institut des sciences nuclÉaires de grenoble
TRANSCRIPT
V F&SOC? S>OS<j 1 Université Scientifique et Médicale de Grenoble
INSTITUT DES SCIENCES NUCLÉAIRES DE GRENOBLE
53. «venue des Martyrs - GRENOBLE
I.S.N 79.31
QUELQUES UTILISATIONS DES
PHONONS COMME ENTITES DE
BASE DANS LA CONSTRUCTION
DES ETATS NUCLEAIRES
•traarj SILVESTIE -MAC
Tho$* d Etat soutsnu* l« 22 mai 1979
Laboratoire associé à l'Institut National de Physique Nucléaire et de Physique des Particules.
T H E S E
ptiicntie
A L'UNIVERSITE SCIENTIFIQUE ET MEDICALE DE GRENOBLE
poun obtwiA
LE GRADE DE DOCTEUR ES-SCIENCES PHYSIQUES
pan
BERNARD SILVESTRE-BRAC
QUELQUES UTILISATIONS DES PHONONS COWE ENTITES DE BASE
DANS LA CONSTRUCTION DES ETATS NUCLEAIRES
Soutenue te. 22 Uai 1979 devout ta ComUiion d'Examu!
MM. K. ARVIEU Président
R. PIEPENBRING I
Z. SZÏMANSKI I > Examinateurs
t. ABGRALL \ A. ZUKES I
UUVtR-JUE SClEMIFHJlK EI MEDICALE DE GHENUBIfi
M-m»U-ur G a b r i e l CAP : P r * i l d v n i
MEMBRES PU CORPS EHSE1CTAKT
PKurESSEVRK TlTt'LAIRES
(U. AMILARD Pierre AHMtOlSE-THlHMS P i e r r e
AHXAL*D Paul
ARY1EV Robert
Al'BERT Guv
AYAST Yw>*
M-rc KAHMER M j r U - J e a n n e
TOI. BA«IHEK .U-.itfM.iudt
HAKUIEH Hi-vn.-M
BAR.luK R.bcr l
BAHWl'D K.-fiiiiut
BARKA Jr-in-Rftii-
DAHKli: Jo*iph
RKAI'1«»ISC. Vmtrf
UKLoKUKY t l U
BKXZAKEK CI JU.If
fERSAito \ i . t i n
H-ir BERfRANDIAS FMn(. . i»( -
Mît. 1FRTRAHD1AS k-4n*Pau|
REZES Henri
MLLFT Jean
BUXRHtT Mauri ic
1i*SCT l c * r . - U u U
a«wsET-n»«iii» jvtvph * i V BONNIER J*.-au»v.1*llv
VM. BOVCHERLE ArtJr*
PdVniEZ Robert
BiWTCT DE HiMVEL L o a l s
B8AVAKD Yves
CAFAXEL Ruy
C t i n (que d« dsrnat -< lA4l«
P a n t i t at o g l e
C h l » U
I . S . 8 .
P h y i t n o e
Phyt lquc approfondi t -
Phy i lquc Expt f r lncnta l r
t îéi>lj | l l« a p p l i q u é e
Phys ique i t u d l a l r t -
• l o s ï n t h l - M «Jo l a a ' U u l . . . -
S tn t l i t lqut fH
i : l i n l q u * c h l r u r s l c a t i r A
(.HitlyitP d e Pft l tat rlk> v\ p u f r L u l t u r c
Piiv.lqtiv
Hiith^natlquvti appt iqu*v>
aat t i# iMt iqu«* P u r t *
H a t M r a t l q u v h Pure»
K»th£natlqii«>« p u t e »
Cllutqtt<< « h i r o t f . t t a t f v t Trautm*l«<!iiie
Cd***raphio
Hath&natiqtMiK p u r e *
Cl t i t tquo (tphtalA»l>**tquf
i:ltiti>|u« Utfpatt>>i|astrt»m>lCt»liifit^bp
Chial« x^néralc
C h l a l c « i T o x t v o l o R i e
P h v l q u * n u c K a i r v
Hat l i i fNLlques Pur»ft
l iCcgraphlc
r t U l q u r rht&tatol.'tflqu^ t l hydro l . i < i q u .
u
. CALAS F r a n ç o i s
CAKt.lEK GcriTgv»
OKKAZ G i l b e r t
CM' G a b r i e l
CArtJtlS C<-«rçv»
CURACflOK Rjfcvrt
OIATEAI' ftVhert
CHIBWJ P i e r r e
o c r * An4r<
r*niJElic f i « r r e
a « M £ p i t r r *
XiLSEUKS J « < . q « «
M G R A X E o i i r i c n
« W R î t t s PU-rre
OtPcKItS C h i r l e »
ltt!*t FUtTV
mm i a i^ . i ««
t ^ L i q i t J e t n - M l i h s l
KEVFVS Bernard
l - t m i w P i e n u
f"NTAl\E Jr . in .r ir>
c*,\kl*z Oidivr
f-ALVAM rt^tl.t
. A . i l lXU. S ^ l
i.AVENI» I K h c l
CEIMMC « U n c i
CERBHl R . b t r t
CBaiAIX J r a n - P l v r r v
i.lttAl-D P i e r r e
I A X ] * : Hcrnard
J : - n U7ai.-R.Hv
SAH.V.T AndrC
»LEIS J*c«|-H
WSJT1 J r a n - L x u l .
<*M TVltESK.) J » U « i
U < » £ E A l ^ r t
l.iiitAKKK In«n
« UU7«3WU3CZ Jan ine
--A.-nr;y.r «,..,<.
A i t a t A t t
lkrtl.>ai» vesta l *
K i i t l c g l * anl-.*!*- «-I pnaT=a(<.Jyna*ir
K M c c l n * K ^ a t v «I i ^<l t . l - ^ i r
U l l a i * . W I ^ I I I ^ U V
C l i n i c * iH.wthIO>»l*(vn l [ .> l iqt i^ur
C l i n i q u e 49 n r u r » I - v i v
B t » l ( s t i « auaaal>>
P h a m t a i * i h l - a l ç u c <-i ^hit t ir a t M l y l l q u i
k n a t i n l c p a t h ^ i . ^ i q u e
C.E.R.H.O.
(.«.tl.^ic téntiaU
P n e u - w p h l t e i . l . M «
C h t m * a t r r f r a l *
.•Mt4llUr htr
K4vani4u* appl iq '<ro ( l i r ;>
p h y t i q u t d*» p l a n i u k
TtirraM^Tfiaïlqur
iil*tallivjap*tii-
Matrix Pure»
<( i l - i«- rb>*t^ur
A n a l y s e Oj->#fi-»-^
Pharua* • t | » e t «
l i t b é . i a t tquL'k por»-»
ÎM< tni ' iur
Cv.(<ffap(tiv
*fjt>-.'-natiqu«-* putt"i
P h / t i q u c K r i t f A l t
Maihé u : l < ; u f . |.i«r*->
K a t h é > a t l i i . r h imr*-»
»!.". ifti-iue
Thct •> nt"n i- . iq.ir
31 >l••<•*' . « « « t a l t -
MM. lATL'RAZE Jt'.in
LAMENT Pierre -J i - . i »
I.K RllV P h i l i p p e
LLIBlH'TRY Lou I»
LOI SEAUX Jean-Marie
LDSfiEQUEUE l e a n - P i e r r e
l.m-l» Jean
« l v UTK E l i s a b e t h
MM. KALISAS Yves
MARTIN-NOEL P i e r r e
HAYNARD Rxitvr
MAZARE Yve i
MICHEL Robert
MICOt'O Max
HOt'HiqUAND Claude
MOl'SSA André
NEGRE Robert
N0Z1ERES P h i l i p p e
nZES'DA Paul
PAYAS Jean-Jacques
Pl'MY-KYROl'LA Je»»-Ll.»ude
t'ERRET Jean
HACHAIL Michel
RASSAT André
RENARD Miche l
REVOL Miche l
Mme RINACDO M a r g u e r i t e
MM. DE ROUCEHoNT Jacques
SARRAZIN Roger
SEIGNEL'RIN Raymond
SENCEL P h i l i p p e
SIB1LLE Robert
SOl'TIF Miche l
TANCHE Maurice
VAILLANT F r a n ç o i s
VALENTIN Jacques
VAS CL'ÎSEM Bernard
VAUQl'OIS Bernard
".-* VERAIX AU.»-
B i o c h i m i e Phannaivut tqur
Mathématiques a p p l i q u é e s
Mécanique <U'T 1)
d é o p h y i l q u c
S» l e n t e * m u t é a i r e s
P h y s i q u e n u i l é a i r e • I . S . S .
r . iot;raphlc
Mathématiques pure»
C l i n i q u e o b s t é t r i c a l e
C l i n i q u e cardli>l>i£tque
Phys ique du s o l i d e
C l i n i q u e WiMUale A
: i l n é r * l o & l e e t P é t r o g r a p h i e
C l i n i q u e M a l a d i e s I n l e t - i l e u s e s
H i s t o l o g i e
Chimie n u c l é a i r e
Mécanique
Spectrometry Physique
Botanique
Mathématiques p u r e s
P h y s i q u e
s é m é i o l o g l e M é d i c a l e « e u r o l - n
C l i n i q u e Médica l e •
Chimie s y s t é m a t i q u e
rh • t mody nara t q ue
U r o l o g i e
Chimie n a c r o m > l é c u t a i r «
N e u t o - c h t r u r g l e
C l i n i q u e c h l r u r g l i a l c •
M i c r o b i o l o g i e e t Hy«i«n*
Z o o l o g i e
C o n s t r u c t i o n mécanique ( U T II
P h y s i q u e g é n é r a l e
P h y s i o l o g i e
Z o o l o g i e
Phys ique N u c l é a i r e
Mathématique» a p p l i q u é e *
V.aïtiiViatLçuuii . i p p l i V ' é c t
' " ' « » - " • ( ' . . l i fuiq-e
1 h
MM. VEM1X André
VETRET N u l
VICMAIS P i e r r e
BLophvstqur
G é o g r a p h i e
B l . K h l s l * e=édU
PRiH-SSSEntS ASSOCIE?
MPT. CREES* Richard
m m i Walter
SZYMKtSKI Z d X i s U u
B a s t e * Tcpérat»>rr«
( t Lï t - t l l -vr- i f - t i l c
[ n * t l l b l i !e- S» l i -nn
PKtf tStq-RS SANS CHAISE
*!l«tK;MVS>DEU*D C l a u d i n e
ALARY J o s e t t e
MM. AttMAX) C l l b c r t
KXZAKEX C l a u d e
BIMLZ J e a n - r i e r r v
B1L1XT Jean
•aXMET Yves
• t lCEL L u c i e n
•t'ISSAC Rdf i t r
t r i U Jean
CSUUUKW M l t h r l
Ci*E3l-ADDAD J e a n - P l c r r
CtXffllI MSwrUe
CflXIE René
DELCIKL Claude
DEFASSE! Rouer
CATTKOM René
C I K K Paul
CLEXAT René
CKOnASE J o s e p h
HA0Q1ZS Gérard
HOLLAED D a n i e l
MCCNOT Robert
13EUW3 Sltih.m
JALKXT P i e r r e
JTWCS P i e r r e
i h i - t e « m U i t q i - r
t.x 'nrjj .hl»
M*lh*r*t t q w . i app l i • : *'•• -
« . . i n i q u e
fîî-graphie
AliJlOr-i.-
Lr.«r*-eti<^e • ICI 1 1
PtivtHfur UI'I I >
. - r t h - ^ J i c
né v r a r h l c
,;*•. t r W t t U {.tr.*iqM
B i . n h l ^ l e •sé i l l .aU-
Ph>*lque <I! I | 1
M . t . A . C .
Xé t . in ique de* ( l> . idr
C h i - l e
Cé . ) l . ' i l l e e t Minerai *itie
I h t = l « «r «unique
B i - u h l n l e s é d U - i l *
C i U u l n i t r i q u e
H ^ j t o l ^ i e
HviClène e t KtCK. in.- ;<tt.-.
P h y s i o l o g i e a n l - j l < -
Hl*t .> l . ' t t le
•fatfcr--atiq--v« Jî'J-I-; ' • '
K11IS Uvf.ii-'l
i !•> net i u.-il.-
«1A> HI Ki'-.-.l .
MANM MAI- 1. in
y\> .H'TUKK I.-.iri
v i \ n K r . . | i - t i i-
rhiviisi I. .m
I'lKNIADf )•• i n - l . i t i i . i i " .
it ; s rf.H i. .m-» t i...i«
r i l . i v Y i . i t .
MINAI'» ll.-t . .
- im.HJ .l.i.-l'if-
>-'> YVnMl .!. lli-<l..li le-,
i; I' HAKIl I.m •> ii
• \KKi'l'-Kl.YNAl l.ll IV.IM
. IHt'l I. -
•-m MV ],-.illin
s ' I M i l . l l ? P n.I
VIVI.i'N | ' l t I K
' ïttt-. tt_K ciWKVRKSi'C'. M NAIVKI.S
I'M, . i . r „ .
* ! I I V - , U iqttv- . i | . , . [ i .n
|'1i,-.i.,„,- l l l ' l I )
• Ill-nil- .r*Hlil<*f - I'l
I I I '.-If M--.'. t i l l -
• • . . .» - . . .„• • HI I )
I'tti -l.i.-i- H I T I )
I'll , i i | n (ITT I I
i l -.'• .1 . , t . ,•
I. i n n - jt. * ItU.
I. . .1 . . , . . An I .11.
I. I . A,I . ,
II 'I ,-.U tl'l'S»
III. .1 i , I 'n . ' lJ l .
It -1 . . . >.-... I..U-
(HMAH«1K Hi) n"-
(11IAU.K1NA 1.-.IH
«•WEN ll.-nri
i «*I-ÎN DL VIStDlEKi: '
i I I M A K I N « h.irlt-s
i 'tKIhrVNItH l».ii»t«'l
• .«l'îiWB » l i '
• « " . z i : i <•• L,.
t. i!jtKAitii>
. M i n t 1 i.
'. ' V . . -
: - ' i . f : . : . H i .
Rt .1 . . . . . . , . , .11.;'.
!. . .i'i..t- .it. - l i . : .
f n - i I.-. . i . .«•••• •. • ! .
"•AMI \ \ , -
VI V U Ir.ll V;- :AV: : . \VK. 'V . i .
WI-;MIin AH -I.»
BKKIH. H.* It-it-
•. , IP! Hit 1-1 l.ll'
. s; "in h«-1
' 1 ' i . l l A H U : h . . h
n<- . i n : l u » . -
HI.KNAHD r u ' t t . -
> UAIHA? . t o - m i
HAVI'KIIKB 1.-"i
• : ( . - • ' - 4 i . i t :
IVWAVi/ulf. i»«i
1'S'fll.S Bi-tit- i l L i . i . ! ' •
U
m. PHEUP Kavler
HAClHtT Claud*
RAMMUb Pierre
RAPHARL lernare
H M H U M A I T J i E f i i l l n t
M l , ROtERT Jean-tarnere
SAKAROVITCK Hichel
8CKAUKI Ran*
Mme SEtGU-MMAHDl Prawçotiie
HH. STOERNE* P le r ra
STUT2 F t e ( f e
VKQUSQS Com»t*ntIn
RliUM10l6Kl«
G y n f e o l e t l * « l Ohate t r lae t
P M U t r l e
3t6*atoloe, le
l i c U r L o l o t U ( I t i n i ï i t )
c b t » i e - P W s t « * t
Hatha •ppUf. i 'eea
C a n c l r e l e f l *
C r y p t o * * » ! *
A * a * « a U r a t k » l « c ( «
MtcMl f j» *
R a e l e l o t L *
HAITRK ft* COMFHEICtf ASSOCIE
H. StuNEY Stuart H a t M a a t l e u a t pures
MAÎTRE ME cmmacnBELnsyt
H. RQCHAÎ Jacauea Xyf t l«M e t «yaro lvgte (Pheraaxt * )
MR5M.HAUT» HAULITtES PAR U CONSEIL SCIEHTIFIQ11 DE t ' L ' . S . H . C . A E l i t
DIRECTEURS W THESE l
. RELAKHOVSKY H U h e l
BIAREt Jean-Pierre
ROEMLtR Jean-Pierre
lots ïhiupp.
B O L U t î U w t k
IDL'RXET Alain
UOUEAU François
CHAH8EM» AnUrii
CKAHBROH U l l l l a i >
CHAFPERT Jacques
e CttAÎCllN Françoise
. COUKT j u i n
DELAYE Jcan-Harc
CEMC.Htr/ChlMe phyalqv* n u c M a l n
Professeur Mécanique
H > . tKcanlqiK
Mécanique
PTOÏ.USS 1UT II Informatique
CEMG-WPhys lqu» sol ide
Prof.USS Hs th i «ppl lquêrt
CENG/DRF/rhynique so l ide
CENC/DRF/Wiyalquc so l ide
CENG/DJtF/Chimie physique nue l i a t i c
t roCUSS Hatha appliquées
H.A. Chimie genera l *
n
M. KSCtAVX Jean-Paul
K M a C O U n a
WC-JMQOKT « f t
• W t t M O f A l a l a
C U I R J M « > F U r f «
« t t f l « U l a
I I L L A I M T Jacques
J D M A M tfcUlppe
KLEITZ H lche l
M M t t J W J V J t t A H K T Hoala.ua
JtU U H D U C Harcel
t n O E M B U l Jean
ucmaaiu HAIS — U H Beraare
HOKMkOI Paul
HOSt> P i e r r e
K C O O n Prencols
ttrano pitar»
F I R M E J r * * - L o u l e
P J M i n Iwan
poeei Anew
K I M I S O Jean
H U I T Raoul
ROHICR Çuy
•OSSAT-NICW» Jean
tOUAOIT Jacqwc»
SAXO» MlTBMd
SflRHKt Jean-Louis
STSCI IUM Hichal
TAKE H lche l
TEOTLE l o t x r l
VALUM H l c h i l
VILLAIN J .
VIVIAN aobcri
» » * ZT4.L
F a i t A Salr.t K a r t l n «I
CEHG- 'MF' rM. i» H<V%IQUV> n u i U a t r r
SSlIis pures
H.C.CSS Hsihs apf.11 qu i *»
Plb.h* para*
H.A. H f C M l q v *
C E S A t P f l l J I j a .
C E X / H t F / T V i l e u e s v t i e e
M.A. ORIS H a t » * appliquée»
Ha t i r a m h . C j a s ENStffi
Hatha petes
Ceo lup i * A lp ine LA W
Prul .Hoo. Ccol« nines Saint E t i t n n * ••«•»•
C E » / B t r / r h r * l q u * so l ide
N.C.Vt* Hath* appliquées
H.A. Zi»ta«t*
CE3r,/DRP/phy«l^u* »«U<S«
N.C. VSS Path» applàquiv i
C fVC/MF/Ca la la physlqwv nuc léa i re
H.A. C h U l r
Attacha r « « h . HATMS appliquée^
tn^Atlaur (JUS C4eptey«l<)kr
H.A. Chlmlm tutHejmlv
Hatht appl iquât»
Pr>il. l'SS Hatha *pfi| iq.,£t-*
C E K ' O R P ' D I f f r ^ r t i o f i nruirtntlqut.
U.C. L'SS nath» a p ^ l i q u i r *
n.A. 2<Mloit l*
H.A. ChtMl* CKSCeC
CESC /otr/a«™t»ioKi*
Chtala
rE»/Rai$ l«* i (> l '>xU
H.A. Céophyfctqur
CE»;/WF/Ditlrjittinn nruw -di^ut
H.A. C i o u r j ^ l . i i
P h a t M c U DIJtiN t f J T l i î r r c d à i a l r )
INSTITUT NATIONAL POLYTCrwTQUE DE PREWOOLC
Président Vice-Présidonts
M. Philippe TRAYNARD M. Georges LESPI.NARD M. Rene PAUTHENET
Année Universitaire 1973-1979
PROFESSEURS TITULAIRES MM BENOIT Jean
BKSSON Jeon BLCCH Doniol BONNETAIN Lucien BONNIER Etienne •BOUDOURIS Georges BBISSCNNEAU Pierre DUYLE-BODIN.Maurice COUKES AncY* DURAND Francis FELICI Noel FOULARD Claude LANCIA Roland LONGECUEUE Jean-Pierre LESPINARD George» MOREAU René PARIAUD Jean-Charles PAUTHUNET René PERRET René POLOUJADOFF Michel TRAYNARD Philippe VEILLON Gérard *en congé pour ôtudos,
PROFESSEURS SANS CHAIRE MM BLXKAN Samuel
BOUVARD Maurice COHEN Joseph GUYOT Pierre JOUBERT Jean-Claude LACOUME Jean-Louis ROBERT André ROBERT François SABONNAOIERE Jean-Claude ZADWOWY François
MAITRES DE CONFERENCES MM ANCEAU François
CHARTIER Germain Mme CHERUY Ariette
CHIAVERINA Jean IVANES Marcel LESIEUR Marcel MPRET Rager PIAU Jean-Michel PIERPARO Jean-Marie
Mme SAUCIER Gabrielle SOHM Jean-Claude
Electronique - Autosiot ique Chiirie KinSrole Physia-io du Srlide - Cristallographie Gcn-.* Chimique Métallurgie Elactronique - Automatiaue Physique du Solide • Cristallographie ElectroniiL-9 - Automatique Ele^troniq-n - Automatique Mctollurqie Electronique - Automatique Electronique - Automatique Electronic e - Automatieue Physique N eléaire Corou^culaire Méronirçuo Mécanique Chimir.Physique Elactronique - Automatique Eloctronique - Autnmotique Electronique - Automatique Chimie - Phytique Informatique fonnamnntale et appliquée
Electronique - Automotique Renie tëé» arique Electronique - Automatique Métallurgie Physiquo Physique di> Solide - Cristallographie Electronique - Automatique Chimie Appliquée et des Matériaux Analyse numérique Electronique - Automatique Electronique - Automatique
Informatique fondamentale et appliquée Electronique - Automatique Automatique Biologie, 1'.ochimie, agronomie Electronique - Automatique Mécanique Physique nucléaire - corpusculaire Mécanique Mécanique Informatique fondamentale et appliquée Chimie Physique
INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE
CHERCHEURS DU C.N.R.S. (Directeur M FRUCHART Robert
MM ANSARrt Ibrahim BRONOEL Guy CARRE Roné DAVID René DRIOLE Jean KLEITZ Michel LANDAU loan-Doré t-£RMET Jean HUNIER Jacques
Personnalités habilitées a diriger Conseil Scientifique)
E.N.S.E.E.G.
MM BISCONDI Michel
BOOS Jeon-Yves DRIVER Julian KODYLANSKI André LE COZE Joan LESDATS Pierre RIEU Jean SAINFORT SOUCUET Jean-Louis
CAILLET Marcel COULON Michel GUILHOT Bernard LALAUZE René LANCELOT Francis SARRAZIN Pierre SOUSTELLE Michel THEVENOT François THOMAS Gérard TOUZAIN Philippe TRAN MINH Canh
E.N.S.E.R.G.
MM BOREL Joseph KAKARINOS Georges
E.N.S.E.G.P.
MM BCRHARD Guy DAVID René DESCHIZEAUX Piarre
E.N.S.I.M.A.G.
KM COURTIN Jacques LATOMBE Jean-Claude LUCAS Michel
et Mottros de Recherche) Directeur de Rechercho
Maître de Recherche Maître de Rechercho Maître de Recherche Maître de Recherche Moître de Recherche Maître do '(«cherche Maître de Recherche Maître de Recherche Maître do Rechercho
des travaux de recherche (Décision du
Ecole des Mines ST ETIENNE (déçt^Métol-
Ecole des Mines ST ETIENNE (Métallurgie! Ecole des Mines ST ETIENNE (r-ictallurgiej Ecole des Kinos ST ETIENNE (Métallurgie) Ecole des Mines ST ETIENNE (Métallurgie' Ecolo dos Minos ST ETIENNE (Métallurgie; Ecole des Mines ST ETIENNE (Métallurgie) C.E.N.Gronoblo (Métallurgio) U.S.M.fi.
E.N.S.E.E.G. (Chimie Minérale Physique) E.N.S.E.E.G. (Chimie Minérale Physiquo) Ecole des Mines ST ETIENNE (Chim.Min.Ph) Ecole des Mines ST ETIENNE (Chim.Min.Ph! Ecole des Minos ST ETIENNE (Chim.Min.Ph) E.N.S.E.E.G. (Chimio Minérale Physiquo) Ecole dos Mines ST ETIENNE (Chim.Min.Ph) Ecole des Mines ST ETIENNE (Chim.Min.Ph) Ecole des Mines 5T ETIENNE (Chim.Min.Ph) E.N.S.E.E >. (Chimie Minérale Physique' Ecole des lines 5T ETIENNE (Chim.Min.Ph)
Centre d'Etudes Nucléaires de GRENOBLE Centre National Recherche Scientifique
Centre National Recherche Scientifique Centre Notional Recherche Scientifique Centre National Recherche Scientifique
Université des Sciences Sociales Institut National Polytechnique GRENOBLE Université Scientique et Médicale GRENOBLr
r REMERCIEKNTS
Un travail de thèse est rarement le seul fait de son
auteur, le mien moins que tcut autre. Conscient de tout ce que
je dois à de nombreuses personnes, je tiens a leur adresser
mes remerciements les plus profonds. Que chacun s'y reconnaisse.
T.S.V.P.
Jo sais que de nombreuses personnes visées par ce touchant
éloge sont modestes et n'acceptent pas de s'y reconnaître. Je
vais donc ébranler leur modestie.
Mr Piepenbring m'a constamment suivi sur la dure route
qui m'a conduit 3 mener à bien les travaux exposés dans ce mé
moire. Combien d'heures avons nous passées ensemble à essayer
de faire converger vers le même résultat la même formule atta
quée initialement chacun de notre côté ? Combien de fois suis-
je entré dans son bureau assailli par le triste sentiment de
stagnation de mon travail et en suis-je ressorti le coeur un
peu plus léger ? Je ne puis exprimer ici toute la gratitude
que je lui témoigne.
Mr Arvieu s'est toujours intéressé à mon domaine de 'recher
ches. Mous avons eu très souvent l'occasion d'échanger nos
points de vue et sa large vision de Id physique m'a quelquefois
permis de mettre au clair mes idées. Il a accepté de présider
mon jury, qu'il en soit remercié.
J'ai pu apprécier le savoir et la disponibilité de
Mr Szymanski lors de sa visite à l'Institut des Sciences Nu
cléaires. Toujours prêt 3 la discussion, il m'a, par son sens
aigu de la physique, permis de comprendre certains points fonda
mentaux qui restaient encore vagues alors dans mon esprit. Sa
présence au sein de mon jury est la preuve de son intérêt pour
mon travail et m'honore particulièrement.
Mr Abgrall a bien voulu accepter de faire partie de mon
jury. Il a lu cette thèse avec beaucoup de soin et de conviction
montrant par là même tout l'intérêt qu'il porte à l'ensemble
de mon travail. Je lui en suis très reconnaissant.
Au cours des discussions que j'ai eues avec Mr Zuker,
j'ai pu me rendre compte de sa haute compétence en ce qui concer
ne les domaines variés abordés dans ce mémoire. Il a accepté de
siéger parmi le jury et je l'en remercie vivement.
Je n'aurai garde d'oublier d'associer Mr Liotta â cette
these. Je lui dois énormément en ce qui concerne l'apprentissa
ge de la théorie du champ nucléaire. Toute la premiere partie
de ce mémoire n'aurait pu voir le jour sans son impulsion ini
tiale et ses encouragements constants. Je déplore profondément
que des règlements tatillons ne m'aient pas permis de le choisir
comme membre du jury. Qu'il conserve néanmoins toute mon estime
et ma sympathie.
Mr Lombard a porté un intérêt constant à Mes travaux de
recherches. Il a lu avec beaucoup de soin et de patience le
manuscrit de cette thèse. Ses commentaires et critiques judi
cieux ont été très appréciés.
Mr Boisson m'a beaucoup aidé en ce qui concerne l'aspect
numérique de la seconde partie de ce mémoire. Sa longue expé
rience en programmation m'a été d'un secours inestimable . Qu'il
en soit fortement remercié.
Je me dois d'associer à ces noms la longue liste de mes
camarades du groupe de physique théorique et du service calcul
de l'Institut des Sciences Nucléaires. Je les ai toujours trou
vés prêts à résoudre les points techniques délicats qui se sont
présentés â moi. A tous je leur adresse ma profonde gratitude.
Enfin, je tiens â remercier Mme Dimitrieff pour avoir
réalisé une partie des figures et Mr Larruat pour les tirages
photographiques correspondants. Mme Guglielmini a fait preuve
de beaucoup de patience et de gentillesse pour la frappe de ce
manuscrit ; c'était un gros travail qu'elle a mené à bien.
Qu'elle trouve ici exprimés mes plus vifs remerciements.
TABLE DES MATIERES
MROWCTÎON 1
PREMIERE PARTIE s LA THEORIE VU CHAMP NUCLEAIRE 7
CHAPITRE I - JUSTIFICATION THEORIQUE DE LA THEORIE OU CHAKP 9 NUCLEAIRE
CHAPITRE I I - FORMALISME POUR LE SYSTEME A TROIS PARTICULES... 23
H a Introduction 23
l i b Energies 30 I l e Normes et relations d'orthogonal ité 37 II d Facteurs spectroscopiques de transfert d'une 41
particule I I e Probabilités de transition êlectromgnétique 42 I I f Théorie du champ nucléaire pour le système à 50
t r o i s trous
CHAPITRE I I I - APPLICATION A UN MODELE A UNE SEULE COUCHE.... 52
CHAPITRE I V - UN CAS "REALISTE" EXACT : LE 9 1 N b 6 1
CHAPITRE V - UN CAS REALISTE APPROCHE : Le 2 U P b 7 5
CHAPITRE V I - CONCLUSIONS 9 1
DEUXIEME PARTIE .- LE M0PELE EN COUCHES A VEUX ETAPES 9 3
CHAPITRE I - EXPOSE GENERAL DE NOTRE METHODE 9 9
I a Le pr inc ipe général 99 I b U t i l i s a t i o n d'une base tronquée 1 0 2
I c Ut i l i sa t ion des Ham)ltoniens aoprochês 103 I d Méthode MCM 107 I e Comparaison de notre méthode avec le HCH e t le 108
WCM
I f Calcul des observables 110
CHAPITRE I I - SYSTEMES A TROIS PARTICULES IDENTIQUES : THEORIE » «
l i a Calcul des matrices A et û 114 II b Techniques de calcul 118 II c Facteurs spectroscopiques de transfert d'une 121
particule II d Probabilités de transition électromagnétique . . . . 122 II e Application au modèle de l'Appendice C 123
CHAPITRE I I I - SYSTEMES A TROIS PARTICULES IDENTIQUES : 129 APPLICATIONS
III a Le 2 0 5 P b 129 III b Le Z U A t 133 III c Le 2 U P b 136 III d Etude de convergence 141
CHAPITRE IV - SYSTEMES A TROIS PARTICULES HON IDENTIQUES : 1 6 ° THEORIE
IV a Choix de la base 160
IV b Calcul des matrices A e t A 162
IV c Facteurs spectroscopiques de transfert d'une 165 parti cule
IV d Probabilités de transit ions électromagnétiques 165
CHAPITRE V - SYSTEMES A TROIS PARTICULES NON IDENTIQUES :
APPLICATIONS 160
V a Le Z 0 5 H g 168
V b Le 2 0 5 T 1 n o
V c Le " Po 172 2 1 1 B 1 V d Le "*B1 175
TROISIEME PARUt i LES ETATS WLTJPHOHOHS COLLECTlfS K" • 0
VANS LES HOVAUX PEFORf'ES 181
CHAPITRE I - L ES ETATS K " = 0 + C0LLECTIF5 : THEORIE 186
I a Définitions 186
I b Calcul de la norme 188
I c Calcul de <k |T | p > dans 3? 192
I d Approximation bosonique d'Holzwarth 202
CHAPITRE I I - LES ETATS K * » 0 + COLLECTIFS : MODELE SIMPLE . . . 207
I I a Ftudp de la norme 208
I I b Etude dynamique dans l'espace de fermions 215
I I c Etude dynamique dans l'espace de bosons 221
CHAPITRE I I I - CAS REALISTES 224
III a Choix du modèle 224
I I I b Diagonalisation "exacte" dans l'espace col lect i f . . 232
I I I c Méthode de «arumori modifiée (MM) 246
I I I d Méthode de Kishimoto et Tamura 2 50
CONCLUSIONS 259
APPENDICES 262
APPENDICE A - Développement perturbatif de Brillouin-Wigner
appliqué i la NFT 262
I
A P P E N D I C E B - Etude détaillée des propagateurs F et G a>9
APPENDICE C - L'état U , I =• 3j - 3 > dans le modèle en couches. 276
APPENDICE D - Queloues éléments sur les développements bosoniques >A?
a - Généralités d2
b - Variante du BE de Beiyaev-Zelevinski .337
c - Variante du BE de Marumori -29s
APPENDICE E - Orthogonaiisatlon canonique 304
REFERENCES 308
1
INTRODUCTION
Tout noyau atomique est composé de protons et de neu
trons en interaction. C'est un animal fascinant que le physicien
nucléaire rêve de connaître et de domestiquer; mais c'est aussi
un animal farouche qui se laisse difficilement approcher et qui
se joue le plus souvent des pièges qu'on lui tend. Pour réussir
dans son entreprise, le physicien doit réunir trois conditions
absolument indispensables:
- connaissance du terrain où erre l'animal
- connaissance intime de ses habitudes et de son mode
de vie
- mise au point d'une arme efficace pour capturer la
bête, si possible avec un minimum d'effort.
Le terrain d'adoption a été cerné assez précisemment
depuis les années 1925 : il s'appelle mécanique quantique. Si
par malheur l'animal a élu domicile autre part l'état actuel
de nos connaissances ne nous permet pas de décider dans quelle
direction porter nos regards. Plus précisemment, nous croyons
même pouvoir restreindre notre activité investigatrice 3 un
domaine plus limité qui a pour nom mécanique quantique non rela-
tiviste; mais sait-on jamais l'animal est si rusé et présente
tant de faces nouvelles chaque jour. C'est vraisemblablement
derrière une équation de SchrSdinger que nous avons le plus de
chance de rencontrer notre fortune. Nais des équations de
SchrSdinger il y en a légion; derrière lesquelles se trouve
l'animal particulier que nous recherchons. La réponse suppose
une connaissance parfaite et sans faille de ses habitudes, mode
de vie, et autre moeurs,en un mot de son Hamiltonien.
Tout d'abord, nous sommes incapables de dire si oui
ou non il existe des forces 3 nombreux corps. Si par le plus
2
grand des hasards la nature n'avait voulu retenir que des forces
â deux corps, encore faudrait-il les connaître de façon détaillée.
Or bien que des années de dur labeur aient été consacrées â cet
te étude, il nous faut bien reconnaître que nous n'en sommes pas
encore au point d'écrire l'expression unique et sans bavure du
potentiel nucléon-nucléon.
Admettons pour un instant- il n'est pas interdit de
rêver - que nous connaissions sur le bout des doigts tout cela.
La phase d'approche peut être considérée comme terminée, il nous
faut à présent bondir sur notre proie et la saisir, en d'autres
termes résoudre l'équation de Schrôdinger. Hais avec quelle ar
me ? Il semble bien que la meilleure sur le marché actuellement
soit les techniques du problème a nombreux corps (appelé N-corps
par la suite) et la seconde quantification qui en découle.
Dans ce domaine également, de multiples progrès ont été accom
plis mais on doit admettre malgré tout que la technique n'est
pas sûre a cent pour cent. Si, malgré un tableau aussi pessimis
te, notre ardeur est la plus forte, partons tout de même â la
chasse et à défaut de jouer les nemrod , nourrissons nous du
secret espoir de pouvoir approcher notre béte d'assez près, de
la caresser du regard et de saisir en un éclair quelque facette
inconnue de sa personnalité.
Plaçons nous immédiatement dans l'optique d'améliorer
l'arme - pour certains buts uniquement - en supposant une fois
pour toute réalisées les deux premières conditions, c'est-â-dire
cherchons â résoudre l'équation de SchrSdinger avec un Hamilto-
nien donné dés le départ. Le principe est connu en théorie :
on commence par effectuer un calcul Hartree-Fock avec notre po
tentiel pour trouver la meilleure base d'états individuels, puis
on diagonalise l'Hamiltonien H dans la base appropriée au no
yau pris en considération. Même en passant sous silence certains
points techniques comme l'élimination des états parasites du
centre de masse, qu'il est long le chemin entre la théorie et
l'application ! Le nombre d'états individuels est a priori
infini; la base choisie pour tenir compte du principe de Pauli-
ou base du modèle en couches- n'est pas très agréable â mani
puler et est encore "plus infinie" si l'on peut dire.
3
On se simplifie en général la vie en prenant comme
état de référence/ l'état où Z protons et N neutrons supposés
sans interaction sont empilés danB leurs orbites respectives les
plus basses. Cet état est appelé le "vide", ou encore le "coeur"
et on le note |o >. Il faut alors raisonner en termes de parti
cules et de trous et si on a pris soin de choisir pour z et N
des "nombres magiques" on a coutume de penser qu'un petit nombre
de couches est suffisant pour fournir les principales configura
tions du noyau. Dans certains noyaux où la force d'appariement
joue un rSle préoondérant, il est plus utile d'utiliser un au-
tre état de référence noté |0 > qui prend beaucoup mieux en
compte les corrélations de paires mais qui possède la triste
propriété de ne pas se référera un bon nombre de particules.
Quoiqu'il en soit il est toujours possible de "faire du modèle
en couches" à partir de cet état de référence; a la limite où
l'on inclut un très grand nombre de couches (tant particules que
trous)f on doit retrouver toutes les propriétés du système nu
cléaire. En faitt des nécessités d'ordre physique et d'ordre nu
mérique nous interdisent d'effectuer ce calcul complet; on doit
avoir recours a des approximations.
ta nature de ces approximations dépend bien évidemment
de la nature des phénomènes qu'on veut expliquer. En particulier,
le spectroscopiste nucléaire voudrait bien avoir une bonne des
cription des états liés les plus bas en énergie d'un noyau donné.
Dans ce cas l'approximation consiste à rechercher des états pro
pres aussi voisins que possible des vrais états les plus bas en
énergie . Ce façon plus mathématique si G désigne l'espace
de dimension n de tous les états physiques, on cherche une ap
proximation dans un espace £ > de dimension n' et qui soit
quasiment l'espace engendré par les vecteurs propres de j?
les plus bas en énergie. Une première idée pourrait être de
"faire du modèle en couches" dans un espace restreint 5 un petit
nooibre de couches qui soit maniable numériquement. Ce serait
faire un mauvais choix. La raison de cela réside dans le fait
que les états les plus bas en énergie, du moins une bonne par
tie d'entre eux, sont très corrélês (on dit dans ce cas collec
tifs) dans le sens où ils font appel à un grand nombre de
4
configurations élémentaires du modèle en couches. Cela signifie
entre autres que la base du modèle en couches n'est pas bien
adaptée puisque les états physiques nécessitent la diagonalisa-
tion d'une très grosse matrice et qu'en conséquence leurs fonc
tions d'onde s'expriment par un grand nombre de composantes ca
chant par là même leurs vraies structures.
Il est bien plus astucieux de profiter au maximum des
corrélations et de considérer les états eux mêmes comme des
entités à part entière; ainsi est né le concept de phonons.
A partir de là, se sont développées un grand nombre de théories
qui digèrent dans leur mode d'application mais qui révèlent la
même essence. Certaines sont phénoménologiques et macroscopiques,
d'autres semi-microscopiques, d'autres se disent entièrement
microscopiques s on peut citer entre autres le modèle de la
goutte liquide f Bo 37 J, le modèle unifié de Bohr et Mottelson
TBO 52, 53 J >la méthode des équations du mouvement
Tke 63, DOD 64 , Ro 66 J , la méthode de la coordonnée
génératrice [*Hi 53 J , le modèle du couplage particule-vibra
tion [AI 69, Sip 72 J , le modèle du couplage faible
[ha 57, D Sh 61, Ch 54, 66, 67 J , du couplage de modes
[Ri 74 J. D'autres, profitant d'une certaine analogie des pho
nons avec des bosons purs, préfèrent changer d'espace et faire
une incursion dans un espace collectif de bosons où les calculs
sont plus simples : elles ont pour nom théorie du champ nuclé
aire T B O 7*.'J, approximation des bosons en interaction fhr 75J ,
méthodes de développements bosoniques [Be 62, Ma 64 a, bj .
Ces listes ne prétendent en aucun cas être exhaustives.
Le but ultime est de prendre en compte le maximum d'informations
physiques dans une base de dimension aussi faible que possible.
Par rapport au modèle en couches, la base utilisée a non seule
ment l'avantage d'être moins grande, mais encore d'être plus
physique c'est à dire plus suggestive. L'inspection de la fonc
tion d'onde permet de prévoir grosso modo une partie des pro
priétés de l'état correspondant. Toutes ces méthodes semblent
très alléchantes par bien des côtés. Mais elles souffrent éga
lement de maladies bien connues des théoriciens; les plus
courantes étant : introduction d'états parasites, redondance
5
des bases, non hermiticitê des matrices, etc Au vu de toutes
les méthodes déjà utilisées, il est loisible soit d'en chercher
de nouvelles, soit d'améliorer une partie des aspects négatifs
inhérents à certaines.
Ce mémoire se compose de trois parties distinctes
gui se réfèrent 3 trois méthodes différentes mais qui possèdent
néanmoins bien des analogies :
- La première s'engage à fond dans la théorie du
champ nucléaire. Après un bref rappel de l'origine et du fonde
ment de cette théorie, nous développons en détail le formalisme
permettant de décrire un système nucléaire constitué de trois
particules en dehors d'un coeur. L'accent est surtout perte
sur la comparaison avec des approches un peu plus simplistes
relevant de cette théorie.
- La deuxième, appelée modèle en couches â deux
étapes, reformule la méthode du couplage faible de façon a la
rendre très performante du point de vue numérique. Nous avons
insisté particulièrement sur les problèmes de troncation de
la base.Nous avons également analysé la structure nucléaire de
quelques noyaux comportant trois particules en dehors du coeur
de 2 0 8Pb.
- La troisième, ou théorie des multiphonons, est
dans une certaine mesure le prolongement de la partie précédente
au cas d'un noyau déformé superfluide. L'absence de couplage â
un bon moment angulaire facilite en un sens la théorie. D'un
autre coté, l'utilisation des fonctions d'onde du type B.C.S.
introduit des états parasites très gênants pour la comparaison
avec les données expérimentales. Cette approche, qui tient comp
te proprement du principe de Pauli, permet d'utiles comparaisons
avec d'autres méthodes en vogue â l'heure actuelle.
Cette thèse comporte également des appendices assez
fournis. Ceux-ci ont bien entendu rapport avec des points précis
abordés dans les divers chapitres. Leur lecture peut être omise
pour un premier examen de ce mémoire. Ils ont pour but de préci
ser certains détails techniques qui alourdiraient démesurément
6
la partie correspondante du texte. Ils présentent surtout un
intérêt personnel; ils nouB ont permis de mettre au clair cer
taines idées confuses et de transcrire proprement nombreuses
formules écrites a la hate dans un coin d'un vieux cahier oublié
dans quelque tiroir.
|
7
PREMIERE PARTIE
LA THEORIE OU CHAMP NUCLEAIRE
L'origine de la théorie du champ nucléaire que nous
désignerons souvent par la suite sous l'abréviation consacrée
NFT ( Nuclear Field Theory en anglais ) est h rechercher
dans l'analogie avec 1'électrodynamique quantique. Pour décrire
les interactions électromagnétiques entre leptons chargés - di
sons électrons ou positrons - la théorie quantique des champs
a mis au point tout un arsenal mathématique qui entre dans le
cadre plus général de ce qu'on nomme "seconde quantification".
Les électrons libres (et les positrons car dans la théorie des
champs particule et antiparticule vont de pair et sont insépara
bles) sont décrits par un champ de fermions régi par les opéra
teurs de création et d'annihilation **(r,t), »(r,t) et un Ha-
miltonien libre H f. Le champ électromagnétique libre déduit de
la quantification des équations de Maxwell pour le potentiel
vecteur est un champ de particules de type boson - les photons -
rëgi par les opérateurs a (r,t) et a(r,t) et par un Hamiltonien
libre Hfa. En fait, dans la plupart des problèmes physiques inté
ressants, les électrons interagissent entre eux sous l'action
de la force électromagnétique. Cela se traduit par l'adjonction
â H f + H h d'un terme supplémentaire, l'Hamiltonien d'interaction
H i n. • - e z /j (r,t) A (r,t) df où l'on exprime le courant
électronique j en terme-; d'opérateurs T et y et le potentiel
vecteur A en termes des a et a. v La charge électrique e joue le rôle d'une constante
de couplage. On a l'habitude de représenter les processus phy
siques 3 l'aide de "diagrammes" (diagrammes de Feynman).
Ainsi, si le temps court de bas en haut de la page
un électron libre nu qui se propage est noté par la ligne 1
affecté d'un certain nombre quantique (en général son cuadri -
8
vecteur impulsion), un positron par la ligne T et un photon
par la ligne | . L'interaction des fermions avec le champ
électromagnétique est symbolisée par des diagrammes du genre
(création de paire) ou i (destruction de paire).
On dit de façon imagée que, lorsqu' ils interagissent â l'aide
de la force électromagnétique, les électrons "échangent des
photons virtuels".
De même/ dans la HFT nous considérons l'interaction de
deux degrés de liberté différents, deux champs; un champ de
fermions et un champ de bosons dont les opérateurs de créa
tion et d'annihilation sort notés Cn ,c et r , r
respectivement . L'Hamiltonien d'interaction mélange ces
deux degrés de liberté et comporte une constante de couplage A.
Dans l'étude des noyaux, les fermions sont Évi
demment les nucléons. Dans la pratique, l'indice
p représente tous les nombres quantlques nécessaires pour dé
finir de façon univoque les états i une particule; ce sont les nombres quantlques qu'on utilise dans le modèle en couches par
exemple. L'interprétation des bosons est moins évidente. Les
corrélations entre les nucléons peuvent jouer de façon plus
ou moins cohérente pour donner naissance â des entités nouvel
les propres aux systèmes 3 N-corps : les phonons. Ces phonons
correspondent 3 de nouveaux degrés de liberté où les nucléons
se comportent de façon collective. Les bosons de la HFT sont 3
relier précisément 3 ce type de degrés de liberté. Le fait
qu'ils vérifient la statistique deBose-Einstein sera analysé
de façon plus détaillée dans les chapitres qui suivent.
Dans cette partie consacrée 3 la théorie du champ nu
cléaire, nous indiquerons brièvement les fondements de la thé
orie puis nous insisterons sur une application de la
théorie au cas de trois particules en dehors d'un coeur et aux
exemples qui l'illustrent.
Y
CHAPITRE I
FONDEMENT THEORIQUE DE LA THEORIE DU CHAMP NUCLEAIRE
Le but de ce chapitre e s t de montrer, sans entrer dans des d é t a i l s trop techniques , l ' équ iva lence de deux approches des systèmes â N-corps : l ' u t i l i s a t i o n de diagrammes de Feynman dans un traitement perturbat i f e t la formulation o r i g i n a l e ue l a NFT. Cela permettra en outre de dégager la p h i l o sophie de l a théor ie e t de rendre un peu plus c l a i r e la notion de boson u t i l i s é e dans l ' i n t r o d u c t i o n de c e t t e p a r t i e . Nous resterons volontairement succ in t s en ce qui concerne l e s t echniques propres au problème a N-corps. Nous chercherons davantage a montrer d'où proviennent l e s d ivers ingrédients qui sont
â l a base de l a théor ie du champ nuc léa i re . En ce qui
concerne ce chapitre p a r t i c u l i e r , on pourra s e ré férer avec p r o f i t aux a r t i c l e s su ivants ^Be 76c, Bo 77, Re 75j .
Considérons un système de fermions identiques se déplaçant sur des o r b i t e s â une p a r t i c u l e e t i n t e r a g i s s a n t
v ia une force r é s i d u e l l e â deux corps . Le système e s t gouverné par un Hamiltonien du genre H » H + V
sp " ? e j C j C j <I,1> OÛ H
v - ± E < j . j 2 | v Ij j.> c* c* c. c. J 3
On peut résoudre l ' équat ion de SchrSdinger s o i t en d iagonal i sant 1'Hamiltonien dans une base ccrplête du modèle en coutil*, s o i t en e f f ec tuant un développement perturbat i f i n f i ni â l ' a i d e des diagrammes de Feynman.Dans l'un eu l'autre cas, on uti l ise ccnme état de référence le "coeur" formé par l'enpilanent des particules sur les orbites les plus basses. Ce coeur est noté | 0 >. Les orbites occupées appelées états de trou sont affectées des indices i , alors que les orbites inoccupêes-les états de particule -sont indicées par k.
10
Lorsque la distinction entre les deux n'est pas nécessaire, c'est
l'Indice j qui est adopte. Du point de vue diagrammatique un
fermion dens un état de particule est noté â l'aide d'une
flèche dirigée vers le haut Ak, (analogie avec l'électron), un
fermion absent de l'état- de trou est noté par une flèche diri
gée vers le bas Yi, (analogie avec le positron). Nous distin
guons ainsi plusieurs sortes de "diagrammes d'interaction" (un
diagramme représentant une interaction à deux corps est appe
lé four point vertex en anglais) suivant le genre des états
impliqués dans la diffusion. Les règles concernant l'écriture
des diagrammes se trouvent dans tous les traités relatifs au
problème â N-corps |~No 63, Fe 71 J et leur exposé dépasse
largement le cadre de ce chapitre. N'est donné ici que le
strict nécessaire â la compréhension de l'origine de la NFT.
Les différents diagrammes d'interaction sont écrits ci-dessous
(les complexes conjugués sont obtenus par symétrie par rapport
a la ligne horizontale passant par le sommet ou noeud
d'interaction).
• V' "=V *\4 ^ *• "H
<k aijv|i 1k 2> ^ k J ^ V <i 3iJA 2i 1> « V ^ l V
(a) 0» (c) (d)
< i 1 k j * 2 k
(e)
(1,2)
Y < i l i 2 ^ 3 k 3 >
(f)
Nous supposons que l e s o r b i t e s sont obtenues par un traitement Hartree-Fock (HF) e t donc que l e s contr ibut ions HF sont déjà i n c l u s e s l ' é n e r g i e i n d i v i d u e l l e e . . Cela s i g n i f i e que des diagrammes du genre
.v ldue l le e . . Cela sign
(1,3)
doivent être écartés car leur contribution est nulle poux des
orbites HF. Le formalisme adéquat pour introduire la NFT est
celui des fonctions de Green. La définition de la fonction de
11
de Green (ou propagateur) à quatre temps est
o H 1 t l , j a t 2 , j j t 3 . j 4 t 4 ) -< i - i T { c ; i ( t 1 ) c J 2 ( t 2 ) c ; 3 ( t 3 ) c J 4 t t 4 ) } i ï > (1,4)
où |ï> est le vecteur d'état du vrai fondamental,
C*(t) = exp (iHt)cî exp (-iHt) (1,5)
l'operateur de création d'une particule dans l'état j en représentation d'Heisenberg et T l'opérateur chronologique ordonnant les temps de gauche 3 droite par ordre décroissant (nous faisons dans ce chapitre le choix ft * 1 pour simplifier l'écriture), La connaissance de cette fonction est suffisante pour obtenir les propriétés de toutes les observables du système, d'où son utilité. En fait, dans la pratique, le calcul de G est le plus souvent impossible et on se contente de diverses approximations.
Avec cette idée introduisons l'approximation HF pour la fonction de Green
G H P ( J , t 2 ' t l ) " < 0 lT M (t2> cj ( tl'}l ° * ( I , 6 )
Si H est indépendant du temps, elle ne dépend que de la diffé
rence t.-t, e t A 1 e 3 t f a c l l e d e calculer son expression -ie.(t,-t,) -ieH(t,-t.)
Gjjptj.tg-tj) = (l-n..) e •" eftj-tjj-n.-e ] ' W
(1,7) où 6 (t) e s t la fonct ion de Heaviside e t n.= l e nombre d'occupat ion de l ' é t a t j (i^ = 0, nt = 1).
On développe habituel lement l e prot d a teur G en puissancesde l ' i n t e r a c t i o n r é s i d u e l l e V, chaque ordre n donnant l i e u â une s é r i e de diagrammes c a r a c t é r i s é s par "n temps intermédiaires".
Considérons l e cas des corré la t i ons par t i cu le - t rou qui interviennent fréquenment en physique nucléaire. Cela signifie que l ' o n d o i t prendre un ordre sur l e s temps t , > t 2 > t 3 > t 4 e t que parmi l e s couples ( j j ^ j j ) e t ( J 3 , j . ) l 'un des deux é t a t s e s t un é t a t t rou , l ' a u t r e un é t a t p a r t i c u l e . Pour l e s i l l u s t r a t i ons su ivantes j , e t j . sont des é t a t s t r o u , j - e t j , des
fol é t a t s p a r t i c u l e . Les contr ibut ions d'ordre zéro G e t d'ordre
12
un G valent respectivement (nous omettons les arguments
des propagateurs lorsque cela ne crée aucune confusion)
:<0> - 6 j.j. sj,j, O H F ' V W W ' ^ ' W ( I- 8» 'lJ4 J 2 J 3 +««
G ( 1 ) = " i < 3 2 3 4 | v l 5 1 j 3 >/dTG H p(J 2,t 2-T)G H F(J I,T-t 1) x -aa
G H p ( J 3 , T-tj) G H F (J 4,t 4-T) ( I 9 )
et sont représentées par les diagrammes suivants s
"-1
*••! j ' 1 h
. ' . ,-i\ / '
H 2î 3V
, j < V 4
(1.10)
Parmi les contributions d'ordre deux, nous ne retenons que
celles où les sommets ont une paire particule-trou en commun.
Un exemple de diagrammes pris en compte et son expression ma
thématique correspondante sont donnés ci-dessous
• - 1 " G ( 2 U ( - i ) 2 £ < J 2 i | v | J 1 k i . k +•> +•»
< k J 4 |V | i J 3 >/<iT fà-1
(1,12)
(1,11) G^Oj , t 2 - T ' ) G H F ( J 1 , T ' - t 1 ) X
G H F ( J C , T ' - T ) G H F ( Î , T - T " ) x
G H F ( J 3 . î - t 3 ) G g p ^ . ^ - T ) *
13
I l faut néanmoins se rappeler que dans ce cas l e
propagateur G d'ordre deux n ' e s t qu'une approximation au
propagateur exact .
On r e t i e n t également toutes l e s contr ibut ions d'ordre plus é levées dans l e s q u e l l e s une paire par t i cu le - t rou est crée au temps T / et une paire particule-trou est détruite au temps \' après un nombre arb i t ra i re d ' in t erac t ions â travers des d i a grammes d i t s i r r é d u c t i b l e s . Mathématiquement c e l a s e t radui t par l e remplacement dans (1,12) du propagateur l i b r e -G„ F (k ,T' - T ) G™ ( i , t - T ' ) par la fonct ion de Green t o t a l e avec t , = t , = T ' , t j = t^ = T-
Finalement, nous pouvons écrire toutes les contri
butions d'ordre supérieur a un,à notre approximation particule-
trou du propagateur â quatre temps comme :
53«s ( n ) (j lt 1,j 2t 2.j 3t 3.j / It 4) «<-u2 2 ^ < 3 2
j ! v i ^ j ' :
n>2 jj'j"j'" +«» *» (I,
< j"J4:V|j'" J s ^ d T / d T ' G ^ V ^ - T M G ^ l j j . T ' -tj) X
G p t<JT,.j ,T ,,j"T,j'"T) G H F(J 3,T-t 3)G H F(J 4,t 4-T )
Dans (1,13) chaque couple d'indice (j,j') et (j",j''')
contient une particule et un trou. L'indire v-t
affecté â la fonction de Green â 2 temps signifie qu'elle a
été calculée dans l'approximation particule-trou définie plus
haut. Si finalement nous introduisons un ensemble complet de
vecteurs propres ||j> de H d'énergie u dans la définition de
la fonction de Green G .(JT'#J'T'j,j'*T,j''' T )
G p t ( j T',j'T ,.j"T.j"*T)=2 :*|C* C j > | M > c u | C j t . C j . , . | y > X
" (1,14)
-iu (T'-T) iu (T'-T)
e M e(i'-T)+<ï|cj,,cjll,!i.><ui cTc j,|f>e * e(T-T')
l'expression (1,13) prend la forme définitive qui sert de base
â la SFT
14
*J* 2G < n )(j Jt 1,J 2t 2,J 3t 3.J 4t 4) - -J d T J d T'G H F(J 2.t 2- TM x
GHF < : il' "'l 1 2^ir^2^1''^ A ( j 3 j 4 ; "* e O(T'-T)
u » ill (T"-T) I
+ A (J4J3îli)A (JJJ2--II) e " e<T-T')|GHF(J3,T-t3)<^F(J4,t4-T)
(1,15)
A<J aVU> =2<i a3|V|J bJ'> <Y|C* C^iy > (1,16)
jj'
A partir de la formule (1,15) il est facile de voir que le
terme entre accolades représente la propagation libre entre
T et T' d'un boson pur caractérisé par les nombres quantlquesu
Un tel boson est représenté par une ligne ondulée su.(analo
gie avec le photon). Les facteurs /<JaJbfu> et*
A (j,Jb;u) sont les amplitudes pour la création et l'annihila
tion d'un boson 3 partir de deux états à une particule; ils
symbolisent la force du couplage de l'interaction particule-
boson (analogie avec la charge électrique e). En d'autres
termes, l'expression (1,8),(1,9) et (1,15) de notre propaga
teur approché est exactement celle du propagateur d'un système
constitué de fermions {opérateurs C.,C.) et de bosons purs + J
(opérateurs r ,r ) soumis a un Haniltonien total H H F T
HNPT " H S P
+ V + V V
où H = ),Ei C. C. (propagateur â un corps G„_) (1,17)
V = j ]C < 3l j2 ' v b 3 3 4 > et c* C j Cj (propagateur G'
H S~V, .+ p (propagateur libre du boson) b * ' u 'u lu
»>)
15
v - £ E|*"iV»> rP ci 2 v A ( J l J 2 i w , r ^ i ^ U >132
(interaction particule-boson)
Cette équivalence entre les deux propagateurs ex
primés soit complètement dans la base de fermions (diagrammes
de Feyninan), soit en termes de fermions et de bosons (diagram
mes de la théorie du champ nucléaire) se traduit très simple
ment de façon diagrammatique
( 1 , 1 8 )
J l i in h
+ fv+Ei k . i
+ -=, V^n
•ta:
J 3 J 3 /
24 VA_ '* Vi j4
La constante de couplage A(ki,u) obtenue dans cet
exemple est associée au sommet d'interaction,
elle vaut ;ion, k \ j S ±
16
A(kifu) - <0 |C* Ck H p v r p
+ | 0 >- £ < k i'lVli k'xflC^.lu > k'i'
+ < k k'|V|i i'x<?|C*. C i ( |u >
(1,19)
Nous avons choisi dans cet exemple un ordre donné sur les
temps (t,>t2> t, >t.). Dans le calcul des observables il ap
paraît également une intégration sur les temps et il est né
cessaire de tenir compte des autres possibilités d'ordonner
les temps. Cela s'accomplit de façon analogue«les seules
différences étant l'apparition de constantes de couplage
diagrammatiquement différentes, telles que
*\s Atik.u) - A<i'i,u> A (k'k,u)
Comme nous l'avons déjà souligné, le propagateur G fc de
(1,14) correspond â la propagation libre d'un boson pur.
Une conséquence de cela est que le degré de liberté qui lui
est associé r doit être complètement indépendant des v r + +1 " r +1
degrés de liberté des fermions! r , C. I = 0 et Ir , C•1= 0
(1,20)
Néanmoins, il ne faut pas oublier que si l'état r + |0 >
est du point de vue cinématique un boson pur, ses caractéris
tiques dynamiques sont obtenues sur la base d'une étude en
termes de fermions. L'état |0> doit être considéré comme
le vide de fermions mais aussi comme le vide de bosons. Les
expressions (1,16) et (1,17) sont tout a fait générales et
correspondent â la propagation d'une paire particule-trou qui
interagit un nombre arbitraire de fois à travers des diagram
mes irréductibles. Dans la pratique, deux sous-ensembles de
diagrammes sont couramment employés.
La TDA (Tamm-Dancoff approximation) qui ne renient que
17
les bulles vers le haut, c'est-à-dire des chaînes du genre
• La RPA (Random phase approximation) qui prend en compte les bulles vers le haut et vers le bas, c'est-à-dire des chaînes du genre .y X jt
5 + $ + Q ^ + I j + H +
Bien entendu dans la NFT, si l'on considère l'une ou l'autre de ces approximations, il faut prendre les energies u et les amplitudes <<r |c, C. lu > tirées de l'approximation correspondante.
Il est possible d'effectuer un travail tout à fait analogue pour le traitement diagraramatique d'un operateur â un corps
ii' Dans le formalisme de la NFT l'operateur comporte a présent un terme de boson et s'écrit
<tar sZ/ i|Q|J'> et c^ +2}ul Q|v> r+ +<*|Q|u>rll (1,21) j i ' y
Nous avons considéré jusqu'à présent les bosons de type particule-trou c'est-à-dire correspondant â la propagation d'un paire particule-trou interagissant un nombre arbitraire de fois. Ces bosons décrivent des vibrations dites de surface dans le noyau identique â celui du coeur (ce sont les "excitations du coeur"). Il existe aussi des vibrations d'un autre type dites d'appariement ou de "pairing" qui concernent les noyaux différant du coeur par deux nucléons. Dans la théorie du champ nucléaire, on associe à ces excitations des bosons qui proviennent de la propagation d'un paire particule-particule ou trou-trou ayant interagi un nombre arbitraire de fois. Ainsi, il s'introduit naturellement deux nouveaux
18
types de bosons:
- les bosons de pairing-particule créés par les opéra
teurs r et symbolisés par les diagrammes
- les bosons de pairing-trou crées par les
opérateurs r k , et symbolisés par ~ wlJ SU
le t par les t"
son
On traite ce nouveau genre de boson de manière identique
à celle exposée au début du chapitre . On réordonne la fonc
tion de Green(1,4) pour faire apparaître l'ordre C +C C C.
L'ensemble complet des vecteurs propres \u> d'énergie a se réfère maintenant au noyau différant de 2 nucléons et pour
un ordre sur les temps donnés il apparaît dans les diagrammes
de Feynman la propagation de paires particule-particule ou
trou-trou. Cela correspond à une autre approximation pour
le propagateur et l'égalité formelle suivante montrant l'équi
valence des diagrammes de Feynman et ceux de la NFT s'obtient
aisément (l'ordre des temps est ici t. >t, >tj > t. )
^G ( n )(j 1t 1,j 2t 2,j 3t 3.j 4t 4) - - Jài jâj' GHF(J4,t4-T> x
n>2 "• -»
GHP (32' t2" t ) x
^JApCJ^lli) Ap(j4j2;p)e p'" 8(T'-T) (1,22)
U iut U(T- i) )
• A* lUh>»"t<W»>e ett-T-jJG^tj^r'-v x
GHF(J3,T'-t3)
avec les constantes de couplage A définies par
A p <5a jb !»° " ^t^i^MiJ'^^CyC^p, M > d,23)
A t ( j a j b î u ) = S ^ J J'|V|JaJ0><ï|C+ C+Jt; u >
Les différents sommets d'interaction particule-boson sont transcrits ci-aprës.
19
(1,24)
Y* *& V V ¥ IT A < k t k 2 ; J A ( i j i j j u ) A <ki;u) A ^ i ^ : » ) A ^ k j i u ) A t (ki;n)
(a) (b) (c) (d) (e) (£)
Là encore, l'expression (1,22) correspond à la fonction de Green d'un
système composé de fermions {C-, C J e t de bosons purs + + J J
( r p u ' : p / ; t | j , r t u' . i n t e r a g i s s a n t â l ' a i d e de l 'Hami l ton ien
HNPT " H s p + V + H b + H
P b (1,25)
H b " Ç r p . u r p . u r P . u + " t . M C r t J
u j ^ j j l J 2 1
+ [ A p « l V « > r p , u + A * t « ^ 2 " " r + t , J C Î 1 %
L'équivalence des propagateurs exprimés par les diagrammes
de Feynman et ceux de la théorie du champ nucléaire est il
lustrée par l'exemple ci-après
20
(1,26) Les caractéristiques dynamique» des bosons de pairing (éner
gie et amplitudes) s'obtiennent également en pratique par l'approximation TDA ou de façon plus sophistiquée par la RPA.
Indiquons brièvement que dans le formalisme de la NFT il faut remplacer un opérateur de type pairing
p + - Z2 <J3'|P +|0> C* C*, par l'expression j > j ' (1,27)
î , - L < " ' | P + | O > c t C j T + 5 i P , u |P + i ï>r +
p > i j + <ï |P + | t / U >r t / l l
j>j' H I 1
p = NFT
Dans les pages précédentes, nous avons essayé de faire ressortir de façon aussi simple que possible l'origine des bosons inhérents â la NFT. Les ingrédients de base des diagramme utilisés par la suite ont été exposés aussi brièvement; nous aurons l'occasion de revenir sur ces points si la nécessité s'en fait sentir. 11 est à remarquer que les bosons ont été introduits de façon naturelle en tant "qu'états
21
intermédiaires" c'est-à-dire reliant deux noeuds d'
interaction à des temps intermédiaires. La théorie du champ nu
cléaire étend la notion de boson a des états de base et pos
tule en contrepartie quatre règles qui régissent les calculs A
effectuer dans ce formalisme. Ces règles ont été énoncOos »Ji"
Bes et al. fee 74J et démontrées par Reinhardt [tte 75 J
Elles sont sous-jacentes à tous les développements de cette
théorie qu'on trouve dans la littérature. Nous énonçons et il
lustrons ces règles ci-dessous.
Règle Enoncé Illustration
Dans les états initial ou final, les diagrammes propres contiennent des modes collectifs (bosons) ou individuels mais aucune configuration de particules qui puissent être remplacée par une combinaison linéaire de bosons.'
Itwlfil s
états de base permis.
sont pas permis connu l'-tavs de base (ils peuvent par contre intervenir comme é-tats intermédiaires.)
ri Pour obtenir l'équivalence avec les diagrammes de Feynman, il est nécessaire de sommer tous les diagrammes de la NFT permis possibles
pour obtenir les états â particules
m Les l i g n e s in ternes des diagrammes ne doivent pas former des parties déjà incluse ; dans la définition du boson,
(Bulles dans la RFA ou la TEA) •
e s t permis
e s t i n t e r d i t
IV Les énergies des p a r t i c u l e s e t des bosons sont respectivement données par HF e t l ' équat ion dynamique du boson.Les contr ibut ions de tous l e s diagrammes permis sont évaluées à l ' a i d e des règles usuelles de la théorie des perturbations.
s i "I = A + v * 2 , _ a l o r s
1 A f t o>;j= u ^
N*r; sLul=Y*t\*lMI, -alors
22
La raison intuitive de la règle III est que les contributions
de type bulle ont déjà été prises en compte dans la construc
tion du boscnet que les considérer de nouveau provoquerait "un
double comptage". Ces règles sont fondamentales, elles doivent
être ajoutées au formalisme permettant de travailler dans le
cadre de la NFT et qui est rappelé ci-dessous en comparaison
avec la méthode perturbative habituelle.
Théorie perturbative de Feynman Théorie du champ nucléaire
H = H.„ + V sp H - H s p + V + H b • H p b
V ht ' 1 Hsp- { S } 'i
•v^Y'VV'V-^ états de base (3 particules)
Ht états de base (3 particules)
H états intermédiaires
w\> m u , - états intermédiaires
Nous voilà â présent armés pour traiter une application
intéressante de la théorie du champ nucléaire â savoir l'étude
des noyaux possédant trois particules en dehors d'un coeur
fermé. Ce cas fait l'objet des quatre prochains chapitres.
23
CHAPITRE II
FORMALISME POUR LE SYSTEME A TROIS PARTICULES
II - a - I n t r o d u c t i o n
Nous supposons donnée une base d'états 3 une particule caractérisés par un ensemble de nombres quantigues désignés globalement par a e t plus précisément par (ngj)m %îP mm* , m est la projection sur l'axe z du moment angulaire j (m * - j , . . . , j ) et % la projection du spin isotopique (mT * 1/2 pour un neutron, mT • -1/2 pour un proton). A chaque état a est associé un opérateur de création C * B C _ _ _ et
a p m m T
de destruction C * C„ _ _ ainsi qu'une énergie e 5c < o p m mt o p
obtenus en principe par une procédure Hartree-Fock. L'État
qui sert de référence est le coeur inerte noté I 0 >consistant
en A nucléons remplissant les Z orbites les plus basses en pro
tons et N orbites les plus basses en neutrons, N et Z étant
des nombres magiques.
L'objet des prochains chapitres est l'étude des noyaux
A+3 où trois particules ont été aioutées au coeur.
Nous établirons la théorie du couplage de trois par
ticules en tenant compte de l'isospin nar souci de géné
ralité. Nous nous limiterons par la suite à une apolication
au cas de trois particules identiques. En toute rigueur, N—Z
l'isospin du coeur est -y- et les états de base devraient cou
pler l'isospin des trois particules â l'isospin du coeur pour
donner un état de bon isospin. Nous ne ferons pas cet ultime
couplage qui alourdirait le formalisme inutilement pour notre
propos. Les résultats présentés ici s'appliquent donc soit à
trois particules identiques, soit â trois particules en dehors
d'un coeur d"isospin zéro. Nous supposerons enfin que le coeur
reste inerte c'est-à-dire que nous nous restreignons à des
24
corrélations entre les trois particules en dehors du coeur. En d'autres termes, nous négligeons les excitations 4p-lt, 5p-2t,... ou encore nous ne prenons en compte que les états de particule. Cette approximation demande évidemment à être vérifiée mais au voisinage d'une couche magique elle est sensée donner de bons résultats au moins pour les états bas en énergie. Pour cette raison, nous ne retenons que les sommets d'interaction de type TDA c'est-à-dire (I,2,b) pour les sommets d'interaction et(1,24,a) pour les sommets de couplage particu-le-boson.On peut trouver une première ébauche d'une telle approche dans la référence [ L ± 78a] et une analyse plus complète dans notre travail paru dans f Li 78b J.
L'énergie et les amplitudes des bosons sont obtenues à partir de l'équation TDA du système â 2 particules (règle IV) Soient les opérateurs de création élémentaires
+ * - l / 2 r + J™T * ~ l / 2
P +(pq;JM,T M T) -(1 +«„) | c ; C , ^ * -(!+«„>
£ «VWql™ > < 1 / 2 »P 1 / 2 «q l™T > C P V p
C q +
V „
p q
qui vérifient la propriété s P (pq.-JM.TM ,) =(-1) P q P+(qp;JM,THj,) ( I I' Z )
(en particulier si p s q nous retrouvons la règle usuelle J+T impair). La relation (11,2) permet de définir un ordre sur les indices p et q conduisant â l'orthogonalité de ces excitations élémentaires
<0|P(rs;J'M',T'«TI)P+(pq;JM,T.V|0 >=^ S^i^, S m , S B , ^ (J ^
(11,3) L'invariance par rotation ijrplique que les énergies individuelles c sont indépendantes des nombres quantiques magnétiques m e t y e t la pa r t i e â un corps de l'Hamiltonien s ' é c r i t :
25
H S P - £ E P C P V P
C P V P <«•«> p , n P ' 1 J P
Utilisant aussi l'invariance par rotation de l'interaction
résiduelle à deux corps il est facile de calculer V en base
couplée
v > 2 ^ X r f < p q ? + JT|V|rs}JT >P lpq;3H,1MT)P{rB;JH,'m,l;)
- 1 / 2 - 1 / 2
J,M,T,M,, p<q (11,5) r<3 E - l / 2 - 1 / 2
(i+Spq) < i + « r s > < jpVq m ql J M >
<Jr™r JJ1,1JM> < l / 2 U p l / 2 M q | n V < l / 2 u r l / a ^ j T M ^
<pnip|jp«q « i q M q |V |nn r u r siti By a >
j u+j_+J+T <pq;JT|V|rs;JT>« <-i; v H <qp;JT|V|rs;JT>
j +i +J+T 3 o + i > + 3 r + J s - (-1) <pq»JT|V|sr;JT> « ( - D * " ^qp»JT|V|sr;JT>
I l e s t u t i l e pour résoudre l ' équat ion TDA du sytême a deux p a r t i c u l e s de f a i r e in terven ir l e s phonons c o r r é l é s d é f i n i s par
P - ^ (JM,TH,,) -^<0 |P (pq;JH,TM T ) |u >P+<pq;JM,TK,,)
PS5 (11,6)
L'équation TOA e s t simplement l ' équat ion aux va leurs propres de H + V dans l ' e s p a c e des é t a t s P + (JH,THJ,1 | 0 >
E l l e prend l a forme b ien connue
[ U y (JT) - E p - E ^ ^ C p q ^ M , ! ^ |0> = ( I I / 7 ,
V + ^ ^ <rs;JT|V|pq;JT> <y |P (rs;JH rTH r) | 0 > r<s
26
Connaissant les energies a une particule et les Ele
ments de matrice de l'interaction, on tire u UT) et
<u|P (pq: JM TMT)| 0 > qui sont les ingrédients dynamiques des
bosons de la NFT. Rappelons au passage que ceux-ci notés
r (JM,TM_)| o > sont des bosons purs par conséquent différents
du point de vue cinématique des phonons TDA;P (JM,TML) |0> .
A strictement parler, les amplitudes ne sont définies que pour
des indices p et q ordonnés p 4g. Néanmoins on peut les
" prolonger " a l'aide de la propriété (11,2). Enfin,
en couplant â des bons moments angulaires les opérateurs in
tervenant dans l'Hamiltonien de couplage H p b défini dans
(1,25) on arrive â
Hpb * 2 3 £ A „ <P<J^T)rw(JM,TMr)P+<pq!JM/l**r> » h c
«"tu, *** (11,8)
avec A^lpqjJT) *J*< pq;JT |V |rs;JT> < M | P*** (rs; JM/THp) |0> r<s
En faisant usage de (11,7) on voit qu'il est possible d'écri
re la constante de couplage A de façon beaucoup plus simple
A^pqsJT) - [*> u <J T >-e p - e q ]<w| P +(pq.-JM,T« r) [O > (11,9)
On peut encore é c r i r e l a propriété de symétrie
V - i a
+ J + T
A^pqjJT) = (-) p 4 A (qp.JT) (11,10) L'Hamiltonien de bosons libres, quant 3 lui, s'exprime comme
H b = 2 u w < J T ) r^UM.THp) r (JM, THy) (11,11)
JM'TMJ
Comme nous l'avons souligné dans l'introduction, il
est astucieux de prendre en compte une partie des corrélations
des trois particules grâce â l'introduction des bosons dans
les états de base. Par conséquent, nous choisissons comme
états de base les vecteurs
27
| B i * ' r p ' V ' i ^ ^ 1 " 1 ^ I / 2 " P T U T P*P>
+ p-pH? ^ V ™ ^ !°> ( I I ' 1 2 )
représentés de façon diagrammatique par 1 A ) T
(règle I) . " I II u
Nous avons aussi besoin des états du nodèle en couches
TM,. |mJ> = ic„aj[c.. c = | |0 > représentés par (11,13)
t'Ifc (la barre horizontale entre les
PA t * » s deux lignes de fermions indique
que ces 2 états sont couplés à >
et T ) .
Notons que les états |m.,> et|g,> engendrent des espaces
disjoints du fait que lea degrés de liberté de bosons sont
indépendants de ceux de fermions. Les états physiques â
trois particules rf expriment sur la base des I m. •-
uniquement.
La NFT postule que la base des |g.> fournit une repré
sentation efficace des états physiques en ce sens qu'un petit
nombre d'états de base est suffisant pour décrire
avec précision les propriétés physiques des systèmes nuclé
aires (Ce n'est pas le cas avec la base |m.> ).
Il arrivera que le terme "fonction d'onde en base |g,>soit
employé; c'est un abus de langage, car la vraie fonction s'ex
prime dans une base de fermions et non dans la base |6.>
composée de fermions et de bosons. Il est plus rigoureux
de dire que le vecteur propre correspondant à un état physi
que déduit de la théorie NFT s'exprime â l'aide de la base
10^ i» , cette représentation étant plus commode pour notre
problème. Il ne faut donc pas attacher trop d'importance a la
notion de fonction d'onde; par contre les observables ont une
réalité physique que la NFT doit respecter. Les états
!e±> sont fonctions propres de l'Hamiltonien non perturbé
28
H = H + t f en tient caipte de l'interaction résiduelle V â l'aide d'une théorie de perturbation adéquate. S'offrent a nous deux possibilités :
- un développement de type Rayleigh-SchrSdinger (RS) in
dépendant de l'énergie mais faisant appel a de nombreux
diagrammes et présentant une ambiguïté dans le choix de l'éner
gie non perturbée dans le cas ou les niveaux ne sont pas isolés.
- un développement de type Brillouin-Wigner (BW) de
structure beaucoup plus simple mais présentant une dépendance
en énergie qui est gênante du point de vue technique.
Notre optique dans ce travail est de trouver une métho
de qui permette de résoudre exactement le problème dans le ca
dre de la NFT. Nous devons donc sommer tous les diagrammes
perturbatifs et par conséquent le choix du développement
BW s'impose. Ce développement est ronpelfi et appli
qué au formalisme NFT dans l'appendice A. Notre but est le
calcul des éléments de matrice effectifs W (E) exprimés
dans la base |e 1>qui redonne les valeurs propres de l'équation
de SchrBdinger originale. Il faut avoir en vue qu'en ce qui
concerne les états physiques du modèle en couches, la base|0,i
est redondante parce qu'elle viole le principe de Pauli. On
peut le voir sur un exemple très simple. Considérons le
modèle décrit dans l'Appendice C et consistant en trois parti
cules dans une couche j.
Le schéma m prévoit entre autres
- 1 état 3j-3
- 0 état 3j-l
L'équation TDA fournit des phonons r . + , r , + avec X, = 2j-l, 1 1 2 2 = 2j-3 et par conséquent il existe
- 1 état |B>
- 2 états|R,>
C<W ' j "" X 1 J
e***T\
3j-l 1° >
3 . _ 3 | o > J 6 2 - [ c 3 * 4 lo> J3j-3
d'où violation du principe de Pauli
29
Ce phénomène provoque l'apparition d'états dits parasites ou
spurieux qui sont des états de théoriciens et qu'on doit élimi
ner lors de la comparaison a 1'experience. Nous reviendrons
sur ce point nar la suite.
L'élément de matrice effectif W g B (E) «<e2 |H e f f (E)| g x >
s'exprime à l'aide d'une somme infinie de diagrammes (règle II)
w s s ( E >
B 2 S 1 1 . 0 2 & l
(E)
B, B ( E ) - A
2 B l . ™- .W- (-1)
(11,14)
avec n • J x +X j + »/2 + T J - I-T
Le facteur de phase n intervenant dans les diagrammes d'ordre
impair provient du fait qu'apparaît dans ceux-ci non pas l'é-
t a t de base | g
W^> (E) e s t
,;-[^."-C 10> mais l ' é t a t
0>« (-1) n 18j > . Le diagramme
I qui est topologiquement équivalent à celui décrit dans
(IX, 14) â un "croisement près", croisement, provoquant le fac
teur de phase (-1) n . Il est facile de se convaincre que
(11,14) donne tous les diagrammes BW permis compte tenu des
contraintes : noeuds d'interaction TDA seuls et absence de
bulle (rSale III). Réécrivons (11,14) de façon un peu plus
symbolique :
30
Wfl . (B) S 2 B 1
i-i "+£ m
= ik
t*l
X 61
£1 (11,15)
Pour effectuer le calcul des diagrammes il est nécessaire
de connaître l'expression des sommets :
X "Y Dans les lignes internes des diagrammes, il n'est pas
nécessaire de norroer les états a condition d'éviter la répéti
tion des indices. Par conséquent
-<o| [tc*cl)l]\tc*c*)l |o
- N(M) N(pq) <r«;Vr |V|pq;AT >
avec NCpq) - n+6m)1/2 (11,16)
De même.
Y <o [ , C r C s ' î ] H pbC U T l l ° " N(rs)A (rs;XT) U (11,17)
I I - b - Energies
Nous allons introduire dans ce chapitre des propagateurs
qui seront très importants pour la suite.
Partons sirplement de (11,15)
31
* 2 B 1 (E) - W, (0)
«2»l r.s
En utilisant la valeur du sommet (11,17) on voit qu'on
peut écrire
W„ o (E> " w i ° i " £ N(rs)A (rs;A,T.) F„ (q ,rs,A T , ; E ) 62&i M l rTS w l 1 1 B 2 1 i l
(11,18)
avec la definition symbolique du propagateur F
XSL F. (q,re,AT;B) - (11,19)
La signification et les propriétés de ce propagateur
sont examinées dans l'appendice B. Il est évident d'après
(11,18) que le calcul de H se ramène a celui de F. La techni
que du calcul de F est tout â fait analogue â celle qu'on uti
lise dans le problème â N-corps pour effectuer des "sommations
partielles" (équation de Bethe-Salpeter ,.... ) . Pour le mon
trer, nous déshabillons par le bas la contribution du 1+ 1 m e
ordre au propagateur F IU prop:
F„ t t + l ) (q.rs.AT;£)
r r\s',V,T'
jfl+l/2+Jr.+Js.-I-T
(11,20)
32
La phase devant le terme F provient du fait que
F < 4 ) (s,r's', X' T'(E) serait défini avec un état intermédiaire
du bas égal a
[<£•«£ ^'X'T^ 1° > alors que celui qui inter
vient dans ce diagramme est
|™T
llM
r V |0 >
qui en diffère justement par le facteur de phase J s+J r.+J f i.+l/2 -I-T
(-) . 1 1 faut calculer le reste du diagramme
de droite de (11,20). Il y a tout d'abord un dénominateur
d'énergietlE -c -e " esl * P o u r *• calcul du sommet d'in
teraction il faut coupler q et r a A' T'. Pour cela, utili
sons la formule de découplage classique
L JIM X.. T..
t= ( 2 X + 1 ) 1 / 2
L'interaction étant invariante par rotation, nous avons seule
ment le terme X" T' * - V V qui intervient et la contribu
tion du noeud d'interaction est
j |l/2 T , j
N(r's')N(rq) < s'r'.-X'-r' |V | qr;X * T ' >
Regroupant tout cela et utilisant la propriété de symétrie
des éléments de matrice (11,5) nous obtenons enfin :
r 33
I**1' <q,rs,XT;E) - Yj F I * * 1 ' (q,rs ,Xt;E) - > J K q ( r s ) X t j q * < r ' 3 ' ) X ' T ' x 6 1
r ' . s ' . X ' . t 4
:.(*) F 6 2 <q'r's',X',T';E) (JI.21)
oû l e noyau K vaut
K4ra)\rt q ' C r ' s ' U ' T * « - 6 q , 8 N t r ' e ' W r q m ' ^ T ' X
(11,22)
q r " J , I X ( l / 2 T T <r•s•^X ,T'|V|Iq,X ,T , >
, , * A U / 2 1/2 t -\£lj T T > }i/9 T T { - S . Ce fac teur prend l e s valeurs
Le couplage 1 un bon l s o s p i n se t r a d u i t par l e
U/2 1/2 t
(1/2 T T suivantes
T . T' . i T - 3/2 S - -1
T - 1/2 S - 1/2 T - l ou T - O T-l/2 S - /î/2 T'- 0 T'- 1
T - T'- 0 T-l/2 S - -1/2
Le cas particulier de trois particules identiques cor
respond 3 i» T'« 1, I • 3/2 donc dans toutes les formules uti
lisées pour le calcul avec trois particules identiques on fera
simplement S - - 1.
L'équation qui donne F s'obtient aisément 3 partir de
(11,21) que l'on écrit sous forme matricielle condensée, l'in
dice étant l'état intermédiaire (q,rs,Xi),
34
2 M ^ ^ «-1 * t-1 2 2
- pi 1' + K F„
L'équation qui donne le propagateur exact devient finalement :
(4- K(E)) P. (B) - Fll} (E) (11,23) • 8 2 6 2
C'est une des équations les plus importantes de la NFT.
C'est un système linéaire inhomogène dépendant de l'énergie.
L'état final ^ n'intervient que par le terme inhomogène
pi1'(E) qu'il nous faut calculer 4 2 B2 I
F'1'(q,re,XtiB) - H ) q
•g
En découplant s et r pour recoupler r et q, nous obtenons
le résultat définitif
F^1'(q,rs,XT;E) - - 6 s q H(rq) A* (rqjXjTj) îx^ x
calculer "»2
. i r x j | i / 2 1/2 Tlr f , I X a||l/2 T T 2 ) L « * -J
(11,24)
Il ne nous manque plus que l'élément de matrice d'ordre zéro
qui est fort simple
W B 2 6 X "[eq x
+ % ( X1 T1] *B2 B x (11,25)
La demarche pour l'obtention de la matrice effective est clai
re : calculs du noyau K par (11,22) et du terme inhomogène
35
F. ' grâce â (11,24), resolution du système linéaire (11,23);
â î"aide de F ainsi obtenu et de W i 0 ) tiré de (11,25)
l'élément W 2 découle de (11,18). 2 1
B2 B1
Il est possible d'obtenir également W . â l'aide d'un
"déshabillage par le haut". Cette approche permet la défini
tion d'un nouveau propagateur G qui aura aussi son utilité
par la suite. La technique du processus étant en tout point
analogue au cas précédent nous ne donnons ici que les étapes
principales
W - W ( 0 )
%2 8j, B 2 Bj
y-
s <-Un ^MCqtfAjj (qr;X2t2) 1*
y^f n- 1/2^-I-T ^J en découplant q, r pour recouplei r et q 2 et en tenant compte
des symétries des /1 il vient
», B 2 8 X 4°\ B» 6 2 Bl
N(rq) A (rq»X2 T 2> XX2 T T 2 X
Pq ' »all
q,r,x,T
1/2 1/2 T
1/2 T T, 6 (q,rq2,XT}E) (11,26)
avec la définition symbolique du propagateur G.
G- (q,rs,X-r;E) 1
* #0 La r e l a t i o n de récurrence entre G* ' e t G s'exprime
de façon diagramnatique :
36
g, > \ f , .B > XT
q's'A'T*
xv jy^txt'
N G' 1 + 1 ) <q,rs,A T ;E)
B l q's'A'T* 3 o ' (q'.r'q.J'T^E)
B 1
t e i IT
q's'A'T*
1 «x tt
(11,27)
Traduite en termes mathématiques, cette égalité devient
/ , Kq(rs),-AT iqMr'»')»' f <E) x G <* + 1 )(q,rs,A T;E)
q'.r's', X-T
G ( ** tq',r' s',* • ,',-E) Si
ri
avec la définition suivante du noyau K (ce n'est pas le no
yau symétrique de K)
A* K q (rs)XT ;qMr'B«) x' T'<E) - - 6 q s.H(rs)N(r»q*) AA' TT [E-eq-er-<:a ^[••^-J 3 q j r . X * 1/2 1/2 Vl
1/2 T TI }< rs; Ar|V|r'q'; A T >
(11,28)
De là, découle immédiatement le système linéaire donnant le
propagateur G â savoir
H-.£ (E) I G = G ( 1 )
L J % Bi (11,29)
Le terme inhomogène qui représente la contribution du premier
ordre au propagateur G f i est fort simple
g
AT =6 6 „ S "(rajA^Ors; AT) qq, AA T T ^ — —
G ( 1 )(q,rs, AT) =
h
r\ F3
H: q r sj
(11,30)
Les propriétés du propagateur G sont analysées dans l'appendice
B ou il est également montré pourquoi la démarche utilisant
G est employée en pratique. De ces propriétés, découle aussi
l'hermiticité de W„ „ (E) qui est loin d'être évidente. La 2 1
diagona Usât ion de l'équation de SchrSdinqer W(E}|ï>= E |t>
fournit les énergies du système et "sa fonction d'onde en
base Bj". C'est l'objet du paraaraphe suivant.
II - c - Normes et relations d'orthogonalité
La résolution Ou problême aux valeurs propres cité
précédemment fournit une énergie E n et un état propre
I» „> = £f. { nil?i '' (H.31)
Du fait de l'interaction entre la baseltf,;. et | m->
la métrique pour le produit scalaire de deux vecteurs I H1 > n
n'est plus cartésienne mais doit être modifiée de la façon
suivante (voir références fBe 77 , Br 76, Be 76 a]
et appendice A)
<V T > - S m ' n mn E L + N ( m , n ) l <ra>#- <n> 6ij V BJ Ç i ç j (11,32)
i , j L 1 ]
avec la matrice H définie par
notons que si m - n la matrice métrique est très simple
N»"-"' = - — conduisant 3 la relation usuelle donnant les
38
aw, ij
£i£i (n> 3E
JE=E_
: (n) (11,34)
Comme la métrique n'est plus cartésienne du fait de
l'introduction du terme au ¥= , il peut arriver que certaines
:(n) composantes j »»' aient un module supérieur â l'unité. C'est
un trait caractéristique de la théorie du champ nucléaire,qui
peut être toléré, car, comme nous l'avons déjà souli'-
gné, la fonction d'onde n'est pas physiquement accessible.
On pei<t bien entendu évaluer N (IUI) en effectuant numérique
ment l e c a l c u l de la dér ivée de W par rapport à l ' é n e r g i e pour
la valeur E = E n mais cette méthode n'est pas astucieuse car a'
une part elle est longue, d'autre part elle ne permet d'at
teindre que N' 1*"' et non pas N1"*"'. Restons donc dans la
généralité. Comme toutes les quantités â évaluer dans la NFT,
N(mn) s' 0btient â l'aide de diagrammes (renie II) sans bulles
(règle III). Appliquant ces principes â (11,33) il vient
£3.
„(m,n)
Vj q,r,s,X,T
sans bulle
= E «j'\j • sans bulle ( 1 1 , 3 5 )
sans bulle
Les boîtes carrées symbolisent une série infinie Je diagram
mes sans bulle qui propage un état intermédiaire
39
[c + tf(C* C*),,r T lo> vers un état de base|B.> (ou vice versa) q r s * TJIM x
Cela correspond exactement aux définitions diagrammatigues
(11,19) et (11,26) des propagateurs F et G, ce qui fait que
la matrice métrique s'écrit sans difficulté
(njn) 8. B. i 3
2 L F B <
( < 3 ' r S , X T f E m ) V ( q ' r S ' X x î E n !rr,s,x, T
1 3
) (11,36)
On comprend à présent pourquoi il fut utile dans le
paragraphe précédent de calculer W . de deux façons dif
férentes de manière à faire apparaître les deux propagateurs
différents F et G. Après un examen rapide de (11,33) on pour
rait se demander pourquoi N "* n'est pas tout simplement
F. (E ) Fg < E
n>• La réponse est simple : puisque
Fg (q,rs,At;E m) est 3 l«C
qt r u M le complexe conjugué est (voir Appendice B)
Fg* (q frs,XT SE n) "tyfl
rar et par conséquent l'expression intuitive F. (E ) F . (E )
PJ m p. n serait représentée par les diagrammes suivants J
q,£sî*,T
±jdt ^t
'<
Or ces diagrammes présen
tent tous une bulle (q,r)
et par suite doivent être
écartés en vertu de la
règle III.
W
40
Insistons un peu sur un point purement technique qui aura son
importance par la suite. Les programmes de diagonalisation
standard d'une matrice hermitique ne fournissent pas directe
ment le vecteur I* > donné par (11.31) et (11,32) mais plu
tôt un vecteur qui lui est proportionnel
l»V = Ç n' 'lBi > 2
avec une norme cartésienne^en general ^ | n : | = 1
1
La démarche â suivre pour obtenir le vecteur |? > correctement
norme est triviale. On pose
ç i n ) - ;jjr'J"' <"•«>
et le facteur de normalisation je s'obtient a partir de (11,34)
/ , Vf, _ liifll n <n>* (n )
Il pourra arriver que le calcul de (11,38) conduise
à une valeur nulle.fi = 0 auquel cas l'expression (11,37) de Ç
diverge, ce qui veut dire que le vecteur ]<r > n'est pas nor-
malisable. En fait, si (11,38) vaut zéro, pour le jeu de
composantes ru obtenu après diagonalisation standard, il
vaut aussi zéro pour n'importe quel jeu proportionnel (avec
un coefficient de proportionnalité finiîà celui-ci en particu
lier pour le jeu des ç: . Cela veut dire que le vecteur|f > a une norme nulle < v | ç > = 0 et que par conséquent c ' est
le vecteur nul. Nous verrons prochainement que les états pro
pres qui jouissent de cette propriété sont les états parasites
annoncés dans l'introduction. Le processus numérique de norma
lisation traduit par les formules (11,37) et (11,38) ne peut
donc s'appliquer qu'aux états physiques.
41
Possédant la fonction d'onde dans le formalisme de la
NFT on peut s'attaquer-toujours dans ce cadre - au calcul de
n'importe quelle observable. Dans les deux paragraphes sui
vants, nous étudions successivement le facteur spectroscopique
de transfert d'une particule et les probabilités de transi
tions électromagnétiques.
II - d - Facteur spectroscopique de transfert d'une particule
Nous nous intéressons ici au transfert d'une particule
du noyau A+2 (le noyau A représente le coeur inerte) vers le
noyau A+3 par une réaction de transfert direct d'une particu
le. La cible A+2 est préparée dans un état de fonction d'onde
\t. > en général le fondamental; on la bombarde par un projectile a et on d'intéressé â la réaction où il ressort la
particule b (b = a-1 proton ou a-l neutron). On peut peupler
de cette façon plusieurs états | y. > du noyau résiduel A+3
avec des probabilités qui se mesurent en terme de section
efficace OJ, . Moyennant certaines conditions on peut écri
re o. f comme le produit de deux termes F Au 70 j dont
l'un dépend du mécanisme de la réaction et l'autre de la
structure nucléaire des états initial et final et de la
particule transférée.
2 °if = c s t e (mécanisme réactionnel) x | S. (i->f) |
(11,39)
L'information concernant la structure nucléaire est
toute entière contenue dans le facteur spectroscopique 2
|S. (i -• f ) | où S. est l'amplitude spectroscopique
S k(iH.f) =c f f| C*|ï ^ > (11,40)
|Vi> est la fonction d'onde du système â deux particules et
conformément à la règle I c'est un état à un boson
|ï1>= I\ (*iJi> 1 ° >• Quant à l'P^c'est un des états du sys
tème â 3 particules et il provient de la diagonalisation de
la matrice effective; il est de le forme (11,31) soit,
i ' f > = E « i ( f > i B i >
42
Suivant la théorie BW il faut aussi remplacer C. car un opéra-
teur effectif C. qui donne naissance a la série diagrammati-
que (Voir Appendice A)
s k ( i *f> = E «p
(f><3 t i c* r ; , V i > i o> =
£ç< f )t<e 4, k.y 1 A 1 T 1 ) ( 1 1 , 4 1 )
Dans notre cas particulier, l'opérateur effect i f vaut
K - Ck + Hpb [Ef-«sp-V] ' Ck [ Ei-Hsp-V] H
P b <«•«>
Le premier terme du membre de droite est la contribution
d'ordre 0; elle est très simple 6„
s<°>. » k * IVi " k,q„ N><T (» U.>.T,
l 1 i z s tll,43)
Le deuxième terme quant a lui engendre une série infinie de
la forme suivante
où n est le facteur de phase traditionnel n = j . +X,+l/2+r.-I-T
Symboliquement, on peut écrire cette série sous la forme sui
vante
=EN ( r s ) -èv V <»» V±>
tfii
kni,
43
Or, la bot te carrée e s t simplement l e propagateur
F„ ( k , r s , ) . t , ; E . ) , ce qui f a i t que l 'amplitude de t r a n s i t i o n t l i a forme suivante ;
N(r , s ) 1 x x s
r - r ( 1 1 , 4 4 )
[ u i - E r ~ Es]
(11,44) et (11,41) sont suffisantes pour determiner le facteur
spectroscopique de transfert d'une particule. Sur cet exemple
encore nous nous rendons bien compte de l'importance des propa
gateurs F introduits plus haut.
II - e - Probabilités de transition électromaonétioue
Nous admettons dès le départ les formules classiques qui
donnent les probabilités de transitions électromagnétiques
entre deux états de spin I, et I.. Il existe quelques bonnes
références sur ce sujet L Bl .De Sh 63, OP. Sh 14 Bo 69 I . La probabilité de transition par l'unité de
temps entre un état initial de spin 1^ et un état final de
spin l f qrSce â un processus de multipolarlté h est égale â
T 5 E. pour les transitions électriques\
= M_ pour les magnétiques ;
T(0L, I -i ) = B 1,(1*1) I f Ei Ef| B , 0 x T , i f ' F V * 1 B { Q L ' I i I f )
L |(2L+l)!!r * L * C J
Lv ' J (11,45)
L'information nucléaire est toute entière contenue dans le facteur B(Q ) qui vaut
44
BIO,^ - If) - 2 I* Xf Mf I QLMj Xi "t»l ("' 4 6 )
Q,„ est l'opérateur de transition électromagnétique de mul-
tipolarité L, projection M, • Le théorème de Wigner-Eckart
s'écrit dans ce cas :
< Jf«f ! «LU
L'opérateur Q.
x i Mi> ' 2Ïpr-< h \ " t I V f » < I I I !OL! I I I>
(11,47)
faisant jouer un rôle différent aux LM L
neutrons et aux protons n'est pas un scalaire dans l'espace
d'isospin. En fait, on peut montrer que Q t M est formé de
deux termes : un terme isoscalaire qui const.,, vc l'isospin,
un terme isovecteur qui peut chancer l'isospin d'une unité.
Comme nous n'appliquerons dans ce mémoire la NFT qu'au cas de
trois particules identiques, la séparation de Q,„ en deux
termes n ' e s t pas uti le . Nous ne parlerons nius d ' i s o s p i n pour l e r e s t e de ce c h a n i t r e . Moyennant ( 1 1 , 4 7 ) , l 'expremtion (11,46) du B(QL) dev ient :
BlQL.tt*Xt) 5ïJ+ri< ^ I I O L I I V I ( I I ' 4 8 )
Tout le problème réside dans le calcul de l'élément
de matrice réduit à l'aide du formalisme «le la IJFT.
L'opérateur Qj„ est un opérateur â un corps et par
conséquent il ne peut agir que sur une seule ligne de fer
mions, les deux autres se propageant librement. En d'autres
termes, le diagramme d'interaction de Q-u est toujours : r
* f *
™L
f l> dont l ' e x p r e s s i o n mathématique e s t :
•°'fc»[«]»]^fc»[c;4] | 0 > I.M,
45
étant entendu que Q.„ n ' a g i t que sur l e s o r b i t e s C v e t C. . L'évaluat ion de c e t t e quant i té ne présente aucune d i f f i c u l t é .
^ _ _ < ! . M i L ML | I f M f >
« L X ^ i 1 ! * ^ *f> (11,49)
h , « l * i . * > i x i L I f
avec Qj^O^ I t * k f I f ) - (-1) * & L l k(<kf lPLll K i
l Kf X ^ I
(11,50) Nous avons f a i t apparaître dans (11,49) l e même c o e f f i c i e n t de recouplage que dans (11 ,47 ) ; a i n s i , l o r s de l ' é v a l u a t i o n de l 'é lément de matrice rédui t s e u l e la quant i té Q, (k. I.-» k- I . ) e s t n é c e s s a i r e . Notons au passage q u ' i l existe une phase différente pour l e diagram» suivant :
ih
L'état initial |Ij M.> est défini par ses composantes dans
la base |6 ±> ; de même, pour l'état final | I. M->
j j Ainsi
(*>*" ,(i) < I :" QlJI Ii > = S C'k' C < 8 k ll^ll»t> <"' 5 1> k,*
où Q L est l'opérateur effectif introduit par BW (voir appendice A)
46
v • H + H PbiV H «p- v ] * °"t [ w - v r Hpb
a i ' s 2 >
Le premier terme Q,„ donne la contribution d'ordre zéro symbo
lisée par le diagramme
K dont la valeur est
°L» <9 ï
I i*«k V « .
(11,53)
Ut i £,Vk
Quant au second terme de (11,52), il engendre une série infinie
de diagrammes gui peuvent être groupés en quatre sous-séries
que nous examinerons les unes après les autres
sous-série (a) I t
ou plus brièvement
L'interaction électromagnétique donne le terme
"LA (q.i I±-. 3 f I f) • La boite carrée du haut est la définition
symbolique (11,19) de F (q f, rs,*;E.) tandis que la boite
carrée du bas correspond au propagateur G (q.,rs,A;E.). Ain-
si donc la somme de tous les diagrammes de la sous-série (a)
vaut
47
< B k l l Q j | e £ > < a ) - ^ F 6 t ( q f , r s , x : E f ) x
sous-série (b)
ou encore
(11,54)
-* +
»-tft
L' in terac t ion électromagnétique contribue pour V V I i _ I r
(-D ^A.'**!1! * q f I f ' t a n d i s 1 u e l e propagateur du haut est
(-1) £ Gg (q £,rs,X;E f) et le propagateur du bas
j„ +j„+J«+I< (-1) '
qi J r J 8'* i FB* (q^rs.X^).
< e k l | Q L H B e > ( b , = 2 ^ _GB* ( ,«'™'X'B f > °« ( q i l l ' * "f 1 #
F" (q^rs.X.-E^) 8»
sous-série (c)
q^#qj»r,s,X
(I*,C5)
M
48
soit
L'évaluation de ces diagrammes réclame un peu d'attention L'état intermédiaire du bas est [^•«SOAJÏ ' 0 >
a l o r s que c e l u i du haut es
[ C q E ® l C r CS>>]X '°--- te!
mat d'interaction électromagnétique donne sans problème < W W ^ If)
Le propagateur du haut s'obtient en découplant r,s et en recou plant q £ et r â À, ce qui fait apparaître le propagateur G p (s,rq«,X-;E,) puis en utilisant la relation(B,13) entre
les propaqateurs F et G. Le résultat est F, (q^rs,* ;E.). La boite carrée du bas s'obient par le mémo procédé soit
J r+J s
+X+1 * (~i) F (qit sr,X;B t). En résumé
i. * « • tr-\ k"** j _ + j „ + > * l
< £ k l ' V ! V • 2 r f « - » * * F ( q f . r . . X f B f ) K q , . q f , r , s , X
Q L X ( q i J i * 9f I f ) F6* t V " r , X , E i ) (11.56)
sous - sér i e (d ) ( k " * - J - , ,> * + '~
49
ou encore
Ce genre de diagrammes était
interdit dans le calcul de
1 "énergie ou de la norme
car il impliquait des
bulles, mais dans notre cas
un sommet d'interaction de
l'opérateur électromagnéti
que existe dans la bulle
nue et par conséquent
on ne peut plus parler de
bulles. De tels diaaramraes
sont tout à fait permis.
L'interaction donne le facteur Qj (q, I. • q, I f) alors que
le prapaaateur du haut est F <qf,ru, • :£,) et celui du bas
F* <qi(i- ,',-Ej) d'o-i K
• \ " \ ' '
<d) lq,,r.î, ;!:rl C.
q. .q..i,s. h V I r>x
F 3 , ( q i ' r , ' " E l ' (11,57)
Finalement, en regroupant toutes ces s é r i e s p a r t i e l l e s , i l v ient
, i !Q,. i ! (q. i i ^ v ï f )
• Z ^ Q Î ( < M i " q f ^ M r « l 'q f . rs»' ( sE f )
( q ^ r s ^ . - E ^ - M - l ) 1 • j +-. + 1
( q , , s r , ) : E . ) 3 ( 1 1 , 5 8 )
( q f , r s , . ; E f ) + F„ 1 * ! q f , r s , > ; E f ) F, ( g ^ r s , ) ; E i
Cette formule associée S (II,V;; perjnet d'avoir accès à l'élé
ment de matrice réduit qui donne les probabilités de transi
tions électromagnétiques. Nous remarquons encore dans (11,58)
la nécessité d'introdt.re les deux propagateurs différents
50
11 - f - Théorie du chano nucléaire pour le système à trois trous
Considérons a présent l e système c o n s i s t a n t en t r o i s trous dans l e coeur r i g i d e . Comment la théorie développée précédemment s 'appl ique t - e l l e dans ce cas ?
On a coutume d ' in troduire des opérateurs de créat ion de trou de la façon suivante TBO 6»1
W 1 / 2
P «p " p ' " "P-«p-lT = < - D J p " P "'" + W p C (11,59)
On définit des opérateurs d'excitation élémentaire de
façon tout â fait équivalente â (11,1) â savoir
R b i T ! , T
P* (ijij; JH THj.) * L__L_M£f' (11,60)
Ces opérateurs possèdent les nômes propriétés de symétrie
et relations d'orthogonal!té que les opërat-ours correspondante
pour les orbites de particules. De la même façon, l'inter
action résiduelle - qui ne prend en compte que les diagrammes
TDA c'est-â-dire trou-trou < ,jf a exactement LyÇ2 la même forme que (11,5) (pour avoir l'identité dans l'élément
de matrice en base couplée, il faut cependant supposer que V
est invariant par renversement du temps et cela est â l'origine
du facteur de phase apparaissant dans (11,59)). Prenant comme
référence d'énergie le fondamental du coeur inerte; E_(A)= 0»
les énergies individuelles sont données par :
E(A+1) = c k et E(A-l) = -£,. Avec cette convention H est mo
difié en ce sens que les énergies individuelles changent de
signe ^ ^ H=„ = " 5" 1 <M bÎ n, b< m . (11,61) sp £^ i i m.p. i m,!*
Ce changement affecte l'équation TDA qui fournit les
quantités dynamiques de la NFT u (JT) et < u]P I 0 >dans le
sens suivant
51
fuyWT) + e i + c i j < w | P + ( i 1 i 2 ; JMTMj)! 0> -
V * < i 3 i ^ J T | V | i j i 2 ; J T > < u | P * ( i 3 i 4 f JM THj. |0> (11,62)
^ 4
Les Hamlltoniens de bosons purs H. et d'interaction particule-boson H . sont identiques au cas précédent mais la constante de couplage A (i.i-îJT) qui est associée au sommet
^\r^ ^ vaut a présent Y-• il #.
A^djij.-JT) - L (JT> + e j + e 1 l < u | P * ( i 1 i 2 ' J M ™T>I ° * (11,63)
Enfin, lors du calcul des diagrammes provenant de la théorie BW les dénominateurs d'énergie, qui correspondent a l'action de fii! - H„"r sur les état» intermédiaires
b, ®(b, b, ) I |0 > ont maintenant la forme . xl 2 13 xJlT
E « ^ +e ± i +e 1J"1
Nous avons succintement étudié les répercussions d'un traitement en termes de trous sur tous les ingrédients nécessaires à la théorie du champ nucléaire et il ressort que le seul changement consiste 3 remplacer e en -e . c'est la règle que nous adoptons.
Le traitement du système consistant en trois trous en dehors du coeur est formellement identique â celui consistant en trois particules à condition de remplacer de partout
52
CHAPITRE III
APPLICATION A UN MODELE A UNE SEULE COUCHE
Jusqu'à présent, la théorie est restée très formelle
et il est bon de chercher â la relier à une approche de type
modèle en couches puisqu'à la limite où les calculs sont menés
jusqu'au bout sans approximation, les deux traitements doivent
fournir des résultats identiques. Diverses tentatives dans ce
sens ont été abordées dans le cadre de modèles plus ou moins
sophistiqués. Le plus couramment utilisé fait appel à une in
teraction monopolaire entre particules se déplaçant sur une ou
deux couches TBe 74, 76a , 76 b , Br 76 1
Dans ce cas, il n'existe qu'.un seul élément de matrice et il
est possible de sommer les diagrammes sous forme de séries
géométriques. On retrouve alors les résultats du modèle en cou
ches pour les états physiques, tandis que les états parasites
sont isolés â des énergies qui sont celles des états intermé
diaires non perturbés. Dans ce travail, nous avons développé
un formalisme qui permet de traiter le problème de trois parti
cules dans un nombre quelconque de couches interagissant par une
force quelconque mais nous restreigant par contre aux dia
grammes n'incluant que des sommets d'interaction de type TDA.
Cette approche semble prometteuse et demande à être analysée dans
des modèles où le résultat exact analytique ou numérique est
accessible. Dans ce chapitre, nous nous intéressons â un cas
soluble analytlquement. Considérons trois particules identiques
dans une couche j et interagissant à l'aide d'une force quel
conque dont les éléments de matrice sont notés
V ± = <jj;Ai|v|jjfA. > . Le traitement dans le cadre du modèle
en couches a fait l'objet de l'appendice C et nous reprenons
ic:. les mêmes notations pour examiner le problême avec le for
malisme de la NFT. La force donne naissance à j+1/2 phonons de
53
moment angulaire pair X< « 2j+l-2i i « X,...j+l/2. Comme
il n'y a qu'un seul phonon pour un X. donné l'équation TDA
est triviale
u x i " 2 e - v i
< A i l P + ( j j , X i ) | 0 > - 1 (111,1)
d'oa l'on déduit immédiatement d'après (11,9) la valeur de
la constante de couplage
A^ = A(jj;Xt) = V t (111,2)
Mettons trois particules dans cette couche et occupons nous
des états I » 3j-l ou 3j-2. Ces états sont interdits par le
principe de Pauli, il existe néanmoins un état de ce type
dans le cadre de la NFT â savoir
|8> -[Cjlprj* 1 |0 > (111,3) I L , 1 JIM
1 j x l 21? . il est facile de calculer la valeur
j I X L j
de ce ej 3 l'aide des formules de Bacah. Pour les deux valeurs
de I citées précédemment, nous avons la relation
A = 1 + C 2 0 (111,4)
Dans ce cas, les matrices K et K se réduisent à un nombre
et on peut vérifier que
n = E - 3e
K = K = C Vj n lt (111,5)
Les propagateurs du premier ordre sont tout aussi simples
à calculer.
Fu> = | G(D . c / T V i „-1 ( I I I , 6 )
d'où on déduit immédiatement les propagateurs exacts
F = £f = C ~ V 1 [n-C v j (111,7)
54
Tenant compte du fait que W «£+u. * 3 e + Vj
nous avons accès A W grâce â (II,18)
W « 3 e+n Vl n- C v j (111,8)
L'équation de Schrôdinger W = E dans ce cas simple prend la
forme
n [n- v xû 1 = o (Hi,9)
Une solution est n= O mais elle est d'origine mathématique
car en calculant (111,7) nous avons multiplié deux membres
par n. L'autre solution n = V,fi correspond effectivement à la
solution provenant de la NFT. Comme A est rigoureusement nul
pour les deux valeurs de I étudiées, il ressort que la solu
tion NFT est n= 0 ou encore E = 3c . Cet état viole le prin
cipe de Pauli et le fait que son énergie soit égale â l'éner
gie des états intermédiaires est une des signatures d'un
état parasite. Mais ce n'est pas la seule. La matrice métrique
(11,36) prend la valeur suivante (avec n= 0)
N » F x G = C*1 (111,10)
et par conséquent^ l'équation CII ,,32) qui donne la norme
est :. .»" ,;, .-.,;.
1 s* §.f ! - J ' (111,11)
Puisque A= 0 nous nous jruuwona. ;iJj*ns l ' h y p o t h è s e évoquée dans l e paragraphe C du rnatil^:roi!tij0^in Gtat non n o r m a l i s a b l e . Ce n ' e s t pas «ous.- Qf.::siat>r<sxs 1« f au t eu r spec t roscop ique dé t r a n s f e r t d'ur.o j.art'»ru!'.<?" 3» ï>t-tiL •.• * du noyau A+Z ve r s
.-.i t r è s s i r o l e j i 'aprÊs. . 411,44) en . v ~• • "
» 1 - T~SO (111,12) "1
et par suite le î.ictfji goeitrcscopsq^o S. est rigoureuse
ment nul, et ceci ind*-pendarr»nt de la valeur de la fonction
d'onde £. (voir 11,41) cui rappelons le n'est pas normalisable.
De même, considérons le moment statique d'ordre L sur
l'état |3> autrement dit cherchons < g| jQ. | |B>- Il n'y a que
l'état I = 3j-« •->„ :-." L'amplitude ». (:,*,•
faisant. •*•= 0 i }
t i.-v;. V
55
le terme Q » Q. , (jl-»jl) qui intervient et l'expression de «*1
l'élément de matrice réduit (II,58) où on pose P = -Si/2 et G = -/~2/C donne
<6||QIi!|6> = 2 Q £ = O (111,13)
Là encore, le moment statique est nul indépendamment de la
valeur de la fonction d'onde . On pourrait montrer que les
transitions entre l'état |B> et d'autres états physiques sont
également nulles mais cela nécessite la connaissance de la
fonction d'onde de l'état physique ce qui n'est possible ana-
lytiquement que dans un nombre de cas fort restreint. Nous
venons d'examiner les propriétés d'un état qui existe dans
le cadre de la NFT mais qui viole le principe de Pauli.Regar
dons maintenant ce qu'il advient lorsque la base est redondan
te mais qu* un état physique existe néanmoins. Un exemple
approprié pour un telle étude concerne l'état I = 3j-3 obtenu
a l'aide du petit modèle introduit au début de ce chapitre.
Le schéma m nous indique qu'il existe un seul état physique
dont les propriétés obtenues a l'aide du modèle en couches
font l'objet de l'appendice C. La base NFT comprend deux
états
iv - [ C K ] I M
| 0 > l62> = [ C K L 1 0 > ( I I I ' 1 4 )
elle est donc surcomplète. Il y a de même deux états intermé
diaires noté I1> et I 2> . introduisons la matrice C défi
nie par les éléments de matrice ^ A I j j X. '
C,A - 2 X A J a
-ij i.j = 1,2 (111,15) 1 J I
Ij I A. Le calcul des noyaux K et K est très simple
K i j = « " l c i j vj ; *± j = " " l c i j v i « " • " >
Dans ce cas particulier, K est la matrice transposée de X mais
ce n'est pas une règle générale. Notons D = n det(l-K); de
façon développée
D - n 2 -n WjC^+VjC^) + V ^ j det C (III, 17)
Il n' y a aucune difficulté particulière S déduire les propa
gateurs au premier ordre
F
B " i -n _ 1 c ij vi ' * °i" j - «ij ^ v i " ' l " " . « >
L'équation fondamentale de la NFT donne accès aux propagateurs
exacts F
B . ( j '% [•> v i c i j " fii j v i v 2 d e t c ] < I I I ' 1 9 )
\,i mJ% [" vi 6ij • V a d e t c « c _ 1> t j ]
L'expression des éléments de matrice de l'Hamiltonien effectif
n'est pas reproduite ici car elle n'est d'aucune utilité par
la suite. Beaucoup plus important est le résultat de l'équa
tion de Schrcdinger det |W - El| « 0 qui se met sous la forme
5 n - Bn + A « o 2
avec B - £ vi ûii à ij " sij * cij 1«I»»>
Idet C + Tr C + 1 " V1 V2 f*
A l'aide des formules de Racah il est facile de déduire la
matrice C. Explicitement, pour la valeur du spin étudié I=3j-3
C U - !£§ C12 * T5=3 [(3l-2) «"»] U 2 = C21 C 2 2 = -4^=3 («1,21)
De la, on tire immédiatement Tr C — 1 et det C — — 2 , ce
qui annule identiquement le terme A. Les d«ux solutions de
(111,20) sont alors triviales.
n = 0 ec n = B (111,22)
Etudions successivement les propriétés de ces deux états ; oc
cupons nous d'abord de l'état 1=0. L'énergie de cet état est
donc E = 3e c'est-à-dire l'énergie des états intermédiaires;
57
nous avons vu précédemment que c'était là une des caractéristi
ques de l'état spurieux. Voyons si les autres propriétés sont
aussi valables pour ce cas un peu plus sophistiqué. En portant
la valeur n « 0 dans (111,19) on trouve que les propagateurs
pour l'état spurieux sont très simples (écriture matricielle).
F = - I G = -/2C~* (111,23)
L'équation aux valeurs propres qui détermine les amplitudes
£, et ç, pour l'état en question a une forme matricielle très
attrayante
(I + C _ 1 K = 0 (111,24)
Cette équation n'est pas suffisante pour déterminer les ampli
tudes; il faut lui adjoindre la condition de normalisation
(11,32) qui s'écrit dans le cas présent
1 = Ç + U + C " V (111,25)
Cette relation est incompatible avec (111,24) ce qui
signifie que l'état n'est pas noimalisable ou encore qu'il
est de norme nulle. En ce qui concerne le facteur spectroscopi-
que de transfert d'une particule, on ne peut peupler l'état
I » 3 j - 3 qu'en partant des états d'énergie u, et m, * 1 2 et il n'existe que deux facteurs non nuls a priori dont
les amplitudes t s'expriment très simplement
t<g,.j,u. > = « , . , + F. . /Z (111,26)
1 AJ ij B^#J
Four l'état caractérisé par n= 0, le propagateur F est donné
par (111,23) e t de (111 ,26) , i l en découle inpiëdlatement que t(S <j,u. ) est rigoureusement nul et qu'en conséquence les
i Aj facteurs spectroscopiques correspondants s'annulent quelle oue
soit la valeur prise pour la fonction d'onde Ç . Dans le cal
cul du moment statique d'ordre L n'interviennent que les deux
quantités Cj = 0 L X 'i1 -O 1) e t Q 2
= QL\ 'J1"* J1'- L'élément
de matrice réduit< ||Q^||B£ > est simplement
58
+ \ n V » l t I I I , 2 7 )
Les propagateurs F et 6 pour l'état n » 0 sont fournis par
(111,23) si bien que pour l'état spurieux
<Bk||QL||8t> = tQt+Qfc) <I+C_1) k t (III.28)
A l'aide de cela, l'élément de matrice réduit< I||Q.||I >
s'obtient sans peine grâce a (11,51)
< I||QL||I> - C+(I+C _ 1) Qç + K* Qd+C" l)ç (111,29)
où Q est une matrice diagonale d'éléments Q.et Q,. Mais d'aprôs
l'équation de SchrBdinger (111,24) cette quantité est nulle
indépendamment de la valeur prise pour la norme. Nous venons
d'examiner les propriétés de l'état dit parasite, voyons ce
qu'il advient de l'autre état. Nous avons déjà souligné que
son énergie est :
E » 3c + B (111,30)
en parfait accord avec l'expression (C,6) du modèle en couches.
L'équation aux valeurs propres qui fournit les amplitudes ç,
etç , e s t également très simple
vx *nq^ ç2 + v2 rr^ ç t - o (IH,3D A cette équation, il faut adjoindre la condition de normalisa
tion (11,32) qu'on écrit sous forme matricielle
Ç + (I + F G)Ç - 1 (111,32)
Il suffit de remplacer F et G par leurs valeurs (111,19) en
portant n= B pour avoir accès aux amplitudes. Le calcul est
assez long mais ne présente pas de difficultés majeures. Le
résultat final s'écrit simplement
«i • -ir /~sn « 2 - ~ r "^M ( I I I > 3 3 )
Notons que les composantes dépendent des éléments de matrice
de l'interaction et que si par hasard B est voisin de zéro, les
amplitudes peuvent dépasser notablement l'unité.
59
Passons â présent â l'étude des facteurs spectro-scopigues . Il en existe deux non nuls dans le cas prisent
2
2 S s H S j < V f ) l * ' l ' 2 (111,34)
Sj<V f) - £ Si fc fB tO.X t)
Les amplitudes spectroscopiques élémentaires découlent de (111,26) . On obtient sans peine
S i = ûii * = 1 ' 2 (111,35)
ce qui est le résultat du modelé en couches (voir C,7). Changeons d'observable et voyons ce qui se passe dans le cas d'une transition électromagnétique de l'état physique vers l'état parasite traité un peu plus haut ; les quantités se rapportant â l'état parasite sont affectées d'un indice supérieur (P), les autres se rapportent * l'état physique. Sous forme matricielle l'élément de matrice réduit (11,51) prend la forme
<i ( p )||Q L||i> - ç( p ) Od- G>Ç - n ç t P' d+c" 1) orç
(111,36)
(nous avons utilisé le fait que F ( p'. - I et G I P ) = -/~2C" Compte tenu de ce que (l+c" ) ç' ' « O et que pour l'état physique (I - ~ G)ç » O , il s'ensuit que <l' P'|!0 | 11> »0. Il est impossible d'exciter (ou de désexciter) l'état parasite à partir (ou vers) un état physique. Enfin, occupons nous du moment statique d'ordre L pour l'état physique
< I | | Q L | | I > = Ç + r Q + F Q G + 2 F Q F + G Q F l ç (111,37)
On calcul un peu long utilisant (III,X9) avec r, = B et <III,33) nous conduit au résultat
< I l ! û L l lI > = Û U Ql + â22 °2 (HI,38)
expression qui coincide avec la valeur exacte du modèle en couches (C,11).
Ce modèle soluble analytiquement a le mérite de nous
1
60
•..ontrer les traits saillants du traitement NFT considéré ici:
les états parasites sont aisément isolés de par leurs carac
téristiques en énergies, norires et diverses probabilités de
transition; les états physiques possèdent toutes les proprié
tés des états correspondants du modèle en couches.
Il semble bon de résumer les principales conclusions de
ce chapitre concernant les états obtenus dans le cadre de la
NFT.
Sous la condition que les calculs soient menés sans
approximation c'est-â-dire en incluant tous les états
de base possibles et tous les états intermédiaires
correspondants, la théorie du champ nucléaire fournit
deux types d'état
Etats Caractéristiques
physiques Toutes les caractéristiques du modèle en couches
parasites E • E_+e_ +e_ énergies situées exacte-p q ment aux énergies des
états intermédiaires
<B|B> » 0 norme nulle et par conséquent état propre correspondant au vecteur nul
< S|TJ 4>>« 0 impossibilité d'exciter (ou de désexciter) un état parasite 3 partir d'un état quelconque (parasite ou physique) â l'aide d'un opérateur de transition physique
(<r'|T|l'> doit être un observable)
Nous verrons dans le prochain chapitre que ces conclu
sions restent valables dans des exemples beaucoup plus géné
raux que celui considéré dans ce chapitre. Dans le chapitre V,
nous examinerons ce qui se passe dans des cas où des approxima
tions sont nécessaires pour mener 3 bien les calculs.
61
CHAPITRE IV
UN MS "REALISTE" EXACT : LE J «b5Q
Dans le précédent chapitre, nous avons examiné en
détail un cas analytique qui a permis de trouver les critères
sélectionnant les états parasites d'une part, d'autre part de
montrer que les états physiques de la NFT sont caractérisés par
des observables identiques A celles du modèle en couches. Ici,
nous étudions un cas encore suffisamment simple pour être trai
té de façon exacte numériquement, mais déjà trop complexe pour
être résolu analytiquement par la NFT. Cela permettra de vali
der les résultats obtenus précédemment, mais aussi de tester
la sensibilité de la méthode aux diverses approximations. Depuis
le travail de Ford ] Fo 55Ion considère généralement que le 88
noyau de Sr (Z '38, N • 50) constitue un "bon coeur" , le 91
Nb présentant alors trois protons en dehors du coeur. Quatre
ans plus tard, les premiers calculs de modèle en couches appa
rurent qui prenaient en compte uniquement les deux couches 2 p 1/2 e t ' 5 Q/->; l e spectre obtenu était assez bon |_Ba 59 J
Depuis lors, les noyaux de cette région ont été étudiés de fa
çon intensive tant expérimentalement que théoriquement f Ta 60,
Bro 76, Kn 70 J;on s'est aperçu que des interactions effec
tives tiries directement des spectres expérimentaux étaient ca
pables de reproduire de façon tout â fait satisfaisante une gam
me assez étendue de noyaux de cette région. De plus, la couche
1 9 g/2 permet d'apprécier l'importance du mélange de configura
tions dans le cas où la séniorité n'est pas tout â fait conser
vée. Le récent travail de Gloeckner- Serduke GS IG1 74 J
montre qu'il est possible de rendre compte des niveaux bas en
énergie des isotones N = 50 3 l'aide des configurations protons
(2 P 1 / 2
) 2 t l 9 9/2 , n~ 2 e t ( 1 99/2 ) n seulement.
62
TABLEAU I
Paramètres du modelé en couches utilisés wvir le calcul
du. Nb dans le cadre de la NFT.
QUANTITES VALEURS(HeV)
< < P 1 / 2 )2 ; O + | V | < P 1 / 2 )
2 ; o*> - 0.542
<(P 1 / 2)2;o +lv|(g 9 / 2)
2; o*> 0.653
* Pl/2 99/2 î 4" l v |Pl/2 99/2' 4 _ > 0.714
< Pi / 2 99/2*5"lVIPl/2 99/2 , 5 _ > 0.195
< ( g 9 / 2 )2 ; o +|V|(g 9 / 2)
2» o +> - 1.707
<(g 9 / 2)2> 2 +|v|(g 9 / 2)
2j 2+> - 0.616
< ( g 9 / 2 )2 ; 4 +|v|(g 9 / 2)
2, 4+> 0.144
< ( g 9 / 2 )2 ; 6 +|v|(g 9 / 2)
2» 6+> 0.4S0
< ( g 9 / 2 )2 ; 8 +|v|(g 9 / 2)
2; 8+> 0.565
ePi/2 - 7.125
g9/2 - 6.247
63
Dans cet article, les auteurs ont ajusté 45 états de différents
noyaux en utilisant les onze paramétres a leur disposition
(soit deux énergies individuelles et neuf éléments de matrice
de l'interaction). Le but de ce chapitre n'est pas d'amélio-
rer la description du Nb mais simplement de comparer les
résultats de la NFT et ceux du modèle en couches. Aussi ,
nous contentons nous d'effectuer les calculs avec l'ensemble
des paramétres nommé "énergie totale" par GS. Ces paramètres
sont rappelés dans le tableau I. Les éléments de matrice en
gendrent deux phonons 0 et un phonon 2 ,4 ,6 ,8 ,4~,5 . Les
constantes de couplage employées dans la HFT sont égales aux
éléments de matrice pour les bosons *. J M i alors que pour
les bosons de J • 0, elles valent respectivement (en MeV)
A (P l / 2 P !/2» °î > "-0.936 A «S 9 / 2 g 9/2,- O*) = 1.684
A <P 1 / 2 P l / 2 ; 0* ) - 0.380 A (g 9 , 2 g 9 / 2 ; 0*) --0.896
(IV,1)
Dans le tableau II, nous construisons la base exhausti
ve de la HFT et nous la comparons a la base correspondante
du modèle en couches. Nous avons ainsi une vue globale de
la redondance de la base NFT dans cet exenDle très sim
ple. Notons que parmi tous les états, certains relèvent
déjà de l'étude du chapitre précédent ( les 25-t et 23 ,t cor-3 ' + ' 3
respondent â (g g, 2) avec I = 3j-l et 3j-2, le 21 / 2 S <T 9y2>
avec I = 3j-3) . D'autres états peuvent se traiter encore de façon analytique simple (par exemple le I9 / 2*
1 9 / 2 ' î/2' 3/2 ' â l a
rigueur le 17/ 2 , 15,, , 5 , , ) . Tous les autres requièrent un
traitement numérique complet. Deux spins présentent néanmoins
un intérêt particulier : le 9 ,2 parce que la base NFT est
très surcomplête et parce que c'est le seul spin qui admette
plusieurs états physiques ; le l,.~ Pa*ce que la couche
2 Pj/2 joue un grand rôle, que le principe de Pauli interdit
d'y mettre trois particules et que paramètre de convergence
j + -j utilisé très souvent dans la NFT TBe 76 a] vaut dans
ce cas 1 (et que par conséquent un développement â un ordre
limité risque de ne pas converger).
TABLEAU I I
qi
Base comparative du modèle en couches e t de la t*T pour l e K> . n : noirbies d'états du modèle en couches.
N marbre d'états de la WT.
Etats n Base du modèle e n couches
N Base d e l a NET
25/2* 0 1 |9/2*#>8*>
23/2* 0 1 |9 /2*«8*>
21/2* 1 I (9/2*) 3 > 2 ' 9 / 2 + » 8 * > , | 9 / 2 * » 6 * >
19/2* 0 2 | 9 / 2 + » 8 * N , | 9 / 2 * « 6 * >
17/2* |<9/2*) 3 > 3 ! 9 / 2 * » 8 * > , | 9 / 2 * » 6 * > , |9/2*f>4*>
15/2* | (9/2*) 3 > 3 | 9 / 2 + » 8 + » , |9/2*»56*> , | 9 / 2 * » 4 * >
13/2* | (9 /2> 3 > 4 | 9 / 2 + 0 > 8 + > , ! 9 / 2 + « 6 + > , | 9 / 2 * 0 4 * > , | 9 / 2 * » 2 + >
11/2* | ( 9 / 2 ) 3 > 5 | 9 / 2 * « 8 * > . ! 9 / 2 + # > 6 + > , | 9 / 2 + » 4 * > , | 9 / 2 * » 2 * > . | l / 2 " » 5 " >
9/2* | ! l / 2 ) 2 9 / 2 * > . K 9 / 2 * ) 3 v l >
|(9/2*) 2i v « 3>
8 | 9 / 2 + 0 J 8 + > . ! 9 / 2 * C 6 * > , | 9 / 2 * » 4 * > , | 9 / 2 * » 2 * >
| 9 / 2 + © 0 * > . l 9 / 2 * » 0 * > , | l / 2 ~ » 4 " > , | l / 2 _ » 5 " >
| 9 / 2 * » 8 * > . ! 9 / 2 + t > 6 * > ,|9/2*#>4*> ,t9/2 + #>2*> , 7/2* | ( 9 / 2 * ) 3 > 5
| 9 / 2 + 0 J 8 + > . ! 9 / 2 * C 6 * > , | 9 / 2 * » 4 * > , | 9 / 2 * » 2 * >
| 9 / 2 + © 0 * > . l 9 / 2 * » 0 * > , | l / 2 ~ » 4 " > , | l / 2 _ » 5 " >
| 9 / 2 * » 8 * > . ! 9 / 2 + t > 6 * > ,|9/2*#>4*> ,t9/2 + #>2*> , | l /2"é»4" >
5/2* |(9/2*>3> 3 |9 /2 + ©6*>. |9 /2 + «P4' 1 ' > , |9 /2*«>2 + >
3/2* |<9/2) 3 > 2 | 9 / 2 * « 6 * > . | 9 / 2 + » 4 + >
1/2* 0 1 < 9 / 2 + » 4 * >
.../...
TRBUEfiU II (Suits)
Etats n Base du modèle en coudes
» ! Base de la NFT
19/2" 0 î |9/2 +®5~ > 17/2" î (9 /2) 2 1/2 > 3 |9/2+|»5"> , | 9 / 2 + » 4 " >, | l /2"®8 + > 15/2" | (9 /2 ) 2 1/2 > 3 |9/2*»5~> , | 9 / 2 + « 4 " > f | l / 2 " « 8 + > 13/2" | (9 /2 ) 2 1/2 > 3 |9/2 +»5"> , | 9 / 2 + » 4 " > r | l / 2 ~ « 6 + > 11/2" |(9/2> 2 1/2 > 3 \9/2*0S~> , |9/2*»4" > , | l / 2 ~ » 6 + > 9/2" | (9 /2) 2 1/2 > 3 19/2 +» 5"> . 19/2 +» 4" >, 11/2"» 4 + > 7/2" |<9/2) 2 1/2 > . 3 |9/2+4f5~> , |9/2*»4~ > , | l / 2 ' » 4 + > 5/2" |(9/2» 2 1/2 > 3 |9/2*»5~> , l9 /2 + «4~ > , | l / 2 ~ » 2 + > 3/2" | (9 /2 ) 2 1/2 > 3 l9/2*»5~> , !9 /2 + «4~ > , | l / 2 ~ » 2 + > 1/2" |(9/2> 2 1/2 > 4 ! 9/2*»5~> , 19/2*®4" >, | l / 2"«o | - , l /2Vo* >
66
Nous effectuons tout d'abord les calculs exactement
c'est-a-dire avec tous les états de base |6 i>=[C* 9 r 1 |0>
et avec tous les états intermédiaires [*C*»(C* C„ +hl loV? L 4 r s AJTJI
La procédure utilisée pour évaluer les éléments de matrice
effectifs W (E) a été abondamment commentée dans le cha
pitre II et l'appendice B. Comme nous l'avons déjà sou
ligné, nous devons chercher les valeurs propres de W
qui soient égales 3 la valeur du paramétre utilisé dans l'ex
pression de W lui-même. Dans la pratique nous choisissons un
certain nombre de valeurs de E dans une gamine d'énergie où
nous nous attendons â trouver l'état physique. Pour chaque
énergie E la diagonalisation de w fournit un jeu de N valeurs
propres E . Nous traçons ensuite la courbe
«(E) - E Q - E (IV,2)
C'est une courbe multiforme au sens où S chaque valeur de E correspondent N valeurs de <5. Nous at te ignons une s o l u t i o n E lorsque l 'une des branches s 'annule .
«(E n ) - 0 (IV,3)
Une fois déterminées les énergies E . nous calculons les pro
pagateurs F(E n), G < E
n ) e t cherchons la fonction d'onde â l'ai
de de la condition de normalisation (II,38). Il est possible
ensuite d'avoir accès aux diverses observables décrites plus
haut. Nous avons représenté sur la figure (la) la courbe 6(E)
pour le spin 9,_ . Il y a huit branches (certaines semblent
manquer mais en fait elles sont hors de l'échelle) qui donnent
naissance â cinq racines : deux d'entre elles sont exactement
aux énergies des états intermédiaires à savoir 2 e,y2 + £g/2
= - 20.497 MeV et 3 e 9 / 2 = - 18.741 MeV, les trois autres
coincident avec les valeurs tirées du modèle en couches
Ej = - 20-654 MeV, E 2 = - 18.953 MeV , E, = - 17.870 MeV.
La figure (2a) montre la courbe analogue pour le spin l/2~ ;
dans ce cas, il existe quatre branches donnant deux racines
parasites 3 ^ 1 / 2 = - 21.375 MeV et 2 e + e = - 19.619 Mev
et une racine physique exactement égale à celle du modèle en
couches E = - 20.468 MeV. Tous les autres spins exhibent des
regTCE la Courbe S(E) (Voir XV,2) pour les éLats 9/2+ du tfc avec les paramètres GS.
La HFT est menée â tous les ordres de perturbation.
FIGURE lb
téne étude pour un traitement de la NTT au 1 ordre.
68
courbes l (E) du même genre qui conduisent aux conclusions énoncées précédemment â propos des énergies des états physiques et spurieux.
Dans tous les cas, les états parasites sont également caractérisés par une norme nulle c'est-à-dire un terme de normalisation^ O (formule il.38). L'expression (11,32) permet également de tester les relations d'orthogonalité entre états; il s'avère que les états parasites sont orthogonaux entre eux et orthogonaux aux états physiques. De même, les facteurs spectroscopiques de transfert vers un état parasite et les décroissances électromagnétiques vers un état spurieux sont nuls S la précision de l'ordinateur près. Quant aux observables des états physiques elles coincident toutes avec les valeurs obtenues dans le cadre du modèle en couches. Ces résultats confirment de façon éclatante dans un cas non trivial les conclusions du chapitre précédent.
Cea résultats sont importants du point de vue théorique et donnent confiance, si besoin est, dans toutes les formules transcrites au chapitre II. Les fonctions d'onde pour tous les états sont explicitées dans le tableau III et méritent quelques commentaires. Comme déjà mentionné plus haut, les fonctions d'onde ne sont pas des observables et nous ne devons y attacher qu'une importance relative. De plus, la base comporte plus de composantes que celle du modèle en couches et on peut se demander la raison de son utilitê.Ba fait, cette base est très bien adaptée au calcul des réactions de transfert a une particule car de façon générale, un état physique qui a une grosse
r + + i T t \ composantel C 0 r (AT)| |0 > est très facilement peuplé
L H V Jiu par le transfert sur l'orbite q à partir de l'état r (XT)| O >; ainsi une simple inspection de la fonction d'onde fournit de précieuses indications sur les réactions de transfert possibles. Une première constatation qui ressort de l'examen global des fonctions d'onde c'est que plus un état est voisin d'une solution snurieuse plus son facteur de normalisation est faible. C est particulièrement évident
TABI£MJ III Energies (en MeV) e t fonctions d'onde complètes obtenues par un traitement NET à tous les ordres pour
le noyau
Etat énergie JC %/2»°î V2*°2 *V2 # * + V 2 * 4 + % / 2 * 6 ' * 9 / 2 e 8 + P l / 2 » 4 " P l / 2 * 5 ~
3 / 2 + -18.059 2.207 - 0 .31 0 .60
5 / 2 + -18.458 0.124 1.98 0 .39 2 .00
7 / 2 + -19.080 0.125 2.27 - 0 .27 - 0 .10 1.66 0.00
9 / 2 + -20.650
-18.953
-17.870
0.019
0.042
1.829
-5 .23
-2.11
-0 .02
- 2 . 7 0
3.36
0.02
- 0 . 0 9
- 1 . 1 9
- 0 . 2 3
0 .03
0 .39
- 0 .18
0 .10
1.39
0 .63
0.15
2.08
-0 .25
- 3.91
- 0.23
+ 0.00
1.18
0.07
- 0 .00
U/2' 1' -18.192 0.508 - 0 . 8 0 - 0 .29 - 0 .48 1.00 0 .00
1 3 / 2 + -18.285 0.241 1.28 O . U 0.87 1.32
1 5 / 2 + -17.433 2.776 - 0 .07 0.47 - 0.36
1 7 / 2 + -17.474 2.525 i - 0 .11 0.26 0.56
2 1 / 2 + -17.127 2.976 1 |
! i !
! - 0 .23 0.53
~l TABLEAU I I I (Suits)
Etat Enercie JC pl/2*°l V2*°2 V 2 » 2 + "1/2 » 4 + P 1 / 2 » 6 +
V 2 ® 8 + g 9 / 2 » 4 " % / 2 W 5 "
1/2" -20.468 0.178 - 0.40 2.18 0.80 0.24
3/2" -19.219 0.157 1.53 1.96 - 0.44
5/2" -19.480 0.025 4.46 4.33 1.61
7/2" -18.358 2.098 - 0.11 0.67 - 0.12
9/2" -18.826 1.893 - 0.18 0.64 0.30
11/2" -17.949 2.700 - 0.27 0.54 - 0.07
13/2" -18.623 2.360 0.45 - 0 . 3 9 - 0.26
15/2" -17.730 2.868 - 0.30 0.51 - 0 . 0 5
17/2" -18.612 2.291 -
0.56 - 0.22 - 0.27
I
71
pour les niveaux (9/2)t, (9/2)j. 5/2". Dans ce cas, les compo
santes des fonctions d'onde peuvent être notablement supérieu
res a l'unité. Cet effet provient de l'influence très grande
des états intermédiaires sur les états de base. Un traitement
HFT au premier ordre est sensé donner un très mauvais résultat
dans ce cas 13 â cause du très petit dénominateur d'énergie;
il est absolument nécessaire d'effectuer un développement à
tous les ordres pour recouvrer le bon résultat (le cas est
analogue 3 une série géométrique dont la raison est voisine
de 1). Une autre conclusion qui ressort est que l'im
portance des états intermédiaires est d'autant plus grande
qu'ils sont proches en énergie de la solution physique. Ce
détail est capital lorsqu'il s'agira de résoudre le système
(11,29) pour des cas réalistes comportant un grand nombre
d'états intermédiaires. Il apparaît une conclusion similaire
en ce qui concerne les états de base \& ^ » s plus l'énergie non perturbée e+ u de l'état de base est proche de la solution physique) plus cet état a de l'importance. On peut s'en
convaincre, par exemple, en considérant la composante '
I g 9/2® °i > P o u r les trois niveaux 9/2 . Ces remarques ne
doivent pas être prises comme des règles absolues mais elles
indiquent des tendances car,bien entendu, l'expression de
l'élément de matrice ei d'un terme en énergie.
Considérons la courbe 5(E) relative au spin 9/2*; il
existe trois racines physiques de l'équation de SchrSdinger
S(Ei) = O, i = 1,2,3. Le simple examen de la courbe permet
de savoir si ces racines sont stables vis â vis des paramètres
et des différentes troncatures (nombre d'états intermédiaires,
d'états de base, ordre du développement de la NFT). Les solu
tions Ej et E. proviennent de branches de 6(E) qui coupent
l'axe des abscisses avec une tangente presque horizontale et par consé
quent un petit changement de données peut modifier sensible
ment la position de ces racines Î par contre la solution E,
doit être beaucoup plus stable car « (E) coupe l'axe de fa
çon beaucoup plus abrupte.
l'élément de matrice effectif W . „ dépend d'autre chose que
72
Les figures (lb) et (2b) sont les analogues de (la) et
(2a) S la différence que la théorie du champ nucléaire n'a
été menée qu'au premier ordre des perturbations; cela signi
fie que nous avons employé les propagateurs F et G au
lieu de F et G dans toutes les expressions ou ils intervien
nent . La courbe 6 (E) présente dans ce cas des singularités
pour les valeurs E = e +c_ +E_ alors oue Drécédemment les sin-p q r gularités étaient localisées aux valeurs de l'énergie annu
lant det (i-K(E)). La figure (lb) nous montre six racines
dans la plage considérée et il n'est pas facile de déterminer les trois
solutions physiques. En fait, nous voyons que
la solution E, qui a dérivé de quelques 100 fcev vers la droi
te ressent la troncature de la NFT de façon beaucoup moins
drastique que les deux autres. Il semble que les états para
sites soient très mélangés avec les états physiques c ° <3ui
n'est pas surprenant car les solutions exactes E, et E, sont
très voisines des solutions spurieuses. Les mêmes remarques
s'appliquent pour le 1/2" de la figure (2b) oC deux racines
existent alors qu'un seul état physique est présent . Le
calcul des facteurs de normalisation JT ne rassure pas plus car dans aucun des cas il n'est nul, bien que les relations
d'orthogonalité entre toutes les solutions soient approxima
tivement vérifiées. Voyons du côté des facteurs spectroscopi-
ques ce qui se passe ; pour la solution E, exacte nous avions 2 90
la valeur S - 0.93 (â partir du fondamental du Zr ), alors 2
qu'au premier ordre S = 0.88. Ce résultat est un peu surprenant si on considère que l'énergie est passée de - 20.654 MeV à - 21.674 MeV , soit 1 MeV de différence 1. En fait, cela confirme ce qui a déjà été dit, â savoir que l'énergie dans ce cas est très instable vis à vis des divers changements d'approximations; le facteur spectroscopique l'est beaucoup moins. Si par contre, on s'intéresse au niveau l/2~ le traitement exact
2 fournit S =0.34 alors que les deux racines de (2b) donnent
2 — 3 2 —4 respectivement S, s 10 et S-~7.10 ; le premier ordre est tout â fait inadéquat, la raison en est que le paramètre de
convergence (j+1/2) "vaut l'unité (c'est la couche V\n qui joue un rôle prépondérant pour le l/2~). Il est alors très
difficile, voire impossible de déterminer quel est l'état parasile.
Tï
FIGURE 2a 9»„ Court-e é(E) (Voir IV,2) nour les états 1/2" du " * avec les raramStres GS La NTT est menée a tous les ordres de nerturbation.
FIGURE Vb
Même étude pour un traitement de la NFT au 1 ordre.
74
Ce chapitre confirme les conclusions tirées précédemment
S propos des propriétés des états parasites et des états phy
siques (11 semble que cela soit général bien qu'une démonstra
tion rigoureuse ne puisse en être donnée). Un traitement NFT
au premier ordre peut se révéler fort utile (il évite tout de
même la résolution du système 11,29) mais reste inadéquat
si les solutions physiques sont proches des états intermé
diaires (petit dénominateur d'énergie) ou si une couche
j - 1/2 joue un rôle primordial (le paramétre de convergence (j+1/2)"1 valant l'unité) .
Dans ce chapitre, nous avons étudié la comparaison entre
un traitement NFT mené â tous les ordres et l'approximation qui
consiste â ne retenir aue les diagrammes du nremier ordre. Par
contre, nous avons pris en ccmDte tous les états de base et
tous les états intermédiaires. Dans des aoplications réalistes-
comme celles traitées dans le chapitre suivant - il s'avère
nécessaire d'effectuer une truncation sur ces deux Lynes
d'états. C'est une approximation autre de la théorie. Dans
ce cas, les états parasites n'ont aucune raison d'être aussi
bien isolés même dans le cas où tous les diagrammes ont été 91
sommés. L'étude faite sur le Nb a permis toutefois d'indiquer sur quels critères devait se faire une telle troncation: sur un critère d'énergie S la fois pour les états de base et les états intermédiaires. Si les phonons pris en compte sont très corrélês l'approximation qui consiste a n'utiliser qu'un petit nombre d'états de base devrait être justifiée. Il est possible de rajouter par dessus l'approximation qui consiste â se limiter aux diagrammes du premier ordre. Nous étudions précisëmment ces problêmes dans le chapitre suivant.
75
CHAPITRE V
UN CAS REALISTE APPROCHE : LE 2 1 1 P b 82 129
L'intérêt de la NFT ne devient vraiment perceptible
que si les calculs dans le modèle en couchess•avèrent diffici
les, voire impossibles. Il est évident que la théorie du champ
nucléaire exacte est aussi hors de portée mais il n'est pas
stupide de penser —j'un traitement approché puisse fournir une
base beaucoup mieux adaptée pour résoudre un tel problème. Les 20B
noyaux voisins du Pb constituent une bonne région d'étude.
On pense en effet qu'il est nécessaire de tenir
compte de sept couches de particules en neutrons, de six
couches en protons. De plus, les états & deux particules en dehors du coeur présentent une collectivité certaine, facteur
favorable a une base de type NFT. C'est pourquoi, nous nous
intéresserons ici au Pb dont l'étude expérimentale ne re
monte guère qu'à 1976 grace â une réaction de transfert d'un
neutron sur le fondamental du Pb F El 76 j .
Expérimentalement, nous n'avons â notre disposition
que le spectre et les facteurs spectroscopiques S.(0 Pb —~I) .
L'étude théorique dans le cadre de la NFT a été abordée par
Civitarese et al f Ci 77 1. Les résultats sont assez encoura
geants mais souffrent de deux points faibles : d'une part les
calculs n'ont été faits qu'avec les phonons vus expérimentale
ment; d'autre part, seuls étaient pris en compte les diagram
mes du premier ordre. Il est intéressant de voir comment évo
luent les prédictions lorsqu ' on lève ces deux contraintes.
Une première question pour cette étude est le choix
de l'interaction.
Civitarese et al I ci 77 j utilisent une force d'appa-
riement multipolaire qui peut se justifier dans le cas de
76
particules identiques. Celle-ci s'écrit
* » (V.I)
Q, - - 2 < 2 X + 1 ) " 1 / 2 5 3 < r | | r X Y | j s> P + (rs,-Mi) * u r<s *
et ne peut.engendrer que des phonons de parité naturelle. Les
forces G, sont ajustées S' l'aide dés énergies expérimentales les plus basses. Cette interaction sera notée désormais MP;
elle est sensée décrire de façon correcte les états les plus
bas en énergie mais laisse planer un doute sur les niveaux
dits "non collectifs". Pour tester ce point nous uti
liserons également l'interaction effective de Kuo et Herling
décrite dans la référence f Ku 71J . Ces auteurs introdui
sent trois approximations différentes : l'approximation 1 in
clut seulement la matrice de réaction nue, l'approximation 2
inclut en plus la polarisation du coeur c'est-a-dire des
excitations 3p-Jt dans les états intermédiaires tandis que
l'approximation 3 contient en plus las excitations 4p-2t.
Les approximations 2 et 3 donnent des résultats tout â fait
semblables tant pour les énergies que les fonctions d'onde
pour les états de J différant de O. Par contre, l'énergie
du fondamental du Pb est très bonne avec l'approximation
2 alors qu'elle est trop basse de 240 keV avec l'approxima
tion 3. Cette différence peut provenir d'une surestimation
de la polarisation du coeur ou d'une sous-estimation de la
matrice de réaction nue ou des deux IBer 75 J .Quoiqu'il
en soit, il est frappant de noter que la fonction d'onde du
fondamental du Pb calculée avec l'approximation 2 et avec
l'interaction MP est pratiquement identique comme on le voit
dans le tableau IV. C'est pourquoi, nous limiterons notre
étude â l'approximation 2 de Kuo et Herling que nous symboli
serons désormais par le sigle KH. Les états â une particule
utilisés sont ceux de Kuo et Herling ; ils sont rappelés dans
le tableau V . Avec toutes ces couches, il est possible de
construire 141 phonons (à comparer aux 85 phonons obtenus avec
MP où seuls sont présents les niveaux de parité naturelle)
r 77
TABLEAU IV
Fonctions d'onde du fondamental du Fb" " calculées avec les interactions KH et •*
( 2 g 9 / 2 ) 2 ( l l U / 2 » : d J 1 5 / 2 ? ( 3 d 5 / 2 ) 2 ( 4 s 1 / 2 ) 2 ( 2 g 7 / 2 ) 2 ( 3 d 3 / 2 ) 2
KH 0.82 0.42 - 0.31 0.13 0.06 0.17 0.08
MP 0.82 0.40 - 0.32 0.18 0.09 0.15 0.10
TABLEAU V
Etats individuels utilisés pour le calcul du spectre du Fb' .211
état 2 «9/2 1 i l l / 2 1 J 15/2 3 Hn 4 8 l / 2 2<>7/2 3 d 3 / 2
énergie (fteV)
- 3.94 - 3.15 - 2.53 - 2.36 - 1.91 - 1.4C - 1.42
78
tant collectifs que non collectifs. Le nombre d'états de base
\f,,> pour un spin donné du système a trois particules dépasse
généralement la centaine et un traitement complet n'est pas
envisageable. Que fait-on dans la pratique pour simplifier le
problême ? On tronque bien sûr. Nous avons malgré tout quel
ques jalons pour limiter la base, car comme nous l'avons déjà
souligné a propos du Nb*, sont surtout importants les états de
base et les états intermédiaires proches en énergie de l'état
physique. Ainsi, nous nous fixons une fenêtre d'énergie centrée
sur le niveau que nous analysons et nous calculons les obser
vables â l'aide des états de base contenus dans cette fenêtre.
Nous agrandissons peu à peu la fenêtre jusqu'à atteindre la
stabilité des observables. La figure[31 illustre ce procédé
dans le cas de l'état 0/2 avec MP. Les autres états ont dos
comportements tout â fait analogues : une dizaine d'états de
base est largement suffisante pour décrire correctement le
noyau. Nous adoptons une attitude similaire pour les états
intermédiaires; c'est un point crucial car le système linéaire
fondamental de la NFT (11,29) a pour dimension le nombre
d'états intermédiaires considérés. Même pour une fenêtre
étroite, ce nombre peut être grand car les états
le* |P (C C*).1 10 > sont dégénérés en énergie pour les
différentes valeurs de X compatibles avec les règles d'addition vectorielle. Nous avons ainsi été amenés S. faire une truncation supplémentaire tout à fait empirique : si la base
contient les états
C "fcr +(Xj)j 0 > ,... C„"«>r + (A£>| O > alors on se
restreint aux états intermédiaires de la fenêtre
Cq* • (C* C g \ |0>avec q ± £ |q x q j et ^
Ç ixj \ l • x l n'y a pas de justification théorique
rigoureuse pour un telle troncation ; contentons nous de dire
qu'il existe une tendance â ce que les éléments de matrice
diagonaux <rs;A | V| rs;A > soient plus importants que les non
diagonaux, or ce sont ceux qui sont privilégiés avec ce type
de troncatien . Nous avons illustré la convergence en fonction
r 79
E f S
9/2* Pb 2 " force MP
énergie
facteur spectroscopique
nans 3
Etude de la convergence de 1* énergie e t du facteur spectroscopique S = |<9/2j(g g _ 0*>|pour 1" état fondaiœntal 9 /2 + du 2 1 1 P b en fonction du ncnbre n d* états de base pris en ccnpte. Les calculs sont effectués avec une interaction â deux corps de type pairing multipolaire, pour un ncnbre d' états intermédiaires N = 50 (troncation en énergie seulement).
80
du nombre d'états intermédiaires sur la figurej_4Jet nous
constatons qu'effectivement la troncation sur les q et les X
a pour effet de diminuer le nombre d'états nécessaires pour
atteindre la convergence. Dans les calculs reportés ici,
nous avons adopté ce type de troncation (en plus de la fenêtre
en énergie). Nous remarquons aussi que la stabilité nécessite
tout de même une cinquantaine d'états et donc si la convergen
ce en fonction de la base est rapide, celle en fonction des
états intermédiaires est plutôt lente. Cela est dû au fait que
les bosons contiennent les corrélations, ce qui n'est pas le
cas des états intermédiaires - qui sont aussi une base possi
ble du modèle en couches - qui peuvent avoir de l'importance
même s'ils sont relativement distants les uns des autres.
Dans le tableau VI , nous présentons les énergies, les
fonctions d'onde et le facteur spectroscopique depuis le fon
damental du Pb pour tous les états physiques obtenus avec
l'interaction MP. Nous n'avons reporté que les composantes
supérieures à 0.01 en valeur absolue. L'énergie expérimentale
du 9/2 fondamental a - 12.935 MeV est prise comme référence.
Notons que l'énergie non perturbée £.,, + "0+ vaut -0.125MeV.
Lorsqu'on permet s.ax couplages d'agir â tous les ordres, l'énergie théorique retombe à - ." 06; l'amélioration est nette
et va dans le bon Sun:, En ce qui concerne les états excités,
n'apparaissent que les plus bas en énergie et ceux dont les
facteurs spectroscopiques S sont supérieurs à 0.01 ceci afin
de permettre une identification plus aisée des niveaux expé
rimentaux. Le spectre obtenu avec la force MP est relativement
bon bien crue certains états soient absents en théorie ou ex
périmente..! •• f.'ent (des états 9/2 . 7/2 et 5/2 manquent en
théorie alors que des 11/2 et 15/2~ ne sont pas vus expéri
mentalement) . De façon grossière on peut dire que les niveaux + + + +
9/2 , 11/2 , 5/2 et 1/2 sont bien décrits alors que les
7/2+ et 3/2+ sont plutôt médiocres. L'état 15/2~ n'est pas
très bien reproduit mais cela est dû au fait que la détermina
tion de l'orbite individuelle J15/2 souffre d'une certaine
ambiguïté f Ig 69 J. En général, les facteurs de normalisatic. .
«ff sont voisins de l'unité et il est remarquable que les
81
S
0842
0.841
0840
0839
0.838
fenêtre sur E fenêtre SUP E+ troncature sur q et X
9/2* P b force MP
(n.16)
X X X X N
X - . 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
FIGURE 4
Etude de la convergence du facteur spectroscopique S =l<9/2jta 9 / 2ot H
pour le fondamental 9/2 + du £t> en fonction du ncnbre H d a états
intermédiaires pris en compte. Les calculs sont effectués avec une
interaction à deux corps de type pairing iniltipolaire et 16 états de base.
Pour les deux possibilités de troncation voir le texte.
Le Pb avec l ' interaction MP;les données expérimentales sont t i rées de^El 76
J * Expérience E( S j ) E( S j )
Théorie Fonctions d'onde
9/2* 0.(0.69) - 0.055(0.84) 0.98| 9/2*»0*> + 0.171 9/2*®2*> - 0.071 9/2*«4* >
U/2* 0.639(0.81) 0.699(0.91) 0.97|ll/2*»0*> +0.14] 9/2*flD2*> + 0.13| 9/2*»4* >+ 0.08| l l /2 + ©2* >
11/2* - 0.73 (0.06) -0.24| l l /2*»0 + > + 0.83| 9/2*«2*> + 0.37| 9/2**4* >
15/2" 1.303(0.47) 1.219(0.86) 0.85] 15/2"«0*> - 0.05115/2~»2*> + 0.35] 9/2*«3~ >
5/2* 1.412(0.76) 1.387(0.89) 0.911 5/2+®oj> - 0.28I 9/2*»2*>
+0.12| 9/2 +»2*> +0.241 9/2*«>2*>
+ 0.18] 9/2**4* >- O.OBl 9/2*06^ >
- 0.071 9/2* ©4* >
15/2~ . 1.655(0.13) -0.52] 15/2~»0*> - 0.36|l5/2~*2*>
+0.69] 9/2*»3~>
+ 0.08115/2"© 4* >- 0.07' 15/2 - ^2* >
9/2* 1.681(0.03) - -1/2* 1.722(0.31) 1.767(0.32) -0.51| l/2*0pO+> +0.491 9/2*(P4*>
-0.14] 9/2*0 4*> + 0.07I 5/2*»2*>
+ 0.26| l l /2*»6* >+ 0.221 9/2*#4* >
5/2* 1.899(0.18) 1.814(0.01) 0.7l|ll/2*©6*> - 0.33! 9/2*02*^ - 0.19| 9/2*C6* >+ 0.13| 5/2*«0* >
.../...
TABLEAU VI (Suite)
V Expérience Théorie J , E( S J ) Boy F-mctions d'oncle
1/2* 2.043(0.26) 1.891(0.27) - 0.71 9/2*<P4* •» 0.54 | 11/2* » 6* > - 0.51 | 1/2* » o | >
+ 0.13 9/2*» 4* >-O.06 | 9/2*© 4* =>
3/2* 2.280(0.32) 2.160(0.01) 0.77 5/2*» 2* >-0.36 1 9/2* • 4* > + 0.10 | 9 /2*» 4* >
- 0.06 3/2*«0* >+0.07 1 5/2*» 2* yK).47 j
5/2*» 4* > 9/2*® 2* >
- 0.08 1 1/2* 9 2* >+0.06|9/2*»4*> + 0.18 | 5/2*» 4^ >-O.OB\7/2têo\> 7/2 + 2.230(0.17) 2.268(0.01) 0.85
3/2*«0* >+0.07 1 5/2*» 2* yK).47 j
5/2*» 4* > 9/2*® 2* >
- 0.08 1 1/2* 9 2* >+0.06|9/2*»4*> + 0.18 | 5/2*» 4^ >-O.OB\7/2têo\>
- 0.09 9/2*» 4* >+0.07 1 9/2* • 2* > - 0.07 | 9/2* • 4* >
1/2* - 2.217(0.04) 0.80 5/2*» 2* >+0.36 ! 9/2* V 4* > + 0.28 | 1/2* » 0 * >-0.06|9/2*#42>
7/2* 2.380(0.69) 2.357(0.98) 0.99 7/2*t»0* >*0.09 1 9/2*» 2* > + 0.05 1 5/2*«M* > 1
3/2* 2.512(0.32) 2.433(0.49) - 0.71
0.14
3/2*«0* No.40 1
1/2*» 2\ >
5/2* • 2* > + 0.40 1 9/2* • 4* >-0.37|5/2"S»4*>
7/2* 2.561(0.09) -
3/2* 2.629(0.16) - -
84
fonctions d'onde s'expriment en aussi peu de composantes. Ce
sont les phonons collectifs qui interviennent le plus souvent
mais il convient de noter que des phonons non collectifs tels
le 2, , 2,, 4-, 4, peuvent jouer un rôle important. Ces phonons
ayant une structure assez différente avec les deux types de
force envisagés, on comprend que la même étude avec KH soit
elle aussi très instructive. Le tableau VII présente les
résultats analogues avec l'interaction KH; dans ce cas, les
fonctions d'onde demandent un peu plus de composantes et nous
n'avons fait figurer que celles dont la valeur absolue dépasse
0.05. L'énergie du fondamental est maintenant parfaite bien
que Sj et la fonction d'onde soient pratiquement identiques au
cas précédent ; cela est du â de meilleurs éléments de matrice
utilisés dans les propagateurs F et G. Oans l'ensemble, le
spectre est un peu meilleur avec KH : les niveaux U/2 , 5/2
et 15/2" ont peu bougé mais oar contre la description des 7/2
et 3/2+ est nettement améliorée alors que les 1/2 sont moins
bons. Ces différences proviennent toutes des propriétés des
bosons dits "non collectifs" et il semble que certains soient
mal décrits et avec MP e t avec KH. En particulier, le phonon 5 , - qui est absent pour MP - est le grand resnonsable du l 4.
mauvais comportement des 1/2 .
Nous venons de voir que les phonons non collectifs
ont une importance non négligeable dans la description de
certains niveaux observés expérimentalement. Cela répond 3
la première question que nous nous sommes posés en début
de chapitre. Abordons â présent la deuxième et pour tenter
d'y voir plus clair, nous avons repris les calculs MP en
n'effectuant la NFT qu'au premier ordre. Les résultats sont
représentés dans le tableau VIII. Le spectre obtenu, est encore
en bon accord avec l'expérience et apparaît à peine moins bon
que celui engendré par un traitement S tous les ordres; cer
tains niveaux sont légèrement meilleurs (c'est le cas en
particulier du fondamental), d'autres sont moins bons. Le
désaccord le plus flagrant concerne les états 1/2 où les
fonctions d'onde et les facteurs spectroscopiques diffèrent
largement dans les deux cas. A vrai dire, ce phénomène était
TABI£,\U Vil 211 he Hi awe 1 * interaction Kll
, TI Expérience 0
Théorie
E(Sj) E ( S j ) Fonctions d'onde
9/2*; 0(0.69) 0(0.85) 0.98 | 9/2*«0*> +0.15| 9/2*«2*> - 0.07| 9/2*®4* >
11/2*: 0.639(0.81) 0.724 (0.85) 0.89 | l l /2*»oj> - 0.21J 9/2*«2*> + 0.12| 9 / 2 + « o j >- 0.08ill/2*»2*>
11/2* 0.789(0.04) 0.81 [ 9/2*»2j> + 0.45| 9/2**4*> + 0 . 2 0 | l l / 2 + « 0 + >+ 0.03! 9/2 +»6*>
15/2" 1.303(0.47) 1.375(0.99) 1.027|l5/2~«0*> - 0.10J 9/2*«3j> - 0.08| 9/2*»2~ >
5/2* 1.412(0.76) 1.396(0.89) 0.86 | S/2*»0*> - 0.30| 9/2*® 2+> - 0.26| 9/2*«2* >
+ 0.17 | 9/2*«4*> + 0.12| 9/2*«6*> - 0.08| 9/2*«4j >+ 0.08| 9/2*«>2* >
9/2* 1.661(0.03) - -1/2* 1.722(0.31) 1.796(0.81) 0.79 | l/2*»0*> + 0.27| 9/2*«S*> - 0.26| 9 /2 + «4j >+ 0.38| 9/2*®4*, >
- 0.15 | 5/2*©2*> + 0.14| 9/2**&4*> + 0.07| 9/2**4^ >- 0.06| 11/2**6* >
5/2* 1.899(0.18) - -
1/2* 1.929(0.04) 0.76 | 9/2*»5*> + 0.75| 9/2*<P4*> - 0.19] l / 2 + » 0 + >+ 0.13| 9/2+aM* >
+ 0.11 | l l / 2 + © 6 +>
TABLEAU VII (Suite)
1 J " Experience ThSorie
E ( S j ) E ( S j ) Ponctions d'onde
1/2* - 1.958(0.02) 0 .70 |11/2*96^> - 0 . 6 2 | 9 / 2 * 9 4 * > + 0 . 1 5 | 1/2 *(B0*> +0.10 | 9 /2*®5* >
1/2* 2.043(0.27) 2.330(0.14) 0 .92 | 5 / 2 * 9 2^> + 0 . 5 5 | 1/2*9 0* > + 0 .36 | 9/2*6» 4*>
3/2* 2.280(0.32) 2.236(0.34) 0.57 | 9/2*®4*>
- 0 . 1 8 | 5 / 2 * 9 4|>
+ 0 .49 | 3 / 2 * » o | > - 0 .24 | 5/2* 9 2*> +0.19' 9 / 2 * 9 6 * >
+ 0 . 1 0 | 9 / 2 + © 4 * > + 0 .10 | 9/2*4>6*> +O.06| 9/2*tP3* >
7/2* 2.280(0.17) 2.246(0.26) 0 .64 | 5 / 2 * 9 2 +>
40.11 1 9 /2*9 8*>
- 0 . 4 5 | 7 / 2 * 9 0 * > - 0 .38 | 9 /2* • 2*> - 0 . 2 5 | 9/2*«>2* >
- 0 .12 | 9/2*t»6* > - 0 .10 | 9 / 2 * » 4 * > -O.OBl 9/2*4662 >
7/2* 2.380(0.69) 2.340(0.60) 0.72 | 7/2*9oJ> •K). 10 ! 9 /2*9 2*>
+ 0 .45 | 5 / 2 * 9 2 * > - 0 .32 | 9 / 2 * ® 2*> -tO.201 5/2*«54* >
- O.K>! 9 /2*9 4* » - O.lOl 9 /2* » 8 * >
3/2* 2.512(0.32) 2.477(0.45) 0.68 1 3 /2*0 0*>
-0 .54 ! 5 /2*9 2|>
+ 0 .45 | 5 / 2 * 9 4 * > - 0.271 9/2* 8 4*,> +0.211 9/2*«?6* >
- 0.18" 9/2*4» 3*. > + 0.081 9/2* «P4*>
7/2* 2.561(0.09) 2.418(0.08) 0 .67 | 9 / 2 * 9 2*> + 0.41 ! 9 / 2 * 9 2 * > + 0.34! 5/2*4» 4*> - 0 . 2 9 | 9/2*4P6* "•
3/2* 2.629(0.16) --0 .29 | 7/2*90*> - O.OBI 9 / 2 * » 4* > - 0.06! 9 /2*® 6*>
TABLEAU VIII
Le Pb" ! 1 1 avec interaction MP et NTT au 1er ordre
J 1 ' Expérience TTiêorie
E(Sj) EtSj) fonction d'onde
9 / 2 + 0 (0.69) 0.015 (0.81) 1.02| 9 / 2 * » o J -, + 0 . 2 2 | 9 / 2 + » 2 | > - 0.C8I 9/2* ® 4 J >
11/2* ; 0.639 (0.81) 0.716 (0.96) 1 . 0 0 | l l / 2 + ® o | - - 0.091 9 / 2 + ® 2 ^ + 0.091 l l / 2 + ® 2 * >
15/2" | 1.303 (0.47) 1.260 (0.87) 0 .89 | 15 /2"»0* > + 0 .35 ' 9 / 2 + » 3 ~ >
S / 2 f ': 1.412 (0.76) 1.445 (0.93) 0.971 5 / 2 * « o | -
H O . 0 8 | 9 / 2 + « 2 * >
- 0 .15I 9 / 2 + « 2 { > + 0 . 1 5 | 9 / 2 + « 2 3 >
- 0 .05! 9/2 + ©6*> - 0 .05 | 9 /2*©4* >
+ O . U | 9 / 2 » 4 + >
9 / 2 + 1.68 (0.03) - -
l / 2 + ' 1.722 (0.31) 1.815 (0.10) 0 . 6 2 | 9 / 2 + » 4 * >
-0.081 9 / 2 * » 4 * >
• 0.491 l l / 2 + » 6 * * - 0 .30 | l/2+CJ0*> + 0 . 1 5 | 9/2ÎI43 >
15/2" ~ 1.73J (0.09) 0 . 7 2 | 9 / 2 * » 3 7 >
- 0 . 0 8 | l 5 / 2 " » 2 j >
- 0 .47) 15/2"®0*'. - 0 .47! 15/2"©2*.. + O.lOl 15/2*4)4* >
5 / 2 + 1.899 (0.18) -l / 2 + 2.043 (0.26) 1.916 (0.64) G.81| l / 2 * « 0 j -
i-HD.08| 9/2 +<P4J •>
!
- G.20I 9 / 2 + * 4 ^ + 0.57 | 9 / 2 * 0 4 * > - 0 .10' l l / 2 t f t*>
—/•—
TABLEAU VIII (Suite)
J * Experience Théorie E ( S j ) E ( S j ) fonction d'onde
3 /2* 2.280(0.32) 2.197 (0.01) 0.83
+0.06
[ 5 / 2 * » 2* >
! 9 / 2 * » 4* >
- 0.411 9 / 2 * « 4 * >
- 0 . 0 5 | 1/2*» 2* >
+ 0.06 19/2*» 4j> -0 .08 |3 /2*»0*>
1/2* - 2.235 (0.02) 0.81 I 5 / 2 * » 2* > + 0.43] 9/2*© 4* > + 0.20 | l /2*©0*> -0 .06 !9/2*»4*>
7/2* 2.280(0.17) - -7/2* 2.380(0.69) 2.356 (0.80) 0.89 ! 7/2*© 0* > - 0.511 5 / 2 + « 2 * > - 0.24 |9/2*®2*> -0 .19 |5/2*»4*>
3/2* 2.512(0.32) 2.4S2 (0.34) 0.61
-0 .17
1 3 /2*» O* »
1 l / 2 * » 2 * >
+ 0.56! 5 /2*» 4* > + 0.40 l9 /2*»43> -0 .38 l5/2*«2*--
7/2* 2.561(0.09) 2.411 (0.19) 0.90 1 5 / 2 * * 2 * - + 0.641 5/2*»4* > + 0.47 | 9 / 2 * « 2 j MO.46 | 7 / 2 * » 0 + >
+0.11 1 9 / 2 + » 2 * - - 0 . 1 1 | 9/2*»4* > - 0.10 | 9 / 2 * » 4 * >+0.10 |9/2*»2*>
3/2* 2.629(0.16)
89
{0 13')
L£22L (032) " ! 069J__
tQJZL. (032)
(026)
1018)
to??).
<003~
FIGURE 5 SPECTRE du 2 1 1Pb
.3/2*
. - ' 2 * ,3/2*
-in*
W.45) 1ÏÏ6W
10-60)
3/2*
1/2*
5/2*
1/2* 9/2*
10-26)
. 3 / 2 *
. 7 /2 * _7/2 +
~V2* ,7/2*
10.49)
7 3 3 3 3/2*
(30?)
(00*)
• f g ^ L
-V2* -1 /2*
-1/2*
TOST JûBIL
(0.27)
JCCZi. 10321 1013)
- 3 / 2
- 7 / 2
- 7 / 2 * - 1 / 2 * - 3 / 2 *
(03£>3/*» • =MF±
. 1 /2* «5 /2* -1 /2*
-1S/2'
toon
'gff> 'ggy
.1 /2* 3/2*
JO££L-1/2*
.1 /2*
-15/2"
W M *
( 0 ^ ) fl5/2-
(0gg» "* + ( Ù89) ...+ (099) « « "
<ggP' 15/2*
(Q.9J) c /-, «
«fly» 16/2-
toa;) 1V2*
(004) i0.85)
-11/2+ -11/2*- (QQg) -n/2* (Q95)
(09/) ti/2* . t l /2*
(Off*) 9/2* J O » ) " 9 / 2 * _JOf l<L
KH2 . 9 / 2 *
toan -9 /2+
MP'oi/5 /es ordres M P 1'rordre
90
attendu^puisque pour ces états la couche Sj^ ? est tr6s in
fluente et nous avons vu précédemment que la convergence de la
NFT pour des orbites j = 1/2 était médiocre.
Néanmoins, on peut conclure que dans lo cas du Pu où les
couches prépondérantes sont de j élevé un calcul NFT mené au
premier ordre des perturbations est assez satisfaisant.
Cela évite en particulier la fastidieuse résolution du
système linéaire l'ondamental; par contre, l'élimination des
états parasites pose un problème plus délicat. Nous venons de
répondre â la deuxième question s si les résultats de Civi-
tarese et al l" Ci 77Jne cadraient pas toujours, c'est moins
â cause du problème de converaence que par l 'omiss ion des n i -2)1
veaux non collectifs, au moins dans le cas spécifique du Pb
Il semble également que dans ce cas, l'effet des états inter
médiaires proches de l'énergie étudiée, soit de moindre impor
tance que l'influence néfaste pour la convergence des cou
ches de j = 1/2. La figure I 5 jorâBontc les spectres obtenus
dans les différents cas expliqués précédemment & titre de
comparasse ->.
Dans le passé, les premiers calculs entrepris dans le
le cadre de la NFT, [MO 67, Ha 74J , souffraient d'une certai
ne ambiguité puisque seuls étaient pris en compte les diagrammes
d'ordres les plus bas. Dans ces conditions, il était difficile,
pour expliquer un mauvais comportement, d'incriminer tel ou tel
effet alors que l'importance des diagrammes négligés n'avait
jamais pu être testée dans des cas réalistes. La technique de
sommation de tous les diagrammes permis décrite et illustrée
en détail dans les chapitres précédents a le mérite de lever
cette ambiguité.
91
CHAPITRE VI
CONCLUSIONS
La théorie du champ nucléaire, en tant que descrip
tion microscopique des états du noyau, se caractérise par
plusieurs traits particuliers dont certains se retrouvent dans
d'autres théories analogues. Elle fait appel â la notion
d'états correlés comme entités fondamentales; en fait, c'est la
philosophie même de cette approche du problème à N-corps.
Nous avons pu nous rendre compte dans le chapitre précédent
combien puissante est cette notion ,puisqu'un nombre très
restreint d'états de base est suffisant pour décrire avec une
bonne précision les états physiques. Dans la NFT, ces entités
sont assimilées a des bosons purs ,ce qui constitue une des orirji'
nalité d° cette approche. Les couplages entre les divers degrés
de liberté s'expriment facilement S l'aide de diagrammes,
chaque diagramme illustrant un phénomène particulier; en ce
sens, on a une visualisation symbolique des diverses inter
actions physiques. C est tout â fait général. En ce qui
concerne l'application traitée dans cette première partie - à
savoir l'étude de trois particules en dehors d'un coeur,nous
avons restreint un peu plus la théorie puisque nous avons né
gligé explicitement les excitations du coeur.Gette restriction nous a per
mis par contre **faire la somme de tous les diagrammes permettant
ainsi l'élimination des états parasites et une coniparaison
très instructive avec un développement mené â un ordre plus
bas. Bien sûr, la NFT est capable de décrire des systèmes plus
complexes comprenant par exemple de nombreux phonons ou des
excitations du coeur ou les deux. Pourtant, dans de tels cas,
le traitement à des ordres de perturbation peu élevés n'est
déjà pas trivial et il semble qu'un traitement global â tous
les ordres soit hors de question actuellement du point de vue
numérique en admettant encore qu'on parvienne 3 résoudre le
92
problême théoriquement,ce lui n'est pas le cas pour le moment.
De plus, la dépendance en énergie des équations de la NfT -
inhérente â la théorie de Brillouin-Wigner - quoique non
gênante du point de vue conceptuel-constitué néanmoins un
frein à une étude exhaustive. D'une part/ elle coûte cher en
temps de calculs puisque c'est un problème hautement non li
néaire, d'autre part, elle nécessite un traitement individuel
pour chaque niveau d'énergie. Une approche de type Rayleigh-
SchrBdinger se libère de cette contrainte ; par contre, elle
introduit des diagrammes supplémentaires et conduit à des
ambiguités déjà mentionnées. Dans le cas ou la collectavite
des phonons est importante, il semble que les diagrammes
au premier ordre soient suffisants pour donner une bonne
description au moins .si les couches ont un j élevé. Aussi,
les gens travaillant avec cette théorie évoluent-ils de plus
en plus vers une approche similitiée du problème : NFT aux
premiers ordres + perturbation du type RJ.
93
DEUXIEME PARTIE
LE MODELE EN COUCHES A DEUX ETAPES
Dans la partie précédente, nous avons vu qu'il était pos
sible de traiter exactement dans le cadre de la théorie du
champ nucléaire un système de trois particules identiques en
tant que constitué de deux sous systèmes : une particule plus
deux particules corrélées. Nous avons insisté sur le fait que
la description exacte de systèmes plus compliqués -quoique
formellement possible dans cette théorie - nécessite des déve
loppements théoriques et numériques extrêmement lourds. Mous
avons donc cherché une approche analogue qui respecte la philo
sophie même de la NFT mais qui soit plus souple du point de vue
formalisme. L'originalité de la NET est que les excitations a
deux particules sont considérées comme des bosons purs. En tait, il est bien connu que les paires de fermions ne sont pas équiva
lentes S des bosons du point de vue cinématique. Or, nous avons
affaire a un système - le noyau - composé exclusivement de fer
mions. Par conséquent, il n'apparaît nulle part des excitations
qui correspondent à des degrés de liberté de bosons purs. Les
"bosons" de la NFT ne sont en réalité qu'un artifice permettant
une approche différente du problème à N corps. Le terme d'in
teraction H , et les constantes de couplage A sont là pour
nous rappeler que la structure de ces bosons est étroitement
reliée aux états de fermions. Dans l'approche que nous propo
sons, nous travaillons constamment dans un espace de fermions.
Les quantités corrélées utilisées correspondent â des phonons
qui sont des excitations collectives d'un certain nombre d'
états élémentaires de fermions. Ces phonons comportant déjà les
corrélations d'une partie des particules mises en jeu, on
9-1
conçoit sans peine qu'une base formée par des empilements de
tels phonons soit dynamiquement bien adaptée pour l'étude de
notre système. Soyons un peu plus précis du point de vue phy
sique et mathématique. Considérons un système de g particules
identiques (q>2) en interaction gouvernée par un Hamiltonien
du genre H = H 0 + V où
H° = £ h (i) est le champ moyen â un corps
V = -| ^p v(i,j) est l'interaction résiduelle â deux
i,j=l
i/ j
corps. Pour pouvoir effectuer les calculs numériques, il est
nécessaire de se restreindre â un nombre fini de couches acti
ves, ce qui donne une dimension finie à tous les espaces
considérés ci-dessous . Si | u (i) > est un état propre â
une particule de h[i), les états naturels du modèle en couches
sont .
IV v-V 1' 2"" 1 ) > " ^ ^ a » ® ! " (2)>«...®!u (q)>] aa<«2<-< aq j.
Le symbole <8 signifie produit tensoriel et vt> est un opéra
teur qui projette un vecteur de l'espace produit sur l'espace
des états physiques satisfaisant au principe de Pauli. Ici
est simplement l'antisymmétriseur total sur toutes les particu
les. Les états | x> utilisés dans le modèle en couches sont
états propres de H Q mais V introduit des couplages entre ces
états. Pour tenir compte de façon plus efficace des corréla
tions entre particules nous pouvons par exemple considérer une
partition du système en deux sous systèmes
q = q, + q,
et réécrire l 'Hamiltonien H = H x + H 2 + V 1 2
où H x = S i . i q_i
22 h U ) + 2 TT v ( i - i > « T?j=l
£ h ( i ) + i £ v( i-H 2 = £ h ( i ) + i £ v( i-i -q +1 i/j=n,+l
1 i^j l i -q +1 i/j=n,+l
1 i^j l
j)
95
12
q, q v(i,j)
5-ql+J
Soient maintenant |0 (1,2,..^) > les nl vecteurs pro
pres physiques de H, et |U (q,+l,q,+2,...q)> les n, vec
teurs propres physiques de H,. Il est loisible d'utiliser
comme base pour notre problème les N = n.n, vecteurs
|*a o (1,2, ...q)> = i M " a (l,2,...,qi)> ® j U f t < q i + l,...q)>J
La base |* > e s t bien mieux adaptée pour notre problème que la base ix > puisqu'une par t ie des correlat ions a été incluse de façon dynamique dans la défini t ion des phonons | U-. Les éléments de matrice du terme de couplage V,„ entre les é ta t s de base sont beaucoup plus faibles que les éléments correspondants de V pour le modèle en couches. C'est ce que l 'on appelle l'hypotheBe du couplage faible ou WC-ll Mo '1,72 Ko 73 Néanmoins i l apparaît une légère ombre à ce tableau i d y l l i que : la base |$ » est en général "surcomp.lête" en ce
a l a2 sens que les N vecteurs |$ > engendrent un espace physique de dimension n inférieures N. Nous aurons l 'occasion de revenir longuement sur ce point . Cela s igni f ie que cer ta ins vecteurs sont le vecteur nul ou sont des combinaisons l iné a i res d 'autres vecteurs. En langage de la théorie des groupes, disons qu'à |Ua ( l , 2 , . . . q 1 ) > correspond le tableau d'Young à q t cases verticales, qu'àjo^ (q,+l,...,q) >correspond le tableau d'Young â q, cases verticales. Le produit tensoriel de ces deux vecteurs se traduit en ternes de produit extérieur
®
? <• à
1
96
Les vecteurs de l'espace physique correspondent à l'état complè
tement antisymmétrisë constitue de q cases verticales. Mais
parmi les n.n, vecteurs de l'espace tensoriel il existe égale
ment des "combinaisons de symétrie mixte" : c'est la raison
profonde de la redondance de la base. On sait depuis trc>s long
temps I Ch 54,6t,De Sh 61|que la base U > est bien mieux adap-L J il «2
tée â l'étude spectroscopique des noyaux que la base |\> du
modèle en couches mais paradoxalement elle a été fort peu uti
lisée d'une part â cause de sa redondance, d'autre part parce
que l'on croyait les calculs difficiles avec ce type de base.
Le but de cette deuxième partie est de "réhabiliter" la métho
de du couplage faible.
Dans tout calcul physique, on essaie de trouver un compro
mis optimal entre la précision du résultat et l'effort fourni
pour l'obtenir. Ce fait lié â une capacité limitée des ordina
teurs impose une troncation de la base. Pour ce faire, encore
faut-il que la base de diagonalisation soit bonne. Précisons
un peu ce que nous entendons par bonne. Le choix de la base
et la façon de la tronquer sont fonction dos propriétés que
l'on cherche a expliquer. Pour les spectroscopistes, le but
ultime est de proposer une bonne description des états les plus
bas en énergie d'un noyau donné. Supposons que notre espace de
Hilbert total S soit de dimension n et que nous soyons inté
ressés seulement par les p' vecteurs d'états d'énergies les
plus basses (p'<<n) que nous notons |i ,> ,|<|i _> ,...|iji D>>>
Il est clair que l'espace G_. engendré par ces vecteurs est
le meilleur espace de diagonalisation possible : l'Hamiltonien
ne crée aucun couplage avec l'espace complémentaire, les va
leurs et vecteurs propres sont les solutions "exactes". On peut
présenter cela d'une autre manière:en termes de projecteurs.
Si P (Sli) est le projecteur de l'espace g sur le sous-
espace £ . alors
< * l p'"V>« ' I *•!* = 1 Vata=l«"-P') ! le vecteur propre exact de
H se projette exactement dans le sous espace choisi pour la
diagonalisation. En disant encore les choses sous une autre
forme; soit j^ > les vecteurs propres de
97
îï(ff,) = P(âfi) H P(Çi) - restriction de H 3 notre sous espace -
d'énergie 3^ ; alors u^ = u a, \$a> = |*Q> Va <ci=l,...p')
ou encore ' iF'Itl » = 1 Va(a=l,2,...p'). Il est évident que
la base décrite ci-dessus n'est d'aucune utilité pratique
puisque sa construction nécessite d'abord la diagonalisation
de H dans tout espace G.C'est une base"a posteriori". En
nous fondant sur cela, nous dirons que nous avons affaire à
une bonne base de diagonalisation si nous avons DU définit" "a
priori" (c'est à dire avant la diagonalisation donnant des
vecteurs propres) un choix de p vecteurs la pp') notés
I* , >» \<$2
> »•••;* -> tels que l'espace Ç qu'ils engendrent
contient dans une large mesure le sous espace Ç ,•
Cela veut dire que les p 1 vecteurs propres exacts ] > font
presque entièrement contenus dans ce sous espacer si P(op)
est le projecteur sur fc alors <* I P(f_)l'|.„> a 1 .i p a p ci Va(a«i,2,,. .p' ) . corrélativement le recouvrement du vecteur
A/ d'onde exact | <i > et du vecteur propre ii > de la restric
tion de H a C_ est voisin de 1
'''cJ a * * X ' V a(a»l,2,...p'). Le choix est d'autant
meilleur que ces conditions sont remplies et que p est voi
sin de p' .
Pour un système composé de o particules non Identiques
toutes ces conclusions restent valables â condition d'appeler
t7b l'antisymmétriseur sur les deux espèces de particules sépa
rément Un choix naturel de partition
q = q x + q 2
consiste â prendre les q, particules de la première espèce
et les q, particules de la deuxième espèce comme sous-systèmes
corrélês. Dans ce cas la base le > est complète et l'opê-
* l " 2
rateur v*3 se réduit à l'opérateur unité. Cependant, rien ne
nous empêche de considérer deux autres sous-systèmes r. et r-
mixtes composé respectivement de s et t particules 1 et s,
et t. particules 2.
98
q = r, • r 2
avec r.= s. + s 2 et q = s, + tj
r2= t, + t2 q 2 - S 2 + t 2
La base corréléeassociée est dans ce cas surcomplète.
Dans les prochains chapitres» nous allons étudier le for
malisme général de notre méthode puis dans quelle mesure la
base du couplage faible |<t> > constitue une bonne base.
Plusieurs applications â des noyaux de la région des plombs
seront abordées.
99
CHAPITRE I
EXPOSE GENEPAL DE NOTRE METHODE
1 - a Le principe général
La majorité des problèmes que nous rencontrons en physique
fait largement appel â la notion mathématique d'espace vectoriel
et de base.
Dans ce sens, le mot base est pris dans son acception base
complète c'est à dire un ensemble de vecteurs linéairement
indépendants qui engendrent tout l'espace, le nombre de ces
vecteurs constituant la dimension n de l'espace total. A cause
de notre confrontation constante avec cette notion de baso, nous
avons acquis certains automatismes de pensée et de calcul. Il
n'est sans doute pas inutile de réorganiser notre état d'esprit
de façon 3 pouvoir raisonner en termes de "bases surcomplotes".
Dans ce chapitre, nous nous maintiendrons volontairement dans
un axe mathématique de manière à conserver toute la généralité;
les applications physiques intéressantes se feront jour d'elles
mêmes par la suite.
A cause de cette généralité même, certaines assertions sem
blent parachutées ou anticipées; nous en sommes conscients.
Nous prions le lecteur d'admettre nos conclusions en première
lecture, de se faire une idée plus claire du formalisme â la
lumière des prochains chapitres, puis de revenir en seconde lec
ture sur cette section pour être parfaitement convaincu. C'est
du moins notre espoir.
Considérons N vecteurs l< •> engendrant un espace de Hilbert de dimension n et noté Sn. Si S est suoérieur â n, nécessaire
ment les vecteurs |e , > sont linéairement dépendants s nous
disons que nous avons affaire à une base surcomplëte (ou redon
dante) . Deux remarques particulièrement importantes s'imposent
100
d'cmbK'C clans ce cas.
Remarque I : Un vecteur quelconque u>se développe d'une infi
ni t<; de façons dans la base I : ,>• Comme les | : > engendrent
tout l'espace il est toujours possible de trouver une façon
: r i re jus = ^ f-i h i : d'écr i re sus - y, !t '•< • • D e P lus , comme l e s vecteurs 1=]
de base sont linéairement dépendants on peut toujours trouver
un jeu de composantes a. non toutes nulles telles que
Sx V'-i* =°-Par conséquent, on peut encore écrire,* désignant une constan
te arbitraire,
N N N N lu = £ .'.jhr + a E a,| :,, = £(.-.«••. a.)':,-= £ •-'';1.
i=i x * i=i l x i-1 l J x 1=1 * l
Kemirgue II : Il est toujours possible de sélectionner parmi
l'ensemble des H vecteurs '• ,•> , un ensemble complot de n vecteurs I m - mutuellement orthogonaux.Une démonstration possible de cette
assertion fournit également un algorithme pour la construction
des vecteurs ]m -> : c'est la célèbre méthode d'orthogonalisa-
tion de Schmidt. En pratique, pour des raisons techniques, cette
méthode n'est guère employée dans le cas des bases redondantes.
11 existe d'autres algorithmes possibles pour résoudre ce pro
blème. Lowdin | Low 67 1 dans un article remarquablement
pédagogique en décrit deux : l'orthogonalisation canonique et
l'orthogonalisation symétrique. Récemment Sau et alf S au 78 J
cnt proposé une nouvelle approche qui est très efficace dans le
cas où N est très grand. Toutes ces méthodes ont besoin 3 un
moment ou à un autre des données géométriques de la base que
constitue la matrice de recouvrement A. . =<«> . |t .>.
Dans l'appendice E, nous formulons la procédure utilisée dans
nos applications pratiques.
Pour l'instant, il suffit de considérer une base complète
de vecteurs orthonormês
101
ITL > = X , ' L |*i> P = 1.2...,n 1 iBl
tl.l)
rap I V • *pq
Une fois détermine le jeu des |m > , nous pouvons appliquer
avec sûreté les résultats standard de la mécanique quantique.
La base initiale s'exprime de façon unique en termes des |m„> n P
!*.> = 2 ^ < m J V lBo> 1-1.2»...N (1,2) 1 p=l p p
De même, les énergies propres se calculent à partir des
éléments de matrice de l'opérateur Hamiltonien H N
<mp I H lmq > = **i Cpi f>qj '*l'"! *'l ' P,q-1.2...n (1,3)
On peut bien entendu calculer directement 'î.iHU.^ à l'ai
de de l'expression de H et des j$,> en termes des opérateurs
élémentaires C_ et C_. Néanmoins, nous proposons une autre P P
façon de faire. Supposons connu un développement du vecteur
H |<j>.> dans l a base o r i g i n a l e
H U ^ = X , A j k | « k > j = 1 , 2 , . . . N (1,4)
N
<«i |H |*3> = g A j k i , j = 1 , 2 , . . . N ( 1 , 5 )
A première vue, cette façon d'opérer peut sembler bien étran
ge et a priori, plus compliquée. Pourtant, d'après la remarque
I, on peut profiter de la liberté relative laissée au choix
des coefficients A., de (1,4) peur rendre le calcul très rapi
de et très aisé. Nous préciserons ce point important sur les
cas concrets que nous étudierons par la suite.
L'utilisation d'une base complète orthonormée réalise un
double but :
- elle permet de nous "raccrocher" à nos concepts usuels
et facilite l'emploi des algorithmes standard et bien rodés
des programmes numériques concernant l'algèbre linéaire.
102
- elle permet l'élimination des états parasites. L'espa
ce physique Q possède la dimension n : les diverses obser
vables sont décrites par des matrices carrées n x n et possè
dent n valeurs propres et vecteurs propres. Nous aurions pu
utiliser également seulement la base !o » mais dans ce cas les
matrices rencontrées sont de dimension N x K et font donc appa
raître N-n valeurs et vecteurs propres supplémentaires non
physiques - dits parasites- qu'il convient d'éliminer correc
tement.
I-b Utilisation d'une base tronquée
Les méthodes classiques - telles le modèle en couches -
utilisent dés le départ une base complète. L'utilisation de la
base surcomplète |*.> dans l'espace complet S ne neut se
concevoir que si elle facilite ou accélère les calculs. En
fait, comme nous avons essayé de le montrer dans l'introduc
tion, le choix d'une bonne base l*t.,> ne trouve sa réelle
justification physique que si elle est bien adaptée pour une
troncation.
Parmi les N vecteurs |$.> , nous nous restreignons donc
à un sous-ensemble de N' vecteurs qui engendrent un sous-espace
<f_, de dimension n'. Le choix de ce sous-ensemble dépend du
cas concret envisagé et sera discuté plus en détail dans le
chapitre des applications. Dans ce cas, les formules (1,1) et
(1,2) et (1,3) deviennent respectivement
jmp> = V * C p i |*i> P = 1,2,...n'
'V = £ <RP '• i* 'V * = 1'2'"-"' <I,6)
-% !"l V = 2 3 ?pi ?qj <*il Hl*j > P»q=1.2,...n' i,j=l
Nous affectons du symbole ~ les quantités qui dépendent du
sous-ensemble choisi. Pour le calcul des éléments de matrice,
nous pourrions changer H de (1,4) en H avec un indice de sommation
limité à N' et une nouvelle matrice À., . En fait, à cause de
son extreme maniabilité, nous préférerons garder la même
matrice A.. , donc garder la sommation sur N quantités. La for-
103
:mila fondamentale finale est donc :
•V'V" £ ?
Pt ^ E AJH *lk TTj = i TZl
p,q=l,2,...n'
Cette formule constitue l'essence même du modèle du couplage
faible (WCM) tel qu'on le trouve exprimé par exemple par Ko
et alf Ko 73 1. 11 existe néanmoins une différence de
taille entre les deux approches : elle réside dans le calcul
des éléments de matrice -:ÎTT ! H ' m > . Nous avons utilisé la P q
formule (1,7) que nous pouvons réécrire de façon matricielle dans la base orthonormée
»• T T
H = ( ÛA ; C'est un simple produit de matrice - opération très rapide
sur un ordinateur.
Los techniques traditionnelles du W CM procèdent d'une-
autre façon. Elles décomposent simultanément H et !?,> en
termes des opérateurs élémentaires C et C puis appliquent le
théorème de Wick pour la valeur moyenne sur le vide. Formelle
ment, H se met encore sous la forme d'un produit de matrices
mais le nombre d'opérations nécessaires pour obtenir ses élé
ments de matrice devient assez grand. L'avantage de notre mé
thode repose donc uniquement sur l'existence du développement
(1,4) qui permet de se libérer de l'usage de la base du mo
dèle en couches comme étape intermédiaire. Cet avantage se
traduit par un gain de temps appréciable dans les calculs nu
mériques.
1 - c Utilisation des Hamiltoniens approchés
L'Hamiltonien oriainal agit dans l'esDace complet S et n
c'est la raison pour laquelle la sommation de la formule (1,4) s'effectue sur tous les états intermédiaires !*,> • En cas de
troncation de la base, la restriction de H au sous espace
considéré comporte néanmoins une sommation sur N état intermé
diaires pour le calcul exact de < <t. |H I i* . > . C'est transparent sur la formule (1,7). Dans tous les cas pratiques, N est
104
largement supérieur â N' et en conséquence la calcul de
(1,5) peut être assez long. Si cela devient nécessaire, on pour
ra être amené â limiter la sommation dans (1,5) a un nombre
<ie termes N* ' inférieur â N mais supérieur ou égal â N'. Lors
que les N' vecteurs de base sont linéairement indépendants
(n1 • N") cette nouvelle restriction définit un opérateur ap
proché H.(N") de l'Hamlltonien H
i i H i < N , , ) U j > = V A
j k <!,!H,l»"!]j.>= > A ^ A i k (I,B)
i,j = 1,2,...N' = n"
Lorsque les vecteurs sont linéairement dépendants (n'<N")
la donnée des éléments de matrice (1,8) ne définit pas un
opérateur. Le résultat de l'action de H.tN*') sur un vecteur
|u> quelconque de l'espace G , n'est oas un vecteur détermi
né mais dépend de la définition explicite de | u > en fonction
des | *', > (en vertu de la remarque I il existe une infinité
de développements possibles). Par conséquent, les approxima
tions a l'Hamlltonien H présentées ici n'ont de sens que si
les vecteurs de base sont indépendants. Nous nous plaçons
dans ce cas de figure pour la suite.
Un point ambigu apparaît néanmoins du fait de l'hermiticité
de H. Dans ce cas, nous avons les relations formelles
N N N
S Ajk ^ i k = £ A i k û j k = l X [Ajk Aik + Aik A*k] k=l k = l k = l J
( 1 , 9 )
On voit alors que H,(N'') est une forme possible d'opérateur
approché mais il est tout aussi loisible d'en définir deux
autres, â savoir :
N " * * < î 1 | H 2 ( N " ) |$j> = J2 A i | ç A j ] { (1,10)
k=l
105
N' '
<*L |H3(N'MU j>-£ S [Ajk A i k + A^ i*] ( I' U )
Aucune des trois approximations ne peut se prétendre meilleure
que les autres puisqu'à la limite N''-> N elles sont toutes
équivalentes.
Hj(N) = H2(N) = Hj{N) (1,12)
Far contre, de façon générale HjdJ") et H 2(N") perdent
l'hermiticité originale de H alors que H, (M") la conserve :
C'est pourquoi - dans la pratique - si une approximation â
l'Hamiltonien H s'avère indispensable c'est H, qui semble
s'imposer naturellement.
Le lecteur aura peut-être du mal â mémoriser en cours
de lecture la zoologie des divers ensembles de vecteurs
utilisés. A son intention, voici résumée ci-après cette
zoologie.
106
Juantité Définition et explications
N
nombre de tous les vecteurs de base |<t>.> constitués
comme produits tensoriels de sous-systèmes corrélés
donnés. Ces vecteurs engendrent l'espace complet du
modèle en couches S et sont en général linëairemert
dépendants.
! n i
Dimension de l'espace complet ç du modèle en cou
ches. C'est l'espace engendré par les N vecteurs de
base | * i > (n .< N) . La base complète orthonormëe de
cet espace est notée | m > P
i N'
nombre de vecteurs |* .> choisis pour définir l'es
pace de diagonalisation tronqué. Ces vecteurs peuvent
ou non être linéairement dépendants N' £ N
n'
Dimension de l'espace S , engendre par les N' vec
teurs |<j>i >définis précédemment (n' i N ' ) . Cet
espace < ? . est un sous-espace de l'espace complet
S et une base orthonormëe de cet espace est notée
IniL > (n* .$ n)
N"
Nombre de vecteurs \$.> utilisés pour définir le
Hamiltonien approché H^N") devant êtrt- diagonalisé
dans G _, n
H1(N")|<|>j>=yj A j k |*k> (M'^N"<N)
j=l,..,H' ™ »' = N >
107
I - d Méthode H C M
A ce stade, il semble bon de décrire une autre approche du
couplage faible Introduite par Schuck et al [se 76a,b,Ri 74,77 J
et connue sous le non de node coupling mode (MCM).
Multiplions (1,4) par le bra <u,J , vecteur propre de H
d'énergie ui ,
r2 ^ « • J * * ( I , 1 3 )
j=l,...N
C'est une équation aux valeurs propres classique qui donne les
énergies du système o> ainsi que les fonctions d'onde en base
| $. > â savoir < ty | cj> 4 > • Cette forme est particulièrement
agréable puisque la matrice A est très simple, néanmoins il
convient d'en souligner les désagréments les plus importants.
- La matrice A n'est pas hermitique. C'est le prix qu'on paie
pour sa simplicité. Les programmes numériques conduisent tou
jours â des calculs plus longs dans ce cas.
- Les programmes standard normalisent la fonction d'onde a
\ " I^^JJU i
> l • 1. Cela ne correspond pas a une normalisa
it
tion correcte du vecteur propre |^a> puisque la base n'est
pas orthogonale. Néanmoins, dans tous les cas où l'on rësoud
exactement (1,13) il n'est cependant pas difficile de trou
ver la bonne normalisation.
- En raison de la redondance de la base, l'équation (1,13)
n'est pas équivalente â l'équation de Schrodinger originale.
Plus précisément, toutes les solutions physiques u sont
solutions de (1,13) mais il existe également N-n solutions
parasites correspondant à des vecteurs |i|i > nuls.
Ces inconvénients ne portent pas â conséquence lorsqu'on
rësoud exactement (1,13) puisque l'équation de Schrodinger
y est intégralement incluse. Par contre, ils deviennent très
gênants lorsqu'on est amené â tronquer la base pour résoudre
seulement
108
k=l
j =1,...N' N'< N
Comme la matrice A n'est pas hermitique, il peut apparaître
des valeurs propres complexes. De plus, dans tous les cas, les
vecteurs propres 13? > ne sont pas orthogonaux.
La condition de normalisation qui existe dans le cas complet
est inapplicable â présent , ce qui signifie qu'il est absolu
ment impossible de normaliser correctement le vecteur propre
! 5" > • Cela est très gênant pour le calcul d'observables
autres que l'énergie.
Il n'existe aucun critère sur pour éliminer les états para
sites qui se mêlent alors aux états physiques.
Il n'est pas difficile de montrer que l'équation de Schre
diriger originale correspondant au MCM de (1,14) est gouvernée
par l'Hamiltonien HjtN') tant que n' » N'(voir 1-10)
I - e Comparaison de notre méthode avec le WCM et le MCM
Nous avons montré qu'en un certain sens notre méthode
présente certaines analogies avec le MCM et le WCM. Il convient
de résumer brièvement les données de base de ces approches
et de comparer leurs mérites respectifs. C'est le but du ta
bleau ci-après.
109
W C M Notre nétbode NEM
Existence du développerait H|* >« £ , Ajfcl*k *
Diagonalisation de
N'
i , j=l (1,15)
Résolution de
fftt < * a l -j > =
' • J H l*< >calculé
par l e théorème de Wick
i
k=l
5 Jjfftjk Ûik+Aik ûjk ]
Résolution de
fftt < * a l -j > =
Equivalence s i N" - N Dans ce cas H-H, « H, « H,
Résolution de
fftt < * a l -j > =
Equivalence s i H =» H 2 e t n' = u • " N " <N
Méthode or ig ina le avec
H«« 3 e t n' B H ' < H " < N
longueur e t lourdeui des calculs
Rapidité e t s i m p l i c i t é des raili*nic
Matrice hermi tique Pas d'états parasites Ncrnalisation correcte des fonctions d'onde
Matrice non henmi-tique Etats paras i tes Mauvaise normalisa
t ion des fonctions
110
I-f Calcul des observables
Une fois diagonalisêe la matrice (1,15), les fonctions
d'onde sont à notre disposition. La matrice étant hermitique
et la baae complète nous avons éliminé les états parasites et
obtenu les vecteurs propres mutuellement orthogonaux et normes
correctement par les programmes standard
n'
i?a> = 22 <ff ipl*o> l V u * l 6 )
a- = l,...,n"
(Nous avons utilisé ici le même symbole que dans (1,14) mais
si H(N") ? H2(N') les vecteurs propres \Z > sont diffé
rents dans les deux cas; nous conservons néanmoins cette nota
tion puisqu'il n'y a aucune ambiguïté).
En remplaçant | m > par sa valeur (1,6) nous obtenons le développement de la fonction d'onde en base |* .>
'V " Y. *ai 1*1 » Tffi
(1,17) X - £ <srp i v ? p l
pSl ai _
P'
Notons que l'expression de la composante X" est celle qui
est la plus naturelle mais on peut imaginer également d'autres
expressions dans le cas où la base est redondante (N'>n').
Plus important est le produit scalaire <JjT |$.> qui, lui, est
indépendant des méthodes d'orthogonalisation, puisque son
carré est une observable. Il est relié très simplement â la
composante par
<?„ I * ! > • > ' *«J Aji ( I' l 8> -t Les expressions (1,17) et (1,18) des composantes sont suffi
santes pour calculer n'importe quelle observable.
à à *BJ v<v *k < ï a i i « " ) i v r v x^ B^ÏJ *„ > a,») j=l k=l
I l l
Les indices a e t B désignent tous l e s nombres quantiques néc e s s a i r e s pour d é f i n i r l e s systèmes en présence . Ins i s tons sur l e f a i t que l e s fonct ions de base |$ ,> u t i l i s é e s pour ! S" > e t |iFft> ne sont pas forcément ident iques ( l e s 2 systèmes peuvent d i f f é r e r par l e nombre de p a r t i c u l e s par exemole).La matrice S est l'analogue de la matrice A (formule 1,4) peur le développaient do
T|* .j >• J Dans tous les cas pratiques étudiés, nous pouvons écrire une "rela
tion de fermeture" du type
T J D I i»i> **ii - fl6 ( i ' 2 o > i ï i ffn
Les D. étant des nombres géométriques simples toujours compris
entre 0 et 1. 0 <D ± 1.
De là découle une première règle de somme :
N
y ] D1I <?ai * t> | 2 - i (1,21) i-1
Cette relation n'est exacte que si l'on effectue la somma
tion sur tous les vecteurs de la base redondante. C'est préci
sément cette condition qui permet une normalisation correcte
de la fonction d'onde dans le cas de l'approche exacte du HCM.
A l'aide de la même relation, nous pouvons également obtenir
une relation simple entre X . et <<\> |$,> â savoir :
x ai = VU*! * (I'22)
Dans le cas où nous sommes amenés 3 tronquer la base l'égalité
(1,21) n'est plus vraie mais se transforme en une inégalité
£ D 1l<* a I *±>l 2 < 1 (1,23)
i=l
On dit que la règle de somme n'est que partiellement épuisée.
Dans ce cas, il n'existe pas de relation simple entre X et
<$" | $ > autre que (1,18)
On peut définir également une autre règle de somme plus
utile aux expérimentateurs : elle est basée sur la relation de
fermeture
112
n'
- 1 * . . V ^a I " l e n " ( I , 2 4 )
La seconde regie s'en déduit immédiatement
n'
E L L i (1,25)
a = l i=-i,...,N'
Il convient de souligner ici un point très important. Bien
que notre méthode soit spécialement adaptée au cas où une
troncature substantielle de la base est mise en oeuvre, elle
n'interdit pas de retrouver exactement les résultats du modèle
en couches dans S . Pour cela, il n'est pas nécessaire de
prendre en compte la totalité de la base redondante. Il suffit
d'orthonormaliser une base telle qu'elle engendre S c'est-à-
dire un nombre de vecteurs N' tel que n' » n. Par contre, on
devra utiliser l'Hamiltonien exact H(N). En ce sens, notre
méthode constitue une nouvelle approche du modèle en couches et
s'avère extrêmement rentable car le calcul des éléments de ma
trice est très rapide. Nous aurons l'occasion de reparler de
cela par la suite.
Puisque les fonctions d'onde exactes |* > dans & sont
à notre disposition, notre schéma est bien adapté pour vérifier
si notre base |4>. > est une bonne base restreinte au sens où
nous l'avons défini dans l'introduction. Pour cela, il suffit
suffit de calculer le projecteur P ( G , > sur l'espace de
diagonalisation S_i
n' n' H*
p<sn.>=£iiy<\i = £ J2 Si ^ i ^ j i P"1 p=l i,j=l
Nous obtenons alors facilement : n' H"
V èa.) =<„JP< ê n.)| V =2J V^PJ^a'V^a I V»'*! p=l i,]=l
Si l'espace G n > est bien choisi, cette quantité doit être voisine de 1 pour un certain nombre d'états physiques. Dans le
r I 113
même esprit, le recouvrement entre la fonction d'onde
exacte ]V > et la fonction d'onde approchée |$ >
N
Ra <*n'> " «•JV " 2 *« **•'•!* U , 2 7 )
i-1
doit être proche de l'unité.
Dans les prochains chapitres, nous avons appliqué cette
méthode générale aux systèmes constitués de trois nucléons
en dehors d'un coeur.
114
CHAPITRE II
SYSTEMES A TROIS PARTICULES IDENTIQUES : THEORIE
II - a Calcul des matrices A et A
Nous nous plaçons ici dans le même cadre physique que celui
décrit en détail dans la partie I.
Notre méthode présente un intérêt certain surtout lorsque
les calculs du modèle en couches s'avèrent pénibles voire impos
sibles; nous allons être amenés 3 nous intéresser essentielle
ment aux noyaux de la région des plombs pour lesquels les orbi
tes actives protons et neutrons different d'une couche majeure.
Dans ce cas, la notion d'isospin devient caduque. Nous avons
donc préféré dans cette partie examiner séparément le cas où
les trois particules sont identiques et non identiques. Ce
chapitre est consacré a l'étude des noyaux comportant trois par
ticules identiques en dehors d'un coeur. Les notations utili
sées sont les mêmes que dans la première partie. Les phonons
corrélés de type TDA & deux particules s'écrivent
P ; (JW = \ E < « t J | p q t J * £ £ C * | J M
<.-, ;J |pq;J> = <01 P0(JM) h* C*\ J M | 0 > (11,1)
« • Ç . , ' 1 - "*>«'« |JM> °î* c \ Désormais, nous réserverons les indices a,B,r,S,e,,-aux états
possédant respectivement 2,3,4,5,6... particules en dehors du
coeur. Les amplitudes TDA obéissent aux propriétés de symétrie
j +j +J+1 <a ; jl pq;J> = (-1) P * <o,. J |qp ; J > (11,2)
et vérifient les relations d•orthogonalité
115
y ' - ' c i ' ;JJmn;J> < a ; J |mnr J >« 2 5 , £% a a ai; 3)
* j +j •J+l
Celles - c l permettent d ' inverser la formule (11,1) pour obtenir
| C + C + | = y < a f J |mn; J> Pa (JM) (11,4) l ra "•> JM V
L'équation dynamique pour l e système â 2 particules est retranscrite directement de (A,ll,7)
<* aW>- cm- c B K a , J | mn, J> = U I 5 )
7 S t l+« m _) 1 / 2 t l + < 5 _ a ) l / 2 < pq;J 1 Virons J><a ; J lpq ; J>
1 p ,q m "
Par la suite nous aurons besoin
i) des commutateurs cinëmatiques
'jp'-p 3 q %,!•»'> <«;J!pq;J> c q ^
ai ,6)
X
[c . P*«(JM)] = Ç
J 2 ^ < a » J |qn;J 5 ' : o 1 ' ;J , |n P ;J , x j q mq j n mJjMX j n m,, j p mp|J'M'>l
ii) des commutateurs dynamiques
[' CP J - EP CP *p
+ * S; t ^ | V H « V ^ Cqmq
Crmr <"'7> "i
Pour être fidèle à notre philosophie fondamentale nous intro
duisons les quantités corrélées toutes les fois où cela est
possible. Ici on peut écrire les éléments de matrice en base
couplée, coupler C C à des bons moments angulaires, utiliser
la relation d'inversion (11,4) puis l'équation TDA (11,5) pour
obtenir l'expression équivalente
116
[ » < , ] • <p c
P m / g [V J ' - V •»] ^ «p 3n •»„ I* > « 'ftf
•a;J |pn;J > P a<JM) C n (".8)
En u t i l i s a n t des techniques tout 3 f a i t analogues, on peut c a l
culer auss i .
[H, £W>] -*au>£«i+ S [< P «' ( J , ) ] m cn «v, x
J L f a 1 ^ ' ' - ^ n P ^ J jg I P J * î J ' l^" J , > < a »JlPll *j <nm JK|IM>
(11,9)
Mous pouvons maintenant mener â bien l ' é t u d e du système 3 t r o i s p a r t i c u l e s . La base a employer s'impose d ' e l l e même dans ce cas
•'ntaU) iIM> =|mct(J);IM> » [c* PJ (J) l I M ]0> (11,10)
Le calcul de la matrice de recouvrement Û n e consistue qu'
une simple application des commutateurs(II,6). Le résultat
est fort simple (nous devrions faire apparaître le spin I
dans toute." les quantités mais nous le négligerons afin d'al
léger l'écriture toutes les fois ou cela est possible)
m'a' J' maj * T + + "1 F + + 1 û m a J « A m'a'J- = °\J^f <• ^ 'J lM [Cn < ( J> D J | ° >
" & mf « « ' S JJ' • Ç ^ 0 " ' 0 ' J , ' m » J ) « ' * «
m P !<a ,;J'|pn;J'><a;J|im ,;J> (11,12)
Pour déterminer le phonon corrélé à trois particules
P B ( I M ) = S *"** [C» P« ( J )]lM (II'13>
il suffit de suivre le plan tracé dans le premier chapitre. Mais
pour cela nous avons besoin de la matrice A.. . Pour l'obtenir,
laissons agir H sur un état de base et jouons avec les commuta-
117
teurs (11,7) et (11,8) (nous prenons comme référence d'énergie
le vide |0 >si bien que H |0> = 0 ) . L'équation dynamique
du MC.M est alors triviale
L ( I ) . e r a-uaU)]<B ;I|im(J)»I> « S B j ' j ' / ^ . I l m ' u'J';I >
a v e c =££ J'=Lf'„'< j ,'-=m- cp] y*'*' *••"**> < r r-1 5 i
Nous voyons clairement ci-dessus l'hypothèse du couplage fai
ble. Si l'Hamiltonien n'induit que des couplages négligeables
entre les modes élémentaires (11,10) la matrice B est négli
geable et on a par conséquent
<<0'(l)=efn + u„ (J) (II.16)
Ce type de schéma de couplage se prête mieux 3 des calculs de
type perturbatif avec (11,16) comme énergie a l'ordre zéro
plutôt que
" 6 < 0 ) ( I ) a t £ m + £ P + e q < " ' , 7 )
qui est l'expression correspondante du modèle en couches.
La matrice A introduite dans le chapitre précédent vaut
simplement
m a J J_ m a J mm' aa JJ" m a J
Arrêtons nous quelque temps sur cette matrice pour justifier
l'utilité de la méthode exposée au premier chapitre. On remar
que directement de sa définition que A n'est pas hermitique :
la résolution directe de (11,14) avec une base restreinte peut
donc poser des problèmes. Par contre, cette matrice prend une
forme très simple et très attrayante.
DTout d'abord elle ne contient plus les éléments de
matrice de l'interaction. Evidemment le jeu de tous les
u (J) avec les <a;J|mn;J> est équivalent au jeu de tous les
<mn,J|V|pg;J> . Néanmoins l'introduction des quantités eorré-
lêes se prête beaucoup mieux à une troncation correcte de
l'espace; â la limite on peut même tirer certaines informa-
118
tions de données expérimentales (pour l'énergie des phonons par
exemple).
ii) Ensuite le calcul de la matrice A ne nécessite qu'une
sommation sur un seul indice de couche et par conséquent la
programmation en est rapide et aisée. Cela est â rapprocher
des autres approches du h'CM Mo 71,72,Ko73Jou les éléments
de matrice nécessitent des sommations sur de nombreux indices.
En fait, il ne faut pas se leurrer! les indices de sommation
n'ont pas disparu par enchantement, ils ont été simplement
absorbés dans l'utilisation des quantités corrélées.
Contrairement au modèle en couches classique qui fait
usage des cfp la matrice A ne fait appel qu'a des (6j).
Dans le cas d'un système à 3 particules les simples cfp sont
reliés de façon étroite aux (6j) (voir appendice C) mais le
temps de calcul d'un (6j) est toutefois plus rapide que celui
d'un cfp. C'est un avantage technique important que notre
méthode partage d'ailleurs avec beaucoup d'autres.
Notons enfin - et c'est peut-être le point le plus impor
tant - l'étroite ressemblance entre la matrice A et la matri
ce A . Les quantités dynamiques de A n'apparaissent que comme
facteurs multiplicatifs des quantités cinëmatiques de à
Autrement dit, on calcule aisément en une seule étape les
matrices A et A . Comme la matrice û sert à l'orthogonalisa-
tion de la base, on peut dire grosso modo que notre méthode
permet l'élimination des désavantages de la MCM tout en conser
vant sa simplicité originelle et sans de plus entraîner des
dépenses supplémentaires en temps de calcul.
II - b Techniques de calcul
Les éléments de matrice de l'interaction
<«,(J)5I|H|.'«- ( J , ' - I > = ] n ^ J 1 .
ûm^a"J" €'fà'J" <*•»>
s'obtiennent comme un produit de matrice , ce qui est particu
lièrement rapide du point de vue numérique. Lorsqu'on tronque
la base à ta' vecteurs il faut faire un choix sur les états
|ma'J);I> et !m'a '(J');I> pris en compte. Cela fera l'objet
119
du prochain chapitre. Par contre la sommation (11,19) doit
s'effectuer sur tous les états si possible ou en tout cas sur
un nombre N 1 ' assez grand de vecteurs | « " a ' ' (J 1 ') il > •
Dans la pratique, nous aurons toujours N' <; N' ' et nous
nous restreindrons par conséquent â une partie rectangulaire
N ' x N 1 1 des matrices A et 4 . Signalons encore un point de
technique très important pour la performance des algorithmes
de calculs. Une partie importante du temps de calcul est
consacrée â l'évaluation des (6j). Or nous constatons que
dans l'expression de tLdn' tt ' J',ir>r) les (6j) dépendent des
moments angulaires de p,m',m,J,J' mais pas des nombres quanti-
ques a et ci ' . Par conséquent, une façon astucieuse du classer
les états consiste à les grouper par "bandes" ou par "blocs"
ceux-ci étant définis comme l'ensemble des états de m et J
donnés différant uniquement par les nombres a . Si la bande
(m,J) contient k états et la bande (m',J'l contient k' états,
il suffit d'un seul (6j)
*.l <6J)
a-j
m ft]J ' " ""'«'jJ'
pour calculer kk' valeurs des M (m'a' J',m a J ) . Par suite, le
calcul de kk' éléments de matrice de A ou de A ne nécessite
que le calcul d'au maximum S. (6j) ou l est le nombre de valeurs
de p dans (11,11) et (11,15), c'est à dire le nombre de ni
veaux individuels. Dans les cas réalistes traités les valeurs
de k sont typiquement de l'ordre de la dizaine et 1 au
maximum 7.
On peut donc dire que la méthode de classement par blocs
permet le calcul d'environ 100 éléments de matrice A et A avec
au maximum 7 appels à un (6j) . Il existe aussi une particula
rité intéressante dans le cas où les vecteurs intermédiaires
m' 1 •x" J 1 ' de la formule (11,19) interviennent par "blocs
12C
entiers" (c'est à dire en incluant tous les phonons a." d'un J1' donné). Nous avons vu précédemment que si B " est dif
férent de N l'expression (11,19) qui correspond S 1'approxima
tion notée HjfN1') n'a plus aucune raison de rester hermitique.
Examinons l'écart à l'hermiticitë.
* ai = <m' a'(J');l[H1lN"î|m a(J);I>-< ma(J) .-IjHjW"! jm'a' (J');I>
En utilisant (11,19) puis les définitions (11,11) et (11,15)
des matrices A et A nous obtenons en définitive
m = H [(Em'"Sn>+(V£pî| %. .. ,.= Vr'" a" J"' I n a J' \Wn' J'' m" i , J">
(11,20)
Nous pouvons réécrire la sommation sur m'' a*' J1' en rempla
çant les quantités M par leurs expressions détaillées (IX,12)
ce qui conduit a
M_(m" o"J",moJ)M (m'a'J',m" a"J") = P "
^ . 2 j J m V " M v V l ( I I, 2 1 )
N"
W*t a ' / J " = l
*?H | v - I J j jv-<arJ|pm";Jxa ' ,J' |qm",J , >y\a , , ;J"|pn;J , , xa' , ;J"! < λ';J"> f
i?> J Supposons que bien que nous ayons H"•< N nous avons conservé
des blocs entiers. Cela veut dire que nous nous sommes res
treints dans le choix des bandes (m'1 J'') mais que par contre
pour un bloc donné (m,,J'*) nous avons pris en compte tous
les phonons a''. Dans ce cas, la sommation sur tous les a''
de l'expression précédente est simplement la deuxième rela
tion d'orthogonalité (11,3) qui fournit le facteur
5pq «mm'*'-1» ? * V 6q»'
Ce facteur annule le terme \cm,+ £_ - e - E j de (11,20)
et dans ce cas
AH = 0 (11,22)
121
L'expression approchée HjHJ") r e s t e hermitique e t par conséquent égale a H, (N") e t H - ( N " ) . Comme nous l 'avons déjà d i t , dans l e chapitre précédent, lorsque nous ne t r a v a i l l o n s pas avec des b locs e n t i e r s , nous aurons toujours avantage à considérer l ' express ion approchée H , ( N " ) .
I l - c Facteurs spectroscopigues de transfert d'une particule
I l n'est pas d i f f i c i l e de montrer que l a r e l a t i o n de fermeture (1,20) s ' é c r i t dans ce cas p a r t i c u l i e r
• V V W * ' • • « « l ' I M > ' W J J ' ™ l = 1 ( I I » 2 3 >
ou sous l a forme un peu s i m p l i f i é e
JLt i |m a(J);IM> <ma(J);IM| = P r M (11,24)
où p est le projecteur dans S sur le sous-espace des
vecteurs de I et M donnés.
Les règles de sommes qui découlent de ces relations sont
particulièrement intéressantes. En effet, le produit scalaire
<î:i | « ,.,;I > représente l'amplitude spectroscopique de m a(J) .
transfert de l'état |a(J)> du noyau A+2, vers l'état |g ;I>
du noyau A+3 par une particule dans l'orbite m.
Le facteur spectroscopique est le carré de l'amplitude
Sm(aJ -B.I) =|<6;lima(J) ;I> |2 (11,25)
Les règles de somme générales (1,21) et (1,25) régissent donc
les facteurs spectroscopiques de transfert d'une particule
JLJL i S (aJ-B ïl) (11,26)
2-, Sm <aJ*B .1) ~ *2*J m ( I I ' 2 7 >
Cette dernière règle est particulièrement utile à l'expérimen
tateur qui peut alimenter plusieurs niveaux g I du noyau final
à partir du niveau a J (en général le fondamental) du noyau initial.
122
11 -d Probabilités de transition électromagnétique
Les formules générales ont é t é présentées dans l e paragraphe (A I I , e ) de l a première p a r t i e ; 11 s u f f i t d' indiquer i c i l e c a l c u l de <&'f I ' | | Q L | |g ; I > .
Nous supposons donnés une f o i s pour toutes l e s éléments de matrice ind iv idue l s <m']|Q, | |m >. I l n ' e s t pas d i f f i c i l e a lors de ca l cu ler l e s éléments de matrice rédui t s pour l e s vecteurs d'onde du système à deux p a r t i c u l e s .
< r f ; J ' | | Q.||a;J> = ( - l ) J 4 J ' + w l ^2 $ ^ I X j j ^ p ! |Ol | m >x m , n , p t p •• »•
<a ;J\ rni;Jxtx,t3,\rtptJ' > (11,28)
De là on déduit faci lement l e commutateur
[Q L M ,PÎ(JK)J - 2 « < I J*"1<JKIML|J'K ,X(/ ,,J ,||CLl!a!J> P*,(J'K') L a ' J ' K ' (11,29)
Pour obtenir <B'; l1 |Qj \&tl> i l s u f f i t de développer!» ;I > dans l a base l c* P^(J)1 Jo >et d ' introduire l e commutateur (11,29) Ce c a l c u l ne présente aucune d i f f i c u l t é .
m,m ,ct,J
(11,30) <m||Ç^||m ><e';I ' |m'aJ;l '>
S j_+L+J+I' majlL J fi (-1P X BiPm 1 ' $«* 'J 'IIOLUBJ xB' î l ' Ima' J',I'>
Cette formule semble disymëtrique dans l 'échange 8 I-»8' I ' mais i l s u f f i t d ' introduire l a r e l a t i o n (1,18) entre X e t
< BI|ma J> pour retrouver une formule symétrique . Signalons auss i que dans l e cas où l a base e s t tronquée |a ;I> n ' e s t maintenant que l e vecteur approché développé sur l e s N ' T v ec teurs |m a ( J ) ; I> • Par contre , i l faut conduire l a somme sur l e s Njt vecteurs |m* a' ( J ' ) ; I ' > . Ce n ' e s t que dans ce cas que |<g ' ; I ' j | Q | ]B ; I >| = ]<B;l | |Q | | B ' I ' > | . Dans l e sens
123
£;I - 6';!' le nombre d'opérations vaut Ni x K,, dans le sens
inverse $' I'->S'I le nombre vaut N',x N-. Comme le résultat
est identique nous choisissons toujours en pratique le sens
qui minimise le nombre d'opérations On pourrait définir pour
les probabilités de transition électromagnétique une approxima
tion Q. (N'') de la même façon que pour H (H'') mais nous ne
l'utiliserons jamais par la suite.
Il- e Application au modèle de l'Appendice c
Il est nécessaire d'illustrer la théorie sur un petit
exemple simple pour voir comment elle fonctionne. Nous choisis
sons le même modelé analytique que dans le cadre de la NFT afin
d'effectuer d'utiles comparaisons.
Soient donc nos trois particules dans la couche j; les
éta ts de base |<j>, > ou simplement |i> sont le., P r ( J !0- . i l
n 'exis te qu'un seul état de base pour décrire les é ta ts de spir. l = 3j-l ou 3j-2t le phonon correspondant a J Q " 2j-l • >,.
Dais ce cas ^ t a ' a' J ' .mctJJ^lJ a t . j a x) - ^ L j 2 i _ j j A A - C
Nous utilisons les mêmes notations que dans (A,III). La matrice
de recouvrement vaut
A
u = l + C = û = o (11,31) d'après (A,III,4)
Cela veut dire qu'il n'y a pas d'état physique puisque la norme
du vecteur de base est nulle donc le vecteur lui même est nul.
Pour toutes nos applications nous avons utilisé la méthode d'or-
thogonalisation canonique de LÔwdin I" LOW 67 1 rappelée dans
L'Appendice E.
Intéressons nous a l'état physique I = 3j-3 où les deux
états de base sont
!*2> " l 2> » t Cj % + 2 ] ' 0 > J«2 * 2 j _ 3
(11,32)
La matrice de recouvrement est
Aij = «Ij + C i j t"' 3 3'
124
Nous avons déjà vu que Tr C • 1 et det C = - 2 par conséquent
det A= det C + Tr C t 1 » O et Tr 4 • 2 + Tr C • 3
L'équation aux valeurs propres de A est
X2- XTrfi + det û « O (11,34)
elle se réduit donc à
X (X-3) = O (11.35)
d 'où l e s deux s o l u t i o n s l « O e t X» 3 .
Nous r e t rouvons l e f a i t q u ' i l n ' e x i s t e qu 'un s e u l é t a t physique
Ira >
|m>= — |4> j>= - — | * 2 "2 ' J l l ' " 2 2
5jf- ' V ( A U A 22 " û?2» ( I I < 3 6 >
Si on cherche de façon standard l e s vecteurs propres
f j |1> + L ]2> ave v a l e u r s p ropres on t rouve
*Nr 9 2
j |1> + £, |2> avec |" f + X% • 1 associés aux deux
«v*? r2-v-# pour x - o e, - n-f* ç, - t - ^ le vecteur propre associé
d'après (11,36). C'est le vecteur nul en accord avec la
théorie générale
* Pour X = 3 Xl = V ^ P ç2 = -^PjL D'après la théorie générale pour obtenir un vecteur correc
tement normalisé il faut diviser les_composantes parVI = \ 3
22 c'esL à dire Ç, = —j
. faut diviser lesc
\*Tl c #22 ' 3 ç2 3
On v é r i f i e sans pe ine que Çj |* 1 >+ C21 « 2
> = | l > ^ i i ! *i="~ V^22 1*2^
= 3 - |A 1 1 |m> + A 2 2 | m > | = | m>qui e s t b i e n l e v e c t e u r u n i t a i r e .
125
Il est intéressant de voir ce qui se passe dans la méthode
originale de la HCM. Dans ce but, nous calculons la matrice A
définie par (11,18). Apres quelques manipulations, elle se
met sous la forme
Aij " 3 E Sij + Vj * ij ( I I ' 3 7 )
La diagonalisatlon de A qui n'est pas hermitique amène l'équa
tion aux valeurs propres
n 2 - n(vx A n + v 2 A 2 2 ) + VjV 2 det a = o
n = E - 3 e. (11,38)
Comme det à - 0 une première solution est
n = E - 3c = Vj A u + V 2 A 2 2 - B (H,39)
qui est la solution physique (C,6)
la deuxième solution est
n = E - 3r • 0 c'est une solution parasite.
Il est amusant de constater que les énergies des états parasi
tes obtenues dans la NFT et la MCH sont identiques. Les vec
teurs propres de A sont en principe les facteurs spectrosco-
piques <B,|*. > à la très grosse différence que si on utilise
les programmes standard de normalisation
Ç =I<BÏVI 2 = i
l'état |ÉT> n'est pas normalisé. Dans le cas où l'on ne
tronque pas la base/la normalisation est très simple puisque
la règle de somme donne
Ç I < B I * ± > I 2
donc <B|cj>-> = /ï <W| • • >
Par contre, lorsqu'on est amené â tronquer la base la procédure
de normalisation n'est plus simple du tout et fait appel aux
vecteurs indépendants engendrés par les |$.> -d'où la nécessi
té d'emploi d'une procédure d'orthogonalisation. Cela nous
conduit tout droit â notre méthode. Poussons néanmoins la
méthode du MCM dans ce cas très simple.
Pour la solution physique n » B les vecteurs propres correcte
ment normalisés sont
<6 Uj> " vSJ-! <B| *2> * ~ Va7 2 '".40)
Les carrés de ces expressions donnent les facteurs spectrosco-
piques en accord avec (C,7). Four calculer les probabilités
de transition il est nécessaire d'avoir un jeu de composantes
Xg . Dans ce cas encore, il n'est pas évident de choisir un tel
jeu si l'on tronque la base. Si en garde la base complète on
peut toujours prendre X* = <6|<)i> /3 d'après (1,22).
En reportant ces valeurs dans (II,30) on parvient après un
calcul pénible â s
<B ; I||QL||S Si > » A n Q, + A 22 Q 2 ("#«»>
expression identique h (C,ll) Notons que si on prend le* composantes (A,III,33) du vecteur
propre obtenu par la NFT sur la base fCj rajl j 1 0 > et
que l'on transcrit cela dans la base |$i>B Icî ?
a < \ j l0''
(les deux bases sont différentes rappelons le) on obtient le
vecteur *
rV-„ IV T l*2> - — — | j U "*]* — |^f'J
- V ^ " + V 2 ^ | m > . | m >
B
Le vecteur obtenu est le vecteur physique correctement normali
sé. Autrement dit,les jeux des ç, obtenus dans le cadre d'un
traitement complet de la NFT avec la procédure de normalisation,
adéquate est aussi un jeu de composantes X de la MCM.
Ce résultat devrait être tout â fait général bien que nous ne
puissions fournir aucune démonstration â ce sujet. Les deux
jeux n'ont rien à voir l'un avec l'autre. En fait, le jeu de
la NFT dépend des éléments de matrice V. alors que le jeu de la
MCM n'en dépend pas (c'est le jeu de la NFT où l'on fait
v i = V •
r 127
La solution parasite correspondant â n = O demande de
résoudre le système dynamique
(<£!*! >Vl/T^1 - <?.|*2> V 2 /A 2 2
( <t\*t > 2
+ <?!* 2 >2 » i U I ' 4 2 )
Il est facile de voir que ce système est incompatible avec
le système cinématique (11,36).
Si op. remplace \i> -> par son expression en fonction de |0j> dans (11,42) on obtient <S|*,> B = O
d'où <ffj<j>, >= 0 et par suite <ï |cj>2> = O ce qui veut
dire que |B> est le vecteur nul et par conséquent la condi
tion de normalisation (11,42) est impossible â réaliser.
En tournant cela en d'autres termes, on peut dire que si on
cherche la solution de (11,42) - et on la trouvera toujours -
celle-ci donnera des résultats complètement erronés par le
fait qu'ils seront incompatibles avec la cinématique du sys
tème. Le seul critère pour éliminer l'état spurieux reste le
critère d'énergie. On conçoit que cette façon d'agir soit ris
quée dans le cas ou la base doit être tronquée.
Avec notre reformulation correcte du problême, tous ces désa
gréments tombent d'eux même. On commence par chercher le
vecteur indépendant, ce qui a été fait plus haut
v2T> ^^22
|m> = —±f Uj> - -^flV
A présent on calcule <<t> . | H|* .>d'après (1,5)
<ïi |H 1*^= (3e+B) A ± j (11,43)
Puis l a ma t r i c e < m | H | m>décou le d 'e l le-même (vo ir 1,3)
<m |H| m> = 3e + B (11,44)
Comme la matrice n'a qu'une dimension cette valeur moyenne
est l'énergie du système. Le vecteur propre |e> étant tout
simplement jm> les composantes du vecteur propre sur la
base |(j,i> sont donc d'après (1.17)
xl = r JEL - x2 = Ç - - » A6 S 3 ' *8 2 3
1 '
128
et les facteurs spectroscopiques se calculent à l'aide de
(1,18)
•=0|* 1> - 3 Xg
Tous les désagréments cités auparavant ont disparu avec
cette nouvelle formulation. Ce modèle nous a permis de dégager
les principales caractéristiques de la méthode. Par la suite,
nous appliquons celle-ci & des cas beaucoup plus réalistes.
129
CHAPITRE III
SYSTEMES A TROIS PARTICULES IOENTIQUESrAPPLICATIONS
La méthode précédente est très bien adaptée au cas de no
yaux comprenant beaucoup de couches de valence; les méthodes
classiques sont difficiles â mettre en oeuvre. Si de plus la
notion de phonon corrélé prend tout son sens, la base utilisée
dans notre cas permet d'effectuer d'importantes troncations. Les 208 noyaux voisins du Pb constituent une bonne région d'étude de
ce point de vue. Il existe quatre noyaux pouvant être êtudifis 211
avec le formalisme du chapitre II a savoir lo Pb (3 neutrons),
l , 2 n A t (3 protons), le 2 0 5Pb (3 trous de neutrons), le 2 0 SAu
(3 trous de protons). En fait, il n'existe aucune donnée expéri
mentale concernant le Au; nous laisserons donc de cote ce
noyau. L'interaction â deux corps utilisée pour les autres noyaux
est celle de Kuo et Herling |Ku 71 1 déjà citée dans la pre
mière partie, c'est à l'heure actuelle la meilleure sur le mar
ché. Les énergies individuelles sont également tirées de cette
référence et sont indiquées dans le tableau X. A l'aide de
notre méthode, nous avons effectué le calcul "exact" du modèle en
couches pour les trois noyaux restants.
III - a - le 2 0 5Pb
Des trois noyaux cités, c'est sans doute celui qui a méri
té la plus abondante littérature. Expérimentalement, on connâit
très bien le spectre d'énergie V Ha 72, Bi 67, Ju 67, Ca 73
Lin 76, Ber 73 1 mais également des facteurs spectroscopi-
ques de transfert d'une particule T La 75 [ . On
certain nombre de propriétés électromagnétiques (probabilités
de transition, facteurs gyromagnétiques, moments statiques, du
rée de vie) a également fait l'objet de travaux Ha 71 , 72
130
TABLEAU I
.x|i<.'rii-ni'o Théorie . Kxpcrienco Tbi'ori * . •
.! I. S j " E S . I 7 1 K S .1" S
Ml ci.002 0.3b 1/2" 0 . 0.467 7 /2" 1.776 111 1 .900 0.006
5 /2" <i. 0 .86 5 / 2 " 0.068 0.887 5 /2" i .904 1 I0" ' '
3 / 2 _ 0.203 0.82 3 / 2 " 0.213 0 .840 H / 2 " 1.907
3 / 2 " 0.576 0.02 3 /2" 0.747 0.013 5 / 2 " 1.933
1/2" 0.«03 0.01 1/2" 0.797 0.007 9 / 2 " 2 . 0 3 . 3 l O - 5 .
5 /2" 0.761 0.023 5 / 2 " 0.872 0.037 1.1/2* 2.203 11 /2* 2.041
7 /2" 0.703 p . 002 7 / 2 "
5 /2"
0.914
1.007
9 1 0 _ <
0.002
;.3/2*
1
1.842 0.020 . 3 / 2 *
7 /2"
2.081
2.087
1 0.040
0.0O2
J/2" 0.998 (1.045 3 /?" 1.012 0.059 1
: 9 / 2 " 0.98B 9 / 2 " 1.063 0.001
3 / 2 * ' l . 0 | 4 11.907 13/2* 1.124 0.945
7 / : " 1 . o n (1 .(IStl ",r" 1.132 0.044
3/2" 1 . 174 0.002 J/2" 1.352 0.004 19/2* 2.020 19/2* 2.176 ! 5/?." 1.382 0.001 2 1 / : * 2.757 1
1/2" 1.510 0.005 9 / 2 " 2.692 0.734 9 / 2 " 2.909 0.61 i
5 / 2 " 1.510 . io-« 9 / 2 " 2.903 0 .216 9 / 2 " 3.031 0 .191
9 / 2 " 1.499 9 / 2 " 1.544 . . 0 " ' 9 / 2 " 3.157 0 . l ' 7
7 /2" 1.614 0.105 7 / 2 " 1.581 0.117 21/2~ 3.168 2 1 / 2 " 3.412
3 / 2 " 1.632 O.OOI 25 /2" 3.196 2 5 / 2 " 3.417
in 1.764 0.825 7 / 2 " 1.757 0.79O 29/2" 3.626 2 9 / 2 " 3.826
3 / 2 " 1.771 2 I 0 _ <
!7 /2~ 3.910 2 7 / 2 " 4.158
5 / 2 " 1.774 D.001 33/2 5.161 3 3 / 2 * 5.314
9 / 2 * 1.593 9 / 2 *
9 / 2 "
3 / 2 "
1.762
1.812
1.835
3 lu" ;
4 I0~"
2 9 / 2 * 5.064 2 9 / 2 * 5.397
17/2* 1.697 17/2* 1.864
Energie E en MeV e t facteurs spactroscopiques S i Ï |CT Pb(0+)--j' 205 dans le cas du Eb.La force u t i l i sée e s t décrite dans le texte.
Nous donnons tous les niveaux jusqu'à 2 MeV d' excitation ainsi que quelques niveaux yrast de spin ëlevé.L' énergie du fondamental expérimental es t 22.19 îfeV.l' énergie calculée es t 21.858 IteV.
r 131
TABLEAU II
J7 i
• j
K. 1
1
1 *
i ' K f Expti-ii-nci- , « ' s c i l i a u - i i r '
harm» uiqui-
! E 3 2 5 / 2 " 3 .417 j j 1 9 / 2 * 2 . 1 7 6
i 220 , 1- . 9 5
I " 3 3 / 2 * j 5 .314 ! 27/2*" 4 . 1 5 8 370 : 7 - , 4 6
E3 3 3 / 2 + j 5 .314 ! 2 9 / : " 3 . 8 : 6 ..2(i i 50.2(1 1 1
! E2 3 3 / 2 * ! 5 . 3 / 4 ! 2 9 / 2 * 5 .397 1 45 .1 ! - . . 7 :
| E2 2 5 / 2 " 3 . 4 1 7 ! 2 1 / 2 " 3 . 4 1 2 ' 4 4 . 7 - .1 .69
1 E2 5 / 2 " 0 . 0 6 8 1/2" 0 . .'.112
1 E2 3 / 2 " 0 . 2 1 3 1/2" 0 . i (1.7I9
1 F.2 ! 5 / 2 " (1.068 1 25.5: .
i E2 3 / 2 ~ 0 . 7 4 7 i 1 /2" 0 . 0 ] 56.Kb
! " O.06B ! . ' . I . i r
1 = I / . '" o . / T
i .' .• , , , j !.. !
E2 < 3 /2" 0 . 2 11 I .Md.M
E2 j 3 / 2 *
E2 5 / 2 " 0 . 8 7 2 1/2" 0 . j i 137.1.9 ,
E2 5 / 2 " 0 . 0 6 8 i | 101 .60 |
E2 j / 2 " 0 . 2 1 3 j j 3.'.. 20
E2 1 3 / 2 " 0 . 7 4 7 f 2 0 . 4 8
E2 1 /2" 0 . 7 9 7 ! 31 .33
E.' 7 / 2 " j 0 . 9 1 4 5 / 2 " 0 . 0 6 8 j 2 8 3 . 5 3
E2 3 / 2 " 0 . 2 1 3 1 1 6 . 1 5
E2 3 / 2 * 0 . 7 i 7 ! 143.21
2 2-Quelques probabilités de transition B(E. ) en e an ' calculées à 1' aide d' une fonction d' onde radiale d' oscillateur harnonique de constante b= 0.86 A ' -Le noyau étudié est le Pb et la charge effective utilisée e_ = 1.0 e.
132
Il n'est donc pas étonnant que ce noyau ait été étudié aussi
du point de vue théorique sous plusieurs approches I Me G 75,
Va 77 j. Néanmoins le calcul le plus complet est sans aucun
doute celui do Me Grory et Kuo T M C C 75 J . Ces auteurs
ont effectué un calcul de modèle en couches en permettant
trois trous dans les six sous couches de neutrons. Nous avons
repris leurs calculs avec notre méthode pour un plus grand
nombro de niveaux car de nouvelles données expérimentales
sont apparues depais lors. De plus,la comparaison de nos résul
tats avec les leurs nous a permis de tester nos programmes
numériques. Il s'avère qu'aucune des trois approximations
Kuo-Herling [Ku 71 J n'est vraiment bonne pour les systè
mes comportant des troux de neutrons. Comme interaction, nous
avons choisi après Mc-Grory un compromis bâtard entre l'appro
ximation 1 et 2 à savoir 754 d'approximation 2 T 25* d'approxi
mation lj il se trouve que cette force est bien meilleure.
La méthode c! ' ortnoqonal isation dans tous nos calculs- est et lie
décrire par Ltwriin sous le nom d'orthogonalisalion canonique
(voir appendice fc). Dans le tableau i, est présenté l'ensemble
du spectre pour les spins les plus représentatifs jusqu'à une
énergie d'excitation de 2 MeV ainsi que quelques niveaux
yrast de haut spin. Nous avons mis en regard les données expé
rimentales qui cadrent le mieux avec nos résultats. Dans l'en
semble, l'accord est bon surtout en ce qui concerne les fac
teurs spectroscopiques S =*\<ê |C_ P»iO >| et l'ordre pour
les niveaux de haut spin. Par contre, il subsiste quelques
points noirs.
Il y a une inversion du fondamental mais il est vrai que
les niveaux 5/2 et 1/2 ne sont guère séparés que de 2 keV.
Théoriquement, le même fondamental se trouve à +21.858 MeV
alors que la valeur tirée de l'expérience est 22.19 MeV: il
est donc trop lié d'environ 30O fcaV.
Un nombre assez grand de niveaux vus expérimentalement
ne sont pas décrits dans notre approche; les excitations du
coeur jouent probablement un rôle important dans ces cas-là.
Nous présentons également dans le tableauII quelques probabili-
133
et avec des fonctions d'onde radiales d'oscillateur harmonique
de constante b = 0.86 A ' (correspondant à des valeurs
hij«48 A - qui ont cours dans ces régions fDa 69 ] ) .
En ce qui concerne les transitions E2 il semble que la valeur
adoptée pour la charge effective soit convenable; pour les E3
elle est beaucoup trop faible puisque dans ce cas la bonne va
leur serait e = 2.5 e. Cependant l'importance des vibrations ^ 208
octupolaires dans le coeur de Pb a été négligée et c'est
sans doute la raison profonde de l'introduction de charges
effectives aussi grandes pour les transitions E3. Néanmoins, on peut dire de façon globale que le modèle
205 en couches donne une bonne description des propriétés du Pb.
Ill - b - le 2 1 1 A t
Ce noyau est aussi très bien connu tant expérimentalement
I Ber 70, a,b, Ma 71, Ast 72 a,b, c J que théoriquement
fAr 70, McG 75 , Ing 75 ] .
Dans ce cas aussi, le modèle en couches a été mené â bien
avec six couches de valence par Me Groryet Kuo f McG 75 J . Les
calculs que nous avons repris n'ont donc rien d'original si ce
n'est pour les probabilités de transition qui ont été évaluées
avec des fonctions d'onde de l'oscillateur harmonique. En fait,
comme nous le verrons par la suite, ce noyau a surtout servi
de test aux diverses méthodes de troncation. L'interaction uti
lisée est cette fois-ci l'approximation 2 de Kuo et Herling. Le
spectre est présenté dans le tableau HI et semble assez bon mal
gré quelques inversions de niveaux. Dans ce noyau encore le
fondamental est trop lié de quelques 130keV; il est possi
ble qu'une partie de cette différence provienne d'un mauvais
traitement du terme coulombien. Dans le tableauIV, nous avons
porté les probabilités de transition électromagnétique obser
vées expérimentalement. Les calculs ont été faits avec des
fonctions d'onde de l'oscillateur harmonique déjà décrites dans
le Pb et aussi avec des fonctions radiales d'un potentiel
de Saxon-Woods. Le potentiel utilisé dans je cas est le suivant
134
TABl£AU III
Expérience Théorie ' Experience Théorie
J~ E S J~ E S j J~ E S J * E
! S
9/2" 0. 9/2~ 0 . 0.862 11/2" 2.220
7/2" 0.674 7/2" 0.713 0.957 15/2* 2.259
1 7/2" 0.866 7/2" 0.994 8 10"* 13/2" 2.269
5/2" 0.947 5/2" 1.151 0. 3/2" 2.109 3/2" 2.288
13/2" 1.067 13/2" 1.201 1/2" 2.063 1/2" 2.336 0.001
11/2" 1.123 11/2" 1.299 5/2" 2.352 0.001
I 3 / 2 + I.3S5 13/2* 1.334 0.962 ! t
5/2" 2.629 0.878
3/2* 1.116 3/2" 1.369 0. 1 i
3/2" 2.891 0.948
9/2* 1.381 8 10"*
15/2" 1.270 15/2" 1.452
9/2" 1.792 .0"* 17/2" 1.320 17/2" 1.482
7/2" 1.824 5 10" 3 21/2" 1.416 2 1 / : " I.V.3
11/2" 1.844 23/2" 1.928 23/2" 1.933
3/2" 1.801 3/2" 1.970 0.011 29/2* 2.641 29/2* 2.468
5/2" 1.992 5/2*
15/2"
13/2"
9/2"
U/2~
7/2"
9/2"
1.972
2.031
2.057
2.171
2.144
2.199
2.208
0.003
4 l O - 4
-4 2 10
0.
25/2* 2.617 25/2* 2.522
5/2" 2.129 5/2" 2.210 0.008
_
Identique au tableau I pour 1' At.Le fondamental expérimental est à -11.761 Ms y, la valeur calculés est -11.891 MsV.
TSBLENJ Vf
h 'ï E i J ï ï
E f Expérience Osci l lateur
harmonique Saxon-Woods e e f f
E3 2 9 / 2 + 2.468 23/2 1.933 S10OO 5566 3.03
E2 29/2* 2.468 25/2'' 2.522 93 38.10 38.22 1.56
E2 21/2" 1.534 17/2 1.482 131 61.38 61.11 1.46
E2 15/2" 1.452 13/2 1.201 40 15.72 15.82 1.60
E2 15/2 1.452 M/2 1.299 127 53.84 53.92 1.54
E2 3/2" 1.369 5/2 1.151 920 237.81 234.18 1.97
E2 3/2 1.369 7/2 0.994 135 42.39 40.18 1.78
E2 3/2 1.369 7/2 0.713 34 0.23 0.182 12.16
Quelques probabilités de transition électromagnétique B(E,) en e 2fm 2 calculées dans 1' 2 1 lAt.
Les éléments de matrice réduits individuels ont été calculés soit â 1' aide de fonctions d' onde radiales
d 1 oscillateur hnrnenique.soit de type Saxon-Woods (c.f texte) .La charge effective utilisée est e • 1.0 e
et la charge effective e „ nécessaire pour reproduire les données expérimentales est aussi indiquée.
11
136
w s w ( r > • - v 0 [f (D -A t ^ ' 2 h 4 ? f ( r ) ] + c o u l O B , b
r r -r A l ' 3 1 "I
|_l + exp< — £ - )J avec les paramètres usuels dans c e t t e région :
a = 0 .67 Fm r = 1.25 Fm A = 33 n
V est ajusté pour chaque niveau individuel sur l'énergie du 209
proton célibataire dans le Bi. Quant au niveau P,/2 3 u i
n'est pas lié, nous avons arbitrairement choisi e , ,- =-0.53MeV Les valeurs de V obtenues oscillent autour de 62 MeV avec o des petites fluctuations qui font que les fonctions individuel
les ne sont pas tout a fait orthogonales . 11 est frappant
que les résultats obtenus avec l'oscillateur harmonique et le
puits de Saxon-Woods diffèrent très peu l'un de l'autre ce
qui justifie a posteriori le choix de la constante b-0.86 A ' .
Les charges effectives nécessaires fluctuent entre e • 1.5 e
et e * 2.0 e (a part la dernière transition qui est très mal
décrite); elles sont inférieures à celles indispensables au
calcul avec une seule sous-couche de Blomqvlst ce qui signifie
que les corrélations entre les sous couches sont importantes.
Néanmoins, la valeur de e_ est encore assez grande indiquant
par là une polarisation du coeur certaine.
III - c - le 2 1 1Pb
Nous avons déjà étudié ce noyau dans l'application de
la première partie. Les références des travaux expérimentaux
y sont déjà mentionnées. Aucun calcul exact n'a encore été
fait : Me Grory et Kuo ont certes effectué des calculs de modè
les en couches mais avec cinq couches de valence uniquement.
Dans le cadre de la NFT, nous avons tenu compte des sept cou
ches de valence; par contre, nous avons effectué des trunca
tions au niveau des états de base et des états intermédiaires.
Civitarese et al fci 77J ont été encore moins complets puiqu'
ils se sont limités en outre aux seuls graphes du premier or
dre. Notre méthode étant particulièrement bien adaptée à un
•A3H S96*ZÏ- WBîa s^UEpuodsaxico agrnoteo jns[E& ei'Aaw S£6*ZT - "tsa -[BpuauEguog reami tip ar&rau? ,*i '«H.-- at Jnod I nestqe} ne anErçvrapi
EOO'O »6»*Z • * " | - a 0 ' 0
158*1 •**/•
98»*0 S9VZ + Z / £ Z£*0 Z IS 'Z
tz/4_oi*z « 8 * 1 + Z / S
100-0 I 9 V Z + Z / I I -_OI *Z Z08* l
+ Z / £
£00*0 9 W Z _Z /S I 85* *0 £6£*1 + Z / 1 ( l £ * 0 ) Z Z i ' l + Z / I
L-01 9
oso-o i ( * * Z
86£*Z
+ z/s
fr-01'»
191-1
0 8 i - l
+ Z / 6
+ Z / I I
,.<» s »8E*Z + Z / I I £00*0 6S£' l + Z / E
260*0 90£*Z , Z / £ ^ . O f S tti'l + Z / S
zvro 10E*Z + Z / I (9Z*0J ETO'Z + Z / I ZOO'O I K ' I JIL
, . 0 > ' S £8Z*Z _Z/SI EOO'O 589-1 + Z / S
£89 ' 0 98Z-Z • « ' « 69*0 08E-Z • « « 100-0
ZOO'O
ZS9*I + z / u , . 0 1 ' I SSZ'Z + Z / I I
100-0
ZOO'O SZ9*I • * " -100-0 SSZ'Z • l ' s - 01*6
100*0
609*1 + Z / 6
100-0 « Z * Z + Z / 6
- 01*6
100*0 8 6 » ' l + Z / 6
czo-o ZOZ'Z + Z / i i l ' O oaz'z + Z / < » I 0 * 0 « » * l + e / i
E6C-0 K l 1 " + Z / E zro 08Z-Z + Z / E wo 9 I » * I + Z / 6 (60*0) 189*1 f Z / 6
100*0 E i l ' Z + Z / 6 6 » 6 ' 0 I8E* I + Z / S 9 i * 0 z i n *.«« OS 0*0 I80*Z
+ Z / E [ * u * z ] OZ6*0 *«•! . Z / S I U V O ) E0£*l . Z / S I
,.<" » 8Z0'Z _Z/SI S60'0 ZOE'l + Z / I I Ctic-i)
£10*0 996*1 + Z / < (196*1) s_oi:» W 8 * 0 + Z / 6
100-0 816*1 + Z / 6 I izo-o ESZ-0 + Z / 1 I
610-0 916-1 + Z / S (81*0 ) ; 668*1 , Z / S ^.OI.-Ï ZSi 'O +z/e s _ 0 1 £ W)6*l + Z / I I : EÏB*0 Z89*0
+ Z / I I 18*0 6E9*0 f Z / l l
s - o i s
568*1
168*1
+ Z / <
+ Z / 6 ZOO'O
665*0
0Z»*O
+z/s .m :6£<**0)
, .oi•< « 8 * 1 + Z / 1 I 1 158*0 0£0*0 - + Z / 6 W O •o , .2/6
S u f 1 i
s u t s ' I s 3 \ r
a i i o j m | sou9Tajdx3 I a?J0j iu asusTjjdxa
A (nsnsvx
i£T
38BU3RU V (Suits)
Théorie I Théorie
j " E .1* | i
F. 1
21/2* 1.083 M / 2 " 2.796 27/2* 1.650 33/2" 2.863 23/2* 1.686 35/2" 2.878 25/2* 1.793 33/2* 3.991 29/2* 2.528 31/2* 4.097 27/2" 2.537 39/2* 4.098 25/2 2.614 35/2* 4.141 31/2 2.749 37/2* 4.259
| 39/2 5.443
l>
139
TABLEAU VI
J? 1
E. 1 J? Ef
1 B(E2) oscillateur harmonique
11/2* 0.682 9/2* - 0.030 1.0 |0~* 11/2* 0.753 9/2* - 0.030 19.15 5/2* 1.381 9/2* - 0.030 38.88 1/2* 1.783 5/2* 1.381 120.05 1/2* 2.301 5/2* 1.916 12.18 5/2* 1.916 1/2* 1.783 5.2 10"* 7/2* 2.202 5/2* 1.916 1.79 7/2* 2.202 5/2* 1.381 10.42 7/2* 2.286 5/2* 1.916 0.33
5/2* I.3BI 0.75 3/2* 2.174 S/2* 1.381 10.45
5/2* 1.916 5.83 1/2* 1.783 45.75 1/2* 2.301 5.95
7/2* 2.286 7/2* 2.202 13.72 3/2* 2.174 13.00
7/2* 2.306 7/2* 2.286 3.95 7/2* 2.202 2.05 3/2* 2.465 6.42
3/2* 2.465 7/2* 2.286 35.16 7/2* 2.202 0.33 J
Qaelçpies crobabi.u.tes de transition électromagnétique B(E,) en e fin s i ! *
calculées dans le Fb avec des fonctions d' onde radiales d' oscillateur harmonique e t une charge effective e = 1.0 e.
140
traitement numérique, nous avons pu traiter "exactement" ce
noyau» Par "exactement", nous entendons dans le cadre du modèle
en couches avec les sept couches de valence. L'approximation 2
de Kuo et Her ling [Ku 71J que nous avons utilisée ayant été
établie de façon effective dans l'espace engendre par ces sept
couches, nous n'avonB pas eu besoin de renormaliser l'interaction,
contrairement â Hc Grory et Kuo. Le fondamental obtenu théorique
ment est â - 12.965 MeV très proche de la valeur expérimentale
- 12.935 MeV. Pour cette raison, nous avons rapporte toutes les
énergies du tableau V au fondamental expérimental. Les rares
données expérimentales s'insèrent bien dans le cadre de cette
étude. Nous avons fait figurer aussi certains niveaux yrast de
haut spin qui n'ont pas encore été observés expérimentalement.
A ce propos, il est possible que, certains d'entre eux,
possèdent une longue durée de vie. Par exemple, d'après nos
résultats, il semble que le niveau 27/2* soit assez bas en
énergie (1.650 MeV) et ne puisse se désintégrer que vers le
21/2 c'est-à-dire par une transition M3 ou E4. Néanmoins,
cette conclusion n'est pas définitive car l'ordre des niveaux
27/2+ et 23/2+ devrait être assez sensible a la force utilisée.
Si on compare les résultats présents avec ceux décrits
dans la première partie, S l'aide de la NFT, on ne constate
que de faibles différences. Ces petites fluctuations provien
nent d'ailleurs essentiellement de la troncation des états in
termédiaires plutôt que de la troncation des états de base. Ce
ci confirme que la NFT est une bonne approche du problème â N
corps.
De même, une comparaison de nos résultats avec ceux
de Hc-Grory obtenus dans un espace restreint montre que cer
tains de leurs résultats sont valables alors que d'autres souf
frent d'une grande incertitude. Il ne semble pas que la procé
dure de renormalisation de la force utilisée par ces auteurs
soit parfaite. Néanmoins une analyse critique plus poussée et
des conclusions plus définitives ne sont pas permises étant
donné le faible nombre de points de comparaison fournis par
ces auteurs.
141
Enfin, nous donnons dans le tableau VI des probabilités
de transition B(E2) calculée avec une charge effective e » 1.0e
et des fonctions radiales de l'oscillateur harmonique. La
plupart des transitions calculées ont lieu entre niveaux obser
vés de façon expérimentale. Par contre, nous n'avons encore
aucune information sur les valeurs expérimentales de ces B(E2).
L'ensemble des résultats présentés pour ce noyau a néces
sité environ quinze minutes de calcul sur un ordinateur CDC 6600
ce qui prouve - si besoin en est - la performance numérique
de notre méthode.
III - d-Etude de convergence
Les noyaux précédents ont pu être traités dans l'espace
complet $_ du modèle en couches. Les dimensions des matrices
(il existe 152 états 9/2* dans le P b 2 u - cas le plus long)
sont encore maniables. Pour des noyaux plus compliqués, cela
ne sera plus possible. Puisque nous avons la chance de connaître
la fonction d'onde "exacte" dans un cas réaliste, il nous a
paru utile d'étudier les effets des diverses troncations de
la base.
Nous avons défini dans l'introduction de cette partie
deux quantités qui peuvent servir de test a l'étude de la
troncation de la base. Ce sont
«a <£„,) -<*« iPlSn'»'*» * qui indique dans quelle mesure la fonction d'onde "exacte"
|t|i > se projette dans le sous espace de diagonalisation S , ;
R ( S .) = <* I* > a » w ni » va' a
qui mesure le recouvrement de la fonction d'onde "exacte" !ti> >
avec la fonction |y > calculée dans le sous espace ff ,. Ces quantités sont calculées effectivement d'après les formules
(1,26) et (1,27).
Nous avons déjà souligné que la base du modèle en couches
n'est pas bien adaptée pour une troncation; dans les meilleurs 2
cas pour obtenir une valeur de 0^ de l'ordre de 0.95 il est
nécessaire d'utiliser la moitié de la base totale (n* = j),
142
9
pour atteindre Q » 0.99 il faut prendre pratiquement la totalité de la base n'sîn [ Br 77 J. Avec la base du couplage faible les choses se présentent sous de meilleurs ausDices. Ainsi,
- 211 par exemple, le fondamental 9/2 de l'At est pratiquement
l'état de base |$ ,> « lno/2 ° * puisque nous avons dans ce
cas 0,( V]) - 0.9965. Pour faire une étude plus exhaustive,
nous considérons un cas beaucoup moins favorable, a vrai dire
peu favorable, â savoir le quatrième état excité 9/2~ de l'At
Sur quels critères se baser pour effectuer la troncation?
On peut imaginer trois éléments principaux : l'énergie, la
collectivité et le spin.
Le critère d'énergie est a la base même des méthodes de
perturbation; de façon simpliste on peut dire que si on s'in
téresse à une région d'énergie centrée autour de E , les
vecteurs importants pour cette étude sont ceux qui ont une
énergie d'ordre 0 ou d'ordre 1 voisine de E.. Dans le cas
particulier de 3 particules identiques
"i«'j • em + *>a(J> e t - ( i )
a J - < « a J |H| B B J »
La collectivité peut avoir une certaine importance si un
phonon de spin donné (en général le plus bas en énergie)
épuise une "certaine règle de somme". On pense que l'espace
formé â l'aide de tels phonons est assez bien découplé du
reste, ce qui permet une troncation plus facile.
Enfin, le spin, il est bien connu que les forces d'appa-
riement qui couplent des particules I J » 0 sont intenses
dans les noyaux; après tout, c'est la philosophie même du
schéma de seniorité. De même, un mode de vibration de première
importance est le mode quadrupolaire caractérisé par un
moment angulaire J™ = 2 . De ce fait, on peut donc penser a
priori que les phonons 0 et 2 jouent les premiers rôles
dans les excitations nucléaires. L*interacting boson model
(IBM) de lachello-Ariroa les considère même comme les pierres
maîtresses de l'édifice.
Pour tester ces divers critères, nous avons analysé la
quantité Q^ ( 2» n.)2 pour le (9/2~).de l , 2 1 1At en choisissant de
&. TABLEAU Vil a
Etude de la projection de la fonction d'onde exacte |tfi> - 19/2, At 211 > dans un sous espace donné Q * < ^ 1^1^ > * es ci-n9 choix du sous espace fs correspondent aux cinq colonnes notées A,B,C,D,E et ont été explicités dans le texte.La dimension de l'espace n' a été augoentée unité par unité en ajoutant à chaque fois le vecteur correspondant. La force utilisée est KH2 et le nombre total d'états 9/2 est n » 80 dans ce cas.
A < B 1 0" a
C 9* 1 D < E «É rt'
»V2~ , + 0.1678 | 9 / 2 " . • > 0.3272 1 9 / 2 " A> 0.1678 | 9 / 2 _ >;> 0.1678 J 7 / 2 " «> 0.0139 1
P/2" •î> 0.4448 |7/2~ *+> 0.3500 | 9 / 2 _ •;» 0.5515 |9/2 < 2 > 0.2075 |7/2" 6 * > 0.1553 2
|9/2~ *î> 0.4450 19/2~ 3 + > 0.3504 )7/2~ i\> 0.5623 17/2" «î> 0.3465 (7/2* «V 0.4553 3
f/2- *î> 0.4586 1«/2" 7 % 0.3855 \9/2" >> 0.6662 I 7'-"" *î> 0.5248 |7 /2" 2 + > 0.4571 4
19/2" >î> 0.5131 \7/2" 6 + > 0.3905 |7/2" »;> 0.6712 |9/2" «5> 0.5397 19/2" **> 0.5007 5
f»/2" »;> 0.5166 l«/2" 5> 0.3949 19/2" »;> 0.6740 J7/2" «;> 0.5406 |9 /2" 6 % 0.5644 6
i' <•;> 0.5616 J 7/2- 8% 0.5591 (9 /2- »;> 0.6740 Y>!2~ o;> 0.8867 19/2* 2 + > 0.6820 7
p/2" <;> 0.5714 | 7 / 2 " 2+> 0.6)7) | 7 / r *;> 0.6752 ]9/ 2" <> 0.9162 | 9 / 2 * «*> 0.7142 8
9/2" >;> 0.5718 t'/2" -+> 0.6833 |V2" *;> 0.6765 |7/2" *î> 0.9239 \ 5 / 2 _
2 % 0.7142 9
P/r • ; > 0.6302 |7 /2" »> 0.7593 [9/2" »;> 0.6778 17/2" •:> 0.9474 \5 /2" •*> 0.7150 , 0
f/2~ °2> 0.9039 |7 /2" 3% 0.7617 |9/2~ >;> 0.6799 |9/î" >;> 0.9680 \5 /2" **> 0.7171 II
r»/2 - •;> 0.9167 19/2" *+> 0.8040 19/?" °;> 0.6823 |7/2" «;> 0.9831 19/2" o+> 0.8936 12
fn~ A> 0.9256 | 7 / 2 " 5+> 0.8498 \\in" »;> 0.6841 |7/2" t> 0.9834 13/2" «> 0.8938 1 13
L.
1 I
TABl.FAIJ V\ \ .î ( s u i t * '
A Q 2
ci B
| 9 / 2 " 6 + >
1__ 0.9121
C
l«/2* 2fe>
2 1 D < 1 E *> « Ç
n'
i<'/2" 8 *> 0.9607
B
| 9 / 2 " 6 + >
1__ 0.9121
C
l«/2* 2fe> 0.6847 | 9 / 2 ~ 4 * > 0.9853 | 3 / 2 " 6 % 0.8939 14
l " / 2 " 2 + > 0.9771 \ 9 / 2 " 2 * > 0.9548 \W~ 2 > 0.6855 | 9 / 2 " 4 ; > 0 .9926 l ' / 2 " 4 + > 0.8940 IS
17/2" l *> 0.9852 \ 9 / 2 " 8* > 0.9660 19/2" 2*7> 0.6856 [ 7 / 2 - 4 ; > 0.9927 16
l ' / 2 " 6 > 0.9867 j ! 3 / 2 + H > 0.9799 IVï" 2*> 0.6856 l»/2" «>* > 0.9949 * 17
Un' ?{> ;i.J922 |13 /2 + 2 " > 0.9800 |V~ 2*> 0.6861 | 9 / 2 ~ 6 * > l 0.9949 18
! 7 /2~ 3 + > 0.9926 | 5 / 2 " 2 * > 0.9812 17/'- 2 j ? 0.6863 J9/2" 2 * > j 0.9949 19
17/2" 2*2y 0.9943 |i3/2+ r > 0.9831 |9/.?~ 8* ^ ! 0.9956 20
|9/2~ +*> 0.9956 | 5 / 2 _ 6 +
? 0.9832 1
| 9 / 2 ~ 2* > i 0.9959 21
l? /2" 5 + > 0.9959 | l3 /2* 3 ~ > 0.9844 v-«" 4 > 0.9959 22
l*/2" *J> 0.9963 13/2* 1 0 " > 0.9844 P«" 2*J> 0.9963 23
î»/»"*;? 0.9964 13/2* 8 " > 0.9845 ! ' / 2 ~ * * > 0.9968 24
l 9 / 2 _ * + > 0.9982 l5/2" 4 V 0.9845 P/2- - > o . 99 7(1 25
145
cinq manières différentes l'espace 6 ,. Les résultats sont re
portés sur le tableauVIIaLa signification de ce tableau est la
suivante; dans les cinq colonnes nous avons adopté un critère
d'énergie. L'énergie de l'état considéré étant E Q = - 9.720 Mev
nous avons sélectionné les états de base dont l'énergie au
premier ordre u , est la plus voisine de E_ (nous aurions (01 m r i J °
pris u , comme critère, cela aurait changé très peu de m a"
choses). Nous avons donc élargi la dimension n' de la base unité par unité en ajoutant a chaque fois le vecteur d'énergie
|E - u) | immédiatement supérieure. Nous nous sommes arrêtés
S une dimension n' égale â 25. C'est le seul critère utilisé
dans la colonne A.
En ce qui concerne les quatre autres colonnes nous avons
imposé des contraintes supplémentaires
- colonne B : les phonons P*(J)utilisés pour les états
de base I* T > sont seulement les phonons collectifs.
Arbitrairement! nous avons défini un phonon collectif comme
le phonon d'énergie la plus basse pour un spin donné. Cela a
pour but d'étudier l'influence de la collectivité sur la façon
de tronquer.
- colonne C : nous n'avons retenu que des phonons P (J)
avec JT' = 0 ou 2 +. Cela a pour but de tester l'influence de
spins et la validité de l'IBM dans ce cas.
- colonne D : nous n'avons pris en compte que les phonons
P +(J) avec J11 = 0+,2+,4+,6+,8+.Ceci afin de vérifier si d'au-a + + très spins que 0 et 2 sont importants.
- colonne E : seuls sont retenus les phonons P Q (J)
collectifs avec J* = 0+,2 ,4+,6 ,8 +. Ce cas permet de faire le
joint entre B et D.
On peut bien sûr imaginer nombre de façons autres pour
choisir le sous espace B , mais nous pensons que ces cinq
cas forment déjà un échantillon très représentatif. Les vec
teurs de base ajoutés successivement ont été aussi indiqués.
Plusieurs conclusions intéressantes ressortent de cete
étude. L'inspection de la colcnne C montre clairement que les
TABLEAU VII b
Même signification que le tableau VII a pour \<ji > - |3/ 2 ; Fb > . La force utilisée est KH2 et le nombre
total d'états est n - 94 dans ce cas .
A < B < C 1
D % E < n'
\5/2*2*> 0.0119 | 5 / 2 * 2 * > 0.0119 ! */2 + **J O.OI19 | 5/2 2*> 0.0119 j 5/2* 2*> 0.011?
1 9/2***> 0.4676 (3/2* 0*> 0.4068 1 V2 + 0*> 0.4068 1 9/2* 4*>' 0.4676 3 \
| 3/2* 0* > 0.4068 ! 2 1
|9 /2 + &;> 0.5451 \ 5/2* 4*> 0.7318 i / 2 +
2 ; > 0.5668 ] 9/2* 6^> 0.54 51 | 5 / 2 * 4 * > 0.7318 ! 3
| 9/2 + 3*> 0.5727 J9/2* 3 + > 0.7496 17/2+ 2 I> 0.5700 | 3/2* 0*>| 0.8444 |M/2* 6 * > 0.7441 * | 3/2*0*> 0.8789 | 9 / 2 + 5*> 0.7560 | 3 / 2 * 2 * > 0.5792 , 5 / 2 * 4 ; > O.B787 | l l / 2 * 4 * > 0.7521 5
| 9/2*5*> 0.9049 | l l / 2 * 6 * > 0.7567 | 5 / 2 +
2 ; > 0.5793 Vn S> 0.8853 l ' / 2 * 2*> 0.9158 I 6
| 5/2*4*> 0.9163 | l l / 2 * 4*> 0.7622 | 5/2* 2*3> 0.5821 | 9 / 2 * 6 * 2 > 0.8861 \ 7 / 2 * 2*> 0.9191 7
| 9 /2*3*s 0.9228 | 1/2+ 2 * > 0.9211 \V2> 2*.> 0.5824 | . . / 2 * 6 ; > | 0,9007 | 3 / 2 * 2*> 0.9289 1 8
1»«**î> 0.9250 I» 1/2* 7*> 0.9524 i »***;> 0.58Î2 1 ' /Î* *:> 0.9395 | ? / 2 * 4 * > 0.9294 1 9
| 9 / 2 +
5 ; > 0.9391 | . . / 2 * 5 * > 0.9528 | 5 / 2 + 2 > 0.58M pi/2* *;> 0.9454 | 9 / ? * 6 * > 0.9416 H 10
u
~i TABLEAU VII b (Suite)
A o~ •a
B 9
C < B . —
F. n'
j9/2 + 6*> 0.9392 I 7/2* 2+> 0.9566 1 V2 + „; , 0.5913 1 1/2* 2*> 0.9791 | 9/?* 4*> 0.9684 11
| l l / 2 + 6 ; > 0.9439 | 3 /2 + 2 + > 0.9656 1 3/2+ 2 > 0.5914 1 ^ <> 0.9885 1 12
1 9/2+*I> 0.9523 1 vf >+> 0.9659 | 7 / 2 + 2 * > 0.5922 | n / : + 4 ; > 0.988R 13
| l l / 2 + 4 ; > 0.9590 | ?/2 + 4 % 0.9671 \^<> 0.5926 | l l / 2 * 6*> 0.9889 14
1 l/2+2*> 0.9866 | 9 /2 + 6 + > 0.9788 13/2 +
2 ;> 0.5930 1 9 / 2 + 4*) 0.9889 15
19/ 2*6;> 0.9911 | 1/2* 1*> 0.9788 1 7 / ? + 0 0.5945 I 9/2* &5> 0.9894 16
| l l / 2 + 7 ; > 0.9914 | 9 / 2 + 4 + > 0.9889 I *;> 0.5945 1 " 2 * 2l> 0.9901 17
i n / 2 + 5 > 0.9915 | 15/2" 9"> 0.9892 [ 3 ' 1 * ^ 0.9934 18
| 9/2 + 53> 0.9916 J15/2" 7"> 0.9925 i »/2* *;> 0.9935 19
J11/2*4* > 0.9918 | l 5 / 2 " é"> 0.9925 i •«/'-* *î> 0.9937 20
n
148
spins O et 2 ne sont pas suffisants pour décrire l'état
considéré.Le sous espace est saturé dès n' • 4 et le .tait de
rajouter d'autres vecteurs ne change rien à l'affaire. Cela
laisse penser que l'IBM ne peut être adapté que pour certains
types d'état .
De même la colonne E quoique meilleure arrive aussi
rapidement â saturation.
Les trois autres colonnes A,B,D sont également bonnes
pour n' = 25. Toutefois, la colonne D montre une convergence
plus rapide mais cela tient un peu à la nature de l'état
considéré (le vecteur de base )9/2~ oî>est très important). 2 n
Notons que nous parvenons â Q =0.95 pour n" • # (et non n 2
n' = = comme dans le modèle en couches) et à Q « 0.99 pour
n' « J» (et non n'tf n) . Ce simple fait prouve que la base
utilisée est très bien adaptée pour une truncation importante.
La comparaison de C et D montre clairement que les spins
4 ,6 et 8 peuvent aussi être trCs importants dans certaines
excitations nucléaires. De la même façon, la comparaison de
D et E prouve sans ambiguïté l'influence non négligeable des
phonons non collectifs. 211 Afin de ne pas laisser croire que 1' At se prête
spécialement bien à ce genre de troncation, nous avons répété dans le tableau Vllb les mêmes calculs pour l'état (3/2T), â
211 2.174 MeV du Pb (c'est un état qui a été observé expérimentalement) . Les conclusions tirées précédemment restent valables; on peut
même considérer la colonne E comme bonne dans ce cas.
Nous venons de montrer qu'avec la base utilisée dans
notre méthode il est possible de faire facilement des choix
de sous espace très restreints dans lesquels la fonction
d'onde "exacte" se projette pratiquement toute entière.
En présentant les choses de cette façon, on pourrait croire que
le sous espace à utiliser dépend de l'état physique considéré
et qu'il faille par conséquent changer d'espace pour chaque
état étudié. Cela est certainement vrai à la limite où nous
cherchons le meilleur sous espace; mais nous avons des
149
TABLEAU VIII a
Etude de la convergence de certaines observables concernant l es 6 premiers
niveaux exc i t é s de r A t 2 " c a l c u l é s avec la force KH2 en fonction du sous-
espace de diagonalisation.Les observables sont l 'énergie E • E a , l e s ampli
tudes spectroscopiques SI - <^a\ 9/2" 0*>, S2 *<~a I 9/2" 2* > ,S3 - < * a i 7 / 2 " 2 ^
e t la probabil ité de transit ion BE2 - B ( E 2 , * a * l3/2~).Nous avons considéré
des sous espaces de dimension n' » 15 (1ère case) e t n' » 25 (2ème case) s u i
vant l e s cr i tères déf in is dans la colonne A du tableau VII. _ + _ ^
Explicitement,les vecteurs pris en compte sont i 19/2 0,>j9/2. 2>,l»/2_ 4>,
19/2" 6 ^ / 2 " 8\|7/2" 2*>j9/2\*f, |9/2 T;»j9/2 6 ^ / 2 2*<\9/2 7,^7/2 4,»! +
J7/2- 6^9/2" 3^9/2" 5>i.Ï7/2" B^j9/2" 0^ |9 / 2 " 2^17/2" 8>|7/2" tfbn*2>
7/2" 6 ^ 17/2- l\\ |7/2" Yfi |7/2 3 ^
J P = I 5 | ^ >j 1* , > 1* 2 > 1* 3 > I * 4 > 1*5 > 1* 6 *
4
E
SI
S2
S3
BE2
0.9994
0.9994
-11.8888
0.9286
0.4085
0.0090
130.16
0.9986
0.9984
-10.5056
- 0.0282
0.3144
0.0C50
1.560
0.9980
0.9977
-10.0932
- 0.0106
- 0.0247
0.9454
0.732
0.8986
0.3939
- 9.6332
- 0.0083
0.0993
0.1352
0.0043
0.9871
0.7644
- 9.6856
0.0083
- 0.0110
0.2654
0.1448
0.9773
0.5799
- 9.5645
0.0071
- 0.0879
0.0620
0.0120
P =25 U j >
E
SI
S2
S3
BE2
0.9999
0.9998
-11.8903
0.9286
0.4072
0.0090
129.91
0.9993
0.9991
-10.5072
- 0.0278
0.3173
0.0031
1.559
0.9992
0.9990
-10.0958
- 0.0112
- 0.0251
0.9433
0.810
0.9987
0.9962
- 9.7160
- 0.0208
+ 0.2157
- 0.0560
3.347
0.9997
0.9970
- 9.6820
- 0.0012
0.1001
0.2908
1.079
0.9991
0.9989
- 9.5912
0.0077
- 0.0924
0.0911
1.857
TABLEAU VIII b
Identique au tableau VIII a pour le cr i tère de la colonne B du tableau VU Vecteurs cho i s i s :
19/2" 0>.)9/2~ 2**|9/2~ 4 > , | 9 / 2 _ 6>, | 9/2~ 8>j7 /2 _ 2 ^ 9 / 2 * l*>\9/2~7+*
| 7 /2" 4>,|7/2" 6>49/2" 3>,|9/2" 5>.|7/2~ 8* . , | 7 /2 - l;j|7/2~ 7>,j|7/2~ 3>,
|7/2~ 5 + > , | 5 / 2 " 2*>>|!3/2* ll>^5/2~ 6 * | l 3 / 2 * 2*. 113/2*9~*°
113/2* 3>, 113/2* 8>,) l3/2 + IO_>
P= )5|$ . > 1* , > i * 2 > 1 * 3 > 1 * 4 > l » s > ' • * »
0
*>
K E
SI
S2
83
BE2
0.9992
0,9991
-11.8876
0.9289
0.4072
0.0081
128.01
0.9955
0.9954
-10.498
- 0.0261
0.3194
0.0030
1.163
0.9974
0.9972
-10.092
- 0.0095
- 0.0244
0.9457
0.580
0.9731
0.44R2
- 9.658
- 0.0118
0.1823
0.1837
1.825
0.9953
0.5062
- 9,688
0.0122
- 0,0794
0.2282
0.0219
0.9884
0.9265
- 9.576
0.0095
- 0.1031
0.0796
1.690
PS 25|*j>
<
t
51
S2
S3
BE2
0.998
0.9998
-11.8903
0.9286
0.4070
0.0091
129.24
0.9984
0.9983
-10.5045
- 0.0268
0.3176
- 0.014
1.332
0.9995
0.9994
-10.098
- 0.0116
- 0.0239
0.9419
0.587
0.9975
0.9915
- 9.712
- 0.0205
0.2127
- 0.0630
3.030
0.9995
0.9936
- 9.681
- 0.0014
0.1038
0.2919
1.350
0.9977
0.9974
- 9.588
0.0083
- 0.0906
0.0932
1.840
151
TABLEAU VIII c
Identique au tableau V'iII a pour le critère de la colonne C du tableau VII.
Le cinquième état excité ett inpossible à décrire avec ces sous espaces
Vecteurs choisis : _
19/2" 0M9/2" 2pt |7/2" 2>|9/2" 2j|J9/2 0^9/2 2£ |7 /2 2^/2~2^
|9/2" 2** [5/2" 2 A19/2" Oi(9/2" 2>,\7/2 _ 2*%|9/2~ 2**15/2" 2** |
|9/2" 2>|7/2" 25t|5/2" 2**1 7/2" 2**|7/2 - 2f,\ 5/2" 24>,|9/2~ o ^ '
|9/2" 2g>,|5/2" 25SiJ9/2"0*>
P=15|*i> 1* ,» 1 * 2 > !* 3 > ' 1* é > 1* s > ! * 6 >
< < E
SI
S2
S3
BE2
0.9992
0.9991
-11.887
0.9288
0.4081
0.0087
129.31
0.9755
0.9743
-10.421
- 0.0331
0.3274
- 0.0165
1.401
0.9248
0.9233
- 10.055
- 0.0100
- 0.0215
0.9831
0.981
0.6853
0.6166
- 9.681
- 0.0134
0.2:35
0.1301
3.891
0.4870 0.1713
0.1531
- 9.522
0.0176
- 0.1579 :
0.0806
9.745
P=25 |*j>
<
E
SI
S2
S3
BE2
0.9993
0.9993
-11.8881
0.9289
0.4075
0.0087
129.19
0.9819
0.9812
-10.455
- 0.0308
0.3258
- 0.0I5B
1.500
0.9250
0.9234
-10.055
- 0.0099
- 0.0219
C.9829
0.984
0.6867
0.6150
- 9.6825
- 0.0137
0.2243
0.1307
3.862
0.4891 0.1729
0.1537
- 9.5272
0.0175
- 0.1595
0.0809
9.823 |
152
TABLEAU VIII d
Identique au tableau VIII a pour le critère de la colonne D du tableau VII
Vecteurs choisis :
19/2" 6r.\9/2~ 2/J9/2" 4**19/2" 6*^9/2" 8*». 7/2_ 2*j9/2" 8*»49/2" b*>.
|9/2" 2^|7/2" A | 7/2" 6**| 7/2" 8**19/2" 4+>,|9/2~ 0,t>,
19/2" 2l||7/2" 8>,|9/2" 4*^7/2" 6*>. j9/2~ 6^(7/2" 2*».|7/2" 4*%
|7/2" ^"|9/2" 2^|7/2" 4^|7/2" 6*>
PH15 1 * £> k ,> 1 * 2* 1* 3* 1*4 s ! !" s"1 1 !«• b'-
< < E
S.
S2
S3
BE2
0.9996
0.9996
-11.8897
0.9286
0.4074
0.0088
129.64
0.9984
0.99B4
-10.5052
- 0.0277
0.3171
0.0029
1.461
0.9975
0.9973
- 10.0927
- 0.0105
- 0.0267
0.9446
0.694
0.9926 0.9979
0.9695 0.9759
- 9.7075 • 9.6778
- 0.0200 - 0.0034
0.2008 0.1200
- 0.0762 0.2824
2.439 1.753
0.9979
0.9962
'• - 9.5889
0.0078
- 0.0945
0.0905
1.755
P =25|*.>
< E
SI
S2
S3
BE2
0.9998
0.9998
-11.8904
0.9286
0.4073
0.0091
128.64
0.9996
0.9995
-10.5083
- 0.0282
0.3167
0.0030
1.330
0.9993
0.9992
- 10.0967
- 0.0113
- 0.0250
0.9428
0.716
0.9976
0.9916
- 9.7146
- 0.0209
0.2123
- 0.0656
3.249
0.9990
0.9927
- 9.6804
- 0.0021
0.1068
0.2898
1.507
0.9992
0.9990
- 9.5913
0.0078
- 0.0936
0.0921
1.832 1
153
TABLEAU Vlll e
Identique au tableau Vlll a pour le critère de la colonne E du tableau
VU.
Vecteurs cho i s i s :
| 9 / 2 " 0> . | 9 /2~ 2>. |9 /2~ 4 > , j 9 / 2 _ 6> , | 9 /2~ 8> . ]7 /2* 2>, l7/2~ 4*>,|7/2~ 6>,
| 7 / 2 " 8>, |5 /2~ 2> , |5 /2" 4X15/2" 6> , |3 /2~ 4+>,| 3 /2* 6 > , | l / 2 " 4* >
p-isl*^ 1* ,> !* 2* !« 3* 1*4» !*s> • 1
'• 6> !
j ;
< 0.9991 0.9952 0.9970 0.8940 0.9856 0.9737
•> R a
0.9990 0.9950 0.9968 0.3861 0.7535 0.5771
E - 11.8872 -10.4975 -10.0916 - 9.6276 - 9.6856 - 9.5646
SI 0.9268 - 0.0267 - 0.0094 - 0.0060 0.0077 0.0063
S2 0.4062 0.3151 - 0.0245 0.0995 - 0.0153 - 0.0877
S3 0.0082 0.0047 0.9459 0.1347 0.2641 0.0557
BE2 129.76 1.332 0.670 0.0077 0.1025 0.0737
CAS EXACT (pour l e s probabil i tés de trans i t ion . 0.H avec b - 5 .12- 0.86 A>/3 )
E - 11.8915 -10.5100 - 10.0994 - 9.7209 - 9.6836 - 9.5935
SI 0.9285 - 0.0282 - 0.0119 - 0.0204 0.O0O3 0.0075
S2 0.4071 0.3170 - 0.0251 0.2208 0.0899 - 0.0900
S3 0.0093 0.0011 0.9413 - 0.0419 0.2967 0.0931
BE2 129.60 1.414 0.648 3.485 1.029 I.8Z7
154
ambitions plus modestes et a dire vrai, plus pratiques. Nous cherchons simplement un sous-espace de diagonalisation qui convienne pour un certain nonbre d'états, bien que ce ne soit pas le meilleur pour chaque âtat pris individuellement. Pour mener 8 bien cette étude, nous avons considéré les six premiers niveaux 9/2" de l' 2 1 1At. Le choix du sous espace £ , s'est effectué selon les mêmes critères que précédemment avec une fenêtre en énergie qui part du niveau le plus bas et qui s'agrandit vers les énergies supérieures. Nous retrouvons les cinq cas A,B,C,D,E pour deux valeurs de n' a savoir
n' = 15 et n' = 25. Dans lœtableau*Vin nous avons fait figurer 2
non seulement la projection de la fonction d'onde exacte Q a
mais également le recouvrement
* i • l**al * ' ê n«' >|2 ainsi que le» observables sui
vantes s l'énergie E, les amplitudes spectroscopiques
Si -<îa (6 n.) 19/2' 0* >,S2 -< v l n . ) l 9 / 2 " 2+>,
s 3 " <t < !„•> I'^2" 2 + * ' l a Probabilité de transition l** Ai —
électromagnétique BE2 » B (E 2, IJ, (£„•) * 13/2 )• Les trois premiers niveaux sont bien décrits quels que soient les choix de troncation effectués; par contre, les trois derniers présentent des fluctuations importantes selon les cas. Il apparaît que les choix C et E sont incapables de reproduire ces trois niveaux. Cela rejoint ce qui a été dit précédemment. Pour un espace de dimension 25, les autres choix A,B,D sont également bons avec toutefois un point de bonification pour le choix A. Si par contre nous ne retenons qu'une dimension 15, seul le choix D est acceptable ce qui prouve à nouveau qu'il converge plus vite.
L'ensemble de ces résultats montre que notre base est bien adaptée pour une troncation, en vue de décrire non seulement un état, mais une série d'étatsphysiques.
C'est là la conclusion fondamentale de toute la seconde partie.
155
TABLEAU IX
Etude de U convergence des observables définit dans les tableaux VIII pour le sous-espace n' - 25 correspondant au critère 0 du tableau VII en fonction de la dimension N " utilisée dans le calcul des éléments de matrice de II (voir formule 1,11 ) . Dans un premier cas (pas par blocs) le seul critère pour sélectionner les N " vecteurs est un critère d'énergie; dans le second cas (par blocs) on ajoute en plus la contrainte de prendre des blocs entiers (voir discussion dans le texte). Dans ce cas le nombre d'états de base est N - 242.
observables 1* , > 1* 2
>
. : i
E
SI
S2
S3
BE2
- 11.8904
0.9286
0.4073
0.0091
128.64
- 10.5083
- 0.0282
0.3167
0.0030
1.330
- 10.0967
- 0.0013
- 0.0250
0.9427
0.716
- 9.7146
- 0.0209
0.2123
- 0.0656
3.249
- 9.6804 - 9.5913
- 0.0021 0.0078 j
O.lObB - 0.093f> 1 j
0.2896 1 0.0921 1
1.507 | 1.832 j
N " • 94 pas par blocs
i: - 11.9155 - 10.5117 - 10.1126 - 9.9753 - 9.6908 - 9.597f.
SI 0.9284 - 0.0266 - 0.0060 - 0.0207;- 0.0152 0.0032
S2 0.4040 0.3185 - 0.0287 0.02641 0.2389 0.0658
S3 0.0084 0.0053 0.9265 0-18521- 0.0185 0.2903
8E2 127.79 1.382 1.053 0.610 4.716 0.648
K** » 126 pas par blocs
E - 11.9141 - 10.5098 - 10.1002 - 9.7305 - 9.6858 - 9.5943
SI 0.9286 - 0.0273 - 0.0110 - 0.0153 0.0022 0.0045
S2 0.4039 0.3179 - 0.0269 0.2397 0.0770 - 0.0912
S3 0.0090 0.0028 0.9419 - 0.0175 0.2982 0.0910
BE2 127.89 1.343 0.715 4.409 0.837 2.032
N " - 194 pas par blocs
E - 11.8924 - 10.5085 - 10.0975 - 9.7158 - 9.6814 i - 9.5914
SI 0.9286 - 0.0282 - 0.0112 - 0.0209 - 0.0016 0.0077
S2 0.4072 0.3169 - 0.0250 0.2156 0.1017 ! - 0.0933
S3 0.0091 0.0028 0.942S - 0.058C 0.2915 > 0.0924
BE2 128.54 1.329 0.719 3.362 1.386 1.831
156
TABLEAU IX (Suite)
N " • 94 par blocs
observables l« , > 1* 2 * 1* j> !* 4 > 1* 5 > K> E - 12.0169 - 10.5202 - 10.1105 - 9.8087 - 9.7010 - 9.6221
SI 0.9274 - 0.0249 - 0.0032 - 0.0014 - 0.0078 - 0.0268 52 0.3939 0.3229 - 0.0175 0.2672 0.0121 - 0.1047 : S3 0.0059 0.0059 0.9412 0.0109 0.3026 0.0412 !
BE2 122.90 1.385 1.224 7.920 0.170 9.749 |
N " • 126 par blocs
£ - 11.9732 - 10.5156 - 10.1083 : - 0.7288 - 9.6928 - 9.5959
SI 0.9283 - 0.0261 - 0.0072 - 0.0183 0 . 0.0039 S2 0.4006 0.3198 - 0.0214 ' 0.236« 0.0548 - 0.0944 S3 0.0072 0.0056 0.9435 . • - 0.0079 0.2950 0.0890
BE2 125.65 1.329 0.948 j 4.049 0.234 2.025
H " • 194 par blocs 1
E - 11.9037 - 10.5098 - 10.0981 - 9.7236 - 9.6831 - 9.5928
SI 0.9287 - 0.0277 - 0.0110 - 0.0183 0.000? 0.0062 S2 0.4055 0.3175 - 0.0251 0.2275 0.0902 - 0.0909 S3 0.0089 0.0037 0.9429 - 0.0423 0.291B 0.0921
BE2 128.22 1.318 0.723 4.118 1.161 1.905
157
Il convient néanmoins d'attirer l'attention sur certaines
conclusions hâtives t ce n'est pas parce que nous avons un o
recouvrement R de l'ordre de 0.99 que les observables seront
a
automatiquement reproduites a quelque» pour cent. Nous n'en pre
nons pour preuve que le cinquième ét-it. (9/2"). pour la dimension
n' = 25 du choix D. Dans ce cas, nous avons un recouvrement
R = 0.9927 et néanmoins la probabilité de transition B E2
obtenue avec ce sous espace diffère de la valeur exacte de plus
de 30% ! Cela prouve à merveille , dans ce cas tout au moins,
l'influence "des petites composantes". En effet, l'angle
entre | I)I > et \:j) > est très petit (5°); par contre ce qui est important pour le calcul de BE2 , c'est l'angle et la
norme de E2 |ty > et de E2| >par rapport â liti > . Si E2|i> >
est presque perpendiculaire S |ty > , la partie de l'opérateur
E2 qui agit sur la partie de \<i> >perpendiculaire a |IJI > peut
avoir une influence non négligeable dans le produit scalaire
Dans l'étude précédente, la base a été tronquée mais les
éléments de matrice calculés exactement selon la
formule (1,5). Nous avons été amenés S introduire des approxima
tions HjfN"), H 2(N") et H 3(N") dans les cas ou les calculs
s'avéreraient trop longs. Le reste de ce chapitre est consacré
à 1'étude de la convergence des observables en fonction de N''.
Elle est résumée dans le tableau IX. Nous avons choisi trois •
valeurs de N " caractéristiques N " - 94,126,194 (pour les
états 9/2 il existe N • 242 vecteurs de base). Dans un premier
cas, la sélection de ces N " vecteurs s'est effectuée unique
ment sur un critère d'énergie et nous avons choisi la version
hermitique H3(N'') de l'Hamiltonien; dans un deuxième cas, nous
avons imposé aux états de base de contenir des "blocs" entiers
de phonons : dans ces conditions l'approximation est automati
quement hermitique (voir formule 11,22). Les n' = H' = 25
états de base sont ceux discutés dans le cas D précédemment.
Une première constatation est que pour obtenir une bonne
précision des résultats il est nécessaire de prendre de nom
breux états intermédiaires; c'est une conclusion analogue que
1S8
TABLEAU X
Couches Individuelles util'sees pour les noyaux de la région des
Plenbs. Ce sont les paramètres de Kuo et Kerllno [KU71j. Les énergies
sont données en MeV.
protons
0.53 . 3 p , / 2
-0.67 3 p J / 2
-0.96 •• 2fj / 2
-2.17 - li
-3.77
13/2
f I I I I I
3/2
-9.70 •2d 5 / 2
B7/2
neutrons
-..« 3 d J / 2
-,.45 2 g 7 / 2
•1.9. 4 . W ï
-2.36 3d
-2.53
•2.89 2 t m . 3 > 9 4
-9.37 " l h H / 2 *•"' nM3/2 -9.01
-9.72
5/2
IJ>5/2
-3.15 li|| / 3
2 8 9 / 2
-7.38 3p)/2
-8.03 3s, / 2 -1-95 "S«
-8.38 M "••» 3" 3/2
-,..43 lg 7„ - , 0' 8 5 , h9/2
159
nous avions tirée dans le formalisme de la HPT.
Deuxièmement, le fait de travailler avec des blocs entiers
de phonons ne présente pas d'avantage a part de fournir une
matrice hermltique. A nombre d'états intermédiaires égal la
mëtttode par bloc est la plus mauvaise. Cela est au au fait
que ces états vérifient moins bien le critère d'énergie. Nous
avons aussi remarqué qu'en travaillant par blocs entiers les
vecteurs de base ont davantage tendance â être linéairement
dépendants. De façon générale, il ressort que la troncation
sur les états intermédiaires doit être évitée dans la mesure
du possible. En fait, l'utilité de la troncation sur N " ne
prend tout son sens que si de sérieux problèmes de stockage
des matrices A et A se posent. Ce n'est pas le cas pour les
noyaux relativement simples étudiés dans ce mémoire.
160
CHAPITRE IV
SYSTEMES A TROIS PARTICULES NON IDENTIQUES:THEORIE
IV a Choix de la base
Nous considérons un noyau composé de trois nucléons non
identiques en dehors d'un coeur inerte. Les deux nucléons
identiques sont désignés comme particules de la première espèce
et leurs opérateurs élémentaires sont notés C et C . Le nu
cléon unique est la particule de deuxième espèce possédant les
opérateurs élémentaires d et d . Le coeur fermé est le vide
des deux espèces de nucléons. D'après les principes généraux
de la mécanique quantique, nous avons le choix entre le commu
tateur et 1'anticommutateur pour les operateurs de type dif
férent. Pour toute la suite/ nous ferons usage de l'anticoin-
mutateur.
C p i = 0 - {d,, Ci. UV,1) ) = ° - K- <} Comme dans le cas de trois particules identiques, nous ne
considérons pas les excitations du coeur. Une base possible
pour l'étude du système est
IX(mn)Ja ! I M > = l[< C»]j < U >0> (IV'2)
m 4n C'est la base standard du modèle en couches. Conformément
â l'optique adoptée tout au long de ce travail nous préférons faire apparaître les phonons corrélés. Ils sont de deux types
'* <JM> " I E ^ ' J i m n ; J*[ Cm < ] m.n ^_ -
£ < 0 'Jl»a'- J > [< daJ JM
Q ; i™) = ^ - - - ' — ~ ' ~ + - + " ( I V ' 3 )
m7a
161
le phonon P conduit au noyau A + 2 pair-pair, le phonon Q
conduit au noyau A + 2 impair-impair. Le phonon Q est défini + +
une fois pour toutes avec l'ordre c d . Les propriétés des
phonons P ont été examinées déjà dans le chapitre II. Voici
résumées brièvement les propriétés des phonons Q
- relation d'orthogonalité
E<Pî Jim a ; J> < p ' ; Jim a; J > = s oc m,a
V* * / .< p ; J |m a; J> < p ; J ! m ' a ' ; J > = { , 5
(IV,4)
aa' - i n v e r s i o n
l cm <C = 7 j < p ; J | m a; J> Qp (JM) (IV,5) L m a J jM p
- équa t ion dynamique
( J ) - e -E , )<p;J |m a ; J > = ><nb , - J IV |ma ; J><o ; J lnb ; J> (IV,6) m a ^^^
n,b
Pour l'étude du système, deux types de base s'offrent à nous. ,
Base A ! j$ aa(J);IM> = |*aiJ);lM>=
Base B : \i mp(J);IM >= |mp(J);IM>=
i* PÎ (J)l a J: 3p(J)
dl Pà (J)| j0> IM
(IV,7) |0>
JM
La base A est particulièrement intéressante. La transformation
unitaire d'éléments de matrice <a ; J|mn; J> (m $n) permet de
casser de la base |x , , T . ; IM » à la base |<Ja<x(J);IM > . imnj J a
La conséquence immédiate est que la base A est complète et
orthonormée . Son utilisation évite ainsi toute la procédure
d"orthonormalisation. De plus les états P+a(JM) |o> sont
un peu plus bas en énergie que les états Q p(JM) |0> comme
le montrent les différences de masses des noyaux pair-pair et
impair-impair; un argument d'énergie semble montrer que la ba
se A a une importance relative plus grande pour la partie
basse du spectre.
La base B est surcomplète et non orthogonale. Elle peut
avoir néanmoins quelque importance si une réaction de transfert
162
d'une particule 3 partir du noyau impair-impair vers un niveau
du système étudié est forte. Cela signifie que le recouvrement
de la fonction d'onde de ce niveau et d'un état de la base B
est particulièrement grand.
On pourra aussi être amené, à considérer une base consti
tuée d'éléments de la base A et d'éléments de la base B.
C'est sans doute sur un critère d'énergie qu'il faut faire
ce choix.
Toutes ces possibilités demandement à être testées dans
des cas réalistes concrets.
IV - b Calcul des matrices A et A
La déduction de ces matrices est en tout point analogue
à celle du chapitre (II,a). Il convient néanmoins d'utiliser
des commutateurs supplémentaires
i) commutateurs cinématiques
d a m , P «(JK)
C p m , Q ptJK)
= 0
= 2 j < J P "V 3 a "a | J K > < « 5 ' J ! ? a " J > d a
* + a m |JK> < p ; J | p a ; J > C [dama,Qi$(JK)]= - £ < j p m p j
P / m p
Pa<JK) ,Q + p (LR)j = ^ J < j p Bip j g m q | JK>< j q m q j g m a |LR> <a:J|pq;J>x
P»q»a m.
<p ;L|q a ; L> d a m p P ( I V , 8 )
p , a , b , m i
< jp m p j a m a | J ' K'> <p;J|pb;J> <p' ,J' |parj '>*d+ n ^ a "b
P7q7a mi
<j p % j a ma|j'K'> <j g m q j a ma|JK> <p; j|qa;J><p';J' |pa;J'>
P "V; q mn
163
ii) commutateurs dynamiques
[H'CpmJ = E P C p \ £ < J p V * m
q
| J K > £ a
t J , - C P _ e < J * a /J/K»c»m
< a;J |pg;J> P+a UK) C g m ^ < j p mp j f a m | J K > | ^ (J) - E p - z J x
<p , J |pb ; J> Q+p(JK) d b m
b
[ H ' d am a ] = e a < m a " £ * J P "p j * "a P*>[«p <J> "e p " e j *
p,J,K,p,in
<P ; J | pa;J > Q+p(JK) C + ternes en d + d + d
L ' o b t e n t i o n des matrices d e t A dficoule immédiatement de ces formules e t d 'un peu d'algèbre de Racah.
Matr ices A
A a " a ' J ' = S , « . « T T . a a J » aa' J J '
(IV, 10) a a J m p L ^ ^ -^
A = A = y* M p ( a a J , m p L) m p L a o J
m'p ' L' m p L * û = A • « - • V 6LL' + 2 } ' a ( ^ , ' p ' L ' • , n p L ,
m p L m ' p ' L '
. (a~T.m nl. l ='.Y'T." J '" P l f « - T . Ira.T. avec MD (aoJ.mpL) ='J 'L j m P |<p;L |pa;L; < a ; J | p m;J> (IV, U)
« a (m'p' L'. m « - (-» ^ ^ + L + L ' + 1 ï ^ > ' ^ M
< p; L|m'a; L> <p*-L' |ma; L' >
164
Matrices A
a' a' J'
a a J A
m p Ii
• Te +«) (J) 1 « , i , i , „ j La a J aa' oa* JJ'
» 7 ,tu> (L)-e - e ) *L(a « J , m pL) j p " P a P
^^(ui 0 CJ)-e - e m ) M (a a J , m p L)
m p ' imr pp LL' £ ^ p' m a m'p' L'
m p L
N. (m'p ' L 1 , m p L) a
Toutes les remarques du chapitre II relatives aux matrices
A et A (simplicité, ressemblance...) s'appliquent de la même
façon dans ce cas-ci*
De manière analogue, les techniques de calcul développées
au chapitre II se transposent immédiatement â ce cas un peu
plus compliqué. En particulier, le groupement des états de base
par "bandes" reste d'une importance capitale pour les applica
tions numériques. Si nous travaillons avec des "blocs entiers"
d'états intermédiaires (pris dans la base A et dans la base B)
les approximations H (N") et H ( N " ) 3 l'Hamiltonien (voir i,set
1, 10 ) sont encore hermitiques dans ce cas. Le calcul de la
fonction d'onde du système
^ - * a a J ^-^ m p ij
Pg(IM) |0>= y . X 6 ;I I* a o ( J > » I M > + y ^ x
8 ; Il«mp(L);IM> a r a f J TU* p* L
(IV, 13)
s'opère selon les formules tout â fait générales du
chapitre I.
165
IV - c Facteurs spectroscopies de transfert d'une particule
Notre formalisme e t le choix des états de base permet d 'obtenir t r ès facilement les facteurs spectroscoplques de t ransfer t d'une par t icule pour deux types de réaction qui conduisent à notre système
S (PJ> 8, I) = |<6 ;IM|«mp (J)?IM> | 2 (IV,14) m
S <ou +B, I) = |<8;IM|*a o(J);IM>| 2 (IV, 15) a
La première réaction (111,14) représente le transfert sur
l'ëtat \D; J> du noyau impair-impair d'une particule de première espèce dans l'orbite m pour exciter le niveau|B; I > du noyau
étudié.
La deuxième réaction (IV,15) représente le transfert sur
l ' ë ta t | c t j j •> du noyau pair-pair d'une par t icule de seconde espèce dans l'orbite a pour exciter le même niveau.
Le calcul des règles de somme ne présente aucune
difficulté
Premières règles :
y ^ s (oj-* B,D - 1 &,*.J (IV,16)
m, pi J
Deuxièmes règles :
/] S (aj * 8,1) » 1 V a,a, J
£ • P J t I V ' 1 7 ' y ^ s ( P j - B,i) - A tu *g* m m p J
IV - d Probabilités de transition électromagnétique
Le calcul de l 'élément de matrice rédui t de l 'opérateur de t rans i t ion électromagnétique entre deux é ta t s du noyau â t ro i s part icules nécessite l'emploi des elements de matrice
166
individuels des deux types de particule < m | |QJ | n > pour la
premiere espèce, <a||Q ||b> pour la seconde espèce. Il est
également très utile d'avoir les éléments de inatrice correspon
dants aux systëmes â deux particules. Pour le système pair-
pair, il suffit de se reporter â la formule (11,28). Pour le
système impair-impair, nous écrivons le résultat ci-dessous
<P';J'I!Q LI|P;J>=(-D 2 ^ < - I > ^ j j j j f•"!°L''n>x
m,n,a
<p;j|na ; J > <p"; J" Ima ; J' > ( w 1 8 )
J-hJ'+W-l + (-1)
a, ,b,m ''a Jm -W u
< p;J|i*i J > <p';J'|ma; J'>
Oe la, on déduit facilement le commutateur analogue a (11,29)
p „. . Q +P (JK) I - ^ $ _ 1 < J K IMjJj'K'* <P';J'|tOLi|p;J >Q*rf(J'K')
(IV, 19)
On obtient l'élément de inatrice réduit pour le système
a trois particules en développant le phonon P ,IIH) I 0>
de (IV,13) sur les états de base de type A et B et en faisant
usage des commutateurs (11,29) et (IV,19). Le résultat prend
la forme suivante
167
^^^•• .r i f t l l e . !»- 2 x r i < - 1 ) J b W + L f I j ï b r î l b,a,a,J
<b||<y|a»<rfii'|baw>»r>+ £ x e a i \J' J . L . [* a,a,J.a',J' f 1 * W
j +J+WI' <a ' ;J'|I< II<» } J > < 6 ''l'I a<*' W)»i'> (-D a
+
m,n,(j,J
(IV.20)
2 J X ^ ( - D " Pn'm^nllO^llrnxg-.-I'lnoW)! I-> n,(j,J
+ 2 XBPI ( _ 1 ) 3 , n + l \t I'j | < P' f J'llQL
l|P!J><BM,|niP,(J,),-I'> m,p,u,p',j
Bien entendu si on utilise la base A seule, il faudra prendre X m p _=Odans cette formule et la condition équivalente dans le cas où seule la base B est utilisée. En ce qui concerne la symétrie de l'élément de matrice, les remarques développées a la fin du chapitre (II,d) restent valables encore dans ce cas.
168
CHAPITRE V
SYSTEMES A TROIS PARTICULES NON IDENTIQUES : APPLICATIONS
Nous avons vu dans le chapitre III que les noyaux de la
région des plombs constituaient un bon test d'applicabilité de
notre méthode car la notion de phonon y est tout â fait justi
fiée. A l'inverse du modèle en couches, notre méthode est très
bien adaptée a l'étude des noyaux comportant peu de nucléons
mais beaucoup de couches de valence. Nous avons donc utilisé la
théorie du chapitre IV pour calculer les caractéristiques spec
troscopiques des noyaux comportant trois particules non identi-208
ques en dehors d'un coeur de Pb. Nous avons fait cette étude
d'autant plus volontiers que des calculs de modèle en couches
complets n'ont jamais été effectués pour ces noyaux. On peut
même ajouter de façon générale que très peu de travaux théoriques
ont été consacrés à ce type de noyaux.
Nous nous sommes contentes ici de traiter exactement
(c'est-à-dire sans troncation) quatre noyaux en utilisant la ba
se de type A uniquement. La force utilisée est encore l'approxi
mation 2 de Xuo et HerlingJ Ku 71 J pour tous les éléments de
matrice sauf pour les éléments trou-trou de neutrons ou nous
avons employé l'approximation bâtarde (75% approximation 2+25% 205
approximation 1) déjà signalée à propos du Pb. Nous présentons donc successivement les spectres d'énergie ainsi que quelques facteurs spectroscopiques de transfert d'une particule pour le 2 0 5Hg (2p-1, in- 1), le 2 0 5 T 1 (2n _ 1,lp _ 1) le 2 I 1 P o (2p,ln) et le 2 1 1Bi (2n, lp).
V - a Le 2 0 5Hg
Des quatre noyaux cités, c'est celui qui est le moins bien
connu du point âe vue expérimental. Les données les plus
169
TABLEAU XI
Energie E en MeV et facteur «pectroiropiquc S •|<1'J d. 2 0 6 Hg (0*)>| 2
205 a i i dam le cal du Hg.La force utilisée eat décrite dans le texte. L'énergie du fondamental expérimental est 22.111 MeV,l'énergie calculée 21.806 MeV.
EXPERIENCE THEORIE EXPERIENCE .THEORIE J* E S E S J* E 1 S J* E S
1/2 0. 1/2" 0- 0 .90 (9/h 2.591 9/2*| 2.869i (Vf) 9.381 3 /2" 0.497 0.72 11/2" 2.994 (5/f) 0.469 5/2" 0.606 0.72 19/2* 3.110
1/2" 1.127 O.OI 3/2* 3.119 3/2" 1.205 0.13 13/2" 3.236
1.352 5/2" 1.240 0.16 '5/2*) 3.332 5/2* 3.271 7 /2 ' 1.471 0.18 G/2*. 3.488 5/2* 3.674 3/2" 1.4 72 0.04 (5/2*. 3.593 5/2* 3.743 1/2" 1.567 0.05 i
23/2" 3.793 9/2" 1.670 0.01 15/2" 3.934 5/2" i .703 0.01 19/2" 3.969 ! 1/2" 1.714 3 l O - 5
27/2* 4.013 13/2* 1.814 0.76 25/2" 4.084 1
3/2" 1.815 5 I0" 5 21/2" 4.087 i 1/2" 3/2" 5/2"
1.836 1.885 1.914
0.02 0.02 3 10" 4
1/2* 3.838 1/2* 17/2" 21/2*
4.091 4.105 4.178
1
3/2" 1.933 2 10~ 4 1/2* 4.037 1/2* 5.009 7/2" 5/2"
2.028 2.045
3 10" 3
0.02 33/2* 29/2*
5.256 5.454
O/?*) 1.855 9/2* 11/2* 15/2*
2.277 2.3S0 2.570
25/2* 23/2* 27/2*
5.492 5.493 5.549
(5/2*) 2.920 5/2* 2.693 29/2~ 5.620 7/2* 2.714 31/2* 5.643
(9/2*) 2.566 9/2* 2.728 31/2" 6.6C2 17/2* 2.744 L_ 1
170
récenteEi sont résumées dans les Nuclear data sheet I Sen 78 J
et réferrent essentiellement aux articles (_An 70, Mo 72, Ro 75j.
Ce petit nombre de résultats expérimentaux explique sans doute
le désintérêt total des théoriciens pour ce noyau. C'est pour
tant un noyau Intéressant car il permet de tester sur le systè
me â trois trous l'interaction proton-proton (l'autre noyau pos-
sible pour ce genre d'études serait 1' Au mais il n'est pas
connu pour 1'instant). Nous avons fait figurer sur le tableau
XI, les énergies et les facteurs spectroscopiques de pick-up
d'un neutron correspondant a la rëation Hg (a, a+n) Hg.
Tous les états d'énergie inférieure â 2 Mev d'excitation ont été
reportés ainsi que bon nombre de niveaux yrast de haut spin. Le
fondamental 1/2" a été calculé a 21.806 HeV soJt quelques 300 keV
plus bas quo la valeur expérimentale 22.111 Me v. cet écart pro
vient sans doute d'une mauvaise connaissance de la force proton-
proton. Le peu de données expérimentales n'autorise pas à des
conclusions définitives sauf peut-être pour fixer effectivement
le spin des deux premiers niveaux excités(bien que les valeurs
des énergies calculées soient trop basses). Pour les autres
niveaux de spin présumé les choses sont beaucoup plus aléatoires
en particulier pour le niveau de parité positive observé â
1.6SS MeV. L'état de parité positive d'énergie la plus basse est
un état 9/2+ calculé â 2.277 MeV! D'après nos calculs, il
semblerait que deux états au moins présentent une grande durée
de vie("yrast traps"); ce sont l'état 23/2" à 3.793 i!eV - qui
ne peut se désexciter que vers le 19/2* a 3.110 MeV par une
transition M2 ou E3 - et surtout l'état 33/2+ a 5.256 rie V qui
ne peut décroître que vers le niveau 27/2" â 4.013 'leV par une
transition E3. Ces conclusions devraient être assez insensibles
â la force étant donnée la grande profondeur "du piège".
Ce noyau demanderait d'autres études expérimentales mais
il faut avouer qu'il n'est pas facile â obtenir si ce n'est 204 par une réaction de transfert d'un neutron sur le Hg.
V - b Le 2 0 5T1
A l'inverse du précédent, ce noyau a, par contre, été le
fruit de plusieurs travaux expérimentaux; le fait que ce soit
171
TABLEAU XII
Identique au tableau XI pour le 2 0 5 T 1 avec S «Ut^ | dj Pb{0 ( )> |".
Le fondamental expérimental e s t a 21.364 He¥, la valeur calculée e s t
21.117 Mev.
—nmoscz rHEORIE EXPERIENCE THEORIE
J r E «S f E ! s'
0.856
J* | E ) S J - j E S
1/2* 0 . 0.7 m* 0 .
s'
0.856
J*
1 11/2* 2.162
3/2* 0.204 0.43 3/2* 0.333 0.656 • 13/2* 3.163
5/2* 0.619 0.067 5/2* 0.766 0.083 i i , 5 / 2 + 3.57P
3/2* 1.141 0.2 3/2* 1.094 0.186 |25/2* 3.634
7/2* 0.924 7/2* 1.175 0.011 (23/2^ 3 .13* 23/2* 3.719
1/2* 1.219 0.12 . / 2 * 1.186 0.043 29/2* 3.969
5/2* 1.160 5/2* 1.279 0.079 19/2* 3.990
3/2* 1.340. 0.10 3/2* I.32S 0.017 21/2* 4.058
(1/2*. 1.434 (0.15) 1/2*
5/2*
3/2*
7/2*
1.423
1.442
1.563
1.598
0.040
0.016
0 .
0 .
17/2*
27/2*
31/2*
33/2*
4.HB7
4.429
6.001
6.430
[M/2: 1.463 (0.44) 11/2" 1.616 0.779 15/2") 2.223 15/2" 2.259
5/2*
3/2*
9/2*
3/2*
1.622
1.625
1.638
1.704
0.108
0.057
0.014
7/2") 2.487
-
7/2"
13/2"
9/2"
17/2"
2.269
2.440
2.641
2.660
1/2* 1.731 0.004 (5/2") 2.623 5/2" 2.688 1/2*
1/2*
9/2*
1.739
1.813
1.825
0.001
0.005
19/?") 2.563 19/2"
3/2"
21/2"
2.869
3.058
3.236
[5/2*) 1.866 5/2*
7/2*
3/2*
5/2*
1.854
1.861
1.864
1.937
0.157
0.
0.001
D.084
23/2"
1/2"
35/2"
31/2"
27/2"
25/2"
29/2"
4.269
4.412
5.308
5.503
5.553
5.?67
5.639
33/2" 5.781
172
un noyau stable n'est pas étranger à l'intérêt qui lui est
porté. On trouvera encore dans la référence f Sch 78 J une
abondante littérature. Ce sont principalement les réactions
nucléaires qui ont servi â étudier ce noyau f Ch 72, Kr 73,
Gla 74, Ah 75, FI 77b 1 . Paradoxalement, les seuls travaux
théoriques consacrés 3 ce sujet sont plutôt rares et sont déjà
assez anciens fco 67, Al 67, Az 68', Lo I 69J . Il est inté
ressant de souligner que toutes ces études ont été effectuées
dans le cadre du modèle particule-vibration c'est-à-dire avec
une base tout à fait analogue à la notre. Par contre, ces au
teurs' ont pris un nombre de couches moindre et ont considéré
les phonons de façon macroscopique. Il nous a paru justifié de
faire un calcul de modèle en couches complet dans ce cas (la
matrice la plus grosse S diagonaliBer est de dimension 191
correspondant a l'état 7/2 ). Lea résultats sont reportés sur
le tableau XII. Comme d'habitude, nous avons fait figurer tous
les niveaux jusqu'à 2 MeV d'excitation ainsi que les niveaux
yrast de haut spin. Le facteur spectroscopique S correspond à
la réaction de pick-up d'un proton 2 0 6 P b (a, a+p) 2 0 5Tl. L'état
fondamental l/2+ a été calculé à 21.117 MeV; c'est la encore
trop bas puisque la valeur expérimentale est de 21.364 MeV. Les
résultats obtenus sont satisfaisants tant du point de vue éner
gie que du point de vue facteurs spectroscopiques. Il existe
néanmoins quelques inversions de niveaux. De plus, l'état iso-
mérique à 3.152 MeV a été affecté du spin 23/2+ d'après des
calculs de modèle en couches limités â une seule couche. Il
semble d'après nos résultats que ce soit plutôt un état 25/2 .
Néanmoins, dans ce cas particulier, la force utilisée peut
avoir quelque influence sur l'ordre des niveaux.
D'autres données expérimentales - en particulier des
probabilités de transtion électromagnétique - sont souhaitables
pour ce noyau.
Nous possédons quelques renseignements expérimentaux sur
ce noyau mais si le nombre de niveaux connus est assez importait
l'affectation de spin et de parité est loin d'être complète.
r TABLEAU X I I I
EXPERIENCE THEORIE THEORIE
j " E J * E SI S2 j " K 1 S l S2
9 / 2 * 0 . 9 / 2 * 0 . 0 .91 0.11 11/2* 1.773 ; 0 . .0
; 11 /2* 0.687 11 /2 * 0.754 0 .85 0 .01 9 / 2 * 1.779 ! °- 0 .
• 9 / 2 * 1.153 0 .06 0 .30 13 /2* 1.781 i (5/2*) i .049 5 /2 * 1.154 0.29 . 7 / 2 * 1.802 I
7 /2 * 1.159 0.02 0.89 11/2* 1.803 io. 0 .
11 /2* 1.159 0 . 0 .37 7 / 2 * I.80S 0 . 0 . 0 .
;i5/2i 1.065 15/2" 1.193 0.77 3 /2 * 1.810 0 .
13 /2* 1.278 19 /2* 1.835
9 / 2 * 1.358 0 . 0 .08 5 / 2 * 1.875 0 .53
M / 2 * 1.438 0 . 0 .55 9 / 2 * 1.882 0 . 0 .
7 /2 * 1.478 0 . 0 . 9 / 2 * 1.936 0 . 0 .
1/2* 1.509 0.17 1 1 / ' * 1.037
3 /2 *
7 /2*
15/2*
17/2*
1.510
I.S25
1.542
1.548
0 .05
0 . 0.04
17/2*
2 7 / 2 *
1.985
2.016
9 / 2 * 1.568 0 . 0 .19 11/2^ 1.263
( ï 9 / 2 ) i l .463 2 5 / 2 * 1.591 1 7 / 2 - 2.325
7 / 2 *
2 1 / 2 *
19 /2*
1.594
1.594
1.632
0 . 0 .08 i l / 2 "
9 / 2 *
7 / 2 "
2.356
2.390
2.394
5 /2 * 1.641 0.01 19/2" 2.455
5 /2 *
13 /2*
1.670
1.690
0 . 1/2"
5 / 2 " 2.463
2.463
7 / 2 *
. 3 / 2 *
2 3 / 2 *
1.701
1.274
1.729
0 . 0 . 3 / 2 "
2 1 / 2 "
2 7 / 2 "
r>.486
' . .633
' . 6 4 9
1
I . / 2 *
15/2*
1.742
1.745
0 . 0 . 2 3 / 2 "
25 /2"
29 /2"
2.660
2.683 ' . .706
33 /2"
3 7 / 2 *
2.928
3.541 ]
TSVP
r 174
TABLEAU X I n ( S u i t e )
Identique au tableau XI pour le Po avec S. »|<(j! | d* Po(0*)v |" et S2 -|< 1J1 | cT„,, Bi(l")> | . Le fondamental experimental est a - 13.336 MeV, la valeur calculée est - 13.284 MeV
THEORIE THEORIE
J * . E . 8 , , S , J n
E 1 ' « *2 ! [
35/2 + , 4.072 f
33/2* 4.084 39/2" 5.786 31/2* 4.209 35/2" 6.076
29/2 4.212 i 37/2 6.318
173
Les références expérimentales â consulter sont I Ya 70, Ja 75,
Oa 76, Ha 76, Ma 78 1. Dans ce cas encore il existe très peu
de travaux théoriques â notre connaissance. Dans le tableau
XIII nous avons fait apparaître le spectre d'énergie, le fac
teur spectroscopigue de stripping d'un neutron Si correspondant 210 211
à la réaction Po (a, a-n) Po ainsi que le facteur spectro-scopique de stripping d'un proton S2 dans l'orbite h „,- à par-
— 210 tir du fondamental 1 du Bi.Du point de vue experiment, 1 seuls sont donnés les niveaux ayant un spin présumé. Aucune don
née expérimentale concernant les réactions décrites n'est dis
ponible. On constate que certains niveaux ont tendance à être
peuplés fortement par un type de réaction et peu par l'autre
et inversement. Cela veut dire que les deux réactions suggérées
sont complémentaires pour l'étude de ce noyau. Cela signifie
aussi qu'en cas de troncatlon de la base il faille certainement
envisager les deux types de base A et B. Le fondamental 9/2 a
été calculé a - 13.284 Me.A'en très bon accord avec la valeur
expérimentale - 13.336 MeV . Pour ce noyau, la matrice la
plus grosse â diagonaliser est de dimension 296 correspondant
aux états 9/2 . En ce gui concerne l'état isomërique observé S
1.463 Mev (J } 19/2), le candidat le plus probable est un ni
veau 25/2+calculé à 1.591 Me V (ou encore le 21/2+ â 1.594 Mey ) .
Il est vraisemblable qu'un autre état de haut spin soit aussi
isomërique; l'état 37/2+ â 3.541 Me Vest tout à fait désigné
pour jouer ce rOle.
D'autres études sur ce noyau sont souhaitables.
V - • Le 2 1 1Bi
Nous possédons également quelques données expérimentales
intéressantes concernant ce noyau [GO 68, FI 76, 77a, Ma 78, J 211
, mais de même que dans le cas du Po très peu de
spins ont pu être affectés aux niveaux observés dans les diver
ses réactions nucléaires. Quelques calculs théoriques ont été
entrepris dans le cadre du modèle particule-vibration [ Rao 71,
Ba 73 1, Nous présentons dans le tableau XIV les résultats d'un
calcul de modèle en couches complet pour lequel la dimension
EXl'F.RIKNC.K TIIEOPIE EXPL»IESCh TUEUR!F 1 . ] " E S J ï ï F. SI S2 S . f 1 r. 1 s .1" 1 r SI S2 s
9 / 2 " 0 . 44. 9 / 2 " 0 . 0 . 8 0 0 . 1 7 5 .57 ; 1 .170 j 21 l « / 2 ~ ' . 1 .240 1 8 . 6
7 / 2 " 0 . 4 0 5 7 / 2 " 0 . 6 3 7 0 . 4 4 0 . 3 4 1 5/?~! 1.257 0 .
( M / 2 ) " 0 . 7 6 6 9 l l / 2 ~ 0 . 7 3 6 0 . 3 5 10 .6 7/2* [ 1.283 0 . 0 . 0 1
9 / 2 " 0 . 8 3 2 14 9 / 2 * 0 . 7 7 0 0 . 1 6 0 . 2 5 2 . 7 0 1 1 / 2 " 1 . 3 0 3 0 . 0 . 0 6 ;
0 . 7 3 9 1 3 / 2 " 0 . 8 1 4 10 .1 9 / 2 * 1 .312 0 . 0 . 0 . 0 2
5 / 2 * 0 . 8 4 3 0 . 0 1 1 3 / 2 " 1 .33' . ; 0 . 0 1
7 / 2 * 0 . 8 7 4 0 . 2 3 0 . 6 3 1 1 / 2 * 1 .349 i 0 . 0 . 1 4
9 / 2 * 0 . 9 5 6 0 . 0 . 0 7 0 . 1 5 1.389 21 2 3 / 2 * ' 1 . 3 5 0 ' 1 7 . 7
1 1 / 2 " 1 .046 0 . 5 7 0 . 6 6 , 1 5 / 2 " 1.356 I 0 . 1 0
7 / 2 " 1 .075 0 . 0 . 0 1 1 3/2" 1 .379 0 .
1 .118 20 1 7 / 2 * 1 .107 j , 6 . . 1 1 / 2 " 1 .390 0 . 0 .
7 / 2 " 1.112 0 . 0 . 0 3 l 3 / 2 ~ 1 .390 0 .
1 .136 18 1 5 / 2 " 1.114 15 .2 1 7 / 2 " 1 .415 0 . 8 5
3/2" 1.115 0 . 1 7 / 2 " 1.449 0 . 1 9 0 .
/ 2 * 1 .125 0 . 1 9 / 2 " 1 .457 0 . 0 2
9 / 2 " 1 .155 0 . 0 . 2 0 . 0 . 0 9 9 / 2 " 1 .473 I 0 . 0 . 0 .
1.217 25 2 1 / 2 * 1.197 y y 9 2 9 / 2 * 1 .493 !
1 .257 42 2 5 / 2 "
1 1 / 2 "
1.199
1 .242 0 .
3 7 . 5
0 . 0 1
. 3 / 2 *
1 3 / 2 *
1 .539
1.541
0 . 6 P
0 . 1 4
5 / 2 " 1.244
1 3 / 2 " II . 245
0 .
2 . 4 6
3 / 2 *
1 1 / 2 * 1 .573
1 .579 0 . 0 . 0 2
1 1 . i 5 / 2 " 1 .583 1 0 . 1 0
r 177
« c - ï
Ô S « o O O a c O O
CI
c o
w M or C O V , •
THE C C
e>.
o
m
C
THE
c if> *n S m o» e>.
o
m U1 r* u" i
to en en S * en w m « • 0 sC -7 O r i i n « ce 00 « a* * en C* O* O* «• C a C ~ i c . «
- - « M « P I « M ^ i
1 1 1 i 1 1 , 1 1 1 1 1 4- + + • + + + i- <s M M M
" . *>» "*• * • * . * • » -. "N. -». > • > • * . . • * » *»* • ^ • » . N» m r* f* h* m f i I * . tft 1*. <T m I l
. ™ C l • " ~ ~ "" tn M *•*>
s M h» r*. s s O O C O r* G O s e O O o O O o C c C c C e C C e e O
r j . o , 4 . us
O o o O o a us
ce c r* tn — w « O O O H " o c o o o o H "
c 1T> CO r* o* où ^ -* e t 8 CO 9> en m r» «0 CN « «3- h* 8 o et e-l <r « «- * • -
* •n "i r- r * r». i * . 00 00 CO
" * " " 00
| 1 1 1 i 1 + + 1 1 1 N M OJ M (M <* CM ( S M « M C«J r i C I « s 1 • ^ • * - -. "5 «r» «n t n <n i n en «n r* r»
~ " ™ "" ™" "" "~ "™ *~ ** • •
TABLEAU XIV (Su i t e )
Identique ou tableau XI pour le 2 l l B i avec SI - l<ù | d * 2 , 0 P b ( O*) ^ 2 S2 - |<* | C „ , , 2 , 0 B i ( r ) > i 2
+ 210 ~ 2 u l \ ' 'x g? /_ e t S - (2J f+l)|<iJi | c „ , , Bi(9 ) >| .Le fondamental expérinental e s t a - 13.529 MeV»la valeur calculée â - 13.406 He/.
1 THEORIE | THEORIE
j " E SI S2 S ] J' r. SI S? S
21/2* 2.379 33/2" 3.691
27/2* 2.401 3I/2 - 3.821
35/2* 2.464 35/2~ 3.828 1
25/2* 2.466 39/2 3.929 ! 29/2* 2.486 41/2* 5.264
37/2 3.591 37/2* 5.553
39/2* 5.844
i
179
maximum des matrices a diagonaliser est 371 (états 9/2 ). Nous
avons porte tous les niveaux jusqu'à 2 Mev d'excitation ainsi
que les niveaux de haut spin. SI représente le facteur spectro-
scopique de Btrlpping d'un proton correspondant â la réaction
Pb (a, a-p) Bi et S2 le facteur spectroscopique de strip
ping d'un neutron dans l'orbite g a /- a partir du fondamental 210
1 du Bi. Ces quantités n'ont pas été mesurées expérimentalement. Par contre, l'étude de la réaction 2 1 0Bi m(d,p) 2 1 1Bi â 20 Mev | Han 78 J a permis de mesurer les facteurs spectro-scopiques de transfert du neutron dans l'orbite g a /, 8 partir
- 210 '
du niveau isomerique 9 â 271 kev du Bi. Ce que nous avons
fait figurer dans le tableau XIII c'est ce facteur multiplie
par (2Jf+I) de façon â pouvoir comparer aux valeurs expérimen
tales. t
L'énergie du fondamental calculé est trop grande d'une
centaine de kev par rapport S la valeur expérimentale
(-13.406 MeV contre - 13.529 MeV) ce qui est malgré tout un
bon résultat. Il a été écrit que le niveau 7/2" & 0.405 Mev ne pouvait être reproduit dans le cadre du modèle en couches
[Ba 73 J. Nous montrons qu'avec un traitement complet de tou
tes les couches nous obtenons cet état malgré tout. Par contre,
il est vrai que l'énergie calculée est trop élevée; il est pos
sible que l'excitation octupolaire du coeur s'avère indispensa
ble pour décrire correctement cet état [Ba 73 J. L'examen des
énergies et surtout du facteur spectroscopique S permet de fixer
sans trop d'ambiguïté les spins des niveaux observés 3
1.118 MeV (17/2"), 1136 MeV (15/2"), 1.217 MeV (21/2"),
1.257 MeV (25/2"), 1.270 MeV (19/2"), 1.389 MeV (23/2-). Par
contre, il reste un problême pour les niveaux expérimentaux â
0.793 MeV et 0.832 MeV. A ce dernier avec un S égal â 14 a été
affecté le spin 9/2~, le premier étant de spin inconnu et ayant
une valeur de S inférieure â 4. D'après nos calculs, le niveau
9/2~ correspondrait plutôt â l'état observé à 0.793 Mev, i e
niveau â 0.832 Mev étant alors un 13/2". Ce ne serait d'ailleurs
pas en contradiction avec l'interprétation de la référence
| Han 78 J . Ou point de vue des états isomériques de haut
spin, l'état 33/2 à 2.335 Me v serait un bon candidat pour un
180
tel rfile mais dans ce noyau aussi l'ordre des niveaux devrait
dépendre de façon assez sensible de la force utilisée.
De façon générale, on a pu voir que le modèle en couches
traité avec la force de Kuo - Herling donne de très bons résul
tats dans la région des plombs.
181
TROISIEME PARTIE
LES ETATS MULTIPHONONS COLLECTIFS
K1"» 0*DANS LES NOYAUX DEFORMES
Lorsqu'on entreprend l ' é tude microscopique des noyaux déformés; 150 < A £. 180(ou 220 < A) i l faut bien garder â l ' e s p r i t deux c a r a c t é r i s t i q u e s :
- i l s sont é lo ignés des couches magiques - l e s corré la t i ons de pa ires y jouent un rô le important .
On pourrait bien entendu jouer l e jeu des chapitres précédents e t chercher une descr ip t ion raisonnable de ces noyaux en empilant l e s uns sur l e s autres des phonons c a l c u l é s dans une base sphérique. Cette approche s e r a i t de l o i n l a plus s a t i s f a i s a n t e car e l l e permettrai t une compréhension plus ne t t e de l a t r a n s i t i o n forme sphérique-forme déformée sur un fondement complètement microscopique. Malheureusement, l e nombre de phonons élémentaires â deux p a r t i c u l e s e s t typiquement de l ' o r dre de la d i z a i n e ; outre des développements théoriques poussés , i l s e r a i t absolument nécessa ire d'avoir une descr ip t ion p a r f a i t e de ces phonons de base , ce qui sous-entend un t r è s bonne connaissance des in t erac t ions nucléa ires dans c e s rég ions . Ce n ' e s t pas l e c a s .
Une approche phénoménologique plus ou moins équivalente â cette façon de faire a été appliquée avec un succès certain:c'est l e modèle des bosons. en in terac t ion d'Arima e t Iachello[_Ar 75,Ar 76a,b,Ar 77,1a 74a,b j A t e l point que bon nombre d'auteurs t r a v a i l l e n t sur une descr ipt ion microscopique de l ' I B A d n t e r a c t i n g boson approximat i o n ) . La vo i e la p lus couramment u t i l i s é e r e s t e t o u t e f o i s l 'emploi d'une base i n d i v i d u e l l e déformée. C e l l e - c i peut provenir d'un traitement Hartree-Fock, d'un Hamiltonien de type Woods-Saxon ou plus sdsplenent àe type N i l s s o n . Quoiqu'i l en s o i t ces bases v i o l e n t une symétrie e s s e n t i e l l e de l 'Hamilto-
182
nien ! l'invariance par rotation. On ne la recouvre qu'après
certains procédés mathématiques qui ont pour nom méthode
de projection (coordonnée génératrice ou Pelorls-Yoccoz et leurs
variantes), multiplicateurs de Lagrange (cranking et variantes)
ou modèle unifié de Bohr-Mottelson. Dans toute cette partie,
nous emploierons l'approche de Bohr et Mottelson mais ce
n'est pas notre propos essentiel. Il suffit de considérer un
Hamiltonien intrinsèque qui n'est pas invariant par rotation
mais qui conserve tout de même la symétrie axiale et l'inva
riance par renversement du temps. Dans ces conditions, la
fonction d'onde intrinsèque est caractérisée par le nombre
quantique K qui indique la projection sur l'axe z lié au
noyau du moment angulaire. Les états |(jiK> sont dégénérés
avec |*_K> â cause du renversement du temps. L'abolition
de la contrainte d'un bon moment angulaire évite l'emploi
de l'algèbre de Racah qui était un frein important pour
l'étude des états a nombreux phonons dans l'optique des
chapitres précédents.
L'autre aspect évoqué au début est relatif aux corré
lations de paires i une certaine prépondérance des forces
couplant deux particules S X » 0. On sait que celle-ci joue
un rôle de premier ordre dans les noyaux de la région considé
rée. La prise en compte correcte de telles forces fait appel
a la transformation canonique de Bogoluybov-Valatin|Bo58,Va58|
Il ne faut plus traiter avec les opérateurs de particules
C R (n désignant j ainsi que tous les autres nombres quanti-
ques nécessaires) mais avec des opérateurs de quasi-particu
les a définis par
a + = D C -o V „ C „ "= + 1 ou - 1 o n n an n —an
Il'opérateur C est le renversé dans le temps de C |
L'état de référence ou fondamental |o> pour un noyau pair-
pair est _ ___ i5> = [XT °°"J |0> = ^ V V n C-n> l°>
183
Cet é t a t b r i s e une nouvel le symétrie de l 'Hamiltonien â savo ir la conservation du nombre de p a r t i c u l e s . La méthode h a b i t u e l l e pour recouvrer (en part ie ) c e t t e symétrie e s t l 'analogue de la méthode du cranking c i t é e plus haut. On minimise l ' é n e r g i e de p&ti- X N avec la contra inte que le nombre de particules soit conservé en moyenne • L e s é t a t s e x c i t é s du noyau obtenus de c e t t e façon sont l e s é t a t s â 2q-p, 4 q - ç . . . ( a n a l o g u e s aux é t a t s l p - l t , 2 p - 2 t , . . . des noyaux non superf luides ) notés a + a * |o>, a* a+ a + o* |o*> . . . A pr i o r i i l faudrait r e -
n l n 2 "l n 2 n 3 n 4 commencer la procédure de minimisation pour déterminer l e p o t e n t i e l chimique * afiférant à chaque é t a t (problème du blocage) mais dans la pratique on garde l e même p o t e n t i e l que c e l u i obtenu pour l e fondamental. De p l u s , on considère toujours l e s fonctions propres de H -> N en arguant du f a i t que s i l e s énergies propres correspondantes sont cer t e s d i f f é rentes de c e l l e s de H, l e s d i f f érences d'éneroie (ou spectre) sont pratiquement identicrues.Néanmoins,ce traitement partiel de la non conservation du nombre de particule:» n'élirire nns les états nara-jltes rés u l t a n t s de c e t t e br i sure de •ymétrie , e t i l faut s 'entourer de beaucoup de précaution avant d'affirmer qu'un é t a t théor i que représente un é t a t physique.
Dans l e s noyaux pa ir - p a i r déformés i l e s t d'usage d'appeler selon Bohr-Mottelson l e s é t a t s intr insèques (ou t ê t e sde bande) de K* = 0*vibrations 8 e t K" = 2 + v ibrat ions y (dégénérés avec K = - 2 ) . Dans l 'ancienne vers ion macroscopi
que de Bohr l e s v ibrat ions S conservent l a symétrie a x i a l e de la déformation d ' é q u i l i b r e , l e s v ibrat ions y l a d é t r u i sent tout en conservant au noyau une forme quadrupolaire ( e l l i p s o ï d e t r i a x i a l ) . Dans l e s vers ions p lus modernes e t microscopiques ces é t a t s sont des superpos i t ions cohérentes d ' é t a t s â 2 q-particules ; en d'autres termes, ce sont des phonons
ïii<n Dans tous les cas connus expërimentalenent les niveaux g et y sont situés en
dessous des énergies des é t a t s à 2 q u a s i - p a r t i c u l e s . La s e u l e façon d'expl iquer c e l a e s t de supposer des é t a t s t r è s c o l l e c t i f s ,1a force r é s i d u e l l e - de type quadrupole-quadrupole gêné-
184
raletnent - permettant à de tels états de descendre sensible
ment en Énergie. A partir de ce fait, la philosophie adoptée
dans les deux premières parties subsiste ; il vaut mieux gar
der les opérateurs P„ comme entités fondamentales et chercher
des états qui soient des empilements de phonons. La grande
différence c'est que maintenant les états â n phonons sont des
états 3 2 n quasi-particules et décrivent (en partie tout au
moins) des niveaux du même noyau que les états â O ou 1
phonon.
Les secondes têtes de bandes K* = O et K = 2 du 1 5 4Gd sont situées à une énergie plus basse que deux
fois l'énergie du gap'. Ces états se désintè
grent plus spontanément vers les bandes g et y 1 ue vers le
fondamental, ce qui suggère une struc
ture proche d'état a deux phonons, en tous cas collectifs. Dans
un modèle purement harmonique, ou les phonons P„ seraient des
bosons purs, sans interaction, de quanta u „ > on aurait le
schéma suivant
Y-Y
S fi
éta ts â 2 phonons
é ta ts à l phonon
iondamantal K=C K=2
D'autre par t , les relations u . . » 2<u PB P
confirment
K = 4 T
Y ' "YY " " Y c e t t e i n t e r p r é t a t i o n . On a cherché à e x p l i
quer les déviations par racnort 3 l'harmonicité de nombreuses façons. Les
r . n plus courantes étant la. HRPA (Higher Random Phase Approximation) et les développements bosoniques BE (boson expansions).
Dans ce qui suit, nous allons examiner quelques aspects concernant ce sujet. Afin d'alléger l'écriture, nous emploie-rons volontairement la notation 10 > au lle-i de|0 > pour désigner le fondamental superfluide du noyau étudié.
186
CHAPITRE I
LES ETATS k"= 0+COLLECTIFS:THE0RIE
I-a Définitions
Comme dans l e cas d'un noyau normal, on peut appliquer le modèle en couches à un noyau superf luide • E n p a r t i c u l i e r , pour étudier l e s é t a t s K • 0 on peut prendre comme base l e vide | 0> , l e s é t a t s à 2q-p couples â K » O, l e s é t a t s à 4q-p cou
p l é s à K = 0 , . . . , l e s é t a t s a 2nq-p couplés a K = O.Nêanroins cette base est , de par ses dimensions, peu adaptée à notre problems. Canne nous l 'avons déjà remarqué l e s é t a t s a un phonon sont souvent t r è s c o l l e c t i f s e t nous pouvons e x p l o i t e r c e t argument pour réduire la dimension de notre base de d i a g o n a l i s a t i o n .
+ Soient P„(i) l e s operateurs de type TDA qui créent l e s pho-
nons corrë l ê s
* » - £ • £ [ • £ • £ ] „ - * £ « S [*•£], (i,D
avec la propriété de symétrie
mn nm
Nous avons supposé une seule espèce de particule? dans le
but de simplifier l'écriture mais la généralisation â deux
espèces est triviale : il suffit de sommer les quantités rela
tives aux deux espèces. La signification de K a été déjà ex
plicitée, i désigne l'ensemble des autres nombres quantiques.
Le phonon noté par 1=1 est par définition celui d'énergie la
plus basse, en général le plus collectif, et ainsi de suite
par ordre d'énergie croissante. Une autre base possible
pour les états K - O est
187
P* (i.) P* (i,)... PÎ (in) |0> L K « 0 (1,3) Kl i K2 2 Kn n i»l i
De façon générale, cette base n'est ni orthogonale, ni norraée;
de plus, elle est surcomplète. Nous avons examiné en détail
les propriétés de ces bases dans la partie précédente. Dans
ce chapitre, nous considérerons uniquement les états collec
tifs i = 1 et couplés à K = O; nous simplifierons donc l'écri
ture en posant P = P„ _ (i»l). La prépondérance des états
collectifs explique la première contrainte; la deuxième est
purement arbitraire et suppose un couplage faible entre les 154
états K = 2 et K = O. Dans le Gd le niveau g est très
en-dessous du niveau y et c'est sans doute dans ce noyau
que cette hypothèse est la plus justifiée. De toutes façons,
il est possible d'améliorer la œscription pour tenir conple des
phonons K « 2 ou -2. La simplicité relative de ce modèle est
aussi pédagogique. Dans ce cas, la base utilisée pour le pro
blème aux valeurs propres se réduit i (P*)* |0 > k - 0,1,...N (1,4)
Il est facile de voir que c'est une base orthogonale donc com
plète dans l'espace qu'elle engendre. Par contre, elle n'est
pis normée S cause de l'importance du principe de Pauli. Nous
désignerons par |k > le vecteur norme et pa- N k le coeffi
cient de normalisation
k>= N k ( P+ ) k lo >
(I, 5)
Si P +
< était
k'!k>= «j*. un opérateur de boson pur le calcul de la norme
serait très simple
]" 1/2 II ,6)
Le principe de Pauli agit de façon beaucoup plus subtile et rend le
calcul de la norme plus ardu. One méthode directe
consisterait à appliquer crûment le théorème de Wick. C
est possible pojr k = 1,2 ou 3; le travail se complique de fa
çon exponentielle lorsque la valeur de k auamente. on peut
tenir un raisonnement analogue pour le calcul des éléments de
186
matrice d'un opérateur quelconque < k'ITIIC» . Nous allons cal
culer ces quantités de façon originale par une méthode de ré
currence, il est a noter que toute la physique est entièrement
contenue dans les amplitudes X . Bien qu'en principe on dé
duise celles-ci des équations TDA pour les états a 2q-p la
suite du raisonnement s'applique pour n'importe quelle matrice an
tisymétrique (nous supposons sans perte de généralité que X
est réelle,ce qui est toujours le cas dans la pratique). Les
seuls ingrédients mathématiques sont les relations d'anticom
mutation des a d'où nous déduisons
{a a ,a a + I = 6 6 —6 6 -S a a +6 a a . n m ' p q J pm qn qm pn pm q n pn q m
+6 a a -6 a a qm p n qn p m
'm an ' ap aqJ - 6pn a m aq " Sqn am ap
K °£ '"» "n] * ° (I'7' Les puissances respectives de la matrice X s'introduiront
d'elles-mêmes : elles sont définies de façon standard
{ X 'an " 2 * «Pi XPiP 2 "" XPk-l n
Nous allons d'abord calculer la norme puis les éléments de
matrice de n'importe quel opérateur â deux corpsT Si 11b?8J
I-b Calcul de la norme
Notre but est l'évaluation de l'expression :
N k 2 = < 0 l p k< p +> k! ° * «.9) Pour cela, nous généralisons la méthode suggérée par Holz-
warth et al. £ HO 76 J
Définissons l'opérateur R, par
puis par récurrence
«2P= [; •[-• ; r Jl R 2 P + l= [ [ R
2 p' P ] ' P J
189
Un simple exerc ice de mathématique donne leurs express ions fermées
R
2 P = 2 2 P " 1 E ( x 4 P + 1 ' - « n « m ( I ' U )
m.n 22*> £ (X4 2p+l A_^ mn m n
r m,n On vérifie a lors facilement l e s propr ié tés su ivantes
< 0 | R , n + . T| 0> =< 0 | T R, | 0> = 0 Ï T , VP
[ K 2 p . X ' P + ] = [ P ' R 2 p J O
< ° ! p R 2 P + i ! 0 > = " 2 2 P T r « x 4 p * 4 » ( i . i 2 )
< 0 | R 2 p P + | 0> = - 2 2 P" l Tr ( X 4 p + 2 )
Alors N~ 2 =< O | P k ( P l k |0> - *0 | P k _ 1 rP,P +j(P +) k" 1jO>
+< O | P k ~ l P* P ( P * ) k - 1 |0 >
En introduisant a nouveau le commutateur dans le 2ôme membre,
on arrive â déplacer l'opérateur P jusqu'à l'extrême droite,
où agissant sur |0> ,11 donne O. Nous pouvons donc réécrire
N V - E < 0 l p < p > p > P J ( p > '° > B 2 - h<M K i«0 l i*>
Notons tout de suite une propriété très importante des L. k-l + k _ i _ 1 + i _ l
L^k) = <0 |P K *(P ) RjlP*) |0> +
,0 IP11"1^*) ™ [r.P^pV^iO >
Comme | R 1 . p 1 = 0 d'après(1,12) l e premier terme vaut
A1<k) = <0| P k _ 1 RjtP*) k " 2 |0> s i b ien que
LjOO = Lj.jjk) + Aj(k)
En reportant cette valeur dans N. on en déduit
\ 2 = c k N k - i + c k A i < k ) c i . " ) p
où l e s CT sont l e s coefficients du binfce usuels p k '
C k = pi (k-p) !' * N o u s avons u t i l i s é la propriété que
190
Lo(k) ~<0 jP^^P*)* 1" 1 [p,P*l|0>-<0 i P ^ t p V " 1 |0> -Nfc_,.
Cette norme est supposée connue et tout le problème se reporte
dans le calcul de A,(k). De façon plus générale, nous définis
sons les quantités
A W R ) . < 0 | P""2»-1 H 2 p + 1 < P V - 2 » - 2 ! 0 >
(1,14)
A 2 p(k) -«O. P"-^" 1 B 2 p ( P + ) k ' 2 p |0 »
Par une technique de commutateurs analogue â celle que nous
venons d'exposer il est facile de déduire que
A p(k)= - 2P-1 C>. p Tr (X
2P + 2) N - f p . l + C 2 _ p A p + , ( k , ( I # 1 5 )
Ainsi, on calcule A. â partir de A 2 ,A, à partir de A, et ain
si de suite. Quel est le dernier A que l'on calcule ? Si k est
pair k = 2p on voit que A, D (k) = O; el k est imoair k=2p0+l<
alors A;>o+i"<> * °- D a n s t o u s i e s c a s » Aif ( k' = o et le
dernier A non nul est
A k - l ( k ) " " 2 k " 2 T r < î c 2 k ) ( I ' l 6 )
Ces relations sont suffisantes pour calculer la norme : on
applique les relations de récurrence (1,13) et (1,15) avec
la condition initiale (1,16). Malgré tout cette formulation
n'est pas très attrayante ; on peut facilement enlever les
quantités A_(k). Dans ce but, i. est commode de faire apparaî
tre une norme réduite %rT. définie par
K - ^ - [k ! 4 2 «•»» La formule finale qui donne la norme prend alors la forme
trës simple
- 4 £ 1r<xn+2)JlT_„_, avec JÇ = 1 par définition
Jt l (1,18)
191
Cette formule de récurrence se prête très bien 3 un calcul nu
mérique puisque toutes les factorielles ont été blo
quées dans la nouvelle quantité •"*• L e deuxième terme du
membre de droite est un terme d'échange qui traduit le prin
cipe de Pauli et qui mesure la différence entre la norme
N. et la norme d'un boson pur. Si on néglige ce terme, alorr.
* ° [ k ! ] - 1 e t P*r suite Nk = N k = [ k '] "1/2 ' ° n a p p e l l e
"quasi boson" cette approximation; elle est équivalente â
ne retenir que les termes en 66 du premier commutateur (1,7)
Ce pourrait être l'approximation d'ordre 1 d'une série d'ap
proximations d'ordre plus êlevë qu'il nous reste â définir.
Les quantités physiques sont les traces des puissances de
matrice. Celles-ci demandent des temps de calcul qui croissent
très vite en fonction de la puissance considérée. Si nous dé
sirons faire le calcul exact de N. il est nécessaire de cal-2k
culer leB diverses puissances paires jusqu'à X . Nous pouvons définir une expression approchée d'ordre p à l'aide des prescriptions suivantes
R 2 diffuse dans tous les états ( p à 2 )
R , diffuse seulement dans les états collectifs
Cela signifie que le jeu joué précédemment,au lieu de se ter
miner par A k - 1(k), s'achève sur A l ( k ) »-2p"2Tr(X2p)N^f ,
Dans ce cas l'expression approchée de la norme s'écrit
k jflPi - _ I Ë Tr(X 2* + 2l l/V*'*' " 5 (K-P+D Tr(X2plx K "k " 2 f=0 r l ' ' k-i-1 l
^ k ? p + 1 P * 2 { I ' 1 9 >
Les normes ont été remplacées par leurs expressions appro
chées et en comparant avec (1,18) on s'aperçoit que les ter
mes les plus longs â calculer
x-^ 2 Î.+2 ifi y Tr(X ) «'•]c_jl_1 se réduisent maintenant a un
seul terme (k-p+1) Tr(X2p)ifl'P' . La puissance la plus éle-k-p+1
2P> vée à calculer reste à présent Tr{X p ) . Il est facile de se
convaincre que l'approximation d'ordre p donne exactement les
192
p premières normes et ne commence à s'écarter du cas exact
que pour N_+, . C'est a partir de ce moment aussi que le prin
cipe de Pauli est violé. L'approximation d'Holzwarth et al.
r Ho 76 J correspond simplement a notre approxima
tion d'ordre 2. Nous examinerons un peu plus bas les consé
quences numériques de ces diverses approximations; intéres
sons nous plutôt au calcul des éléments de matrice d'un opé
rateur quelconque â deux corps sur l'espace S" engendré
par nos vecteurs I k> .
I-c - Calcul de <k Ifjp > dans
La première chose â faire est d'exprime.r l'opérateur à
l'aide des opérateurs de quasi-particules
T = T 0+ T u + T 2 Q + T 4 0 + T 3 1 + T 2 2
lll JLd mn am an
T 2 0 " \f Fmn [ a m a n + a n a m i Inn
T 4 0 * ] £ pmnoq [ am a n a p \ % a p °n a m l mnpq
V „ T+ + + + 1 T 3 1 - jfa Rmnpq | > ttn <*p «q + «q *p a n amJ
E r + + * • • i mnpq ^ p L m n p q q p n m j
T22 mnpq
Pour simplifier l'opérateur a été supposé hermitique
mais ce n'est pas une condition nécessaire pour notre théorie
(il suffit de traiter séparément T.- et T 0 4 #etc...). Dans le
cas où T est l'Hamiltonien H on suppose le plus souvent que
H, 0 est nul comme conséquence du théorème de Thouless .
L'évaluation des éléments de matrice de T., et T,- qui sont
des opérateurs â un corps ne présente pas de difficultés et
se mène de façon tout â fait analogue à celle qui a conduit
au calcul de la norme. Nous n'insistons donc pas sur les
193
détails et donnons directement les résultats exacts et les approximations d'ordre p fc
wp)<*\«:«n\*>lp) - - § « " > « *, 4-1
(P) k-i
( k - P + i ) ( x 2 p ) i n n . r ^
[•«.il <M.:O ~ > w -(p) k-p+l
Les approximations d'ordre p fournissent les valeurs exactes des éléments de matrice jusqu'à k « p. Dans ce cas encore, on tient compte des termes négligés dans la sommation à l'aide d'un terme supplémentaire qui viole néanmoins le principe de Pauli.
Comme prototype d'éléments de matrice d'un opérateur à deux corps, étudions en détail la partie T.-
Soit donc le calcul de
A l(k) - <0 | P k + 2 a * a* a* a* (P +) k |0 > (1,22)
Nous allons utiliser une technique de commutateurs multiples un peu plus compliquée mais en tout point analogue 3 celle utilisée pour la norme Soit R, • o_ a„ a- a- et par récurrence
^ -[». [ 4 - [p- R
2p-J]]] 1 (1,23)
194
Nous aurons également besoin des opérateurs d'engloutissement partiels
R ( 1 > K 2 p +
1 -(iJ^b ^J-B ** 44<i^ + J 1 opérateuaP i opérateur P
<I.2<> i-1.2,3 En s 'armant d'un peu de patience e t de beaucoup de papier nous pouvons déduire les propriétés suivantes :
R ^ - M O ^ S .x2*-1)^ (x2*-^ a*"1)
a 2 * " 1 )
pt rstu
a a a a 'qu r s t u
p . M M 2 * ^ (X2p> (X2p» (X 2 pl (X2p> a + o + a + a* R2p+1 , 4 - ' Li {* 'mr l* ' n s 1 * ' p t , x 'qu r s t u rstu
< 0 l R 2 p + l T| 0> -< 0 | R^plj T|0> -< 0|T R< p V-<0 |T R 2 p |0>- 0
[R2p+1' P + ] " ° * [ P ' R2p] «'«M»
« x 4 p + 1 ) n D " « 4 p + 1 » m w 4 p + 1 ) m 1 np mp nq J
< 0 | R » » P + | 0 > - 2 ( 4 . ' ) 2 p " 1 { ( X 4 p - 1 ) m n ( X 4 p - 1 ) p ( 3 ^ p - 1 ) r o q X
np mp nq j
Dans le cours de la démonstration nous verrons aussi apparaître des quantités fondamentales
A-(k) = <0| P k - 4 p + 2 R , 0 ( P + ) k + 4 - 4 p IO> p p (1,26)
A 2 p + 1 ( k ) ^ 0 | P k - 4 p + 2 R 2 p + 1 ( P + ) k - 4 p | o >
L«» (2p+l.k> =<0 p 1 n g ^ p k - 4 P + 2 - i - j ( p + ) k - 4 p ( Q > ^
Lp> <2P,k) - < 0 | P k - 4 p « ( P + ) k + 4 - " 5 - l - j R ( 5 ) ( p + ) i | 0 >
j = 1 ' 2 ' 3
19S
On peut montrer facilement la relation de recurrence sur les L.
L t J ) " Li-V + ^ î * " i m 1'2'3 ( I' 2 7> En partant de ( 1,22) A^k) -< P k + 2 R 1(P
+) k> et en faisant remonter R. vers la gauche i l'aide des commutateurs nous pouvons écrire
A l < l t ) * ^ ^UM ( I' 2 8 )
Laissons tomber provisoirement les arguments des L, et introduisons formellement
m=o En tenant compte de la propriété (1,2 7) et du fait que L Q 1 ' = 0 d'après <IÏ?.5) il vient
V k ) * s < k l i " s k l l h s k 2 > t I ' 2 9 )
•i" » • L'élimination de s} de cette formule de récurrence conduit a
(1) _ ** s (2) ._ _ k+l " 2-_ s i «.*»
En effectuant le même genre de manipulations sur les quantités (21
L nous arrivons i ^
•{ a ) - «=i« tf' «*>+ S s
t
( 3 ) « ^ et
S i 3 1 * Ct+1 L " > C 1 ' k > + Ct+1 A 2 ( k ) 0.3» En remontant en sens inverse et en utilisant l'identité combi-natoire suivante
t 3+1 " <$2 ( I' 3 3 )
il est trivial d'obtenir l'expression de A,
A l { k ) = 4*2 L ô 2 > U ' k ) + Ck+2 L ô 3 > «'*> + 4+2 V k )
(1,34) Il est loisible de répéter les mêmes sortes de calculs sur A (k) pour obtenir la loi de récurrence plus générale
A p ( k > - C k + 4 - 2 P ^2 ) <P'k> + Ck+4-2p V k > + 4 + 4 . 2 p A p + 1(k)
(1.35)
196
D'après les définitions des A (k) il est facile de se convain
cre que le dernier A â calculer est :
V W 0 * L Ô 2 > («k/^l.W S i k •" ' *** (1,36)
} « > [J£+I f l t] + L Q < 3 ) [ k + L r k ] s i k e s t impair (k+l)/Zl~ O
La formule de récurrence (1,35 ) avec la condition aux limites
(1,36) est suffisante pour déterminer A.(k) une fois que les
L ' 2 > et L ' 3 ) sont connus. A partir de sa définition on tire (2)
aisément la valeur de L 0
L< 2> <p,k) = 2 ( 4 ! ) P _ 1 i ( X 2 p " 1 ) m n ( X2 P " 1 ) n „ + (X
2P _ 1) (X 2^ 1) 0 ( mn pq mj np
- ( X 2 p _ 1 l fX 2P" ll I N - 2 (1.37) ( X 'mp ( X 'nq ( Nk+2-2p
Le calcul de L 0 est un oeu plus lonn car il
nécessite le calcul de quantités comme •-P n + a a ( P + ) n >
qui fort heureusement découlent de (1,11 ).Enfin :
k-«^2p
L^ 3 ) <p,k) = 6<4I) p _ 1<k+2-2p)! (k+l-2p)i / ]
2p-l 1
'iter np nq np irp nq
- (X2?"1) (X 2P* , r t t) i P.»)
mp nq j
A ce stade le problème est entièrement résolu, néanmoins nous
aurons avantage 5 éliminer comme nrécédemment les quan
tités A du formalisme. Après toute cette petite cuisine, le
résultat final est plus sympathique
r 11/2 C k / 2 ^
[ < « <] <*«!«: % *; °qi*> - s <-2* K + 1 , - ' x 2 £ + l ' + ( x 2 t + 1 ) m ( x 2 £ + 1 , - ( x 2 £ + 1 ) ( x 2 1 + 1 ,
mq np 'mp ' n q
« C l - 2 D - I l t x 2 P + 1 + " > m n « ^ " ' ' o a + W 2 P _ I > n < X 2 P + 1 + 2 * > M K+l -^p - fc i mn pq nn pq
197
[ik-n/îl k-l-21
S E / H , , , !<*2£+3+2J>mn «"*'»„ • t-0 j -0
+ ( x 2 Z + . ^ ( x 2 « + 2 J v . ( x 2 , . + 3 + 2 J v ( x 2 J + 1 ) r e j . ( x 2 , H ) n p ( x 2 ^ 3 + 2 j ) n ( i j
(1,39)
Dans la borne de sommation le symbole [x] veut dire l'entier
le plus grand inférieur ou égal à x ( [x] = m m<x<m+l ).
On peut vérifier d'un coup d'oeil que les règles de symétrie
de a _<* ta *a * sont entièrement satisfaites par l'expression m n p q complète. Il est 3 remarquer également que les normes réduites
<IT introduites primitivement pour le calcul de la norme sont
les ingrédients de base de la formule générale. Ces normes ré
duites sont donc un outil très pratique pour tous ces genres
de problème . Pour des raisons similaires 3 celles exposées
dans le calcul de la norme on peut se mettre en quête d'appro
ximations. Pour cela, nous demandons 3 nouveau que R 1 diffuse
dans tous les états mais H_ seulement dans les états collectifs. P
Nous préciserons l'ordre d'approximation a posteriori. Juste à titre d'exemple prenons p = 2p. Dans ce cas
k-4p>2 . k+4-4p^ A 2 P o
< k ) = < 0 l R 2 p P ( P > l 0 > " <° lR2pl 2 * * k-4p +2 . k+4-2p„
<r2 |P ° (P+) V° ]0 >
N 2 \À-l» <°! B 2 P ' ***»- «I N k ' 4 - 4 P n
L o ^ 2 P o ' 4 P o - 2 >
Un raisonnement identique pour p = 2p +1 conduit 3 la formule
plus générale
2 , ( 2 )
Ap(k) = N^ N"2 4_ 2 p L Q <p,2p-2) {I,40)
Ainsi, la récurrence s'arrête sur cette valeur. Nous voyons
d'après (I, 36) que si 2 p = k+2 la valeur approchée (1,40) est
égale à la valeur exacte (1,36). Cela signifie que cette appro
ximation calcule les éléments de matrice <k'la a a' a |K/-2 >
198
exactement jusqu'à k = 2p; nous l 'appelerons donc approximation d'ordre 2p. En fa i t ,nous ne pouvons d é f i n i r que des approximat ions d 'ordre pair à cause du caractère â deux coros de l'opérateur. On pourrait d é f i n i r par prolongement analytique une approximation d'ordre impair mais c e l l e - c i s e r a i t une condition ad hoc sans r é e l l e j u s t i f i c a t i o n . Nous préférons nous en t e nir â des approximations d'ordre pair . Pour res ter cohérents nous devrons également remplacer dans l ' express ion obtenue l e s JCet l e s L par des quant i tés approchées qui permettent t o u t e f o i s l e ca lcu l exact jusqu'à< 2n| T 4 Q i 2p-2 > . Le r é s u l t a t e s t l e suivant
+ 1 l „ ' i i 2 W ) m • < x 2 î + 1 > m 3 < x 2 i + 1 ) 1 1 D - < x 2 - + 1 ) < x 2 l + 1 ) ] mn pq mg np mp nq_y
( X 2
p-2 20-2J-4
LJ Z~> k-2 4-j-l f lx W * 'pq l 'mn
( x 2 U 3 + 2 j > p q + ( x 2 « + 3 + 2 j ) i K j ( x 2 ; * 1 ) n p + ( x 2 C + l ) m ( j ( x 2 , . + 3 + 2 j ) n p
-« 2 £ + 3 + 2 J >mp<" 2 i + ï » n q -^ 2 t + 1 > m p «2^*2\q }
+ ( k + 3 - 2 p ) ^^*£v^2'-*>mt**hvq*#'»*>mt x
- < x 4 P " 2 ' " 3 ' m P « 2 î + l ) n q - « 2 S + V X ^ 2 M ) J ( I ' 4 1 )
+ C2 Jr _ 1 i^ 2 P» i(x 2 P - 1 i fx2P-'> +rv2P-li + c k + 4 - 2 p " 2 OTk+4-2p f l X >mn ( X ' p q * ' 5 5 ' m q * ( X2 P-1 2p-l 2p-l j
np mp ' nq) Dans ce cas-là, la plus grande puissance â calculer est 4p—3 2k+l
x au lieu de X dans le cas complet d'où un gain appréciable en temps de calcul.
Nous avons conscience d'avoir été un peu long sur cet
exemple; nous ferons grâce au lecteur courageux qui a pu sur
monter cet obstacle des démonstrations similaires relatives à
199
T., e t T , - . Contentons-nous d'exposer l e r é s u l t a t 3 1 2 2 pc+ll
-[K*l K]l/2< k + 1 1° ma n° p* q I k > ° V *d-2t S - 1
n-i j=o ' .
np nq np np m itp nq
(1.42)
+ perm, y p-1 2p-2-2i J
* i ^ > „ » 4 p ' 2 l " 1 i „ t « 4 p ' 2 l i f f l l x a ' 1 i „ - ^ W L « 4 p " 2 t ) 1 „ nq np nq np mp nq
mn pq
. ( x 4 p - 2 l - l ^ | np n q }
^+3-2?
La puissance la plus grande e s t dans ce cas X ^~ au l i e u de 2k X dans l e cas complet. L'approximation d'ordre 2 p donne
l e s éléments de matrice exacts jusqu'à <2p |T , |2p- l> . A présent l e T , -
k-1
" 4 * 1 4 4 «o «, I* >*£ Xpq!x2"+1»mn «Ci-i
+ Ê «Va, K l " , ) - ( , , a t + V * a i > * « a i U - " 2 t ) - a *
200
+
[ f J k - £- 1 JT^-I-J {»*+l+2\„^ pq mn
» =1 j=0
. 2 1 - 2 + 2 j , . „ » ) 2 1 , 2Î+2+2J )
( 3 ! ' m q l x np , x 'm 'npj
2p-2 (I/43>
L p-l c =0
k m n p V * Z-( pq l 'mn^k-f-l p-l c=0
+ £ Y ^ W - J 1 «" + , + 2 J »™> « * " > - • Potat ions 1 M j-0 t, m J
+(k+i-2P, «r<^ 2 p j g ( x 2 l - 1 ) i m ( x ^ 2 ^ i ) P 3 + ( x ^ ^ - ' , m n « x 2 ^ ' ) p ï
<2-2p / f 1 / ^ j ^ W ^ V ^ V ^ W ^ V ^ ' n p f 4p-l
Dans ce cas la plus grande puissance à calculer est X r au 2k—1 lieu de X dans le cas complet. L'approximation d'ordre 2p
donne les éléments de matrice exacts jusqu'à <2p | T 2 2 '2 p > '
Nous ne donnons ci-dessous que les résultats exacts de
ces éléments de matrice de T; les approximations d'ordre 2p en
découlent trivialement. Pour les parties à un corps de T
nous pouvons écrire de façon symbolique
«4T<k !T,,| k> = - y , JV - TrlE X21) k " fel k _* (1.44)
201
Pour simplifier l'écriture des parties à deux corps, nous
supposerons que les coefficients P,R,S, de (I, 20) possèdent
toutes les propriétés de symétrie des a ; par exemple
Pmnpq Pnmpq ** qpmn "" Il suffit alors d'introduire quelques quantités nouvelles
»fi(i,j> = 2 ^ mnpq 'Wq'^'mn^'pq ( M 5 )
Cf.u.i) = JLJ
•ïi(i-j)=£
pour obtenir défi
E^T j-0
- 2 4
+ 6
1/2 Ek+D/ 2 ]
[•Cl"C] <k +l |T 3 1 |k>.-3 2 P<«-1'"' «Vx-24
^ lt-2i-j P*<2ï+l+2j /2£) +3}j2W,2Ji+2+2j)j
C^<k|T 2 2 |k>= ' ^ < f x ( 2 * * 1 . D I * ^ W
( I ' 4 6 )
- 2 ^ . ^ jj£<2l-l»2ll+l)+ 2 t / r E (2£,2t) | £=1
|(k-l)/2j k-2*-l " £ J j k-2*-l-j p (2£+l+2j,2£+l)
+ «7j.(2fc-l,2£+3+2j) + *<f (2Jt+2+2j,2Jt)j
202
I - d - Approximation bosonlque d'Holzwarth
Les expressions exactes des éléments de matrices de T tien
nent compte parfaitement du principe de Pauli. Néanmoins, si
on considère un grand nombre de phonons elles deviennent vite
coQteuses en temps de calcul . Nous avons par conséquent établi
des formules approchées pour pallier cet inconvénient. Evidem
ment ces formules violent le principe de Pauli dans l'espace
de fermions considéré. Si on considère des approximations d'or
dre élevé, elles sont elles aussi lourdes â manipuler ; de plus
la violation du principe de Pauli provient de deux sources :
remplacement de certains termes par d'autres et utilisation
d'une norme approchée. Ces deux sources peuvent avoir des effets
conjugués qui font boule de neige et rendent rapidement ino
pérante cette méthode. Nous introduisons ici une autre technique
permettant d'effectuer des calculs approchés . Nous avons vu
qu'à l'approximation d'ordre 1 les phonons P + peuvent être
considérés comme des bosons purs dont les règles de commuta -
tion sont bien plus simples que celles régissant les phonons
véritables. L'idée consiste alors â changer d'espace, a se
placer dans un espace de bosons en s'efforçant au maximum de
respecter le principe de Pauli. C'est la philosophie inhérente
â tous les développements botaniques (BE). Nous considérons
ici un type de BE initialement suggéré par KleberTiu 69
puis dëvelopoë par la suite par Lie et Holzwarth^Li 75
sous le nom de développement bosonique de Marumori modifié.
Il est particulièrement adapté au cas ou les phonons sont
très collectifs. Nous établissons une correspondance univoque entre un état
+ le phonon |k> = N k (P ) |o> et un état boson
|kD= [k !] ~ 1 / 2 (B +) k |0>oû B + est un opérateur de boson pur
à l'aide d'un opérateur U. U+l k = - I* > (1.47) 0 |k> = Jk 3
Evidemment 0+ = S '|k> ck | U = S | k o < k | (1,48)
k k
203
(B)
Nous cherchons l'expression d'un opérateur T' en base boson
qui vérifie les propriétés suivantes <k|T|)t ,> - ck| T ( B ) | k'3 (1,49)
I l n ' e s t pfcs d i f f i c i l e de montrer que
T < B ) - Z^ <k| T|k '> [ (k l ) tk ' !> | {B+)k|ODCD| B k ' ( I , 50 ) k ,k ' -0 L J
lOJest le vide de boson. Dans l'article de Harumori et al.
T Ma 64 3 o n trouve une démonstration (pas complète
â notre avis) de l'égalité suivante
| 0 D C 0 | = = exp - £ B + B : i * *
où l a notation : : signifie produit normal e t les B i sont tous les opérateurs de bosons e x i s t a n t s (e t non plus seulement l e s opérateurs c o l l e c t i f s B ) . Comme de toutes façons nous n'effectuerons des c a l c u l s que dans un espace engendré par l e s B s eu l s i l s u f f i t de prendre la r e s t r i c t i o n d e | 0 3 C 0 | a c e t espace i savoir
| 0 ^ C 0 | - : exp - B+B : - J ] j ^ ^ B * <I»51)
e t par conséquent
T( B) . £ ) < t- • - r i-^ ,_*.J«**'+» k,k',e-o
= k| T| k'> (k!)(k'l) TT-(Pl » L J ! (1,52)
Pour qui possède quelque technique dans l'ait du calcul combi-
natoire il n'est pas difficile de montrer que cette expression
vérifie bien la condition (I, 49) ce qui justifie (I, 51 )
a posteriori.
Bien entendu l'expression exacte (1,52) n'est d'aucun
intérêt pratique puisqu'elle nécessite le calcul de <k| T |k*>
pour tous les k et k* et par conséquent le problême est aussi
difficile que dans l'espace des fermions.L'approximation que
nous suggérons .après Holzwarth,c'est de ne retenir dans la
somme que les termes où k-t-k' i N (N étant un nombre quelcon
que pas trop grand) et une truncation sur £ de façon cohérente;
par façon cohérente, nous entendons telle qu'elle ne modifie
pas les éléments calculés exactement dans le cadre de cette
approximation. Contrairement aux approximations dans 3* il
204
est tout a fait naturel d'introduire i c i des formules approchées d'ordre impair. Nous n'insistons pas sur les détails techniques pour nous arrêter plutôt sur l'expression approchée d'ordre p de l'opérateur a deux corps T.
, ( B ) ( p ) B Y <JilT^- Ï # V > k + * Bk + t
* * S ^ > (1,53)
• y 1 < fc*i|T|"> p y ~ k J = I * [ ' ( B + i k + m B , t H 4 B V + * * f 2 f ' k4b ki/E+r- ^ *•
+ £ <k+2|T|k > J j f i £ r ( B + ) k + 2 + ' B k + l
+ ( B + ) k + t B k + 2 + i ] p-2 p-2-k y <k+2iTik > y k=(> k!V(k+2)(k+1) l =0
Cette formule donne exactementCk| T l Tp) | k ' > =<k| T| k'> jusqu'à Max (k,k") • p . Cette méthode a l 'avantage d ' ê t re t rè s simple e t de ne plus contenir la norme, évitant l ' e f f e t boule de neige s i g n a l é plus haut. Si l ' o n d é s i r e connaître
C k | T t B ) (p) |k 'o avec k,k'>>p i l s u f f i t de c a l c u l e r tous l e s éléments de matrice exactB <z\T\l'> avec Max U , i ' ) S p e t des c o e f f i c i e n t s géométriques t rè s simples comme c k | B + p B q | k ' 3 . Cette méthode semble part icul ièrement attrayante mais nécessite d ' e t re t e s t é e auparavant. C'es t l ' o b l e t des prochains c h a o i t m s . Nous verrons. q u ' i l s ' i n t r o d u i t une valeur c r i t i que N du nonbre de phonons permis lorsqu'on travaille avec des expressions apporchées. Dans le cas où l'on uti l ise les développements boaoniques, Janssen e t a l j Ja 74 Jont tenté de donner une interpretation de l'origine de ce nonbre critique. Nous proposons une approche complètement différente e t peut-être plus générale.
Or. peut voir de façon un peu plus rigoureuse d'où vient le facteur de cut-off dans le cas du développement bosoraque.Pour cela,nous allons rechercher la relation directe entre les éléments de matrice dans l'espace âstbosoiset les éléments correspondants dans l'espace datfermionvDans ce but.nous écrivons l'Hamiltonien d'ordre p sous la forme
? ( B b > - £ T U . I X B + W + f T ( t . i - l ) k ^ B 1 " 1 ^ * " 1 B*] J.=0 S&i L
Jt=0 «51 ,
1{l, 1-2) [(B^^B*-2 H - p y - 2 B lJ + £ 1 Kl, 1-2) |_(0 B* " + (BT B*-J (i,54) Les coefficients T('i# j) proviennent du rearrangement de (1,53 )
t T (l Jl - 5! < - ) 1 - n i < I"l Tl l n >
n m! U-m) !
T U , l - l > = £ (-)"'"' < m | T | ' n ' J ^ - (1.55) m»l U-m)! /ml (m- l ) !
TOM-2) - r <-) f t " m ) <"|T|m-2> ~ 1 , ( i-m)l/ml(m-2) ! m«2 p
Calculons par exemple c n | T* ( p ) | n D « - , £TU f fc)x
CO ^ " ( B ^ B * ^ |Or.
Faisant usage de la relation B 9 B »n!q! £ r! (q-r) ! (n-q+r) ! X
( B
+ ) ( " - q + r , B r " *
finalement p
C n | T ( B » (p)| o - n l £ -£li*ii-1=0 <n-S)i
Il suffit de reporter la valeur de T U,«.) en fonction de
<m| T| m>pour obtenir le résultat. Pour cela, nous utilisons
la formule suivante obtenue par récurrence
r C* C m t-)1'" - < - ) p _ m *n. IUO " * (n-mjinl (p-m) !
Nous donnons sans plus de détail les formules pour tous les
éléments de matrice nécessaires
(Ap est le coefficient de rearrangement usuel n(n-l) (n-2)
. . .Cn-p+1) )
e n l T ( B ) ( p ) ! n " > = A p + 1 £ ( - ) p " m < m | T | m " e n \i i p ) i m A n £ 1 j ( n-m)m!(p-m)! (1,56)
m=0 e n | T t B , ( p ) | n - l O = f T A » , f ( - ) p - m ? m <T< * » >
n l f i (n-m)(p-m)!/mi(m-l)!
P - l i <m |T lm-2 > i-iP-*1
m=2*
r B , P - U <m |T lm-2 > . . Cn |T<B> (p) Jn-23 - /nïïFTT A n _ 2 £ ( p _ m , t v , m l < m _ 2 ) 1 ' >
On peut se convaincre aisément que ces éléments sont des fonct i o n s de type "polynomial" «•» n dont les coefficients sont des combinaisons l i n é a i r e s des éléments <m| T| m*> . Suivant l e s valeurs de c e l l e s - c i l a fonct ion peut présenter des extrema mais finalement pour n -"», e l l e diverge vers ± <=.
r 206
Cependant, â cause du principe de Poali, les éléments exacts
<n | T |n*> tendent vers 0 lorsque n tend vers •» -On v o i t donc, q u e l l e que s o i t l 'approximation u t i l i s é c q u ' i l existe une
valeur H de n a p a r t i r de l a q u e l l e c e t t e approximation ne peut donner satisfaction.
207
CHAPITRE I I
LES ETATS i f - 0*COLLECTIFS : MODELE SIMPLE
Nous avons donné dans le chapitre précédent tous les elements nécessaires â la oonpréhension,dans notre modèle,des états K O très collect i f s e t présentant de plus un couplage f a i b l e avec l e s é t a t s Kr= 2 . Comme dans un cas r é a l i s t e l ' a p p l i c a t i o n des formules exactes peut s 'avérer t r è s longue l e but de ce chapitre e s t de t e s t e r l e s d i f f é r e n t e s approximations en fonction des d i f férents paramètres. Dans ce but, nous avons b i t i un modèle simple» où l e ca l cu l exact ne présente pas de d i f f i c u l t é s «et qui s o i t suffisamment r é a l i s t e pour donner l e s informations l e s plus c a r a c t é r i s t i q u e s .
Nous considérons 2 M p a r t i c u l e s remplissant 2 M niveaux doublement dégénérés , chaque niveau ayant un j d i f f é r e n t . L'écart en énergie entre deux niveaux consécut i f s e s t 2D e t on suppose que l ' i n t e r a c t i o n r é s i d u e l l e e s t de type pairing monopolaire de constante G. Nous ef fectuons l a transformation de Bogoluyhov-Valatin sur ce système e t notre espace de ferraion e s t l ' e space engendré par l e s q u a s i - p a r t i c u l e s a i n s i créées. Bien sûr, i l existe des solutions parasites dues a la non conservation du nombre de particules,nais nous les passons sous silence car ncus désirons seulement étudier i c i la qualité des diffCrentes approches en fonction du caractère
— collectif du phenon. La syjnétrle du problSne implique un potentiel cMrdque X équi-
d i s tan t des couches extrêmes. Nous le prenons comme référence d'éner-
X=0_ m gie X = O. Lorsque l'on rësoud les
équations TDA on se rend compte
v* qu'elles se séparent en deux grou-•*»*• pes complètement disjoints de symétrie différente.
206
Le planter groupe noté I est te l que X 2 M ( . 1 _ i , _ ( 3 w - i ) = X. . ( 1 - 1 , . . . H ) e t l ' équat ion de d i spers ion correspondante e s t
M r 1-1 1/G - £ 2 E, - «I (11,1)
i - 1 L X
Le deuxième groupe noté II est te l que Xgwi.i -(2-+i-i) « - X._. (i»l,...M ) avec l'équation de dispersion
l/G £ e 2 E2 2 [2 E ± - u,]"1 (11,2) i-i
La solution la plus basse de I se situe bien en dessous
du gap 2 A et présente tous les caractères collectifs. La
solution la plus basse de II est voisine de 2& et
n'est jamais collective. Comme l'étude des différentes appro
ximations en fonction de la collectivité est un de nos princi
paux objectifs nous retiendrons dans nos calculs uniquement
La solution collective de I. On varie le caractère collectif
de façon très simple en changeant le rapport i ou 7 n u û
Plus petit est r , plus grande est la collectivité. Comme
nous nous intéressons aux niveaux 0 et que par hypothèse
nos couches individuelles possèdent toutes des jzdifférents,
la matrice X ne possède que les éléments "diagonaux" X m,-m
donc P + " £ Xn. -n1 "m"*--, <"»3) m m'
C'est cette simplicité de la matrice qui rend tous les cal
culs très rapides. Dans des cas plus réalistes les élé
ments "diagonaux" sont toujours prépondérants, ce jui don
ne un sens à ce modèle simple.
II - a - Etude de la norme
Il est facile de se convaincre que les quantités dyna-2K. miques Tr" (X ) valent
Tr (X2£> = M 4 2 £ (X^p) 2* ( I I # 4 )
Considérées comme fonction de t. , ces nombres forment une série alternée. De plus, la condition de normalisation de
l'état P + ! 0> qui est Tr(X2 ) = -2 entraîne que les X
209
EXACTES
ORDRE 2
8 9 10n
FIGURE 1
Normes réduites exactes VL)n et d' ordre deux (<Og pour
quelques valeurs du paramètre de collectivité D/A.Dans ce cas,le
noniire de niveaux êguldistants est 2M=10.
210
sont tous Inférieurs a un, ce qui conduit a la de-
croissance de la série, décroissance d'autant plus rapide que
l'état est plus collectif. Plutôt que d'étudier (Venous
avons préféré, après Holzwarth, prendre le rapport plus parlant
<^ H=&|l k l< k'H • "3" " *' "k a i ' 5 )
™k + k
qui mesure l'écart du phonon (P ) | 0 > par rapport au boson (B +) k10D.
Nous avons fait l'étude de i\K\,)a et de diverses approxi-Ifl (ni D
mations ( W K ! H
e n fonct ion du rapport * e t du nombre de couches 2 M. L'approximation d'ordre 1 ou quasi-boson donne toujours ( >*v)H * ! • L'approximation d'ordre 2 e s t c e l l e suggérée in i t i a l ement par Holzwarth. Sur la f igure [ ljnous avons représenté l a s o l u t i o n exacte e t l 'approximation d'ordre deux pour d i f f é r e n t e s c o l l e c t i v i t é s de l a s o l u t i o n TDA e t 2 M « 10. Nous voyons que lorsque l e nombre de phonons c r o i t , l 'approximation s ' é c a r t e de p lus en plus de la valeur exacte .Toutefois,plus la collectivité est grande,plus l'approximation est bonne,mais ce n'est pas une surprise puisque l'origine de l'approximation réside dans le fait que R, diffuse seulement dans les étnts collectifs et que cela devient de plus en plus vrai lorsque la collectivité augmente. I l est clair égalèrent que lorsque -^ -ilmlnue, l es courbe--, exactes sont de plus en plus étalées;cela signifie que le terme d ' échange de (1,18) e s t de p lus en p lus f a i b l e . Autrement d i t , p lus l a c o l l e c t i v i t é augmente, plus l e phonon se comporte comme un boson. Enfin, nous voyons apparaître un nombre de phonons c r i t i q u e N au-delà duquel l 'approximation perd son sens car l i f ) „ devient négat i f c e qui e s t absurde pour une norme. On peut avoir une idée de ce nombre a p a r t i r de l ' e x p r e s s i o n e x p l i c i t e de < « * £ > H 2 ) .
Tant que l e terme entre crochets r e s t e p o s i t i f l e s normes r e s t e n t p o s i t i v e s , puis ,dës que k a t t e i n t une valeur N qui rend ce terme négat i f , l e s normes o s c i l l e n t al ternativement
r 211
FIGURE 2
ordreJ:guas[-bosoni
Comparaison entre différentes approximations <J>nf^ pour la norma réduite.Les paramètres uti l isés sont D/A« 0.2 e t 2»«10 .Mise en évidence du rorbre critique
7 8 9 10
Valeurs exactes e t approchées des normes (<\)H four l e phononlP ) |0>; les cases sans chiffre représentent la valeur exacte . 2M = 10; D/A = 0.2 .
ncttbre de phonons Exact ordre 2 ordre 3 ordre 4 ordre 5 ordre 6
1 1
2 0.8274 3 0.5562 0.5418
4 0.2979 0.2613 0.3112
5 0.1244 0.8092X1O'1 0.1739 O.H03
6 0.3944X10"1 0.1109X10"1 0.1353 - 0.2252X10-1 0.5764x10"'
7 0.9136X10 -2 -O.3943X10-3 O.1480 - 0.1136 0.1007 - 0.1857xlO_1
8 0.1456xlO~2 0.8186x10"* 0.1946 - 0.1142 0.2054 - 0.1562
9 0.1428X10 -3 -0.3115X10 - 4 0.2965 0.6105X10-1 0.2598 -0.3905
10 0.6504X1O-5 0.1723xlO~4 O.5120 0.4282 0.3204 - O.S465
TABLEAU I
213
entre une valeur négative et une valeur positive. Ainsi, le
paramètre
„ . iroçli = Trjxli ( I I , 7 )
* Tr(X'')
fournit une bonne approximation du nombre critique
N 0 *[n _ 1 ] (H.8)
Lorsque l ' é t a t e s t un é t a t pur 3deux q - p a r t i c u l e s , un X - 1 / 2 1
vaut 2 ' l e s autres va lent O e t n = -s donnent N = 2 +5
(c'est aussi la valeur exacte puisque dans ce cas P |0 > = 0 }
Lorsque l'état est complètement collectif tous les X sont
égaux et n - (2M' conduisant à N_ = 2M (c'est aussi la va-+ 2M4-1 leur exacte car nous avons toujours (P ) |O >*0 ). Existe-
t-il des N pour les autres approximations ? Sur la figuref2 J
nous avons tracé la valeur de ("Ijjj pour plusieurs appro
ximations dans le cas 2 M » 10 et S = 0.2 (collectivité h
moyenne correspondant à un cas réaliste). Nous pouvons tirer plusieurs enseignement» remarquables.
Les approximations d'ordre pair conduisent a des va
leurs de la norme négative, ce qui est absurde. Les approxima
tions d 'ordre impair passent par un minimum puis divergent.
Il est intéressant de noter que les ennuis commencent de fa
çon qualitative pour une valeur unique N du nombre de phonons,
( soit que la norme devienne négative, soit
qu'elle s'écarte de plus de 50% de la valeur exacte). Ce
résultat reste valable quels que soient les paramètres mis en jeu.
Four chaque ensemble de valeurs T- ou M ,il existe un nombre
critique N pour lequel toutes les approximations d'ordre p
avec p <N deviennent erronées. Si p > N les normes sont
exactes jusqu'à Iff puis sont complètement fausses dés
t/fl+1- Le tableau I correspond aux mêmes données que la figure [2]
mais permet une vision plus quantitative de toutes ces choses.
Ces considérations signifient que le principe de Pauli
veut bien se laisser approcher jusqu'à un certain point mais
qu'ensuite il faut mettre le prix. L'origine de ce nombre H
n'est pas clarifiée à l'heure actuelle; il pourrait être
rélië au facteur de coupure d'un schéma SU(6) pour un déve
loppement bosonique. Pour décrire les propriétés physiques
Valeurs exactes e t approchées de <k|H|k'> en Mev. D = 0.2,A =1.0, 2M = 10. Les valours affectées aux cases blanches sont égales â la valeur exacte.
~ > > * " \ k
< k | H | V > ^ V i ^ 1 2 , 4 5 6 7 8 9 10
< k | H n | k > ordre 2 ordre 4 ordre 6
2.390 4.873 7.471 7 .526
10.198 10.530
13.066 14.469 13.446
16.080 22.879
6.637
19.241 -29 .512
15.048 11.796
22.540 8 .608
18.591 16.736
25.971 14.121 15.207 19.504
29.519 17.544 21.329 22.408
< k | H 2 2 | k > ordre 2 ordre 4 ordre 6
-1 .145 -2 .065 -2 .771 -2 ,836
- 3 .267 - 3.639
- 3 .560 - 3.649 - 5.059 -10.630 - 3.277 -11.521
- 3.536 44.918
- 6.835 -10.241
- 3.222 10.273
- 3.936 - 8.604
- 2.707 8.553
-29.535 - 8.833
- 2.001 9.243
-12.816 - 8.913
< klH^lk > ordre 2 ordre 4 onîre 6
1.245 2.606 4.700 4.690
6.931 6.891
9.507 9.410
10.169
12.431 12.248
- 4.883
15.704 15.405 8.212 1.555
19.318 18.881 14.655 8.131
23.264 22.675
-14.328 10.670
27.518 26.788
8.513 13.495
< k | H 4 0 | k - 2 > ordre 2 ordre 4 ordre 6
0 . 0.807 1.253 1.131
1.568 1.221
1.762 1.084 1.914
1.836 0.708
*
1.788 * * *
1.614 0.403
- 5.166 *
1.309 - 1.498
#• 0.035
0.858 2.730
* -1.295
TABLEAU I I
n
215
d'un système de fermions dans un espace de bosons possédant
la symétrie SU(6), il n'est pas fondé de considérer un espace
qui contient plus de N bosons. Le rapport avec SU(6) dans
notre cas vient peut-être du fait que nous n'avons jamais
considéré plus de 2 M = 20 niveaux . Quoiqu'il en soit, il est
nécessaire d'avoir une idée de N avant d'entreprendre des
calculs dynamiques. L'estimation (11,8) est assez bonne pour
cela. Pour k < N les approximations d'ordre pair sont situées
en-dessous de la valeur exacte, alors que le contraire est
vrai pour les approximations d'ordre impair. Cela provient du 2»
fait que Tr (X ) est une série alternée. Ces termes alternés
assurent aussi la convergence du reste de la norme
alors que l'expression approchée £f Tr U * - ) ^
lk-p+1) Tr (X p) •'V-D n e c o n v e r 9 e P a s lorsque k croît et conduit aux ennuis déjà évoqués.
L'ordre des approximations â utiliser dans un calcul
réaliste dépend de ce qu1 on cherche. Si le phonon est très
collectif et si nous désirons une approximation d'ensemble
pour les normes tfl. 1 * apt "..imation d'ordre 2 est certaine
ment la meilleure. Si le phonon est peu collectif et si nous
avons besoin d'une bonne précision sur les t*. avec de fai
bles k(c'est le cas dans les B E) il est alors préférable
d'utiliser une formule plus sophistiquée.
II - D - Etude dynamique dans l'espace de fermions
Nous avons calculé les différents éléments de matrice
<k I H |k'> ainsi que plusieurs approximations. Dans le tableau u
nous avons résumé les résultats obtenus dans le cas 2M = 10
et D = 0.2 MeV / 4 = 1 MeV. Avec ces paramètres N est égal â
6 et te tableau peut être divisé en deux régions : k < H et
kàN . Dans le cadre de ce petit modèle, les symétries sont tel
les que l'on a toujours <k + 1 |H 3 1|k^= o, aussi nous avons
calculé seulement les éléments de matrice H,.,H.,,
HTDA = Hll + H22 e t H40' E n c e q u i c o n c e r n e l e s approximations d'ordre 2 p nous avons appliqué les formules données au chapitre précédent â la différence toutefois que les L' au
216
E
6.
5.5-
35
3.
1.5 «F
.N
FIGURE 3
Etude de la convergence en énergie des trois premiers niveaux
excités en fonction de la dimension H4-1 de la base de diagonalisation.
Plusieures approximations dans 1* espace de fermions sont reportées,
lies paramètres des calculs sont D/A = 0.3 et 2M=8 .L' énergie est
en unités de D.
217
lieu d'être approchés de façon cohérente, ont été calculés
exactement (cette modification est plutôt mineure et ne modi
fie pas les conclusions). Pour certaines approximations la
norme Jlfi , devient négative et par conséquent le facteur
I 1/2
+ 2 > ^ k 2 P ' J d e < K + 2 ! H 4 o ' k > P e r d s o n s e n s - D a n s c e
cas, nous avons marqué la case par un astérisque . Nous remar
quons que les approximations sont d'autant meilleures que leur
ordre est élevé tant que le nombre de phonon n'excède
pas N • Ensuite, toutes sont également erronées. Même du
point de vue dynamique, N joue un r61e important mais il ne
faut pas perdre de vue que les normes interviennent directe
ment dans le calcul des éléments de matrice et ceci implique
cela. Il y a tout de même une exception de taille; bien que
< k | H. ,| k -> ( 2 ) et< k | H,, j k > ( 2 ) soient séparément fausses (21
pour k > N , leur somme < k | H_D.| k > est remarquable
ment bonne quel que soit k. Ce phénomène n'est vrai que pour
la seconde approximation. Nous n'avons pas d'explication défi
nitive de ce comportement mais il est probablement dû a la
symétrie particulière de notre modèle. Dans tous les cas,
l'accord avec la valeur exacte est d* autant r.eilleur que la
collectivité est grande.
Occupons nous maintenant de diagonaliser la matrice H
ainsi obtenue. La figuref3J montre le spectre des trois
premiers niveaux excités lorsqu'on augmente la dimension de
la matrice. On voit que la stabilité est obtenue d'autant
plus vite que l'état est bas en énergie. Dans ce cas, nous
avons pris 2M = 8 et D/A = 0.3,pour accentuer la différence
entre les diverses approximations. Comme c'était le cas pour
les éléments de matrice, la précision est d'autant meilleure
que l'ordre et la collectivité sont plus forts.
Néanmoins, il convient de souligner un point important qui ne
figure pas sur la courbe. Lorsque la dimension de la base est
supérieure â N c, il apparaît des états dangereux dans la
4ème et la 6ème approximation; ces états
sont composés surtout d'un grand nombre de phonons (et
devraient donc être d'énergie élevée) et,de fait,doaeonc2cnt
K
Spectres obtenus car diagonalisation dans deux escaces différents et pour 2 valeurs extraies de D-'A ici 2H = 6
Etats
rentre de phonons
Espace collectif 3 ^ , esoace couplet CPT Etats
rentre de phonons "ira H BPA
H I4l» "RPA H
1
D/7KJ.1 2
3
4
5
6
1.0497
2.4483
4.195
6.289
8.729
11.512
0.955
2.547
4.467
6.674
9.127
11.796
0.955
2.547
4.467
6.674
9.127
11.796
1.0497
2.4478
4.194
6.288
8.728
11.512
0.956
2.549
4.469
6.677
9.131
11.800
0.924
2.521
4.428
6.718
9.406
12.470
1
2
3
D/VO.5 4
. 5
6
1.3505
3.3515
6.351
10.086
14.689
19.842
1.266
3.503
6.668
10.503
15.134
20.177
1.266
3.503
6.668
1O.503
15.134
20.177
1.3505
3.281
6.238
9.636
14.614
19.842
1.317
3.561
6.736
10.206
15.279
20.434
1.085
2.981
6.468
10.377
16.246
22.232
TABI£AU III
i i
r très bas en énergie,au point de devenir parfois le fondamental.
Ce genre d'intrus n'apparaît pas dans la seconde approxima
tion ce qui est compréhensible car ces états proviennent
essentiellement d' un mauvais conditionnement de
la matrice : pour la seconde approximatioijUj^.qui constitue la
partie prépondérante de l'Hamiltonien, ne présente pas d'en
nuis sérieux. Ajoutons que nous avons fixé arbitrairement
â zéro les éléments incalculables de H,Q (cases marquées
d ' un astërisTue ). Dans la figure F 3 1 nous avons éliminé ces
états non désirables.
Nous avions introduit l'espace 3" c engendré par tous les
états collectifs |k > de façon 3 prendre «n compte la majeure
partie de l'information physique tout en évitant de trop
grosses matrices. Cette simplification néglige évidemment
le couplage entre les degrés de liberté collectifs et non col
lectifs. Nous avons voulu étudier cet effet dans cet modèle
simple où cela est possible. Dans ce but, nous avons considé
ré aussi l'espace j'T(dont j'_ est un aoua-espace] engendré
par les états de séniorité zéro
|m1m2...mk> - „* 0_^ ^ a!^..*^ a X n J 0 > '
La dimension iejf est 2^" alors que celle de wP est seu
lement 2M+1. Pour rendre la comparaison plus claire il est
indispensable de retenir- parmi tous les états propres dans
y - ceux dont le recouvrement avec les états de J*_ est
le plus proche de l'unité. La différence en énergie entre
deux états correspondants représente les effets du couplage
entre les phonons collectifs et non collectifs. Le tableau III
exhibe cet effet ainsi que la contribution de chaque partie
de l'Hamiltonien dans deux cas extrêmes de collectivité
- = 0.1 et — = 0.5 ,pour un modèle â 2 M = 6. On voit sur A A
le spectre complet que l'influence de H., est d'abaisser le
premier état et de remonter les autres; l'effet de H,, est
faible sur les états â peu de phonons mais il prend de l'im
portance sur les états d'énergie élevée. L'effet de H,, est
moindre que celui de H. sur les états très collectifs, par
contre, il devient prépondérant dans le cas contraire. Comme
Hemes calculs que le tableau limais dans l'espace de bosonS
^ - s . k aslHik'a^v^
1 2 3 4 5 G 7 8 9 10
C M C l^ 4 )
1.245 2.808 4.700
4.691
6.931
6.891
9.507
9 .410
9.506
12.431
12.248
12.431
15.704
15.405
15.711
19.318
18.881
19.347
23.264
22.675
23.339
27.518
26.788
27.686
Ck |H^ |k-2 3
£k|H*0 |k- 2J 2>
« k ^ |k-2|>4)
0 0.807 1.252
1.397
1.568
1.976
1.762
2.551
1.764
1.836
3.124
1.814
1.788
3.697
1.804
1.614
4.269
1.652
1.309
4.841
1.387
0.858
5.412
1.010
TABLEAU IV
221
dans J? la contribution de H., est nulle pour des raisons
de symétrie inhérentes au problème, il vaut mieux comparer
H„„. = H__, + H,,, dans les deux espaces. Pour D/t =0.) la RPA TDA 40 troncature de la base n'a pratiquement aucune Influence sur
les états collectifs, le couplage entre les branches collec
tives et non collectives étant de l'ordre de 10 . Pour
D'i s o.5, la base tronquée reste néanmoins très raisonnable
puisque le couplage est de l'ordre d'une dizaine de pour
cent. Toutefois, il ne faudrait pas se hâter de conclure que
les mènes ordres de grandeur s'appliquent dans un cas plus
réaliste : la svmttrie simplificatrice n'existe plus et
les états parasites (dûs à la non conservation du nombre de
particules) sont probablement plus cachés. La majeure partie
de l'interaction est contenue dans H_ D f t et ceci explique que
le. choix d'un phonon TOA soit un bon point de départ. Il est évident qu'a cause du principe de Pauli, le spectre
n'est plus harmonique. Notons que l'énergie u-n est tou-+ 2
jours supérieure à 2 « ce qui est contraire & la situation expérimentale. Cela suggère qu'il soit nécessaire d'adopter
un autre type de force dans ce cas (quadrupole -quadrupole,
pairinq quadruBOlaire).
L'étude de ce modèle a permis de montrer que dans certai
nes circonstances la diagonalisation de H dans une base res
treinte aux états collectifs donne une bonne description des
niveaux collectifs les plus bas en énergie. II - c - Etude dynamique dans l'espace de bosons
Nous avons vu que les diverses approximations étudiées
précédemment, excepté peut-être la seconde,présente des mau
vais comportements des que k > N . Nous espérons tourner cette
difficulté en travaillant dans un espace de bosons collectifs
*» . Dans ce cas, l'approximation d'ordre 2 p (qui donne B B
exactementck |H |k'D jusqu'à (2p |H |p') est un développe
ment d'ordre 4p en termes d'opérateurs de bosons en ce sens
que l'Hamiltonien contient des opérateurs de bosons jusqu'à
(B +) 2 p(B 2 p). Là, nous n'étudions que H^ 2 > et H^ 4 >. Le tableau
IV est l'analogue exact du tableau II . Tous les paramètres
222
FIGURE 4
Etude du spectre pour différentes approximations traitées dans
le texte.L' énergie est en unité de D et les paramètres utilises
sont D/A = 0.3 et 2M-6 .
A : Oiagonalisation dans 1' espace complet 3^ des q-parti< >iles.
B : Diaqonalisation dans 1' espace collectif { T des q-p.
C s Approximation d* ordre deux dans Vl. D : Diagonalisation dans 1' espace collectif Ja, des bosons.
Approximation d' ordre 2.Dimension de 1' espace 2MH.
E s Identique â D avec une dimension N c.
F : Identique à D avec 1' approximation d' ordre 4.
G : Identique 3 E avec 1' approximation d' ordre 4.
223
sont identiques. Le premier point à noter c'est qu'il n'existe
pas de discontinuité formelle pour k - N . De plus
Ck | H^ k 3 < 2 ) est rigoureusement égal a<k | H | k > < 2 ) pour des
raisons qui ne nous sont pas claires mais qui sont a rapprocher
du bon comportement de cette approximation.
Par contre ck | H^ Jc-23 ' est raisonnable jusqu'à k » 6 puis
diverge de plus en plus. Par contre, l'approximation d'ordre 4
est excellente puisque ck |H | kD est exact à 10 quel
que soit k etck |H | k-2 3est exact î moins de 20%. En particulier, le maximum observé pour la valeur exacte <k| H| k-2 >
2 k = 6 est très bien reproduit dans le cadre de cette appro
ximation. En ce sens le développement bosonique est rapidement
convergent et bien mieux adapté pour les calculs nécessitant
d'aller au-delà de la seconde approximation.
Toutes ces sortes d'approximations sont résumées sur
la figure synoptique [<11 . On peut tirer quelques conclusions.
La seconde approximation est plus valable dans 3? que dans
,ft ; de plus pour obtenir un spectre correct dans J9 il est
nécessaire de diagonaliser H ( 'dans un espace contenant moins de
N c boson* (comparer les spectres D et E i A). Cela justifie
en partie l'interprétation de N c comme facteur de coupure d'un
schéma SU(6). L'approximation d'ordre 4 est sans aucune doute
meilleure dans l'espace des.bosonsque dans l'espace des fer
mions.La méthode du développement de Marumori modifié est
très convergente dans Jo_. Cela suggère que l'approximation
d'ordre 3 que nous n'avons pas considérée ici, car elle n'a
pas d'équivalent dans £Jf_.est suffisante pour donner une bon
ne description des propriétés collectives.
224
CHAPITRE III
CAS REALISTES
HI - a Choix du modèle
Le modèle académique décrit dans le précédent chapitre nous a
permis, â peu de frais, de nous faire une idée générale de l'ap
plicabilité de la théorie, de tirer des premières conclusions
quant aux diverses approximations envisageables et de vérifier
le comportement des observables vis â vis des divers paramètres
à notre disposition. Trois conclusions importantes émergeaient de
cette étude :
- k'anharmonicité des états se traduisait toujours par le
fait que l'énergie du deuxième état excité E(0,) était
supérieure â deux fois l'énergie du premier état excité E(0.)
E<0*> > 2 E<0*)
Cette tendance était générale quels que soient les paramètres
utilisés. Notons que cet état de fait est contraire aux observa
tions expérimentales de la région des terres rares.
- Les diverses approximations mettaient en évidence l'exis
tence d'un nombre de phonons critiques N . Pour les approxima
tions dans l'espace des fermions, N apparaissait comme une
coupure dans le "bon comportement" des normes jf? et des élé
ments de matrice <k |H |k'> . En ce qui concerne les approxima
tions bosoniques, N c était plutôt la dimension "optimale" de
l'espace de diagonalisation.
- Dans le cadre de certaines approximations, des états
"dangereux" ou "indésirables" comportant un grand nombre de pho
nons se manifestaient dans la partie basse du spectre. Ces états
étaient systématiquement exclus de notre étude.
225
Le modèle souffrait néanmoins de trois caractéristiques
simplificatrices : une seule espèce de particules interagissant
par une force de pairing pur, une symétrie telle que la partie
H,, de l'Hamilconlen est identiquement nulle. Le but de ce
chapitre est de se libérer de ces trois contraintes afin de
voir si les conclusions précédentes restent valables et si
l'accord avec l'expérience nécessite des développements plus
poussés ou non.
Nous considérons ici un système composé de neutrons et
de protons se déplaçant dans un champ moyen déformé de type
Nilsson et interagissant grSce à une force de courte portée
de type pairing et une force de longue portée de type quadru-
pole-quadrupole
H H s P
+ t * HQ0
avec " » p -
o , n , *
C o n + on c l on OÙ
"00= - Ï O - Q
ti L TT
= rl
(III.1)
(X est en unité énergie x longueur . Nous utiliserons abusive
ment la notation y P°ur la quantité réduite x(- -l que mu
nous exprimerons en Mev). Dans ces formules, l'indice u se réferre à l'espèce de particules et les opérateurs L et Q
sont liés aux excitations de pairing (transfert de deux nu
cléons identiques) et multipolaires (résonances géantes).
, + = Y " c'+ cir+ T i-J vn -n (111,2)
* n,0n,o'n'
+ ï 2 0| o'n-„ > c;
Ce type d'Hamiltonien décrit assez bien les données expérimen
tales . Il est d'un usage courant dans l'étude des noyaux dé
formés. Pour tenir compte correctement des corrélations de
paires, il est nécessaire d'introduire la transformation de
226
Bogolyubov-Valatin définie dans l'introduction de cette partie. La fonction d'onde BCS | 0 > ou vide de quasi-particules (o |0 > « O) n'est plus fonction propre du nombre de particules et la méthode classique pour retrouver en moyenne un bon nombre de particules consiste à introduire un multiplicateur de Lagrange A (potentiel cbimique) associe à l'opérateur nombre de particules.
on A
On minimise alors la fonctionnelle < o| H- V>. (J 10 > avec fm^ 11 71 '
la contra inte <0 | NT |0 > = Kv . Les équations obtenues s ' appe l l en t équations BCS. Avant de l e s é c r i r e i l e s t instruct i f de t ranscr ire l 'Hamiltonien en termes de q u a s i - p a r t i c u l e s . Etant donné que
C C K v + (u -v )a a +o u v (a a +a a ï on nn n n n 'cm on n n an -on -an Jnn
L ï ï
+ = L^fO) • L f f (U> + Lïï
+(20) - 2 k < -S»» v > V n O '
+ 2 ^ t a n a n a - n vn «-„ a rj n (111,4)
Q„ = O, (O) + 0,(11) + Q, (20) = ^ v*?<p n;n|r 2 Y20Jjn;Tr> vn
<rn, ff'n _ , + +
on, 3 n 1
•w a a • •)
où 9„„. = u* u \ - v" v \ ; if . nn' n n' n n im'
il suffit de remplacer ces opérateurs dans l'expression (111,1) de l'Hamiltonien pour obtenir la relation cherchée .
H " £ * A = Hoo+ H„ + B 2 0 + H 2 2 + H 3 1 + H (111,5)
221
Dans cette façon d'écrire H,. désigne la partie de H conte
nant i opérateurs a+ et j opérateurs a ainsi que sa partie
hermitique conjuguée. Le théorème de Thouless fTh 60 J
nous enseigne que la minimisation de H Q 0 est équivalente à
l'annulation de H, Q
S HÛ0 = ° ** H20 " °
Dans notre cas précis, la transformation de EV spéciale
introduite précédemment ne permet pas de réaliser ce théorème!
il est nécessaire d'introduire une transformation de BV géné
rale. Plutôt que de compliquer démesurément la théorie, on
préfère en général conserver la transformation spéciale mais
n'appliquer la procédure de minimisation qu'a la partie
H + H., de l'Hamiltonien. On peut justifier de façon qualita
tive cette façon d'agir. La déformation du champ moyen pro
vient en fait de l'effet de la force 0-0 sur les particules.
Les parties (HQ Q),, et (HQQIOQ n e s o n t ° i u , u n e renormalisa
tion du champ moyen; on suppose que les energies c et les
orbites C |0 > contiennent déjà l'effet de ces renormalisa
tions (une procédure Hartree-Fock -Bogolyubov réaliserait
exactement ces conditions). On suppose donc que les valeurs
empiriques du champ moyen contiennent déjà les effets renor-
malisateurs de la force 3 longue portée; il est par consé
quent interdit de les faire apparaître â nouveau dans l'Hamil
tonien.
En clair , cela veut dire qu'il est nécessaire d'annuler
la partie Q„(0) de l'opérateur Q T . Moyennant ces conditions,
l'Hamiltonien prend la forme (III,S) avec
( 0 ) 2 H00 - S vn << -*'» - I X \ an, ii T P
H i l " E (En~^> { u n 2 ' V n 2 , C "on " T. % V ° > V " > an,-a (111,6)
«20 " S 2le>M < < [ ^ a~n + < °"n] " 5 X L» < °»K"°»*H
228
H 40 + H22 " - £ G * L , 2 ( U ) Ç G * V 2 0 1 V 2 0 » " ! « « » - t « ( 2 0 > 2
H 3 1 = - / , G J L * (20) 1, (11) +L„(1D V 2 0 ) ] - | [Q(20)Q(11)-K!(11)Q(20)J
Cette formulation e s t c e l l e de Hôgaasen-Feldman T H8 61 1 I l e s t â noter que l 'Hamlltonien n ' e s t pas sous forme normale Néanmoins, c e t t e écr i ture se révélera t r è s pratique dans c e r ta ins c a s . Le théorème de Thouless e s t s a t i s f a i t dans ce cas e t l e s condi t ions de minimisation - ou équation BCS - s ' é c r i v e n t
E n
ir n n a v e c 4_ » G_ > . u* v '
TT TT ^^^ n n n
H 2 0 vaut zéro e t H u devient H u - E B* a £ «* n
^n Une procédure plus rigoureuse consiste â mettre H sous forme
normale et a faire la minimisation seulement a la fin. Nous
obtenons alors la formulation de Belyaev j Be 5 9 1
les équations BCS sont tout â fait identiques â celles écrites
plus haut avec toutefois une nouvelle définition de e* â
savoir
r„* =£* -x„ -G v» 2
n n ir n
Nous donnons la transcription de l'Hamlltonien simplement pour
mémoire + n
i7, on u " •FT, on
/PI K"* 2 _ + + + + I P ' s X 1" M 7 1" u ï ï 1~ ' I T 7T TT TT .L TT TT TT TM H 4 0 4 - » J GTT u n v n ' K «-n a n' » - n ' h<*-n'<* S' <*-£ <*+£
U(P) _ 1 7 r - _ 1 r ,*. r n + + i r + ir , i r + i T i t irT H 31 " 2 . A - î - n - » 9 « n f n n " Lan a - n V n ' V n ' H V n ' V n ' a - n c l nj
2 2 9
(P) X T ' - , i t 2 IT . IT it . it* ir + tt i H ' = - 7 G (u u_i + v v ,)a a a , a • "22 Z_/ i' n Tr»' n n " n -n -n* n' rt,n,n'
(111,6)
„ (P) . 1 > _ -11 , It It 4 - Tt+ It Tt «22 " " 7 ^ , , GTt fnn fn*n' "o n V n ' V n ' a on
H i r f = " * £ «* fnn- ' « • < " ' « ' ^ l r 2 ^ l ™ ; , > * i t .n ' .on.a 'n ' + + + +
* * < » • • • <ow„.|A a o|«-'»[^ l («4 r f . pV «g.
^ * • it ' it it 1
« I f ' - f S 0 f™' £ • <•• n-H Ajol-w. » x , , , , i 2 , i t f " it it' it ' it,it',on o'n'
an, p'm'
. I t ' I t ' 7f Tf I + a „ a J , , a__ ot i_il pm pm' -on j ' n ' J
H 22 4 n,it",an,o'n' r IT" rm rt'n*
, I • i I 2 , , I , It If Tt' I t ' <p'm57T* r"Y„Jpm;ir'> oi 1 %,,a a _ , . , a / i jQif / *- o n -on " p u pn
22 2 ^ ^ nn ran ' 20' tr . i T i n n _rf ' » ' iTfTr'ionfa'n' pm pm1
<p'm', it , |r 2Y 2 nlpm;7r > <A , o ' ! , </" c? ^u o n p m pm an
Nous avons vo lon ta i rement sépa ré l e s p a r t i e s provenant de H p
e t c e l l e s provenant de H--.. Nous avons également d i s j o i n t
J
230
TABLEAU V
Noyau E(oJ> E(0*) Ap *n
64 C d90 680.64 1214.6 1020. 1110.
68Kr96 1246. 1698-1766. 2172. 2185.
900. 940.
70Yb102 1042.9 1404-1794. IR96.
830. 700.
182 U 74 108 1137. 2239.S 830- 660.
Energies expérimentales et valeurs des gaps pour les noyaux étudiés dans cette partie. Pour Er et T b l'état â deux pho-nons n'est pas déterminé de façon certaine. Nous avons fait figurer les candidats possibles.
231
deux contributions dans H,,. Le terme H-, est pris en compte
dans un traitement TDA ou RPA alors que le terme H-, est systé
matiquement négligé : ce dernier n'est pas un opérateur "natu
rel" car les opérateurs ci a ne sont pas forcément couplés â
K = 0; de plus, il est nécessaire de l'éliminer pour trouver
l'état parasite â énergie zéro dans le cadre de la RPA.
Nous avons restreint notre étude â quatre noyaux spécifi
ques qui donnent une idée d'ensemble pour la région des terres 1QJ 1 fi A 1 *79 1 ft?
rares s Gd, Er, Yb, et Wj ces noyaux ont des densi
tés de niveaux individuels autour de la mer de Ferrai très
variées et les gaps de pairing sont ausci diversifés. De plus,
les énergies des premiers niveaux collectifs 0 varient considé
rablement d'un noyau 3 l'autre et les caractères anharmoniques
sont plus ou moins marqués. Nous avons résumé ces différentes
données sur le tableau V . Les paramètres de Nilsson utilisés sont ceux de Lamm
[La 69 J ; la déformation a été fixée uniformément â c , « 0.25 qui est une valeur moyenne raisonnable et les élé-* 2
ments de matrice de l'opérateur r Y, 0 sur une base déformée
ont été calculés d'après les prescriptions de Boisson et
Piepenbring T B O 71 j . Les intensités des forces de pairing
G sont extraites des équations BCS où les gaps expérimentaux
sont introduits comme données. Nous avons fait tous nos calculs
avec 30 niveaux actifs ; 15 en dessus de la mer de Fermi et 15
en dessous ce qui constitue un choix acceptable. L'intensité
de la force quadrupole-quadrupole x est gardée comme paramètre
libre. Toutefois, ce domaine de variation de x est restreint
à des valeurs qui donnent des énergies TDA collectives proches
des énergies des premiers niveaux observés. Le but de ce chapitre est double:
- Etude détaillée des états O dans le cadre de la méthode
des multiphonons exposée précédemment. Ce traitement est exact
dans le sens où le principe de Pauli est entièrement respecté.
Nous nous attacherons plus particulièrement aux positions rela
tives des deux premiers niveaux excités. De plus, ce cas servi
ra de référence pour diverses approximations.
232
- Test et applicabilité de deux méthodes de développements
bosoniques en vogue actuellement pour l'étude de ce genre de
problême. Dans ces deux méthodes, â savoir Marumori modifiée
[LI 75 1 et Kishimoto et Tamura [KI 72.76 1- le
principe de Pauli eat partiellement violé.
Nous allons étudier ces trois approches l'une après l'autre
en supposant que les fluctuations sur le nombre de particules
introduisent des effets analogues dans ces différents cas.
I I I - b Diagonalisation "exacte" dans l'espace collectif
L'opérateur qui crée le phonon col lect i f couplé à K = o s ' é c r i t :
P = 2 ;£-?, (**' „„. """h ° " <"»' (111,9)
avec fi = Sî , où U est le nombre quantique correspondant
a la projection j sur l'axe de symécrie du noyau.
On impose seulement & la matrice X de donner une "certaine
collectivité au phonon P , de vérifier Les relations d'anti-
symêtrie (X„) » - (X„) et les relations de on,"On' "on',on
normalisation E <X,) 2 > 2 _ _ _ „• on,-on'
En pratique, nous choisirons toujours la matrice X comme
résultant de la résolution d'une équation TDA. La cohérence
veut que l'on choisisse pour X la solution TDA obtenue avec
l'Hamiltonien original. En fait, la théorie est beaucoup plus
générale; nous aurons l'occasion d'utiliser les amplitudes X TDA calculées 3 l'aide d'un Hamiltonien H<X ) alors que nous dia-
II gonaliserons un Hamiltonien H (x ) . Nous reviendrons sur ce point dans les exemples concrets.
Nantis de (111,9) nous pouvons appliquer la théorie dévelop
pée dans le premier chapitre. On prendra soin toutefois de rem
placer partout (X1) par (X4 ) S et de sommer sur les mn r
TT . mn n v TT deux espèces de particules. m m n
Avant d'expliciter les divers éléments de matrice, il
convient d'introduire des quantités dynamiques qui serviront à
r 233
plusieurs reprises .
n net) - 2 ES «* >0 n # 0 i i
"2X ,M) = y U « , x 2*- l V2 X La „ 2 it n,-n
n v n
2 _ 2 U»C<p,q,»> = £ £ £ ( ^ , n f . n . O ^ , , ,
n,n'
wte,,) - £ < v* « f > o l l f ( J l l (iii.io) a,n
Ml<p.q,.> - | £ ^ . ^ «?>,„. ( ^ l ) . n / n . n,n'
P22<p.q„> - g (u* 2 u", 2
+ v ; 2 ^ 2 ) ( ^ ) m , flÇ*I, _ n _ n >
o,n,n*
Q40W = J2 Q40<l.ir) - ± £ ° f m ' < « ' i « | A a o l o n « » < O o „ -
I.
' - o n ' , "n
, -on IlsOn,!! 1
Q4OC(p,q>^Q40C<p,q, 1r) = ± ^ <rp r"^, < o n , ; i i | r 2 ï a o | o n ; ir 7t,on,n'
pm,ra' <P
( X 2 9 - 1 )
v >x • ! • • JIMU ^ U '
7t,an,n' pnwn1 _ ^ ^
< p m , ; i r | r T f - r . l p m f i r > ( X * " 1 ) ,
2 0 " ^ ' ir 'an',-pm
234
Q31C(p,q) - 2 031C(p,q,it) « V ° fnn' ^ "irni1
iT/Onn «turn
<o n';ir|r 2 v
2 o l o n j 1 , > < ^ ' ! * , r \ > l ' ^ ' n : < X n P , o n , , < * i ( > * Ï—«
'«*" " -on.p*-
Q22C(p.q) - £ Q22C<p,q,*) « - ± £ op ' f j^ . « ^ . « m ' l i r l r ^ l o n n ^ IT n.onn', pirn'
< p « * > w | r 2 ^ 0 | ( a n i > < 5 C * W , - p m ' < x 2 q W p m
Q22I(p,q). £Q22I(p,q,ii> " " S 9nn' 3 J,»' <on'|r2V2olonii. > Tr^n'tt'ipnm'
^ ' " l ^ ^ ^ ^ ^ ' o n ' ^ ' ^ ' ^ n
Q22P(p,q) - y^ Q22P(p,q,Tt) « ^ g j ^ , g j ^ , < a n ' ; i r | r a i r 2 o l o n s " *
ir irtcmn'fpam'
<p • • w l A j p » . >!-?>„. # p B O^p..^,
Le lecteur courageux qui a pu avaler cette longue liste de formu
les peut et doit s'arrêter un moment, reprendre un second souf
fle pour continuer le banquet. Au menu, les valeurs des normes
et des éléments de matrice de l'Hamiltonien
Normes réduites
k-1
^k = 4-1 - S SFU+1) tf. , 1=1 K l 1
r 235
<klHlk> k
</([ <k|Hn|k>- - 2 S i m ) ^k-t 1-1
I t - * 1
- i^<k |H 2 2
( P , | k> « 2 Z l*k-R-lfc < v [ u 2 x « m ' 1 , » 0 2 x ( 1 ' , r ) * V 2 x W + 1 ' , , > V 2 x ( 1 ^
[k/2]
/ A - ^ J y i Gff fu2X(l,ii)U2X<l+l,7r)+V2X{l,ir) \'2X(e+l,-ir)+P22(£,Z,iT)J| +
1=1 ' n
[¥] «-* +
l«l j*>
+V2X(i+j+l,u) V2X(1+1.TT) 4U2X(l,n)U2X(l+j+2,ir)-W2X(£,ii) V2X(l+j+2,fl)
+P22(i+j+l,l,7r)+P22tt,«+j«,ir)]>
k-1
L 2 J "
2 Zrf^l- l - j jÇ 0 * [œx<t+J*l'"> IW(«*1.«)
[k/2] + £ ^ k - 2 ê | £ Gir [P22<a»*+l»*)-P22P<l,l,ii)-KJV<l,ir)2]>
[ ^ i ] k-21-1
^ ] / A _ 2 1 - l - i j £ G n [»22I(*tlH.Ml.«)-t»22I(».l+j+2,»)
1=1 jK)
-2 P22P(£+j+l,l,ir) +2 tW(l+j+l,ir)OV(t,ir)jJ
r 236
-<^<k|H^'|k>- x ¥ J < ^ M jjMOU) Q40(fcH)]
0/2] + x 2 ^fc-2 i f 0 4 0 ' 1 ' <> 4 0 < t + l> + Q22C<*»*)]
J-l
[*=i] k-2i-i + X i C S ^ 2 ^ - 1 - 1 [0 4 o « i l + 1 + 3' Q«0(M-«-iQ«D(O Q40U+2+J)
J-l 3=0
•f022C ( «+1+j,« ) -KK2C (i ^ + l+j )J
k-1 -
-<^k|H^» ' |k> - \ 2 V H Q 2 2 I « 1 + »-»
[k/2] + 2 Z ) "C-24 [Q22I«.W-1)-Q22P(1,1) + 031 W 2 ]
«•1
[JEi] « ^ | ^ » J* (^.2t_l.j[Q22I(t+l+J.t+l)'HJ22I<t.i+2+j)
t - l yC
-2 Q22PU+l+j,Jl)+2Q3î(*.+l+j) Q31tt)J (111,11)
k+2lHlk >
Ml
•KWX(î+l,i+l,iê|J+Y' 2 J£-1_a_jEGlir02XU+j+2»ir)V2XU+lfir)
}Wj+2,TT)]|
j-o
+V2X(A+l,ir)V2X(l+j+2,T) •HNXtt+j+2,J!.+l,iT) -HJVXU+l
237
K+2 ^ J 1 7 2 « « • • S 8 ' k > " 2 ££ t^.2)lfî4o(wn2+2xQ4oc(i+i.mi|
g ] k-1-2* y * 5 ^ <^k-l-2i-j [Q4O(4+j+2)Q4O(t+l)+2C40CU+j+2,4+l)J + X
<k+llHlk>
[fcrt]
4-1 +2 P31 (
M k-21 . + X S «l •» * ) 2 6.fwU,n)(u2XU+j+l,ii)-V2X(J.+j+l,ii))
+ UV(!*j+l,n) (ÎBXU.IT) - V2X (!•,*>)
+2 P31 (J*j+l,fc,n) +2 P31 <!,î+j+l,it)J
c Sr ]
JKT+I JT k l1 / 2 <"+lIHJ? 0 * |k> - | £ ^ + j _ 2 £ [ « W W Q31 U)+2Q31CU,2)]
[k/2j k-2*
+ * S W w L _ . . T2 Q40a+Uj)C31(t)+2 04O(»)031 U+l+j)
+2 Q31C(l+l+j,l)+2 Q31COM+l,j)J
On obtient l e s é t a t s propres de H en d lagona l l sant c e t t e matrice jusqu'à une valeur maximum du nombre de phonons. Nous avons t e s t é la s t a b i l i t é des t r o i s valeurs propres l e s plus basses en é l a r g i s s a n t la base uni té par u n i t é . I l s 'avère q u ' i l n ' e s t pas u t i l e de dépasser une base comprenant plus de 10 phonons, dans l e s exemples t r a i t é s .
P lus ieurs conclusions générales peuvent ê t r e t i r é e s de c e t te étude .
, 5 4 Gd X ™ - X M - 0.035 Tr(X*) - 0 . 1 1 5
k 1 2 3 4 5 j 6 t
7 8 9
(k| l l |k) ( 2 )
(k|H|k) ( 3 )
(k |H|H ( 4 >
<k|H|k>
0.6596
0.6596
0.6596
0.6596
1.595
1.595
1.595
1.595
0,2110
t i . î i t û
0.2110
0.2110
2.806
2.785
2.785
2.785
0.5169
0 .48U
0.4810
0.4810
4.293
4.209
4.215
4.215
0.8953
0.7708
0.7709
0.7709
6.056 | 8.094
5.846 ' 7.675
5.877 7.766
5.878 i 7.771
10.41
9.675
9.889
9.897
13.00
11.82
12.25
12.25
15.86
14.10
14.R7
14.85
( k | H | k - 1 ) < 2 )
< k | n | k - l ) ( 3 )
< k | H | k - l ) < 4 )
<k|H|k-l>
0.
0.
0.
0.
1.595
1.595
1.595
1.595
0,2110
t i . î i t û
0.2110
0.2110
2.806
2.785
2.785
2.785
0.5169
0 .48U
0.4810
0.4810
4.293
4.209
4.215
4.215
0.8953
0.7708
0.7709
0.7709
1.335
1.056
1.057
1.061
1.827
1.319
1.321
1.340
2.363
1.545
1.549
1.599
2.954
1.721
1.728
1.832
3.581
1.838
1.850
2.032
<k |H|k -2 ) C 2 )
( k | H | k - 2 ) ( 3 )
( k | H | k - 2 ) ( 4 >
<k|H|k-2>
•0.1724
-0.1724
-0.1724
-0.1724
-0.2985
-0.1754
-0.1754
-0.1754
-0.4222
-0.0738
-0.0985
-0.0985
-0.5451
0.1296
0.0341
0.0384
•0.6675
0.4340
0.2003
0.2224
-0.7899
0.8394
0.3786
0.4445
-0.9120
1.346
0.5473
0.6973
-1.034
1.952
0.6852
0.9742
TABLEAU VI
Eléments tie matrice exacts <k|tt|k>et valeurs approchées ( k | H l k ) p obtenues a l 'a ide d'un dévelop
pement bosonique MM.
239
Les éléments de matrice <k |H,,| k> sont toujours positifs
et croissent régulièrement avec k; par contre, la contribution
<k|H--lk>est toujours négative et contrebalance quelque peu
l'influence de <k |H n|k> . Toutefois, le terme à un corps
est largement dominant et les éléments de matrice diagonaux
vérifient toujours l'inégalité
<k|H|k>> fc«<l |H| 1 >
L'écart de l'harmonicité s'accroît avec k et seul, dans les
exej
ble
exemples traités, le W présente un écart relativement fai-
En ce qui concerne les éléments non diagonaux H., et H. 0,
il est a noter que les contributions des forces pairing et
quadrupoles sont toujours opposées• Par consequent, pour une
valeur fixée du terme de pairing G„ , on peut changer considé
rablement les termes non diagonaux en faisant varier le
paramètre X * Sur le tableau VI nous présentons quelques va-154
leurs typiques des éléments de matrice dans le cas du Gd
pour x T D A - x" - 0.035 MeV.
Nous avons déjà mentionné le fait que l'anharmonicité ob
servée expérimentalement est telle que E(oJ) <2E(0*). Il est
instructif de voir dans quelles conditions notre modèle per
met de rendre compte de ce phénomène. Deux éléments sont
de première importance ; la nature de l'Hamiltonien et la col
lectivité du phonon de départ. Nous jouons sur ces deux états
grâce aux deux paramètres X et X - Nous imposons malgré
tout une condition de cohérence assez sévère â savoir que :
°- 8 * - £ B Sl-2
Sur les figures I5a-d I nous avons représenté les deux premiers L J TDA H
niveaux excités comme fonction de x e t X pour les quatre noyaux étudiés. Nous constatons que certains noyaux ne veulent absolument pas se plier "â la réalité expérimentale" ( Er, 172 182
Yb) alors que d'autres y con'-o.-itent de temps en temps ( T», 154
Gd). Comme nous avons toujour? <k|H|k> >k <1|H| 1> , il
est nécessaire afin d'aboutir â la situation expérimentale que
les éléments non diagonaux jouent, un rôle important pour sur
monter ce handicap de départ. Lorsque l'anharmonicité des
r 240
XroA = 0.025
•o
1 5 4 Gd IDA
Y =0.040 /
Fig. 5 a
Etude des énergies des 2 premiers niveaux excités E(0.) et E(0,) TDA H
pour quatre valeurs de x en fonction de x" • Sur la figure K ipni TnA v sont comprises entre 0.8x et 1.2 XI . Les o + + o o
énergies calculées E(0 ) et Eto,) sont tracées avec un trait . . l +. * . . . ..
les valeurs de
continu, l'énergie ui 2 E(0.) avec un trait une fois pointillé.
Les valeurs expérimentales sont données par les lignes horizon-1S4 taies. Le cas traité est le Gd avec les paramètres décrits
dans le texte.
r 241
164.
, IDA
X„ = ° 0 3 0
2.
X IDA=0.035 X™=0.040
>._
v I O A
A =0.045
1 . •
Fig . 5 b
164,. Même légende que la figure 5 a pour le Er
242
172 Yb
2.-
«.IDA
X 0 =0.025 X =0.030 . TDA
X =0.035 - I D A
X o=0.040
Fig . 5 c
172 Même légende que la f igure 5 a pour l e Yb
I r
o.-i
Fig. 5 d
182 Même légende que la figure 5 a pour le W.
244
éléments diagonaux est trop importante, les éléments non dia
gonaux ne sont pas capables de rétablir la situation et nous
nous trouvons en face de cas comme Er et Y. Au contraire,
lorsque l'anharmonicité des éléments diagonaux est relative
ment faible, les éléments non diagonaux peuvent dans certaines
conditions ramener le spectre a la situation expérimentale :
c'est le cas de W et Gd. Empiriquement, il semble que
les conditions favorables soient
<k | H| k-l> < k|H|k-2> <0
e t J<k |H |k-l> |>|<k| Hj k-2 >|
Dans tous les cas, la partie H 3 1 de l'Harailtonien s'avère in
dispensable (cf limites du modèle académique du chapitre II).
Pourtant, c'est une partie que de nombreux auteurs ont tendance
â négliger.
Malgré tout, 11 semble assez difficile au noyau de se confor
mer â l'image expérimentale et le role du principe de Pauli
n'est pas étranger a ce comportement. Nous voyons par là mSme
les limites du modelé traité ici. Pour améliorer la formula
tion théorique, on peut envisager trois directions prioritaires
qu'il est d'ailleurs possible d'inclure dans le cadre de notre
formalisme.
- choix d'une force plus sophistiquée (adjonction de pai
ring quadrupolaire par exemple)
- couplage des états K = 0 collectifs et non collectifs
- couplage des états K = 0 collectifs et K = + 2 collectifs.
Ces objectifs constituent un projet de longue haleine
qui sort largement du cadre de ce mémoire.
Tr(X 4) - 0.239
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9
< k | H | k > ( 2 >
(k|H|k) < 3 )
(k|H|k) < 4 )
<k|H|k>
1.049
1.049
1.049
1.049
2.200
2.200
2.200
2.200
3.455
3.456
3.456
3.456
4.812
4.818
4.819
4.819
6.271
6.287
6.295
6.293
7.834
7.864
7.889
7.880
9.499
9.553
9.611
9.581
11.267
11.353
11.468
11.400
13.138
13.266
13.474
13.337
( k | H | k - | ) ( 2 )
( k | H | k - l ) ( 3 )
( k | H | k - I > ( 4 )
<k|H|k- l>
0 .
0 .
0 .
0,
0 . 0 6 0
0 . 0 6 0
0 . 0 6 0
0 . 0 6 0
1 . 481
0 . 0 8 1
0 . 0 8 1
O.ORI
0 . 2 5 7
0 . 0 2 3
0 . 0 6 7
0.0J.7
n .3R?
- n . 140
0.051»
0 . 0 1 7
0 . 524
- 0 . 4 30
0 . 107
- 0 . 0 7 1
0 . 6 7 9
- 0 . 8 6 6
0 . 2 9 3
- 0 . 2 0 2
0 .847
-1 . 466
0 . 7 0 4
- 0 . 3 7 4
1 . 0 2 6
•2 .244
1 .438
0 . 5 8 8
( k | H | k - 2 ) ( 2 >
( k | H | k - 2 ) < 3 )
( k | l l | k - 2 ) ( 4 )
<k|!l |k-2>
0 . 5S1
n.Sl>1
0 . ï 5 1
0 . 5 5 1
0 . 9 5 3
0 . 9 0 7
0 . 9 0 7
0 .0O7
1.34»
1.217
1.240
1 . ? 4 0
1 . 7 4 0
1 . 4.° ft
1 . 5 7 5
1.551
2 . 1 3 1
1.71ft
1 . 9 3 4
1 . M40
2 .5TI
1 . 9 0 9
2 . 3 3 7
2 . 1 0 7
2 .911
2 .061
2.B07
2 . 3 5 3
3 .301
? . 177
3 . 3 6 1
2 . 5 7 8
TABLEAU VII
18** Identique au tableau VI pour le noyau "W.
246
III - c Méthode de Marumori modifiée (MM)
Nous ne reviendrons pas sur cette méthode qui a été décrite
en détail dans le premier chapitre et qui a été reliée à la BE
de Marumori traditionnelle dans l'appendice D.
Nous avons calculé 1'Hamiltonien pour des approximations d'or
dre 2, 3 et 4 et nous l'avons diagonalisé dans une base dont
la dimension varie de 3 â 10 de façon â détecter l'existence
d'un nombre critique N . Cette étude est très intéressante â
plusieurs points de vue.
- Comparaison des solutions approchées â la solution exacte
Dans les tableaux VI et vil nous comparons les valeurs
des éléments de matrice pour les solutions MM d'ordre 2, 3 et
4 par rapport aux valeurs exactes. Nous avons tenu â présenter
un cas oû l'accord est bon s le l54fîd avec > T 0 A = > H =0.035MeV
dans le tableauviet un cas oû l'accord laisse plutôt a dési-i o 2 TDA H
rer s le K avec y • >• = 0.030 MeV correspondant au tableau VII .
Dans le premier exemple/ on voit que les éléments diaqo-
naux sont bien reproduits quelle que soit l'approximation mise
en jeu (l'écart maximum est environ de 7%). Par contre, il
en va tout autrement en ce qui concerne les éléments non dia
gonaux : l'approximation d'ordre deux est très vite mauvaise
tant en ordre de grandeur qu'en signe alors que l'approxima
tion d'ordre trois est raisonnable et celle d'ordre quatre est
bonne. Ces conclusions sont encore plus frappantes si on
examine le tableau VIII où le spectre des trois premiers états
excités est reporté en fonction de la dimension de la base. La
convergence est atteinte dans tous les cas mais d'autant plus
rapidement que l'énergie étudiée est basse. Néanmoins, la
seconde approximation converge vers une valeur trop faible
alors que les approximations d'ordre trois et quatre sont
parfaites de ce point de vue. Il est également instructif de
comparer entre eux les différents coefficients H(i,j) de
1'Hamiltonien (cf eq. I 52 ) qui valent dans ce cas
particulier
154 Gd > ;
T D A = yH = 0.H3-, Tr(X*) - 0. 135
dimens ion 3 1
' 1 ' h 7 ! R ; 1 ! 10 i 11 i
1 i
> ( 2 > «>;>
F.<4> (o;>
F. (0*)
6 3 5 , 4
6 3 5 . 4
6 3 5 . 4
5 6 2 . 6
6 0 1 . 5
6 0 1 . 5
5 3 9 . 9
5 9 7 . 4
5 9 7 . 0
5 2 8 . 4
5 9 7 . 3
5 9 6 . 8
5 2 4 . 3
5 9 7 . 3
5 9 6 . 8
5 2 2 . 9
5 9 7 . 3
5 9 6 . 8
5 2 2 . 5
5 9 7 . 3
5 9 6 . 8
5 2 2 . 4
5 9 7 . 3
5 9 6 . 8
5 9 6 . 8 S 9 6 . 8
E
( 2 ' («:>
K ( 0 * )
1677 .
1677.
1677.
1 5 4 5 .
1540 .
1540.
1397 .
1502 .
1497.
1 3 3 6 .
1 5 0 0 .
1 4 9 3 .
1 3 0 6 .
l iOO.
i - 9 J .
1 2 9 5 .
1500 .
1493.
1 2 9 1 .
1 5 0 0 .
1 4 9 3 .
1 2 9 0 .
1 5 0 0 -
1 4 9 3 -
1 4 9 3 . 1 4 9 3 .
1. <0*> _ - . . ' . , „ . .
3038 .
2 9 8 1 .
2 9 8 1 .
27PO.
2 6 7 9 .
2 6 8 6 .
2 5 4 1 .
2b4A.
263<>-
?«>44.
. •634.
I
2 3 7 1 .
2 6 4 2 .
2 6 3 4 .
2 3 4 9 .
2 6 4 2 .
2 6 3 4 .
21' . 1 .
2 6 4 2 .
2 6 3 4 .
2 6 3 5 . 2 6 3 5 .
, . A : AH: u v v u : t
Spiictrr .l'i'iH'r>;ii' tilt *Y-d <»(->U-mi ;i I'.'.i.le «i V.n i Ï ••:; .-;-•.-::; ".'.v.icl" !<0jt »-t p.ir in1, di'-vr l.>p:>vr.t':iL h» voniqiu' >£: à l ' o r d r e (p) K P'(i*-t>. l.,i .omviYfnr . '. s i . x ù î . i t s <>st to*t .V i*n fou.-l i.'-i tit !•• .li:->i n-sion de l ' espace dc diagonal i s . t i ion .
~i
248
(1 (1 ,1) = 0 . 6 5 9 6 ; H ( 2 , 2 ) = 0 . 1 3 7 9 : 1 1 ( 3 , 3 ) = -COOS'; . - !! ( 4 , 4 ) = 0 . 0 0 0 2 b
11(2,1) = 0 . 1 4 9 2 : 1 1 ( 3 , 2 ) = - 0 . 0104 ,11 (4 , BJ-O.OUOOia
11(2,0) = - 0 . 1 2 1 8 : 1 1 ( 3 , 1 ) = 0 . 0 5 0 3 : 1 1 ( 4 , 2 '=-0.0036
Mous constatons une cer ta ine converijence du développeront dans l e sens où
!H ( i + l , j +1) ! - - : H ( i , j ) '
Dans le second exemple, les éléments diagonaux sont encore
bien décrits dans les trois approximations. Pour les 0 laments
non diagonaux, il se passe un phénomène différent: les trois
approximations envisagées sont mauvaises mais pour les états
a grand nombre de phonons c'est )'approximation d'ordre 3
qui semble la moins mauvaise. En ce qui concerne le spectre
des trois premiers niveaux, reporté sur le tableau ix ,
toutes les approximations convergent vers une valeur qui est
trop basse. On volt qu'ici aussi, l'approximation d'ojvlrc S
est la pJus proche du résultat exact ot le spectre global
est assez bon. Dans ce cas, les coefficients de l'liamilionicr,
sont
H(l,l)=1.409 H(2,2)= 0.051 H(3,3)= 0.00025 11(4,4)= 0.000069
H(2,l)=0.043 H(3,2) =-0.019 H(4,3)= Oj0036
H(2,0)= 0.389 H(3,l> =-0.019 (1(4,2)= O.0O33
ce qui montre encore une certaine convergence.
- Discussion sur le facteur de coupure N
Nous avons vu dans les parties précédentes que lorsqu'on
utilise des approximations il apparait un terme de coupure
N au-delà duquel ces approximations deviennent mauvaises.
Dans le cas des approximations de Marumori modifiées N re
présentait plutôt la dimension de l'espace optimale pour la
diagonalisation . Nous avions sugoéré que N est de l'ordre 2
de grandeur de j— . Reprenons les exemples illustrés Tr(X*)
ci-dessus. 154 Pour le Gd il n'apoaraît aucun facteur de coupure
X
T D A - x" - 0.030 Tr(X ) ' 0.239
dimension 3 1
4 1 5 6 ! 7 1 • »
8 9 1 10 II
E < 2 > » ; >
E < 3 > < 0 ;>
E < 4 > «>;>
E (0*)
1176.
1176.
1176.
847.3
875.1
875.1
867.0
892.7
893.1
800.3
847.6
842.2
802.0
849.2
844.2
791.0
845.2
837.1
790.9
845.2
837.2
789.6
845.0
836.4
840.0 840.0
E<2> (O*)
E«> (Op
B«*> (Op
E (Op
2463.
2463.
2463.
2444.
2455.
2455.
1926.
2008.
1995.
1914.
2008.
1993.
1793.
1935.
1893.
1787.
1934.
1897.
1765.
1928.
1881.
1763.
1928.
1880.
1898. 1897.
E<2> (Op
E<3> (Op
E«> (Op
1 E (0]}
3933.
9896.
3B96.
3891.
3909.
3904.
3I5S.
3291.
3237.
3122.
3291.
3234.
2937.
3191.
3075.
2920.
3187.
3071.
2884.
3180.
3038.
3109. 3109.
TABLEAU IX
Même étude que dans 1c tableau VIII pour le ""V*.
250
dans notre spectre puisque le spectre obtenu avec 10 états
de base est parfait dans le cadre des approximations 3 et 4 ;
un rapide calcul de r nous fournit la valeur N = IS c\ TciX )
par conséquent le facteur de coupure est supérieur a notre
dimension maximum. 182 Pour l e W, par contre , on s ' a p e r ç o i t que l e spectre
obtenu parla d iagona l i sa t ion dans un espace à 6 ou 7 dimensions e s t b ien mei l leur que c e l u i obtenu avec ur. escace do
dimension finale à » ! c e l a suggère une valeur N égale à 2
6 ou 7 en accord qualitatif avec y = 8 dans ;e cas
particulier. T r < X '
Ces constatations étayent encore les conclusions MrScs
précédemment â propos de l'existence d'un facteur de coupure
dont la justification théorique a été fournie â la fin du
premier chapitre.
- Observation des états indésirables
En examinant le spectre des états obtenus dans l'approche
MM pour différents noyaux et plusieurs valeurs des oarametres,
nous avons détecté la présence de certains états dangereux.
Comme d'habitude ces états sont composés d'un grand nombrede
phonons et apparaissent assez bas en énergie. Par exemple, pour
le 1 8 2 W avec X T D A = X H - 0.040 MeV, l'approximation d'ordre
3 nous fournit un tel état entre ot et 0* si la dimension de la + +
base est 9, entre C1 et 0, si elle est ÎO. Ces états proviennent également du fait que les éléments de matrice non diagonaux sont plus importants qu'ils ne devraient â cause de l'approxima
tion envisagée; ce phénomène est en relation étroite avec l'e-
' xistence du facteur de coupure.
111 - d Méthode de Kishimoto et Tanura
Les développements bosoniques de type Kishimoto et Tamura
(KT) ont été appliqués avec succès dans les noyaux sphérigues
et de transition F Ki 76 j. Il a semblé intéressant de tes
ter dans quelles mesures ils s'appliquent encore au cas d'une
base déformée.
Le point de départ est le développement (D,13) et (D,14)
251
+ + +
des opérateurs élémentaires a, a, e t a i ftp o n f o n c t i û n
des bosons élémentaires B.,- Suivant la valeur du paramétre
x on peut pousser ce développement au 4eme ordre IKT4) ou
au 6eme ordre (KT6) ; on peut également définir des exprt-ssions
approchées au 4eme ordre (A4) et au 6ême ordre (A6) selon les
critères définis dans l'appendice D. Les notations des coef
ficients du développement sont identiques â celles utilisées
dans l'appendice D. Possédant l'expression de H en termes
d'opérateursde q-particules a et a, on peut l'exprimer en
termes de bosons élémentaires Bj- et B l 2> puis finalement en
termes de bosons corrêlës. B + = i 7,*? a B * (III, 12)
Suivant notre philosophie générale, nous ne retiendrons que la
partie collective de 1'Hamiltonien H ,(B ,B> . Il existe
pourtant une grande ambiguïté lors du passage 5 l'espace de
bosons : un terme comme i, a, a, a, peut se traduire comme
ut a,) U , a.)' maie tout aussi bien comme U^ »t) ' ( ijj
ou U ? nt/B>(at at) < B ) . Si le BE était mené a l'infini 1 3 4 2 p -I
cela ne porterait pas a conséquence I Ma 71 I ; pourtant des
que l'on tronque le développement les diverses expressions ob
tenues ne sont pas équivalentes. Afin d'éviter ce genre d'in
convénients, nous avons fait la transcription dans l'espace
de bosonsà partir de l'Hamiltonien écrit sous la forme "na
turelle* (111,6); dans ce cas les opérateurs L et Q ne pré
sentent aucune ambiguïté et l'Hamiltonien cherché en découle par
une mise sous forme normale des divers produits d'opérateurs.
On peut montrer que lorsqu'on passe d'un BE d'ordre 4 â un
BE d'ordre 6 les coefficients des parties de l'Hamiltonien
comprenant moins de 4 bosons restent inchangés. Par consé
quent, l'approche KT4 correspond â un Hamiltonien calculé +2 +2 jusqu'aux termes (B B, B B ); de même KT6 permet un dë-+3 2 *-2 3 veloppement jusqu'à (B B + B B ). Même recette pour A4
et A6. Il n'est pas facile de comparer les diverses approxi
mations KT avec les MM correspondantes car un terme linéaire
H(1,0) (B +B) existe dans KT alors qu'il est absent dans MM
et les approximations d'ordre p de MM contiennent des
252
termes en (p / B a lors que la même approximation dans KT cont ient des termes jusqu'en (B " fr ~' . Nous dé f in i s sons 1'Hamiltonien u t i l i s é dans nos c a l c u l s a l ' a i d e des quant i tés dynamiques d é f i n i e s précédemment (111,10)
H = £ H(i , j> [ B
+ i B> + B
+ 3 B 1 ]
i < j
H(0,0) = x „ SH(0)-4 X 2 5 2 A 2 G " l - K 2 V c V2X(1,-)2-2x 2 y i O O * - * n TT ~* IT O
-* x 2 Q40(i) 2
H(1,0) = 2XQ x2u r[o2X(l,Ti)-V2Xa.7 1J t x £ c . WO.r) V2X(1. r)
- 2x 0 x \ Y Q40(l> + -j' x C3I (1) 040(1)
11(1,1) = - SH(1) + 4xQ 2 \ UV(1,«) -T\ G.. UV(1,")2
" £ % ["2 U2XU.1)2 +x 2 V2XH.7:) + 4x V2XU,-.) # ^ ( 2 . 1 ) + 2 ^ ( 2 , 1 ^
+ 2 x 0\1f Q3K1)- | Q31U) 2- XXQ40 (1) [xQ40(U + 2 P ( 2 , 1 ) ] - X f ( 2 , l > 2
H(2,0) = X 5 2 GnV2X<l,n) [x U2XU,n)+^* (2,1)] - | x 040(1) »
[x 040(1) + p(2,l)J (111,13)
H(2,l) = 2 x o 5 3 \ ^ ( 2 . 1 ) - ^ (2.1)] - £ G, W(l.ir) [xU2X(l,n) T IT
- x V2X(l,ti) + (?*{2,l)-2 iP£<2,1)] -2x o XYP<2,1) * * Q31(l)«
f2x Q40(l) + 3 p(2,l)]
H(2,2) = -52 G n|w(l ,T) 2 +2xU2X(l,Tr) tf*(2.1) + 2x V2XU,*) ^ ( 2 , 1 )
+g>,t (2.1) 2+ 6x V2X( l . i r ) ^ (3,2) + «& (2 ,1) 2
+ 12 8^(2,1) ^(3 ,2 ) + 6 g » ; ( 3 , 2 ï 2 J - | Q3l(l)2
-x ïQ40( ! ) [?r(r.l)+3P<3,2)] - | 0(2,1) [5o(2,l)+12p<3,2)]- 3 X P ( 3 , ) 2
253
H(3.1) »^G„ jxV2X (1,T) ff ut2.D + X 02 X(l.i>){P*(2,l)
+ 2x V2X(l,f) 5*^(3,2) +2 0*^2.1) ^ (2,1) + 2^^(2,1 jfl'^a,2)J
- X [x 040(1) + 0(2.1^ [p(2.D + 0(3,2)]
H(3,2) = 2 x ^ ^ , ^ ( 3 , 2 ) -ff*<3,2)] - £ G OVH.v) [8^(2,1)
-^<2,1>+2<P*(3,2> - 3 # * (3,2)] - 2 xQ yYD (3,2)
+ | Q31(l) [2 0(2,1) + Sp (3,2)]
avec la définition suivante des nouvelles quantités : «—» r 2 2 1 2 •>
Y = 2 ^ [ u n - v n J < n " , r Y 2 0 > n " ' ",n
£ u (2,1) = - 2a y2X ( l f l t ) s p u , . , ) - fa^ ( 2 , , ) v
g>* (3,2) = 4 p v|x(l."> SP(l,*) 2+2q S P d . n ) " ^ ( 2 '*> v
+ 2s UIH (l,ir) SP(2,-JT) + r " ^ O . » ) «II .14)
p(2,l) = - 2a X} Q40(1,TT) SP(i.n) - b £ Q40(2,ir)
p (3,2) = 4p J^ Q40(l,ir) SP( l ,n) 2 + 2q £ SP (1 ,n) Q40 <2,TT) ir •»
+ 2s J2 040(1,u) SP(2,n) + r Q40(3> T
En faisant varier x de 0 â - 0.6 par pas de - 0.1 nous avons
étudié les diverses approximations A4,KT4,A6,KT6. Plus préci
sément, ces approximations correspondent aux conditions
suivantes .
A4 : prise en compte de H(l,l), H(2,0), H(2,l) avec a,b
donnés par (D,44)
KT4 : prise en compte de H(1,1), H(2,0), H(2,1) avec a,b
donnes par (D,24)
J
254
i_
xo KT4 KT6 A4 A6
0 I 2IS8.
4275. j
2165.
5192.
1039.
?o50.
2166.
524J.
- 0.1 1579.
3150.
1613.
4162.
88',.
1745.
161'j.
4349.
- 0.2 I36B.
••71'.,
1490.
3PI4.
717.
m:1. tio.>.
3970,
- 0.3 1221. 1522.
1731.
5)0.
K<;'..
111?.
V'."(\
- 0.4 1107- 1655.
3S53.
308. 1703.
4O08.
- 0.5 1007.
2014.
2493.
5150.
81.
V.O.
1906.
- 0.6 912.
IB58.
2546.
5602.
503.
1402.
2128. :
4641.
exact 80S. 1786.
TABLEAU X 164
Spectre d énergie de Er obtenu â l'aide de développements bosoniques de type KT. Les diverses variantes sont expliquées dans le texte. Variation des résultats en fonction du paramètre de convergence
255
A6 s prise en. compte de Htl.l)... H<3,2> avec p,q,r,s
donnés par (D,45)
KT6 : prise en compte de H(1,1)...H(3,2) avec p,q,r,s
donnés par <D,37)
En toute rigueur KT6 n'est défini que pour x < -0.5. Nous
avons néanmoins "prolongé" cette approximation pour la région
O ^ x < - 0.5 en prenant les valeurs p = q = r = s = 0 . Cela
nous permet d'apprécier l'influence des parties de H(2,2),
H (3,1) et H(3,2) qui ne contiennent que les terir.es en x, a, b;
c"tte approximation doit donc plutôt Stre appelée KT4'.
- Comparaison des différents développements
Sur le tableau X nous avons fait figurer les deux pre
miers états excités d'un cas typique 1' Er avec > - X
= 0.040 MeV pour lequel un certain nombre de conclusions géné
rales peuvent être tirées. Tout d'abord, 11 est apnarenl. quo
pour une même valeur du paramétre de convergence y. , les
différentes approximations donnent des résultats complètement
différents. Seules les approximations d'ordre le plus bas
KT4 et A4 peuvent prétendre donner un spectre voisin de 1*
valeur "exacte" tirée de l'approche multiphonon. Le calcul
approché A4 donne un bon accord pour une petite valeur
x ( x s 0.1) et il est intéressant de noter que c'est préci
sément cette approximation et cet ordre de grandeur de x
que Kishiraoto et Tamura utilisent dans leurs calculs. Une
autre possibilité pour obtenir un accord raisonnable consiste
à prendre KT4 avec x - - 0.7. Pourtant,une simple inspection
de la fonction d'onde montre clairement qu'on a un fort mé
lange d'états multiphonons même si le spectre en énergie n'est
pas trop éloigné d'un schéma harmonique. Cette propriété n'est
d'ailleurs vraie que pour les approximations d'ordre quatre,
elle disparaît pour les ordres supérieurs. Dans quelques cas on
peut obtenir l'inégalité expérimentale E{0_) < 2E(0 ).
Pour O < x < -0.5 la comparaison de KT6 (en fait KT4') et
A6 montre que les valeurs de p,q,r,s dans A6 sont suffisamment
faibles pour n'introduire que de faibles différences dans KT6
I6Û_ TDA H n A/n
X
o li<0,0) H(1,0)
i i
11(1,1) H ( 2 , l ) H(2,0) H(2,2) 11(3,2) H<3,1)
0 KT
A
- 1.007 - 0.158 2.141
1.046
O . I W
0.0864
0.0713
0.137
0.450
0.476
-0 .0267
-0 .0227
-0 .0611
-0 .0713
- 0 . 1 KT
A
- 38.9 0.144 1.618
0.979
- 0.0535 0.130
- 0 .0780 J0.164
0.457
0.547
-0 .0141 i -0.0535
-0 .0204 1-0.0575
- 0 . 2 KT
A
- 77.7 0.498 1.429
0.911
0 .0216 0.164
0.0714 0.141
0.415
0.481
- 0 . 0 1 1 0
-0 .0186
- 0 . 0 4 7 0
-0 .0493
- 0 . 3 KT
A
- 1 1 7 . 0.899 1.286
0.843
0.00183>0.196
0 . 0 6 6 0.218 i
0.381
0.431
-0 .0091
-0 .0167
-0 .0421
-0 .0436
- 0 . 4 KT
A
-158 . 1.3t2 1.165
n.774
-0 .0116 io.226 i
0.0615 0.246
0.352
0.392
-0.00787
-0 .0151
-0 .0382
-0 .0392
- 0 . 5 KT
A
-200 . 1.823 1.056
0.706
- 0 .0213 0.255
-0 .0577 0.273
0.843
0.361
-0 .108
-0 .0138
- 0 . 0 6 7
-0 .0358
- 0 . 6 KT f-24 2. 2.342 0.956
1 0.638 1
-0 .0285 |o.284
0.054 3 kl. 300
0.522
0.336
-0 ,0515
-0 .0127
-0 .0444
-0 .0331
Valeurs des coefficients de l'Hamiltonien bosomquo de type KT pour le noyau Er. Les approximations KT4 et A4 s'arrêtent à H(2,0), les approximations KT6 et A6 s'arrêtent .i H(3,l)
257
où ces mêmes quantités ont été arbitrairement posées égales
â 0. Un autre point important résulte de la comparaison de KT4
et KT4'; les spectres respectifs sont tout à fait différents
ce qui prouve que les parties d 'ordre supérieur à 3 de l'Hamil-
tonien (termes H(2,2), H(3,l), H(3,2)) provenant de produits
d'opérateurs d'ordre inférieur à 4 du BE (termes en x,a,b)
ont des effets non négligeables. On peut penser que le même
genre de raisonnement mené â un ordre supérieur s'applique
également. Cela montre clairement que ce genre de développement
bosonique n'est absolument pas convergent dans ies cas traités
ici. Cela est d'autant plus vrai que pour x < - 0.5 - où l'on
s'attend à ce que KT6 soit la meilleure solution - les calculs
montrent que c'est en fait la plus mauvaise. Une comparaison
entre A 4 et A6 conduit aux mêmes conclusions quant â la conver
gence de ce type de BE. Cela confirme les résultats de Stfrensen
So 70 a,b,73a | dans les noyaux sphériques qui montrent que
la convergence est d'autant meilleure que les couches individuel
les sont fortement dégénérée».Travaillât avec des bases déformées, les
couches ne sont que doublement dégénérées et c'est le pire
des cas pour assurer la convergence.
Dans le tableau XI nous avons reporté les coefficients
H(i»j) pour différentes approximations et valeurs de x .
On voit que le développement est convergent dans le sens
où |H (i+l,j+l)| <\<H (i,j)l •
La présente étude prouve clairement que ce n'est pas suffisant
pour assurer une bonne convergence des observables. En effet
ces coefficients sont à multiplier par des coefficients géo
métriques du type |k(k-l)| ' pour l'obtention des éléments
de matrice <k |H|k-l> .... et cela peut modifier beaucoup de
choses; on remarque en effet que les coefficients H(i,j) cor
respondant à des approximations élevées comme H (2,2) ,H (3,2) ...
sont beaucoup plus forts dans le cas KT que dans le cas MM.
- Quelques remarques sur les états indésirables
Dans les deux premières approches, l'analyse du spectre
d'énergie ne présentait pas de difficultés et nous n'avions
observé que quelques rares états indésirables. Dans le cas
258
présent, ceux-ci sont si nombreux qu'il n'est pas facile de
sélectionner les trois états propres physiques d'énergie la
plus basse. De nombreux états dangereux correspondent à la si
gnature signalée auparavant : état a grand nombre de phonons
bas en énergie. Pourtant, dans cette approche, nous avons
également aperçu des intrus d'un autre style. Par exemple, 154 TDA H
nous avons trouvé que - pour le Gd avec % = x =
0.036 MeV et x =-0.2 le développement KT4 conduit à un
fondamental d'une nature collective très curieuse : 8 des 10
composantes de sa fonction d'onde sont de l'ordre de 0.3.
La nature de cet intrus est certainement autre que celle des
intrus déjà rencontrés ; il pourrait s'agir d'états parasites
provenant de la violation du principe de Pauli.
L'ensemble de ces résultats - allié au fait que nov.s
n'avons pas de critère sérieux pour fixer x - nous force
â conclure que les BE de type KT ne sont pas convergents et
pas adaptés au cas d'une base individuelle déformée. Ils
conduisent de plus a une interprétation très délicate des
résultats obtenus.
259
CONCLUSIONS
Au terme des quelques études menées à bien tout au
long de ce mémoire, qu'avons-nous appris *
- Tout d'abord les systèmes nucléaires sont effective
ment très complexes. La bête évoquée dans l'introduction n'est
pas encore sur le point d'être capturée. Il semble que ni les
forces effectives utilisées, ni les techniques de calculs emplo
yées ne soient vraiment au point. Ces deux éléments ne peuvent
d'ailleurs être disjoints et l'amélioration de l'un doit aller
de pair avec l'amélioration de l'autre. En effet, les méthodes
numériques nécessitent l'emploi d'un espace modelé; le choix
de la force effective - même tirée d'une force réaliste par un
calcul de type Brueckner - doit se plier A cet espace modèle. De
plus l'interaction effective est fonction des configurations
mises en ;,eu dans la description du noyau. Il est évident qu'une
bonne force effective utilisée dans un calcul TDA par exemple
n'est plus aussi bonne pour un calcul RPA et vice et versa. Or
il serait étonnant que les états nucléaires possèdent des struc
tures aussi simples que celles utilisées dans les formalismes
TDA ou RPA. L'introduction de configurations plus compliquées
nécessite automatiquement la renormalisation des forces â emplo
yer. Cette conclusion n'est pas originale et le présent travail
n'est de ce point de vue qu'une modeste pièce â inclure au mo
numental dossier du problème 3 N corps.
- Ensuite, l'emploi de quantités corrélées comme sous-
systèmes du système étudié est sans aucun doute une bonne chose
et une voie dans laquelle on doit s'engager plus 3 fond. Le
choix du type et du nombre de phonons 3 prendre en compte ainsi
que les méthodes destinées 3 les utiliser ont été évoquées lon
guement dans ce mëmoire et méritent certainement des études encore
plus approfondies et - pourquoi pas nouvelles . Il est vrai que
260
ce genre d'approche pose des problèmes théoriques et numériques
que nous avons rappelés souvent. Cela explique une certaine
désaffection entourant les calculs de ce type. Nous avons voulu
essentiellement démystifier ce point de vue et ouvrir quelques
portes Bur l'avenir de telles méthodes. Après tout nous avons
prouvé - au moins dans les noyaux étudiés - que ces approches
permettaient de tronquer substantiellement les bases de diagona-
lisation sans pour autant perdre la précision des résultats.
La conséquence est double : gain de temps numérique appréciable
et surtout interprétation physique plus facile de la structure
nucléaire.
- Dans les noyaux sphériques de la région des
plombs, deux approches différentes du problème â N corps se sont
révélées équivalentes du point de vue résultats. Ce n'est pas
étonnant puisque la philosophie sous-jacente est la même. Du
point de vue numérique, par contre, il est certain que la théorie
du champ nucléaire est beaucoup plus lourde et difficile â mettre
en oeuvre que le modèle en couches A deux étapes. Cependant,
nouB avons délimité sérieusement la validité d'approches plus
succintes. Il s'avère que les noyaux de cette région sont assez
bien décrits dans le cadre du modèle en couches - au moins pour
la partie basse du spectre ou pour les états de spin élevé.
- Dans les noyaux déformés, il semble que la théorie
que nous avons développée dans la troisième partie ne soit pas
encore assez sophistiquée pour reproduire correctement l'expé
rience. Néanmoins elle a le mérite de traiter correctement le
principe de Pauli ce qui n'est pas toujours chose facile. De
ce fait, elle a permis d'utiles comparaisons avec d'autres mé
thodes en vogue à l'heure actuelle et qui transgressent ce
principe fondamental.
- Dans les deux cas évoqués ci-dessus il est très
difficile d'imputer les désaccords avec l'expérience soit â la
force utilisée, soit aux configurations mises en jeu. Probable
ment aux deux comme nous l'avons dit un peu plus haut.
- En ce qui concerne les améliorations futures de
la théorie des multiohonons nous en avons suggéré trois gui
261
semblent être du domaine du possible : introduction d'une force
rf'appariement quadrupolaire, prise en compte des couplages avec
les états non collectifs, ainsi que les couplages avec les
vibrations de type K* = »2+. C'est essentiellement au niveau
du traitement numérique que se situent les difficultés.
En ce qui concerne les approches traitées dans les
deux premières parties, nous n'avons tenu compte que des vertex
TDA. C'est sans aucun doute dans la levée de cette hypothèse
que doit être repris le formalisme. Les excitations du coeur
qui sont essentiellement des phonons corrélés 1 particule -
1 trou peuvent facilement être introduites dans notre théorie.
De la même façon, on peut imaginer la prise en compte de
phonons constitués de trois ou même quatre particules corrêlêes.
Le problème délicat dans ces cas-lâ est le calcul de la matrice
de recouvrement et l'orthogonalisation de la base ; par contre,
la troncation substantielle de la base permise de cette façon
constitue un avantage déterminant.
Décidemment, les méthodes de couplage faible
semblent promises â un bel avenir.
262
APPENDICE A
DEVELOPPEMENT PERTURBATIF DE BRILLOUIN-UIGNER APPLIQUE
A LA NFT
Considérons un système gouverné par un Hamiltonien
H = H Q + v (A.,1)
où H est un opérateur à un corps dont les états propres sont
connus et V l'Interaction résiduelle â deux corps. La résolu
tion de l'équation de SchrSdinger demande la diagonalisation
de H dans un certain espace de Hilbert noté Ç (appelé espace
des états) qui est généralement de dimension infinie. L'idée
de base est de séparer C arbitrairement en deux sous-espaces
disjoints
- un espace noté 9* engendré par un système de base
| <i. > dans lequel on fait tous les calculs
- 1'espace complémentaire «f «= w - » engendré par le
le système de base |ra. >
La base de C est supposée orthonormée donc
^jjgj >= « ^ = <n>,- |n> > ^ i r 3 (A,2)
«Silm.j >= O
Soit p le projecteur sur l'espace u , Q le projecteur sur l'es
pace % . Nous avons les propriétés bien connues des projec
teurs
P + = P; Q + = Q; P 2 = P, Q 2 = Q, PQ = QP = 0 (A,3)
0<J = P + Q (relation de fermeture)
On a aussi d'après la définition du projecteur
p|Bi >- ie±> V ± Q| 6 i> = o
P|m^ >=• 0 y^ Q| m.> = |m
<A,4>
"3 »j "' j' ' j
Puisque la base est supposée orthonormée l'expression des
projecteurs en notation bra-ket est triviale
263
P = 53 !»1> <& L\ Q * S I"1!* * m j ' ( A , 5 )
Le problôme consiste â traduire l'équation de Schrodinger
originale
H! V " Enl¥ „ > (A,6)
avec | V = Ç ç ( f | 6 i>+ £ Jn\ l«j> = »|TB» + Q|¥n>
(A,7)
dans l'espace de calcul P .
Notons comme de coutume
H p p = PHP; H p 0 = PHQ; H Q p = QHP, H ^ = QHQ (A.8)
soit sous forme matricielle
L'équation de SchrSdinger a donc la forme
(A, 9) H P P
_<n) . „ v ( n ) _ _ , (n )
HQP r <n> x H v l n > - v Y ( n ' î + H Q Q X - E n X
De la dernière ligne, nous tirons
x ( n ) = M (En) ç( n > (A,lû)
M ( En' = [En " H Q Q ] " 1 H0 En reportant cette égalité dans la première ligne de (A,9)
nous obtenons l'équation de SchrSdinger dans l'espace vP.
W (En) £( n ) = E n Ç ( n ) <A,11)
avec K (E) = H p p + H p Q [ E - B J " * H Q p
L'opérateur W(E) est appelé Hamiltonien effectif ; il dépend
de l'énergie par l'intermédiaire du terme IE - H_-| .
L'équation de SchrSdinger demande que la valeur prdpre de cet
264
Hamiltonion effectif coincide avec le paramètre d'énergie qui
a servi a calculer 1'Hamiltonien effectif lui-même. Cette dé
pendance en énergie constitue un problème hautement non liné
aire et donne des propriétés assez déroutantes pour qui rai
sonne avec l'habitude des problèmes linéaires. En particulier,
supposons que la dimension de o soit N et celle de S3, n
avec n << N. Bien que la matrice W(E) soit une matrice carrée
n x n dans la base |B,> # ses valeurs oropres au sens de
(A,11) sont, elles, au nombre de N. C'est évident puisque
(A,11) est complètement équivalent à (A,6). Cela se comprend
également car bien que W(E] soit une matrice n x n l'équation
caractéristique det; W(E) - El! = O, n'est plus une équation
du n e degré a cause des dénominateurs d'énergie apparaissant
dans W(E). Dans le même ordre d'idée, bien que W soit hermi-
tique, ses vecteurs propres au sens de (A.11) ne sont plus
orthogonaux puisque K dépond de la valour propre ellp-méme.
Cette propriété est à l'origine de la métrique un peu parti
culière imposée par la NFT ot décrite par l'équation (11,32).
Mous reviendrons là-dessus. Quoique les •' ne soient pas
orthogonaux dans l'espace 0^ , les vecteurs
eux, sont orthogonaux dans l'es-/f.tn) \
l v = W n , ;(n1/ pace <?puisque ce sont les vecteurs propres ds l'équation originale.Avant
de résoudre (A, 11),il est nécessaire de calculer les éléments de matrice
K V 2 ( E ' = \*2 + SVi < m i ! W ' ^ S *2 ° U 2 )
En général, on connaît bien l'action de H sur lm.> (souvent les |m. > sont choisis en conséquence)par contre l'évaluation <m. | p-H-J |m.> est moins aisée.La procédure classique consiste à développer là résolvante P-HUQ| =|E-(H ) - \ f J e n puissances ds l'interaction.Pour cela,on uti l ise Ta fornule nathénâtique bien connue (A-B) =A + A~ B(A-B) qui,réitérée donne eA-B)~X« A " 1 - * » " 1 » " " 1 - » " 1 » " 1 » " ' +...=*~1Jl+BA~1+<BA~1> . . . I . En posant A = E-(H l et B = V— dans cette formule nous obtenons
°QQ w
265
H Q J " f - " v Q Q r g | V Q Q [E" ( H O >OQTJ i A , i 3 i
Dans ces conditions, on peut mettre les éléments de matrice
effectifs sous forme d'une série infinie Pou 71J
[E ' '""J"1 VQQ
pSÔ
P
K Q p !P.2> (A,)4)
On peut traduire chaque terme de la série sous forme de
diagrammes. N'entrons pas dans les détails nais disons qu'un
diagramme correspond a un système de contractions donné. En
effet, en remplaçant V par son exDression en seconde quantifi
cation, on enqendro une quantité qui est la valeur moyenne
sur le fide d'un produit compliqué d'opérateurs.
Le théorème de Wick nous enseigne que le résultat est la somme
de toutes les contractions possibles. A chaque contraction
correspond un diagramme, et le problème est déplacé dans xe
sens de la recherche de tous les diagrammes.
Une fois déterminé W et calculées les valeurs propres E . ,_» n
il reste à déterminer la fonction d'onde t qui n'est con
nue jusqu'alors qu'à un facteur multiplicatif prés. C'est la
condition de normalisation qui fixe celui-ci.
La relation d'orthogonalitë des vecteurs propres se développe
comme <5 no
y (n) r(p> l o _ - V 1 x<n> v(»)^„ I-, -i.j
En faisant usage de (A,2)
6 np
266
et en remplaçant X par sa valeur en fonction de j nous obte
nons la formule fondamentale donnant la norme
n,P ft . ( n ^ . ' p ) j < i j + ( M + ( E n > M « B p ) ) J (A,15)
En particulier pour n = r, » + « E
n > M < E
n > = " P Q l E
n ""QQJ H Q P
En dérivant l'expression W(E) de (A,11) par rapport â E et en
posant E = E , nous voyons que M M = - -,-s et la condition
de normalisation prend la forme
.<">' .<n) (A.lfe)
La métrique n'est plus cartésienne; c'est le prix qu'il f.ut
payer pour rendre les vecteurs propres orthogonaux dar."= l'es
pace complet alors que les vecteurs propres de K(E) dans l'es
pace ne le sont pas.
Possédant & présent la fonction propre, il est possi
ble de calculer n'importe quelle observable. Soit T un opérateur
quelconque dans l'espace complet qui agit sur des fonctions
i v - E c1?» i 8 i >+ Ç x i | B j> i 3
Nous allons chercher l'opérateur effectif T qui possède dans
(5^1es mêmes éléments de matrice que T dans Ç . Autrement dit
cherchons T qui réalise la condition
•|ï .(n) (P) C i <• j <6il Tl h>
Il suffit pour cela de remplacer ,> et
(A,17)
en termes des
B<> |m.> 'P' - l'n
de remplacer X par sa valeur en fonction de £ "i' i'3 et d'identifier. Le résultat découle de lui-même
T = T
+ HPQ [ En " H Q 0 j T [ V H Q Q ] H Q p ^ 18)
Il est â remarquer que l'opérateur effectif T dépend en fait
des fonctions d'onde sur lesquelles il agit par l'intermédiai
re des dénominateurs d'énergie qui sont fixés une fois
267
déterminées les fonctions propres j« > et i •? ^. Il serait
donc plus rigoureux d'écrire T p au lieu de T. Los éléments
de matrice de T s'obtiennent également a l'aide de séries
diagranunatiques.
Voila résumée en quelques pages la théorie de Brillouin-
Wigner sous forme classique. Comment s'insère dans ce cadre
la théorie du champ nucléaire pour trois particules. Les
degrés de liberté bosonique T étant coraolétement indépendants
des degrés fermioniquos C les deux espaces engendrés par
[c+ » (cV) ] C • r |0 >= \BL-- et par [C 8 IC C ) I '0> = |m,-
sont disjoints et correspondent respectivement aux espaces
<P et <Z. L'Hamiltonien total pris en considération est
» " "NFT = Hsp + Hb + Hpb + v
Comme < •}.. Ii_, + V '?.,:• ~ 0 l e terme noté H„n e s t simplement i pr. j PP Il + II. r c ' e s t lu i qui e s t responsable du terme d'ordre zéro e x p l i c i t é dans (11 ,25 ) . H™ représente la par t i e on A C C r de H fc e t H_Q = H Q [ )
la par t i e en A CC I' de H . .
De p l u s , comme < m. | H, + H ^ | m - > £ 0 l e terme l l Q 0 r e s t e simplement H + V e t l ' on a anoliaué le développement perturbat i f en prenant V comme i n t e r a c t i o n r é s i d u e l l e , c ' e s t -à-dire que l ' on f a i t la correspondance 'H
0)<v> = H
S D
v = v QQ
Le dictionnaire qui permet de faire le lien entre la théorie
BW usuelle et son application à la HFT est ainsi achevé et tou
tes les formules citées dans cet appendice ont été traduites
par ce biais dans les chapitres de ce mémoire. Notons que
la base
i m . -«T
C_ 9 <C„ C ), I I o> est état propre de H f H r AT |jjj Sp :* 9 < cV T
et que par conséquent on peut remplacer |E-(H ) I I m. >
r î - i L ° QOJ ' 3
paç I E- c- r - I | m.> . C'est de là que provient le ter
me "dénominateur d'énergie" utilisé lors du calcul des diagram
mes. Notons également que dans l'expression (11,42) de
268
l'operateur effectif C. deux terires ont été omis; la raison
en est simple __j
- le terme H p o I E.-H-J C. donne une contribution
nulle car en agissant sur T (X, r.) |o > l'état
ck®' - + f i'fi' |0 > est un état de l'espace tS donc
I E, - H„ 0 I agissant dessus donne O.
+ r I - 1
- le terme C lEi~HoQl H O P d o n n e aussi une contribution nulle car H o p agissant sur r + <>**.) donne des
+ + **i
états C C / donc le terme total est tout entier dans 1'espace
C£et lorsqu'on fait le produit scalaire de cela avec un état
de base |f|
1
> on trouve 0 Le même genre d'argument s'applique pour l'opérateur effectif électromagnétique C,„ •
L
269
APPENDICE B
ETUDE DETAILLEE DES PROPAGATEURS F ET G
Cet appendice a pour but de résoudre c e r t a i n s points ou d i f f i c u l t é s techniques l i é s aux propagateurs de l a HFT i n t r o dui ts dans l e chapitre I I . i l ne peut ê t r e compris qu'après une l ec ture d é t a i l l é e de ce c h a p i H e a i n s i que de l'Appendice A.
Le problème fondamental de la NFT c o n s i s t e 3 évaluer
Vi ( E ) " " $ i " p 2 ' H p Q [ E " v T H o p l ? i > ( B ' n
• 12 • - f i
2 ' H p Q [ E - H Q Q ] l c « « { c t c - * )
i L q , r , s , > , T
•0 > x
< 0 ! c* a (c+ c + ) q ** l t r ^ 'XT
TM_
IH "QP TV
c* r + O. .T .I io>
Considérons le système de contractions où c se contracte
avec C c'est-â-dire se propage librement pour H o p , autrement
dit regardons la valeur du sommet
où la ligne horizontale indique une contraction qui fournit
le facteur 6 q q - I l reste < <C+ C * ) , ^ | H Q p | r u
+ l \ 1 T ^ »
dont la valeur (11,17) est 6, , N(rs),1 AT, A 1 T j u,
(rs;AlTl )
En conséquence (B,l) peut se mettre sous la forme :
"2" l ' $ 1 (rs)A (rs;A 1T 1) E.
r,s
0> (B,2)
270
qui comparée â (11,16) fournit immédiatement la valeur du
propagateur F
F B (q,rs,>. T ; E > - < B | H p Q [E-HQQ]" 1 [ = * • « * <\]m 10 > TMr
l< (B,3)
En d'autres termes, on peut dire que F„ (q,rs,XT;E) est le
propagateur de l'état intermédiaire
| 0 >vers l ' é t a t de base ]S> . E n
fait la simplicité apparente de (B,3) est quelque peu abusive.
Pour être plus rigoureux il faudrait dire exactement-
[c*«M<c s
+) l™* le [ q r s >i J I M
le
Eau
Fg(q,rs,>T!E) est la contribution S <S|H R 5 E-HgJ C q » ( C r C S ' > T •°">
de t.ous les diagrammes liés, ne comprenant pas de bulles et
tels que dans les états intermédiaires les états couplés sont
ceux qui sortent du sommet d'interaction.
En clair, cela veut dire que si on développe F. en
série de puissances de V ; F •= 7 . Fg ' n o u s a v o n s P o u r
( i\ K c l
F g le schéma de contractions suivant
Xi'Ti
< 0 | < ® ( C + C. + ) | V M | C + ®(C+ C + , | 0 > x
< <9%i ^ / h T ' ^ p ^ i ' V l
> x (B ,4 )
< c s ® < (* ) I v [ E - H 0 ] I c+*c+ c s
+ ) |o > i l x * i T i L L
Traduit en termes de diagrammes le propagateur F admet le déve
loppement suivant
^ V
271
~
F <q,rs,Vr;E)
x(-l>"
(B,5)
xf-l)"
avec * = j q+J r+J s+l/2+l+T
Cette écriture symbolique est particulièrement adaptée pour
calculer le complexe conjugué du propagateur
F„ (q,rs,At;E) -
(B,6)
x(-l)''
272
En partant de la même expression (B,l) et en introduisant
l'état intermédiaire après H p Q n o u s obtenons de la même
façon le propagateur G. Néanmoins, si on introduit l'état
) . tome de contraction
r
et qu'on prend comme précédemment le sys-
+
'U2 C > , on voit qu'on reste
V ^ 2 '"P0! "q v ' r ~s' te avec la convention de couplage qu'il faut définir une fois
pour toute, en 1'occurence les états couplés sont î la sortie
du sommet d'interaction -
«r,
•0 qui n'est pas permis. Introduisons plutôt l'état intermédiaire
(E) - W (0)
!c
q o, r,r,
<5
q,r,r,X,T
2 I H P Q l ( C q C r > > T ® C s
!B
Le système de con t rac t ion r
< ; 2 i 2 ) "PQl (C+ C + ) © C +
q r 'x T s
(qra 2 T 2 )
fourni t à présent la valeur j +1/2+X.+ W - T
s q? A T Ai U 0
' 2 2' z
Quant à l ' a u t r e terme, i l se ca lcu le en remettant l ' é t a t in ter
médiaire sous forme convent ionnel le !
tuant l e découplage adéquat; i l donne
2Z * ci «rVvM^iv'-» j„+j +j„ +3/2+I-KT 'q Jr Jq.
X A-, T T Q
1/2
1/2
1/2
T
273
En groupant ensemble les deux morceaux e t en u t i l i s a n t la
p r o p r i é t é de symétrie (11,12) des constantes de couplage i l
v i en t
Z . r , s , x . T " ' 2 " 2
\ir S , 1 / 2 ^ T
j q * *» 1 1/2 T T 2
(B,7)
qui comparé â (11 ,26 ) f o u r n i t immédia tement l ' e x p r e s s i o n du p r o
p a g a t e u r G à s a v o i r
•fTWp G fl ( q . r . , * T , E ) =< | c ; < g ) ( C r
T C s ' ) X T | l | E - H o 0 | H Q p IE > ( 3 , 8 ) [^•«rV»»!,,»^]'1
On doit comprendre cette expression dans le sens rigoureux
qui a servi à définir Fft . En particulier, le système de
contractions s'appliquant au terme d'ordre l s'tcrit
G<'-><q.rs,H;E) = £ < < £ • < O Ax I [ ^ VK2 ' ^ C J V l ' ?i'!i I
< 2 9*^ c \ h [**]~l vi <*;•«£ c
r;> (B,9)
V 2
X-" , W Pjl-2 ^ - 2 V ? ' E - H J V|C+®(C C_ ) I T >
^c, >Vi v v ^ j H"1 le
Donnons également le développement diagrammatique de G„ et
274
G g (q,rs,>T)E)
(B,10)
I B j G Ë (q,rs,>-T ;E)
x(-n"
(B,ll)
+ —
On peut déduire de oes relations une propriété très importante concernant
le propagateur G.
275
Si on permute les états s et r l'état intermédiaires TM,.
IM |0>. La d i f f e r c:>XTpV e S t C h a n * ê a n [ C > C « C r \ r ]
fërence entre ces deux états est simplement la phase j+j.+X+T
(-1) . Ce résultat peut se montrer directement. Cette
propriété étant vraie pour le 1er ordre G„ d'après (11,30) et
(11,10) et pour Kq (rs)X-rî q'Cr's'JA'i' d'après (11,28) et
(II,5),elle est généralement vraie pour G,d'aprês (11,29) J r+J s+X+x
P
G?(q,sr,ATîE) = (-1) r Gg (q,rs,At;E) (B,12)
liuî t-2lle propriété n'est plus valable pour le propagateur F
comme on peut s'en convaincre en examinant (B,5). Par contre,
ncus allons montrer une propriété tout aussi importante qui lie
les propagateurs F et G. On pourrait croire en comparant (B,3)
et !B,8) que F = G. Ce serait oublier le sens très rigoureux
que nous avons imposé dans la définition de (B,3) et (B,8);en
particulier il faut choisir comme états intermédiaires des
états qui sont couplés en sortant d'un sommet d'interaction.
En partant de (B,5) et en recouplant q et r a X' -'
nous obtenons
F,(q,rs,XT ;E) =2j M) j q + J r + J s + 3 / 2 + I ^ A A A ( j q j r X' 1/2 1/2 T '
1/2 T T
+ »•,
Or synfooliquement , l e diagramme m u l t i p l i é p a r l a p h a s e v a u t
- G* ( s ^ q . X ' i ' î E )
Par conséquent, nous obtenons immédiatement la relation
très importante
276
F_(q,rs,)TfE) -A(rs,»T)
T 1! 1 3= I
(1/2 1/2
1/2 T G*(s,rq,>.
(B,13)
Le facteur Mrs.Xt) vaut zero si r = s et si A+T est pair,
autrement il vaut l'unité. En effet, pour faire la démonstra
tion précédente nous avions implicitement sous entendu que
Cq®[ ( C +r_ C:\j IM l'état <v,®|(c' C ) I 10 > était permis mais si ce q L r s AT J JJJ
n'est pas le cas F vaut zéro/alors que le membre de droite
(sans le facteur A) pourrait fort bien être non nul. C'est le
même facteur A qui interdit d'inverser la relation (B,13) pour
donner G ei: fonction de F de façon aussi simple. Une autre
dûmonstration possible de (B,13) s'obtient par récurrence. Il
est facile à partir de (11,24) et de (11,30) de vérifier la
relation pour les propagateurs du premier ordre. Une fois
admise la propriété pour les propagateurs d'ordre l , on la
montre pour les propagateurs d'ordre (t+1 grâce à (11,21)
et (11,28). L'équation (B,13) revêt une importance fondamentale
3 un double point de vue : théorique et numérique. L'aspect
théorique concerne l'hermiticitê de la matrice W,
n'est pas évidente d'après (11,18) ou (11,26). Coi imme
(E) qui 2 en vertu
de (11,25) W (0) B 2 B 1
l'hermiticitê sur W
est hermitique il suffit de montrer (0)
Partant de (11,18) 3 2 ^ " B ^ -
. i -2_» N ( r ' s ) A trs;>,T7) F (q,,rs;x T ; ;1 B2 "rTs "2 2 2 2 2 2 2 „(0)
:" 1; 2
utilisons à présent (B,13)
* , AAA<^ \ \ J r
,s) A , r s ' * 2 T 2 ' * * 2 T T 2 ) . '••]•" 2 B 1 B 2
• / ] N(r ,s
r , s , x , T
"2
| l /2 1/2 T
[l/2 T '2
G (s , rq ArfE) 1
qui n ' e s t que W. . - W„ ? d'après (11,26). L'hermiticitê e s t démontrée. B 2 S 1 B 2 B 1
277
H r . (E) = H (E) (B,14) S l % B 2 B 1
L'aspect numérique permet de diminuer les temps de calcul et le
nombre de mots mémoire en ordinateur. Le problême de la NFT
à tous les ordres requiert la résolution de systèmes linéaires
sur la matrice K pour obtenir F, sur la matrice K pour obtenir
G; or les matrices K et K sont énormes dans les cas concrets. Le processus direct consiste â stocker ces deux grosses matri
ces et à inverser H- K et <fl- K pour obtenir F et G. Une
méthode astucieuse consiste â ne stocker que K donc à ne dé
duire que G et à atteindre F grâce à la relation (B,13). Tl
est possible de faire même beaucoup mieux si on prend en con.pte
la propriété de symétrie (B,12); celle-ci permet d'effectuerdos
calculs avec une base d'états intermédiaires
îi 4. + I T
C ®iC C 1 |0> pour lesquels r < s par exemple. Cela
permet de diviser la dimension de la matrice K par près d'un
facteur deux- L'équation analogue à {11,29} pour cette base
restreinte est * présent
.r'<s',xV
avec 3(q(rs)>.T ,q' (r's'hV = ("4 -K),
G . (c!,rs,>T!E) = 7 ^ cJlqfrsHT^q'tr's'J.WtEJG <q',r's',>'Ï ' ;E) r"s q'.rs.«.*v ( B r l 5 )
qfrsHTrqMr's'U'T'
•U- «,..,„.) (-1) S Cl-K'q(rs),T;q'(s'r'U-
En pratique , nous résolvons (B,15) dont la matrice «H. tient
grosso modo quatre fois moins de place que K et dont le calcul
est environ deux fois plus rapide, puis nous prolongeons G
grâce S la propriété (B,12) et obtenons F en vertu de CB.13).
278
APPENDICE C
L'ETAT | j 3 . . I = 3 j - 3 >DANS LE MODELE EN COUCHES
Nous donnons dans ce t appendice le t ra i t ement en termes de modèle en couches de l 'exemole qui a s e r v i d ' i l l u s t r a t i o n de notre t h é o r i e aux chap i t r e s I I I 1ère p a r t i e e t 2ème p a r t i e .
Soient t r o i s p a r t i c u l e s dans une couche j couplées à un moment angula i re I = 3j—3 e t C l ' o p é r a t e u r de c réa t ion d'une p a r t i c u l e dans l e sous - é t a t magnétique m. Le schéma m nous p réd i t un seul é t a t de ce genre plus expl ic i tement
j-'. I = 3j-3, M = 3j-3 > = C+ C+_j C+_ 2 |0 > (Cl)
Kr. aer.éral, le modèle en couches n'utilise pas le formalisme
do seconde quantification et 1 'antisymétri'îation correcte des
fonctions d'onde implique l'introduction des coefficients
de parenté fractionnelle (cfp). Ainsi
! j 3 IM > = 2-1 ' ^ ( J D J I|}j 3 I> |J?,(JD j 3 IM> (C,2! Jjpairs
2
l'état |J 1 2(J1) j, IM> est antisyimnitrisê par rapport à l'échange des particules 1 et 2, mais non vis â vis de l'échange impliquant la particule 3.
Energies.
Comme il n'existe qu'un seul état de spin I - 3j-3, la
valeur propre de H est également sa valeur moyenne. La valeur moyenne de H est trivialement 3 e quant â la valeur moyenne de V elle se réduit à
• j 3, IM: V| J 3,IM> = 3 2-f <J 2(J,) j I|> j 3 l> v T (c,3)
J pair l 'i Ji (voir formule 26.45) de la réf. 1 De Sh BlJ )
279
il n'y a que deux valeurs de J, qui permettent le couplage à
I = 3j-3 â savoir J =X , = 2j-l, Jj =X 2 = 2j-3.
En ce qui concerne la valeur de cfp il suffit d'ouvrir un bon
livre â la bonne page pour trouver (à une phase près)
13 J J, "
: 2 a 1 ) i i|}.j31> Vo + 2 J o J i 3 I Jn
3 + 6^' N2 M i
Jo| f0 • T T
V o
(C,4)
(voir par exemple formule (26,11) de (De Sh 63 J )
Prenons par exemple J„ = X on obtient
V 3 lÙ i 3 I,.
(C,5)
avec les notations déjà rencontrées
/\ A [1
i jj
Jij 5, .+ C. . et
En reportant les cfp dans la valeur moyenne de l'Hamiltonien
nous obtenons immédiatement l'énergie de l'état
(C,6) 3c = B où B 1 11 2 22
Facteurs spectroscopiques
Voyons à orésent ce que valent l e s facteurs spectrosco
piques de transfert d'une particule des états X^ et ), 2 vers
l'état 1. Avant 2 particules dans l'état J. , c'est la oroba-
bilitô de trouver
une particule
.,2.
le noyau dans l'état I après avoir ajouté
2 S> -.1 = 3< j*(Xk> 1 I|) j J I> = 'kk
(C,7)
le facteur 3 vient du fait qu'on a trois couples possibles de
particules. On peut se convaincre également du résultat de
façon un peu plus mathématique en écrivant les fonctions
d'onde à deux particules
280
r y s - i •?> - c j CU f» r î , 2 j - 2 P> = ci c:-21 ° »
!"J21-3 !°> - <4J -3 ) " 1 / 2 {VwT C+ Ct_3 |0> +$0^ C+._2 I 0>J
r+ 2 J_3 p> = (43-3,-1/2{ -V7 cî c+_ 3 , 0 > + Vi7^I7 c ^ c+_2 |o>J (C,8)
Pour avoir les amplitudes spectroscopiques il suffit de cal
culer le recouvrement de
f C + 1 + ., 1 1° > avec l ' é t a t cons ide r ! |I I > = C t C i . . ] ^ - ^ l 0 >
I l v ien t a lo r s
I I , c+r, V3(3j-2)' k
(C,9)
Li?» ïactPars spectroscopiques sont simplement les carrés des
amplitudes d'où le résultat cité (C,7).
Probabilités de transitions électromagnétiques
Calculons enfin l'élément de matrice réduit de l'opé
rateur de transition électromagnétique T entre les deux
mêmes états |II> . C'est un problème de couplage de moment
angulaire qu'on trouve par exemple dans le livre de De Shalit
et Talmi (formule 26.33) f De Sh 63 1
~* 2 33r 1 J lT^I j 3 , I> = 3 l " 2 < j | | T L | | j .3
(-) j + j + I+L ( j I jA
J , p a i r
(C.10)
En u t i l i s a n t la d é f i n i t i o n (11,50) des q u a n t i t é s
^ i ~ Li . (j I-" j I) e t la valeur des cfp donnée en (C,5) i l
es t a i s é d ' o b t e n i r l e r é s u l t a t f i n a l
j 3 : III TU> j 3 , I> a l l "22 < C , 1 1 )
ffY"'"" " T " w ipmiiiii ••••.• » — « i p * -
281
Cette illustration a pour but de fournir les solutions
exactes du modèle en couches qui doivent servir de repère
pour les théories développées dans ce travail. En particulier,
les expressions (C,6), (C,7) et (C,ll) sont les formules de
base pour le chapitre III 1ère partie
J
282
APPENDICE D
QUELQUES ELEMEN... SUR LES DEVELOPPEMENTS BOSONIQUES
a - Généralités
T-os règles qui régissent le comportement cinémati-
que des phonons ne sont pas très simples. Néanmoins, les com-
.Tuta:curs des opérateurs de phonons présentent certaines ana
logies avec les commutateurs correspondants pour des bosons
pi:rs, la différence étant l'apparition de certains termes sup-
flc::i.'!Kaltiîs. Si l'on néglige ceux-ci les phonons devienne.".::
«os bosons ; quelques méthodes ont adopté cette liqne do pen
sée : celles utilisant par exemple les quasi-bosons de la Tamin-
Dancoff Approximation (TDA) ou de la Random Phase Approxima
tion (RI'A) . L'Hamiltonien qui en découle représente des bosons
sans interaction et,comme c'est un opérateur â deux corps, nous
avons affaire à un Hamiltonien harmonique. Outre que les spec
tres expérimentaux s'éloignent sensiblement de l'harmonicité,
des problèmes avec le principe de Pauli apparaissent rapide
ment. En effet, on peut empiler un nombre infini de bosons
tlar.s le même état, alors que cela n'est pas possible pour des
phonons. Des méthodes sont apparues qui tentent de concilier
la simplicité cinématique des bosons et le principe de Pauli.
îllles forment un vaste groupe que l'on désigne sous l'appella
tion générale de développements bosoniques (BE). L'idée géné
rale des BE est d'établir une correspondance entre les opéra
teurs d'un espace de fermions et ceux d'un espace de bosons en
imposant certaines contraintes qui sont destinées S tenir
compte du principe de Pauli.Le choix de ces contraintes et
l'usage qui un est fait déterminent les divers types de dévelop
pements bosoniques.
283
Il n'est pas question de donner ici toutes les possibilités
qui ont fleuri jusqu'à prisent. Nous nous contenterons d'indi
quer les différentes tendances et nous insisterons un peu plus
sur les approches qui ont été considérées dans ce travail.
Soient a- et a- les opérateurs de création et d'annihi
lation d'un fermion. Ce peut être une particule réelle ou une
quasi-particule. Nous demandons simplement la vérification des
règles d'anticommutation usuelles
K ' «jl - ° - !«j- «ïl h ' ai\ = a i j ( D ' U
Les développements bosoniques ont été largement utilisés pour
des systèmes à nombre pair de fermions et les opérateurs impor-+ + +
tants dans ce cas sont "les paires de fermions" »j a 2 ' cij a 2
dont nous rappelons l'algèbre ci-dessous
L 1 2 a+
3
[A. a2 +
«3
r + + [ al a 2
+ °3
P2 a l ' +
a3
«] 4J
524 a 3 (a)
(b) °23. al ^4 =14 °3 •
0 (c) <D,2)
°13 °24 «i
+ « 23 o 4 aj -624 oj ax
(d)
Nous introduisons à présent un espace de bosons abstrait«c'est
à dire qui n'est lié en aucune sorte â l'espace de fermions,
défini comme l'espace engendré par des opérateurs élémentai
res Bt, soumis aux conditions suivantes :
B12 = ( B12> B21 = " B12 (D,3)
[B12'B34] " [B12< B34] = ° [ B
1 2' B34]= * 1 3 « 24
Nous avons p résen té a i n s i une correspondance biunivoque en t re
les pa i r e s de fermions oij t», e t * - e s Posons B * , . I l ne faut
pas c r o i r e bien s'V que les choses sont aussi simples e t qu ' i l suf
fise de remplacer par ^ a. a , par B , . La correspondance ains:.
284
définie viole le principe de Pauli ce qui apparaît claire
ment en comoarant (0,3) avec (d) de (D,2) . De plus, les
images des operateurs a, a 2 n'ont pas été définies pour
l1instant.
Les pionniers des développements bosoniques sont Belyaev
et Zelevinsky (BZ) au début des années 60 I" Be 62 1. Leur + + +
méthode consiste à écrire les opérateurs a. a, et a, a 2
sous forme d'une série de produits d'opérateurs B et B de
façon à reproduire les équations (D,2) jusqu'à un ordre donné
d'un "certain paramètre de convergence ". Nous n'insistons
pas trop sur ce point puisque nous reviendrons en détail sur
une méthode dérivée de celle-ci.
Une autre approche a été suggérée quelque temps plus
tard par Marumori et alj Ma 64 a, b J. Au lieu de chercher
une correspondance entre opérateurs à J'aide de leur alg&bre,
ces autours ont cherché une correspondance entre états de tel
le façon que le princioe de Pauli soit toujours satisfait.
Ainsi à
J'ûtat \n -LZ i 0>de l'espace de fermions correspond
l''?tat B,Z jO)de l'espace de bosons. De même à
••»! "2 "3 a4 i°>-* 3" 1 / 2 ( B12 B34" B t 3
B24 + B+14 B 2 3 » I " e t
ai'isi de suite. A chaque état ] n> de l'espace de fermions
correspond un état jn)de l'espace de bosons vérifiant les
mêmes propriétés de symétrie. L'ensemble des vecteurs I rO
engendre un sous espace de l'espace de bosons total appelé
espace physique. L'espace complémentaire (qui contient des
vecteurs B | 2 B I 3 |0} par exemple ) est l'espace non phy
sique. On peut définir un opérateur de correspondance U tel
que 1 n- = U | n > (D,4)
U = £ 1 rO<n| (D,5) n
dont l ' a d j o i n t e s t
U+ = £ !n>c n | ( D / 6 )
285
On ne peut pas strictement parler d'U comme d'un opérateur uni
taire car nous avons les propriétés suivantes
Il U = i sur l'espace fermions (D 7)
U U = \f projecteur sur l'espace physique de
bosons.
La correspondance entre opérateur T de l'espace de (B)
fermions et T de l'espace de bosons s'effectue presque sans peine si on s'impose la condition naturelle.
< n'| T ! n > = C«'| T < B ) | "=> (D,8)
d'où l'on tire
(B) + T v ' = U T U
En remplaçant U et U par leurs expressions (D,6) et
( D, 5), en exprimant )n3> en fonction des opérateurs B et en
faisant usanc de la relation suivante
! 0}C° ! =;exp - \ 2-( si2 Bi2 : n , 9 }
(B ) '
nous obtenons T v sous forme d'une série infinie des opéra
teurs B" et B d'où le nom de développement bosonique. En par
ticulier, les premiers termes c
Oj a j sont données ci-dessous
ticulier, les premiers termes des opérateurs a . a , et
K î> < B )= <2 - ï"- ^ Î 2 Ç ^ "34 " % §4 +3 B,} B 3 4 • ...
3
Cette approche semble très attrayante car elle respecte
le principe de Pauli entièrement (à condition de considérer la
série infinie) malheureusement elle est très peu convergente.
Nous analyserons également un peu plus loin une variante
plus convergente de cette méthode.
Marshalek TMa 71 j a examiné la relation qui existe
entre les deux méthodes précédentes. Il a montré qu'un opéra-
tour obtenu par la série infinie BZ possédait les mêmes élé
ments de matrice dans l'espace de bosons que dans l'espace de
fermions . Contrairement au BE de Marumori les opérateurs BZ
r. 'arn-hi. lcr.t pas tous les états spurisux (c'est-à-dire les
286
états en dehors de l'espace physique); il n'existe par contre
aucun couplage entre les états physiques et les états parasites.
La truncation à un développement BZ fini conduit à de tels
couplages mais le même phénomène se produit dans une approche
du type Marumori.
Une troisième tendance importante a été introduite
par Janssen et al, f" Ja 71 ] et constitue une généralisation
des anciennes méthodes de Dyson T Dy 56j et de Holstein-
Primakoff [ Ho 40jen théorie du magnétisme. En jouant sur
la définition de l'opérateur de correspondance U, ces auteurs
parviennent à définir deux représentations de quelque utilité,
qui donnent aux images des opérateurs de fermions une forme
particulièrement attrayante, (à condition d'agir sur l'espace
physique).
1° Représentation de Dyson :
Il suffit de remplacer partout dans l'expression de
1'opérateur -i. a.
) 3
1 2 par B.j - 2~Ê 1 J 3,4
»» »M B34 (a)
par B 1 2 (b)
P" S B13 B23 (c)
3 ( D, 11 )
On se convainc sans peine que dans cette représentation l'ima
ge d'un opérateur quelconque dans l'espace de bosons admet
un développement fini. Par contre, il est transparent d'aprës
(a) et (b) que cette représentation ne conserve pas l'hermiti-
cité. En particulier, un opérateur hermitique (l'Hamiltonien
par exemple) dans l'espace de fermions n'a plus aucune riiison
de le rester dans l'espace de bosons. Cela peut conduire dans
certaines circonstances à des valeurs propres complexes
gênantes.
287
2* Représentation de Holstein-Primakoff
Ii suffit de remplacer partout
+ + • + 1/2-B (1-R)
12 ta)
u a 2 1 — • (1-R) 1 / 2B
12 (b)
1 2 ^ 1 3 c23 (c)
3
R 1 2 = £ B23 B13
P,12)
Dans ce. cas-lâ, l'hermiticité est conservée. Les développe
ments s'obtiennent BOUS une forme fermée finie mais bien
entendu si l'on exprime la racine oarrée de 1-R en fonction
des opérateurs élémentaires B et B nous tombons à nouveau
sur un développement infini de i. a 2 ...
On pourrait multiplier sans fin le nombre de BE que
l'on trouve ici ou là ; en fait ce ne sont que des variantes
de ces trois approches fondamentales telles les deux métho
des que nous exposons ci-dessous. Dans son cours d'école
d'été â Prédéal, Dreizler f" Dr 73 I a fait une synthèse
remarquable sur l'état des BE en 1973. Les deux variantes
que nous présentons maintenant ont été utilisées dans la
troisième partie.
b - Variante du BE de Belyaev-Zelevinski
cette nouvelle approche de développement bosonique
est le fruit d'un travail reporté dans une série d'articles
par Sjrfrensen T Eo 67 ,68a,68b,70a,70b,73 , Br 68 "7 . Cet
auteur n'a considéré que des applications très simples. La
méthode a b' '• généralisée plus tard et appliquée de façon
plus réaliste et extensive par Kishimoto et al I Ki 72,
Ka 76a, 76b, Ta 75, Ki 76 1. La présentation que nous pvo-
posons,ainsi que 1.» discussion sur les solutions complexes,
est entièrement originale et a fait l'objet d'une publica
tion. T Si 77 al .
288
La philosophie de ce BE est en tout point analogue à
celle de Belyaev-Zelevinski. La différence est qu'on permet
l'apparition d'un terme constant dans l'expression de
\ . i~ e t qu'on choisit un développement fini de ce mémo
opérateur. Quelle forme prendre pour le développement ? Comme
i n se comporte a l'ordre le nlus bas comme un boson B , il
est naturel de considérer un développement de a t qui aug
mente de un le nombre de bosons. Dans le même ordre d'idée,
le développement de r" a conserve le nombre de bosons. A
notre connaissance tous les développements bosoniques vérifient
cette contrainte qui n'est pas nécessaire mais qui est suffi
sante. Suivant également SsJrensenTso 67 Jpuis Simard et
Banville I Si 72 , Ba 70, Si 67 , 69a , 69 b Ion peut,pour
i.i-, , prendre toutes les combinaisons possibles des B et
B r:ul contiennent les indices 1 et 2 dans les opérateurs do
cr-c4ti.on et sommer sur les autres indices possibles qui
.ip;:tu-nissent une fois dans les opérateurs B , une fois dans
des opérateurs B. Nous adoptons un choix similaire pour
,. . t , - Enfin, à une combinaison donnée, nous affectons un
•joef ricient constant ce qui est peut-être la contrainte la
plus drastique. Le fait que cela marche nous a toujours semblé
mystérieux et fait penser » en dessous de tous les développe-
monts bosoniques, 3 l'existence d'une règle plus générale.
Pour préciser 1' ansatz adopté nous donnons le développement
.4.USCÏU' au sixième ordre
6 , v + x, 2-( B+ 3 B 2 3 (D, 13) It T "2
B12 + a B12 fft
B34 B34 + b f - B U B24 B34 £ 3 . & . 6 B » B 5 6 B 5 6
B 3 4 ^ 3 if- s"Ï3»Î4"Î6" S6»34 £ £ B n B 2 4 B S 6 B 3 5 B 46 + s B t 2 Z j B34 B56 B35
3,4,5,6 3 ,4 ,5 ,6
(D ,14)
'46
289
Pour être tout à fait général, nous laissons la liberté aux
différents coefficients d'être complexes.
Nous demandons à ces développements de satisfaire
l'algèbre des paires de fermions ordre par ordre,en permettant
toutes les contractions nécessaires. De cette façon, les
termes d'ordre bas ne seront plus influencés par des composan
tes d'ordre supérieur du EE. On peut également définir des
approximations oïl l'on interdit certaines contractions. Nous
reviendrons sur ce point plus tard. Ainsi, en contractant des
termer pq par exemple on peut obtenir des termes B B B BBB
que l'on doit considérée si l'on désire un développement au
65me ordre.
La vérification du commutateur ( D ,2a)
fournie les equations
x *<., - x ax- - a b x 9 = b p x 2
E p
q x ^ ^ q r x _ = r S x - - S (D,15)
d'où on déduit immédiatement et sans ambiguïté x- = 1. Avec
cette valeur de x_ (0,2b) est automatiquement satisfait.
De plut., le commutateur ( n , ? cl est satisfait jusqu'au 4ême
ordre et au 6ème ordre nous obtenons
xq - ab + 2aq - 4bp + br - 2xs - 4as + 4bs = O (D,16)
Quant au commutateur ( D, 2 dlil fournit les équations les
plus intéressantes mais aussi les plus compliquées à savoir
à 1'ordre 2 :
Jx|2 = 1 - 2 x o (D ,17)
3 l'ordre •) :
2 |a| 2 *\b\2 + 2 Re (ax*) = 0 (2 fois)
|b| 2 - 2 Ref"(bx*+ 2 ab*)]= 1 (D ,18)
290
à 1 ' o r d r e 6
8 I p C +| qj + | r | +| a| + R e [ 8 a p + 2 x p + bq + 2 b s + 4qs I =0
8 | p! 2 + 2| q! 2 +; r | 2 + 4| s | 2 +| a] 2 +2 Be [ « ap + xp + b* J =0
2 ' r ' 2 - R e [ x q + a<b + 4 a 1 q + 4b*p + 3 b r + Spq'V 6 q r *
+ 2 x* + 8 à*s - 2b*s - 4 qs*+ 4 r s * + 16 ps*J = 0 (H ,19)
2 ! q 1 r | 2 - Re £xq + a t + 4aq + 4b1? - b*q +r?r + 8pq*
+ 2qr*+ 4 r s * l = O
4 | q l 2 + 4 | r | 2 + ' b | 2 + 2 ReTx^r + 4 a r + 4b*q - 2b*r + 8pr* +
- 4 q r*+ 4b*s + 8 q s * - 4 r s * J = 0
t i 'q] 2 + 4] r | + 16| s | 2 + | b | 2 + 2Re Q t r + 4 a r + 4 bq - 2br
+ 8 p r * - 4 q r * - 4 r s * ] = O
- r ' ~ - 4 | s . 2 + 2 R e j b r + 2 q r*+ x* + 4 a s i- 8psp] = O
I c i le symbole ! ' s ign i f i e module e t Be pa r t i e r é e l l e du noTbre complexe.
I l nst à r e m a r q u e r que t o u t e s c e s é q u a t i o n s s o n t q u a d r a t i q u e s
o t p a r c o n s é q u e n t p e u v e n t n ' a v o i r aucune s o l u t i o n ou au
f O " . r r 3 i r e une i n f i n i t é . P r o c é d o n s à p r é s e n t é t a p e p a r é t a p e
on commençant p a r ( D , 17) . I l e s t év-i 'Jent q u ' o n d o i t
p r e n d r e x r é e l e t de p l u s soumis à l a c o n t r a i n t e
x ^ 1 / 2 . On p e u t de même s a n s p e r t e de g é n é r a l i t é c h o i s i r x
r é e l c a r s a p h a s e p e u t ê t r e p r i s e comme une p h a s e g l o b a l e de
( D , M ) , q u i n ' a f f e c t e en r i e n l e s é q u a t i o n s u l t é r i e u r e s . r v r
c o n s é q u e n t , on p e u t t o u j o u r s c h o i s i r
x = ( l - 2 x o > 1 / 2 ( D ,20)
Cherchons, à l ' o r d r e 4, l es solut ions r é e l l e s . Nous modifions
un ncu i,u, 18) à l ' a i d e du changement de variables a = A - -j
!
• , •> 2
2 A + b " I ( D ,21)
b 2 - 4 Ab = 1
2'jl
Nous éliminons facilement A pour obtenir l'équation bicarrée
H b 4 - 2(2x2+l) b 2 + 1 = Q ( D,22)
Pour qu'une telle équation admette une solution, il faut
non seulement que le discriminant réduit soit positif mais
aussi que les racines soient positives. Le discriminant réduit 2 ' 9
vaut 4 (x -1)(x +2). L'existence de solution entraîne x > 1 ou encore x < 0 condition olus restrictive que la condition
o ~ - •*
x < 1/2 déjà citée. Dans ces conditions, { D, 22) admet: 4
so lu t ions
= ± j l * " 2
[< x" - L±S> » , 2 3)
Une fois b déterminé, A^donc a.découle sans ambiguïté
do ( 0 ,21). Existe-t-il quelque raison justifiant le choix
d'une solution b plutôt qu'une autre ? Mathématiquement, au
cune. Physiquement, nous demandons néanmoins que le développe
ment bosonique soit convergent. Un des tuts de l'introduction
du paramètre libre x est. justement de permettre une nc-i 1 leuro 2 convergence. Comme x > lfun critère possible est l'étude des
coefficients comme fonction de x lorsque >: 1 . Ils doivent-
être si possible petits,donc se comporter comme 1/x' {m ^ 1 ) .
Ce critère permet d'éliminer deux solutions pour b-à savoir,
collcsavec le signe + dans le crochet. Pour le choix du signe
global, nous demandons que pour x = l, nous obtenions un dé
veloppement du type Marumori (voir (D ,10)!. Cela nous impose
lo signe t- et nous donne la solution réelle retenue pour
ur. développement à l'ordre 4
a = I {2 V ^ 7 + Vx 2 + 2 - 3 x[ * - | X"3
h = I { V x ^ - Vi^2 } « Le produit B j ^ ^ i ^ i a présente un "ordre de symétrie" plus
élevé queB t-.B*4B ... e t le coef f ic ien t a, qui y e s t a s soc i é ,
présente une convergence plus rapide (en x ) que Le c o e f f i
c ien t b (en x ) . Nous verrons qu'un t e l phénomène es t Sgale-
irent valable à un ordre supér ieur . En passant de l ' o r d r e 2 à
l ' o r d r e 4, nous avons r édu i t le domaine de v a r i a t i o n de x . o
Kr.'.re l / 2 < x <0 (ou 0 £ x <l ï un développement d 'o rd re 2
1 - 1 2 X
t D ,24)
292
e x i s t e na is un développement r ée l d 'o rdre 4 e s t impossible .
11 e s t naturel de se poser la quest ion de l'existence d'un déve
loppement complexe d 'o rd re 4 dans c e t t e région. A cs>tte f in ,
nous désignons un nombre complexe a sous la forme
a s a, + i a 2 -
L'équatior. ( D,l8) modifiée par le changement de va r i a
b le sur a s ' é c r i t dans ce cas
= 2 A,
( D,25)
( D ,26)
1
h. O, f, - O > correspond à ia sahi! 1er. rOx-1 r.e ayr>tême \ t..
.iôjà âludiée-Dar.s ( D,25) nous voyons que L. do i t êLre s t l j c i o -
ment néçatif. En
biearce
éliminant A ? nous tombons sur l'équation
9 b!j + 2 (4 E : + E.,) b\ + E^ = O ( D ,27)
Cette équation n'admet de solutions que si le discriminant
ot le.- racines sont positives. Il est facile de voir que ces
conditions se réduisent à
"l ( D ,28)
En reportant les valeurs de E et Ej tirées de ! D ,26) dans
la 1ère inéoalité ,l'existence de solutions est soumise à
la condition
(2 Aj +bj) 2 + 1 - x 2 é O . ( D ,29)
Dans la région où nous cherchons une solution complexe, 2
1-x ost>0 et,par conséquent,( D ,29) n'est jamais satisfait.
Conclusion, s'il n'existe pas de solution réelle à l'ordre 4,
il n'existe pas davantage de solution complexe.
Poussons l'étude un cran plus loin et occupons nous de
'ardre k. Nous nous plaçons d'emblée dans le cas où nous
2 9 3
rr.r i i; i ssn:;s la solution rée l le ( £ , 24) pour a et h. Ainsi
• :or!L- x, J'-'- b s.ir.t connus,et le problème revient à déterminer lus
.:o< fti~Lonts p , q , r , s qrâce aux equations ( 0 , 1 9 ) . A promièro
v.ie, on pourrait sa dôeouraqor c a r avec 4 variables nous de
vons résoudre 7 équations, 3 avec ( D,16); néanmoins on
voiL «ans peine que sur les sept équations plusieurs sont des
r,.p:i: j liaisons l in t a i ros d 'autres e t on peut aisément réduire
o- syst-ènc: rïe sept équations à un système de cinq e::uaticr.s
>;ui sont t ranscr i tes ci-dessous
Re r < q - 2 s ! (q*- 2 s * b ) l = 0
a" i i i . p ; ' + 2 q; 2 + 1 r: 2 f 4 | s i 2 + 2 R e | 4 a p + xp + bq ~|- O
- M ' - ! r ! " + Ke | xq t ab + 4 aq + 4 bp - bq + br+ B pq
+ 2 .ii:*+ 4 r s ^ = O
: ' ' S <: " * i r ; ' +16 s ! J < 2 R. T>: r t -1 a r t 4 ;.•; -
¥• * n s '.•: • o y r - 4 q r - 4 r s I- O
, 2 r * *n r - 4! s * 2 te br i 2 qr < «s * < as t 1 i;s - C
; r. , 30)
I,a première équation admet la racine suivante
„ = 2 « - b/2 • V " 2 ±! ( D , 3 1 >
où •' est un angle a rb i t r a i r e t e l que O é ' X a
1/i nt i oduction des par t ies réel les e t imaginaires de n
?j • 2 9j - h s in 2 " ( 3,32)
q ? = 2 s„ - b sin "' cos "
dans les équations restantes nous fa i t constater q u ' i l existe
encore un Lien entre ces quatre équations qui perir.et de
rt'-Luire le système 5
r = 4 p - 2 s + 2 a + | - (a + | ) e~ 2 i i ; '
2 2 o = F ( (Xja.b.pj , s . ,••) + If> s , + 24 p , - 16 p , s ,
+ 2 [> (2a +:•:) p 2 - (2a + 2b -ix) s J sin 2 " ( D,33)
-) 2 '. =- i-'., >x,a,b,PjS. , •'•) + 24 s : + 16 p ' - *4 o . s ,
^ 2 ( 2 J + 2b + x) p , - cfia + 2b + Ix I s , sir, 2 • -
294
avec
! U,a,b,Pj .Sj.e) = 16 Sj + 24 pj - 16 PjS, + 2 a (l+4sin-; )
+ 8 a p (3-cos 2?) + 2 x p (3-2cos 2 •)
- 4 as, (2 - cos2ï:)
+ 4 b s, cos 2 G- 2 x s. (l-cos 2") 2 + 6 ax sin s ( D #34)
F.,(x,a,b,Pj,s ,9) = 24 s 2 + 16 p 2 - 64 PjSj + a 2(l+ 8 sin 2 )
j. 2 • 2 « + x sin °
- 2 ab(l-4air. :"• ) + 6 ax sin •.+ 2bx sip.
8 ap, (2-cos 2 = )
- 4 as, ( 8 - 3 cos 2'.') - 8 bp, cos 2-'-
+ 4 bs, cos 2f- + 4 x p, ( l-cos 2 ; )
- 2 X s,(4 - 3 cos 2")
Il est facile de vérifier que la valeur de r ainsi déterminée
pcrmyt de satisfaire la huitième équation ( D ,16) qui ne s'é
tait jamais manifestée jusqu'à présent.
Nous restons avec deux équations et deux inconnues.
La recherche des solutions réelles se ramène au système
e = o ou r,/2 F (x.a.b.Pj.Sj.O) = 0 ( 0,35)
F 2 (x.a.b.pj.Sj.e) = o
Avec le changement de variables i p, = P + -TQ ja(20-6 cos 2e) + 2b cos 2o+x(5-3 cos 2;,)[
Sj = Sj + C Q ^ 0
2 B <2a + 6b + x[ ( D ,36)
Nous pouvons mettre le système (D ,35) sous forme
quadratique homogène et l'élimination de S, fournit une
équation bicarrée en Pj dont il n'est pas utile de donner
l'expression ici. On peut montrer que cette expression r.'ad-2
nîct de racines que si x > 2 (donc x ^ - 1/2) . Nous avons réduit à nouveau le domaine de variation du paramètre x .
295
î'our chaque valeur de c- l'équation bicarrée admet 4 racines
distinctes et comme il est permis de prendre les valeurs O
et •=•' pour 9 , nous avons 8 solutions possibles. Le critèr
défini précédemment pour choisir parmi ces solutions s'appli
que encore dans ce cas et nous restons alors avec une solu
tion unique, à savoir :
2 - l - 5> !x 2+2 . 4 > ' x 2 + 4 / * - | x - 3 (15,37)
I l e s t r e m a r q u a b l e de c o n s t a t e r â nouveau l a r e l a t i o n
<i\jà c i t é e e n t r e l ' o r d r e de s y m é t r i e " -.l'une; cumbi n a i ^ . : :
^ t ' a é r a t e u r D e t l ' o r d r e de c o n v e r g e n c e du p a r a m è t r e ïi.i • •_i
e s t a f f e c t é .
Cherchons s'il existe des solutions complexes uar.s le
domaine où les solutions réelles d'ordre 6 sont interâi es;
autrement dit, existe-t-il des solutions complexes pour
1 . x < V2 (ou - -ô^x 4 0 ) . Pour cela, nous partons de (D ,33)
et effectuons le changement de variables
P-> " p 7 ~ Jn < 6 a + 3x - 2b) sin 2 '' 40 (D, 38)
•j^ (2a + x + 6b) sin 2 S
.\ l'aide de ces nouvelles quantités, le système se trans
forme en
(D.39) jl6 S2. + 24 P 2 - 16 P 2 S 2 + f31(x,a,b,p1,s1,f
1) = O
24 S 2 + 16 P 2 " 64 P 2 S + G2(x,a,b,p2,s2,f,) = O
où
Gj (x,a,b,p1,s1,e) = Flu,a,b,p1,si,a) +• jg ^2-7x J sin 2 2 0
G2(x(a,b,p,,Sj,e) = F2(x,a,b,p1,s1,L:) + -|Q Tl4 - 9x2J sin 2 2r>
Lorsqu'on élimine S^ du système quadratique, il subsiste '
une équation bicarrée en P,
296
14 4O0 P^ * 80(11 Gj-4G2) P2 + (2 G 2-3Gj)
2 = 0 (11,41)
qui ne possède de racine que si les conditions suivantes sont.
vérifiées
2 G < G 2 < - Qx ! D,42!
Lorsqu'on repor te G. e t G dons la 1ère i n é g a l i t é e t qu'on f a i t usage de ( D,18) i l devient évident que ( D, 42) e s t équivalent à
r i ( h 2
2 4p,+2s, + f I 2a (4-cos 2 0) + 2b cos 2 n + x (2-cos 2») j
+ i (2 - x 2 ) < 0 ( U,43)
Dans le domaine de v a r i a t i o n de x que nous nous permettons 2 - x e s t ' O, par conséquent ( D,43) n ' e s t j ana i s s a t i s f a i t e e t i l n ' e x i s t e pas de so lu t ion complexe à l ' o r d r e (J dans ce cas--là .
La conclusion de c e t t e longue étude c ' e s t q u ' i l exisU: des aones du paramétre x (ou x) où,S un ordre donné,]e pr inc ipe de Pauî i ne peut â t r e s a t i s f a i t cor rec tenent par un t e l type de développement bosonique. Là où c'est poss i b l e , i l ex i s t e une seule so lu t ion r é e l l e suffisamment convergente e'. une i n f i n i t é de choix de coe f f i c i en t s coir.ple-
/2" - I -
-1/3 V 2 l
développement à l'ordre 2
développement S l'ordre 41
développement à l'ordre 6 I
(D,44)
Le but de cette variante était l'introduction d'un para
mètre libre x qui accélère la convergence. Nous venons de
montrer qu'il est nécessaire de se fixer des limites précises
pour ce paramètre. Il est probable que si l'on exigeait una ve
rification du principe de Fauli à des ordres supérieurs, les
limites seraient encore plus restreintes annulant par là même
l'avantage d'une meilleure convergence. Il a été écrit] So 7 il
qu'outre l'accélération de convergence, le paramètre x pou
vait avoir d'autres usages, en particulier une minimisation
des effets des états parasites dûs à la non conservation du
nombre de particules. Il n'est pas évident a priori que la
minimisation de tels effets et la prise en compte correcte du
principe de Pauli soient compatibles, en tout cas cela demande
une analyse sérieuse.
Un BE à l'ordre 6 requiert une valeur de x £ -1/2. Une
telle valeur peut être gênante sur quelques points. En parti
culier, certaines parties de l'Hamiltonien - ou d'un opéra
teur de façon générale - sont susceptibles de devenir anor
malement grandes et leur influence néfaste car non contreba
lancée par les termes provenant d'un développement poussé à
des ordres supérieurs. De plus, l'image du vide de fermions i (B)
|0 > = x / ODs'éloigne de plus en plus du vide de bosons
|0 rendant plus difficiles les interprétations des résultats.
Pour pallier cet inconvénient, Kishimoto et Tamura ont été
amenés à chercher des solutions approchées -donc violant
partiellement le principe de Pauli - a un ordre aonné pour
des valeurs de x qui interdisent une solution exacte au même
ordre. Pour ce faire, ils excluent du calcul
du commutateur |aa,a o J â e s termes qui sans les contractions
sont d'un ordre plus élevé que l'ordre désiré en i a . Plus
précisément, si on désire aller jusqu'à un ordre N il faut
considérer uniquement la partie de a a d'ordre n <N et
la partie cm d'ordre n'< N. Ces deux parties donnent naissance,
dans le commutateur, à un terme qui contient n+n' opérateurs
B et B. Il se peut très bien que n+n' soit supérieur à N
mais qu'une fois effectuées toutes les contractions nicessai-
298
res il reste N' opérateurs B^et B et N'^N. De tels termes
ont été inclus dans le traitement complet mais sont omis
dans le traitement approché. On peut faire un classement de
1'ordre des termes avant contractions. 2
ordre 2 : x ordre 4 : ax, bx
2 2 ordre 6 : a ,b ,ab,px,qx,rx,sx
ordre 8 : ap,aq,ar,as,bp,bq,bs 2 2 2
ordre 10 : p ,q ,s ,pq,rpr,ps,qr,qs,rs
Ainsi, dans le traitement approché,si on désire un développe
ment à l'ordre4,il taut inclure les termes en ax et bx mais 2 2 non les termes en a ,b et ab,ce qui change les équations
( D,8) en 2 a x " ° soit a " ° ,
b = " fx nans ce ^as la seule limitation du paramètre x est x < 1/2
et non x ^.0 comme dans le cas complet
De même, pour un développement à l'ordre 6,nous restons
avac
(D,46)
Les approximations contenant de tels développements
ont été testées dans la troisième partie de ce mémoire.
(D,4E - 2bx = 1
a +2px = 0 a 2
P " " 55 ~ 1
128 -7
x
qx+ab = 0
b 2+2rx = 0
soit « - - * £ ~ 1 16
-5 x
2 xs = 0 r 2x s = 0
1 8
x " 3
variante du BE de Marumori
La méthode de Marumori est sans aucun doute la plus pro
pre en ce sens que les états parasites provenant de la viola
tion du principe de Pauli sont complètement absents lorsqu1
on ne tronque pas le développement infini . Par contre, le
développement est infini et surtout peu convergent. Kleber
[ Kl 69 ~] d'abord/puis Lie et Holzwarth | Li 75 (ont
299
modifié quelque peu la méthode pour la rendre plus conver-
qente dans le cas où il existe des phonons collectifs, ce qui
arrive fréquemment dans des problèmes réalistes.
Dans l'approche originale de Marumori, au vecteur de
l'espace de fermion | n > = a , ûj, a 2 a 2, — a a , | 0 "••
correspond le vecteur | nz> de l'espace de bosor.
L < - > P P » u . B2 2,... B; n, lo: V (2n-l)!! p
(D,47)
où p signifie une permutation sur les indices qui "changent
quelque chose" (une permutation ii' * i'i est exclue ,de mê
me que les permutations qui changent les blocs do ii'
entre eux).
L'opérateur de correspondance U défini dans (D ,5) s'écrit
plus explicitement
n=0 (2n) ! yTSwTTP i,i' p u = I* ,„.,,,,_ Z-/, Z-<(-)-(PB 1 1,B 2 2 1... B m.) lo;
<D,48)
La correspondance en t re opéra teurs a é t é rappelée en ( D, 8 î •
I l peut s ' avé re r i n t é r e s s a n t pour é tud ie r c e r t a i n s noyaux
d ' i n t r o d u i r e dès phonons d i t s c o r r ë l é s
P+ = - X ! X?, «î A r a 2 ^^ 12 .1 2 1,2
et les bosons corrëlés analogues
r + = A E x-2 2 1,2
Il est trivial d'inverser ces relations à l'aide des condi
tions d'orthogonalité imposées aux X. De plus, on se rend
compte sans peine ào la correspondance
U P*!o> = r* | 0 3 (D,49)
300
En exprimant U â l'aide des quantités corrëlées, nous parve
nons à la formule suivante
1 n <D,50)
Cette formule est exacte bien que les états Pr ...P j 0 >
ne soient ni normes, ni orthogonaux.
La forme ( D ,50) de U s'avère particulièrement utile lorqu'on
travaille avec des phonons collectifs . A l'aide de l'ex
pression de l'opérateur de projection
10 3 co I = :exp - | L B*. B ,: = :exp - Y* r + P : 2 172 1 2 l a a ° ! D' 5 1 Î
(El + on peut exprimer directement l'opérateur T « U T U sous forme normale en termes de boson r une fois qu'on a su calculer < 0 ! P ... P T P + ... P + i 0 >
an a 1 a 1' a n'
C,m,nO
\/(2 i)n(2n-i)n- V < 0 | P ...p w+.p+|°»«
! (2n) ! (2m) ! *—' an al al <V a r
u n ° i ' ..«n' Si . . . » *
<V
(D,52)
Tant que U est utilisé sous sa forme complète (D , 50),c'est-â-dire avec une somme infinie sur n et sommation sur tous les phonons o i fU conserve l'algèbre des opérateurs»autrement dit la correspondance
g = RS = > Q ( B > = R< B> s ( B ) ( D ' 5 3 '
Si on a bien l'égalité ( D ,49) sur les vecteurs, l'égalité
analogue bcr les operateurs n'est plus valable et doit être
remplacée par
301
U P + u += r
+ + Z l c° r V r o a 1T273 0 i a 2°3 a l °2 a 3
E 2 3 4
et par suite de façon plus générale
+ + + c a r r r r r +... a 1 a 2 a 3 04 o 5 ax a 2 «3 04 05 12 3 4 5 ( D r 5 4)
• 1 . . 3 . n
0 P+ 1
u+ = > * * ' £-J a,,
l'2'...n' 1 '
+ + + r r r
,.a.n' »i' = l 2 , a
+ n+l
r * r +... (D,55)
Si on F
appelle N v
1
.. •„ la norme de l' n
'état P + ...P + 1 0 >
«1 V et N B
0 la
1 1 • - • a n
norme de 1'état r °< 1
..r C >nous avons ftn
U N F
a 1 •
P +
• • a n a 1 • • • p+ io> = y p.*1" « ( B > x
» 1 a i , . . . o n ,x
r
+ r+ 10 => (D.56) 0 1 " " »n'
Il est à noter que le vecteur de droite est norme puisque
U conserve la norme des vecteurs. Par conséquent, la
méthode originale de Marumori conduit â des correspondan
ces entre opérateurs corrélés qui n'ont rien d'agréable car
s i P + | 0 > ^ r + | 0 3 ( D ' 5 7 )
par contre H P P + -. .P+ 10 > \A if r + " +10 3 • l s n »1 «n 7\ a l " - u n ° l an
Déplus, l'emploi de tous les phonons corrêlês est impossible
dans la pratique. Ce qu'on fait généralement,c'est de se
limiter au sous-espace des phonons dits collectifs,que nous
noterons sans indice pour les distinguer des phonons non
collectifs ,où nous conserverons les indices. En gros cela In) j-
consiste â écrire T (r , r ) et ne gaxder que la par-(B) + 3i a i
tie T ^ ' en r , r 3
T t B ) !r + r ) = T r ' ' ( " + r t + T ( B ) ( r + r + , r , r ) r
a i ' r a - col 1 1 ' " + TOl-non c o l 1 ' ' r
a ± ' • ' a/
+ T , , <r+ i r ) (D,58)
non col-non col a ai (Bl
Comme avec la méthode décrite les opérateurs T arrivent
directement sous forme normale, il est aisé de se convaincre (B)
qu'on obtient la partie collective T en utilisant les parties collectives de U, U + et |05£0 | . Plus explicitement, cela veut dire qu'on ne considère que les opérateurs
_ Y * 2"\/(2n-l)!i ;-
u coi= Ç 2 " ( 2 f e - 1 1 1 ! ' P + n l o > c o | r " ">.">
+ : exp - r r •
Malheureusement, il découle de ces simplifications que
l'opérateur U . n'est plus unitaire
u ol ueol ^ * col Projecteur sur l'espace de fermion
collectif (Dr60)
et en conséquence
si Ç> = R S alors Q < ^ * R ( * o l S £ [ (D,61)
La différence s'introduit lorsqu'on écrit R S
sous forme normale:il existe une infinité de contractions
possibles d'opérateurs non collectifs qui donne
une contribution à l'opérateur Q '. ; ces contributions
sont bien entendu absentes du produit R' B; S , ,qui ne col col
permet que des contractions d'opérateurs collectifs. Il en résulte également que les normes des états ne sont pas
conservées - sauf la première - c'est-à-dire que
Ucol N n P + " | 0 > = M n r + n|0^mais M n / N® (D,62)
303
e t en p a r t i c u l i e r
< « nî<o|P» T P + « : o > t < ««.coi r " T « > -•-.•, 0 =
(D,63)
La variante due à Kléber puis à Lie-Holzwarth rernédie à tous
ces inconvénients en changeant un peu la correspondance entre
états, donc en changeant l'opérateur 0 en un opérateur
V ? u , tel que
V » ' P + n ! 0 > = H B r + n | 0 3 W (D,64) n ' n n
L'expression de V est immédiate
V = H N n x r+ n ; 03< 0 | P n x N£ (D,65)
n=0
à comparer â l'expression analogue de U_ 0i- Maintenant V est
un opérateur unitaire sur les espaces physiques collectifs.
Il y a aussi correspondance entre les éléments de matrice
de T et de <g ( B ) = V T v + ^ T ^
CB>
N B N B
n , c o | r n e r + n | O D = N £ N F
n , <o | p n T p + n ' | o > ( D , 6 6 )
N est facile à calculer,et une fois o ; donné .son ëlë-n '
ment de matrice ne pose pas non plus de difficultés,ce qui
n'est pas le cas de l'élément correspondant de l'espace de
fermions.En fait, la difficulté s'est déplacée et repose
maintenant entièrement sur le calcul de 6 . Nous traitons
de ce sujet dans la dernière partie de ce travail où,pour
des raisons de commodité,nous avons fait les substitutions
V -0, r *B et 6 ( B ) * T ( B )
Tant que nous restons dans l'espace collectif, cette
méthode est beaucoup plus convergente que celle de Marumori
puisque les branches non collectives ne nous gênent plus.
304
APPENDICE E
ORTHOGONALISATIDN CANONIQUE
Considérons un espace de Hilbert engendré par N vecteurs
!$(> . Cette "base" de vecteurs est non orthonormée et peut être
éventuellement surcomplête. Il existe plusieurs algorithmes
pour construire une base complète et orthonormée de vecteurs
!m > . Le plus ancien et le plus connu est la procédure de
Schmidt qui orthogonalise vecteur après vecteur.
Depuis lors, d'autres méthodes sont apparues; LSwdin Lôw 67 I
en décrit deux : 1'orthogonalisation canonique et l'orthogonali-
sation symétrique. Sau et al. V Sau 78 | ont proposé une
nouvelle méthode très performante pour les espaces de dimension
élevée. Tous les algorithmes ont besoin des données de base
que constitue la matrice de recouvrement.
ûij * <H 1+ j * i,j=l,...N (E,l)
C'est elle qui définit la métrique de notre espace de
Hilbert. Dans ce court appendice, nous analysons la méthode
canonique de Lowdin que nous avons employée dans toutes nos
applications. Elle a l'avantage d'être simple à formuler et
à comprendre. De plus, elle se révèle d'un emploi très facile.
La matrice de recouvrement est hermitique et définie
serai-positive. C'est une conséquence immédiate de la définition
d'un produit scalaire dans un espace de Hilbert. Les valeurs
propres sont réelles, positives ou nulles. De plus, il est
toujours possible de trouver un ensemble de vecteurs propres
de cette matrice mutuellement orthogonaux (que les valeurs
propres soient distinctes ou confondues).
Considérons donc l'équation aux valeurs propres
î=î
Aij " j ^ = AP n i P > i = 1,... N (E,2)
305
à laquelle on adjoint les conditions d'orthogonalitê
j=i
La condition (E,3) signifie que la matrice n i
P est unitaire
et par suite on peut également écrire
V n ( p ) * n j p , > - « ± J i.J - !-•-« <B,4> p=l
Soit l a
D ^ l e vecteur défini par
H
£ -, n ^ P ) | <p -- P = 1 N (E,5)
j=l
De là on calcule facilement
i.j i
De cette formule nous tirons une première conséquence : à une
valeur propre X nulle correspond le vecteur !« > défini
par (£,5) q'-ii est le vecteur nul puisque sa norme est nulle.
Parmi les N valeurs propres trouvées supposons que nous ayons
obtenu n valeurs propres \ différentes de 0. Il n'est pas
difficile de montrer que les n vecteurs |s > associés à ces
n valeurs propres engendrent tout l'espace de Hilbert. Dn vec
teur quelconque pouvant toujours s'exprimer à l'aide des vec
teurs |(jj > (ceux-ci engendrent tout l'espace par définition),
il est suffisant de montrer que tous les |<ji.> s'expriment
à l'aide de n vecteurs |s > . Pour cela, partons de (E,5)
multiplions les deux membres par nj et sommons sur
toutes les valeurs de p
p-i j=i p-i j=i
30 6
I*. >= V 1 n i p ) Is > Vi = l,...N (E,7)
Nous pouvons séparer la sommation de gauche en deux parties :
une partie sur les n vecteurs | s> associés à des A ^ 0
et une partie sur les N-n vecteurs I s_ > associés à des A =0 ' P P
Comme ces derniers vecteurs sont les vecteurs nuls, on
peut réécrire
^ • • ' ' * • E n
P = i La proposition est démontrée. D'après la relation (E,3) on
montre sans peine que les n vecteurs |s> sont mutuellement
orthogonaux. La norme est donnée par (E,6). De là, on
déduit que les n vecteurs |m> définis par
IV = " 7 ^ '"p* " p f " 1 ( E ' 8 )
forment une base complète orthonormée de l'espace de Hilbert.
Résumons succintement la méthode canonique d'orthogonali-
sation.
Soient N vecteurs $. >—^matrice de recouvrement A. . = < 4. 1] "l
l*j =
Résolution du problème aux valeurs propres
N
j=i
avec les condi
#> = A £ ( P ) Ap £ i
N
j=i
avec les condi tions d'orthogonalité
i=l
les n vecteurs
E(P') 4 i
. JsBL A p ft 0
i=l
les n vecteurs propres correspondant â des valeurs propres non
nulles A : |m > = p
£ «T i«i> forment une base complète
orthonormée. i=l
Pour finir, indiquons une propriété remarquable des valeurs
propres da;;s le cas où il existe une relation de "fermeture"
de type
30?
£io±>« = l x 4 (E,9)
i=l
Dans la deuxième partie nous avons considéré une formule plus
générale (1,20). En fait, dans un certain nombre de cas étudiés
(3 particules identiques ou non), le nombre Dj est indépendant i 1
de l'indice i; nous le posons égal â - U > 1) et retrouvons
la formule (E,9) . *•
Soit un vecteur propre quelconque J s > de A
Il est évident que <$. |s> = ^-» A ±. n.i " > r^
k On peut évaluer le produit scalaire < s] s> d'une première façon M
_ N 2 < s j s> = 2 J n ± < 4 ± |s> = X 2_j i n i i
i=l i=l On peut aussi le calculer à l'aide de (E,9)
JL _ 1 Vl^i ls> I2 = r l j 2 V >n i' •- s 1 s >
La comparaison des deux expressions fournit l'égalité
XU-A) = 0 (E,10)
Les seules valeurs propres possibles de la matrice [. sont 0 ou l .
Lorsqu'on tronque la base et qu'on se restreint à N'vecteurs j <f>. > une relation aussi simple que (E,10) pour les valeurs propres n'existe plus même si l'espace engendré est l'espace complet. Par contre, on peut montrer l'égalité formelle
O < l 1 (E,ll)
308
REFERENCES
Ah 75 N. Ahmed, D.R. Gill, W.J Me Donald, G.C. Neilson, W.K. Dawson, Phys. Rev. C 11 (1975) 869
Al 67 G. Alaga, G. Ialongo, Nucl. Phys. A9_7 (1967) 600 Al 69 G. Alaga : Vibrational States in Nuclei, Nuclear
Theoretical physics (Proc. Summer School, Predeal, Roumanie 1969)
An 70 M.L. Andersen, S.A. Andersen, 0. Nathan, K.M. Bisgard, K. Gregersen, 0. Hansen, S. Hinds, R. Chapman, Nucl. Phys. A153 (1970) 17
Ar 70 R. Arvieu, 0. Bohigas, C. Quesne, Nucl.Phys. A143 (1970), 577
Ar 75 A. Arima, P. Iachello, Phys. Rev. Lett. 35_ (1975) 1069 Ar 76a A. Arima, F. Iachello, Phys. Rev. Cl_4 (1976) 761 Ar 76b A. Arima, F. Iachello, Annals of Physics 99 (1976) 253 Ar 77 A. Arima, T. Ohtsouka,F. Iachello, I. Talmi,
Phys. Lett. 66B (1977) 205 Ast 72a G. Astner, Phys. Scripta 5_ (1972) 31 Ast 72b G. Astner et V. .Berg Phys. Scripta 5 (1972) 55 Ast 72o G. Astner, I. Bergstrom, J. Blomqvist, B. Fant,
K. WikstrSm, Nucl. Phys. A1B2 (1972) 219 Au 70 N. Austern, Direct Nuclear reaction theories,
John Wiley and Son (1970) Az 68 N. Azziz, A. Covello, Nucl.Phys. A123 (1968) 681 Ba 59 B.F. Bayman, A.S. Reiner, R.K. Sheline, Phys.Rev.115
(1959) 1627 Ba 70 M. Banville, P.A. Simard , Nucl.Phys. A158 (1970) 51 Ba 73 W. Baldrigde, N. Freed, J. Gibbons, Phys.Lett.46B
(1973) 341 Be 59 s. Belyaev Mat. Fys. Med. Dan. Vid. Selsk 31(1959)n°ll Be 62 s. Belyaev,\p.2elevinski ,Nucl.Phys. 39_ (1962) 582
Be 74 D.R. Bes, G.G. Dussel, R.A. Broglia, R.J. Liotta B.R. Mottelson, Phys. Lett. 5_2B (1974) 253
Be 76a D.R. Bes, R.A. Broglia, G.G. Dussel, R.J. Liotta H.M. Sofia, Nucl. Phys. A260 (1976)1
Be 76b D.R. Bes, R.A. Broglia, G.G. Dussel, R.J. Liotta, H.M. Sofia, Nucl. Phys. A 260 (1976) 27
Be 76c D.R. Bes, R.A. Broglia, G.G. Dussel, R.J. Liotta, R.P.J. Perazzo, Nucl. Phys. A260(1976) 77
Be 77 D.R. Bes, G.G. Dussel, H.M. Sofia, Am. Journ. Phys. IS (1977) 191
Ber 70a I. Bergstrom, B. Fant, C.J. Herrlander, P.Thieber-ger, K. Wikstrôm, G. Astner, Phys. Lett. 32B (1970) 476
Ber 70b I. Bergstrôm, B. Fant, C.J. Herrlander, K. Wikstrôm, J. Blomqvist, Phys. Scripta JJ19?C-)243
Ber 73 I. BergstrSm, J. Blomqvist, A. Filevich, C.G. Linden, Phys. Scripta 8_ (1973) 5
Ber 75 I. BergstrSm, J. Blomqvist, C.J. Herrlander, C.G. Linden, Z. Physik A278 (1976) 257
Bj 67 J.H. Bjerregaard, 0. Hansen, 0. Nathan, S. Hinds Nucl. Phys. A9_4 (1967) 457
Bl 52 J.M. Blatt, V.F. Weisskopf, Theoretical Nuclear Physics, John Wiley and sons 1952
Bo 37 N. Bohr, F. Kalckar, Mat.Fys.Med.Dan.Vid.Selsk 1± (1937) n°10
Bo 52 A. Bohr, Mat.Fys. Med. Dan. Vid. Selsk 26(19S2)n°14 Bo 53 A. Bohr, B.R. Mottelson, Mat. Fys. Med. Dan. Vid.
Selsk 27 (1953) n° 16 Bo 58a N.N. Bogolyubov, Soviet Phys. JETP 2 (1958) 41 Bo 58b N.N. Bogolyubov, Nuovo Cimento 2 (1958) 843 Bo 69 A. Bohr, B. Mottelson, Nuclear Structure,
Vol. I, W.A. Benjamin (1969) Bo 71 J.P. Boisson, R.Piepenbring, Nucl. Phys.Al68
(1971)385 Bo 77 P.F. Bortignon, R.A. Broglia, D.R. Bes, R.J.Liotta
Phys. Rep. 30C(1977) 305 Br 68 R.A. Broalia, B.Sorensen, Nucl.Phys. Alio (1968)241
Br 76 R.A. Broglia, B.R. Mottelson, D.R. Bes, R.J.Liotta,
H.M. Sofia, Phys. Lett 64B (1976) 29
Br 77 P. Brussaard, P.W.M. Glaudemans: Shell model appli
cations in nuclear spectroscopy, North-Holland 1977
Bro 76 B.A. Brown, P.M.S. Lesser, D.B. Fossan, Phys. T.ev. 13C
(1976) 1900
Ca 73 R.S. Casten, E. Cosraan, E.R. Flynn, 0. llanssen,
P.W. Keaton, N. Stein, R. Stuck,Nucl.Phys. A202
(1973) 161
Ch 54 D.C. ^naudury, Mat.Fys.Med. Dan. Vid. Selsk
2jS (1954) n° 4
Ch 66 D.C. Choudury, E. Kujowksi, Phys. Rev. 144 (1966)1013
Ch 67 D.C. Choudury, T.F. O'Dwyer, Nucl.Phys. A93(19G7)300
Ch 72 M.Ï. Chen, S.C. Cheng, W.Y.Lee, A.il.Rus ktor.,
C.S. Wu, Nucl.Phys. A1SI (1972) 25
Ci 77 0. Civitarese, R.A. Broglia, D.R. Bes,
Phys. Lett. 22B (1977)45
Co 67 A. Covello, G. Sartoris, Nucl.Phys. A93(1967) 481
Da 69 J. Damgaard, H.C. Pauli, V.V. Pashkevich,
V.M. Strutinsky, Nucl.Phys.A135 (1969)432
Da 76 W.G. Davis, R.M. De Vries, G.C. Ball, J.S. Foster
Wc Mc Latchie, D. Shapira, J. Toke, R.E. Warner,
Nucl.Phys. A269 (1976) 477
De Sh 61 A. De Shalit, Phys. Rev. J_22 (1961) 1530
De Sh 63 A. De Shalit, I. Talmi, Nuclear Shell Theory ,
Academic Press (New-York and London 1963)
De Sh 74 A. De Shalit, H. Feshcach, Theoretical Nuclear
Physics, T. 1, John Wiley and Sons 1974
Do D 64 G. Do Dang, Phys. Rev. 133 (1964) B257
Dr 73 R. Dreizler, Lecture notes. Summer School,
Predeal 1973
Du 71 G.G. Dussel, R.J. Liotta, Phys. Lett.37B(1971)477
Dy 56 J.F. Dyson, Phys. Rev. _ip_2 (1956) 1217, 1231
El 76 C. Ellegaard, P.D. Barnes, E.R. Flynn, Nucl.Phys.
A259 (1976) 435
Fe 71 A. Fetter, Walecka J. D.Ouantum Theory of many particle
systems. Mc Graw-Hill 1971
FI 76 E.R. Flynn, D.G. Burke, J.D. Sherman, J.W. Sunier,
Nucl. Phys. A263 (1976)365
FI 77a E.R. Flynn, R.E. Anderson, N.J. Di Giacomo, R.J.Petersai
G.R. Smith, Phys. Rev. Ç16 (1977) 139
FI 77b E.R. Flynn, R.A. Hardekopp, J.D. Sherman, J.w. Sunier,
J.P. Coffin, Nucl.Phys. A279 (1977)394
Fo 55 W. Ford, Phys. Rev. 9JS (1955)1516
Gla 74 C. Glashausser, D.L. Hendrie, E.A.Mc Clatchie,
Nucl. Phys. A222 (1974)65
Gl 74 D.H. Gloeckner, F.J.D. Serduke,Nucl.Phys.A220(1974)4 77
Go 68 S. Gorodetzki, F.A.Beck,T.Byrski .A.Knipner,
Nucl.Phys. A117 (1968)208
Ha 72 J.H. Hamilton, V. Ananthakrishnan, A.V.Ramayya,
W.M. La Casse, D.C. Camp, J.J. Rinajian, L.H. Kern,
J.C. Manthurutil, Phys. Rev. Ç6(1972)265
Ha 74 I. Hamamoto, Phys.Rep. 10(1974)63
Ha 76 0. Hausser,7.K. Alexander, J.R. Beene, E.D. Earle,
A.B. Me Donald, F.C. Khanna, I.S. Towner,
Nucl.Phys. A273 (1976)253
Han 76 0. Hansen, J.P. Coffin, E.R. Flynn, N. Stein,
R.K. sheline, Phys.Rev. C18 (1978)1223
Hi 53 D.L. Hill, J.A. Wheeler, Phys. Rev. 89 (1953)1102
Ho 40 T. Holstein, H. Primakoff, Phys. Rev.5£ (1940)1098
Ho 76 G. Holzwarth, D. Janssen, R.V. Jolos,Nucl.Phys. A261
(1976)1
HS 6! J. Hogaasen - Feldman, Nucl.Phys. 28 (1961)258
la 74a F. Iachello: Proc. 1974 Amsterdam Conf.on Nuclear
Structure and spectroscopy (Scholar's Pre^s, Amsterdam,
1974) p.163
la 74b F. Iachello, .*. Arima, Phys.Lett.53B (1974)309
Ig 69 G.J. Igo, P.D. Barnes, E.R. Flynn, D.D. Amstrong,
Phys. Rev. r7_7(1969) 1831
Ing 75 H. Ingwersen, W. Klinger, G. Schatz, W. Witthulm
Phys. Rev. £ U (1975)243
Ja 71 D. Janssen, F. Donau, s. Frauendorf, R.V. Jolos,
Nucl.Phys. A172 (1971) 145
Ja 74 D. Janssen, R.V. Jolos, F. Dônau, Nucl.Phys. A224
(1974)93
Ja 75
Ju 67
Ka 76a
Ka 76b
Ke 63
Ki 72
Ki 76
Kl 69
Kn 70
Ko 73
Kr 73
L.J. Jardine, Phys. Rev. £1_1 (1975)1385
E.T. Jurney, H.T. Motz, S.H. Vegors,
Nucl. Phys. A94_ (1967)351
T. Kammuri, T. Kishimoto, Z. Physik A276 (1976J51
T. Kammuri ,T.Kishimoto,z.Physik A27J5 (1976)41
A.K. Kerman, A. Klein, Phys. Rev. 122. (1963)1326
T. Kishimoto, T. Tamura, Nucl.Phys. M 9 2 (1972) 246
T. Kishimoto, T. Tamura, Nucl.Phys. A270 (1976)317
M. Kleber, Phys.Lett. 30B (1969)588
K.T. Knople, M. Rogge, C.Mayer-Boricke,J.Pedersen,
D. Burch, Nucl.Phys. A159 (1970)642
C M . Ko, T.T.S.Kuo, J.B. Mc Grory, Phys .Rev. Ç8 ( 1973) 2379
W. Kratschmer, H.V. Klapdor,E.Grosse
Nucl.Phys. A201 (1973)179
Ka 71 T.T. Kuo, G.H. Herling, Naval Research Laboratory
Report 2258, Washington DC 1971
Lawson, J.L. Oretsky, Phys.Rev.108(1957) 1300
Lamm, Nucl.Phys. A215 (1969)504
Lanford, Phys. Rev. Çl_l (1975)815
Lie, G. Holzwarth, Phys.Rev. C12(1975)1035
Liotta, B.A. Silvestre-Brac, Journ.de Phys.
^9 (1978)L 11
Li 78b R.J. Liotta, B.A. Silvestre-Brac, Nucl.Phys.A309
(1978) 301
Lin 76 C.G. Linden, I. BergstrSm, J. Blomqvist, K.G.Rensfélt
H. Sergolle, K. Westerberg,Z.Phys. A277J1976) 273
Loi 69 N. Lo Iudice, D. Properi , E. Salusfcri,
Nucl.Phys. A127 (1969) 221
Low 67 P.O. LBwdin, Rev.Mod.Phys. 3_9 (1967) 259
Ma 64a T. Maruraori, M. yamamura, A. Tokunaga
Prog, of Theor. Phys. 21 (1964) 1009
Ma 64b T. Marumori, M. Yamamura, A. Tokunaga ,K. Takada
Prog, of Theor. Phys. 3_2 (1964) 726
Ma 71a K.H. Maier, J.R. Leigh, R.M. Diamond,
Nucl. Phys. A176 (1971) 497
Ma 71b K.H. Maier, J.R. Leigh, F. Ptiklhofer, R.M. Diamond
Phys. Lett. 3_5B (1971) 401
La 57 R.D
La 69 I .L
La 75 W.A
Li 75 S.G
Li 78a R.J
Ma 72 K.H. Maier, K. Nakaï, J.R. Leigh, R.M. Diamond,
F.S. Stephens, Nucl. Phys. A183 (1972) 289
Ma 78 M.J. Martin, Nucl. Data Sheets 2_5_ (1978) 397
Mar 71 E.R. Marshalek, Nucl. Phys. A161 (1971) 401
McG 75 J.B. Me Grory, T.T.S. Kuo, Nucl.Phys. A247 (1975) 283
Mo 67 B.R. Mottelson, Proc. Inter. Conf. on Nuclear
Structure, Tokyo 1967 éd. J. Sanada
Mo 72 R.A. Moyer, Phys. Rev. Ç5 (1972)1678
No 63 P. Nozlères, Le problême a N corps < Paris,Dunod 1963
Rao 7) D.V. Rao, K£R Sastry, Nucl.Phys. A175 (1971)396,405
Re 75 H. Reinhardt, Nucl.Phys. A251 (1975)317
Ri 74 P. Ring, P. Schuck, Z. Physik 2£9 (1974) 323
Ri 77 P. Ring, P. Schuck, Phys. Rev. Clji (1977)801
Ro 68 D.J. Rowe, Rev.Mod.Phys. 40 (1968)153
Ro 75 J. Rodriguez, J.Bonn, G. Huber, H.J. Kluge, E.Wotten
Z. Phys. A272 (1975)369
Sau 78 J. Sau, K. Heyde, M. Waroquier, Nucl.Phys. A29_8 (1978) 93
Se 76a P. Schuck, Z. Physik A279 (1976)31
Se 76b P. Schuck,R.Wittmann, Lett.al Nuov. Cira. J_7 (1976)107
Sch 78 M.R. Schmorak, Nucl. Data Sheets 2_3 (1978)287
Si 67 P.A. Simard , Can. Journ.of Phys. 45_ (1967)3241
Si 69a P.A. Simsrd , Can. Journ. of Phys. 47 (1969)103
Si 69b P.A. Simard , Can. Journ. of Phys. 47 (1969)2645
Si 72 P.A. Simard , M. Banville, Phys.Lett. 38B(1972)461
Si 77a B. Silvestre-Brac, R. Piepenbring, Nucl. Phys. A288
(1977) 408
Si 77b B. Silvestre-Brac, R. Piepenbring, Phys. Rev. C16
(1977)1638
Si 78 B. Silvestre-Brac, R.Piepenbring, Phys. Rev. C17
(1978) 364
Sip 72 L. Sips, International Atomic Energy Agency; Trieste
(1972) 339
B. Sorensen, Nucl.Phys. A9J7 (1967)1
B. Sorensen, Nucl. Phys. A119 (1968)65
B. Sorensen, Prog. Theor.Phys.39 (1968)1468
B. Sorensen, Nucl.Phys. A142 (1970)392
B. Sorensen, Nucl.Phys. A142 (1970)411
SO 67 So 68a So 68b
So 70a
So 70b
So 73a
Ta 60
Ta 75
Th 60
Tr 74
Va 58
Va 77
Wo 71
Wo 72
Ya 70
Zu 74
B. Sorensen, Nucl. Phys. A217 (1973) 505
I. Talmi, I. Unna, Nucl. Phys. .19 (1960)225
T. Tamura, T. Udagawa, T. Kishimoto, Congrès Balaton
(1975)
D.J. Thouless, Nucl. Phys. £1 (1960)225
W.W. True, C.W. Ma, Phys. Rev. Ç9 (1974)2275
J.G. Valatln, D. Butler, Nuov. Cim. ^0 (1958)37
G. Vanden Berghe, Z. Physik A281 (1977) 355
S.K.M. Wong, A.P. Zuker, Phys. Lett. 36B (1971) 437
S.K. M. Wong, J.M. G. Gomez, A.P. zuker,
Phys. Lett. 42 B(1972)157
T. Yamazaki, Phys. Rev. ÇJ. (1970) 290
A.P. Zuker, Int. Conf.on Nuclear Structure and
Spectroscopy, Amsterdam, Sept. 1974, V2 p. 115