integration numérique

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Integration Numérique

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  • Mthodes d'intgrationsApproches dterministes

    Quadratures

  • Approches dterministesQuadratures

  • http://numericalmethods.eng.usf.edu

    3

    Qu'est ce qu'intgrer

    Intgration

    I=a

    b

    f ( x )d x

    Mesurer l'aire sous une courbe.

    Dfinitions :

    f(x) est l'intgrande

    a = borne infrieure

    b = borne suprieure

    f(x)

    a b

    y

    x

    a

    b

    f ( x )d x

  • Intgrale au sens de Riemann

    I n=k=1

    n

    f ( x k ) (x kx k1)

    flimn

    I n=x0

    xn

    f ( x )= I

  • Intgration numrique 1D - Rectangles Mthode des rectangles

    A droite

    A gauche

    Convergence Si f est C0 : O (n-1)

    I n=ban k=1

    n

    f (x k )

    I n=ban k=1

    n

    f (x k1 )

  • Intgration numrique 1D Points du milieu Mthode des points du milieu

    Convergence Si f est C0 : O (n-1) Si f est au moins C2 : O (n-2)

    I n=ban k=1

    n

    f ( x k +1 xk2 )

  • Intgration numrique 1D Intervalles uniformes Mthode des rectangles

    Mthode des trapzes

    Formule de Simpson

    I n=ban k=1

    n

    f (x k )

    Convergence

    O(n-1)

    f

    I n=ba2n k=1

    n

    (f ( x k1 )+f (x k ))O(n-2)

    I n=ba6n k=1

    n

    (f ( x k1 )+4f (x k1/2)+f ( xk ))f

    O(n-4)

  • I=11

    f ( x ) d xm=1

    M

    W m f (m )

    Poids Positions d'intgration

    Les poids et les positions maximisent la prcision M positions pour l'espace des polynmes de degr 2M-1 Le calcul des intgrales est exact sur cet espace

    Les positions sont les racines du polynme de Legendre Base de polynmes orthogonale sur [-1,1]

    Quadrature de Gauss en 1D

    pP2 M1 ,11

    p (x )d x=m=1

    M

    W mp(m)

    PM ( x)=1

    2M M !dM

    d xM(( x21 )M )

  • 1D - M = 1

    I=11

    f ( x )d x=w1 f ( x1)

    Pour les polynmes de degr au plus 1

    w1=2Pour f(x) = 1 x1=0Pour f(x) = x

  • 1D - M = 2

    121 ww

    1=33 , 2=

    33

    I=11

    f ( x )d x=w1 f ( x1)+w2f ( x2)

    Pour les polynmes de degr au plus 3

    Calcul des positions, racine de

    d2

    d2( (21 )2)=0=4(321)

    w1+w2=2Pour f(x) = 1w1+w2=0Pour f(x) = x

    Calcul des poids

  • I=111

    1f ( s , t ) d s d t

    s

    t

    1

    1

    1 1

    3

    1,3

    1

    31,

    31

    31,

    31

    31,

    31

    I11 (j=1

    M

    W j f (s , t j )) ds

    i=1

    M

    j=1

    M

    W iW j f ( si ,t j )

    En utilisant la forme 1D pour t

    En utilisant la forme 1D pour s

    2D M = 2

  • Quadrature de Gauss 2D : domaine triangulaire

    s

    t

    1

    1

    s=1-tt

    t

    Intgrale sur le domaine de rfrence

    I=t=01s=0

    1tf (s , t )d s d t

    n=1

    N

    W n f ( sn , t n)

  • Contraintes sur les poids fonction constante

    Si f(s,t)=1

    I=t=01s=0

    1tf (s , t )d s d t=1

    2=n W nn W n=

    12

  • Quadrature de Gauss sur un triangle : M = 1

    f ( s , t )~ 1s t

    31,

    31

    21 fI

    s

    t

    1

    11/3

    1/3

  • Dmonstration

    f ( s , t )= s+tLes polynmes de degr 1 s'crivent

    321

    1

    0

    1

    0 !31

    !31

    21dsdt),(f

    t

    t

    sts

    En intgrant, on obtient

    D'o la contrainte

    t=01s=0

    1tf (s ,t ) d sd t=W 1 f (s1 , t 1)

    13 !

    +13 !

    =W 1 ( s1+t 1 )Ainsi

    !31;

    !31;

    21

    11111 tWsWW

  • Solution exacte pour tous les polynmes de degr au plus 2f ( s , t )= 1

    s ts2 st t 2

    I16f ( 12 , 12 )+ 16 f ( 12 ,0)+ 16 f (0, 12 )s

    t

    1

    1

    1/2

    1/22

    1

    3

    Quadrature de Gauss sur un triangle : M = 3

  • I 2796

    f ( 13 , 13 )+2596 f (0 .2,0 . 6 )+2596 f (0 .2,0 .2 )+2596 f (0 .6,0 . 2 )

    s

    t

    1

    1 21

    3 4

    (1/3,1/3)

    (0.2,0.2)

    (0.2,0.6)

    (0.6,0.2)

    Quadrature de Gauss sur un triangle : M = 4

    Solution exacte pour tous les polynmes de degr au plus 3f ( s , t )= 1

    s ts2 st t 2

    s3 s2 t st 2 t3

  • Recommended order of integrationFinite Element Procedures by K. J. Bathe

  • Convergence et dimension

    En 1D Convergence en O(n-(c+1)) c = continuit de la fonction

    En dimension plus leve d Pour n valeurs / mailles Taille intervalle 1D n1/d

    Convergence en O(n-(c+1)/d)

  • Mthodes d'intgrationsApproches stochastiques

  • Mthode / algorithme probabiliste Principe : introduire de l'alatoire

    Choix de solutions alatoires, et garder la meilleure Mlanger les donnes Choisir des valeurs alatoires

    Pour l'intgration : intgration de Monte Carlo

  • Probabilit en espace continue : 1D chantillons alatoires {Xi} Densit de probabilit (PDF)

    Probabilit associe

    Probabilit totale

    pdf ( x )0

    P [ X i[ x , x+dx ] ]=pdf (x )d x

    pdf ( x ) d x=1

  • Probabilit en espace continue : 1D Fonction cumulative (CDF)

    P [Xi[a , b ] ]=cdf (b)cdf (a )

    cdf (a)=P (X [ ,a ] )=a

    pdf ( x )d x

  • CDF vs PDF

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    pdf (x)=2

    sin ( x )

    cdf (x )=(1cos ( x ) )

    2

  • Intgrale de Lebesgue Plus gnrique que Riemann

    Notion de mesure de l'espace () 0

    I= f (x) (d x )

  • Esprance Variance cart-type Esprance : valeur moyenne

    Variance : distance au carr la moyenne

    cart-type : distance la moyenne

    E [g(X )]=g (x )pdf ( x )d x

    V [g (X )]= (g(x)E [g(X )] )2 pdf ( x )d xV [g (X )]=E [g2(X ) ]E2 [g(X )]

    [g(X ) ]=V [g(X )]

  • Estimateur

    Biais Diffrence valeur attendue vs cherche

    Estimateur sans biais

    I n=i=1

    n

    i f (x i )I n=

    i=1

    n 1n

    1pdf (X i )

    f (X i )

    biais=E [ I n ] I

    Mthode de Monte Carlo

    biais=0

  • Convergence Variance

    Convergence

    Meilleur choix de la PDF

    V [ I n ]=E [ I n2]E [ I n ]2= 1n V [ I 1 ]

    [ I n ]=1n

    [ I 1 ]

    pdf (x )=1I

    f (x )V [In ]=0

  • Choix de la PDF / Importance Sampling Algorithme d'chantillonnage

    En fonction d'une PDF i = nombre alatoire uniforme (drand48(), ) xi cdf-1(i)

    Choix de la PDF Rappel, l'idal

    Approximation par une fonction proche

    Doit tre intgrable L'intgrale doit tre inversible

    pdf (x )= 1 f (x)d x

    f (x )

  • Importance Sampling

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    pdf (x)=2

    sin ( x )

    cdf (x)=(1cos ( x ))2

    x

  • Choix de la PDF / Importance Sampling Algorithme d'chantillonnage Choix de la PDF

    Version tabule chantillonnage de la fonction intgrer PDF constante par morceau CDF linaire par morceau Calcul de lchantillon en O( ln (k) )

  • Dfinitions xD Xi = (X1,i, ...... , Xn,i)

    Probabilit conditionnelle Probabilit de Xj,i sachant que l'on connat les autres

    Proprits (Bayes)pdf ( x j{xk ,k j })0

    pdf ( x1, .. , xn)=pdf (x j{xk , k j })pdf (x1 , ... , x j1 , x j+1 , ... , xn )

    pdf ( x1 , ... , x j1 , x j+1 , ... xn)= pdf ( x1 , .. , xn)d x j

  • Dfinitions xD

    Xi = (X1,i, ...... , Xn,i) Variables indpendantes

    pdf ( x j{xk ,k j })=pdf ( x j )

    pdf ( x1, .. , xn)= j pdf (x j )

  • Dfinitions xD

    Xi = (X1,i, ...... , Xn,i) CDF conditionnelle

    cdf (a j{ak , k j })=a j

    pdf (x j{xk=ak , k j })dx j

    cdf (a j{ak , k j })=

    a jpdf ( x1 , ... , xn )dx j

    pdf ( x1 , ... , x j1 , x j+1 , ... , xn)

    cdf (a j{ak , k j })=

    a jpdf (x1 , ... , xn )dx j

    +

    pdf (x1 , ... , xn )dx j

  • Importance Sampling xD Exemple en 2D: (X,Y) Donnes

    CDF(X) CDF(Y|X)

    Algorithme e1 et e2 : valeurs alatoires X tel que e1 = CDF(X) Y tel que e2 = CDF(Y|X)

  • Convergence et dimension En 1D

    Convergence en O(n-(c+1)) c = continuit de la fonction

    En dimension plus leve d Pour n valeurs / mailles Taille intervalle 1D n1/d

    Convergence en O(n-c/d) Monte Carlo en O(n-1/2)

    Diapo 1Diapo 2What is Integration?Diapo 4Diapo 5Diapo 6Diapo 7Slide 3Diapo 9Diapo 10Slide 5Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Diapo 19Diapo 20Diapo 21Diapo 22Diapo 23Diapo 24Diapo 25Diapo 26Diapo 27Diapo 28Diapo 29Diapo 30Diapo 31Diapo 32Diapo 33Diapo 34Diapo 35Diapo 36

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