intégralesconvergentes - ljk.imag.fr · maths en ligne intégralesconvergentes ujf grenoble 1...

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Intégrales convergentes

La plupart des intégrales que vous rencontrerez ne sont pas des aires de domainesbornés du plan. Nous allons apprendre ici à calculer les intégrales de domaines nonbornés, soit parce que l’intervalle d’intégration est infini, soit parce que la fonction àintégrer tend vers l’infini aux bornes de l’intervalle. Pour assimiler ce chapitre, vousavez juste besoin d’une petite révision des techniques de calcul des primitives, et d’unebonne compréhension de la notion de limite.

Table des matières1 Cours 1

1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Fonctions positives, intervalle non borné . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Fonctions positives, intervalle borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Fonctions oscillantes, intervalle non borné . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Fonctions oscillantes, intervalle borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Plan d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Entraînement 192.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Compléments 373.1 La pédagogie des sourds-muets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Un tour de passe-passe d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 La courbe de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9 mai 2012

Maths en Ligne Intégrales convergentes UJF Grenoble

1 Cours

1.1 Définitions et propriétésNotre but dans ce chapitre est de calculer des intégrales sur des intervalles non

bornés (allant jusqu’à +∞ ou −∞), ou bien des intégrales sur un domaine borné, defonctions ayant une limite infinie en un point de l’intervalle d’intégration. Si on se réfèreà l’interprétation intuitive d’une intégrale comme la surface d’un domaine dans le plan,dans les deux cas nous cherchons à calculer des surfaces de domaines non bornés.

Considérons par exemple la fonction f qui à t ∈ R∗ associe f(t) = |t|−3/2 sin(t) :son graphe est représenté sur la figure 1. Comment donner un sens à l’intégrale de f

−20 −16 −12 −8 −4 0 4 8 12 16 20−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

.

y=|t|^(−3/2) sin(t)

t

y

Figure 1 – Graphe de la fonction t 7→ |t|−3/2 sin(t).

sur R ? Nous souhaitons une définition qui respecte les propriétés de base que sont larelation de Chasles, la linéarité et la monotonie.

On commence d’abord par identifier les points incertains, soit ±∞ d’une part, etd’autre part le ou les points au voisinage desquels la fonction n’est pas bornée (t = 0dans notre exemple). On découpe ensuite l’intervalle d’intégration en autant d’inter-valles qui faut pour que chacun d’eux ne contienne qu’un seul point incertain, placéà l’une des deux bornes. La relation de Chasles impose que l’intégrale sur l’intervallecomplet soit la somme des intégrales sur les intervalles du découpage. Dans l’exemplede la fonction f(t) = |t|−3/2 sin(t) ci-dessus, il faut découper en 4 sous-intervalles : 2pour isoler −∞ et +∞, et 2 autres pour le point incertain 0. On pourra écrire parexemple :∫ +∞

−∞f(t) dt =

∫ −1

−∞f(t) dt+

∫ 0

−1f(t) dt+

∫ 1

0f(t) dt+

∫ +∞

1f(t) dt .

Le seul but est d’isoler les difficultés : les choix de −1 et 1 comme points de découpagesont arbitraires (par exemple −3 et 10 auraient convenu tout aussi bien).

Par ce découpage, on se ramène à des intégrales de 4 types.

1


1. intégrale sur ]−∞, a],2. intégrale sur [a,+∞[,3. intégrale sur ]a, b], fonction non bornée en a,4. intégrale sur [a, b[, fonction non bornée en b,

Le changement de variable t 7→ −t permet de réduire ces 4 cas à 2 seulement. En effet :∫ a

−∞f(t) dt =

∫ +∞

−af(−u) du ,

∫ b

af(t) dt =

∫ −a−b

f(−u) du .

Nous devons donc définir l’intégrale dans deux cas distincts.

Définition 1.1. Soit f une fonction continue sur [a,+∞[. On dit que l’intégrale

∫+∞a f(t) dt

converge si la limite quand x tend vers +∞ de la primitive∫ xa f(t) dt existe.

Si c’est le cas, on pose :∫ +∞

af(t) dt = lim

x→+∞

∫ x

af(t) dt . (1)

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale diverge.2. Soit f une fonction continue sur ]a, b]. On dit que l’intégrale

∫ ba f(t) dt converge

si la limite à droite quand x tend vers a de∫ bx f(t) dt existe. Si c’est le cas, on

pose : ∫ b

af(t) dt = lim

x→a+

∫ b

xf(t) dt . (2)

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale diverge.

Observons que la deuxième définition est cohérente avec les propriétés de l’intégraled’une fonction continue : si la fonction f est continue sur [a, b] tout entier, alors

∫ bx f(t) dt

est une fonction de x continue en a, et (2) est vérifié.Dans

∫+∞a f(t) dt, la borne de gauche de l’intervalle d’intégration n’a pas d’influence

sur le comportement de l’intégrale. Supposons f continue sur [a,+∞[ et choisissons unréel a′ > a. Par la relation de Chasles,∫ x

af(t) dt =

∫ a′

af(t) dt+

∫ x

a′f(t) dt

Comme∫ a′a f(t) dt ne dépend pas de x, la limite de

∫ xa f(t) dt existe si et seulement

si celle de∫ xa′ f(t) dt existe aussi. La convergence d’une intégrale ne dépend donc pas

du comportement de la fonction sur des intervalles bornés, mais seulement de soncomportement au voisinage de +∞.

2


Si f n’est pas bornée au voisinage de a, la convergence de∫ ba f(t) dt ne dépend pas

de b, pour la même raison : elle ne dépend que du comportement de f au voisinage dea.

Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la linéarité des intégrales etdes limites.

Proposition 1.1. Soient f et g deux fonctions continues sur [a,+∞[, et α, β deux réels. Si les inté-

grales∫+∞a f(t) dt et

∫+∞a g(t) dt convergent, alors

∫+∞a αf(t) + βg(t) dt converge

et ∫ +∞

aαf(t) + βg(t) dt = α

∫ +∞

af(t) dt+ β

∫ +∞

ag(t) dt .

2. Soient f et g deux fonctions continues sur ]a, b], et α, β deux réels. Si les intégrales∫ ba f(t) dt et

∫ ba g(t) dt convergent, alors

∫ ba αf(t) + βg(t) dt converge et∫ b

aαf(t) + βg(t) dt = α

∫ b

af(t) dt+ β

∫ b

ag(t) dt .

Quand on peut calculer une primitive de la fonction à intégrer, l’étude de la conver-gence se ramène à un calcul de limite. Voici plusieurs exemples.L’intégrale ∫ +∞

0

11 + t2

dt converge.

En effet, ∫ x

0

11 + t2

dt =[

arctan(t)]x

0= arctan(x) et lim

x→+∞arctan(x) = π

2 .

On pourra écrire : ∫ +∞

0

11 + t2

dt =[

arctan(t)]+∞

0= π

2 ,

à condition de se souvenir que[

arctan(t)]+∞

0désigne une limite en +∞.

Par contre, l’intégrale ∫ +∞

0

11 + t

dt diverge.

En effet, ∫ x

0

11 + t

dt =[

ln(1 + t)]x

0= ln(1 + x) et lim

x→+∞ln(1 + x) = +∞ .

L’intégrale ∫ 1

0ln(t) dt converge.

3


En effet,∫ 1

xln(t) dt =

[t ln(t)− t

]1

x= x− x ln(x)− 1 et lim

x→0+(x− x ln(x)− 1) = −1

On pourra écrire : ∫ 1

0ln(t) dt =

[t ln(t)− t

]1

0= −1 .

Par contre, l’intégrale ∫ 1

0

1t

dt diverge.

En effet, ∫ 1

x

1t

dt =[

ln(t)]1

x= − ln(x) et lim

x→0− ln(x) = +∞ .

(a) (b)

(c) (d)

Figure 2 – Différents types d’intégrales : (a) intervalle non borné, fonction de signeconstant ; (b) intervalle borné, fonction de signe constant ; (c) intervalle non borné,fonction de signe non constant ; (d) intervalle borné, fonction de signe non constant.

Quand on ne sait pas calculer une primitive, on a recours à deux types de méthodes,selon que la fonction est ou non de signe constant au voisinage du point incertain. Il ya donc 4 cas distincts, selon le type du point incertain, et le signe, constant ou non, dela fonction à intégrer. Ces 4 types sont schématisés dans la figure 2 et leur étude faitl’objet des sections suivantes.

4


1.2 Fonctions positives, intervalle non bornéNous considérons ici

∫+∞a f(t) dt, où f est de signe constant au voisinage de +∞.

Quitte à réduire l’intervalle d’intégration, et à changer éventuellement le signe de f s’ilest négatif, nous pouvons supposer que la fonction est positive ou nulle sur l’intervalled’intégration [a,+∞[ (figure 3). Rappelons que par définition,

(a)

Figure 3 – Intégrale d’une fonction positive sur un intervalle non borné.

∫ +∞

af(t) dt = lim

x→+∞

∫ x

af(t) dt .

Observons que si la fonction f est positive, alors la primitive∫ xa f(t) dt est une fonction

croissante de x (car sa dérivée est f(x)). Quand x tend vers l’infini, soit∫ xa f(t) dt est

bornée, et l’intégrale∫+∞a f(t) dt converge, soit

∫ xa f(t) dt tend vers +∞.

Si on ne peut pas (ou si on ne veut pas) calculer une primitive de f , on étudie laconvergence en comparant avec des intégrales dont la convergence est connue, grâce authéorème suivant.

Théorème 1. Soient f et g deux fonctions positives et continues sur [a,+∞[. Suppo-sons que f soit majorée par g au voisinage de +∞ :

∃A , ∀t > A , f(t) 6 g(t) .

• Si∫+∞a g(t) dt converge alors

∫+∞a f(t) dt converge.

• Si∫+∞a f(t) dt diverge alors

∫+∞a g(t) dt diverge.

Démonstration : Comme nous l’avons observé, la convergence des intégrales ne dépendpas de la borne de gauche de l’intervalle, et nous pouvons nous contenter d’étudier∫ xA f(t) dt et

∫ xA g(t) dt. Or en utilisant la monotonie des intégrales, on obtient que pour

tout x > A : ∫ x

Af(t) dt 6

∫ x

Ag(t) dt .

5


Si∫+∞A g(t) dt converge, alors

∫ xA f(t) dt est une fonction croissante et majorée par∫+∞

A g(t) dt, donc convergente. Inversement, si∫ xA f(t) dt tend vers +∞, alors

∫ xA g(t) dt

tend vers +∞ également. �

Comme application typique du théorème de comparaison des intégrales 1, nousallons montrer que l’intégrale ∫ +∞

1tαe−t dt converge,

pour tout réel α. Pour cela nous écrivons :

tαe−t = tαe−t/2 e−t/2 .

On sait quelimt→+∞

tαe−t/2 = 0 ,

pour tout α (l’exponentielle l’emporte sur les puissances de t). En particulier, il existeun réel A > 0 tel que :

∀t > A , tαe−t/2 6 1 .En multipliant les deux membres de l’inégalité par e−t/2 on obtient :

∀t > A , tαe−t 6 e−t/2 .

Or l’intégrale∫+∞

1 e−t/2 dt converge. En effet :∫ x

1e−t/2 dt =

[−2e−t/2

]x1

= 2e−1/2 − 2e−x/2 et limx→+∞

2e−1/2 − 2e−x/2 = 2e−1/2 .

On peut donc appliquer le théorème de comparaison 1 : puisque∫+∞

1 e−t/2 dt converge,on en déduit que

∫+∞1 tαe−t dt converge aussi.

Grâce au théorème de comparaison 1, on peut remplacer la fonction à intégrer parun équivalent au voisinage de +∞ pour étudier la convergence d’une intégrale.

Théorème 2. Soient f et g deux fonctions continues et positives sur [a,+∞[, équiva-lentes au voisinage de +∞ :

limt→+∞

f(t)g(t) = 1 .

L’intégrale∫+∞a f(t) dt converge si et seulement si

∫+∞a g(t) dt converge.

Démonstration : Dire que deux fonctions sont équivalentes au voisinage de +∞, c’estdire que le rapport tend vers 1, ou encore :

∀ε > 0 , ∃A , ∀t > A ,

∣∣∣∣∣f(t)g(t) − 1

∣∣∣∣∣ < ε ,

6


soit encore :

∀ε > 0 , ∃A , ∀t > A , (1− ε)g(t) < f(t) < (1 + ε)g(t) .

Fixons ε < 1, et appliquons le théorème de comparaison 1 sur l’intervalle [A,+∞[.Si l’intégrale

∫+∞A f(t) dt converge, alors l’intégrale

∫+∞A (1 − ε)g(t) dt converge, donc

l’intégrale∫+∞A g(t) dt aussi par la linéarité (proposition 1).

Inversement, si∫+∞A f(t) dt diverge, alors

∫+∞A (1+ε)g(t) dt diverge, donc

∫+∞A g(t) dt

diverge aussi. �

Par exemple, l’intégrale∫ +∞

1

t5 + 3t+ 1t3 + 4 e−t dt converge.

En effet,t5 + 3t+ 1t3 + 4 e−t ∼

+∞t2e−t ,

et nous avons déjà montré que l’intégrale∫+∞

1 t2e−t dt converge.L’utilisation des équivalents permet ainsi de ramener l’étude de la convergence

d’une intégrale pour laquelle on n’a pas de primitive, à un catalogue d’intégrales dontla convergence est connue. Les plus classiques sont les intégrales de Riemann et deBertrand.

Intégrales de Riemann :∫+∞

1 t−α dt,où α est un réel strictement positif. Dans ce cas, la primitive est explicite :

∫ +∞

1t−α dt =

lim

x→+∞

[ 1−α + 1t

−α+1]x

1si α 6= 1

limx→+∞

[ln(t)

]x1

si α = 1

On en déduit immédiatement la nature (convergente ou divergente) des intégrales deRiemann.

Si α 6 1∫ +∞

1t−α dt diverge,

si α > 1∫ +∞

1t−α dt converge.

Intégrales de Bertrand :∫+∞

2 t−1(ln(t))−β dt,où β est un réel strictement positif. La primitive est explicite :

∫ +∞

2t−1(ln(t))−β dt =

lim

x→+∞

[ 1−β + 1(ln(t))−β+1

]x2

si β 6= 1

limx→+∞

[ln(ln(t))

]x2

si β = 1

7


On en déduit la nature (convergente ou divergente) des intégrales de Bertrand.

Si β 6 1∫ +∞

2t−1(ln(t))−β dt diverge,

si β > 1∫ +∞

2t−1(ln(t))−β dt converge.

Voici un exemple d’application :∫ +∞

2

√t2 + 3t ln

(cos

(1t

))sin2

(1

ln(t)

)dt converge.

Pour le démontrer, calculons un équivalent de la fonction au voisinage de +∞.

√t2 + 3t = t

√1 + 3

t∼

+∞t .

ln(

cos(1t))

= ln(

1− 12t2 + o( 1

t2))∼

+∞− 1

2t2 .

sin2(

1ln(t)

)∼

+∞

(1

ln(t)

)2

.

D’où un équivalent de la fonction au voisinage de +∞ :√t2 + 3t ln

(cos(1

t))

sin2(

1ln(t)

)∼

+∞− 1

2t(ln(t))2 .

Remarquons que la fonction est négative au voisinage de +∞, ce qui ne change pas lanature de l’intégrale. D’après le théorème 2, l’intégrale proposée est de même natureque l’intégrale de Bertrand

∫+∞2 t−1(ln(t))−2 dt, donc convergente.

1.3 Fonctions positives, intervalle bornéNous traitons ici le cas où la fonction à intégrer tend vers l’infini en l’une des bornes

de l’intervalle d’intégration. Le traitement est tout à fait analogue au cas précédent.Quitte à réduire l’intervalle d’intégration, et à changer éventuellement le signe de f ,

nous pouvons supposer que la fonction est positive ou nulle sur l’intervalle d’intégration]a, b], et tend vers +∞ en a (figure 2). Rappelons que par définition,∫ b

af(t) dt = lim

x→a+

∫ b

xf(t) dt .

Observons que si la fonction f est positive, alors∫ bx f(t) dt croît quand x décroît vers

a : soit∫ bx f(t) dt est bornée, et l’intégrale

∫ ba f(t) dt est convergente, soit

∫ bx f(t) dt tend

vers +∞.Si on ne peut pas (ou si on ne veut pas) calculer une primitive de f , on étudie la

convergence en comparant avec des intégrales dont la convergence est connue, grâce authéorème suivant.

8


(b)

Figure 4 – Intégrale d’une fonction positive non bornée.

Théorème 3. Soient f et g deux fonctions positives et continues sur ]a, b]. Supposonsque f soit majorée par g au voisinage de a :

∃ε , ∀t ∈]a, a+ ε] , f(t) 6 g(t) .

• Si∫ ba g(t) dt converge alors

∫ ba f(t) dt converge.

• Si∫ ba f(t) dt diverge alors

∫ ba g(t) dt diverge.

Démonstration : Comme nous l’avons observé, la convergence des intégrales ne dépendpas de la borne de droite de l’intervalle, et nous pouvons nous contenter d’étudier∫ a+εx f(t) dt et

∫ a+εx g(t) dt. Or en utilisant la monotonie des intégrales, on obtient que

pour tout x ∈]a, a+ ε] : ∫ a+ε

xf(t) dt 6

∫ a+ε

xg(t) dt .

Si∫ a+εa g(t) dt converge, alors

∫ a+εx f(t) dt croît quand x décroît vers a et est majorée

par∫ a+εa g(t) dt, elle converge donc. Inversement, si

∫ a+εx f(t) dt tend vers +∞, alors∫ a+ε

x g(t) dt tend vers +∞ également. �

Voici une application typique du théorème de comparaison des intégrales 3. Nousallons montrer que l’intégrale ∫ 1

0

(− ln(t))α√t

dt converge,

pour tout réel α. Pour cela nous écrivons :

(− ln(t))α√t

= ((− ln(t))αt1/4) t−3/4 .

On sait quelimt→0+

ln(t)αt1/4 = 0 ,

9


pour tout α (les puissances de t l’emportent sur le logarithme). En particulier, il existeun réel ε > 0 tel que :

∀t ∈]0, ε] , (− ln(t))αt1/4 6 1 .En multipliant les deux membres de l’inégalité par t−3/4 on obtient :

∀t ∈]0, ε] , (− ln(t))α√t

6 t−3/4 .

Or l’intégrale∫ 1

0 t−3/4 dt converge. En effet :∫ 1

xt−3/4 dt =

[4t1/4

]1

x= 4− 4x1/4 et lim

x→0+(4− 4x1/4) = 4 .

On peut donc appliquer le théorème de comparaison 3 : puisque∫ 1

0 t−3/4 dt converge,

on en déduit que∫ 1

0(− ln(t))α√

tdt converge aussi.

Grâce au théorème de comparaison 3, on peut remplacer la fonction à intégrer parun équivalent au voisinage de a pour étudier la convergence d’une intégrale.

Théorème 4. Soient f et g deux fonctions continues et strictement positives sur ]a, b],équivalentes au voisinage de a :

limt→a+

f(t)g(t) = 1 .

L’intégrale∫ ba f(t) dt converge si et seulement si

∫ ba g(t) dt converge.

Démonstration : Dire que deux fonctions sont équivalentes au voisinage de a, c’est direque le rapport tend vers 1, ou encore :

∀ε > 0 , ∃η , ∀t ∈]a, a+ η] ,∣∣∣∣∣f(t)g(t) − 1

∣∣∣∣∣ < ε ,

soit encore :

∀ε > 0 , ∃η , ∀t ∈]a, a+ η] , (1− ε)g(t) < f(t) < (1 + ε)g(t) .

Fixons ε > 0, et appliquons le théorème de comparaison 3 sur l’intervalle ]a, a + η].Si l’intégrale

∫ a+ηa f(t) dt converge, alors l’intégrale

∫ a+ηa (1 − ε)g(t) dt converge, donc

l’intégrale∫ a+ηa g(t) dt aussi par la linéarité (proposition 1). Inversement, si

∫ a+ηa f(t) dt

diverge, alors∫ a+ηa (1 + ε)g(t) dt diverge, donc

∫ a+ηa g(t) dt diverge aussi. �

Par exemple, l’intégrale

∫ 1

0

√√√√− ln(t) + 1sin(t) dt converge.

10


En effet, √√√√− ln(t) + 1sin(t) ∼

0+

(− ln(t))1/2√t

,

et nous avons déjà montré que l’intégrale∫ 1

0(− ln(t))1/2√t

dt converge.L’utilisation des équivalents permet ainsi de ramener l’étude de la convergence

d’une intégrale pour laquelle on n’a pas de primitive, à un catalogue d’intégrales dontla convergence est connue. Les plus classiques sont du type

∫ 10 t−α dt, mais attention,

la convergence en fonction du paramètre α est inversée par rapport aux intégrales deRiemann.

Si α < 1∫ 1

0t−α dt converge,

si α > 1∫ 1

0t−α dt diverge.

1.4 Fonctions oscillantes, intervalle non bornéNous considérons ici

∫+∞a f(t) dt, où f(t) oscille jusqu’à l’infini entre des valeurs

positives et négatives (figure 5). La définition de la convergence reste la même.

(c)

Figure 5 – Intégrale d’une fonction oscillante sur un intervalle non borné.

∫ +∞

af(t) dt = lim

x→+∞

∫ x

af(t) dt .

Contrairement au cas des fonctions positives, où la limite était soit finie, soit égaleà +∞, tous les comportements sont possibles ici : les valeurs de

∫ xa f(t) dt peuvent

tendre vers une limite finie, vers +∞ ou −∞ ou bien encore osciller entre deux valeursfinies (comme

∫ xa sin(t) dt), ou s’approcher alternativement de +∞ et −∞ (comme∫ x

a t sin(t) dt).Le cas le plus favorable est celui où la valeur absolue de f converge.

11


Définition 2. Soit f une fonction continue sur [a,+∞[. On dit que∫+∞a f(t) dt est

absolument convergente si∫+∞a |f(t)| dt converge.

Le théorème suivant est souvent utilisé pour démontrer la convergence d’une inté-grale. Malheureusement, il ne permet pas de calculer la valeur de cette intégrale.

Théorème 5. Si l’intégrale∫+∞a f(t) dt est absolument convergente, alors elle est

convergente.

Démonstration : Rappelons la définition :∫+∞a f(t) dt converge si et seulement si∫ x

a f(t) dt converge. Posons F (x) =∫ xa f(t) dt. Nous allons démontrer que, pour toute

suite (xn)n∈N, tendant vers l’infini, la suite (F (xn))n∈N est une suite de Cauchy. Sansperte de généralité, nous pouvons supposer que la suite (xn)n∈N est strictement crois-sante. Par la relation de Chasles, pour tout couple d’entiers (n,m) avec n < m :

|F (xm)− F (xn)| =∣∣∣∣∫ xm

xnf(t) dt

∣∣∣∣ 6 ∫ xm

xn|f(t)| dt

Or par hypothèse, l’intégrale∫+∞a |f(t)| dt converge. On en déduit que la suite de terme

général∫ xna |f(t)| dt converge : c’est donc une suite de Cauchy. Pour tout ε > 0, il existe

n0 tel que pour m > n > n0,

|F (xm)− F (xn)| 6∫ xm

xn|f(t)| dt < ε .

La suite (F (xn))n∈N est une suite de Cauchy, donc elle converge. Puisque c’est vraipour toute suite (xn)n∈N tendant vers l’infini, la fonction x 7→ F (x) admet une limiteen +∞, d’où le résultat. �

Par exemple, ∫ +∞

1

sin(t)t2

dt est absolument convergente,

donc convergente. En effet pour tout t,

| sin(t)|t2

61t2.

Or l’intégrale de Riemann∫+∞

1 t−2 dt est convergente. D’où le résultat par le théorèmede comparaison 1. Par contre,∫ +∞

1

sin(t)t

dt n’est pas absolument convergente.

Voici un moyen de le vérifier. Comme | sin(t)| 6 1 pour tout t, on a :

| sin(t)|t

>sin2(t)t

= 1− 2 cos(2t)2t .

12


En appliquant une intégration par parties à cos(2t)t

, on obtient :∫ x

1

1− 2 cos(2t)2t dt = 1

2

[ln(t)

]x1

+ 12

[sin(2t)t

]x1

+ 12

∫ x

1

sin(2t)t2

dt.

Or∫+∞

1sin(2t)t2

dt converge absolument, comme nous venons de le voir. Des 3 termesde la somme ci-dessus, les deux derniers convergent, le premier tend vers +∞. Doncl’intégrale diverge, et par le théorème de comparaison 1, l’intégrale

∫+∞1

| sin(t)|t

dt divergeégalement.

Il se trouve que ∫ +∞

1

sin(t)t

dt converge.

Pour le montrer, effectuons une intégration par parties :∫ x

1

sin(t)t

dt =[− cos(t)

t

]x1−∫ x

1

cos(t)t2

dt .

La fonction cos(t)t

tend vers 0 (car cos(t) est borné et 1ttend vers 0). Par comparai-

son avec l’intégrale de Riemann∫+∞

11t2

dt, on montre que l’intégrale∫+∞

1cos(t)t2

dt estabsolument convergente, donc convergente. Par conséquent,

∫+∞1

sin(t)t

dt converge.Pour montrer qu’une intégrale converge quand elle n’est pas absolument conver-

gente, on dispose du théorème suivant, dit théorème d’Abel.

Théorème 6. Soit f une fonction continûment dérivable sur [a,+∞[, positive, dé-croissante, ayant une limite nulle en +∞. Soit g une fonction continue sur [a,+∞[,telle que la primitive

∫ xa g(t) dt soit bornée. Alors l’intégrale∫ +∞

af(t) g(t) dt converge.

Démonstration : C’est une généralisation de l’exemple précédent. Pour tout x > a,posons G(x) =

∫ xa g(t) dt. Par hypothèse, G est bornée, donc il existe M tel que pour

tout x, |G(x)| 6M . Effectuons maintenant une intégration par parties.∫ x

af(t) g(t) dt =

[f(t)G(t)

]xa−∫ x

af ′(t)G(t) dt .

Comme G est bornée et f tend vers 0, le premier terme converge. Montrons maintenantque le deuxième converge aussi, en vérifiant que∫ +∞

af ′(t)G(t) dt est absolument convergente.

On a :|f ′(t)G(t)| = |f ′(t)| |G(t)| 6 (−f ′(t))M ,

13


car f est décroissante (donc f ′(t) 6 0) et |G| est bornée par M . Par le théorème decomparaison 1, il suffit donc de montrer que

∫+∞a −f ′(t) dt est convergente. Or :∫ x

a−f ′(t) dt = f(a)− f(x) et lim

x→+∞(f(a)− f(x)) = f(a) .

�

Comme exemple d’application, si α est un réel strictement positif, et k un entierpositif impair, alors l’intégrale∫ +∞

1

sink(t)tα

dt converge.

Remarquons que cette intégrale n’est absolument convergente que pour α > 1. Onvérifie que les hypothèses du théorème 6 sont satisfaites pour f(t) = t−α et g(t) =sink(t). Pour s’assurer que la primitive de sink est bornée, il suffit de penser à unelinéarisation, qui transformera sink(t) en une combinaison linéaire des sin(ht) , h =1 . . . k, dont la primitive sera toujours bornée.

1.5 Fonctions oscillantes, intervalle bornéLe dernier cas à traiter est celui où la fonction à intégrer oscille au voisinage d’une

des bornes, prenant des valeurs arbitrairement proches de +∞ et −∞ (figure 6). Le

(d)

Figure 6 – Intégrale d’une fonction positive non bornée.

changement de variable u = 1/(t − a) permet de se ramener au cas précédent, ce quinous dispensera de donner autant de détails. Rappelons que par définition,∫ b

af(t) dt = lim

x→a+

∫ b

xf(t) dt .

La notion importante est toujours la convergence absolue.

14


Définition 3. Soit f une fonction continue sur ]a, b]. On dit que∫ ba f(t) dt est abso-

lument convergente si∫ ba |f(t)| dt est une intégrale convergente.

Nous admettrons le théorème suivant, qui se démontre de la même façon que lethéorème 5.

Théorème 7. Si l’intégrale∫ ba f(t) dt est absolument convergente, alors elle est conver-

gente.

Par exemple, ∫ 1

0

sin(1/t)√t

dt est absolument convergente,

donc convergente. En effet pour tout t,| sin(1/t)|√

t6

1√t.


0 t−1/2 dt converge. D’où le résultat par le théorème de comparaison 3.

Par contre, ∫ 1

0

sin(1/t)t

dt n’est pas absolument convergente,

mais elle est convergente. Pour le voir, effectuons le changement de variable t 7→ 1/u.∫ 1

x

sin(1/t)t

dt =∫ 1

1/xu sin(u)−1

u2 du =∫ 1/x

1

sin(u)u

du .

Nous avons déjà montré que l’intégrale∫+∞

1sin(u)u

du est convergente sans être absolu-ment convergente.

On pourrait énoncer un théorème d’Abel analogue au théorème 6, mais cela n’estpas vraiment utile. D’une part les fonctions auxquelles il s’appliquerait se rencontrentrarement, d’autre part, il est en général facile de se ramener à un problème sur [c,+∞[,par le changement de variable t 7→ u = 1/(t−a) : nous l’avons déjà fait pour

∫ 10

sin(1/t)t

dt.

1.6 Plan d’étudeNous résumons ici l’ensemble des techniques vues dans ce chapitre pour l’étude

de l’intégrale d’une fonction f sur un intervalle non borné de R, la fonction étantéventuellement non bornée au voisinage d’un ou plusieurs points de l’intervalle. Pourillustrer le plan d’étude, nous détaillerons l’exemple introductif :

I =∫ +∞

−∞|t|−3/2 sin(t) dt .

1. Identifier le ou les points incertainsLa fonction |t|−3/2 sin(t) est impaire, elle tend vers 0 en oscillant quand t tendvers −∞ et +∞, elle tend vers −∞ en 0− et vers +∞ en 0+ (cf. figure 1). Il y adonc 4 points incertains à étudier.

15


2. Isoler les points incertainsPour cela, il faut découper l’intervalle d’étude en autant de sous-intervalles qu’ily a de points incertains, de manière à ce que les problèmes soient tous situés surune borne de chaque intervalle. Dans notre exemple, on divisera en 4 intervalles.

I1 =∫ −1

−∞|t|−3/2 sin(t) dt , I2 =

∫ 0

−1|t|−3/2 sin(t) dt ,

I3 =∫ 1

0|t|−3/2 sin(t) dt , I4 =

∫ +∞

1|t|−3/2 sin(t) dt ,

Chacune des intégrales obtenues doit être étudiée séparément. L’intégrale I n’estdéfinie que si chacun des morceaux converge.

3. Se ramener à une intégrale sur [a,+∞[ ou sur ]a, b]Pour cela, il suffit d’effectuer le changement de variable t 7→ −t. Dans notre cas,puisque la fonction est impaire, I1 = I4 et I2 = I3.

4. Calculer une primitive si c’est possibleAyant une primitive, le problème est ramené à un calcul de limite (définition 1).Si on n’a pas de primitive explicite, alors :

5. Si la fonction est de signe constantChanger éventuellement le signe pour se ramener à une fonction positive. Cal-culer un équivalent au voisinage du point incertain et utiliser le théorème 2 ou4. Si l’équivalent ne donne pas la réponse directement, utiliser le théorème decomparaison 1 ou 3. Dans notre exemple, l’intégrale I3 est celle d’une fonctionpositive, tendant vers +∞ en 0+.

t−3/2 sin(t) ∼0+

t−1/2 .


0 t−1/2 dt converge, donc I3 converge.

6. Si la fonction n’est pas de signe constantCommencer par étudier l’intégrale de |f |, comme dans le cas précédent (équivalentou comparaison). Si elle converge, l’intégrale étudiée est absolument convergente,donc convergente. Si l’intégrale n’est pas absolument convergente, il faut essayerde mettre la fonction sous forme d’un produit pour appliquer le théorème d’Abel6. Dans notre exemple, l’intégrale I4 est absolument convergente : on le déduitdu théorème de comparaison, car

t−3/2| sin(t)| 6 t−3/2 ,

et l’intégrale de Riemann∫+∞

1 t−3/2 dt est convergente. On pourrait aussi appli-quer le théorème d’Abel 6 avec f(t) = t−3/2 et g(t) = sin(t).

16


1.7 ExemplesComme exemple d’intégrales dont la primitive est explicitement calculable, obser-

vons que l’on peut généraliser les intégrales de Riemann et de Bertrand.

Si γ 6 1∫ +∞

3t−1(ln(t))−1(ln(ln(t)))−γ dt diverge,

si γ > 1∫ +∞

3t−1(ln(t))−1(ln(ln(t)))−γ dt converge.

Pour des intégrales au voisinage de 0 :

Si β 6 1∫ 1/2

0t−1(− ln(t))−β dt diverge,

si β > 1∫ 1/2

0t−1(− ln(t))−β dt converge.

Voici maintenant des applications des théorèmes de comparaison 1 et 3. L’idéeintuitive à retenir est la suivante. Quand une fonction est un produit de plusieursfonctions du type exponentielle, puissances de x, puissances de logarithmes, l’une deces fonctions “l’emporte” sur les autres : l’exponentielle l’emporte sur les puissances dex et les puissances de x l’emportent sur le logarithme.

Dans les exemples suivants, α, β, γ, δ désignent des réels strictement positifs. Lesintégrales suivantes sont convergentes.∫ +∞

1e−αt tβ dt ,

∫ +∞

1e−αt tβ (ln(t))γ dt ,

∫ +∞

1e−αt tβ (ln(t))γ | sin(t)|δ dt .

La démonstration est la même que pour∫+∞

1 tαe−t dt. Nous en rappelons le principe,en le généralisant.Proposition 2. Soient α et α′ deux réels tels que 0 < α′ < α. Soit f une fonctioncontinue sur [a,+∞[ telle que e−(α−α′)tf(t) soit bornée. Alors l’intégrale∫ +∞

ae−αtf(t) dt est absolument convergente.

Démonstration : Par hypothèse, il existe M tel que pour tout t > a,|e−(α−α′)tf(t)| 6M .

En multipliant par e−α′t, on obtient|e−αtf(t)| 6 e−α′tM .

D’où le résultat par le théorème de comparaison 1, puisque∫+∞a e−α′t dt converge. �

Le même raisonnement vaut quand c’est une puissance de t qui est dominante. Parexemple, pour tout α > 1 et pour tout β,∫ +∞

2t−α(ln(t))β dt converge.

17


Proposition 3. Soient α et α′ deux réels tels que 1 < α′ < α et soit f une fonctiontelle que t−(α−α′)f(t) soit bornée. Alors l’intégrale∫ +∞

at−αf(t) dt est absolument convergente.

Démonstration : Par hypothèse, il existe M tel que pour tout t > a,

|t−(α−α′)f(t)| 6M .

En multipliant par t−α′ , on obtient

|t−αf(t)| 6 t−α′M .

D’où le résultat par le théorème de comparaison 1, puisque∫+∞a t−α

′ dt converge. �

18


2 Entraînement

2.1 Vrai ou fauxVrai-Faux 1. Soit f une fonction définie et continue sur R. Parmi les affirmationssuivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. � Si l’intégrale de f sur [0,+∞[ converge, alors son intégrale sur R converge.2. � Si l’intégrale de f sur R converge, alors son intégrale sur [0,+∞[ converge.3. � Si f est une fonction paire, alors son intégrale sur R converge si et seulement

si son intégrale sur [1,+∞[ converge.4. � Si l’intégrale de f sur R+ converge, alors son intégrale sur [1,+∞[ converge.5. � Si f(x) tend vers 0 quand x tend vers +∞ alors son intégrale sur [0,+∞[

converge.6. � Si l’intégrale de f sur R converge, alors f(x) tend vers 0 quand x tend vers

+∞.7. � Si f(x) tend vers l 6= 0 quand x tend vers +∞, alors son intégrale sur [0,+∞[

diverge.8. � Si l’intégrale de f sur [0, x] est une fonction bornée de x, alors l’intégrale de f

sur [0,+∞[ converge.9. � Si f est positive et si l’intégrale de f sur [0, x] est une fonction bornée de x,

alors l’intégrale de f sur [0,+∞[ converge.10. � Si pour tout x > 1, f(x) 6 1

x2 , alors l’intégrale de f sur [0,+∞[ converge.11. � Si f est positive et si pour tout x > 1, f(x) 6 1

x, alors l’intégrale de f sur

[0,+∞[ converge.12. � Si f est positive et si pour tout x > e, f(x) 6 1

x(ln(x))2 , alors l’intégrale de fsur [0,+∞[ converge.

13. � Si f est positive et si pour tout x > 1, f(x) 6 x4, alors l’intégrale de e−x/2f(x)sur [0,+∞[ converge.

14. � Si pour tout x > 1, f(x) 6 x4, alors l’intégrale de e−x/2f(x) sur R converge.15. � Si pour tout x ∈ R, 0 6 f(x) 6 ex, alors l’intégrale de e−x2

f(x) sur R converge.

Vrai-Faux 2. Soit f une fonction définie et continue sur ]0, 1]. Parmi les affirmationssuivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. � Si f(x) tend vers l 6= 0 quand x tend vers 0, alors son intégrale sur ]0, 1]diverge.

2. � Si l’intégrale de f 2 sur ]0, 1] converge, alors l’intégrale de f sur ]0, 1] converge.3. � Si l’intégrale de f sur [x, 1] est une fonction bornée de x alors l’intégrale de f

sur ]0, 1] converge.

19


4. � Si pour tout x ∈]0, 1], f(x) > −1 et si l’intégrale de f sur [x, 1] est une fonctionbornée de x alors l’intégrale de f sur ]0, 1] converge.

5. � Si l’intégrale de f sur ]0, 1] converge, alors l’intégrale de 1/f sur [1,+∞[converge.

6. � L’intégrale de f sur ]0, 1] converge si et seulement si l’intégrale de la fonctiont 7→ 1

t2f(1

t) sur [1,+∞[ converge.

7. � Si pour tout x ∈]0, 1], 0 6 f(x) 6 1x2 , alors l’intégrale de f sur ]0, 1] converge.

8. � Si pour tout x ∈]0, 1], −2 6 f(x) 6 1√x, alors l’intégrale de f sur ]0, 1] converge.

Vrai-Faux 3. Soit f une fonction définie et continue sur R. Parmi les affirmationssuivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. � Si f(x) tend vers 0 quand x tend vers l’infini, alors l’intégrale de sin(x)f(x)sur [0,+∞[ converge.

2. � Si pour tout x > 1, 0 6 f(x) 6 1x2 , alors l’intégrale de sin(x)f(x) sur [0,+∞[

converge.3. � Si f(x) est décroissante et si sa limite en +∞ est nulle, alors l’intégrale de

sin2(x)f(x) sur [0,+∞[ converge.4. � Si f(x) est décroissante et si sa limite en +∞ est nulle, alors l’intégrale de

sin(2x)f(x) sur [0,+∞[ converge.5. � Si l’intégrale de e2ixf(x) sur [0,+∞[ converge, alors l’intégrale de sin(2x)f(x)

sur [0,+∞[ converge.6. � Si l’intégrale de sin(2x)f(x) sur [0,+∞[ converge, alors l’intégrale de e2ixf(x)

sur [0,+∞[ converge.

Vrai-Faux 4. Les intégrales suivantes convergent : vrai ou faux et pourquoi ?

1. �∫ ∞

0

sin( 1t2

)arctan(t) dt.

2. �∫ ∞

0

√t sin2(1

t) dt.

3. �∫ ∞

0

cos2(1t)

tdt.

4. �∫ ∞

0

√t4 + 1 e−t dt.

5. �∫ ∞

0(et + t4) e−t2 dt.

6. �∫ ∞

0(et + t4) e−t dt.

7. �∫ ∞

0(et + t4) e−2t dt.

Vrai-Faux 5. Les intégrales suivantes convergent : vrai ou faux et pourquoi ?

20


1. �∫ 1

0

sin(t)tan2(t) dt.

2. �∫ 1

0

sin(t)(√

tan(t))3dt.

3. �∫ 1

0

sin2(t2)t

103

dt.

4. �∫ 1/2

0

tan2(t3)t7 ln(1

t) dt.

5. �∫ 1/2

0

cos2(t3)t2(ln(1

t)) dt.

6. �∫ 1/2

0

sin2(t3)t7(ln(1

t))2 dt.

Vrai-Faux 6. Parmi les intégrales suivantes convergent, mais ne sont pas absolumentconvergentes : vrai ou faux et pourquoi ?

1. �∫ ∞

1

sin3(t2)t

dt.

2. �∫ ∞

1

sin2(t2)t

dt.

3. �∫ ∞

1

sin3(t2)t2

dt.

4. �∫ ∞

2

sin(t)t ln(t) dt.

5. �∫ ∞

2

sin(t)(ln(t))3 dt.

6. �∫ ∞

2

sin2(t)(ln(t))3 dt.

7. �∫ ∞

2

sin2(t)(t ln(t))3 dt.

Vrai-Faux 7. Les intégrales suivantes convergent mais ne sont pas absolument conver-gentes : vrai ou faux et pourquoi ?

1. �∫ +∞

−∞

sin( 1t2

)arctan(t) dt.

2. �∫ +∞

−∞e−t2 ln |t− 1| dt.

3. �∫ +∞

−∞

e−t√t2 + 2t+ 1

dt.

21


4. �∫ +∞

−∞

1(√|t2 + 2t− 8|)3

dt.

5. �∫ +∞

−∞

sin(t)√|t2 + 2t− 8|

dt.

Vrai-Faux 8. Parmi les égalités suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausseset pourquoi ?

1. �∫ +∞

−∞|t|e−|t| dt = 2.

2. �∫ +∞

0t2e−t dt = 1.

3. �∫ +∞

−∞t2e−|t| dt = 4.

4. �∫ +∞

0cos(t)e−t dt = 1.

5. �∫ +∞

−∞sin(t)e−|t| dt = 0.

6. �∫ +∞

−∞cos(2t)e−|t| dt = 2

5 .

7. �∫ +∞

−∞

1t2 + 2t+ 2 dt = π

2 .

8. �∫ +∞

−∞

1t2 + 2t+ 3 dt = π√

2.

2.2 ExercicesExercice 1. Pour chacune des fonctions f : t 7−→ f(t) suivantes :

f(t) = 1t(t+ 1) ; f(t) = 1

t(t+ 1)(t+ 2) ;

f(t) = 1t ln2(t)

; f(t) = 1t ln(t)(ln(ln(t))3 .

1. Calculer pour tout x > 1,∫ x

1f(t) dt.

2. En déduire∫ +∞

1f(t) dt.

Exercice 2. Pour chacune des fonctions f : t 7−→ f(t) suivantes :

f(t) = e−t cos(t) ; f(t) = e−t sin(t) ;

f(t) = te−t ; f(t) = 1cosh(t) .

22


1. Calculer pour tout x > 0,∫ x

0f(t) dt.

2. En déduire∫ +∞

0f(t) dt.

Exercice 3. Soit x un réel strictement compris entre 0 et 1.

1. Calculer∫ x

12

21− t2 dt.

2. En utilisant une intégration par parties, en déduire I(x) =∫ x

12

ln(1− t2)t2

dt.

3. Quelle est la limite à droite en 0 de I(x) ?4. Quelle est la limite à gauche en 1 de I(x) ?

Exercice 4. Démontrer les résultats suivants∫ +∞

−∞e−t2 dt converge.

∫ +∞

−∞t4e−t2+t dt converge.

∫ +∞

−∞

sin(t)t2 + 2t+ 3 dt converge.

∫ +∞

−∞

sin(t)t2 + 2t dt diverge.

∫ ∞0

t−1(ln(t))−2 dt diverge.∫ π

0

cos(t)√sin(t)

dt converge.

∫ +∞

−∞

sin3(t)√t4 + 2t8

dt converge.∫ +∞

−∞

sin2(t)√t2 + 2

dt diverge.

∫ 1

0

1t√

1− tdt diverge.

∫ +∞

−∞

t2 + 1√|t|

e−|t| dt converge.

Exercice 5. Démontrer que les intégrales suivantes convergent et calculer leur valeur.∫ 1

0

1(1 + t2)

√1− t2

dt ;∫ +∞

−∞

2 + sin(t)t2 + 1 dt ;

∫ +∞

0

√t sin( 1

t2)

ln(1 + t) dt ;∫ +∞

0

sin(t)t ln(t) dt .

Exercice 6. Étudier la convergence des intégrales suivantes.∫ +∞

1

ln(t)t+ e−t dt ;

∫ +∞

1

| sin(t)|t2 + 1 dt ;

∫ +∞

1

ln(t)t

e−t dt ;∫ +∞

0

(t+ 2−

√t2 + 4t+ 1

)dt ;∫ +∞

0

(3√t3 + 1−

√t2 + 1

)dt ;

∫ +∞

1e−√t2−tdt ;

23


∫ +∞

1

√x

(ln(t))3 dt ;∫ +∞

1

2 + sin(t) + sin2(t)3√t4 + t3

dt ;∫ +∞

0e−t2 dt ;

∫ +∞

0t2e−t2+2t dt ;

∫ +∞

2

√t

(ln(t))3 dt ;∫ +∞

1t−

tt+1 dt ;

∫ +∞

0

√t+ 2 sin

(3

(t+ 1)2

)dt ;

∫ +∞

0

√t2 + 2t sin

(2

(t+ 1)2

)dt ;

∫ 1

0

√ln(1 + t)

arctan(t+ t2) dt ;∫ 1

0

√ln(1 + t)

arctan(t2 + t3) dt ;

∫ 2

1

√ln(t)

arctan(t2 + t− 2) dt ;∫ 2

1

√ln(t)

arctan(t2 − 2t+ 1) dt .

Exercice 7. Étudier la convergence des intégrales suivantes.∫ 1

0

ln(t)1− t dt ;

∫ +∞

−∞

2 + sin(t)t2 + 1 dt ;

∫ +∞

0

sin(t)t ln(t) dt ;

∫ +∞

−∞

sin2(t)t(1− t2) ln |t| dt .

Exercice 8. Dans chacun des cas suivants, la fonction f est supposée continue sur R+,affine par morceaux, et nulle en 0.

∀n ∈ N∗ , f(n) = 1 , f(n− 1/n) = f(n+ 1/n) = 0 (a)

∀n ∈ N∗ , f(n) = 1/n , f(n− 1/n) = f(n+ 1/n) = 0 (b)∀n ∈ N∗ , f(n) = n , f(n− 1/n2) = f(n+ 1/n2) = 0 (c)∀n ∈ N∗ , f(n) = n , f(n− 1/n3) = f(n+ 1/n3) = 0 (d)

Pour chacun de ces cas.1. La fonction f admet-elle une limite en +∞ ?

2. L’intégrale∫ +∞

0f(t) dt est-elle convergente ?

Exercice 9. On rappelle la tangente hyperboliques est définie par :

tanh(x) = ex − e−xex + e−x .

1. Vérifier que tanh(x) = 1− 2e2x + 1 .

24


2. Déterminer les deux réels a et b tels que la fonction f : x 7−→ x tanh(x)−(ax+b)soit d’intégrale convergente sur [0,+∞[.

Exercice 10. On rappelle que pour tout x ∈ R, arctan(x) est défini comme l’uniqueangle θ ∈]− π

2 ,π2 [ tel que tan(θ) = x.

1. Vérifier que pour tout x ∈ R, arctan(x) = − arctan(−x), et que pour tout x > 0,arctan(x) + arctan( 1

x) = π

2 .2. Déterminer les deux réels a et b tels que l’intégrale de la fonction f : x 7−→

arctan(x2)− (ax+ b) soit convergente sur R.

Exercice 11. Pour tout n > 1, on pose :

un =∫ (n+1)π

nπ

| sin(t)|t

dt .

1. Déterminer un réel a > 0 tel que pour tout x ∈ [nπ + π4 , nπ + 3π

4 ], sin(x) > a.2. En déduire un réel b > 0 tel que un > b

n+1 .

3. En déduire que l’intégrale∫ +∞

π

| sin(t)|t

dt est divergente.

Exercice 12. Soit a un nombre réel.

1. Discuter, en fonction de a, la nature de l’intégrale∫ 1

0

1a− t

√1− tt

dt.

2. Utiliser le changement de variable t 7→ u =√

1−tt

pour calculer cette intégralepour a = 2.

Exercice 13. Soient a et b deux réels. Discuter en fonction de a et b la nature del’intégrale suivante. ∫ 1

0t−a(1− t)−b dt .

Exercice 14. Soient a et b deux réels. Discuter en fonction de a et b la nature del’intégrale suivante. ∫ +∞

1

ln(1 + ta)tb

dt .

Exercice 15. Soient a, b, c trois réels. Discuter en fonction de a, b, c la nature de l’inté-grale suivante. ∫ 1

0

tc

(1− t)a| ln(1− t)|b dt .

Exercice 16. Utiliser le théorème d’Abel pour démontrer que les intégrales suivantesconvergent. Montrer qu’elles ne convergent pas absolument.∫ +∞

1

sin(t)√t2 + t

dt ,∫ +∞

1

sin3(t)√t+ 2

dt ,∫ +∞

2

cos(t)ln(t) dt ,

∫ +∞

3

sin5(t)ln(ln(t)) dt .

25


Exercice 17. Soit f une fonction continue sur R, périodique de période 1 et telle que∫ 1

0f(t) dt = 0.

1. Appliquer le critère d’Abel pour démontrer que∫ +∞

0

f(t)ta

dt converge pour touta tel que 0 < a < 1.

2. En utilisant le changement de variable t 7→ u = tα, démontrer que l’intégrale∫ +∞

0f(tα) dt converge pour tout α > 1.

2.3 QCMDonnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont

indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vouspensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochéesrapporte 2 points.

Question 1. Soit f une fonction définie et continue sur R.A Si l’intégrale de f sur [0,+∞[ converge, alors l’intégrale de f sur R converge.B Si l’intégrale de f sur [1,+∞[ converge, alors l’intégrale de f sur [0,+∞[converge.

C Si limx→+∞

f(x) = −1, alors l’intégrale de f sur [0,+∞[ diverge.D Si l’intégrale de f sur [0,+∞[ converge, alors lim

x→+∞f(x) = 0.

E Si limx→+∞

f(|x|) = 0, alors l’intégrale de f sur R converge.

Question 2. Soit f une fonction définie et continue sur [0, 1[.A Si l’intégrale de f sur [0, 1] converge, alors l’intégrale de x 7−→ f( 1

x) sur [1,+∞[

converge.B Si l’intégrale de x 7−→ f( 1

x−1) sur [1,+∞[ converge, alors l’intégrale de f sur[0, 1] converge.

C Si limx→1−

f(x) = 1, alors l’intégrale de f sur [0, 1] converge.

D Si l’intégrale de f sur [0, 1] diverge, alors limx→1−

|f(x)| = +∞.

E L’intégrale de f sur [0, 1] converge si et seulement si l’intégrale de x 7−→ f( 11−x)

sur [1,+∞[ converge.

Question 3. Soit f une fonction définie et continue sur R+.A Si l’intégrale de f sur [0,+∞[ converge, alors l’intégrale de |f | sur [0,+∞[converge.

B Si l’intégrale de f sur [0,+∞[ converge, alors l’intégrale de f 2 sur [0,+∞[converge.

26


C Si l’intégrale de |f | sur [0,+∞[ converge, alors l’intégrale de f sur [0,+∞[converge.

D Si l’intégrale de |f | sur [0,+∞[ converge, alors l’intégrale de x 7−→ sup{f(x), 0}sur [0,+∞[ converge.

E Si l’intégrale de |f | sur [0,+∞[ converge, alors l’intégrale de f 2 sur [0,+∞[converge.

Question 4. Soit f sur fonction définie, continue et strictement positive sur R+.A Si xf(x) est majoré sur R+, alors l’intégrale de f sur [0,+∞[ converge.B Si lim

x→+∞

√xf(x) = 1

2 , alors l’intégrale de f sur [0,+∞[ converge.C Si lim

x→+∞x2f(x) = +∞, alors l’intégrale de f sur [0,+∞[ diverge.

D Si f(x) est équivalent à ln(x)x2 au voisinage de +∞, alors l’intégrale de f sur

[0,+∞[ converge.E Si pour tout x > 2, f(x) > 1

x ln(x) , alors l’intégrale de f sur [0,+∞[ diverge.

Question 5. Soit f sur fonction définie, continue et strictement positive sur ]0,+∞].A Si lim

x→0+

√xf(x) = 2, alors l’intégrale de f sur ]0, 1] converge.

B Si limx→0+

x ln(|x|)f(x) = 2, alors l’intégrale de f sur ]0, 1] diverge.

C Si limx→0+

xf(x) = 0, alors l’intégrale de f sur ]0, 1] converge.

D Si l’intégrale de f sur ]0, 1] converge, alors xf(x) est bornée au voisinage de 0+.E Si l’intégrale de f sur ]0, 1] diverge, alors lim

x→0+f(x) = +∞.

Question 6. L’intégrale proposée converge.A

∫ +∞

1

1√x ln2 x

dx

B∫ +∞

1

√x+ 1√

x3 + 4x2 + 4dx

C∫ +∞

0

√x2 + 1√

x5 + 4x2 + 4dx

D∫ +∞

1

ln2(x)√x2 + 4

dx

E∫ +∞

0

√x+ 1√

x3 + 4x2 + 4dx

Question 7. L’intégrale proposée converge.A

∫ 1

0

1x ln2(−x)

dx

B∫ 1

0

x√x4 + 2x5

dx

C∫ 1

0

x+ 1√x3 + 2x4

dx

27


D∫ 1

0

e− 1x

x3 dx

E∫ 1

0e− ln(x+3x4) dx

Question 8. L’intégrale proposée est absolument convergente.

A∫ 1

0

sin( 1x)

xdx

B∫ +∞

0

cos(x)x

dx

C∫ 1

0

cos( 1x√x

dx

D∫ +∞

0

sin(x)√x3 + 1

dx

E∫ +∞

0

sin(x2)√x4 + x2

dx

Question 9. L’intégrale proposée est convergente, mais pas absolument convergente.A

∫ +∞

0

sin(x)√x2 + 1

dx

B∫ +∞

0

sin(x)√x3 + 1

dx

C∫ +∞

0x sin(x)e−x dx

D∫ 1

0

sin(x)√x2 + x3

dx

E∫ 1

0

cos( 1x)√

x2 + x3dx

Question 10.A

∫ +∞

0

1x2 dx = 1

B∫ +∞

1e−x dx = 1

C∫ +∞

0

1x2 + 1 dx = π

2D

∫ +∞

0√

(x+ 2)2dx = 4

E∫ +∞

0xe−x dx = 1

Réponses:1–BC2–CE3–CD4–DE5–AB6–CE7–CD8–CD9–AE10–CE

2.4 DevoirEssayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si

vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec

28


le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctementrépondu.Questions de cours : Les fonctions f et g considérées ici sont supposées définies,continues et strictement positives sur [0, 1[.

1. Définir la convergence de l’intégrale de f sur [0, 1]·2. On suppose qu’il existe ε > 0 tel que pour tout x ∈ [1 − ε, 1[, 0 6 f(x) 6 g(x).

Démontrer que si∫ 1

0 g(t) dt converge, alors∫ 1

0 f(t) dt converge, et que si∫ 1

0 f(t) dtdiverge, alors

∫ 10 g(t) dt diverge.

3. On suppose maintenant que f et g sont équivalentes au voisinage de 1− :

limx→1−

f(x)g(x) = 1 .

Démontrer que∫ 1

0 f(t) dt converge si et seulement si∫ 1

0 f(t) dt converge.

4. Démontrer que pour tout réel α, l’intégrale∫ 1

0

(− ln(1− t))α√1− t

dt converge.

5. Démontrer que l’intégrale∫ 1

0

√√√√(− ln(1− t))sin(πt) dt converge.

Exercice 1 :1. Démontrer que pour tout x > 0, l’intégrale∫ +∞

x

sin(t)t

dt

converge. On note f(x) sa valeur.2. En utilisant deux intégrations par parties successives, vérifier que pour tout x > 0,

f(x) = cosxx

+ sin(x)x2 −

∫ +∞

x

2 sin(t)t3

dt .

3. Démontrer que l’intégrale∫ +∞

x

2 sin(t)t3

dt est absolument convergente, et retrou-ver le résultat de la question 1.

4. Démontrer que pour tout x > 0,∣∣∣∣∣f(x)− cos(x)x

∣∣∣∣∣ 6 2x2 .

En déduire que l’intégrale∫ +∞

0f(t) dt converge.

29


5. Écrire la dérivée de f . En utilisant une intégration par parties, montrer que∫ x

0f(t) dt = xf(x)− cos(x) + 1 .

6. En déduire que∫ +∞

0f(t) dt = 1.

Exercice 2 : Le but de l’exercice est de calculer∫ +∞

0

sin(t)t

dt.

1. Démontrer que l’intégrale∫ +∞

0

sin2(t)t2

dt est convergente.2. En utilisant une intégration par parties et le changement de variable t 7→ u = 2t,

montrer que :∫ +∞

0

sin2(t)t2

dt =∫ +∞

0

2 sin(t) cos(t)t

dt =∫ +∞

0

sin(t)t

dt .

3. Pour tout n ∈ N, on pose :

In =∫ π

2

0

sin2(nt)t2

dt

En utilisant le changement de variables t 7→ u = nt, montrer que

limn→+∞

Inn

=∫ +∞

0

sin(t)t

dt .

4. Pour tout n ∈ N, on pose :

An =∫ π

2

0

sin2(nt)sin2(t) dt .

Calculer A0 et A1.5. Démontrer que pour tout n ∈ N,

sin2(nt)− 2 sin2((n+ 1)t) + sin2((n+ 2)t) = 2 sin2(t) cos(2(n+ 1)t) .En déduire que An − 2An+1 + An+2 = 0.

6. Déduire des deux questions précédentes que pour tout n ∈ N, An = nπ

2 .7. Pour tout n ∈ N, on pose :

Bn =∫ π

2

0

sin2(nt)tan2(t) dt .

Montrer que An −Bn = π

4 .8. En utilisant le fait que pour tout x ∈ [0, π2 [, sin(x) 6 x 6 tan(x), démontrer que

pour tout n ∈ N, Bn 6 In 6 An.9. Déduire de ce qui précède que∫ +∞

0

sin(t)t

dt = π

2 .

30


2.5 Corrigé du devoir

Questions de cours :1. Pour tout x tel que 0 < x < 1, la fonction f est continue sur l’intervalle fermé

[0, x]. Son intégrale sur [0, x] est donc définie. On dit que l’intégrale de f sur [0, 1]converge si la limite quand x tend vers 1− de l’intégrale de f sur [0, x]∫ 1

0f(t) dt = lim

x→1−

∫ 1

0f(t) dt .

2. Par la relation de Chasles, pour 0 < x < y < 1,∫ x

0f(t) dt =

∫ y

0f(t) dt+

∫ x

yf(t) dt .

Donc pour tout y ∈ [0, 1] :∫ 1

0f(t) dt converge ⇐⇒

∫ 1

yf(t) dt converge.

La convergence des intégrales sur [0, 1] ne dépend que du comportement des fonc-tions au voisinage de 1. En utilisant la monotonie des intégrales et l’hypothèse,pour tout x ∈ [1− ε, 1[, ∫ x

1−εf(t) dt 6

∫ x

1−εg(t) dt

Comme f et g sont positives, les deux intégrales ci-dessus sont fonction croissantede g. Si l’intégraale de g converge, alors celle de f est majoré, donc elle converge.Si l’intégrale de f diverge (tend vers +∞), il en est de même pour celle de g.

3. Silimx→1−

f(x)g(x) = 1 ,

alors il existe ε > 0 tel que pour tout x ∈ [1− ε, 1[,

12g(x) 6 f(x) 6 2g(x) .

Si l’intégrale de g converge, alors l’intégrale de 2g converge également, donc cellede f aussi, d’après la question précédente. Si l’intégrale de f converge, alors cellede 1

2g converge également d’après la question précédente, donc celle de g aussi.4. D’après les limites classiques,

limx→1−

ln(1− x)(1− x) 14 = 0 .

31


Donc il existe ε > 0 tel que pour tout x ∈ [1− ε, 1[,(− ln(1− x))α√

1− x6 (1− x)− 3

4 .

En appliquant le résultat de la question 2, pour montrer que l’intégrale proposéeconverge, il suffit de montrer que l’intégrale de (1− x)− 3

4 converge.∫ x

0(1− t)− 3

4 dt = −4(1− x) 14 + 4 ,

qui tend vers 4 quand x tend vers 1−.5. Au voisinage de 1−,

sin(πx) = sin(π − πx) = sin(π(1− x)) ∼1−

π(1− x) .

Donc √√√√(− ln(1− t))sin(πt) ∼

1−

√√√√(− ln(1− t))π(1− t)

La seconde intégrale converge d’après le résultat de la question 4, donc la premièreconverge d’après le résultat de la question 3.

Exercice 1 :1. Pour tout a > x > 0, L’intégrale∫ a

xsin(t) dt = cos(x)− cos(a)

est bornée (comprise entre −2 et 2). La fonction t 7→ 1test positive et décrois-

sante sur [x,+∞[ et sa limite en +∞ est 0. Donc l’intégrale∫ +∞

x

sin(t)t

dt estconvergente, par application du théorème d’Abel.

2. Pour tout x > 0,∫ +∞

x

sin(t)t

dt =[−cos(t)

t

]+∞

x

−∫ +∞

0

cos(t)t2

dt

= cos(x)x−[

sin(t)t2

]+∞

x

−∫ +∞

0

2 sin(t)t3

dt

= cos(x)x

+ sin(x)x2 −

∫ +∞

0

2 sin(t)t3

dt .

3. ∫ +∞

x

∣∣∣∣∣2 sin(t)t3

∣∣∣∣∣ dt 6 2∫ +∞

x

1t3

dt = 1x2 .

Donc pour tout x > 0, l’intégrale sur [x,+∞[ de sin(t)t

est la somme d’une fonctionde x et d’une intégrale convergente. Elle est donc convergente.

32


4. Pour tout x > 0,∣∣∣∣∣f(x)− cos(x)x

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ sin(x)

x2 +∫ +∞

x

2 sin(t)t3

dt∣∣∣∣∣

61x2 +

∫ +∞

x

∣∣∣∣∣2 sin(t)t3

∣∣∣∣∣ dt

61x2 + 1

x2 = 2x2 .

L’intégrale∫ +∞

0

cos(t)t

dt converge, en appliquant le théorème d’Abel comme

dans la question 1. Nous venons de voir que |f(t) − cos(t)t| est majoré par un

fonction dont l’intégrale converge, donc l’intégrale∫ +∞

0

(f(t)− cos(t)

t

)dt est

absolument convergente. L’intégrale∫ +∞

0f(t) dt est la somme d’une intégrale

convergente et d’une intégrale absolument convergente, donc elle converge.5. La dérivée de f (comme intégrale dépendant de sa borne inférieure) est :

f ′(x) = −sin(x)x

.

∫ x

0f(t) dt =

∫ x

01 f(t) dt

= [tf(t)]x0 −∫ x

0tf ′(t) dt

= xf(x) +∫ x

0sin(t) dt

= xf(x)− cos(x) + 1

6. D’après la question 4,|xf(x)− cos(x)| 6 2

x.

Donc quand x tend vers +∞, xf(x)− cos(x) tend vers 0 :

limx→+∞

∫ x

0f(t) dt = lim

x→+∞xf(x)− cos(x) + 1 = 1 =

∫ +∞

0f(t) dt .

Exercice 2 :

33


1. Remarquons quelimt→0+

sin2(t)t2

= 1 .

La fonction peut être prolongée par continuité en 0, donc le problème de laconvergence de l’intégrale ne se pose qu’en +∞. Il suffit d’utiliser le théorème decomparaison. Pour tout t > 1,

sin2(t)t2

61t2.

Or l’int égrale de 1t2

sur [1,+∞[ converge, donc l’intégrale de sin2(t)t2

sur [0,+∞[converge.

2. ∫ +∞

0

sin2(t)t2

dt =[−sin2(t)

t

]+∞

0+∫ +∞

0

2 sin(t) cos(t)t

dt

=∫ +∞

0

sin(2t)t

dt

=∫ +∞

0

2 sin(u)u

12 du

=∫ +∞

0

sin(t)t

dt .

3. Pour tout n ∈ N,

In =∫ π

2

0

sin2(nt)t2

dt =∫ nπ2

0n2 sin2(u)

u21n

du .

DoncInn

=∫ nπ2

0

sin2(t)t2

dt .

Puisque l’intégrale de sin2(t)t

converge,

limn→+∞

Inn

= limn→+∞

∫ nπ2

0

sin2(t)t2

dt =∫ +∞

0

sin2(t)t2

dt =∫ +∞

0

sin(t)t

dt .

4.A0 =

∫ π2

00 dt = 0 et A1 =

∫ π2

01 dt = π

2

34


5. Pour tout a, b ∈ R,

sin(a+ b) sin(a− b) =(

sin a cos b+ cos a sin b)(

sin a cos b− cos a sin b)

= sin2 a cos2 b− cos2 a sin2 b

= sin2 a(1− sin2 b)− (1− sin2 a) sin2 b

= sin2 a− sin2 b .

En appliquant cette formule à a = n, b = n + 1, puis a = n + 2, b = n + 1, onobtient :

sin2(nt)− 2 sin2((n+ 1)t) + sin2((n+ 2)t)

= − sin((2n+ 1)t) sin(t) + sin((2n+ 3)t) sin(t)

= sin(t)(

2 sin(t) cos((2n+ 2)t))

= 2 sin2(t) cos(2(n+ 1)t) .En divisant par sin2(t), puis en intégrant entre 0 et π

2 , on obtient :

An − 2An+1 + An+2 =∫ π

2

02 cos(2(n+ 1)t) dt =

[ 1n+ 1 sin(2(n+ 1)t)

]π2

0= 0 .

6. La propriété est vraie pour A0 et A1. Supposons-la vraie pour tous les entiersinférieurs ou égaux à n. D’après la question précédente,

An+1 = 2An − An−1 = 2nπ2 − (n− 1)π2 = (n+ 1)π2 ,

D’où le résultat par récurrence.7.

An −Bn =∫ π

2

0sin2(nt)

(1

sin2(t) −1

tan2(t)

)dt

=∫ π

2

0sin2(nt)1− cos2(t)

sin2(t) dt

=∫ π

2

0sin2(nt) dt

=∫ π

2

0

1− cos(2nt)2 dt

=[t

2 −sin(2nt)

4n

]π2

0= π

4 .

35


8. En passant à l’inverse, puis en multipliant par sin2(nt) :

sin2(nt)tan2(t) 6

sin2(nt)t2

6sin2(nt)sin2(t)

En utilisant la monotonie des intégrales :∫ π

2

0

sin2(nt)tan2(t) dt 6

∫ π2

0

sin2(nt)t2

dt 6∫ π

2

0

sin2(nt)sin2(t) dt ,

soit Bn 6 In 6 An.9. De la question précédente, nous déduisons que :

Bn

n6Inn6Ann.

D’après la question 6, Ann

= π

2 De plus d’après la question 7,

limn→+∞

Ann− Bn

n= lim

n→+∞

π

4n = 0 .

Donc Bn

ntend vers π2 . Par le théorème des gendarmes, In

ntend aussi vers π2 .

Cette limite est l’intégrale cherchée, d’après la question 3.

limn→+∞

Inn

=∫ +∞

0

sin(t)t

dt = π

2 .

36


3 Compléments

3.1 La pédagogie des sourds-muetsComme la plupart des savants de son temps, John Wallis (1616–1703) avait de

nombreuses cordes à son arc. Pendant plus de 40 ans, il fut le cryptographe en chefdu parlement puis de la cour royale. Il publia aussi sur la théologie, la théorie dela musique, la circulation du sang, la collision des corps, la logique, la grammaireanglaise, etc. Il était surtout un excellent mathématicien et un formidable calculateur,capable dit-on d’extraire de tête la racine carrée d’un nombre de plus de 50 chiffres. Son« Arithmetica Infinitorum », publié en 1656, préfigure le calcul infinitésimal. Par desméthodes de calcul de séries, il obtient pour la première fois l’intégrale des puissancesde la variable, y compris négatives. Il est donc le premier à avoir compris que l’aired’un domaine non borné peut être finie.

∀r > 1 ,∫ +∞

1

1xr

dr = 1r − 1 .

Bien sûr, il n’exprimait pas le résultat sous cette forme, et ses raisonnements étaientessentiellement géométriques. Il est tout de même le premier à avoir noté l’infini par lesymbole ∞.Sa controverse de plus de 20 ans avec Thomas Hobbes (1588–1679) est restée célèbre. Ilfaut dire que Hobbes ne se contentait pas d’avoir fondé la philosophie politique (il estl’inventeur de la notion de « contrat social »). Il prétendait aussi résoudre les problèmesmathématiques classiques qu’étaient la quadrature du cercle et la duplication du cube,mais avait beaucoup mal à reconnaître que ses démonstrations étaient fausses. Quanden 1661 Wallis entreprend d’apprendre l’anglais à un sourd-muet, la comparaison nemanque pas de saveur.

I am now upon another work ; as hard almost as to make Mr. Hobbesunderstand a demonstration. It is to teach a person dumb and deaf tospeak, and to understand a language : of which he could do either, theother would be more easy ; but knowing neither, makes both the harder.And although the former may be thought the more difficult, the latter mayperhaps require as much of time. For, if a considerable time be requisitefor him, that can speak no one, to learn a second language ; much more forhim, that knows none, nor hath so much as the advantage of speech.

3.2 Un tour de passe-passe d’EulerEn ces temps insouciants où démontrer la convergence d’une intégrale avant de

la calculer ne venait à l’idée de personne, le virtuose qu’était Euler ne se privait pasd’offrir au monde savant ces perles dont son cerveau fertile était prodigue. Celle-ci par

37


exemple, parue aux commentaires de l’Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg en1761. ∫ 1

0xm−1(1− xn)k dx =

∫ ∞0

ym−1

(1 + yn)k+1+mn

dy .

Comment avait-il trouvé cela ? Facile quand on s’appelle Euler : il suffit( !) de faire lechangement de variable

x = y

(1 + yn) 1n

.

(Allez-y, vérifiez. . . )Comment Euler s’y prend-il pour calculer ces intégrales ? Admirez l’artiste. Il commencepar poser

P = xα(1− xn)γ ,d’où il tire (nous reproduisons ses expressions)

dP = αxα−1 dx (1− xn)γ − γnxα+n−1 dx (1− xn)γ−1 .

Dans la partie gauche, le facteur (1− xn)γ est récrit en (1− xn)γ−1(1− xn) ; les termesse réarrangent ainsi.

dP = αxα−1 dx (1− xn)γ−1 − γnxα+n−1 dx (1− xn)γ−1 .

Dernier tour de passe-passe : le facteur xα+n−1 devient xα−1(1− (1− xn)) :

dP = (α + γn)xα−1 dx (1− xn)γ − γnxα−1 dx (1− xn)γ−1 .

Or P s’annule en 0 et 1 : Euler déduit trois identités d’intégrales des trois expressionsde dP .

α∫ 1

0xα−1(1− xn)γ dx = γn

∫ 1

0xα+n−1(1− xn)γ−1 dx ,

α∫ 1

0xα−1(1− xn)γ−1 dx = (α + γn)

∫ 1

0xα+n−1(1− xn)γ−1 dx ,

(α + γn)∫ 1

0xα−1(1− xn)γ dx = γn

∫ 1

0xα−1(1− xn)γ−1 dx ,

Une formule récurrente, et hop, le tour est joué ! Avec en prime une foule d’identitésreliant des rapports d’intégrales à des produits infinis. . . dont la convergence ne faisaitpas vraiment partie des préoccupations d’Euler.

3.3 La courbe de GaussIl existe au moins une dizaine de démonstrations différentes du résultat suivant.∫ +∞

−∞e−x2 dx =

√π .

38


L’histoire de la courbe de Gauss remonte à Abraham de Moivre (1667–1754), qui adonné la première version du théorème central limite pour le jeu de pile ou face, enfait une asymptotique des probabilités binomiales. Elle date semble-t-il de 1712, bienque le résultat n’ait été publié qu’en 1733. De Moivre lui-même ne donne qu’une valeurapprochée de la constante qui apparaît dans son résultat, dont Stirling donnera lavaleur exacte. En fait, ni l’un ni l’autre n’expriment explicitement l’intégrale de lacourbe de Gauss, ni ne se préoccupent des questions de convergence. Il y a eu depuis,dans chaque manuel de probabilités, une démonstration du résultat. La méthode decalcul la plus classique utilise un changement de variable en coordonnées polaires. Ellea été popularisée par Ch. Sturm (1803–1855), qui l’attribue à Poisson.(∫ +∞

−∞e−x2 dx

)2=

∫ 2π

0

(∫ +∞

0e−r2

r dr)

dθ

=∫ 2π

0

[−e−r2

2

]+∞

0dθ

=∫ 2π

0

12 dθ

= π .

Auparavant, P.S. Laplace (1749–1827) avait été le premier en 1774 à fournir uncalcul rigoureux. La fonction à intégrer étant paire,∫ +∞

−∞e−x2 dx =

√π ⇐⇒

∫ +∞

0e−x2 dx =

√π

2 .

Voici la méthode que Laplace donne dans sa « Théorie analytique des probabilités ».Elle consiste à écrire une intégrale double, dans laquelle on effectue le changement devariable y 7−→ s = y/x.(∫ +∞

0e−x2 dx

)2=

∫ +∞

0

(∫ +∞

0e−(x2+y2) dy

)dx

=∫ +∞

0

(∫ +∞

0e−(x2(1+s2)x ds

)dx

=∫ +∞

0

(∫ +∞

0e−(x2(1+s2)x dx

)ds

=∫ +∞

0

[− 1

2(1 + s2)e−x2(1+s2)]+∞

0ds

=∫ +∞

0

12(1 + s2) ds

=[12 arctan(s)

]+∞

0= π

4

39


La «Méthode des moindres carrés », qui implique l’utilisation de la distribution normaledans l’estimation approchée des erreurs, a été publiée en 1805 par Legendre et en 1809par Gauss. Mais Gauss prétendait à l’antériorité :

Au reste, ce principe, dont nous avons fait usage depuis 1795, a été donnédernièrement par Legendre dans ses Nouvelles méthodes pour la détermi-nation des orbites des comètes, Paris 1805 ; on trouvera dans cet ouvrageplusieurs conséquences que le désir d’abréger nous a fait omettre.

Cette citation négligente eut le don d’agacer sérieusement Legendre, qui répliqua.Je ne vous dissimulerai donc pas, Monsieur, que j’ai éprouvé quelque regretde voir qu’en citant mon mémoire. . . , vous dites principum nostrum. . . Iln’est aucune découverte qu’on ne puisse s’attribuer en disant qu’on avaittrouvé la même chose quelques années auparavant ; mais si on n’en fournitpas la preuve en citant le lieu où on l’a publiée, cette assertion devientsans objet et n’est plus qu’une chose désobligeante pour le véritable auteurde la découverte. En Mathématiques il arrive très souvent qu’on trouve lesmêmes choses qui ont été trouvées par d’autres et qui sont bien connues ;c’est ce qui m’est arrivé nombre de fois, mais je n’en ai point fait mentionet je n’ai jamais appelé principum nostrum un principe qu’un autre avaitpublié avant moi. Vous êtes assez riche de [votre] fond, Monsieur, pourn’avoir rien à envier à personne ; et [je suis] bien persuadé au reste que j’aià me plaindre de l’expression seulement et nullement de l’intention. . .

Mais Gauss persiste et signe.Je n’avais pas l’idée, que M. Legendre pouvait attacher tant de prix à uneidée aussi simple, qu’on doit plutôt s’étonner qu’on ne l’a pas eue depuis100 ans, pour se fâcher que je raconte, que je m’en suis servi avant lui ?

Le différent n’est toujours pas réglé. Sans vouloir jeter de l’huile sur le feu, un troisièmelarron, beaucoup moins connu que les deux précédents, a lui aussi publié la méthodedes moindres carrés, en 1808 sans connaître les travaux des deux autres. Il s’agit deRobert Adrain (1775–1863), mathématicien américain d’origine irlandaise. Comme ledit B. Hayes 1,

One obvious fact is that it can be very hard to get noticed when you arestanding on the farther shore of the ocean, no matter how vigorously youwave your arms. Another truth, even more bitter, is that it’s also very hardin those circumstances to do anything worth noticing. And yet there is amore cheerful outlook, at least for those who can afford to be patient : Theworld turns, and eventually the farther shore may become the center.

Sachez aussi que Adrain s’est fait licencier (à 59 ans) de son poste à l’université, car ilne parvenait pas à maintenir la discipline dans ses cours.

1. B. Hayes : Science on the farther shore American Scientist 90(6) p. 499–502 (2002)

40

intégralesconvergentes - ljk.imag.fr · maths en ligne intégralesconvergentes ujf grenoble 1...

Documents