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IUT Saint Nazaire Département Mesures Physiques MP1 Semestre 2
Ch2 Dioptres plan et sphériques 1 © Bruno Velay
Dioptres plan et sphériques
1- Dioptre
Interface séparant deux milieux transparents d’indices de réfraction différents.
Traversée d’un dioptre par un rayon lumineux : sa direction change selon la loi des sinus n sin i = n’ sin i’.
réflexion vitreuse (dioptre plan)
effet de « brisure » visuelle sur le dioptre air/eau
Indice de réfraction : • Air : ≈ 1 • Verre : ≈ 1.5 • Eau : ≈ 1.33
Effet de grossissement Rayon de courbure ≈ 0.20 m
Donnée pour un œil humain :
Cornée : épaisseur 0.55 mm, rayon face avant 7.80 mm, face arrière 6.50 mm, indice 1.3771 Chambre intérieure : épaisseur 3.05 mm, indice 1.3374 Cristallin : épaisseur 4 mm, rayon face avant 10.20 mm, face arrière – 6 mm, indice 1.42 Corps vitré : indice 1.336
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Ch2 Dioptres plan et sphériques 2 © Bruno Velay
Réflexion partielle sur un dioptre sphérique…
2- Traversée d’un dioptre plan
• A objet ponctuel réel : les rayons lumineux viennent physiquement de A. • Le faisceau objet (avant le dioptre, en vert) est divergent. • Le faisceau image (après le dioptre) est divergent. • A’ est l’image de A dont semblent provenir les rayons du faisceau image :
A’ est virtuelle.
• Le dioptre plan n’est pas rigoureusement stigmatique (A’ n’est pas un point mais une tache).
• Le dioptre est afocal : un faisceau incident de lumière parallèle donne un faisceau émergent parallèle.
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3- Rôle de la réfraction lors de la traversée d’un dioptre sphérique
Dioptre convexe de rayon de courbure 0>= SCR
(S sommet, C centre, axe optique orienté vers la droite) Ici 5.2+== SCR
la réfraction est responsable des changement de direction des rayons donc de la convergence ou de la divergence du faisceau.
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diamètre du faisceau limité → ≈ convergence « au foyer image » du dioptre : stigmatisme approché (l’image d’un point est un point)
faisceau large → « foyer image » mal défini (aberration géométrique de « coma ») :
→ pas de stigmatisme (« l’image d’un point n’est pas un point »)
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- les rayons incidents viennent de l’objet réel A. - les rayons émergent semblent issus de l’image virtuelle A’ A’ ≈ image de A A ≈ objet de A’ → A et A’ sont « conjugués » - A objet « réel » si A avant le dioptre
objet « virtuel » si A après le dioptre - A’ image « réelle » si A’ après le dioptre
image « virtuelle » si A’ avant le dioptre - A et A’ sont « approximativement » conjugués au sens des conditions de Gauss (cf. §5 et Chap3) - A’ sera un point d’autant mieux défini que le faisceau sera moins large.
A = C
un rayon issu du centre C n’est pas dévié
L’infini « objet » et le foyer image F’ sont approximativement conjugués.
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4- Dioptres sphérique convexe (en bosse) et concave (en creux)
Rappel : S sommet, C centre, axe optique orienté vers la droite
→ dioptre convexe de rayon de courbure 0>= SCR « en bosse » (C après S)
→ dioptre concave de rayon de courbure 0<= SCR « en creux » (C avant S)
Exemples : quatre dispositions possibles des points S, C, Fet F’ : (a) dioptre convexe convergent si n > n’, (b) dioptre concave convergent si n’ < n , (c) dioptre concave divergent si n’ > n, (d) dioptre convexe divergent si n’ < n donc pas d’a priori !
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5- Relation de conjugaison d’un dioptre sphérique (positions objet/image)
Conditions de Gauss : rayons proches de l’axe optique et peu inclinés sur l’axe
→ α ≈ sin α ≈ tan α et H ≈ S Triangles : AIC : π = u + (π – i ) + θ → i = u + θ
A’IC: π= u’ + (π – i’ ) + θ → i’ = u’ + θ Loi de Descartes pour la réfraction en I : n sin i = n’ sin i’ → n × i = n’ × i’ → n × ( u + θ ) = n’ × ( u’ + θ ) en exprimant que les angles sont petits.
En exprimant que les angles sont petits, on a aussi H ≈ S
θ = tan θ = SCSI
HCHI = > 0 u = tan u = SA
SIAHHI
−= > 0 u’ = tan u’ = '' SA
SIHA
HI−
= > 0
La relation de Descartes devient finalement la relation de conjugaison du dioptre sphérique
n × ( u + θ ) = n’ × ( u’ + θ ) → )'
(')(SCSI
SASIn
SCSI
SASIn +
−=+
− →
VSC
nn
SAn
SAn =−=− '
''
V vergence mesurée en dioptrie 1δ = 1 m-1
V > 0 dioptre convergent et V < 0 dioptre divergent
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6- Foyers principaux objet F et image F’ du dioptre sphérique
• Objet A à l’infini optique → image au foyer principal image F’
01 →SA d’où
VSC
nnSFn
SAn =−==− '
''0
''
→ longueur focale image SC
nnnSFf −=='
'''
• Image A’ à l’infini optique → objet au foyer principal objet F
0'
1 →SA d’où
VSC
nnSFn
SAn =−=−=− '
0
→ longueur focale objet SC
nnnSFf
'−==
• Attention : f ≠ f’ pour le dioptre sphérique.
• Les points sur le dioptre et le centre C sont leurs propres images
7- Aplanétisme approché pour le dioptre sphérique
Soit une rotation de centre C d’angle α pour laquelle le dioptre sphérique est invariant :
A et A’ conjugués → D et D’ conjugués Ces deux couples sont approximativement stigmatiques.
Si α très petit alors B ≈ D et B’ ≈ D’ AB et A’B’ sont donc dans deux plans de front, perpendiculaire à l’axe optique.
En conditions de Gauss : stigmatisme approché → aplanétisme approché (aplanétisme ≈ « l’image d’un plan est un plan »)
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8- Grandissement transversal et angulaire d’un dioptre sphérique
dans l’approximation de Gauss
D’après figure §5- S ≈ H
ASSI
AHHIuu === tan et
SASI
HAHIu
''' ==
n i = n’ i’ avec SAABi = et '
'''SA
BAi =
Grandissement angulaire
''
'
SASA
SAAS
uu
G ===
Grandissement transversal
SASA
nn
ABBA '''' ==γ
→ nn
G'=γ
→ Invariant (pour tout système centré)
'''' uBAnuABn =
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9- Construction géométrique de la position de l’image par un dioptre sphérique
• Un incident parallèle à l’axe a pour émergent un rayon coupant l’axe au foyer image F’
• Un incident passant par le foyer objet F a pour émergent un rayon parallèle à l’axe.
• Tout rayon passant par le centre C n’est pas dévié Pour les puristes : C = C’ seul couple de points « rigoureusement » stigmatiques (même hors conditions de Gauss)
Données :
Données sur l’œil : valeurs numériques extraites de l’opticien-lunetier C. Kovarski & all Tec & Doc 2009 p 743-744 et
http://p.jean2.pagesperso-orange.fr/Cours/rev_sphe/rev_sph.htm Applet Java OpticalRayTracer sur http://www.arachnoid.com/OpticalRayTracer/
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Sources des figures et des images :
http://photos.xwing.info/photos/dioptre.jpg
http://fr.academic.ru/pictures/frwiki/82/RefractionVerre.jpg
http://www.mizzenmast.fr/2008/09/lindecence-du-poisson-rouge/
http://www.clinique-sourdille.com/1-2-10-359/L-oeil-normal.htm
Œil de Yak Bijou Basin’s yarns (Colorado)
http://ysolda.com/wordpress/
Toutes les simulations des tracés de rayons avec OpticalRayTracer disponible sur http://www.arachnoid.com/OpticalRayTracer/
Optique géométrique B. Balland PPUR 2007 Recherche sur http://books.google.fr/ p 177
Optique géométrique C. Grossetête et P. Olive Ellipses 2006
Sommaire
DIOPTRES PLAN ET SPHERIQUES ..................................................................................................... 1
1- Dioptre ....................................................................................................................................... 1 2- Traversée d’un dioptre plan .................................................................................................... 2 3- Rôle de la réfraction lors de la traversée d’un dioptre sphérique ....................................... 3 4- Dioptres sphérique convexe (en bosse) et concave (en creux) ......................................... 6 5- Relation de conjugaison d’un dioptre sphérique (positions objet/image) ......................... 7 6- Foyers principaux objet F et image F’ du dioptre sphérique ................................................ 8 7- Aplanétisme approché pour le dioptre sphérique ............................................................... 8 8- Grandissement transversal et angulaire d’un dioptre sphérique ......................................... 9 9- Construction géométrique de la position de l’image par un dioptre sphérique .............. 10 Données : .................................................................................................................................... 10 Sources des figures et des images : .......................................................................................... 11 Sommaire .................................................................................................................................... 11