La résolution de problèmes (cycles 2 et 3)

Laurent DURON / Annabelle REMY CP Vandoeuvre

•Romane avait 35 €. Elle a reçu 60 € pour son anniversaire. Combien a-t-elle d’argent maintenant ?

• Des exemples de problèmes donnés en début de CE2 (20 élèves):

Quels constats ?

Les résultats sous forme de graphique :

•Mervé a reçu 25€. Elle possède maintenant 240€. Combien d’argent avait-elle auparavant ?

Les résultats sous forme de graphique :

•J’ai un paquet de 45 crayons de couleur à partager équitablement entre 5 élèves. Combien en auront-ils chacun ?

Les résultats sous forme de graphique :

Pour les élèves : qu’est-ce qu’un problème ?

Définition d’un problème :

Une place pourtant essentielle dans les programmes de

mathématiques

Dans les programmes de 2008 :

• Dès la fin de l’école maternelle (GS), les problèmes occupent une place importante dans les programmes de 2008. En effet, ils permettent de susciter le besoin du nombre et « constituent une première entrée dans l’univers du calcul ».

• Ce ne sera qu’à partir du CP puis du CE1 que la résolution de problèmes fera « l’objet d’un apprentissage progressif » et contribuera « à construire le sens des opérations ».

• Ce qui explique qu’au premier palier pour la maîtrise du socle commun en fin de CE1, il soit attendu des élèves l’acquisition de la compétence : « résoudre des problèmes très simples ».

• Il est alors normal que dans la progression du « CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme (nombre et calcul, géométrie, grandeurs et mesures, organisation et gestion de données), l’élève enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, et continue d’apprendre à résoudre des problèmes. »

Quelles sont les connaissances, les compétences à maîtriser en CP/CE1 ?

Quelles sont les connaissances, les compétences à maîtriser en CE2/CM1/CM2 ?

Quelles sont les connaissances, les compétences à maîtriser en CE2/CM1/CM2 ? (suite)

Compétences Connaissances et savoirs Exemples d’activités, ressources

Problèmes arithmétiques et calculs

Résoudre des problèmes arithmétiques élémentaires.

Problèmes relevant des structures additives (addition/soustraction) Problèmes relevant des structures

multiplicatives

(multiplication/division).

Les élèves résolvent de nombreux problèmes élémentaires ne présentant pas de difficultés relatives aux nombres en jeu, au contexte ou à la structure syntaxique de l’énoncé, de manière à mémoriser des stratégies de résolution adaptées à chaque type. La progression sur les problèmes

s’appuie sur une hiérarchie des

structures arithmétiques sous-

jacentes.

• Au CP, les élèves commencent à résoudre des problèmes additifs et soustractifs, en CE1 et en CE2, s’y ajoutent des problèmes multiplicatifs.

• Pour le cycle 2 :

Dans les programmes de 2015 (à venir) :

• Pour le cycle 3 :

Dans les programmes de 2015 (à venir) :

• Pour le cycle 3 (suite) :

Dans les programmes de 2015 (à venir) :

• Connaître les différents types de problèmes

• Connaître les différentes étapes d’apprentissage

• Mettre en place une progression spécifique

• Connaître une démarche précise pour aider les élèves dans la résolution de problèmes

Pour mettre en place dans les classes…

• Il paraît important de connaître cette typologie des problèmes. En effet, il faut bien comprendre qu’on ne peut réduire un problème à l’opération qui servira à le résoudre.

• Le caractère sémantique de l’énoncé est à prendre en considération, car, il a été prouvé que « des problèmes impliquant la même opération arithmétique mais appartenant à des catégories sémantiques différentes sont de niveau de difficulté différent ».

La typologie de Vergnaud.

- La composition de deux états :

On recherche soit le composé (résultat), soit un élément de la composition : nombre d’objets,

mesure…

- La transformation d’état :

On part d’un état initial pour arriver à un état final. On recherche donc soit l’état final, soit

l’état initial, soit la transformation subie (positive ou négative).

Exemple : Dans une classe, il y a 18 garçons et 12 filles. Combien y a-t-il d’élèves au total ?

Exemple : Dans une classe, il y a 30 élèves, 18 sont des garçons. Combien y a-t-il de filles ?

Exemple : Philippe avait 350 €. Il a reçu 61 € pour son anniversaire. Combien a-t-il d’argent

maintenant ?

Exemple : Philippe a reçu 38 €. Il possède maintenant 219 €. Combien d’argent avait-il

auparavant ?

Exemple : Philippe possède aujourd’hui 425 €. Il n’avait que 299 € hier. Combien lui a-t-on

donné ?

La typologie de Vergnaud simplifiée (pour CE1/CE2) problèmes additifs (1)

- La comparaison d’état :

Il n’y a pas de transformation ; il s’agit de retrouver, soit l’un des états de comparaison (plus

ou moins), soit la comparaison elle-même (la différence).

- La composition de transformations :

C’est la gamme de problèmes qui comporte le plus de combinaisons possibles car plusieurs

transformations se succèdent. On recherche, soit le résultat des transformations

successives, soit l’une des composantes. On ne connaît ni l’état initial, ni l’état final ou

intermédiaire.

Exemple : Cathy a 15 ans de moins que son frère. Elle fête ses 34 ans cette année ? Quel âge a

son frère ?

Exemple : Cathy a 34 ans, son frère en a 19. Calcule leur différence d’âge.

Exemple : A la récréation, j’ai d’abord gagné 13 billes, puis 7. Combien en ai-je gagnées en tout ?

La typologie de Vergnaud simplifiée (pour CE1/CE2) problèmes additifs (2)

- La multiplication :

Je connais un nombre de paquets et le nombre d’éléments les constituant et je cherche le

nombre d’éléments au total.

Les problèmes de type de partage décrivent souvent une situation de la vie quotidienne.

- La division-partition :

Dans ce problème de partage, on détermine donc la valeur d’une part.

- La division-quotition :

On détermine le nombre de parts.

Exemple : J’ai 3 paquets de yaourts. Il y a 4 yaourts dans chaque paquet. Combien ai-je de

yaourts au total ?

Exemple : On dispose de 32 bonbons à partager équitablement entre 8 enfants. Combien en

auront-ils chacun ?

Exemple : Combien d’équipes de 6 enfants peut-on faire avec une classe de 24 élèves ?

La typologie de Vergnaud simplifiée (pour CE1/CE2) problèmes multiplicatifs

• Pour construire cette progression, il faut tenir compte non seulement de l’importance du lien entre les notions de résolution de problèmes, de calcul mental, de numération et d’opérations, mais également du vocabulaire mathématique abordé.

• De plus, pour chaque type de problèmes, il faut évidemment respecter les différentes étapes d’apprentissage : la phase de découverte, la phase de recherche, la phase d’appropriation, de structuration, la phase d’entraînement et enfin celle d’évaluation.

• Pour chaque période scolaire, deux semaines environ sont consacrées à un type de problème précis, les deux semaines suivantes à un autre type, puis les deux semaines restantes permettent d’avoir le temps de différencier à nouveau le travail sur une notion précise si besoin, d’alterner les deux types de problèmes ou bien encore d’évaluer. Un exemple…

Comment construire une progression cohérente en résolution de problèmes?

• La première rencontrée est donc celle de la lecture de l’énoncé et de la compréhension du vocabulaire spécifique utilisé. Il arrive parfois que certains mots aient une signification différente en mathématiques et en français.

• Il faut ne pas perdre de vue que les problèmes doivent rester des problèmes authentiques.

• Un exemple, pour le vocabulaire à aborder….

Quelles difficultés rencontrez-vous dans vos classes en résolution de problèmes ? (1)

Problèmes additifs ou soustractifs Exemple de vocabulaire spécifique étudié

Exemple :

Dans la classe, il y a 15 filles et 7

garçons. Combien y a-t-il d’élèves au

total ?

Au total, et, en tout, tous, le tout

Exemple :

Dans la classe des CE2-CM1, il y a 21

élèves, dont 9 sont des filles. Combien y

a-t-il de garçons ?

Certains, dont, les autres, parmi, plusieurs

Problèmes multiplicatifs

Exemple :

J’ai 5 paquets de 8 crayons de couleur.

Combien ai-je de crayons au total ?Compte, paquets, boîtes, le double, le

triple

• La forme de l’énoncé.

• La représentation schématique et le choix de l’opération

• L’estimation du résultat.

• La phrase réponse

Quelles difficultés rencontrez-vous dans vos classes en résolution de problèmes ? (2)

• En atelier ?

ou

• Dans une séance précise identifiée chaque semaine ?

ou

• Tous les jours ?

• Quel format de séance ?

Quelle mise en œuvre pédagogique?

La séance type du problème du jour : • Pour mettre en place un tel rituel dans la classe, la notion de « format de séance » est très importante.

• Grâce à cela, après une explication de son « utilisation », les élèves se sentent à l’aise dans l’exercice qu’ils doivent effectuer, ils peuvent alors se concentrer pleinement dans la tâche complexe qu’est la résolution de problème.

Il faut tout d’abord présenter la situation problème

S’approprier l’énoncé, dans un premier temps seul, en surlignant les mots de vocabulaire, puis, en collectif.

Une fois le problème identifié (on peut entourer la forme interrogative ou injonctive), l’élève tente alors de le résoudre seul.

Grâce aux groupes hétérogènes ou homogènes mis en place, les élèves peuvent ensuite confronter leurs procédures.

Par groupe ou par deux, ils rédigent ensuite ensemble la phrase réponse.

Vient alors le moment de la mise en commun. (prendre en compte les procédures des différents groupes : rapprocher celles identiques, confronter celles qui sont différentes et analyser les erreurs.)

Pour clore la séance, les enfants doivent colorier les cases correspondantes au schéma, au calcul et à la phrase réponse (s’auto-évaluer).

Problèmes additifs ou

soustractifs Schématisation

Calculs

correspondants

Exemple :

Dans la classe, il y a 15 filles

et 7 garçons. Combien y a-t-il

d’élèves au total ?

…..+……=…….

Exemple :

Dans la classe des CE2-CM1,

il y a 21 élèves, 9 sont des

filles. Combien y a-t-il de

garçons ?

……+ = …..

…… - ….. =

Problèmes multiplicatifs

Exemple :

J’ai 5 paquets de 8 crayons

de couleur. Combien ai-je de

crayons au total ?

…+…+…+….+….=…

….. x …..= ……

• Les leçons ?

• Les affichages ?

• Autre…..?

• Un classeur d’aide : Ce classeur est

composé de schémas et de calculs à

compléter (créer en groupe classe) :

• http://irem.univ-reunion.fr/spip.php?rubrique179

Quels outils utiliser ?

Merci de votre attention.A vous, maintenant de le mettre en œuvre dans la classe, de le faire évoluer, de le modifier, de noter vos réussites, vos difficultés etc… pour permettre un échange lors du retour en mars.

Bonne soirée