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JFA 2018 M1206 – Eléments de Corrigé du TD n°3 /15

M 1206 : Électronique, Physique pour les

Télécommunications

Intervenant : Jean-François ANNE Année Universitaire 2018 – 2019

Eléments de Corrigé du TD n°3 : Schémas équivalents A. Schémas de Thévenin :

1°) Exercice n°1 :

Soit le schéma suivant :

E1 = 10 V ; E

2 = 5 V ; R

1 = 15 kΩ ; R

2 = 10 kΩ et R

3 = 5 kΩ

On veut exprimer le courant i2

en fonction des éléments du montage. Pour ce faire, on peut remplacer tout

le montage par un schéma plus simple, sauf la branche qui contient i2

:

a) Calculer le schéma équivalent de Thévenin du dipôle AB (constitué de E1, R1 et R3).

VEthAB 5,2=

= kRthAB 75,3

b) Remplacer E1, R

1 et R

3 par ce dipôle équivalent, en déduire la valeur de i

2 par la loi des mailles


µAi 81,1812 −=



Par application du théorème de THEVENIN, calculer le modèle équivalent entre les bornes A et B à

l’ensemble du réseau dont le schéma encadré est ci-dessous.

En déduire le courant I.

La résistance en // avec le générateur peut-être supprimée :


Maintenant on peut faire le schéma équivalent de Thévenin de la partie en bleu :

Avec :

EEth eq =2

RRth eq =2

Avec :


23

EEth eq −=

RRth eq =3

Calcul de I par la loi des mailles :

R

EI

.4

.3−=

B. Schémas de Norton :



E1 = 10 V, E

2 = 5 V R

1 = 15 Ω, R

2 = 10 Ω et R

3 = 5 Ω

On veut exprimer i3, en fonction de E

1, E

2, R

1, R

2, et R

3.

Pour ce faire, on peut remplacer tout le montage par un schéma équivalent plus simple, sauf la branche

qui contient i3.

a) Calculer le schéma équivalent de Norton du dipôle AB (constitué de E1, E

2, R

1 et R

2).


A0,6661 =Icc ; RN1 = R1=15 Ω

A0,510

5

2

22 ===

R

EIcc ; RN2 = R2=10 Ω

A1,166=Icc

=6NR

b) En déduire la valeur de i3.

Ai 0,6363 =

c) En déduire le schéma équivalent de Thévenin de ce dipôle.

VETH 7=

=6THR




Déterminer l’intensité IAB traversant le dipôle AB, par la méthode de Norton.

On transforme le générateur de Thévenin (36V, 12 Ω) en générateur de Norton (3A, 12 Ω)

12 Ω et 6 Ω en dérivation = 4 Ω

Les deux générateurs idéaux de Norton sont équivalents à un générateur idéal de Norton qui délivre 6+3=9A

On utilise le pont diviseur de courant :

AR

RIccI

N

NAB 3,6

64

4.9

33=

+=

++=


C. Schémas de Thévenin et Norton équivalents :


1. Déterminer les éléments Eth, rth,et Icc des modèles de Thévenin et de Norton équivalent du dipôle actif

linéaire situé à gauche des bornes A et B.

2. En déduire l'intensité i et les tensions UAB et UDB.

E2

I

R3

2.1k

R4

2k

B

40V

Fig 5.

AD

24V

E1

R1

1k

R29k U

le schéma (1) permet de calculer la résistance équivalente rth :

R1 et R2 en dérivation équivalentes à R = R1.R2 / (R1+R2) = 9/10 = 0,9 k.

R et R3 en série équivalentes à rth = R+R3 = 0,9+2,1 = 3 k.

le schéma (2) permet de calculer la fem u = Eth :

aucun courant ne traverse R3 ; soit i l'intensité à travers R1 et R2 :

i = E1 / (R1+R2) et u = R2 i = R2 E1 / (R1+R2) =9*40 / 10= 36 V.

d'où l'intensité Icc du modèle équivalent de Norton : Icc = Eth / rth = 36 /3k = 12 mA.

le schéma (3) permet de calculer l'intensité i :

u = Eth - rth i = E2 + R4 i soit i = (Eth - E2 ) / ( rth +R4 ) = (36-24)/ (3+2) = 2,4 mA.

uAB = Eth – rth.i = 36-3*2,4 = 28,8 V.

uDB = uDA + uAB = R3.i + uAB = 2,1*2,4 +28,8 = 33,84 V.


1. Déterminer les élements Eth, rth,et Icc des modèles de Thévenin et de Norton équivalent du dipôle actif

linéaire situé à gauche des bornes A et B.

2. En déduire l'intensité i et la tension UAB.


I1

B

R16

I

R26

E

4V

r2

U

A

I18A

I1 = 8 A ; R= 6 ; E= 4 V; r= 2 .

le schéma (1) permet de calculer la résistance équivalente rth :

R et R en dérivation équivalentes à : rth = RR / (R+R) = 0,5R = 3 .

le schéma (2) permet de calculer l'intensité de court-circuit Icc :

aucun courant ne traverse R, les résistances sont court-circuitées par le fil AB

donc I1 = Icc = 8 A et Eth = rth.Icc = 3*8 = 24 V.

le schéma (3) permet de calculer l'intensité i :

u = Eth – rth.i = E + r.i soit i = (Eth - E ) / ( rth + r ) = (24-4)/ (3+2) = 4 A.

uAB = Eth – rth.i = 24 – 3 * 4 = 12 V.


Calculer le courant dans le courant I1 en fonction de E, I, R.


On transforme la partie bleue en générateur équivalent de Norton :

Avec :

R

EeqI

.21 =

ReqR =1

On le transforme en schéma de thévenin en intégrant le générateur de courant I

Avec :

IRE

eqE .2

2 −=

ReqReqR == 12

On le transforme le schéma en vert en équivalent de Thévenin :


Avec :

RIeqE ..23 =

ReqRRNRth === 3

On calcule I1 par la loi des mailles :

1.2.6

..2.31

RR

RIEI

+

+−=


D. Théorème de Superposition :



E1 = 10 V, E

2 = 5 V R

1 = 15 Ω, R

2 = 10 Ω et R

3 = 5 Ω

On veut exprimer i3, en fonction de E

1, E

2, R

1, R

2, et R

3. Pour ce faire, utilisez le théorème de

superposition.

Par superposition, on a :

On éteint le générateur E2, et on calcule la tension VAB1 :

V 1,818181 =ABV

On éteint le générateur E1 et on calcule la tension VAB2 :


V 1,36362 =ABV

On fait alors la somme de la contribution de chacun des générateurs :

V 3,18181=ABV

On calcule alors i3 :

Ai 0,63633 =



On considère le réseau représenté par le schéma ci-dessus:

En utilisant le théorème de Superposition, calculez le courant dans la résistance R.

On donne :

E1 = 3 V ; R

1 = R

2 = R

3 = 2Ω ; E

2 = 1 V ; R = 5 Ω ; E

3 = 2 V

On transforme R1, E1, R2, E2 en générateur de Norton :


Avec :

AIeq 2=

=1Re q

Et on retransforme le schéma de Norton en Thévenin :

Avec :

VIeqqeqE 21.2.Re1 ===

=1Re q

On calcule I par la loi des mailles :

AI 5,0=


E. Applications :



Déterminer par application du théorème de THEVENIN, le dipôle équivalent entre les bornes A et B.

Cet exercice peut paraître compliqué et c’est volontaire. Il est destiné à mettre l’accent sur la

nécessité d’avoir une approche méthodique.

Repérer les dipôles en série et les remplacer par leur schéma équivalent de Thévenin.

Le résultat demandé s’obtient alors sans aucun calcul …


VAB = 0 V; RAB = 0 Ω

Le dipôle AB se comporte comme un simple fil, un court-circuit !

2°) Exercice n° 2:

'

'.1'1

Rr

REE

+= et

'

'.2'2

Rr

REE

+=

'

'.1'1 1

Rr

REEETH

+== et

'

'.2'2 2

Rr

REEETH

+==

'

'.1

Rr

RrRTH

+= et

'

'.2

Rr

RrRTH

+=

RERTHRTH

ETHETHI

++

−=

21

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