la torsion simple (cours bac)
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TORSION SIMPLE Objectifs : Vérifier la résistance d’un composant sollicité à la Torsion Simple ; Dimensionner un composant sollicité à la Torsion Simple. 1 – D EFINITIONUne poutre est sollicitée à la torsion simple lorsqu'elle est soumise, à ses deux extrémités, à deux moments opposés portés par la ligne moyenne. La poutre est supposée cylindrique de section circulaire constante.2 – EXPERIENCEUne éprouvette cylindrique encastrée sur un support fixe d'une extrémité. A l'autre extrémité eTRANSCRIPT
TORSION SIMPLE
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Objectifs : Vérifier la résistance d’un composant sollicité à la Torsion Simple ; Dimensionner un composant sollicité à la Torsion Simple.
1 – DEFINITION
Une poutre est sollicitée à la torsion simple lorsqu'elle est soumise, à ses deux extrémités, à deux moments opposés portés par la ligne moyenne.
La poutre est supposée cylindrique de section circulaire constante.
2 – EXPERIENCE
Une éprouvette cylindrique encastrée sur un support fixe d'une extrémité. A l'autre extrémité est encastré une poulie sur la quelle s'exerce un moment de torsion
Mt = F x D Ce dispositif permet de mesurer aussi l'angle
de torsion α dont tournent, l'une par rapport à l'autre, les sections extrêmes de l'éprouvette.
2‐1 CONSTATATION
Si on trace la génératrice M1 M2 et on fait croître progressivement Mt on constate que cette génératrice se déforme suivant une hélice M1 M'2.
La section droite (S) tourne d'un angle α autour de l'axe xx', la valeur de α est proportionnelle à la distance x :
Le coefficient de proportionnalité θ est appelé angle unitaire de torsion en rad/mm
2‐2 DIAGRAMME DE L'ESSAI FOURNIT PAR CE DISPOSITIF
Interprétation du diagramme:
La droite OA montre que l'angle de torsion α est proportionnel au moment de torsion. (Zone de déformations élastiques)
A partir du Mte (moment de torsion correspondant à la limite élastique à la torsion) les déformations croissent rapidement. (Zone de déformation permanentes ou zone plastique)
A partir du point B (Zone de rupture) la déformation est très importante (plusieurs tours) jusqu'à avoir rupture de l'éprouvette
Eprouvette Support F Encastrement
Encastrement
Poulie de Diamètre D F
Pivot
M1 α
x Z
Y
X
M'2
M2
(S)
. . . . . . . . . . . (1)
M te tr M
A
B
α α α (°)
M t (en Nm)
0 r e
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Y Tronçon B Tronçon A S
Z
x
m ∆s
df G
X
3 – ETUDE DES CONTRAINTES
Considérons le tronçon (A) de la poutre. L'équilibre de ce tronçon implique que les efforts de
cohésion se réduisent à un moment Mt . x Au point m, l'effort élémentaire df, relatif à
l’élément. ∆s est dans le plan de la section (8) et
perpendiculaire au rayon Gm= ρ
Le rapport est la contrainte tangentielle au point m.
4‐ RELATION CONTRAINTE DEFORMATION : On démontre que la contrainte de torsion en un point m d’une section est proportionnelle à la
distance l du point m à l’axe de cylindre et l’angle unitaire de torsion θ
G étant le module d’élasticité transversal (module de coulomb)
La contrainte τ est maximale pour ρ = R
5‐ RELATION COUPLE DE TORSION CONTRAINTE : Les relations (2) et (3) nous permettant d’écrire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Multiplions les deux membres de l’équation par ρ ⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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On obtient la relation
On utilisant (4) et (5), on établit
6‐ CONDITION DE RESISTANCE :
τpétant la contrainte tangentielle pratique ou la résistance pratique au glissement Rpg avec Rpg = . . . . . . . .
Reg: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
τ = . . . . . . . . .
(2)
τ = . . . . . . . . . (3)
τMaxi = . . . . . . . . (4)
Mt = . . . . . . . . . . . . (5)
τMaxi = . . . . . . . . . . . (6)
τMaxi ≤ . . . . . . (4)
Avec Io / R : . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7‐ CONDITION DE RIGIDITE : Pour certains arbres de transmission on doit limiter les déformations de torsion pour assurer
une rigidité convenable, on impose alors une limite a l’angle unitaire de torsion θ ≤ θ limite Moment quadratique polaire des surfaces remarquables
Surface
Moment quadratique Polaire Io π d 4 / 32 π (D 4 – d 4 ) / 32
8‐ APPLICATION : Barre de Tension
La barre de torsion est utilisée comme ressort pour assurer
la suspension élastique d'une roue de voiture.
La barre est fixée au support au point A, à l'autre extrémité
au point B est reliée au levier relié à la roue.
La force F exercée par la roue sur le levier est 4000 N.
La longueur du levier (distance OB) est de 300 mm.
La barre est en acier (prendre pour résistance pratique au
glissement Rpg= 350 N/mm 2 ), la longueur de la barre L= 750 mm.
On donne le module d'élasticité transversale G= 80 000 N/mm 2 .
1‐ Calculer le couple de torsion appliquée sur la barre de torsion.
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2‐ Calculer à la torsion le diamètre minimal de la barre de torsion.
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3‐ Calculer la déviation angulaire a entre les sections extrêmes de la barre.
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