journées nationales de calcul formel -...

Journes Nationales de Calcul Formel

Rencontre organise par :Jean-Guillaume Dumas, Grgoire Lecerf, Delphine Boucher et Thomas Cluzeau

2010

Jean-Guillaume Dumas, Grgoire Lecerf, Delphine Boucher, et Thomas CluzeauInformations sur les JournesVol. 1, no 2 (2010), p. 1-30.

Centre international de rencontres mathmatiquesU.M.S. 822 C.N.R.S./S.M.F.Luminy (Marseille) France

cedramTexte mis en ligne dans le cadre du

Centre de diffusion des revues acadmiques de mathmatiqueshttp://www.cedram.org/

http://ccirm.cedram.org/item?id=CCIRM_2010__1_2_1_0http://www.cedram.org/http://www.cedram.org/

Les cours du C.I.R.M.Vol. 1 no 2 (2010) 1-30

Informations sur les JournesJean-Guillaume Dumas, Grgoire Lecerf, Delphine Boucher, et Thomas Cluzeau

Comit scientifique

Moulay Barkatou (Prof. Univ. Limoges) Frdric Chyzak (CR inria, Projet Algo Rocquencourt) Andreas Enge (CR inria, Institut de Mathmatiques de Bordeaux) Andr Galligo (Prof. Univ. Nice) Marc Giusti (DR cnrs, cole polytechnique Palaiseau) Bruno Salvy (DR inria, Rocquencourt) Franois Boulier (MdC Univ. Lille I) Emmanuel Thom (CR inria, Projet Cacao Lorraine) Felix Ulmer (Prof. Univ. Rennes I) Gilles Villard (DR cnrs, ENS Lyon) Jean-Claude Yakoubsohn (Prof. Univ. Toulouse III)

Table des matires

1. Liste des orateurs 22. Rsums des cours 33. Exposs courts 5

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Jean-Guillaume Dumas, Grgoire Lecerf, Delphine Boucher et Thomas Cluzeau

1. Liste des orateurs

1. Daniel Augot : Dcodage des codes gomtriques et algorithmes de Guruswami-Sudan2. Alin Bostan : Algorithmes rapides pour les polynmes et matrices3. Jean-Pierre Dedieu : Complexit et conditionnement4. Alban Quadrat : Une introduction lanalyse algbrique constructive et ses applications5. Ainhoa Aparicio-Monforte : Reconstruction dintgrales premires formelles le long de solutionsnon ponctuelles dun systme diffrentiel.6. Philippe Aubry : Calcul algbrique efficace de rsolvantes relatives.7. Skander Belhaj : Diagonalisation par blocs approche dune matrice de Hankel coefficientscomplexes : application lalgorithme dEuclide.8. Jrmy Berthomieu : Algorithmique dtentue pour les entiers p-adiques.9. Luk Bettale : Rsolution de systmes polynomiaux dans les corps finis.10. Brice Boyer : Multiplication matrice creuse vecteur dense sur des corps finis pour architecturesGPU et multicurs.11. Jrome Brachat : Le schma de Hilbert.12. Laurent Bus : Sur les singularits dune courbe algbrique plane rationnelle.13. Christophe Chabot : Codes quasi-cycliques et polynmes coefficients matriciels.14. Guillaume Chze : Un algorithme quasi-optimal pour la dcomposition des fractions rationnellesen plusieurs variables.15. Carole El Bacha : Rgularisation et solutions rgulires de systmes diffrentiels linaires16. Joris van der Hoeven : Arithmtique de boules.17. Jean-Gabriel Kammerer : Encoding points on hyperelliptic curves over finite fields in determi-nistic polynomial time18. Pierre-Vincent Koseleff : Paramtrisation polynomiale des nuds deux ponts.19. Romain Lebreton : Algorithmique dans les algbres dinvariants polynomiaux sous un groupefini.20. J. van der Hoeven, B. Mourrain, G. Lecerf, O. Ruatta, Ph. Trbuchet : Mathemagix : langage,fonctionnalits et performances21. Marc Mezzaroba : NumGfun : calcul efficace en Maple des solutions analytiques dquationsdiffrentielles linaires coefficients polynomiaux.22. Marc Moreno Maza : Triangular Decomposition of Semi-Algebraic Systems23. Guillaume Moroz : tude des solutions stables et chaotiques dun modle biologique.24. Bernard Mourrain : Dcomposition de tenseurs, matrices de moments et polynmes25. Franois Ollivier : Borne de Jacobi et calcul de lindex pour toutes les composantes quasi-rgulires dun systme dEDO26. Clment Pernet : Dcodage adaptatif pour les systmes multimodulaires redondants27. Michel Petitot : Rseaux de Ptri stochastiques28. Adrien Poteaux : Composition modulaire multivarie et applications.29. Xavier Pujol : Algorithmes de crible pour le calcul dun plus court vecteur dans un rseau30. Gunal Renault : Implicit Factoring with Shared Most Significant and Middle Bits31. Marie-Franoise Roy : Sous-rsultants et doubles sommes de Sylvester32. Mohab Safey El Din : Algorithmique diviser-pour-rgner pour le calcul de cartes routires33. Jan Sliwka : Rsolution relaxe dun systme dquations et application dans le domaine de larobotique34. Pierre-Jean Spaenlehauer : Systmes Bilinaires et Varits Dterminantielles : Algorithmes,Complexit et Applications.35. Martin Weimann : Factorisation polynomiale torique

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http://www.lix.polytechnique.fr/~ollivier/

Informations sur les Journes

2. Rsums des cours

1. Dcodage des codes gomtriques et algorithmes de Guruswami-SudanDaniel Augot (INRIA, Saclay)

Le premier expos reprend les algorithmes classiques de dcodage des codes gomtriques, ba-ss sur lalgorithme de Berlekamp-Massey et ses gnralisations multivaries (Berlekamp-Massey-Sakata). Toutefois, avant de prsenter ces algorithmes, je rappelerai les bases de la thorie descodes : codes linaires, borne de Singleton, codes de Reed-Solomon, borne de Hamming. En-suite, jintroduirai de manire motive la famille des codes gomtriques, comme gnralisationdes codes de Reed-Solomon, aprs un bref rappel de la thorie des courbes algbriques sur lescorps finis. Le cadre sera alors en place pour introduire le dcodage par syndrmes, qui est ledcodage classique des codes gomtriques. Le deuxime expos est consacr aux progrs rcentsdans le domaine du codage algbrique, qui reposent sur le dcodage par interpolation. Ces progrssont dus Guruswami-Sudan, et reposent sur une vision duale des codes de Reed-Solomon etdes codes gomtriques. Je prsenterai dans lordre les algorithmes de Berlekamp-Welsh, Sudanet Guruswami-Sudan, dans le contexte des codes de Reed-Solomon et dans le contexte des codesgomtriques. On verra finalement comment lalgorithme de Berlekamp-Massey-Sakata peut trerecycl dans ce contexte.

2. Algorithmes rapides pour les polynmes et matricesAlin Bostan (INRIA Rocquencourt)

Les principaux thmes de cet expos sont la conception et lanalyse dalgorithmes pour deuxtypes spcifiques de calculs algbriques : avec des polynmes et des sries formelles une variable,dune part, et avec des matrices denses et des matrices structures, dautre part. De nombreusesapplications seront dcrites, concernant la manipulation rapide des fonctions rationnelles, des ma-trices polynomiales, des nombres algbriques, des fonctions algbriques, des rcurrences et desoprateurs diffrentiels. Laccent sera mis principalement sur la complexit asymptotique, et surlillustration des paradigmes fondamentaux (diviser-pour-rgner, pas de bb/pas de gant, prin-cipe de transposition) et des techniques (exponentiation binaire, itration de Newton, valuation-interpolation), utilises dans la conception et lanalyse des algorithmes. Dans la premire partie delexpos, nous montrerons comment, en utilisant de telles techniques, une multitude doprationssur les polynmes et les sries (division, logarithme, exponentielle, valuation, interpolation, chan-gement de base, composition, plus grand commun diviseur, rsultant, approximants de Pad et dePad-Hermite,...) peuvent tre ramenes ultimement la multiplication polynomiale, et hritentainsi de sa bonne complexit. Dans la deuxime partie de lexpos, nous examinerons dabordla complexit des calculs avec les matrices denses (inversion, dcomposition LU, calcul du d-terminant et du polynme caractristique,...), en les ramenant la multiplication de matrices.Puis, nous prsenterons un traitement unifi des calculs avec les matrices structures (Toeplitz,Hankel, Vandermonde, Cauchy, Sylvester, et leurs gnralisations), montrerons leurs liens avec lescalculs polynomiaux, et exploiterons ces corrlations pour obtenir des acclrations significativespar rapport au cas des matrices denses. Une liste de problmes ouverts conclura lexpos.

3. Complexit et conditionnementJean-Pierre Dedieu (Universit Toulouse)

Peut-on facilement calculer, de faon approche, un zro dun systme de n quations polyno-miales en n inconnues coefficients complexes ? Quelle est la complexit dun tel calcul ? Lapprocheque nous prsentons au cours de ces exposs utilise un modle de calcul sur les nombres rels etprivilgie les mthodes homotopiques. Nous verrons comment relier la complexit dun tel calculau conditionnement des systmes rencontrs lors du parcours homotopique et nous montreronscomment rechercher des trajectoires optimales.

4. Une introduction lanalyse algbrique constructive et ses applicationsAlban Quadrat (INRIA Sophia Antipolis)

Le but de ce mini-cours est de prsenter une introduction lanalyse algbrique constructiveet certaines de ses applications rcentes en thorie des systmes, thorie du contrle et physique

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mathmatique. Lanalyse algbrique est une branche rcente des mathmatiques qui tudie lessystmes linaires dquations aux drives partielles laide de techniques venant de la thoriedes modules, de lalgbre homologique et de la thorie des faisceaux. Elle a t dveloppe dans lesannnes soixante par Malgrange, Palamodov, Bernstein, Sato, Kashiwara. . . Certaines des ides ettechniques dveloppes pour les systmes diffrentiels se gnralisent dautres classes de systmeslinaires fonctionnels telles que les systmes dquations aux diffrences, systmes dquationsdiffrentiels retards. . . Nous montrons comment les techniques de lalgbre constructive (e.g.,bases de Grbner ou Janet pour des anneaux doprateurs non-commutatifs tels que des algbresde Ore) permettent de dvelopper une approche constructive de la thorie des modules et delalgbre homologique. Nous interprterons alors certaines proprits des modules dans le langagedes systmes et nous montrerons comment des problmes classiques en thorie des systmes (e.g.,existence de paramtrisations, quivalences, symtries, factorisations, rductions, dcompositions,lois de conservation) trouvent alors des rponses simples et constructives. Nous illustrerons cesnouvelles techniques laide de nombreux systmes classiques venant de la physique mathmatiqueet de la thorie du contrle laide des packages OreModules, OreMorphisms, QuillenSuslin,Stafford, Serre et Homalg.

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3. Exposs courts

5. Reconstruction dintgrales premires formelles le long de solutions nonponctuelles dun systme diffrentiel.

Ainhoa Aparicio-Monforte (Universit de Limoges ; CNRS ; XLIM UMR 6172 ; DMI)

Le problme de reconstruire des intgrales premires formelles au voisinnage de points dquilibrea t abondamment trait dans la littrature. Dans notre cas, nous ne considrons pas ce problmeautour dun point dquilibre mais le long de solutions non ponctuelles. Notre approche est unetechnique de prolongement qui nous permet de calculer des candidats de jets dintgrales premires(inconnues) le long dune solution en nous servant des quations variationnelles. Cette mthodenous permet de rduire lordre des quations variationnelles ce qui est utile autant du point devue calcul formel que du point de vue du calcul numrique si on souhaite appliquer le thormede Morales-Ramis-Sim. Nous proposons un algorithme permettant dobtenir des prolongementsdintgrales premires formelles de long de solutions non ponctuelles de systmes diffrentiels. Cettetechnique donne des pistes pour une version effective du Thorme de Morales-Ramis-Sim. Cestun travail en collaboration avec S. Simon Estrada et Jacques-Arthur Weil.

6. Calcul algbrique efficace de rsolvantes relatives.Philippe Aubry (LIP6 - Universit Pierre et Marie Curie)

Travail commun avec Annick Valibouze.La rsolvante est un lment central du calcul algbrique ; en particulier pour dterminer le groupede Galois dun polynme univari, construire une reprsentation du corps de ses racines, calcu-ler des polynmes minimaux de certains endomorphismes multiplicatifs ou dlments algbriqueset construire galement des polynmes univaris de groupe de Galois donn (problme de Galoisinverse). Historiquement, J.-L. Lagrange a introduit la rsolvante dite absolue dun polynme uni-vari f afin dunifier les mthodes de rsolution par radicaux jusquen degr 4 et tenter de prouverqu partir du degr 5 le phnomne dabaissement du degr ntant plus systmatique, le poly-nme f nest alors pas ncessairement rsoluble par radicaux. Alors que le calcul dune rsolvanteabsolue tait somme toute assez simple, deux sicles plus tard, R. P. Stauduhar introduisit larsolvante relative un sous-groupe L du groupe symtrique contenant le groupe de Galois G dupolynme f ([6]). Deux des thormes fondamentaux de lalgbre sont le thorme fondamentaldes fonctions symtriques et le thorme de Galois ; sous leur aspect non effectif, ces thormessont en fait les mmes puisquils expriment tous deux que si un polynme est invariant par legroupe L contenant le groupe de Galois G, alors son valuation en les racines de f appartient aucorps k des coefficients de f . Dans un cas L = Sn, le groupe symtrique de degr n = deg(f), etdans lautre L = G, le groupe de Galois. Pour raliser des calculs algbriques avec les racines de f ,il sagit de rendre effectif ce thorme. Lorsque L = Sn, nous disposons de nombreuses mthodeseffectives du thorme fondamental des fonctions symtriques. Ce sont ces diverses mthodes aux-quelles viennent sajouter parfois des formules combinatoires qui sont utilises pour calculer lesrsolvantes absolues (voir par exemple [3],[5]). Une des raisons qui fait de la rsolvante (absolue ounon) un lment central du calcul algbrique est que sa factorisation sur le corps k permet dabou-tir une forme effective du thorme de Galois. Mais se pose alors le problme de sa factorisationlorsque son degr est lev. Lexemple le plus difiant tant celui de la rsolvante absolue de Galoisdont le degr est deg(f)! ; pourtant seul suffit un quelconque de ses facteurs irrductibles sur k,ncessairement de degr lordre du groupe de Galois. Lorsque G 6= Sn, le recours la rsolvanterelative un sous-groupe strict L de Sn est attractif pour les deux raisons suivantes : dune part,elle est un facteur strict de la rsolvante absolue (de degr le stabilisateur de linvariant considrdans L et non plus dans Sn) et, dautre part, au regard de lordonnancement des racines, elle porteen elle des informations plus prcises quen tant que facteur de la rsolvante absolue. Par exemple,la rsolvante de Galois relative au groupe de Galois (i.e. L = G) est de degr lordre du groupe deGalois et les conjugus dune de ses racines sont obtenus par ses permutations par le groupe deGalois en tant que groupe de permutations dont laction sur les racines est dtermine (et non un isomorphisme prs comme pour la rsolvante absolue). Toutefois, le calcul algbrique des r-solvantes relatives a longtemps t considr comme infaisable puis ardu (voir [1] o une mthodeest propose). Hormis la mthode numrique restreinte au cas k = Z ([6]) et quelques mthodes

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combinatoires adaptes des multi-rsolvantes absolues particulires, jusqu lalgorithme de [2]aucune mthode algbrique gnrale ne venait concurrencer les diverses mthodes efficaces adap-tes aux seules absolues. Nous proposons un algorithme algbrique de calcul de rsolvantes relativesamliorant celui de [2] et sinspirant en partie de celui de Lehobey destin aux rsolvantes absolues(voir [4]). Nous montrons en quoi lalgorithme de F. Lehobey est cependant propre aux rsolvantesabsolues.

[1] J. M. Arnaudis and A. Valibouze. Rsolvantes de lagrange. Technical Report 93.61, LITP,1993.

[2] P. Aubry and A. Valibouze. Using Galois ideals for computing relative resolvents. J. SymbolicComput., 30(6) :635651, 2000.

[3] J.-L. Lagrange. Rflexions sur la rsolution algbrique des quations. Prussian Academy, 1770.[4] F. Lehobey. Resolvent computations by resultants without extraneous powers. In ISSAC, pages

8592, 1997.[5] L. Soicher and J. McKay. Computing Galois groups over the rationals. J. Number Theory,

20(3) :273281, 1985.[6] R. P. Stauduhar. The determination of Galois groups. Math. Comp., 27 :981996, 1973.

7. Diagonalisation par blocs approche dune matrice de Hankel coefficientscomplexes : application lalgorithme dEuclide.

Skander Belhaj (Laboratoire LAMSIN, cole Nationale dIngnieurs de Tunis, Laboratoire deMathmatiques de Besanon, Universit de Franche-Comt)

Les matrices de Hankel coefficients complexes jouent un rle important dans le traitementdu signal. En effet, les coefficients dune matrice de Hankel reprsentent un signal gnr par lasomme dun nombre fini r dexponentielles : hk =

rl=1

kl dl, k = 1, ..., 2n 1 o l et dl sont les

sous-jacents modes et poids, respectivement. Lorsque le signal est altr par un bruit, des matricesde Hankel perturbes sont produites. Dans ce travail, nous introduisons le problme de ladiagonalisation par blocs de matrices de Hankel perturbes et nous tudions le cas complexe[2] en prservant sa relation troite avec lalgorithme dEuclide. Bien que lalgorithme dcrit dans[1] semble tre le premier tudier le cas approch, il ne prserve pas la taille des blocs dans lecas complexe. Par consquent, nous reprenons ce problme dans le cas complexe. Nous comparonsgalement lapproche de diagonalisation par blocs approche de matrices de Hankel une variantebase sur le complment de Schur adapte une matrice de Hankel coefficients complexes.Nous prsentons, enfin, un exemple qui permet de prserver la relation troite entre lalgorithmedEuclide et la mthode de diagonalisation par blocs approche de la matrice de Hankel dans lecas complexe.

[1] S. Belhaj, A fast method to block-diagonalize a Hankel matrix, Numer. Algor., 47(2008) pp.1534.

[2] S. Belhaj, Computing the block factorization of complex Hankel matrices, accepted for pu-blication in Computing.

8. Algorithmique dtentue pour les entiers p-adiques.Jrmy Berthomieu (Ecole Polytechnique)

Classiquement, les nombres p-adiques sont implants de deux faons diffrentes. La premire,dite zle ou prcision fixe est trs efficace dans le cas o la prcision ncessaire est la fois grandeet connue lavance. Cependant, elle nen reste pas moins complique pour la programmation defonctionnalits mathmatiques de haut niveau. La seconde implantation est la version paresseuse.On attache chaque nombre p-adique la suite de ses coefficients et une mthode permettantdnumrer le prochain coefficient de cette suite. La programmation en devient plus facile, maisle cot des oprations lmentaires telles que la multiplication et la division devient quadratique.Limplantation dtendue des sries [1, 2] se gnralise aux nombres p-adiques. Nous prsenterons

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dans cet expos cette implantation qui a t faite en C++ pour le logiciel Mathemagix ainsique quelques applications. La multiplication dtendue sera prsente ainsi que son application viala mthode des points-fixes pour le calcul de linverse ou de la racine carre dun nombre. Onprsentera aussi une mthode de multiplication par blocs. Les techniques de dformation sont trsrpandues dans le calcul symbolique tel que la factorisation de polynmes, la rsolution de systmespolynomiaux et diffrentiels. Lutilisation des nombres p-adiques et des sries y est intense. Il sagitdun travail en collaboration avec Grgoire Lecerf et Joris van der Hoeven.

[1] Joris van der Hoeven. Lazy multiplication of formal power series. In W. W. Kchlin, editor,Proc. ISSAC 97, pages 1720, Maui, Hawaii, July 1997.

[2] Joris van der Hoeven. Relax, but dont be too lazy. J. Symbolic Comput., 34(6) :479542, 2002.

9. Rsolution de systmes polynomiaux dans les corps finis.Luk Bettale (DGA/MRIS)

Travail conjoint avec Jean-Charles Faugre et Ludovic Perret.Dans cet expos, nous prsentons une approche hybride pour calculer les solutions dun systmepolynomial coefficients dans un corps fini. Une mthode bien connue pour rsoudre un systmepolynomial consiste calculer la base de Grbner de lidal associ. Lalgorithme historique deBuchberger, ou des algorithmes plus efficaces comme F4/F5[4, 5] permettent de mener bien cecalcul. Dans de nombreuses applications, notamment en cryptographie, on est amen tudierdes systmes polynomiaux sur des corps finis, et plus particulirement, on recherche des solutionsde ce systme dans le corps des coefficients. Pour obliger les solutions vivre dans le corps descoefficients, on ajoute au systme initial les quations de corps {xq1 x1, . . . , xqn xn} o q est lataille du corps. Lorsque q est grand devant le degr des quations initiales, lajout des quations decorps rend le calcul de base de Grbner plus difficile et dans certains cas, impossible raliser enpratique. Dun autre cot, sur un corps fini, on peut toujours effectuer une recherche exhaustivepour trouver les solutions dun systme polynomial. Lide de notre approche est de mlangerla recherche exhaustive avec le calcul de bases de Grbner. Cette mthode consiste fixer kvariables pour calculer les bases de Grbner de plusieurs systmes avec moins de variables et quiseront gnralement plus faciles rsoudre. Intuitivement, on aimerait que le cot de la rechercheexhaustive sur les k variables soit moindre que le gain quon aurait en calculant des bases deGrbner sur de plus petits systmes. Nous avons tudi la complexit dune telle approche dansle cadre de systmes semi-rguliers [3]. Notre travail se base sur les rsultats de Bardet [1]. Il estclair que lefficacit de cette approche dpend du choix du paramtre k. Nous donnons dans cetexpos une analyse du comportement de cette approche hybride. En particulier, il est possible detrouver le meilleur compromis thorique entre la recherche exhaustive et les bases de Grbner.Pour des corps de taille moyenne, cette mthode amliore la complexit de rsolution de systmes.Cette approche se rvle tre efficace en pratique et a t utilise pour la cryptanalyse de diffrentscryptosystmes bass sur des systmes polynomiaux (TRMS [2], UOV [6]).

[1] Magali Bardet, Jean-Charles Faugre, Bruno Salvy, and Bo-Yin Yang. Asymptotic behaviourof the degree of regularity of semi-regular polynomial systems. In Proc. of MEGA 2005,Eighth International Symposium on Effective Methods in Algebraic Geometry, 2005.

[2] Luk Bettale, Jean-Charles Faugre, and Ludovic Perret. Cryptanalysis of the TRMS signaturescheme of PKC05. In Progress in Cryptology AFRICACRYPT 2008, volume 5023 ofLecture Notes in Computer Science, pages 143155. Springer, 2008.

[3] Luk Bettale, Jean-Charles Faugre, and Ludovic Perret. Hybrid approach for solving multiva-riate systems over finite fields. Journal of Mathematical Cryptology, 2009.

[4] Jean-Charles Faugre. A new efficient algorithm for computing Grbner bases (F4). Journal ofPure and Applied Algebra, 139 :6188, June 1999.

[5] Jean-Charles Faugre. A new efficient algorithm for computing Grbner bases without reductionto zero (F5). In T. Mora, editor, Proceedings of the 2002 International Symposium onSymbolic and Algebraic Computation ISSAC, pages 7583. ACM Press, July 2002. isbn :1-58113-484-3.

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[6] Jean-Charles Faugre and Ludovic Perret. On the security of UOV. In SCC 08, 2008.

10. Multiplication matrice creuse vecteur dense sur des corps finis pourarchitectures GPU et multicurs.

Brice Boyer (LJK, Universit de Grenoble)Introduction. Nous avons implment 1 de manire efficace lopration Sparse Matrix-Vector

multiplication (en abrg spmv) sur des corps. Laccent a surtout t mis sur des anneaux detype Z/mZ avec m plus petit quun mot machine. La raison de cet exercice est double. Dune part,les ordinateurs personnels ou mme portables comportent de plus en plus de curs, souvent sous-utiliss, ainsi que des cartes graphiques de plus en plus performantes, capables dtre programmesassez facilement pour une utilisation purement calculatoire (Nvidia Cuda, Ati Stream, OpenCL).De plus, les cartes graphiques offrent des performances suprieures prix comparable, do, enles paralllisant, une utilisation possible en tant que super-calculateur pour certains problmes.Dautre part, lopration spmv tant une opration de base dans les algorithmes de type botenoire ([6], [3]), les utilisations directes de cette librairie sont donc trs vastes.Gnralits sur limplmentation. Lopration de base est y Ax+y, permettant deffectuerplus gnralement lopration y Ax + y. Nous avons aussi besoin dimplmenter loprationtranspose >y >xA+ >y. Pour cela, lorsque la mmoire le permet, il est en ltat bien plusefficace (par un ou deux ordres de grandeur) de transposer A et de se reporter au cas de base.Lopration Y AX + Y, o Y est un bloc de vecteurs, est aussi implmente car ncessairedans les algorithmes par blocs ([5]). Les formats qui servent de base au stockage des matrices sontCOO (coordinate format), DIA (diagonal format), CSR (compressed storage row format), ELL(Ellpack), modifis selon les besoins ([7]). Dans la liste des formats drivs de ces quatre formatsde base figurent notamment ceux pour lesquels les matrices sont constitues uniquement de 1 (oude 1). En effet, il nest pas rare que des matrices issues de certaines applications soient richesen 1. On en trouve aussi probablement une forte proportion dans des matrices gnrales sur depetits anneaux. Lintrt est alors double : lespace mmoire destin aux valeurs non nulles deA est inutile et les multiplications sont remplaces par des additions. On cre ainsi des formatshybrides en sparant les 1 des autres lments. Dans le mme esprit, on cre aussi des formatshybrides en juxtaposant deux formats simples, par exemple ELL+CSR dans le cas dune matricequi a un nombre presque constant dlments non nul par ligne sauf un certain nombre de lignes.Ensuite une matrice est dcoupe en sous-matrices stockes selon ces formats. Lutilisateur peutsoit choisir les formats hybrides dans lesquels il veut encoder sa matrice, soit laisser le programmedcouper heuristiquement la matrice et choisir les formats. Les techniques utilises pour amliorerles performances reposent sur lutilisation des oprations rapides sur les nombres flottants, de lalocalit en mmoire des donnes, de la rduction modulo m diffre, de reprsentations diversesdes lments de lanneau (voir [4]).Paralllisation. Nous avons utilis dune part OpenMP 2 sur les architectures multicurs etdautre part la technologie Cuda 3 de Nvidia sur les cartes graphiques la supportant la version2.3 de Cuda ne permettant pas leur utilisation simultane dans des codes templts. Nous noussommes largement inspirs du travail de Bell et Garland (voir [1] et leurs rfrences) pour lapartie sur GPU en adaptant leur noyaux nos problmes. Pour la plupart des formats simples,la paralllisation est effectue au niveau des lignes. Le dcoupage dune matrice en sous-matricespermet un autre type de paralllisme partiellement explor dans cette librairie.Quelques rsultats. Le tableau suivant donne une ide des performances sur quelques matrices 4issues de divers problmes.Le gain en performance par rapport la librairie dalgbre linaire LinBox 5 est clair.Conclusion. Cette librairie donne des rsultats performants sur les anneaux de type Z/mZ etpeut donc tre utilise plus globalement. Nous allons donc en intgrer une partie dans LinBox,et nous allons en profiter pour ltendre naturellement aux corps finis non premiers. Il sera aussi

1. https ://ljkforge.imag.fr/projects/ffspmvgpu/2. http ://openmp.org/3. http ://www.nvidia.fr/object/cuda_home_new_fr.html4. disponibles sur http ://ljk.imag.fr/membres/Jean-Guillaume.Dumas/simc.html5. http ://linalg.org

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matrice m133.b3 GL7d15 mpoly2 GL7d19(dim-#non zro106) 0,2M-0,8M 0,4M-6M 2,4M-16M 1,9M-37M

Linbox 0,2 0,3 0,2 0,21core 0,3 0,4 0,5 0,28 core 1,5 1,6 1,9 0,9GTX 6,6 8,3 4,4 1,1

Figure 1: GFlops sur lopration y A20x mod 31 sur Intel 8c ore 3.2GHzavec Nvidia GTX 280

important dimplmenter lopration spmv sur de petits corps compresss, notamment Z/2Z. Letravail prochain consistera donner la possibilit de mieux pr-trater la matrice, en la parti-tionnant par exemple avec metis 6 et/ou en choisissant mieux les formats des sous-matrices. Cetravail en amont de spmv est utile lorsque A est rutilise abondamment. Finalement, il sera int-ressant de se pencher sur le cas des matrices pour lesquelles A et >A ne peuvent pas tre stockessimultanment ([2]).

[1] Nathan Bell and Michael Garland. Implementing sparse matrix-vector multiplication onthroughput-oriented processors. In SC 09 : Proceedings of the Conference on High Per-formance Computing Networking, Storage and Analysis, pages 111, New York, NY, USA,2009. ACM.

[2] Aydin Bulu, Jeremy T. Fineman, Matteo Frigo, John R. Gilbert, and Charles E. Leiserson.Parallel sparse matrix-vector and matrix-transpose-vector multiplication using compressedsparse blocks. In SPAA 09 : Proceedings of the twenty-first annual symposium on Paralle-lism in algorithms and architectures, pages 233244, New York, NY, USA, 2009. ACM.

[3] Li Chen, Wayne Eberly, Erich Kaltofen, B. David, B. David Saunders, William J. Turner,and Gilles Villard. Efficient matrix preconditioners for black box linear algebra. In LinearAlgebra and Applications 343344 (2002), 119146. Special issue on Structured and InfiniteSystems of Linear Equations, pages 343344, 2001.

[4] Jean-Guillaume Dumas, Pascal Giorgi, and Clment Pernet. Dense linear algebra over word-size prime fields : the fflas and ffpack packages. ACM Trans. Math. Softw., 35(3) :142,2008.

[5] Wayne Eberly. Reliable krylov-based algorithms for matrix null space and rank. In ISSAC 04 :Proceedings of the 2004 international symposium on Symbolic and algebraic computation,pages 127134, New York, NY, USA, 2004. ACM.

[6] William Jonathan Turner. Black box linear algebra with the linbox library. PhD thesis, 2002.Chair-Kaltofen, Erich.

[7] F. Vazquez, E. M. Garzon, J. A. Martinez, and J. J. Fernandez. The sparse matrix vectorproduct on gpus. Technical Report, June 2009.

11. Le schma de Hilbert.Jrome Brachat (Galaad, INRIA Sophia-Antipolis)

Nous nous intressons dans cet expos la reprsentation effective du schma de Hilbert 0-dimensionel. Nous donnons ainsi de nouvelles quations plus simples que celles dj introduitespar Bayer et Iarrobino-Kleiman. Ces quations, qui sont du mme type que les relations de Plucker,dfinissent le schma de Hilbert comme un sous schma ferm de la Grassmannienne. Elles sontdduites des relations de commutation caractrisant les bases de bord ainsi que des relations dercriture.

12. Sur les singularits dune courbe algbrique plane rationnelle.Laurent Bus (Galaad, INRIA Sophia-Antipolis)

Soit k un corps algbriquement clos. Dans la lecture 19 de son livre [1], Abhyankar dfinit lersultant de Taylor de deux polynmes f(t), g(t) k[t] comme le rsultant liminant la variable t

6. http ://glaros.dtc.umn.edu/gkhome/metis/metis/overview

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des polynmesf(t) f(s)t s

= f (s) + f(s)2!t+ f

(s)3!t2 + ,

g(t) g(s)t s

= g(s) + g(s)2!t+ g

(s)3!t2 + .

Comme il lnonce dans son thorme page 153, sans toutefois le dmontrer, ce rsultant de Taylorest un gnrateur du conducteur de k[f(t), g(t)] dans k[t]. En particulier, il permet de dcidersi k(t) = k(f(t), g(t)), si k[t] = k[f(t), g(t)] et de calculer les points singuliers de la courbeparamtre par x = f(t), y = g(t). Ce rsultat est partiellement dmontr dans [7] et interprt entermes de sous-rsultants dans [5]. Le thorme dAbhyankar ne traite que des courbes rationnellesadmettant des paramtrisations polynomiales. Il est donc tout naturel de se poser la question desa gnralisation au cas des courbes rationnelles gnrales, cest--dire au cas o f(t), g(t) k(t).Larticle [6] propose une gnralisation partielle du thorme dAbhyankar. Si f = fn/fd et g =gn/gd, les auteurs dfinissent le rsultant de Taylor comme le rsultant liminant la variable t despolynmes

(1) fn(t)fd(s) fd(t)fn(s)t s

,gn(t)gd(s) gd(t)gn(s)

t s.

Si cette gnralisation du rsultant de Taylor permet de dcider si k(t) = k(f(t), g(t)) ou biensi k[t] = k[f(t), g(t)], elle ne permet pas de retrouver exactement les points singuliers de lacourbe paramtre par x = f(t), y = g(t) (voir [6, Theorem 3.1]). Le principal problme vientdu fait que la formulation (1) introduit une symtrie qui confond les courbes paramtres parx = f(t)1, y = g(t)1. Dans la premire partie de cet expos, on se propose de donner uneextension fidle du thorme dAbhyankar. Elle est obtenue en considrant non plus la param-trisation de la courbe rationnelle, mais le module des relations de cette paramtrisation dans uncadre projectif. Ce module se trouve tre un module libre de rang 2 dont on peut extraire beau-coup dinformations, notamment sur les singularits de la courbe. On obtient ainsi trs simplementune famille de courbes adjointes. Ces rsultats sont publis dans [2]. Dans une deuxime partie,on montrera que les facteurs invariants dune matrice associe un certain sous-rsultant se d-crivent compltement partir du graphe des multiplicits (i.e. des multiplicits obtenues dansune rsolution par clatements successifs) de la courbe rationnelle considre. Ce rsultat, obtenurcemment en collaboration avec Carlos DAndrea [3], prcise et dmontre deux conjectures quiont t nonces dans [4].

[1] Shreeram S. Abhyankar. Algebraic geometry for scientists and engineers, volume 35 of Mathe-matical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1990.

[2] Laurent Bus. On the equations of the moving curve ideal of a rational algebraic plane curve.Journal of Algebra, 321 :23172344, 2009.

[3] Laurent Bus and Carlos DAndrea. Singular factors of rational plane curves.arXiv :0912.2723v1, 2009.

[4] Falai Chen, Wenping Wang, and Yang Liu. Computing singular points of plane rational curves.J. Symb. Comput., 43(2) :92117, 2008.

[5] MHammed El Kahoui. D-resultant and subresultants. Proc. Amer. Math. Soc., 133(8) :21932199 (electronic), 2005.

[6] Jaime Gutierrez, Rosario Rubio, and Jie-Tai Yu.D-resultant for rational functions. Proc. Amer.Math. Soc., 130(8) :22372246 (electronic), 2002.

[7] Arno van den Essen and Jie-Tai Yu. The D-resultant, singularities and the degree of unfaith-fulness. Proc. Amer. Math. Soc., 125(3) :689695, 1997.

13. Codes quasi-cycliques et polynmes coefficients matriciels.Christophe Chabot (IRMAR, Universit de Rennes 1)

Les codes `-quasi-cycliques sont des codes stables par laction du dcalage circulaire de ` posi-tions. Ils sont en fait une gnralisation des codes cycliques (` = 1). On sintresse ici des codes`-quasi-cycliques de longueur n = `m sur Fq. Notre motivation est de gnraliser les rsultats

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obtenus avec les codes cycliques tels que la gnration par des polynmes et la caractrisation ducode dual. On sait que les codes cycliques peuvent tre vus comme engendrs par des polynmesC = g(X). De plus un des rsultats importants est la caractrisation facile du dual. En effet,C = h(X) si Xn 1 = g(X)h(X) (o h dsigne le polynme rciproque de h).Tout dabord, nous faisons agir lanneau des polynmes coefficients matriciels M`(Fq)[X] sur dessuites coefficients dans F`q. On peut adapter cette action sur les mots dun code quasi-cycliquevivant dans F`mq . De cette manire, on construit des codes quasi-cycliques annuls par des poly-nmes (C = (P )). Il est de plus facile dexpliciter une matrice gnratrice du code annul par unpolynme donn P .On obtient aussi un rsultat analogue celui des codes cycliques ((P ) = (tQ) dans le casEuclidien et (P ) = ((tQ)) dans le cas Hermitien). Ceci nous permet de construire effective-ment des codes autoduaux Euclidiens et Hermitiens et pour la plupart des longueurs, les meilleuresdistances minimales connues sont atteintes par des codes de ce type.

14. Un algorithme quasi-optimal pour la dcomposition des fractions rationnelles enplusieurs variables.

Guillaume Chze (Institut de Mathmatiques de Toulouse, Universit Paul Sabatier Toulouse 3)Dans cet expos nous allons prsenter un algorithme permettant de dcomposer les fractions

rationnelles de plusieurs variables.Une fraction rationnelle f K(X1, . . . , Xn) est dite dcomposable lorsquelle peut scrire f = uh,avec u K(T ), h K(X1, . . . , Xn) et deg u 2 ; sinon f est dite indcomposable. La dcompositionest utilise pour tudier : la version gnralise du thorme de Lroth (i.e. cas multivari), laclture entire de lanneau K[f ], le spectre des fractions rationnelles . . ..Nous prsenterons un algorithme probabiliste permettant dobtenir sous certaines hypothses ladcomposition de f K(X1, . . . , Xn) avec O(dn) oprations arithmtiques dans K o d est le degrde f et n 3 est fix.La principale remarque permettant notre algorithme de fonctionner est la suivante : Si f =f1/f2 K(X1, . . . , Xn) et f = uh avec u = u1/u2 et h = h1/h2 alors f1f2 = e

deg fi=1 (h1ih2)

o e K, et les i sont les racines de u1 u2.Cette mthode ramne donc le problme de la dcomposition un problme de factorisation.

15. Rgularisation et solutions rgulires de systmes diffrentiels linairesCarole El Bacha (Universit de Limoges ; CNRS ; XLIM UMR 6172 ; DMI)

Nous considrons un systme de n quations diffrentielles linaires dordre `(2) L(x, )(y(x)) = A`(x)`(y(x)) + +A1(x)(y(x)) +A0(x) y(x) = 0,

o = x ddx

et pour i = 0, . . . , `, Ai(x) K[x]nn (Q K C) est une matrice carre de taille n coefficients polynomiaux et nous nous intressons au calcul de ses solutions rgulires formelles,i. e., de la forme y(x) = x0 z(x) o 0 K, la clture algbrique de K, et z(x) K[ln(x)][[x]]n. un tel systme, nous associons la matrice polynomiale

L(0, ) = A`(0)` + +A1(0)+A0(0).Ce problme a t trs tudi dans le cas scalaire n = 1 o diffrentes mthodes ont t dveloppes(e. g., celles de Frobenius - 1873, Heffter - 1894 et Poole - 1936). On montre que lexposant 0 Kdoit tre choisi comme racine du polynme indiciel L(0, ). La mthode de Heffter a t gnraliseau cas des systmes du premier ordre ` = 1 dans [4] et au cas gnral, n et ` arbitraires, dans[1] o le problme est rduit au calcul de sries formelles solutions de systmes aux rcurrences.Rcemment, dans [3], nous avons propos un algorithme utilisant lapproche de Poole pour calculerune base de lespace des solutions rgulires des systmes de la forme (2) vrifiant la condition A`(0)inversible. Ici, lexposant 0 K doit tre choisi comme valeur propre de la matrice polynomialeL(0, ) cest--dire doit vrifier det(L(0, 0)) = 0. Ce dterminant joue donc le rle du polynmeindiciel dans le cas scalaire. Cet algorithme a t implment en Maple et nous avons donn uneestimation de sa complexit. Dans ce mme papier, nous avons aussi indiqu comment gnraliserla mthode de Frobenius ce cas.Dans la premire partie de lexpos, nous montrons que la mthode dcrite dans [3] peut tre

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applique tout systme (2) vrifiant la condition det(L(0, )) 6= 0 et que la dimension de lespacedes solutions rgulires est gale au degr de det(L(0, )). Nous modifions lgrement lalgorithmeprsent dans [3] pour quil retourne la solution rgulire gnrale du systme (2). La deuximepartie est ddie au cas o le systme (2) vrifie la condition det(L(0, )) 0. Nous supposonsici que le coefficient de tte A`(x) est inversible dans K(x)nn ce qui garantit que lespace dessolutions rgulires de (2) est de dimension finie. Nous dveloppons un algorithme qui, tant donnun tel systme, calcule un systme auxiliaire L(x, )(u(x)) = 0 vrifiant det(L(0, )) 6= 0. Ainsi,lalgorithme dvelopp dans la premire partie peut tre appliqu pour calculer la solution rguliregnrale de L(x, )(u(x)) = 0 partir de laquelle nous montrons comment retrouver celle de (2).Dans un premier temps, nous nous intressons lexistence dun changement de variable y = T uavec T GLn(K(x)) ralisant une telle rgularisation. Notons que le systme L(x, )(u(x)) = 0obtenu par ce cha ngement de variable est lui aussi dordre ` et quivalent (2), dans le sensquil existe une bection entre leurs espaces de solutions respectifs. En utilisant le calcul dunebase minimale ( droite) de la matrice polynomiale L(0, ) (voir [5]), nous donnons un algorithmepermettant de calculer un tel changement de variable lorsquil existe, ou de prouver quil nenexiste pas. La non-existence dun changement de variable rendant la matrice polynomiale associeau nouveau systme rgulire est due lexistence dlments non-constants (i. e., dpendantsde ) dans une base minimale ( droite) de la matrice polynomiale associe lun des systmesdiffrentiels auxiliaires construits par lalgorithme. Lorsquun tel changement de variable nexistepas, nous dveloppons une autre mthode consistant appliquer au systme (2) une succession detransformations lmentaires, e. g., ajouter une quation une autre multiplie gauche par unoprateur diffrentiel scalaire ou bien multiplier une quation gauche par un oprateur diffrentielscalaire non-nul. En suivant cette dmarche analogue celle de lalgorithme EG propos parAbramov et al dans [2], nous proposons un algorithme, qui tant donn le systme (2) avec A`(x)inversible dans K(x)nn, calcule un systme associ L(x, )(u(x)) = 0 vrifiant det(L(0, )) 6= 0.Notons que ce systme est en gnral dordre suprieur ou gal ` et nest pas ncessairementquivalent au systme (2) ; cependant la solution rgulire gnrale de (2) peut sobtenir partirde celle de L(x, )(u(x)) = 0. La complexit des diffrents algorithmes proposs est analyse et cesalgorithmes ont t implments en Maple.

[1] S. Abramov, M. Bronstein and D. E. Khmelnov. On Regular and Logarithmic Solutions ofOrdinary Linear Differential Systems. Computer Algebra in Scientific Computing, LectureNotes in Computer Science, Springer Verlag, 3718 :1-12, 2005.

[2] S. Abramov, M. Bronstein and D.E. Khmelnov. Regularisation of Linear Recurrence Systems.Transactions of the A.M. Lyapunov Institute, 4 : 158-171, 2003.

[3] M. Barkatou, T. Cluzeau and C. El Bacha. Algorithms for Regular Solutions of Higher-OrderLinear Differential Systems. In Proceedings of ISSAC2009, p. 7-14, ACM Press.

[4] M. Barkatou and E. Pflgel. An Algorithm Computing the Regular Formal Solutions of aSystem of Linear Differential Equations. J. Symbolic Computation, 11 :1-20, 1998.

[5] F. De Tern, F. M. Dopico and D. S. Mackey. Linearizations of Singular Matrix Polynomialsand the Recovery of Minimal Indices. Electronic J. of Linear Algebra ISSN 1081-3810,18 :371-402, July 2009.

16. Arithmtique de boules.

Joris van der Hoeven (CNRS, Universit Paris-Sud)

Dans cet expos, nous proposons une introduction larithmtique des boules. Il sagit dunevariante de larithmtique dintervalles, permettant de faire de lanalyse numrique certifie, touten tant mieux adapt au calcul vectoriel et en prcision multiple. Nous survolerons quelquestechniques classiques, et aborderons quelques questions de complexit algorithmique.

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17. Encoding points on hyperelliptic curves over finite fields in deterministicpolynomial time

Jean-Gabriel Kammerer (DGA/MI, IRMAR, Universit de Rennes 1)

Joint work with R. Lercier and G. Renault.We study parametrizations of bivariate polynomial equations, over finite fields. Those equationsdefine plane algebraic curves. More precisely, let Fq be a finite field of odd characteristic p andH/ Fq : y2 = f(x) where deg f = d be an elliptic (if d = 3 or 4) or hyperelliptic (if d > 5) curve,we consider the problem of computing points on H in deterministic polynomial time.In the case of elliptic curves, we may remark that it is enough to compute one rational point G,since we can have numerous other points from mG for m Z (at least if G is of large enoughorder). To compute such a G, one might test random elements x Fq until f(x) is a square.But without assuming GRH, we have no guarantee of finding a suitable x after a small enoughnumber of attempts. Moreover, without assuming GRH, none deterministic algorithm is knownfor computing square roots when p 1 mod 4. Maybe, a more serious attempt in this directionis due to Atkin and Morain [AM93]. They remark that if x0 is any element of Fq and = f(x0),then the point (x0, (d+1)/2) is on the curve Y 2 = df(X/). But again, the latter can be eitherisomorphic to the curve or its quadratic twist, following that is a quadratic residue or not, andwe have no way to control this in deterministic time.In 2006, Shallue and Woestjine [SvdW06] proposed the first practical deterministic algorithm toencode points into an elliptic curve, quickly generalized by Ulas [Ula07] to the family of hyperellipticcurves defined by the equation y2 = xn + ax + b or y2 = xn + ax2 + bx. In 2009, Icart proposeda much more efficient encoding for elliptic curves, running in deterministic time O(log2+o(1) q)provided that the cubic root function, inverse of x 7 x3 on Fq, is an automorphism. Namely, thisturns into q 2 mod 3 [Ica09]. This encoding uses Cardanos formulae in order to parametrize thepoints (x, y) on the elliptic curve E : x3 + ax+ b = y2. The main difficulty of finding deterministicparametrizations is that every time we have to compute a square root, we need to ensure thatthe element is indeed a square: computing roots of solvable polynomials, among them degree 3polynomials, often begins by computing the square root of a discriminant. Icart annihilates theproblem by cleverly parametrizing y such that the resulting equation in x is always solvable withoutany square rooting algorithm.We present here for each odd degree d a new family of bivariate equations of the form y2 = f(x),which admit as nice parametrizing formulae as Icarts ones. Especially, the encoding algorithmruns in deterministic time O(log2+o(1) q) too. In terms of algebraic curves, this turns into having,for each genus g > 2, a large family of hyperelliptic curves which admit an efficient deterministicencoding function, provided that q 2 mod 3 and, additionally, that q1 and (2g+1) are coprime.This (small) restriction allows to compute efficiently all 3th and (2g + 1)th roots needed by theresolution by radicals. This parametrization essentially works in two steps.

We first write roots of our polynomials f(x) in terms of radicals. We then parametrize auxiliary conics in order to avoid square root computations.

So we get a full parametrization of a large subset of the solutions of any equation in the family.

[AM93] A. O. L. Atkin and F. Morain, Elliptic curves and primality proving, Mathematics ofComputation 61 (1993), no. 203, 2968.

[Ica09] Thomas Icart, How to hash into elliptic curves, CRYPTO (Shai Halevi, ed.), LectureNotes in Computer Science, vol. 5677, Springer, 2009, pp. 303316.

[SvdW06] Andrew Shallue and Christiaan van de Woestne, Construction of rational points onelliptic curves over finite fields, ANTS (Florian Hess, Sebastian Pauli, and Michael E.Pohst, eds.), Lecture Notes in Computer Science, vol. 4076, Springer, 2006, pp. 510524.

[Ula07] Marciej Ulas, Rational points on certain hyperellptic curves over finite fields, Bull. PolishAcad. Sci. Math. (2007), no. 55, 97104.

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18. Algorithmique dans les algbres dinvariants polynomiaux sous un groupe fini.Romain Lebreton (LIX, Polytechnique)

Nous allons prsenter quelques aspects algorithmiques essentiels pour le calculs dans les algbresdinvariants polynomiaux sous un groupe fini. Une manipulation rapide de ces objets a des rpercu-tions pour la rsolution de systmes dquations polynomiales invariantes, pour le calcul de groupesde Galois et autres. La dcomposition dHironaka dune algbre dinvariants permet une rcritureunique et commode de tout invariant. Les algorithmes trouvant une telle dcomposition ont pourfacteur limitant le calcul de dimension dune varit algbrique. Nous dtaillerons quelques pistesdamliorations.

19. Paramtrisation polynomiale des nuds deux ponts.Pierre-Vincent Koseleff (Institut de mathmatiques de Jussieu, UPMC PARIS 6)

Travail commun avec Daniel Pecker (UPMCParis 6).On montre ici comment tout nud rationnel (ou deux ponts) N croisements peut effectivementse paramtrer par une courbe polynomiale x = T3(t), y = Tb(t), z = C(t), o 3 ne divise pas b, Tnest le polynme de Chebyshev de degr n, et b+ degC = 3N . On sait que tout nud non compactpeut-tre obtenu comme plongement polynomial R R3 S3. Lobjet de cet expos est de donnerune mthode effective de paramtrisation des nuds rationnels par une courbe polynomiale. Unnud (compact) rationnel (ou deux ponts) a la proprit quil admet un diagramme 4-plat de laforme suivante : Ici les ai Z dsignent le nombre de croisements (positifs ou ngatifs). On peut

a1

a2 an1

an

a1

a2

an1

an

Figure 2: Forme normale de Conway C(a1, . . . , an), n impair ou pair

identifier (Schubert, 56) les nuds rationnels grce la fraction continue

= [a1, . . . , an], > 0.

Deux fractions de Schubert

et

reprsentent le mme nud ( mirroir prs) si et seulement

si = et = 1 (mod). On considre ici des nuds non compacts en envoyant un point linfini. Nous traitons deux problmes :

Trouver une courbe plane (x(t), y(t)) (minimale) qui puisse tre la projection du nud tudi. Trouver une hauteur z(t) telle que le courbe gauche obtenue soit effectivement le nud voulu.

Il est commode de chercher les projections de ces nuds comme des courbes planes de Chebyshev :C(a, b) : x = Ta(t), y = Tb(t). Elles ont exactement 12 (a 1)(b 1) points doubles rels, ce quifait quune courbe gauche rgulire x = Ta(t), y = Tb(t), z = C(t) est isotope un nud debilliard. Dans le cas o a = 3, le diagramme obtenu C(3, b) est naturellement sous forme deConway C(1, . . . ,1). Nous dmontrons tout dabord : tout nombre rationnel

scrit de faon

unique comme fraction continue [e1, e2, . . . , en], o ei = 1, en1en > 0 et o il ny a pas deuxchangements de signe conscutifs. Cette proprit conduit mettre en relation le monode libreengendr par les homographies et o : x 7 1 + x et : x 7 1/x et lensembledes nuds rationnels, ce qui permet de retrouver de faon lmentaire des rsultats classiquesde dnombrement des nuds rationnels. Nous dmontrons ensuite : Tout nud rationnel Ncroisements sobtient comme courbe polynomiale x = T3(t), y = Tb(t), z = C(t) o b+degC = 3N .Ces courbes semblent tre de degr minimal. On donnera galement les paramtrisations explicites

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minimales pour des familles infinies de nuds rationnels, tels que les nuds toriques o les nudsde Fibonacci. Rfrences

Koseleff, P.-V., Pecker, D, Chebyshev knots, paratre dans Journal of Knot Theoryand Ramifications. arXiv :0812.1089Koseleff, P.-V., Pecker, D, Chebyshev diagrams for two-bridge knots, 25p., en rvision,arXiv :0909.3281

20. Mathemagix : langage, fonctionnalits et performancesJ. van der Hoeven, B. Mourrain, G. Lecerf, O. Ruatta, Ph. Trbuchet (Mathemagix)

Nous prsenterons ltat actuel du systme de calcul analytique et symbolique Mathemagix(www.mathemagix.org). Nous commencerons par une brve description du langage et de ltatdavancement du compilateur. Nous prsenterons ensuite les fonctionnalits disponibles dans leslibrairies C++ : types numriques, polynmes, sries, matrices, etc.

21. NumGfun : calcul efficace en Maple des solutions analytiques dquationsdiffrentielles linaires coefficients polynomiaux.

Marc Mezzaroba (INRIA Rocquencourt)Lobjet de cet expos est de prsenter NumGfun, un module Maple consacr la manipulation

analytique des solutions dquations diffrentielles linaires coefficients polynomiaux (fonc-tions D-finies ou holonomes). Les principales fonctionnalits de NumGfun concernent lvaluationnumrique des fonctions D-finies, et le calcul symbolique de bornes asymptotiquement fines qui permettent de contrler leur comportement. En particulier, NumGfun contient ce qui sembletre la seule implmentation gnrale des algorithmes de prolongement analytique numrique desfonctions D-finies donns par D.V. et G.V. Chudnovsky la fin des annes 1980. Je ferai unedmonstration de lutilisation de NumGfun, et je reviendrai sur quelques-uns des algorithmes surlesquels il sappuie.

22. Triangular Decomposition of Semi-Algebraic SystemsMarc Moreno Maza (University of Western Ontario)

This is joint work with Changbo Chen, James H. Davenport, John P. May, Bican Xia and RongXiao.Regular chains and triangular decompositions are fundamental and well-developed tools for descri-bing the complex solutions of polynomial systems. We propose adaptations of these tools focusingon solutions of the real analogue : systems of equations, inequations and inequalities given by po-lynomials with rational number coefficients.We introduce the notion of a regular semi-algebraic system and show that any semi-algebraicsystem S can be decomposed into finitely many regular semi-algebraic systems, that we call atriangular decomposition of S. We show that under some assumptions, such a decomposition canbe computed in singly exponential time w.r.t. the number of variables.We also propose for this task an algorithm that is suitable for implementation. In this case, we rely

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www.mathemagix.org


on the notions of border polynomial and fingerprint polynomial set for real root classification ofparametric polynomial systems. We establish singly exponential running time estimates for com-puting these objects.We also report on the implementation of this algorithm for triangular decomposition of semi-algebraic systems. Our comparative experimental results illustrate the effectiveness of the presen-ted algorithm.Changbo ChenUniversity of Western [email protected]

James H. DavenportUniversity of [email protected]

John P. [email protected]

Marc Moreno MazaUniversity of Western [email protected]

Bican XiaPeking [email protected]

Rong XiaoUniversity of Western [email protected]

23. tude des solutions stables et chaotiques dun modle biologique.Guillaume Moroz (LIP6)

Les impulsions lectriques dun rseau de neurones peuvent se modliser par un systme dqua-tions diffrentielles dpendant de paramtres biologiques. En fonction des paramtres, le signal peuttre stable ou encore chaotique. Afin de mieux comprendre les diffrents comportements du signalnerveux observ exprimentalement, il est important de russir classer les paramtres biologiquesen fonction du caractre stable ou chaotique des solutions du systme diffrentiel correspondant. Jemontrerai comment une approche de type calcul formel permet dobtenir des rsultats intressantspour ce problme.

24. Dcomposition de tenseurs, matrices de moments et polynmesBernard Mourrain (INRIA Sophia Antipolis - Mditerranne)

Travail en commun avec J. Brachat, P. Comon, E. Tsigaridas.Dans des domaines dapplications assez varis (traitement du signal, tlcommunication, fouille dedonnes, statistique, chmomtrie, complexit, ...) apparat le problme suivant : partir dobser-vations, on mesure des quantits corrles qui sont regroupes sous formes de tenseurs. On cherchealors dcomposer de manire minimale ce tenseur en une somme de produits tensoriels de vec-teurs, afin de dduire des informations sur les sources qui conduisent ces observations. Dans lecas de tenseurs dordre deux (i. e. de matrices), ce problme correspond un calcul de rang etdes techniques comme la SVD (Singular Value Decomposition) fournissent des outils numriquesefficaces pour calculer de telles dcompositions. Ce problme stend naturellement des tenseurssymtriques ou des polynmes homognes. Dans ce cas, il est connu sous le nom de problme deWaring. Lanalyse de ce problme est beaucoup plus ouverte que pour les tenseurs dordre deux,autant sur le plan thorique que pratique. Une premire mthode pour calculer le rang et unetelle dcomposition minimale a t propose en 1886 par S. S. Sylvester pour des formes binaires.

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Dans cet expos, nous dcrirons une gnralisation rcente de cette approche des polynmeshomognes quelconques. Des liens avec les problmes des moments (tronqus) seront exhibs ainsique des connexions avec les bases de bords et les approximations de Pad.

[1] J. Brachat, P. Comon, B. Mourrain et E. P. Tsigaridas. Symmetric tensor decomposition. In17th European Signal Processing Conference 2009. (24/08/2009) 525-529.

[2] M. Laurent, B. Mourrain. A Sparse Flat Extension Theorem for Moment Matrices. Archiv derMathematik 93 (2009) 87-98.

25. Borne de Jacobi et calcul de lindex pour toutes les composantesquasi-rgulires dun systme dEDO

Franois Ollivier (LIX, Polytechnique)Avec le soutien du PEPS LDA (Logistique des quations Diffrentielles Algbriques). Travauxen cours avec Alexandre Sedoglavic.IntroductionLe principe de moindre action possde au moins deux caractristiques miraculeuses : une expres-sion aussi lgante que peu intuitive 7 et une efficacit fort prcieuse pour la mise en quationsdun systme physique. Le lagrangien fournit en effet une forme normale, dont le cot se limite une inversion de matrices. Le calcul de formes normales pour des systmes gnraux dquationsdiffrentielles peut donc sembler un jeu gratuit. Toutefois, il nest pas rare en pratique que dessimplifications, difficilement vitables lorsque certaines constantes sont extrmement petites, neviennent troubler cette belle harmonie. Il faut alors driver les quations du systme un nombrede fois suffisant pour quune forme normale ou un ensemble caractristique puisse tre calculs.Cet ordre de drivation est lindex du systme et sa connaisance est dterminante pour majorer lecot des calculs. Lautomatique fait aussi apparatre naturellement des systmes index , parexemple lorsque lon veut calculer les paramtres ou ltat dun systme partir de ses sorties etentres. Par ailleurs, sil est naturel dassocier un problme physique un idal diffrentiel pre-mier, il existe en gnral, si les quations sont non linaires, des solutions singulires : la thorieclassique montre que ce sont les enveloppes des solutions rgulires. Lindex a donc une naturelocale : l o une solution rgulire est tangeante une solution singulire, il faut driver davantagepour discerner les deux solutions et pouvoir intgrer numriquement 8. Il nest pas immdiat demajorer lindex local dune composante rgulire en un point singulier, qui correspond lindexglobal de la composante singulire quelle traverse. Il existe une vaste littrature sur le sujet etde nombreuses notions dindex, en gnral tous nots , qui co ncident gnriquement uneunit prs, certains auteurs estimant que, si lquation nest pas quasi-linaire, il faut toujours ladriver au moins une fois. Nous considrerons ici lindex de forme normale, cest--dire le nombreminimal de drivations ncessaire au calcul dune forme normale ou dun ensemble caractristique 9.

1. Dfinitions

Nous considrons un systme dquations fi = 0, 1 i n qui sont des polynmes diffrentielsen n variables xj coefficient dans un corps diffrentiel k 10. Le systme dquations f engendreun idal diffrentiel [f ], qui est le plus petit idal de k{x} contenant les quations de f et toutes

7. Maupertuis y voyait une preuve de lexistence de Dieu. Voir Les Loix du mouvement et du repos dduites dunprincipe mtaphysique.

8. Lquation x2 4x = 0 est lexemple le plus simple. Les solutions constituent une famille de parabollesdpendant dun paramtre : x(t) = (t + c)2 et son enveloppe est la courbe x(t) = 0. Si lon drive lquation, onobtient x(2x 4) = 0 ; les solutions rgulires satisfont x = 2 et la courbe singulire x = 0.

9. Nous utilisons ici le formalisme de lalgbre diffrentielle[15, 9]. Larticle [12] illustre lutilisation de la bornede Jacobi dans le formalisme des diffits, reprsentes par des formes normales sur des ouverts convenables delespace des jets.

10. Par exemple Q(t) muni de la drivation d/dt ou Q muni de la drivation nulle sont des corps diffrentiels.Lanneau des polynmes diffrentiels, not k{x}, est lanneau de polynmes k[x(j)i ], muni de lunique drivation compatible avec la drivation de k et x(j)i = x

(j+1)i .

17

http://www.lix.polytechnique.fr/~ollivier/http://www.lix.polytechnique.fr/~ollivier/LEDA/http://www2.lifl.fr/~sedoglav/http://www.academie-sciences.fr/archives/fonds_archives/Maupertuis/archives_Maupertuis_oeuvre.htmhttp://www.lix.polytechnique.fr/~ollivier/redirectionMaupertuishttp://www.lix.polytechnique.fr/~ollivier/redirectionMaupertuis


leurs drives. Si k est de caractristique 0, ce que nous supposerons, le radical de [f ] est un idaldiffrentiel, not {f} qui est gal une intersection finie didaux diffrentiels premiers, appelles composantes du systme f : {f} = si=1Pi 11. Nous allons utiliser une hypothse de rgularitnaturelle, qui signifie que lessentiel des invariants du systme sont ceux du systme linaris 12.Dfinition 1. Une composante P de f sera dite (globalement) quasi-rgulire (resp. quasirgulire en I P, o I est un idal premier non ncessairement diffrentiel) si, en dsignant parK/k lextension de corps associe P (resp. I), la famille df (j)i , 1 i n, j N est libre dansk{x}/k k K.

2. La borne de Jacobi

Ce rsultat est contenu dans deux articles posthumes de Jacobi 13. Bien que non dats, on peutestimer quil provient du projet abandonn dun vaste ouvrage intitul Phoronomie. Il sagit duneborne a priori sur lordre dun systme dquations diffrentielles ordinaires, plus prcise que lanalogue diffrentiel du thorme de Bzout prouv par Ritt 14. Soit A la matrice des ordres,dfinie par ai,j := ordxjfi, la borne de Jacobi est exprime par le dterminant tropical 15

O := maxSn

ni=1ai,(i).

Thorme2. Soit P une composante quasi rgulire de f , de dimension diffrentielle 0, lordrede P 16 est au plus O. 17. Jacobi a donn une preuve de ce rsultat qui peut tre rendue par-faitement rigoureuse [13]. Des preuves contemporaines ont t publies [10, 12], y compris dansle cas des EDP [11], mais la borne de Jacobi demeure conjecturale dans le cas de composantessingulires qui ne sont pas quasi rgulires. On trouvera plus de dtails dans notre article [13] etla page www.lix.polytechnique.fr/ char176ollivier/Borne_Jacobi_I/ Jacobi ne sest pas content dunrsultat thorique, il a galement fourni un algorithme permettant de calculer cette borne en tempspolynomial. Celui-ci a t rinvent par Kuhn en 1955. Lide de base est de calculer le canon mi-nimal, cest--dire lunique n-uplet dentier i telle que la matrice (ai,j +i) possdent des termesmaximaux dans chaque colonne, qui soient situs dans des lignes toutes diffrentes. On conoitque, sous cette hypothse, le calcul du dterminant tropical devient ais. Notons = maxi i,i = i et j = maxi ai,j i. Les n-uplet constituent dans le vocabulaire de Kuhn unecouverture minimale, cest--dire des n-uplets minimaux tels que ai,j i + j . Jacobi affirme enoutre que la borne est atteinte ssi le dterminant tronqu |fi/x

(i+j)j | est non nul [4, 12]. Sous

cette hypothse, il montre quune forme normale peut tre calcule en drivant lquation fi auplus i fois 18 et que lon peut calculer une rsolvante en xj0 19 en drivant lquation fi un nombre

11. Dans notre exemple, {x2 4x} = [x2 4x, x 2] [x] ; on constate que mme un polynme sans facteurpeut engendrer un idal diffrentiel contenant plusieurs composantes.

12. Cette ide a t explicitement formule par Jacobi. On la retrouve sous une forme moderne dans les travaux deJohnson, qui la utilise pour la conjecture de Janet [7, 8]. Sur notre exemple, le systme linaris est 2xdx + 4dx,soit Ki, i = 1, 2 les extension de corps diffrentiel associes aux composantes rgulire et singulire de lquation.Dans k{x}/k k K2, lquation linarise devient 4dx = 0, puisque x = 0 dans K2 : elle est donc dordre nul, gal celui de la composante x = 0.

13. Nous renvoyons aux traductions anglaises [4, 5] ainsi quaux traduction franaises et aux textes latin originauxdisponible sur la page web http://www.lix.polytechnique.fr/~ollivier/JACOBI/jacobi.htm

14. La borne de Ritt estnj=1 max

ni=1 ordxj fi.

15. La gomtrie tropicale sobtient en remplaant les produit par des sommes et les sommes par des maxima ouminima. Il est plaisant de songer que le dterminant tropical a t invent Konigsberg : 65 jours de neige et 159jours de pluie par an en moyenne.

16. La dimension diffrentielle est le nombre de fonctions arbitraires intervenant dans une solution ; lordre estle nombre de conditions initiales pouvant tre choisies arbitrairement, ou encore le dgr de transcendance algbriquede lextension de corps K/k associe une composante P.

17. On peut amliorer le rsultat en posant ordxj fi = si fi est exempte de xi et de ses drives. Cest laborne forte. Par ailleurs, on peut aussi faire dpendre lexpression de lordre de la composante P choisie en posant :ai,j = Pordxj fi := max{`|fi/x

(`)j / P}.

18. Un rsultat redcouvert par Pryce en 2001 [14].19. Cest--dire une quation dordre O ne dpendant que de xj0 et n 1 quations exprimant xj , j 6= j0, en

fonction de xj0 et de ses drives ; sous rserve que ces expressions existent.

18

http://portail.atilf.fr/cgi-bin/getobject_?a.92:172./var/artfla/encycloped ie/textdata/image/http://www.lix.polytechnique.fr/~ollivier/Borne_Jacobi_I/http://en.wikipedia.org/wiki/Hungarian_algorithmhttp://www.lix.polytechnique.fr/~ollivier/JACOBI/jacobi.htm


de fois gal au dterminant tropical de la matrice obtenu en remplaant dans A la ligne i et lacolonne j0 par des 0[5, 13].

3. Index de forme normale

Les rsultats de Jacobi incitent rechercher des bornes plus gnrales pour lindex en sinspi-rant de ses mthodes. Cest ce quont fait avec succs nos collgues argentins Lisi DAlfonso,Gabriela Jeronimo, Gustavo Massaccesi et Pablo Solern [2]. La notion dindex quils considrentest lordre de drivation ncessaire pour mettre en forme normale le systme linaris. Pour desraisons techniques, ils nutilisent pas la borne forte et se restreignent des formes normales pourdes ordres respectant lordre de drivation (orderly orderings). Nous considrerons des ordres plusgnraux, avec la borne forte, qui a lavantage dtre compatible avec la rduction lordre 1. Maissurtout, nous montrons que si une composante est rgulire, leur borne stend la mise en formenormale, ou au calcul dun ensemble caractristique pour le systme non linaire f lui-mme.

Dfinition 3. On appelle index de forme normale (resp. multiindex) dune composante P def le plus petit entier P (resp. un n-uplet minimal) 20 tel quil existe un ensemble caractristiqueA de P et un polynme diffrentiel g tels que A (f (`)i |1 i n, 0 ` P) : g (resp.A (f (`)i |1 i n, 0 ` Pi) : g . On dfinira de mme des index et multi-index P et P,correspondant respectivement au calcul dun ensemble caractristique pour un ordre spcifi surles drives et au calcul de tous les ensembles caractristiques possibles. Il nous faut maintenantprciser ce quil faut entendre par composante rgulire. Nous proposons la dfinition suivante, quiest manifestement compatible avec la thorie classique dans le cas dune quation unique.

Dfinition 4. Nous dirons quune composante quasi rgulire P de f est rgulire si, pourtout ordre, toute composante Q de f distincte de P admet un ensemble caractristique A 6 P.

Thorme5. Si P est une composante rgulire, alors

Pi i +O ordP et Pi Dt. trop. iA,o iA dsigne la matrice obtenue en remplaant dans A la ligne i par des zros 21 Les argumentsdune preuve sont les suivants. On commence par montrer que lon peut se ramener au cas linaire,pourvu que dA (df `i |0 ` i) implique A (f `i |0 ` i) : g. Ceci nest pas toujoursvrai, mais la proprit est gnrique, et lon peut modifier le systme, sans en changer la matriceA, ni lindex ou le multi-index 22, de sorte que ceux du systme linaris co ncident. Ensuite,pour prouver la majoration de Pi dans le cas linaire, on peut ajouter des seconds membresgnriques dfi = zi. Le multi index i de lquation i sera lordre de zi dans une forme normale.Si dxj est la drive de tte dune des quations de dA o zi apparat lordre le plus grand,on peut sans drivation calculer une forme normale pour un systme en x1, . . ., xj1, zi, xj+1,. . ., xn partir de dA. On conclut en majorant lordre de zi grce la borne de Jacobi. Pourla majoration de Pi, on utilise la mthode de JacobiPryce. Si le dterminant tronqu est nonnul, on a lgalit. Sinon, il faut remarquer que toute drivation supplmentaire dune quationfait chuter (au moins) dautant lordre du systme. Cette majoration correspond en fait majorerPi pour un ordre respectant lordre de Jacobi Jordx

(`)j := ` j . On peut obtenir des rsul-

tats semblables pour tous les ordres de ce type, dont ceux respectant lordre de drivation standard.

4. Index dune composante singulire quasi rgulire

Notre approche repose sur une prparation la Ritt [15, II 17 p. 63]. On considre une composantesingulire quasi-rgulire P de f ; il existera donc une composante rgulire Q, dont lensemblecaractristique rduit B (pour un ordre de Jacobi, afin de faciliter le calcul) sera dans P. SoitA un ensemble caractristique de P pour le mme ordre. Les lments Bi de B seront rcrits

20. Il est noter que les multi-index minimaux ne sont pas ncessairement uniques. Ceci est sans inconvnient enpratique, lessentiel tant de disposer des bornes a priori les plus fines pour les calculs.

21. Ce rsultat est rapprocher des rsultats obtenus par Jacobi pour le calcul des rsolvantes, qui consituentnaturellement les cas extrmes.

22. Dans le cas o les multi index ne sont pas unique, un seul peut naturellement tre prserv.

19

http://books.nap.edu/html/biomems/jritt.pdf


sous la forme de polynmes en les lments Ai de A, dont les coefficients sont irrductibles parA et o les Ai apparaissent linairement. On en dduit un systme quivalent B et de la formeCi(x)Ai +Ri(x,A) = 0, Ci / P. Un tel systme peut tre obtenu en drivant les fi un nombre defois qui correspond lindex du systme linaris df dans k{x}/k k K/k o K/k est lextensionassocie P, qui sobtient donc par la mthode vue prcdement. On peut maintenant trouver descombinaisons linaires Li 1 i s n des Ai et extraire de ce systme des quations Li+Si(x, L),1 i s o les Si ne contiennent que des termes de degr au moins 2. Sinon, P ne serait pasune composante isole, mais serait incluse dans les singularits de Q. Soit e lordre maximal des Si(born dans le pire des cas par la borne de Jacobi de f). Pour faire court, nous illustrerons lidefinale sur un exemple : x(e)2 = x. Dordinaire, on calcule un dveloppement en srie en exprimantles termes de degr maximal en fonction des termes de plus bas degr. Mais pour cette quation, ilfaut exprimer x comme x(e)2. La question pose est dtudier une solution en srie dont les premiertermes sont nuls et de savoir jusquo pousser le dveloppemnt pour que tous le soient. Supposonsque lon aille jusqu lordre e. Le developpement de x(e)2 est alors nul jusqu lordre 2(e e). Sidonc e > 2e, le nombre de termes nuls augmente. Il suffit donc daller jusqu lordre 2e+ 1 pourdiscerner la solution singulire nulle des solutions de la composante rgulire. On peut gnralisercette ide pour obtenir une majoration de lindex de forme normale de toute composante singulirequasi rgulire : il faut driver les quations obtenues ci-dessus au plus 2e+ 1 fois, qui sajoutentlindex du linaris, pour sparer les solutions de P et celles de Q. On obtient ainsi une majorationde lindex de forme normale de P et une majoration de lindex local de Q en P, dfini comme suit.

Dfinition 6. Soit I un idal premier de k{x} (non ncessairement diffrentiel), on dfinitun processus de pseudo-rduction local en I en sinterdisant de multiplier par un initial ou unsparant appartenant

I + P. Pour cel, on sinspire de Denef et Lipschitz [3] 23 Il en rsulte des

notions densembles autorduits et densembles caractristiques locaux en I dun idal diffrentiel.Lindex local en I de P est le plus petit entier P[I] tel quil existe un emsemble caractristiquelocal C de P en I et un polynme difrentiel g satisfaisant C (f (`)i |` P[I]) : g.Conclusion

Ces rsultats sont partiels, dans la mesure o ils se limitent au cas quasi rgulier. Toutefois, celacouvre lessentiel des exemples pratiques. Le cas gnral du calcul de linverse dune composantesingulire nest pas immdiat. Cela reviendrait rsoudre le difficile problme de Ritt : dciderlinclusion de deux idaux premiers dfinis par leurs ensembles caractristiques. Nous ne savonspour linstant caractriser que les composantes singulires quasi rgulires. Denef et Lipschitz onmontr que lexistence dune solution en srie est dcidable (uniquement pour un systme dEDO),mais quon ne peut pas dcider lexistence dune solution nannulant pas un polynme donn [3] 24.Il faut donc limiter nos ambitions et le cas quasi rgulier semble un bon cadre. Les majorations delindex sont directement utiles pour tudier la complexit des calculs densembles caractristique,mais aussi celles des algorithmes de rsolutions inspires de la mthode TERA [1]. Une dernirenotion redoutable, lindex de base, qui est le nombre de drivations des polynmes de f ncessairespour calculer une base dune composante P de f , cest--dire un ensemble tel que P = {}.

[1] DAlfonso (Lisi), Jeronimo (Gabriela) and Solern (Pablo), On the complexity of theresolvent representation of some prime differential ideals , Journal of Complexity, 22, (3),2006, 396430.

[2] Lisi DAlfonso, Gabriela Jeronimo, Gustavo Massaccesi, Pablo Solern On the Indexand the Order of Quasi-regular Implicit Systems of Differential Equations, Linear algebraand its applications, 430, (89), Elsevier, 2009, 21022122.

23. Si les coefficients des termes de tte sont dans I, on peut recourir aux termes suivants. Ainsi, le coefficientde tte est un polynme en lordre de drivation. Par exemple avec P := [x3 x] : x, on obtient en drivant2 fois xx(4)+2x(3)2 1, le terme de tte en gris est nul modulo P + (x). Les termes suivants seront de la formexx(`+2)+`x(3)x(`+1) + .

24. Le systme t = 1, tx = ax, a = 0 en (t) ne possde de solution x(t) non nulle que si a est entier ; avecplusieurs systmes de ce type, on construit un systme diophantien. Notons que ce systme nest pas quasi rgulierpour a entier.

20

http://www.dm.uba.ar/tera/http://arxiv.org/abs/0804.4842http://arxiv.org/abs/0804.4842


[3] Denef (Jan) et Lipschitz (Leonard), Power series solution of algebraic differential equa-tions , Math. Ann., 267, 213238, 1984.

[4] Jacobi (Carl Gustav Jacob), Looking for the order of a system of arbitrary ordinary diffe-rential equations , AAECC 20, (1), 732, 2009.

[5] Jacobi (Carl Gustav Jacob), The reduction to normal form of a non-normal system ofdifferential equations , AAECC 20, (1), 3364, 2009.

[6] Houtain (Louis), Des solutions singulires des quations diffrentielles , Annales des uni-versits de Belgique, annes 18511854, 9731323.

[7] Johnson (Joseph), Khler Differentials and Differential Algebra , The Annals of Mathe-matics, 2nd Ser., Vol. 89, No. 1 (Jan., 1969), 9298.

[8] Johnson (Joseph), Systems of n partial differential equations in n unknown functions : theconjecture of M. Janet , Trans. of the AMS, vol. 242, Aug. 1978.

[9] Kolchin (Ellis Robert), Differential algebra and algebraic groups , Academic Press, New-York, 1973.

[10] Kondratieva (Marina Vladimirovna), Mikhalev (Aleksandr Vasilevich), Pankratiev(Evgeni Vasilevich), La borne de Jacobi pour des systmes dquations polynomiales (en russe), Algebra. M. : Moscow University publications, 7985, 1982.

[11] Kondratieva (Marina Vladimirovna), Mikhalev (Aleksandr Vasilevich), Pankratiev(Evgeni Vasilevich), Jacobis bound for independent systems of algebraic partial diffe-rential equations , AAECC, 20, (1), 6571, 2009.

[12] Ollivier (Franois) and Sadik (Brahim), La borne de Jacobi pour une diffit dfinie parun systme quasi rgulier , Comptes rendus Mathmatique, 345, 3, 2007, 139144.

[13] Ollivier (Franois), Jacobis Bound and Normal Forms Computations , Differential Al-gebra and Related Topics, Li Guo et William Y. Sit d., World Scientific, Singapour, paratre en 2010.

[14] Pryce (John D.), A simple structural analysis method for DAEs , BIT, 41, (2), 364394,2001.

[15] Ritt (Joseph Fels), Differential Algebra, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., vol. 33, A.M.S.,New-York, 1950.

26. Dcodage adaptatif pour les systmes multimodulaires redondantsClment Pernet (LIG, Grenoble)

Dans le contexte de calcul distribu sur ressources non-sres (architectures de calcul globales,pair pair, ...), des nuds de calculs malicieux peuvent engendrer des erreurs de type byzantinequil faut tre capable de dtecter et corriger pour assurer la scurit et la fiabilit dun calcul pardes algorithmes tolrants aux pannes (ABFT : algorithm based fault tolerance). Dans le domainedu calculs exact (dans les anneaux des entiers ou de polynmes coefficients dans un corps), laparalllisation repose fortement sur lalgorithme des restes chinois o chaque calcul modulaire estune tche indpendante. En ajoutant quelques calculs modulaires supplmentaires, les codes arith-mtiques introduisent une redondance permettant de reconstruire le rsultat, malgr des erreursnon localises dans certains des calculs modulaires. Ces codes peuvent tre prsents de manireunifie pour les systmes de rsidus redondants sur les polynmes et les entiers, et gnralisantles codes de Reed-Solomon. Nous prsenterons plusieurs variantes de lapplication de lalgorithmedEuclide tendu, rendant le taux de correction adaptatif. Diffrents critres de terminaison per-mettent lutilisation de ces codes sans connaissance a priori de leur paramtres et par consquent dedcoder au mieux avec la redondance disponible. Ils permettent en outre de combiner la tolranceaux pannes avec les approches de terminaison anticipe.

27. Rseaux de Ptri stochastiquesMichel Petitot (LIFL, Universit de Lille I)

Travail en commun avec S. VidalLes rseaux de Ptri sont utiliss dans de nombreux domaines : programmation concurrente, s-ret de fonctionnement, architectures clientsserveurs, conduite datelier, rseaux de rgulation de

21

http://www.lix.poly technique.fr/~ollivier/PRODUCTION_SCIENT/AAECC_Jacobi/jacobi1V3.pdfhttp://www.lix.poly technique.fr/~ollivier/PRODUCTION_SCIENT/AAECC_Jacobi/jacobi1V3.pdfhttp://www.lix.poly technique.fr/~ollivier/PRODUCTION_SCIENT/AAECC_Jacobi/jacobi2V4.pdfhttp://www.lix.poly technique.fr/~ollivier/PRODUCTION_SCIENT/AAECC_Jacobi/jacobi2V4.pdfhttp://shade.msu.ru/~kondra_m/http://www.sigsam.org/bulletin/articles/163/memoriam.pdfhttp://www.sigsam.org/bulletin/articles/163/memoriam.pdfhttp://hal.inria.fr/inria-00128148http://hal.inria.fr/inria-00128148http://www.lix.polytechnique.fr/~ollivier/PRODUCTION_SCIENT/dartiiollivier V5.pdfhttp://www.worldscibooks.com/mathematics/6969.htmlhttp://www.worldscibooks.com/mathematics/6969.html


gnes etc. On peut les dcrire par des graphes bipartis mais il ma sembl plus intuitif pour lutili-sateur de les voir comme des systmes de ractions chimiques. Si lon veut tudier les performancesdun rseau de Ptri, il convient dintroduire une temporisation des transitions. Ce point est d-licat et il existe plusieurs solutions non quivalentes dans la littrature. Pour lapplication vise,principalement la modlisation des rseaux de rgulation de gnes, la temporisation stochastiqueretenue est base sur la loi exponentielle. Techniquement, elle est obtenue en transformant toutrseau de Ptri en une chane de Markov en temps continu admettant le mme espace dtat. Pourcela, il suffit de dfinir une constante cintique pour chaque raction chimique, ce qui est tout fait naturel pour les chimistes : ils le font dj pour obtenir un modle dterministe en utilisantla loi daction de masse. Un tel rseau de Ptri temporis est dit stochastique. Ltude des chanesde Markov nous amne revisiter certaines techniques mathmatiques utilises en physique quan-tique, en particulier lusage des sries gnratrices (en plusieurs variables commutatives) et despropagateurs. On utilise des expressions comme quation de Schrdinger, hamiltonien, propagateuretc. bien que lon soit trs loin de la phylosophie de la physique quantique et de la dualit ondecorpuscule. Par contre, au niveau mathmatique, lanalogie est particulirement frappante. Dansce travail prliminaire, nous tudions les techniques du calcul symbolique (sries formelles, calculnon commutatif dans les algbres doprateurs etc.) en vue de produire du code numrique efficacepour calculer lvolution, au cours du temps t, des moments (moyenne, variance, covariance etc.)associs la variable alatoire N(t). Cette variable

N(t) := (N1(t), N2(t), . . . , Nn(t))

compte le nombre de molcules des diffrentes espces chimiques prsentes linstant t R. Pourles systmes complexes, les ingnieurs se limitent le plus souvent excuter des simulations, ditesMonteCarlo, car cellesci sont bases sur lutilisation de gnrateurs de nombres alatoires. Cettemthode est mal adapte, en particulier dans ltude des vnements qui se produisent avec unefaible probabilit. Les simulations MonteCarlo doivent alors tre rptes un si grand nombre defois que le temps de calcul en devient rdhibitoire. La mthode mixte propose ici (symbolique,numrique) rsoud cette question en permettant de traiter correctement les vnements rares. Lecalcul symbolique est effectu dans lalgbre de Weyl n variables. On traitera en dtail deuxexemples issus de la modlisation des rseaux de rgulation de gnes.

Gne non rgul La transcription du gne produit des ARN messagers, lesquels sonttraduits en protines, ce qui donne le modle :

gne 1 gne + ARNm (transcription) [1]ARNm 1 ARNm + protine (traduction) [2]ARNm 1 (dgradation ARNm) [3]

protine 2 (dgradation protines) [4]

Gne non rgul Une protine peut venir se fixer sur le gne (lexpression du gne est alorsbloque), ce qui revient complter le modle prcdent, en ajoutant les deux rgles :

gne + protine c1 gne_bloqu (inhibition) [5]gne_bloqu c2 gne + protine (d-inhibition) [6]

28. Composition modulaire multivarie et applications.Adrien Poteaux (Institute of Applied Geometry Inz, Austria)

Dans cet expos nous nous intressons au problme de composition modulaire et ses applica-tions : Soit R un anneau commutatif de caractristique p > 0, et notons X = X1, , Xm etY = Y1, , Ys. tant donn un polynme f R[X] ayant pour degr en Xi au plus ei 1, unensemble triangulaire T = (T1, , Ts) avec di = degYi(Ti), et des polynme s g1(Y ), , gm(Y )dans R[Y ] ayant pour degr en Yi au plus di 1, calculer f(g1(Y ), , gm(Y )) mod < T >. Ceproblme est une gnralisation de celui tudi par Kedlaya et Umans [1], qui correspond au cas os = 1 et e1 = = em. Notons T = d1 ds, f = e1 em et f = e1 + + em. Nous dcrironsun algorithme qui, pour tout , si lon a accs T f lments de R dont les diffrences sont desunits, permet de rsoudre ce problme dans une complexit Obit((f + T )1+ log1+o(1) q), avec

22


f , T suffisamment grands, et sous lhypothse f 1m (1+o(1))f . Obtenir une complexit quasi

linaire pour le problme de composition modulaire permet damliorer la complexit de nom-breux problmes. Ainsi, nous montrons quil est possible de rsoudre le problme de projection despuissances en un temps quasi-linaire en transposant notre algorithme de composition modulaire(toutes les tapes de ce dernier ntant pas algbriques, lutilisation du principe de Tellegen ne suffitpas), adaptant pour cela le travail de [1, section 7.2]. De plus, dans le cas bivari (m = s = 2), nousmontrons comment traiter les problmes de composition modulaire et de projection des puissancessans aucune hypothse sur f , ce qui nous permet de considrer les problmes dsquilibrs. Enutilisant ce dernier rsultat pour le problme de projection des puissances dans [2], on obtientun algorithme pour calculer modulo un ensemble triangulaire qui a une complexit quasi-linaireen la taille de lensemble triangulaire. Lensemble des algorithmes prsents dans cet expos sont lheure actuelle uniquement thoriques. Ceci est un travail effectu en collaboration avec ricSchost (University of Western Ontario).

[1] Kiran S. Kedlaya and Cristopher Umans. Fast polynomial factorization and modular compos-tion. Preprint, available at http ://www.cs.caltech.edu/ umans/papers/KU08-final.pdf.

[2] Cyril Pascal and ric Schost. Change of order for bivariate triangular sets. In ISSAC 06 :Proceedings of the 2006 international symposium on Symbolic and algebraic computation,pages 277284, New York, NY, USA, 2006. ACM.

29. Algorithmes de crible pour le calcul dun plus court vecteur dans un rseauXavier Pujol (ENS Lyon, projet Arenaire)

Un rseau est un sous-groupe discret de Rn, qui peut tre dcrit comme lensemble des com-binaisons linaires entires dune base dau plus n vecteurs. Le problme du plus court vecteur(SVP) consiste calculer un plus court vecteur non nul dun rseau partir dune base de cerseau. Ce problme est difficile, plus prcisment NP-complet sous des rductions randomises,et a de nombreuses applications en mathmatiques et en informatique. En particulier, plusieursprimitives cryptographiques sont fondes sur la difficult de rsoudre SVP. Il existe aujourdhuitrois approches pour rsoudre SVP. La premire consiste faire une recherche exhaustive de lasolution, mais elle a un cot superexponentiel. La seconde est constitue des algorithmes de crible,non dterministes mais dont la complexit est simplement exponentielle. La dernire est base surle calcul de la cellule de Vorono du rseau, son cot est exponentiel galement mais elle ne semblepas utilisable en pratique. Le but de cet expos est de prsenter une amlioration de lanalyse desalgorithmes de crible obtenues conjointement avec Damien Stehl. Nous commencerons par dcriresommairement les diffrentes familles de mthode, en se concentrant sur les algorithmes de crible,en particulier AKS et ListSieve. Enfin, nous prsenterons notre amlioration de lanalyse, reposantsur le paradoxe des anniversaires.

30. Implicit Factoring with Shared Most Significant and Middle BitsGunal Renault (quipe-projet INRIA / LIP6 Salsa)

Joint work with Jean-Charles Faugre, Raphael Marinier.We study the problem of integer factoring given implicit information of a special kind. The problemis as follows : let N1 = p1q1 and N2 = p2q2 be two RSA moduli of same bit-size, where q1, q2 are-bit primes. We are given the implicit information that p1 and p2 share t most significant bits.We present a novel and rigorous lattice-based method that leads to the factorization of N1 and N2in polynomial time as soon as t 2 + 3. Subsequently, we heuristically generalize the methodto k RSA moduli Ni = piqi where the pis all share t most significant bits (MSBs) and obtain animproved bound on t that converges to t + 3.55 . . . as k tends to infinity. We study also thecase where the k factors pis share t contiguous bits in the middle and find a bound that convergesto 2 + 3 when k tends to infinity. This paper extends the work of May and Ritzenhofen, wheresimilar results were obtained when the pis share least significant bits (LSBs). Sarkar and Maitradescribed an alternative but heuristic method for only two RSA moduli, when the pis share LSBsand/or MSBs, or bits in the middle. In the case of shared MSBs or bits in the middle and two RSAmoduli, they get better experimental results in some cases, but we use much lower (at least 23

23


times lower) lattice dimensions and so we obtain a great speedup (at least 103 faster). Our resultsrely on the following surprisingly simple algebraic relation in which the shared MSBs of p1 and p2cancel out : q1N2 q2N1 = q1q2(p2 p1). This relation allows us to build a lattice whose shortestvector yields the factorization of the Nis.

31. Sous-rsultants et doubles sommes de Sylvester

Marie-Franoise Roy (IRMAR, Universit Rennes 1)

Les sous-rsultants sont dfinis par les coefficients de deux polynmes et les doubles sommes deSylvester par leurs ensembles de racines. Sylvester avait indiqu que ces deux notions sont troite-ment lies. Dans ce travail en collaboration avec Aviva Szpirglas nous tablissons trs simplementles liens entre doubles sommes de Sylvester et sous-rsultants qui avaient t tudis par plusieursauteurs.

32. Algorithmique diviser-pour-rgner pour le calcul de cartes routires

Mohab Safey El Din (quipe-projet INRIA / LIP6 Salsa)

On considre un ensemble semi-algbrique S

Informatio

journées nationales de calcul formel -...

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