SIMPLEMENT BEAU

JOHN CASEY

OU

UNE GÉNÉRALISATION

DE

CLAUDE PTOLÉMÉE

Le cercle peut être vu comme l'extension d'un point et

le point regardé comme un cercle de rayon nul.

Jean - Louis AYME 1

Résumé. Dans cet article, l'auteur revisite le théorème de Claude Ptolémée sous la forme la moins répandue à savoir celle d'Harold Coxeter et Samuel Greitzer, et présente un calcul simplifié amenant au théorème de John Casey. Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Abstract. In this article, the author revisits Claude Ptolemy's theorem under the less common form of Harold Coxeter and Samuel Greitzer, and presents a simplified calculation leading to the John Casey's theorem. The figures are all in general position and all cited theorems can all be proved

synthetically.

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 10/07/2019 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

A

B C

M

A

B C

D

0

1

2 3

4 t12

t23

t34

t14

t13t23

2

2

Sommaire

A. Le théorème de Claude Ptolémée 3

1. Une jolie relation 3 2. La droite de Simson-Wallace 4 3. Le théorème de Ptolémée 5 Courtes biographies de Claude Ptolémée H.S.M. Coxeter

Samuel Greitzer

B. Un San Gaku de 1881 7

1. Un lemme de Stanley Rabinowitz 7 2. Un San Gaku de 1881 12

C. Le théorème de John Casey 15

1. Un cercle segmentaire 15 2. Une belle relation 16 3. Le théorème de Casey 19 Courte biographie de John Casey

3

3

A. LE THÉORÈME

DE

CLAUDE PTOLÉMÉE

PAR

HAROLD S. M. COXETER ET SAMUEL GREITZER

1. Une jolie relation

VISION

Figure :

A

B C

O M

Q

R

P

0

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, M un point et PQR le triangle M-pédal. Donné : QR.AM = BC.OA.

VISUALISATION

4

4

A

B C

O M

Q

R

P

0

N

• Notons N l'antipôle de A relativement à 0 et R le rayon de 0. • Les quadrilatères ARMQ et ABNC étant semblables, RQ/AM = BC/AN : • Conclusion : par réarrangement et substitution, QR = BC.(AM/2.R). Scolie : mutatis mutandis, nous montrerions que RP = CA.(BM/2.R) PQ = AB.(CM/2.R).

5

5

2. La droite de Simson - Wallace (1799 ou 1800)

VISION

Figure :

A

B C

O

0

M

Q

P

R

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, M un point de 0 et P, Q, R les pieds des perpendiculaires à (BC), (CA), (AB) issue de M. Donné : P, Q et R sont alignés. Énoncé traditionnel : si, d'un point pris sur le cercle circonscrit à un triangle, on abaisse des perpendiculaires sur chaque côté du triangle, alors, les trois points obtenus sont alignés. Scolie : (PQR) est la droite de Simson-Wallace 2 de pôle M de 0 relativement à ABC. Note historique : bien que l'historien d'Edinburgh, John Sturgeon Mackay 3 n'a trouvé aucune trace de la

droite dite de Simson dans ses oeuvres, il montra que cette erreur en paternité provenait du géomètre français François Joseph Servois qui écrivait en 1814 :

2 Ayme J.-L., Droite de Simson…, G.G.G. vol. 7, p. 4 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ Ayme J.-L., A new metamorphosis of the Butterfly theorem, G.G.G. vol. 7, p. 20-21 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

6

6

le théorème suivant, qui est, je crois, de Simson... 4

Cette erreur allait être reprise par Jean Victor Poncelet 5 qui, en omettant la remarque de Servois, allait perpétuer définitivement ce fait. C'est en 1799 que William Wallace 6

découvrait "cette droite", bien après la mort de Simson en 1768.

3 MacKay J. S., Proceedings Edinburgh Math Soc., (1890-1891) 83 4 Servois F. J., Annales de Gergonne 4 (1813-14) 250-251 5 Poncelet J. V., Traité des propriétés projectives des figures (1822) 6 Wallace W. (1768-1843), Leybourne's mathem. repository (old series) 2 (1798) 111

7

7

3. Le théorème de Ptolémée (IIe siècle)

VISION

Figure :

A

B C

0

M

Traits : ABCM un quadrilatère convexe cyclique et 0 le cercle circonscrit à ABCM, Donné : AB.CM + BC.MA = AC.BM. 7

7 Ptolemée C., Almageste, Livre I , Chapître 9, p. 29-30

Coxeter H.M.S. and Greitzer S.L., "Ptolemy's Theorem and its Extensions." § 2 .6, Geometry revisited Mathematical Associaton of America (1967) 42-43

8

8

VISUALISATION

A

B C

O

0

M

Q

P

R

• Notons R le rayon de 0. et P, Q, R les pieds des perpendiculaires à (BC), (CA), (AB) issue de M. • D'après A. 2., P, Q et R étant alignés, PQ + QR = PR. • D'après A. 1., QR = BC.(AM/2.R) RP = CA.(BM/2.R) PQ = AB.(CM/2.R). • Par substitution, AB.(CM/2.R) + BC.(AM/2.R) = CA.(BM/2.R). • Conclusion : par simplification, AB.CM + BC.MA = AC.BM. Énoncé traditionnel : dans un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle,

le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.

Une courte biographie de Claude Ptolémée :

Claude Ptolémée est né vers 100 à Ptolémaïs (Haute Égypte) sous le règne d'Antonin le Pieux. Son surnom Ptolemaeus évoque qu'il serait d'origine gréco-romaine et son nom Claudius qu'il aurait la citoyenneté romaine. Son prénom est inconnu à ce jour comme sa vie à Alexandrie. Il est l'auteur de plusieurs traités scientifiques, dont deux ont exercé une grande influence sur les sciences occidentales et orientales. L'un est le traité d'astronomie, aujourd'hui connu sous le nom d'Almageste (Composition mathématique) écrit vers 150 et arrivera en Europe au XVe siècle. Il décède vers 168 à Canope, cité de l'Égypte antique située près de l'actuelle Aboukir.

9

9

Archive

8

8 http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/Almagest.pdf

10

10

Note historique : ce résultat apparaît au Japon en 1769 dans le Syuki Sanpo écrit par Yorimiti Arima (1714-1783).

Une courte biographie de H.S.M. Coxeter :

Harold Scott McDonald Coxeter est né en 1907, en Angleterre dans est une ferme du Surrey datant du VIIe siècle. Pour la petite histoire, son certificat de naissance mentionnait "MacDonald Scott Coxeter". Aussi pour expliquer l'ordre de ses prénoms, Coxeter révéla dans un entretien que son stupide parrain s'appuyant sur le fait qu'Harold étant le prénom du père du futur géomètre, concluait que le prénom de son filleul devrait être "Harold McDonald Scott". Les initiales "H.M.S." de ses prénoms pouvant signifier "His Majesty's Ship", son entourage familial transposa tout simplement l'ordre de ses prénoms. Dans le même entretien, il précisait que Coxeter venait de "cock setter" i.e. de "celui qui élève les coqs de combats" ce qui est particulièrement ironique du fait qu'il est pacifiste et végétarien. Son père, propriétaire de Coxeter and Son limited, "Son" se référant au grand père de Coxeter, fabriquant du matériel chirurgical et des compresses, se retira à l'âge de 50 ans pour se consacrer à la sculpture jusqu'à sa mort. Sa mère, artiste peintre, était spécialisée dans les portraits et les paysages anglais. Connu sous le nom de Donald par sa famille et ses amis, Coxeter étudie à l'université de Cambridge et arrive en 1936 à l'université de Toronto en tant que chercheur et professeur. Sa contribution en géométrie est importante. Son nom reste attaché à certains objets mathématiques comme les groupes et les graphes de Coxeter. Il écrit 140 articles sur de nombreux sujets et 11 livres qui seront traduits en huit langues. Son livre le plus fameux, est probablement Introduction to Geometry écrit en 1969. Il est aussi connu pour avoir été éditeur en chef du Canadian Journal of Mathematics durant les neuf premières années de la parution de cette revue. Membre de la Royal Society of Canada en 1947, de la Royal Society de Londres en 1950 et Compagnon de l'Ordre du Canada en 1997, il se passionne aussi pour la musique et les arts. Il a eu deux enfants, une fille Susan Thomas et un fils Edgar. Il décède le 31 mars 2003. Une courte biographie de Samuel Greitzer :

En 1905, les parents de Samuel Greitzer quittent Odessa (Russie) pour émigrer aux États-unis.

11

11

Professeur à l'université Yeshiva où il a obtenu son titre de docteur, puis à l'Institut Polytechnique de Brooklyn, il enseigne enfin, à l'université Rutgers. De 1974 à 1983, il est le coach de l'équipe américaine aux Olympiades Mathématiques nationales et internationales. De 1982 à 1987, il met son expérience au service de jeunes et talentueux mathématiciens désirant se perfectionner dans ce domaine, en publiant la revue Arbelos. Il décède le 22 février 1988.

12

12

B. UN SAN GAKU DE 1881

1. Le lemme de Stanley Rabinowitz 9

VISION

Figure :

A

P

B

Q

0

1a 1b

Traits : 0 un cercle, R le rayon de 0, A, B deux points de 0, 1a un cercle tangent intérieurement à 0 en A, P, p le centre, rayon de 1a, 1b un cercle tangent intérieurement à 0 en B et extérieurement à 1a, et Q, q le centre, rayon de 1b. Donné : AB²/4R² = [p/(R-p)].[q/(R-q)].

Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 10

2. Un San Gaku de 1881

VISION

Figure :

9 Rabinowitz S., Alliant Computer Systems Corporation, Littleton (MA 01460) Cercles tangents, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1472664 10 Ayme J.-L., El problema de Ercole Suppa, G.G.G. vol. 44, p. 5-6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

13

13

A

B

C

D

0

1

2

3

4

Traits : ABCD un quadrilatère convexe cyclique, 0 le cercle circonscrit à ABCD et 1, 2, 3, 4 quatre cercles intérieurement tangents à 0 resp. en A, B, C, D tels que 1 soit tangent extérieurement à 2, 2 soit tangent extérieurement à 3 3 soit tangent extérieurement à 4 4 soit tangent extérieurement à 1 ? Donné : AB.CD = AD.BC.

VISUALISATION

• Notons R, r1, r2, r3, r4 les rayons resp. de 0, 1, 2, 3, 4. • D'après B. 1., * AB²/4R² = [r1/(R- r1)].[ r2/(R- r2)] * CD²/4R² = [r3/(R- r3)].[ r4/(R- r4)] * AB².CD²/16.R4 = [r1/(R- r1)].[ r2/(R- r2)]. [r3/(R- r3)].[ r4/(R- r4)] • Mutatis mutandis, AD².BC²/16.R4 = [r1/(R- r1)].[ r2/(R- r2)]. [r3/(R- r3)].[ r4/(R- r4)].

• En consequence, AB².CD²/16.R4 = AD².BC²/16.R4.

• Conclusion : par simplification, AB.CD = AD.BC. Scolie : ABCD est harmonique.

14

14

Archive :

11

Note historique : this San Gaku of Fukusima prefecture has not survived. 12

11 Fukagawa H. and Pedoe D. Problem 1. 4. 5., Japanese Temple Geometry Problems, San Gaku, Winnipeg, Canada (1989) 9 12 Fukusima de 1968 vol.3 de Akira Hirayama et Hachio Norii, private circulation

15

15

C. LE THÉORÈME

DE

JOHN CASEY

1. Un cercle segmentaire (1835)

VISION

Figure :

A B

I

M

J

0 1

D

Traits : 0 un cercle,

[AB] une corde de 0, D le segment circulaire ''nord'' définie par [AB] et 0, 1 un cercle segmentaire de D,

M, J les points de contact de 1 resp. avec 0, [AB], et I le milieu de l'arc AB ne contenant pas M. Donné : I, J et M sont alignés.

Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 13

13 Ayme J.-L., Cercles segmentaires…, G. G. G. vol. 16, p. 3-5 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

16

16

2. Une belle relation

VISION

Figure :

B C

O

M

P Q

U

V

I

J

1

2

0

rirj

R

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O, R le centre, rayon de 0, [BC] une corde de 0, 1, 2 deux cercles segmentaires comme indiqués sur la figure, I, ri le centre, rayon de 1, J, rj le centre, rayon de 2, P, Q les points de contact de (BC) resp. avec 1, 2, U, V les points de contact de 0 resp. avec 1, 2 et M le milieu de l'arc BC ne contenant pas U. Donné : PQ² = [(R - ri).(R - rj)] . [UV² / R²]. .

VISUALISATION

17

17

B C

O

M

P Q

U

V

I

J

1

2

0

rirj

R

• Scolie PQ est la longueur des tangentes communes extérieures à 1 et 2. • Par tangence, (1) U, I et O sont alignés (2) V, J et O sont alignés. • D'après B. 1., (1) U, P et M sont alignés (2) V, Q et M sont alignés • Une première chasse de rapports : * d'après Thalès de Milet ''Rapports', UP / PM = UI / IO * par addition de 1 aux deux membres, UM / PM = UO / IO * par substitution, UM / PM = R / (R - ri). • Mutatis mutandis, nous montrerions que VM / QM = R / (R - rj). • Les triangles MPQ et MVU étant semblables, PQ / VU = MP / MV = MQ / MU. • Une seconde chasse de rapports :

* la technique de Stanley Rabinowitz 14, PQ² / VU² = (MP / MV) . (MQ / MU) * par réarrangement, PQ² / VU² = (MP / MU) . (MQ / MV) * par substitution, PQ² / UV² = [(R - ri) / R] . [(R-rj) / R] * par réarrangement, PQ² / UV² = [(R - ri) . (R - rj)] / R².

• Conclusion : PQ² = [(R - ri).(R - rj)].[UV² / R²].

14 Ayme J.-L, El problema 880 d'Ercole Suppa, G.G.G vol. 44, p. 5-6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

18

18

Note historique : cette recherche de PQ a été souvent menée à l'aide du calcul trigonométrique 15. L'auteur s'est inspiré de la technique de Stanley Rabinowitz. Scolie : cas où 1 et 2 sont extérieurement tangent

B C

O

M

P Q

U

V

I

J

1

2 0

rirj

R

• D'après le lemme de Stanley Rabinowitz 16, UV² / 4R² = [ri /(R- ri)].[ r j /(R- rj)]. • D'après B. 2., PQ² = [(R-ri).(R-rj)].[UV² / R²] ou encore PQ² = [(R-ri).(R-rj)].4.[UV² / 4R²] • Conclusion : par substitution, PQ² = 4.ri rj .

15 Gonzalez L. (Maracaibo. Venezuela), Casey's theorem and its applications (July 2011) ;

http://geometry.ru/articles/Luis_Casey.pdf 16 Ayme J.-L, El problema d'Ercole Suppa 880, G.G.G. vol. 44, p. 4 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

19

19

3. Le théorème de Casey (1857)

VISION

Figure :

A

B C

D

0

1

2 3

4

t12

t23

t34

t14

t13t24

Traits : ABCD un quadrilatère convexe cyclique, 0 le cercle circonscrit à ABCD, 1, 2, 3, 4 quatre cercles intérieurement tangents à 0 resp. en A, B, C, D, R, r1, r2, r3, r4 les rayons resp. de 0, 1, 2, 3, 4 et t12 , t13, t14, t23, t24, t34 les longueurs des tangentes extérieures resp. à

1 et 2, 1 et 3, 1 et 4, 2 et 3, 2 et 4, 3 et 4. Donné : t12 . t34 + t14 . t23 = t13 . t24 . 17

VISUALISATION

17 Casey, J. (1895). A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry,

with numerous examples. 5th ed., rev. and enl. Dublin : Hodges, Figgis ; livre 6, proposition 10 (1888)103 Fukagawa H., Pedoe D., Japanese Temple Geometry Problems, The Charles Babbage Research Center, Winnipeg (1989)

20

20

A

B C

D

0

1

2 3

4

t12

t23

t34

t14

t13t24

• D'après C.2., t12 ² = [(R - ri).(R - rj)].[AB² / R²] t34 ² = [(R – r3).(R – r4)].[CD² / R²] (t12 . t34) ² = (R - ri).(R - rj).(R – r3).(R – r4).[AB².CD² / R4] • Posons : (R - ri).(R - rj).(R – r3).(R – r4) / R

4 = α².

• En conséquence, (t12 . t34)² = α² . AB².CD² i.e. t12 . t34 = α . AB.CD

• Mutatis mutandis, nous montrerions que t14 . t23 = α . AD.BC

t13 . t24 = α . AC.BD

• Raisonnons à rebours :

* partons de t12 . t34 + t14 . t23 = t13 . t24

* par substitution, α. AB.CD + α. BC.AD = α. AC.BD * par simplification, AB.CD + BC.AD = AC.BD (Ptolémée).

• Conclusion : t12 . t34 + t14 . t23 = t13 . t24 . Note historique : ce résultat a été établi en 1830 par Chochu Siraisi qui était le professeur de Suri

Mujinzo.

21

21

Une courte biographie de John Casey :

John Casey est né à Kilkenny (Irlande), le 12 mai 1820. Après ses études, il enseigne dans diverses écoles avant de prendre la direction du Central Model School de Kilkenny. Durant ses moments de loisir, il se passionne pour les mathématiques, apprend le latin, le français et l'allemand. Il se fait connaître de géomètres comme le Dr. Salmon, et le professeur Townsend du Trinity College de Dublin en trouvant une solution du problème de Poncelet. En 1859, il entre au Trinity College où il obtient son B.A. en 1862. Durant les onze années suivantes, il professe à Kingstown School. En 1866, il devient membre de l'Académie royale irlandaise. En 1873, il devient professeur de mathématiques et de physique à l'université catholique de Dublin. Quelques années après, il refuse un poste de professeur au Trinity College. En 1874, il est élu membre de la London Mathematical Society. De 1862 à 1868, il est l'un des éditeurs de la revue Oxford, Cambridge, and Dublin Messenger of Mathematics. Professeur dévoué et talentueux, homme pieux, membre du "Third Order of St-Francis", il a écrit de nombreux papiers dont certains seront publiés dans Proceedings of the Royal Irish Academy. En 1881, il publie le désormais classique Sequel to Euclid. Il décède à Dublin, le 3 janvier 1891.