la morphologie mathématique

26
La morphologie mathématique Chapitre II Chapitre La morphologie mathématique « Car tout ce que je raconte, je l’ai vu ; et si j’ai pu me tromper en le voyant, bien certainement je ne vous trompe point en vous le disant » 17 I

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Introduction à la morphologie mathématique

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Page 1: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

Chapitre

La morphologie mathématique

« Car tout ce que je raconte, je l’ai vu ; et si j’ai pu me tromper en le voyant,

bien certainement je ne vous trompe point en vous le disant »

-Lettres à Stendhal-

17

II

Page 2: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

La morphologie mathématique (MM) a été conçue au milieu des années 60 à l’ENSMP, au

laboratoire de Fontainebleau. Les inventeurs principaux ont été Georges Matheron et son étudiant

en thèse Jean Serra.

La morphologie mathématique fut introduite dans le but initialement de mesurer des objets

binaires dans des images. Rapidement, elle est devenue une théorie complète basée sur des

ensembles. Elle est aujourd'hui très couramment utilisée en traitement d'image dans des phases de

prétraitement telles que le lissage, le débruitage, la détection de contours, l'extraction de primitives

ou de squelettes. La morphologie est basée sur l’utilisation d’opérateurs sur les ensembles

(intersection, union, inclusion, complément) pour transformer une image. L’image transformée

possède généralement moins de détails, mais ses principales caractéristiques restent présentes. Une

fois l’image simplifiée, elle devient plus propice à l’analyse [O.Déforges].

Bien qu'elle ne soit pas limitée au traitement des images, la morphologie mathématique y

trouve un immense champ d'applications. Cette technique repose sur le principe consistant à

comparer des structures inconnues (les images que l'on étudie) à un ensemble de formes, les

éléments structurants, dont on maîtrise les caractéristiques. La comparaison est effectuée au travers

de relations booléennes telles l'intersection ou l'inclusion.

Nous consacrons ce chapitre à la morphologie mathématique : concepts théoriques et

applications en traitement d’images.

II.1 Morphologie Mathématique : problématique

18

Introduction

Page 3: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

Avant de présenter les éléments constituant la morphologie mathématique, nous mettrons en

évidence ses objectifs [ S.Mav & O.Cou] qui interviennent dans l’élimination du bruit(figure II.1.a)

par les techniques de filtrage et d’analyse basée sur des théories ensemblistes et algébriques ; la

séparation de deux composantes (figure II.1.b) en appliquant un certain nombre de filtres qui

permettent de modifier la forme et la topologie des structures dans l’image et enfin comparer deux

formes (figure II.1.c) en utilisant un élément de référence qui est l’élément structurant.

Figure II .1 : Problèmes résolus dans la MM

Comme définition de la morphologie mathématique, nous avons retenu celle de J. Piaget :

« L’action commence par conférer aux objets des caractères qu’ils ne possédaient pas par eux-

mêmes, et l’expérience porte sur la liaison entre les caractères introduits par l’action dans l’objet

et non pas sur les propriétés antérieures de celui-ci »

II.2 Principes de la morphologie mathématique

Le principe de base de la morphologie mathématique est de comparer les objets d’une image

X à un objet B de référence, de taille et de formes données. Cet objet de référence s’appelle

l’élément structurant. A partir des opérations élémentaires qui sont la dilatation et l’érosion, on peut

construire des outils plus avancés, tels que l’ouverture et la fermeture. L’application itérative de tels

filtres permet de définir des opérations plus complexes telles que le squelette, l’amincissement,

l’épaississement, l’érosion ultime, l’ouverture par reconstruction. Ces opérations peuvent être

appliquées à des images binaires ou en niveau de gris.

II.2.1 Notions élémentaires

19

(a) (b) (c)

Page 4: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

II.2.1.1 Voisinage

On appelle un n-voisinage, l’ensemble des n pixels qui entourent le pixel central p (i, j) dans

toutes les directions possibles.

Figure II .2 : pixels et voisinage

II.2.1.2 Connexité

Un ensemble E est connexe si, pour tout couple de points (A, B) de cet ensemble, il existe au

moins un chemin continu de E qui relie A à B ; illustré dans figure II.3.   

Figure II .3: Espace connexe

II.3 Transformation morphologique, élément Structurant 

La transformation morphologique modifie la valeur d’un pixel de l’image

en fonction de la valeur de ses voisins. Pour cela, on utilise un élément

structurant, qui est un ensemble particulier de centre x, de géométrie et de taille connues.

L’élément structurant est déplacé de façon à ce que son centre x passe successivement par toutes les

positions possibles dans l'image et on se pose une question relative à l'union ou à l'intersection de

l'élément structurant avec les objets de l'image. L’ensemble des points correspondant à une

réponse positive permet de construire une nouvelle image résultat.

20

Pixel courant

Voisinage 5x3

Page 5: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

Figure II.4 : Eléments structurants

II.4 Morphologie Binaire (Cas ensembliste)

Dans ce qui suit, on se réfère à [I.Bloch] [Fil & Had, 00] [JM.Vézien, 09] [G.Almouzni, 10]

II.4.1 Image binaire

Une image binaire, c'est une image qui n'a que deux couleurs : le noir « 0 » et le blanc « 1 ».

On appelle binarisation, le fait de transformer une image en niveau de gris (dimension 255) en une

image binaire (dimension 2). Il existe de très nombreux algorithmes de binarisation ; on peut citer :

le seuillage et le seuillage inverse. On choisit un seuil : c'est un niveau de gris qui va nous

permettre de prendre une décision ; on parcourt l’image :

- Si le pixel sur lequel on se trouve est plus clair que le seuil, il devient blanc.

- Sinon, il devient noir.

Pour le seuillage inverse, c'est le contraire : si le pixel est plus clair que le seuil, il devient

noir, sinon, il devient blanc. Pour binariser l’image de la figure

II.5 (a), on s’est fixé deux seuils :

S1= 0 et S2 = 100. Ainsi, à tous les niveaux de gris égaux ou

compris

entre 0 et 100

on a attribué

la valeur 0

et à ceux supérieurs à 100, la valeur 1.

21

Fenêtre 3X3 Continu Discret

167

135

193

75 100

185

155

200

140

143

125

60 170

55 107

85

102

185

194

127

40 175

190

102

116

135

180

185

174

120

155

174

98 166

155

185

80 124

105

176

144

78 64 205

145

179

175

125

115

120

70 182

135

178

185

70

175

80 100

135

78 165

100

50

1 1 1 0 0 1 1 11 1 1 0 1 0 1 01 1 1 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 0 1 1 11 0 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 01 0 0 1 0 1 0 0

Page 6: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

Figure II.5 : Seuillage 

Plaçons nous dansE=Z2, souvent utilisé comme modélisation du support des images binaires

à deux dimensions, même si tout ce qui est présenté dans cette section reste valable dansRn, où n est

un entier strictement positif.

II.4.2 La réflexion

On introduit le symétrique d'un ensemble,

noté B̂ par : B̂= {x=−b , bϵB }, réflexion

de B.

Figure II.6 : Réflexion de B

II.4.3 Le complément et la différence ensembliste

Ac= {x∉ A }, complément de A.

A−B={x , x∈ A , x∉B}, la différence.

Figure II.7 : Complément et différence

II.4.4 L’addition et la soustraction de Minkowski 

{ X⊕Y={x+ y / x∈ X , y∈Y }X⊖B={z /∀ y∈ B , z− y∈ X }

22

Ac

B B̂

Page 7: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

II.4.5 L’érosion et la Dilatation

II.4.5.1 L’érosion 

L'érosion est issue de la soustraction ensembliste de Minkowski et définie

par :

E ( X , B )=X⊖ B̂={x /∀ y∈B , x− y∈ X }

Propriétés de l'érosion 

Opération locale car elle tient compte de son voisinage.

Croissante: si X ⊂ Y alors X⊖B ⊂ Y⊖B

Anti-extensive: X⊖ B ⊂ X

Distributive : (X∩Y)⊖ B = (X⊖B) ∩(Y⊖B)

X⊖ (B1 ∪B2) = (X⊖ B1)∩ (X⊖ B2)

Propriété d'itération: (X⊝ Bl)⊝ B2 = X⊖ (B1⊖ B2)

But : suppression des points blancs isolés.

Figure II.8 : Erosion :(a) Erosion par (c); (b) Erodé de (a) ; (c)

l’élément structurant carré 3 x 3 ;

(d) L’érosion par un disque

II.4.5.2 La Dilatation 

23

(b)

(d)(c)

1 1 11 1 11 1 1

Page 8: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

La dilatation de X par B est définie à partir de l'addition de Minkowski. Elle est

l'opération duale de l’érosion par rapport à la complémentation (dilatation =

érosion du complémentaire), définie par :

D ( X , B )=X⊕ B̂={x+ y /x∈X , y∈ B̂ }

Propriétés de la dilatation :

Croissante: si X ⊂Y alors X ⨁ B ⊂ Y ⨁ B

Extensive: X ⊂ X⨁B

Distributivité: (X∪ Y) ⨁ B = (X ⨁ B)∪ (Y ⨁ B)

X ⨁ (Bl ∪ B2) = (X ⨁ B1) ∪(X ⨁ B2)

Propriété d'itération: (X ⨁ Bl) ⨁ B2 = X ⨁ (B1 ⨁ B2)

But : suppression des points noirs isolés.

Figure II.9 : Dilatation : (a) Dilatation par (c); (b) Dilaté de

(a) ; (c) l’élément structurant carré 3x3 ;

(d) La dilatation par un disque

II.4.5.3 Algorithmes de dilatation et érosion

Pour la dilatation, on prend une fenêtre de taille nxn (n impair, exemple : n = 3). On effectue

pour chaque pixel le OU logique de ses (n2 - 1) voisins (c'est à dire tous les pixels de la fenêtre sauf

le point central).

24

(b)

(d)(c)

1 1 11 1 11 1 1

Début Pour tout point (x,y) de l'image IM Faire Calculer OU(x,y) : OU entre les (n2 - 1) voisins du point (x,y) central Si OU(x,y) alors WM[x,y] = VRAI /* OU(x,y) ≡ [OU(x,y) = VRAI] */ Sinon WM[x,y] = IM[x,y] /* Recopie */ Fsi Fp FinIM : image originale; WM : image traitée

Page 9: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

Figure II.10 : Algorithme de la dilatation

Pour l’érosion, on effectue cette fois le ET logique des (n2- 1) voisins du pixel courant :

Début Pour tout point (x,y) de l'image IM Faire Calculer ET(x,y) : ET entre les (n2 - 1) voisins du point (x,y) courant Si ET(x,y) alors WM[x,y] = IM[x,y] /* Recopie */ Sinon WM[x,y] = FAUX Fsi FpFinIM : image originale; WM : image traitée

Figure II.11 : Algorithme de l’érosion

II.4.6 L’ouverture et la fermeture  

II. 4.6.1 L’Ouverture 

L'ouverture de X par B notée XOB est le résultat d'une érosion de X par B,

suivie d’une dilatation de l'ensemble érodé par le même élément structurant.

XOB=(X⊖B) ⊕B

Propriétés de l'ouverture

Croissante: si X⊂Y alors XOB ⊂ YOB

Anti-extensive: XO B ⊂ X

Idempotente: [X O B] O B = X O B

II.4.6.2 La Fermeture : opération duale

La fermeture est le résultat d'une dilatation suivie d’une érosion en

utilisant le même élément structurant. Elle correspond à l’ouverture du

complémentaire de X.

X●B = (X⨁B)⊖ B

Propriétés de la Fermeture

Croissante: si X⊂Y alors X●B ⊂ Y●B

Extensive: X⊂ X●B

Idempotente: [X●B] ●B = X●B

25

Page 10: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

Figure II.12: Ouverture et fermeture :(a) Ouverture de l’image de la figure II.8 par un élément structurant

unitaire 3 x 3 ; (b) Fermeture de l’image de la figure II.8 par un élément structurant unitaire

3 x 3 ; (c) L’ouverture et la fermeture par un disque.

II. 4.6.3 Filtre alterné-séquentiel

Ce filtre est un filtre morphologique qui consiste à faire une succession d'ouvertures et de

fermetures. Plus précisément, en désignant par f l'image considérée, le Filtre Alterné Séquentiel

(ASF) est définie par :

ASF(f ) = ouverture (fermeture (f ))

II. 4.6.4 Conclusion 

La dilatation est utile pour boucher les trous mais augmente la taille de l'objet. On passe alors

une érosion pour revenir à la taille de départ. La dilatation a tendance à éclaircir l’image, tandis que

l’érosion a tendance à l’assombrir.

L’ouverture et la fermeture sont des filtres passe-bas, c’est à dire des filtres éliminant les

variations fortes (en + ou en -) du signal. Elles gardent à peu près constante l’intensité de l’image.

26

(a) (b)

(c)

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Page 11: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

II.5 Extension en niveau de gris 

Les opérations vues précédemment (érosion, dilatation, ouverture et fermeture) sont étendues

au niveau de gris des images par le calcul du minimum et du maximum pour l’érosion et la

dilatation respectivement. L’érosion d’une image I par un élément structurant B est

définie en un point par :

ϵ B( I ) ( x , y )=min{ I ( x+i , y+ j ) /(i , j)∈B }

La dilatation d’une image I par un élément structurant B est définie en un

point par :

δB=( I ) ( x , y )=max {I ( x−i , y− j ) /(i , j)∈B }

II.6 Le gradient morphologique

Le gradient morphologique ou gradient de Beucher a été défini [V.Risson,

01] comme la différence arithmétique entre la dilatation et l'érosion d'une

image par un élément structurant B. Ce gradient est noté ρ :

ρB ( f )=δB−εB

On peut voir dans cette équation que le gradient morphologique mesure la

différence maximale de niveau de gris entre les pixels du voisinage défini par

B.

Figure II.13 : Gradient de Beucher (trait continu) d’une fonction f (trait en pointillé)

On définit aussi les gradients morphologiques interne et externe qui

produisent des contours moins épais que le gradient de Beucher par :

Le gradient morphologique interne : ρB−¿=I −εB ¿

27

Page 12: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

Le gradient morphologique externe : ρB+¿=δB−I ¿

Avec I : l’image.

Figure II.14 : Gradient de Beucher interne et externe (trait continu) d’une fonction f (trait en pointillé)

II.7 Le Laplacien morphologique

Le Laplacien morphologique [L.Brun I] est le résidu des gradients morphologiques externes

et internes.

LB(I )=ρ¿¿¿ = δB+ε B – 2I

II.8 Le chapeau haut de forme

Le chapeau haut de forme (Top hat en anglais) est une transformation qui

permet de retrouver les informations éliminées par l'ouverture morphologique

ou la fermeture morphologique [V.Risson, 01] [S.Mav & O.Cou]. On définit la

transformation du chapeau haut de forme blanc (White top hat en anglais)

comme la différence algébrique entre la fonction de départ f et l'ouverture γ B ( f )

tel que :

WTH B ( f )=f −γ B ( f )

Figure II.15 : Chapeau haut de forme blanc WTH

Et de même on définit la transformation dual chapeau de forme noir (Black top

hat en anglais) qui est différence algébrique entre la fermeture ϕ B ( f ) et la

fonction de départ f comme :

28

Page 13: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

BTH B ( f )=ϕB ( f )−f

Figure II.16 : Chapeau haut de forme noir BTH

II.9 Transformation en tout ou rien, épaississement et

amincissement 

Soit une image I et deux éléments structurants A et B tels que A ∩ B =∅ ; en chaque point, on

pose la question : est-ce que A est inclus dans l’image tandis que, simultanément, B est inclus dans

le fond ? Si la réponse est oui, le point appartient à la transformée en tout-ou-rien (hit or miss

transform en anglais).

I⊗(A , B)={i∨Ai⊆ I , Bi⊆ I c } ¿ ε A(I) ∩ εB(I c)

En ajoutant le résultat de la transformation à l'ensemble initial on obtient un épaississement :

ep ( I )=I ∪(I⊗ ( A ,B ))

En enlevant le résultat de l'ensemble initial on obtient un amincissement :

aminc ( I )=I ( I ⊗ ( A , B ) ¿

Avec « \ » : différence ensembliste.

En prenant des suites d'amincissements, on peut réduire progressivement l'ensemble initial

(comme si on l'épluchait). De cette façon on peut calculer différents types de squelettes, dont des

squelettes homotopiques [Wikipédia].

II.10 Notions de topologie, de distance et de géodésie

II.10.1 Extrema régionaux

29

Page 14: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

On définit une zone plate d’une image comme l’ensemble de points ayant une intensité similaire et

de taille maximale ; un maximum régional d’une image est une zone plate qui n’est adjacente à

aucune zone plate d’intensité supérieure et un minimum régional d’une image est une zone plate qui

n’est adjacente à aucune zone plate d’intensité inférieure.

Figure II.17 : Les extrema régionaux

II.10.2 Transformée de distance

La transformée de distance d’un ensemble X est la fonction qui associe à chaque point p ∈ X

la plus courte distance entre ce point et le complémentaire de l’ensemble Xc [B.Naegel, 08], définie

par :

D ( X ) ( p )=min {d ( p ,q)/q∈ X c}

Les maxima régionaux de la transformée de distance marquent les points les plus éloignés du

bord d’un objet. Ces zones peuvent donc servir de marqueurs d’objets dans des algorithmes de

segmentation. Plus l'intensité lumineuse est claire, plus le point est éloigné des contours.

Figure II.18 : Transformée de distance

30

Maxima Régionaux

Minima Régionaux

Page 15: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

II.10.3 Transformations géodésiques

Les transformations géodésiques impliquent deux images : une image marqueur et une image

masque. L’image marqueur va être transformée de manière itérative, et ceci conditionnellement à

l’image masque. Un marqueur est tout simplement un ensemble de pixels marquant de façon sûre

une zone d’intérêt. Il s’obtient soit par l’interprétation humaine, soit comme résultat d’un

algorithme de détection (seuillage, érodé ultime (succession d’érosions)...). Comme il est rare

d’obtenir une détection optimale sur un objet en entier, le marqueur ne représente la plupart du

temps qu’une fraction de l’objet, d’où l’intérêt de la reconstruction géodésique, le concept des

transformations géodésiques est le fondement d’opérateurs très intéressants, les opérateurs

connexes, qui permettent de simplifier une image sans altérer ses contours.

II.10.3.1 Dilatation géodésique

Une boule géodésique Br(x) est la boule de centre x et de rayon r de la distance géodésique

dans X :

Br ( x )={y∈ X {d ¿X( x , y )≤ r }

Où dX est la distance géodésique conditionnellement à X et est égale à la longueur du plus court

chemin entre deux points de X en restant dans X, la dilatation conditionnelle DX de taille r, aussi

appelée dilatation géodésique, consiste à effectuer la dilatation de Y dans X par la boule géodésique

de rayon r :

DX (Y, Br) = [D (Y, B1)∩ X ¿r

II.10.3.2 Reconstruction géodésique par dilatation

La reconstruction géodésique par dilatation est obtenue par itération de la dilatation

géodésique de F relativement à G jusqu’à stabilité :

RGδ ( F )=δG

(i )(F )

Où i est tel que : δG(i ) ( F )=δ G

(i+1 ) ( F ).

Dans le cadre des images binaires, la reconstruction géodésique par dilatation permet de conserver ou supprimer totalement des composantes connexes d’une image (voir figure II.19).

31

Page 16: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

Figure II.19 : Reconstruction géodésique ensembliste : (a) ensemble original, (b) ensemble marqueur en noir, (c) reconstruction géodésique par dilatation

II.11 Segmentation morphologique

Différentes méthodes de segmentation [S.Lefèvre, 08] sont utilisées, on peut citer les

nivellements, les profils morphologique différentiels, la ligne de partage des eaux…etc.

II.11.1 Opérateurs morphologiques de segmentation

II.11.1.1 Squelette

L’objectif de la squelettisation est de représenter un ensemble avec un minimum

d’information, sous une forme qui soit à la fois simple à extraire et commode à manipuler. Le

squelette peut être obtenu par [A.Manzanera] [G.Almouzni, 10] [F.Sarradin, 04] :

- calcul de la distance à la frontière : le squelette est l’ensemble des points qui sont des maxima

locaux (ligne de crêtes).

- amincissement : l’objet est assimilé à un oignon épluché couche par couche de façon itérative.

- simulation du feu de prairie.

32

Squelette

Objet

(c)

Page 17: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

Figure II.20 : Le squelette

Le squelette a comme propriétés de préserver la géométrie, son épaisseur est nulle et préserve la

topologie : même nombre de composantes connexes.

Un squelette (ou toute autre transformation) est dit homotopique s’il préserve les

caractéristiques de connexité, à savoir le nombre de composantes connexes et trous c'est-à-dire

qu’elle ne crée ni supprime des composantes ou des trous [Fil & Had, 00].

 Figure II.21 : Exemple de transformation non homotopique : (a) ensemble de connexité 1 ; (b) l’érodé de (a) est de connexité 2

Squelette de distance

Le squelette de distance [B.Naegel] d’un ensemble X est formé de tous les points p de X

qui sont centres d’une boule incluse dans X, maximale pour l’inclusion. Le squelette préserve

l’homotopie de l’objet : il conserve l’arborescence des composantes connexes de la figure et du

fond.

Figure II.22 : Le squelette de distance

Feu de prairie de Blum

33

(a) (b)

Page 18: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

En 1962, Blum propose de construire le squelette d’un ensemble en considérant un feu de

forêt démarrant aux bords de l’ensemble et se propageant à vitesse constante à l’intérieur de

l’ensemble. Le front de rencontre des flammes forme le squelette.

Figure II.23 : squelette par feu de forêt

II.11.1.2 Squelette par zone d’influence (SKIZ)

Définition du SKIZ

Considérons un compact X de R2. La zone d’influence de Xi de X est l’ensemble des points

du plan qui sont plus prés de Xi que de toute autre composante. Le SKIZ est alors la frontière de ces

zones d’influence [J.Serra, 00].

Figure II.24 : Le SKIZ

Construction du SKIZ

Nous introduisons tout d'abord les notions de distance géodésique et de zone d'influence

géodésique puis le squelette par zone d'influence géodésique SKIZ.

– Soit A un ensemble représentant un objet dans une image binaire, la distance géodésique

dA(x,y) entre deux points x et y de A est la borne inférieure des longueurs des chemins

allant de x vers y qui sont totalement inclus dans A. Si d désigne la distance euclidienne,

alors la distance géodésique vérifie toujours dA(x,y) ≥ d(x,y) .

– Soit B=¿ i=1¿k Bi⊂ A où les Bi constituent les composantes connexes de B. La zone

d'influence géodésique IZA(Bi) d'une composante connexe Bi de B dans l'ensemble A est le

34

Page 19: La morphologie mathématique

La morphologie mathématique Chapitre II

lieu des points de A dont la distance géodésique à la composante B i est inférieure à leur

distance géodésique à toute autre composante connexe de B (figure II.25) :

Figure II.25 : La zone d'influence géodésique de B1 à l’intérieur de A

IZ A ( Bi )={a∈ A ,∀ j∈ [1 , k ] ¿{i¿}, d A ( a ,Bi )<d A (a , B j ) }

Si B est connexe (k =I), IZA = A.

Les points n'appartenant à aucune zone d'influence géodésique car ils sont à une distance égale des

deux éléments de B. Ils constituent le squelette par zone d'influence géodésique de B dans A, noté

SKIZA(B) :

SKIZA(B)=A \ IZA(B) avec IZA(B) =¿ i∈[1 , k ] IZ A(Bi)

« \ » : la différence ensembliste.

Le squelette par zone d'influence géodésique de B dans A correspond en fait à la LPE pour la

fonction distance géodésique de B dans A.

II.12 Conclusion

La morphologie mathématique est une approche unique d'analyse et de traitement numérique

d'images. C'est un langage algébrique basé sur un ensemble théorique construit. La clarification de

ses concepts théoriques a permis de construire un ensemble de filtres morphologiques. Les

opérations de morphologie mathématique présentées dans ce chapitre sont des outils de base qui

permettent essentiellement l’amélioration de la segmentation d’images. Le chapitre suivant est

dédié à la segmentation par la ligne de partage des eaux.

35