introduction - hec pariswebhost.hec.fr/stoltz/seances/e2/e2.pdf · mathématique c) c3 ... travaux...

IntroductionI Objectifs

II Extraits de rapports de jurys sur l’oral de Hec

III Ecueils à éviter

1. Ne pas faire d’exercice à dominante algorithmique.

2. Ne pas avoir de question d’informatique dont la résolution conditionne l’ensemble du sujet.

3. Eviter les questions ouvertes en particulier en début d’exercice pour ne pas déstabiliser le candidat.

4. Eviter de placer une question d’informatique pour en mettre une,sans qu’elle ait un intérêt mathématique en lien en particulier avec les compétences :

a) C1 : Produire et interpréter des résumés numériques et graphiquesd’une série statistique (simple, double) ou d’une loi

b) C2 : Modéliser et simuler des phénomènes (aléatoires ou déterministes) et les traduire en langagemathématique

c) C3 : Représenter et exploiter le graphe d’une fonction d’une, deux ou trois variables

d) C4 : Représenter et interpréter différentes convergences

e) C5 : Utiliser à bon escient la méthode de Monte Carlo

f) C6 : Porter un regard critique sur les méthodes d’estimation et de simulation

5. Eviter d’utiliser une programmation trop ”astucieuse” ou spécifique à Scilab.

6. Distinguer clairement les questions où il faut interpréter un schéma ou des données numériquesdes questions exigeant des démonstrations rigoureuses.

IV Intérêt d’avoir des questions en Scilab à l’oral

1. Tester les compétences C1,...,C6 et pousser les candidats à utiliser des schémas ou des donnéesnumériques pour avoir des idées de raisonnement.

2. Développer l’esprit critique des candidats et leur vision globale d’un problème.

3. Avoir des représentations mentales des objets manipulés.

4. Donner le réflexe d’utiliser l’outil informatique à bon escient.

5. Faire le lien entre leurs connaissances théoriques et les modèles concrets.

6. Donner un sens à l’apprentissage de la matière.

7. Approfondir la compréhension, en particulier en statistiques (comparaison d’estimateurs,intervalles de confiances) et en probabilités (phénomènes aléatoires modélisés).

V Modalités :

Il y a plusieurs possibilités :

1. Dans le sujet de l’exercice il y a quelques lignes de code à expliquer et (ou) une sortie graphique àinterpréter mais le candidat n’écrit pas de code.

2. On demande au candidat d’écrire quelques lignes de code ou de compléter un programme à trous.

3. Le candidat n’effectue pas de simulation mais le jury en effectue devant lui (il y a donc un ordinateurdans la salle avec un grand écran) et le jury lui demande de les interpréter (c’est possible enparticulier lors de la question sans préparation).

4. Le candidat a un temps de préparation plus important et doit lui-même programmer(organisation matérielle plus délicate).

VI Thèmes exercices et travaux pratiques traités.

(cf. feuille annexe).

1

Extraits de rapports du jury sur l’oral de Hec

”Les candidats, pour la majorité d’entre eux, connaissent mal les objets qu’ils doivent manipuler.”

”On trouvera ci-dessous des remarques concernant l’option scientifique ou, le plus souvent, les deuxoptions. La plupart mettent l’accent sur le principal défaut observé : l’absence d’image mentale desnotions mises en oeuvre.”

”On a vu des candidats sachant par coeur des formules d’orthonormalisation (qui se révèlent souventfausses) incapables de visualiser convenablement les vecteurs ainsi construits (les vecteurs dessinés sontrarement ortogonaux!).”

”Les candidats doivent pouvoir donner des illustrations graphiques du cours d’algèbre linéaire.”

”Les sommes de Riemann et, plus généralement, la méthode des rectangles sont mal connues. En partic-ulier, on a bien du mal à obtenir les rectangles en question sur un dessin.”

”La définition d’une dérivée partielle est méconnue et les candidats ont bien de la peine à visualiser lesproblèmes en 3 dimensions. [...] les problèmes d’optimisation se résument pour les candidats à des calculsinterminables sans aucune vision géométrique.”

”Comme chaque année, les candidats ont bien du mal à tracer plusieurs densités gaussiennes sur un mêmedessin, à estimer une espérance au vu du tracé d’une densité de la variable, à faire un choix entre deuxvaleurs proposées pour une variance. Quand à la signification du coefficient de corrélation linéaire ...”

”La définition des dérivées partielles n’est toujours pas comprise. La représentation graphique des fonc-tions de deux variables par une surface, l’interprétation géométrique de la notion de point critique(généralisation de la notion de tangente horizontale pour les fonctions d’une variable réelle) sont étrangèresaux candidats.”

”Le jury a arrendu souvent en vain une présentation d’espérance et variance comme des valeurs moyennes.L’égalité V ar(X) = E(X2)−E(X)2 n’est pas une bonne définition de la variance car comment interpréterune telle expression ?”

”Un candidat s’avère incapable de donner l’allure du graphe de la fonction : x �→ 1x

sans faire au préalableun calcul de dérivée.”

”Une observation récurrente d’une année sur l’autre : les fondamentaux de l’enseignement secondairene sont pas suffisamment acquis (étude de fonction et courbe représentative, maniement des techniquesélémentaires de calcul, etc.)”

”A titre d’exemple, nous indiquons ci-dessous une liste, la même que celle de l’an dernier, d’aptitudesque le jury a su récompenser :

⋄ être capable de visualiser le comportement d’une suite définie par une relation de récurrence dutype un+1 = f(un),

⋄ savoir interpréter en termes d’aires un nombre tel que vn =� 10

1(1+t4)n dt [...],

⋄ savoir que la méthode des rectangles est un moyen simple, ”visuel” et très efficace pour obtenir desencadrements de sommes partielles - ou de restes - de séries.”

⋄ savoir faire part au jury de la modélisation d’une expérience aléatoire qu’on a adoptée pour obtenirles résultats qu’on énonce,

⋄ comprendre qu’une espérance est une moyenne ou un barycentre et, par exemple, savoir si unevariable aléatoire qui prend ses valeurs dans l’ensemble {1, 2, 3} peut avoir 4 comme espérance,

⋄ quand on dispose de la représentation graphique d’une densité de la variable aléatoire X, savoirreprésenter en termes d’aires les nombres P (2 ≤ X ≤ 5) ou P (|X| ≥ 1) et savoir estimer l’espérancede X.”

”Les concepts fondamentaux sont peu maîtrisés et font parfois l’objet de graves confusions (fonction derépartition et densité, ”dimension” d’une application linéaire), le cours n’est pas bien assimilé (méthodedes rectangles, définition de la convergence d’une intégrale généralisée) ...””On note enfin dans l’attitude de nombre de candidats un degré de maturité assez faible qui se traduitpar une certaine difficulté à se concentrer et à établir des liens entre les questions d’un exercice, et parune prise d’initiative très ”timide” ”

”Dans ces deux options, on observe des progrès substantiels en algèbre et un déclin des connaissances enanalyse (les études de fonctions et les représentations graphiques restent préoccupantes).”

1

Thèmes étudiés, exercices originaux, exercices proposés, travaux pratiques

Thème d’étudeExercice d’oral

original

Exercice d’oral

proposéTravaux pratiques Thèmes Scilab

Lemme de

Riemann-Lebesgue

valeurs approchées

d’une intégrale

Oral Escp 2012

Ex. 1.9

Fichiers :

Exercice1_original.tex

Exercice1_original.pdf

Fichiers :

Exercice1.tex

Exercice1.pdf

Graphes.tex

Graphes.pdf

Variantes_prog1.tex

Variantes_prog1.pdf

Exercice1.sce

Fichiers :

Travaux_pratiques1.tex

Travaux_pratiques1.pdf

Travaux_pratiques1.sce

Travaux_pratiques1b.sce

Tp1_scripts.tex

Tp1_scripts.pdf

Fonction plot2d

feval, sum, floor,

opérations

pointées

Définition

d’une fonction

Boucle for,

if .. then

Séries alternées

et intégrales

semi-convergentes

Fichier :

Exercice2.tex

Exercice2.pdf

Exercice2.png

Variantes_prog1.tex

Variantes_prog1.pdf

Exercice2.sce

Fichiers :



Tp2_scripts.tex

Tp2_scripts.pdf


Boucle for

Fonction plot2d2

Commandes

zeros, ones

Définition d’une

fonction

Suite définie

implicitement

résolution

approchée

d’une équation

du type f(x) = 0

Oral Hec 2009Sujet BL 16

Fichiers :



Fichier :

Exercice3.tex

Exercice3.pdf

Exercice3.sce

Fichiers :



Tp3_scripts.tex

Tp3_scripts.pdf


Fonction plot2d

Commandes

input et disp

Définition

d’une fonction

Boucle while

Boucle for

Séries à termes

positifs

croissances comparées

des fonctions

logarithme,

puissance et

exponentielle,

théorème de

comparaison

Fichiers :



Tp4_scripts.tex

Tp4_scripts.pdf


Opérations

pointées

Fonction plot2d2

Commandes

feval, ones

Intégrales des

fonctions positives

croissances comparées

des fonctions

logarithme,

puissance et

exponentielle,

théorème de

comparaison

Fichiers :



Tp5_scripts.tex

Tp5_scripts.pdf


Opérations

pointées

Fonction plot2d

Commande

feval

Définition

d’une fonction

Comparaison

série-intégrale

Oral Hec

Fichiers :



Fichier :

Exercice6.tex

Exercice6.pdf

Exercice6.sce

Fichiers :



Tp6_scripts.tex

Tp6_scripts.pdf


Opérations

pointées

Fonction plot2d2

Commande

feval

Définition

d’une fonction

Suites

de fonctions

suite

d’intégrales

Escp 2010 - Voie T

Fichiers :



Fichiers :



Tp7_scripts.tex

Tp7_scripts.pdf


Commande

feval

Fonction plot2d

Définition

d’une fonction

1

1

Exercice d'oral 1 original (Oral Escp 2012, Ex. 1.9)

On considère une fonction f dé�nie et continue sur [0, π] et l'intégrale In =π∫0

f(t) sin(nt)dt.

1. On suppose que f est de classe C1 sur [0, π]. Montrer que la suite (In) converge de limite nulle.

2. On suppose ici que f est seulement de classe C0 sur [0, π].On veut démontrer que le résultat précédentest encore valable.

(a) Soit n ∈ N∗. Soit F la fonction de Rn dans R qui à tout n-uplet de réels (a1, a2, . . . , an) associe le

nombre 2π

∫ π0

(f(t)−

n∑k=1

ak sin(kt)

)2

dt. Pour tout k, on pose bk(f) = 2π

∫ π0f(t) sin(kt)dt. En�n on

rappelle que pour tout couple de réels (a, b), on a :

sin(a) sin(b) =1

2(cos(a− b)− cos(a+ b)) .

Calculer pour tout couple (k, `) d'entiers strictement positifs l'intégrale :∫ π

0

sin(kt) sin(`t)dt.

En déduire que quel que soit (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn :

F (a1, a2, . . . , an) =n∑k=1

a2k − 2n∑k=1

akbk(f) +2π

∫ π0f2(t)dt

(b) Montrer que F admet un minimum global au point (b1(f), · · · , bn(f)). Quelle est la valeur de ceminimum?

(c) Montrer que la série∑

(bk(f))2est convergente et donner un majorant de sa somme.

(d) Conclure.

1Exercice d’oral 1 proposé (D’après oral Escp 2012, Ex. 1.9)

On considère une fonction f définie et continue sur [0, π] et l’intégrale In =π∫0f(t) sin(nt)dt.

On cherche à montrer sous différentes hypothèses que limn→+∞

π∫0f(t) sin(nt)dt = 0.

1. On donne le code Scilab suivant :

x = [0:0.01:%pi]’;

y1 = exp(x/3);

y2 = exp(x/3) .* sin(5*x);

y3 = exp(x/3) .* sin(50*x);

plot2d([x,x,x],[y1,y2,y3],..

[1,2,5],rect=[0,-4,%pi,4])

legend(’’..’’, ’’..’’,’’..’’,)

et la sortie graphique correspondante :

Compléter la légende. Le résultat limn→+∞

π∫0e

t3 sin(nt)dt = 0 est-il cohérent avec les graphes obtenus ?

2. On suppose que f est de classe C1 sur [0, π]. Montrer que la suite (In) converge de limite nulle.

3. On donne le code Scilab suivant et les valeurs de I obtenues en fonction de n et de N :

n = 50; N = 100000;x = %pi * [1:1:N] / N;

y = exp(x/3) .* sin(n*x);

I = sum(y) / N;

N = 5 N = 50 N = 100000n = 5 2.10−16 0, 24197 0, 2439922n = 50 −6.10−15 5, 52.10−16 −0, 0117747n = 500 −1.10−13 −9, 946.10−14 −0, 0011775

Comment peut-on interpréter le code présenté et les résultats obtenus ?

4. On suppose à présent que f est seulement de classe C0 sur [0, π].Pour tout k de N, on pose bk(f) = 2

π

∫ π0 f(t) sin(kt)dt.

Enfin, on rappelle que pour tout couple de réels (a, b), on a : sin(a) sin(b) = 12 (cos(a− b)− cos(a+ b)) .

(a) Calculer pour tout couple (k, `) d’entiers strictement positifs l’intégrale :∫ π

0 sin(kt) sin(`t)dt.

(b) En déduire que :

∀(a1, a2, . . . , an) ∈ Rn,2π

∫ π

0

(f(t)−

n∑k=1

ak sin(kt))2

dt=n∑k=1

a2k − 2

n∑k=1

akbk(f) + 1π

∫ π

0f2(t)dt

(c) Montrer que la série∑

(bk(f))2 est convergente et donner un majorant de sa somme.

(d) Conclure.

5. L’hypothèse de continuité de f est-elle indispensable pour avoir limn→+∞

π∫0f(t) sin(nt)dt = 0 ?

Exercice 1 : variantes de programmationDifférentes manières de programmer la méthode des rectangles

Première méthode : On utilise une boucle for (version proche du Pascal)

// Définition de la fonction fn, n est ici une variable globale

// On peut aussi écrire fn comme une fonction de deux variables

// (mieux structuré informatiquement)n = 5;function y = fn(x)

y = exp(x/3) * sin(n*x);endfunction

// Nombre de pas de la subdivision choisieN = 50;

// Valeur approchée de l’intégrale par la méthode des rectanglesS = 0;for i=1:N

S = S + fn( %pi * i / N );endS = S / N;disp(I, ’Valeur approchée de l’’intégrale par la méthode des rectangles : ’);

Deuxième méthode : On utilise les commandes matricielles

// Valeur approchée de l’intégrale par la méthode des rectangles

n = 5; // Choix d’une valeur de nN = 100000; // Nombre de pas de la subdivision

x = %pi * [1:1:N] / N; // x contient 1/N, 2/N, ... , (N-1)/N

y = exp(x/3) .* sin(n*x); // On génère le vecteur y

I = sum(y) / N; // Somme des coefficients de y divisée par N

disp(I, ’Valeur approchée de l’’intégrale par la méthode des rectangles : ’);

1

1Différentes manières de tracer des graphes avec Scilab

On cherche à tracer les graphes des fonctions t|->f(t), t|->f(t)sin(5t) et t|->f(t)sin(50t) par différentesméthodes.x désigne un vecteur ligne dont les coefficients sont les abscisses des points.Dans un premier temps, il faut générer les vecteurs y1, y2 et y3 dont les coefficients sont les images descoefficients de x par les trois fonctions considérées.

A Méthodes pour générer y1, y2 et y3Première méthode :On utilise les opérations pointées :

x = [0:0.01:%pi];

y1 = exp(x/3);

y2 = exp(x/3) .* sin(5*x);

y3 = exp(x/3) .* sin(50*x);

Deuxième méthode :On utilise la commande deff et feval :

x = [0:0.01:%pi];

deff(’y=f1(x)’, ’y = exp(x/3)’);

y1 = feval(x, f1);

deff(’y=f2(x)’, ’y = exp(x/3) * sin(5*x)’);

y2 = feval(x, f2);

deff(’y=f3(x)’,’y = exp(x/3) * sin(50*x)’);

y3 = feval(x, f3);

Troisième méthode :On utilise la définition générale d’une fonction et feval :

x = [0:0.01:%pi];

function y = f1(x)

y = exp(x/3);endfunctiony1 = feval(x, f1);

function y = f2(x)

y = exp(x/3) * sin(5*x);endfunctiony2 = feval(x, f2);

function y = f3(x)

y = exp(x/3) * sin(50*x);endfunctiony3 = feval(x, f3);

Quatrième méthode :On utilise la commande deff et les opérations pointées (à l’intérieur de la fonction) sans feval :

x = [0:0.01:%pi];

deff(’y=f1(x)’, ’y = exp(x/3)’);

y1 = f1(x);

deff(’y=f2(x)’, ’y = exp(x/3) .* sin(5*x)’);

y2 = f2(x);

deff(’y=f3(x)’,’y = exp(x/3) .* sin(50*x)’);

y3 = f3(x);

2B Utilisation de plot2d pour tracer les graphesPremière méthode :On utilise une seule commande plot2d et des vecteurs colonne

// Graphes des fonctions t|->f(t), t|->f(t)sin(5t) et t|->f(t)sin(50t)

x = [0:0.01:%pi]’; // Utilisation de matrices colonne pour

y1 = exp(x/3); // pouvoir tracer plusieurs courbes

y2 = exp(x/3) .* sin(5*x); // avec une seule commande plot2d

y3 = exp(x/3) .* sin(50*x);

plot2d([x,x,x],[y1,y2,y3],[1,2,5], rect=[0, -4, %pi, 4])

xtitle("Lemme de Riemann-Lebesgue") // Ajout d’un titre

legend("Graphe de f", "Graphe de t|->f(t)sin(5t)","Graphe de t|->f(t)sin(50t)")

Deuxième méthode :On utilise des vecteurs ligne (ou colonne) et plusieurs commandes plot2d

// Graphe de la fonction t|->f(t)

x = [0:0.01:%pi]; // On peut utiliser une matrice ligne

y1 = exp(x/3); // ou une matrice colonne

plot2d(x,y1,1)

// Graphe de la fonction t|->f(t)sin(5t)

y2 = exp(x/3) .* sin(5*x);

plot2d(x, y2, 2)

// Graphe de la fonction t|->f(t)sin(50t)

y3 = exp(x/3) .* sin(50*x);

plot2d(x, y3, 5, rect=[0, -4, %pi, 4])

xtitle("Lemme de Riemann-Lebesgue") // Ajout d’un titre

legend("Graphe de f", "Graphe de t|->f(t)sin(5t)","Graphe de t|->f(t)sin(50t)")

1

Travaux pratiques 1 (D'après oral Escp 2012, Ex. 1.9)

On considère une fonction f dé�nie et continue sur [0, π] et l'intégrale In =π∫0

f(t) sin(nt)dt.

On cherche à déterminer sous di�érentes hypothèses limn→+∞

π∫0

f(t) sin(nt)dt.

1. Ecrire un script en Scilab qui permette de tracer les courbes représentatives sur [0, π] des fonctions f, f5et f50 dé�nies sur R par :

f(t) = et3 , f5(t) = e

t3 sin(5t) et f50(t) = e

t3 sin(50t).

2. Que peut-on penser de limn→+∞

π∫0

et3 sin(nt)dt ?

3. Compléter le code précédent pour qu'il permette de calculer, grâce à la méthode des rectangles des valeurs

approchées deπ∫0

et3 sin(nt)dt pour di�érentes valeurs de n.

On divisera le segment [0, π] en N sous-segments et on pourra utiliser soit une boucle for,

soit des matrices et la commande sum de Scilab.

4. Comment doit-on choisir les valeurs relatives de n et de N pour obtenir une valeur approchée de l'intégralequi ait un sens ? Les résultats obtenus grâce aux simulations e�ectuées correspondent-elles à la conjecture

e�ectuée à la question 2 ?

5. On suppose que f est de classe C1 sur [0, π]. Montrer en utilisant une intégration par parties que la suite(In) converge et que sa limite est nulle.

6. Soit g la fonction périodique de période 2π, dé�nie sur [0, 2π] par : g(t) =

{1 si t ∈ [0, π[−1 si t ∈ [π, 2π[

.

(a) Ecrire un script en Scilab qui permette de tracer les courbes représentatives sur [0, π] des fonctionsf et g10 dé�nies sur R par :

f(t) = et3 et g10(t) = e

t3 g(10t).

On pourra remarquer que g(t) =

{1 si t

2π −⌊t2π

⌋< 1

2−1 sinon

où bxc désigne la partie entière de x.

(b) Que peut-on penser de limn→+∞

π∫0

et3 g(nt)dt ?

(c) Reprendre le script précédent pour qu'il permette de calculer des valeurs approchées deπ∫0

et3 g(nt)dt

pour di�érentes valeurs de n. Les résultats obtenus grâce aux simulations e�ectuées correspondent-elles à la conjecture faite précédemment ?

7. Donner une fonction h, di�érente des fonction cos, sin et g qui soit susceptible de véri�er la propriété :

limn→+∞

π∫0

et3h(nt)dt = 0

Travaux pratiques 1 et 1 bis :Scripts en Scilab

Travaux pratiques 1 :

// Travaux pratiques 1

clf(); // clear figure, efface toutes les figures

funcprot(0); // Efface toutes les fonctions

// Graphes des fonctions t|->f(t), t|->f(t)sin(5t) et t|->f(t)sin(50t)

x = [0:0.01:%pi]’;

y1 = exp(x/3);

y2 = exp(x/3) .* sin(5*x);

y3 = exp(x/3) .* sin(50*x);

plot2d([x,x,x],[y1,y2,y3],[1,2,5], rect=[0, -4, %pi, 4])

legend("Graphe de f", "Graphe de f5","Graphe de f50",)

// Présentation des graphes avec des axes qui se croisent à l’origine

da=gda() // get default axis

da.x_location = "middle"; // Les axes se croisentda.y_location = "origin"; // à l’origine

// Valeur approchée de l’intégrale par la méthode des rectangles

n = 5; // Choix d’une valeur de nN = 100000; // Nombre de pas de la subdivision


y = exp(x/3) .* sin(n*x); // On génère le vecteur y



1

Travaux pratiques 1 bis :

// Travaux pratiques 1 bis - fonction g

clf(); // clear figures

funcprot(0); // Efface toutes les fonctions

// Définition de la fonction g, la fonction g est 2*Pi périodique

// prend la valeur 1 sur [0,%Pi] et -1 sur [%Pi, 2*%Pi]

function y = g(x)

z = (x / (2 * %pi)) - floor(x / (2 * %pi)); // Floor désigne la partie entière

if ( z < 1/2 ) then // en divisant par 2 * %Pi, on se

y = 1 // ramène au segment [0,1] (homthétie)

else // la valeur prise est -1 sur [0, 1/2]

y = -1; // et 1 sur [1/2, 1]end

endfunction

// Définition de la fonction gn

function y = gn(x)

y = exp(x/3) * g(n*x);endfunction


da=gda() // get data axis

da.x_location = "middle"; // On place l’origine du repère

da.y_location = "origin"; // à l’endroit choisi

// Graphes de g et de g10

x = [0:0.01:%pi]’;

y1 = exp(x/3);n = 10;y10 = feval(x, gn);

plot2d([x,x],[y1,y10],[5,2], rect=[0, -4, %pi, 4])

legend("Graphe de g", "Graphe de g10")

// Valeur approchée de l’intégrale par la méthode des rectanglesn = 200;N = 100000; // Nombre de pas de la subdivision


y = feval(x, gn); // On génère le vecteur y



2

Scilab

function y = g(x)

z = (x / (2 * %pi)) - floor(x / (2 * %pi));

if ( z < 1/2 ) then

y = 1

else

y = -1;

end

endfunction

T F

1 0

function y = g(x)

z = (x / (2 * %pi)) - floor(x / (2 * %pi));

y = ((z < 1/2) - 1/2) * 2;

endfunction

1Exercice d’oral 2

1. (a) Soit (Sn)n∈N∗ la suite définie par : ∀n ∈ N∗, Sn =n∑k=1

(−1)k+1

k .

On donne le code Scilab suivant :x = [1:1:20];y = zeros(1,20);aux = 1;for k=1:20

y(k) = aux / k;

aux = aux * (-1);endplot2d2(x,y, rect=[0, -1.1, 20, 1.1])


Interpréter les lignes de code précédentes. En s’appuyant sur le graphique ci-dessus, expliquer pour-quoi la la suite (S2n)n∈N∗ est positive et croissante, et pourquoi la suite (S2n+1)n∈N est décroissante(on ne demande pas ici de démonstration).

(b) Soit (uk)k∈N∗ une suite positive, décroissante et tendant vers 0.On pose : ∀n ∈ N∗, Sn =n∑k=1

(−1)k+1uk.

En s’inspirant des remarques effectuées à la question a), montrer que la suite (Sn)n∈N∗ converge.

2. Soit f la fonction définie sur [π,+∞[ par : ∀t ∈ [π,+∞[ , f(t) = sin tt .

Le graphe de f est le suivant :

(a) Soit pour tout n de N∗, la suite Sn définie par Sn =(n+1)π∫π

sin tt dt. Montrer en utilisant les résultats

de la question 1 que la suite (Sn)n∈N∗ converge.

(b) En déduire que+∞∫π

sin tt dt converge.

(c) Montrer que l’intégrale+∞∫π

sin tt dt n’est pas absolument convergente.

3. Montrer par une autre méthode que+∞∫1

sin tt dt converge.

Exercice 2 : Variantes de programmationScripts en Scilab

Première méthode : On utilise une boucle for et une variable auxiliaire

// Exercice 2 - Séries alternées et intégrales semi-convergentes

// Tracé du graphe de la fonction en escalier correspondant à la série alternée

// en utilisant une boucle for et une variable auxiliairex = [1:1:20];y = zeros(1,20);

aux = 1; // La variable auxiliaire auxfor k=1:20 // sert à calculer (-1)^k

y(k) = aux / k;

aux = aux * (-1);endplot2d2(x,y, rect=[0, -1.1, 20, 1.1])

// Tracé du graphe de f:x|->sin(x)/x sur [1,30]

xset(’window’,1); // Création d’une nouvelle fenêtrex = [1:0.1:30];y = sin(x) ./ x;

plot2d(x,y, rect=[0, -0.6, 30, 1])

legend("Graphe de f")

Deuxième méthode : On utilise la commande matricielle repmat et les opérations pointées

// Exercice 2 - Séries alternées et intégrales semi-convergentes

// Tracé du graphe de la fonction en escalier correspondant à la série alternée

// en utilisant la commande repmat (répète matrice)

x = [1:1:20];A = [1, -1]; // A est la matrice ligne A = (1 -1)

b = [1:1:20]; // b contient 1,2,...,20y = repmat(A,1,10) ./ b ; // on répète 10 fois la matrice A

plot2d2(x,y, rect=[0, -1.1, 20, 1.1]) // et on divise le kième coefficient par k

// Tracé du graphe de f:x|->sin(x)/x sur [1,30]

xset(’window’,1); // Création d’une nouvelle fenêtrex = [1:0.1:30];y = sin(x) ./ x;

plot2d(x,y, rect=[0, -0.6, 30, 1])

legend("Graphe de f")

1

1

Travaux pratiques 2 : séries alternées

1. Etude d'un exemple :

Soit (Sn)n∈N∗ la suite dé�nie par : ∀n ∈ N∗, Sn =n∑k=1

(−1)k+1

k .

(a) Ecrire un programme Scilab qui permette d'initialiser un vecteur ligne y possédant une ligne et 20

colonnes avec les valeurs 1,− 12 ,

13 ... (la k

eme case du tableau contenant la valeur (−1)k+1

k ). On pourrapour cela utiliser une boucle for et une variable auxiliaire aux qui permette de calculer de procheen proche (−1)k+1.

(b) En utilisant la fonction plot2d2 (qui permet de tracer des graphes de fonctions en escalier), tracerle graphe de la fonction g dé�nie par :

∀k ∈ [[1, 19]],∀t ∈ [k, k + 1], g(t) =(−1)k+1

k.

(c) Justi�er grâce aux graphique la positivité et la croissance de la suite (S2n)n∈N∗ , ainsi que la décrois-sance de la suite (S2n+1)n∈N.

(d) Compléter les lignes de code précédentes pour tracer dans une autre fenêtre graphique (à l'aide de lacommande xset('window',1)) les points de coordonnées (1, S1) , (1, S2) . . . (1, S20) (on pourra créerun vecteur ligne z1 possédant une ligne et 20 colonnes dont le keme coe�cient est égal à Sk, puisutiliser la fonction plot2d avec l'argument style=-1 qui permet de tracer des points sans ligne briséeentre les points). Cette nouvelle représenTation graphique con�rme-t-elle les remarques e�ectuées àla question précédente ? Que peut-on penser de la convergence de la suite (Sn) ? Tracer sur le mêmegraphique la droite d'équation y = ln(2).

(e) On admet pour l'instant que (Sn) converge et a pour limite l. En s'aidant du graphique obtenu à laquestion précédente, justi�er le résultat suivant : ∀n ∈ N∗, |Sn − l| ≤ un+1 (on ne demande pas icide démonstration).

2. Cas général et démonstration des résultats précédents.

(a) Soit (uk)k∈N∗ une suite positive, décroissante et tendant vers 0.On pose : ∀n ∈ N∗, Sn =n∑k=1

(−1)k+1uk.

En s'inspirant des remarques e�ectuées à la question 1, montrer que la suite (Sn)n∈N∗ converge. Onnote l sa limite.

(b) Démontrer le résultat suivant : ∀n ∈ N∗, |Sn − l| ≤ un+1. .

(c) Grâce à la formule de Taylor avec reste intégral, appliqée à la fonction x 7→ ln(1 + x) entre 0 et 1,démontrer que lim

n→+∞Sn = ln(2).

3. Application :

En utilisant une opération de copier-coller, réutiliser des commandes précédentes et les modi�er pourcalculer grâce à Scilab une valeur approchée de ln(2) à 10−5 près. Comparer cette valeur avec celle donnéepar Scilab directement.

4. Soit f la fonction dé�nie sur [π,+∞[ par : ∀t ∈ [π,+∞[ , f(t) = sin tt .

Soit pour tout n de N∗, la suite Sn dé�nie par Sn =(n+1)π∫π

sin tt dt.

(a) Tracer le graphe de la fonction f sur [π, 30] grâce à Scilab.

(b) Montrer en utilisant les résultats de la question 1 que la suite (Sn)n∈N∗ converge.

Travaux pratiques 2 :Script en Scilab

// Tracé du graphe de la fonction en escalier g

x = [1:1:20];y = zeros(1,20); // Création et initialisation de y

aux = 1; // La variable auxiliaire auxfor k=1:20 // sert à calculer (-1)^(k+1)

y(k) = aux / k; // y(k) est égal à (-1)^(k+1) / k

aux = aux * (-1);endplot2d2(x,y, rect=[0, -1.1, 20, 1.1]) // Tracé du graphe d’une fonction en escalier

// Tracé dans une autre fenêtre des points de coordonnées (1,S1),..., (20,S20)

// en utilisant la commande cumsum (cumulated sum - somme cumulée)xset(’window’,1); // Création d’une nouvelle fenêtrex = [1:1:20];z1 = cumsum(y); // z1 contient S1, S2, S3,...,S20

plot2d(x,z1, style=-1, rect=[0, -0.2, 20, 1.1]) // style=-1 permet de tracer des points

// sans ligne brisée entre eux

//Tracé de la droite d’équation y=ln(2) - le tracé s’effectue dans la fenêtre courante

z2 = log(2)*ones(1,20); // En Scilab, la fonction log désigne

plot2d(x,z2, rect=[0, -0.2, 20, 1.1]) // le logarithme népérien

legend("Suite Sn","Droite d’’équation y=ln(2)")

// Valeur approchée de ln(2) à 0.00001 près

// Il faut prendre n superieur à 100 000 - 1N = 100000 - 1;S = 0;aux = 1;for k=1:N // Calcul de la somme partielle d’indice

S = S + aux/k; // N de la sérieaux = aux * (-1);

enddisp(S, "Valeur approchée de ln(2) : ")

disp(log(2), "Valeur donnée par Scilab : ")

1

TurboPascal

x = [1:1:20] x = 1:20;

1

for k = 1:N

Scilab

1

Exercice d'oral 3 original (Oral Hec 2009 - Sujet BL 16)

1. Montrer que l'équation : xn +nx = 1 admet, pour tout n de N∗, une unique solution strictement positive,

que l'on note xn.

2. Déterminer limn→+∞

xn.

3. Donner un équivalent simple de xn lorsque n tend vers +∞.

1Exercice d’oral 3 proposé (D’après oral Hec 2009 - Sujet BL 16)

Soit n ∈ N∗. Soit fn la fonction définie sur R+ par : ∀x ∈ R+, fn(x) = xn − nx− 1.


x = [0:0.01:10]’;y2 = x^2-2*x-1;y3 = x^3-3*x-1;y5 = x^5-5*x-1;y10 = x^10-10*x-1;

plot2d([x,x,x,x],[y2,y3,y5,y10],..

[1,2,5,4], rect=[0, -10, 2.6, 5])legend("...", "...","...",)


Compléter la légende. Que peut-on penser des solutions positives éventuelles de l’équation : xn−nx = 1 ?Comment peut-on interpréter les graphes obtenus en termes de croissances comparées ?

2. Montrer que l’équation : xn − nx = 1 admet, pour tout n de N∗, une unique solution positive, que l’onnote xn.

3. Que peut-on penser du comportement de la suite (xn) (monotonie, limite éventuelle) à partir des graphesdonnés à la question 1 ? Que peut-on penser du signe de fn+1(xn) ?

4. Montrer que (xn) converge en utilisant les remarques effectuées à la question 1.5. On donne ci-dessous deux scripts en Scilab :

n = 10;function y = fn(x)

y = x^n - n*x - 1;endfunctionepsilon = 0.01;a = 1; b = 1.6;c = (a + b) / 2;while ((b-a)/2 > epsilon)

y = fn(c);if y < 0 then a = celse b = cendc = (a + b) / 2;

end

n = 10;function y = fn(x)

y = x^n - n*x - 1;endfunctionb = 1.6; N = 4;for i = 1:N

c = b - fn(b) / (n * b^(n-1) - n);b = c;

end

Interpréter ces lignes de code.Les valeurs de c obtenues dans le premier cas en fonction de epsilon et dans le deuxième cas en fonction de Nsont données dans les tableaux ci-dessous :

epsilon = 10−2 epsilon = 10−4 epsilon = 10−6

c = 1, 3046875 c = 1, 3021851 c = 1, 3022108N = 4 N = 6 N = 10

c = 1, 3027371 c = 1, 3022109 c = 1, 3022109

Commenter ces résultats.

1Travaux pratiques 3 (D’après oral Hec 2009 - Sujet BL 16)

Soit n ∈ N∗. Soit fn la fonction définie sur R par : ∀x ∈ R, fn(x) = xn − nx− 1.


x = [0:0.01:10]’;y2 = x^2-2*x-1;y3 = x^3-3*x-1;y5 = x^5-5*x-1;y10 = x^10-10*x-1;

plot2d([x,x,x,x],[y2,y3,y5,y10],[1,2,5,4], rect=[0, -10, 2.6, 5])

legend("......", "......","......",)

La sortie graphique produite par ce code est la suivante :

Compléter la légende. Que peut-on penser des solutions positives éventuelles de l’équation : xn−nx = 1 ?Comment peut-on interpréter les graphes obtenus en termes de croissances comparées ?

2. Montrer que l’équation : xn − nx = 1 admet, pour tout n de N∗, une unique solution positive, que l’onnote xn.

3. Ecrire un programme Scilab qui utilise une méthode par dichotomie et qui donne en fonction de n, unevaleur approchée notée c de xn à 10−6 près (on utilisera une boucle while).

4. Dans cette question, on prend n = 10 et on veut comparer différentes méthodes de calcul approché de x10.

(a) Compléter le programme précédent pour qu’il affiche aussi une valeur approchée de x10 notée c parla méthode de Newton en N itérations (on utilisera une boucle for).

(b) Compléter les tableaux suivants :

Méthode par dichotomie

epsilon = 10−2 epsilon = 10−4 epsilon = 10−6

c = c = c =

Méthode de Newton

N = 4 N = 6 N = 10c = c = c =

Comparer les deux méthodes.

5. Que peut-on penser du comportement de la suite (xn) (monotonie, limite éventuelle) à partir des graphesdonnés à la question 1 ? Que peut-on penser du signe de fn+1(xn) ?

6. Montrer que (xn) converge en utilisant les remarques effectuées à la question 1.


// Travaux pratiques 3 - suite définie implicitement

// D’après oral Hec 2009 - sujet BL 16

clf(); // On efface toutes les figures

funcprot(0); // On efface toutes les fonctions



da.x_location = "origin"; // Les axes se croisent

da.y_location = "origin"; // à l’origine

// Tracé des graphes de f2, f3, f5, f10

x = [0:0.01:10]’; // Utilisation de matrices colonnes pour

y2 = x^2-2*x-1; // pouvoir tracer plusieurs courbes

y3 = x^3-3*x-1; // avec une seule commande plot2dy5 = x^5-5*x-1;y10 = x^10-10*x-1;

plot2d([x,x,x,x],[y2,y3,y5,y10],[1,2,5,4], rect=[0, -10, 2.6, 5])

legend("......", "......","......",)

// Définition de la fonction fn// On crée une fonction de deux variables, p est alors

// une variable locale dans la fonction (contrairement au cas du TP 1)function y = fn(x, p)

y = x^p - p*x - 1;endfunction

// Choix de la valeur de nn = input(’n : ’);

// Valeur approchée de la solution de fn(x)=0 obtenue par dichotomie

epsilon = 1 / 100;

disp(epsilon, ’Valeur de epsilon : ’)

a = 1; b = 1.6; // On prend b = 1.6 à partir du graphe de f10

c = (a + b) / 2; // On initialise c à (a+b) / 2while ((b-a)/2 > epsilon) // Tant que la demi-longueur du segment [a,b]

y = fn(c, n); // est supérieure à epsilon

if y < 0 then a = c // car la fonction fn est strictement croissante

else b = c // sur [a,b]endc = (a + b) / 2;

enddisp(c, ’Valeur approchée par dichotomie de la solution à epsilon près : ’);

// Valeur approchée de la solution de fn(x)=0 obtenue par la méthode de Newtonb = 1.6; N = 6;for i = 1:N // c est égal à l’abscisse du point d’intersection

c = b - fn(b, n) / (n * b^(n-1) - n); // de la tangente au graphe au point (b, fn(b))

b = c; // et de l’axe des abscissesenddisp(b, ’Valeur approchée de la solution par la méthode de Newton : ’);

1

1Travaux pratiques 4 : séries à termes positifs

Soit (un)n∈N∗ une suite réelle à valeurs positives. On pose : ∀n ∈ N∗, Sn =n∑

k=1uk.

On dit que la série∑

k≥1uk converge lorsque la suite (Sn) admet une limite finie.

1. Montrer que l’on a l’alternative suivante :soit la suite (Sn) est majorée et elle converge, soit lim

n→+∞Sn = +∞.


x = [1:1:20]’;u = ones(20,1);y1 = u ./ x;

y2 = u ./ (x .^ (2));

plot2d2([x,x], [y1,y2], [2,5], rect=[0, -0.2, 20, 1.1])


Interpréter les lignes de code précédentes. On admet dans toute la suite que∑

k≥1

1kα converge si et seulement

si α > 1. Comment peut-on interpréter géométriquement le fait que la série∑

k≥1

1k diverge alors que

∑k≥1

1k2

converge ?

On admet dans toute la suite que la série∑

k≥1

1kα converge si et seulement si α > 1.

3. Créer une fonction qui calcule 1x2+ln(x) en fonction de x, puis utiliser la commande feval de Scilab pour

générer un vecteur colonne dont les coefficients sont les réels 1k2+ln(k) , k variant de 1 à n. Faire ensuite

afficher sur le même graphique les graphes des fonctions en escalier correspondant aux séries∑

k≥1

1k ,∑

k≥1

1k2

et∑

k≥1

1k2+ln(k) . Que peut-on en déduire (intuitivement) sur la nature de

∑k≥1

1k2+ln(k) ?

4. Pour chacune des séries suivantes, tracer sur le même graphique les graphes des fonctions en escaliercorrespondant aux séries

∑k≥1

1k ,∑

k≥1

1k

32et la fonction en escalier correspondante et dire si intuitivement,

la série considérée converge (on interprétera la forme des courbes obtenues et on effectuera des calculs surdes valeurs de k plus importantes si nécessaire). Comment peut-on expliquer les résultats en utilisant lescroissances comparées des fonctions logarithmes, exponentielles et puissances ?∑k≥1

(k3 + k2 + 3)e−k∑

k≥1

∣∣∣ sin kk√

k

∣∣∣ ∑k≥1

1+ 1√k

k

∑k≥1

ln(k)k

∑k≥1

ln(k)+3+cos(k)k2

∑k≥1

(1− cos( 1

k )) ∑

k≥1

ln(k)+1√k+1

∑k≥1

e−k

k

∑k≥2

1ln(k) sin 1√

k

∑k≥2

(ln k)3

k2

5. Démontrer ces résultats en utilisant le théorème de comparaison.


// Travaux pratiques 4 : séries à termes positifs

clf() // On efface toutes les figures

funcprot(0) // On efface toutes les fonctions





x = [1:1:20]’;

// Définition de la fonction ffunction y = f(x)

y = 1 / (x^2 + log(x));endfunction

// Graphes des fonctions en escalier correspondant à la série

// harmonique, à la série des 1/(k^1.5) et à la série des f(k)

u = ones(20,1);y1 = u ./ x;

y2 = u ./ (x .^ (1.5));

y3 = feval(x, f)

plot2d2([x,x,x], [y1,y2,y3], [2,5,1], rect=[0, -0.2, 20, 1.1])

legend("Série harmonique", "série des 1/(k^1.5)","série étudiée")

1

1Travaux pratiques 5 : intégrales des fonctions positives

Soit f une fonction continue et positive sur ]0,+∞[.

Définitions : On dit que+∞∫1f(t)dt converge lorsque lim

x→+∞

x∫1f(t)dt existe et est finie.

On dit que1∫0f(t)dt converge lorsque lim

x→0+

1∫x

f(t)dt existe et est finie.

1. Montrer que+∞∫1

1tα dt converge si et seulement si α > 1.

Montrer que1∫0

1tα dt converge si et seulement si α < 1.


x = [0.01:0.01:10]’;y1 = 1 ./ x;

y2 = 1 ./ (x .^ 2);

y3 = 1 ./ sqrt(x);

plot2d([x,x,x], [y1,y2,y3], [2,5,6], rect=[0, -0.2, 7, 10])

legend("f1(x)=1/x", "f2(x)=1/x^2","f3(x)=1/sqrt(x)")


Comment peut-on interpréter géométriquement le fait que l’intégrale+∞∫1

1t dt et

1∫0

1t dt divergent alors que

+∞∫1

1t2 dt et

1∫0

1√tdt convergent ?

3. Créer une fonction Scilab qui calcule (ln t)2

t3 en fonction de t, puis utiliser la commande feval de Scilab pourgénérer un vecteur colonne dont les coefficients sont les images par f des éléments du vecteur colonne x.Faire ensuite afficher sur le même graphique les graphes des fonctions t 7→ 1√

t, t 7→ 1

t , t 7→ 1t2 et f. Que

peut-on en déduire (intuitivement) sur la nature de+∞∫1

(ln t)2

t3 dt ?

4. Pour chacune des intégrales suivantes, tracer sur le même graphique les graphes des fonctions t 7→ 1√t,

t 7→ 1t , t 7→ 1

t2 et de la fonction intervenant dans l’intégrale et dire si intuitivement, l’intégrale considéréeconverge.+∞∫1

(ln t)3+t

t3+(ln t)2 dt+∞∫1

1+ln t1+t dt

+∞∫1

sin( 1t2 )dt

+∞∫1

(ln t)2

t√

tdt

+∞∫1

(t2 + 3)e−tdt+∞∫1

∣∣∣ sin(t)t√

t

∣∣∣ dt1∫0

ln(t)+2√tdt

1∫0e−

1t dt

1∫0

sin(t)t dt

1∫0

et−1t√

tdt

Comment peut-on expliquer les résultats en utilisant les croissances comparées des fonctions logarithmes,exponentielles et puissances ?

5. Démontrer ces résultats en utilisant le théorème de comparaison.


// Travaux pratiques 5 : intégrales des fonctions positives


funcprot(0) // On efface toutes les fonctions





// Graphes des fonctions f1, f2 et f3 définies par

// f1(x)=1/x, f2(x)=1/x^2 et f3(x)=1/sqrt(x)

x = [0.01:0.01:10]’;y1 = 1 ./ x;

y2 = 1 ./ (x .^ 2);

y3 = 1 ./ sqrt(x);

plot2d([x,x,x], [y1,y2,y3], [2,5,6], rect=[0, -0.2, 4, 6])

legend("f1(x)=1/x", "f2(x)=1/x^2","f3(x)=1/sqrt(x)")

xset(’window’,1); // Création d’une nouvelle fenêtre

// Définition de la fonction ffunction y = f(x)

y = (log(x)^2)/(x^2);endfunction

// Graphes des fonctions f1, f2, f3 et f définies par

// f1(x)=1/x, f2(x)=1/x^2 et f3(x)=1/sqrt(x) (f est définie ci-dessus)

y1 = 1 ./ x;

y2 = 1 ./ (x .^ 2);

y3 = 1 ./ sqrt(x);

y4 = feval(x, f)

plot2d([x,x,x,x], [y1,y2,y3,y4], [2,5,6,1], rect=[0, -0.2, 7, 10])

legend("f1(x)=1/x", "f2(x)=1/x^2","f3(x)=1/sqrt(x)","Graphe de f")

1

Scilab LaTeX

$...$

legend("f1(x)=1/x", "f2(x)=1/x^2", "f3(x)=1/sqrt(x)")

legend("$f_1(x)=1/x$", "$f_2(x)=1/x^2$", "$f3(x)=1/\sqrt{x}$")

Propriétés de la figure Legend

Axes

1

Exercice d'oral 6 original (D'après un sujet d'oral de Hec)

On considère la suite (Sn) dé�nie par : ∀n ∈ N∗, Sn =n∑

k=2

ln kk .

Que peut-on dire de limn→+∞

Sn ?

Donner un équivalent de Sn lorsque n tend vers +∞.

1

Exercice d'oral 6 proposé (D'après un sujet de l'oral d'Hec)

On considère la suite (Sn) dé�nie par : ∀n ∈ N∗, Sn =n∑

k=2

ln kk .

1. Que peut-on dire de limn→+∞

Sn ?

2. La courbe représentative de la fonction f : t 7→ ln(t)t est donnée ci-dessous :


1

Travaux pratiques 6 : comparaison série - intégrale

1. Cas de la série harmonique :

Soit (Sn)n∈N∗ la suite dé�nie par : ∀n ∈ N∗, Sn =n∑

k=1

1k .

(a) Ecrire un script en Scilab qui permette d'initialiser un vecteur ligne y possédant une ligne et 20colonnes avec les valeurs 1, 1

2 ,13 ... (la keme case du tableau contenant la valeur 1

k ).

(b) En utilisant les fonctions plot2d et plot2d2 (qui permet de tracer des graphes de fonctions enescalier), tracer sur le même schéma les graphes de la fonction f : t 7→ 1

t sur [1, 20], ainsi que lesgraphes des fonctions g et h dé�nies par :

∀k ∈ [[2, 9]],∀t ∈ [k, k + 1], g(t) =1

ket ∀k ∈ [[1, 8]],∀t ∈ [k, k + 1], g(t) =

1

k + 1

(on utilisera des couleurs di�érentes).

(c) Justi�er en utilisant les graphes précédents, la double inégalité suivante (on ne demande pas dedémonstration) :

10∫2

1

tdt ≤

9∑k=2

1

k≤

9∫1

1

tdt.

(d) Montrer que : ∀n ∈ N tel que n ≥ 2 :n+1∫2

1t dt ≤

n∑k=2

1k ≤

n∫1

1t dt. En déduire que :

n∑k=1

1k v

n→+∞ln(n).

2. On considère la suite (Sn) dé�nie par : ∀n ∈ N∗, Sn =n∑

k=1

ln kk .

(a) Que peut-on dire de limn→+∞

Sn ?

(b) La courbe représentative de la fonction f : t 7→ ln(t)t est donnée ci-dessous :


3. Donner un équivalent den∑

k=2

ln(k) lorsque n tend vers +∞ en utilisant une méthode similaire.

Travaux pratiques 6 : comparaison série - intégraleScript en Scilab

Script :

// Travaux pratiques 6

// Comparaison série-intégrale


// Graphes de fonctions en escalier correspondant à la série

// des ln(k)/k et du graphe de la fonction x|->ln(x)/x

x = [1:0.1:10]x1 = [1:1:9];x2 = [2:1:10];y = 1 ./ x;

y1 = 1 ./ (x1 + 1);

y2 = 1 ./ x2;

plot2d(x, y, rect=[0, -0.1, 10, 1.1] )

plot2d2(x1, y1, 2, rect=[0, -0.1, 10, 1.1])

plot2d2(x2, y2, 5, rect=[0, -0.1, 10, 1.1])

Graphes obtenus :

1

1

Exercice 7 original (Ecrit de l'Escp 2010 - Voie Technologique)

Pour tout entier naturel n, on dé�nit la fonction hn sur [0, 1] par la relation suivante : pour tout réel x de [0, 1],

hn(x) =xn

x2 + 3x+ 2si n est supérieur ou égal à 1, et h0(x) =

1

x2 + 3x+ 2

1. (a) Etablir pour tout réel x de [0, 1], l'inégalité : x2 + 3x+ 2 ≥ 2.

(b) En déduire que la fonction hn est continue sur [0, 1] pour tout entier n.

2. On dé�nit pour tout x de [0, 1] la fonction g par g(x) = ln

(x+ 1

x+ 2

).

On pose pour tout entier naturel n, un =∫ 1

0hn(t)dt.

(a) On note g′ la dérivée de g. Montrer que pour tout x de [0, 1], on a : g′(x) =1

(x+ 1)(x+ 2).

(b) En déduire que u0 = ln

(4

3

).

3. On dé�nit pour tout x de [0, 1], la fonction k par k(x) = ln(x2 + 3x+ 2).

(a) Soit k′ la dérivée de k. Calculer pour tout x de [0, 1], k′(x). En déduire la valeur de 2u1 + 3u0.

(b) Donner la valeur de u1.

4. Calculer u2 + 3u1 + 2u0. En déduire la valeur de u2.

5. (a) Etablir pour tout entier naturel n, l'inégalité suivante : un ≥ 0.

(b) Montrer que la suite (un)n≥0 est décroissante et en déduire qu'elle est convergente.

(c) Etablir pour tout entier naturel n, l'inégalité : un ≤1

2(n+ 1).

(d) Déterminer la limite de la suite (un)n≥0

6. (a) Calculer pour tout entier naturel n, un+2 + 3un+1 + 2un en fonction de n.

(b) En utilisant la monotonie de la suite (un)n≥0, en déduire pour tout entier n supérieur ou égal à 2,l'encadrement suivant :

1

6(n+ 1)≤ un ≤

1

6(n− 1).

(c) Déterminer la limite de nun quand n tend vers +∞.

1

Travaux pratiques 7 : suite de fonctions, suite d'intégrales

Pour tout entier naturel n, on dé�nit la fonction hn sur [0, 1] par la relation suivante : pour tout réel x de [0, 1],

hn(x) =xn

x2 + 3x+ 2si n est supérieur ou égal à 1, et h0(x) =

1

x2 + 3x+ 2.

1. Créer une fonction en Scilab qui calcule hn(x) en fonction de x et tester cette fonction.

2. Grâce à la commande feval, créer à partir du vecteur colonne x = [0 :0.01 :1]', des vecteurs colonne y1,y2, y5, y20 dont les coe�cients sont les images respectives par h1, h2, h5, h20 des coe�cients de x.

3. Tracer grâce à la fonction plot2d les courbes représentatives de h1, h2, h5, h20 sur le segment [0, 1] .

4. Que peut-on penser du signe de hn(x), de la continuité et de la dérivabilité de hn, du sens de variationsde hn, de la convexité de hn, de lim

n→+∞h′

n(0) ? (on ne demande pas ici de démonstration, juste une

interprétation géométrique).

5. (a) Etablir pour tout réel x de [0, 1], l'inégalité : x2 + 3x+ 2 ≥ 2.

(b) En déduire que la fonction hn est continue sur [0, 1] pour tout entier n.

6. On pose pour tout entier naturel n, un =1∫0

hn(t)dt.

A partir des courbes obtenues à la question 3, e�ectuer des conjectures sur le comportement de la suite(un) (signe, monotonie, limite éventuelle).

7. (a) Etablir pour tout entier naturel n, l'inégalité suivante : un ≥ 0.

(b) Montrer que la suite (un)n≥0 est décroissante et en déduire qu'elle est convergente.

(c) Etablir pour tout entier naturel n, l'inégalité : un ≤ 1

2(n+ 1).

(d) Déterminer la limite de la suite (un)n≥0.

8. On pose pour tout entier naturel non nul n :

vn =

1∫0

sinn(t)

1 + (ln(t+ 1))2+ cos2(t)

dt et wn =

1∫0

xn + 1

x2 + 1dt.

Que peut-on penser de limn→+∞

vn et de limn→+∞

wn ? (on pourra s'aider de Scilab pour faire des conjectures

puis reprendre la méthode de la question 5 pour démontrer les résultats).

9. A-t-on limn→+∞

( limx→1−

hn(x)) = limx→1−

( limn→+∞

hn(x)) ?

Travaux pratiques 7 :Script en Scilab et sorties graphiques

Script :

/ Travaux pratiques 7 - Suites d’intégrales

// D’après l’exercice 1 du sujet d’écrit de l’Escp 2010

// Définition de la fonction hn :function y = hn(x, n)

y = (x^n) / (x^2 + 3*x + 2);endfunction

x = [0:0.01:1]’;n = 1; y1 = feval(x, n, hn);

n = 2; y2 = feval(x, n, hn);

n = 5; y5 = feval(x, n, hn);

n = 20; y20 = feval(x, n, hn);

plot2d([x,x,x,x],[y1,y2,y5,y20],[1,2,3,4], rect=[0,0,1,0.21]);

xtitle("Travaux pratiques 7 - Escp 2010");

legend(["Courbe représentative de h1" "Courbe représentative de h2"..

"Courbe représentative de h5" "Courbe représentative de h20"])

// Etude de la suite vnxset(’window’,1); // Création d’une nouvelle fenêtrefunction y = kn(x)

y = ( (sin(x))^n ) / ( 1 + (log(x+1)^2 + (cos(x))^2) );endfunction

x = [0:0.01:1]’;n = 1; y1 = feval(x, kn);

n = 2; y2 = feval(x, kn);

n = 5; y5 = feval(x, kn);

n = 20; y20 = feval(x, kn);

plot2d([x,x,x,x],[y1,y2,y5,y20],[1,2,3,4], rect=[0,0,1,0.5]);

xtitle("Travaux pratiques 7 - Etude de vn");

legend(["Courbe représentative de k1" "Courbe représentative de k2"..

"Courbe représentative de k5" "Courbe représentative de k20"])

// Etude de la suite wnxset(’window’,2); // Création d’une nouvelle fenêtrefunction y = ln(x)

y = (x^n + 1) / ( 1 + x^2 );endfunction

x = [0:0.01:1]’;n = 1; y1 = feval(x, ln);

n = 2; y2 = feval(x, ln);

n = 5; y5 = feval(x, ln);

n = 20; y20 = feval(x, ln);

y = 1 ./ (1 + x.^2);

plot2d([x,x,x,x,x],[y1,y2,y5,y20,y],[1,2,3,4,5], rect=[0,0,1,2]);

xtitle("Travaux pratiques 7 - Etude de wn");

legend(["Courbe représentative de l1" "Courbe représentative de l2" .."Courbe représentative de l5" "Courbe représentative de l20" ..

"Courbe représentative de t|->1/(1+t)^2"])

1

Graphes de h1, h2, h5, h20, :

Etude de la suite (vn)n≥1 :

Etude de la suite (wn)n≥1 :

2

Scilab

un ≤ 1/(2(n+1))

xn/2

hn

introduction - hec pariswebhost.hec.fr/stoltz/seances/e2/e2.pdf · mathématique c) c3 ... travaux...

Documents