l'acquisition de l'arithmétique

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L’acquisition de l’arithmétique

Pr. Michel FayolUniversité Blaise Pascal & CNRS

[email protected]

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1. Les nouveau-nés ont-ils desconnaissances numériques?

Une question difficileL’éventualité de deux systèmes de

traitement des quantités

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Plusieurs questions…

• Les nouveau-nés peuvent-ils discriminer entrequantités? Si oui à quelles conditions?

• Les nouveau-nés comprennent-ils que ladifférence entre quantités correspond aux relationsplus/moins de …?

• Les nouveau-nés sont-ils en mesure decomprendre à quoi correspondent les ajouts etdiminutions de quantités?

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1.1. Discriminer entre quantités

Des résultats clairs, desinterprétations difficiles

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Une première série d’expériencesStarkey & Cooper, 1980; Antell & Keating, 1983; Strauss & Curtis, 1981

Paradigme d’habituationHabituation Déshabituation

Antell & Keating, 1983

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Une première série d’expériencesStarkey & Cooper, 1980; Antell & Keating, 1983; Strauss & Curtis, 1981

• Bébés de 2 jours peuvent discriminer entre 2 et 3(et inversement) mais pas entre 4 et 6 (ou 6 et 4)(Antell & Keating, 1983);

• Enfants de 10-12 mois peuvent discriminer entre 2et 3 mais non entre 4 et 5 (Strauss & Curtis, 1981);

• S’étend aux situations se déroulant dans le temps(poupées qui sautent, etc..);

• Visuel ou amodal?

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Discriminer entre grandesquantités?

Xu & Spelke,2000Bébés de 6 moishabitués soit à 8soit à 16 et testéssoit avec 8 soitavec 16.Bébés distinguententre 8 et 16 ouentre 16 et 32 (Xu,2000) mais pasentre 8 et 12 nientre 16 et 24.

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Petites et grandes quantitésMêmes mécanismes?

Les résultats suggèrent l’existence de deuxmécanismes :

1) le premier dédié aux petites quantités(1, 2 et 3) et très précis;

2) l’autre utilisé avec les grandes quantitésmais de manière imprécise : le rapport desquantités doit être de l’ordre de un à deux chezles plus jeunes (6 mois) et évoluerait de deux àtrois vers 9 mois;

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A-t-on vraiment affaire à destraitements numériques?

• La plupart des premières recherchesutilisent des stimuli qui confondent lanumérosité des collections et la surface, levolume, la brillance, etc.;

• Confusion possible entre numérosité etquantités continues (longueur, intensité..);

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Dissocier numérosité etdimensions continues

• Une série d’expériences (Feigenson et al.,2002; Mix et al., 2002) montre que, lorsque lesdimensions continues sont contrôlées, l’effetde la numérosité ne s’observe plus. Ainsi, lesbébés réagissent à un changement de surfacelorsque le nombre est maintenu constant, maispas à un changement de numérosité quand lasurface reste constante;

• Jusqu’à 3 ans, les enfants restent très sensiblesaux variables perceptives (Rousselle et al.,2004)

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Pour conclure• Les nouveau-nés sont en mesure de discriminer des

«!grandes!» collections (> 5) différant sur la seulenumérosité lorsque le rapport est de un à deux; cesperformances sont explicables à partir d’unmécanisme perceptif analogique reposant sur letraitement des quantités continues;

• Relativement aux petites collections (< 4), il n’estpas acquis que les discriminations reposentinitialement sur la numérosité; toutefois, la précisiondes discriminations nécessite qu’intervienne unmécanisme qui pourrait être général.

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1.2. Plus grand, plus petit

Une capacité relativement tardive

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Comprendre les relations entrequantités

• Feigenson, Carey & Hauser (2002) utilisent unetâche de choix de récipient opaque dans lequeldes éléments sont placés sous le contrôle visueldes enfants (paradigme de recherche manuelle oude choix de récipient);

• Dès 10-12 mois, les enfants choisissent la boîtequi comporte le plus de biscuits (1 vs 2 : 13enfants sur 16 ; 2 vs 3 ; 13 enfants sur 16 ; maispas 3 vs 4, ni 2 vs 4 ou 3 vs 6); ils choisissent enfonction de la quantité globale et non du nombre;

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Recherche manuelle

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Recherche manuelle

Choix de récipient

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• A partir de 10-12 mois, peut être avant, les enfants sonten mesure de choisir la plus grande (petite?) de deuxquantités;

• Ils le font en s’appuyant sur la quantité totale plus quesur le nombre;

• Ce qui suggère qu’ils se réfèrent à une représentationanalogique possiblement continue;

• Toutefois, avec les petites quantités, ils peuvent utiliserun autre type de représentation reposant sur un modèlemental et sur la correspondance terme à terme

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1.3. Comprendre les transformations :ajouter et soustraire

Des résultats souvent discutables etdifficiles à interpréter

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Enlever et ajouter

• Les données rapportées par Wynn (1992) suggèrent queles nouveau-nés sont en mesure de comprendre lesrésultats des opérations d’ajout et de retrait sur depetites quantités (1, 2 et 3);

• Mais…• Wakeley et al. (2000) ne répliquent pas les résultats de

Wynn; avec 3 -2 = 1 ou 2;• Vilette (1998, 2002) trouve que les enfants de 2 ans et

demi se comportent au hasard dans les situationsadditives et soustractives impliquant 2 ou 3;

• Donc, des résultats fragiles

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1.4. Pour conclure• Les nouveau-nés et les bébés sont en mesure de

discriminer 1 de 2, 2 de 3, peut-être à partir desdimensions associées ou d’un modèle mental; c’estsans doute encore ainsi qu’ils réalisent les résultats desajouts et retraits;

• Ils réussissent à discriminer les grandes quantités et àpercevoir les ajouts et retraits lorsque le rapport estgrand et, là encore, sans doute à partir des dimensionsassociées;

• La saisie de relations plus grand plus petit semblerelativement tardive (10-12 mois).

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2. Le passage au symbolique

Lent et difficile

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Un exemple de situation

Déterminez le nombre d’éléments dechacune des collections présentées.

Prêt?

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Combien y en a-t-il?

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2.1. Subitizing et comptage

Deux modalités dissociables dequantification?

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Subitizing et comptage

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

1 2 3 4 5

Erreurs

Le dénombrement rapide fait apparaître une discontinuité après 3Pavese & Ulmita, 1998; Fisher, 1992

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0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

1 2 3 4 5

Erreurs


Subitizing

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0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

1 2 3 4 5

Erreurs


Subitizing

Comptage

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Subitizing et comptage• S’agit-il de deux processus différents, et donc

dissociables? (Piazza, 2004);• Subitizing : estimation rapide et précise de

petites quantités (1 à 3 voire 4); en un coupd’œil (focus attentionnel);

• Dénombrement : opération complexeimpliquant le langage et la mise encorrespondance terme à terme de mots etd’entités dénombrées;

Pas de dissociations claires, pas de sites différenciés en imagerie

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2.2.. Le dénombrement

Passage du quantitatif approximatifau quantitatif discret et précis.

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2.2.1 Les tout-débuts et ladimension verbale

Des débuts difficiles

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Les difficultés d’acquisition de lareprésentation verbale

Les enfants de 2 1/2 réussissent le choix de «!un!» contre uneautre quantité. Il leur faut un an de plus pour réussir deuxcontre trois ou quatre (Wynn, 1992)

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De la représentation analogique à lareprésentation verbale

•L’acquisition des premiers nombres devraitêtre facile et rapide;•Deux problèmes :

–Codage verbal de la quantité par l’ordre :Apprendre à évoquer la quantité à partir de lasuccession des mots de nombres;–Catégorisation : Indépendance de lacardinalité dénommée par rapport auxcaractéristiques perceptuelles des collections(Mix, 1999; Rousselle et al., 2004; Barth et al., 2005);

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Caractéristiques de la représentationverbale

• Pas présente partout: Piraha (Gordon, 2004) et Munduruku(Pica et al., 2004); un, deux, trois?

• Lexique : un, deux, six, douze, vingt, cent, mille• Bases: dix, vingt, soixante• Combinatoire: -> syntaxe traduisant des

combinaisons «!Additives!» (trente six) ou«!Multiplicatives!» (quatre vingt ; trois cents)

• Problèmes de régularité : mémorisation du lexique ;acquisition et mise en œuvre de la syntaxe

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Caractéristiques de la représentation verbaleComparaison anglais, chinois, français

Français Anglais Chinois

123

10111213

20212223

un, unedeuxtrois

dixonze

douzetreize

vingtvingt et unvingt-deuxvingt-trois

onetwothree

teneleventwelvethirteen

twentytwenty-onetwenty-twotwenty-three

yier

san

shishi yishi er

shi san

er shier shi yier shi er

er shi san

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Impact des caractéristiques verbalessur l’acquisition de la numération verbale

Comparaison anglais chinois

0102030405060708090

100

3 ans 4 ans 5 ans

USAChine

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Variations d’empan mémoriel enfonction de la langue

050

100150200250300350400

Ch An Ga

Duréems/item

• Ch =chinois: An = anglais; Ga = gallois

0123456789

10

Ch An Ga

Empan

Vitesse d’énonciation Empan de chiffresAnderson, J.R., 1994

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La représentation verbale

• Son acquisition présente des difficultésspécifiques, dépendantes descaractéristiques du système verbal;

• Elle présente également des effets indirects,en relation avec la mémoire à court termeou la mémoire de travail;

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2.2.2. La complexité dudénombrement

Mettre en relation une dimensionverbale et une dimension motrice et

les coordonner

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Les principes et le resteSiegler & Shrager, 1984

• Une partie de habiletés de dénombrement pourraittenir à des prédispositions, peut-être avec unecomposante innée, mais..;

• Une autre partie serait liée à un apprentissagesocial dépendant vraisemblablement del’observation d’autrui;

• Le non rejet des procédures de comptage nonusuelles paraît dépendre du niveau des habiletésnumériques (LeFevre et al., 2006);

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Les théories du dénombrement

Deux théories : principes en premiervs principes dérivés

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Le dénombrement• Apprentissage implicite. Sur bases innées?• Mise en œuvre d’une procédure respectant des principes :

performance toujours inférieure et au plus égale à la compétence

Compétence très précoce Performance

AttentionMémoire de TravailEtc..

Théorie desprincipes enpremier

Cf Descœudres 1921)

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Le dénombrement– Stricte correspondance terme à terme entre

désignation des éléments et items servant à lesdésigner;

– Ordre stable des éléments servant à désigner;– Dernier élément fournit la cardinalité;

apprentissage explicite? Spécifiquementnumérique (Wynn, 1990)

– Abstraction: aucun impact de l’homogénéitéou de l’hétérogénéité;

– Non pertinence de l’ordre du traitement;clairement culturel (Siegler & Shrager, 1984) ;apprentissage explicite?.

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0102030405060708090

100

3 ans 4 ans 5 ans

Mot oubliéObjet oubliéMot en tropDouble compt.Standard

Pourcentages de rejets des procédures ne respectant pas les principes

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0

10

20

30

40

50

60

70

3 ans 4 ans 5 ans

Dir. InverseNon adjacentsDébut milieuDouble pointage

Pourcentages de rejets de procédures ne violant pas les principesmais ne correspondant pas aux pratiques usuelles.

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2.2.3. Le rôle des doigts

A quoi servent-ils?

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Plusieurs hypothèses

• Mémoire externe;• Facilitateurs de manipulation des quantités;• Premières représentations discrètes et

abstraites?– L’abstraction;– La discrétisation;– La manipulation;

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Impact des représentationsdiscrètes utilisant les doigts?

Fayol et al., 1998; Marinthe et al., 2001; Noël, 2005;

Performances arithmétiquesà t puis t + 1 puis t + 3

Niveau deDéveloppementCopie dessins; PM 47

Performances perceptivo-tactilesGnosie digitaleDiscrimination digitale

Scores perceptivo-tactiles prédisent mieux que scores de développementles performances arithmétiques à t (5 ans), t+1 (6ans ) et même 8 ans.

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2.2.4. La représentation indo-arabe

Un apprentissage explicite

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La représentation indo-arabe

• Base 10;• Lexique restreint : 0 à 9;• Notation positionnelle de la puissance;• Dissociable de la représentation verbale et de la

représentation analogique;• Chez l’adulte, active directement (sans transiter

par la représentation verbale) la représentationanalogique (effets de distance, de taille, etc)

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Représentation verbale et représentationindo-arabe

REPRÉSENTATION VERBALE

REPRÉSENTATIONINDO-ARABE

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Impact de la représentationverbale sur le transcodage

• Erreurs initiales de transcodage;• Comparaison Wallon/Français :Ecriture

sous dictée en Deuxième primaire(Quatre vingt deux -> 4202 OU 802;Soixante douze -> 6012; Quatre vingtdix sept -> 42017 (Seron & Fayol, 1994);

• Erreurs de même type chez des patients;

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Impact de la représentation verbalesur la représentation arabe

0,040,884,443,964,13Un par un

4,833,580,570,390,38Canonique

CoréeJaponSuèdeFranceUSAScore/5

Miura et al., 1993

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La représentation indo-arabe

• Elle est à la fois très facile et économique (10chiffres) et difficile du fait de la notationpositionnelle;

• Son apprentissage (explicite) à partir de l’oralcontribue vraisemblablement à induire l’apparitionde certaines erreurs;

• Possibilité de transcodage asémantique(Barrouillet et al., 2004; Jarlegan et al., 1996)

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3. Les opérations

Essentiellement additions etmultiplications

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3.1. Les tout-débuts

De la manipulation des objets à celledes substituts

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Les tout-débutsStarkey & Gelman, 1982 ; Hughes,1981, 1986

• Hughes : enfants de 3 à 5 ans voient des cubes (1à 8) déposés dans une boîte opaque, ils lesdénombrent. Puis l’E ajoute ou retire un ouplusieurs cubes;

• Jusqu’à 4 ans 1/2, réussite avec les petits nombres(<3) mais échec au-delà;

• Réussite avec les petits nombres associée àl’utilisation des doigts pour représenter lescollections;

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Les tout-débutsStarkey & Gelman, 1982 ; Hughes,1981, 1986

6%20%28%Grands nombres > 3

15%56%83%Petits nombres < 3

Présentationformelle

Boîteévoquée

Boîteréelle

fermée

Jusque vers 5 ans, réussite lorsque les quantités sont associables àdes représentations spatio-temporelles.Peut-on parler de compétence arithmétique? (voir Jordan, etc…)

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La résolution des opérationsTrouver le résultat de transformations

• Plusieurs procédures:– Dénombrer tous les objets (3 pommes et 4

pommes) : les regrouper et les dénombrer;– Dénombrer la première collection (un, deux,

trois), puis poursuivre le dénombrement (quatre,cinq, six, sept);

– Utiliser les doigts: premier niveau d’abstraction;soit pour dénombrer soit pour ne pas oublier;

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Trouver le résultat de transformations

• Plusieurs procédures (suite):– Objets eux-mêmes;– Substituts analogiques des objets (doigts);– Compter mentalement, en commençant par le

premier fourni (3) puis en commençant par le plusgrand (4) (min m,n) découverte de la commutativité;

– Retrouver directement dans sa mémoire verbale lerésultat d’une association (3 et 4 -> 7);

– Décomposer le problème à résoudre, utiliser des«!ancrages!»: 4+8 -> 4 + 6 + 2

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Distribution des stratégiesSiegler & Shrager, 1984

66%4 sec64%Remémoration

54%9 sec8%Comptage verbal

89%6,6 sec13%Doigts : mémoire externe

87%14 sec15%Comptage des doigts :lever des doigts et lesdénombrer

%correct

DuréeFréquence

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Résolution des opérations : évolutionAdditions (Siegler, 1987)

.05.00.11.40.45CE1

.08.01.09.38.44CP

.30.22.02.30.16GSM

AutresToutcompter

Décomposer

Min m,nRemémoration

45 additions : (4 à 17) + (1 à 10); somme de 5 à 23

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Résolution des opérationsAdditions

• Au début, résolution en actions, sur des objets puis sur desreprésentations analogiques (doigts, mais aussi autrematériel) (Fayol et al., 1998; Marinthe et al., 2000);

• Résolution par comptage verbal (Camos et al., 1999, 2001):asymétrie des opérandes puis commutation possible;dépendance du verbal;

• Mémorisation d’associations entre opérandes et résultats :gain en vitesse et en attention; certains ne parviennent pas àcette mémorisation; pourquoi? Dépendance par rapport aulangage? (Thévenot et al., 2001)

• Hiérarchie indicative du niveau de «!maturitéarithmétique!»;

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3.2. De l’action à l’opération

Ajouter et enleverAdditionner et soustraire

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Le passage à l’opérationBryant et al., 1999

• Le cas de la compréhension de l’inversion:les enfants comprennent-ils que si 8 + 4 =12 alors 12 – 8 = 4?

• Si oui, cette compréhension est-elleindépendante des quantités manipulées?

• Enfants de 5-6ans doivent résoudre desproblèmes a + b – b comparés à a + a – b)(e.g., 14 + 7 – 7 comparé à 9 + 9 – 4);

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• Présentation– 1) avec du matériel concret (cubes emboîtables)

avec lesquels on ajoute (x) à une première quantitédes cubes (a) et on enlève ensuite soit les mêmes xsoit le même nombre de x mais différemmentsitué (on contraste identité vs non identité pour nepas la confondre avec l’équivalence desquantités)!;

– 2) en condition invisible où les mêmes gestes sonteffectués mais sans matériel!;

– 3) en condition word problems (histoire racontée);– 4) en condition nombres abstraits.

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0

0,5

1

1,5

2

2,5

Concret Invisible Formel

InversionContrôle

5 ans

Max. = 3

70


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Concret Invisible Formel

InverseContrôle

6 ans

Max. = 3

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• Dès 5 ans, les enfants comprennent et sont enmesure d’utiliser le principe d’inversion, et celamême s’ils sont dans l’incapacité de l’exprimer

• La corrélation entre les performances à larésolution des problèmes contrôle et à celle desproblèmes avec inversion est faible. La résolutiondes additions et des soustractions apparaîtrelativement indépendante de la compréhension duprincipe de l’inversion.

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Le passage à l’opérationBryant et al., 1999; Vilette, 2002

• C’est vers 5 ans que s’effectuerait le passage d’untraitement en action des transformations à untraitement symbolique des opérations;

• On ne pourrait parler d’opération arithmétique quevers 5-6 ans, pour l’addition comme pour lasoustraction;

• Problème des relations entre connaissancesconceptuelles et connaissances procédurales(Alibali et al.)

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Vers la récupération

• La récupération en mémoire s’installeprogressivement, sur les petites additionsd’abord puis sur les moyennes puis sur lesgrandes (Lemaire et al., 1994);

• Certains individus ne parviennentapparemment pas à mémoriser lesassociations entre opérandes et somme;pourquoi?

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Références

• Références:• Fayol, M. (1990) L’enfant et le nombre.

Delachaux & Niestlé;• Pesenti & Seron (2004). La cognition numérique.

Paris : Lavoisier• Bideaud & Lehalle (2002). Le développement des

activités numériques chez l’enfant. Paris :Lavoisier

• Pesenti & Seron (2000). Neuropsychologie destroubles du calcul et du traitement des nombres.Marseille: SOLAL

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Références (suite)• Fayol, M., Perros, H. et Seron, X (2004). Les

représentations numériques: caractéristiques, troubles etdéveloppement. In M-N. Metz-Lutz et al. (Eds),Développement cognitif et troubles des apprentissages.Marseille: SOLAL)

• Fayol, M. (2005) Les petits asiatiques comptent-ils mieux?Cerveau et Psycho, n° 9;

• Fayol, M. (2004). Compter sur les doigts. La Recherche,octobre

• Van Hout et al. (2002). Les dyscalculies. Paris: Masson

l'acquisition de l'arithmétique

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