la morphologie mathématique
DESCRIPTION
Introduction à la morphologie mathématiqueTRANSCRIPT
La morphologie mathématique Chapitre II
Chapitre
La morphologie mathématique
« Car tout ce que je raconte, je l’ai vu ; et si j’ai pu me tromper en le voyant,
bien certainement je ne vous trompe point en vous le disant »
-Lettres à Stendhal-
17
II
La morphologie mathématique Chapitre II
La morphologie mathématique (MM) a été conçue au milieu des années 60 à l’ENSMP, au
laboratoire de Fontainebleau. Les inventeurs principaux ont été Georges Matheron et son étudiant
en thèse Jean Serra.
La morphologie mathématique fut introduite dans le but initialement de mesurer des objets
binaires dans des images. Rapidement, elle est devenue une théorie complète basée sur des
ensembles. Elle est aujourd'hui très couramment utilisée en traitement d'image dans des phases de
prétraitement telles que le lissage, le débruitage, la détection de contours, l'extraction de primitives
ou de squelettes. La morphologie est basée sur l’utilisation d’opérateurs sur les ensembles
(intersection, union, inclusion, complément) pour transformer une image. L’image transformée
possède généralement moins de détails, mais ses principales caractéristiques restent présentes. Une
fois l’image simplifiée, elle devient plus propice à l’analyse [O.Déforges].
Bien qu'elle ne soit pas limitée au traitement des images, la morphologie mathématique y
trouve un immense champ d'applications. Cette technique repose sur le principe consistant à
comparer des structures inconnues (les images que l'on étudie) à un ensemble de formes, les
éléments structurants, dont on maîtrise les caractéristiques. La comparaison est effectuée au travers
de relations booléennes telles l'intersection ou l'inclusion.
Nous consacrons ce chapitre à la morphologie mathématique : concepts théoriques et
applications en traitement d’images.
II.1 Morphologie Mathématique : problématique
18
Introduction
La morphologie mathématique Chapitre II
Avant de présenter les éléments constituant la morphologie mathématique, nous mettrons en
évidence ses objectifs [ S.Mav & O.Cou] qui interviennent dans l’élimination du bruit(figure II.1.a)
par les techniques de filtrage et d’analyse basée sur des théories ensemblistes et algébriques ; la
séparation de deux composantes (figure II.1.b) en appliquant un certain nombre de filtres qui
permettent de modifier la forme et la topologie des structures dans l’image et enfin comparer deux
formes (figure II.1.c) en utilisant un élément de référence qui est l’élément structurant.
Figure II .1 : Problèmes résolus dans la MM
Comme définition de la morphologie mathématique, nous avons retenu celle de J. Piaget :
« L’action commence par conférer aux objets des caractères qu’ils ne possédaient pas par eux-
mêmes, et l’expérience porte sur la liaison entre les caractères introduits par l’action dans l’objet
et non pas sur les propriétés antérieures de celui-ci »
II.2 Principes de la morphologie mathématique
Le principe de base de la morphologie mathématique est de comparer les objets d’une image
X à un objet B de référence, de taille et de formes données. Cet objet de référence s’appelle
l’élément structurant. A partir des opérations élémentaires qui sont la dilatation et l’érosion, on peut
construire des outils plus avancés, tels que l’ouverture et la fermeture. L’application itérative de tels
filtres permet de définir des opérations plus complexes telles que le squelette, l’amincissement,
l’épaississement, l’érosion ultime, l’ouverture par reconstruction. Ces opérations peuvent être
appliquées à des images binaires ou en niveau de gris.
II.2.1 Notions élémentaires
19
(a) (b) (c)
La morphologie mathématique Chapitre II
II.2.1.1 Voisinage
On appelle un n-voisinage, l’ensemble des n pixels qui entourent le pixel central p (i, j) dans
toutes les directions possibles.
Figure II .2 : pixels et voisinage
II.2.1.2 Connexité
Un ensemble E est connexe si, pour tout couple de points (A, B) de cet ensemble, il existe au
moins un chemin continu de E qui relie A à B ; illustré dans figure II.3.
Figure II .3: Espace connexe
II.3 Transformation morphologique, élément Structurant
La transformation morphologique modifie la valeur d’un pixel de l’image
en fonction de la valeur de ses voisins. Pour cela, on utilise un élément
structurant, qui est un ensemble particulier de centre x, de géométrie et de taille connues.
L’élément structurant est déplacé de façon à ce que son centre x passe successivement par toutes les
positions possibles dans l'image et on se pose une question relative à l'union ou à l'intersection de
l'élément structurant avec les objets de l'image. L’ensemble des points correspondant à une
réponse positive permet de construire une nouvelle image résultat.
20
Pixel courant
Voisinage 5x3
La morphologie mathématique Chapitre II
Figure II.4 : Eléments structurants
II.4 Morphologie Binaire (Cas ensembliste)
Dans ce qui suit, on se réfère à [I.Bloch] [Fil & Had, 00] [JM.Vézien, 09] [G.Almouzni, 10]
II.4.1 Image binaire
Une image binaire, c'est une image qui n'a que deux couleurs : le noir « 0 » et le blanc « 1 ».
On appelle binarisation, le fait de transformer une image en niveau de gris (dimension 255) en une
image binaire (dimension 2). Il existe de très nombreux algorithmes de binarisation ; on peut citer :
le seuillage et le seuillage inverse. On choisit un seuil : c'est un niveau de gris qui va nous
permettre de prendre une décision ; on parcourt l’image :
- Si le pixel sur lequel on se trouve est plus clair que le seuil, il devient blanc.
- Sinon, il devient noir.
Pour le seuillage inverse, c'est le contraire : si le pixel est plus clair que le seuil, il devient
noir, sinon, il devient blanc. Pour binariser l’image de la figure
II.5 (a), on s’est fixé deux seuils :
S1= 0 et S2 = 100. Ainsi, à tous les niveaux de gris égaux ou
compris
entre 0 et 100
on a attribué
la valeur 0
et à ceux supérieurs à 100, la valeur 1.
21
Fenêtre 3X3 Continu Discret
167
135
193
75 100
185
155
200
140
143
125
60 170
55 107
85
102
185
194
127
40 175
190
102
116
135
180
185
174
120
155
174
98 166
155
185
80 124
105
176
144
78 64 205
145
179
175
125
115
120
70 182
135
178
185
70
175
80 100
135
78 165
100
50
1 1 1 0 0 1 1 11 1 1 0 1 0 1 01 1 1 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 0 1 1 11 0 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 01 0 0 1 0 1 0 0
La morphologie mathématique Chapitre II
Figure II.5 : Seuillage
Plaçons nous dansE=Z2, souvent utilisé comme modélisation du support des images binaires
à deux dimensions, même si tout ce qui est présenté dans cette section reste valable dansRn, où n est
un entier strictement positif.
II.4.2 La réflexion
On introduit le symétrique d'un ensemble,
noté B̂ par : B̂= {x=−b , bϵB }, réflexion
de B.
Figure II.6 : Réflexion de B
II.4.3 Le complément et la différence ensembliste
Ac= {x∉ A }, complément de A.
A−B={x , x∈ A , x∉B}, la différence.
Figure II.7 : Complément et différence
II.4.4 L’addition et la soustraction de Minkowski
{ X⊕Y={x+ y / x∈ X , y∈Y }X⊖B={z /∀ y∈ B , z− y∈ X }
22
Ac
B B̂
La morphologie mathématique Chapitre II
II.4.5 L’érosion et la Dilatation
II.4.5.1 L’érosion
L'érosion est issue de la soustraction ensembliste de Minkowski et définie
par :
E ( X , B )=X⊖ B̂={x /∀ y∈B , x− y∈ X }
Propriétés de l'érosion
Opération locale car elle tient compte de son voisinage.
Croissante: si X ⊂ Y alors X⊖B ⊂ Y⊖B
Anti-extensive: X⊖ B ⊂ X
Distributive : (X∩Y)⊖ B = (X⊖B) ∩(Y⊖B)
X⊖ (B1 ∪B2) = (X⊖ B1)∩ (X⊖ B2)
Propriété d'itération: (X⊝ Bl)⊝ B2 = X⊖ (B1⊖ B2)
But : suppression des points blancs isolés.
Figure II.8 : Erosion :(a) Erosion par (c); (b) Erodé de (a) ; (c)
l’élément structurant carré 3 x 3 ;
(d) L’érosion par un disque
II.4.5.2 La Dilatation
23
(b)
(d)(c)
1 1 11 1 11 1 1
La morphologie mathématique Chapitre II
La dilatation de X par B est définie à partir de l'addition de Minkowski. Elle est
l'opération duale de l’érosion par rapport à la complémentation (dilatation =
érosion du complémentaire), définie par :
D ( X , B )=X⊕ B̂={x+ y /x∈X , y∈ B̂ }
Propriétés de la dilatation :
Croissante: si X ⊂Y alors X ⨁ B ⊂ Y ⨁ B
Extensive: X ⊂ X⨁B
Distributivité: (X∪ Y) ⨁ B = (X ⨁ B)∪ (Y ⨁ B)
X ⨁ (Bl ∪ B2) = (X ⨁ B1) ∪(X ⨁ B2)
Propriété d'itération: (X ⨁ Bl) ⨁ B2 = X ⨁ (B1 ⨁ B2)
But : suppression des points noirs isolés.
Figure II.9 : Dilatation : (a) Dilatation par (c); (b) Dilaté de
(a) ; (c) l’élément structurant carré 3x3 ;
(d) La dilatation par un disque
II.4.5.3 Algorithmes de dilatation et érosion
Pour la dilatation, on prend une fenêtre de taille nxn (n impair, exemple : n = 3). On effectue
pour chaque pixel le OU logique de ses (n2 - 1) voisins (c'est à dire tous les pixels de la fenêtre sauf
le point central).
24
(b)
(d)(c)
1 1 11 1 11 1 1
Début Pour tout point (x,y) de l'image IM Faire Calculer OU(x,y) : OU entre les (n2 - 1) voisins du point (x,y) central Si OU(x,y) alors WM[x,y] = VRAI /* OU(x,y) ≡ [OU(x,y) = VRAI] */ Sinon WM[x,y] = IM[x,y] /* Recopie */ Fsi Fp FinIM : image originale; WM : image traitée
La morphologie mathématique Chapitre II
Figure II.10 : Algorithme de la dilatation
Pour l’érosion, on effectue cette fois le ET logique des (n2- 1) voisins du pixel courant :
Début Pour tout point (x,y) de l'image IM Faire Calculer ET(x,y) : ET entre les (n2 - 1) voisins du point (x,y) courant Si ET(x,y) alors WM[x,y] = IM[x,y] /* Recopie */ Sinon WM[x,y] = FAUX Fsi FpFinIM : image originale; WM : image traitée
Figure II.11 : Algorithme de l’érosion
II.4.6 L’ouverture et la fermeture
II. 4.6.1 L’Ouverture
L'ouverture de X par B notée XOB est le résultat d'une érosion de X par B,
suivie d’une dilatation de l'ensemble érodé par le même élément structurant.
XOB=(X⊖B) ⊕B
Propriétés de l'ouverture
Croissante: si X⊂Y alors XOB ⊂ YOB
Anti-extensive: XO B ⊂ X
Idempotente: [X O B] O B = X O B
II.4.6.2 La Fermeture : opération duale
La fermeture est le résultat d'une dilatation suivie d’une érosion en
utilisant le même élément structurant. Elle correspond à l’ouverture du
complémentaire de X.
X●B = (X⨁B)⊖ B
Propriétés de la Fermeture
Croissante: si X⊂Y alors X●B ⊂ Y●B
Extensive: X⊂ X●B
Idempotente: [X●B] ●B = X●B
25
La morphologie mathématique Chapitre II
Figure II.12: Ouverture et fermeture :(a) Ouverture de l’image de la figure II.8 par un élément structurant
unitaire 3 x 3 ; (b) Fermeture de l’image de la figure II.8 par un élément structurant unitaire
3 x 3 ; (c) L’ouverture et la fermeture par un disque.
II. 4.6.3 Filtre alterné-séquentiel
Ce filtre est un filtre morphologique qui consiste à faire une succession d'ouvertures et de
fermetures. Plus précisément, en désignant par f l'image considérée, le Filtre Alterné Séquentiel
(ASF) est définie par :
ASF(f ) = ouverture (fermeture (f ))
II. 4.6.4 Conclusion
La dilatation est utile pour boucher les trous mais augmente la taille de l'objet. On passe alors
une érosion pour revenir à la taille de départ. La dilatation a tendance à éclaircir l’image, tandis que
l’érosion a tendance à l’assombrir.
L’ouverture et la fermeture sont des filtres passe-bas, c’est à dire des filtres éliminant les
variations fortes (en + ou en -) du signal. Elles gardent à peu près constante l’intensité de l’image.
26
(a) (b)
(c)
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
La morphologie mathématique Chapitre II
II.5 Extension en niveau de gris
Les opérations vues précédemment (érosion, dilatation, ouverture et fermeture) sont étendues
au niveau de gris des images par le calcul du minimum et du maximum pour l’érosion et la
dilatation respectivement. L’érosion d’une image I par un élément structurant B est
définie en un point par :
ϵ B( I ) ( x , y )=min{ I ( x+i , y+ j ) /(i , j)∈B }
La dilatation d’une image I par un élément structurant B est définie en un
point par :
δB=( I ) ( x , y )=max {I ( x−i , y− j ) /(i , j)∈B }
II.6 Le gradient morphologique
Le gradient morphologique ou gradient de Beucher a été défini [V.Risson,
01] comme la différence arithmétique entre la dilatation et l'érosion d'une
image par un élément structurant B. Ce gradient est noté ρ :
ρB ( f )=δB−εB
On peut voir dans cette équation que le gradient morphologique mesure la
différence maximale de niveau de gris entre les pixels du voisinage défini par
B.
Figure II.13 : Gradient de Beucher (trait continu) d’une fonction f (trait en pointillé)
On définit aussi les gradients morphologiques interne et externe qui
produisent des contours moins épais que le gradient de Beucher par :
Le gradient morphologique interne : ρB−¿=I −εB ¿
27
La morphologie mathématique Chapitre II
Le gradient morphologique externe : ρB+¿=δB−I ¿
Avec I : l’image.
Figure II.14 : Gradient de Beucher interne et externe (trait continu) d’une fonction f (trait en pointillé)
II.7 Le Laplacien morphologique
Le Laplacien morphologique [L.Brun I] est le résidu des gradients morphologiques externes
et internes.
LB(I )=ρ¿¿¿ = δB+ε B – 2I
II.8 Le chapeau haut de forme
Le chapeau haut de forme (Top hat en anglais) est une transformation qui
permet de retrouver les informations éliminées par l'ouverture morphologique
ou la fermeture morphologique [V.Risson, 01] [S.Mav & O.Cou]. On définit la
transformation du chapeau haut de forme blanc (White top hat en anglais)
comme la différence algébrique entre la fonction de départ f et l'ouverture γ B ( f )
tel que :
WTH B ( f )=f −γ B ( f )
Figure II.15 : Chapeau haut de forme blanc WTH
Et de même on définit la transformation dual chapeau de forme noir (Black top
hat en anglais) qui est différence algébrique entre la fermeture ϕ B ( f ) et la
fonction de départ f comme :
28
La morphologie mathématique Chapitre II
BTH B ( f )=ϕB ( f )−f
Figure II.16 : Chapeau haut de forme noir BTH
II.9 Transformation en tout ou rien, épaississement et
amincissement
Soit une image I et deux éléments structurants A et B tels que A ∩ B =∅ ; en chaque point, on
pose la question : est-ce que A est inclus dans l’image tandis que, simultanément, B est inclus dans
le fond ? Si la réponse est oui, le point appartient à la transformée en tout-ou-rien (hit or miss
transform en anglais).
I⊗(A , B)={i∨Ai⊆ I , Bi⊆ I c } ¿ ε A(I) ∩ εB(I c)
En ajoutant le résultat de la transformation à l'ensemble initial on obtient un épaississement :
ep ( I )=I ∪(I⊗ ( A ,B ))
En enlevant le résultat de l'ensemble initial on obtient un amincissement :
aminc ( I )=I ( I ⊗ ( A , B ) ¿
Avec « \ » : différence ensembliste.
En prenant des suites d'amincissements, on peut réduire progressivement l'ensemble initial
(comme si on l'épluchait). De cette façon on peut calculer différents types de squelettes, dont des
squelettes homotopiques [Wikipédia].
II.10 Notions de topologie, de distance et de géodésie
II.10.1 Extrema régionaux
29
La morphologie mathématique Chapitre II
On définit une zone plate d’une image comme l’ensemble de points ayant une intensité similaire et
de taille maximale ; un maximum régional d’une image est une zone plate qui n’est adjacente à
aucune zone plate d’intensité supérieure et un minimum régional d’une image est une zone plate qui
n’est adjacente à aucune zone plate d’intensité inférieure.
Figure II.17 : Les extrema régionaux
II.10.2 Transformée de distance
La transformée de distance d’un ensemble X est la fonction qui associe à chaque point p ∈ X
la plus courte distance entre ce point et le complémentaire de l’ensemble Xc [B.Naegel, 08], définie
par :
D ( X ) ( p )=min {d ( p ,q)/q∈ X c}
Les maxima régionaux de la transformée de distance marquent les points les plus éloignés du
bord d’un objet. Ces zones peuvent donc servir de marqueurs d’objets dans des algorithmes de
segmentation. Plus l'intensité lumineuse est claire, plus le point est éloigné des contours.
Figure II.18 : Transformée de distance
30
Maxima Régionaux
Minima Régionaux
La morphologie mathématique Chapitre II
II.10.3 Transformations géodésiques
Les transformations géodésiques impliquent deux images : une image marqueur et une image
masque. L’image marqueur va être transformée de manière itérative, et ceci conditionnellement à
l’image masque. Un marqueur est tout simplement un ensemble de pixels marquant de façon sûre
une zone d’intérêt. Il s’obtient soit par l’interprétation humaine, soit comme résultat d’un
algorithme de détection (seuillage, érodé ultime (succession d’érosions)...). Comme il est rare
d’obtenir une détection optimale sur un objet en entier, le marqueur ne représente la plupart du
temps qu’une fraction de l’objet, d’où l’intérêt de la reconstruction géodésique, le concept des
transformations géodésiques est le fondement d’opérateurs très intéressants, les opérateurs
connexes, qui permettent de simplifier une image sans altérer ses contours.
II.10.3.1 Dilatation géodésique
Une boule géodésique Br(x) est la boule de centre x et de rayon r de la distance géodésique
dans X :
Br ( x )={y∈ X {d ¿X( x , y )≤ r }
Où dX est la distance géodésique conditionnellement à X et est égale à la longueur du plus court
chemin entre deux points de X en restant dans X, la dilatation conditionnelle DX de taille r, aussi
appelée dilatation géodésique, consiste à effectuer la dilatation de Y dans X par la boule géodésique
de rayon r :
DX (Y, Br) = [D (Y, B1)∩ X ¿r
II.10.3.2 Reconstruction géodésique par dilatation
La reconstruction géodésique par dilatation est obtenue par itération de la dilatation
géodésique de F relativement à G jusqu’à stabilité :
RGδ ( F )=δG
(i )(F )
Où i est tel que : δG(i ) ( F )=δ G
(i+1 ) ( F ).
Dans le cadre des images binaires, la reconstruction géodésique par dilatation permet de conserver ou supprimer totalement des composantes connexes d’une image (voir figure II.19).
31
La morphologie mathématique Chapitre II
Figure II.19 : Reconstruction géodésique ensembliste : (a) ensemble original, (b) ensemble marqueur en noir, (c) reconstruction géodésique par dilatation
II.11 Segmentation morphologique
Différentes méthodes de segmentation [S.Lefèvre, 08] sont utilisées, on peut citer les
nivellements, les profils morphologique différentiels, la ligne de partage des eaux…etc.
II.11.1 Opérateurs morphologiques de segmentation
II.11.1.1 Squelette
L’objectif de la squelettisation est de représenter un ensemble avec un minimum
d’information, sous une forme qui soit à la fois simple à extraire et commode à manipuler. Le
squelette peut être obtenu par [A.Manzanera] [G.Almouzni, 10] [F.Sarradin, 04] :
- calcul de la distance à la frontière : le squelette est l’ensemble des points qui sont des maxima
locaux (ligne de crêtes).
- amincissement : l’objet est assimilé à un oignon épluché couche par couche de façon itérative.
- simulation du feu de prairie.
32
Squelette
Objet
(c)
La morphologie mathématique Chapitre II
Figure II.20 : Le squelette
Le squelette a comme propriétés de préserver la géométrie, son épaisseur est nulle et préserve la
topologie : même nombre de composantes connexes.
Un squelette (ou toute autre transformation) est dit homotopique s’il préserve les
caractéristiques de connexité, à savoir le nombre de composantes connexes et trous c'est-à-dire
qu’elle ne crée ni supprime des composantes ou des trous [Fil & Had, 00].
Figure II.21 : Exemple de transformation non homotopique : (a) ensemble de connexité 1 ; (b) l’érodé de (a) est de connexité 2
Squelette de distance
Le squelette de distance [B.Naegel] d’un ensemble X est formé de tous les points p de X
qui sont centres d’une boule incluse dans X, maximale pour l’inclusion. Le squelette préserve
l’homotopie de l’objet : il conserve l’arborescence des composantes connexes de la figure et du
fond.
Figure II.22 : Le squelette de distance
Feu de prairie de Blum
33
(a) (b)
La morphologie mathématique Chapitre II
En 1962, Blum propose de construire le squelette d’un ensemble en considérant un feu de
forêt démarrant aux bords de l’ensemble et se propageant à vitesse constante à l’intérieur de
l’ensemble. Le front de rencontre des flammes forme le squelette.
Figure II.23 : squelette par feu de forêt
II.11.1.2 Squelette par zone d’influence (SKIZ)
Définition du SKIZ
Considérons un compact X de R2. La zone d’influence de Xi de X est l’ensemble des points
du plan qui sont plus prés de Xi que de toute autre composante. Le SKIZ est alors la frontière de ces
zones d’influence [J.Serra, 00].
Figure II.24 : Le SKIZ
Construction du SKIZ
Nous introduisons tout d'abord les notions de distance géodésique et de zone d'influence
géodésique puis le squelette par zone d'influence géodésique SKIZ.
– Soit A un ensemble représentant un objet dans une image binaire, la distance géodésique
dA(x,y) entre deux points x et y de A est la borne inférieure des longueurs des chemins
allant de x vers y qui sont totalement inclus dans A. Si d désigne la distance euclidienne,
alors la distance géodésique vérifie toujours dA(x,y) ≥ d(x,y) .
– Soit B=¿ i=1¿k Bi⊂ A où les Bi constituent les composantes connexes de B. La zone
d'influence géodésique IZA(Bi) d'une composante connexe Bi de B dans l'ensemble A est le
34
La morphologie mathématique Chapitre II
lieu des points de A dont la distance géodésique à la composante B i est inférieure à leur
distance géodésique à toute autre composante connexe de B (figure II.25) :
Figure II.25 : La zone d'influence géodésique de B1 à l’intérieur de A
IZ A ( Bi )={a∈ A ,∀ j∈ [1 , k ] ¿{i¿}, d A ( a ,Bi )<d A (a , B j ) }
Si B est connexe (k =I), IZA = A.
Les points n'appartenant à aucune zone d'influence géodésique car ils sont à une distance égale des
deux éléments de B. Ils constituent le squelette par zone d'influence géodésique de B dans A, noté
SKIZA(B) :
SKIZA(B)=A \ IZA(B) avec IZA(B) =¿ i∈[1 , k ] IZ A(Bi)
« \ » : la différence ensembliste.
Le squelette par zone d'influence géodésique de B dans A correspond en fait à la LPE pour la
fonction distance géodésique de B dans A.
II.12 Conclusion
La morphologie mathématique est une approche unique d'analyse et de traitement numérique
d'images. C'est un langage algébrique basé sur un ensemble théorique construit. La clarification de
ses concepts théoriques a permis de construire un ensemble de filtres morphologiques. Les
opérations de morphologie mathématique présentées dans ce chapitre sont des outils de base qui
permettent essentiellement l’amélioration de la segmentation d’images. Le chapitre suivant est
dédié à la segmentation par la ligne de partage des eaux.
35