LA CONSTRUCTION DU CONCEPT DE NOMBRE CHEZ UN ENFANT AYANT REÇU UN DIAGNOSTIC D’AUTISME

Mémoire

Isabelle Malouin

Maîtrise en psychopédagogie – adaptation scolaire

Maître ès arts (M.A.)

Québec, Canada

© Isabelle Malouin, 2014

iii

RÉSUMÉ

Le présent projet de recherche vise à décrire les progrès réalisés, par un élève autiste, dans

l‟apprentissage du concept de nombre en travaillant dans une pédagogie développementale

basée sur le jeu. On cherche à vérifier s‟il est possible de soutenir la construction du

concept de nombre chez les enfants ayant reçu un diagnostic d‟autisme sans utiliser les

méthodes béhavioristes habituelles, comme A.B.A. et T.E.A.C.C.H., mais plutôt en mettant

en place un projet d‟intervention pédagogique basé sur la littératie et le jeu.

Pour ce faire, une expérimentation a été réalisée auprès d‟un enfant autiste de 10 ans, à

raison de 3 heures par jour, pendant deux années scolaires, pour travailler, entre autres, la

construction du concept de nombre. La cueillette de données consiste en quatre entrevues

semi-dirigées portant sur des tâches mathématiques liées à la construction du nombre,

entrevues réalisées sur ces deux années pour vérifier l‟évolution de la compréhension de

l‟aspect ordinal et de l‟aspect cardinal du nombre chez l‟enfant. Les résultats indiquent, au

terme de ces deux années d‟intervention, que l‟enfant a progressé au niveau de sa

représentation du nombre.

v

TABLE DES MATIÈRES

RÉSUMÉ ........................................................................................................................................... iii

TABLE DES MATIÈRES .................................................................................................................. v

LISTE DES TABLEAUX .................................................................................................................. ix

LISTE DES FIGURES ....................................................................................................................... xi

AVANT-PROPOS ........................................................................................................................... xiii

INTRODUCTION .............................................................................................................................. 1

1. Problématique ......................................................................................................................... 3

1.1. L‟autisme ........................................................................................................................ 3

1.2. La scolarisation des enfants autistes................................................................................ 4

1.2.1.La méthode A.B.A. ................................................................................................ 5

1.2.2.La méthode T.E.A.C.C.H. ..................................................................................... 6

1.3. Les contextes d‟intervention privilégiés pour travailler le nombre ................................. 8

2. Cadre théorique ....................................................................................................................... 9

2.1. L‟abstraction ................................................................................................................. 11

2.1.1.Le nombre ............................................................................................................ 13

2.1.1.1 Aspect ordinal ........................................................................................ 16

2.1.1.2 Aspect cardinal ....................................................................................... 17

2.1.1.3 Opérations à construire ........................................................................... 18

2.1.1.3.1 La correspondance terme à terme ........................................... 18

2.1.1.3.2 La conservation ...................................................................... 20

2.1.1.3.3 Le comptage ........................................................................... 26

2.1.1.4 Autre procédure possible et difficultés reconnues.................................. 30

2.2. Question générale .......................................................................................................... 34

3. Approche d‟intervention pédagogique .................................................................................. 37

3.1. Idées maîtresses d‟une approche développementale ..................................................... 37

3.1.1. La complexité de la tâche ................................................................................... 37

3.1.2. Le sens des erreurs .............................................................................................. 38

3.1.3. La zone proximale de développement ................................................................ 38

3.2. Projet pédagogique d‟ensemble .................................................................................... 39

3.3. Contextes mathématiques aux fins du mémoire ............................................................ 40

3.3.1. Le calendrier ....................................................................................................... 40

vi

3.3.2. Les jeux de règles ............................................................................................... 43

3.3.2.1 Jeu de Cher Ours polaire … ................................................................... 44

3.3.2.2 Autres jeux pour favoriser la construction du concept de nombre ......... 45

4. Méthodologie......................................................................................................................... 49

4.1. But et objectifs de la recherche ..................................................................................... 49

4.2. Type d‟étude .................................................................................................................. 49

4.3. Sujet ............................................................................................................................... 50

4.4. Modalités et temps d‟intervention ................................................................................. 51

4.5. Collecte de données ....................................................................................................... 51

4.6. Protocole d‟entrevue semi-dirigée ................................................................................. 52

4.6.1. Description des items du protocole d‟entrevue ................................................... 53

4.6.1.1 Items portant sur l‟aspect ordinal du nombre ......................................... 53

4.6.1.1.1 Item 1 : Sériation d‟objets de tailles différentes ..................... 53

4.6.1.1.2 Item 2 : Sériation d‟objets faisant une course ......................... 54

4.6.1.2 Items portant sur l‟aspect cardinal du nombre ........................................ 54

4.6.1.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d‟objets identiques

(correspondance terme à terme) ............................................................. 54

4.6.1.2.2 Item 2 : Comparaison de collections d‟objets différents

(correspondance terme à terme) ............................................................. 56

4.6.1.2.3 Item 3 : Conservation de quantités continues ......................... 57

4.6.1.2.4 Item 4 : Conservation de quantités discontinues..................... 60

4.6.1.2.5 Item 5 : Comptage .................................................................. 61

4.6.1.2.6 Item 6 : Cardinalité ................................................................. 61

4.7. Plan d‟analyse des données ........................................................................................... 63

5. Analyses des résultats ............................................................................................................ 65

5.1. Évaluation 1 : Octobre 2011 .......................................................................................... 65

5.1.1. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre ....................... 65

5.1.1.1 Item 1 : Sériation d‟objets de tailles différentes ..................................... 65

5.1.1.2 Item 2 : Sériation d‟objets faisant une course ......................................... 67

5.1.2. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect cardinal du nombre ...................... 69

5.1.2.1 Item 1 : Comparaison de collections (correspondance terme à terme) ... 69

5.1.2.2 Item 2 : Conservation de quantités continues ......................................... 72

5.1.2.3 Item 3 : Conservation de quantités discontinues .................................... 75

5.1.2.4 Item 4 : Comptage .................................................................................. 80

vii

5.1.2.5 Item 5 : Cardinalité ................................................................................. 84

5.1.3. Synthèse de la compréhension de l‟enfant en octobre 2011 ............................... 88

5.2. Évaluation 2 : Mai 2012 ................................................................................................ 89

5.2.1. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre ....................... 90

5.2.1.1 Item 1 : Sériation d‟objets de tailles différentes ..................................... 90

5.2.1.2 Item 2 : Sériation d‟objets faisant une course ........................................ 92

5.2.2. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect cardinal........................................ 94

5.2.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d‟objets identiques (correspondance

terme à terme)..................................................................................................... 94

5.2.2.2 Item 2 : Conservation de quantités continues ......................................... 97

5.2.2.3 Item 3 : Conservation de quantités discontinues .................................. 102

5.2.2.4 Item 4 : Comptage ................................................................................ 106

5.2.2.5 Item 5 : Cardinalité ............................................................................... 109

5.2.3. Synthèse de la compréhension de l‟enfant en mai 2012 ................................... 114

5.3. Évaluation 3 : Février 2013 ......................................................................................... 115

5.3.1. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre ..................... 115

5.3.1.1 Item 1 : Sériation d‟objets de tailles différentes ................................... 115

5.3.1.2 Item 2 : Sériation d‟objets faisant une course ...................................... 117

5.3.2. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect cardinal du nombre ................... 120

5.3.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d‟objets identiques (correspondance

terme à terme)................................................................................................... 120

5.3.2.2 Item 2 : Comparaison de collections d‟objets différents (correspondance

terme à terme)................................................................................................... 124

5.3.2.3 Item 3 : Conservation de quantités continues ....................................... 126

5.3.2.4 Item 4 : Conservation de quantités discontinues .................................. 129

5.3.2.5 Item 5 : Comptage ................................................................................ 132

5.3.2.6 Item 6 : Cardinalité ............................................................................... 135

5.3.3. Synthèse de la compréhension de l‟enfant en février 2013 .............................. 140

5.4. Évaluation 4 : Juillet 2013 ........................................................................................... 141

5.4.1. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre ..................... 142

5.4.1.1 Item 1 : Sériation d‟objets de tailles différentes ................................... 142

5.4.1.2 Item 2 : Sériation d‟objets faisant une course ...................................... 144

5.4.2. Items vérifiant la compréhension de l‟aspect cardinal du nombre ................... 148

viii

5.4.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d‟objets identiques (correspondance

terme à terme) ................................................................................................... 148

5.4.2.2 Item 2 : Comparaison de collections d‟objets différents (correspondance

terme à terme) ................................................................................................... 153

5.4.2.3 Item 3 : Conservation de quantités continues ....................................... 155

5.4.2.4 Item 4 : Conservation de quantités discontinues .................................. 159

5.4.2.5 Item 5 : Comptage ................................................................................ 161

5.4.2.6 Item 6 : Cardinalité ............................................................................... 165

5.4.3. Synthèse de la compréhension de l‟enfant en juillet 2013 ................................ 171

6. Discussion ........................................................................................................................... 173

6.1. Synthèse des résultats .................................................................................................. 173

6.1.1. Sériation ............................................................................................................ 178

6.1.2. Correspondance terme à terme.......................................................................... 179

6.1.3. Conservation ..................................................................................................... 180

6.1.4. Comptage .......................................................................................................... 182

6.1.5. Cardinalité ......................................................................................................... 183

6.2. Les implications pédagogiques .................................................................................... 185

6.3. Les limites de l‟étude .................................................................................................. 186

6.4. Avenues prospectives .................................................................................................. 187

CONCLUSION ............................................................................................................................... 189

RÉFÉRENCES ................................................................................................................................ 191

ANNEXES ...................................................................................................................................... 195

ix

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 1 Organisation de la collection …………………………………………… 31

Tableau 2 Limite de la reconnaissance visuelle ………..…………………………… 32

Tableau 3 Problème lors de regroupements ………………………………............... 33

Tableau 4 Exemple de matériel utilisé pour faire un calendrier ……………............. 41

Tableau 5 Utilisation de divers jeux de règles commerciaux ………………………. 46

Tableau 6 Données collectées ………………………………………………............ 52

Tableau 7 Synthèse de la progression de l‟enfant ………………………………….. 175

xi

LISTE DES FIGURES

Figure 1 Schéma conceptuel de l‟émergence de la construction du nombre …………. 9

Figure 2 Relation inclusive des nombres jusqu‟à 4 …………………………………... 15

Figure 3 Collections de jetons éparpillés ………………………………....................... 19

Figure 4 Utilisation de la correspondance terme à terme pour comparer deux

collections …………………………………………………………………… 19

Figure 5 Item de conservation des quantités continues ……………………..………... 23

Figure 6 Collection initiale de jetons …………………………………………............ 24

Figure 7 Collection de jetons modifiée une première fois ……………………………. 24

Figure 8 Collection de jetons modifiée une deuxième fois …………………………... 25

Figure 9 Présentation des jetons par l‟expérimentateur ………………………………. 31

Figure 10 Échec à la reproduction d‟une rangée-modèle ……………………………… 34

Figure 11 Plateau du jeu Cher Ours polaire … ……………………………………….. 44

Figure 12 Sériation de cinq pailles réalisée en octobre 2011..………………………..... 66

Figure 13 Droites de projection imaginée ajoutées sur la sériation de cinq pailles…...... 66

Figure 14 Ordre des voitures faisant la course ………………………………………… 67

Figure 15 Comparaison de collections inégales de jetons ……………………………... 70

Figure 16 Comparaison de collections inégales de jetons après déplacement en octobre

2011 …………………………………………………………………………. 71

Figure 17 Première transformation effectuée avec la pâte à modeler …………............. 72

Figure 18 Deuxième transformation effectuée avec la pâte à modeler ………………... 73

Figure 19 Troisième transformation effectuée avec la pâte à modeler ………………… 74

Figure 20 Rangée d'images présentée à l'enfant lors de l'item 3 ………………………. 76

Figure 21 Construction d'une rangée équivalente en octobre 2011 ……………………. 76

Figure 22 Disposition des rangées pour la comparaison de collections et pour la

conservation des quantités discontinues en octobre 2011 …………………... 79

Figure 23 Première disposition de jetons à dénombrer ………………………………... 84

Figure 24 Seconde disposition de jetons à dénombrer ………………………………… 85

Figure 25 Troisième disposition de jetons à dénombrer ……………………………….. 87

xii

Figure 26 Sériation de pailles réalisée en mai 2012 …………………………………… 90

Figure 27 Déplacement des collections inégales en mai 2012 ………………………… 94

Figure 28 Construction d'une rangée équivalente en mai 2012 ………………………... 102

Figure 29 Disposition des rangées pour la comparaison de collections et pour la

conservation des quantités discontinues en mai 2012 ………………………. 104

Figure 30 Seconde disposition de jetons à dénombrer en mai 2012 …………………… 111

Figure 31 Sériation de cartons réalisée en février 2013 ……………………...………... 116

Figure 32 Alignement des coureurs en février 2013 …………………………………... 117

Figure 33 Comparaison de collections inégales d'objets identiques présentées à

l'enfant en février 2013 …………………………………………………….. 120

Figure 34 Comparaison de collections égales d'objets identiques présentées à l'enfant

en février 2013 ……………………………………………………………… 122

Figure 35 Comparaison de collections égales réduites d'objets identiques présentées à

l'enfant en février 2013 ……………………………………………………… 123

Figure 36 Comparaison de collections d'objets différents en février 2013 ……………. 125

Figure 37 Rangée d'images présentée à l'enfant en février 2013 ………………………. 129

Figure 38 Construction d'une rangée équivalente en février 2013 …………………….. 129

Figure 39 Modification des rangées en conservation des quantités discontinues en

février 2013 …………………………………………………………………. 131

Figure 40 Présentation d'une rangée de bâtonnets à l'enfant …………………….…... 135

Figure 41 Modification de la rangée de bâtonnets ………………………....................... 136

Figure 42 Cinq dames à habiller ……………………………………………………….. 138

Figure 43 Sériation de cartons réalisée en juillet 2013 ………………………............. 142

Figure 44 Alignement des coureurs en juillet 2013 …………………………………..... 145

Figure 45 Comparaison de collections inégales d'objets identiques présentées à

l'enfant en juillet 2013 ………………………………………………............. 149

Figure 46 Comparaison de collections égales d'objets identiques présentées à l'enfant

en juillet 2013 ………………………………………………………………. 151

Figure 47 Comparaison de collections d'objets différents en juillet 2013 ……………... 154

Figure 48 Rangée d'images présentée à l'enfant en juillet 2013 ……………………….. 159

Figure 49 Construction d'une rangée équivalente en juillet 2013 ……………………… 159

xiii

AVANT-PROPOS

Tout d‟abord, je voudrais remercier ma petite Marianne et sa famille d‟être passées dans ma

vie. Merci à vous, chers parents, de m‟avoir confiée ce que vous aviez de plus précieux.

Je voudrais exprimer ma profonde gratitude envers ma directrice de recherche, madame

Hélène Makdissi, pour la confiance qu‟elle a su me témoigner et pour m‟avoir confié un

projet de recherche si gratifiant! Merci Hélène de m‟avoir permis de réfléchir tout haut avec

toi, pour tes clins d‟œil, pour nos discussions ô combien formatrices, pour ton implication

et ton soutien sans borne, pour ton temps et pour la qualité de tes commentaires et de tes

conseils. Même si parfois j‟étais découragée devant leur ampleur, ils m‟ont aidée à

progresser et à devenir une meilleure intervenante. Je tiens à remercier ma codirectrice,

madame Izabella Oliveira. Muito obrigado! Vous avez réussi à convertir une linguiste et

m‟avez redonné le goût des mathématiques, ce n‟est pas rien! Merci également à madame

Andrée Boisclair d‟avoir bien voulu réfléchir avec nous et d‟avoir accepté de corriger ce

mémoire.

À mes amies et collègues de bureau, Alice, Camille, Claudia et Marie-Pierre, merci pour les

dîners divertissants et pour vos conseils. Un merci particulier à Marie-Pierre et Claudia de

m‟avoir soutenue et rassurée, soit pendant l‟année d‟intervention ou pendant celle de

rédaction. Merci à mon amie, linguiste et future orthophoniste, Marie-Hélène, pour les

périodes de détente et de loisir qui étaient nécessaires pour survivre à ce processus si

intense que nous vivions, chacune dans notre pavillon.

Je n‟aurais pu mener ce projet à terme sans le soutien de mes parents, Céline et Marc, et de

mon frère, Sébastien. Je sais que l‟aboutissement de mon projet vous tenait profondément à

cœur et vous m‟avez toujours démontré que vous croyiez en moi, même quand je ne le

faisais plus. À ma famille, merci d‟avoir compris la distance et le temps nécessaire à

l‟atteinte de mes rêves. Finalement, à celui qui partage ma vie, David, je veux te remercier

pour tes encouragements, ton objectivité, ta compréhension, ton soutien et ton amour lors

de ce long processus.

1

INTRODUCTION

Au Québec, les méthodes favorisées dans les écoles pour travailler avec les élèves autistes

sont les méthodes A.B.A. ( Applied Behavioral Analysis ) et T.E.A.C.C.H. ( Treatment and

Education of Autistic and related Communication handicapped CHildren ) (Lovaas, 1987;

Lovaas, Freitas, Nelson & Whalen, 1974; Rogers, 1998; Schopler, Brehm, Kinsbourne et

Reichler, 1971; Schopler, Reichler & Lansing, 1988). Ces deux méthodes sont très

inspirées du courant béhavioriste de la psychologie qui est basé sur un système de

récompenses et de punitions. Toutefois, plusieurs apprentissages scolaires, comme celui du

concept de nombre, ne peuvent se réduire à de telles associations de réponses attendues par

autrui. En effet, la construction du nombre et les opérations qui y sont inhérentes prennent

beaucoup de temps et d‟effort. Il faut plusieurs années pour que les élèves puissent bien

comprendre le système numérique et faire des opérations sur les nombres qui le composent

(ministère de l‟Éducation du Québec, 2001).

Le présent projet de recherche consiste en une étude de cas menée avec une enfant autiste

de 10 ans qui a été suivie en intervention individuelle, trois heures par jour, sur une période

de deux années scolaires. L‟objectif général de la présente étude est de décrire les progrès

réalisés, par un élève autiste, dans l‟apprentissage du concept de nombre en travaillant les

notions mathématiques par une pédagogie développementale basée sur le jeu. Le mémoire

comprend un premier chapitre qui dresse la problématique à laquelle ces enfants sont

exposés lors de leur scolarisation. Le deuxième chapitre, le cadre théorique, permet de

comprendre les concepts clés impliqués dans l‟émergence et dans la construction du

concept de nombre chez un enfant. Dans le troisième chapitre, l‟approche d‟intervention

pédagogique mise en place pendant ces deux années sera explicitée. Le quatrième chapitre

abordera la méthodologie qui a été utilisée dans le cadre de cette recherche. Le cinquième

chapitre présentera les analyses des résultats à partir des données recueillies lors de cette

étude. Et, finalement, le sixième chapitre comportera une discussion générale sur

l‟ensemble des résultats observés, au regard d‟autres études sur la construction du nombre

présentes dans la littérature.

3

1. Problématique

Ce chapitre tentera d‟expliciter ce qu‟est l‟autisme, de décrire les principales modalités

d‟intervention reconnues pour la scolarisation des enfants autistes (qui se basent

principalement sur les méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H.) en les mettant en tension par

rapport aux contextes d‟interventions qui sont privilégiés pour travailler le nombre avec les

enfants.

1.1. L’autisme

Vers la fin des années 1930, Leo Kanner, pédopsychiatre de formation, s‟intéressa à 11

enfants qui présentaient des caractéristiques communes, en souffrant toutefois de troubles

non répertoriés. En 1943, au terme de 8 années de recherche auprès de ces enfants, il dressa

le tableau clinique de « l‟autisme infantile précoce ». À l‟époque, l‟autisme tel que défini

par Kanner était considéré comme une psychose, au même titre que la schizophrénie

(Ferrari, 1999). Les enfants observés par Kanner avaient principalement deux choses en

commun : l‟isolement de l‟enfant (appelé aloneness) et son désir d‟immuabilité, son

intolérance aux changements (ou sameness) (Kanner, 1943; Lenoir, Malvy & Bodier-

Rethore, 2007).

Depuis ce temps, un manuel diagnostique et statistique des troubles mentaux a été créé par

l‟American Psychiatric Association comme ouvrage de référence afin de classifier et de

catégoriser les critères diagnostiques des troubles mentaux spécifiques. À travers les

diverses éditions du Diagnostic and Statistical Manuel of Mental Disorders (DSM),

l‟autisme, tel que décrit par Kanner, a été catégorisé de plusieurs façons. Dans les deux

premières versions (DSM-I et DSM-II) parues respectivement en 1952 et 1968, l‟autisme

était considéré comme une réaction schizophrénique de type infantile (Chamak, 2010;

Habimana, Éthier, Petot & Tousignant, 1999). Par contre, dès la troisième édition,

l‟appellation de « troubles envahissants du développement » est utilisée au lieu de psychose

4

(American Psychiatric Association, 1989, 2003). En effet, lors des années 1980, on réalise

qu‟il ne s‟agit pas d‟un trouble infantile, mais bien d‟un dérèglement du développement,

d‟où la raison pour laquelle ce trouble est décelé pendant l‟enfance (Frith, 1996).

En général, les enfants atteints d‟un trouble envahissant du développement dans la lignée de

l‟autisme présentent des déficits dans trois domaines en particulier : une altération

qualitative des interactions sociales, une altération qualitative de la communication et un

caractère restreint, répétitif et stéréotypé des comportements, des intérêts et des activités

(American Psychiatric Association, 2003; Habimana, Éthier, Petot & Tousignant, 1999).

Comme le développement de ces enfants peut sembler différent de celui des enfants tout-

venant en ce qu‟il présente un écart par rapport à une norme établie, certaines mesures

d‟intervention ont été conçues dans une optique behavioriste pour favoriser leur acquisition

d‟autonomie1. À cet effet, plusieurs thérapies et méthodes de prise en charge des enfants

autistes ont été élaborées, dont les méthodes A.B.A. (Applied Behavioral Analysis) et

T.E.A.C.C.H. (Treatment and Education of Autistic and related Communication

handicapped CHildren) (Ferrari, 1999; Lenoir, Malvy & Bodier-Rethore, 2007; Rogers,

1998).

1.2. La scolarisation des enfants autistes

Au Québec, au tournant des années „90, le ministère de l‟Éducation a changé sa vision de la

scolarité que doivent recevoir les enfants ayant un trouble autistique (Maertens, 2004;

MELS, 2007; MEQ, 1999; Saint-Laurent, 2008). Si auparavant ces enfants devaient être

placés dans des classes spécialisées ou même dans des écoles particulières, on prône depuis

de plus en plus l‟inclusion scolaire pour la majorité des élèves dits à risque (c‟est-à-dire

1 Le développement des enfants atteints d‟un trouble autistique est considéré comme différent par les

spécialistes qui mettent en place des méthodes béhavioristes d‟intervention. Ces dernières seront

explicitées plus loin. Par contre, comme il sera possible de le constater à la lecture de ce mémoire, la

posture ici adoptée se distingue de ce postulat. Dans une perspective développementale, il semble plutôt

fécond, sous l‟angle pédagogique, d‟envisager plutôt un retard ou un décalage dans le développement de

ces enfants que de le considérer comme atypique. C‟est justement pour pallier ce décalage que les

hypothèses et les pratiques d‟intervention ont été élaborées.

5

ceux ayant de grandes difficultés d‟apprentissage ou de comportement ou une déficience

intellectuelle légère) et pour la majorité des élèves handicapés (soit, ceux ayant une

déficience intellectuelle plus prononcée, une déficience au niveau sensoriel ou moteur ou

présentant un trouble envahissant du développement, etc.). Selon leurs besoins, ils

bénéficient de mesures particulières, soit un accompagnement en tout temps par un

professionnel (un technicien en éducation spécialisée par exemple) ou d‟un

accompagnement régulier (l‟enfant peut recevoir pendant quelques heures durant la

semaine un soutien fréquent d‟une personne qualifiée) (MELS, 2007).

En ce qui concerne les enfants ayant un trouble autistique, ils peuvent être accompagnés en

tout temps d‟un spécialiste dans une classe régulière ou être scolarisés dans une classe

spécialisée pour enfants ayant des troubles similaires, selon la décision de la commission

scolaire où est scolarisé l‟enfant (MELS, 2007). Dans ces classes spécialisées, diverses

méthodes sont utilisées pour travailler avec les enfants autistes, dont principalement les

méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H., ces méthodes seront donc explicitées.

1.2.1. La méthode A.B.A.

La méthode A.B.A. (Applied Behavioral Analysis) a été initiée par O. Ivar Lovaas dans les

années „60. Ce chercheur norvégien s‟intéressait aux comportements sociaux et langagiers

des enfants autistes. Dans ses recherches, il développe une méthode d‟intervention

béhavioriste ayant pour but de contrôler les comportements de ces enfants pour favoriser

leur communication (même si la plupart des enfants observés par son équipe n‟avaient pas

développé de langage formel autre que l‟écholalie) et leur autonomie dans les aptitudes

sociales (Lovaas, 1987; Lovaas, Freitas, Nelson & Whalen, 1974; Rogers, 1998).

Pour que les enfants modifient leurs comportements, ils doivent suivre un programme

intensif pendant plus de 30 heures par semaine. Pendant ce temps d‟intervention, les

thérapeutes veulent « enseigner » aux enfants explicitement les comportements qui sont

6

acceptables en recourant à l‟imitation2. Les comportements travaillés sont ceux pour

lesquels l‟enfant présente des « déficits ». L‟adulte effectue le comportement correctement

et il attend de l‟enfant que ce dernier le réalise de la même façon. Pour ce faire, le

thérapeute doit entraîner l‟enfant; chaque fois que ce dernier reproduit le comportement

cible qui se rapproche de celui de l‟adulte (c‟est-à-dire du comportement attendu), l‟enfant

reçoit une récompense, comme une bouchée de sa nourriture préférée (Lovaas & al, 1974).

Par cette brève description, il est possible de constater que cette méthode est avant tout

comportementale. Lovaas et ses collaborateurs cherchaient à rendre l‟enfant autiste le plus

autonome possible pour favoriser sa communication et ses habiletés sociales. Pour ce faire,

l‟adulte doit, d‟une part, servir d‟exemple pour que l‟enfant manifeste les comportements

qui sont attendus de lui et, d‟autre part, récompenser l‟enfant aussitôt qu‟il les réalise.

1.2.2. La méthode T.E.A.C.C.H.

Parallèlement à la méthode A.B.A. et dans la même optique béhavioriste, la méthode

d‟intervention comportementaliste T.E.A.C.C.H. (pour Treatment and Education of Autistic

and related Communication handicapped CHildren) a été mise sur pieds par Eric Schopler

lors des années „60. Elle est basée sur le conditionnement opérant, tel que décrit dans la

psychologie béhavioriste (Chamak, 2010; Rogers, 1998; Schopler, Brehm, Kinsbourne &

Reichler, 1971; Schopler, Reichler & Lansing, 1988). Les thérapeutes qui utilisent cette

méthode ont comme ligne de conduite le principe que, si on travaille pendant une période

de temps suffisante, tout comportement indésirable peut être changé si des méthodes de

renforcement sont appliquées (Schopler, Reichler & Lansing, 1988). Ces renforcements

peuvent prendre la forme de récompenses : recevoir des bonbons lorsqu‟un exercice est

bien réalisé selon les attentes du thérapeute, pouvoir accumuler des minutes pour jouer avec

un jouet préféré ou pour écouter la télévision, etc. Elles servent principalement à motiver

2 La définition sous-entendue ici pour l‟imitation est celle utilisée dans la psychologie béhavioriste qui se

limite à une association directe et non différée d‟un comportement attendu. Il ne s‟agit pas de l‟imitation

au sens piagétien.

7

l‟enfant dans son travail et à favoriser sa socialisation, car cette méthode vise l‟acquisition

d‟un maximum d‟autonomie pour les personnes étant atteintes d‟un trouble du spectre

autistique, tout au long de leur vie (Chamak, 2010).

Pour que l‟enfant réussisse les tâches qui lui sont problématiques, l‟adulte peut la

décomposer en sous-étapes qui seront illustrées par des pictogrammes. De cette manière,

lorsque l‟enfant vit de petites réussites (chaque sous-étape bien réalisée), il sera alors

récompensé. Tout le matériel nécessaire à la réalisation d‟une tâche doit se trouver dans un

même endroit (par exemple dans un panier) pour conserver l‟attention de l‟enfant sur des

éléments jugés pertinents à la tâche par l‟adulte. Tout le matériel non nécessaire est rangé

dans d‟autres paniers. Pour que cette méthode soit efficace, elle doit être utilisée autant à

l‟école qu‟à la maison, avec le même système de pictogrammes, de paniers et de

récompenses. Dans une étude menée en 1971, Schopler, Brehm, Kinsbourne et Reichler

montraient que les enfants autistes réagissaient beaucoup mieux (c‟est-à-dire avaient de

meilleurs comportements) lorsque les tâches étaient structurées et menées par le thérapeute

que lorsqu‟elles étaient non structurées et décidées en cours de réalisation par l‟enfant

(Schopler, Brehm, Kinsbourne & Reichler, 1971). Le fait de fournir à l‟enfant une structure

qui peut être réutilisée à la maison permet de fournir à l‟enfant autiste des repères stables

entre ces deux milieux (pour répondre à son besoin de sameness, présenté précédemment).

Cette brève présentation permet de comprendre la posture épistémologique derrière cette

méthode : pour rendre la personne autiste autonome, il suffit de lui offrir un contrôle

externe sur son comportement par des récompenses alimentaires ou autres, en suivant un

horaire structuré constant. Pour y arriver, les tâches qui normalement posent problème à la

personne autiste sont décomposées en étapes par le thérapeute. Ces différentes étapes sont

souvent présentées par des activités isolées (des exerciseurs visant l‟automatisation) et

rangées dans des paniers qui contiennent tout le matériel nécessaire à leur réalisation.

8

1.3. Les contextes d’intervention privilégiés pour travailler le nombre

Comme démontré précédemment, on sait que les méthodes utilisées dans les écoles

québécoises pour accompagner les enfants autistes sont principalement A.B.A. et

T.E.A.C.C.H. Ces méthodes, bien qu‟elles soient considérées comme éducatives, servent

principalement à contrôler le comportement plutôt qu‟à réaliser des apprentissages

scolaires. Malgré cela, elles sont tout de même utilisées par les pédagogues pour soutenir

des apprentissages complexes, comme la langue et le nombre par exemple.

A contrario, pour les enfants tout-venant, les apprentissages scolaires sont plutôt basés sur

un programme par compétences3, qui doivent être construites par les enfants avec le soutien

des enseignants :

[Le Programme de formation de l‟école québécoise] propose une

organisation des savoirs sous forme de compétences de manière à leur

donner sens et ouverture et, d‟autre part, il retient un cadre conceptuel qui

définit l‟apprentissage comme un processus actif et continu de construction

des savoirs (p.4, MEQ, 2001).

En ce sens, le ministère adopte une position socioconstructiviste des savoirs pour les

enfants tout-venant et dans les classes régulières dans lesquelles les enfants autistes peuvent

être intégrés, alors qu‟une position béhavioriste est préconisée en classes spéciales.

Le nombre et le système de numération positionnelle est un construit social ayant subi

plusieurs transformations et complexifications à travers l‟histoire (Gingras, Keatin &

Limoges, 1999; Mainzer, 1999; Ross & Charbonneau, 2002; Sultan, 2008). Ils constituent

des objets de savoir complexes exigeant de multiples abstractions. Or, le nombre n‟ajuste

pas ses exigences aux enfants autistes. Il pose les mêmes exigences de conceptualisation et

d‟abstraction, ce qui ne peut être produit par des imitations béhavioristes ou par de simples

associations. La prochaine section vise précisément à étayer les fondements de la

construction du nombre.

3 Pour le MEQ (2001), une compétence est vue comme : « un savoir-agir fondé sur la mobilisation et

l‟utilisation efficaces d‟un ensemble de ressources » (p.4).

9

2. Cadre théorique

Le présent cadre théorique permet d‟examiner les notions-clés à partir desquelles des

interventions pédagogiques peuvent être construites pour travailler le concept du nombre

avec tout enfant autiste, sans recourir aux méthodes habituelles, comme A.B.A. et

T.E.A.C.C.H. La figure 1 tente de schématiser l‟émergence de la construction du concept

de nombre chez l‟enfant.

Figure 1 : Schéma conceptuel de l‟émergence de la construction du nombre4

4 Comme on s‟intéresse à la construction du concept du nombre chez un enfant, le schéma conceptuel du

nombre ne représente pas le nombre comme il sera une fois acquis (à ce moment, les aspects ordinal et

cardinal seraient alors fusionnés), mais bien son émergence et les concepts qui y contribuent.

10

Cette figure met en relief la relation inclusive qui existe entre l‟abstraction et le nombre. En

ce sens, pour que les nombres puissent être utilisés, le sujet doit faire preuve d‟abstraction.

De plus, l‟abstraction ne se réduit pas seulement au nombre, elle est notamment présente

lors de la construction et de l‟utilisation du langage. Le nombre en soi peut être décomposé

en deux aspects : ordinal et cardinal. Lorsque le nombre est réellement construit, ces deux

aspects convergent et s‟imbriquent pour devenir indissociables. Comme on s‟intéresse à la

construction du concept du nombre chez un enfant, ce schéma conceptuel du nombre ne

représente pas le nombre comme il sera une fois acquis (à ce moment, les aspects ordinal et

cardinal seraient alors fusionnés), mais bien son émergence et les concepts qui y

contribuent. Le schéma ici se penche sur l‟émergence du concept de nombre et de sa

construction progressive vers une représentation mature. Si dans une compréhension

mature, on peut envisager que les aspects ordinal et cardinal convergent et se combinent

dans une vision unifiée du nombre, il n‟en demeure pas moins que cette fusion provient

d‟un long travail de construction chez le jeune enfant. C‟est pourquoi le schéma présente

ces deux aspects du nombre en sous-ensembles distincts qui devront progressivement être

unifiés par l‟enfant notamment par trois opérations majeures à construire : le comptage, la

correspondance terme à terme et la conservation. Ces deux dernières opérations peuvent

émerger dans des contextes hors de ceux sollicitant directement le nombre, comme lors de

comparaison (pour la correspondance terme à terme) et avec des quantités continues

comme de la pâte à modeler (pour la conservation), voire en français dans la

correspondance graphème-phonème du système alphabétique (correspondance terme à

terme) et la conservation d‟une même chaîne de lettres pour représenter un même mot.

Afin d‟étayer plus en profondeur ce schéma conceptuel de l‟émergence de la construction

du nombre, l‟abstraction sera d‟abord explicitée, car elle demeure l‟assise fondamentale à la

construction du nombre. Ensuite, le concept même de nombre sera défini, ainsi que les

deux aspects qui permettent de le construire, soit l‟aspect ordinal et l‟aspect cardinal. Puis,

11

différentes opérations5 que l‟enfant doit construire pour identifier et travailler avec le

nombre, soit la correspondance terme à terme, la conservation et le comptage.

2.1. L’abstraction

Pour pouvoir déterminer le cardinal d‟une collection ou établir un ordre entre les éléments

la composant, l‟enfant doit être en mesure de faire abstraction des différences qui

pourraient être présentes entre les éléments pour les considérer comme un ensemble

possédant une caractéristique commune abstraite de chacun des objets de l‟ensemble, que

ce dernier soit plus ou moins homogène ou plus ou moins hétérogène. Dans ses nombreux

ouvrages, Piaget établit deux catégories principales d‟abstraction : l‟abstraction empirique

(ou abstraction simple) et l‟abstraction réfléchissante (Piaget, 1977; Piaget & Szeminska,

1964).

Tout objet possède des propriétés physiques qui peuvent être observables par le sujet,

comme sa couleur, sa forme, sa texture, etc. Pour pouvoir considérer ces propriétés, le sujet

doit faire preuve d‟abstraction empirique (Kamii, 1980; Kamii & DeVries, 1981; Piaget,

1977). Pour ce type d‟abstraction, l‟attention de l‟enfant est centrée sur une propriété de

l‟objet, habituellement physique (comme la couleur, la forme ou le type d‟objet) plutôt que

sur l‟ensemble de ses caractéristiques (Kamii, 1980). À titre d‟exemple, lorsqu‟une assiette

remplie de raisins lui est présentée lors de la collation, l‟enfant peut ignorer leur couleur

pour énoncer le nombre total de raisins, plutôt que de distinguer les 8 raisins verts des 12

raisins rouges. L‟abstraction repose précisément sur l‟ignorance de critères spécifiques au

profit de la construction d‟un critère générique, ici raisin.

5 La section sur les opérations à construire qui sera présentée en 2.1.1.3 ne se trouve pas être une subdivision

du nombre comme le sont l‟aspect ordinal et l‟aspect cardinal du nombre. Cette section devrait plutôt être

subordonnée, à la fois, à l‟aspect ordinal et à l‟aspect cardinal du nombre, car la fusion de ces deux aspects

du nombre provient de multiples actions de sériation et de classification faites par l‟enfant et de la

construction progressive de régularités qui mèneront l‟enfant à envisager le comptage, la correspondance

terme à terme et la conservation comme une opération. C‟est alors que la fusion des deux aspects sera

possible et c‟est pourquoi ces trois opérations sont représentées, dans la figure 1, par des flèches d‟actions

potentielles pouvant agir sur les aspects ordinal et cardinal du nombre.

12

Le nombre, quant à lui, en raison de sa conception hiérarchique et inclusive (en ce sens que

4 inclut 3, qui inclut 2, qui inclut 1), exige que l‟abstraction qui lui est portée soit tout autre

et qu‟elle concerne davantage les relations qui existent entre les éléments comparés, dans ce

cas-ci, les nombres eux-mêmes et les opérations qui y sont effectuées, peu importe les

objets physiques qu‟ils représentent et leurs caractéristiques. C‟est l‟abstraction

réfléchissante qui permet au sujet de réagir à la suite des opérations ou des actions qui ont

été apportées en créant et en établissant des relations entre divers éléments (Kamii &

DeVries, 1981). Les relations ainsi établies sont basées sur la coordination des actions qui

peuvent être effectuées de façon inconsciente et pourront, dans le futur, créer des prises de

conscience et de conceptualisations chez l‟enfant (Piaget, 1977). Ces relations sont d‟ordre

logico-mathématique et elles se construisent sur des construits antérieurs de l‟enfant,

notamment sur la base de multiples abstractions empiriques. Ce type d‟abstraction n‟est pas

tiré des objets en tant que tels, comme le serait une seule abstraction empirique, mais bien

des actions que l‟on peut effectuer, comme réunir des objets en une classe plus générale,

ordonner, mettre en correspondance, etc. (Piaget, 1968). Il convient d‟illustrer cette notion

par deux exemples.

D‟abord, lorsque l‟on tente de comparer la hauteur de la tour de Pise et la hauteur de la tour

Eiffel, cette relation n‟existe pas ni dans la tour Eiffel même ni dans la tour de Pise, par

contre, l‟enfant est capable de visualiser ces deux tours en connaissant leur hauteur6 : « la

tour Eiffel est plus haute que la tour de Pise » peut être énoncée en tentant d‟établir une

relation de correspondance entre leurs hauteurs respectives. Pour ce faire, l‟abstraction doit

être réfléchissante, car elle ne concerne pas les caractéristiques des tours en soi, mais bien

la relation qui existe entre leurs hauteurs respectives, soit 324 mètres est plus grand que 56

mètres.

Dans un même ordre d‟idées, on peut dresser une collection de 6 objets devant un enfant.

Ce dernier arrive à les compter en utilisant une abstraction empirique. Il peut, en plus, faire

preuve d‟abstraction réfléchissante lorsqu‟il énonce que la quantité ne changera pas, même

6 La tour Eiffel mesure 324 mètres et la tour de Pise, environ 56 mètres.

13

si l‟ordre et la disposition des éléments sont modifiés; il coordonne alors la cardinalité et

l‟identité de la collection (DeBlois, 1993). C‟est ce type d‟abstraction qui permet de mettre

les nombres en relation, comme lorsque l‟enfant est questionné sur quel nombre est le plus

grand ou s‟il y a égalité.

2.1.1. Le nombre

Plusieurs auteurs abordent la définition du nombre (Baruk, 1995, 2003; Gelman &

Gallistel, 1986; Piaget, 1967; Piaget & Szeminska, 1964; Van Nieuwenhoven, 1999). Parmi

eux, Baruk (1995) établit deux sens très différents à la notion de nombre. Selon son sens

mathématique premier, un nombre peut être défini comme : « un élément d‟un ensemble de

nombres » (p.762), les ensembles de nombres étant, selon Baruk (1995, 2003) et Van

Nieuwenhoven (1999), les nombres entiers naturels ( ), les nombres entiers relatifs ( ), les

nombres rationnels ( ), les nombres réels ( ) et les nombres complexes ( ). Ces

ensembles de nombres sont inclusifs, en ce sens que les nombres entiers naturels font partie

de la classe des entiers relatifs, qui font partie de la classe des rationnels, etc. Pour travailler

les nombres de cette façon, le sujet doit faire preuve d‟abstraction réfléchissante pour

comprendre les relations qui existent entre ces classes de nombres, qui semblent pourtant

assez différentes. Le deuxième sens, qui relève davantage du sens commun, évoque l‟idée

de quantité liée au nombre, que Baruk (1995, 2003) nomme le « nombre-de ». À cet effet,

dans un ouvrage paru en 2003, cette auteure écrit :

Certains caractères d‟une quantité peuvent s‟exprimer grâce aux nombres,

mais doivent en être distingués : pour cela, il suffit que des nombres suivis

de ce qu‟ils comptent, évaluent ou mesurent soient appelés des nombres-de

(p.32).

De plus, il n‟y a rien dans l‟appellation du nombre en soi (dans le mot nombre) qui exprime

ou représente une quantité, en ce sens que cela demeure arbitraire. La combinaison des

phonèmes /d/, /i/ et /s/ qui forment le mot « dix » n‟a aucune valeur en soi, car le signifiant

(le mot « dix ») et le signifié (ce qu‟est 10, le concept même, la représentation mentale que

l‟on s‟en fait) sont unis arbitrairement. Piaget (1968) souligne, en exposant les conceptions

de Saussure, que le signifiant n‟a rien dans ses caractéristiques phonétiques qui peuvent

informer le lecteur ou l‟auditeur sur le contenu du signifié. Cela ne s‟applique pas

14

seulement aux mots nombres, mais bien à tous les mots du langage. Par contre, il est

possible d‟affirmer que le nombre, s‟il est accompagné d‟un substantif nominal qui

explicite ce qui est représenté, peut être utilisé dans le but de représenter une quantité. À

titre d‟exemple, si on énonce « 6 » ou « 6 bonbons », le sens du nombre utilisé dans ces

deux énoncés n‟est pas le même; dans le deuxième cas, il s‟agit nécessairement d‟un

« nombre-de » au sens de Baruk. L‟enfant aura plus de facilité à conceptualiser « 6

bonbons », car il lui est possible de recourir à la visualisation de ces bonbons qui pourront

être alors dénombrés, chose qui lui est beaucoup plus difficile à faire avec le nombre,

comme objet mathématique, « 6 ». Si l‟on s‟intéresse à la construction du nombre et à son

émergence chez le jeune enfant, la distinction de « nombre-de » qu‟apporte Baruk au

nombre est plus pertinente dans le cadre de ce mémoire que la définition proprement

mathématique.

Quant à eux, Piaget et Szeminska (1964) présentent deux aspects au nombre7 : l‟aspect

ordinal et l‟aspect cardinal. En effet, au sein d‟une série d‟objets ordonnés, il est possible

d‟utiliser des nombres pour représenter la position des éléments (aspect ordinal) et pour

représenter la totalité des éléments (aspect cardinal). À titre d‟exemple, lors d‟une fête

d‟Halloween, les enfants veulent amasser le plus de bonbons et organisent un concours.

Celui qui aura obtenu le plus grand nombre de bonbons est celui qui possède la collection

qui a le plus grand cardinal. Il sera le grand gagnant et donc terminera le concours premier.

Il s‟agit de deux aspects du nombre en partie paradoxaux : en ce qui concerne l‟aspect

cardinal, en général, il est préférable d‟obtenir le plus grand résultat (nombre de bonbons

amassés, nombre de billes, nombre de buts lors d‟une partie de hockey, etc.) alors qu‟en ce

qui concerne l‟aspect ordinal, il vaut mieux obtenir un petit nombre (il est préférable d‟être

le premier plutôt que le trentième, bien que trente soit plus grand qu‟un).

La maîtrise des aspects du nombre doit permettre au sujet de comprendre que celui qui est

né en 2005 est plus âgé que celui né en 2010 bien que, dans son aspect cardinal, à l‟inverse,

7 Ces aspects seront définis plus amplement dans la prochaine section.

15

2005 est plus petit que 2010. D‟ailleurs, Piaget et Szeminska (1964) décrivent ce paradoxe

comme suit :

[…] une série dont les termes, tout en se succédant selon les relations

d‟ordre que leur assignent leurs rangs respectifs, sont également des unités

équivalentes les unes aux autres et par conséquent susceptibles d‟être réunies

cardinalement (p.204).

Dans cette optique, chez les piagétiens, la maîtrise du nombre est acquise lorsque l‟enfant

est en mesure d‟établir ces deux types de relations entre les nombres : l‟ordre (aspect

ordinal) et l‟inclusion hiérarchique (aspect cardinal). Ces deux relations sont interreliées;

lorsque des éléments sont mis en ordre au sein d‟une même collection, ils sont forcément

inclus dans un ensemble plus grand (la collection elle-même) qui est régi par une certaine

hiérarchie (comme le 4e élément qui englobe à la fois le 3

e, le 2

e et le 1

er). En effet, comme

le souligne Fayol (1990), à l‟instar de Piaget, « l‟apprentissage “par cœur” de la chaîne

numérique verbale […] ne permettrait pas de dénombrer n‟importe quelle collection au

cardinal jusqu‟alors ignoré » (p.38). À cet effet, il est nécessaire de comprendre ce que

représente le nombre et l‟inclusion qui existe dans la chaîne numérique (Figure 2).

Figure 2 : Relation inclusive des nombres jusqu‟à 4.

Comme ce mémoire s‟intéresse aux assises premières de la construction du concept de

nombre par la maîtrise de ses aspects ordinal et cardinal, la définition de Piaget et

Szeminska (1964) sera privilégiée, car elle concerne, à la fois, les aspects ordinal et

cardinal du nombre, plutôt que celles de Baruk qui n‟abordent que le nombre proprement

mathématique et la cardinalité. Étant donné leur importance dans la constitution et dans la

compréhension du nombre, il convient d‟approfondir dans un premier temps les aspects

ordinal et cardinal du nombre. Ces assises permettront d‟ouvrir ensuite sur le comptage.

16

2.1.1.1 Aspect ordinal

Dans une perspective piagétienne, pour bien saisir la relation d‟ordre entre les nombres, il

est nécessaire de définir ce qu‟est l‟aspect ordinal du nombre. L‟aspect ordinal permet

d‟identifier une position au sein d‟un ensemble ordonné préalablement établi. À titre

d‟exemple, parmi un ensemble de sept voitures faisant une course, le nombre 5 désigne la

voiture qui est à la cinquième position dans la course.

Van Nieuwenhoven (1999) ajoute que les nombres ordinaux « sont utilisés pour désigner

un élément individuel par sa position à l‟intérieur d‟un ensemble plutôt que pour quantifier

un ensemble comme un tout » (p.106). L‟aspect du nombre qui permettrait de quantifier

l‟ensemble comme un tout serait l‟aspect cardinal du nombre. Ce dernier sera défini sous

peu. Un exemple d‟aspect ordinal du nombre peut être observé au sein du calendrier. Dans

le cas du calendrier grégorien, il débute toujours par le mois de janvier (1er

mois) et il se

termine par le mois de décembre (12e mois), ce qui fait référence à une collection

quantifiable prédéterminée au sein de laquelle un ordre est établi. Il y a douze mois dans

une année et chaque mois conserve toujours la même position.

L‟aspect ordinal du nombre se développe de façon progressive chez l‟enfant, ce dernier

passant par trois stades lors de cette acquisition (Piaget & Szeminska, 1964). À titre

d‟exemple, voyons comment se différencient les actions et les raisonnements d‟un enfant

dans le contexte d‟une tâche de sériation pour chacun de ces trois stades. Au premier stade,

l‟enfant ne parvient pas à dresser les éléments selon leur taille, il échoue la sériation. S‟il lui

est demandé de sérier des pailles de différentes longueurs, l‟enfant prendra n‟importe quelle

paille au hasard pour les placer l‟une à côté de l‟autre. Il peut également réussir à constituer

de petites séries juxtaposées ou tenter de « créer un effet d‟escalier » en ne considérant que

la partie supérieure de la paille (et donc, en ne plaçant pas les pailles sur une ligne

horizontale). À ce stade, il fait preuve d‟un jugement pré-sérial. Au deuxième stade,

l‟enfant parvient à sérier les pailles en effectuant plusieurs tâtonnements. Il arrive à

construire la série correctement, au bout de plusieurs tentatives, mais il n‟est pas en mesure

d‟établir des relations entre les éléments qui la composent. Son raisonnement est encore

principalement basé sur les intuitions et sur sa perception. Finalement, au troisième stade,

17

l‟enfant comprend la sériation, en ce sens qu‟il considère qu‟une même paille peut être, à la

fois, plus petite et plus grande qu‟une autre. Sa sériation n‟est plus basée sur sa perception

et sur des intuitions, elle est opératoire due à une coordination des relations qui deviennent

alors réversibles.

2.1.1.2 Aspect cardinal

Pour pouvoir comptabiliser les éléments d‟une collection une seule fois, il est nécessaire

d‟utiliser une certaine organisation, d‟où l‟utilité de sérier les éléments avant d‟en faire le

décompte pour déterminer leur nombre. En ce sens, Piaget et sa collaboratrice Szeminska

définissent le nombre cardinal comme étant : « une classe dont les éléments sont conçus

comme des unités équivalentes les unes aux autres et cependant comme distinctes, leurs

différences consistant alors seulement en ceci que l‟on peut les sérier, donc les ordonner »

(1964, p.204).

Si l‟on reprend l‟exemple précédent des voitures qui font la course, sur l‟ensemble des sept

voitures, le nombre 5 désigne une quantité de voitures faisant la course : si l‟enfant en

possède 5 sur un total de 7, il est celui qui en a le plus. Dans le même sens, pour connaître

le nombre de fruits qui sont dans le panier, l‟enfant entreprend le comptage des éléments

qui s‟y trouvent. Il compte 3 bananes, 2 oranges et 4 pommes. Il lui est nécessaire de sérier

les bananes, les oranges et les pommes pour ne pas recompter un même fruit à plusieurs

reprises. La banane qui est comptée en premier doit conserver sa première position pour

que le dénombrement soit exact. De plus, pour connaître le nombre total de fruits, il doit

considérer cet ensemble hétérogène comme un tout, d‟où l‟importance de la notion

d‟inclusion hiérarchique : il doit regrouper les 3 bananes, les 2 oranges et les 4 pommes

pour énoncer qu‟il y a 9 fruits. Il y a donc nécessité d‟abstraction réfléchissante permettant

de réunir en une seule collection selon un critère commun ses éléments hétérogènes et

distincts.

18

2.1.1.3 Opérations à construire

Pour pouvoir affirmer que le concept de nombre est construit, il est important de vérifier si

l‟enfant a précédemment construit plusieurs opérations qui lui seront nécessaires, comme la

correspondance terme à terme, la conservation et le comptage.

2.1.1.3.1 La correspondance terme à terme

Dans une perspective piagétienne, si l‟on souhaite que le comptage et la chaîne numérique

ne prennent pas le sens d‟une simple comptine, il faut privilégier, chez le jeune enfant,

l‟action concrète répétée et la réflexion sur elle pour favoriser les mises en relation. Pour ce

faire, la procédure de correspondance terme à terme peut être réalisée de deux façons : 1)

en faisant correspondre des éléments de deux collections distinctes ensemble, ce qui ne

nécessite aucun comptage; ou 2) en énonçant un mot nombre par élément dénombré lors

d‟un comptage.

Lors de la comparaison de collections, la correspondance terme à terme entre leurs

éléments permet à l‟enfant d‟établir l‟égalité ou la non-égalité entre des collections

distinctes qui lui seraient présentées. Par contre, pour pouvoir se prononcer sur la différence

qu‟il soulève entre les collections, il devra recourir au comptage ou du moins à certaines

notions qui le supposent : à cet effet, il devra faire correspondre un mot nombre pour

chaque élément dénombré. À titre d‟exemple, après avoir fait des correspondances entre les

éléments de deux collections de différentes tailles (12 éléments contre 15), l‟enfant énonce

que la deuxième en contient plus parce qu‟il en reste 3 et qu‟il n‟y en a plus de l‟autre côté.

À cette fin, il opère sur le nombre, il compare et il parvient à identifier quelle collection

comporte le plus d‟éléments et laquelle en a le moins. L‟enfant se dote ainsi d‟un outil pour

expliquer sa réponse, et ce, même si sa chaîne numérique ne se rend pas à 15. C‟est en

partie en ce sens que l‟opération pour Piaget précède et constitue le nombre et le comptage,

19

contrairement à ce que postule Gelman et Gallistel (1986) et Van Nieuwenhoven (1996,

1999).

La correspondance terme à terme peut même devenir une opération8 en ce sens que si l‟on

déplace les éléments devant l‟enfant, ce dernier pourrait utiliser des arguments de

réversibilité, de non-ajout et de non-retrait pour maintenir sa réponse, et ce, même si le

nombre d‟objets en jeu dépasse la chaîne numérique maîtrisée par l‟enfant. Viser à ce que

l‟enfant procède par correspondance terme à terme et à ce qu‟il conceptualise cette action

comme une opération devient donc un objectif essentiel dans la construction même du

nombre, beaucoup plus que de simplement étendre la chaîne des nombres.

À titre d‟exemple, à la figure 3, deux collections de jetons sont éparpillées sur la table et

sont présentées à l‟enfant. On lui demande si les deux collections comportent le même

nombre de jetons ou si l‟une des deux est plus nombreuse. Ensuite, on demande à l‟enfant

d‟expliquer comment il peut le savoir. Pour ce faire, il peut utiliser cette correspondance

terme à terme comme démontré à la figure 4.

Figure 3 : Collections de jetons éparpillés

Figure 4 : Utilisation de la correspondance terme à terme pour comparer deux

collections

8 Ici, pour le terme « opération », c‟est la définition piagétienne tirée de Legendre-Bergeron (1980) qui est

préconisée. Une opération est « une action intériorisée, c‟est-à-dire effectuée symboliquement ou en

pensée et réversible » (p.139). Plus précisément, on s‟intéresse aux opérations logico-arithmétiques, car

ces dernières portent sur « des éléments discrets réunis en classe, sériés ou dénombrés et sont

indépendants de l‟espace et du temps » (p.140).

20

Lorsque la correspondance terme à terme dans la comparaison de collections est bien

utilisée (en organisant les jetons de manière à pouvoir comparer les deux collections

visuellement, c‟est-à-dire sans avoir besoin de compter), l‟enfant est capable de vérifier

rapidement si les collections qui lui sont présentées sont équivalentes ou non. Même

lorsque les jetons de la deuxième rangée sont déplacés, de sorte que les jetons dépassent à

droite et à gauche, l‟enfant confirme que c‟est toujours pareil, car il énonce qu‟il est

possible de les remettre comme ils étaient avant. Cela témoigne qu‟il comprend la

réversibilité mise en jeu. La correspondance terme à terme devient dès lors une opération

logico-arithmétique au sens piagétien, car elle porte sur des éléments discrets sériés dans

des collections, indépendant de l‟espace occupé (Legendre-Bergeron, 1980). Elle est

intériorisée symboliquement puisque l‟enfant établit ici l‟équivalence avant même l‟action

pratique en anticipant que s‟il fait de nouveau une correspondance (lorsqu‟il veut remettre

les éléments à leur état initial), il obtiendra ce qu‟il avait au départ. De cette façon, l‟enfant

est en mesure de comparer des collections, et ce même s‟il ne parvient pas toujours à en

déterminer le cardinal. Pour y arriver, il devra recourir à un nouvel outil : le comptage

utilisé en correspondance terme à terme (un mot nombre par élément dénombré).

2.1.1.3.2 La conservation

Si l‟on conçoit l‟importance de l‟opération de la correspondance terme à terme dans la

construction du nombre, il convient dès lors de la mettre en relation avec la capacité

d‟établir la conservation. En effet, lors de la construction des deux aspects du nombre

(l‟aspect ordinal et l‟aspect cardinal), il est important de vérifier si l‟enfant est capable de

maintenir un jugement rationnel sur des quantités lorsque leur apparence est modifiée par

une tierce personne, donc faire preuve de conservation.

Pour ce faire, l‟enfant doit faire preuve d‟abstraction réfléchissante, telle que définie

précédemment et faire preuve de conservation. À l‟instar de Piaget, Legendre-Bergeron

(1980) explique la conservation comme étant « la capacité de dégager les aspects invariants

de l‟objet au travers des transformations qu‟il subit » (p.60). Vilette (1996) établit que

l‟enfant a compris la notion de conservation lorsqu‟il est en mesure de comprendre la

réversibilité (retour à l‟état antérieur) et les différences perçues entre les modifications. Les

21

tâches mathématiques proposées aux jeunes enfants visant la conservation ont été

développées à l‟origine par Jean Piaget. Dans celle-ci, l‟enfant ne constate pas seulement

les différences entre les collections qui lui sont présentées, mais il considère également les

modifications qui y ont été apportées sous ses yeux. Malgré la différence qui subsiste

visuellement entre les deux quantités à comparer, l‟enfant est capable de faire preuve

d‟abstraction réfléchissante et d‟imaginer un possible retour à l‟état précédent sans avoir

besoin de manipuler les collections elles-mêmes. Lorsque la conservation est acquise,

Piaget et Inhelder (1967) décrivent que :

[…] les états sont dorénavant subordonnés aux transformations et celles-ci,

étant décentrées de l‟action propre pour devenir réversibles, rendent compte

à la fois des modifications en leurs variations compensées et de l‟invariant

impliqué par la réversibilité (p.77).

La conservation peut être observée, entre autres, sur des quantités continues (comme des

longueurs, du volume, ou du poids) et sur des quantités discontinues.

2.1.1.3.2.1 Quantités continues

La conservation de quantités continues peut être définie par la capacité de l‟enfant à faire

abstraction de la forme pour déterminer la grandeur d‟une quantité comparativement à celle

d‟une autre. Elle s‟acquiert en trois stades, qui sont assez similaires pour la conservation

des quantités discontinues : 1) l‟absence de conservation; 2) les réponses intermédiaires; et

3) la conservation nécessaire (Piaget & Szeminska, 1964). Ce type de conservation est

généralement évalué, chez les jeunes enfants, à l‟aide de boules de pâte à modeler. Lorsque

les sujets sont plus âgés, la conservation de quantités continues peut être vérifiée à l‟aide de

variation de longueurs, de volume et de poids, mais les stades sont les mêmes pour tous ces

items. Si un adulte présente deux boules de pâte à modeler de même taille, l‟enfant doit

établir l‟égalité entre ces deux parts de pâte. Lorsque l‟égalité a été établie, l‟adulte prend

une des deux boules et la transforme sous les yeux de l‟enfant en trois temps : en galette, en

rouleau et en miettes. Entre chaque transformation, il y a un retour à l‟état initial, c‟est-à-

dire la formation de boule de même grosseur que celle de référence.

Au premier stade (absence de conservation), le fait que la part de pâte n‟ait plus la même

apparence laisse croire à l‟enfant qu‟il s‟agit d‟une nouvelle quantité. Piaget et Szeminska

22

(1964) parlent de ce stade en l‟appelant « le stade de la quantité brute », en ce sens que

l‟enfant utilise principalement sa perception pour déterminer la grosseur de la collection au

lieu de recourir à une procédure plus efficace, telles que la quantification et l‟établissement

de relations entre les éléments mis à sa disposition. L‟absence de conservation des quantités

continues peut être observée lorsque l‟enfant pense que la modification de la forme (comme

une boule de pâte à modeler qui est transformée en galette) entraine une modification dans

la quantité. Si l‟apparence d‟une de ces deux boules est modifiée (en faisant un rouleau, une

galette ou des miettes par exemple), l‟enfant énoncera qu‟une des deux parts contient plus

de pâte que l‟autre (soit la boule initiale qui n‟a pas été modifiée ou la boule transformée),

même si aucun ajout ou retrait de pâte n‟a été effectué. À ce moment, l‟enfant utilise

seulement sa perception pour déterminer la ressemblance ou la différence de quantité des

deux parts de pâte qui lui sont présentées. Pour un enfant « non conservant », il est

inconcevable qu‟une quantité de matière « puisse demeurer invariante au travers des

changements de forme » (Piaget & Szeminska, 1964, p.22). Cette absence de conservation

est présente jusqu‟à 4 ou 5 ans.

Au deuxième stade (réponses intermédiaires), l‟enfant fournit des réponses qui montrent

qu‟il a compris l‟idée de conservation quand les différences entre les quantités ne sont pas

très importantes, mais lorsque les changements sont importants, il a tendance à douter de lui

et il redevient « non conservant ». À ce stade, la quantification devient de plus en plus

importante dans les réflexions de l‟enfant. En effet, l‟enfant tente de considérer, à la fois,

l‟aspect perceptif et les relations opératoires effectuées sur les quantités pour fournir une

réponse, mais il n‟y parvient pas toujours. Vers 6 ans, l‟enfant commence à comprendre

que la quantité n‟est pas modifiée, mais ce n‟est pas stable encore dans son esprit. Lorsque

la transformation est plutôt simple (comme lorsque l‟on écrase la boule pour en faire une

galette), l‟enfant peut affirmer qu‟il s‟agit toujours de la même pâte que l‟on avait

initialement. Par contre, lors de la transformation en rouleau ou en miettes, comme

l‟apparence n‟est plus la même et que la pâte n‟occupe plus le même espace, un doute peut

survenir chez lui; il fournit alors des réponses qui montrent que, pour lui, les quantités

continues ne sont pas conservées à la suite de transformations. Lors de la transformation de

la boule en miettes (Figure 5), l‟enfant doit prendre en considération l‟espace occupé par

les miettes bleues, mais aussi leur grosseur : malgré le fait qu‟elles soient plus nombreuses

23

que la boule jaune, elles sont beaucoup plus petites. Les enfants du deuxième stade ont de

la difficulté à intégrer toutes ces informations lors de leurs réflexions.

Figure 5: Item de conservation des quantités continues

Au troisième stade (conservation nécessaire), il n‟y a plus de doute dans l‟esprit de

l‟enfant : peu importe les modifications qui sont apportées, il affirme qu‟il s‟agit toujours

de la même quantité. L‟enfant n‟utilise plus seulement sa perception pour déterminer si les

quantités sont égales ou non. Il est capable d‟analyser les changements qui ont été apportés

et de comprendre que, même si la forme est différente, il s‟agit toujours de la même pièce

de pâte à modeler. Ce stade est atteint vers l‟âge de 7 ans selon Piaget et Szeminska (1964)

et vers 9 ans selon Meljac et Lemmel (2007).

2.1.1.3.2.2 Quantités discontinues

La conservation de quantités discontinues peut être définie par la capacité de l‟enfant de

faire abstraction de la disposition des objets pour déterminer et maintenir le cardinal d‟une

collection. Cette abstraction est réfléchissante, telle que définie précédemment. L‟enfant

doit évaluer les relations entre les quantités qui lui sont présentées pour pouvoir les

comparer. Son acquisition est caractérisée par trois grandes étapes de développement : 1)

l‟absence de conservation; 2) le début de constitution d‟un ensemble; et 3) la conservation

et la coordination (Piaget & Szeminska, 1964).

Au premier stade (absence de conservation), l‟enfant croit que les modifications qui sont

faites par une autre personne sous son observation affectent la quantité des éléments qui

avaient été préalablement dénombrés. Il ressent alors le besoin de dénombrer chaque fois

qu‟une modification est faite à la collection par l‟expérimentateur, même si aucun ajout ni

retrait n‟est fait. À ce moment, il ne se fie qu‟à sa perception, en ne considérant pas les

modifications en tant que telles, mais seulement le résultat final, ce qui le laisse croire à un

24

changement de la quantité d‟éléments qu‟il a toujours sous les yeux. Selon Piaget et

Szeminska (1964), « les quantités sont d‟abord évaluées simplement en fonction des

rapports perceptifs non coordonnés entre eux […] et c‟est cette incohérence initiale qui

explique à la fois les continuelles contradictions entre les jugements successifs de l‟enfant

et l‟absence de tout critère de conservation » (p.45). À titre d‟exemple, dans un premier

temps, une rangée de six jetons comme suit est présentée à un enfant :

Figure 6 : Collection initiale de jetons

L‟enfant dénombrera la collection correctement et indiquera qu‟il y a six jetons.

L‟expérimentateur prendra les mêmes six jetons et les déplacera légèrement de manière à

ce que les jetons soient plus distancés, comme illustré à la figure 7 :

Figure 7 : Collection de jetons modifiée une première fois

À ce moment, l‟enfant qui n‟a pas compris l‟idée de conservation dénombrera à nouveau

les jetons, même si aucun ajout ni retrait n‟a été apporté par l‟expérimentateur. Selon Piaget

et Szeminska (1964), la non-conservation du nombre peut être présente jusqu‟à l‟âge de 5

ans.

Au deuxième stade (début de constitution d‟un ensemble), les réflexions de l‟enfant se

situent entre la perception (les quantités brutes) et la quantification. L‟enfant hésite, car il

sait qu‟aucun élément n‟a été ajouté ou retiré de l‟ensemble dénombré, mais l‟apparence

n‟est plus la même; cela le pousse à les dénombrer de nouveau, ce qui est caractéristique

d‟une non-conservation. À ce stade, la conservation du nombre commence à apparaître

dans le raisonnement de l‟enfant (alors âgé de 5 ou 6 ans, selon les travaux de Piaget),

même s‟il est possible de voir que ce n‟est pas toujours stable. Si, toujours à partir de la

même rangée de départ (Figure 6), l‟expérimentateur prend les jetons et les regroupe de

manière à faire un tas, comme démontré à la figure 8, l‟enfant pourrait revenir avec des

25

conceptions issues de la non-conservation. Les réponses aux questions de conservation

montrent que parfois le jugement est conservatoire pour l‟une des situations (la rangée plus

espacée comme à la figure 7), mais non conservatoire pour l‟autre (les jetons rassemblés

comme à la figure 8) ou l‟enfant hésite beaucoup et ne semble pas certain de ses

réponses (Kamii, 1980). L‟enfant doit donc prendre l‟expérience de ce type de

confrontation et réfléchir sur elle de multiples fois et dans une variété de contextes afin de

construire une conservation solide.

Figure 8: Collection de jetons modifiée une deuxième fois

Au troisième stade (conservation et coordination), l‟enfant est convaincu que les

changements de disposition n‟affectent pas la quantité qui lui est présentée. Pour justifier

ses réflexions sur la conservation, l‟enfant peut recourir à trois types d‟argument, selon

Kamii (1980), à l‟instar de Piaget : d‟identité, de réversibilité ou de compensation.

L‟argument d‟identité est lorsque l‟enfant affirme que la quantité est la même, car il s‟agit

toujours de la même collection, car il n‟y a eu aucun ajout ni aucun retrait. Un argument de

réversibilité serait que l‟enfant sait qu‟il est possible de replacer les jetons à leur endroit

initial pour vérifier s‟ils sont encore tous présents, ce raisonnement témoigne d‟une

réflexion plus évoluée de l‟enfant : il ne se fie plus seulement à sa perception, il considère

maintenant les changements apportés à la collection qu‟il a sous les yeux. Il est maintenant

capable de visualiser un retour à l‟état initial avant de le réaliser. Et finalement, pour

l‟argument de compensation, l‟enfant analyse la collection qui lui est présentée et il

comprend que, à titre d‟exemple, si la rangée est plus longue, elle ne contient pas

nécessairement plus de jetons, car les dit-jetons sont plus espacés les uns des autres.

Lorsque la conservation du nombre est maîtrisée, le changement d‟apparence de la

collection n‟affecte pas le raisonnement de l‟enfant. Comme le décrivait Van

Nieuwenhoven (1999), « être conservant [avoir acquis la notion de conservation], c‟est

admettre que le nombre d‟objets présents dans une collection ne peut être modifié que par

l‟addition ou le retrait d‟un ou de plusieurs éléments : tous les autres changements étant non

26

pertinents, sans impact » (p.31). Selon certains auteurs (Piaget & Szeminska, 1964; Meljac

& Lemmel, 2007), la conservation du nombre serait maîtrisée vers l‟âge de 7 ans.

2.1.1.3.3 Le comptage

En plus de vérifier si l‟enfant est en mesure d‟établir des correspondances terme à terme et

de se prononcer sur des questions de conservation, il est important de vérifier plusieurs

habiletés, dont la capacité de l‟enfant à compter et à opérer sur les nombres avant d‟établir

que son concept de nombre est construit. Piaget insistera sur la nécessité que ce comptage

soit assis sur l‟opération (N+1, N+2, N+n', etc.), sur une construction solide des aspects

ordinal et cardinal du nombre, reposant sur de multiples abstractions empiriques et

réfléchissantes dans des actions concrètes de collections, de sériation, de comparaison, etc.

Le comptage permet à l‟enfant, entre autres, d‟évaluer des quantités d‟objets à l‟aide de la

suite numérique et de raisonner sur ces quantités. Par contre, cette activité doit avoir du

sens pour l‟enfant et avoir un but particulier, qui peut être lié très fortement à la cardinalité.

En effet, le comptage, entre autres, permet d‟identifier le nombre d‟éléments dénombrés.

Certains auteurs, comme Fuson (1988, 1991), Gelman et Gallistel (1986) et Van

Nieuwenhoven (1996, 1999) font passer au premier plan l‟importance du comptage,

préalablement et comme soutien à l‟opération ultérieure. Ces derniers affirment que :

À l‟origine, les enfants ne peuvent raisonner sur les nombres sans avoir des

références sur ce qu‟ils représentent. Ces représentations sont obtenues par le

comptage. Les jugements d‟équivalence ou de mise en ordre, l‟application

d‟opérations d‟addition, de soustraction, l‟identité des nombres et les

processus de résolution dépendent tous du comptage (Gelman & Gallistel,

1986, p.244)9.

Bien que ce mémoire se rattache davantage à la conception piagétienne de la construction

du nombre misant sur l‟importance que la chaîne numérique soit assise sur l‟opération sur

le nombre, la grille d‟analyse portant sur le comptage développé par Gelman et Gallistel

9 Traduction libre.

27

demeure intéressante pour interpréter quelques conduites de l‟enfant dans leur

dénombrement.

Les collections que l‟enfant aura à compter doivent être visibles et manipulables pour qu‟il

puisse conceptualiser le nombre qui est formé par ses éléments. L‟enfant doit donc dépasser

le stade de l‟abstraction empirique pour pouvoir opérer sur les nombres; pour ce faire, il

peut utiliser le comptage. Les jeunes enfants ont besoin de matériel concret pour pouvoir

comprendre le nombre, ce qui rejoint le concept d‟abstraction abordé par Piaget. Tout

comme l‟apprentissage de la suite des mots nombres (chaîne numérique) ne suffit pas à

maîtriser le comptage, ce dernier ne suffit pas non plus à la compréhension du système

numérique (Fayol, 1990; Fuson, 1988, 1991; Gelman & Gallistel, 1986; Van

Nieuwenhoven, 1996; Vergnaud, 1981).

En ce sens, Gelman et Gallistel (1986), qui ont été repris par Van Nieuwenhoven (1996,

1999), se sont questionnés sur le processus de comptage et en sont venus à 5 principes de

comptage qui doivent être maîtrisés pour pouvoir acquérir le nombre : 1) principe de la

correspondance terme à terme entre le mot nombre utilisé et l‟élément dénombré (one-one

principle); 2) principe d‟ordre stable (stable-order principle); 3) principe cardinal (cardinal

principle); 4) le principe d‟abstraction (abstraction principle); et 5) le principe de la non-

pertinence de l‟ordre (order-irrelevance principle).

1) Le principe de la correspondance terme à terme est utilisé lors des dénombrements

et est circonscrit à la correspondance entre un objet dénombré et la chaîne

numérique. Pendant cette activité, chaque mot nombre doit être associé à un seul

élément dénombré. Ce principe comporte deux phases importantes : la séparation

des éléments (en comptés et non comptés) et le marquage de ces éléments (pour ne

pas les compter plusieurs fois ou en oublier).

2) Le principe d‟ordre stable requiert que la séquence de mots nombres de la chaîne

numérique soit stable, en ce sens qu‟à toutes les fois qu‟un comptage est effectué,

les mots nombres sont toujours à la même position (comme le 5 qui est entre le 4 et

le 6). Ce principe est acquis lorsque chaque terme utilisé conserve toujours la même

position dans la chaîne numérique : les éléments qui le précèdent et qui le suivent

sont toujours les mêmes.

28

3) Pour le principe cardinal, l‟enfant doit comprendre que le dernier mot nombre

énoncé lors d‟un comptage représente la quantité totale d‟éléments dénombrés.

4) Le principe d‟abstraction permet à la personne qui compte de ne pas considérer les

différences physiques qui peuvent exister entre les éléments comptés et de les

considérer ainsi comme un tout, malgré leur hétérogénéité.

5) Le dernier principe, celui de non-pertinence de l‟ordre, permet de mettre en exergue

que l‟ordre dans lequel les éléments sont dénombrés n‟a aucune incidence sur le

résultat du comptage, tant que les quatre principes précédents sont respectés

également10

. Ce principe relève également de l‟aspect arbitraire et temporaire du

comptage : n‟importe quel élément peut être à la position X, il doit seulement être le

seul à avoir ce marquage lors de ce comptage en particulier (pour respecter les

autres principes). Selon Fuson (1991), contrairement au contexte cardinal, le

contexte ordinal demeure stable et immuable, peu importe les éléments qui

nécessitent son utilisation. Le premier élément compté sera toujours le 1er

, le 2e sera

toujours compté après le 1er

, etc., peu importe l‟objet et sa position spatiale dans la

collection.

Pour le deuxième principe de Gelman et Gallistel (le principe d‟ordre stable), Fuson (1988)

a ajouté quelques précisions. En effet, l‟auteure souligne que l‟acquisition de la chaîne

numérique procède par niveaux de connaissances, qu‟elle a fixés au nombre de 5 : le

chapelet, la chaîne non sécable, la chaîne sécable, la chaîne dénombrable et la chaîne

bidirectionnelle. Certains de ces niveaux de connaissance sont repris et expliqués par Van

Nieuwenhoven (1996, 1999).

Au premier niveau, celui du chapelet, l‟enfant récite les mots nombres l‟un à la suite

de l‟autre, sans leur accorder une signification particulière, un peu comme une

10 Lorsque ce principe est acquis, et seulement à partir de ce moment en particulier, l‟enfant est en mesure de

faire preuve d‟abstraction réfléchissante sur les nombres en établissant des relations entre les divers

éléments qui lui sont présentés.

29

chanson qu‟il aurait apprise par cœur. Les mots nombres n‟ont pas nécessairement

de signification numérique pour lui.

Au second niveau, la chaîne non sécable, les mots nombres ont une signification, en

ce sens que l‟enfant sait qu‟il existe une différence entre 1, 2, 3, etc., mais les

nombres font toujours partie d‟un ensemble qu‟il lui est impossible de séparer. À ce

niveau, l‟enfant est en mesure de répondre à des questions sur ce qui suit et précède

immédiatement un nombre. Pour réussir, il doit réciter la chaîne du début jusqu‟à

l‟élément recherché. Si, à titre d‟exemple, on demande à l‟enfant ce qui vient après

8, il doit commencer par le début de la chaîne numérique pour connaître la réponse

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, _ ). 11

Au troisième niveau, la chaîne sécable, l‟enfant a une assez bonne maîtrise de la

chaîne numérique pour pouvoir débuter par un mot nombre autre que 1. Van

Nieuwenhoven (1996), en expliquant les niveaux de connaissances de Fuson (1988,

1991), ajoute que « la chaîne sécable est une chaîne de liens connectés qui peut être

entamée à n‟importe quel point d‟entrée (mot nombre), ces points peuvent donc être

arbitraires » (p.298). À ce niveau, l‟enfant n‟a pas besoin de réciter la chaîne au

complet pour connaître ce qui précède et ce qui suit un nombre, il est en mesure de

donner instantanément la réponse. Par contre, il arrive que l‟enfant fasse quelques

méprises. Même si la chaîne est ainsi assise sur l‟opération, car la chaîne numérique

repose sur un nombre maintenant opérable offrant réversibilité, elle n‟est pas encore

totalement dénombrable, en raison des erreurs encore fréquentes de l‟enfant.12

L‟enfant est en mesure de le faire, mais il ne réussit pas toujours; en ce sens, la

chaîne n‟est pas parfaitement dénombrable. Dans l‟exemple donné précédemment,

l‟enfant qui possède une chaîne sécable est en mesure de répondre directement que

c‟est 9 qui vient après 8, sans devoir réciter les éléments qui le précèdent dans la

11 Ceci suppose une certaine maîtrise du principe de la correspondance terme à terme, expliqué précédemment.

12 Ceci suppose donc une compréhension de l‟inclusion hiérarchique inhérente dans la chaîne numérique.

L‟importance de cette inclusion est soutenue par Piaget et ses collaborateurs et elle est également reprise par

Fayol (1990). Cela pourrait témoigner de la capacité de l‟enfant de faire preuve d‟abstraction réfléchissante sur

les nombres.

30

chaîne numérique. À ce niveau, l‟enfant peut également compter en tenant compte

d‟une borne inférieure et supérieure, autant à l‟endroit (en ordre croissant) qu‟à

l‟envers (en ordre décroissant). Il est en mesure de compter, en respectant les

bornes, par exemple de 9 à 15 : 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 et il peut également le faire

à l‟envers en comptant de 15 à 9 : 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9. Toutefois, il ne serait pas

en mesure de répondre à la question 15 – 9.

Au quatrième niveau, la chaîne est dénombrable13

. À partir de ce moment, l‟enfant

peut effectuer un comptage en tenant compte d‟une borne inférieure et d‟une borne

supérieure sans erreur. Il peut également opérer sur la série (autant en moins, qu‟en

plus). L‟enfant est en mesure de répondre à une question telle que : « Tu as 12

bonbons et tu en retires 5, combien t‟en reste-t-il? » Donc, comme le disait Van

Nieuwenhoven (1996), c‟est à ce moment que « la signification de la suite de

comptage et la cardinalité fusionnent » (p.299). L‟enfant, dans ce cas-ci, parvient à

faire 12-1-1-1-1-1, sans perdre de vue qu‟il doit soustraire seulement à 5 reprises, et

non indéfiniment.

Finalement, au dernier niveau, la chaîne est bidirectionnelle. L‟enfant réussit à

compter à l‟endroit, à l‟envers et à partir d‟un nombre quelconque. Il parvient même

à passer de l‟endroit à l‟envers et vice-versa sans problème et à décomposer les

nombres en termes, comme 5 = 1+4, 2+3, 3+2 et 4+1. Il s‟agit alors d‟un réel

comptage numérique, selon Fuson (1988, 1991).

2.1.1.4 Autre procédure possible et difficultés reconnues

Avant d‟entamer le comptage, l‟enfant peut déplacer les éléments afin d‟organiser son

comptage. Il peut également déplacer les éléments dénombrés au fur et à mesure qu‟il

effectue la tâche. Cette procédure est assez efficace lorsque le comptage est bien réalisé. En

effet, l‟enfant doit énoncer un seul mot nombre pour chaque objet et déplacer un seul objet

par mot nombre énoncé. De plus, il ne doit pas perdre le fil de son comptage et doit bien

13 Le domaine numérique est l‟étendue de nombres qui composent la chaîne numérique dénombrable.

31

séparer les éléments dénombrés des éléments non comptés pour ne pas les compter plus

d‟une fois. En ce sens, deux procédures seront présentées : la construction d‟une

représentation visuelle et la correspondance terme à terme.

Pour pouvoir identifier le nombre d‟éléments contenus dans une collection, l‟enfant peut

recourir à la représentation visuelle (ou l‟aspect figural chez Piaget). Il s‟agit d‟un outil

auquel l‟enfant peut recourir pour connaître le nombre d‟éléments d‟une collection, sans

avoir besoin de les dénombrer. Si, à titre d‟exemple, une collection non organisée de jetons

lui est présentée (Figure 9) et qu‟il doit identifier leur nombre, l‟enfant pourra les ordonner,

de façon à ce qu‟ils soient plus faciles à reconnaître le nombre (Tableau 1).

Figure 9 : Présentation de jetons par l‟expérimentateur

Tableau 1 : Organisation de la collection de jetons

Organisation

linéaire

Aspect figural

Dans les deux organisations présentées dans le tableau précédent, l‟enfant n‟a pas toujours

besoin de compter les éléments pour en déterminer le nombre. Il lui suffirait de les placer

de façon à ce qu‟il puisse associer un nombre à une forme qui lui est familière, comme la

disposition des points sur les faces d‟un dé ou comme les symboles sur les cartes à jouer

par exemple. Le nombre n‟est alors pas nécessairement conceptualisé comme une quantité,

mais comme un nom associé à une image, au même titre que le nom d‟une personne peut

32

être associé à son visage ou à sa photo. Cette forme de reconnaissance ne reposant pas

nécessairement sur une opération demeure extrêmement fragile. Il ne s‟agit qu‟un seul

élément soit déplacé pour que l‟enfant n‟identifie plus le nombre (Tableau 2).

Tableau 2 : Limite de l‟aspect figural

5 N‟est plus 5

Pendant les tâches de comptage et de comparaison de collections, certaines difficultés

peuvent survenir chez des enfants aux débuts de leur apprentissage du concept du nombre.

Lorsque les éléments à dénombrer sont très nombreux, ces difficultés peuvent prendre la

forme d‟un manque d‟organisation ou encore d‟un échec lors de l‟utilisation d‟une

procédure de comptage. En effet, si la collection comporte beaucoup d‟éléments et que ces

derniers sont éparpillés sans représenter une forme ou une certaine régularité dans la

disposition, l‟enfant peut commettre certaines erreurs lors du dénombrement ou de la

correspondance. Une erreur que l‟enfant pourrait faire lors de son comptage serait de ne pas

faire correspondre son comptage avec les objets : nommer un nombre sans pointer ou

pointer un objet sans nommer ou compter plusieurs fois un même objet (Fuson, 1991).

L‟enfant pourrait également échouer lors de la tentative de comptage par groupements si

ces derniers ne sont pas réguliers (certains groupes de 7, d‟autres de 4 ou de 10,

dépendamment de la position des éléments à compter). De plus, l‟enfant doit avoir atteint le

niveau de chaîne sécable et bien organiser ses regroupements, sinon d‟autres problèmes

peuvent survenir, comme en témoigne le tableau 3.

33

Tableau 3 : Problème lors de regroupement

Chaîne non sécable

Chaîne sécable

Si l‟enfant ne compte pas les éléments, il peut tout de même faire face à quelques

difficultés lors de l‟exécution des procédures présentées. En effet, l‟enfant pourrait tenter de

manipuler les éléments qu‟il doit compter pour représenter une figure reconnaissable et

échouer à cette tâche. À titre d‟exemple, si l‟enfant a 7 jetons qu‟il doit dénombrer, il se

pourrait que, comme ce nombre ne se retrouve pas sur les dés standards, il ne soit pas en

mesure de reproduire une forme qu‟il connaît.

Si l‟enfant n‟utilise pas d‟emblée le comptage et qu‟il n‟a pas construit la correspondance

terme à terme, il se peut également que, dans le cas où une rangée lui est présentée comme

modèle à reproduire, qu‟il privilégie uniquement l‟aspect perceptif de la collection plutôt

que l‟aspect de la quantité pour établir une égalité. Si, par exemple, on place six jetons

devant l‟enfant en lui demandant de mettre le même nombre de jetons en face, l‟enfant

pourrait utiliser l‟aspect de la longueur pour déterminer combien il doit en placer sans

compter le nombre de jetons dans la rangée qu‟il doit reproduire et expliquer que les deux

rangées sont égales parce qu‟elles commencent et terminent au même endroit (Figure 10).

34

Figure 10 : Échec à la reproduction d‟une rangée-modèle

Ce recours à traiter les objets dénombrés uniquement de manière figurale pourra amener

l‟enfant à produire des erreurs dans ses comparaisons de collections. Par exemple, s‟il place

ses jetons plus près les uns des autres que dans la rangée de référence, il pourra placer plus

de jetons que le modèle et confirmer qu‟il a mis le même nombre de jetons. Il ne vérifie

donc pas que les deux collections qui lui sont présentées comportent le même nombre

d‟éléments; il ne ressent pas le besoin de se vérifier, car sa perception de l‟espace occupé

indique que les deux rangées sont identiques (en longueur) et conclut qu‟elles comportent

donc forcément le même nombre d‟éléments.

2.2. Question générale

Aux termes de ce cadre théorique, il est possible de retenir que la définition du nombre

choisie s‟inscrit dans une pensée piagétienne, comme quoi le nombre se divise en deux

aspects : ordinal et cardinal. L‟aspect ordinal entre en jeu lorsque l‟on cherche à indiquer la

position d‟un objet dans un rang (comme le deuxième, le troisième, etc.). L‟aspect cardinal

concerne plutôt la quantification des éléments d‟un même ensemble (dans mon sac, il y a

deux poupées et trois ballons, donc cinq jouets). Pour en arriver à ces conceptions du

nombre, l‟enfant doit faire preuve d‟abstraction d‟abord empirique en portant attention aux

caractéristiques physiques des objets, puis réfléchissante en établissant des relations entre

les éléments qui lui seront présentés. Cette capacité d‟abstraction se complexifie

notamment par la construction de deux opérations interreliées, la correspondance terme à

terme et la conservation, qui serviront à la conceptualisation même du nombre et du réel

comptage, par l‟emploi d‟une chaîne numérique bidirectionnelle.

35

Malgré quelques distinctions concernant la construction du nombre chez l‟enfant tout-

venant entre les perspectives présentées par Piaget et ses collaborateurs (1964, 1967, 1967,

1977) d‟une part, et d‟autre part, par Gelman et Gallistel (1986), Van Nieuwenhoven (1996,

1999) et Fuson (1988, 1991), l‟ensemble de la littérature scientifique consultée en

psychologie et en didactique des mathématiques semble s‟entendre à savoir que le nombre

se construit par l‟action même du sujet et sa réflexion sur elle. Aucune étude ne semble

promouvoir la construction du nombre par simple répétition d‟un comportement numérique

attendu et « imité » par l‟enfant guidé par un adulte qui le renforce positivement par des

récompenses motivantes, comme le promeuvent A.B.A. et T.E.A.C.C.H. S‟il en est ainsi

pour l‟enfant tout-venant, et si la construction du nombre nécessite la construction

d‟abstraction et d‟opération, est-il possible de soutenir la construction du nombre chez

l‟enfant autiste dans la même perspective développementale?

37

3. Approche d’intervention pédagogique

Pour tenter de répondre à cette question, une approche d‟intervention pédagogique a été

mise en place dans une perspective développementale. Ce chapitre permettra d‟exposer les

idées maîtresses d‟une approche développementale, de présenter le projet pédagogique dans

son ensemble ainsi que les contextes mathématiques qui ont été mis en place aux fins du

présent mémoire.

3.1. Idées maîtresses d’une approche développementale

Une pédagogie basée sur une approche développementale doit respecter quelques principes

importants, dont la complexité de la tâche proposée à l‟enfant, le sens donné aux erreurs et

que l‟intervention soit située dans la zone proximale de développement de l‟enfant. Ces

trois idées maîtresses seront ici explicitées.

3.1.1. La complexité de la tâche

Dans l‟optique de soutenir la construction du concept de nombre chez l‟enfant autiste dans

une perspective développementale, il convient d‟emblée d‟exposer les assises de l‟approche

d‟intervention pédagogique. L‟intervenant ne doit pas décomposer les tâches considérées

« difficiles » pour l‟enfant; il doit constamment lui proposer des tâches complexes (Lavoie,

2004; Prince, 2011). L‟objectif lors du choix des tâches est de proposer un problème qui

peut être assimilé par l‟enfant, tout en causant un conflit cognitif qui l‟amène à sortir de sa

zone de confort (où aucun apprentissage ne peut être effectué, en raison que l‟enfant est

déjà en mesure d‟accomplir certaines de ces tâches par lui-même). L‟intervenant apporte

son soutien lors de la résolution des tâches complexes en permettant à l‟enfant d‟exprimer

son raisonnement ou en le questionnant sur l‟action qu‟il aura posée pour résoudre la tâche.

Les actions de l‟enfant et ses réflexions sur ces dernières permettent au raisonnement de

devenir « opérable ».

38

3.1.2. Le sens des erreurs

On cherche également à comprendre le sens des erreurs produites par l‟enfant pour

décortiquer sa logique et, ainsi, améliorer les enseignements mis en place. Les erreurs ne

doivent plus seulement être identifiées, mais on doit plutôt tenter de comprendre pourquoi

elles surviennent et comment on peut amener l‟enfant à ne plus les commettre. En ce sens,

Astolfi (1997) attribue un rôle nouveau à l‟erreur : « celui d‟indicateur et d‟analyseur des

processus intellectuels en jeu » (p.17). Un intérêt pour les erreurs commises par les élèves

dans le but de modifier les méthodes d‟enseignement se retrouve également chez Baruk

(2003).

3.1.3. La zone proximale de développement

Pour que ces interventions soient bénéfiques pour l‟enfant, ils doivent être à un niveau

particulier, défini par la zone proximale de développement (Z.P.D.). Ce concept, élaboré

par Vygotski dans les années 1930, met en lumière le fait que le niveau réel de l‟enfant ne

peut être établi seulement par les tâches qu‟il accomplit seul; il importe de considérer

également ce qu‟il peut faire en collaboration avec un adulte (Vygotski, 1997). En ce sens,

l‟adulte accompagne le sujet dans ses raisonnements mathématiques et le guide pour

favoriser les apprentissages. Lorsque l‟enfant ne répond pas correctement à une question

mathématique, il provoque en soutenant son raisonnement pour approfondir

l‟apprentissage, en exagérant les erreurs que l‟enfant commet afin que ce dernier parvienne

à réfléchir sur ses erreurs. De cette manière, on parvient à faire progresser l‟enfant peu à

peu, en le sortant de sa zone de confort et en bousculant ses conceptions actuelles sur le

nombre. Comme le souligne d‟ailleurs Vygotski, « la zone prochaine de développement [ou

zone proximale de développement] a une signification plus directe pour la dynamique du

développement intellectuel et la réussite de l‟apprentissage que le niveau présent de leur

développement. » (p.352, 1997).

39

3.2. Projet pédagogique d’ensemble

Un projet d‟intervention pédagogique basé sur la littérature de jeunesse et sur le jeu a été

mis sur pied. La période de temps pendant laquelle s‟étendent les interventions se divise en

plusieurs univers de connaissances différents orientés par le choix des livres de littérature

de jeunesse (Le Pôle Nord par exemple peut être travaillé pendant les mois de décembre à

février). En fonction de cet univers, l‟intervenante crée du matériel pour jouer

symboliquement (des marionnettes d‟animaux du pôle Nord, la construction d‟une

maquette de banquise, d‟un igloo …) et tous les livres qui seront utilisés abordent différents

aspects de la vie au Pôle Nord. En plus des récits, il est important de choisir des

documentaires en lien avec cet univers, pour apporter des connaissances sur le monde aux

enfants avec qui on élabore ce projet. Les récits seront utilisés à un rythme d‟un par

semaine, qui sera discuté en lecture interactive chaque jour. En lien avec ces histoires, des

jeux de règles (ou jeux de société) peuvent être élaborés pour travailler les notions

mathématiques.

Dans le cadre des interventions qui se sont déroulées de manière concomitante à ce

mémoire, les périodes de travail ont toujours été basées sur un même horaire, qui a une

durée d‟environ trois heures. D‟abord, un calendrier est construit avec l‟enfant pour

travailler les notions mathématiques de nombre et de temps. Après le travail en

mathématiques, la lecture du récit est effectuée. Lors de cette activité, l‟intervenante pose

des questions sur le récit afin d‟aider l‟enfant à construire la trame causale de l‟histoire

(comme : Que veut-il? Pourquoi fait-il cela? etc.). En plus de favoriser la structuration du

récit, la lecture interactive permet de consolider certains aspects logico-mathématiques,

comme les relations de causalité et de transitivité, notamment lors des questionnements à

propos des buts des personnages. Le nombre est travaillé une seconde fois à l‟aide d‟un jeu

de règles. Chaque jour de la semaine, un jeu est utilisé pour travailler différentes notions :

la comparaison, la classification, la sériation, etc. Ensuite, on s‟invente une histoire que l‟on

joue symboliquement (que ce soit avec de petites figurines ou des marionnettes sur la

maquette ou grandeur nature en incarnant des personnages). Lors du jeu symbolique,

l‟intervenante peut utiliser les informations recueillies dans les documentaires pour élargir

les connaissances sur le monde de l‟enfant et elle peut travailler des notions mathématiques,

40

telles que la classification et la hiérarchisation des connaissances exploitées dans le

contexte abordé.

Bien que les concepts logico-mathématiques soient impliqués ainsi dans tous les contextes,

la construction du nombre est travaillée plus spécifiquement dans deux contextes distincts

aux fins de ce mémoire : la construction d‟un calendrier et les jeux de règles (couramment

nommés jeux de société). Dans la prochaine section, ces contextes d‟interventions seront

explicités.

3.3. Contextes mathématiques aux fins du mémoire

Certains contextes d‟intervention permettent à l‟adulte de centrer ses questionnements sur

les nombres utilisés, les opérations et les relations s‟y rattachant pour viser la construction

du nombre dans ses aspects ordinal et cardinal. Dans le cadre de ce mémoire, deux

contextes sont privilégiés: la discussion et les manipulations autour du calendrier et dans les

jeux de règles.

3.3.1. Le calendrier

Dans le cadre de ce projet d‟intervention, on demande à l‟enfant de construire un calendrier

mural, en remplissant chaque jour une feuille avec la date, le nom de la journée et des

informations sur la température où sur les activités qui étaient planifiées. Quand cette

feuille est complétée, on lui demande d‟aller la coller sur un mur (ou un grand carton) qui

sert alors de calendrier. De cette manière, l‟intervenante peut constater certaines

organisations de temps chez l‟enfant. Dans le tableau 4, la feuille fournie à l‟enfant pour

illustrer chaque journée se trouve à gauche et un exemple de calendrier rempli se trouve à

droite.

41

Tableau 4 : Exemple de matériel utilisé pour faire un calendrier

Exemple de feuille de calendrier Exemple d‟une feuille remplie par un enfant

Exemple d‟un mois de calendrier rempli par un enfant

Voici comment se déroulent les interventions. Pour chaque journée, l‟intervenante

questionne l‟enfant sur les notions de temps. Elle lui demande « Quel jour de la semaine

sommes-nous? Quelle est la date d‟aujourd‟hui? » pour que l‟enfant soit en mesure de se

situer dans le temps.

42

L‟enfant doit inscrire le jour de la semaine et la date sur une petite feuille puis elle est

invitée à dénombrer de petits blocs emboîtables pour représenter le nombre de la date du

jour (série et quantité). Ensuite, à l‟oral, l‟intervenante la questionne sur la construction du

nombre. Des questions telles que : « Dans la date d‟aujourd‟hui, combien y aura-t-il de

paquets de dix et combien y aura-t-il de blocs tout seul? » sont posées pour représenter les

dizaines et les unités. Quand l‟enfant a répondu à ces questions, l‟intervenante l‟invite à

procéder au regroupement par 10 des blocs emboitables pour qu‟elle puisse concrètement

vérifier ses hypothèses sur la construction du nombre. L‟intervenante questionne l‟enfant à

nouveau pour savoir, une seconde fois lorsque tous les blocs sont organisés en groupement

de 10 sur la table, « Combien y a-t-il de paquets de dix et de blocs tout seuls? » et « Dans

tous ces paquets, il y a combien de blocs? ». L‟enfant peut alors manipuler et vérifier le

nombre à l‟aide des blocs emboitables (une dizaine ou un « paquet de dix » est représenté

par un bâton de dix blocs emboitables) et les coller sur la feuille de la journée représentée.

Cette feuille peut finalement être ajoutée au calendrier mensuel qui se trouve au mur.

Ensuite, l‟intervenante questionne l‟enfant sur les jours de la semaine et les dates d‟hier,

d‟avant-hier, de demain et d‟après-demain et sur les notions de semaine et de mois. Ces

questionnements ont pour but de travailler les opérations sur les nombres connus par

l‟enfant en ce sens que l‟enfant doit se souvenir de la date de la journée et additionner ou

soustraire 1 et 2 journées. L‟enfant peut, par contre, regarder le calendrier mural pour

guider ses réponses. Enfin, quand les feuilles quotidiennes sont ajoutées au calendrier, un

travail d‟observation et de comparaison est réalisé à l‟oral. L‟intervenante demande à

l‟enfant de lui indiquer quelle feuille contient le plus de blocs et quelle date y est inscrite.

Elle pose également les mêmes questions à propos de la feuille qui contient le moins de

blocs. Elle lui demande quel est le plus petit nombre et quel est le plus grand nombre

présent sur le calendrier et l‟enfant doit chercher une régularité (comme le 1 est toujours au

début et il ne contient pas beaucoup de blocs, mais le plus grand nombre change tous les

jours, comment cela se peut-il? etc.). Les objectifs derrière cette activité sont de favoriser le

dénombrement entre 1 et 31, de comprendre les notions de temps (comme les journées, les

43

semaines et les mois) et de réaliser des opérations sur la chaîne numérique, ce qui sollicite

la correspondance terme à terme entre le bloc et le nombre énoncé par l‟enfant14

.

3.3.2. Les jeux de règles

Pour travailler les différents aspects du nombre, divers jeux de règles peuvent être utilisés.

Chaque fois, l‟objectif pédagogique précis est de soutenir l‟enfant dans sa construction du

concept du nombre. Pour ce faire, l‟intervenante questionne l‟enfant sur les nombres

utilisés dans le cadre du jeu, sur les relations et sur les opérations qui peuvent y être

effectuées, que ce soit dans leur aspect ordinal ou cardinal selon le contexte du jeu, tout en

demeurant dans sa zone proximale de développement. À titre d‟exemple, voici un jeu qui a

été construit dans le cadre de ce projet d‟intervention pédagogique à partir d‟un livre de

littérature de jeunesse, Cher Ours polaire… de Barry Ablett15

dans le but de construire le

concept du nombre.

14 Travaillant prioritairement sur le petit nombre, il convient de préciser que le travail sur la dizaine est sans

doute précoce. Comme ce sont des avancées et des discussions que l‟on fait avec les jeunes enfants tout-

venant en train de construire les assises même du petit nombre par l‟opération sur ce dernier, ces

questionnements sur le regroupement de 10 n‟ont pas été évités. L‟intention derrière n‟étant pas d‟exiger

une réussite et une pleine compréhension immédiate de la base 10, mais strictement de susciter une

expérience répétée de regroupement sur lequel, le temps venu, l‟enfant sera poussé à construire des

régularités sur cette base. Autrement dit, ce travail se faisait en pleine connaissance et en considération du

niveau de l‟enfant. Par exemple, sans conservation du nombre, les 21 blocs séparés ne représentaient sans

doute pas la même quantité pour l‟élève qu‟une fois emboités. Il convenait de prendre le temps de

recompter, ceci pouvant contribuer à soulever, à long terme, une problématisation chez l‟enfant. 15

Cher Ours polaire… est l‟histoire d‟un ours polaire qui est triste parce qu‟il est seul. Il décide donc d‟écrire

des lettres à ses amis et de les envoyer avec Pingouin le facteur. Il demande à Koala de lui envoyer

quelque chose pour décorer son igloo, car celui-ci est triste et vide. Ensuite, il écrit à l‟Ours malais pour

lui demander de lui envoyer quelque chose de bon à manger parce que la nourriture qu‟il a au Pôle Nord

est gelée. Puis, il demande à son ami Panda s‟il n‟aurait pas une astuce pour se réchauffer, car il a froid au

Pôle Nord. Celui-ci lui envoie des vers à soie. Ne sachant pas ce que c‟était, il envoie une lettre à son amie

Grizzly pour lui dire qu‟il s‟ennuie et lui demande conseil pour les vers. À la tombée de la nuit, il ne voit

pas bien toutes les belles choses qui se trouvent dans son igloo. Il écrit une lettre à l‟Ours à lunettes pour

savoir comment voir dans le noir. L‟Ours polaire est heureux que tous ses amis aient pu l‟aider et il leur

écrit une dernière fois pour les remercier. Quelques jours plus tard, le facteur lui apporte un énorme colis

contenant tous ses amis.

44

3.3.2.1 Jeu de Cher Ours polaire …

Figure 11 : Plateau du jeu Cher Ours polaire …

Les joueurs sont des petits pingouins facteurs qui doivent distribuer les lettres de l‟Ours

polaire à ses amis. Un joueur doit piger une lettre et la lire à voix haute. Tous les pingouins

doivent aller porter cette lettre. Celui qui atteint le destinataire en premier gagne la lettre et

doit en piger une nouvelle, qui devra être remise par un pingouin. À la fin de la partie, les

joueurs comptent le nombre de lettres qu‟ils ont remises et le vainqueur est celui qui en a

donné le plus.

Par ce jeu, nous pouvons travailler la construction du nombre ainsi que la comparaison.

Pour avancer les pions, un dé numéroté de 1 à 6 est utilisé. Certaines questions sont posées

lors des parties pour travailler le nombre. Quand nous devrons rejoindre un ami de l‟Ours

polaire, l‟intervenante demande : « Combien de cases est-ce qu‟il te manque pour donner la

lettre? Et il m‟en manque combien? Qui est le plus proche? Qui est le plus loin? Qui va

arriver en premier? Par quel chemin vas-tu passer?». Par ces questions, les aspects du

nombre et la comparaison sont travaillés. Cette dernière question exige, à la fois, que

l‟enfant dénombre les cases entre le point de départ et le point d‟arrivée, qu‟il établisse un

cardinal pour chaque chemin possible et qu‟il utilise ces cardinaux pour comparer les divers

chemins et choisir le plus rapide, selon la destination du moment. À titre d‟exemple, si le

pion de l‟intervenante se retrouve à 3 cases de Koala et que celui de l‟enfant est à 4 cases, il

doit vérifier lequel entre les deux est le plus proche en comptant le nombre de cases

45

séparant les pingouins de Koala. L‟enfant peut faire une correspondance terme à terme avec

son doigt pour s‟assurer de bien compter les cases, mais il doit aussi concevoir la

cardinalité, en ce sens que les cases dénombrées représentent une quantité précise révélée

par le dernier mot nombre énoncé. On peut également travailler la comparaison grâce aux

enveloppes que l‟on peut acquérir pendant la partie grâce à des questions du type : « Qui en

a le plus? Qui en a le moins? Est-ce qu‟on en a le même nombre? Montre-moi pourquoi. »

L‟utilisation des enveloppes facilite la comparaison, car il est possible de les manipuler,

contrairement aux cases entre les pions et la destination.

3.3.2.2 Autres jeux pour favoriser la construction du concept de nombre

Pour atteindre les objectifs pédagogiques qui permettent de construire le nombre, certains

jeux commerciaux peuvent être utilisés si l‟intervenante oriente ses questionnements à cet

effet. À titre d‟exemple, les jeux16

Croque-carotte© et Allez les escargots

©17 peuvent s‟y

prêter. Le tableau 5 donne un aperçu de ces jeux, des contraintes mathématiques qu‟ils

contiennent et des exemples de questionnements mathématiques appropriés.

16 Ces deux jeux sont commercialisés par la compagnie Ravensburger

®.

17 Dans le jeu original, les deux dés sont colorés et chaque escargot avance d‟une case à la fois. Pour

augmenter le niveau, un dé numéroté peut être utilisé pour travailler les concepts mathématiques.

46

Tableau 5 : Utilisation de divers jeux de règles commerciaux

Jeu Contraintes

mathématiques

Questionnements

mathématiques

But : Atteindre la carotte avec

l‟un de ses lapins, sans que les

lapins ne disparaissent dans les

trous de la montagne.

- Avancer de 1, 2 ou 3

cases, selon la carte pigée,

en utilisant la

correspondance terme à

terme entre le nombre sur

la carte et le nombre de

cases à parcourir.

- Plateau non linéaire (les

lapins doivent gravir la

montagne en tournant

autour).

- Combien dois-tu obtenir

pour atteindre la carotte?

- Quel lapin se trouve le

plus près de la carotte?

- Quel lapin se trouve le

plus loin de la carotte?

- Quel lapin est le premier?

- Quel lapin est le dernier?

- Quel lapin est devant?

Lequel est derrière?

- Pour éviter les cases

dangereuses, de combien

de cases dois-tu avancer?

But : Atteindre la ligne

d‟arrivée avec tous les

escargots.

- Utilisation d‟un dé

numéroté de 1 à 6 pour le

déplacement.

- Compter le nombre de

cases de déplacement.

- Utilisation des notions de

position.

- Quelle est la position de

l‟escargot X?

- Qui est premier?

Deuxième? Troisième?...

- Qui est dernier?

- Qui est le plus près de la

ligne d‟arrivée? Qui est le

plus loin? De combien de

cases est-il le plus loin?

- Qui est devant l‟escargot

X? Qui est derrière lui?

- Est-ce qu‟il y a des

escargots qui sont à la

même position?

- Combien lui manque-t-il

de cases pour gagner?

47

En somme, la construction du concept de nombre peut être travaillée de diverses manières.

Dans le cadre de ce mémoire, deux contextes particuliers sont abordés: le calendrier et les

jeux de règles. Dans le cadre du calendrier, les objectifs pédagogiques visaient à

complexifier la compréhension des notions de temps et de contribuer à la construction du

nombre. Dans le cadre des jeux de règles, les objectifs pédagogiques visaient à travailler les

opérations de comparaison, de quantification, de sériation et de classification sur les

nombres. Pour ce faire, divers jeux de règles peuvent être utilisés, comme des jeux

construits par l‟intervenant ou des jeux commerciaux.

49

4. Méthodologie

Une fois l‟approche pédagogique décrite en lien avec la construction du nombre chez un

enfant, la méthodologie de la recherche ainsi réalisée peut être décrite. Dans les prochaines

sections, le but et les objectifs de la recherche seront circonscrits. Ensuite, le type d‟étude,

le sujet, les modalités d‟intervention, la collecte de données, le protocole d‟entrevue semi-

dirigée et le plan d‟analyse des données seront présentés, en lien avec le but et les objectifs

spécifiques de cette recherche.

4.1. But et objectifs de la recherche

Il convient de rappeler que le présent projet de recherche vise à répondre à la question

suivante : « Si avec l‟enfant tout-venant les méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H. ne sont pas

utilisées pour favoriser la construction du nombre, pouvons-nous soutenir cette même

construction chez l‟enfant autiste en délaissant ces méthodes au profit d‟une pédagogie

développementale? » La recherche de réponse à cette question fait émerger à son tour deux

sous-questions : « Quelle compréhension des aspects ordinal et cardinal du nombre l‟enfant

autiste démontre lors de la résolution de tâches mathématiques? » et « En quoi cet enfant

évolue dans la compréhension des aspects ordinal et cardinal du nombre à la suite

d‟intervention basée sur la construction d‟un calendrier et sur le jeu? ».

Dans cette optique, le but de cette étude est de décrire les progrès réalisés par un enfant

autiste dans l‟apprentissage du concept de nombre en travaillant les notions mathématiques

par une pédagogie développementale basée sur le jeu. Deux objectifs spécifiques ont ainsi

été circonscrits :

1. Décrire la progression de la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre;

2. Décrire la progression de la compréhension de l‟aspect cardinal du nombre.

4.2. Type d’étude

Ce projet de recherche est une étude de cas réalisée dans le cadre d‟un projet d‟intervention

pédagogique basé sur la littératie et sur le jeu visant, dans le cas qui nous intéresse ici, à

50

construire le concept de nombre chez un enfant. En ce sens, cette recherche s‟inscrit dans

un courant phénoménologique et herméneutique, car il ne s‟agit pas seulement de décrire

les phénomènes observés, il faut également les comprendre (Van Manen, 1984, cité par

Anadón, 2006; Van der Maren, 1995).

Pour avoir accès aux raisonnements de l‟enfant pendant toute la durée des interventions,

afin de constater les progrès ou les reculs vis-à-vis du nombre et ainsi établir la zone

proximale de développement où les interventions devaient être réalisées, la méthode de

recherche-action a été utilisée. L‟intervenante-chercheure devait constamment ajuster son

approche pour répondre aux besoins de l‟enfant, tout en conservant ses objectifs

pédagogiques en tête. Cette méthode est très dynamique et se déroule en trois grandes

étapes, qui ne suivent pas forcément un ordre linéaire : 1) l‟action; 2) l‟observation; et 3) la

réflexion. Chacune de ces étapes est présentée sous forme de boucle (ou de spirale) pour

illustrer le processus par lequel passe le chercheur (Dolbec & Clément, 2004).

4.3. Sujet

Le sujet de cette étude est une enfant de 10 ans au début de l‟étude et de 12 ans à la fin

ayant reçu un diagnostic d‟autisme et de déficience intellectuelle qui se nomme Marianne18

.

Les parents, qui sont des professionnels, sont très présents et à l‟écoute des besoins de leur

enfant. Cette dernière a un demi-frère plus âgé de 27 ans qui ne vit plus à la maison. La

scolarisation antérieure de l‟enfant s‟est déroulée amplement autour d‟interventions

béhavioristes promues par les méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H., telles que décrites

précédemment.

Comme on cherchait à tracer la progression d‟une enfant autiste pour laquelle des

interventions d‟ordre développemental devaient être déployées au quotidien, cela a exigé de

sélectionner un seul sujet pour qui les parents acceptaient cette « intrusion » dans leur vie; il

18 Il s‟agit d‟un nom fictif.

51

s‟agit d‟un cas « par convenance »19

. La définition d‟étude de cas utilisée ici s‟apparente à

celle qualifiée d‟ « intrinsèque » par Stake (1994), qui considère l‟étude de cas comme un

choix du sujet à étudier plutôt que comme un choix méthodologique. C‟est le sujet étudié

en soi qui amène à se questionner sur la construction du nombre dans ses aspects ordinal et

cardinal. Ce type d‟étude de cas signifie pour cet auteur que l‟on s‟intéresse à traiter en

profondeur un seul sujet, pas parce qu‟il est représentatif d‟un échantillon, mais bien parce

qu‟il représente des atouts permettant de répondre aux questions inhérentes à la recherche

en soi (Karsenti & Demers, 2000; Stake, 1994).

4.4. Modalités et temps d’intervention

La recherche se déroule dans un mode d‟intervention pédagogique individuelle ayant une

visée développementale, tel que décrit au chapitre précédent. Lors de la première année

d‟intervention (réalisé en 2011-2012 par une autre intervenante-chercheure20

), les

rencontres se déroulaient à la maison, à raison de 5 demi-journées par semaine. Le reste du

temps, l‟enfant était scolarisée dans une classe spécialisée pour enfants ayant une

déficience intellectuelle moyenne ou sévère. Lors de la deuxième année, les rencontres

individuelles avaient lieu dans un local de l‟école où était scolarisée l‟enfant, à raison de 4

demi-journées par semaine. Ces rencontres étaient également réalisées selon l‟approche

pédagogique décrite précédemment.

4.5. Collecte de données

Pendant les deux années d‟intervention auprès de cette enfant, des données ont été prises à

quatre moments pour tenter de tracer sa progression dans la construction du concept de

19 Il s‟agit d‟un cas par convenance, au même sens qu‟un échantillon de convenance, c‟est-à-dire un

échantillon de population choisi pour sa praticité et son accessibilité lors d'une enquête (Miles et

Huberman, 2007). 20

Cette intervenante-chercheure était madame Marie-Pierre Baron, doctorante en psychopédagogie. Il

convient, par le fait même, de la remercier d‟avoir bien voulu partager ses données sur le nombre aux fins

de ce mémoire.

52

nombre, soit en octobre 2011, en mai 2012, en février 2013 et en juillet 2013. Les deux

premières évaluations ont été réalisées au domicile de l‟enfant où se déroulaient les

interventions à ce moment et les deux dernières ont eu lieu à l‟école primaire de l‟enfant et

au camp de vacances pour le mois de juillet, car c‟était à ces endroits que prenaient place

les interventions.

Tableau 6 : Données collectées

Octobre 2011 Mai 2012 Février 2013 Juillet 2013

Entrevue semi-

dirigée, retranscrite

en verbatim

Entrevue semi-

dirigée, retranscrite

en verbatim

Entrevue semi-

dirigée, retranscrite

en verbatim

Entrevue semi-

dirigée, retranscrite

en verbatim

Interventions quotidiennes de trois heures pendant les années scolaires 2011-2012 et 2012-

2013.

Chaque évaluation était étalée sur une semaine, ceci ayant pour but de réaliser quelques

items par jour (d‟une durée maximale de 30 minutes), pour conserver l‟implication de

l‟enfant dans la tâche et ainsi d‟avoir une idée juste de son niveau. En ce sens, comme il

s‟agit toujours de la même personne qui est évaluée à plusieurs moments distincts sur une

période de temps préétablie pour tracer une évolution, cette recherche est donc

longitudinale (Zazzo, 1967).

4.6. Protocole d’entrevue semi-dirigée

Afin de répondre aux deux objectifs spécifiques suivants : 1) décrire la progression de la

compréhension de l‟aspect ordinal du nombre; et 2) décrire la progression de la

compréhension de l‟aspect cardinal du nombre, un protocole d‟entrevue semi-dirigée,

fortement inspiré des travaux de Piaget, a été élaboré. Un exemplaire du protocole se

retrouve à l‟annexe 1. Les items du protocole ont été réalisés sans soutien important de la

part de l‟adulte. Ils ont tous été vidéofilmés et retranscrits sous forme de verbatims par

l‟intervenante-chercheure.

53

4.6.1. Description des items du protocole d’entrevue

Les items21

du protocole peuvent être divisés en deux groupes : ceux qui vérifient la

compréhension de l‟aspect ordinal du nombre (objectif spécifique 1) et ceux qui vérifient la

compréhension de l‟aspect cardinal du nombre (objectif spécifique 2).

4.6.1.1 Items portant sur l’aspect ordinal du nombre

Deux items ont été réalisés pour vérifier la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre

chez l‟enfant : la sériation d‟objets de tailles différentes et la sériation d‟objets faisant une

course.

4.6.1.1.1 Item 1 : Sériation d’objets de tailles différentes

Le premier item concerne la sériation en ordre croissant d‟objets. L‟intervenante-

chercheure présente une série de cartons de différentes longueurs qu‟elle dépose de façon

aléatoire sur la table. Elle demande à l‟enfant de les placer en ordre en commençant par le

plus petit jusqu‟au plus grand. Cet item sert à vérifier si l‟enfant est capable de sérier des

éléments en fonction de leur taille.

- Placer X cartons de différentes longueurs sur la table. « Peux-tu les placer du plus

petit au plus grand?»

21 Au départ, seules les évaluations réalisées lors de la deuxième année devaient être analysées. Par contre,

comme l‟intervenante de la première année a accepté de partager ses données sur le nombre, il est possible

d‟établir une progression de la compréhension du nombre sur une plus longue période de temps. Le

protocole utilisé pendant les deux premières évaluations et pendant les deux dernières n‟est pas le même,

bien que les deux protocoles élaborés (le premier ayant été réalisé par la première intervenante, madame

Marie-Pierre Baron) observent les mêmes éléments par différentes tâches. Dans le cadre de ce mémoire,

seul le protocole utilisé lors de la deuxième année sera décrit.

54

4.6.1.1.2 Item 2 : Sériation d’objets faisant une course

Le deuxième item concerne la sériation d‟éléments d‟une même collection. L‟intervenante-

chercheure utilise des escargots en bois de différentes couleurs et les dispose en ligne,

comme s‟ils faisaient une course. Elle questionne l‟enfant sur la position de chaque

escargot (« Quelle est la position de l‟escargot bleu? De l‟escargot jaune? Qui est le

dernier? Qui est le premier? », etc.) et sur des éléments spatiaux également (« Qui est

devant l‟escargot bleu? Qui est derrière le deuxième? », etc.).

- Placer les 6 escargots de couleur (bleu, rose, orange, rouge, vert, jaune) en ligne.

«Lequel est le premier? Lequel est le dernier? L‟escargot orange est à quelle

position?», «Quel escargot est devant le orange? Quel escargot est derrière le

orange? Si l‟escargot orange est le troisième, quelle est la position de l‟escargot

rose? Et si l‟escargot rouge est après le orange, c‟est quoi sa position?»

4.6.1.2 Items portant sur l’aspect cardinal du nombre

Six items ont été réalisés pour vérifier la compréhension de l‟aspect cardinal du nombre

chez l‟enfant : la comparaison de collections d‟objets identiques et d‟objets différents

(correspondance terme à terme), la conservation de quantités continues et discontinues, le

comptage et la cardinalité.

4.6.1.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d’objets identiques (correspondance

terme à terme)

Le premier item concerne la correspondance terme à terme et se déroule en deux étapes

distinctes. Premièrement, devant l‟enfant, l‟intervenante-chercheure dresse deux collections

de jetons de couleurs différentes, comportant un nombre légèrement différent (un seul jeton

de différence entre les deux collections), pour que l‟enfant ne puisse pas seulement utiliser

des éléments perceptifs pour répondre. Ces derniers doivent être placés pêle-mêle sur la

55

table. La question : « Est-ce qu‟il y a plus de jetons ici (première collection), ici (deuxième

collection) ou c‟est pareil? » est posée et reformulée à deux reprises pour que les choix ne

se retrouvent pas toujours dans le même ordre, pour éviter que l‟enfant ne fasse que

répondre le dernier élément énoncé par l‟intervenante-chercheure en utilisant l‟effet de

récence. Par la suite, elle questionne l‟enfant pour comprendre comment elle peut faire pour

le savoir. Si l‟enfant n‟y arrive pas, l‟intervenante-chercheure modifie le nombre de jetons

des collections pour qu‟il y ait une grosse différence entre les deux cardinaux. Le même

questionnement doit être utilisé.

- Disposer sur la table deux collections inégales. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici

ou c‟est pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»

- «Qu‟est-ce que tu peux faire pour que ce soit égal?»

Deuxièmement, l‟intervenante-chercheure retire les jetons utilisés précédemment et dresse

deux nouvelles collections comportant, cette fois-ci, le même nombre de jetons. Son

questionnement reste le même : « Est-ce qu‟il y en a plus ici (première collection), ici

(deuxième collection) ou c‟est pareil? » sans oublier de varier l‟ordre des choix de

réponses. Elle demande également à l‟enfant comment elle peut savoir que c‟est pareil ou

s‟il y a une collection qui comporte plus de jetons que l‟autre (selon la réponse donnée par

l‟enfant).

56

- Disposer sur la table deux collections égales. « Est-ce qu‟il y en a plus ici, ici ou c‟est

égal? Est-ce qu‟il y en a égal ou plus ici ou ici? » (Réduire les collections si elle ne

réussit pas.)

Le but de cet item est de vérifier les stratégies utilisées par l‟enfant lors d‟une tâche de

comparaison de collections formées par une autre personne : est-ce qu‟elle recourt au

comptage, à la correspondance terme à terme, à la reconnaissance visuelle…?

4.6.1.2.2 Item 2 : Comparaison de collections d’objets différents (correspondance

terme à terme)

Le deuxième item concerne à la fois la conservation de quantités discontinues et la

correspondance terme à terme. Premièrement, l‟intervenante-chercheure place sur la table

des images de fruits pêle-mêle (6 images de pommes et 4 images de framboises). Elle

demande à l‟enfant s‟il y a plus de pommes, plus de framboises ou si c‟est pareil, en

prenant soin de la poser trois fois, en variant l‟ordre des choix de réponse pour vérifier que

l‟enfant ne réponde pas seulement en utilisant l‟effet de récence.

- Placer 6 images de pommes et 4 images de framboises sur la table. Demander à

l‟enfant «Est-ce qu‟il y a plus de pommes ou plus de framboises? Est-ce qu‟il y en a

plus ici, ici ou c‟est pareil?» (Reformulation de la question pour éviter l‟effet de

récence.)

Deuxièmement, l‟adulte forme une rangée de trois pommes et une autre de quatre

framboises. Toutefois, les deux rangées occupent la même longueur sur la table, en raison

de l‟espacement entre les images. L‟adulte questionne l‟enfant pour savoir s‟il y a plus de

57

pommes, plus de framboises ou si c‟est pareil. Tout comme les items précédents, cette

question est reformulée deux fois pour varier l‟ordre des choix de réponses et l‟enfant est

questionnée sur son choix (« Comment tu fais pour le savoir? ») pour vérifier la stratégie

utilisée dans ce contexte. Ensuite, elle espace les images de pommes pour que cette rangée

dépasse la rangée de framboises à la droite et à la gauche, en raison de l‟augmentation de

l‟espace laissé entre chaque image. L‟enfant est questionnée à nouveau, de la même façon.

Ces questionnements permettent à l‟expérimentatrice de vérifier si l‟enfant a construit la

conservation des quantités discontinues.

- Former 2 rangées : une avec 3 images de pommes et l‟autre avec 4 images de

framboises. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil?» Déplacer les images

de pommes pour que cette rangée soit plus longue que celle de framboises ou déplacer

les images de framboises pour que cette rangée soit moins longue que la rangée de

pommes et questionner l‟enfant : «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil?

Pourquoi? »

4.6.1.2.3 Item 3 : Conservation de quantités continues

Le troisième item concerne la conservation de quantités continues. En raison du niveau de

développement de l‟enfant qui évolue autour de la construction du nombre dont il est

question dans ce mémoire, l‟observation de la conservation sera circonscrite autour de

certaines des quantités continues (avec une substance comme de la pâte à modeler), car

elles sont acquises plus tôt dans le développement des enfants, comparativement à la

conservation du poids ou du volume, par exemple. Cet item est tiré des travaux de Piaget.

L‟intervenante-chercheure présente deux boules de pâte à modeler de même taille à

l‟enfant. Celle-ci doit confirmer qu‟elles contiennent toutes deux la même quantité de pâte

en répondant à une question : « Est-ce qu‟il y a plus de pâte ici (en pointant la première

boule), ici (en pointant la seconde boule) ou c‟est pareil? » Celle-ci est reformulée à deux

58

reprises en changeant l‟ordre des éléments pour s‟assurer que l‟enfant ne fait pas qu‟utiliser

l‟effet de récence en nommant le dernier élément énoncé par l‟adulte.

- Faire deux boules de pâte à modeler de même grosseur, de couleur différente. «Est-ce

que les deux boules sont pareilles?»

Ensuite, lorsque l‟égalité est convenue, l‟intervenante-chercheure prend une boule et la

transforme, sous les yeux de l‟enfant, en galette en l‟écrasant de la main. Elle demande à

l‟enfant si les deux parts contiennent la même quantité de pâte, en reprenant les mêmes

questions.

- Faire une galette avec une des deux boules. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou

c‟est pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»

L‟adulte effectue un retour à l‟état initial en reformant une boule avec la galette et en

redemandant à l‟enfant de confirmer l‟égalité.

- Reformer les deux boules. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil? Est-ce

qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»

Puis, l‟adulte reprend la boule, la transforme cette fois-ci en rouleau et elle questionne

l‟enfant à nouveau sur l‟égalité entre les deux parts de pâte.

59

- Prendre une boule et faire un rouleau avec. ««Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou

c‟est pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?».

Pour une seconde fois, l‟adulte effectue un retour à l‟état initial et questionne l‟enfant.

- Reformer les deux boules. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil? Est-ce

qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»

Finalement, elle transforme la boule en plusieurs miettes et questionne à nouveau l‟enfant

s‟il y a un endroit où il y a le plus de pâte ou si c‟est égal. Cet item a pour but de vérifier si

l‟enfant comprend les modifications qui sont effectuées ou si elle ne se fie qu‟à sa

perception lorsqu‟elle affirme que les deux parts ne sont plus égales, bien que

l‟intervenante-chercheure n‟ait fait aucun ajout ni aucun retrait de pâte lors de

l‟expérimentation.

- Prendre une boule et faire des miettes. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est

pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»

60

4.6.1.2.4 Item 4 : Conservation de quantités discontinues

Le quatrième item concerne la conservation de quantités discontinues et elle a été vérifiée

par deux tâches distinctes. Lors de la première tâche, l‟intervenante dresse une rangée de 5

images de pomme sur la table. Elle demande à l‟enfant de construire une rangée pareille

avec des images de framboise.

- Faire une rangée avec 5 images de pomme sur la table. «Peux-tu me mettre la même

chose de framboises que j‟ai de pommes?»

Puis, l‟intervenante modifie l‟apparence de la rangée d‟images de pomme en rapprochant

les images l‟une de l‟autre de manière à ce que la rangée de l‟enfant (alors non modifiée)

soit plus longue ou en éloignant les images l‟une de l‟autre de manière à ce que la rangée de

l‟enfant soit plus courte. À la suite de ces modifications, elle questionne l‟enfant pour

savoir si l‟une des deux rangées comporte plus d‟éléments que l‟autre.

- Sous les yeux de l‟enfant, déplacer les images de la rangée de référence de manière à

ce que cette rangée dépasse celle de l‟enfant à droite et à gauche, en raison de

l‟espacement entre les images. « Y a-t-il plus de pommes, plus de framboises ou c‟est

pareil? » Modifier l‟ordre des choix de réponses pour éviter que l‟enfant ne réponde

qu‟en utilisant l‟effet de récence.

Cet item vise à vérifier la conservation des quantités discontinues (ou du nombre). Si

l‟enfant a construit une opération de conservation, les modifications apportées par

l‟expérimentatrice n‟affecteront pas le compte des images de fruits et elle ne ressentira pas

le besoin de les recompter chaque fois. Si, par contre, le nombre n‟est pas conservé, elle

énoncera qu‟une rangée de fruits comporte plus d‟éléments, même si les deux rangées sont

équivalentes.

61

4.6.1.2.5 Item 5 : Comptage22

Le cinquième item en est un de comptage, qui se déroule en plusieurs étapes.

L‟intervenante-chercheure demande d‟abord à l‟enfant de compter le plus loin possible,

dans le but de déterminer l‟étendue de la chaîne numérique correctement réalisée par

l‟enfant pour pouvoir fixer les limites dans laquelle elle peut la questionner sur le nombre.

- «Peux-tu compter le plus loin possible?» L‟enfant se rend jusqu‟à Y.

Ensuite, elle lui demande de compter en tenant compte d‟une borne supérieure, d‟une borne

inférieure, en tenant compte de ces deux bornes à la fois et de compter à rebours.

- «Peux-tu compter jusqu‟à Z (Z plus petit que Y)»

- «Peux-tu compter à partir de X?» X est plus petit que Y

- «Peux-tu compter à partir de X jusqu‟à Z?»

- «Peux-tu compter à l‟envers à partir de Z?»

Le soutien de l‟intervenante-chercheure doit être apporté seulement pour recentrer l‟enfant

dans la tâche; pour ce faire, elle répète exactement ce que l‟enfant a formulé précédemment

pour l‟emmener à poursuivre d‟elle-même ou lui reformule la consigne qui était demandée.

En aucun cas, elle ne doit donner les réponses à l‟enfant. Cet item a pour but de connaître

l‟étendue de la chaîne numérique connue par l‟enfant et les opérations qu‟elle est capable

d‟y faire.

4.6.1.2.6 Item 6 : Cardinalité

Le sixième item tente de vérifier la cardinalité et le recours au comptage chez l‟enfant, par

l‟intermédiaire de deux tâches distinctes. Lors de la première tâche, l‟intervenante-

22 L‟item de comptage a été classé comme faisant seulement appel à l‟aspect cardinal du nombre. Par contre,

lorsque le nombre est réellement bien construit, les deux aspects (ordinal et cardinal) sont totalement

imbriqués et, par le fait même, impliqués conjointement lors de tout comptage.

62

chercheure présente une rangée horizontale de bâtonnets de bois, en veillant à laisser un

espace entre chacun, devant l‟enfant et elle lui demande combien il y en a.

- Déposer X bâtonnets sur la table, en rangée. «Combien est-ce qu‟il y a de bâtonnets

sur la table?»

L‟intervenante-chercheure reprend les mêmes bâtonnets, les éparpille sur la table et

redemande à l‟enfant combien il y a de bâtonnets. Lorsque l‟enfant a répondu, elle les

reprend et reforme une ligne horizontale en espaçant tous les bâtonnets et redemande à

l‟enfant combien il y en a.

- En déplaçant les bâtonnets qui ont été comptés : «combien y a-t-il de bâtonnets

maintenant?» Une première fois en les plaçant pêle-mêle et une seconde fois en

reformant une rangée espacée.

Elle reforme la ligne initiale horizontale avec les bâtonnets et questionne à nouveau l‟enfant

de gauche à droite pour savoir combien il y en a et de droite à gauche.

- Lorsque les bâtonnets sont replacés en une rangée : «Et si tu commences par ici,

combien tu vas en avoir? Et si on commence de l‟autre côté? Combien tu auras de

bâtonnets?»

Lors de la deuxième tâche, l‟intervenante-chercheure place 5 silhouettes de femmes sur la

table. Elle met l‟enfant en contexte : elle devra aller au centre commercial (représenté ici

par une table à l‟autre bout du local) pour dénicher des tenues de soirée pour les dames.

63

Chacune d‟elles doit avoir une robe, des chaussures et trois bracelets. L‟enfant est invitée à

se rendre au centre commercial pour apporter les éléments nécessaires en une seule fois. Si

l‟enfant n‟y arrive pas, l‟intervenante-chercheure peut lui suggérer de retourner une

deuxième fois au magasin en sachant combien de morceaux exactement elle a besoin. Cet

item a pour but de forcer l‟enfant à recourir au comptage, car elle n‟est plus en mesure,

dans un contexte comme celui-ci où les éléments qu‟elle doit apparier ne se retrouvent pas

au même endroit, d‟utiliser la correspondance terme à terme.

- Prendre 5 dames en carton. Apporter un ensemble de robes, de souliers et de bijoux

pour habiller les dames. «Tu devras aller au magasin chercher des vêtements et des

accessoires pour toutes les mesdames. Prends les vêtements que tu as besoin pour

que chaque dame soit prête pour aller au bal. Les dames doivent avoir une robe, des

souliers et trois bracelets. Le magasin ferme bientôt, donc on doit faire notre

commande au complet.» (Si l‟enfant n‟y arrive pas en une seule fois, lui permettre

de retourner au magasin une deuxième fois.)

4.7. Plan d’analyse des données

Pour pouvoir se prononcer sur la compréhension des aspects ordinal et cardinal du nombre

chez le sujet, on s‟intéresse ici à ses réponses; ces dernières seront analysées puis appuyées

sur la discussion autour de ces réponses pour établir la construction de certains éléments du

nombre. Cette recherche s‟inscrit donc dans une démarche qualitative d‟analyse de

données, car on interprète le sens et la signification des phénomènes humains observés

(Merriam, 1998; Mucchielli, 2009).

L‟implication de la chercheure au sein même de la recherche amène le besoin de prendre

certaines précautions méthodologiques. En ce sens, pour réduire au maximum les

64

possibilités de subjectivité et de biais de la part de la chercheure, toutes les analyses ont été

réalisées en interjuges avec une professeure de l‟Université Laval23

.

23 Cette professeure est madame Hélène Makdissi, directrice de cette recherche, qui a construit le projet

d‟intervention pédagogique. En raison du faible nombre de données à analyser (seulement 4 moments

d‟évaluation), l‟ensemble des items ont été évalués séparément par la professeure Makdissi et

l‟intervenante-chercheure, puis mis en commun par la suite jusqu‟à entente en prenant soin de préciser

dans les analyses les éléments nécessaires à l‟entente.

65

5. Analyses des résultats

La présente section sera divisée en quatre parties distinctes correspondant chacune à un

temps d‟évaluation différent : octobre 2011, mai 2012, février 2013 et juillet 2013. Chacune

de ces parties se divisera en trois sous-parties : une analyse des items vérifiant la

compréhension de l‟aspect ordinal du nombre, une analyse des items vérifiant la

compréhension de l‟aspect cardinal du nombre et une synthèse de la compréhension de

l‟enfant ainsi inférée à chacun de ces quatre temps d‟évaluation.

5.1. Évaluation 1 : Octobre 2011

Lors de la première évaluation, qui a été réalisée en octobre 2011, la compréhension de

l‟aspect ordinal du nombre de Marianne a été évaluée par deux items du protocole, soit la

sériation d‟objets de tailles différentes et la sériation d‟objets faisant une course. La

compréhension de l‟aspect cardinal du nombre a été évaluée par cinq items du protocole,

soit la comparaison de collections, la conservation de quantités continues et de quantités

discontinues, le comptage et la cardinalité.

5.1.1. Items vérifiant la compréhension de l’aspect ordinal du nombre

La présente section expose, d‟une part, les analyses concernant la capacité de l‟enfant à

sérier en ordre de grandeur cinq pailles différentes et, d‟autre part, sa capacité à considérer

les diverses positions d‟objets d‟une série.

5.1.1.1 Item 1 : Sériation d’objets de tailles différentes

L‟intervenante demande à l‟enfant de sérier quatre pailles, puis d‟en ajouter une cinquième

à la série élaborée. Cet item a pour but de vérifier la sériation effectuée par l‟enfant en

portant particulièrement l‟attention sur la réalisation de l‟épreuve en soi, plutôt que sur la

sériation produite. La figure 12 présente la sériation effectuée par l‟enfant, la dernière paille

ajoutée étant indiquée par une ligne plus large que les quatre autres.

66

Figure 12 : Sériation de cinq pailles réalisée en octobre 2011

Extrait 124

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

(Place 4 pailles sur la table, devant l’enfant, la paille 1 étant toujours la plus petite.) J‟ te donne ces

pailles-là. [...] Est-ce que tu peux les mettre en ordre? Du plus petit au plus grand, les pailles.

(Place les pailles en ordre : 4-2-3-1.)

Est-ce que c‟est du plus grand au plus petit ou ... Est-ce qu‟i‟ sont corrects? Est-ce qu‟i‟ sont en ordre de

grandeur?

(Acquiesce de la tête.)

O.K. [...] (Sort une 5e paille, qui devrait être la paille numéro 2.) Regarde, j‟en avais oublié une!

Pour Marianne!

Peux-tu la mettre à sa place? Où a‟ va, cette paille-là? C‟est où sa grandeur?

(Place la nouvelle paille, en avant-dernier, soit dans l’ordre : 5, 3, 4, 2, 1.) Ici. […]

Lors de la réalisation de la tâche, Marianne ne semble pas comparer les pailles entre elles.

Elle discute avec l‟intervenante, prend une paille à la fois dans l‟ensemble qui lui est

proposé et elle l‟ajoute à la fin. Elle comprend qu‟elle doit les placer en ordre, donc elle

entreprend de les placer en ligne, ce qui est une bonne idée. On voit également, par la

considération du bas des pailles, une tentative de mise en relation de la plus petite à la plus

grande paille (Figure 13).

Figure 13 : Droites de projection imaginée ajoutées sur la sériation de 5 pailles

24 Dans chaque verbatim, les participants des échanges sont l‟intervenante (I), Marianne (M) et, dans certains

cas, Hélène Makdissi (H). Les propos sont transcrits en caractères standards, les faits et gestes sont

transcrits entre parenthèses en italiques et […] indique une partie de conversation retirée quand l‟enfant

parle d‟autre chose que la tâche ciblée.

(5-3-4-2-1)

67

En ce sens, on peut penser qu‟elle tente de comparer les pailles entre elles pour déterminer

leur rang dans la série. Par contre, elle ne voit pas la nécessité d‟aligner le bas des pailles

pour établir la comparaison des longueurs à partir d‟un point d‟origine commun. Elle se

situerait donc au premier stade de Piaget, c‟est-à-dire qu‟elle n‟arrive pas à réaliser sa

sériation en considérant, à la fois, la relation qui lie les pailles entre elles et les limites

perceptives qu‟elle doit respecter.

Lors de cet item, un ensemble de cinq pailles est présenté à l‟enfant qui doit les

sérier. Marianne prend les pailles une à une et ne réussit pas la sériation. Elle se

situe au premier stade. Bien qu‟elle tente une mise en relation des grandeurs dans

la série en faisant une « échelle » du bas des pailles, elle n‟arrive pas à une

sériation adéquate, faute de considérer un point d‟origine commun pour les cinq

pailles. On peut souligner que Marianne se centre sur une des extrémités des

pailles pour procéder à sa sériation. Elle ne procède pas par une opération

d‟ensemble lui permettant d‟envisager de manière coordonnée les deux extrémités

des pailles de manière simultanée en établissant la nécessité d‟une ligne d‟origine

commune pour déployer sa série.

5.1.1.2 Item 2 : Sériation d’objets faisant une course

L‟intervenante présente un ensemble de voitures à l‟enfant, prétextant que ces dernières

font une course. L‟intervenante questionne l‟enfant à propos de la position des voitures au

sein de la course. Cette mise en situation cherche à vérifier si l‟enfant démontre une

certaine compréhension de l‟aspect ordinal pouvant exister dans une série, en référant aux

positions des coureurs et en utilisant des notions perceptives. La figure 14 expose l‟ordre

des voitures faisant la course.

Figure 14 : Ordre des voitures faisant la course

Extrait 2

1I:

2M :

3I :

[...] C‟est laquelle la voiture qu‟i‟ est en premier?

(Touche la voiture rose.) Rose.

La rose. C‟est laquelle la voiture qu‟i‟ est en dernier?

68

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

16M :

17I :

18M :

19I :

20M :

21I :

22M :

23I :

24M :

25I :

26M :

27I :

28M :

29I :

30M :

31I :

32M :

(Touche la voiture verte.) Vert.

C‟est celle qui est en dernier?

Ouais.

C‟est laquelle la voiture qu‟i‟ est au milieu?

Rouge.

La rouge. C‟est laquelle la voiture qui est en avant de la voiture orange?

(Pointe la voiture orange.) Celle-là.

Ouais, ça c‟est la voiture orange. C‟est laquelle qui est en avant d‟elle?

Jaune. [...]

C‟est laquelle la voiture qui est après la voiture verte?

Rouge.

Oui. C‟est laquelle la voiture qui est avant la voiture orange?

Jaune.

Jaune. [...] C‟est laquelle la voiture qui est à la troisième position? Hein? C‟est laquelle la troisième?

(Pointe la voiture jaune.) Celle-là.

C‟est celle-là qui est en troisième?

Oui.

Remontre-moi celle qui est en troisième.

(Pointe la voiture jaune, puis la orange, puis la mauve.)

C‟est lequel ton choix?

Mauve.

Qui est à la troisième position?

Ouais.

O.K. P‟is la voiture jaune là, est à quelle position?

(Ne répond pas.)

Hein? La voiture jaune est à quelle position? C‟est quoi son numéro?

Rose.

Non, la jaune. Est à quelle position? C‟est quoi son numéro?

2. […]

Lorsque l‟intervenante lui demande quelle voiture est en premier, Marianne parvient à

identifier qu‟il s‟agit de la voiture rose [lignes 1-2]. Elle arrive également à répondre que la

voiture rouge se situe « après » la voiture verte [lignes 13-14]. Il y a toutefois chez

Marianne, dans cette situation, une confusion entre « avant » et « après ». Peu importe si

l‟intervenante lui demande « avant » ou « après », Marianne nomme la voiture qui se trouve

après celle ciblée [lignes 9-10; 13-14; 15-16]. Également, on note une confusion pour le

terme « dernier ». Il semble que, pour Marianne, le dernier soit associé immédiatement et

de manière proximale au premier [lignes 3 à 6]. Identifiant adéquatement la première

position, la dernière position devient ainsi, en réalité, la deuxième position. En outre, elle

ne parvient pas à identifier adéquatement plusieurs positions : le milieu (elle répond que

c‟est la rouge [lignes 7-8]), la troisième position (elle répond que c‟est la mauve [lignes 17

à 24]). Lorsqu‟on lui demande la position de la voiture jaune, elle répond que c‟est la

« deux » [lignes 27 à 32]. Marianne était toutefois consciente que la série débutait par la

voiture rose [lignes 1-2]. Il est possible de penser que la sixième position à identifier ne se

69

situait pas dans une « zone confortable » de la construction du nombre chez Marianne25

.

Ainsi, ceci l‟a possiblement poussée à considérer le début de la série par la fin, la menant

ainsi à identifier la voiture jaune comme étant à la deuxième position [lignes 27 à 32].

Lors de cet item, une série de voitures faisant une course est présentée à l‟enfant.

L‟intervenante la questionne alors sur la position des participants. Même si elle

parvient à identifier la première position et l‟élément qui se situe après un autre,

Marianne éprouve non seulement beaucoup de difficulté à identifier correctement

les positions des objets d‟une série, mais également demeure confuse face à

plusieurs termes nécessairement convoqués pour parler d‟une série, comme

« avant », « milieu » et « dernier ».

5.1.2. Items vérifiant la compréhension de l’aspect cardinal du nombre

La présente section expose les analyses concernant la capacité de l‟enfant à comparer des

collections d‟objets, à établir la conservation (de quantités continues et discontinues), à

procéder au comptage et à considérer l‟aspect cardinal d‟une quantité dénombrée.

5.1.2.1 Item 1 : Comparaison de collections (correspondance terme à terme)

L‟intervenante dresse deux rangées de sept jetons devant l‟enfant. Elle ajoute deux jetons à

l‟une des deux rangées et demande à Marianne combien il y a de jetons dans les rangées.

Cet item sert à vérifier si l‟enfant est en mesure de comparer deux collections d‟objets

identiques et surtout comment elle procède pour le faire : en se fiant à un aspect figural de

la présentation des collections ou en établissant une opération.

25 En effet, bien que la chaîne numérique des nombres connus de Marianne va beaucoup plus loin que

« sept », on le verra plus loin dans l‟analyse de l‟aspect cardinal, Marianne, à cette même époque, a de la

difficulté, sans soutien de l‟adulte, à commencer à partir d‟un autre nombre que « un » (voir extrait 13,

lignes 1 à 4) et à compter à rebours à partir de « sept » (voir extrait 14, lignes 1 à 10). Ceci permet de

penser que le petit nombre, déjà en haut de « cinq », est peu construit et très fragile.

70

Figure 15 : Comparaison de collections inégales de jetons

Extrait 3

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

[…] (Ajoute 2 jetons à la rangée du haut, un de chaque côté.) J‟en ai mis d‟autres dans ma ligne à

moi. Regarde. (Compte les jetons qui se trouvent dans la rangée du haut.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

9.

9. Et p‟is là [rangée du bas], i‟ en a combien?

7.

P‟is là [rangée du haut], i‟ en a?

8.

(Fait signe à l’enfant de monter.)

9. […]

L‟extrait 3 montre que Marianne est en mesure de dénombrer adéquatement chacune des

collections en établissant une correspondance terme à terme parfaite entre le mot nombre

dit et chaque objet dénombré dans chacune des collections. Toutefois, cette habileté de

comptage, bien qu‟elle-même assise sur une correspondance terme à terme, ne garantit pas

d‟emblée que le dénombrement, aussi adéquat puisse-il être, assure la construction du

nombre abstrait et issue d‟une opération de la pensée comme le montre si bien l‟extrait 4

qui suit.

En effet, dans le prochain extrait, l‟intervenante modifie l‟apparence de la rangée de neuf

jetons en rapprochant les jetons les uns des autres pour que cette rangée soit moins longue

que celle qui contient toujours sept jetons. Elle interroge l‟enfant à savoir quelle rangée

comporte le plus de jetons en conservant le même but qui est de vérifier si l‟enfant est en

mesure de comparer deux collections d‟objets et la façon dont elle s‟y prend.

71

Figure 16 : Comparaison de collections inégales de jetons après déplacement en octobre

2011

Extrait 4

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

[…] P‟is là, moi j‟ fais ça. (Prend les jetons de la rangée du haut et les colle les uns sur les autres.

De cette manière, la rangée du haut est plus courte que la rangée du bas.) Où est-ce qu‟i‟ en a plus

de jetons? Plus ici [rangée du haut], plus ici [rangée du bas] ou c‟est pareil?

Plus pareil.

Plus pareil? P,‟is est-ce que c‟est pareil, ou i‟ en a plus ici [rangée du bas] ou plus ici [rangée du

haut]?

(Ne pointe rien.) Plus ici.

C‟est lequel ton ici? Ici où? […] Est-ce qu‟i‟ a la même chose ou est-ce qu‟i‟ en a plus ici [rangée du

bas] ou plus ici [rangée du haut]?

(Ne pointe rien.) Plus ici.

C‟est lequel ton ici? Montre-moi avec ton doigt où est-ce qu‟i‟ en a plus ici.

(Met sa main au-dessus des deux rangées.) Plus ici, ici.

C‟est quelle ligne? C‟est celle-là [rangée du bas] ou c‟est celle-là [rangée du haut]?

(Pointe la rangée du bas.) C‟est celle-là. […]

Bien que Marianne soit en mesure de compter les deux collections correctement [extrait 3],

malgré plusieurs tentatives et questionnements de la part de l‟intervenante dans ce

quatrième extrait, elle n‟arrive toujours pas à identifier la rangée qui comporte le plus de

jetons une fois la représentation figurale des collections transformée. Elle répond souvent le

dernier élément énoncé par l‟adulte en utilisant l‟effet de récence. En fait, Marianne recourt

à une stratégie de comparaison reposant sur l‟aspect figural des collections. C‟est pourquoi

elle ne semble pas établir de relation entre les deux quantités dénombrées pour déterminer

quelle collection est la plus nombreuse. Ainsi, le nombre 9 ne provient pas de la

construction d‟une opération qui inclut les nombres qui le précèdent. Sa quantité demeure

relative à l‟espace que les objets de la collection occupent. Il n‟en est donc pas abstrait, ce

qui pousse Marianne à penser que 9 est plus petit que 7.

72

Lors de cet item, il est demandé à Marianne de comparer deux collections de

jetons pour identifier laquelle est la plus nombreuse, donc qui contient le plus

grand cardinal. Marianne est en mesure d‟utiliser la correspondance terme à terme

pour procéder au comptage de chacune des collections. Toutefois, l‟aspect

cardinal du nombre n‟est pas solidement construit étant donné que la quantité de

chaque collection n‟est pas considérée pour les comparer. Au contraire, c‟est

l‟aspect figural qui domine pour établir la comparaison. Ainsi, il est possible de

souligner ici que, sans une correspondance terme à terme conçue comme une

opération réversible, le comptage, même s‟il est adéquat, n‟assure pas la

construction de l‟aspect cardinal du nombre.

5.1.2.2 Item 2 : Conservation de quantités continues

L‟intervenante présente deux boules de pâte à modeler de même taille à l‟enfant en lui

demandant si l‟une des deux boules contient plus de pâte. Lorsque l‟enfant a établi l‟égalité,

l‟intervenante prend une des deux parts et la transforme à trois reprises sous les yeux de

l‟enfant, soit en rouleau, en galette puis en miettes. À chaque fois, elle questionne l‟enfant

pour savoir si l‟une des deux parts contient plus de pâte à modeler. Cet item a pour but de

vérifier si l‟enfant comprend la conservation de quantités continues et si elle est capable de

faire abstraction des transformations effectuées par l‟adulte par des arguments d‟identité, de

réversibilité ou de compensation qui feraient de la conservation une réelle opération.

Figure 17 : Première transformation effectuée avec la pâte à modeler

Extrait 5

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

[…] Est-ce que c‟est pareil, est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler ici [rouleau] ou plus de pâte à

modeler ici [boule]?

(Ne pointe rien.) Ici.

Ici où?

(Touche la boule puis touche le rouleau.)

Lequel?

(Touche la boule.)

Comment ça se fait que, toi, tu penses qu‟i‟ a plus de pâte à modeler? Où est-ce qu‟i‟ a le plus de

pâte à modeler? Ou que c‟est pareil?

(Touche le rouleau puis touche la boule.) Celle-là p‟is celle-là.

Ouais, i‟ a celui-là p‟is celui-là. Est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans celui-là [rouleau], est-ce

qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans celui-là [boule] ou si i‟ a la même chose de pâte à modeler dans

73

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

16M :

les deux?

La même pâte à modeler dans les deux.

I‟ a la même chose de pâte à modeler dans les deux, tu penses. P‟is est-ce qu‟i‟ a la même chose dans

les deux ou i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule] ou i‟ a plus de pâte à modeler ici [rouleau]?

Pâte à modeler dans les deux.

Pas de pâte à modeler comme les deux?

Non. Plus de pâte à modeler comme les deux.

Plus de pâte à modeler comme les deux. Hein? Explique-moi. C‟est quoi ça plus de pâte à modeler

comme les deux?

(Ne répond pas.) […]

Lors de cette première transformation, Marianne semble comprendre la conservation. Plutôt

que de répondre à la question, elle touche les deux parts de pâte à modeler [lignes 5 à 10].

Par contre, quand l‟intervenante la questionne à plusieurs reprises, elle énonce qu‟une des

deux parts contient plus de pâte, en l‟occurrence, la boule [lignes 5-6]. Cela peut laisser

croire à un début de compréhension de la conservation, mais que ce serait encore très

fragile, d‟où l‟incapacité de l‟enfant à expliquer sa réponse [lignes 14 à 16].

L‟intervenante prend le rouleau rouge et le transforme en boule de même grosseur que celle

de référence. L‟enfant confirme alors leur égalité. Puis, l‟intervenante reprend la boule

rouge et la transforme en galette devant les yeux de l‟enfant.

Figure 18 : Deuxième transformation effectuée avec la pâte à modeler

Extrait 6

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

[…] (Prend une des deux boules et la transforme en galette.)

Est-ce qu‟elles sont pareilles?

Est-ce que c‟est pareil ou est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler ici [galette] ou ici [boule]?

(Pointe la galette.) Ici.

Plus de pâte à modeler ici, tu penses?

(Touche la boule et la galette.) Non.

Est-ce qu‟i‟ a la même chose de pâte à modeler ou i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule] ou ici

[galette]?

(Pointe la galette.) Ici.

Ici, tu penses. Pourquoi? Comment ça se fait?

J‟ sais pas.

Tu sais pas, mais tu as peut-être une idée.

(Ne répond pas.)

Hein? As-tu une idée, toi? Si i‟ a plus de pâte à modeler ici [galette], ici [boule] ou si i‟ a la même

chose dans les deux?

I‟ a la même chose dans les deux.

74

15I :

16M :

17I :

18M :

I‟ a la même chose dans les deux. Ah oui? Tu penses ça, toi?

Oui.

C‟est toi l‟experte. […] Alors, toi, tu m‟as dit qu‟i‟ en avait plus ici [galette], plus ici [boule] ou i‟ en

avait pareil de la pâte à modeler?

(Ne répond pas.) […]

Lors de cette seconde transformation, les propos de Marianne témoignent de la réelle

fragilité du début de conservation que l‟on pouvait voir à l‟extrait 5. Ici, Marianne utilise

l‟aspect figural pour répondre à la question de l‟intervenante à plusieurs reprises [lignes 4;

8]. Par contre, à un moment, elle indique à l‟intervenante que ce sont les deux parts qui

contiennent le plus de pâte [lignes 5-6; 13-14], mais elle ne parvient pas à expliquer ses

réponses, autant celle qui établit l‟égalité entre les deux parts [ligne 6] que celle qui énonce

que la galette comporte plus de pâte [lignes 8 à 12].

L‟intervenante prend la galette rouge et la transforme en boule de même grosseur que celle

de référence. L‟enfant confirme alors leur égalité. Puis, l‟intervenante reprend la boule

rouge et la transforme en miettes devant les yeux de l‟enfant.

Figure 19 : Troisième transformation effectuée avec la pâte à modeler

Extrait 7

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

16M :

17I :

[…] Toi là, Marianne, est-ce que tu penses qu‟i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule], ici [miettes] ou

c‟est pareil?

(Passe sa main au-dessus des miettes.) Ici.

Ici?

Ouais.

Comment ça se fait que tu penses qu‟i‟ en a plus ici [miettes] que là [boule]?

Je sais pas.

Pourquoi? […] Est-ce que i‟ en a plus ici [miettes], ici [boule] ou c‟est pareil?

(Passe sa main au-dessus des miettes.) C‟est pareil.

(Met une main au-dessus des miettes et une main au-dessus de la boule.) Ça p‟is ça, c‟est pareil?

Ouais.

Ah! Comment ça se fait que c‟est la même chose, tu penses?

(Ne répond pas.)

Hein? Comment ça se fait que c‟est la même chose ça [miettes] p‟is ça [boule]?

Je sais pas.

Tu sais pas? I‟ a tu une place où i‟ en a plus de pâte à modeler?

Ouais.

Où? […] Tu m‟as dit quoi déjà, dans ma p‟tite tête de souris? Est-ce que ça ici [miettes] p‟is ça ici

75

18M :

19I :

20M :

21I :

22M :

23I :

24M :

25I :

26M :

[boule], c‟est pareil? I‟ en a plus ici [boule] ou i‟ en a plus là [miettes]?

I‟ en a plus.

Où?

(Met sa main au-dessus des miettes.) Ici.

P‟is comment ça se fait qu‟i‟ en a plus là?

Je sais pas.

T‟ as peut-être une idée. […]

(Montre les miettes.) Regarde ici.

Toi, tu penses qu‟i‟ en a plus ici?

Oui. […]

Le raisonnement de Marianne lors des épreuves de conservation témoigne d‟une absence de

conservation. Comme on peut le constater, quand les boules de pâte à modeler sont

transformées par l‟intervenante, elle répond souvent en utilisant l‟effet de récence [lignes 7-

8] ou en se laissant influencer par l‟aspect figural (comme l‟espace occupé par les miettes

sur la table) [lignes 2; 8; 20; 24]. De plus, Marianne n‟arrive pas à justifier ses choix [lignes

9 à 12; 13-14; 21-22]. Elle ne démontre pas clairement une construction de la conservation

de la matière. Elle se situerait donc au premier stade en ce qui concerne la conservation de

quantités continues.

Lors de cet item, l‟intervenante propose deux parts égales de pâte à modeler à

l‟enfant. Par la suite, elle réalise trois transformations avec l‟une des deux parts

devant ses yeux : une fois en rouleau, une fois en galette et une fois en miettes. À

chaque fois, l‟enfant doit se prononcer sur les quantités de pâte à modeler dans

chaque part. Marianne ne démontre pas clairement une construction de la

conservation des quantités continues. Elle répond aux questions de l‟adulte en

utilisant principalement l‟aspect figural et l‟effet de récence.

5.1.2.3 Item 3 : Conservation de quantités discontinues

D‟abord, l‟intervenante dresse une rangée de sept images de chevalier. L‟enfant, pour sa

part, doit construire une rangée équivalente avec des images de princesse. Cet item vise à

vérifier la capacité de l‟enfant à utiliser la correspondance terme à terme pour comparer des

collections et à établir une conservation des quantités à la suite d‟une transformation de

l‟aspect figural de l‟une des deux collections.

76

Figure 20 : Rangée d‟images présentée à l‟enfant lors de l‟item 3

Figure 21: Construction d‟une rangée équivalente en octobre 2011

Extrait 8

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

(Place 7 images de chevaliers dans une rangée sur la table.) Là, moi, je mets des chevaliers, comme

ça. Toi, est-ce que tu peux mettre la même chose de princesses que de chevaliers? Toi, tu t‟occupes

des princesses. Je veux que tu mettes pareil de princesses que de chevaliers. Pour que chaque

chevalier ait sa princesse.

Oui.

Hein, on va faire 2 lignes : une ligne où c‟est moi et une ligne où c‟est toi.

(Prend les images de princesses une à une et les place en rangée. Elle ne fait que placer toutes les

images qu’elle a sous la main, soit 10 images de princesses. Même si les deux rangées sont éloignées

l’une de l’autre, on peut voir que 7 premières princesses se trouvent sous les 7 chevaliers.)

Est-ce qu‟i‟ a pareil de princesses que de chevaliers? I‟ a tu la même chose?

Oui.

I‟ a combien de chevaliers?

J‟ vais compter. (L’intervenante pointe chaque chevalier pendant que Marianne fait le décompte.) 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ça veut dire que je veux combien de princesses? Si j‟ai 7 chevaliers, j‟ veux combien de princesses?

Tu n‟en veux.

Pareil.

(Pointe les images de princesses, en faisant le décompte.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Oui. P‟is là, toi, tu m‟as dit que j‟ai 7 chevaliers p‟is j‟ veux pareil de princesses. Pas de princesses

de plus, j‟ veux la même chose de princesses.

77

14M :

15I :

16M :

17I :

18M :

19I :

20M :

21I :

22M :

Oui.

Ça veut dire que ça va me prendre combien de princesses, si j‟ai 7 chevaliers?

J‟ vais en enlever.

Ouais, mais t‟ en enlèves combien?

3.

Oui.

O.K. (Retire toutes les princesses et recommence sa rangée.)

Ça prend pareil de princesses que de chevaliers. […]

(Replace les 10 images de princesses sur la table.)

La construction de la rangée de princesses a été difficile pour Marianne. Même si elle

semble être en mesure d‟opérer sur les collections lorsque l‟intervenante lui demande

combien elle doit retirer de princesses pour en avoir le même nombre [lignes 15 à 17], on

voit que ce raisonnement est très fragile. En effet, entre les lignes 20 et 22, on peut voir que

Marianne retire toutes ses princesses et recommence la construction de la rangée plutôt que

d‟en retirer trois, comme elle venait tout juste de le souligner [ligne 18]. Marianne ne se

sert ni de la correspondance terme à terme relativement bien établie entre les chevaliers et

les princesses, ni du dénombrement qu‟elle fait adéquatement pour construire, au final, une

collection de même quantité. Pourtant, elle sait que, quand on lui pose la question

« combien » [ligne 7], elle doit compter [ligne 8]. Ce comptage, toutefois, ne mène pas à la

construction de la cardinalité de la collection puisque, en fin de compte, elle replace dix

princesses pour établir sa collection équivalente à son avis à sept chevaliers [ligne 22].

Il est difficile de s‟expliquer ici comment Marianne est parvenue à identifier qu‟il fallait

retirer trois princesses aux dix présentes dans la collection pour arriver à sept princesses

« pareil que » sept chevaliers. Deux hypothèses peuvent être suggérées. Premièrement, on

peut penser que Marianne a opéré mentalement sur le nombre (par soustraction 10-7 ou par

complétion 8, 9, 10). Pour parvenir à une telle opération, il faudrait que l‟aspect cardinal du

petit nombre soit bien construit. L‟extrait 4, où Marianne affirme que 7 est plus que 9 en se

centrant sur l‟aspect figural des collections de jetons, suggère fortement que l‟aspect

cardinal du nombre est loin d‟être construit, ce qui pousse à rejeter cette première

hypothèse. La seconde hypothèse pourrait reposer sur l‟idée que Marianne comprend qu‟il

y a trop de princesses et donc qu‟il faut en retirer. Le nombre 3 étant relativement bien

construit (à cette époque Marianne parvenait seule à compter à rebours à partir de 3 dans les

interventions quotidiennes), Marianne énonce ce nombre qui s‟avère être le plus grand dans

la « zone de confort » de sa chaîne numérique. De plus, la disposition des chevaliers et des

78

princesses laisse trois princesses à l‟écart qui débordent la ligne des chevaliers, ce qui peut

l‟amener à considérer ce qui excède comme le retrait à faire pour que les deux collections

débutent et terminent au même endroit. Ici, la correspondance terme à terme sert de soutien

pour comparer les deux collections et identifier l‟excédent, mais elle délaissera ce soutien

dès qu‟elle retirera des princesses [lignes 20 à 22], changeant ainsi l‟aspect figural. La

correspondance terme à terme n‟est donc pas pleinement une opération réversible. C‟est

plutôt cette dernière hypothèse qui est retenue et qui est également soutenue par la suite de

cet extrait 8 et par l‟extrait 9 qui suit.

Il convient toutefois de mettre en exergue ici que la demande de comparaison et les

relations à établir entre les deux collections pour parvenir à identifier qu‟il y a trois

princesses à retirer, possiblement soutenu par la correspondance terme à terme entre les

chevaliers et les princesses, précède la construction de l‟aspect cardinal des quantités en jeu

(ici 7 et 10). Cela permet de penser que l‟action de l‟enfant à procéder à des comparaisons

et à des correspondances terme à terme, et ce, même si ces actions ne sont pas encore

conçues comme des opérations impliquant sine qua non la réversibilité, contribueront à

construire l‟aspect cardinal du nombre pour donner un réel sens numérique à la comptine

des nombres. Autrement dit, ici, ce n‟est pas la comptine des nombres et l‟aspect cardinal

construit qui permet la mise en relation et l‟opération de comparer les deux collections,

mais bien l‟inverse : c‟est l‟exigence d‟opération imposée par l‟adulte dans la demande de

comparaison qui pousse l‟enfant à mettre en relation les deux collections par l‟action de

correspondance terme à terme qui semble devenir un tremplin servant la construction de

l‟aspect cardinal du nombre.

Par la suite, lorsque les deux rangées comportent le même nombre d‟éléments,

l‟intervenante espace les images de chevaliers devant les yeux de l‟enfant et elle lui

demande s‟il y a une rangée qui en a le plus. On cherche alors à vérifier si l‟enfant

comprend la conservation des quantités discontinues et si elle est capable de faire

abstraction des transformations effectuées par l‟intervenante par des arguments d‟identité,

de réversibilité ou de compensation, qui ferait de la conservation une opération.

79

Figure 22 : Disposition des rangées pour la comparaison de collections et pour la

conservation des quantités discontinues en octobre 2011

Extrait 9

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

16M :

17I :

18M :

19I :

20M :

21I :

22M :

23I :

24M :

25I :

26M :

27I :

28M :

29I :

30M :

31I :

32M :

[…] (À ce moment, les chevaliers ne sont pas décalés.) Est-ce que j‟ai pareil de princesses p‟is de

chevaliers?

Oui.

Oui! P‟is là, moi, j‟ vais faire ça, comme ça. (Espace les images de chevaliers pour que la rangée

dépasse à la droite et à la gauche de la rangée de princesses.) […] Est-ce que c‟est pareil les

chevaliers p‟is les princesses ou si j‟en ai plus ici [princesses] ou plus ici [chevaliers]?

Oui.

Oui, quoi?

C‟est pareil.

C‟est la même chose de chevaliers p‟is de princesses?

Oui.

Est-ce que c‟est la même chose ou si j‟en ai plus ici [princesses] ou plus ici [chevaliers]? […] Ici, est-

ce que c‟est la même chose ou i‟ a plus de chevaliers ou i‟ a plus de princesses?

I‟ a plus de princesses.

Tu penses qu‟i‟ a plus de princesses?

Oui.

Comment ça se fait? Explique-moi, voir. […] Toi, tu m‟as dit qu‟i‟ en avait plus ici [chevalier], plus

ici [princesses] ou c‟est pareil?

(Pointe la rangée de princesses.) Ici.

I‟ en a plus ici? Comment ça se fait que tu sais ça? […] Comment ça se fait qu‟i‟ a plus de

princesses?

Je sais pas, moi. […]

Moi, là, mon ami qui est tout petit m‟a dit qu‟i‟ avait plus de chevaliers parce que la ligne est plus

longue que la ligne de princesses. Penses-tu qu‟i‟ a raison?

(Acquiesce de la tête.)

Tu penses qu‟i‟ a raison le p‟tit garçon?

Oui.

Le p‟tit garçon dit qu‟i‟ en a plus là [chevaliers] p‟is, toi, tu dis qu‟i‟ a raison?

Oui.

Mais, toi, tantôt, tu m‟as dit qu‟i‟ avait plus de princesses.

Oui.

C‟est où qui en a le plus ou c‟est pareil?

(Pointe la rangée de chevaliers.) Ici.

Comment ça se fait qui en a plus là?

J‟ sais pas.

Tu sais tantôt, quand on a mis un amoureux p‟is une amoureuse ensemble, on avait dit qu‟i‟ en avait

pareil, Hein?

Ouais.

P‟is là, toi, tu me dis qu‟i‟ en a plus ici? C‟est tu ça?

Ouais. […]

80

Lors de cet item, sous la demande de l‟intervenante et avec son soutien, Marianne compte

les images lors de la construction de la rangée, mais elle ne recourt plus au comptage par la

suite. Elle ne semble pas non plus établir de correspondance terme à terme entre les deux

collections. De ce fait, elle n‟arrive pas à affirmer que les deux rangées comportent toujours

sept éléments et, donc, qu‟elles sont toujours identiques. En affirmant qu‟une rangée

compte plus d‟images que l‟autre [lignes 10; 14; 26], Marianne se situe au premier stade en

ce qui concerne la conservation de quantités discontinues. Pour répondre aux questions de

l‟intervenante, elle utilise principalement l‟aspect figural des collections et l‟effet de

récence plutôt que de recourir à des opérations, telles que la correspondance terme à terme

entre les deux rangées et le comptage. Lorsqu‟une contre-suggestion lui est proposée,

même si cette dernière est incorrecte, Marianne change d‟avis et énonce que c‟est le petit

garçon qui a raison [lignes 17 à 20; 23 à 26]. De plus, comme Marianne ne parvient pas à

expliquer ses réponses en recourant aux arguments d‟identité, de réversibilité et de

compensation, la conservation n‟est pas une opération pour elle [lignes 13 à 16; 27-28].

Lors de cet item, une rangée de sept images de chevalier est présentée à Marianne.

Cette dernière doit construire une rangée équivalente avec des images de

princesse. Sans soutien de la part de l‟intervenante, Marianne n‟y parvient pas.

Elle n‟utilise pas le comptage pour comparer les deux collections, mais elle utilise

adéquatement la correspondance terme à terme entre le mot nombre dit et l‟image

dénombrée. Cette mise en correspondance terme à terme établie à tâtons semble

permettre des mises en relation permettant de comparer les collections qui servira

la construction ultérieure de l‟aspect cardinal des nombres en jeu dans la

comparaison. Toutefois, la correspondance terme à terme n‟est pas encore utilisée

comme opération réversible. En effet, si l‟intervenante modifie l‟apparence de

l‟une des rangées en espaçant les images l‟une de l‟autre, de sorte que cette rangée

dépasse l‟autre rangée des deux côtés, Marianne affirme qu‟une des deux rangées

compte alors plus d‟images que l‟autre en utilisant l‟aspect figural, ce qui

témoigne également que Marianne n‟a pas construit la conservation des quantités

discontinues.

5.1.2.4 Item 4 : Comptage

Sans utiliser de matériel, l‟intervenante demande à l‟enfant de compter le plus loin possible.

Cette demande a pour but de vérifier l‟étendue de la chaîne numérique de l‟enfant.

81

Extrait 10

1M :

2I :

3M :

4I :

5M :

6I :

7M :

8I :

9M :

[…] 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.

En connais-tu d‟autres après?

Non.

Après 30, c‟est … (Laisse l’enfant compléter.)

31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

P‟is après?

41, 42, 42, 43, 45, quarante-seize, 46, 47, 48, 49, 30. J‟ suis bonne, Hein?

Oui, tu es bonne! Qu‟est-ce qu‟i‟ a après?

(Réfléchit.) 41, 42, 43, 45, 46, 47, 48, 49, 30. […]

Marianne connaît bien la comptine numérique jusqu‟à 49 [lignes 1; 5; 7]. Ensuite, elle

énonce 30 et recommence la dizaine de quarante [lignes 7 à 9].

Ensuite, l‟intervenante lui demande de compter en tenant compte d‟une borne supérieure,

fixée à 9 [extrait 11]. Puis, l‟intervenante lui demande de compter en tenant compte d‟une

borne inférieure fixée à 3 [extrait 12]. Ceci a pour but de vérifier si la chaîne numérique de

Marianne est sécable ou non.

Extrait 11

1I :

2M :

3I :

4M :

[…] Marianne, es-tu capable de compter jusqu‟à 9?

Oui.

À 9, on arrête. Vas-y.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. […]

Marianne réussit à compter en tenant compte d‟une borne supérieure [ligne 4].

Extrait 12

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

[…] Es-tu capable de compter à partir de 3. On commence pas à 1, on commence à 3.

Oui. 1, 2, 3.

C‟est beau! P‟is là, si on commence à 3? Hein? 3 … (Laisse l’enfant compléter.)

2, 1.

Excellent! P‟is là, si on compte, p‟is on part à 4 et après ça on continue. 4 … (Laisse l’enfant

compléter.)

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. […]

Avec un léger soutien de l‟adulte, Marianne parvient à compter à partir de 4 [lignes 5-6].

L‟intervenante lui demande ensuite de compter en considérant, à la fois, la borne inférieure

5 et la borne supérieure 9.

82

Extrait 13

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

[…] Es-tu capable de compter si on part à 5 et on continue jusqu‟à 9?

Oui.

On commence à 5, p‟is on arrête à 9.

Oui. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Wow! Et p‟is là, si on commence pas à 1. On commence à compter à 5.

Oui.

Hein, on commence pas à 1. On les dit dans notre tête, p‟is rendu à 5, on les dit fort. De 5 jusqu‟à 9.

J‟ veux compter.

Vas-y.

1, 2, 3, 4, 5, 6… 5. […]

Marianne n‟est pas en mesure de compter avec une borne inférieure et une borne

supérieure. Elle réussit à respecter la borne supérieure, mais elle débute toujours avec 1

[lignes 4; 10]. Ainsi, la chaîne numérique de Marianne ne semble pas être une chaîne

sécable, mais davantage non sécable. Seule, Marianne ne semble pas en mesure de compter

en commençant par un mot nombre autre que 1.

Finalement, l‟intervenante demande à l‟enfant de compter à rebours à partir de 7. Ceci

permet de vérifier si la chaîne numérique de l‟enfant est dénombrable. Selon Fuson (1988,

1991), Gelman et Gallistel (1986) et Van Nieuwenhoven (1996, 1999), cette chaîne

dénombrable assure un aspect cardinal au nombre, car l‟enfant peut ainsi considérer le

nombre de départ, ici 7, et de là, opérer N, soit dans ce cas-ci, N-1, mais ce, si et seulement

si l‟enfant n‟a pas appris la comptine inverse.

Extrait 14

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

[…] P‟is si on commence à compter à 7, p‟is là on descend? Hein, on va à l‟envers. Qu‟est-ce qui

vient avant 7?

8.

Ça c‟est après. Avant, c‟est quoi?

6.

Après ça, avant?

7.

Ça c‟est après. Qu‟est-ce qui vient avant 6?

(Ne répond pas.)

On a dit : 7, 6, … (Laisse l’enfant compléter.)

7.

Marianne n‟arrive pas à compter à rebours à partir de 7 [lignes 4 à 6; 7 à 10]. Cela concorde

avec ce qui a été observé plus tôt : comme sa chaîne numérique n‟est pas encore sécable,

Marianne ne parvient pas à comprendre la réversibilité qui existe au sein de cette chaîne, ce

83

qui est nécessaire lors d‟un comptage à rebours. L‟intervenante demande à l‟enfant de

compter à rebours, mais cette fois à partir de 5.

Extrait 15

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

16M :

[…] Si, moi, j‟ compte à l‟envers à partir de 2. Ça fait : 2, 1. Es-tu capable si on commence à 5?

Hein? Si on commence à 5, p‟is on compte à l‟envers? On descend. 5… (Laisse l’enfant compléter.)

4, 3, 2, 1.

0! T‟ es bonne! Et si on commence à 6, es-tu capable?

Oui.

Vas-y!

1, 2, 3, 4, 5, 6.

Et si je commence à 6 et j‟ veux aller jusqu‟à 1? Ça fait … (Laisse l’enfant compléter.)

6, 7.

Par en bas. 6, … (Laisse l’enfant compléter.)

Après?

Tu l‟as fait tout à l‟heure, qu‟est-ce qui vient avant 6?

5.

Après?

8.

Avant 5?

6. […]

Avec le soutien de l‟adulte, elle réussit à compter à rebours en débutant par 5 [lignes 1-2],

mais elle n‟arrive pas à le faire en débutant par 6, même avec du soutien de la part de

l‟intervenante [lignes 7-8]. Ensuite, il est difficile de se prononcer, car l‟intervenante

soutient l‟enfant pour identifier le nombre avant 6 [lignes 11-12], mais le soutien peut

devenir confus par la suite puisque l‟intervenante lui demande « après » (au sens de

« continue ») alors qu‟elle veut savoir « avant » [ligne 13]. L‟enfant peut alors avoir

compris qu‟il fallait nommer un nombre « après », comme 8 [ligne 14] au lieu de continuer

le comptage à rebours en nommant ce qui précède 5.

Lors de cet item, on cherche à vérifier la construction de la chaîne numérique de

l‟enfant. Marianne arrive à compter seule jusqu‟à 49, à tenir compte d‟une borne

supérieure telle que 9, d‟une borne inférieure telle que 3 et à compter à rebours à

partir de 5. Par contre, elle n‟est pas en mesure de considérer, à la fois, une borne

inférieure et une borne supérieure, ni à compter à rebours à partir de 6. La chaîne

numérique de Marianne serait donc considérée comme non sécable lorsque le

nombre est supérieur à 3, car elle n‟est pas en mesure de compter à partir d‟un mot

nombre autre que 1, 2 ou 3, qui se trouve être son domaine numérique opérable à

ce moment.

84

5.1.2.5 Item 5 : Cardinalité

L‟intervenante place dix-huit jetons pêle-mêle sur la table devant l‟enfant. Elle demande

alors à Marianne de les dénombrer. Cet item tente de vérifier les méthodes de comptage

utilisées par Marianne ainsi que sa compréhension de la notion de cardinalité.

Figure 23 : Première disposition de jetons à dénombrer

Extrait 16

1M :

2I :

3M :

4I :

5M :

6I :

7M :

8I :

9M :

10I :

11M :

12I :

13M :

[…] (Compte les jetons en recomptant plusieurs jetons à deux reprises et en conservant un doigt sur

le même jeton pour les 5 derniers nombres.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.

Tu penses qu‟i‟ en a 30?

Oui.

Combien t‟ as dit qu‟i‟ en avait, déjà?

6.

I‟ en a combien?

16.

16? Hein? Dans ma p‟tite tête de souris, tu m‟as dit qu‟i‟ en avait combien, ici?

(Chuchote.) Siiiii Siiiiii.

6?

Non, 9.

9? Ah, O.K. Et si je les prends comme ça et que je les mets ici. (Déplace l’ensemble des jetons sur la

table.) Combien tu penses qu‟i‟ en a?

9. […]

Au premier comptage, Marianne en dénombre 30 [ligne 1]. Elle commet plusieurs

méprises, comme compter plusieurs jetons à deux reprises par manque d‟organisation et,

rendue à 25 à la fin de son « comptage », elle conserve son doigt sur un même jeton et

continue de compter jusqu‟à 30. Moins d‟une minute plus tard, quand l‟intervenante lui

demande à nouveau combien il y en avait, elle répond qu‟il y en a 6, puis 16, puis 9 [lignes

5; 7; 11; 13]. Pour elle, le comptage ne permet pas d‟identifier le cardinal d‟une collection

car il ne repose pas sur l‟établissement d‟une quantité à ce qui est dénombré.

85

L‟intervenante déplace les jetons sur la table et demande à l‟enfant combien il y en a, sans

les compter. Ensuite, il est demandé à l‟enfant de compter les jetons pour vérifier son

hypothèse.

Extrait 17

1I :

2M :

3I :

4M :

[…] O.K. Et si je les prends comme ça et que je les mets ici. (Déplace l’ensemble des jetons sur la

table.) Combien tu penses qu‟i‟ en a?

9.

9, aussi. Peux-tu les compter? Pour vérifier, voir, combien i‟ en a?

(Compte les jetons à nouveau, en comptant plusieurs jetons à plusieurs reprises.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30. […]

Lors du recomptage, elle arrive encore à 30, en comptant plusieurs jetons plus d‟une fois

[ligne 4]. Marianne semble avoir de la difficulté à bien utiliser la correspondance terme à

terme entre le mot nombre dit et l‟objet dénombré quand le nombre est supérieur à 10. En

raison des difficultés de l‟enfant, l‟intervenante retente le même exercice, mais avec un

ensemble de cinq jetons.

Figure 24 : Seconde disposition de jetons à dénombrer

Extrait 18

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

16M :

[…] (Retire les 18 jetons de la table et en place 5.) I‟ a combien de jetons, ici, tu penses?

(Ne répond pas.)

Veux-tu les compter?

Oui. (Compte les jetons, en comptant un même jeton à 2 reprises.) 1, 2, 3, 4, 5, 6.

I‟ en a combien, déjà?

(S’apprête à les compter.)

Sans les compter, combien i‟ en avait?

6.

6. Et p‟is, si je les prends et que j‟ les mets comme ça [ils sont alors déplacés sur la table], i‟ en a

combien?

(S’apprête à les compter.)

Sans les compter, combien tu penses qu‟i‟ en a? […]Sans les compter, combien tu penses qu‟i‟ en a?

4.

Veux-tu les compter, voir?

(Compte correctement les jetons.) 1, 2, 3, 4, 5.

Wow! Tu m‟as dit qu‟i‟ en avait 5. T‟ es b‟en bonne! T‟ as raison! Et p‟is là, moi, j‟en mets 2 autres.

I‟ en a combien maintenant?

6.

86

17I :

18M :

19I :

20M :

21I :

22M :

23I :

24M :

25I :

26M :

27I :

28M :

29I :

30M :

31I :

32M :

J‟en ai mis 2 autres.

6.

Veux-tu compter? [...] Vas-y, compte-moi ça pour me dire combien i‟ en a.

6.

Veux-tu compter pour vérifier?

(Compte les jetons en comptant plusieurs jetons, à plusieurs reprises.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Wow! C‟est super, ça. Et p‟is là, toi, tu dis qu‟i‟ en a 9. T‟ es une championne. Moi, j‟en prends un

p‟is je l‟enlève. Combien tu penses qu‟i‟ en a? I‟ en avait 9 p‟is, moi, j‟en ai enlevé 1.

Oui.

Qu‟es‟ ça fait si j‟en ai enlevé 1? I‟ en avait 9 p‟is j‟en ai enlevé 1.

Pourquoi?

Pour le remettre dans mon sac. Combien tu penses qu‟i‟ en a, maintenant?

(Chante.)

Hein? I‟ en a combien, maintenant? J‟en avais 9 p‟is j‟en ai enlevé 1. Ça fait combien?

6.

Ça fait 6? J‟en avais 9 p‟is j‟en ai enlevé 1.

6. […]

Au premier essai, Marianne compte les jetons trop rapidement et elle compte un même

jeton à deux reprises [ligne 4]. Bien que spontanément Marianne souhaitait compter de

nouveau les jetons à la demande de l‟adulte (« Il y en a combien déjà? » [lignes 5-6], elle

parvient, sous l‟exigence de l‟adulte [ligne 7], à ne pas compter et à maintenir le dernier

mot nombre énoncé lors du premier comptage [ligne 8], ce qui permet de souligner une

émergence de construction de cardinalité. Au deuxième essai, Marianne réussit à compter

les cinq jetons seule, en utilisant bien la correspondance terme à terme en touchant

seulement un jeton par mot nombre énoncé et en ne comptant pas de jeton à plusieurs

reprises [ligne 14]. Toutefois, le principe de cardinalité n‟est pas encore solidement

construit chez Marianne : lorsque l‟intervenante lui demande combien il y a de jetons une

seconde fois, Marianne recommence son comptage [lignes 6; 10] puis elle ne maintient pas

le dernier mot nombre dit à la suite d‟un déplacement des objets par l‟adulte [lignes 9 à 12].

Pour elle, le dernier mot nombre dit ne tient pas toujours lieu de cardinal de la collection ce

qui ne lui permet pas de constituer une chaîne dénombrable de N sur laquelle on peut

ajouter ou retirer un nombre quelconque (N-n'). De ce fait, elle ressent le besoin de

recompter à chaque fois. D‟ailleurs, elle n‟arrive pas à réaliser des opérations d‟addition et

de soustraction sur ce nombre [lignes 15 à 20; 29 à 32]. Comme Marianne éprouve encore

quelques difficultés, l‟intervenante lui propose la même tâche avec un ensemble de trois

jetons.

87

Figure 25 : Troisième disposition de jetons à dénombrer

Extrait 19

1M :

2I :

3M :

4I :

5M :

6I :

7M :

8I :

9M :

10I :

11M :

12I :

13M :

14I :

15M :

16I :

17M :

[…] (Compte les jetons.) 1, 2, 3.

I‟ en avait combien?

(S’apprête à les compter.)

Compte-les pas. Dis-moi combien tu en avais compté tantôt.

3.

3. Là, moi, j‟ les prends et j‟ les amène ici. (Déplace les 3 jetons sur la table.) I‟ en a combien

maintenant?

3.

3? Vérifie donc! Compte-le avec ton doigt.

1, 2, 3.

I‟ en a 3, t‟ as raison. Et p‟is là, j‟en ai 2 qui étaient là tantôt et qui veulent revenir. Si j‟en ai 3 et que

j‟en ajoute 2, ça va faire combien tu penses? Sans compter. J‟en ai 3 p‟is j‟en ajoute 2, ça fait

combien?

3.

Oui, j‟en ai 3, t‟ as raison. P‟is j‟en ai 2 autres qui viennent les trouver. Ça fait combien, tout

ensemble?

3.

Veux-tu vérifier?

Oui.

Vérifie.

(Compte les jetons.) 1, 2, 3, 4, 5. […]

Avec trois jetons, Marianne réussit son comptage dès la première fois. Ce comptage tient

lieu de cardinal puisqu‟elle parvient à identifier et à maintenir la quantité de jetons à la suite

de leur déplacement par l‟adulte [ligne 7]. Même avec un petit nombre déjà construit, cet

aspect cardinal est encore relativement fragile puisque Marianne cherche spontanément à

compter de nouveau [ligne 3]. De plus, elle ne parvient pas à effectuer une addition sur ce

petit nombre correctement, elle répond que même si on ajoute deux jetons, il y en aura

toujours trois jetons [lignes 11 à 13]. Ceci témoigne que la comptine des nombres n‟a pas

une valeur de chaîne dénombrable intégrant une construction relativement solide de la

cardinalité.

88

Lors de cet item, une collection de jetons est présentée pêle-mêle à Marianne.

Cette dernière doit la dénombrer et réaliser des opérations d‟addition et de

soustraction. Marianne parvient à compter les collections de cinq et de trois jetons

en utilisant bien la correspondance terme à terme entre le mot nombre énoncé et

l‟élément dénombré, mais elle n‟y arrive pas avec dix-huit jetons. En ce qui

concerne les opérations qu‟elle devait réaliser sur ces nombres, elle ne les a pas

réussies. De plus, peu importe la grandeur de la collection, Marianne ressent

toujours le besoin de la recompter pour connaître le nombre d‟éléments qui la

composent. Ces éléments indiquent que sa chaîne numérique est encore non

sécable, et par le fait même, non dénombrable. Comme la cardinalité n‟est pas

encore maîtrisée par Marianne, sa chaîne numérique, même si elle est étendue,

n‟est pas opérable. Toutefois, on note une émergence de l‟aspect cardinal sur le

petit nombre 3.

5.1.3. Synthèse de la compréhension de l’enfant en octobre 2011

Pour la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre, Marianne tente de mettre en série

cinq pailles en établissant un ordre de grandeur en considérant seulement l‟une des

extrémités. Elle éprouve ainsi de la difficulté à sérier des objets de tailles différentes, car

elle n‟utilise pas un point d‟origine commun pour tous les éléments et elle ne parvient pas à

identifier l‟ensemble des positions dans une série. À ce moment, elle se situerait donc au

premier stade de développement de l‟aspect ordinal selon Piaget.

En ce qui concerne l‟aspect cardinal du nombre, bien que Marianne soit capable de réciter

la chaîne numérique jusqu‟à 49, elle n‟a pas construit le petit nombre (en bas de 10), c‟est-

à-dire qu‟elle n‟a pas compris la valeur de ces nombres et qu‟ils ne sont pas opérables. En

ce sens, elle est en mesure d‟utiliser correctement la correspondance terme à terme mot

nombre énoncé et objet dénombré lorsque les collections comportent moins de dix

éléments. Même si Marianne n‟utilise pas la correspondance terme à terme comme une

réelle opération, impliquant sine qua non la réversibilité, l‟identité ou la compensation, elle

peut utiliser la correspondance terme à terme établie pour comparer et mettre en relation

deux collections pour identifier la nécessité de retirer trois objets pour rendre les collections

équivalentes. L‟exigence d‟opération de l‟adulte par une demande de comparaison entre

deux collections de cardinal inférieur à dix semble précéder la construction même des

aspects cardinaux des collections comparées (7 et 10) et semble indiquer que la

89

correspondance terme à terme, même si elle n‟est pas encore une pleine opération, est un

précurseur de l‟aspect cardinal du nombre.

La chaîne numérique de Marianne est encore non sécable : elle connaît la comptine des

mots nombres, mais elle doit toujours commencer son comptage par 1, d‟où sa difficulté à

compter à rebours et à considérer, à la fois, une borne inférieure et une borne supérieure.

Elle n‟utilise pas le comptage pour comparer les collections qui lui sont présentées ni pour

en connaître le cardinal : ce principe de comptage n‟est donc pas encore construit chez elle.

Le petit nombre inférieur à 3 semble construit; c‟est donc le domaine numérique de

Marianne à cette époque. Au-delà de 3, la chaîne des nombres, même si elle est stable

jusqu‟à 49, représente ainsi davantage une comptine plutôt qu‟une réelle chaîne numérique

inhérente au dénombrement.

Dans les tâches de conservation, Marianne répond principalement en se laissant influencer

par l‟aspect figural des éléments et n‟arrive pas à justifier ses réponses. Marianne n‟a donc

pas encore construit la conservation des quantités continues et discontinues. À ce moment,

la correspondance terme à terme, la conservation et le comptage ne sont pas construits

comme des opérations et elle se situerait au premier stade de développement de la

conservation selon Piaget.

5.2. Évaluation 2 : Mai 2012

Lors de la deuxième évaluation, qui a été réalisée en mai 2012, la compréhension de

l‟aspect ordinal et de l‟aspect cardinal de Marianne a été analysée à l‟aide des mêmes items

que lors de la première évaluation. L‟aspect ordinal du nombre a été évalué par deux items :

la sériation d‟objets de tailles différentes et la sériation d‟objets faisant une course. L‟aspect

cardinal, quant à lui, a été évalué par cinq items : la comparaison de collections, la

conservation de quantités continues et de quantités discontinues, le comptage et la

cardinalité.

90

5.2.1. Items vérifiant la compréhension de l’aspect ordinal du nombre

La présente section expose, d‟une part, les analyses concernant la capacité de l‟enfant à

sérier en ordre de grandeur cinq pailles différentes et, d‟autre part, sa capacité à considérer

les diverses positions d‟objets d‟une série.

5.2.1.1 Item 1 : Sériation d’objets de tailles différentes

L‟intervenante demande d‟abord à l‟enfant de sérier quatre pailles, puis d‟en ajouter une

cinquième à la série élaborée. Cet item a pour but de vérifier la sériation effectuée par

l‟enfant en portant particulièrement l‟attention sur la réalisation de l‟épreuve en soi, plutôt

que sur la sériation produite. La figure 26 présente la sériation effectuée par l‟enfant, la

dernière paille ajoutée (N) étant indiquée par une ligne plus large que les quatre autres.

(4-1-2-3-N)

Figure 26 : Sériation de pailles réalisée en mai 2012

Extrait 20

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

(Place 4 pailles sur la table.) Je te place des pailles, ici. Est-ce que tu peux les placer de la plus petite à

la plus grande?

Oui.

Place-les, en ordre de grandeur. De la plus petite à la plus grande.

(Place les pailles une par une, les dépose de la gauche à la droite, en considérant un point d’origine

commun.. Elles sont placées dans cet ordre : 2-3-1-4, 1 étant la plus petite.)

Il faut les placer de la plus petite à la plus grande.

Ouais.

Est-ce qu‟i‟ sont placées de la plus petite à la plus grande?

Non.

91

9I :

10M:

11I :

12M:

13I :

14M:

15I :

16M:

17I :

18M :

Place-les comme il faut. […] Il faut les placer de la plus petite à la plus grande.

Où?

Sur la table. I‟ faut les ranger de la plus petite à la plus grande. […]

(Prend la plus grande paille et la déplace au début, en la décalant un peu vers le bas.)

On les place de la plus petite à la plus grande. On met la plus petite au début. […]

(Déplace les pailles. Elles sont maintenant dans l’ordre : 4-1-2-3.)

Est-ce qu‟elles sont mises de la plus petite à la plus grande?

Oui.

Oui. (Sort une nouvelle paille N, qui irait au milieu, soit entre la 2 et la 3 de la première série.) Celle-

là, on la mettrait où?

(Ajoute la paille à la fin : 4-1-2-3-N.) J‟ai gagné! […]

Lors de la réalisation de la tâche, Marianne prend les pailles une par une dans l‟ensemble

pour les placer à la fin de la série. Une fois cette première sériation établie en quelque sorte

par l‟ordre dans lequel elle a pris chaque paille [ligne 4], on peut poser l‟hypothèse qu‟elle

ajuste sa série en effectuant des tâtonnements entre les pailles [lignes 12; 14]. Elle

entreprend de les placer en ligne en considérant un point d‟origine commun pour les pailles.

Marianne semble comprendre que pour sérier les pailles, elle doit les comparer et, pour ce

faire, elles doivent nécessairement avoir un même point d‟origine. À sa première sériation

[ligne 4], sous le questionnement de l‟adulte, elle réalise que sa série ne respecte pas un

ordre de grandeur. Elle semble écarter la plus longue paille en la replaçant au début [ligne

12]. Ce faisant, elle semble considérer seulement les trois pailles qui restent et parvient à

déplacer la plus petite devant les deux autres qui la précèdent [ligne 14]. Toutefois, à l‟ajout

de la cinquième paille, Marianne reprend sa procédure initiale d‟ajouter la dernière paille

prise à la fin de la série sur la droite [ligne 28]. Ainsi, en se centrant sur l‟alignement du bas

des pailles, elle n‟a pas réussi à sérier totalement les cinq pailles entre elles en considérant

de manière coordonnée et simultanée les deux extrémités lors du déploiement de la série.

Elle se situerait donc au premier stade de Piaget, c‟est-à-dire qu‟elle n‟arrive pas à réaliser

92

sa sériation en considérant, à la fois, la relation qui lie les pailles entre elles et les limites

perceptives qu‟elle doit respecter.

Lors de cet item, un ensemble de cinq pailles est présenté à l‟enfant qui doit les

sérier. Marianne prend les pailles une à une et ne réussit pas la sériation. Elle se

situe au premier stade. Bien qu‟elle comprenne que toutes les pailles doivent

partager un point d‟origine commun, elle ne parvient pas à mettre en relation les

grandeurs des pailles entre elles. Elle ne procède pas par une opération d‟ensemble

lui permettant d‟envisager de manière coordonnée les deux extrémités des pailles

de manière simultanée, même si on semble voir émerger la compréhension que les

pailles doivent avoir un point d‟origine commun pour déployer sa série. Elle

semble privilégier un tâtonnement qui lui permet de considérer la sériation de trois

éléments.

5.2.1.2 Item 2 : Sériation d’objets faisant une course

L‟intervenante présente un ensemble de voitures à l‟enfant, prétextant que ces dernières

font une course. L‟intervenante questionne l‟enfant à propos de la position des voitures au

sein de la course. Cette mise en situation cherche à vérifier si l‟enfant démontre une

certaine compréhension de l‟aspect ordinal pouvant exister dans une série, en référant aux

positions des coureurs et en utilisant des notions perceptives. La figure 14 expose l‟ordre

des voitures.

Figure 14 : Ordre des voitures faisant la course

Extrait 21

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

[…] Regarde : première, deuxième, troisième, quatrième, cinquième, sixième, septième. […] C‟est

laquelle la voiture qui est en premier?

(Pointe la rouge, qui est troisième en réalité.) Celui-là.

P‟is c‟est laquelle la voiture qui est en dernier?

(Pointe la bleue, qui est quatrième en réalité.) Celui-là.

P‟is c‟est laquelle la voiture qui est au milieu?

(Pointe la orange, qui est cinquième en réalité.) Celui-là. […]

Dans ces voitures-là, c‟est laquelle qui est en première position? C‟est laquelle qui est en premier?

(Pointe la bleue, qui est quatrième en réalité.) Celui-là.

C‟est laquelle la voiture qui est en dernière position, qui est en dernier?

93

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

16M :

17I :

18M :

19I :

20M :

21I :

22M :

23I :

24M :

25I :

26M :

27I :

28M :

29I :

30M :

31I :

32M :

33I :

34M :

35I :

36M :

(Réfléchit et pointe la orange, qui est cinquième en réalité.) Celui-là.

C‟est laquelle la voiture qui est au milieu?

(Pointe la voiture jaune, qui est sixième en réalité.) Celui-là.

C‟est laquelle la voiture qui est en avant de la voiture orange?

Jaune.

C‟est laquelle la voiture qui est après la voiture verte?

Rose.

Qui est après la voiture verte?

Rouge.

C‟est laquelle la voiture qui est en avant de la voiture orange?

Bleue.

C‟est laquelle la voiture qui est au milieu?

Orange.

C‟est laquelle la voiture qui est en première position?

Jaune.

C‟est laquelle qui est en dernière position?

Violet.

C‟est laquelle la voiture qui est à la troisième position? La troisième position.

Personne. […]

C‟est laquelle qui est à la troisième position?

Bleue?

Et la voiture jaune, elle est à quelle position, elle?

Violet.

Non, écoute ma question. La voiture jaune est à quelle position?

Violet.

Je te demande c‟est quoi le numéro de sa position à la voiture jaune. Est à quelle position? C‟est quoi

son numéro de position?

3. […]

Lorsque l‟intervenante lui demande une première fois quelle voiture est « en avant » de la

orange [ligne 13] et « après » la verte [ligne 15], Marianne ne répond pas correctement en

inversant les positions : elle répond que la voiture jaune est en avant de la orange [ligne 14],

alors qu‟elle se trouve « après », et elle nomme la voiture rose comme étant après la verte

[ligne 16], alors qu‟elle se trouve « avant ». L‟intervenante questionne l‟enfant à nouveau à

propos de ces voitures [lignes 19 et 17, respectivement] et cette dernière répond

correctement [lignes 20 et 18, respectivement]. Marianne réussit à identifier la voiture qui

se trouve en dernière position lors d‟une troisième tentative [lignes 25-26]. Par contre, en ce

qui concerne les autres positions des voitures, elle n‟arrive pas à les identifier correctement

[lignes 1 à 12] : la première (elle indique que c‟est la rouge [lignes 1-2], puis que c‟est la

jaune [lignes 23-24]), celle du milieu (elle indique que c‟est la orange [lignes 21-22]) et la

troisième position (elle répond qu‟il n‟y a personne [lignes 27-28], ensuite que c‟est la

bleue [lignes 29-30] et elle attribue également cette position à la voiture jaune [lignes 35-

36]).

94

Lors de cet item, une série de voitures faisant une course est présentée à l‟enfant.

L‟intervenante la questionne alors sur la position des participants. Même si elle

parvient à identifier, avec beaucoup d‟insistance et de soutien de la part de

l‟adulte, le dernier élément de la série ainsi que les éléments qui se trouvent

« avant » et « après » un autre, elle éprouve beaucoup de difficulté à identifier les

autres positions des objets au sein de la série. Elle ne semble pas comprendre

certains termes nécessairement convoqués pour une série, comme « premier » et

« milieu ».

5.2.2. Items vérifiant la compréhension de l’aspect cardinal

La présente section expose les analyses concernant la capacité de l‟enfant à comparer des

collections d‟objets, à établir la conservation (de quantités continues et discontinues), à

procéder au comptage et à considérer l‟aspect cardinal d‟une quantité dénombrée.

5.2.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d’objets identiques (correspondance

terme à terme)

L‟intervenante dresse deux rangées de sept jetons devant l‟enfant en les faisant d‟emblée

correspondre comme l‟illustre la figure 27. Elle ajoute deux jetons à l‟une des deux rangées

et demande à Marianne combien il y a de jetons dans les rangées. Cet item vise à vérifier si

l‟enfant est en mesure de comparer deux collections d‟objets et surtout comment elle

procède pour le faire : en se fiant à l‟aspect figural de la présentation des collections ou en

établissant une opération.

Figure 27 : Déplacement des collections inégales en mai 2012

Extrait 22

1I :

2M :

3I :

[…] Est-ce que les deux lignes sont pareilles?

Oui, elles sont pareilles.

Alors, toi, tu me dis que, les deux lignes, i‟ sont pareilles. Regarde bien. (Ajoute 2 jetons à la rangée

du haut, un à gauche et un à droite.) Moi, j‟ajoute 2 jetons à celle d‟en haut. Ça veut dire qu‟i‟ en a

maintenant 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ici [rangée du haut], i‟ en a 9 et ici [rangée du bas], i‟ en a 7. Je

prends celle-là d‟en haut et je fais ça ici. (Rapproche les 9 jetons l’un de l’autre, de manière à ce

95

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

16M :

17I :

18M :

19I :

20M :

21I :

22M :

23I :

24M :

25I :

26M :

27I :

28M :

qu’il n’y ait plus d’espace entre eux.) Peux-tu me dire où est-ce qu‟i‟ a le plus de jetons? Est-ce qu‟i‟

a plus de jetons ici [rangée du haut], ici [rangée du bas] ou c‟est pareil?

(Pointe la rangée du haut.) Ici.

Ici en haut. Pourquoi, tu sais ça, toi?

Pourquoi je sais ça, moi?

Ouais. Comment ça se fait que tu sais ça qu‟i‟ a plus de jetons ici [rangée du haut] que ici [rangée du

bas]?

(Pointe la rangée du bas.) Ici, je sais.

Où est-ce qu‟i‟ a le plus de jetons? Ou est-ce que c‟est pareil ou i‟ a plus de jetons quelque part?

I‟ a plus de jetons.

Où?

(Pointe la rangée du bas.) Ici.

Celle-là, pourquoi?

(Ne répond pas.)

Explique-moi.

(Pointe la rangée du bas.) Plus de jetons.

Oui. Explique-moi pourquoi tu penses qu‟i‟ a plus de jetons sur celle-là.

I‟ a plus de jetons là-bas [rangée du bas].

Oui. Pourquoi?

I‟ avait plus de jetons en arrière, à droite, à gauche.

Ouais.

P‟is i‟ en avait doucement sur ici [rangée du haut].

Ouais.

I‟ en avait doucement. Doucement. […]

P‟is là, maintenant, où est-ce qu‟i‟ en a plus des jetons?

B‟en ici. (Passe sa main rapidement au-dessus des deux rangées.)

En haut ou en bas?

En bas. […]

Au début de l‟extrait 22, Marianne affirme qu‟il y a plus de jetons dans la rangée du haut

[ligne 4]. Par contre, quand l‟intervenante lui demande de s‟expliquer, elle change d‟idée et

indique qu‟il y a plus de jetons dans la rangée du bas, ce qu‟elle soutiendra pendant toute la

durée de l‟échange [lignes 8 à 12; 16 à 18; 25 à 28]. Avec le questionnement de l‟adulte,

elle parvient à expliquer sa pensée par un raisonnement reposant sur l‟aspect figural. En

effet, pour Marianne, il semble que la rangée du bas, constituée de sept jetons, ait « plus de

jetons » que celle du haut, constituée de neuf jetons, parce que « i‟avait plus de jetons en

arrière, à droite, à gauche » [lignes 18 à 20]. Elle ajoute également : « P‟is, i‟ en avait

doucement sur ici » en pointant la rangée du haut [ligne 22]. Il est difficile d‟interpréter

avec une dose de certitude cette réponse originale et spontanée de Marianne. Conjugué à la

ligne 20, on peut penser, sous toute réserve, que Marianne compare encore de manière

figurale les jetons qui avancent « doucement » dans la rangée du haut, ces derniers

occupant une plus petite distance que les jetons qui avancent à grands pas dans la ligne du

bas. Quoi qu‟il en soit, on peut constater que le nombre en soi, pour Marianne, n‟est pas

96

garant de la quantité, et donc ne représente pas le cardinal de la collection. Pour identifier

quelle collection est la plus grande, elle utilise l‟aspect figural en s‟appuyant sur

l‟apparence de la collection, même si la collection a été modifiée par l‟adulte devant elle et

même si l‟adulte au départ a dénombré devant elle les deux collections en affirmant

« j‟ajoute deux jetons à celle d‟en haut » [ligne 3].

Par la suite, l‟intervenante remet les jetons des deux rangées en correspondance l‟un avec

l‟autre, la rangée du haut dépassant d‟un jeton de chaque côté. Elle questionne à nouveau

l‟enfant à savoir si l‟une des deux rangées comporte plus de jetons.

Figure 15 : Comparaison de collections inégales

Extrait 23

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

16M :

17I :

18M :

19I :

20M :

[…] (Replace la rangée de 9 jetons, comme elle était au début, avec un jeton dépassant la rangée du

bas de chaque côté.) Où est-ce qu‟i‟ en a plus de jetons, maintenant?

(Ne pointe rien.) Ici.

En haut ou en bas?

En bas.

En bas aussi? […] Est-ce que tu peux me dire si i‟ a plus de jetons ici [rangée du haut], ici [rangée du

bas] ou c‟est pareil?

C‟est pareil.

Comment ça se fait que tu sais ça? Explique-moi voir.

Je vais les compter, Marie-Pierre.

O.K. Compte-les. […]

(Compte la rangée du haut.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ouais.

Est-ce que je peux compter encore?

Oui, laquelle tu veux compter?

Là [rangée du bas]. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Est-ce que i‟ a plus de jetons ici [rangée du haut], ici [rangée du bas] ou c‟est pareil?

C‟est pareil.

C‟est pareil. I‟ a la même chose. Et si je fais ça? (Déplace les 7 jetons de la rangée du bas pour que

la rangée dépasse la rangée du haut à droite et à gauche.) Est-ce qu‟i‟ a plus de jetons ici [rangée du

haut], ici [rangée du bas] ou c‟est pareil?

C‟est pareil.

C‟est pareil? Comment tu fais pour savoir ça, toi?

(Ne répond pas.) […]

À la suite du déplacement des jetons, Marianne ne parvient pas à identifier correctement la

rangée qui comporte le plus de jetons; elle répond principalement le dernier élément énoncé

97

par l‟adulte par effet de récence [lignes 3-4; 5-6; 15-16; 17-18]. Pour expliquer son choix,

elle décide spontanément de recourir au comptage [ligne 8]. Bien qu‟elle soit en mesure de

bien dénombrer les deux rangées de jetons en établissant une correspondance terme à terme

parfaite entre le mot nombre dit et chaque jeton dénombré [lignes 10; 14], les nombres

obtenus ne tiennent pas lieu de cardinal des collections puisque les nombres 7 et 9 sont

considérés comme « pareils ». Elle ne réussit pas à comparer les deux nombres par

l‟intermédiaire du dénombrement, même si ce dernier est exécuté adéquatement. En ce

sens, Marianne nous enseigne que ni la comptine numérique ni même un dénombrement

adéquat ne peuvent être considérés garants d‟une solide construction du nombre. Ainsi,

vérifier les habiletés de dénombrement, même si nécessaire, ne semble pas suffisant en soi

pour se prononcer sur la construction du nombre chez l‟enfant.

Lors de cet item, l‟intervenante demande à Marianne de comparer deux collections

de jetons pour identifier laquelle est la plus nombreuse, donc qui contient le plus

grand cardinal. Marianne est en mesure d‟utiliser la correspondance terme à terme

entre le mot nombre dit et l‟élément dénombré pour procéder au comptage de

chacune des collections. Toutefois, comme c‟était le cas en octobre 2011, l‟aspect

cardinal du nombre n‟est pas solidement construit, car elle n‟utilise pas la quantité

de chaque collection pour les comparer. Au contraire, Marianne s‟appuie

amplement sur l‟aspect figural dans sa conception du nombre. Bien que Marianne

maintienne une comptine stable jusqu‟à 10 et puisse dénombrer adéquatement des

collections, elle n‟a pas une construction solide du nombre puisque le

dénombrement n‟assure pas la conceptualisation de l‟aspect cardinal du nombre,

conception qui pousse Marianne à affirmer parfois que 7 = 9 ou parfois 7 9.

5.2.2.2 Item 2 : Conservation de quantités continues

L‟intervenante présente deux boules de pâte à modeler de même taille à l‟enfant en lui

demandant si l‟une des deux boules contient plus de pâte. Lorsque l‟enfant a établi l‟égalité,

l‟intervenante prend une des deux parts et la transforme à trois reprises sous les yeux de

l‟enfant : en rouleau, en galette, puis en miettes. À chaque fois, elle questionne l‟enfant

pour savoir si l‟une des deux parts contient plus de pâte à modeler. Cet item a pour but de

vérifier si l‟enfant comprend la conservation de quantités continues et si elle est capable de

faire abstraction des transformations effectuées par l‟adulte par des arguments d‟identité, de

réversibilité ou de compensation qui feraient de la conservation une réelle opération.

98

Figure 17 : Première transformation effectuée avec la pâte à modeler

Extrait 24

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

16M :

17I :

18M :

19I :

20M :

21I :

22M :

23I :

24M :

25I :

26M :

27I :

28M :

29I :

30M :

31I :

32M :

33I :

34M :

35I :

36M :

[…] Est-ce qu‟il y a la même chose de pâte à modeler dans les deux ou est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à

modeler dans le boudin ou est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule?

Plus de pâte à modeler dans la boule.

Pourquoi i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule?

Je sais pas.

Hein? Explique-moi. Comment ça se fait qu‟i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule jaune] que ici

[boudin rouge]? […] Toi, tu me dis qu‟i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule jaune]. Comment ça se

fait? […] Comment ça se fait que toi, tu penses qu‟i‟ en a plus ici [boule jaune]?

(Ne répond pas.) […]

I‟ en a plus dans la boule? Pourquoi toi, tu penses qu‟i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule jaune] que

ici [boudin rouge]?

(Ne réponds pas.)

Faut que tu m‟expliques pourquoi i‟ en a plus ici [boule jaune].

(Pointe la boule jaune.) Là!

Oui, pourquoi i‟ en a plus là? […] Pourquoi i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule que dans le

boudin?

Dans le boudin.

Quoi dans le boudin?

De la pâte à modeler.

I‟ a plus de pâte à modeler dans le boudin?

Oui.

Que dans la boule?

Oui.

[…] Pourquoi? Pourquoi i‟ en a plus dans le boudin, tu penses?

I‟ en a assez.

Ouais.

Dans le boudin?

Mais pourquoi i‟ en a plus dans le boudin, tu penses?

(Ne répond pas.)

Hein Marianne? Pourquoi tu penses qu‟i‟ en a plus dans le boudin? Comment ça se fait?

(Réfléchit.) Oui.

Oui? Pourquoi i‟ en a plus dans le boudin, tu penses? Comment ça se fait? Moi, je comprends pas

pourquoi i‟ en a plus là.

Parce que i‟ avait un boudin dans la boule… jaune.

Parce qu‟i‟ avait un boudin dans la boule jaune?

Oui.

Un boudin quelle couleur dans la boule jaune?

(Pointe le boudin rouge.) Ici.

Ouais. P‟is c‟est où qu‟i‟ a plus de pâte à modeler? Ou i‟ ont la même chose de pâte à modeler?

(Ne répond pas.)

Est-ce que c‟est la même chose de pâte à modeler dans ou i‟ en a un qui a plus de pâte à modeler que

l‟autre?

(Pointe le boudin rouge.) Ici. […]

99

Le raisonnement de Marianne lors de cette première transformation semble assez

ambivalent. Tout d‟abord, elle indique que la boule contient plus de pâte à modeler en

utilisant l‟effet de récence [lignes 2; 10], sans toutefois être en mesure d‟expliquer sa

réponse [lignes 4; 6; 8]. Puis, elle énonce qu‟il y a plus de pâte à modeler dans le rouleau

(ou boudin) [lignes 12 à 18]. Ensuite, elle parvient à expliquer l‟une de ses réponses en

formulant « qu‟il y avait un boudin dans la boule » [ligne 28]. Il semble que, pour

Marianne, la transformation soit comprise comme des actions juxtaposées qui permettent de

faire l‟hypothèse de plus de pâte à modeler, comme si boule + boudin boule. Malgré le

fait qu‟elle semble comprendre que le rouleau a été formé à partir d‟une boule identique,

elle ne parvient pas à identifier clairement que les deux parts de pâte à modeler contiennent

la même quantité de pâte, indiquant plutôt que le boudin contient plus de pâte à modeler.

L‟intervenante prend le rouleau rouge et le transforme en boule de même grosseur que celle

de référence. L‟enfant confirme alors leur égalité. Puis l‟intervenante reprend la boule

rouge et la transforme en galette devant les yeux de l‟enfant.

Figure 18 : Deuxième transformation effectuée avec la pâte à modeler

Extrait 25

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

[…] Est-ce qu‟i‟ a la même chose dans la boule p‟is dans la galette ou i‟ a plus de pâte à modeler

dans la galette ou dans la boule?

Dans la boule.

I‟ en a plus dans la boule. Est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule, dans la galette ou c’est

pareil, i‟ a la même chose de pâte à modeler dans les deux?

C‟est pareil.

C‟est pareil. Concentre-toi bien. Écoute-moi bien, reste concentrée. Est-ce qu‟i‟ a la même chose de

pâte à modeler dans les deux ou i‟ en a plus ici [boule jaune] ou plus ici [galette rouge]?

(Touche la galette rouge, mais ne regarde pas.) Plus ici.

Ici où?

(Ne répond pas et ne regarde pas.)

Tu dis qu‟i‟ en a plus ici, lequel? La boule ou la galette? La galette ou la boule?

La galette.

I‟ en a plus dans la galette, tu penses?

Oui.

Comment ça se fait? […] Comment ça se fait que tu penses qu‟i‟ en plus dans la galette que dans la

boule?

Dans la boule.

Est-ce qu‟i‟ a la même chose de pâte à modeler dans les deux ou i‟ a plus de pâte à modeler ici [boule

100

16M :

17I :

18M :

19I :

20M :

21I :

22M :

23I :

24M :

25I :

26M :

27I :

28M :

29I :

30M :

31I :

32M :

33I :

34M :

jaune] ou ici [galette rouge]?

(Pointe la galette rouge.) Ici.

Ici où?

Dans la boule.

Dans la boule? Pourquoi i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule?

Oui.

Comment ça se fait? Comment ça se fait qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule? Comment tu

fais pour savoir ça, toi?

(Réfléchit.) Oui. […]

Est-ce qu‟i‟ a la même chose de pâte à modeler dans les deux ou i‟ en a plus dans l‟une que dans

l‟autre?

Est-ce que … c‟est pareil.

Tu penses que c‟est la même chose?

B‟en oui.

Ah oui? I‟ a la même chose de pâte à modeler dans la galette p‟is dans la boule?

Bien oui!

Est-ce qu‟i‟ en a un qui a plus de pâte à modeler que l‟autre?

Oui.

Lequel? […] Est-ce que c‟est pareil ou i‟ en a un qui a plus de pâte à modeler?

Plus que la pâte à modeler.

Où ça? Où est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler?

Dans la boule jaune. […]

Les propos de Marianne dans cet extrait 25 nous permettent de constater qu‟elle n‟a

toujours pas construit la notion de conservation des quantités continues, du moins pas

solidement. En effet, lorsque l‟intervenante la questionne à savoir si une part de pâte

contient plus de pâte à modeler ou si les deux quantités sont égales, Marianne répond

principalement le dernier élément énoncé par l‟intervenante, par effet de récence [lignes 2;

4; 6; 14;16]. De plus, quand les questions de l‟intervenante sont fermées, Marianne répond

toujours par l‟affirmative [lignes 12; 26; 28; 30] et elle ne parvient pas à expliquer ses

réponses [lignes 19 à 23]. Il est vrai toutefois que l‟enfant soulève la possibilité de

l‟égalité par la question : « Est-ce que c‟est pareil? » [ligne 24]. Si cet énoncé de Marianne,

qui peut provenir d‟une imitation différée [ligne 3], peut laisser entrevoir une émergence, il

n‟en demeure pas moins que cela demeure extrêmement fragile, comme le montre

l‟ensemble de l‟extrait 25.

L‟intervenante prend la galette rouge et la transforme en boule de même grosseur que celle

de référence. L‟enfant confirme leur égalité. Puis, l‟intervenante reprend la boule rouge et

la transforme en miettes devant les yeux de l‟enfant.

101

Figure 19 : Troisième transformation effectuée avec la pâte à modeler

Extrait 26

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

16M :

17I :

18M :

19I :

20M :

[…] Est-ce que tu penses qu‟i‟ a la même chose de pâte à modeler dans la boule que dans toutes les

miettes ensemble ou i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule ou plus de pâte à modeler dans les

miettes?

Dans les miettes.

I‟ a plus de pâte à modeler dans les miettes, tu crois?

Oui.

Comment ça se fait?

(Ne répond pas.)

Comment ça se fait, tu penses, qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans les miettes que dans la boule? […]

Est-ce qu‟i‟ a la même chose de pâte à modeler dans toutes les miettes mauves ensemble p‟is dans la

boule ou est-ce qu‟i‟ a plus de pâte à modeler dans toutes les miettes mauves ou plus de pâte à

modeler dans la boule?

Dans la boule.

I‟ a plus de pâte à modeler dans la boule.

Oui.

Est-ce que i‟ a plus de pâte à modeler dans la boule, plus de pâte à modeler dans les miettes mauves

ou c‟est la même chose les deux? […] Je veux savoir : est-ce qu‟i‟ a la même chose de pâte à

modeler dans la boule jaune p‟is dans les miettes rouges toutes ensemble ou est-ce qu‟i‟ a plus de

pâte à modeler ici [miettes rouges] ou plus de pâte à modeler ici [boule jaune]?

(Ne pointe rien.) Plus de pâte … plus de pâte à modeler ici.

Où ça?

(Pointe les miettes.) Ici.

Dans les miettes?

Oui.

Comment ça se fait?

(Met sa main au-dessus des miettes, en faisant un rond.) Parce qu‟elles sont ici.

Parce qu‟i‟ sont ici.

Oui. […]

Le raisonnement de Marianne lors de ces tâches de conservation témoigne d‟une absence

de conservation. Lorsque les boules de pâte à modeler sont transformées, elle répond

principalement en utilisant l‟effet de récence [lignes 2; 8; 12], sans être en mesure de

s‟expliquer [lignes 5-6]. Cependant, Marianne fournit une explication plus claire, à l‟aide

d‟un geste, lorsqu‟elle doit expliquer pourquoi elle pense qu‟il y a plus de pâte à modeler

dans les miettes que dans la boule [lignes 12 à 18]. Son explication permet de bien

comprendre qu‟elle se fie à l‟aspect figural pour juger de la quantité. En effet, elle délimite

102

un grand rond « imaginaire » pour couvrir l‟ensemble des miettes, ce rond prenant plus

d‟espace que la boule [ligne 18].

Lors de cet item, l‟intervenante propose deux parts égales de pâte à modeler à

l‟enfant. Par la suite, elle réalise trois transformations avec l‟une des deux parts

devant ses yeux : une fois en rouleau, une fois en galette et une fois en miettes. À

chaque fois, l‟enfant doit se prononcer sur les quantités de pâte à modeler dans

chaque part. Comme en octobre 2011, Marianne ne démontre pas clairement une

construction de la conservation des quantités continues. Elle répond aux questions

de l‟adulte en utilisant principalement l‟effet de récence. Par contre, il y a une

émergence de tentative d‟explication en se basant sur l‟aspect figural.

5.2.2.3 Item 3 : Conservation de quantités discontinues

D‟abord, l‟intervenante dresse une rangée de sept images de chevalier. L‟enfant, pour sa

part, doit construire une rangée équivalente avec des images de princesse. Cet item vise à

vérifier la capacité de l‟enfant à utiliser la correspondance terme à terme pour comparer les

collections et à établir une conservation des quantités à la suite d‟une transformation de

l‟aspect figural de l‟une des deux collections.

Figure 20 : Rangée d‟images présentée à l‟enfant lors de l‟item 3

Figure 28 : Construction d‟une rangée équivalente en mai 2012

103

Extrait 27

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

16M :

17I :

18M :

19I :

20M :

21I:

22M:

23I:

24M:

25I:

26M:

27I:

28M:

29I:

30M:

[…] (Place une rangée de 7 images de chevalier sur la table.) Ça, c‟est des… (Laisse l’enfant

compléter.)

Chevaliers!

I‟ en a combien? Veux-tu les compter?

Oui.

S‟il-te-plaît.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Très bien! Là, j‟ vais te donner les princesses. Je veux que tu mettes la même chose de princesses que

de chevaliers. Qu‟i‟ aille pareil de princesses que de chevaliers. […] Faut qu‟i‟ aille pareil de

chevaliers que de princesses. Faut que chaque chevalier ait une princesse.

Oui.

Oui. Faut faire une ligne de princesses en d‟ssous…

(Pointe sous la rangée de chevaliers.) Là?

Oui.

(Fait une nouvelle rangée de princesses sous celle de chevaliers. Elle s’arrête, car elle n’a plus de

princesses dans les mains. Il y en a 6 sous les 7 chevaliers et 4 devant elle, près du bord de la table.)

Est-ce que chaque chevalier a une princesse?

Oui.

I‟ avait combien de chevaliers?

3.

Combien? Compte-les. Combien i‟ a de chevaliers?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

I‟ a 7 chevaliers. Ça veut dire que ça prend combien de princesses, pour que ce soit pareil?

8.

Pour que ce soit pareil.

8.

Si i‟ a 7 chevaliers, i‟ faut la même chose de princesses. Ça veut dire … (Laisse l’enfant compléter.)

(Ne répond pas.)

I‟ a 7 chevaliers et i‟ faut que chaque chevalier ait sa princesse. I‟ faut pareil de princesses. Pour que

ce soit égal, ça veut dire que ça prend combien de princesses?

9. […]

I‟ a combien de chevaliers?

7.

Ça veut dire qu‟i‟ faut … (Laisse l’enfant compléter.)

8 princesses. […]

Au départ, Marianne compte les sept chevaliers correctement en utilisant la correspondance

terme à terme entre le mot nombre dit et l‟élément dénombré [ligne 6]. Encore ici, on voit

que le dénombrement, aussi adéquat soit-il, n‟assure pas la cardinalité du nombre [lignes 6;

16; 20; 22; 28; 30]. Ensuite, elle met six princesses sous les chevaliers en utilisant les

limites perceptives. Les deux lignes semblent de même longueur si on se fie à l‟aspect

figural des collections. Malgré les questions de l‟intervenante, Marianne ne parvient pas à

identifier que la rangée de princesses devra également comporter sept images pour être

équivalente [lignes 20; 22; 26; 30], même si elle dénombre adéquatement les sept

chevaliers [ligne 28].

104

L‟intervenante rectifie la situation en ajoutant une princesse à la ligne formée par l‟enfant.

Une fois les deux rangées égalisées, l‟intervenante modifie l‟apparence de la rangée de

chevaliers pour qu‟elle dépasse celle de princesses de chaque côté. On cherche alors à

vérifier si l‟enfant comprend la conservation des quantités discontinues et si elle est capable

de faire abstraction des transformations effectuées par l‟intervenante par des arguments

d‟identité, de réversibilité ou de compensation, qui ferait de la conservation une opération.

Figure 29 : Disposition des rangées pour la comparaison de collections et pour la

conservation des quantités discontinues en mai 2012

Extrait 28

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

13I :

14M :

15I :

16M :

17I :

18M :

19I :

20M :

21I :

22M :

23I :

24M :

[…] (Déplace les chevaliers pour qu’ils ne soient plus en correspondance avec les princesses. La

rangée des chevaliers dépasse à gauche et à droite celle des princesses.) Est-ce qu‟i‟ a encore le

même nombre de chevaliers que de princesses ou i‟ en a plus ici [rangée de chevaliers] ou i‟ en a plus

ici [rangée de princesses]?

(Pointe entre les deux rangées approximativement.) Ici.

Ici où?

En bas [rangée de princesses].

I‟ en a plus en bas.

Oui.

Pourquoi?

Parce que.

Comment ça se fait qu‟i‟ en a plus en bas, toi, tu penses?

Parce que … i‟ avait des princesses.

Ouais? P‟is est-ce qu‟i‟ a plus de … Est-ce qu‟i‟ en a plus ici [rangée de princesses], i‟ en a plus ici

[rangée de chevaliers] ou c‟est pareil?

C‟est pareil.

P‟is est-ce que c‟est pareil, i‟ en a plus ici [rangée de princesses] ou plus ici [rangée de chevaliers]?

Plus ici.

Ici où? Où est-ce qu‟i‟ en a plus?

En bas [rangée de princesses].

En bas, pourquoi tu penses qu‟i‟ en a plus en bas?

Parce que … i‟ en a en bas.

Ouais, mais i‟ en a en haut aussi. Pourquoi tu penses qu‟i‟ en a plus en bas?

Parce qu‟i‟ en a en haut. […]

Tu te souviens? Tantôt, tu m‟avais dit qu‟i‟ en avait pareil ou pas pareil dans les deux lignes?

Pas pareil.

P‟is c‟est où est-ce qu‟i‟ en a le plus?

(Pointe la rangée de princesses.) […]

105

Marianne utilise le comptage pour construire la collection de princesses [extrait 27, lignes

6; 18], mais elle ne recourt plus à ce comptage comme un outil mettant en relief la

cardinalité au service de la comparaison des deux collections. Elle utilise principalement

l‟aspect figural des collections quand elle énonce que la rangée de princesses comporte plus

d‟éléments que celle de chevaliers [lignes 4; 10; 16; 24]. Il est possible de penser que

Marianne se soit centrée ici non pas sur les limites perceptives des deux collections, comme

c‟était le cas dans l‟extrait 27, mais davantage sur les longs espacements entre les

chevaliers qui lui donnent l‟impression qu‟il y a plus de princesses étant donné la densité

que cela occasionne. Elle répond également à quelques reprises en utilisant l‟effet de

récence [lignes 1 à 4; 11-12]. En affirmant que l‟une des deux rangées comporte plus

d‟éléments que l‟autre à la suite du déplacement des éléments, Marianne se situe au premier

stade en ce qui concerne la conservation de quantités discontinues. Elle ne recourt pas à des

opérations comme la correspondance terme à terme ni au comptage pour comparer les deux

collections, privilégiant l‟aspect figural. De plus, tout comme en octobre 2011, Marianne ne

parvient pas à expliquer ses réponses en recourant aux arguments d‟identité, de réversibilité

et de compensation [lignes 7 à 11; 17 à 20].

Lors de cet item, une rangée de sept images de chevalier est présentée à Marianne.

Cette dernière doit construire une rangée équivalente avec des images de

princesse. Sans un soutien de l‟adulte, Marianne n‟y arrive pas. Pour comparer les

deux collections, elle privilégie l‟aspect figural, plutôt que la correspondance

terme à terme et le comptage. Ce dernier est utilisé, mais le cardinal qui lui est

inhérent dans une compréhension du nombre mature n‟est pas construit chez

Marianne. En ce sens, lorsque l‟intervenante modifie l‟apparence de l‟une des

deux collections, Marianne affirme que l‟une des deux rangées comporte plus

d‟éléments en se centrant sur un des aspects figuraux, ce qui témoigne que

Marianne n‟a toujours pas construit la conservation des quantités discontinues,

puis ce qui explique que la cardinalité n‟est pas inhérente à son comptage. Tout

apparaît comme si Marianne a appris une procédure mécanique de comptage sans

avoir compris le raisonnement opératoire qu‟elle sous-tend.

106

5.2.2.4 Item 4 : Comptage

Sans utiliser de matériel, l‟intervenante demande à l‟enfant de compter le plus loin possible.

Cette demande a pour but de vérifier l‟étendue de la chaîne numérique de l‟enfant.

Extrait 29

1M :

2I :

3M :

4I :

5M :

6I :

7M :

8I :

9M :

[…] 1, 2 (Regarde ailleurs.) 3, 4, 5, 6, (Regarde ailleurs.) 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,

20!

Vas-y. 20 …

21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.

Continue.

31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40!

Oui. Vas-y, continue. […] Continue, 40…

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49,30.

Continue. […] Tu es rendue où?

49, 50, 51, 52, 54, […] 55, 56, 57, 58, 59, 40! 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 60! 61, 62, 63, 64, 68.

[…]

Comme elle le faisait déjà en octobre, Marianne compte jusqu‟à 49 sans erreur [lignes 1; 3;

5; 7]. Après 49, elle retombe à 30 [ligne 7]. Elle discute et reprend à 49. Elle compte

jusqu‟à 59 en omettant 53. Une fois à 59, elle recommence avec 40, compte jusqu‟à 49 et

continue de 60 à 68 en omettant le 63, le 65, le 66 et le 67 [ligne 9].

Ensuite, l‟intervenante lui demande de compter en tenant compte d‟une borne supérieure,

fixée à 9 [extrait 30]. Par la suite, l‟intervenante lui demande de compter en tenant compte

d‟une borne inférieure fixée à 3 [extrait 31]. Ceci a pour but de vérifier si la chaîne

numérique de Marianne est sécable ou non.

Extrait 30

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

[…] Moi là, j‟aimerais ça que tu comptes jusqu‟à 9. […]

9.

Jusqu‟à 9.

9, 10, 11…

Là, toi tu comptes à partir de 9. Moi, je veux du début p‟is on arrête à 9. Jusqu‟à 9, vas-y.

1. (Pause.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. […]

Marianne réussit à compter en tenant compte d‟une borne supérieure fixée à 9 [ligne 6] et

elle réussit également à compter en utilisant ce même nombre 9 comme borne inférieure,

probablement car elle ne semble pas avoir bien compris la question [lignes 1 à 4]. Malgré le

fait que Marianne ait réussi à considérer 9 comme borne inférieure [extrait 30],

107

l‟intervenante lui demande de compter à partir de 3 [extrait 31], en visant le même but qui

était de vérifier si la chaîne numérique de Marianne est sécable ou non.

Extrait 31

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I:

8M:

9I:

10M:

[…] P‟is là, j‟aimerais ça que tu comptes à partir de 3. On commence à 3.

Oui.

Vas-y.

1.

Ah! On commence à 3. On commence pas à 1, on commence à 3. Vas-y.

1, 2, 3.

Ouais, ça c‟est jusqu‟à 3. Moi, je veux qu‟on compte à partir de 3. Tu commences à compter à partir

de 3.

Oui.

Ton premier chiffre, c‟est 3. Vas-y.

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. […]

Marianne parvient à compter à partir de 3 [ligne 10]. L‟intervenante lui demande ensuite de

compter en considérant, à la fois, la borne inférieure 5 et la borne supérieure 9.

Extrait 32

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

[…] On commence à 5 p‟is on arrête à 9. […] Le premier chiffre c‟est 5 et on arrête rendues à 9.

(Montre 5 avec ses doigts.) […]

On commence à 5 et on termine à 9. Vas-y.

5, 9.

5, après 5?

6, 7, 8, 9. […]

Marianne réussit cette tâche, avec un léger soutien de l‟adulte [lignes 5-6]. Lors de la même

tâche réalisée en octobre, Marianne éprouvait de la difficulté à respecter, à la fois, une

borne inférieure et supérieure [extrait 13], ce qui permettait de poser que sa chaîne

numérique était non sécable à l‟époque. A contrario, le fait qu‟elle puisse considérer deux

bornes fixées par l‟adulte en même temps peut signifier que sa chaîne numérique soit

devenue sécable : Marianne est maintenant en mesure de commencer un comptage par un

108

mot nombre autre que 1 [extraits 30; 31; 32].26

Il convient toutefois de souligner que cette

nouvelle capacité d‟une chaîne sécable n‟est donc pas, elle non plus, garante de l‟aspect

cardinal du nombre, tel que démontré dans l‟extrait 30 qui impliquait notamment des

nombres de sa chaîne numérique sécable.

Finalement, l‟intervenante demande à l‟enfant de compter à rebours à partir de 7. Ceci

permet de vérifier si la chaîne numérique de l‟enfant est dénombrable.

Extrait 33

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I:

8M:

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I:

18M:

[…] Moi, je veux savoir qu‟est-ce qui vient avant. Hein? Comme quand je compte p‟is que je fais : 3,

2, 1. Là, on va faire pareil, mais on commence par 7. 7, (Laisse l’enfant compléter.)

8.

(Fait non de la tête.) On recule. […] Qu‟est-ce qui vient avant 7?

Oui.

C‟est quoi le chiffre qu‟on dit juste avant de dire 7?

6.

Oui. 7, 6, (Laisse l’enfant compléter.)

(Ne répond pas.)

On continue de reculer : 7, 6, (Laisse l’enfant compléter.)

7.

7, 6, on continue. Qu‟est-ce qui vient avant 6?

5.

Oui! On continue.

8.

Qu‟est-ce qui vient avant 5?

8.

Hein? 7, 6, 5, (Laisse l’enfant compléter.)

4, 3, 2, 1. […]

Avec un soutien important de la part de l‟adulte, Marianne arrive à compter à rebours à

partir de 7 [lignes 5 à 12]. Par contre, rendue à 5, elle y arrive seule [lignes 17-18]. Le fait

que Marianne soit en mesure de compter plus aisément à rebours qu‟elle le faisait en

octobre concorde avec le fait que sa chaîne numérique soit maintenant sécable. En ce sens,

sa chaîne numérique commence à s‟asseoir sur l‟opération, permettant la réversibilité, ce

qui est nécessaire lors d‟un comptage à rebours. Toutefois, sa chaîne numérique ne peut

26 Il convient de rappeler que cette amélioration de la chaîne numérique de l‟enfant survient aux termes

d‟interventions pédagogiques qui se sont déroulées pendant l‟année, non pas sur la chaîne numérique en

soi et son extension, mais sur les opérations sur le petit nombre comme cela a été décrit au chapitre 3.

109

être considérée dénombrable pour le moment, en raison des erreurs encore fréquentes,

notamment lors des comparaisons de collection où « 7 est plus que 9 » [extrait 22].

Lors de cet item, on cherche à vérifier la construction de la chaîne numérique de

l‟enfant. Marianne arrive à compter seule sans erreur jusqu‟à 49, à tenir compte de

bornes supérieure et inférieure fixées à 9 et de compter à rebours, avec un soutien

de l‟adulte, à partir de 7. La chaîne numérique de Marianne peut être considérée

comme sécable au moins pour les nombres inférieurs à 10, car elle est en mesure

de compter à partir de 9, seule sans erreur. La prise de maturité dans la chaîne

numérique n‟assure toutefois pas la construction de la cardinalité inhérente au

nombre si l‟on compare les réponses adéquates de Marianne dans cet item par

rapport à ce qu‟elle a répondu, par exemple, à l‟extrait 22 : 7 9 ou, parfois, à

l‟extrait 23 : 7 = 9.On peut également souligner que la progression de la chaîne

numérique de Marianne est survenue dans un contexte pédagogique qui a

amplement mis l‟accent, non pas sur l‟extension de la chaîne numérique, mais

bien sur les opérations sur le petit nombre.

5.2.2.5 Item 5 : Cardinalité

L‟intervenante place dix-huit jetons pêle-mêle sur la table devant l‟enfant. Elle demande

alors à Marianne de les dénombrer. Cet item tente de vérifier les méthodes de comptage

utilisées par Marianne ainsi que sa compréhension de la notion de cardinalité, bien que

cette dernière puisse être inférée par l‟intermédiaire d‟autres items précédents.

Figure 23 : Première disposition de jetons à dénombrer

110

Extrait 34

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I:

8M :

[…] Compte-les. Je veux savoir i‟ en a combien.

(Entreprend le comptage de façon assez organisée, elle compte en ligne, mais compte 2 jetons à 2

reprises, donc elle n’arrive pas au bon compte.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,

18, 19, 20.

Excellent! Très, très bien! […] I‟ en avait combien déjà? J‟ me souviens p‟us combien i‟ en avait.

7.

I‟ en a 7?

Oui.

T‟ en as compté 7, toi?

Oui, j‟en ai compté 7.

Marianne en dénombre 20 [ligne 2], ce qui se rapproche beaucoup plus du réel cardinal de

la collection, que lors de l‟évaluation d‟octobre 2011 où Marianne dénombrait 30 jetons

[extrait 16]. Bien que l‟adulte laisse sous-entendre par la formulation de sa question que la

quantité (« combien ») est issue du comptage [ligne 1], quand l‟adulte lui demande de

nouveau combien il y en avait [ligne 3], elle répond qu‟il y en a 7 [lignes 4; 8]. De plus,

comme c‟était le cas lors de l‟évaluation d‟octobre 2011, Marianne éprouve encore

quelques difficultés à bien utiliser la correspondance terme à terme entre le mot nombre dit

et l‟élément dénombré lorsque les collections comportent plus de 10 éléments.

L‟intervenante déplace les jetons sur la table et demande à l‟enfant combien il y en a, sans

les compter. Ensuite, il est demandé à l‟enfant de compter les jetons pour vérifier son

hypothèse.

Extrait 35

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I :

10M:

[…] Là, je les prends et je fais ça. (Prend les jetons et les disperse sur la table.) Sans compter là,

combien tu penses qu‟i‟ en a, des jetons?

(Regarde ailleurs.) 8.

Tu penses qu‟i‟ en a 8?

(Acquiesce de la tête.)

Est-ce que tu peux les compter maintenant pour vérifier?

(Ne fait rien.)

On les compte pour vérifier. […] Combien i‟ a de jetons?

Oui. (Ne compte pas.) 8.

O.K. Compte-les.

(Compte les jetons, en faisant 2 oublis et en comptant 2 fois 2 jetons, donc elle obtient le bon total,

par hasard.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. […]

À la suite du déplacement, Marianne énonce qu‟il y a huit jetons [lignes 2; 8]. Ce nombre

ne correspond ni au décompte qu‟elle avait réalisé précédemment [extrait 34, ligne 2], ni au

111

nombre qu‟elle avait énoncé à l‟adulte [extrait 34, lignes 4; 8]. Cela témoigne que Marianne

n‟a pas encore construit totalement le principe de cardinalité. Lors de la vérification,

Marianne obtient un bon compte en faisant deux types de méprises : elle oublie deux jetons

et en compte deux à deux reprises [ligne 10]. Elle est donc en mesure de bien réaliser la

correspondance terme à terme entre le mot nombre énoncé et l‟élément compté, mais elle

éprouve de la difficulté à bien organiser son comptage. En raison des difficultés que

présente l‟enfant à travailler avec une collection de 18 éléments, l‟intervenante tente de

nouveau le même exercice, mais avec un ensemble de cinq jetons. Il convient de souligner

que le nombre 5 fait partie de sa chaîne numérique sécable [extrait 32] et que Marianne

parvient à ce moment de l‟année à compter à rebours à partir de 5 [extrait 33, ligne 18].

Figure 30 : Seconde disposition de jetons à dénombrer en mai 2012

Extrait 36

1M:

2I:

3M:

4I:

5M:

6I:

7M:

8I:

9M:

10I:

11M:

12I:

13M:

14I:

15M:

[…] (Compte en touchant chaque jeton.) 1, 2, 3, 4, 5.

Combien i‟ en a déjà? Combien t‟as dit?

5.

I‟ en a 5! Ah, super! (Déplace les jetons sur la table et les éparpille à nouveau.) Compte-les pas. Dis-

moi combien tu penses qu‟i‟ en a?

8.

Ah, O.K. Compte-les voir, pour vérifier. […] Peux-tu compter pour vérifier?

(Ne fait rien.)

Compte-les. Tu m‟as dit qu‟i‟ en avait combien? Combien tu penses qu‟i‟ en a?

(Compte les jetons en comptant un même jeton 2 fois.) 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Recompte-les voir.

(Recompte les jetons, en faisant la même méprise.) 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Très bien. Si je les mets comme ça. (Place les 5 jetons pour former une ligne horizontale.) Là, i‟ en a

combien? Peux-tu les compter s‟il te plait?

Oui.

Compte-les voir.

1, 2, 3, 4, 5. […]

Marianne dénombre correctement les jetons dès la première tentative [ligne 1]. Quand

l‟intervenante lui demande combien il y avait de jetons, elle est en mesure de répondre 5,

sans avoir besoin de les recompter [lignes 2-3]. Par contre, quand l‟intervenante déplace la

collection sur la table, Marianne énonce qu‟il y a huit jetons [ligne 5], ce qui était déjà son

112

hypothèse lors de l‟échange précédant alors qu‟il y avait dix-huit jetons [extrait 35, lignes 2

à 8]. Au moment du recomptage, Marianne fait une méprise de compter un même jeton à

deux reprises, ce qui lui donne un total de six jetons [lignes 9 et 11]. L‟intervenante forme

alors une ligne avec les cinq jetons, ce qui permet à l‟enfant de bien organiser son

comptage et d‟arriver au bon total [lignes 12 à 15].

Ensuite, l‟intervenante demande à l‟enfant d‟opérer sur cette rangée de jetons en posant une

hypothèse, qui sera vérifiée en ajoutant ou en retirant des jetons.

Extrait 37

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I :

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I:

18M:

19I:

20M:

[…] Oui, i‟ en a 5. Moi, j‟en ajoute 1. J‟en mets un autre. I‟ va en avoir combien?

6.

Oui. On l‟essaie. J‟en mets 1. Peux-tu les compter?

Oui.

Très bien. Compte-les. Tu m‟as dit qu‟i‟ allait en avoir 6. Essaie-le. […] I‟ en a combien?

1, 2, 3, 4, 5, 6.

Très, très bien! Mais là, toi, tu m‟as dit qu‟i‟ en avait 6. […] Tu m‟as dit qu‟i‟ en avait combien déjà?

(Compte les jetons.) 1, 2, 3, 4, 5, 6. Très bien. Moi, je vais en enlever 2. I‟ va en avoir combien si j‟en

enlève 2?

(Ne répond pas.)

Hein? I‟ en a 6 et j‟en enlève 2. I‟ va en avoir combien?

3.

3?

(Réfléchit.) Oui, i‟ va en avoir 3.

O.K. On l‟essaie. (Compte 2 jetons.) 1, 2, je les enlève. I‟ en reste combien?

(Ne compte pas.) 427

.

I‟ en a 4. Oui! Et p‟is là, tu m‟as dit i‟ en a 4. Et si j‟en mets 2 autres, i‟ va en avoir combien?

5.

Si j‟en mets 2 autres?

I‟ va en avoir 5!

On l‟essaie. (Ajoute 2 jetons à ceux déjà sur la table.) Compte-le, i‟ en a combien?

(Compte les jetons, en comptant 2 fois un même jeton.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. […]

Lorsque la collection comporte cinq jetons, elle arrive à réaliser l‟opération d‟un seul ajout

[lignes 1-2; 13-14]. Par contre, dans tous les cas, elle semble comprendre le vocabulaire

relié aux opérations qui lui sont demandées. En ce sens, lorsqu‟on lui demande d‟ajouter

des jetons, elle répond par un nombre plus grand que celui de départ [lignes 15-16] et

lorsqu‟on lui demande de retirer des jetons, elle répond par un nombre plus petit que celui

113

de départ [lignes 9-10]. De plus, on observe la non-réversibilité qui subsiste dans sa chaîne

numérique [lignes 13 à 16]. Au cours de cet échange, Marianne répond adéquatement la

quantité restante à la suite du retrait des deux jetons, et ce, sans dénombrer oralement les

jetons. Cette réussite apporte plusieurs hypothèses. D‟abord, comme les jetons étaient

placés en ligne à ce moment, il est possible que Marianne ait reconnu l‟aspect figural d‟une

rangée de quatre éléments. Elle peut également avoir résolu mentalement la soustraction 6-

1-1, étant capable de compter à rebours à partir de 5. Finalement, elle peut avoir compté

mentalement les jetons disposés sur la table avant de répondre à la question de

l‟intervenante. Étant donné la rapidité de Marianne à répondre 4, l‟hypothèse du

dénombrement mental, c‟est-à-dire sans avoir pointé avec son doigt les objets comptés, est

rejetée. Bien que le nombre 5 soit relativement bien construit (si le compte à rebours à

partir de 5 est possible, il ne demeure pas le cardinal d‟une collection dénombrée [extrait

36]), rien ne montre dans les données colligées jusqu‟à ce moment que c‟est le cas pour 6.

C‟est pourquoi l‟hypothèse d‟une reconnaissance figurale est retenue, d‟autant plus que

Marianne recourt encore très souvent, et de manière dominante, à l‟aspect figural dans

l‟ensemble de ses raisonnements. Cette hypothèse est d‟ailleurs confortée par la difficulté

de Marianne à faire l‟opération inverse d‟addition (l‟ajout de deux jetons aux quatre déjà

présents) où elle répond cinq. Les réponses aux questions témoignent que la capacité à

opérer sur les nombres est en développement chez Marianne, bien que sa chaîne numérique

soit maintenant sécable. Il convient donc de travailler sur le petit nombre et d‟y faire des

opérations afin que la comptine numérique prenne un réel sens cardinal et que la cardinalité

vienne soutenir le dénombrement.

Lors de cet item, une collection de jetons est présentée pêle-mêle à Marianne.

Cette dernière doit la dénombrer et réaliser des opérations d‟addition et de

soustraction. Marianne parvient à compter correctement la collection de cinq

jetons en utilisant bien la correspondance terme à terme entre le mot nombre

énoncé et l‟élément dénombré, mais elle n‟y arrive pas avec dix-huit jetons. En ce

qui concerne les opérations qu‟elle devait réaliser sur ces nombres, lorsque le

nombre de départ est inférieur ou égal à 5, elle parvient à réaliser l‟addition ou la

soustraction de 1 élément. Par contre, sa chaîne numérique semble être non

réversible : un retrait de deux éléments suivi d‟un ajout de deux éléments ne sont

pas compris comme étant des opérations inverses par Marianne, étant donné

qu‟elle ne rétablit pas la quantité d‟origine avant ce retrait suivi du même ajout.

114

5.2.3. Synthèse de la compréhension de l’enfant en mai 2012

Pour la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre, Marianne a prouvé qu‟elle a fait des

avancées en ce qui a trait à la sériation. Elle n‟arrive toujours pas à sérier les éléments,

même avec un soutien de l‟adulte, mais elle est en mesure de constater les erreurs et de

replacer des objets au sein d‟une série de trois éléments; ce qui prouve l‟avancée de sa

réflexion. De plus, elle considère maintenant la nécessité d‟utiliser une ligne d‟origine

commune lors du déploiement d‟une série. Par ailleurs, lorsqu‟elle est questionnée sur les

positions d‟une série, Marianne parvient à identifier ce qui se trouve « avant » et « après »,

mais pas les positions occupées par les participants à une course. À ce moment, elle se

situerait au premier stade de développement de l‟aspect ordinal selon Piaget.

En ce qui a trait à l‟aspect cardinal du nombre, Marianne se trouve sensiblement au même

niveau qu‟en octobre 2011. Sa comptine numérique est toujours élaborée, sans pour autant,

que le nombre comme tel soit bien construit. Elle utilise correctement la correspondance

terme à terme entre le mot nombre énoncé et l‟objet dénombré, mais celle-ci n‟est toujours

pas utilisée comme une opération réversible qui mène à la construction de l‟aspect cardinal

du nombre.

La chaîne numérique de Marianne est maintenant sécable, ce qui constitue une avancée à ce

sujet. Elle connaît bien la comptine des mots nombres et il lui est possible d‟entamer un

comptage par un mot nombre autre que 1, notamment 9 dans l‟un des items. Malgré le fait

que les nombres inférieurs à 10 sont de plus en plus partie prenante d‟une chaîne numérique

sécable pour Marianne, le comptage n‟est toujours pas utilisé comme une opération

permettant de comparer des collections et d‟identifier correctement le cardinal d‟une

collection.

Dans les tâches de conservation, comme c‟était le cas en octobre 2011, Marianne répond

principalement en utilisant l‟aspect figural des collections et l‟effet de récence. Elle n‟arrive

pas clairement à expliquer ses réponses, quoique cela semble être en émergence. Marianne

n‟a donc pas encore construit la conservation des quantités continues et discontinues. À ce

moment, la correspondance terme à terme, la conservation et le comptage ne sont pas

115

construits comme des opérations et elle se situerait au premier stade de développement de

la conservation selon Piaget.

5.3. Évaluation 3 : Février 2013

Lors de la troisième évaluation, qui a été réalisée en février 2013, des tâches similaires à

celles d‟octobre 2011 et de mai 2012 ont été proposées à l‟enfant pour vérifier sa

compréhension du nombre, mais sans utiliser nécessairement des items identiques.

Toutefois, les items permettaient de vérifier les mêmes éléments constitutifs du nombre28

.

5.3.1. Items vérifiant la compréhension de l’aspect ordinal du nombre

La présente section expose, d‟une part, les analyses concernant la capacité de l‟enfant à

sérier en ordre de grandeur cinq cartons différents et, d‟autre part, sa capacité à considérer

les diverses positions d‟objets d‟une série.

5.3.1.1 Item 1 : Sériation d’objets de tailles différentes

L‟intervenante présente cinq cartons de tailles différentes à l‟enfant. Elle lui demande de les

placer du plus petit au plus grand. Cet item a pour but de vérifier la sériation effectuée par

l‟enfant en portant toujours l‟attention sur la réalisation de la tâche en soi, plutôt que

simplement sur la sériation produite. La figure 31 présente la première sériation réalisée par

l‟enfant.

28 Il convient de rappeler que, à partir de cette troisième évaluation, l‟intervenante de l‟enfant est également

la chercheure du présent mémoire.

116

(5-3-2-1-4)

Figure 31 : Sériation de cartons réalisée en février 2013

Extrait 38

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

[…] Es-tu capable de les placer du plus petit au plus grand?

(Les place dans cet ordre : 5-1-3-2-4) Youhou!

Est-ce qu‟ils sont placés du plus petit au plus grand?

Oui.

C‟est lequel le plus petit?

(Pointe le carton 1.)

Est-ce que tu l‟as mis en premier?

(Prend le plus court et le déplace : 5-3-2-1-4.)[Voir Figure 31.] Oui! (Rit.)

Là, ils sont placés du plus petit au plus grand?

Oui. […]

Lors de la réalisation de la tâche, comme c‟était le cas avec les pailles en octobre 2011 et en

mai 2012, Marianne semble prendre les cartons l‟un après l‟autre en discutant d‟autre chose

et elle les place systématiquement à la droite de ceux déjà en place. Ainsi, l‟ordre de la

série semble correspondre davantage à l‟ordre dans lequel elle a pris chaque carton plutôt

que d‟être établi sur un critère de grandeur. Toutefois, on peut remarquer que Marianne ne

semble pas prendre les cartons au hasard. Elle semble créer des couples dichotomiques plus

petit/plus grand et juxtaposer ces couples les uns après les autres, sans pouvoir coordonner

les deux premiers couples ensemble. L‟extrait 38 montre également qu‟elle est en mesure

de repérer le plus petit carton [lignes 5-6] dans la série ainsi établie, et ce, même si elle ne

le place pas en premier [ligne 8]. On remarque qu‟elle parvient à sérier en ordre de

grandeur trois éléments au milieu de la série à la suite d‟une certaine organisation basée sur

l‟établissement de couple dichotomique plus petit/plus grand. Également, on remarque

qu‟elle maintient la nécessité de partir d‟un point d‟origine pratiquement commun, du

moins à l‟œil, pour sérier les cinq éléments.

117

Lors de cet item, un ensemble de cinq cartons est présenté à l‟enfant qui doit les

sérier. Marianne prend les cartons un à la fois et les place systématiquement à la

droite du dernier carton posé. Elle semble créer des couples dichotomiques plus

petit/plus grand et juxtaposer ces couples les uns après les autres sans pouvoir

coordonner les deux premiers couples ensemble. Malgré le fait qu‟elle soit en

mesure de considérer une ligne d‟origine commune aux cinq cartons, elle ne

réussit pas à déployer seule la série correctement. Elle parvient à sérier quatre

éléments.

5.3.1.2 Item 2 : Sériation d’objets faisant une course

L‟intervenante présente un ensemble d‟escargots en bois à l‟enfant, prétextant qu‟ils font

une course pour retourner le plus rapidement possible à la maison. Elle questionne l‟enfant

à propos de la position des escargots au sein de la course. Cette mise en situation cherche à

vérifier si l‟enfant démontre une certaine compréhension de l‟aspect ordinal pouvant exister

dans une série, en référant aux positions des coureurs et en utilisant des notions perceptives.

La figure 32 illustre l‟alignement des escargots faisant la course.

Figure 32 : Alignement des coureurs en février 2013

Extrait 39

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I:

[…] I : C‟est lequel le premier? C‟est lequel qui est le plus près de la maison?

M : (Pointe le jaune.)

I : Elle est où la maison?

M : (Pointe la maison.)

I : Ah! Et qui est le plus près de la maison?

M : L‟escargot bleu.

I : Oui, l‟escargot bleu! Ça veut dire qu‟il est le… (Laisse l’enfant compléter.)

M : Plus près de la maison.

I : Oui, il est le plus près. C‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)

M : Plus près de la maison.

I : Oui, c‟est aussi le … (Laisse l’enfant compléter.)

M : Premier.

I : Le bleu c‟est le premier, le rose c‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)

M : Dernier.

I : C‟est le rose qui est en dernier?

M : Oui.

I : Tu penses?

118

18M:

19I:

20M:

31I:

32M:

33I:

34M:

35I:

36M:

37I:

38M:

39I:

40M:

41I:

42M:

43I:

44M:

M : Oui.

I : L‟escargot orange, il est à quelle position? C‟est quoi son numéro le orange?

M : Deux.

I : C‟est le deux le orange, montre-moi?

M : (Pointe le jaune.)

I : Est-ce que c‟est lui le orange?

M : Non.

I : C‟est lequel le orange? Est-ce que tu le vois?

M : Oui. (Pointe le vert et ensuite le orange.)

I : Ah! Et il est à quelle position? Le bleu c‟est le un, ensuite?

M : (Pointe le rose.)

I : Lui c‟est quoi?

M : Le deux.

I : Le deux! Et le orange?

M : Le trois.

I : Il est à quelle position?

M : Troisième. […]

Avec un léger soutien de l‟adulte, Marianne identifie correctement l‟escargot qui occupe la

première position [lignes 9 à 12]. Précédemment, elle avait identifié l‟escargot jaune

comme celui qui occupait la première position [lignes 1-2]. Cette réponse de l‟enfant nous

amène à poser l‟hypothèse que Marianne a été influencée par le fait que la maison, qui

représente ici la ligne d‟arrivée de la course, a été posée à la droite de la table et non à la

gauche. De ce fait, comme l‟enfant est habituée à dénombrer les objets de gauche à droite,

elle identifie alors le dernier escargot comme étant le premier. De plus, lorsque

l‟intervenante demande à l‟enfant quelle position est occupée par l‟escargot orange [ligne

19], Marianne répond qu‟il se trouve en deuxième [ligne 20]. Pour se justifier, elle pointe

l‟escargot jaune [lignes 31-32]. À ce moment, l‟intervenante a identifié ce geste comme une

réponse, mais peut-être qu‟il s‟agissait plutôt du début de réflexion sur la position de

l‟escargot orange (pour trouver cette position inconnue, elle devait forcément commencer la

série avec la première position qui était occupée, selon son hypothèse de départ, par

l‟escargot jaune). L‟intervenante, qui n‟avait alors pas compris la démarche possible de

l‟enfant, lui apporte son soutien pour qu‟elle puisse répondre à la question. Une fois la

première position identifiée correctement, elle énonce que le rose occupe la dernière

position [lignes 13 à 18]. Cette réponse concorde avec les évaluations d‟octobre 2011 et de

mai 2012, où Marianne confondait la deuxième position avec la dernière. Pour elle, le

terme « dernier » est associé immédiatement et de manière proximale au terme « premier ».

On peut voir également qu‟avec le soutien de l‟adulte, Marianne parvient à identifier la

119

deuxième et la troisième position. L‟extrait 40 présente les autres questionnements autour

des positions des participants à la course.

Extrait 40

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

[…] Dis-moi, quel escargot est devant l‟escargot orange? Qui est devant lui dans la course aux

escargots?

(Pointe le bleu.)

Oui, c‟est vrai qu‟il est devant lui. Est-ce qu‟il y en a un autre qui est aussi devant lui?

(Pointe le vert.)

Est-ce qu‟il est devant lui? […] Qui est devant l‟escargot orange? Qui est juste juste devant lui?

(Pointe le rose.)

Oui, bravo! Qui est juste derrière l‟escargot orange?

(Pointe le rouge.)

Bravo ma belle! Si l‟escargot orange est le troisième, l‟escargot rose est à quelle position lui?

(Pointe le rose.)

S‟il est devant l‟escargot numéro trois? Ça veut dire que c‟est le numéro… (Laisse l’enfant

compléter.)

Quatre.

Si l‟escargot orange est le troisième, celui qui est devant lui, c‟est lequel?

(Pointe le rouge.) […]

Marianne parvient à identifier les escargots qui occupent les positions « devant » et

« derrière » un autre escargot [lignes 1 à 6; 7-8]. D‟abord, elle indique à l‟intervenante que

l‟escargot bleu se trouve devant le orange [lignes 1-2], ce qui demeure vrai; il n‟est

seulement pas l‟escargot qui se trouve proximalement devant le orange. Avec un soutien de

la part de l‟intervenante, elle identifie qu‟il s‟agit de l‟escargot rose [lignes 3 à 6]. En ce qui

concerne la position « derrière », comme Marianne éprouvait de la facilité lors des

évaluations précédentes à identifier le participant d‟une série qui se trouvait « après » un

autre, elle identifie correctement et sans soutien l‟escargot rouge comme étant derrière le

orange [lignes 7-8]. On voit également qu‟elle parvient à opérer sur cette série. Lorsque

l‟intervenante lui demande d‟identifier la position de l‟escargot qui se trouve devant le

troisième, ce qui nécessite de réaliser une soustraction sur une position, elle répond en

effectuant plutôt une addition [lignes 11-12], donc elle opère « plus 1 ». C‟est donc dire que

l‟opération effectuée par Marianne l‟amène à une mauvaise réponse. Toutefois, cette

réponse nous montre qu‟elle opère sur la série. Le nœud réside ici sur un paradoxe

concernant la construction du nombre : pour être « plus » en avant dans une série, je dois

faire « moins 1 » et non pas « plus 1 ». Par la suite, lorsque l‟intervenante la questionne

pour savoir qui se trouve devant l‟escargot orange, elle identifie le rouge [lignes 13-14], qui

120

se trouve en réalité « après », et ce, sans doute, en raison de la quatrième position qu‟elle

venait d‟identifier pour répondre à cette même question.

Lors de cet item, une série d‟escargots faisant une course est présentée à l‟enfant.

L‟intervenante la questionne alors sur la position des participants. Marianne est en

mesure d‟identifier les participants se trouvant « devant » et « derrière » un autre.

Avec un soutien de la part de l‟adulte, elle parvient à identifier plusieurs positions,

comme la première, la deuxième et la troisième, ce qui constitue une avancée. Par

contre, sans soutien de la part de l‟adulte, il subsiste toujours une confusion entre

la deuxième position et la dernière. De plus, bien que cela mène à une réponse

inadéquate, elle démontre qu‟elle opère sur la série. Ceci représente une avancée.

5.3.2. Items vérifiant la compréhension de l’aspect cardinal du nombre

La présente section expose les analyses concernant la capacité de l‟enfant à comparer des

collections d‟objets, à établir la conservation (de quantités continues ou discontinues), à

procéder au comptage et à considérer l‟aspect cardinal d‟une quantité dénombrée.

5.3.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d’objets identiques (correspondance

terme à terme)

L‟intervenante place deux collections de jetons sur la table devant l‟enfant. D‟un côté, il y a

huit jetons bleus et de l‟autre sept jetons rouges. L‟intervenante questionne l‟enfant afin de

savoir s‟il y a un côté qui comporte plus de jetons que l‟autre ou non et comment cette

dernière peut le savoir. Cet item a pour but de vérifier comment va procéder Marianne pour

comparer les deux collections : en recourant à la correspondance terme à terme ou en

comptant les jetons. La figure 33 illustre les deux collections de jetons.

Figure 33 : Comparaison de collections inégales d‟objets identiques présentées à l‟enfant

en février 2013

121

Extrait 41

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I:

18M:

19I:

20M:

[…] Je suis toute mêlée, tu m‟as dit trois choses différentes. Tu m‟as dit que c‟était égal, qu‟il y en

avait plus ici [7 rouges] et qu‟il y en avait plus ici [8 bleus]. Comment on fait pour le savoir?

Hein?

Comment on pourrait faire pour le savoir pour vrai où est-ce qu‟il y en a plus? Qu‟est-ce qu‟on

pourrait faire tu penses?

(Ne répond pas.)

Comment on fait pour savoir il y en a plus où, où est-ce qu‟il y en a plus? Est-ce que tu aurais un

truc?

Oui.

Ce serait quoi ton truc?

Il y en a plus ici. (Pointe les 8 bleus.)

Il y en a plus ici? Comment tu fais pour le savoir?

J‟ suis bonne. […] (Compte tous les jetons rouges.) 7.

7! Et ici [les bleus], combien on en a? Tu vas les compter, vas-y.

(Compte les jetons en faisant deux méprises un oubli et un recomptage du même jeton. Elle arrive

donc au bon résultat.) 8.

Les rouges, tu m‟as dit 7 et ici tu m‟as dit 8. Est-ce qu‟il y a un endroit où i‟ en a plus ou c‟est pareil?

Est-ce qu‟il y a une des deux couleurs où on en a le plus ou c‟est pareil?

C‟est pareil.

Ici [rouges], on en a 7 et ici [bleus] on en a 8. Est-ce qu‟il y en avait un qui avait plus ou c‟est pareil?

C‟est plus.

C‟est où qu‟il y en a plus?

(Pointe les bleus.) Là.

C‟est là qui en a plus?

Oui. […]

Dans le cadre de cette tâche, Marianne n‟utilise pas d‟emblée la correspondance terme à

terme pour comparer les deux collections. Elle ne procède pas non plus d‟emblée au

comptage. Après avoir donné tous les choix de réponses possibles [repris par l‟adulte à la

ligne 1], elle identifie les jetons bleus comme étant plus nombreux [ligne 8]. Sous

l‟insistance de l‟adulte qui demande des explications, elle effectue un comptage des jetons

[lignes 10; 12], mais ce comptage ne mène pas à la conception de la cardinalité des

collections dénombrées puisque ce comptage amène Marianne à affirmer que « c‟est

pareil ». Ce faisant, Marianne ne se sert pas des résultats de son comptage pour établir la

comparaison. Il semblerait donc qu‟elle n‟ait pas encore construit le principe cardinal

inhérent au comptage mature. De plus, pour répondre aux questions de l‟intervenante, elle

utilise l‟effet de récence [ligne 1] et quand l‟intervenante demande la façon dont elle peut

identifier la collection la plus nombreuse, Marianne n‟arrive pas à répondre [lignes 2 à 6].

122

Malgré cela, elle identifie à plusieurs reprises que la collection de jetons bleus comporte le

plus de jetons [lignes 8; 16 à 20].

Par la suite, l‟intervenante modifie les collections qui sont présentes sur la table. Elle retire

l‟ensemble des jetons sous les yeux de l‟enfant et dispose deux nouvelles collections de six

jetons chacune, en poursuivant le même but, c‟est-à-dire de vérifier comment allait

procéder l‟enfant pour comparer les deux collections.

Figure 34: Comparaison de collections égales d‟objets identiques présentées à l‟enfant en

février 2013

Extrait 42

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I:

18M:

19I:

20M:

21I:

22M:

23I:

24M:

25I:

26M:

27I:

[…] (Change les deux collections de jetons. D’un côté, il y a 6 jetons rouges et de l’autre il y a 6

jetons bleus.) Maintenant, je les ai changés et on va refaire la même chose. Est-ce que tu penses qu‟il

y en a plus ici [6 rouges], plus ici [6 bleus] ou c‟est pareil?

(Ne répond pas.)

Je les ai changés, c‟est plus pareil. Comment on va faire pour savoir il y en a combien? […] Est-ce

qu‟il y en a plus ici [rouges], ici [bleus] ou c‟est pareil?

C‟est pareil.

Est-ce que c‟est pareil, il y en a plus ici [bleus] ou ici [rouges]?

Ici. (Pointe les rouges.)

Et est-ce qu‟il y en a plus ici [rouges], c‟est pareil ou il y en a plus ici [bleus]?

Plus ici [bleus].

O.K. Comment on peut le vérifier?

On peut compter.

Vas-y.

(Compte les bleus.) 6.

Il y a 6 bleus. Et des rouges, on en a combien?

(Compte les rouges.) 6.

On en a combien?

6.

Et des bleus, on en a combien?

6.

Est-ce qu‟il y a un des deux qui en a plus?

Oui.

Lequel?

6.

C‟est lequel qui a 6?

(Pointe les bleus.)

Et l‟autre [les rouges], il y a combien?

6.

Est-ce qu‟il y en a un qui en a plus?

123

28M:

29I:

30M:

31I:

32M:

33I:

34M:

35I:

36M:

37I:

38M:

39I:

40M:

41I:

42M:

43I:

44M:

Oui.

Lequel?

(Pointe les rouges.) Lui.

Les rouges?

Oui.

O.K. […] Les bleus il y en avait combien tu m‟as dit?

(Recompte les bleus.) 6.

Il y en a 6! Et les rouges, on en a combien?

(Compte les rouges.) 6.

Qu‟est-ce que ça veut dire ça?

Qu‟on a gagné.

Oui, on a gagné. T‟ as bien raison. Mais est-ce qu‟il y en a un des deux qui en a plus?

Oui.

Lequel?

(Pointe les rouges.) Lui.

Est-ce que c‟est égal?

Non. […]

Marianne identifie correctement le cardinal des deux collections en utilisant correctement le

comptage [lignes 12; 14]. Pendant l‟échange avec l‟intervenante, l‟enfant ne ressent pas le

besoin de recompter le nombre de jetons pour pouvoir énoncer leur quantité [lignes 16; 18;

22; 26]. Malgré le fait qu‟elle sache pertinemment que les deux collections comportent six

jetons, elle identifie toujours l‟une des deux collections comme étant la plus nombreuse

[lignes 24; 30; 42] et elle affirme que les deux collections sont inégales [lignes 43-44].

Cette conversation avec Marianne dans l‟extrait 42 pourrait laisser le lecteur sceptique en

ce qu‟il peut soulever son incertitude à savoir si l‟enfant comprend réellement les termes

utilisés (« pareil » et « égal »). C‟est pourquoi la même situation a été refaite avec un

nombre plus petit et mieux construit chez Marianne. L‟extrait 43 qui suit permet de faire

l‟hypothèse forte que Marianne comprend bien les termes utilisés, c‟est donc réellement la

conception du nombre qui est en jeu.

Figure 35 : Comparaison de collections égales réduites d‟objets identiques présentées à

l‟enfant en février 2013

124

Extrait 43

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

[…] Regarde sur la table maintenant. On va faire la même chose. Ici [les 3 bleus], tu en as combien?

(Compte les jetons.) 3.

Et tu as combien de rouges?

(Compte les jetons.) 3.

Est-ce qu‟il y en a un des deux qui en a plus?

Oui

Lequel?

(Pointe sur la table entre les deux collections.) Lui pis lui.

Les deux?

Oui.

Ça veut dire qu‟elles sont … (Laisse l’enfant compléter.)

Égales! […]

Quand les collections sont réduites à trois jetons de chaque côté, Marianne est en mesure de

bien les dénombrer [lignes 2; 4] et d‟affirmer que les deux collections comportent le plus de

jetons [ligne 8 à 10] et, donc, qu‟elles sont égales [lignes 11-12].

Lors de cet item, il était demandé à Marianne de comparer deux collections de

jetons pour identifier laquelle est la plus nombreuse, donc qui contient le plus

grand cardinal. Marianne dénombre correctement les jetons en utilisant la

correspondance terme à terme entre le mot nombre dit et l‟élément dénombré,

mais ces outils ne sont pas encore utilisés comme des opérations permettant la

comparaison. Le comptage effectué par Marianne ne tient pas non plus lieu de

cardinal de chacune des collections. Malgré cela, elle parvient à identifier à

quelques reprises correctement la collection comportant plus de jetons, sans

toutefois être en mesure de l‟expliquer. Quand deux collections au même cardinal

lui sont présentées, elle dénombre correctement les éléments, sans toutefois

concevoir les deux quantités comme équivalentes lorsque celles-ci sont

supérieures à 5. Quand les quantités sont inférieures à 5, elle est en mesure

d‟énoncer leur égalité.

5.3.2.2 Item 2 : Comparaison de collections d’objets différents (correspondance

terme à terme)

L‟intervenante place sur la table une rangée de trois images de pomme et une de quatre

images de framboise. Elle demande alors à l‟enfant d‟identifier quelle rangée est la plus

nombreuse. Cet item sert à vérifier si l‟enfant est en mesure de comparer des collections

d‟objets différents et comment elle procède pour le faire : en se fiant à l‟aspect figural de la

125

collection ou en établissant une opération comme la correspondance terme à terme ou le

comptage.

Figure 36: Comparaison de collections d‟objets différents en février 2013

Extrait 44

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

[…] Est-ce qu‟il y en a plus ici [framboises], plus ici [pommes] ou c‟est pareil?

C‟est pareil.

Montre-moi que c‟est pareil. Anne-Sophie va me dire « Comment ça c‟est pareil? Moi, je trouve que

c‟est pas pareil ». Comment tu vas lui expliquer à Anne-Sophie que c‟est pareil?

(Pointe une pomme.)

Ça? Qu‟est-ce que tu vas lui dire? Tu dois parler pour expliquer.

(Pointe une pomme et une framboise.)

Ça et ça, O.K.

(Pointe deux framboises pour une pomme.)

O.K., est-ce que c‟est pareil?

Non.

Non, c‟est pas pareil. Montre-moi où i‟ en a plus.

(Pointe les pommes.) […]

Marianne ne compte pas directement l‟ensemble des éléments de chaque rangée. Au départ,

elle dit à l‟intervenante que les deux rangées sont pareilles, en utilisant l‟effet de récence

[lignes 1-2]. Ensuite, elle tente une explication en utilisant la correspondance terme à terme

entre les deux rangées [lignes 4 à 6; 8]. Elle indique le fait que deux framboises

correspondent à la même pomme [lignes 8 à 10], sans être en mesure de l‟expliquer

oralement. Malgré cela, quand l‟intervenante lui demande où il y en a plus, elle répond que

ce sont les pommes [ligne 12]. Il y a toutefois ici une légère avancée. En effet, c‟est la

première fois que Marianne, malgré l‟aspect figural, utilise spontanément une comparaison

terme à terme pour comparer. À l‟une des correspondances entre les deux rangées, elle

pointe deux framboises pour une pomme en parvenant à dire que ce n‟est pas pareil. Il y a

quand même une avancée à comparer chaque correspondance établie comme sous-

ensemble dans la comparaison, et ce, de manière juxtaposée. Elle ne parvient toutefois pas

126

à coordonner ces comparaisons de deux couples et d‟un trio pour établir la collection la

plus nombreuse là où il y a deux framboises pour une pomme.

Lors de cet item, il est demandé à Marianne de comparer deux collections inégales

d‟objets non identiques pour identifier celle qui est la plus nombreuse. D‟abord,

Marianne répond en utilisant l‟effet de récence. Puis, lorsque l‟intervenante lui

demande pourquoi, elle tente spontanément une explication basée sur la

correspondance terme à terme. En effet, elle pointe une pomme pour une

framboise, puis une pomme pour deux framboises. Elle parvient à indiquer à

l‟intervenante que ce n‟est pas pareil. Ceci représente un avancement par rapport à

mai 2012. Malgré cela, elle répond qu‟il y a plus de pommes, en se basant sur

l‟aspect figural des deux collections. Elle parvient à juxtaposer des

correspondances exactes entre les deux collections, sans toutefois les coordonner

en un tout dans le but de les comparer.

5.3.2.3 Item 3 : Conservation de quantités continues

L‟intervenante présente deux boules de pâte à modeler de même taille à l‟enfant en lui

demandant si l‟une des deux boules contient plus de pâte. Lorsque l‟enfant a établi l‟égalité,

l‟intervenante prend une des deux parts et la transforme à trois reprises sous les yeux de

l‟enfant, soit en rouleau, en galette puis en miettes. À chaque fois, elle questionne l‟enfant

pour savoir si l‟une des deux parts contient plus de pâte à modeler. Cet item a pour but de

vérifier si l‟enfant comprend la conservation de quantités continues et si elle est capable de

faire abstraction des transformations effectuées par l‟adulte par des arguments d‟identité, de

réversibilité ou de compensation qui feraient de la conservation une réelle opération.

Figure 17 : Première transformation effectuée avec la pâte à modeler

Extrait 45

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

[…] Est-ce qu‟il y en a plus ici [boule], ici [rouleau] ou c‟est pareil?

(Pointe le rouleau.) C‟est pareil.

C‟est pareil. Est-ce que c‟est pareil, il y en a plus ici [rouleau] ou ici [boule]?

Ici. (Pointe la boule.)

Est-ce qu‟il y en a plus ici [boule], ici [rouleau] ou c‟est pareil?

C‟est pareil.

127

7I :

8M :

9I:

10M:

Est-ce que c‟est pareil, ou il y en a plus ici [boule] ou ici [rouleau]?

(Elle pointe vaguement entre les deux.)

Quelle couleur tu m‟as dit qu‟il y en avait plus?

Pareil. […]

À la suite de la première transformation de pâte à modeler, Marianne semble démontrer

légèrement un début de conservation. Bien qu‟elle réponde quelque fois avec l‟effet de

récence [lignes 2; 4; 6], quand l‟intervenante lui demande la couleur où il y a le plus de pâte

à modeler, celle-ci répond que c‟est pareil [ligne 10]. On note toutefois une grande fragilité,

comme c‟était le cas lors des évaluations précédentes.

L‟intervenante prend le rouleau rouge et le transforme en boule de même grosseur que celle

de référence. Puis, elle reprend la boule rouge et la transforme en galette devant les yeux de

l‟enfant.

Figure 18 : Deuxième transformation effectuée avec la pâte à modeler

Extrait 46

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

[…]Est-ce qu‟il y a un endroit où i‟ en a plus? Ici [jaune], ici [rouge] ou c‟est pareil?

C‟est pareil.

Est-ce que c‟est pareil ou il y en a plus ici [galette rouge] ou ici [boule jaune]?

Il y en a plus ici. (Ne pointe pas.)

Lequel des deux?

(Ne répond pas.) […] Ici. (Pointe la boule jaune.)

Ici, O.K.! Est-ce qu‟il y en a plus ici [boule jaune], c‟est pareil ou il y en a plus ici [galette rouge]?

Ici. (Pointe la galette rouge.) […]

Lors de cette seconde transformation, Marianne répond aux questions de l‟intervenante par

l‟effet de récence [lignes 1-2; 3 à 6; 7-8], ce qui témoigne que, pour elle, la transformation

de l‟apparence peut modifier la quantité en soi, ou du moins, la conservation n‟est pas une

évidence construite qui stabilise ses réponses aux questions, peu importe l‟ordre des choix

donnés par l‟adulte.

128

L‟intervenante prend la galette rouge et la transforme en boule de même grosseur que celle

de référence. Puis, elle reprend la boule rouge et la transforme en miettes devant les yeux

de l‟enfant.

Figure 19 : Troisième transformation effectuée avec la pâte à modeler

Extrait 47

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

[…] Si on fait ça. (Prend la boule rouge et l’émiette.) Est-ce que c‟est pareil ou il y en a plus ici

[miettes rouges] ou ici [boule jaune]?

Ici [miettes rouges].

Ici [miettes rouges], ici [boule jaune] ou c‟est pareil?

C‟est pareil. (Pointe les miettes rouges.)

Est-ce qu‟il y a un endroit où il y en a plus?

Oui.

Où? Quelle couleur?

Rouge.

Rouge! Est-ce que c‟est pareil?

Oui.

C‟est pareil aussi? C‟est pareil, il y en a plus ici [miettes rouges] ou ici [boule jaune]?

Ici. (En pointant vaguement vers la table.)

Ah, je peux pas deviner lequel tu montres. C‟est lequel ça?

(Pointe les miettes rouges.)

Les rouges, il y en a plus?

Oui. […]

Si, lors de la transformation de la boule en rouleau, Marianne semblait faire preuve d‟un

début de conservation en énonçant que la boule et le rouleau étaient pareils alors que

l‟intervenante lui demandait où il y en avait le plus, induisant ainsi qu‟il était acceptable de

penser qu‟il y en avait plus à un endroit [extrait 45, lignes 9-10], elle témoigne tout de

même d‟une absence de conservation lors de la transformation de la boule de pâte à

modeler en galette et en miettes. Elle répond systématiquement que les miettes rouges sont

plus nombreuses. Même lorsque, par effet de récence, elle répète la formulation « c‟est

pareil » énoncée précédemment par l‟adulte, elle pointe les miettes rouges [ligne 4]. Son

raisonnement repose ainsi sur l‟aspect figural pour répondre, notamment avec la dernière

transformation où la boule est transformée en miettes. Ces dernières (de couleur rouge)

129

prenant plus d‟espace sur la table peuvent donner l‟impression d‟une plus grande quantité

de pâte à modeler que dans la boule de référence (de couleur jaune).

Lors de cet item, l‟intervenante propose deux parts égales de pâte à modeler à

l‟enfant. Par la suite, elle réalise trois transformations avec l‟une des deux parts

devant ses yeux : une fois en rouleau, une fois en galette et une fois en miettes.

Chaque fois, l‟enfant doit se prononcer à savoir s‟il y avait plus de pâte à modeler

à un endroit ou si c‟était pareil. Comme lors des évaluations précédentes,

Marianne ne démontre pas clairement une construction de la conservation des

quantités continues. Il y a toutefois émergence de la conservation lors de la

première transformation, bien que celle-ci soit fragile. Si, lors de la transformation

en rouleau, à la suite de plusieurs réponses témoignant de l‟effet de récence, elle

énonce que les deux parts sont égales, ses réponses lors des deux autres

transformations se basent principalement sur l‟aspect figural et sur l‟effet de

récence.

5.3.2.4 Item 4 : Conservation de quantités discontinues

D‟abord, une rangée de 5 images de pomme est faite par l‟intervenante. L‟enfant, pour sa

part, doit construire une rangée équivalente avec des images de framboise. Cet item vise à

vérifier la capacité de l‟enfant à établir une conservation des quantités à la suite d‟une

transformation de l‟aspect figural de l‟une des deux collections.

Figure 37 : Rangée d‟images présentée à l‟enfant en février 2013

Figure 38 : Construction d‟une rangée équivalente en février 2013

130

Extrait 48

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

[…] (Place une rangée de 5 pommes sur la table.) Ça c‟est mes pommes à moi. Tu vas me donner

des framboises comme moi, pareil.

(Place 9 framboises collées les unes aux autres et ne les compte pas pour vérifier. Elle établit

l’équivalence par les limites perceptives.)

T‟ as fini, c‟est pareil?

Oui.

Bravo, t‟ es bonne! I‟ a combien de pommes?

1, 2, 3, 4, 5.

Bravo! Et il y a combien de framboises?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Bravo! Est-ce que c‟est pareil?

Oui.

Est-ce que il y en a plus ici [pommes], ici [framboises] ou c‟est pareil?

C‟est pareil. […]

Avant de construire sa rangée, Marianne ne semble pas vérifier le nombre d‟images de

pomme posées par l‟adulte en comptant à voix haute. On peut poser l‟hypothèse qu‟elle

l‟ait fait mentalement, sans ressentir le besoin de l‟oraliser en raison du faible nombre

d‟éléments à dénombrer. Cette hypothèse est vite infirmée : la rangée réalisée nous indique

qu‟elle n‟a pas recouru au comptage pour construire sa rangée. En effet, Marianne pose

neuf images de framboise comme équivalence à la rangée de cinq pommes [ligne 2].

Lorsque l‟intervenante lui demande combien il y a de fruits, elle recourt correctement au

comptage et à la correspondance terme à terme entre le mot nombre énoncé et l‟élément

dénombré [lignes 5 à 8]. Toutefois, ce nombre ne tient pas lieu de cardinal de la collection

ni d‟un outil de comparaison pour Marianne qui énonce à deux reprises que les deux

rangées sont pareilles [lignes 9 à 12].

Dans un second temps, l‟intervenante prend les cinq images de pomme et les déplace sur la

table, de manière à ce que cette rangée soit étirée par rapport à son apparence initiale. Cette

rangée dépasse alors la rangée de neuf framboises de chaque côté.29

29 Étant donné que Marianne avait établi une égalité entre ces deux collections, une conservation établie

oblige à considérer le maintien de l‟égalité comme une réponse validant la conservation. Ce sont les

pommes qui ont été étendues, car elles constituent la collection la moins nombreuse. En effet, sachant que

Marianne raisonne sur une base figurale, l‟allongement de la rangée devrait être celle identifiée comme

plus nombreuse, ce qui permettra de rejeter la conservation des quantités discontinues. Toutefois, si ce

sont les framboises qui sont allongées et que l‟enfant affirme qu‟il y en a plus, on ne pourra plus rejeter la

131

Figure 39 : Modification des rangées en conservation de quantités discontinues en février

2013

Extrait 49

1I :

2M :

3I :

4M :

[…] Regarde bien! (Prend les pommes et les distance pour que cette ligne dépasse celle de

framboises). Là, est-ce qu‟il y a plus de pommes, plus de framboises ou c‟est pareil?

C‟est pareil.

Est-ce que c‟est pareil ou il y a plus de pommes ou de framboises?

Il y a plus de pommes. […]

À la suite de la modification, Marianne ne parvient pas à répondre correctement aux

questions de l‟intervenante. Elle répond en utilisant l‟effet de récence [ligne 2] ou en se

fiant à l‟aspect figural de la collection [ligne 4], ce qui laisse croire que Marianne n‟aurait

pas encore construit la conservation des quantités discontinues comme une opération, car

elle ne recourt pas à des arguments d‟identité ou de réversibilité.

Lorsque sa collection est dressée, elle affirme tout de même que les deux collections (la

sienne et celle de référence) sont égales. À ce moment, elle démontre une absence de

conservation de quantités discontinues, car elle n‟arrive pas à maintenir la quantité sans

avoir recourt à un recomptage.

conservation des quantités discontinues, car on garderait le doute à savoir si l‟enfant reconsidère sa

réponse et auquel cas, de surcroit, l‟amènerait à une bonne réponse, et ce, même si elle emprunte un

raisonnement basé sur l‟aspect figural.

132

Lors de cet item, une rangée de cinq images de pomme est présentée à Marianne.

Cette dernière doit construire une rangée d‟images de framboise équivalente.

Marianne, se fiant à l‟aspect figural de la rangée de pommes, ne réussit pas la

tâche. Elle pose neuf images de framboise pour cinq images de pomme et affirme

que les deux rangées sont pareilles. Par la suite, lorsque l‟adulte modifie

l‟apparence de la rangée de pommes, Marianne modifie sa réponse en affirmant

qu‟il y a plus de pommes lorsque ces dernières sont très distancées les unes des

autres, alors qu‟en réalité, il y en a moins.

5.3.2.5 Item 5 : Comptage

Sans utiliser de matériel, l‟intervenante demande à l‟enfant de compter le plus loin possible.

Cette demande a pour but de vérifier l‟étendue de la chaîne numérique de l‟enfant.

Extrait 50

1M :

2I :

3M :

4I :

5M:

6I :

7M :

8I :

9M :

10I :

11M :

[…] 1, … , 21, 23, 24, … , 30, 31, 32, 33, […], 32, 33, 34, …, 40!

Wow! Es-tu capable de compter encore?

Non.

On arrête à 40? Sais-tu qu‟est-ce qui vient après?

40, 41,

B‟en oui, t‟as raison

42, 43, 44, 45, 46, 45, 46, 47, 48, 49, 50!

Woo, es-tu capable de continuer après 50 aussi?

Oui.

Montre-moi voir.

50, 51, 52, 53, 54, 55. (Elle s’arrête.) […]

Marianne compte jusqu‟à 55 en faisant une omission (elle oublie le 22) et en disant un

nombre deux fois, parce qu‟elle s‟était mise à parler d‟autre chose [lignes 1; 5; 7; 11]. Sa

chaîne a donc sensiblement la même étendue que lors des évaluations précédentes, où elle

comptait jusqu‟à 49, sans erreur [extraits 10; 29].

Ensuite, l‟intervenante lui demande de compter en tenant compte d‟une borne supérieure

fixée à 20.

133

Extrait 51

1I :

2M :

3I :

4M :

[…] Et maintenant, es-tu capable de compter jusqu‟à 20? (Ne répond pas.) Es-tu capable d‟arrêter à

20?

Oui! (Compte jusqu’à 28 rapidement sans arrêt.)

Wow, tu vas loin! Mais es-tu capable d‟arrêter à 20?

Oui! 29, 30, …[…]

Comme la borne fixée à 20 était trop élevée, l‟intervenante l‟a réduite à 15.

Extrait 52

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M :

[…] Non, on commence au début et tu vas arrêter à 15. Es-tu capable?

À 20.

À 20, tu penses? Tu vas être capable d‟arrêter à 20?

Oui.

Montre-moi.

(Compte jusqu’à 23.)

À combien on arrête?

À 3.

À 3? Vas-y.

1, 2, 3.

Bravo, tu es une championne! Es-tu capable d‟arrêter à 12?

(Compte jusqu’à 12.) […]

Marianne ne parvient pas à compter en tenant compte d‟une borne fixée à 20. À chaque fois

[extraits 51 et 52], elle compte rapidement et ne s‟arrête pas à la borne [ligne 6]. Elle est

toutefois en mesure de s‟arrêter à 12 [ligne 12]. Le nombre 20 doit donc se retrouver à

l‟extérieur de son domaine numérique opérable. De plus, comme il s‟agit d‟un nombre

élevé, il est possible que Marianne, trop emportée par son comptage, perde l‟objectif de vue

et ne parvienne pas à s‟arrêter à ce nombre.

Ensuite, l‟intervenante demande à Marianne de compter en considérant, à la fois, une borne

inférieure fixée à 430

et une borne supérieure fixée à 9. Cette demande a pour but de vérifier

si la chaîne numérique de Marianne est sécable ou non.

30 Lors de cette évaluation, il n‟a pas été demandé à l‟enfant de compter en tenant compte seulement d‟une

borne inférieure, en raison de sa réussite lors de la deuxième évaluation (où elle parvenait à compter seule

134

Extrait 53

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

[…] Es-tu capable de compter en commençant à 4 et en arrêtant à 9? Ça, c‟est difficile!

Oui.

Vas-y.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Championne! Es-tu capable de commencer à 4?

Oui.

Tu comptes à partir de 4 et on monte. Es-tu capable?

Oui.

Vas-y.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. […]

Marianne n‟est pas en mesure de compter en tenant compte des deux bornes à la fois, même

si cette tâche avait été réussie avec soutien lors de l‟évaluation précédente. Lors de chaque

comptage, elle débute par 1 au lieu de considérer la borne inférieure fixée par l‟adulte

[lignes 4; 10]. Comme la chaîne numérique de Marianne avait été considérée comme

sécable en mai 2012, cette non-réussite pourrait être expliquée potentiellement par le

niveau d‟implication et de concentration de l‟enfant dans la tâche. Finalement, il lui a été

demandé de compter à rebours à partir de 9. Ceci permet de vérifier si la chaîne numérique

de l‟enfant est dénombrable.

Extrait 54

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M:

13I :

14M:

15I :

16M:

[…] On va commencer à 9 et on va se rendre à 1. Vas-y.

1.

On commence avec 9 et on descend jusqu‟à 1, on recule. Comme 3, qu‟est-ce qui vient avant?

1.

3,

2.

2.

1.

1! On va faire la même chose en commençant à 9. 9 … (Laisse l’enfant compléter.)

3.

Qu‟est-ce qui vient avant 9?

10.

Avant?

(Ne répond pas.)

9… huuuuuuu … (Laisse l’enfant compléter.)

8.

à partir de 9). Toutefois, cette habileté sera vérifiée lors de la mise en commun des bornes inférieure et

supérieure présentée ici.

135

17I :

18M:

19I :

20M :

21I :

22M :

23I :

24M :

Qu‟est-ce qui vient avant?

7.

Avant?

6.

6.

7.

Avant?

8. […]

Même avec un soutien de la part de l‟intervenante, Marianne n‟a pas été en mesure de

compter à rebours à partir de 9 [lignes 15 à 24]. Toutefois, elle réussit l‟exemple en

comptant à rebours à partir de 3 avec l‟intervenante [lignes 3 à 8], cela indique qu‟elle avait

bien compris la consigne.

Lors de cet item, on cherche à vérifier la construction de la chaîne numérique de

l‟enfant. Marianne arrive à compter seule sans erreur jusqu'à 55 et à tenir compte

d‟une borne supérieure fixée à 12. Par contre, elle ne parvient pas à compter en

tenant compte d‟une borne inférieure et d‟une borne supérieure. Comme les

évaluations précédentes le démontrent, Marianne a plus de facilité à considérer

une borne supérieure qu‟une borne inférieure, alors, elle n‟est pas en mesure de

considérer de façon concomitante les deux bornes pour guider son comptage,

ignorant la borne inférieure qui était fixée par l‟adulte. De plus, elle ne parvient

pas à compter à rebours à partir de 9, même avec un soutien de la part de l‟adulte.

Cela peut laisser croire que le nombre 9 se situe hors de son domaine numérique

opérable, c‟est-à-dire qu‟il n‟est pas encore dénombrable pour elle.

5.3.2.6 Item 6 : Cardinalité

La compréhension de la cardinalité chez l‟enfant a été vérifiée, entre autres choses, à l‟aide

de deux tâches distinctes. Lors de la première tâche, l‟intervenante dresse une collection de

onze bâtonnets devant l‟enfant. Cette dernière doit identifier le nombre de bâtonnets

présents sur la table.

Figure 40 : Présentation d‟une rangée de bâtonnets à l‟enfant

136

Extrait 55

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M :

[…] (Place 11 bâtonnets en une rangée sur la table devant Marianne.) Es-tu capable de les compter?

Oui.

Vas-y.

(Compte jusqu’à 11.)

T‟ en a 11?

Oui. […]

Marianne est en mesure de bien utiliser le comptage et la correspondance terme à terme

entre le mot nombre énoncé et l‟élément dénombré pour déterminer le nombre de bâtonnets

[ligne 4].

Devant les yeux de l‟enfant, l‟intervenante prend tous les bâtonnets dans ses mains et les

dépose de façon pêle-mêle sur la table.

Figure 41 : Modification de la rangée de bâtonnets

Extrait 56

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M :

[…] (Déplace les 11 bâtonnets et les place pêle-mêle sur la table.) Et maintenant, on en a combien?

(Compte les bâtonnets en en oubliant un.) 10.

10 … (Pointe celui qui reste.)

11.

Là, on en a combien?

11. […]

À la suite du premier déplacement effectué par l‟intervenante, Marianne recompte les

bâtonnets pour répondre à la question, en faisant une méprise [ligne 2]. Cette conversation

avec Marianne permet de mettre en relief que cela ne lui posait pas problème d‟affirmer

qu‟il y avait dix bâtonnets [ligne 2] alors qu‟elle venait d‟en compter onze avant le

déplacement de ces derniers. En soi, cela montre comment le dénombrement de Marianne

ne prend pas le sens de la cardinalité de la collection dénombrée. Il n‟y a pas réelle

construction de la cardinalité ou du principe cardinal. Avec un soutien de l‟adulte, elle

arrive au bon compte [lignes 3-4].

137

Devant les yeux de l‟enfant, l‟intervenante prend tous les bâtonnets dans ses mains et les

dépose en une rangée sur la table, comme ils étaient positionnés au départ. Elle demande

d‟abord à l‟enfant combien il y en a et ensuite, combien il y en a si on commence par la fin

(donc en comptant de droite à gauche, plutôt que de gauche à droite).

Figure 40 : Présentation d‟une rangée de bâtonnets à l‟enfant

Extrait 57

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M :

7I :

8M :

9I :

10M:

11I :

12M:

13I :

14M:

15I :

16M:

17I :

18M:

19I :

[…] (Refait une rangée avec les 11 bâtonnets.)Si je les mets comme ça, on en a combien?

(Compte les bâtonnets.) 11.

11, t‟ as bien raison. Mais, j‟ai une question. Si on commence par ici [l‟autre bout], on va en avoir

combien?

1.

1, mais si on s‟en va par là [vers la gauche de Marianne], on va en avoir combien?

2. (Ne regarde pas les bâtonnets et fixe l’intervenante.)

2, ensuite? On va en avoir combien en tout?

3. (Ne regarde pas les bâtonnets et fixe l’intervenante.)

Juste 3?

Oui. […]

Tu penses qu‟on en a juste 3? Si on compte comme ça? (Pointe de gauche à droite.) Est-ce que tu es

capable de compter à l‟envers?

Oui

Vas-y, on va commencer ici et on va aller par là. Combien on va en avoir?

2.

Il y en a juste 2? […] Est-ce que tu peux compter à partir de là?

Oui.

Parce que d‟habitude, on compte comme ça [de gauche à droite]. Mais si on compte comme ça [droite

à gauche], on va en avoir combien?

2.

O.K., vas-y. (Pointe les bâtonnets avec son doigt.)[…]

Marianne est dans l‟obligation de recompter les bâtonnets chaque fois qu‟une modification

est apportée à leur disposition [extraits 56; 57]. Le nombre n‟est pas maintenu si on

commence à compter à un autre endroit [lignes 3 à 9; 17 à 19]. À ce moment, elle démontre

une absence de conservation de quantités discontinues, car elle n‟arrive pas à maintenir la

quantité de la collection à laquelle rien n‟a été ajouté ou retiré. De plus, on voit que

Marianne n‟a pas construit le principe de la non-pertinence de l‟ordre. Compter la

collection à partir d‟un autre endroit, pour Marianne, contribue à changer la quantité.

138

Lors de la deuxième tâche, cinq images de dames sont déposées sur la table devant

Marianne. Cette dernière est invitée à aller au magasin pour chercher une robe, des

chaussures et trois bracelets pour chacune des dames. Pour ce faire, elle doit choisir ce

qu‟elle veut parmi 15 paires de chaussures, 15 robes et 25 bracelets présents au magasin.

Lors de cette épreuve, l‟intervenante veut vérifier quelle stratégie Marianne utilise pour

déterminer les morceaux dont les dames ont besoin pour aller au bal. Cette épreuve, créant

une contrainte, engendre la nécessité d‟avoir recours au dénombrement pour résoudre la

situation en empêchant la correspondance terme à terme dans l‟action immédiate.

Figure 42 : Cinq dames à habiller

Extrait 58

1I :

2H :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M:

[…] Elles ont froid et ce soir, il y a un bal. Elles doivent aller au bal et s‟habiller comme des

princesses. Pour aller au bal, on a besoin d‟une robe, des souliers et des bijoux. On doit aller chercher

une robe, des souliers et 3 bracelets pour les madames.

Pour chacune des madames.

Oui. Moi je vais être au magasin et il va falloir que tu viennes chercher des morceaux pour habiller les

madames, mais le magasin ferme bientôt.

(Se dirige tout de suite au magasin.)

Bonjour madame! Bienvenue au magasin de princesses. De combien de morceaux avez-vous besoin

aujourd‟hui?

2.

2 quoi?

Robes.

Vous avez besoin de 2 robes? Vous pouvez les choisir. Avez-vous besoin d‟autre chose? Nous avons

des robes, des souliers et des bracelets. […]

(Prend ses 2 robes, 1 bracelet et 1 soulier.)

Vous avez 2 robes, 1 bracelet et 1 soulier, c‟est suffisant?

Oui. […]

Au lieu de compter les morceaux dont elle a besoin, Marianne se dirige tout de suite au

magasin et prend quelques articles [lignes 4 à 10]. De retour à la table, même s‟il lui

manque des morceaux, elle ne compte pas les dames, ni les morceaux supplémentaires

qu‟elle doit aller chercher. Elle ne recourt pas au comptage pour connaître le nombre de

139

dames pour déterminer le nombre de robes nécessaires, pas plus que les pieds pour les

chaussures. Plus tard, un questionnement semblable est réalisé autour de la recherche du

bon nombre de souliers.

Extrait 59

1H :

2I:

3M :

4I :

5M :

6I :

7H :

8M :

9H :

10M :

11H :

12M :

13H :

14M :

15I :

16M :

17I :

18M :

19I :

20M :

[…] Marianne, maintenant tu dois aller au marchand de chaussures. Vite, il va fermer sa boutique. Va

chercher des chaussures pour toutes les madames.

Oui, bonjour je suis le marchand de chaussures. De combien de chaussures avez-vous besoin?

(Se dirige au magasin.) 2.

Voilà, avez-vous besoin d‟autres chaussures?

Non.

D‟accord, aurevoir.

Mais là, Marianne j‟ai un problème. Est-ce que toutes tes princesses sont prêtes pour aller au bal? Est-

ce qu‟elles ont des chaussures?

Non.

Va demander au chaussurier des chaussures pour toutes les madames. Combien de chaussures tu vas

lui demander?

2.

Ça va être assez pour toutes les madames?

Oui.

Regarde bien si tu as assez de chaussures pour habiller toutes les filles si tu en achètes 2?

Oui.

Bonjour, mon magasin est fermé. Combien de chaussures avez-vous besoin?

2.

Est-ce que c‟est suffisant?

Oui.

Combien de dames avez-vous à habiller?

C‟est tout, bye! […]

Même avec un soutien important de la part des intervenantes, Marianne ne recourt pas au

comptage pour déterminer le nombre de morceaux nécessaires à la réalisation de la tâche.

Elle ne semble pas comprendre que le comptage peut être utilisé pour connaître le cardinal

d‟une collection, et donc qu‟elle saurait tout de suite combien de robes et d‟accessoires

dont elle a besoin. Elle procède plutôt par essai-erreur en allant chercher 1 ou 2 morceaux à

la fois [lignes 3; 10]. Lorsque l‟adulte la questionne pour savoir si deux chaussures seront

suffisantes pour toutes les filles, elle répond par l‟affirmative [lignes 13-14]. Elle sait donc

que deux chaussures sont nécessaires, mais elle ne dénombre pas les pieds des filles à

habiller [lignes 15 à 20].

140

Cet item a été réalisé en deux parties distinctes. Lors de la première tâche,

l‟intervenante dresse une rangée de onze bâtonnets de bois devant l‟enfant.

Marianne doit la dénombrer, ce qu‟elle réussit. L‟intervenante modifie l‟apparence

de la collection, et ce, à deux reprises : en déposant les bâtonnets pêle-mêle et en

les replaçant en ligne droite. À la suite de chaque modification, l‟enfant ne

parvient pas à identifier le cardinal de la collection sans devoir recompter les

éléments à chaque fois. De surcroît, faisant une méprise dans son second

dénombrement, Marianne n‟a pas de problème à arriver à un autre nombre que

celui énoncé précédemment pour la même collection. De plus, lorsque

l‟intervenante lui demande de commencer son comptage à un nouvel endroit, elle

n‟est pas en mesure d‟énoncer qu‟il y aurait toujours onze bâtonnets, préférant les

recompter. Bien plus, elle maintient que la quantité est de trois en commençant

d‟un nouvel endroit. Cela témoigne que Marianne n‟a toujours pas construit la

conservation des quantités discontinues. Du coup, ni le principe cardinal, ni la

non-pertinence de l‟ordre n‟apparaissent dans les raisonnements de Marianne.

Lors de la deuxième tâche, l‟intervenante présente un ensemble de cinq dames à

l‟enfant. Cette dernière doit aller au magasin chercher des vêtements pour que les

dames puissent aller au bal. Pour ce faire, Marianne doit dénombrer les éléments à

aller chercher avant de se rendre au magasin, ce qu‟elle n‟est pas en mesure de

faire. Même avec un soutien de la part de l‟adulte, Marianne ne recourt pas au

comptage pour identifier le nombre de dames à habiller, et donc le nombre de

robes à aller chercher. Elle procède par tâtonnements, allant chercher un ou deux

morceaux à la fois.

5.3.3. Synthèse de la compréhension de l’enfant en février 2013

Pour la compréhension de l‟aspect ordinal du nombre, Marianne se situe environ au même

niveau que lors de l‟évaluation de mai 2012. Elle est en mesure d‟identifier ses erreurs au

sein d‟une série et de considérer un point d‟origine commun pour tous les éléments, mais

elle ne parvient pas à déployer la série en ordre de grandeur au-delà de trois éléments. Dans

une série établie, elle identifie correctement les participants qui se trouvent « devant » et

« derrière » un autre et elle arrive, avec un soutien de l‟adulte, à identifier correctement les

participants qui occupent la première, la deuxième et la troisième position. À ce moment,

elle se situerait au premier stade du développement de l‟aspect ordinal selon Piaget.

La comptine numérique est toujours élaborée, bien que le nombre supérieur à 6 ne soit pas

bien construit. En effet, 6 peut être plus grand que 6 pour Marianne [extrait 42] et 9

141

demeure toujours non dénombrable puisque Marianne ne parvient pas à établir de décompte

à rebours à partir de ce nombre [extrait 54]. L‟aspect cardinal du nombre n‟est pas encore

construit chez Marianne, du moins pas au-delà de 3 [extrait 43]. Bien que la

correspondance terme à terme entre le mot nombre dit et l‟élément dénombré soit juste,

celle-ci n‟est pas encore utilisée comme une opération permettant de comparer des

collections entre elles.

La chaîne numérique de Marianne est sécable, comme c‟était déjà le cas en mai 2012. Le

comptage n‟est toujours pas utilisé comme une opération permettant de comparer des

collections. Elle a moins besoin de recompter une collection déjà dénombrée à plusieurs

reprises, sans toutefois être en mesure d‟utiliser ce cardinal comme outil de comparaison.

L‟item l‟invitant à aller chercher des objets pour habiller des dames est assez éloquent à cet

égard [extraits 58; 59].

Dans les tâches de conservation, on peut voir une émergence de la conservation en ce qui

concerne les quantités continues. Lors de la transformation de la boule en rouleau,

Marianne énonce que les deux parts de pâte sont pareilles. Par contre, dès la seconde

transformation, elle répond en utilisant principalement des éléments de l‟aspect figural.

Marianne se situerait donc au premier stade de développement de la conservation selon

Piaget.

À ce moment d‟évaluation passée en février 2013, la correspondance terme à terme, la

conservation et le comptage ne sont pas encore construits comme des opérations, ce qui

montre l‟absence de la conceptualisation de la cardinalité bien que Marianne parvienne à

dénombrer adéquatement des collections diverses.

5.4. Évaluation 4 : Juillet 2013

Lors de la dernière évaluation, qui a été réalisée en juillet 2013, les tâches proposées à

l‟enfant étaient les mêmes que celles de l‟évaluation de février 2013.

142

5.4.1. Items vérifiant la compréhension de l’aspect ordinal du nombre

La présente section expose, d‟une part, les analyses concernant la capacité de l‟enfant à

sérier en ordre de grandeur cinq cartons différents et, d‟autre part, sa capacité à considérer

les diverses positions d‟objets d‟une série.

5.4.1.1 Item 1 : Sériation d’objets de tailles différentes

L‟intervenante donne cinq cartons de tailles différentes à l‟enfant. Elle lui demande alors de

les placer du plus petit au plus grand. Cet item a pour but de vérifier la sériation effectuée

par l‟enfant en portant toujours l‟attention sur la réalisation de la tâche en soi, plutôt que sur

la sériation produite.

(1-2-3-4-5)

Figure 43 : Sériation de cartons réalisée en juillet 2013

Extrait 60

1I :

2M:

3I :

4M :

5I :

6M :

7I:

8M :

(Dispose cinq cartons de différentes longueurs sur la table, devant l’enfant.) Tu te souviens? Je

t‟avais donné des petits cartons comme ça et je t‟avais demandé de les placer en commençant du plus

petit jusqu‟au plus grand. Est-ce que t‟ es encore capable de le faire?

(Rigole.) Oui. (Déplace le 5 complètement à droite et prend le 1. Prend le 4 et le place à la gauche

du 5.Place le 2 à la gauche du 1 et prend le carton 3 et le place à la gauche du 4. L’ordre à ce

moment est : 2-1-3-4-5.)

O.K. Comme ça, est-ce qu‟ils sont du plus petit au plus grand?

Non.

Est-ce que tu commences avec le plus petit sur la table?

Non.

Ah ben! (Pointe le carton 2.) Ça veut dire que lui c‟est pas le plus petit?

Non. (Le retire de la série et le place plus haut sur la table.)

143

9I :

10M :

11I :

12M :

13I:

14M :

15I :

16M :

17I :

18M :

C‟est lequel le plus petit?

(Prend le carton 1 dans ses mains.)

OK. [À ce moment, il n‟y a que le carton 2 qui n‟est pas encore placé.] (Pointe le carton 2.) Lui, il va

où?

(Le place devant le 1.) Ici.

(Pointe le 1.) Est-ce qu‟il est plus petit que celui-là?

Non. (Le place entre le 1 et le 3. À ce moment, l’ordre est 1-2-3-4-5.)

Est-ce qu‟ils sont placés du plus petit au plus grand?

(Ne regarde pas la table.) Non.

Regarde la table. Est-ce qu‟ils sont placés du plus petit au plus grand?

Oui, comme ça. […]

Contrairement aux fois précédentes, Marianne ne place plus les cartons de gauche à droite

en ordre chronologique de ses prises. Elle donne à chaque carton qu‟elle place un ordre

relatif, et ce, non seulement en considérant les deux cartons, mais en créant une relation

approximative avec ceux qui demeurent à sérier. En effet, la ligne 2 de l‟extrait 60 montre

qu‟elle prend en premier le plus grand carton et elle le déplace complètement à droite. Ce

déplacement à l‟extrême droite permet d‟inférer que Marianne considère le carton 5 en

fonction de ceux qui restent. Ensuite, de manière dichotomique, elle sélectionne le plus

petit carton qu‟elle place à gauche, ce qui suppose une comparaison avec le carton 5. Dans

ce qui reste Marianne prendra toujours le plus grand, le carton 4, puis le plus petit, le carton

2, comme s‟il y a un début d‟organisation de la sériation basée sur la dichotomie plus

grand/plus petit dans la construction des couples de cartons. Puis, elle vient placer d‟abord

le carton 4 à gauche du carton 5, établi comme le plus grand. Son erreur réside strictement

sur l‟idée de toujours placer à gauche, même lorsqu‟elle série les plus petits, ceci l‟amène à

placer le carton 2 à gauche du 1. De retour dans ce qui reste, elle prend le carton 3, le plus

grand qui reste, et le met à gauche du 4, « le dernier plus grand placé ». Cette organisation

relativement bien structurée présente un avancement certain puisqu‟elle prend la forme

d‟une opération. D‟autant plus que, en analysant sa série avec l‟adulte, Marianne parvient à

corriger sa série adéquatement. Il n‟est pas étonnant de voir que Marianne sort de la série le

carton 2 mal placé [ligne 8]. Ainsi, Marianne reprend ce qui reste, le carton 2, et tente de le

remettre dans la série. Mais voilà qu‟elle n‟a plus de points de repère par rapport au dernier

144

placement, le carton 3. Avec un léger soutien de l‟adulte [ligne 13], Marianne parvient à

finir adéquatement la série [ligne 14].

Ainsi, seule, elle parvient à sérier quatre éléments en ordre, en respectant une ligne

d‟origine commune [lignes 2 à 8]. En outre, sa procédure de dichotomiser le plus grand du

plus petit lui permet de considérer d‟une façon coordonnée les deux extrémités de tous les

éléments à sérier de façon simultanée, et ce, par l‟établissement d‟une comparaison par

couple.

Lors de cet item, l‟intervenante présente un ensemble de cinq cartons à l‟enfant

qui doit les sérier. Elle prend les cartons dans l‟ensemble présenté en prenant le

plus grand, puis le plus petit. Elle les place ensuite aux extrémités, pour poursuivre

avec le plus grand et le plus petit de ceux qui restent qu‟elle place à la gauche du

dernier élément placé. Elle parvient à réaliser une réelle opération d‟ensemble lors

du choix des éléments à placer. Elle est en mesure de considérer, à la fois, la ligne

d‟origine commune et la longueur des cartons pour les sérier correctement, ce qui

constitue une révolution cognitive.

5.4.1.2 Item 2 : Sériation d’objets faisant une course

L‟intervenante présente un ensemble d‟escargots en bois à l‟enfant, prétextant qu‟ils font

une course pour retourner le plus rapidement possible à la maison. L‟intervenante

questionne l‟enfant à propos de la position des escargots au sein de la course. Cette mise en

situation cherche à vérifier si l‟enfant démontre une certaine compréhension de l‟aspect

ordinal pouvant exister dans une série, en référant aux positions des coureurs et en utilisant

des notions perceptives. La figure 44 illustre l‟alignement des escargots faisant la course.

145

Figure 44 : Alignement des coureurs en juillet 201331

Extrait 61

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I:

18M:

[…] Regarde, ils font la course. La maison est la ligne d‟arrivée. C‟est quoi la position de l‟escargot

bleu?

M : Arrivée.

I : Il est le … (Laisse l’enfant compléter.)

M : Premier.

I : Premier. Le jaune?

M : Dernier.

I : Le jaune, c‟est le dernier? Le orange?

M : Le troisième.

I : Le troisième. Le rose?

M : Le quatrième.

I : Le quatrième. Le rouge?

M : Le cinquième.

I : Le cinquième. Et le vert?

M : Le sixième.

I : Le sixième. C‟est lequel le deuxième?

M : (Pointe le rose.)

I : Le rose, c‟est le deuxième?

M : Oui. […]

Au début de l‟échange, Marianne identifie correctement le premier [lignes 1 à 4], le

troisième [lignes 7-8], le quatrième [lignes 9-10], le cinquième [lignes 11-12] et le sixième

[lignes 13-14]. Par contre, il y a une confusion entre le deuxième et le dernier [lignes 5-6;

15-16]. Tout comme lors des évaluations précédentes, lorsqu‟elle énonce les positions, elle

dit « premier » et elle enchaîne avec « dernier » au lieu de « deuxième ». Toutefois, on peut

souligner une extension des rangs chez Marianne. En effet, lors des évaluations

précédentes, elle ne se rendait pas plus loin que le troisième [extrait 39]. L‟extrait 62

31 Le changement d‟orientation de la série par rapport à l‟évaluation de février 2013 a pu influencer les

réponses de l‟enfant. Cela a pu, en quelque sorte, soutenir l‟enfant par rapport à l‟évaluation de février

2013 puisque, en cours d‟année, pendant les interventions, Marianne dénombrait généralement les

éléments de gauche à droite.

146

présente le questionnement et le soutien apporté par l‟intervenante à propos de ces deux

positions.

Extrait 62

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I:

18M:

19I:

20M:

21I:

22M:

23I:

24M:

25I:

26M:

27I:

28M:

29I:

30M:

[…] C‟est lequel qui est en premier dans la course en ce moment?

Le bleu.

Le bleu! Tu as bien raison! Qui est derrière lui?

Le jaune.

Le jaune. Ça veut dire qu‟il est le … (Laisse l’enfant compléter.)

Premier.

Est-ce qu‟il a quelqu‟un devant lui, le jaune?

Non.

Le bleu, tu m‟as dit que c‟était le premier. Le jaune, c‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)

Dernier.

Est-ce qu‟il a des gens derrière lui?

(Ne regarde pas.) Non.

Derrière lui, est-ce qu‟il y a des gens?

Oui.

Est-ce qu‟il peut être le dernier, s‟il a des gens derrière lui?

Non.

Non. (Pointe le bleu.) Lui, c‟est le premier. (Pointe le jaune.) Lui?

Premier… Dernier!

Après le premier, c‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)

Troisième.

O.K. On va les compter, d‟accord? (Pointe le bleu.) Le premier, c‟est le un. Ensuite? (Pointe le

jaune.)

Premier.

Après le un, c‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)

Deux.

Si c‟est le deux, il est … (Laisse l’enfant compléter.)

Le deuxième.

Le deuxième, t‟ as bien raison. Le bleu, c‟est le premier. Le jaune, c‟est le … (Laisse l’enfant

compléter.)

Dernier.

Le d… (Laisse l’enfant compléter.)

Deuxième. […]

On peut constater que, même avec un grand soutien de la part de l‟adulte, la confusion entre

« deuxième » et « dernier » persiste chez Marianne. Elle est en mesure d‟identifier

correctement la première position et celle-ci est associée de façon proximale à la dernière

147

position [lignes 9-10; 17-18; 27-28].32

De plus, tel que démontré dans l‟extrait 63,

Marianne parvient à opérer sur la série.

Extrait 63

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

I : […] Qui est devant l‟escargot rose?

M : L‟escargot orange.

I : L‟escargot orange. Il est à quelle position l‟escargot orange si le rose est le quatrième?

M : (Ne répond pas.)

I : L‟escargot orange, c‟est lequel?

M : (Pointe le orange.)

I : Si le rose, c‟est le quatrième, le orange, c‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)

M : (Ne répond pas.)

I : Il est devant lui, c‟est le … (Laisse l’enfant compléter.)

M : (Ne répond pas.)

I : Si le rose est quatrième et que l‟escargot orange est devant lui. Avant le quatrième, c’est le …

(Laisse l’enfant compléter.)

M : (Chuchote.) Le septième.

I : Avant le quatrième, c’est le … (Laisse l’enfant compléter.)

M : Troisième.

I : Troisième. Bravo! Si le rose est quatrième, qui est derrière lui?

M : Le r... orange.[…]

Marianne est en mesure d‟identifie la couleur de l‟escargot se trouvant devant un autre

[lignes 1-2]. Par contre, elle ne parvient pas seule à identifier sa position. Toutefois, avec le

soutien de l‟adulte qui lui indique la position de l‟escargot qui se trouve derrière lui [lignes

5 à 10; 11], elle y arrive [ligne 15]. C‟est également ici une avancée. On voit d‟abord

l‟hésitation de Marianne à répondre à la question de l‟adulte à savoir la position de

l‟escargot orange devant le rose qui, lui, est quatrième [lignes 3 à 8]. Quand l‟adulte lui

précise que l‟escargot orange est « devant », l‟enfant hésite encore [ligne 10], puis chuchote

sa réponse en augmentant le rang à 7, comme si l‟enfant pensait : « si je suis plus en avant,

je dois faire « plus » dans la comptine ». Toutefois, si l‟on pense que le chuchotement de

32 Comme c‟était le cas lors des trois évaluations précédentes, deux hypothèses se posent. Premièrement, on

peut poser l‟hypothèse que cette confusion relève d‟une difficulté liée au langage. Toutefois, comme elle

parvient à identifier correctement plusieurs autres positions [extrait 61], cette hypothèse peut être

rapidement rejetée, car, langagièrement, il n‟est pas plus difficile d‟arriver à « deuxième » à partir de

« deux » que d‟arriver à « troisième » à partir de « trois ». La seconde hypothèse serait plutôt d‟ordre

conceptuel. Marianne associe de façon proximale « premier » et « dernier ». C‟est sa conception de ce

qu‟est le « dernier » qui doit prendre une maturité pour approcher de la convention imposée par ce langage

mathématique. C‟est cette hypothèse qui sera conservée dans ce mémoire.

148

Marianne pouvait être un signe de son incertitude et de sa réflexion, on voit, sous

l‟insistance de l‟adulte [ligne 13] qui énonce strictement de nouveau sa question avec la

même formulation [ligne 11], que Marianne parvient à opérer adéquatement « moins 1 »

sur la série [ligne 14]. 33

Lors de cet item, l‟intervenante présente une série d‟escargots faisant une course à

l‟enfant. Elle la questionne alors sur la position des participants. Marianne

parvient à nommer les rangs jusqu‟à la 6e position, bien qu‟une confusion persiste

toujours pour la 2e position qu‟elle identifie « dernier » de manière proximale au

« premier ». Elle est en mesure d‟identifier correctement qui se trouve « derrière »

ou « devant » un autre participant. Elle parvient également à opérer sur la série, ce

qui constitue un avancement cognitif important.

5.4.2. Items vérifiant la compréhension de l’aspect cardinal du nombre

La présente section expose les analyses concernant la capacité de l‟enfant à comparer des

collections d‟objets, à établir la conservation (de quantités continues ou discontinues), à

procéder au comptage et à considérer l‟aspect cardinal d‟une quantité dénombrée.

5.4.2.1 Item 1 : Comparaison de collections d’objets identiques (correspondance

terme à terme)

L‟intervenante place deux collections de jetons sur la table devant l‟enfant. D‟un côté, il y a

huit jetons bleus et de l‟autre sept jetons rouges. L‟intervenante questionne l‟enfant afin de

savoir s‟il y a un côté qui comporte plus de jetons que l‟autre ou non et comment cette

dernière peut le savoir. Cet item a pour but de vérifier comment va procéder Marianne pour

comparer les deux collections : en recourant à la correspondance terme à terme ou en

comptant les jetons. La figure 45 illustre la comparaison de deux collections de jetons.

33 Pour le lecteur sceptique qui soulèverait l‟hypothèse que Marianne aurait pu, pendant l‟échange verbal,

identifier la troisième position en comptant « dans sa tête » à partir de la première position, il convient de

préciser que l‟opération 4e – 1 = 3

e a été absolument nécessaire puisque, pendant cet échange verbal,

Marianne regardait l‟intervenante et non pas la série d‟escargots.

149

Figure 45 : Comparaison de collections inégales d‟objets identiques présentées à l‟enfant

en juillet 2013

Extrait 64

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I:

18M:

19I :

20M:

21I :

22M:

[…] Tu vois, i‟ en a des rouges et i‟ en a des bleus. Est-ce que tu pourrais me dire où est-ce qu‟i‟ en a

plus?

M : (Pointe les rouges.) Ici.

I : Tu penses qu‟i‟ en a plus ici?

M : Non.

I : Non? Tu penses qu‟i‟ en a plus où?

M : (Pointe les bleus.) Ici.

I : Ici? […] Où est-ce qu‟i‟ en a plus Marianne?

M : (Pointe les rouges.)

I : Où?

M : (Pointe les rouges.)

I : Quelle couleur?

M : Rouges.

I : Rouges. Comment on peut faire pour le savoir?

M : (Rigole.)

I : Comment on peut faire pour le savoir où est-ce qu‟i‟ en a plus?

M : (Pointe les bleus en riant.)

I : Tu peux dire la couleur. Où est-ce qu‟i‟ en a plus?

M : (Pointe les bleus en riant.)

I : C‟est quelle couleur?

M : (Rigole doucement.) Bleus.

I : Bleus? Comment on peut faire pour le savoir?

M : (Ne répond pas.) […]

D‟abord, l‟intervenante questionne Marianne de façon ouverte pour vérifier comment elle

procède pour identifier quelle collection comporte plus de jetons. Elle ne recourt pas au

comptage ni à la correspondance terme à terme pour répondre à l‟intervenante. Elle répond

parfois que les rouges sont plus nombreux [lignes 2; 8; 10 à 12] et parfois que les bleus sont

plus nombreux [lignes 6; 16 à 22].

Au bout d‟un moment, comme l‟enfant n‟établit pas de relation oralement ou manuellement

entre les deux collections, l‟intervenante indique à l‟enfant qu‟un de leurs amis leur avait

150

déjà donné un truc pour savoir où il y avait plus d‟éléments, ce qui amènera l‟enfant à

compter les jetons.

Extrait 65

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

[…] Comment tu fais pour le savoir? Est-ce qu‟on peut utiliser un truc?

Non.

Que Simon nous a donné?

Non.

Non?

Oui.

Oui. C‟est quoi le truc que Simon nous a donné?

(Pointe les rouges.) Lui.

Mais c‟est quoi le truc pour savoir? Est-ce qu‟on sait combien il y en a des jetons?

Oui.

Combien?

(Compte les rouges.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ah! I‟ a 7 rouges. Et des bleus, il y en a combien?

(Compte les bleus.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Où est-ce qu‟i‟ en a plus?

(Pointe les bleus.) Ici. […]

L‟extrait 65 démontre que Marianne ne recourt pas d‟emblée à la correspondance terme à

terme ni au comptage pour résoudre la tâche proposée par l‟intervenante. Par contre,

lorsque l‟adulte lui demande si elle sait « combien » il y a de jetons, Marianne comprend

que, pour ce faire, elle doit les dénombrer [lignes 9 à 14].

Par la suite, l‟adulte questionne l‟enfant pour savoir laquelle des deux collections comporte

le plus de jetons.

Extrait 66

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

[…]Les rouges, i‟ en a combien?

(Pointe les rouges.) Ici.

I‟ en a combien?

(Compte les rouges.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

P‟is des bleus, i‟ en a combien?

(Compte les bleus et en oublie un.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

7 et … (Pointe celui qui manque.)

8.

Où est-ce qu‟i‟ en a plus?

Dans 8.

Dans 8. Où est-ce qu‟i‟ en a moins?

Dans 7.

Dans 7. Est-ce que c‟est égal?

Non.

Est-ce que i‟ en a plus ici [bleus], ici [rouges] ou c‟est pareil?

C‟est pareil.

151

17I :

18M:

19I :

20M:

21I :

22M:

23I :

24M:

25I :

26M:

27I :

28M:

29I :

30M:

31I :

32M:

7 et 8, c‟est pareil?

Non.

Est-ce que c‟est pareil, i‟ en a plus ici [bleus] ou plus ici [rouges]?

(Pointe les rouges.) Ici.

(Pointe les rouges.) Ici, i‟ en avait combien?

7.

(Pointe les bleus.) Et ici, i‟ en avait combien?

8.

(Pointe les rouges.) Est-ce qu‟ici, i‟ en a plus?

Non.

Non. Où est-ce qu‟il y en a plus?

Dans 7.

Dans 7 i‟ en a plus que dans 8?

Non, i‟ en a moins.

I‟ en a moins que dans 8. Donc, où est-ce qu‟il y en a plus? Quelle couleur?

(Pointe les bleus.) Bleus. […]

Une fois les jetons bien comptés, elle répond aux questions par le dernier élément dit par

l‟adulte, en utilisant l‟effet de récence [lignes 15-16; 19-20]. Par contre, quand l‟adulte ne

lui formule pas de choix de réponses, elle arrive à identifier que 8 est plus grand que 7

[lignes 9 à 12; 21 à 26; 29 à 32], ce qui constitue une avancée par rapport aux trois

premières évaluations où Marianne ne parvenait pas à mettre les cardinaux de deux

collections en relation [extraits 4; 22; 41], mais cette avancée demeure très fragile comme il

sera possible de le noter dans l‟extrait 67 qui suit.

Par la suite, l‟intervenante modifie les collections qui sont présentes sur la table, elle retire

l‟ensemble des jetons sous les yeux de l‟enfant et dispose deux nouvelles collections de six

jetons chacune, en poursuivant le même but, c‟est-à-dire de vérifier comment allait

procéder l‟enfant pour comparer les deux collections.

Figure 46 : Comparaison de collections égales d‟objets identiques présentées à l‟enfant en

juillet 2013

152

Extrait 67

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I :

18M:

19I :

20M:

21I :

22M:

23I :

24M:

[…]Tu m‟as dit : ici [rouges], i‟ en a 6 et ici [bleus], i‟ en a 6. Est-ce qu‟il y a un côté qui en a plus?

Non.

Non?

Oui.

Oui? Lequel?

Le bleu.

Le bleu? I‟ en a combien le bleu?

(Compte les bleus.) 1, 2, 3, 4, 5, 6.

6, wow bravo! Et les rouges, i‟ en a combien?

(Compte les rouges.) 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Les bleus, i‟ en a 6 et les rouges, i‟ en a 6. Où est-ce qu‟i‟ en a plus?

Oui.

Où est-ce qu‟i‟ en a plus?

(Pointe les rouges.) Ici.

Les rouges? Tantôt c‟étaient les bleus, maintenant ce sont les rouges. C‟est lequel qui en a plus? Est-

ce qu‟i‟ en a un qui en a plus?

Non.

Non. Qu‟est-ce que ça veut dire si i‟ en a pas un qui en a plus?

(Pointe les bleus.) C‟est les rouges.

Tu me dis les rouges et tu me montres les bleus. J‟ pense que t‟ es dans les …

PATATES! (Rigole.) […]

(Pointe les rouges.) Ici, tu m‟as dit les rouges i‟ en a 6. Et les bleus, tu m‟as dit i‟ en a 6. Est-ce qu‟i‟

a un côté qui en a plus?

Oui.

Oui? Lequel?

(Pointe les bleus.)[…]

Quand deux collections comportant le même nombre de jetons lui sont proposées,

Marianne ne parvient pas à établir l‟égalité quand elles comportent 6 jetons. Elle est en

mesure de bien dénombrer chacune des collections [lignes 8; 10], mais ce dénombrement

ne tient pas lieu de cardinal de collection pouvait être utilisé comme outil de comparaison.

Elle énonce parfois qu‟il y a plus de bleus [lignes 6; 24] et parfois qu‟il y a plus de rouges

[lignes 14; 18]. Jamais Marianne ne soulève l‟hypothèse d‟égalité. Ceci n‟est pourtant pas

lié au langage, mais représente bel et bien un nœud d‟ordre conceptuel puisque, pour

faciliter la comparaison à partir d‟un nombre plus petit, la même tâche est reprise en

réduisant les collections à quatre jetons de chaque côté. Très clairement et de manière

stable, Marianne postule l‟égalité.

Extrait 68

1M :

2I :

3M :

4I:

[…] (Compte les rouges.) 1, 2, 3, 4.

Et des bleus, i‟ en a … (Laisse l’enfant compléter.)

(Ne compte pas les bleus.) 4.

Qu‟est-ce que ça veut dire? Les rouges i‟ en a 4 et les bleus i‟ en a 4?

153

5M:

6I :

7M :

8I:

9M:

10I:

11M:

12I:

13M:

14I:

15M:

(Compte les bleus.) 1, 2, 3, 4.

Les rouges i‟ en a 4 et les bleus i‟ en a 4. Est-ce qu‟il y a un côté où i‟ en a plus?

Non.

Ça veut dire qu‟ils sont … (Laisse l’enfant compléter.)

Égal.

Égal. Est-ce que les bleus i‟ en a plus?

Oui… Non!

Est-ce que les rouges i‟ en a plus?

Non.

Ils sont … (Laisse l’enfant compléter.)

Égal! […]

Quand les collections sont réduites à quatre jetons de chaque côté, Marianne est en mesure

non seulement de les dénombrer correctement [lignes 1; 5], mais elle parvient également à

reconnaître l'aspect cardinal du nombre 4. Elle ressent le besoin de compter les jetons dès le

départ pour énoncer qu'il y a quatre jetons rouges [ligne 1].

Lors de cet item, l‟intervenante demande à Marianne de comparer deux collections

de jetons pour identifier laquelle est la plus nombreuse, donc qui contient le plus

grand cardinal. Marianne dénombre correctement les jetons en utilisant

correctement la correspondance terme à terme entre le mot nombre énoncé et

l'élément dénombré. Par contre, même si elle est en mesure d'affirmer à quelques

reprises que 7 8, lorsque l'intervenante la questionne à propos des collections de

jetons, elle ne réussit pas à affirmer que la collection de huit jetons bleus est plus

nombreuse que celle de sept jetons rouges. Quand deux collections de même

cardinal lui sont présentées, elle réussit à les dénombrer correctement, mais elle

n'est pas en mesure d'établir leur égalité lorsque leur cardinal est 6. Par contre, elle

y arrive lorsque leur cardinal est 4.

5.4.2.2 Item 2 : Comparaison de collections d’objets différents (correspondance

terme à terme)

L‟intervenante place sur la table une rangée de trois images de pomme et une de quatre

images de framboise. Elle demande alors à l‟enfant d‟identifier quelle rangée est la plus

nombreuse. Cet item sert à vérifier si l‟enfant est en mesure de comparer des collections

d‟objets différents et comment elle procède pour le faire : en se fiant à l‟aspect figural de la

collection ou en établissant une opération comme la correspondance terme à terme ou le

comptage.

154

Figure 47 : Comparaison de collections d‟objets différents en juillet 2013

Extrait 69

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I:

18M:

19I:

20M:

21I:

22M:

23I:

24M:

[…] Tu te souviens, avec les jetons. Quand on avait des jetons bleus et des jetons rouges, J‟ te

demandais : « Où est-ce qu‟il y en a plus? » et tu m‟as trouvé un truc. C‟était quoi notre truc pour

savoir combien i‟ en avait?

Les framboises.

Tu penses que c‟est les framboises qu‟i‟ a plus? C‟est vrai?

Oui.

O.K. Comment on fait pour le savoir? I‟ en a combien des framboises? Est-ce qu‟on le sait?

Où est-ce qu‟il y en a plus? [...] I' a combien de framboises?

(Compte les framboises.) 1, 2, 3, 4.

4. Et i‟ a combien de pommes?

(Compte les pommes.) 1, 2, 3.

3. Où est-ce qu‟il y en a plus?

(Ne regarde pas et met sa main au-dessus des deux rangées.) Ici.

C‟est où ici?

(Fait un rond au-dessus des deux rangées.) Là.

Tout ensemble?

Non!

Non. Où est-ce qu‟il y en a plus? […] I‟ a combien de pommes?

(Compte les pommes.) 1, 2, 3.

Et des framboises?

(Compte les framboises.) 1, 2, 3, 4.

Où est-ce qu‟il y en a plus?

(Passe sa main au-dessus des fruits.) Ici.

Est-ce que c‟est pareil 3 et 4?

Non.

Lequel qui en a plus? Les framboises ou les pommes?

Les framboises. […]

Marianne n'utilise pas d'emblée le comptage comme outil de comparaison entre les deux

collections et elle identifie tout de suite qu'il y a plus de framboises [lignes 1 à 4]. Lorsque

l'intervenante lui demande « Combien? », elle exécute un comptage [lignes 5-6]. Elle

parvient à différencier les deux cardinaux en jeu, soit 3 et 4, pour énoncer qu'il y a plus de

framboises, sans recourir à l'effet de récence [lignes 21 à 24]. De plus, Marianne ne se

laisse pas influencer par l'aspect figural des deux collections : en effet, elle répond qu'il y a

plus de framboises, même si la rangée de pommes, qui contient trois éléments, est plus

longue. Ceci représente une belle avancée pour Marianne.

155

Lors de cet item, l‟intervenante demande à Marianne de comparer deux collections

inégales d‟objets non identiques pour identifier celle qui est la plus nombreuse.

Marianne est en mesure d'identifier qu'il y a plus de framboises avant même de

recourir au comptage et même si l'aspect figural peut indiquer le contraire. Elle

semble laisser de côté cet indice figural qu'elle utilisait systématiquement pour

déterminer la collection qui contenait le plus grand cardinal. Maintenant, elle

parvient à comparer des collections de 3 et 4 éléments et à affirmer qu'il y a plus

de framboises. Le fait que Marianne délaisse l'aspect figural pour utiliser des

outils plus mathématiques représente une belle avancée. De plus, ici, les nombres

3 et 4 ont vraiment un sens cardinal qui permet à Marianne de les comparer.

5.4.2.3 Item 3 : Conservation de quantités continues

L‟intervenante présente deux boules de pâte à modeler de même taille à l‟enfant en lui

demandant si l‟une des deux boules contient plus de pâte. Lorsque l‟enfant a établi l‟égalité,

l‟intervenante prend une des deux parts et la transforme à trois reprises sous les yeux de

l‟enfant, soit en rouleau, en galette puis en miettes. À chaque fois, elle questionne l‟enfant

pour savoir si l‟une des deux parts contient plus de pâte à modeler. Cet item a pour but de

vérifier si l‟enfant comprend la conservation de quantités continues et si elle est capable de

faire abstraction des transformations effectuées par l‟adulte par des arguments d‟identité, de

réversibilité ou de compensation qui feraient de la conservation une réelle opération.

Figure 17 : Première transformation effectuée avec la pâte à modeler

Extrait 70

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

[…] Si je prends la boule et que je fais un rouleau comme ça avec. (La boule rouge est alors

transformée en rouleau.) Où est-ce qu‟i‟ en a plus?

(Pointe la boule jaune et le rouleau rouge.) Ici, ici.

Ça veut dire qu‟ils sont … (Laisse l’enfant compléter.)

Pareils.

Sont pareils?

Sont différents.

Sont pareils ou sont différents?

Différents.

Où est-ce qu‟i‟ a le plus de pâte à modeler? Est-ce qu‟i‟ en a un qui a plus de pâte à modeler?

Non.

156

11I:

12M:

Ça veut dire qu‟i sont … (Laisse l’enfant compléter.)

Pareilles. […]

À la suite de la première transformation, Marianne postule l‟égalité, ce qui fait foi de la

construction de la conservation. En effet, au départ, elle indique à l'intervenante que la

boule jaune et le rouleau rouge contiennent plus de pâte [lignes 1-2], cette formulation peut

vouloir dire qu'elle considère les deux parts de pâte à modeler comme équivalentes, ce

qu'elle confirme en énonçant qu'elles sont pareilles en complétant les propos de l'adulte

[lignes 4; 11-12]. Toutefois, on peut constater qu'il semble exister encore un léger doute

chez elle quand elle énonce qu'ils sont « différents » [lignes 6; 8] lorsque l'intervenante lui

demande s'ils sont pareils, en reprenant ses propos [ligne 5]. Malgré cela, la conservation

semble construite plus solidement que lors de l'évaluation de février 2013, car l‟hésitation

de l‟enfant ne perdure pas.

L‟intervenante prend le rouleau rouge et le transforme en boule de même grosseur que celle

de référence. Puis, elle reprend la boule rouge et la transforme en galette devant les yeux de

l‟enfant.

Figure 18 : Deuxième transformation effectuée avec la pâte à modeler

Extrait 71

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

[…] (Pointe la jaune.) Celle-là, on la laisse comme ça. Si je prends la rouge et que je fais ça.

(L’écrase pour faire une galette.) Est-ce qu‟i‟ a un endroit où i‟ a plus de pâte?

Oui.

Où?

(Pointe la galette rouge.) Ici.

Est-ce qu‟il y en a plus ici [galette rouge], ici [boule jaune] ou c‟est pareil?

C‟est pareil.

C‟est pareil. Est-ce que c‟est pareil, i‟ en a plus ici [boule jaune] ou ici [galette rouge]?

(Pointe la galette rouge.) Ici.

P‟is, est-ce que i‟ en a plus ici [boule rouge], c‟est pareil ou i‟ en a plus ici [boule jaune]?

I‟ en a plus ici [boule jaune].

O.K. C‟est lequel qui en a plus?

(Met sa main par-dessus la boule jaune pour toucher la galette rouge.) Là.

Les deux, est-ce qu‟i‟ sont pareilles?

Oui. (Pause.) Non. (Pause.) Oui.

Hum? Tu m‟as dit toutes les réponses. Est-ce qu‟elles sont pareilles?

157

16M:

17I:

18M:

19I:

20M:

21I:

22M:

B‟en oui.

Oui? Est-ce qu‟il y a un endroit où i‟ en a plus?

(Prend la galette rouge et la boule jaune dans ses mains.) Oui. […]

Est-ce qu‟i‟ a un endroit entre les deux où est-ce qu‟i‟ en a plus?

Oui.

Lequel?

(Pointe la galette rouge.) Ici. […]

Lors de cette seconde transformation, Marianne répond aux questions de l‟intervenante par

l‟effet de récence dans la majorité des cas [lignes 5-6; 7-8; 9-10]. Lorsque l‟intervenante lui

demande si les deux parts de pâte à modeler sont pareilles, elle répond par l‟affirmative

[lignes 14; 16]. Par contre, elle affirme également qu‟il y en a un endroit où il y en a plus

[lignes 14-18; 19-20]. Même si elle semble parfois indiquer qu‟elle comprend que la

quantité de pâte à modeler est toujours la même malgré les transformations apportées par

l‟adulte en pointant, à la fois, la boule et la galette [ligne 18], sa compréhension de la

conservation est encore fragile. En effet, à la fin de l‟échange, Marianne affirme que la

galette contient plus de pâte [ligne 22].

L‟intervenante prend la galette rouge et la transforme en boule de même grosseur que celle

de référence. Puis, elle reprend la boule rouge et la transforme en miettes devant les yeux

de l‟enfant.

Figure 19 : Troisième transformation effectuée avec la pâte à modeler

Extrait 72

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

[…] Oui, regarde. Si j‟ fais ça (Prend la boule rouge et l’émiette.), où est-ce qu‟i‟ en a plus?

(Pointe les miettes rouges.) Ici.

Ici. Est-ce qu‟il y en a plus ici [miettes rouges], ici [boule jaune] ou c‟est pareil?

(Met sa main au dessus des miettes rouges.) C‟est pareil.

C‟est pareil, i‟ en a plus ici [miettes rouges] ou ici [boule jaune]?

(Pointe la boule jaune.) Ici.

Ici. Est-ce qu‟il y en a plus ici [boule jaune], c‟est pareil ou il y en a plus ici [miettes rouges]?

(Pointe les miettes rouges.) Ici.

Où est-ce qu‟i‟ en a plus? Est-ce qu‟il y a un endroit où i‟ en a plus?

158

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I:

18M:

19I:

20M:

21I:

22M:

23I:

24M:

25I:

26M:

Oui.

C‟est où?

À la maison.

(Rit.) Mais entre la jaune et la rouge, est-ce qu‟il y a un endroit où i‟ en a plus?

Oui.

Où?

(Regarde ailleurs et ne répond pas.)

Sur la table ici, est-ce qu‟il y a un endroit où il y en a le plus?

Oui.

Où?

(Pointe les miettes rouges.) Ici.

Ici. (Pointe la boule jaune.) Ça veut dire qu‟ici i‟ en a … (Laisse l’enfant compléter.)

Pareil. Plus. […]

Est-ce qu‟il y a un endroit où i‟ en a plus?

Oui.

Où?

(Pointe les miettes rouges.) Ici. […]

Le raisonnement de Marianne, lors de ces épreuves, témoigne d‟un début de compréhension

de la conservation. Si, lors de la transformation de la boule en rouleau, Marianne parvient à

établir la conservation entre les deux parts de pâte [extrait 70], ce début de conservation

n‟est pas observable avec les autres transformations. En effet, lors des deux autres

transformations, Marianne fait preuve d‟une absence de conservation en affirmant que la

galette et les miettes contiennent plus de pâte à modeler que la boule de référence [extrait

71, ligne 22; extrait 72, ligne 26]. Dans ce dernier extrait, bien qu‟elle réponde en utilisant

l‟effet de récence [lignes 1 à 8], Marianne pointe les miettes rouges, même si, par effet de

récence, elle énonce que les deux parts sont pareilles [ligne 4]. Marianne semble

comprendre qu‟elle ne peut plus seulement répondre aux questions de l‟adulte en reprenant

le dernier élément nommé, elle doit se fier à ses propres conclusions, d‟où la réponse finale

qu‟il y avait plus de pâte dans les miettes [lignes 23 à 26].

Lors de cet item, l‟intervenante propose deux parts égales de pâte à modeler à

l‟enfant. Par la suite, elle réalise trois transformations avec l‟une des deux parts

devant ses yeux : une fois en rouleau, une fois en galette et une fois en miettes. À

chaque fois, l‟enfant doit se prononcer sur les quantités de pâte à modeler dans

chaque part. Lors de la transformation de la boule en rouleau, Marianne fait

preuve de conservation en énonçant que les deux parts de pâte sont pareilles. Ceci

montre le début d‟une révolution cognitive : l‟émergence de la conservation des

quantités continues. Par contre, lors des autres transformations, elle recourt encore

à l‟aspect perceptif pour énoncer que la galette et les miettes contiennent plus de

pâte.

159

5.4.2.4 Item 4 : Conservation de quantités discontinues

D‟abord, l‟intervenante dresse une rangée de cinq images de pomme. L‟enfant, pour sa

part, doit construire une rangée équivalente avec des images de framboise. Cet item vise à

vérifier la capacité de l‟enfant à établir une conservation des quantités à la suite d‟une

transformation de l‟aspect figural de l‟une des deux collections.

Figure 48 : Rangée d‟images présentée à l‟enfant en juillet 2013

Figure 49 : Construction d‟une rangée équivalente en juillet 2013

Extrait 73

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

[…] (Place 5 images de pommes en rangée sur la table.) Tu vois les pommes que j‟ai mises? Est-ce

que tu les vois bien?

Oui.

Je vais te donner des framboises et le chef cuisinier veut faire une salade de fruits avec des pommes et

des framboises. Là, il a demandé notre aide, parce qu‟il dit Marianne et Isabelle se sont des

championnes dans ces jeux-là. Il m‟a dit que pour faire la salade de fruits, il a besoin d‟avoir le même

nombre de pommes et de framboises. Est-ce que tu es capable de lui donner le même nombre de

framboises que son nombre de pommes?

Oui.

Vas-y. Le chef cuisinier a besoin de toutes ces pommes-là et il a besoin de la même chose de

framboises. Est-ce que t‟es capable de lui donner?

(Prend une pomme dans ses mains.)

Tu dois mettre le même nombre de framboises qu‟il y a des pommes.

(Prend les framboises une à une, les enligne avec les pommes et s’arrête à 5.)

Est-ce que c‟est pareil?

Oui.

Oui! Bravo! T‟en a mis combien des framboises?

(Compte les framboises.) 1, 2, 3, 4, 5.

160

13I:

14M:

15I:

16M:

Et i‟ a combien de pommes?

(Compte les pommes.) 1, 2, 3, 4, 5.

Si j‟ai 5 pommes et 5 framboises, qu‟est-ce que ça veut dire?

C‟est pareil. […]

Ici aussi, il est possible de souligner la révolution cognitive de Marianne. En effet, de

manière concomitante au début de la conservation des quantités continues, on peut voir ici

que Marianne utilise spontanément la correspondance terme à terme pour établir une

collection équivalente. Elle arrive à construire une collection de framboises équivalente à

celle de cinq pommes déjà placée par l‟intervenante en utilisant spontanément la

correspondance terme à terme, sans soutien et sans que ce ne soit une suggestion de l‟adulte

[ligne 8]. Il s‟agit d‟une avancée chez Marianne. Dans le cadre de cette tâche, la

correspondance terme à terme est utilisée comme un début d‟opération permettant la

construction d‟une collection équivalente à une déjà construite. Sous la demande de

l‟adulte, elle recourt au comptage pour identifier le nombre de pommes et de framboises

présentes sur la table [lignes 11-12; 13-14].34

Dans un second temps, l‟intervenante prend les cinq images de framboise et les déplace sur

la table, de manière à ce que cette rangée soit étirée par rapport à son apparence initiale.

Cette rangée dépasse alors la rangée équivalente de cinq pommes.

Extrait 74

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

[…] Regarde bien. Si je fais ça. (Prend la rangée de framboises et l’étire pour qu’elles soient très

espacées et que la rangée dépasse celle des pommes.) Est-ce qu‟i‟ en a un des deux qui en a plus?

Oui.

Lequel?

(Pointe les framboises.) Lui.

C‟est lequel?

Les framboises.

I‟ a plus de framboises, c‟est vrai? I‟ en a combien maintenant?

(Compte les framboises.) 1, 2, 3, 4, 5.

P‟is les pommes, i‟ en avait combien?

(Compte les pommes.) 1, 2, 3, 4, 5.

Est-ce qu‟i‟ en a un qui en a plus?

34 Cependant, il est vrai ici que l‟item a été contextualisé autour de la fabrication d‟une salade de fruits, ce qui

a pu influencer les réponses et les productions de l‟enfant. Il n‟en demeure pas moins que l‟on observe ici

une avancée majeure qui doit être soulignée.

161

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I:

18M:

Oui.

Lequel? […] I‟ a 5 pommes et 5 framboises, est-ce qu‟il y en a un des deux qui en a plus?

Oui.

Est-ce que tu peux dire lequel en a plus?

Oui. […]

C‟est lequel?

Les framboises. […]

Même si Marianne est en mesure de construire une rangée équivalente [extrait 73], par

l‟intermédiaire de la correspondance terme à terme marquant un début ou une assise de

l‟opération, l‟extrait 74 démontre que l‟opération de correspondance terme à terme n‟est

pas construite étant donné que l‟enfant n‟imagine pas le retour possible à la correspondance

qu‟elle a établie pour maintenir l‟égalité (par l‟argument de réversibilité). Au contraire,

lorsque l‟apparence de l‟une des rangées est modifiée par l‟intervenante, elle répond que

l‟une des deux rangées comporte plus d‟éléments que l‟autre, dans ce cas-ci, plus de

framboises [lignes 4; 6; 18]. Cela prouve que la conservation des quantités discontinues

n‟est toujours pas construite chez Marianne.

Lors de cet item, l‟intervenante présente une rangée de cinq images de pomme à

Marianne. Cette dernière doit construire une rangée équivalente avec des images

de framboise. Marianne réussit cette tâche en utilisant spontanément la

correspondance terme à terme pour construire sa rangée. Elle dispose une

framboise en correspondance avec chaque pomme. Malgré cela, même si elle est

en mesure de compter les deux rangées de cinq éléments, leur cardinal ne peut pas

encore être utilisé comme outil de comparaison. Lorsque l‟apparence de l‟une des

deux rangées est modifiée par l‟intervenante, Marianne semble raisonner les

quantités en se basant sur l‟aspect figural des collections, comme elle le faisait

précédemment. Cela témoigne qu‟elle n‟a pas encore construit la conservation des

quantités discontinues.

5.4.2.5 Item 5 : Comptage

Sans utiliser de matériel, l‟intervenante demande à l‟enfant de compter le plus loin possible.

Cette demande a pour but de vérifier l‟étendue de la chaîne numérique de l‟enfant.

162

Extrait 75

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I :

8M :

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I:

18M:

19I:

20M:

21I:

22M:

23I:

24M:

25I:

26M:

27I:

28M:

29I:

30M:

[…] Est-ce que tu peux compter le plus loin possible, comme si tu voulais jamais arrêter pour montrer

comment t‟ es bonne?

Oui.

Vas-y.

Jusqu‟à quoi?

Le plus loin possible, jusqu‟à temps que tu sois dans les patates.

[…] (Compte sans erreur jusqu’à 48). 49, 30!

Après 49, c‟est … (Laisse l’enfant compléter.)

(Ne répond pas.)

48, 49, … (Laisse l’enfant compléter.)

50.

50! Qu‟est-ce qui vient ensuite?

(Compte sans erreur de 50 à 58.) 59, 30.

Qu‟est-ce qui vient après 59?

60.

60! Qu‟est-ce qui vient ensuite?

62.

Après 60, c‟est … (Laisse l’enfant compléter.)

(Ne répond pas.)

59, 60, … (Laisse l’enfant compléter.)

61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69.

Qu‟est-ce qui vient après? Est-ce que tu l‟ sais?

69.

69, qu‟est-ce qui vient ensuite?

Soixante-troi… Soixante-trente.

Soixante-trente.

70.

70.

69.

69.

Soixante-quarante.

Marianne parvient à compter seule jusqu‟à 69, sans erreur [lignes 6; 12; 14; 20]. Ensuite,

elle enchaîne avec soixante-trente et soixante-quarante [lignes 24; 30]. Il s‟agit d‟une

amélioration par rapport aux évaluations précédentes où elle comptait jusqu‟à 55 [extrait

50].

Ensuite, l‟intervenante lui demande de compter en tenant compte d‟une borne supérieure

fixée à 20.

Extrait 76

1I :

2M :

3I :

4M :

[…] Maintenant, est-ce que tu peux compter jusqu‟à 20?

Oui.

Vas-y.

(Compte jusqu’à 20 sans erreur.) […]

163

Contrairement aux évaluations précédentes, Marianne réussit à compter jusqu‟à 20, sans

soutien de la part de l‟intervenante [ligne 4].

Extrait 77

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I:

8M:

9I:

10M:

11I:

12M:

[…] Est-ce que tu peux compter en commençant à 5?

Après on arrête?

On commence à 5 et on continue.

1.

On commence avec 5. 5, … (Laisse l’enfant compléter.)

6, 7, 8, 9, 10, 11. C‟est assez.

Oui, on commençait à 5, c‟est bizarre hein? On dirait qu‟on est dans les patates! Mais t‟ es bonne!

Est-ce que t‟es capable de commencer avec 11?

Oui.

Vas-y.

1.

On commence avec 11, vas-y. 11… (Laisse l’enfant compléter.)

11, 12, 13, 14. […]

Lors de cette évaluation, Marianne arrive à compter en tenant compte d‟une borne

inférieure fixée par l‟adulte. Avec un léger soutien de l‟adulte, elle réussit à compter à

partir de 5 [lignes 5-6] et à partir de 11 [lignes 11-12].

Ensuite, l‟intervenante a demandé à Marianne de compter en considérant, à la fois, une

borne inférieure fixée à 5 et une borne supérieure fixée à 20. Cette demande a pour but de

vérifier si la chaîne numérique de Marianne est sécable ou non.

Extrait 78

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

[…] Maintenant, est-ce que tu peux commencer avec 5 et on arrête à 20?

Oui.

D‟accord, on commence avec 5. 5 … (Laisse l’enfant compléter.)

20!

Oups, 5, 20. (Rit.)

(Rit et compte de 5 à 20 sans erreur.) […]

Marianne parvient à considérer les deux bornes à la fois, sans difficulté [ligne 6]. Cela

permet de constater que sa chaîne numérique est sécable sur une plus grande étendue que

lors des évaluations précédentes.

Finalement, il lui a été demandé de compter à rebours à partir de 9 et de 12. Ceci permet de

vérifier si la chaîne numérique de l‟enfant est dénombrable.

164

Extrait 79

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M:

7I:

8M:

9I:

10M:

11I:

12M:

13I:

14M:

15I:

16M:

17I:

18M:

19I:

20M:

21I:

22M:

23I:

24M:

25I:

26M:

27I:

28M:

29I:

30M:

31I:

32M:

[…] Maintenant, on va commencer à 9.

Après ça, on arrête?

Jusqu‟à 1 et après ça, c‟est terminé. 9, qu‟est-ce qui vient avant?

1.

Tout de suite? (Rit.)

Non. (Rit.) 10.

10, ça c‟est après. Bravo! Qu‟est-ce qui vient avant 9? 9, … (Laisse l’enfant compléter.)

8. (Ne répond plus).

On descend jusqu‟à 1 et c‟est terminé. 9, 8.

7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

T‟ es bonne, bravo! Est-ce que tu serais capable de commencer à 12, tu penses? Est-ce que tu penses

que tu serais capable?

B‟en oui! (Rit.)

Tu penses? Ah b‟en, ça c‟est vraiment une tâche de 6e année.

Non, de 7e année!

De 7e année même! J‟ pense que tu as raison! Tu penses que tu serais capable? […] Tu penses que tu

serais capable de commencer à 12? Vas-y!

(Rit.)

On commence avec 12 et on descend jusqu‟à 1. […] 12, qu‟est-ce qui vient avant?

11.

(Acquiesce.)

10, 9, 8, 7. Après?

Avant.

6, 5, 4, 3. (Regarde ailleurs.) 3.

3. Et on descend jusqu‟à 1. Qu‟est-ce qui vient avant 3?

2!

2, et … (Laisse l’enfant compléter.)

Stop!

On arrête à 2?

Non, à 1.

À 1. Qu‟est-ce qu‟i‟ manque?

(Ne répond pas.)

Tu m‟as dit : 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, qu‟est-ce qu‟i‟ manque?

1! […]

Avec un soutien de la part de l‟intervenante, Marianne parvient à compter à rebours à partir

de 9 [lignes 7 à 10] et à partir de 12 [lignes 17-18; 20; 22; 24; 31-32]. Cela indique que le

petit nombre est plus solide chez Marianne que lors des évaluations précédentes. Le fait

qu‟elle soit capable de compter à rebours à partir de 12 indique que le nombre 12 fait

maintenant partie de sa chaîne numérique sécable.

165

Lors de cet item, on cherche à vérifier la construction de la chaîne numérique de

l‟enfant. Marianne arrive à compter seule jusqu‟à 69. Elle parvient également à

compter à partir d‟une borne inférieure fixée à 11, de compter jusqu‟à une borne

supérieure fixée à 20, de considérer, à la fois, une borne inférieure fixée à 5 et une

borne supérieure fixée à 20. De plus, contrairement à l‟évaluation précédente, elle

est en mesure de compter à rebours à partir de 12, ce qui peut laisser croire que le

nombre 12 se trouve à l‟intérieur de sa chaîne numérique sécable. Cette avancée

dans la chaîne n‟est cependant pas garante de l‟aspect cardinal du nombre puisque

au même moment, Marianne ne fait pas toujours preuve de conservation et elle

énonce qu‟une collection dont l‟apparence est modifiée change de quantité (extrait

74).

5.4.2.6 Item 6 : Cardinalité

La compréhension de la cardinalité chez l‟enfant a été vérifiée, entre autres choses, à l‟aide

de deux tâches distinctes. Lors de la première tâche, l‟intervenante dresse une collection de

onze bâtonnets devant l‟enfant. Cette dernière doit identifier le nombre de bâtonnets

présents sur la table.

Figure 40 : Présentation d‟une rangée de bâtonnets à l‟enfant

Extrait 80

1I :

2M :

3I :

4M :

5I:

6M :

7I:

8M:

[…] Ma belle Marianne, combien il y en a sur la table?

Je sais pas.

Comment on peut faire pour savoir combien il y en a?

(Entreprend le comptage et s’arrête.) 1, 2, 3.

Il y en a juste 3?

Non.

Ah. I‟ en a combien? […] T‟ as combien de bâtonnets sur la table?

(Compte les bâtonnets avec son doigt.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. […]

Comme c‟était le cas en février 2013, lorsque la rangée de bâtonnets lui est présentée,

Marianne est en mesure de bien utiliser le comptage et la correspondance terme à terme

166

entre le mot nombre énoncé et l‟élément dénombré pour connaître le nombre de bâtonnets

[ligne 8].

Devant les yeux de l‟enfant, l‟intervenante prend tous les bâtonnets dans ses mains et les

dépose de façon pêle-mêle sur la table.

Figure 41 : Première modification d‟une rangée de bâtonnets

Extrait 81

1I :

2M :

[…] (Prend tous les bâtonnets, en fait un tas et les éparpille sur la table.) Si je fais ça, il y en a

combien?

(Compte les bâtonnets avec son doigt.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. […]

À la suite du premier déplacement effectué par l‟intervenante, Marianne recompte les

bâtonnets pour répondre à la question [ligne 2]. À ce moment, elle ne semble pas faire

preuve de conservation : même si aucun élément n‟a été ajouté ou retiré, elle ressent le

besoin de compter les bâtonnets de nouveau.

Devant les yeux de l‟enfant, l‟intervenante prend tous les bâtonnets dans ses mains et les

dépose en une rangée sur la table, comme ils étaient positionnés au début. Elle demande

d‟abord à l‟enfant combien il y en a et ensuite, combien il y en a si on commence par la fin

(donc en comptant de droite à gauche, plutôt que de gauche à droite).

Figure 40 : Présentation d‟une rangée de bâtonnets à l‟enfant

Extrait 82

1I :

(Prend les bâtonnets qui étaient éparpillés sur la table et reforme une rangée horizontale.)

Maintenant, il y en a combien?

167

2M :

3I :

4M :

5I:

6M :

7I :

8M :

9I :

10M:

11I :

12M:

13I :

14M:

15I :

16M:

17I :

18M:

19I :

20M:

21I:

22M:

23I:

24M:

(Compte les bâtonnets en comptant deux fois le même.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

On en a 12 maintenant?

Oui.

Est-ce que tu penses que tu penses que tu es dans les patates?

Oui.

Ah! On va les recompter, moi, j‟ pense que t‟es dans les patates. Recommence.

(Rit.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Et si je fais … (Pointe de droite à gauche.) Si on compte comme ça, il va en avoir combien?

(Ne répond pas.)

Quand tu as compté comme ça (Pointe de gauche à droite.), il y en avait 11.

(Dit quelque chose d’inaudible.)

Ouais, quand on compte comme ça [de gauche à droite], i‟ en a 11. Si on compte comme ça [de droite

à gauche], i‟ va en avoir combien?

1.

I‟ en a juste 1?

Non.

I‟ va en avoir combien?

(Ne répond pas.)

(Pointe le premier en commençant par la droite.) Si on commence par celui-là, tu penses qu‟il va en

avoir combien?

11.

Tu penses qu‟i‟ va en avoir 11? Est-ce qu‟on vérifie? (Toujours le doigt pointé vers le bâton.)

Commence ici.

1…

(Retire son doigt.) Vas-y.

(Prend les bâtonnets pendant qu’elle les compte et déplace ceux qu’elle a comptés pour qu’ils

reforment une ligne de gauche à droite.) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. […]

Lors du premier recomptage, Marianne fait une méprise [ligne 2]. Pour tenter de rectifier le

tout, l‟intervenante lui suggère qu‟elle « est dans les patates », une formulation utilisée lors

de l‟année d‟intervention pour dédramatiser l‟erreur et pour ne pas décourager l‟enfant

[lignes 5 à 7]. Une fois les bâtonnets bien comptabilisés, Marianne pose l‟hypothèse qu‟il y

aurait onze bâtonnets en comptant de droite à gauche [lignes 19-20]. Pour se vérifier, elle

entreprend de déplacer les éléments comptés pour les replacer en commençant de la gauche

à la droite. Il s‟agit d‟une belle procédure utilisée spontanément par Marianne. De plus, la

compréhension du principe de non-pertinence de l‟ordre lors d‟un comptage est une

avancée pour Marianne. En effet, maintenant, elle est en mesure d‟énoncer qu‟une

collection comportera le même nombre de jetons si l‟on commence à compter à partir d‟un

autre endroit, comme ici de la droite à la gauche [lignes 19-20].

Lors de la deuxième tâche, cinq images de dame sont déposées sur la table devant

Marianne. Cette dernière est invitée à aller au magasin pour chercher une robe, des

chaussures et trois bracelets pour chacune des dames. Pour ce faire, elle doit choisir ce

168

qu‟elle veut parmi 15 paires de chaussures, 15 robes et 25 bracelets présents au magasin.

Lors de cette épreuve, l‟intervenante veut vérifier quelle stratégie Marianne utilise pour

déterminer les morceaux dont les dames ont besoin pour aller au bal. Cette épreuve, créant

une contrainte, engendre la nécessité d‟avoir recours au dénombrement pour résoudre la

situation en empêchant la correspondance terme à terme dans l‟action immédiate.

Figure 42 : Cinq dames à habiller

Extrait 83

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M:

13I :

14M:

15I :

16M:

17I :

18M:

19I :

20M:

21I:

22M:

23I:

24M:

25I:

[…] Tu dois venir voir la vendeuse de robes. Quand tu vas venir me voir, tu dois savoir combien de

robes tu as besoin pour que tes filles puissent aller au bal. Quand tu sais combien de robes tu as

besoin, tu peux venir au magasin acheter tes robes.

(Ne regarde pas les silhouettes sur la table.) Je veux venir.

Tu veux venir? Tu sais combien de robes tu as besoin pour que tes madames puissent aller au bal?

Oui.

D‟accord, tu peux venir me voir.

(Se lève et se dirige au magasin, sans avoir compté les dames.) […]

Bonjour Madame Marianne! Bienvenue au magasin de robes! Combien de robes avez-vous besoin

aujourd‟hui? Combien?

2.

Vous avez besoin de 2 robes?

Oui.

Est-ce que toutes vos princesses vont avoir des robes, si je vous en donne seulement 2?

Oui.

Oui? D‟accord. (Lui donne les 2 robes.) Voilà! Bonne journée et à bientôt! […] Avec les robes que tu

as achetées, est-ce que tu as assez de robes pour toutes tes princesses?

Oui. (Retourne à la table et place les robes sur la dame 2 et la dame 3.)

Maintenant que tu as installé tes robes, est-ce que toutes les princesses ont des robes?

Non.

Combien de robes il te manque?

(Regarde la première dame.) 1.

Il t‟en manque seulement une?

Non.

Et toutes tes princesses vont avoir des robes?

Non.

Tu dois savoir combien tu en as besoin pour revenir au magasin.

(Ne regarde pas les dames et rigole.)

Quand tu vas avoir trouvé le bon nombre de robes, tu peux revenir au magasin. Quand tu reviens au

magasin, tu dois savoir exactement combien de robes tu as besoin parce que le magasin ferme très,

très bientôt. Combien de robes as-tu besoin pour que toutes tes princesses puissent aller au bal?

169

26M:

27I:

28M:

29I:

30M:

31I:

32M:

33I:

34M:

35I:

36M:

(Ne répond pas.)

Ensuite, tu pourras venir me voir pour les acheter.

Je vais venir les acheter. (Se dirige au magasin sans avoir compté oralement le nombre de robe

manquante.)

Est-ce que tu sais exactement combien de robes tu as besoin?

Oui.

Oui? Tu peux venir les acheter. [Au magasin.] Bienvenue Madame Marianne! Bienvenue au magasin

de robes! […] Combien de robes avez-vous besoin pour aujourd‟hui?

2.

Avec 2 robes, est-ce que toutes vos princesses vont avoir des robes?

Oui.

Êtes-vous bien certaine? Parce qu‟ensuite, le magasin de robes va être fermé. Est-ce que toutes les

princesses vont être habillées?

Oui. […]

Comme lors de l‟évaluation de février 2013, au lieu de compter les morceaux dont elle a

besoin, Marianne se dirige tout de suite au magasin et prend quelques articles [lignes 6 à

12; 28 à 36]. De retour à la table, même s‟il lui manque des morceaux, elle ne compte pas

les dames, ni les morceaux supplémentaires qu‟elle doit aller chercher [lignes 14 à 18]. Elle

ne recourt pas au comptage pour connaître les nombres de dames pour déterminer le

nombre de robes nécessaires. Plus tard, un questionnement semblable est réalisé autour de

la recherche du bon nombre de souliers.

Extrait 84

1I :

2M :

3I :

4M :

5I :

6M :

7I :

8M :

9I :

10M :

11I :

12M:

13I :

14M:

15I :

16M:

17I :

18M:

19I :

20M:

[…] D‟accord! Maintenant, pour aller danser, nous avons besoin d‟une belle robe et des … (Laisse

l’enfant compléter.)

Chaussures.

Des chaussures. Combien de chaussures as-tu besoin pour que toutes les princesses puissent aller au

bal? […] On en a besoin de combien?

(Ne répond pas.)

Est-ce qu‟on peut le savoir?

Oui.

Comment on peut le savoir? Si on regarde bien nos madames sur la table, comment on peut faire pour

savoir combien de chaussures nous avons besoin pour qu‟elles puissent aller au bal?

(Regarde ailleurs.)

Si tu regardes sur la table, combien de chaussures nous avons besoin pour aller au bal?

3.

Avec trois chaussures, est-ce que toutes les princesses vont pouvoir aller au bal?

Non.

Non. Ça prend combien de chaussures?

2.

Si j‟ t‟en donne seulement 2, est-ce que toutes les princesses vont pouvoir aller au bal?

Non.

Combien tu dois venir en acheter au magasin?

2.

Si je t‟en donne 2, est-ce que toutes les princesses vont pouvoir aller au bal?

Oui. […]

170

Même avec un soutien important de la part de l‟intervenante, Marianne ne recourt pas au

comptage pour déterminer le nombre de morceaux nécessaires à la réalisation de la tâche.

Elle ne semble pas comprendre que le comptage peut être utilisé pour connaître le cardinal

d‟une collection, et donc qu‟elle saurait tout de suite combien de robes et d‟accessoires elle

a besoin. Lorsque l‟intervenante lui demande si le nombre de chaussures qu‟elle demande

sera suffisant pour toutes les dames, elle répond par la négative [lignes 11-12; 14-16]. Elle

semble savoir qu‟elle n‟en aura pas assez, sans toutefois être en mesure de concevoir le

comptage des dames comme un outil visant à connaître le cardinal d‟une collection fournie,

et donc, permettant la correspondance terme à terme non proximale entre les dames et les

articles du magasin. Cette tâche semble donc se trouver dans sa zone de développement

proximale pour la suite des apprentissages.

Cet item a été réalisé en deux parties distinctes. Lors de la première tâche,

l‟intervenante dresse une rangée de onze bâtonnets de bois devant l‟enfant.

Marianne devait la dénombrer, ce qu‟elle réussit. L‟intervenante modifie

l‟apparence de la collection, et ce, à deux reprises : en déposant les bâtonnets pêle-

mêle et en les replaçant en ligne droite. À la suite de chaque modification, l‟enfant

ne parvient pas à identifier le cardinal de la collection sans devoir recompter les

éléments à chaque fois. Lorsque l‟intervenante lui demande de commencer son

comptage à un nouvel endroit, elle parvient à poser l‟hypothèse qu‟il y aurait onze

bâtonnets. Les raisonnements de Marianne laissent croire qu‟elle comprend

maintenant la non-pertinence de l‟ordre, ce qui représente une avancée.

Lors de la deuxième tâche, l‟intervenante présente un ensemble de cinq dames à

l‟enfant. Cette dernière doit aller au magasin chercher des vêtements pour que les

dames puissent aller au bal. Pour ce faire, Marianne doit dénombrer les éléments à

aller chercher avant de se rendre au magasin, ce qu‟elle n‟a pas été en mesure de

faire. Même avec un soutien de la part de l‟adulte, Marianne ne recourt pas au

comptage pour identifier le nombre de dames à habiller, et donc le nombre de

robes à aller chercher. Elle procède par tâtonnements, allant chercher un ou deux

morceaux à la fois. Elle se situe au même niveau que lors de l‟évaluation

précédente.

171

5.4.3. Synthèse de la compréhension de l’enfant en juillet 2013

La compréhension de l‟aspect ordinal du nombre s‟est complexifiée. Marianne parvient à

sérier cinq éléments de différentes tailles en effectuant une opération d‟ensemble sur la

série. En ce qui concerne les positions, Marianne est capable d‟identifier le premier, le

troisième, le quatrième, le cinquième et le sixième participant d‟une course correctement.

Par contre, une confusion subsiste entre la deuxième position et la dernière. Marianne

commence à opérer sur la série, ce qui constitue un bel avancement.

La comptine numérique est toujours bien élaborée. Le nombre jusqu‟à 9 semble

relativement bien construit. En effet, Marianne parvient à identifier qu‟une collection de

huit éléments est plus nombreuse qu‟une collection de sept éléments à plusieurs reprises.

Ceci demeure toutefois très fragile, car elle n‟arrive pas à établir l‟égalité entre deux

collections de six éléments. De plus, Marianne utilise parfois la correspondance terme à

terme comme une opération permettant de construire une collection équivalente à une posée

par l‟adulte. Elle est maintenant en mesure de compter à rebours seule à partir de 12, ce qui

constitue une belle avancée.

La chaîne numérique de Marianne est toujours sécable, comme c‟était déjà le cas en mai

2012, mais elle est plus étendue. Même si la chaîne est maintenant sécable sur une plus

grande étendue, l‟aspect cardinal du nombre est construit seulement jusqu‟à 4. De plus, le

comptage n‟est toujours pas utilisé comme une opération permettant de comparer des

collections. Lors de la tâche de cardinalité avec les bâtonnets, Marianne témoigne qu‟elle

comprend mieux le principe de non-pertinence de l‟ordre.

Dans les tâches de conservation, on peut voir une émergence de la conservation en ce qui

concerne les quantités continues. Comme c‟était le cas en février 2013, lors de la

transformation de la boule en rouleau, Marianne énonce que les deux parts de pâte sont

pareilles de façon assez décidée. Ceci montre une révolution cognitive considérable.

Toutefois, lors de l‟item avec les quantités discontinues, Marianne répond principalement

en se basant sur l‟aspect figural. Donc, elle se situerait donc toujours au premier stade de

développement de la conservation selon Piaget.

172

À ce moment d‟évaluation passée en juillet 2013, la conservation et le comptage ne sont

pas encore construits comme des opérations. Par contre, Marianne commence à utiliser la

correspondance terme à terme comme opération lui permettant de construire et de comparer

des collections, ce qui représente une avancée.

173

6. Discussion

Sur la base des méthodes d‟enseignement béhavioristes déployées auprès des enfants

autistes et des problèmes que cela peut poser dans la construction de concepts comme le

nombre, ce projet de recherche visait à vérifier s‟il était possible de favoriser la

construction du nombre chez l‟enfant autiste en intervenant pédagogiquement d‟une autre

manière, d‟une manière plus développementale et plus proche de ce qui se fait avec l‟enfant

tout-venant. Dans cette optique, le but de cette étude était de décrire les progrès réalisés par

un enfant autiste dans l‟apprentissage du concept de nombre en travaillant les notions

mathématiques par une pédagogie développementale basée sur le jeu. Deux objectifs

spécifiques ont ainsi été circonscrits : 1) décrire la progression de la compréhension de

l‟aspect ordinal, et 2) décrire la progression de la compréhension de l‟aspect cardinal du

nombre. Dans un premier temps, une synthèse des analyses vise à mettre en relief la

progression de Marianne à ces égards. Par la suite, à la lumière de cette synthèse, les

implications pédagogiques, les limites de l‟étude et les avenues prospectives de recherche

seront envisagées.

6.1. Synthèse des résultats

Dans le but de décrire les progrès réalisés par Marianne dans l‟apprentissage du concept de

nombre, plusieurs éléments doivent être explicités en lien avec les réponses de Marianne

aux évaluations. La figure 1, qui était présentée au début du chapitre 2, sera utilisée pour

mettre la progression de Marianne en relief, en ce qui concerne le concept de nombre.

Le lecteur se souviendra qu‟il avait été étayé que le nombre mature est réellement construit

lorsque l‟aspect ordinal et l‟aspect cardinal convergent et s‟imbriquent l‟un dans l‟autre à la

suite de multiples abstractions réfléchissantes. Pour que cela puisse être fait, les opérations

de conservation, de correspondance terme à terme et de comptage doivent être, elles aussi,

bien construites. Dans le cas de Marianne, les opérations de conservation et de

174

correspondance terme à terme sont en construction. Le tableau 735

permet de mettre en

relief la progression de Marianne à travers les deux années d‟intervention.

35 Dans ce tableau, certains éléments constitutifs du nombre s‟entrecroisent, notamment la correspondance

terme à terme, la conservation et la cardinalité. Le tableau 7 met en relief ces trois éléments constitutifs du

raisonnement sur le nombre en les gardant associés aux items dans lesquels ils ont émergé afin que le

raisonnement de l‟enfant demeure situé en contexte.

175

Tableau 7 : Synthèse de la progression de l‟enfant

Octobre 2011 Mai 2012 Février 2013 Juillet 2013

Sériation

5 pailles (ou cartons) à sérier

- Tente une mise en relation des

grandeurs dans la série en

faisant une « échelle » du bas

des pailles.

- Ne considère pas un point

d‟origine commun.

- Se centre sur une des

extrémités des pailles pour

procéder à sa sériation.

- Parvient à identifier la

première position et l‟élément

qui se situe après un autre.

- Éprouve de la difficulté à

identifier correctement les

positions des objets.

- Demeure confuse face à

plusieurs termes

nécessairement convoqués

pour parler d‟une série,

comme « avant », « milieu » et

« dernier ».

- Comprend que toutes les pailles

doivent partager un point

d‟origine commun, même si elle

ne parvient pas à mettre en

relation les grandeurs des pailles

entre elles.

- Ne procède pas par une

opération d‟ensemble lui

permettant d‟envisager de

manière coordonnée les deux

extrémités des pailles de

manière simultanée.

- Semble privilégier un

tâtonnement qui lui permet de

considérer la sériation de 3

éléments.

- Comprend que tous les

cartons doivent partager un

point d‟origine commun.

- Construction de couples

dichotomiques plus

petit/plus grand et

juxtaposition de ces couples.

- Ne procède pas par une

opération d‟ensemble lui

permettant d‟envisager de

manière coordonnée les

deux extrémités des cartons

de manière simultanée.

- Parvient, avec un léger

soutien de l‟adulte, à sérier 4

éléments.

- Réalise sa sériation de manière

organisée.

- Construction de couples

dichotomiques plus petit/plus

grand et vient placer les

nouveaux éléments à la gauche

de ceux déjà sériés, début de

coordination des couples.

- Considère, d‟une façon

coordonnée, les deux extrémités

de tous les éléments à sérier de

façon simultanée.

ou

- Parvient à identifier la 1re

position et l‟élément qui se

situe après un autre.

- Éprouve de la difficulté à

identifier correctement les

autres positions des objets

d‟une série.

- Demeure confuse face à

plusieurs termes

nécessairement convoqués

pour parler d‟une série,

comme « avant », « milieu » et

« dernier ».

- Identifie, avec beaucoup

d‟insistance et de soutien de la

part de l‟adulte, le dernier

élément de la série ainsi que les

éléments qui se trouvent avant et

après un autre.

- Éprouve beaucoup de difficulté

à identifier les autres positions

des objets au sein d‟une série.

- Ne semble pas comprendre

certains termes nécessairement

convoqués pour une série,

comme « premier » et

« milieu ».

- Est en mesure d‟identifier les

participants se trouvant

« devant » et « derrière » un

autre.

- Parvient à identifier

plusieurs positions, comme

la 1re

, la 2e et la 3

e avec

soutien de l‟adulte.

- Confusion 2e et dernière

position.

- Commence à opérer sur la

série, bien que cette

opération ne mène pas

nécessairement à la bonne

réponse.

- Identifie correctement ce qui se

trouve « derrière » ou «devant»

un autre participant.

- Identifie, avec le soutien de

l‟adulte, le participant avant un

autre et même d‟en identifier la

position par opération.

- Arrive à nommer la 1re

, la 3e, la

4e, la 5

e et 6

e position.

- Confusion 2e et dernière

position, associée, de manière

proximale, à la 1re

position,

bien qu‟avec le soutien de

l‟adulte, elle parvient à nommer

la 2e position.

176

Correspondance terme à terme

ou

ou

- Est en mesure d‟utiliser la

correspondance terme à terme

entre le mot nombre dit et

l‟objet pointé pour procéder au

comptage de chacune des

collections.

- Ne procède pas spontanément

à la correspondance terme à

terme pour comparer.

- N‟envisage pas le comptage

comme moyen de comparer

les collections.

- Le comptage ne mène pas à

une conception de l‟aspect

cardinal du nombre.

- Base ses réponses sur l‟aspect

figural principalement. Ainsi,

9 < 7.

- Est en mesure d‟utiliser la

correspondance terme à terme

entre le mot nombre dit et

l‟objet pointé pour procéder au

comptage de chacune des

collections.

- Ne procède pas spontanément à

la correspondance terme à terme

pour comparer.

- N‟envisage pas le comptage

comme moyen de comparer les

collections.

- Le comptage ne mène pas à une

conception de l‟aspect cardinal

du nombre.

- Base ses réponses sur l‟aspect

figural principalement. Ainsi,

9 < 7 ou 9 = 7 selon la

disposition des objets.

- Est en mesure d‟utiliser la

correspondance terme à

terme entre le mot nombre

dit et l‟objet pointé pour

procéder au comptage de

chacune des collections.

- Tente spontanément une

explication basée sur la

correspondance terme à

terme.

- Émergence de l‟aspect

cardinal pour le nombre plus

petit que 5.

- Le comptage ne mène pas à

une conception de l‟aspect

cardinal du nombre quand il

est plus grand que 5.

- Parvient à juxtaposer des

correspondances exactes

entre les deux collections,

sans toutefois les coordonner

en un tout dans le but de les

comparer (1 pomme pour 1

framboise, 1 pomme pour

deux framboises, mais

maintient l‟égalité des

collections).

- Est en mesure d‟utiliser la

correspondance terme à terme

entre le mot nombre dit et l‟objet

pointé pour procéder au comptage

de chacune des collections.

- Ne procède pas spontanément à la

correspondance terme à terme

pour comparer.

- Est en mesure d'affirmer à

quelques reprises que 7 8, cela

demeure très fragile dans le sens

où il demeure facile de retomber

dans l‟effet de récence.

- Arrive à énoncer l'égalité, par le

comptage, pour une collection au

cardinal inférieur à 5. Mais 6 ≠ 6.

Utilise le comptage pour

comparer.

- Est en mesure d'identifier la

collection la plus nombreuse

même si l'aspect figural peut

indiquer le contraire pour des

collections de 3 et 4.

- Les nombres 3 et 4 ont vraiment

un sens cardinal.

Conservation

ou

ou

- N‟utilise pas la

correspondance terme à terme

pour constituer une rangée

équivalente. Si la rangée de

princesses débute à la même

place que les chevaliers, elle

dépasse amplement à la fin

(elle place toutes les

princesses à sa disposition,

10).

- Ne maintient pas l‟égalité des

collections dès qu‟une des

deux collections est distancée.

- Absence de conservation.

- Base ses réponses sur l‟aspect

figural ou sur l‟effet de

récence.

- N‟utilise pas la correspondance

terme à terme pour établir une

rangée équivalente de

princesses. Elle construit sa

rangée équivalente en respectant

relativement les limites

perceptives de la rangée des

chevaliers (7 = 6).

- Ne maintient pas l‟égalité des

collections dès qu‟une des deux

collections est distancée.

- Absence de conservation.

- Base ses réponses sur l‟effet de

récence.

- Tentative de début d‟explication

basée, mais sur l‟aspect figural.

- La cardinalité n‟est pas

inhérente au comptage.

- N‟utilise pas la

correspondance terme à

terme pour établir une

rangée équivalente de

framboises. Elle construit sa

rangée équivalente en

respectant les limites

perceptives de la rangée de

pommes (5 = 9).

- Fragile émergence de la

conservation des quantités

continues boule – boudin.

-Absence de conservation des

quantités discontinues.

- Base principalement ses

réponses sur l‟aspect figural

ou sur l‟effet de récence.

- Est en mesure de construire une

collection équivalente en utilisant

la correspondance terme à terme.

- Réel début de conservation des

quantités continues clairement

établie lors de la transformation

boule- boudin.

- Base ses réponses sur l‟aspect

figural dans les autres cas.

- Le cardinal ne peut pas encore être

utilisé comme outil de

comparaison pour les nombres

supérieurs à 4.

177

Comptage

Compter le plus loin

Bornes inférieure et supérieure

Compter à rebours

- Arrive à compter seule jusqu‟à

49.

- N‟est en mesure, seule, de

considérer une borne

inférieure fixée à 3.

- Est en mesure de considérer

une borne supérieure fixée à 9.

- Compte à rebours à partir de 5.

- Sa chaîne numérique est non

sécable et non opérable.

- Arrive à compter seule jusqu‟à

49.

- Est en mesure de considérer des

bornes inférieures et supérieures

fixées à 9, de façon non

simultanée.

- Compte à rebours à partir de 7,

avec beaucoup de soutien.

- Sa chaîne numérique est sécable

pour les nombres inférieurs à

10.

- Arrive à compter seule

jusqu‟à 55.

- Est en mesure de considérer

une borne supérieure fixée à

12.

- Ne parvient pas à compter à

rebours à partir de 9.

- Arrive à compter seule jusqu‟à 69.

- Est en mesure de considérer une

borne inférieure fixée à 11 et une

borne supérieure fixée à 20, de

façon non simultanée.

- Est en mesure de considérer, à la

fois, une borne inférieure fixée à 5

et une borne supérieure fixée à 20.

- Compte à rebours à partir de 12.

Cardinalité

ou

ou

- Parvient à dénombrer sans

erreur des collections au

cardinal inférieur à 10.

- Recompte toujours la

collection à partir de 1 pour

répondre à la question

combien il y en a dès que la

collection est plus grande que

3.

- Ne parvient pas à opérer sur le

nombre.

- Ne comprend pas le principe

cardinal du comptage.

- Parvient à dénombrer sans erreur

des collections au cardinal

inférieur à 10.

- Ne recompte pas la collection

pour nommer le cardinal plus

petit ou égal à 5 si aucune

transformation spatiale n‟a été

faite sur la collection.

- Ne maintient pas la quantité de

la collection à 5 éléments si les

objets de la collection sont

déplacés.

- Parvient à opérer +/- 1 sur un

nombre comme 5.

- Sa chaîne numérique est non

réversible, en ce sens que si X

est ajouté puis retiré le nombre

d‟origine n‟est pas maintenu.

- Ne comprend pas le principe

cardinal du comptage.

- Le nombre n‟est pas

maintenu si on commence à

compter d‟un autre endroit

(avec 11).

- Recompte à chaque fois une

collection si la disposition

est modifiée et cela ne lui

pose pas de problème si elle

ne recompte pas le même

nombre de bâtonnets si une

méprise arrive dans son

comptage.

- Ne comprend pas le principe

cardinal du comptage ni la

non-pertinence de l‟ordre.

- Recompte à chaque fois une

collection si la disposition est

modifiée, mais, avec l‟aide de

l‟adulte, cela lui pose problème si

elle ne recompte pas le même

nombre de bâtonnets si une

méprise arrive dans son comptage

(une avancée importante pour la

construction de l‟aspect cardinal).

- Comprend le principe de non-

pertinence de l‟ordre lors d‟un

comptage.

- N‟utilise toutefois pas

spontanément le comptage

comme moyen pour déterminer la

cardinalité (elle ne compte pas les

dames pour savoir combien de

robes elle doit aller chercher).

178

6.1.1. Sériation

Au fil des moments d‟évaluation, les habiletés et les procédures de sériation de Marianne

ont nettement évolué. En octobre 2011, on voit qu‟elle commence d‟abord à établir sa

sériation en se centrant sur le bas des pailles et en y établissant un escalier, sans toutefois se

préoccuper de faire partir les pailles d‟une ligne d‟origine commune. Par la suite, en mai

2012, on voit que Marianne construit la nécessité de faire partir les éléments à sérier d‟une

même ligne d‟origine (avec quelques écarts). Ce faisant, Marianne parvient à mettre en

série trois éléments selon leur grandeur. Sur ces bases, bien qu‟elle ne procède pas par une

opération d‟ensemble permettant d‟envisager de manière systématique et coordonnée les

deux extrémités des cartons simultanément, Marianne semble ensuite construire une

organisation pour la mise en ordre de grandeur. Puis, en février 2013, elle semble construire

des couples dichotomiques plus petit/ plus grand qu‟elle juxtapose. Avec un léger

questionnement de l‟adulte, elle ajuste ce premier jet de sériation qui l‟amènera à sérier

adéquatement quatre éléments. À la fin de l‟expérimentation, en juillet 2013, Marianne crée

toujours ses couples dichotomiques, mais elle ne fait plus simplement les juxtaposer, elle

coordonne la sériation de ces couples en plaçant toujours à gauche du plus grand, puis du

plus petit de la série le nouveau couple plus grand/ plus petit à insérer.

Ces dernières procédures de Marianne montrent une organisation qui marque la progression

de l‟aspect ordinal du nombre. Elles sont la manifestation d‟abstractions empiriques qui, si

l‟on se fie à Kamii (1980), Kamii et DeVries (1981) et Piaget (1977), deviendront le

terreau pour les abstractions réfléchissantes qui la conduiront au nombre mature. Il est

intéressant de souligner que cette organisation des séries basée sur la coordination des

couples dichotomiques, qui présente une amorce de l‟opération, émerge au même moment

que Marianne parvient à identifier plusieurs positions dans la série et même à réaliser des

opérations sur elle, bien que cela ne la mène pas nécessairement vers une réponse adéquate.

Avant ce moment charnière de l‟organisation de la série par construction de couples

dichotomiques, Marianne ne semblait pas comprendre plusieurs termes nécessairement

convoqués pour une série, comme ceux des différentes positions.

179

6.1.2. Correspondance terme à terme

Entre octobre 2011 et juillet 2013, l‟utilisation de la correspondance terme à terme de

Marianne a changé. On voit que, lors des deux premières évaluations en octobre 2011 et en

mai 2012, la correspondance terme à terme était utilisée uniquement entre le mot nombre

énoncé et l‟élément dénombré. De plus, elle n‟y recourait pas spontanément; il fallait une

certaine insistance de la part de l‟adulte pour qu‟elle compte les collections en utilisant la

correspondance terme à terme. Toutefois, comme le principe cardinal inhérent au comptage

n‟était pas construit chez elle, elle n‟était pas en mesure d‟utiliser le résultat de son

comptage pour procéder à une comparaison entre deux collections. À ces deux moments,

Marianne répond principalement aux questions de l‟intervenante en se basant sur l‟aspect

figural des collections, sans être en mesure de fournir des explications ou sans même

procéder à une manipulation quelconque, entre autres choses, à la correspondance terme à

terme. De ce fait, elle peut affirmer que 9 est plus petit que 7, et parfois même qu‟ils sont

égaux, dépendamment de la présentation de la collection. Par la suite, en février 2013, on

voit que Marianne, même si elle recourt encore à l‟aspect figural pour déterminer l‟étendue

d‟une collection, tente d‟expliquer ses réponses en utilisant la correspondance terme à

terme. Elle semble comprendre le principe cardinal résultant d‟un comptage lorsque les

collections comptent moins de cinq éléments; au-delà de ce nombre, le comptage ne mène

plus à un aspect cardinal. Elle parvient également à juxtaposer des correspondances terme à

terme exactes entre deux collections, sans toutefois, les coordonner dans le but de comparer

l‟ensemble de la collection. À titre d‟exemple, la comparaison entre 3 pommes et 4

framboises amène Marianne à établir deux couples 1 pomme/1framboise, puis à identifier

un couple 1 pomme/2 framboises, ce qui la pousse à affirmer que ce dernier couple n‟« est

pas pareil », sans pour autant lui permettre de coordonner ses manipulations pour établir la

collection qui contient le plus d‟éléments . À la fin de l‟expérimentation, en juillet 2013,

même si elle recourt toujours à la correspondance terme à terme principalement lors du

dénombrement et qu‟elle ne l‟utilise pas d‟emblée pour comparer, elle parvient à énoncer

l‟égalité entre deux collections au cardinal inférieur à 5 et à identifier la collection la plus

nombreuse entre des collections de 3 et 4 éléments, malgré le fait que l‟aspect figural peut

indiquer le contraire. Cette habileté de Marianne apparaît précisément au même moment où

180

elle se sert spontanément de la correspondance terme à terme pour établir une collection

équivalente. Lorsque les collections à comparer comportent 7 et 8 éléments, elle est en

mesure d‟affirmer à plusieurs reprises que 7 est plus petit que 8, sans toutefois que cela ne

soit solide. En effet, lors de cette même tâche, elle répond à nouveau par l‟effet de récence.

Cela témoigne que les nombres 3 et 4 ont maintenant un réel sens cardinal pour elle,

contrairement aux nombres 7 et 8.

Ce faisant, les progrès de Marianne permettent de remettre en question les propos de Fuson

(1988, 1991), Gelman et Gallistel (1986) et de Van Nieuwenhoven (1996, 1999) comme

quoi le comptage doit précéder l‟opération, ceci menant souvent l‟intervenant à agir sur le

comptage délaissant l‟opération. Or, tel qu‟il a été présenté dans le chapitre précédent, le

fait que Marianne ait une chaîne numérique étendue ne signifie pas que son nombre soit

réellement construit et qu‟elle soit en mesure d‟opérer sur le nombre. Il apparaît en fait que

ce soit davantage la construction de la correspondance terme à terme sur les éléments de

collections à comparer qui mène la voie vers l‟opération servant à établir un comptage et

appuyant une chaîne dénombrable. En ce sens, à l‟instar de Piaget, qui affirmait que

l‟opération précède et constitue le nombre et le comptage, Marianne nous enseigne que ni

la comptine numérique ni même un dénombrement adéquat ne peuvent être considérés

garants d‟une solide construction du nombre.

6.1.3. Conservation

Aux termes des deux années d‟intervention, les raisonnements et la compréhension de

Marianne à propos de la conservation ont évolué. Au moment de la première évaluation en

octobre 2011, Marianne ne parvient pas à utiliser la correspondance terme à terme comme

une opération réversible permettant de construire une rangée équivalente. Si elle place le

premier élément d‟une rangée en concordance avec le premier élément d‟une seconde, elle

n‟utilise plus les limites perceptives par la suite, plaçant plutôt toutes les images qu‟elle a à

sa disposition. Elle ne parvient pas à maintenir l‟égalité aussitôt que l‟apparence de l‟une

des deux collections est modifiée. Elle ne semble pas avoir construit la conservation, basant

plutôt ses réponses sur l‟aspect figural et sur l‟effet de récence. Par la suite, en mai 2012,

elle ne recourt pas encore à la correspondance terme à terme pour construire une rangée

181

équivalente, mais elle utilise dès lors les limites perceptives de la rangée de référence pour

guider le nombre d‟éléments à poser. Elle ne maintient toujours pas l‟égalité lorsque

l‟apparence de l‟une des deux collections est modifiée et elle ne fait pas preuve de

conservation. Ses réponses se basent toujours sur l‟effet de récence et sur l‟aspect figural, à

partir duquel elle tente d‟expliquer son raisonnement. Ensuite, en février 2013, elle présente

une émergence de compréhension de la conservation des quantités continues lors de la

transformation de la boule en rouleau, mais celle-ci est très fragile. Avec les quantités

discontinues, elle ne fait pas preuve de conservation, ses réponses se basant principalement

sur l‟aspect figural ou sur l‟effet de récence. À la fin de l‟expérimentation, en juillet 2013,

elle utilise correctement la correspondance terme à terme pour construire une collection

équivalente, ce qui constitue une belle avancée. Elle présente également un réel début de

conservation des quantités continues, lors de la transformation de la boule en rouleau. Par

contre, dans les autres cas, ses réponses se basent toujours sur l‟aspect figural. À partir de

ce moment, le cardinal d‟une collection peut être utilisé comme outil de comparaison

seulement s‟il est inférieur à 4.

Les réponses et les tentatives d‟explication de Marianne au sein des quatre temps

d‟évaluation témoignent qu‟elle n‟est pas encore totalement en mesure de faire preuve

d‟abstraction réfléchissante en ce qui concerne le nombre et ses composantes. En ce sens, le

fait qu‟elle réponde principalement aux questions de l‟intervenante en se basant sur l‟aspect

figural le montre. Par contre, lors de la dernière évaluation, un réel début de conservation

des quantités continues est observé. La détermination de Marianne à affirmer que les deux

parts de pâte à modeler sont « pareilles », malgré la transformation faite par l‟adulte,

représente une révolution cognitive qui pourrait indiquer qu‟elle arrive maintenant à faire

preuve d‟une certaine abstraction réfléchissante. À l‟instar de Piaget et Szeminska (1964),

on peut constater que le début de compréhension de la conservation que présente Marianne

n‟est pas sans lien avec le fait qu‟elle parvienne maintenant à sérier des éléments en

organisant des couples dichotomiques, à opérer sur la série et à recourir à la correspondance

terme à terme comme un début d‟opération servant la comparaison. De plus, le fait que

Marianne éprouve plus de facilité avec les items concernant la conservation des quantités

continues plutôt que discontinues concorde avec l‟évolution développementale tracée par

ces auteurs à ce sujet (Piaget & Szeminska, 1964).

182

6.1.4. Comptage

Entre octobre 2011 et juillet 2013, la chaîne numérique de Marianne s‟est développée.

Même si, on voit que, dès la première évaluation en octobre 2011, Marianne connaît bien la

comptine numérique jusqu‟à 49, cette chaîne est non sécable. En ce sens que, à ce moment,

elle n‟est pas en mesure de compter à partir d‟une borne inférieure autre que 1. Elle

parvient cependant à compter à rebours à partir de 5. À ce même moment également, elle

n‟utilise pas la correspondance terme à terme ni pour établir une collection équivalente, ni

pour comparer deux collections. Par la suite, en mai 2012, sa comptine numérique s‟est

maintenue jusqu‟à 49 et elle est maintenant en mesure de considérer une borne inférieure et

une borne supérieure fixées à 9 de façon non simultanée. Cela indique que sa chaîne

numérique est sécable pour les nombres inférieurs à 10. Elle arrive à compter à rebours à

partir de 7 avec un soutien de l‟adulte. Par contre, lors d‟une tâche de correspondance terme

à terme réalisée au même moment, elle énonce que deux collections au cardinal de 7 et 9

sont égales et parfois que celle de 7 comporte plus de jetons que celle de 9. Cela prouve

que, même si sa chaîne est sécable, celle-ci n‟est pas dénombrable, donc pas opérable, pour

autant. Par la suite en février 2013, elle arrive à compter jusqu‟à 55 seule et elle est en

mesure de tenir compte d‟une borne supérieure fixée à 12. À ce moment, elle ne parvient

pas à compter à rebours à partir de 9. Entre ces deux moments d‟évaluation, sa chaîne

numérique ne se serait donc pas complexifiée. À la fin de l‟expérimentation, en juillet

2013, elle arrive à compter seule jusqu‟à 69, à tenir compte d‟une borne inférieure fixée à

11 et d‟une borne supérieure fixée à 20, de façon non simultanée et à tenir compte, à la fois,

d‟une borne inférieure fixée à 5 et d‟une borne supérieure fixée à 20. Elle arrive également

à compter à rebours seule à partir de 12. La nouvelle capacité de Marianne à considérer des

bornes fixées par l‟adulte et à compter à rebours montre que sa chaîne numérique est

maintenant sécable jusqu‟à 12.

En ce sens, Marianne nous montre que le fait d‟être très avancée dans la comptine

numérique et de posséder une chaîne numérique sécable ne mène pas forcément à la

compréhension de la cardinalité, comme le soulignait Fayol (1990) à l‟instar de Piaget.

Même si Marianne est en mesure de compter jusqu‟à 69 seule et de compter à rebours à

partir de 12 sans soutien, elle n‟est toujours pas en mesure de comparer des collections de 7

183

et 8 objets entre elles et d‟établir l‟égalité entre deux collections de 6 éléments. Donc, les

différentes productions et réponses de Marianne, lors de ces quatre moments d‟évaluation,

indiquent que, même si le compte à rebours permet une chaîne sécable, il n‟est pas garant

de l‟aspect cardinal du nombre. En fait, si Van Nieuwenhoven (1996) affirme que le

comptage doit en venir à prendre une signification cardinale, les productions de Marianne,

tout comme les travaux de Piaget (Piaget & Szeminska,1964) indiquent plutôt que la

construction de l‟aspect cardinal est en soi une opération qui semble reposer grandement

sur la correspondance terme à terme, non pas limitée au mot nombre servant le strict

comptage, mais ancrée sur les manipulations de celle-ci pour qu‟elle devienne une réelle

opération assurant la réversibilité. C‟est donc l‟intervention provoquant la correspondance

terme à terme chez l‟enfant qui assurerait la construction de l‟opération nécessaire à la

compréhension cardinale du nombre bien plus que le comptage et les cinq principes lui

étant inhérents définis par Gelman et Gallistel (1986) (ordre stable, correspondance terme à

terme entre mot nombre dit par objet, cardinalité inférée par la réponse de l‟enfant à la

question «combien de», abstraction limitée à la capacité de compter des objets hétérogènes

et non-pertinence de l‟ordre).

6.1.5. Cardinalité

Aux termes des deux années d‟intervention, Marianne a progressé en ce qui concerne la

cardinalité. Au premier moment d‟évaluation, en octobre 2011, Marianne parvient à

dénombrer des collections au cardinal inférieur à 10 sans commettre d‟erreur. Par contre,

elle recompte toujours la collection lorsque l‟intervenante lui demande combien il y a

d‟éléments si la collection en comporte plus que 3, nombre qui était déjà son domaine

numérique avant même le début des interventions relatées dans ce mémoire. Elle ne

parvient pas à opérer sur le nombre et ne comprend pas le principe cardinal du comptage;

elle recompte sans cesse une même collection et ne parvient pas à utiliser son comptage

pour comparer. Au second temps d‟évaluation, en mai 2012, lorsque les collections ont un

cardinal égal ou inférieur à 5, elle ne ressent plus le besoin de recompter les éléments si

aucune modification n‟a été faite à la collection. Toutefois, si cette collection est déplacée,

Marianne ne maintient plus le cardinal et elle la compte de nouveau. Elle est également en

mesure d‟opérer un ajout ou un retrait d‟un élément sur un ensemble de cinq éléments. Sa

184

chaîne numérique n‟est pas encore réversible puisque si on retire X éléments que l‟on

rajoute par la suite, elle ne maintient pas le nombre d‟origine. Elle ne maîtrise pas le

principe cardinal du comptage. Par la suite, en février 2013, lorsqu‟une collection lui est

présentée, le nombre n‟est pas maintenu si on commence à compter à partir d‟un nouvel

endroit; ce qui implique qu‟elle ne comprend pas le principe de non-pertinence de l‟ordre.

De plus, elle compte de nouveau chaque fois qu‟une collection de 11 éléments est déplacée

ou si son apparence est modifiée. Si, lors de son recomptage, elle arrive à un autre total

parce qu‟elle aurait fait une méprise, cela ne lui pose aucun problème. Cela témoigne

qu‟elle n‟a toujours pas construit le principe cardinal du comptage. Pour elle, le comptage

ne semble pas permettre de connaître la quantité. Toutefois, à la fin de l‟expérimentation,

en juillet 2013, lorsqu‟elle recompte une collection si celle-ci est déplacée, elle cherche à

obtenir le même total, ce qui prouve une avancée importante pour la construction de

l‟aspect cardinal du nombre. De plus, elle comprend maintenant le principe de non-

pertinence de l‟ordre lors d‟un comptage, sans toutefois recourir à ce dernier pour connaître

la cardinalité d‟un ensemble; ce principe serait donc encore en construction.

Les réponses de Marianne indiquent que, à l‟instar de Fayol (1990), Fuson (1988, 1991),

Gelman et Gallistel (1986), Van Nieuwenhoven (1996) et Vergnaud (1981), le comptage ne

suffit pas à comprendre le système numérique. En ce sens que, même si la chaîne

numérique de Marianne est élaborée, elle n‟est pas encore en mesure d‟opérer aisément sur

le petit nombre. Marianne est en mesure de compter à rebours à partir de 12, ce qui rend ce

nombre sécable, mais, au même moment, cette enfant ne parvient pas à comparer deux

ensembles de 7 et 8 jetons, tel que démontré précédemment, ni à énoncer qu‟un même

ensemble de 11 bâtonnets contiendra toujours 11 bâtonnets, même s‟ils sont déplacés par

l‟adulte. De plus, les résultats lors de l‟item de cardinalité réalisé lors des deux premières

évaluations témoignent que, comme le soulignait Baruk (2003), lorsque l‟enfant est mis en

contexte, par l‟utilisation de « nombre-de », dans ce cas-ci, de nombre de jetons, cela

favorise la visualisation qui peut permettre à l‟enfant de réussir la tâche, plutôt que de lui

demander, sans matériel à sa disposition, d‟opérer sur le « nombre ». Concrètement, le fait

de voir les jetons sur lesquels elle devait opérer a pu soutenir Marianne lors de la réalisation

de la tâche, d‟où sa capacité à opérer sur le nombre 5 en mai 2012.

185

La synthèse des résultats de recherche et de leur analyse permet d‟envisager qu‟il est

effectivement possible de soutenir la construction du nombre sans recourir aux méthodes

A.B.A. et T.E.A.C.C.H. avec l‟enfant autiste, tout comme on le fait avec l‟enfant tout-

venant. En effet, au début des interventions, comme le témoignent les réponses de

Marianne lors de la première évaluation, le nombre plus grand que 3 n‟était pas construit

chez elle, bien qu‟elle était scolarisée avec les méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H. depuis

déjà de nombreuses années. À la suite des deux années d‟interventions, le concept du

nombre est en pleine construction et de belles avancées ont été réalisées, notamment en ce

qui concerne la sériation, la correspondance terme à terme et la conservation des quantités

discontinues.

6.2. Les implications pédagogiques

Les progrès observés chez Marianne peuvent être considérés sous l‟angle d‟implications

pédagogiques. La chaîne numérique a été servie non pas par des activités visant

spécifiquement son extension, mais par les opérations sur le petit nombre lors des

interventions pédagogiques. En effet, au quotidien, le travail en mathématique était fait

dans le jeu et par la construction d‟un calendrier, tel que décrit au troisième chapitre. Dans

chacune de ces activités, des questionnements mathématiques étaient formulés à l‟élève

pour réfléchir sur le nombre et construire du sens à partir de son action et de son

raisonnement. De cette façon, l‟enfant était amenée à décomposer le nombre pour pouvoir

le comprendre, principalement en manipulant du matériel. La progression réalisée par

Marianne en ce qui concerne les opérations de conservation et de correspondance terme à

terme n‟est pas due à un enseignement explicite de ces tâches. Le fait de questionner

l‟enfant à propos des nombres lors de différents contextes l‟amène à développer sa pensée.

Comme le soulignait Piaget (1977), lorsque l‟enfant réalise de multiples abstractions

empiriques, cela lui permet d‟établir des relations logico-mathématiques entre des éléments

qui lui sont présentés. Le fait que l‟enfant coordonne certaines relations l‟amène à effectuer

des prises de conscience et à complexifier ses conceptualisations. C‟est de cette façon que

les interventions ont été mises en place.

186

Dans le cadre de ce mémoire, des interventions pédagogiques ont été mises en place dans

une perspective développementale. De ce fait, les tâches proposées étaient complexes et se

situaient dans la zone proximale de développement de l‟enfant, sans que l‟attention de

l‟adulte ne soit portée exclusivement sur les erreurs commises, mais plutôt sur le

cheminement et les raisonnements de l‟élève lors de la réalisation de la tâche. Les résultats

obtenus témoignent que cette posture d‟enseignement peut être bénéfique pour construire le

concept du nombre chez un enfant autiste, sans avoir besoin d‟utiliser un système

béhavioriste, comme les méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H.

6.3. Les limites de l’étude

Cette étude comportait plusieurs limites méthodologiques. D‟abord, lors des évaluations, le

protocole mathématique n‟a pas été dirigé de la même façon. En effet, quelques variations

ont été portées au protocole pour pouvoir obtenir une réelle lecture du niveau maximal de

l‟enfant, entre autres, lors du changement d‟orientation de la série d‟escargots lors de l‟item

2 de l‟aspect ordinal en juillet 2013 par rapport à février 2013 et lors de la mise en contexte

de construction de salade de fruits lors de l‟item 4 de l‟aspect cardinal de juillet 2013 par

rapport à février 2013. Ces changements à eux seuls peuvent avoir contribué au sens

accordé à la tâche par Marianne et, ainsi, influencer sa capacité à répondre.

Puis, pendant la passation des items, l‟intervenante recourt très rarement aux contre-

suggestions. Ce type particulier de questionnement (comme « Ah oui, tu penses ça? J‟ai un

ami de maternelle qui m‟avait dit l‟inverse. Comment tu pourrais lui expliquer pour qu‟il

comprenne? »), qui peut être utilisé en cas de réussite ou d‟échec de la part de l‟enfant,

permet de soutenir l‟enfant afin qu‟il explicite son propre raisonnement si nécessaire, tout

en « bousculant » ses croyances, dans une visée pédagogique développementale. Étant mis

dans un contexte où il doit expliquer à un ami plus jeune, l‟enfant est porté à exprimer ses

réflexions, chose qu‟il n‟aurait peut-être pas faite si l‟adulte lui avait seulement demandé

« Pourquoi tu penses ça? Comment tu fais pour savoir? Montre-moi », comme il a été

principalement fait dans le cadre des évaluations relatées dans ce mémoire. On voit

d‟ailleurs que les quelques fois où ces contre-suggestions ont été utilisées avec Marianne,

cette dernière a davantage explicité son raisonnement. Si ce type de contre-suggestions

187

avait été utilisé plus systématiquement, peut-être que Marianne serait parvenue à mieux

rendre son raisonnement sur le nombre.

En outre, les protocoles d‟entrevue ont été réalisés par deux personnes différentes (octobre

2011 et mai 2012 pour l‟une et février 2013 et juillet 2013 pour l‟autre). Or, ce type

d‟entrevue d‟exploration critique avec l‟enfant n‟est pas aseptisé de la relation établie entre

l‟adulte et l‟enfant. L‟adulte doit pouvoir s‟ajuster à l‟enfant au moment opportun (Ferreiro,

1997) pour accéder à la théorie en action de l‟enfant. Or, si ce type d‟entrevue convoque les

habiletés conversationnelles de l‟enfant, il engage aussi celles de l‟adulte tout en les

colorant de ses représentations de l‟enfance, de l‟apprentissage, du statut de l‟erreur, etc.

(Masciotra, 2004). On comprend, dès lors que la variation de l‟adulte peut avoir eu un

impact sur les productions de Marianne que l‟on ne peut plus isoler dans la progression

relatée.

Finalement, le choix d‟une étude de cas implique que les résultats ne soient pas

généralisables, les conclusions y demeurent circonscrites et situées (Karsenti & Demers,

2000; Stake, 1994). Elles gardent toutefois leur pertinence théorique. Ainsi, l‟intervention

pédagogique basée sur la littératie et le jeu ayant permis à cette enfant de complexifier sa

construction du concept du nombre permet de soulever l‟hypothèse que, même si les

résultats ne sont valables que pour cette enfant, dans ce type particulier d‟intervention et

d‟évaluation, le travail effectué en mathématiques par la construction d‟un calendrier et par

les jeux de règles, tout en favorisant les manipulations et diverses correspondances terme à

terme, pourrait permettre à des enfants, atteints d‟un trouble autistique ou non, de construire

le concept du nombre.

6.4. Avenues prospectives

Dans une étude ultérieure, il serait intéressant de mener une recherche du même type avec

un échantillon plus considérable d‟enfants autistes et d‟utiliser un groupe contrôle

travaillant le nombre avec les méthodes A.B.A. et T.E.A.C.C.H. afin de vérifier si la

méthode d‟intervention développementale mise en place dans le cadre de ce mémoire peut

être utilisée quotidiennement dans les classes spécialisées et servir une progression

significativement plus marquée. Dans un même ordre d‟idée, cette comparaison entre les

188

deux types d‟enseignement pourrait offrir des alternatives pédagogiques aux enseignants,

aux éducateurs et aux parents d‟enfants autistes.

De plus, en tant que pédagogue, ce mémoire comporte une vision différente de

l‟enseignement des mathématiques aux enfants autistes. En ce sens, si les méthodes A.B.A.

et T.E.A.C.C.H. ne semblent pas porter fruit au niveau de la conceptualisation chez l‟enfant

et ne lui permettent pas de développer son plein potentiel, une pédagogie développementale

basée sur le jeu, telle que décrite au troisième chapitre, pourrait être une alternative à mettre

en place. De plus, comme il a été démontré tout au long de ce mémoire, étant donné que

l‟enfant autiste ne se développe pas différemment de l‟enfant tout-venant, une telle

pédagogie pourrait être utilisée avec des jeunes en difficultés d‟apprentissage et même dans

des classes dites « régulières ». Il suffit que l‟enseignant fixe ses objectifs pédagogiques en

fonction de la zone proximale de développement de ses élèves pour y réaliser ses

interventions au juste niveau conceptuel que ce dernier a construit et qu‟il ne base pas ses

enseignements strictement sur l‟âge de ses élèves, ou sur le cursus scolaire prévu pour cet

âge et le degré scolaire y correspondant.

189

CONCLUSION

Ce projet de recherche a été mené auprès d‟une enfant autiste entre l‟âge de 10 ans et 12

ans. Cette dernière a reçu, pendant deux années scolaires complètes, des interventions

pédagogiques quotidiennes basées sur la littératie et le jeu dans une perspective

développementale. Ces interventions avaient pour but de construire le concept du nombre.

Chaque jour, le nombre était travaillé dans deux contextes en particulier : lors de la

construction d‟un calendrier mural et lors des jeux de règles. Pour évaluer la progression de

l‟enfant, un protocole mathématique a été expérimenté à quatre reprises pendant les deux

années. Les résultats montrent que les interventions pédagogiques orientées sur le nombre

ont permis à l‟enfant de complexifier sa compréhension des aspects ordinal et cardinal du

nombre, notamment par l‟intermédiaire d‟opérations à élaborer sur le petit nombre.

En effet, aux termes des deux années d‟interventions, Marianne parvient à utiliser la

correspondance terme à terme comme le début d‟une opération permettant de construire des

collections équivalentes, commence à comprendre de façon plus solide la conservation des

quantités continues, parvient à sérier des éléments selon leurs tailles et à opérer sur la série.

Même si sa chaîne numérique est étendue, même quand une partie de cette chaîne est

sécable, la cardinalité mérite toujours une grande attention de la part de l‟intervenant, car

elle n‟est pas assurée par l‟extension de la chaîne puisque Marianne énonce parfois que 7

est plus grand que 8 et que deux collections au cardinal de 6 ne sont pas égales, ces

nombres faisant partie de son domaine numérique.

Les résultats de cette recherche permettent d‟établir des liens entre la démarche

d‟intervention pédagogique mise en place et la construction du concept de nombre. Dans

une recherche ultérieure, il serait intéressant d‟utiliser cette démarche d‟intervention, non

seulement avec un échantillon d‟enfants autistes, mais également dans des classes

d‟adaptation scolaire pour travailler avec ces jeunes à un juste niveau, déterminé par leur

zone proximale de développement.

191

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ANNEXES

Annexe 1 : Protocole mathématiques utilisés en février 2013 et en juillet 2013

Items concernant l’aspect ordinal

1. Sériation d’objets de tailles différentes

- Placer X cartons de différentes longueurs sur la table. «Peux-tu les placer du plus petit au

plus grand?»

2. Sériation d’objets faisant une course

- Placer les 6 escargots de couleur (bleu, rose, orange, rouge, vert, jaune) en ligne. «Lequel

est le premier? Lequel est le dernier? L‟escargot orange est à quelle position?», «Quel

escargot est devant le orange? Quel escargot est derrière le orange? Si l‟escargot orange est

le troisième, quel est la position de l‟escargot rose? Et si l‟escargot rouge est après le

orange, c‟est quoi sa position?»

Items concernant l’aspect cardinal du nombre

1. Comparaison de collections d’objets identiques (correspondance terme à

terme)

- Disposer sur la table deux collections inégales avec une très petite différence de cardinal.

«Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou

plus ici? Qu‟est-ce que tu peux faire pour que ce soit égal?» Si l‟enfant échoue, lui

présenter deux collections comportant des cardinaux assez différents.

196

- Disposer sur la table deux collections égales. « Est-ce qu‟il y en a plus ici, ici ou c‟est

égal? Est-ce qu‟il y en a égal ou plus ici ou ici? » Réduire les collections si l‟enfant ne

réussit pas.

2. Comparaison de collections d’objets différents (correspondance terme à terme)

- Placer 6 images de pommes et 4 images de framboises sur la table. Demander à l‟enfant

«Est-ce qu‟il y a plus de pommes ou plus de framboises? Est-ce qu‟il y en a plus ici, ici ou

c‟est pareil?» (Reformulation de la question pour éviter l‟effet de récence.)

- Former 2 rangées : une avec 3 images de pommes et l‟autre avec 4 images de framboises.

«Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil?» Déplacer les images de pommes pour

que cette rangée soit plus longue que celle de framboises ou déplacer les images de

framboises pour que cette rangée soit moins longue que la rangée de pommes et

questionner l‟enfant : «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil? Pourquoi? »

3. Conservation des quantités continues

- Faire deux boules de pâte à modeler de même grosseur, de couleurs différentes. «Est-ce

que les deux boules sont pareilles?»

197

- Faire une galette avec une des deux boules. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est

pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»

- Reformer les deux boules. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil? Est-ce

qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»

- Prendre une boule et faire un rouleau avec. ««Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou

c‟est pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?».

- Reformer les deux boules. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est pareil? Est-ce

qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»

- Prendre une boule et faire des miettes. «Est-ce qu‟il y en a plus ici, plus ici ou c‟est

pareil? Est-ce qu‟il y en a pareil, plus ici ou plus ici?»

198

4. Conservation de quantités discontinues

- Faire une rangée avec 5 images de pomme sur la table. «Peux-tu me mettre la même chose

de framboises que j‟ai de pommes?»

- Une fois la rangée de l‟enfant construite, dénombrer chacune des collections et

questionner l‟enfant pour savoir si l‟une des deux collections est plus nombreuse.

- Sous les yeux de l‟enfant, déplacer les images de la rangée de référence de manière à ce

que cette rangée dépasse celle de l‟enfant à droite et à gauche, en raison de l‟espacement

entre les images. « Y a-t-il plus de pommes, plus de framboises ou c‟est pareil? » Modifier

l‟ordre des choix de réponses pour éviter que l‟enfant ne réponde qu‟en utilisant l‟effet de

récence.

5. Comptage

- «Peux-tu compter le plus loin possible?» L‟enfant se rend jusqu‟à Y.

- «Peux-tu compter jusqu‟à Z (Z plus petit que Y)»

- «Peux-tu compter à partir de X?» X est plus petit que Y

- «Peux-tu compter à partir de X jusqu‟à Z?»

- «Peux-tu compter à l‟envers à partir de Z?»

6. Cardinalité

- Déposer X bâtonnets sur la table, en rangée. «Combien est-ce qu‟il y a de bâtonnets sur la

table?»

- En déplaçant les bâtonnets qui ont été comptés : «combien y a-t-il de bâtonnets

maintenant?» Une première fois en les plaçant pêle-mêle et une seconde fois en reformant

une rangée espacée.

199

- Lorsque les bâtonnets sont replacés en une rangée : «Et si tu commences par ici,

combien tu vas en avoir? Et si on commence de l‟autre côté? Combien tu auras de

bâtonnets?»

- Prendre 5 dames en carton. Apporter un ensemble de robes, de souliers et de bijoux pour

habiller les mesdames. «Tu devras aller au magasin chercher des vêtements et des

accessoires pour toutes les mesdames. Prends les vêtements que tu as besoin pour que

chaque dame soit prête pour aller au bal. Les dames doivent avoir une robe, des souliers et

trois bracelets. Le magasin ferme bientôt, donc on doit faire notre commande au complet.»

(Si l‟enfant n‟y arrive pas en une seule fois, lui permettre de retourner au magasin une

deuxième fois.)