integration numérique

Mthodes d'intgrationsApproches dterministes

Quadratures

Approches dterministesQuadratures

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3

Qu'est ce qu'intgrer

Intgration

I=a

b

f ( x )d x

Mesurer l'aire sous une courbe.

Dfinitions :

f(x) est l'intgrande

a = borne infrieure

b = borne suprieure

f(x)

a b

y

x

a

b

f ( x )d x

Intgrale au sens de Riemann

I n=k=1

n

f ( x k ) (x kx k1)

flimn

I n=x0

xn

f ( x )= I

Intgration numrique 1D - Rectangles Mthode des rectangles

A droite

A gauche

Convergence Si f est C0 : O (n-1)

I n=ban k=1

n

f (x k )

I n=ban k=1

n

f (x k1 )

Intgration numrique 1D Points du milieu Mthode des points du milieu

Convergence Si f est C0 : O (n-1) Si f est au moins C2 : O (n-2)

I n=ban k=1

n

f ( x k +1 xk2 )

Intgration numrique 1D Intervalles uniformes Mthode des rectangles

Mthode des trapzes

Formule de Simpson

I n=ban k=1

n

f (x k )

Convergence

O(n-1)

f

I n=ba2n k=1

n

(f ( x k1 )+f (x k ))O(n-2)

I n=ba6n k=1

n

(f ( x k1 )+4f (x k1/2)+f ( xk ))f

O(n-4)

I=11

f ( x ) d xm=1

M

W m f (m )

Poids Positions d'intgration

Les poids et les positions maximisent la prcision M positions pour l'espace des polynmes de degr 2M-1 Le calcul des intgrales est exact sur cet espace

Les positions sont les racines du polynme de Legendre Base de polynmes orthogonale sur [-1,1]

Quadrature de Gauss en 1D

pP2 M1 ,11

p (x )d x=m=1

M

W mp(m)

PM ( x)=1

2M M !dM

d xM(( x21 )M )

1D - M = 1

I=11

f ( x )d x=w1 f ( x1)

Pour les polynmes de degr au plus 1

w1=2Pour f(x) = 1 x1=0Pour f(x) = x

1D - M = 2

121 ww

1=33 , 2=

33

I=11

f ( x )d x=w1 f ( x1)+w2f ( x2)

Pour les polynmes de degr au plus 3

Calcul des positions, racine de

d2

d2( (21 )2)=0=4(321)

w1+w2=2Pour f(x) = 1w1+w2=0Pour f(x) = x

Calcul des poids

I=111

1f ( s , t ) d s d t

s

t

1

1

1 1

3

1,3

1

31,

31

31,

31

31,

31

I11 (j=1

M

W j f (s , t j )) ds

i=1

M

j=1

M

W iW j f ( si ,t j )

En utilisant la forme 1D pour t

En utilisant la forme 1D pour s

2D M = 2

Quadrature de Gauss 2D : domaine triangulaire

s

t

1

1

s=1-tt

t

Intgrale sur le domaine de rfrence

I=t=01s=0

1tf (s , t )d s d t

n=1

N

W n f ( sn , t n)

Contraintes sur les poids fonction constante

Si f(s,t)=1

I=t=01s=0

1tf (s , t )d s d t=1

2=n W nn W n=

12

Quadrature de Gauss sur un triangle : M = 1

f ( s , t )~ 1s t

31,

31

21 fI

s

t

1

11/3

1/3

Dmonstration

f ( s , t )= s+tLes polynmes de degr 1 s'crivent

321

1

0

1

0 !31

!31

21dsdt),(f

t

t

sts

En intgrant, on obtient

D'o la contrainte

t=01s=0

1tf (s ,t ) d sd t=W 1 f (s1 , t 1)

13 !

+13 !

=W 1 ( s1+t 1 )Ainsi

!31;

!31;

21

11111 tWsWW

Solution exacte pour tous les polynmes de degr au plus 2f ( s , t )= 1

s ts2 st t 2

I16f ( 12 , 12 )+ 16 f ( 12 ,0)+ 16 f (0, 12 )s

t

1

1

1/2

1/22

1

3

Quadrature de Gauss sur un triangle : M = 3

I 2796

f ( 13 , 13 )+2596 f (0 .2,0 . 6 )+2596 f (0 .2,0 .2 )+2596 f (0 .6,0 . 2 )

s

t

1

1 21

3 4

(1/3,1/3)

(0.2,0.2)

(0.2,0.6)

(0.6,0.2)

Quadrature de Gauss sur un triangle : M = 4

Solution exacte pour tous les polynmes de degr au plus 3f ( s , t )= 1

s ts2 st t 2

s3 s2 t st 2 t3

Recommended order of integrationFinite Element Procedures by K. J. Bathe

Convergence et dimension

En 1D Convergence en O(n-(c+1)) c = continuit de la fonction

En dimension plus leve d Pour n valeurs / mailles Taille intervalle 1D n1/d

Convergence en O(n-(c+1)/d)

Mthodes d'intgrationsApproches stochastiques

Mthode / algorithme probabiliste Principe : introduire de l'alatoire

Choix de solutions alatoires, et garder la meilleure Mlanger les donnes Choisir des valeurs alatoires

Pour l'intgration : intgration de Monte Carlo

Probabilit en espace continue : 1D chantillons alatoires {Xi} Densit de probabilit (PDF)

Probabilit associe

Probabilit totale

pdf ( x )0

P [ X i[ x , x+dx ] ]=pdf (x )d x

pdf ( x ) d x=1

Probabilit en espace continue : 1D Fonction cumulative (CDF)

P [Xi[a , b ] ]=cdf (b)cdf (a )

cdf (a)=P (X [ ,a ] )=a

pdf ( x )d x

CDF vs PDF

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

pdf (x)=2

sin ( x )

cdf (x )=(1cos ( x ) )

2

Intgrale de Lebesgue Plus gnrique que Riemann

Notion de mesure de l'espace () 0

I= f (x) (d x )

Esprance Variance cart-type Esprance : valeur moyenne

Variance : distance au carr la moyenne

cart-type : distance la moyenne

E [g(X )]=g (x )pdf ( x )d x

V [g (X )]= (g(x)E [g(X )] )2 pdf ( x )d xV [g (X )]=E [g2(X ) ]E2 [g(X )]

[g(X ) ]=V [g(X )]

Estimateur

Biais Diffrence valeur attendue vs cherche

Estimateur sans biais

I n=i=1

n

i f (x i )I n=

i=1

n 1n

1pdf (X i )

f (X i )

biais=E [ I n ] I

Mthode de Monte Carlo

biais=0

Convergence Variance

Convergence

Meilleur choix de la PDF

V [ I n ]=E [ I n2]E [ I n ]2= 1n V [ I 1 ]

[ I n ]=1n

[ I 1 ]

pdf (x )=1I

f (x )V [In ]=0

Choix de la PDF / Importance Sampling Algorithme d'chantillonnage

En fonction d'une PDF i = nombre alatoire uniforme (drand48(), ) xi cdf-1(i)

Choix de la PDF Rappel, l'idal

Approximation par une fonction proche

Doit tre intgrable L'intgrale doit tre inversible

pdf (x )= 1 f (x)d x

f (x )

Importance Sampling

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

pdf (x)=2

sin ( x )

cdf (x)=(1cos ( x ))2

x

Choix de la PDF / Importance Sampling Algorithme d'chantillonnage Choix de la PDF

Version tabule chantillonnage de la fonction intgrer PDF constante par morceau CDF linaire par morceau Calcul de lchantillon en O( ln (k) )

Dfinitions xD Xi = (X1,i, ...... , Xn,i)

Probabilit conditionnelle Probabilit de Xj,i sachant que l'on connat les autres

Proprits (Bayes)pdf ( x j{xk ,k j })0

pdf ( x1, .. , xn)=pdf (x j{xk , k j })pdf (x1 , ... , x j1 , x j+1 , ... , xn )

pdf ( x1 , ... , x j1 , x j+1 , ... xn)= pdf ( x1 , .. , xn)d x j

Dfinitions xD

Xi = (X1,i, ...... , Xn,i) Variables indpendantes

pdf ( x j{xk ,k j })=pdf ( x j )

pdf ( x1, .. , xn)= j pdf (x j )

Dfinitions xD

Xi = (X1,i, ...... , Xn,i) CDF conditionnelle

cdf (a j{ak , k j })=a j

pdf (x j{xk=ak , k j })dx j

cdf (a j{ak , k j })=

a jpdf ( x1 , ... , xn )dx j

pdf ( x1 , ... , x j1 , x j+1 , ... , xn)

cdf (a j{ak , k j })=

a jpdf (x1 , ... , xn )dx j

+

pdf (x1 , ... , xn )dx j

Importance Sampling xD Exemple en 2D: (X,Y) Donnes

CDF(X) CDF(Y|X)

Algorithme e1 et e2 : valeurs alatoires X tel que e1 = CDF(X) Y tel que e2 = CDF(Y|X)

Convergence et dimension En 1D

Convergence en O(n-(c+1)) c = continuit de la fonction

En dimension plus leve d Pour n valeurs / mailles Taille intervalle 1D n1/d

Convergence en O(n-c/d) Monte Carlo en O(n-1/2)

Diapo 1Diapo 2What is Integration?Diapo 4Diapo 5Diapo 6Diapo 7Slide 3Diapo 9Diapo 10Slide 5Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Diapo 19Diapo 20Diapo 21Diapo 22Diapo 23Diapo 24Diapo 25Diapo 26Diapo 27Diapo 28Diapo 29Diapo 30Diapo 31Diapo 32Diapo 33Diapo 34Diapo 35Diapo 36