introduction à la programmation linéaire inspiré de cliff ragsdale (virginia tech)
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Introduction à la programmation linéaire
Inspiré de Cliff Ragsdale (Virginia Tech)
La programmation linéaire peut être définie comme étant une méthode qui permet d’allouer de façon optimale des ressources disponibles en quantités limitées à des activités compétitrices.
Buongiorno
Caractéristiques de la PL
•Décisions (Variables décisionnelles)
Qu’est-ce qu’on cherche à établir?
•Contraintes
Viennent définir l’ensemble des solutions possibles.
•Objectif
Maximisation - Minimisation
Forme générale d’un problème d’optimisation
MAX (ou MIN): f0(X1, X2, …, Xn)
Sujet à: f1(X1, X2, …, Xn) <= b1
:
fk(X1, X2, …, Xn) >= bk
:
fm(X1, X2, …, Xn) = bm
Si toutes les fonctions sont linéaires, le problème en est un de programmation linéaire.
Forme générale d’un problème en programmation linéaire
MAX (ou MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn
Sujet à: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1
:
ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn <= bk
:
am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm
Propriétés d’un modèle de programmation linéaire
•Linéarité
Équations polynômiales de degré 1
•Divisibilité & continuité
Domaine des variables
Xa Xa Xa 1nn
122
111
•Séparabilité & additivité c1X1 + c2X2 + … + cnXn
•Fonction objectif uniqueMin coût, Max profit, …
•Données considérées certaines
Propriétés d’un modèle de programmation linéaire (Suite)
Exemple
Il y a 200 pompes, 1566 heures en M-O, et 2880 mètres de tuyaux disponibles.
A BPompes 1 1M-O 9 heures 6 heuresTuyaux 12 m 16 mProfit unitaire $350 $300
Equipement inc. produit deux types de chargeuses: A et B
5 Étapes pour la formulation du problème LP
1. Comprendre le problème.
2. Identifier les variables décisionnelles.
X1 = nbre de chargeuses A produites
X2 = nbre de chargeuses B produites
3. Définir la fonction objectif en une combinaison linéaire de variables décisionnelles.
MAX: 350X1 + 300X2
4. Définir les contraintes en une combinaison linéaire de variables décisionnelles.
1X1 + 1X2 <= 200 } pompes
9X1 + 6X2 <= 1566 } M.-O.
12X1 + 16X2 <= 2880 } tuyaux
5. Identifier limites supérieures ou inférieures sur les variables décisionnelles.
X1 >= 0
X2 >= 0
5 Étapes pour la formulation du problème LP (Suite)
Sommaire du modèle LPEquipement inc.
MAX: 350X1 + 300X2
S.T.: 1X1 + 1X2 <= 200
9X1 + 6X2 <= 1566
12X1 + 16X2 <= 2880
X1 >= 0
X2 >= 0
Idée: Chaque chargeuse A (X1) génère le profit unitaire le plus élevé (350$), faisons-en le plus possible!
Combien en fabriquer?
Posons X2 = 01ère contrainte : 1X1 <= 200 2è contrainte : 9X1 <=1566 ou X1 <=1743è contrainte : 12X1 <= 2880 ou X1 <= 240
Résoudre un problème PL:Une approche intuitive
Si X2=0, la valeur maximale de X1 est 174 et le profit total est:
(350$ * 174) + (300$ * 0) = 60 900$
C’est une solution possible mais est-elle optimale?
Résoudre un problème PL:Une approche intuitive (Suite)
Non!
Résolution problème PL:Une approche graphique
•Les contraintes d’un problème PL définissent la région de faisabilité.
•Le meilleur point dans la zone de faisabilité correspond à la solution optimale.
•Pour des problèmes à deux variables, il est facile de tracer la zone de faisabilité et de trouver la solution optimale.
X2
X1
250
200
150
100
50
0 0 50 100 150 200 250
(0, 200)
(200, 0)
Contrainte des pompes
X1 + X2 = 200
Tracé de la première contrainte
X2
X1
250
200
150
100
50
0 0 50 100 150 200 250
(0, 261)
(174, 0)
Contrainte de main-d’oeuvre
9X1 + 6X2 = 1566
Tracé de la deuxième contrainte
X2
X1
250
200
150
100
50
0 0 50 100 150 200 250
(0, 180)
(240, 0)
Contrainte des tuyaux
12X1 + 16X2 = 2880
Zone de faisabilité
Tracé de la troisième contrainte
X2
X1
250
200
150
100
50
0 0 50 100 150 200 250
(0, 116.67)
(100, 0)
Fonction objectif
350X1 + 300X2 = 35000
Tracé d’une droite de la fonction objectif
X2
X1
250
200
150
100
50
0 0 50 100 150 200 250
(0, 175)
(150, 0)
Fonction objectif 350X1 + 300X2 = 35000
Un deuxième tracé de la fonction objectif
Fonction objectif 350X1 + 300X2 = 52500
X2
X1
250
200
150
100
50
0 0 50 100 150 200 250
Fonction objectif 350X1 + 300X2 = 35000
Tracé de la solution optimale
Fonction objectif
350X1 + 300X2 = 52500
Solution optimale
Calcul de la solution optimale
La solution optimale se trouve à l’intersection des contraintes de pompes et de m-o.
Où:X1 + X2 = 200 (1)9X1 + 6X2 = 1566(2)
De (1) nous avons: X2 = 200 -X1 (3)
Calcul de la solution optimale (Suite)
En substituant (3) pour X2 dans (2) nous avons:
9X1 + 6 (200 -X1) = 1566ce qui fait X1 = 122
La solution optimale est :
X1 = 122X2 = 200-X1=78
Profit total = (350$*122) + (300$*78) = 66 100$
• Plusieurs anomalies peuvent survenir:– Solutions optimales multiples– Contraintes redondantes– Problème non-contraint (“Unbounded
Solutions”)– Infaisable
Situations spéciales avec problèmes PL
X2
X1
250
200
150
100
50
0 0 50 100 150 200 250
450X1 + 300X2 = 78300
Exemple de solutions optimales multiples
Tracé de la fonction objectif
Solutions optimales équivalentes
X2
X1
250
200
150
100
50
0 0 50 100 150 200 250
Contrainte des tuyaux
Zone de faisabilité
Example d’une contrainte redondante
Contrainte des pompes
Contrainte de la M-O
X2
X1
1000
800
600
400
200
0 0 200 400 600 800 1000
Exemple d’une solution “unbounded”
X1 + X2 = 400
X1 + X2 = 600
Fonction objectif
X1 + X2 = 800Fonction objectif
-X1 + 2X2 = 400
X2
X1
250
200
150
100
50
0 0 50 100 150 200 250
X1 + X2 = 200
Exemple d’infaisabilité
X1 + X2 = 150
Zone de faisabilité de la première contrainte
Zone de faisabilité de la deuxième contrainte