la quantité de mouvement du photon...la découverte de la quantité de mouvement du photon a permis...

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Chapitre 5.2 – La nature corpusculaire de la lumière

La quantité de mouvement du photon En 1905, Albert Einstein a réactualisé la notion corpusculaire de la lumière en introduisant la notion de photon comme étant la particule transportant l’énergie du champ électromagnétique. Puisque le photon est une particule, on peut lui attribuer une quantité de mouvement même si le photon ne possède pas de masse.

Représentation artistique d’un photon.

Avec l’équivalence masse-énergie, on peut maintenant définir la quantité de mouvement p comme étant la quantité d’énergie E transportée dans un mouvement ce qui peut être appliquée à un photon grâce à l’équation suivante :

c

Ep

γ=

où p : Quantité de mouvement du photon ( m/skg ⋅ )

γE : Énergie électromagnétique transportée par le photon (J)

c : Vitesse de la lumière ( m/s103 8×=c ) Preuve :

À partir de l’expression relativiste de l’énergie totale d’une particule, évaluons la relation existant entre l’énergie transportée par un photon et sa quantité de mouvement sachant que le photon est une particule sans masse :

42222 cmcpE += ⇒ 222 cpE = (Masse du photon nulle, 0=m )

⇒ pcE ±= (Appliquer une racine carrée de chaque côté)

⇒ c

Ep = (Isoler p)

La voile photonique La découverte de la quantité de mouvement du photon a permis à plusieurs scientifiques d’imaginer une nouvelle façon de voyager dans l’espace : la voile photonique. Basée sur la navigation maritime1, les collisions entre les photons et une voile permettraient par conservation de quantité de mouvement de propulser un vaisseau spatial. Les étoiles seraient alors la source du vent solaire.

Voile photonique.

1 Un bateau à voile est propulsé par les collisions des moléculaires d’air véhiculées par le vent.


Longueur d’onde et quantité de mouvement

La longueur d’onde λ et la quantité de mouvement p d’un photon peuvent être reliées ensemble grâce à la constante de Planck h de la façon suivante :

p

h=λ

où λ : Longueur d’onde du photon (m) p : Quantité de mouvement du photon ( m/skg ⋅ )

h : Constante de Planck ( sJ1063,6 34 ⋅× − )

icvvv

=

Rpv

Rλ

Bλ Bpv

Preuve :

À partir de la quantité de mouvement d’un photon, introduisons la définition du quanta d’énergie du photon :

cEp /= ⇒ ( ) chfp /= (Remplacer l’énergie du photon, hfE = )

⇒ phfc // = (Isoler c / f)

⇒ ph /=λ ■ (Remplacer fc /=λ )

La diffusion La diffusion (scattering) est la déviation que subit une radiation (lumière, ondes, particules) initialement rectiligne vers une ou plusieurs directions.

Diffusion réflexive :

Diffusion qui respecte la loi de la réflexion sans échange d’énergie.

Diffraction :

Diffusion dans plusieurs directions sans échange d’énergie dont la distribution angulaire dépend de la géométrie de la matière causant la diffusion.

Interaction :

Diffusion causée par une interaction fondamentale (électromagnétique, nucléaire, faible) où il y a échange d’énergie entre la radiation et le milieu en interaction.

http://www.cloudylabs.fr/wp/interactiongamma/


Les deux pics dans la diffusion de Compton

À partir de rayons X orientés sur un cristal de carbone, nous pouvons analyser la distribution spectrale des rayons diffusés.

Observations :

� Le dispositif de l’expérience permet de mesurer dans plusieurs directions (0o, 45 o, 90 o et 135 o) où la lumière incidente au cristal sera déviée.

� Le premier pic correspond à la diffraction de la radiation d’origine. Il n’y a pas de changement de longueur d’onde de la lumière d’origine λ.

� Le deuxième pic correspond à l’interaction de la radiation d’origine avec des électrons faiblement liés des atomes portant le nom de « diffusion

Compton ». Il y a changement de longueur d’onde de la lumière d’origine λ en longueur d’onde plus grande λ’ (donc lumière moins énergétique).

� Plus le dispositif est orienté pour mesurer une forte déviation, plus le 2e pic sera à plus grande longueur d’onde.

� Bien que la distribution énergétique de la lumière déviée sous plusieurs longueurs d’onde dépende de l’angle de déviation, ce calcul dépassera l’analyse réalisé dans ce cours.

� La diffusion de Compton permettra d’expliquer uniquement la nature des deux pics. C’est avec d’autres types d’interactions lumière-matière que l’on pourrait expliquer la présence des autres longueurs d’ondes (exemple : Noyau-lumière).


L’effet Compton Le comportement corpusculaire du photon et l’hypothèse de la quantification de l’énergie du photon par la longueur d’onde furent vérifiés expérimentalement en 1923 par Arthur Holly Compton pour l’observation de la diffusion du photon sur un électron. Cette expérience appelée « effet

Compton » met en lien le transfert d’énergie d’un photon lorsqu’il entre en collision avec un électron libre (ou très faiblement lié à un atome). La perte d’énergie se résulte en une augmentation de la longueur d’onde du photon (diminution de la fréquence). Compton fut récompensé par le prix Nobel de physique en 1927 pour cette découverte.

A.H. Compton (1892-1962)

L’expérience démontre qu’il y aura déviation de la trajectoire d’un photon d’un angle θ en fonction de la variation de la longueur d’onde λ entre le photon avant et après la collision :

( )( )θλλ cos1e

−=−cm

hif

où iλ : Longueur d’onde initiale du photon (m)

fλ : Longueur d’onde finale du photon (m)

θ : Angle de déviation du photon initial. h : Constante de Planck ( sJ1063,6 34 ⋅× − )

em : Masse de l’électron ( kg1011,9 31−× )

c : Vitesse de la lumière ( m/s103 8×=c )

c

v

c

θ

iλ

fλ

Ce schéma est exagéré, car la variation de longueur d’onde λf – λi est très peu prononcée pour la lumière visible, car h/mec = 2,426 x 10-12 m. L’effet Compton

devient plus remarquable chez les photons à haute fréquence comme le rayonnement X et gamma.

et Cλ : Longueur d’onde de Compton ( m10426,2 12

eC

−×==cm

hλ )

P.S. Pour passer d’un photon de type rayon-X ( m101 11−×≈ ) à un photon rouge ( m10650 9−×≈ ), il faut un minimum de 133 964 diffusions de Compton.

Preuve :

Dans le référentiel d’un laboratoire, effectuons une interaction de type « collision » entre un photon et un électron immobile. Lors de cette interaction, il y a conservation de la quantité de mouvement ∑∑ = if pp

vv et conservation de l’énergie ∑∑ = if EE où l’énergie de

l’électron 42222 cmcpE += doit être considérée sous sa forme relativiste :

Avant la collision : Après la collision :

1λ

1pv

x

y

e

pv

2pv

θ

φ

2λ


Appliquons la conservation de la quantité de mouvement selon l’axe x :

∑∑ = ixfx pp (Conservation de xp )

⇒ ( ) ( ) 12 coscos ppp e =+ φθ (Décomposition selon l’axe x)

⇒ ( ) ( )θφ coscos 21 pppe −= (Isoler ( )φcosep )

⇒ ( ) ( ) ( )θθφ 22221

21

22 coscos2cos pppppe +−= (1) (Mettre l’équation au carré)

Appliquons la conservation de la quantité de mouvement selon l’axe y :

∑∑ = iyfy pp

⇒ ( ) ( ) 0sinsin2 =+ φθ epp (Conservation de yp )

⇒ ( ) ( )θφ sinsin 2ppe −= (Isoler ( )φsinep )

⇒ ( ) ( )θφ 222

22 sinsin ppe = (2) (Mettre l’équation au carré)

Effectuons l’addition de l’équation (1) et (2) et factorisons le terme 2ep et 2

2p . Par la suite, appliquons

l’identité trigonométrique 1sincos 22 =+ αα :

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]θθθφφ 222

22221

21

2222 sincoscos2sincos ppppppp ee ++−=+ ((1) + (2))

⇒ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )θθθφφ 222221

21

222 sincoscos2sincos ++−=+ pppppe (Factoriser )

⇒ ( ) 2221

21

2 cos2 pppppe +−= θ (3) (Identité)

Appliquons maintenant la conservation de l’énergie :

∑∑ = if EE

⇒ iefe EEEE +=+ 12 γγ (Énergie du photon et de l’électron)

⇒ iefe EcpEcp +=+ 12 (Énergie du photon : pcE =γ )

⇒ 42221

42222 cmcpcpcmcpcp eieefe ++=++ (Énergie rel. : 42222 cmcpE += )

⇒ 21

42222 cmcpcmcpcp eee +=++ ( 0=iep , efe pp = )

⇒ 221

4222cmcpcpcmcp eee +−=+ (Isoler la racine)

⇒ ( ) 221

4222cmppccmcp eee +−=+ (Factoriser c)

⇒ ( )( )2221

4222cmppccmcp eee +−=+ (Mettre au carré de chaque côté)

⇒ ( ) ( ) 4221

3221

24222 2 cmppcmppccmcp eeee +−+−=+ (Développer le terme au carré)

⇒ ( ) ( )212

212 2 ppcmppp ee −+−= (4) (Simplifier 42

cme et diviser par 2c )


Effectuons la soustraction entre l’équation (3) et (4) afin d’obtenir la relation désirée :

[ ] [ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]212

212

2212

122 2cos2 ppcmpppppppp eee −+−−+−=− θ ((3) - (4))

⇒ ( ) ( ) ( )212

212

2212

1 2cos20 ppcmpppppp e −−−−+−= θ (Simplifier)

⇒ ( ) ( ) ( )212

2212

12

2212

1 22cos20 ppcmpppppppp e −−+−−+−= θ (Dév. le carré)

⇒ ( ) ( )212121 22cos20 ppcmpppp e −−+−= θ (Simplifier)

⇒ ( )( ) ( )2121 2cos120 ppcmpp e −−−= θ (Factoriser 212 pp )

⇒ ( ) ( )( )θcos122 2121 −=− ppppcme (Changer l’égalité)

⇒ ( )( )θcos12121 −=−

cm

pppp

e

(Diviser par cme2 )

⇒ ( )( )

( )( )θλλ

λλcos1

// 21

21

−=−cm

hhhh

e

(Remplacer λ

hp = )

⇒ ( )( )θλλλλ

cos1111

2121

−=−cm

h

e

(Simplifier h)

⇒ ( )( )θλλ cos112 −=−cm

h

e

(Multiplier par 21λλ )

⇒ ( )( )θλλ cos1−=−cm

h

e

if ■ (Remplacer 2λλ =f et 1λλ =i )

Situation 1: L’effet Compton. Un photon dont la longueur d’onde est de 7,1 × 10-11 m entre en collision avec un électron immobile et dévie de 70o par rapport à la trajectoire qu’il aurait suivie s’il n’avait pas été dévié. On désire déterminer (a) la longueur d’onde du photon après avoir été dévié, (b) le module de la vitesse acquise par l’électron et (c) son orientation. Évaluons la longueur d’onde du photon diffusé par l’effet de Compton :

( )( )θλλ cos1e

−=−cm

hif ⇒ ( )

( )( )( )( )°−

××

×=×−

−

−− 70cos1

1031011,9

1063,6101,7

831

3411

fλ

⇒ m102596,7 11−×=fλ (a)


Évaluons l’énergie du photon avant et après la diffusion afin d’évaluer sa perte en énergie. Cette variation sera égale à l’énergie cinétique de l’électron en considérant qu’il était immobile avant la diffusion :

γEK ∆−= ⇒ ( )if EEK γγ −−= ( if EEE −=∆

⇒ fi EEK γγ −= (Distribuer négatif)

⇒ fi hfhfK −= ( hfE =γ )

⇒

−

=

fi

ch

chK

λλ ( fc /=λ donc λ/cf = )

⇒

−=

fi

hcKλλ

11 (Factoriser hc)

⇒ ( )( )( ) ( )

×−

×××=

−−

−

1111834

102596,7

1

101,7

11031063,6K (Remplacer)

⇒ J101588,6 17−×=K (Évaluer K) Supposons que notre électron est non-relativiste, nous pouvons évaluer sa vitesse à l’aide de l’expression classique de l’énergie cinétique :

2

2

1mvK = ⇒ ( ) ( ) 23117 1011,9

2

1101588,6 v

−− ×=× (Remplacer)

⇒ m/s101628,1 7×=v (Évaluer v)

⇒ cv 03876,0= (b) (v avec m/s103 8×=c )

Puisque la vitesse de l’électron est une petite fraction de la vitesse de la lumière, on peut confirmer que l’électron est non-relativiste. Appliquons la conservation de la quantité de mouvement selon l’axe y afin d’évaluer l’orientation de la vitesse de l’électron après la diffusion du photon :

∑∑ = iyfy pp

⇒ iyiyfyfy pppp ee +=+ γγ

⇒ ( ) ( ) ( )00sinsin e +=−+

φθ

λvm

h

f

( ee mvp = , classique)

⇒ ( )

( )( ) ( )( ) ( )0sin101628,11011,970sin

102596,7

1063,6 73111

34

=××−°×

× −

−

−

φ (Remplacer)

⇒ ( ) 8101,0sin =φ ⇒ °= 106,54φ (Évaluer φ )


Expérience de Pound-Rebka En 1960, Robert Pound et Glen Rebka réalisent une expérience pour mesurer le changement de fréquence d’une source de lumière à 4,739×1014 Hz (633 nm) en fonction d’un déplacement verticale dans un champ gravitationnel constant sur une distance de 22 m. Il mesure une différence de fréquence d’environ 720 Hz.

On peut interpréter l’expérience comme étant la chute d’un photon dans la gravité. Le « changement d’énergie gravitationnelle » Ug

même sans masse est convertie en énergie électromagnétique hf puisque le photon ne peut pas changer son énergie cinétique K en raison de sa vitesse constante et qu’il n’a pas d’inertie (pas de masse). L’équivalence masse-énergie d’Albert Einstein est nécessaire pour donner un sens à l’énergie potentielle gravitationnelle du photon :

fyc

gf

+= 21'

(y = 0 à l’endroit où f ’ est mesurée)

http://astro.physics.uiowa.edu/~rlm/mathcad/addendum%2010%20gravitational%20redshift%2

0and%20time%20dilation.htm

Changement de la fréquence f de la lumière en fonction de sa position dans le champ

gravitationnel terrestre. Un photon se déplacent vers le haut diminue sa fréquence.

où 'f : Fréquence de la lumière mesurée à la coordonnée y = 0 après le déplacement vertical (Hz).

f : Fréquence de la lumière émise initialement à la coordonnée y (Hz).

y : Hauteur initiale de la lumière (m). (vers le haut : 0<y , vers le bas : 0>y )

g : Champ gravitationnel constant (N/kg).

c : Vitesse de la lumière, m/s103 8×=c .

Preuve :

Évaluons la variation de l’énergie potentielle gravitationnelle gU∆ que l’on pourrait attribuer à un

mouvement vertical y∆ d’un photon dans un champ gravitationnel constant Ce changement de hauteur pourra modifier la fréquence f du photon par conservation d’énergie. Nous utiliserons l’équivalence masse-énergie 2

mcE = pour réaliser la preuve :

if EE = ⇒ igifgf UEUE +=+ γγ ( gUEE += γ )

⇒ ( ) ( ) ( ) ( )iiifff ygmhfygmhf +=+ ( hfE =γ , mgyU g = )

⇒ ( )ygmhfhf iif += (Posons 0=fy , yyi = )

⇒ ygc

Ehfhf

i

if

+=

2

γ ( 2mcE = ⇒

2c

Em = )

⇒ ( )

ygc

hfhfhf i

if 2+= (Remplacer ii hfE =γ )

⇒ if fyc

gf

+=

21 ■ (Simplifier h, factoriser if )


Le décalage vers le rouge gravitationnel Le décalage vers le rouge gravitationnel (gravitational

redshift) est un effet de la relativité générale sur l’évolution de la longueur d’onde de la lumière lorsque celle-ci voyage dans un espace où la gravité n’est pas constante. La lumière quittant une forte gravité doit augmenter sont énergie potentielle gravitationnelle gU ce qui réduit sont

énergie électromagnétique hf par conservation de l’énergie résultant en une diminution de sa fréquence :

b2r

21 f

Rc

GMf

−=

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9

calage_d%27Einstein

Émission de lumière bleu et décalage vers le rouge de celle-ci en raison d’un déplacement dans un

champ gravitationnel non constant.

où rf : Fréquence de la lumière mesurée à une distance infinie de l’objet massif (Hz).

bf : Fréquence de la lumière émise à une distance R de l’objet massif (Hz).

R : Distance entre le site d’émission de la lumière et le centre de l’objet massif (m) M : Masse de l’objet générant le champ gravitationnel (kg).

G : Constante de la gravitation universelle, 2211 kgmN1067,6 ⋅×= −G .

c : Vitesse de la lumière, m/s103 8×=c .

Preuve :

En construction …

Remarque :

Certaine version de cette équation prend la forme de

b2r 1 fRc

GMf

−=

qui peut être démontrée comme dans la démonstration précédente en utilisant l’expression

r

GmMU g −=

pour l’énergie gravitationnelle. Cependant, cette démonstration néglige certain élément de la relativité générale.

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