k d esigne r ou cperso.numericable.fr/decour.ec/diapo_2016/matrices.pdf · on note m n;p (k)...

K designe R ou C.

1. ENSEMBLE Mn,p(K) : Operations elementaires

On note Mn,p(K) l’ensemble des matrices a n lignes p colonnes a coefficientsdans K (K = R ou C).Les matrices sont notees A = (ai,j), B = (bi,j), . . .(on precise si necessaire, en indice, 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 p).La matrice nulle d’ordre (n, p) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls :on la note 0n,p.

Si n = 1 alors A est dite matrice ligne. A = (a1,1, a1,2, . . . , a1,n)

Si n = 1 alors A est dite matrice ligne. A = (a1,1, a1,2, . . . , a1,n)

Si p = 1 alors A est dite matrice colonne. A =

a1,1a2,1

...an,1

SoitA,B ∈Mn,p(K)et λ ∈ K. On definitA+B = (ai,j + bi,j) et λ.A = (λ.ai,j)

Soit A ∈Mn,p(K). La transposee de A est la matrice B deMp,n(K) telle que :

∀(i, j) ∈ [[1, n]]× [[1, p]] : bj,i = ai,j.

On note B = tA.


∀(i, j) ∈ [[1, n]]× [[1, p]] : bj,i = ai,j.

On note B = tA.

Exemple Si A =

1 2 31 2 34 5 6

alors tA =


∀(i, j) ∈ [[1, n]]× [[1, p]] : bj,i = ai,j.

On note B = tA.

Exemple Si A =

1 2 31 2 34 5 6

alors tA =

1 1 4


∀(i, j) ∈ [[1, n]]× [[1, p]] : bj,i = ai,j.

On note B = tA.

Exemple Si A =

1 2 31 2 34 5 6

alors tA =

1 1 42 2 5


∀(i, j) ∈ [[1, n]]× [[1, p]] : bj,i = ai,j.

On note B = tA.

Exemple Si A =

1 2 31 2 34 5 6

alors tA =

1 1 42 2 53 3 6


∀(i, j) ∈ [[1, n]]× [[1, p]] : bj,i = ai,j.

On note B = tA.

Exemple Si A =

1 2 31 2 34 5 6

alors tA =

1 1 42 2 53 3 6

1.1. Proposition (proprietes de la transposition)

- ∀A ∈Mn,p(K), t( tA) = A.∀(A,B) ∈ (Mn,p(K))2, ∀(λ, µ) ∈ K2, t(λA + µB) = λ tA + µ tB.

2. PRODUIT MATRICIEL

2.1. Definition Le produit de A ∈ Mn,p et B ∈ Mp,m(K) est la matriceC ∈Mn,m(K) definie par :

C = A×B ⇔ ∀i ∈ [[1, n]],∀j ∈ [[1,m]], ci,j =p∑

k=1

ai,kbk,j

2.2. Proprietes du produit matriciel

-- ∀A ∈Mn,p(K), A× 0p,m = 0n,m , 0m,n × A = 0m,p

associativite :∀(A,B,C) ∈Mn,p(K)×Mp,q(K)×Mq,r(K), A(BC) = (AB)C




-- distributivite par rapport a + :

∀(A,B,C) ∈Mn,p(K)×Mp,q(K)2, A(B + C) = AB + AC et

∀(A,B,C) ∈Mp,q(K)×Mn,p(K)2, (B + C)A = BA + CA







- ∀(A,B) ∈Mn,p(K)×Mp,q(K),∀λ ∈ K, λ.(AB) = (λ.A)B = A(λ.B)







- ∀(A,B) ∈Mn,p(K)×Mp,q(K),∀λ ∈ K, λ.(AB) = (λ.A)B = A(λ.B)

- ∀(A,B) ∈Mn,p(K)×Mp,q(K), t(AB) = tB tA

2.3. Attention

• Un produit de matrices peut-etre nul alors qu’aucun des termes du produitn’est nul.

2.3. Attention

• Un produit de matrices peut-etre nul alors qu’aucun des termes du produitn’est nul.

Exemple :

(1 11 1

)×(

1 1−1 −1

)=

(0 00 0

)

• Le produit matriciel n’est pas commutatif.


Exemple :(1 11 1

)×(

1 1−1 −1

)=

(0 00 0

)


Exemple :(1 11 1

)×(

1 1−1 −1

)=

(0 00 0

)(

1 1−1 −1

)×(

1 11 1

)=


Exemple :(1 11 1

)×(

1 1−1 −1

)=

(0 00 0

)(

1 1−1 −1

)×(

1 11 1

)=

(2 2−2 −2

)

3. MATRICE CARREES Mn(K)

On note Mn(K) l’ensemble des matrices carrees de n lignes, n colonnes. Onnote In la matrice carree identite d’ordre n : tous ses elements sont nuls, saufceux de la diagonale qui valent 1.

3.1. Proposition

- Le produit matriciel est une loi de composition interne surMn(K).La matrice unite In est l’element neutre de (Mn(K),×)

3.2. Theoreme (Formule du binome de Newton)

Soient A, B deux matrices de Mn(K) qui commutent (i.e. AB = BA), on aalors pour tout entier naturel p :

(A + B)p =p∑

k=0

(p

k

)AkBp−k

(par convention on pose, dans la formule du binome, A0 = In)

3.2. Theoreme (Formule du binome de Newton)

Soient A, B deux matrices de Mn(K) qui commutent (i.e. AB = BA), on aalors pour tout entier naturel p :

(A + B)p =p∑

k=0

(p

k

)AkBp−k

(par convention on pose, dans la formule du binome, A0 = In)

3.3. Exercice Soit A =

2 1 0 00 2 1 00 0 2 10 0 0 2

. Calculer An pour n ∈ N.

3.4. Sous-ensembles deMn(K)

Soit A = (ai,j)16i,j6n une matrice carree d’ordre n.

• A est diagonale si tous les elements non situes sur la diagonale sont nuls :

∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, i 6= j ⇒ ai,j = 0.On note diag(d1, d2, . . . , dn) la matrice diagonale dont le i-eme terme de la

diagonale est di.




diagonale est di.

- diag(d1, d2, . . . , dn) =

d1 0 . . . . . . 00 d2 0 . . . 0... . . . . . . . . . ...0 . . . 0 dn−1 00 . . . . . . 0 dn




diagonale est di.

• A est triangulaire superieure si : ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, i > j ⇒ ai,j = 0.




diagonale est di.


Par exemple, pour n = 4 : A =

a b c d0 e f g0 0 h k0 0 0 p




diagonale est di.


• A est triangulaire inferieure si : ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, i < j ⇒ ai,j = 0.




diagonale est di.




a 0 0 0b e 0 0c f h 0d g k p




diagonale est di.



• A est symetrique si A =t A, c’est-a-dire : ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, ai,j = aj,i.




diagonale est di.





a b c db e f gc f h kd g k p




diagonale est di.




• A est anti-symetrique si A = −tA, c’est-a-dire : ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, ai,j = −aj,i.




diagonale est di.






0 b c d−b 0 f g−c −f 0 k−d −g −k 0




diagonale est di.





Les trois premiers ensembles (c’est-a-dire diagonale, triangulaires superieures,triangulaires inferieures,) sont stables par produit matriciel.

� Le produit de deux matrices symetriques n’est pas forcement une matrice

symetrique (de meme pour le produit de matrices anti-symetriques).



Exemple :

1 0 00 1 10 1 0

×1 1 1

1 0 01 0 0

=



Exemple :

1 0 00 1 10 1 0

×1 1 1

1 0 01 0 0

=

1 1 12 0 01 0 0

4. MATRICES CARREES INVERSIBLES (Ensemble GLn(K))

n est un entier naturel non nul.Les matrices dans cette partie sont des matrices carrees d’ordre n.

4.1. Definition Soit A une matrice. On dit que A est inversible si et seulements’il existe une matrice B telle que :

A×B = B × A = In

La matrice B est unique et est appelee inverse de A. On note B = A−1.

On note GLn(K) l’ensemble des matrices inversibles carrees d’ordre n.

4.2. Proposition

- SiA etB sont inversible alorsA×B est inversible et (A×B)−1 = B−1×A−1Si A est inversible alors tA est inversible et (tA)−1 =t (A−1)

� La somme de deux matrices inversibles n’est en general pas inversible.


Exemple :I =

(1 00 1

)et J =

(0 11 0

)sont inversibles (J2 = I ; donc J = J−1)


Exemple :I =

(1 00 1

)et J =

(0 11 0

)sont inversibles (J2 = I ; donc J = J−1)

I + J =

(1 11 1

)n’est pas inversible (calcul du determinant)

4.3. Theoreme Soit A ∈Mn(K) . Les proprietes suivantes sont equivalentes :

(1) : A est inversible(2) : ∀Y ∈Mn,1(K), il existe un unique X ∈Mn,1(K), tel que Y = AX .(3) : ∀X ∈Mn,1(K), AX = 0⇒ X = 0.

De plus, si l’une des proprietes precedentes est verifiee alors

B = A−1 ⇔ (∀X, Y ∈Mn,1(K), Y = AX ⇔ X = BY )

4.4. Exercice Montrer que la matrice A =

1 1 01 2 11 0 1

est inversible

et calculer A−1.

4.5. Proposition Soit A ∈Mn(K).

-- S’il existe B ∈Mn(K) tel que B × A = In,alors A est inversible et B = A−1.



S’il existe C ∈Mn(K) tel que A× C = In,alors A est inversible et C = A−1.



S’il existe C ∈Mn(K) tel que A× C = In,alors A est inversible et C = A−1.

4.6. Exercice Soit a ∈ K. On suppose que A2 + A + aIn = 0 et A 6= −In.Montrer que A est inversible si et seulement si a 6= 0.Exprimer alors A−1 en fonction de A et In.

4.7. proposition (inversion d’une matrice diagonale)Une matrice diagonale D = diag(d1, . . . , dn) est inversible si et seulement si

tous les elements de la diagonale sont non nuls et alors D−1 = diag(

1d1, . . . , 1

dn

).

4.7. proposition (inversion d’une matrice diagonale)Une matrice diagonale D = diag(d1, . . . , dn) est inversible si et seulement si

tous les elements de la diagonale sont non nuls et alors D−1 = diag(

1d1, . . . , 1

dn

).

4.8. proposition (inversibilite d’une matrice triangulaire) Une matrice triangu-laire est inversible si et seulement si tous les elements de la diagonale sont nonnuls.

Cas des matrices carrees d’ordre 2

4.9. Definition Le determinant de la matrice A =

(a bc d

)est :∣∣∣∣ a b

c d

∣∣∣∣ = ad− bc.

4.9. Definition Le determinant de la matrice A =

(a bc d

)est :∣∣∣∣ a b

c d

∣∣∣∣ = ad− bc.

4.10. Proposition (inversion des matrices carrees d’ordre 2)

La matrice A =

(a bc d

)est inversible si et seulement si son determinant est

non nul : c’est-a-dire si et seulement si ad− bc 6= 0 et son inverse est alors :

A−1 =1

ad− bc

(d −b−c a

)

k d esigne r ou cperso.numericable.fr/decour.ec/diapo_2016/matrices.pdf · on note m n;p (k)...

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