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FORMATION

� Sciences de la Matière �École Normale Supérieure de LyonUniversité Claude Bernard Lyon I

Stage 2008-2009Nawal Quennouz

M2Physique

Interaction �uide/structure : �ambage d'un �lament

élastique dans un écoulement cellulaire

Résumé : J'ai étudié l'interaction entre un �lament déformable et un écoulementà points de stagnation à bas nombre de Reynolds. Dans cet écoulement à réseau depoints de stagnation, près des points de stagnation, le �lament est soumis à une fortecompression et peut donc être déformé. Tout au long de ce stage, je me suis intéresséeconséquences du �ambage du �lament sur ses propriétés de transport aux temps longs.Di�érentes techniques de mesures ont été utilisées (PIV, rhéologie) pour caractériserquantitativement l'écoulement et les propriétés du �lament.

Mots clés : Filament élastique, �ambage, écoulement cellulaire, rhéologie, PIV

Stage e�ectué au Laboratoire de Physique et Mécanique des Milieux

Hétérogènes

10 rue Vauquelin, 75005 Paris

du 6 avril au 31 juillet 2009

sous la direction de Olivia du Roure et de Anke Lindner

Je tiens à remercier vivement mes directrices de stage Olivia du Roure etAnke Lindner, qui m'ont accueillie et encadrée durant ces quatre mois de stage.

Je tiens aussi à remercier José Lanuza et Guillaume Clermont qui ontcontribué à l'amélioration du dispositif expérimental ainsi que Ramiro Godoy-Diana qui m'a aidé pour la réalisation des mesures de PIV.

Et merci à tous les membres du laboratoire, qui m'ont réservé un excellentaccueil. J'aurais, dans cet environnement, passé quatre mois très agréables.

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Table des matières

1 Introduction 4

2 Simulation numérique 4

2.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Transition de �ambage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Dispositif expérimental 7

3.1 Écoulement à points de stagnation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.1 Montage expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.2 Amélioration du dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.3 Caractérisation de l'écoulement : mesures de PIV . . . . . . . . . 8

3.2 Filament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.1 Rhéologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Résultats 13

4.1 Acquisition et traitement des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Perspectives 18

6 "Turbulence élastique" 19

6.1 Simulation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.2 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.3 Expériences de détachement de gouttes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 Conclusion 22

8 Annexes 25

3

1 Introduction

Mon stage s'est déroulé au sein de l'équipe Mouillage & Colloïdes et de l'équipe Gra-nulaires du Laboratoire de Physique et Mécanique des Milieux Hétérogènes (PMMH) del'École Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles (ESPCI). Une des thématiquesde recherche développée par ces équipes porte sur l'étude de l'interaction �uide/structurequi correspond à l'étude du comportement d'un objet �exible dans un écoulement. Ene�et, un écoulement peut agir sur un objet avec lequel il est en contact en le déplaçantou en le déformant. Le déplacement et la déformation de l'objet peuvent, à leur tour,avoir une rétroaction sur l'écoulement environnant l'objet, qui se traduit par une modi-�cation de l'écoulement. L'interaction �uide/structure correspond donc à un problèmede physique non linéaire. On trouve dans la littérature un nombre important d'étudesthéoriques et de simulations numériques qui porte sur ce type de problèmes dynamiques([1], [2]). On peut citer en particulier le travail réalisé par Micheal Shelley, et. al., quiont simulé la dynamique d'un �lament �exible au sein d'un écoulement cellulaire à basnombre de Reynolds a�n d'en étudier ses propriétés de transport [3]. C'est d'ailleurs à lasuite d'un séminaire donné par Micheal Shelley au laboratoire qu'est né, il y a déjà deuxans, le projet sur lequel j'ai travaillé.

Le dispositif expérimental que j'ai utilisé a été mis en place par Elie Wandersman lorsde son post-doctorat durant lequel il a caractérisé la transition de �ambage d'un �lamentélastique [4].

Au cours de ce stage, nous avons cherché à déterminer les propriétés de transport d'un�lament élastique dans un écoulement cellulaire. C'est-à-dire étudier les conséquences du�ambage du �lament sur son transport aux temps longs.

2 Simulation numérique

2.1 Modélisation

Dans [3], Yuan-Nan Young et Micheal Shelley ont simulé la dynamique d'un �lamentélastique dans un écoulement cellulaire 2D. Cet écoulement (cf �gure (1)) est constituépar un réseau de points de stagnation générés par des vortex contrarotatifs en rotationen bloc. La formule analytique utilisée pour simuler cet écoulement périodique 2D est :

U(x, y) = k

[sin(x)cos(y)−cos(x)sin(y)

](1)

où les points (nπ,mπ, 0) avec n et m entiers, correspondent aux points de stagnation.Dans ce réseau quand le �lament est transporté, il subit une forte compression en arrivantà proximité du point de stagnation qui peut éventuellement le faire �amber. Le �lamentélastique est décrit par son rayon, r, sa longueur, L tel que r

L<< 1 et son module d'Young

Y.

Sur la �gure (2) on peut voir le comportement d'un �lament au cours d'une simulation.A l'instant initial le �lament est aligné avec l'axe de compression puis est transporté auniveau d'un point de stagnation. Au niveau de ce point de stagnation les forces visqueusesdeviennent su�samment élevées pour déformer le �lament. Cette déformation permet au

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�lament de se positionner sur plusieurs lignes de courant. Il peut ainsi s'échapper dupoint de stagnation et explorer d'autres cellules du réseau.

Fig. 1 � Schéma de quatre cellules de l'écoulement cellulaire.

Fig. 2 � Simulation numérique d'un �lament élastique au voisinage d'un point de stag-nation : a) le �lament arrive au point de stagnation où il est fortement comprimé, b) sousl'e�et des forces visqueuses, il �ambe, c) grâce à sa déformation le �lament change deligne de courant, d) puis il s'échappe [3].

2.2 Transition de �ambage

La déformation du �lament est déterminée par l'intensité relative des forces visqueuses,Fv ∝ ηε̇L2, qui tendent à le déformer et des forces élastiques, Fel ∝ Y r4

L2 , qui cherchent àle maintenir droit. A�n de caractériser la transition de �ambage, on introduit un nombresans dimension, le nombre élasto-visqueux ou plus fréquemment appelé "sperm number"Sp qui correspond au rapport des forces élastiques et des forces visqueuses :

Sp =ηε̇L4

Y r4(2)

5

avec η la viscosité du �uide, ε̇ le taux de compression de l'écoulement et L et rrespectivement la longueur et le rayon du �lament.

Un calcul de stabilité linéaire [3] a mis en évidence que l'instabilité de �ambage avaitlieu pour un Sp critique égal à 150. Cette valeur est en accord avec les résultats expéri-mentaux d'Elie Wandersman [4].

2.3 Résultats numériques

Les résultats des simulations ont montré que la �exibilité du �lament induit un chan-gement dans ses propriétés de transport. En e�et, comme on peut le voir sur la �gure (3),le �lament contrairement à un objet parfaitement ponctuel ne reste pas indé�niment piégésur la même ligne de courant fermée ou sur un point de stagnation. Mais, au contraire, ilchange de cellule (cf zoom de la trajectoire) et explore une grande partie de l'écoulement.La déformabilité du �lament lui confère ainsi des propriétés de transport.

Fig. 3 � Trajectoire d'un �lament (à gauche), zoom d'une portion de la trajectoire (àdroite) (le code couleur dé�nit la longueur bout à bout du �lament).

Sur la �gure (4) est représenté le déplacement quadratique moyen d'un �lament enfonction du temps. Ces résultats ont été obtenus pour un même �lament mais pourdi�érentes valeurs de nombre élasto-visqueux Sp. On peut tout d'abord noter que ledéplacement quadratique moyen est linéaire en temps pour toutes les valeurs de Sp. Le�ambage du �lament lui confère donc le même comportement qu'un marcheur aléatoire.Cette �gure montre aussi que la di�usivité augmente avec la déformation du �lament,car en e�et plus Sp est élevée plus le �lament se déforme (courbe 1, 2, 3, 4, 5). Maissi l'on continue d'augmenter Sp, le déplacement quadratique moyen i.e. la di�usivitédiminue (courbe 6 et 7) jusqu'à s'annuler. Cette décroissance peut s'expliquer par le faitque l'augmentation du nombre élasto-visqueux, donc des forces visqueuses, entraîne unedéformation plus importante du �lament jusqu'à atteindre une con�guration en "pelote"et donc avoir un comportement qui se rapproche de celui d'un objet ponctuel, piégé parles lignes de courant.

Ces simulations ont permis de mettre en évidence la richesse et l'originalité d'un telsystème.

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Fig. 4 � Déplacement quadratique moyen du �lament en fonction du temps (proportionnelau nombre de pas (cf �gure (18)) pour di�érentes valeurs de η (dans les notations del'article [3] η correspond au nombre élasto-visqueux Sp). La courbe en pointillé correspondau déplacement quadratique moyen d'un marcheur aléatoire d2 = 4Dt avec D = 0.38 [3].

Nous allons maintenant présenter une réalisation expérimentale de ce système. Pourcela, nous allons débuter par la présentation du montage expérimental.

3 Dispositif expérimental

3.1 Écoulement à points de stagnation

3.1.1 Montage expérimental

Le réseau de points de stagnation de l'écoulement est créé par un forçage électroma-gnétique, la force de Lorentz : ~F = ~I× ~B. Cette force est obtenue grâce à l'utilisation d'unréseau d'aimants de pôles Nord/Sud alternés 4×5 (cf �gure (5)), de diamètre 3 cm, placéssous un électrolyte dans lequel passe un courant électrique d'intensité comprise entre 100et 600 mA. Ce dernier est produit par un générateur de courant (Hewlett Packard 6644ADC Power Supply).

L'électrolyte est un mélange dans les mêmes proportions en volume d'eau pure et dePolyéthylene Glycol (PEG) de masse molaire comprise entre 950 et 1050 g/mol, danslequel on ajoute du chlorure de sodium jusqu'à saturation pour permettre une bonneconduction du courant. Le PEG permet d'atteindre une viscosité dynamique de 35mPa.s.La solution est ensuite placée dans une cuve de dimension 15 cm× 25 cm sous laquelle leréseau d'aimants a été placé. Sur les bords de la cuve sont �xées deux électrodes en feutrede carbone reliées au générateur de tension. Un inverseur de courant est aussi intégré au

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Electrode en fibre de carbone

Réseau periodique d'aimants, orientation alternée (Nord / Sud)

Electrolyte visqueux η = 35 mPa.smélange PEG 1000 / eau salée

Inverseur de courant

i~100 mA – 600 mA

Dimensions : 150 x 250 mm

Caméra

Fig. 5 � Schéma du montage expérimental

circuit électrique a�n de pouvoir changer manuellement le signe du courant et donc lesens de rotation des vortex.

3.1.2 Amélioration du dispositif expérimental

Au cours de ce stage, dans le but d'étudier les conséquences du �ambage du �lamentsur ses propriétés de transport au temps longs, l'objectif a été de réaliser des expériencesplus longues que celles faites auparavant par Elie Wandersman. Dans ce but, nous avonscherché à utiliser la totalité de l'écoulement. Dès les premières expériences, nous noussommes rendus compte que les cellules des bords de la cuve étaient très déformées. Ene�et, comme on peut le voir sur les images de la �gure (6) les cellules du bords mesuraientenvirons 4,6 cm alors que celles du centre mesuraient 3 cm. Pour résoudre ce problème,nous avons placé aux bords de la cuve des cales en plexiglas a�n d'adapter la dimensionde la cuve à un multiple entier de la taille des aimants. La mise en place de ces cales aainsi permis l'obtention d'un réseau de points de stagnation régulier.

Cette modi�cation de l'écoulement nous a contraint à refaire des mesures de vitessea�n de le caractériser quantitativement.

3.1.3 Caractérisation de l'écoulement : mesures de PIV

Principe PIV : Vélocimétrie par Imagerie de Particule

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Fig. 6 � Images d'une portion de l'écoulement sans cales (à gauche) et avec les cales (àdroite). Ces deux images représentent les positions successives de bille de polystyrène de250 µm de diamètre obtenues en projetant une pile d'images sur une seule image.

Dans cette partie nous allons décrire de manière succincte une technique de mesurede vitesse, largement utilisée en hydrodynamique classique et adaptée au système étudié.Le principe de base de cette méthode est de suivre le déplacement d'un motif créé par unpetit ensemble de traceurs, préalablement dispersés de manière uniforme dans le �uide,entre deux images successives. Ainsi, connaissant le déplacement de la fenêtre du motifδx et l'écart de temps δt entre les images, nous accédons à la vitesse V = δx

δt(�gure (7)).

Pour faire nos mesures de PIV nous avons utilisé des billes de polystyrène de 140 µm dediamètre éclairées par deux lampes halogènes. L'acquisition des images a été faite grâceà l'utilisation d'une caméra rapide (Phantom).

Fig. 7 � Principe de la PIV.

Lors de mesure de PIV, il convient d'optimiser la durée séparant deux images et letemps expositions, a�n de réaliser des mesures de vitesse correctes :- La durée δt séparant deux images doit être adaptée à la vitesse de l'écoulement. Elle doitêtre assez courte pour pouvoir identi�er une même fenêtre sur deux images successives

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et assez longue pour avoir un déplacement en pixel signi�catif.- Le choix du temps d'exposition est aussi très important : il doit être assez grand pourque le rapport signal/bruit soit su�sant et su�samment faible pour que le motif dans lafenêtre ne soit pas trop �ou. En pratique pour des vitesses de 3 cm/s, un bon compromisest 10 ms pour le temps d'exposition.

En�n, la mesure de la vitesse se fait grâce à une corrélation d'images via l'utilisation dulogiciel commercial de PIV DaVis utilisant le formalisme des transformées de Fourier. Leprincipe consiste à calculer le déplacement d'un motif, créé par un ensemble de particulesdans une petite fenêtre (pour le calcul de la PIV, nous avons pris une fenêtre de dimension8 × 8 pixels), entre deux images successives par corrélation de portions d'images. Cettecorrélation est réalisée par transformée de Fourier pour optimiser le calcul.

Mesures de PIV :

La �gure (8) représente le champ de vitesse que j'ai mesuré pour un courant imposéd'intensité 400 mA ainsi qu'un zoom du champ centré sur un point de stagnation. L'écou-lement est donc bien un écoulement cellulaire. La bidimensionnalité de l'écoulement a étévéri�ée par le calcul de la divergence du champ de vitesse (cf �gure (9)). Sur la �gure (8),on voit les cellules de l'écoulement. La taille, W, des cellules est égale au diamètre desaimants i.e. W = 3 cm. Concernant l'écoulement, il est important de noter la di�érenceentre deux types de point où la vitesse s'annule (cf �gure (8)). Certains correspondent àdes points de stagnation (S) où l'écoulement est hyperbolique, alors que les autres (C)sont les centres des vortex dans lesquels le �uide s'écoule en rotation pure.

Fig. 8 � Champ de vitesse expérimental de l'écoulement mesuré par PIV. S correspond àun point de stagnation et C correspond à un centre de vortex (à gauche), zoom du champde vitesse centré sur un point de stagnation (à droite).

Malgré sa complexité l'écoulement est très bien décrit par la formule de vitesse sui-vante :

U(x, y) = k

[sin(πx

W)cos(πy

W)

−cos(πxW

)sin(πyW

)

](3)

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Fig. 9 � Divergence de l'écoulement pour un courant imposé de 400 mA

C'est d'ailleurs ce champ de vitesse qui a été utilisé pour réaliser les simulations numé-riques (cf partie 2.1). On en déduit ainsi à partir du tenseur des déformations le taux decompression de l'écoulement ε̇ (i.e. la partie symétrique du tenseur des déformations) :

ε̇ =πk

Wcos(

πx

W)cos(

πy

W) (4)

Dans le but de décrire de manière précise cet écoulement complexe, j'ai représenté surla �gure (10) un zoom du champ de vitesse centré et le zoom du taux de compressioncorrespondant calculés avec les équations (3) et (4). Contrairement à un écoulementhyperbolique pour lequel le taux de compression est constant, l'écoulement que nousutilisons a un taux de compression non uniforme du fait de la présence de la rotation enbloc.

Dans la formule (3) du champ de vitesse, le paramètre k est la vitesse maximumde l'écoulement. Il peut être ajusté en faisant varier l'intensité du courant appliqué, I.Nous avons mesuré la vitesse maximum pour toutes les valeurs de courant imposées(cf �gure (11)). Ces mesures ont montré que k est proportionnel à I, avec un coe�cientde proportionnalité α = 0.013.

3.2 Filament

Les �laments que nous utilisons pour nos expériences sont constitués de Polyvinylsiloxane (Zhermack elite double 8), matériau habituellement utilisé par les dentistes pourla réalisation des empreintes dentaires. Le polymère réticule dans des capillaires en verre(Drummond Microcaps) de 3, 5 cm de longueur et de 100 µm de rayon. La réticulationprend 10-20 minutes. Pour extraire, le �lament il su�t de casser une extrémité du ca-pillaire puis d'extruder le �lament à l'aide d'une pince. Cette étape se fait dans un baind'éthanol a�n de faciliter l'extraction du �lament en diminuant sa tension de surface. Les

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Fig. 10 � Champ de vitesse centré sur un point de stagnation (à gauche) et zoom dutaux de compression (à droite) calculés à partir des équations (3) et (4)

Fig. 11 � Vitesse maximum en fonction de l'intensité du courant appliqué et ajustementpar une loi linéaire (pente :α = 0.013).

�laments (cf �gure 12) que nous utilisons ont ainsi une longueur L = 1.2 cm, un rayonr = 100 µm et un module d'Young Y que l'on peut faire varier entre 90 et 270 kPasimplement en ajustant la proportion polymère/réticulant (cf tableau (1)). Du fait de safaible densité et des forces capillaires le �lament �otte à la surface de l'électrolyte, per-mettant ainsi d'avoir un déplacement et une déformation uniquement bidimensionnels.

3.2.1 Rhéologie

A�n de mesurer la valeur du module d'Young des �laments en fonction de la propor-tion polymère/réticulant, nous avons réalisé des mesures de rhéologie dans un rhéomètreclassique (Thermo Haake RS100), dans lequel nous avons fait réticuler le polymère pen-

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Fig. 12 � Filament

polymère/réticulant Y (kPa)

13/2

3270

12/1

2195

23/1

3105

34/1

490

Ultimate* 34/1

421

Tab. 1 � Valeurs du module d'Young pour di�érentes proportions polymère/réticulant(* Correspond à un autre type élastomère plus souple).

dant 30 minutes a�n que le polymère ait totalement réticulé et que le matériau soithomogène, avant de réaliser les mesures des modules élastique et visqueux. Pour réaliserces mesures nous avons appliqué une contrainte de 5 kPa, la déformation en résultantétait de l'ordre de 1%. Sur la �gure (13) sont représentés les modules élastique G' etmodule visqueux G" en Pascal en fonction de la fréquence des oscillations en Hertz, pourdes gels ayant des proportions polymère/réticulant di�érentes.

Pour les deux proportion polymère/réticulant on peut observer que le module élas-tique est largement supérieur au module visqueux, le �lament est donc très peu viscoélas-tique. Et faisant, l'hypothèse d'incompressibilité du matériau on peut déduire son moduled'Young [5] à partir de la formule suivante :

Y = 3×G′ (5)

4 Résultats

Cette partie est dédiée à la présentation des résultats expérimentaux portant sur lespropriétés de transport d'un �lament élastique dans un écoulement cellulaire.

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Fig. 13 � Module élastique G' et module visqueux G" (Pa) en fonction de la fréquencedes oscillations (Hz) pour une contrainte appliquée de 5 kPa et pour des proportionspolymère/réticulant 1

3/2

3(en trait plein) et 3

4/1

4(en pointillé).

4.1 Acquisition et traitement des images

L'acquisition des données de nos expériences a été réalisée en �lmant l'évolution d'un�lament au sein de l'écoulement cellulaire (cf �gure (14)). Pour cela, nous avons pris5 images par secondes avec un temps d'exposition de 30 ms grâce à l'utilisation d'unecaméra PixeLink positionnée au dessus de l'écoulement.

Fig. 14 � Images d'un �lament souple (3 s séparent les deux images, I = 150 mA)

Les séquences d'images issues de chaque expérience sont ensuite analysées par unprogramme sous le logiciel ImageJ a�n d'en tirer des résultats quantitatifs. Cette analysed'images nous donne accès à la position du centre de masse du �lament, la position de sesextrémités, sa distance bout à bout, sa courbure moyenne et sa courbure maximum. La

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connaissance de toutes ces données nous permettra d'étudier les propriétés de transportdu �lament.

Comme nous l'avons déjà mentionné dans la partie (3.1.3) le taux de compressionn'est pas constant. Grâce à la position du centre de masse du �lament et à la valeur de lavitesse maximale on peut ainsi accéder à partir de l'équation (4) à la valeur du taux decompression à laquelle le �lament est soumis à chaque instant. A partir des données issuesde l'analyse des résultats nous avons pu tiré des premières informations sur le transportdu �lament dans un écoulement cellulaire.

4.2 Résultats expérimentaux

Un grand nombre d'expériences a été fait (cf annexes tableau (2)). Dans cette partie,nous allons traiter en détail quelques unes. Sur les �gures (15) et (16) sont représentés laposition du centre de masse et la courbure moyenne de deux expériences d'une durée de2 minutes pour une même intensité de courant imposée, en l'occurrence 400mAmais pourdeux �laments de modules d'Young di�érents : la �gure (15) correspond à un �lamentsouple ayant un module de 90 kPa alors que la �gure (16) correspond à un �lament rigidede module d'Young 270 kPa. On peut à partir de ces �gures extraire des propriétés detransport du �lament élastique (X(t), Y(t)) et les liées au fait qu'il ait �ambé ou pas, parsa courbure.

Fig. 15 � Position du centre de masse du �lament "souple" (Y = 90 kPa), sa courburemoyenne et seuil de courbure ajusté à la main (15.10−3) (ce seuil de courbure a été utilisépour caractériser la transition de �ambage).

15

Fig. 16 � Position du centre de masse du �lament "rigide" (Y = 270 kPa), sa courburemoyenne et seuil de courbure ajusté à la main (15.10−3).

La première observation, que nous pouvons faire à partir de ces résultats sur la dy-namique du �lament aux temps courts, est que le �lament peut ralentir lorsqu'il �ambe(cf �gure (15) (A)). Cette �gure met aussi en évidence l'e�et du �ambage sur le déplace-ment du �lament. En e�et, comme on le voit sur la �gure (15) les événements de �ambages'accompagnent souvent d'un changement de cellule du �lament (A, B et C), ou précèdentun changement de cellule (D). Sur la �gure (16) qui présente les résultats de l'expérienceréalisée avec le �lament rigide, on peut noter un changement de cellule du �lament (F)malgré l'absence d'évènement de �ambage. Ce changement de cellule est dans ce cas at-tribué à la taille du �lament. Sur la �gure (17), sont représentées les trajectoires ainsi queles courbures (en couleur) des deux �laments des expériences présentées précédemment.On voit sur cette �gure que l'espace exploré par le �lament souple (Y = 90 kPa) estplus grand que celui exploré par le �lament rigide. Il semblerait donc que la �exibilitédu �lament lui confère un comportement plus di�usif. Le rapport d'aspect ( r

L) semble

aussi jouer un rôle sur les propriétés de transport du �lament, il sera donc intéressantd'e�ectuer des expériences avec des �laments plus courts a�n de préciser l'in�uence durapport d'aspect sur les propriétés de transport des �laments.

Au cours de mon stage, j'ai cherché à étudier le comportement du �lament aux tempslongs. Pour cela, nous avons mesuré le déplacement du �lament dans la cuve pour des�laments de module d'Young di�érents, a�n d'en tirer des conclusions sur leur compor-tement di�usif en fonction de leur rigidité. Mais comme on peut le voir sur la �gure (18)qui représente le déplacement du �lament en fonction du temps, la durée de l'expérience

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Fig. 17 � Représentation de la trajectoire des deux �laments (cf �gures (15) et (16)) :à gauche �lament rigide (Y = 270 kPa), à droite le �lament souple (Y = 90 kPa), lacourbure moyenne est représentée en couleur avec la même échelle.

est trop petite, du fait de la taille réduite de notre réseau de points de stagnation. Cettedi�culté a été accentuée par le fait que, dans le but de faire le traitement des images, nousavons été contraint malgré l'amélioration de l'écoulement de réduire la zone exploitable,à cause de �uctuations de l'éclairement au niveau des bords de la cuve (cf �gure (19)).Dans le cas où nous gardions les bords de la cuve, lors du traitement des images, deuxtypes d'erreurs avaient lieu : soit le �lament n'était pas détecté, soit c'était la �uctuationde l'intensité lumineuse qui était détectée.

A�n de contourner ce problème de traitement d'images pour les expériences pourlesquelles nous avons exploité la totalité de l'écoulement, j'ai compté manuellement letemps durant lequel un �lament reste dans la même cellule. Ce compte a été e�ectuépour deux �laments di�érents (un souple, Y = 90 kPa et un rigide, Y = 270 kPa) pourle �lament rigide la valeur de l'intensité imposée était de 450 mA et pour le �lamentsouple nous avons imposé des valeurs d'intensité de 450 et 150 mA. La dernière valeurd'intensité a été choisie de manière à avoir le même nombre élasto-visqueux que le �lamentrigide, pour tester si le nombre élasto-visqueux Sp est le paramètre de contrôle adapté àce système. Les résultats de ce comptage sont représentés sur la �gure (20). Là aussi, dufait d'un nombre très faible de donné il très di�cile de pouvoir conclure sur ces résultats.Mais à terme, nous espérons qu'à partir d'un grand nombre de données, des propriétéssur le comportement et le transport des �laments pourront être obtenues à partir de cetype de résultats, qui seront obtenus de manière automatisé dans un futur très proche(en�n, je l'espère).

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Fig. 18 � Déplacement d'un �lament rigide en fonction du nombre de pas e�ectués(I = 450 mA). Dé�nition d'un pas : un pas correspond au passage près d'un point destagnation, chaque arc de couleur correspond à un pas (à droite).

Fig. 19 � Photographie d'un bord de la cuve :a) image brute, b) image de la moyenne del'intensité lumineuse, c) image après soustraction de la moyenne : on note la persistancede la �uctuation lumineuse sur le bord de la cuve.

5 Perspectives

Comme je l'ai déjà mentionné à plusieurs reprises, la principale di�culté à laquellenous avons été confrontés est la taille très limitée de notre écoulement, qui nous a empêchéde réaliser des expériences aux temps longs. Pour contourner ce problème, nous avonsd'ores et déjà commencé la fabrication d'un dispositif expérimental constitué d'aimantstrois fois plus petit (la taille des aimants est de 1 cm) (cf �gure (21)), ce nouveau réseaunous permettra déjà de multiplier par neuf la taille du réseau de points de stagnation.

Avec ce nouveau réseau d'aimants la taille des cellules de l'écoulement va elle aussiêtre divisée par trois et donc dans le but de garder le même rapport taille du �lamentsur taille des cellules nous allons devoir diviser par trois la taille du �lament. Et commeon peut le voir sur l'équation (2), le nombre élasto-visqueux, Sp, est proportionnel aurapport d'aspect du �lament. Ainsi, a�n que les �laments soient toujours dans la même

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Fig. 20 � Distribution du temps (nombre de pas) durant lequel le �lament reste piégédans une cellule :N : �lament rigide (450 mA), • :�lament souple (150 mA), � : �lamentsouple (450 mA).

Fig. 21 � Réseau d'aimants de 3 cm de diamètre (à gauche), nouveau réseau d'aimantsde 1 cm de diamètre (à droite).

gamme de nombre élasto-visqueux, le rayon des �laments doit lui aussi être trois foisplus petit. Des tests de fabrication de �laments plus �ns, grâce à une technique de �owfocusing, ont déjà été fait par un stagiaire. La technique semble convaincante mais laréalisation n'est pas encore au point.

6 "Turbulence élastique"

Au cours de mon stage, j'ai aussi réalisé des expériences de "turbulence élastique"dans un écoulement à bas Reynolds. En d'autres termes, nous avons cherché à savoir sid'autre e�ets que l'inertie pouvaient être à l'origine d'une turbulence bidimensionnelle,en particulier les e�ets viscoélastiques. Là aussi, cette idée d'expérience nous est venueà la suite d'un séminaire présenté par Micheal Shelley [6]. D'autant plus que le dispo-

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sitif permettant de créer notre écoulement bidimensionnel s'y prêtait parfaitement, il ad'ailleurs été conçu à l'origine pour étudier la turbulence bidimensionnelle.

6.1 Simulation numérique

Becca Thomases et Micheal Shelley ont réalisé une étude numérique de la dynamiqueà bas nombre de Reynolds d'un �uide viscoélastique dans un écoulement à points destagnation (cf �gure (1)).La �gure (22) est tiré de l'article [6], elle représente l'évolution du champ de vorticité.On voit qu'au temps t=100 l'écoulement est laminaire et symétrique. Cette symétrie estensuite brisé (t=800), l'écoulement devient turbulent à cause des e�ets viscoélastiques.

Fig. 22 � Champ de vorticité de l'écoulement au instant t=100 pour (a), 800 pour (b),1400 pour (c), 1700 pour (d) [6]

A�n de véri�er ces prédictions numériques nous avons réalisé des expériences avec lemême système : écoulement cellulaire et �uide viscoélastique.

6.2 Résultats expérimentaux

Pour réaliser les expériences de "turbulence élastique" nous avons utilisé le mêmedispositif que celui présenté précédemment. Pour le �uide viscoélastique, nous avons fa-briqué une solution de polymère Polyacrylamide (PAA) de masse molaire 18.106 g/molà 1000 ppm dans laquelle nous avons ensuite ajouté du chlorure du sodium jusqu'à satu-ration pour permettre une bonne conduction du courant. Les mesures de vitesse ont étéfaites par PIV, en utilisant des traceurs de 140 µm. L'acquisition des images a été réaliséeavec une caméra rapide (Phantom), en prenant 50 images par seconde et avec un tempsd'exposition de 10 ms.

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Sur la �gure (23), j'ai représenté le champ de vorticité calculé à partir des mesures dePIV. Ces résultats ont été obtenus pour une valeur de courant imposée égale à 600 mA.

Fig. 23 � Champ de vorticité à t = 10 s (à gauche) et pour t = 20 s (à droite)

Sur cette �gure, on observe donc le même comportement que celui obtenu par les si-mulations numériques, avec aux premiers instants (t=10 s) de l'expérience un écoulementsymétrique, puis l'écoulement se déstabilise et perd son caractère symétrique.

A partir des mesures de PIV nous avons pu calculer le nombre de Reynolds de l'écoule-ment Re = ULρ

ηavec U = 5.3 cm/s, L = 3 cm la taille des cellules initiales de l'écoulement

ρ = 1158 kg/m3 et η = 5 mPa.s. on trouve un nombre de Reynolds Re = 370. On en adonc déduit que nous n'étions pas dans les conditions d'écoulement à bas nombre de Rey-nolds, et que la turbulence observée était simplement dû aux e�ets inertiels. Parallèlementnous avons mesuré les propriétés viscoélastiques de la solution d'électrolyte contenant lepolymère et constaté que le caractère viscoélastique est fortement diminué par le sel. Lasolution présente malgré tout un léger comportement viscoélastique (formation de �la-ments quand une goutte se détache) qui nous a masqué ce résultat.

6.3 Expériences de détachement de gouttes

Il a été démontré [7] que les expériences de détachement de gouttes permettent d'es-timer les temps de relaxation de solutions de polymères.

Pour un �uide newtonien : goutte d'eau

Le principe de l'expérience est le suivant : nous formons une goutte à l'extrémité d'uncapillaire. Au fur et à mesure de l'augmentation du volume de la goutte, les forces capil-laires deviennent insu�santes pour maintenir la goutte en équilibre. L'interface devientinstable et la goutte commence à se détacher, où l'on a un écoulement avec une très forteélongation. Maintenant les forces capillaires tendent à amincir le cou, Hmin, qui s'est

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formé. Cet amincissement suit, pour un �uide newtonien, la loi :

Hmin ∝ (γ

ρ)

13 (tc − t)

23 (6)

avec ρ la densité et γ la tension de surface. Le détachement de la goutte représente unesingularité à temps �ni. L'amincissement est donc représenté par rapport au temps derupture tc.

Pour un �uide viscoélastique : goutte de polymère

Les lois de rupture de polymères �exibles présentent une dynamique di�érente de celle des�uides newtoniens aux temps longs. En e�et, pour les solutions de polymère, ces derniersrésistent à la forte élongation de l'écoulement et on a la formation d'une structure �la-mentaire. Dans ce cas il a été montré qu'aux temps longs la dynamique d'amincissementdu cou de la goutte suit une loi exponentielle.

Hmin ∝ exp(− tτ) (7)

Où τ correspond au temps caractéristique de relaxation de la solution viscoélastique.Ainsi en mesurant l'amincissement du cou de la goutte (cf �gure (24)) on a pu avoir accèsen ajustant, aux valeurs mesurées de la taille du cou, une loi exponentielle (cf �gure (25)).

Fig. 24 � Détachement d'une goutte de polymère [7]

On a donc obtenu pour la solution de polymère sans sel un temps de relaxation de500 ms et de 22 ms pour la solution de polymère saturé en sel. Ces mesures nous ontainsi permis de constater la forte diminution du comportement viscoélastique du PAAlors d'ajout de chlorure de sodium, ce qui nous a donc empêchée de poursuivre cetteexpérience.

7 Conclusion

Au cours de ce stage de quatre mois, j'ai étudié l'interaction �uide/structure entre un�lament élastique et un écoulement cellulaire, a�n d'étudier les conséquences du �ambagedu �lament sur ces propriétés de transport. Grâce aux expériences que j'ai réalisées toutau long de ce stage, j'ai pu commencer à observer certaines conséquences du �ambagesur la dynamique du �lament, comme son ralentissement lorsqu'il se déforme.

22

Fig. 25 � Évolution du diamètre du cou d'une goutte de solution de polymère (PAA)en fonction du temps (sans sel et saturé en sel) et ajustement par la loi exponentielle(équation (7)).

Comme je l'ai déjà mentionné dans ce rapport, la taille réduite de l'écoulement nousa empêché de réaliser des expériences à des temps réellement longs comme ceux dessimulations numériques, a�n de conclure sur le caractère di�usif du �lament au sein d'unécoulement cellulaire. Il reste donc encore de nombreuses améliorations à réaliser a�n depouvoir réaliser des expériences aux temps longs. Certaines améliorations sont déjà encours, comme l'augmentation du nombre de points de stagnation en diminuant la tailledes aimants et la fabrication d'un �lament plus �n par la méthode de �ow-focusing, etque j'aurais l'occasion de poursuivre durant ma thèse.

Ce stage, qui a été e�ectué dans l'objectif d'être poursuivi en thèse, m'a permis deprendre en main l'expérience. Di�érentes expériences préliminaires et améliorations dudispositif expérimental ont été réalisées (fabrication du dispositif expérimental, caractéri-sation de l'écoulement, caractérisation des élastomères, expériences avec des �laments, ex-périences de viscoélasticité). Avec ce dispositif expérimental d'autres pistes d'expériencesrestent à être mises en place au cours de ma thèse comme l'étude de la dynamique deplusieurs �laments, ainsi que celle de structure élastique de formes diverses (anneau,...).A terme, on souhaiterait caractériser la nature du mélange avec ce système. En e�et,dans ce type d'écoulement à lignes de courant fermées, il n'y a pas de mélange (seulela di�usion moléculaire peut être à l'origine d'un mélange)([8], [9] et [10]). Par contre, ilsemble évident que l'introduction d'un �lament �exible pourra mélanger le �uide.

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Références

[1] Becker, L.-E. & Shelley, M.-J. Instability of elastic �laments in shear �ow yields �rst-normal-stress di�erences, Physical Review Letters, Volume 87, Number 19, 198301(2001)

[2] Bourdieu, L., Duke, T., Elowitz, M.-B., Winkelmann, D.-A., Leibler, S. & Libchaber,A. Spiral defects in motility assays : a measure of motor protein force, PhysicalReview Letters, Volume 75, 176�179 (1995)

[3] Young, Y.-N. & Shelley, M.-J. Stretch-coil transition and transport of �bers in cellular�ows, Physical Review Letters, Volume 99, 058303 (2007)

[4] Wandersman, E., du Roure, O. & Lindner, A., Buckled in translation, en préparation(2009)

[5] Oswald, P., Rhéophysique Ou Comment Coule La Matière, Belin, France (2005)

[6] Thomases, B. & Shelley, J.-M. A transition to mixing and oscillations in a stokesianviscoelastic �ow, soumis (2009)

[7] Amarouchene, y., Étude de l'interaction polymère-écoulement, Thèse, Université Bor-deaux 1 (2002)

[8] Voth, G., Haller, G. & Gollub, J.-P. Experimental measurements of stretching �eldsin �uid mixing, Physical Review Letters, Volume 88, 254501 (2002)

[9] Rothstein, D., Henry, E. & Gollub, J.-P. Persistent patterns in transient chaotic �uidmixing, Physical Review Letters, Volume 88, 254501 (2002)

[10] Arratia, P.-E., Voth, G. & Gollub, J.-P. Stretching and mixing of non-Newtonian�uids in time-periodic �ows, Physics of Fluids, Volume 17, 053102 (2005)

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8 Annexes

Expériences n� Intensité (mA) Vitesse maximale (cm/s) Y (kPa) Sp maximum1 à 1448 à 54 400 5.9 90 499140 à 14415 à 2125 à 37 400 5.9 270 16655 à 6683 à 8822 à 2438 à 47 400 5.9 195 23067 à 76102 à 105

7793 100 0.8 270 23

78 à 79 200 2.1 270 5980 à 82 300 4.2 270 11889 à 92 500 6.7 270 18994110 100 0.8 195 31

95 à 96 200 2.1 195 8297 à 101 300 4.2 195 164106 à 109 500 6.7 195 261

111128 100 0.8 105 58

112 à 115 200 2.1 105 152116 à 119 300 4.2 105 304120 à 124 400 5.9 105 427125 à 127 500 6.7 105 485

129150 à 151 100 0.8 90 68130 à 134 200 2.1 90 178135 à 139 300 4.2 90 354145 à 149 500 6.7 90 565

152154 à 156 150 1.5 90 126160 à 162

153157 à 159 450 6.3 90 532163 à 169 450 6.3 270 177

Tab. 2 � Récapitulatif des expériences réalisées.

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