LE CHOIX DES EMPLACEMENTS TESTÉS SUIT DES RÈGLES DE HASARD "CONTRAINT".


● Le lecteur intéressé par une étude détaillée de la base de données notera à titre anecdotique que le mécanisme de choix des emplacements testés est régi par les règles analytiques suivantes :

Tests NDT

• (x,y) choisi "au hasard" parmi les huit emplacements vérifiant :

où f(x,y)=0,2 x + 0,02 y + 1,1 et n est le numéro du test dans la liste unique.

• z satisfaisant la relation :

Tests DT

• (x,y) choisi "au hasard" parmi les vingt emplacements vérifiant :

• z valant :

10;1nmody,xf125,1y,xf3,3y,xf075,315,0ent 32

1020;1nmodent4z

4;1nmody,xf2;y,xf10entmod2ent

420;1nmodentz

EN DÉFINITIVE, UN ÉCHANTILLONNAGE PLUS QUE CRITIQUABLE


● On vient de montrer que les méthodes d'échantillonnage employées par l'entreprise n'ont pas les qualités de neutralité que celle-ci imagine

● Plus grave que les biais mis en évidence, l'ingénieur d'expérience doit se dire que leur défaut principal est un taux de prélèvement très insuffisant.

● Sur un cycle de dix jours, l'usine produit 10 000 cylindres, soit 4 millions de cellules. Un pour mille d'entre elles seulement seront analysées. Hors bases et sommets des cylindres ce taux tombe à 0,5 ‰ , soit une seule analyse tous les deux jours.

● Un contrôle aussi lâche ne peut se justifier que si l'entreprise a confiance dans la régularité de son process. Mais si c'est le cas, échantillonner "au hasard" est un gaspillage de ressources : il vaudrait mieux concentrer les dépenses de contrôle sur les zones ou les périodes connues d'expérience pour être à risque (début de journée quand l'installation n'est pas à sa température de design, changement de quart quand une nouvelle équipe prend son poste..).

MAIS UN ÉCHANTILLONNAGE QUI RASSURE L'ENTREPRISE


Cellules Ni-problématiques Critère C Cellules Cr-problématiques Critère C

(Critères de l'entreprise) Critère D (Critères de l'entreprise) Critère D

N Day Index Test x y z %Ni %Cr N Day Index Test x y z %Ni %Cr

2439 7 92 DT -5 0 4 6,948 17,369 1 481 2 117 NDT -5 0 0 7,792 16,960 6

1679 5 114 DT -5 0 4 6,959 17,375 12 1703 5 166 DT -5 0 0 7,797 16,984

11 1 124 NDT -5 0 4 6,964 17,378 2823 8 223 DT -5 0 0 7,802 17,009

1691 5 130 NDT -5 0 4 6,967 17,380 3681 10 360 NDT -5 0 0 7,813 17,066

2071 6 137 NDT -5 0 4 6,970 17,382 2047 6 121 DT -5 0 1 7,585 17,066

2459 7 153 DT -5 0 4 6,978 17,387 1707 5 166 DT -5 0 1 7,593 17,085

51 1 182 NDT -5 0 4 6,991 17,395 990 3 445 NDT 4 0 0 8,181 18,903 8

2491 7 222 NDT -5 0 4 7,009 17,405 3350 9 351 NDT 4 0 0 8,188 18,938

2151 6 283 NDT -5 0 4 7,035 17,421 2844 8 300 DT 4 0 0 8,192 18,958

3351 9 351 NDT -5 0 4 7,062 17,437 3290 9 297 NDT 4 0 0 8,192 18,959

1791 5 365 NDT -5 0 4 7,068 17,441 2564 7 296 DT 4 0 0 8,192 18,959

2871 8 383 NDT -5 0 4 7,075 17,445 2008 6 63 DT 4 0 1 8,427 18,960

2171 6 395 NDT -5 0 4 7,079 17,447 84 1 274 DT 4 0 0 8,194 18,969

3420 9 398 NDT 4 0 4 8,920 18,552 8 2490 7 222 NDT 4 0 0 8,198 18,991

3400 9 386 NDT 4 0 4 8,924 18,555 1250 4 190 NDT 4 0 0 8,201 19,005 5

2880 8 383 NDT 4 0 4 8,925 18,555 3604 10 97 DT 4 0 0 8,210 19,050

520 2 226 NDT 4 0 4 8,989 18,594 2810 8 36 NDT 4 0 0 8,216 19,081

1260 4 190 NDT 4 0 4 9,005 18,603 430 2 16 NDT 4 0 0 8,218 19,092

1760 5 190 NDT 4 0 4 9,005 18,603 410 2 10 NDT 4 0 0 8,219 19,095

60 1 182 NDT 4 0 4 9,009 18,605

500 2 117 NDT 4 0 4 9,040 18,624

2440 7 92 DT 4 0 4 9,052 18,631 2

460 2 22 NDT 4 0 4 9,089 18,653

Total 3 20 Total 5 14

Total général 8 34

II. À LA RECHERCHE DE LA FORMULE EXACTE...

LE PROCESSUS DE PRODUCTION EST PROBABLEMENT STATIONNAIRE

• Pour chacun des 200 cylindres échantillonnés, on a collationné les teneurs minimum, moyenne et maximum mesurées.

• Reportées sur les graphiques ci-contre, ces valeurs tendent à supporter l’hypothèse que le processus de fabrication est stationnaire, en ce sens que les variations de qualité observées ne dérivent pas au fil des jours.

• Ceci ne signifie bien sûr pas que le processus est indépendant du temps. Au cours de la journée, des perturbations peuvent se produire. Mais si elle surviennent un jour, il est probable qu'on les observera tous les jours


TANDIS QUE LA RÉPARTITION DE %Ni et %Cr APPARAÎT STRUCTURÉE

• Lorsqu’on fait figurer les 4000 tests dont on dispose sur un graphique (%Ni en abscisse, %Cr en ordonnée) , ils s’ordonnent par valeurs de z sur cinq droites, concourantes au point cible du processus de fabrication (%Ni = 8 ; %Cr = 18).

• De surcroit, une structure fine se dessine lorsqu’on zoome sur ledit point cible.

• Seule anomalie : le test NDT n°1601 déjà repéré comme atypique (cf page 12).

• Une observation attentive des figures ci-contre montre que les 3999 tests non anomaliques vérifient la relation:


LA COORDONNÉE X A UN IMPACT DÉTERMINISTE SUR %Ni ET %Cr


LA COORDONNÉE X A UN IMPACT DÉTERMINISTE SUR %Ni ET %Cr (SUITE)


IL EN VA DE MÊME POUR LA COORDONNÉE Y


Autant la variable x semble "translater" les zones où se concentrent les mesures, autant la variable y joue un rôle de "concentrateur" autour du point cible, dans lequel elle parait n’intervenir que par sa valeur absolue.

UN PEU DE MANIPULATION ALGÉBRIQUE ET GRAPHIQUE…

• Soit H = (%Ni+2x%Cr-44)/22

On a :

%Ni = 8+2(z+1)H

%Cr =18+(10 – z)H

• Lorsqu'on explore graphiquement la manière dont H dépend de l’index I qui numérote chronologiquement les cylindres produits chaque jour, on voit apparaître un faisceau de courbes, apparemment homothétiques les unes des autres.

• Et une nouvelle structure fine se dessine lorsqu’on zoome sur le voisinage de l’axe horizontal.


UN PEU DE MANIPULATION ALGÉBRIQUE ET GRAPHIQUE (SUITE)

N I x y z H

341 905 -5 0 0 -1,7000

775 905 -5 1 3 -0,6254 1,7000/0,6254=e

779 905 -4 0 4 -1,3222 1,7000/1,3222=7/9

…. … … … … ….. …..

• Pour décrypter la complexité de ces graphes, on analyse l’information fournie par les index apparaissant plusieurs fois (il y a 13 doublons1 et 4 triplets2 dans le fichier).

• On comprend alors comment H varie en fonction de x ou de y : un peu de méticulosité conduit en effet à la formule :

qui permet de définir une grandeur Q semblant ne dépendre que de l’index I.

• Cette recherche permet incidemment de se convaincre que H ne dépend pas de z.


H = (2x+1) exp(-y²) Q

1. Index doublons : 92, 130, 190, 214, 334, 351, 422, 573, 611, 636, 711, 790, 812.

2. Index triplets : 365, 523, 733, 905.

Q NE DÉPEND EFFECTIVEMENT QUE DE I

• Supposant que Q tend exponentiellement vers une limite a, soit Q = a + b exp(-cI), on cherche la valeur de a qui corrèle le mieux ln(Q-a) et l’index I. Q variant approximativement entre 0,008 et 0,012 pour I compris entre 1 et 1000, on lance le solveur d’Excel sur une valeur tentative de a de 0,005, en imposant une contrainte a≤0,008 pour éviter de buter sur des logarithmes de nombres négatifs.

• Réglé de façon standard et en limitant l’échantillon de calcul aux 483 tests pour lesquels la valeur observée de Q est la plus précise (à savoir ceux où y est nul), le solveur propose a= 0,00611111047887584.

• Pour mettre ce nombre peu maniable sous une forme aisément mémorisable, on fait appel à la méthode traditionnelle des fractions continues. Celle-ci donne les valeurs approchées de a suivantes : 2/327, 3/491 et 11/1800. Pour chacune, Excel donne accessoirement une estimation des meilleures valeurs possibles des constantes b et c.

• C’est ainsi qu’on découvre que la valeur 11/1800, censée donner une approximation commode de la solution "boite noire" d’Excel, fournit en fait une solution parfaite !


Q = 11(1+exp(-t))/1800 où t= (I-1)/1000

ET EN DÉFINITIVE, LES VALEURS DE %Ni ET %Cr DE L’ÉNONCÉ NE DOIVENT RIEN AU HASARD : LE MODÈLE M.

• Après avoir vérifié sur Excel que leurs résultats coïncident très exactement avec les données de l’énoncé (hors test n°1601), on est conduit à proposer les formules suivantes :

• On notera cependant que le degré de précision du modèle M, meilleur que le pico pourcent, excède très largement celui des techniques spectrométriques de fluorescence X utilisées dans l’industrie. Ceci incite d’une part à douter de l’origine expérimentale des données de l’énoncé, et de l’autre à prévoir une marge de sécurité lorsqu’il s’agira de prévoir les résultats des mesures de l’autorité de sureté, dont le matériel n'a probablement pas des performances aussi exceptionnelles…


Modèle M

%Ni = 8+ 11(2x+1)exp(-y²)(z+1)(1+exp(-t))/900 %Cr =18+11(2x+1)exp(-y²)(10-z)(1+exp(-t))/1800

LE MODÈLE M : RETOUR SUR LES TESTS ANOMALIQUES N°1601 ET

N°1611.

• Le modèle M permet de proposer une explication plausible à l'incident qui a fait sortir en anomalie les tests n°1601 et n°1611. Le scenario qu'il s'agirait de valider par une enquête de terrain est le suivant :

• Le test n° 1601, premier prélèvement NDT de la 5ème journée est indexé 3. Il a été réalisé au tout début d'un poste du matin avec des machines qui avaient été arrêtées pendant la nuit précédente.

• L'analyseur automatique (?) a commencé par sélectionner normalement un emplacement dans la zone 1 de la face inférieure (-5,0,0) et a noté une teneur en nickel conforme à ce que prédit le modèle M. Quand il se représente pour analyser le chrome, une panne ou une erreur de manipulation positionne la sonde sur un emplacement voisin de la zone 2, à savoir (-4,0,0) dont la teneur en Cr est alors relevée, également conforme. Ce faisant, la sonde rate l'occasion d'identifier une cellule à un million de dollars (cf la teneur catastrophique en Cr de la cellule (-5,0,0)). L'analyseur note enfin l'emplacement où il vient de fonctionner. Pour ces motifs, la base de données indique pour le test n°1601 une teneur en nickel correspondant à la cellule (-5,0,0) et une teneur en chrome correspondant à l'emplacement reporté (-4,0,0).

• Lorsqu'il passe à la face supérieure, l'analyseur commet la même erreur : au lieu de choisir comme il le devrait un emplacement en zone 1 dans laquelle se cache une autre cellule catastrophe (-5,0,4), il se positionne à nouveau sur le même emplacement de zone 2 et recueille des teneurs conformes au modèle M sur la cellule (-4,0,4).

• Le personnel de quart s'aperçoit que quelque chose a mal fonctionné. On répare l'analyseur, mais le cylindre n°3 a quitté la zone d'analyse, de sorte qu'il n'est pas possible de corriger le rapport de production.

• Le cylindre NDT suivant porte l'index n°130 : il est traité normalement.


N Day Index Test x y z %Ni observé %Cr observé %Ni calculé %Cr calculé

1601 5 3 NDT -4 0 0 7,78021978014659 17,1452991450145 7,82905982900291 17,1452991450145

1601 bis 3 NDT -5 0 0 7,78021978014659 16,9010989007330

1611 5 3 NDT -4 0 4 7,14529914501453 17,4871794870087 7,14529914501453 17,4871794870087

1611 bis 3 NDT -5 0 4 6,90109890073297 17,3406593404398

LE MODÈLE M EST IL VALIDE PARTOUT ?

• Malgré son extrême précision, la capacité prédictive du modèle M ne peut pas être garantie partout.

• Pour s’en convaincre, il suffit de considérer les 18 tests disponibles sur des cellules de coordonnées (-5,0,0). Ceux-ci ne donnent aucune information pour des cylindres d’index inférieurs à 117 alors qu'en début de journée, un phénomène physique local et transitoire peut très bien altérer la teneur d'alliage des cellules (-5,0,0) sans rien changer ailleurs, ni porter atteinte au caractère C du processus.

• Pour illustrer ce risque, on a bâti ci-contre une perturbation oscillante C de la teneur en Cr qui disparait à l’index 110 et qui est calibrée pour effacer l'insuffisance locale en Cr prédite par M .

• On supposera que la nature nous préserve de ce genre de difficulté et que M est valide pour toutes les valeurs de x, y, z et I.


LA CAPACITÉ DU MODÈLE M À PRÉDIRE LES PÉNALITÉS DÉPEND DE

FAÇON CRUCIALE DE LA PRÉCISION DU SPECTROMÈTRE OFFICIEL.

• En termes usuels et conformément au sens commun, il est clair que si les mesures officielles sont fantaisistes, rien ne permettra de prévoir les pénalités qui seront infligées à l'entreprise…

• On considérera que le fait que le fichier de données fournies n'affiche que les trois premières décimales des mesures de l'entreprise indique par prétérition que la précision de celles-ci est de l'ordre de 10 ppm.

• En revanche, on ne sait rien de la performance du laboratoire de l'administration ! • En pratique, on traitera les écarts entre M et les mesures officielles tant de nickel

que de chrome comme des variables gaussiennes indépendantes d'espérance μ et d'écart type σ. Dans les calculs numériques, on fera varier μ entre –2‰ et +2‰ et σ entre 0 et 1‰.


CONCLUSION :LE MODÈLE M EN BREF

• Dans le modèle M, les teneurs en nickel et en chrome de toute cellule (x,y,z) d’un cylindre indexé I sont données par les formules :

où t=(I-1)/1000.

• Le graphique de la page suivante indique de façon visuelle la manière dont varient dans M les teneurs en nickel et en chrome en fonction de l’index I pour les valeurs de x et y donnant les résultats les plus éloignés de la cible de production.

• Tant pour le nickel que pour le chrome, les écarts entre les valeurs prédites par M et les mesures de l'autorité de sûreté sont réputés suivre des lois gaussiennes indépendantes de mêmes espérances et écarts- type.


%Ni = 8+ 11(2x+1)exp(-y²)(z+1)(1+exp(-t))/900 %Cr =18+11(2x+1)exp(-y²)(10-z)(1+exp(-t))/1800

LE MODÈLE M SOUS FORME GRAPHIQUE


LE MODÈLE M : QUELQUES VALEURS CLÉ


Index x y z %Ni calculé %Cr calculé1 -5 0 0 7,78000 16,90000

96 -5 0 0 7,78997 16,94984

97 -5 0 0 7,79007 16,95034

98 -5 0 0 7,79017 16,95084

99 -5 0 0 7,79027 16,95134

201 -5 0 0 7,79994 16,99970

202 -5 0 0 7,80003 17,00015

203 -5 0 0 7,80012 17,00060

204 -5 0 0 7,80021 17,00105

1 -5 0 4 6,90000 17,34000

76 -5 0 4 6,93974 17,36384

77 -5 0 4 6,94025 17,36415

78 -5 0 4 6,94076 17,36446

79 -5 0 4 6,94127 17,36476

201 -5 0 4 6,99970 17,39982

202 -5 0 4 7,00015 17,40009

203 -5 0 4 7,00060 17,40036

204 -5 0 4 7,00105 17,40063

Index x y z %Ni calculé %Cr calculé

1 4 0 0 8,22000 19,10000

2 4 0 0 8,21989 19,09945

3 4 0 0 8,21978 19,09890

201 4 0 0 8,20006 19,00030

202 4 0 0 8,19997 18,99985

203 4 0 0 8,19988 18,99940

204 4 0 0 8,19979 18,99895

1 4 0 4 9,10000 18,66000

2 4 0 4 9,09945 18,65967

3 4 0 4 9,09890 18,65934

201 4 0 4 9,00030 18,60018

202 4 0 4 8,99985 18,59991

203 4 0 4 8,99940 18,59964

204 4 0 4 8,99895 18,59937

1 -5 0 1 7,56000 17,01000

1 4 0 1 8,44000 18,99000

LE CALCUL DES PÉNALITÉS DANS UN MONDE PARFAIT

Jeu Concours FFJM/SCM 2013-2014 Michel Bénézit Avril 2014

LE REMPLACEMENT DES CYLINDRES DÉTRUITS PAR L'ENTREPRISE


Bien des méthodes sont envisageables. On en explorera deux :

R1 : les 10 cylindres détruits chaque jour sont remplacés le jour

même avant d'arrêter la production pour la nuit ; on fait alors

l’hypothèse que M s'applique aux cylindres de remplacement

(1001 ≤ I ≤ 1010) ;

R2 : l'entreprise produit les 100 cylindres de remplacement au

début d'un onzième jour de production pour lequel on suppose

que M s'applique uniment.

LES CELLULES PROBLÉMATIQUES


de 1 2 77 97 202

à 1 76 96 201 1000

Nombre d'index 1 000 1 75 20 105 799

(-5,0,0) Cr- Cr- Cr- Cr-

(-5,0,4) Ni- Ni- Ni- Ni-

(4,0,0) Cr+ Cr+ Cr+ Cr+

(4,0,4) Ni+ Ni+ Ni+ Ni+

autres

Critère A

Critère B

Un examen élémentaire permet d'identifier les cellules susceptibles de violer les critères de l'autorité de sûreté :

LES EMPLACEMENTS PROBLÉMATIQUES


LA COMPOSITION DE LA POPULATION SOUMISE AUX TESTS OFFICIELS (1)

• On trouve dans la base de données de l'énoncé que 18 cylindres d’index inférieur à 202, ont été détruits et remplacés :

• Ceci permet de décrire précisément la composition, telle que M la mesure, de la population de 10 000 cylindres soumis à l’examen officiel.


39 63 92 92 97 98 108 113 114

121 140 143 153 159 160 166 171 191

de 1 2 77 97 202

à 1 76 96 201 1000+

Nombre d'index 1 000 1 75 20 105 799

Avant destruction 10 000 10 750 200 1 050 7 990

Détruits 100 - 2 2 14 82

Remplacés R1 100 - - - - 100

Remplacés R2 100 1 75 20 4 -

Scenario R1 10 000 10 748 198 1 036 8 008

Scenario R2 10 000 11 823 218 1 040 7 908

LA COMPOSITION DE LA POPULATION SOUMISE AUX TESTS OFFICIELS (2)

• Dans le scenario R1 :

A4 : n4 = 10 cylindres dont toutes les cellules sauf quatre sont A-conformes ;

A2 : n2 = 748 cylindres dont toutes les cellules sauf deux sont A-conformes ;

A1 : n1 = 198 cylindres dont toutes les cellules sauf une sont A-conformes ;

A0 : n0 = 9044 cylindres dont toutes les cellules sont A-conformes ;

ou

B4 : m =1992 cylindres dont toutes les cellules sauf quatre sont B-conformes ;

B0 : n-m = 8008 cylindres dont toutes les cellules sont B-conformes ;

• Dans le scenario R2 :

A4 : n4 = 11 cylindres dont toutes les cellules sauf quatre sont A-conformes ;

A2 : n2 = 823 cylindres dont toutes les cellules sauf deux sont A-conformes ;

A1 : n1 = 218 cylindres dont toutes les cellules sauf une sont A-conformes ;

A0 : n0 = 8948 cylindres dont toutes les cellules sont A-conformes ;

ou

B4 : m =2012 cylindres dont toutes les cellules sauf quatre sont B-conformes ;

B0 : n-m = 7908 cylindres dont toutes les cellules sont B-conformes ;


LA SÉLECTION OFFICIELLE

• L'autorité de sûreté sélectionne d'abord q=100 cylindres au hasard dans une population de ∑nj=n=10 000 cylindres composés chacun de u=400 cellules, dont qj parmi nj (j=0, 1, 2 ou 4) sont de catégorie Ai ou, si on les classe selon les critères B, dont r sont de catégorie B4 (0 ≤ r ≤ m) et q-r de catégorie B0. Les lois de probabilité correspondantes sont évidemment hypergéométriques :

avec :

• Elle tire ensuite au hasard v=10 cellules dans chacun des cylindres ainsi sélectionnés. Pour un cylindre donné de catégorie Xj (X=A ou B) le nombre k de cellules qu'elle découvre effectivement hors spécifications suit à son tour une loi hypergéométrique :

dont l'espérance est :


LA PREMIÈRE PÉNALITÉ

• L'espérance du nombre total K de cellules qui ne respectent pas les critères A est :

• En langage commun, ce résultat exprime qu'E(K) est égal au produit ρA du nombre qv de cellules analysées multiplié par le taux attendu de cellules hors critères A dans la population totale.

• E(K) vaut par définition l'espérance de la première pénalité exprimée en millions d'euros.


j 4 2 1 0 0 Pénalité

Scenario R1 ni 10 748 198 1 036 8 008 433 500 €

Scenario R2 ni 11 823 218 1 040 7 908 477 000 €

LA FORME EXACTE DE LA LOI DE K

• Comme on vient de le voir, il n'est pas nécessaire de disposer explicitement de la loi de K pour en calculer l'espérance. Etablir cette loi n'est pas cependant pas compliqué. Il suffit de remarquer que les tirages de cellules d'un cylindre sont indépendants de ceux qu'on opère dans les autres, de sorte que la fonction caractéristique de K s'écrit :

et donc que la probabilité que l'autorité de sûreté trouve γ cellules hors critères A est :

• Cette formule est aussi exacte que d'un maniement peu aisé.


UNE FORME APPROCHÉE DE LA LOI DE K (1)

On peut proposer une forme approchée simple de la loi de K en remarquant que :

q étant très inférieur à n, la loi hypergéométrique qui régit le quadruplet (q0,q1,q2,q4) peut être remplacée par une loi multinomiale. En termes profanes, ceci traduit le fait que lorsqu'on a une très grande urne dans laquelle on tire peu de boules, le faire avec ou sans remise sont deux expériences très semblables ;

de même, jv étant très inférieur à u, on peut négliger les cas très peu fréquents où un seul cylindre produit effectivement plusieurs cellules hors critères, et substituer ainsi une loi de Bernoulli à la loi multinomiale approximant la loi hypergéométrique qui définit les pj(k).


j

k Hyperg. Bernoulli Hyperg. Bernoulli Hyperg. Bernoulli Hyperg. Bernoulli

0 100,00% 100,00% 97,50% 97,50% 95,06% 95,00% 90,33383% 90,00%

1 0,00% 2,50% 2,50% 4,89% 5,00% 9,33683% 10,00%

2 0,00% 0,00% 0,06% 0,32486%

3 0,00% 0,00% 0,00% 0,00445%

4 0,00% 0,00% 0,00% 0,00002%

0 1 2 4

UNE FORME APPROCHÉE DE LA LOI DE K (2)

• Ceci fait, on peut écrire la forme approchée suivante de la fonction caractéristique de la loi de K :

puisque q>>1.

• En d'autres termes, la fonction caractéristique de K est très voisine de celle d'une loi de Poisson ayant même espérance. On peut donc affirmer, grâce aux propriétés de continuité de la transformation de Fourier (théorème de Lévy), que K suit quasiment une loi de Poisson de paramètre ρA .


LA LOI DE K APPROCHÉE VS UNE SIMULATION DE MONTE CARLO (1)


Espérance R1 : 433 500 €

LA LOI DE K APPROCHÉE VS UNE SIMULATION DE MONTE CARLO (2)



LA SECONDE PÉNALITÉ : UN CALCUL DE "PHYSICIEN"

• La fonction caractéristique de la variable aléatoire L dénombrant les cellules hors spécifications au regard des critères B s'écrit :

• L suit approximativement une loi de Poisson de paramètre :

soit ρB ≈2 avec les hypothèses de l'énoncé (m=1992 dans le cas R1 ou 2092 dans le cas R2).

• La probabilité que L excède un certain seuil, soit β, est donc voisine de :

soit quasiment zéro pour β=50.

• Ceci incite à penser que l'espérance de la seconde pénalité, qui se monte à P(L>50) millions d'euros, est négligeable.


LA SECONDE PÉNALITÉ : UN CALCUL EXACT (1)

• Parmi les q=100 cylindres sélectionnés par l’autorité de sûreté, q-r sont sans défaut et r comportent chacun quatre cellules hors spécifications (critères B). Pour 0≤k≤4, rk cylindres révèlent chacun k cellules défectueuses. En développant la fonction caractéristique ci-dessus de L, on trouve que cet évènement qu’on notera (r0,r1,r2,r3,r4) a la probabilité :

• La probabilité P(L=β) s’écrit :

• Soit Q l'ensemble des 84 240 quintuplets (r0,r1,r2,r3,r4) vérifiant :

• Pour chacun d'entre eux on a :


LA SECONDE PÉNALITÉ : UN CALCUL EXACT (2)

• Ceci implique que :

et donc que l’espérance de la deuxième pénalité (en millions d'euros) est majorée par 1-SQ’ où Q’ est n’importe quel sous ensemble de Q

• Pour chacune de valeurs de m, il est dès lors loisible afin d’abréger les calculs de ne retenir et n’additionner, après un tri approprié, que les P(r0,r1,r2,r3,r4) les plus contributifs. Le tableau ci-dessous résume ces longs calculs, quasi impossibles à faire à la main, qui concluent dans tous les cas de figure que l’espérance de la deuxième pénalité est complètement négligeable au regard des sommes mises en jeu dans la production des 10 000 cylindres.


m Card(Q') 106(1-SQ')

Scenario R1 1 992 4 959 0,05 €

Scenario R2 2 092 4 472 0,09 €

LA LOI DE L APPROCHÉE VS UNE SIMULATION DE MONTE CARLO (1)



LA LOI DE L APPROCHÉE VS UNE SIMULATION DE MONTE CARLO (2)



LE CALCUL DES PÉNALITÉS DANS UN MONDE IMPARFAIT

DES INSTRUMENTS DE MESURE IMPARFAITS

• Dans le cas, plus réaliste, où l'on considère que les mesures effectuées tant par l'entreprise que par les autorités, sont imparfaites, on admettra que celles-ci sont affectées par la somme de deux erreurs :

Un défaut de justesse (shift) ;

Un manque de fidélité, obérant la reproductibilité des mesures et qu'on modélisera par une variable gaussienne centrée.

• La différence entre les mesures officielles et le modèle M sera alors la somme des différences des shifts des deux analyseurs et des différences de leurs deux gaussiennes de fidélité. En supposant celles-ci indépendantes, on écrira :

Mesure officielle = Prédiction de M + μ + σG

où G est un variable gaussienne centrée réduite.


LE CALCUL DE LA PREMIÈRE PÉNALITÉ REVISITÉ (1)


• Revenant sur le calcul de E(K) pour y introduire la composante aléatoire nécessaire, il est possible de redémontrer de façon très simple la formule trouvée page 12 en traitant le cas plus général où, pour chaque emplacement et pour chaque index, les résultats d'analyse sont considérés comme aléatoires : Pour ce faire, on appelle πk la probabilité qu'une cellule notée k (1 ≤ k ≤ 400 x

10 000) soit rejetée à l'analyse (si πk,1 (resp. πk,2) est la probabilité d’un %Ni (resp. %Cr) non conforme, on a : πk = πk,1+πk,2-πk,1πk,2 ). πk est évidemment l'espérance du nombre de rejets lorsqu'on analyse cette cellule.

L'espérance du nombre de rejets sur les v cellules sélectionnées dans un cylindre donné après que celui-ci ait été choisi est la somme des πk effectuée sur les v indices concernés. L'espérance du nombre de rejets imputables à un cylindre donné est donc la moyenne arithmétique de toutes les sommes de ce type relatives audit cylindre.

L'espérance E(K) du nombre total de rejets sur q cylindres choisis au hasard est par conséquent une combinaison linéaire des quatre millions de πk. Celle-ci est bien sûr symétrique puisque toutes les cellules jouent le même rôle : E(K) est donc proportionnel la somme des πk.

Si les quatre millions de cellules sont sûrement défectueuses, la somme des πk vaudra nu et K vaudra qv de façon certaine : le coefficient de proportionnalité à appliquer est qv/nu.



• On vient d'établir que :

Cette formule est cohérente avec le résultat obtenu précédemment dans le cas "parfait", ce qui permet de continuer à utiliser la notation ρA.

• Cette résultat permet de recalculer en fonction du shift μ et de l'écart-type σ les valeurs de E(K), montant de l'espérance de la première pénalité.

• En se limitant, pour fixer les idées, à explorer la plage -2‰≤ µ ≤ 2‰ et σ≤ 1‰, on trouve que seuls trente emplacements sur quatre cents sont potentiellement contributifs, les autres emplacements ne produisant que des teneurs éloignées de plus de 4σ des limites de pénalité et ayant par conséquent des πk négligeables.



Shift (%)

σ (%) 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Scenario R1 0,00 433 500 478 000 996 000 1 789 500 2 734 500

0,05 703 694 722 865 1 148 997 1 904 096 3 015 631

0,10 1 292 122 1 307 154 1 715 236 2 535 300 3 803 364

Scenario R2 0,00 477 000 526 000 1 046 000 1 860 750 2 809 500

0,05 752 443 771 811 1 204 696 1 972 087 3 103 893

0,10 1 350 710 1 365 927 1 780 912 2 614 488 3 901 506

Numériquement, on a procédé sur Excel à un calcul portant sur les 1010 index, pondérés bien entendu par leur représentation au sein de la population globale.

Shift (%)

σ (%) -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00

Scenario R1 0,00 4 074 000 2 665 250 1 728 250 941 250 433 500

0,05 4 533 968 2 915 635 1 837 565 1 101 316 703 694

0,10 5 404 960 3 690 472 2 457 286 1 669 621 1 292 122

Scenario R2 0,00 4 182 000 2 740 250 1 799 500 991 250 477 000

0,05 4 652 662 3 001 844 1 905 023 1 156 735 752 443

0,10 5 522 812 3 787 192 2 535 411 1 734 699 1 350 710

LA PREMIÈRE PÉNALITÉ REVISITÉE EN PRATIQUE


Shift (%)

σ (%) -0,005 0,000 0,005

Scenario R1 0,000 478 000 433 500 429 000

0,005 481 434 447 664 431 150

Scenario R2 0,000 524 500 477 000 472 000

0,005 527 810 492 021 474 289

La base de données de l'énoncé étant éditée avec trois décimales dont on

peut penser qu'elles sont significatives, il est probable que le spectromètre de

l'entreprise donne des résultats exacts à 10 ppm près.

Si l'on suppose que l'administration dispose d'un appareil équivalent, la

différence entre les prédictions de M et les mesures officielles sera de l'ordre

de 20 ppm, que l'on arrondira par prudence à 50 ppm en prenant par sécurité

supplémentaire σ égal aussi à 50 ppm.

On trouve alors :

LA PREMIÈRE PÉNALITÉ : CONCLUSION


● Si l'administration est dotée de moyens d'analyse aussi performants que ceux de l'entreprise et si les spectromètres employés sont tous calés de la même manière (│µ│≤ 50 ppm), la première pénalité vaudra en moyenne entre 430 et 530 k€, soit 7,5‰ du chiffre d'affaires.

● Dans ces conditions de calage, en s'organisant pour remplacer le jour même les cylindres que ses tests détruisent au lieu de le faire en fin de campagne de production, l'entreprise peut réduire d'environ 10% le coût moyen de la première pénalité, soit un gain d'environ 50 k€.

● La justesse des appareils de mesure est un facteur critique : l'entreprise ayant intérêt à apprécier le plus exactement possible la qualité de son travail et donc à disposer d'instruments bien réglés, on supposera que ceux-ci le sont. Si tel est bien le cas, le paramètre essentiel que l’industriel doit surveiller dans toute la mesure du possible est le calage du "zéro" du spectromètre officiel. Si celui-ci est mal fait, les pénalités s'envolent jusqu'à des valeurs insoutenables (5,5 M€ soit 8,5% du chiffre d'affaires si μ=-2‰) !

● Moins cruciale apparait être la fidélité des instruments. Intuitivement ceci vient du fait que dans le processus de mesure, les "vrais-faux" compensent peu ou prou les "faux-vrais"…

LA PREMIÈRE PÉNALITÉ : APPROXIMATION DE POISSON (1)


● La fonction caractéristique de la variable aléatoire de Bernoulli Xk valant 1 si la cellule k (1 ≤ k ≤ 4 000 000) est mesurée défectueuse et 0 sinon vaut :

● Les Xk étant indépendantes et v étant très inférieur à u, la fonction caractéristique de la variable XC représentant le nombre de cellules trouvées défectueuses dans un cylindre C donné s'écrit, après approximation multinomiale :

où la somme des πk porte sur tous les indices relatifs au cylindre C et si celle-ci est très inférieure à v/u .

LA PREMIÈRE PÉNALITÉ : APPROXIMATION DE POISSON (2)


● Comme q est très inférieur à n, une seconde approximation multinomiale conduit, en partitionnant la population de cylindres non plus en 4 catégories mais en 10 000 singletons, à écrire :

où les sommes de πk portent, cylindre par cylindre, sur tous les indices relatifs à chacun d'entre eux.

● En définitive, puisque q>>1 , on obtient :

C.Q.F.D.

LA SECONDE PÉNALITÉ : RÉSUMÉ


Des calculs un peu laborieux (voir la solution primée sur le site de la SCM) permettent de montrer que :

Lorsqu’il n’y a pas ou très peu de divergences entre les deux spectromètres (│µ│≤ 2‰ et σ ≤ 0,45‰), la seconde pénalité est complètement négligeable.

Quel que soit μ, elle devient significative quand σ croit : elle dépasse par exemple 220 k€ quand σ excède 0,44% et atteint quasiment 1000 k€ dès que σ dépasse 0,48%.

MERCI POUR VOTRE PATIENCE

le jeu concours ffjm-scm 2013/2014scmsa.eu/archives/clq_2014_07_benezit.pdf · 2014. 7. 7. · la...

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