Introduction

Sous certaines hypothèses, on peut trouver une relation très utile pour résoudre

des problèmes d’écoulement. Cette relation est appelée équation de Bernoulli,

directement basée sur les principes physiques de conservation de l’énergie et de

conservation de la masse.

Nous allons études un application de cette théorème, qui perme de s’avoir le

phénomène de venturi.

Pour simplifie les calcule, on se pose c’est hypothèses :

1. fluide parfait

2. incompressible

3. en écoulement stationnaire

4. dans un champ de pesanteur g

constant.

Le but :

Le but de cette manipulation c’est :

1. la vitrification de théorème de Bernoulli à des sections différentes.

2. Apprendre que le venturi est un appareil de mesure de débit.

3. Apprendre comment on utilise le venturi.

4. En fin le calcule de coefficient C qui caractériser le venturi.

I. Théorie :

Considérons l’écoulement d’un fluide incompressible (ρ = const.) dans un

convergent et un déverguent d’un conduite. La section d’entrée 1 à une section S1,la

section au col 2 à un section S2, Toute section n aura une surface Sn, les tubes

piézomètrique placés au niveau des section 1, 2 et n indiquent respectivement les

hauteur h1, h2 et hn.

Supposons que l’écoulement est parfait (par de perte de charge dans cette

conduite) et que les vitesse et les hauteurs piezométriques soient constantes dans

chacune des section.

1. Théorème de Bernoulli :

En dessous chaque prises de pression, les ligne de courant peuvent être

considérées rectilignes et parallèles ; dons la direction perpendiculaire (suivant z) les

loi de la statique de fluide s’appliquent à la pression :

11 ghpp A

22 ghpp B

nnn ghpp

On peut appliquer l’équation de Bernoulli et écrire :

nnn gzVpgzVpgzVp 2

2

2

221

2

112

1

2

1

2

1

On à : nzzz 21

Alors :

22

22

2

112

1

2

1

2

1nn VpVpVp

Donc :

22

22

2

112

1

2

1

2

1nnnBA VghpVghpVghp

Mais : atmonBA pppp

Donc :

1

2

2

2

21

2

1

222h

g

Vh

g

Vh

g

V n (1)

Avec nVetVV 21 , les vitesses d’écoulement les sections 1, 2 et n.

2. Expression du débit en fonction de la vitesse v :

Le débit-volume est aussi la quantité de liquide occupant un volume cylindrique

de base S et de longueur égale à v, correspondant à la longueur du trajet effectué

pendant l'unité de temps, par une particule de fluide traversant S.

Il en résulte la relation importante :

SVqv

3. Conservation du débit :

Considérons un tube de courant entre deux sections S1 et S1. Pendant l'intervalle

de temps Δt, infiniment petit, la masse Δm1 de fluide ayant traversé la section S1 est la

même que la masse Δm2 ayant traversé la section S2.

21 mm qq

En régime stationnaire, le débit-masse est le même à travers toutes les sections

droites d'un même tube de courant.

Dans le cas d'un écoulement incompressible (ρ = Cte) :

21 vv qq

En régime stationnaire, le débit-volume est le même à travers toutes les sections

droites d'un même tube de courant

Alors l’équation de continuité s’écrire :

nn SVSVSV 2211

4. La vitesse et le débit :

On à :

2211 SVSV

Alors :

1

221

S

SVV (2)

On prendre l’équation (1) :

1

2

12

2

2

22h

g

Vh

g

V

En remplacer l’équation (2) dans (1) :

1

2

1

2

2

22

2

2

22h

S

S

g

Vh

g

V

Où :

21

2

1

2

2

2 12

hhS

S

g

V

212

1

2

22

1

2

212

1

2

1

2hh

S

S

gV

S

S

hhgV

Alors :

1

2

212

1

)(2

S

S

hhgSqv (3)

5. Le cœfficient de venturi :

En réalité il y a une perte de charge entre les sections 1 et 2 et les vitesses ne sont

pas constantes dans les sections droites, pour cela on introduit le cœfficient C pour

écrire :

2

1

2

212

1

2

S

S

hhgS

q

q

qC

réelv

reelv

v (4)

C est déterminé expérimentalement varie entre 0.92 et 0.99

6. La pression :

La répartition idéale des pressions dans le convergent-divergent est donnée

par (1) :

g

VVhh n

n2

22

1

1

Pour une éventuelle comparaison des résultats théorique et expérimentaux, il est

pratique d’exprimer le rapport de 1hhn et de la charge dynamique au niveau du

col :

2

2

2

1

2

2

2

22

1

2

2

1

2/

n

nn

S

S

S

S

V

VV

gV

hh (5)

II-Manipulation :

1. Le schéma de l’installation :

L’appareil de Bernoulli

Diamètres :

1 : 25,0

2 : 10,0

3 : 13,9

4 : 11,8

5 : 10,7

6 : 25,0

Caractérestiques du venturi

2.Mode opératoire :

Pour effectuer la mise à zéro des manomètres il fait chasser les poches d’air de

l’appareil en ouvrant la vanne d’alimentation du ban hydraulique et la vanne de

réglage de débit placée à la sortie de l’appareil.

Au bout de quelques instants, on referme peu à peu la vanne de réglage du débit

afin que l’eau pénètre dans les tubes piézométriques et comprime l’air continu dons le

collecteur. Quand l’eau atteint le niveau désiré dans les tubes on referme la vanne

d’alimentation du banc hydraulique. Les deux vannes étant fermées, le venturi n’est

plus soumis qu’à une pression statique modérée. Tous les tubes doivent indiquer la

même valeur. Il est maintenant possible de relever les valeurs 21 hh qui correspondent

à différents débits vq . Pour cela on ouvre simultanément et progressivement les

vannes du banc et de l’appareil.

On peut procéder à une dizaine de mesures de 21 hh régulièrement espacées

entre 0 et 250 mm.

II. L’expérience :

Qu’on nous change le débit vq , les hauteurs dans les tubes piézométriques sont

change, on prendre 5 manipulation, les résulta reprisent dans le tableaux suivant :

Table 1 : les résulta de l’expérience.

1. On à :

25

232

22 1085.7

4

101014.3

4m

DS

Et :

23

232

11 1049.0

4

102514.3

4m

DS

On calcule les pressions idéales dans le venturi à l’aide de la formule (5) et on

présenter les résultats dons le tableau suivant :

N° tube

piézométriques

Diamètre

dx [mm] n

2

d

d

2

n

2

S

S

2

n

22

1

2

22

1n

S

S

S

S

g2/V

hh

1 55 0,40 0,026 0

5 11 1 1 - 0,95

3 13,9 0,71 0,26 - 0,23

4 11,8 0,84 0,51 - 0,47

5 10.7 0.93 0.76 -0.73

6 25 0.40 0.026 0

Table 2 : représentation de la pression idéale

v (l) temps

(s)

h1 h2 h3 h4 h5 h6

6 47 297 137 260 220 167 190

3 17 280 16 215 150 68 107

5 29 272 1 207 138 55 95

5 32 292 65 240 180 110 142

2. On calculer les valeur de vq à l’aide de la formule (3) :

1

2

212

1

)(2

S

S

hhgSqv

Alors :

21

1

2

2

1

2hh

S

S

gSqv

Ainsi que :

sm

D

D

gconst

S

S

g/487.4

1025

10101

81.92

1

2

1

2 5.0

4

3

34

1

2

2

1

2

Et alors :

21

4

21

5 1052.3487.41085.7 hhhhqv

Et de coefficient C de venturi à l’aide de la formule (4) et on peut dessiner le

tableau suivant :

qv = v/t

[m3/s]

h1

[mm]

h2

[mm]

h1 -

h2

[mm]

21 hh

[m]1/2

qvth

[m3/s]

C

0,128.10-3

297 137 160 0.4 0,141.10-3

0,91

0,176.10-3

280 16 264 0.514 0,181.10-3

0,97

0,172.10-3

272 1 271 0.521 0,183.10-3

0,94

0,156.10-3

292 65 227 0.476 0,167.10-3

0,93

Table 3 : Le cœfficient de venturi

3.On calcule les pertes des charges linaire réelle J à l’aide de l’équation suivant :

gV

hhJ n

22

2

1

On applique cette équation à 2 valeurs de débit et on représenté les résulta dans

le tableau suivant :

N°tube

piézométrique

(n)

qv= 0.176.10-3

m3/s

V22/2g = 0.271

m

qv = 0.156.10-3

m3/s

V22/2g = 0.232 m

nh (mm) 1hhn

(mm) gV

hhn

2/2

2

1 nh (mm) 1hhn

(mm) gV

hhn

2/2

2

1

1 280 0 0 292 0 0

2 16 -264 -0.974 65 -227 -0.978

3 215 -65 -0.240 240 -52 -0.224

4 150 -130 -0.480 180 -112 -0.482

5 68 -212 -0.782 110 -182 -0.784

6 107 -173 -0.638 142 -150 -0.646

Table 4 : représentation de la pression réelle

4.à l’aide des table 1 et 4 on peut représenté les perte de charge réel et idéal

au niveau de la venturi :

Conclusion1 :

Lorsque un fluide parfait entre dans un convergent, il perte son pression initial

qui transformé en forme de vitesse. Cette diminution de pression est en fonction de la

diminution de section. C'est-à-dire lorsque le tube être divergé, la pression va

augmenter, et quand la section finale et la section initial sont les même, les pressions

aussi les mêmes.

Mais lorsque le fluide n’est pas parfait (viscose) les perde des pression et plus

grande que les perte d’un fluide parfait dans le convergent. Et lorsque la section et

revenu à l’état initiale la pression ne revenu par à la pression initiale.

C'est-à-dire le diminution de pression d’un fluide viscose dépend de la forme de

la tube.

5.à l’aide de table 2 on peut trouvé la relation entre le cœfficient de venturi et le débit

c’est pour ça on trace le graphique de C en fonction de débit qv :

Alors le cœfficient moyen de venturi égal :

937.04

93.094.097.091.0

C

Conclusion2 :

Le cœfficient de venturi ne change pas bouque en fonction de débit, c’est pour ça

on prendre la valeur moyen qui toujours caractérisé le venturi.

6.Pour calcule graphiquement le cœfficient C, il fout tracé le graphique

de 21 hh en fonction de débit qv :

0,9

0,91

0,92

0,93

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

1,25E-04 1,45E-04 1,65E-04

C

qv

C=f(qv)

On noté que le pente de cette droit est , alors on à :

vq

hhtg

21

tg 21 hh vq

3125.00 0.4 0,128.10-3

2920.45 0.514 0,176.10-3

3029.07 0.521 0,172.10-3

3051.28 0.476 0,156.10-3

Alors :

45.30314

28.305107.302945.29203125

tg

On à :

vréel

réelv

v

vréel

q

hh

S

S

gS

S

S

hhgS

q

q

qC

21

2

1

2

22

1

2

212

1

1

2

1

1

2

On ce pose :

8.2838

1049

1085.71

81.921085.7

1

1

2

1

2

5

5

5

2

1

2

2

S

S

gS

F

C'est-à-dire :

936.0

45.3031

8.2838

tg

FC

Alors c’est le même C qui en trouvé à 5

IV-Conclusion générale:

Dans cette expérience on trouvé que l’équation de Bernoulli ne

permet par de trouvé les pressions réels et le débit réel. Mais il perme

de calcule des valeur plus proche à les résulta réel et avec certain

coefficient on peut corriger c’est valeur.