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La démonstration: un
levier pour RAISONNER
Journées pédagogiques
Avril - Mai 2019
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« Démontrer est une composante
fondamentale de l’activité
mathématique. Le programme identifie
quelques démonstrations exemplaires,
que les élèves découvrent selon des
modalités variées : présentation par le
professeur, élaboration par les élèves
sous la direction du professeur, devoirs
à la maison, etc. »
Extrait programme seconde (BO janvier 2019)
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Liste des démonstrations identifiées dans le programme de seconde.
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Nombres et calculs
- Le nombre rationnel 1
3n’est pas décimal.
- Le nombre réel 2 est irrationnel.
- Pour une valeur numérique de 𝑎, la somme de
deux multiples de 𝑎 est multiple de 𝑎.
- Le carré d’un nombre impair est impair.
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Nombres et calculs
Quels que soient les réels positifs 𝑎 et 𝑏, on a
𝑎 × 𝑏 = 𝑎 × 𝑏
Si 𝑎 et 𝑏 sont des réels strictement positifs,
𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + 𝑏
Pour 𝑎 et 𝑏 réels positifs, illustration géométrique de l’égalité (𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏2
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Géométrie
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
Le projeté orthogonal du point M sur une droite Δ est le point de la droite Δ le plus proche du point M.
Relation trigonométrique dans un triangle rectangle 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 + 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 1
En utilisant le déterminant, établir la forme générale d’une équation de droite.
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Fonctions
Étudier la position relative des courbes d'équation 𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 𝑥2; 𝑦 = 𝑥3
pour 𝑥 ≥ 0
Variations des fonctions carrée, inverse, racine carrée.
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mais d’autres démonstrations à ne pas oublier :
Formule de la distance entre deux points dans un repère orthonormé
Sens de variation des fonctions affines
….
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Pour les 4 démonstrations fléchées :
► En quoi ces démonstrations sont-ellesexemplaires?
► Quelles mises en œuvre ?
► Comment les réinvestir ?
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𝟐 n’est pas rationnel
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Le professeur seul au tableau ?
Supposons par l’absurde que 2 soit unnombre rationnel Il existe donc p et q entiers non nuls tels
que 𝑝
𝑞irréductible
on a 2 =𝑝
𝑞d’où 2 𝑞2 = 𝑝²
𝑝² est donc un nombre pair Donc 𝑝 est pair Donc 𝑞 est pair Cela contredit le fait que la fraction soitirréductible
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Des activités à réaliser en amont …SANS CALCULATRICE
► 2 est − il égal à17
12?
► 2 est − il égal à815
577?
►approche historique (voir compléments)
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Pourquoi exemplaire ?
• Mise en œuvre du raisonnement par l'absurde
• Le raisonnement par l'absurde est intéressant pour des problèmes du type :
« Montrer qu'il n'existe pas…. »
ou
« Montrer qu'il est impossible de ... »
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Réflexion sur le positionnement de cette démonstration …
Des notions à travailler en amont …
Pour comparer 2 nombres positifs, on peut comparer leur carré
Comment écrire un nombre pair ?
Comment écrire un nombre impair ?
Le carré d’un entier pair est pair
Le carré d’un nombre impair est impair
Si p² est pair , p peut il être impair ?
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Étudier la position relative des courbes d'équation :
𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 𝑥2; 𝑦 = 𝑥3
pour 𝑥 ≥ 0
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Devoir hors classe différenciéDeux versions
Correction : Exposé par un groupe / travail de l’oral
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Des notions à travailler en amont …
Vocabulaire et méthode autour des positions relatives
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Pourquoi exemplaire ?
• Mise en œuvre d’une méthode générique pour étudier la position relative de 2 courbes
• Factoriser pour étudier le signe d’une expression
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Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul
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• Le sens direct est réalisé par les élèves
• La réciproque : à la charge du professeurPeut être travaillée en amont sur des exemples afin de préparer la disjonction de cas …
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Pourquoi exemplaire ?
• Mise en œuvre d’un raisonnement par disjonction de cas
• Travail sur la logique (condition nécessaire et suffisante)
Réinvestissement dans la recherche d’équation cartésienne de droite.
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Le nombre rationnel 𝟏
𝟑
n’est pas décimal.
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Approche avec des exemples génériques :
• 1/3 est-il égal à 0,33?
• à 0,333?
• … à 0,333 333 3 ?
Etc …
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Pourquoi exemplaire ?
• Mise en œuvre de la démonstration sur des exemples génériques [point de vue de l’enseignant]
• Raisonnement par l’absurde
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A venir :
Un document ressource sur le raisonnement