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Introductionlogique AL: logique de description de base

Famille des logiques de descriptionsLogiques de description : langage des ontologies

Raisonnement en logique de descriptionComplexite du raisonnement

Introduction au WEB SemantiqueCours 3 : Introduction aux logiques de description

Odile PAPINI

POLYTECHUniversite d’[email protected]

http://odile.papini.perso.esil.univmed.fr/sources/sources/WEBSEM.html

Odile PAPINI Introduction au WEB Semantique




Plan du cours

1 Introduction

2 logique AL: logique de description de baseLangagesemantique

3 Famille des logiques de descriptions

4 Logiques de description : langage des ontologies

5 Raisonnement en logique de description

6 Complexite du raisonnement





Bibliographie I

Supports de cours :F. Baader, F. Calvanese & alThe Description Logic Handbook : Theory, Implementationand Applications. Cambridge university press. 2002

Amedeo Napoli INRIA NancyUne introduction aux logiques de description Rapport INRIA3314. 1997http://hal.inria.fr/inria-00073375/en/





Bibliographie II

Michel GagnonLogiques descriptives et OWLhttp://www.cours.polymtl.ca/inf6410/Documents/logique descriptive.pdf

Tutoriauxhttp://dl.kr.org/courses.html





Le Web semantique : Approche par couches





Le Web semantique : Approche par couches

couche Logique

evolution des langages pour les ontologiesapplications specifique pour des connaissances declaratives

couche Controle

generation de controles, validation

couche Securisation

signatures numeriquesrecommandations,· · ·





TBox , ABox

Figure: source : F. Baader & W. NuttOdile PAPINI Introduction au WEB Semantique




Langagesemantique

AL: logique de description de base : langage

Vocabulaire

Constantes : >, ⊥A, B, C , D; · · · : concepts

R : relations binaires (roles)

constructeurs : ¬, u, .

quantificateurs : ∃, ∀





Langagesemantique


Procede de formation des concepts

> : concept universel

⊥ : concept impossible

A : concept atomique

¬A : negation d’un concept atomique

C u D : intersection de concepts quelconques

∀R.C : restriction de valeurs pour des concepts quelconques

∃R.> : quantification existentielle limitee





Langagesemantique


Procede de formation des concepts : exemples

concepts atomiques : Personne, Homme

roles atomique : aEnfant

femme : Personne u ¬Homme

personnes qui ont au moins un enfant :Personne u ∃aEnfant.>personnes dont tous les enfants sont des hommes :Personne u ∃aEnfant.> u ∀aEnfant.Homme

personne qui n’a pas d’enfant : Personne u ∀aEnfant.⊥





Langagesemantique

AL: logique de description de base : Axiomes

Axiomes pour les TBox

Subsomption : C v D avec C et D : concepts

Equivalence : C ≡ D avec C et D : concepts

Assertions pour les ABox

C (a) avec C : concept et a : individu

R(a, b) avec R : role, a, b : individus

Base de connaissances

BC = TBox ∪ ABox





Langagesemantique


exemples

concepts atomiques : Personne, Hommeroles atomique : aEnfantindividus : anne, paul

axiomes :Personne v > Homme v PersonneFemme ≡ Personne u ¬Homme

assertions :Femme(anne)aEnfant(anne, paul)





Langagesemantique


exemples : definition de concepts

concepts atomiques : Homme

roles atomique : aEnfant, marieAvec

Femme ≡?

Mere ≡?

Parent ≡?

ParentDeFemme ≡?

Celibataire ≡?

HommeMarie ≡?Odile PAPINI Introduction au WEB Semantique




Langagesemantique

AL: logique de description de base : semantique

Interpretation

I interpretation : (∆I , fAI , fRI )

∆I : domaine

fonction fAI : A→ AI ⊆ ∆I

fonction fRI : R → RI ⊆ ∆I ×∆I





Langagesemantique


extension a la description de concepts

>I = ∆I

⊥I = ∅(¬A)I = ∆I\AI

(C u D)I = CI ∩ DI

∀R.C = {x ∈ ∆I | ∀y , R(x , y) ∈ RI → C (y) ∈ CI}∃R.> = {x ∈ ∆I | ∃y , R(x , y) ∈ RI}





Langagesemantique


exemple

Soit l’interpretation I :

∆I = {a, b, c , d , e, f , g}HommeI = {a, b, c , g}aEnfantI = {(a, c), (b, d), (b, e), (c , g)}marieAvecI = {(b, f ), (f , b)}

Quelles sont les interpretations des concepts suivants :

ParentI =?

ParentDeFemmeI =?

CelibataireI =?

HommeMarieI =?Odile PAPINI Introduction au WEB Semantique




Langagesemantique


semantique des axiomes et assertions

I satisfait C v D ssi CI ⊆ DI

I satisfait C ≡ D ssi CI = DI

I satisfait C (a) ssi aI ∈ CI

I satisfait R(a, b) ssi (aI , bI) ∈ RI





Les logiques de description de la famille AL

Constructeur d’union UUnion de concepts ALU

syntaxe

C t D

semantique

(C t D)I = CI ∪ DI

exemple

Personne ≡ Homme t FemmeOdile PAPINI Introduction au WEB Semantique





Constructeur de negation sans restriction Equantification existentielle complete

syntaxe

∃R.C

semantique

(∃R.C )I = {x ∈ ∆I | ∃y , R(x , y) ∈ RI ∧ y ∈ CI}

exemple

∃aEnfant.HommeOdile PAPINI Introduction au WEB Semantique





Constructeur de negation sans restriction Cnegation de concept C

syntaxe

¬C

semantique

(¬C )I = ∆I\CI

exemples

¬∃aEnfant.>¬∃aEnfant.Homme






AL + Constructeurs U , Cproprietes

⊥ ≡ C u ¬C> ≡ C t ¬CC t D ≡ ¬(¬C u ¬D)

¬(C t D) ≡ (¬C u ¬D)

¬(C u D) ≡ (¬C t ¬D)

¬¬C ≡ C






AL + Constructeurs E , Cproprietes

∃R ≡ ∃R.>∃R.C ≡ ¬(∀R.¬C )

¬∃R.C ≡ ∀R.¬C¬∀R.C ≡ ∃R.¬C

exemple

¬∃aEnfant.Homme ≡ ∀aEnfant.¬Homme






AL + Constructeur C : logique de description ALCproprietes

disjonction :

C t D ≡ ¬(¬C u ¬D)

quantification existentielle complete :

∃R.C ≡ ¬(∀R.¬C )

exemples

∃aEnfant.Femme ≡ ¬(∀aEnfant.¬Femme)





Exercice : petite hierarchie

Taduire en logique de description ALC





Exercice : Petite ontologie des repas

Taduire en logique de description ALC






Constructeur de restriction de cardinalite N

syntaxe

≤ nR : au plus n dans le co-domaine de R

≥ nR : au moins n dans le co-domaine du R

semantique

(≤ nR)I = {x ∈ ∆I , |y , R(x , y) ∈ RI | ≤ n}(≥ nR)I = {x ∈ ∆I , |y , R(x , y) ∈ RI | ≥ n}






Constructeur de restriction de cardinalite N

exemples

Homme u ≥ 2aEnfant

Homme u ≤ 2aEnfant

Homme u ≤ 2aEnfant u ≥ 2aEnfant






Constructeur de restriction de cardinalite qualifiee Q

syntaxe

≤ nR.C : au plus n elements de C dans le co-domaine de R

≥ nR.C : au moins n elements de C dans le co-domaine de R

semantique

(≤ nR.C )I = {x ∈ ∆I , |y , R(x , y) ∈ RI ∧ y ∈ CI | ≤ n}(≥ nR.C )I = {x ∈ ∆I , |y , R(x , y) ∈ RI ∧ y ∈ CI | ≥ n}






Constructeur de restriction de cardinalite qualifiee Q

exemples

Homme u ≥ 2aEnfant.Femme

Homme u ≤ 2aEnfant.Femme

Homme u ≤ 2aEnfant.Femme u ≥ 2aEnfant.Femme





Exercice

Taduire en logique de description ALCQ les exmples precedents






Constructeur d’enumeration O

syntaxe

si a1, a2, · · · , an sont des individus alors {a1, a2, · · · , an} est unconcept

semantique

{a1, · · · , an}I = {aI1 , · · · , aIn}

exemple :PACA ≡{DPT 84,DPT 13,DPT 04,DPT 05,DPT 83,DPT 06}






Constructeur

individus relies a un individu specifique par une relation R

syntaxe

R : a

semantique

(R : a)I = {d ∈ ∆| (d , aI) ∈ RI}

exemple :citoyenFrancais ≡ lieuNaissance : France t naturalisePar : France






Constructeur d’inversion I

syntaxe

R−

semantique

(R−)I = {(y , x)|,(x , y) ∈ RI}

exemples

estComposede ≡ compose−

estRegarde ≡ regarde−






Constructeur de fonctions Frole R comme une fonction

semantique

si (x , y) ∈ RI et (x , z) ∈ RI alors y = z

exemple

HommeMarie ≡ Homme u ∃marieAvec .>






Constructeur de fonctions Fproprietes

≥ 1R ≡ ∃R.>≥ 0R ≡ >≤ 0R ≡ ∀R.⊥

exemple

T v≤ 1marieAvec

HommeMarie ≡ Homme u ∃marieAvec .>u ≤ 1marieAvec






transitivite des roles

R est transitif

semantique

si (x , y) ∈ RI et (y , z) ∈ RI alors (x , z) ∈ RI

exemples

A u ∃estComposede.(B u estComposede.C ) est subsume parA u estComposede.C






Hierarchie des roles Hsi R et S sont des roles alors R v S est un axiome

semantique

I satisfait R v S ssi RI ⊆ SI

exemple

composant de v partie de

parent de v ancetre de






La famille des logiques de description selon leur expressivite

AL : base

ALC : plus expressive

ALC + H + transitivite des roles : logique SHSH + I + F : logique SHIF (base de OWL-Lite)

SH + I + Q : logique SHIQSH + O + I + N : logique SHOIN (base de OWL-DL)






Figure: source : M. Gagnon






Exercice ; definition des concepts :

equipe : ensemble de personnes qui compte au moins 2membres

petite equipe : equipe qui compte au plus 5 membres

equipe moderne : equipe qui compte au plus 4 membres, aumoins un chef et dont tous les chefs sont des femmes

concepts primitifs ?

roles ?

hierarchies de concepts et de roles ?

constructeurs de la famille AL a utiliser ?

definition des concepts dans la logique de descriptionadequate ?






Base de connnaissances

TBox : Terminologie

connaissance generique : ontologieO = {C , R, HC , rel , A}

Abox : Assertions

description du monde : ensemble de faitsensemble d’instances

BC = {O, I , inst, instr}

BC = TBoX ∪ ABox





Raisonnement

Raisonnement sur les TBox

satisfaisabilite

subsomption

equivalence

exclusion mutuelle





Raisonnement

Raisonnement sur les TBox : satisfaisabilite

Un concept est satisfaisable par rapport T ssi il existe I unmodele de T tel que CI 6= ∅si il existe I un modele de T tel que CI 6= ∅ alors I est unmodele de C

Un concept est insatisfaisable par rapport T ssi pour tout Iun modele de T on a CI = ∅

exemples

satisfaisabilite : Homme u ¬Homme?

modele de T : ∆{a, b, c}, HommeI = {a, b},aEnfantI = {(a, b), (a, c)}satisfaisabilite : Homme ?, Femme ?, aEnfant?





Raisonnement

Raisonnement sur les TBox : subsomption

Un concept C est subsume par D par rapport a T ssi pourtout I modele de T on a CI ⊆ DI

on ecrit : T |= C v D

exemples

axiome de T : Mere ≡ ∃aEnfant.Personnesubsomption : Mere v Femme?





Raisonnement

Raisonnement sur les TBox : equivalence

Deux concepts C et D sont equivalents par rapport a T ssipour tout I modele de T on a CI = DI

on ecrit : T |= C ≡ D

exemples

equivalence : Pere ≡ Homme u ∃aEnfant.Personne ?

equivalence : Humain ≡ Homme t Femme ?





Raisonnement

Raisonnement sur les TBox : exclusion mutuelle

Deux concepts C et D sont disjoints par rapport a T ssi pourtout I modele de T on a CI ∩ DI = ∅

on ecrit : T |= C u D v ⊥

exemples

disjoints : Pere et Mere ?

disjoints : Celibataire et Pere ?





Raisonnement

Raisonnement sur les TBox : reduction a l’insatisfaisabilite

Le concepts C est subsume par le concept D par rapport a Tssi C u ¬D est insatisfaisable

Deux concepts C et D sont eqivalents par rapport a T ssiC u ¬D et ¬C u D sont insatisfaisableest insatisfaisables

Deux concepts C et D sont disjoints par rapport a T ssiC u D est insatisfaisable





Raisonnement

Raisonnement sur les TBox : elimination de la TBox

procedure de preuve : utilisation de formules independantes detoute terminologie

remplacer tous les termes de la formule par leur definitiondans la terminologie

exemple : TBox : Femme ≡ Personne u Feminin,Homme ≡ Personne u ¬Femme

demontrer l’insatisfaisabilite de : Femme u Homme ?

1) Femme u Homme

2) Personne u Feminin u Personne u ¬Femme

3) Personne u Feminin u Personne u ¬(Personne u Feminin)





Raisonnement

Raisonnement sur les ABox

coherence (consistency)

validation d’instances (instance checking)





Raisonnement

Raisonnement sur les ABox : coherence

A une ABox est coherente par rapport a T ssi il existe I unmodele de T qui satisfait A

exemple

TBox : Femme ≡ Personne u Feminin,Homme ≡ Personne u ¬Femme

ABox : A = {Homme(anne),Femme(anne)}coherence de A ?





Raisonnement

Raisonnement sur les ABox : validation d’instances

A |= C (a) ssi toute interpretation I qui satisfait A satisfaitaussi C (a)

A |= C (a) ssi A ∪ ¬C (a) est incoherent

exemple

TBox : Femme ≡ Personne u Feminin

ABox : A = {Femme(anne)}A |= Feminin(anne) ?

A ∪ ¬Feminin(anne) incoherent ?





Raisonnement : Monde ferme, Monde ouvert

hypothese du monde ferme (clos)

limitation a ce qui est enonce

exemple : ABox : aEnfant(anne, paul)

anne a un seul enfant c’est paul

Logiques de Description : hypothese du monde ouvert

monde ouvert: pas de limitation a ce qui est enonce

exemple : ABox : aEnfant(anne, paul)

rien n’exclut que anne ait d’autres enfants que paul

specifier que anne a un seul enfant : (≤ 1aEnfant)(anne)





Raisonnement

Inference par methode des tableaux

prouver C v D

C v D ssi C u ¬D est insatisfaisable

un exemple introductif

prouver ∃possede.(Livre u Antiquite) v(∃possede.Livre u ∃possede.Antiquite)

demontrer l’insatisfaisabilite de :∃possede.(Livre u Antiquite)u¬(∃possede.Livre u ∃possede.Antiquite)





Raisonnement : Methode des tableaux

Methode des tableaux

Pour prouver F : construction d’un arbre dont

la racine est etiquetee par ¬Fles noeuds sont etiquetes par des concepts

les successeurs des noeuds sont produits par des reglesd’expansion.

on ajoute � a la fin d’un chemin A si :

C (x) ∈ A et ¬C (x) ∈ AC (x) ∈ A et ¬C (x) ∈ A et (x = y ou y = x)⊥(x) ∈ A

Il existe plusieurs regles d’expansion pour construire les chemins






A: chemin

Regles pour la logique de description ALCNregle-u

condition :

A contient (C1 u C2)(x) et ne contient pas deja C1(x) et C2(x)

action :

prolongation : A′ = A ∪ {C1(x),C2(x)}






A: chemin

Regles pour la logique de description ALCNregle-t

condition :

A contient (C1 t C2)(x) et ne contient aucun des C1(x) et C2(x)

action :

branchement : A′ = A ∪ {C1(x)} et A′′ = A ∪ {C2(x)}






A: chemin

Regles pour la logique de description ALCNregle-∃

condition :

A contient (∃R.C )(x) et il n’exixte aucun individu z tel queR(x , z) et C (z) sont aussi dans A

action :

A′ = A ∪ {R(x , y),C (y)} ou y est un nom d’individu qui n’existepas deja dans A






A: chemin

Regles pour la logique de description ALCNregle-∀

condition :

A contient (∀R.C )(x) et R(x , y) mais ne contient pasC (y)

action :

A′ = A ∪ {C (y)}






A: chemin

Regles pour la logique de description ALCNregle-≥ n

condition :

A contient (≥ n R.C )(x) et il n’y a pas dans A des individusz1, · · · , zn qui sont tous distincts et qui sont tels que A contient

R(x , zi ) pour tous les individus (1 ≤ i ≤ n)

action :

A′ = A ∪ {R(x , yi ) | 1 ≤ i ≤ n} ∪ {yi 6= yj | 1 ≤ i < j ≤ n}






A: chemin

Regles pour la logique de description ALCNregle-≤ n

condition :

A contient (≤ n R.C )(x) et les enonces R(x , y1), · · ·R(x , yn+1) . Iln’existe aucune identite yi = yj dans A pour (1 ≤ i ≤ n + 1),

(1 ≤ j ≤ n + 1), i 6= j

action :

Pour chaque paire possible (yi , yj) d’individus parmi yi , yn+1 onajoute une nouvelle branche avec yi = yj







exercice

TBox : Parent ≡ ∃aEnfant.>

Montrer par la methode des tableaux :

≥ 2aEnfant v Parent







Resultats theoriques

proprietes

terminaison

correction

completude





Raisonnement en logique de description

complexite du probleme de satisfaisabilite

complexite logique de description

PTIME AL, ALNNP-complet ALU, ALUNcoNP-complet ALEPSPACE-complet ALC , ALCN , ALCQIEXP-TIME SHIQ, SHIFNEXP-TIME SHOIQ, SHOIN
