impact d’un accident de la circulation sur les garanties ... · periode de stage du 30/03/2009 au...

D I P L Ô M E U N I V E R S I T A I R E d’Actuaire de Strasbourg « DUAS »

Pôle européen de gestion

et d’économie (PEGE)

61 avenue de la Forêt Noire

F-67085 Strasbourg Cedex

http://actuariat.u-strasbg.fr

M é m o i r e d ’ a c t u a r i a t - année universitaire 2008/2009 -

Alima BADJI

Impact d’un accident de la circulation sur les garanties santé et prévoyance

�� ETAB LIS SEM ENT D ’A CCUEIL

VERSPIEREN Pôle Actuariat et Statistiques 8, avenue du Stade de France

93210 Saint-Denis

�� M AI TRE DE STAGE

Cyril LEGER Responsable du pôle actuariat et statistiques

[email protected] �� PERIODE DE STAGE

Du 30/03/2009 au 28/08/2009

Diplôme Universitaire d’Actuaire de Strasbourg 3

Résumé

Dans la pratique, la modélisation des dépendances entre les risques en assurance non vie a souvent fait l’objet d’hypothèses simplificatrices. Par exemple, l’indépendance des variables aléatoires est souvent admise et le coefficient de corrélation linéaire de Pearson est régulièrement utilisé comme mesure de dépendance. Les copules sont un outil relativement innovant de modélisation de la structure de dépendance entre risques.

L’objet de ce mémoire est d’étudier l’impact d’un accident de la circulation sur les garanties santé et prévoyance. L’analyse exploratoire des données nous a permis de constater des liaisons entre les branches. Pour mesurer cette dépendance, nous avons utilisé le coefficient de corrélation linéaire de Pearson. Cependant, avant de calculer ce coefficient, il a été important de connaître les lois de probabilités des charges ultimes de sinistres, car cet indicateur est performant que lorsque l’univers considéré est gaussien. Ainsi, après avoir calculé les coûts ultimes en incorporant les réserves calculées avec les techniques de provisionnement, nous avons modélisé les charges de sinistres. La loi log-normale a le plus souvent été retenue. Donc, pour représenter la structure de dépendance entre les branches, nous avons fait appel aux copules. Nous avons préféré la famille des copules archimédiennes car elle est bien adaptée en dimension deux.

Mots clés : Copule, Dépendance des variables, Corrélation, tau de Kendall.

Abstract

In practice, modeling dependencies between risks in non-life insurance has often been the object of simplifying assumptions. For example, independence of random variables is often permitted, and the linear correlation coefficient of Pearson is regularly used as a measure of dependency. The copulas are a relatively innovative tool for modeling the structure of dependence between risks.

The purpose of this paper is to study the impact of a traffic accident on health and pension guarantees. The exploratory data analysis has revealed links between the branches. To measure this dependence, we use the linear correlation coefficient of Pearson. However, before calculating the coefficient, it is important to know the probability distribution of ultimate claims costs, because this indicator is effective only when the universe is considered Gaussian. Thus, after calculating the ultimate costs by incorporating reserves calculated using the techniques of provisioning, we modeled the costs of claims. The log-normal has most often been used. In order to represent the structure of dependence between the branches, we used copulas. We prefer archimedean copulas because it fits well into two dimensions.

Keys words: Copula, Dependence, Correlation, Kendall's tau.


Remerciements

Je tiens tout particulièrement à remercier Monsieur Cyril LEGER, mon maître de stage, pour l’intérêt du sujet qu’il m’a permis de traiter en m’accueillant au pôle actuariat et statistiques de Verspieren et pour m’avoir fait profiter de ses connaissances et de son expérience.

Je remercie également Céline ECK, Aouïcha BENHMIDANE, Jean Luc MEUSBURGER, Michaël LAVAL, Rochenie ALAND et Nicolas DE TEMMERMAN pour leur disponibilité et leurs explications tout au long de ma mission.

J’adresse mes remerciements à l’ensemble du pôle actuariat et statistiques de Verspieren, pour leur accueil chaleureux et leur bonne humeur.


Sommaire

Introduction ........................................................................................................................... 6

1. Environnement de l’étude....................................................................................... 7 1.1. Situation du marché de l’assurance ................................................................... 7

1.1.1. Etat du marché de l’assurance flotte automobile ......................................... 8 1.1.2. Les acteurs de l’assurance santé et prévoyance ......................................... 13 1.1.3. Accident du travail et risque routier .......................................................... 16

1.2. Analyse descriptive.......................................................................................... 20 1.2.1. Exploitation des données ........................................................................... 20 1.2.2. Analyse exploratoire du portefeuille flotte automobile ............................. 23

1.3. Analyse exploratoire du portefeuille santé ...................................................... 27 2. Modélisation univariée de la sinistralité.............................................................. 30

2.1. Calcul du coût d’un sinistre............................................................................. 30 2.1.1. Coût ultime d’un sinistre............................................................................ 30 2.1.2. Actualisation des variables ........................................................................ 30 2.1.3. Calcul des réserves..................................................................................... 31

2.2. Modélisation du montant de sinistres .............................................................. 32 2.2.1. Estimation des paramètres ......................................................................... 33 2.2.2. Statistiques de test...................................................................................... 33 2.2.3. Lois testées................................................................................................. 35

3. Dépendance et copules .......................................................................................... 47 3.1. Dépendance et corrélation ............................................................................... 48 3.2. Théorie des copules ......................................................................................... 49

3.2.1. Définition d’une copule ............................................................................. 49 3.2.2. Théorème de Sklar .....................................................................................49 3.2.3. Dépendance de queue ................................................................................ 50 3.2.4. Mesure de concordance ............................................................................. 51

3.3. Copules usuelles .............................................................................................. 53 3.3.1. Copules de référence..................................................................................53 3.3.2. Copules elliptiques..................................................................................... 54 3.3.3. Copules archimédiennes ............................................................................ 55

3.4. Méthodes d’inférence statistique..................................................................... 58 3.4.1. Méthode des moments ............................................................................... 58 3.4.2. Méthode du maximum de vraisemblance .................................................. 58 3.4.3. Méthode IFM ............................................................................................. 59 3.4.4. Méthode CML............................................................................................ 59 3.4.5. Outils graphiques d’ajustement.................................................................. 59

3.5. Mise en place et résultats................................................................................. 61 Conclusion........................................................................................................................... 66 Bilan ................................................................................................................................. 67 Bibliographie ....................................................................................................................... 68 Abréviations ........................................................................................................................ 69 Annexes ............................................................................................................................... 70 Table des matières ............................................................................................................... 77


Introduction

Dans la théorie classique du risque, beaucoup de développements et résultats actuariels sont basés sur l’hypothèse d’indépendance de variables aléatoires. Toutefois, des exemples peuvent laisser penser que ce n’est pas le cas en pratique, il parait évident qu’un dommage corporel suite à un accident de la circulation peut engendrer des frais médicaux, des jours d’hospitalisation et d’arrêt de travail.

En effet, en cas de sinistres corporels suite à un accident de la circulation, différents contrats d’assurance sont susceptibles d’intervenir pour l’indemnisation : la garantie conducteur, l’assurance complémentaire santé, l’assurance prévoyance, la garantie emprunteur, l’assurance vie,…. Il apparaît nécessaire de s’intéresser à cette dépendance pouvant exister entre ces différentes branches, et d’évaluer l’impact des dommages collatéraux.

Ce mémoire est consacré à l’étude des liaisons entre les branches dommages corporels automobiles et les garanties santé et prévoyance. Il faut noter que le risque routier est la première cause d’accidents mortels du travail : un peu plus d’un salarié sur deux, décédé en accident du travail, l’est au cours d’un déplacement dans le cadre d’une mission ou sur le trajet entre le domicile et le travail. Ainsi, en identifiant les liaisons entre ces branches, l’entreprise pourra identifier les facteurs de risques, évaluer les coûts induits par un accident de la circulation sur les autres garanties et enfin maîtriser les risques pour ainsi diminuer les coûts humains et économiques.

Notre étude concerne à la fois l’assurance dommage et l’assurance de personnes. Dans une première partie, nous présenterons la situation du marché de l’assurance en France. Le premier chapitre sera consacré à la présentation du contrat flottes automobiles et du mécanisme de remboursement d’un sinistre corporel. L’indemnisation d’un sinistre dommage corporel fait intervenir d’autre garanties notamment les garanties santé et prévoyance. Le chapitre suivant sera alors consacrée à la présentation des secteurs de l’assurance santé et de la prévoyance. Nous finirons par l’analyse exploratoire des données qui est essentielle pour définir les caractéristiques de la population étudiée.

Dans la deuxième partie, nous traiterons de la modélisation univariée de la sinistralité, des techniques de simulation et du calcul des provisions. En effet, il s’agit de déterminer la mesure de dépendance et les charges des différentes garanties. Toutefois avant, toute estimation statistique sur les charges, il a été nécessaire d’appliquer certains redressements. Il faut d’abord procéder à une mise « as if » des données, et ensuite calculer les charges à l’ultime des sinistres, en ajoutant les réserves aux règlements actuels. Par la suite, nous avons testé l’adéquation de la charge de sinistres de chaque garantie à des lois statistiques à l’aide du test de Kolmogorov-Smirnov.

Nous avons consacré la troisième partie à l’étude des dépendances entre les différentes branches. Les résultats de la modélisation des charges de sinistres seront utiliser pour choisir la mesure de dépendance la mieux adaptée à nos données. Nous énoncerons dans un premier chapitre, la différence entre les notions de dépendance et de corrélation. Ensuite nous présenterons les copules qui sont un outil mathématique innovant de modélisation de la structure de dépendance.


1. Environnement de l’étude

Le sujet abordé dans le cadre de ce mémoire concerne à la fois l’assurance de biens et de responsabilité et l’assurance des personnes. En France la classification habituelle utilisée par les professionnels dissocie les assurances en fonction de leur finalité.

L’assurance de biens et de responsabilité ou assurances de dommages a pour objet la protection du patrimoine de l’assuré. Elle prend en charge les pertes financières dues à la destruction de ses biens ou aux dommages qu’il a causés à des tiers.

L’assurance de personnes a pour objet de garantir la personne humaine. Elle couvre les risques qui portent atteinte à la personne en cas de maladie, d'incapacité ou d'invalidité, d’accident corporel ou de décès.

Cette partie est consacrée dans un premier temps à la présentation du marché de l’assurance en France ensuite nous exposerons les résultats de l’analyse exploratoire du portefeuille.

1.1. Situation du marché de l’assurance

Commençons par présenter les chiffres clés de l’assurance pour l’année 2008.

En 2008 le chiffre d'affaires est de 183,3 milliards d’euros dont : 138,5 milliards en assurances de personnes et 44,8 milliards en assurances de biens et de responsabilité.

Les prestations attribuées aux assurés en 2008 s’élèvent à 154,8 milliards d’euros dont : 123,6 milliards en assurances de personnes et 31,2 milliards en assurances de biens et de responsabilité.

Les sommes versées par les assureurs au titre de la protection sociale en 2008 s’élèvent à 19,6 milliards d’euros.

En 2008, le secteur de l'assurance compte 480 sociétés d’assurances et plus de 40 000 intermédiaires en assurance établis en France.

Ce chapitre est consacré à la présentation du marché de l’assurance en France et à la définition des différents termes. Dans une première section, nous présentons le marché de l’assurance flotte automobile en nous focalisant sur les sinistres corporels. Après nous présentons les acteurs de l’assurance santé et prévoyance en France, et nous parlerons de l’accident du travail et du risque routier en insistant sur la responsabilité sociale et pénale de l’entreprise.


1.1.1. Etat du marché de l’assurance flotte automobile

1.1.1.1. L’assurance flotte automobile en France

Les flottes automobiles représentent l’ensemble du parc automobile détenu et/ou géré par une entreprise, et peuvent être très différentes de par leur nature et leur volume. 140 compagnies d’assurances distribuent de l’assurance automobile en France mais seulement quelques sociétés d’assurances sont présentes sur le marché de la flotte automobile d’entreprise.

a. Définition d’un contrat flotte

Une flotte est un ensemble de véhicules, appartenant ou détenu par une même personne physique ou morale et garanti par un seul et même contrat.

• ensemble de véhicules : tous véhicules terrestres à moteur soumis à l’obligation d’assurance, quelle que soit leur catégorie : véhicule de tourisme, utilitaire, camion, autocar, remorque, engin, 2 roues.

• appartenant ou détenu : véhicules immatriculés au nom de l’assuré ou détenu dans le cadre d’un contrat de location longue durée ou de crédit bail.

• par une même personne physique ou morale : entreprise privée ou publique, collectivité publique (région, département, commune…).

• garanti par un seul et même contrat : une seule police d’assurance quelles que soient les garanties (qui peuvent être différentes selon les véhicules) avec une mise à jour périodique définie contractuellement.

b. Pourquoi un contrat flotte ?

L’entreprise possédant plusieurs véhicules peut choisir pour les garantir :

- soit un contrat classique, par véhicule, assujetti au bonus malus et nécessite une mise à jour en temps réel avec édition d’un avenant et d’une quittance complémentaire ou de ristourne à chaque modification.

La prime appliquée correspond au niveau du bonus malus du véhicule avec, très fréquemment, des coefficients réducteurs liés, par exemple à la conduite exclusive ou à l’importance de l’apporteur. Le tarif définitif est donc, sauf en cas de sinistralité importante, très attractif.

- soit une police flotte où le malus ne joue pas et la mise à jour du contrat se fait en général annuellement. Dans ce cas, l’assuré fait la déclaration des mouvements intervenus soit au fur et à mesure de leur survenance, ou en fin d’année, en ne déclarant qu’un élément représentatif de l’utilisation des véhicules (chiffre d’affaires, nombre de kilomètres parcourus, nombre de sorties effectuées…)


L’entreprise peut difficilement, au-delà de 10 véhicules, opter pour des contrats séparés en raison de la lourdeur de gestion et du fait qu’un véhicule peut enregistrer une lourde sinistralité et donc se trouver sans assurance.

Le contrat flotte peut prévoir des conditions de franchises globales qui génèrent des économies substantielles en terme de frais de gestion et de taxes. Le contrat flotte permet également d’inclure les véhicules du dirigeant en bénéficiant d’un tarif homme clé.

c. Situation du marché de l’assurance flotte d’entreprise

En 2007, les primes relatives aux flottes d'entreprises enregistrent une diminution de - 2,2 % par rapport à 2006. Cette baisse s’explique par une légère réduction du nombre de contrats assurés (- 0,4 %) et surtout par une diminution de la prime moyenne enregistrée entre 2006 et 2007 (- 2 %). Le nombre de véhicules assurés est également en légère baisse de 0,2 % sur l’échantillon de sociétés constitué. La prime moyenne par contrat s’établit à 12 700 euros pour 2007.

d. La sinistralité des flottes automobiles

On peut observer une légère augmentation de la fréquence globale des sinistres matériels flottes en 2007 (+ 0,6 %). Ceci étant du pour l’essentiel à la diminution de la fréquence responsabilité civile (-4,9 %) et à l’augmentation significative de la fréquence dommage (+6,2 %).

Les coûts moyens des sinistres de flottes automobiles ont augmenté sensiblement (+ 2 %) en 2007. Ceci résulte de l’augmentation du prix de la main d’œuvre carrosserie et des pièces de rechange et du coût moyen des sinistres corporels qui est de l’ordre de + 6 % par an sur les dernières années sur l’ensemble du marché de l’automobile.

1.1.1.2. Les sinistres corporels suite à un accident de la circulation

Commençons par définir la notion d’accidents corporels de la circulation.

Selon l’INSEE, un accident corporel de la circulation est tout accident impliquant au moins un véhicule routier en mouvement, survenant sur une voie ouverte à la circulation publique, et dans lequel au moins une personne est blessée ou tuée. Sont exclus les actes volontaires (homicides volontaires, suicides) et les catastrophes naturelles.

Sont comptées comme « tuées » les victimes d'accidents décédées sur le coup ou dans les trente jours qui suivent l'accident. Avant le 1er janvier 2005 le délai retenu n'était que de six jours.

Sont comptées comme « blessées » les victimes d'accidents ayant subi un traumatisme nécessitant un traitement médical (avec ou sans hospitalisation).


a. Les données de l'accidentologie

Sur l’ensemble de l’année 2008, le nombre de tués sur les routes de France (Métropole + Dom) recule de 8,2 %. Il s’agit de la septième année consécutive de baisse, soit une diminution de l’ordre de 50 % du nombre de personnes tuées depuis 2001.

En 2008, la baisse de la mortalité concerne surtout les conducteurs et les passagers de véhicules de tourisme et de poids lourds. Les autres catégories d'usagers (piétons, conducteurs de deux-roues) ont bénéficié d'une amélioration plus légère.

Les nombres d’accidents corporels et de blessés baissent en 2008 de 8,4 % (76 767 accidents) et de 5,7 % (96 905 blessés).

- 4 443 personnes ont trouvé la mort en 2008, à la suite d'un accident de la route en France (métropole), soit en moyenne 12 par jour.

- 96 905 personnes ont été blessées en 2008 (soit 265 par jour en moyenne).

On estime approximativement à plus de 4 000 le nombre de blessés avec séquelles majeures : lésions avec perte de substance nerveuse (encéphale, moelle épinière, racines nerveuses) ou perte d’un membre ou destruction de grosses articulations.

Tableau 1 : Bilan des accidents corporels

Source: ONISR

France entière TuésAccidents Corporels

Bléssés hospitalisés

Bléssés légers Total bléssés

2006 4 942,00 82 993,00 41 869,00 64 111,00 105 980,002007 4 838,00 83 850,00 39 754,00 66 955,00 106 709,002008 4 443,00 76 767,00 36 179,00 60 726,00 96 905,00

Evolution 08/07 -8,16% -8,45% -8,99% -9,30% -9,19%

Métropole TuésAccidents Corporels

Bléssés hospitalisés

Bléssés légers Total bléssés

2006 4 709,00 80 309,00 40 662,00 61 463,00 102 125,002007 4 620,00 81 272,00 38 615,00 64 586,00 103 201,002008 4 275,00 74 487,00 34 965,00 58 833,00 93 798,00

Evolution 08/07 -7,47% -8,35% -9,45% -8,91% -9,11%

b. Cadre législatif

La loi du 5 juillet 1985, dite « loi Badinter » a institué un régime d’indemnisation applicable aux accidents de la circulation. Elle a prévu des règles de responsabilité et une procédure d’indemnisations spécifiques (qualité des victimes, préjudices indemnisables, provision, offre d’indemnisation, délais…).


- Définition accident de la circulation et sinistre corporel

Au sens de la loi Badinter, tout accident1 dans lequel est impliqué un véhicule terrestre à moteur (automobile, deux-roues, autocar, tracteur…), qu’il soit ou non en mouvement, est assimilé à un accident de la circulation. En revanche, les accidents causés par les trains et les tramways circulant sur des voies qui leur sont propres ne sont pas concernés.

Par ailleurs, la notion d’accident corporel est constituée par toute lésion de l'organisme provoquée par l'action soudaine et violente d'une cause extérieure et indépendante de la volonté de la victime.

- Convention IRCA et IRSA

Afin de faciliter le règlement des sinistres, de réduire les frais entraînés par la gestion des procédures complexes de l’assurance de responsabilité civile et des recours auprès de l’assurance du responsable de l’accident, les sociétés d’assurance ont passé entre elles des conventions de règlements de sinistres. Ces conventions permettent aux assurés, dans la plupart des cas, d’être dédommagés plus rapidement et directement par leur propre assureur.

La convention IRSA (convention d’Indemnisation Directe de l’assuré et de recours entre les Sociétés d’Assurance automobile) intéresse l’indemnisation des dommages matériels tandis que la convention IRCA s’attache aux dommages corporels (convention d’Indemnisation et de Recours Corporel Automobile).

Les recours entre les différents assureurs s'effectuent dans un second temps en fonction des règles de recours adoptées dans cette même convention. L’Etat, qui est son propre assureur, a également signé une convention avec les sociétés d’assurances.

c. Indemnisation du dommage corporel

Dans le portefeuille d'une compagnie, la survenance d'un événement peut mettre en jeu les garanties de plusieurs contrats d'un même assuré.

La réparation à la charge de l'assureur du préjudice corporel est indépendante de la gravité de la faute. La réparation du préjudice corporel n'est pas limitée, aux seules conséquences normalement prévisibles : toutes les conséquences sont indemnisables, et elle est aussi adaptée à la situation personnelle professionnelle et familiale de la victime.

Les conséquences d’un dommage corporel (blessures ou décès) constituent une « atteinte à la personne », qu’il s’agisse de l’atteinte à l’intégrité physique, de l’atteinte morale ou économique. Font également partie de l’atteinte à la personne les dommages occasionnés aux fournitures et appareils délivrés sur prescription médicale (appareils auditifs ou dentaires, lunettes correctrices…).

1 Y compris l’incendie ou l’explosion survenant dans des lieux où la présence de véhicules est prévue (Ffsa).


Voilà une liste non exhaustive des différentes atteintes corporelles à la suite d’un accident, et leurs conséquences :

- frais médicaux ;

- gains perdus pendant l’incapacité temporaire partielle ou totale de travail ;

- séquelles permanentes : invalidité partielle ou totale ;

- traces physiques de l’accident (cicatrices) : préjudice esthétique ;

- douleurs physiques causées par l’accident : pretium doloris ;

- impossibilité pour la victime de se livrer à un passe-temps ou à un sport : préjudice d’agrément ;

- souffrances morales des proches de la victime, consécutives à son décès : préjudice moral.

Ainsi, suite à un accident de la circulation avec des dommages corporels, différents contrats d'assurances sont susceptibles d'intervenir pour l'indemnisation, citons par exemple:

- la garantie conducteur,

- l’assurance prévoyance si vous êtes salarié,

- la garantie des accidents de la vie,

- l'assurance complémentaire santé,

- la garantie scolaire,

- les garanties liées à la carte bleue,

- l’assurance d'assistance,

- l'assurance de crédit immobilier,

- les garanties emprunteur,

- l'assurance protection juridique,

- l'assurance vie.


1.1.2. Les acteurs de l’assurance santé et prévoyance

En France, plusieurs acteurs animent le marché de la santé et de la prévoyance. La couverture des frais de santé et de prévoyance peut se voir comme la composition de 3 principaux piliers : la Sécurité sociale, les régimes complémentaires des organismes assureurs et les ménages avec le courtage.

1.1.1.3. La Sécurité sociale

Depuis sa création en 1945, elle a pour objectif d’assurer la protection des individus (quel que soit leur statut professionnel) devant les conséquences financières de certains évènements (accident, maladie, maternité,…), ou de certaines situations (retraite,…).

La Sécurité sociale en France comporte actuellement quatre branches pour le régime général : la branche maladie, la branche famille, la branche recouvrement et la branche vieillesse.

Nous ne nous intéresserons ici qu’à la branche maladie des travailleurs salariés.

L’assurance maladie des travailleurs salariés couvre les risques maladie, maternité, invalidité et décès des salariés et des assurés qui leur sont rattachés. Elle assure également le contrôle des dépenses de santé et la promotion des programmes de prévention et d’éducation à la santé.

L’effort continu de maîtrise des dépenses sur les années 2004 à 2008 a permis non seulement de contenir la dérive structurelle des dépenses, mais aussi de résorber peu à peu le déficit accumulé en 2004. Ces résultats ont été obtenus en s’appuyant sur une large palette d’actions de gestion du risque : mise en place du parcours de soins, accompagnement des professionnels de santé, ajustements tarifaires, mises sous accord préalable de certaines prestations, programmes de contrôle, actions d’accompagnement menées en direction des assurés. Ces efforts importants sont fortement contrariés par la crise qui impacte l’ensemble de l’économie mondiale.

En effet, selon la Commission des comptes de la sécurité sociale, la crise économique actuelle se traduit par une situation sans précédent de pertes de recettes pour l’Assurance Maladie. Sous l’effet de la baisse des recettes, liée à la montée du chômage et à la contraction de la masse salariale, le déficit qui avait été progressivement réduit se creuse à nouveau de façon brutale, en franchissant un palier supplémentaire par rapport à la situation observée lors des deux précédentes crises.

Ainsi, pour des raisons économiques, la Sécurité sociale, se désengage de manière croissante de la couverture des frais de « l’assuré » en laissant une part de plus en plus importante aux ménages et par voie de conséquences aux organismes complémentaires.


1.1.1.4. L’assurance complémentaire

En complément des remboursements effectués par la Sécurité sociale, il existe trois types d’organismes habilités à effectuer de la protection complémentaire : les mutuelles, les compagnies d’assurances privées et les institutions de prévoyance. Les mutuelles sont régies par le code de la mutualité, les compagnies d’assurances répondent du code des assurances et les institutions de prévoyance du code de la sécurité sociale.

Deux types de contrat sont proposés par les assurances complémentaires : les contrats collectifs et les contrats individuels.

Un contrat collectif est un contrat souscrit par une entreprise, une association ou un groupe d’assurés. Il peut être à adhésion obligatoire ou facultative.

L’intérêt de ce type de contrat pour le régime complémentaire est, qu’en assurant un ensemble de personnes, il limite le risque d’anti-sélection. L’anti-sélection est le risque qui consiste pour l’assureur à récupérer dans son portefeuille des personnes n’ayant pas été identifiées comme consommant naturellement plus que les autres, au vu de leur état de santé, et dont le risque n’a donc pas été tarifé en conséquence.

Un contrat individuel est un contrat souscrit directement par le contractant auprès d’un organisme complémentaire. Ce contrat prend généralement en considération l’état de santé du demandeur à travers un questionnaire.

a. Assurance santé

Commençons d’abord par définir quelques termes qui nous permettront de mieux comprendre le système de remboursement.

Les frais réels (FR) sont le montant des honoraires que demande le praticien au patient pour le service rendu et/ou les médicaments ou accessoires procurés.

La base de remboursement (BR) est le montant de référence de la Sécurité sociale auquel va s’appliquer le taux de remboursement pour l’acte spécifié. C’est la multiplication du prix unitaire d’un coefficient (PU) par le nombre de coefficients correspondant à l’acte remboursé.

Le ticket modérateur (TM) est la différence entre la base de remboursement et le montant du remboursement de la Sécurité sociale.

Un certain nombre de médecins pratiquent des tarifs supérieurs au tarif de convention, on parle alors de « dépassements ». Le dépassement d’honoraires (DH) est la différence entre les frais réels et la base de remboursement.

Le remboursement complémentaire est la part prise en charge par l’organisme complémentaire dans le cas où le bénéficiaire des soins a souscrit un contrat d’assurance complémentaire ou bien est affilié à une personne bénéficiant de cette couverture. Le montant du remboursement varie selon la garantie et prend en charge, en général, au minimum le ticket modérateur.


Le reste à charge (RAC) est la part revenant à la charge de l’assuré après remboursement de la Sécurité sociale et du ou des organismes complémentaires.

Le schéma ci-dessous présente la répartition des frais de santé d’un assuré :

Frais réellement engagés par l’assuré FR

Base de remboursement BR

Remboursement Régime de base Ticket Modérateur TM Dépassements DH

Remboursement complémentaire RAC

Le remboursement de la sécurité sociale, le ticket modérateur, le remboursement complémentaire et le reste à charge varient selon le niveau de la garantie.

b. Assurance prévoyance

Les opérations de prévoyance des sociétés d’assurances regroupent l’ensemble des contrats d’assurances de personnes relevant de l’assurance vie en cas de décès et des assurances de dommages corporels. Ces contrats permettent de se protéger contre les risques liés au décès, à la maladie, à l’accident ou à la dépendance.

L’incapacité de travail est l’état d’un assuré qui, par la suite de maladie ou d’accident est contraint d’interrompre totalement ou partiellement son travail.

On distingue deux types d’incapacité de travail :

• l’incapacité temporaire de travail (ITT) ;

• l’incapacité permanente de travail (IPT) ou invalidité.

Dans le premier cas, l’assuré peut reprendre normalement son activité professionnelle une fois rétabli. Dans le second cas, la gravité de son état lui impose soit une activité réduite (IPT partielle), soit un arrêt complet de toute activité de travail (IPT totale). La gravité de l’invalidité est mesurée par un taux fixé par expertise médicale dénommé taux d’invalidité.

Signalons également qu’il existe une probabilité non nulle de passer de l’état d’incapacité temporaire à celui d’invalidité. En effet, un arrêt de travail débute en général avec une incapacité temporaire et, si la gravité de la situation le justifie, l’état du salarié pourra être consolidé en incapacité permanente. Par ailleurs, l’incapacité se termine par convention


(réglementation de la Sécurité sociale), quoiqu’il arrive, à 36 mois d’ancienneté, les salariés encore en arrêt à cette date étant considérés comme invalides.

En cas d’incapacité temporaire totale de travail médicalement constatée, les salariés reçoivent au terme de la période de franchise2, au titre du régime général de la Sécurité sociale une indemnité journalière (IJ). Lorsque l’incapacité de travail est réputée définitive, les indemnités journalières sont supprimées et peuvent être remplacées par une rente d’invalidité. Et en cas de décès un capital décès, et une rente sont versés aux ayants droit.

1.1.1.5. Les ménages et le courtage

La part des honoraires non remboursée par la Sécurité sociale ou le régime complémentaire est à la charge du ménage.

Les entreprises comme les assurés peuvent faire appel à des intermédiaires comme les courtiers. Les courtiers sont mandatés par leur client et leur principale activité est de conseiller et de représenter les assurés, en cherchant à obtenir les meilleures conditions tarifaires auprès des assureurs, pour un niveau de garantie souhaité. Les courtiers peuvent également s’occuper de la gestion des contrats et informer le client sur le suivi de ceux-ci.

Remarque : Notre étude porte sur des contrats flottes d’entreprise et des contrats collectifs santé et prévoyance entreprise. Ainsi, la population étudiée est une population de travailleurs salariés, pour lesquels le véhicule assuré est un outil de travail ou bien utilisé dans le cadre d’une mission.

Les sinistres corporels suite à un accident de la circulation sont considérés comme des accidents du travail.

1.1.3. Accident du travail et risque routier

Avant de présenter la sinistralité des accidents du travail et de trajet, nous allons d’abord définir les termes suivants :

- Accident du travail : est considéré comme accident du travail, quelle qu'en soit la cause, l'accident survenu par le fait ou à l'occasion du travail à toute personne salariée ou travaillant, à quelque titre ou en quelque lieu que ce soit, pour un ou plusieurs employeurs ou chefs d'entreprises et dont il en résulte une lésion corporelle.

2 Période définie dans le contrat pendant laquelle l’échéance n’est pas prise en charge par l’assureur. Par contre, l’IJ est versée à partir du lendemain de l’arrêt de travail consécutif à l’accident de travail, donc sans délai de carence.


- Les accidents de travail et de trajet liés au risque routier, correspondent ici aux accidents qui ont impliqué un véhicule, à l’exclusion des locomotives, wagons, hélicoptères et avions.

1.1.1.6. Sinistralité des accidents routiers du travail

En 2007, sur les 4 620 personnes tuées (France) sur la route, 492 l’ont été dans le cadre d’accidents du travail, un quart d’entre elles en mission, les trois autres quarts sur le trajet domicile-travail. Bilan humain très lourd auquel il faut bien sûr ajouter les blessés graves, quelque 8 569 salariés qui garderont une incapacité permanente, et sur le plan économique, les 5,2 millions de journées perdues du fait des incapacités temporaires à la suite d’accidents de la circulation.

Les accidents de travail et de trajet, liés au risque routier, apparaissent orientés à la hausse sur les dernières années. L’augmentation en 2007 est le fait des accidents de trajet qui ont augmenté de 4,3 % par rapport à 2006, tandis que les accidents de travail lié à ce risque sont plutôt stables (+0,7 %).

Le nombre de nouvelles incapacités permanentes est en constante diminution depuis 4 années consécutives pour les accidents liés au risque routier.

Le nombre d’accidents mortels qui suivait cette tendance à la baisse, enregistre une forte hausse en 2007 par rapport à l’année précédente, avec en particulier pour les accidents de travail lié au risque routier, une augmentation de +27,9 %.

Tableau 2 Source : CNAMTS DRP

Ensemble des accidents de travail et de trajet liés au risque routier de 2003 à 2007(en italique, taux d'évolution annuel)

2003 2004 2005 2006 2007

74 861 72 382 75 383 75 488 77 984-3,3% 4,1% 0,1% 3,3%

10 255 10 128 9 661 8 928 8 569-1,2% -4,6% -7,6% -4,0%

654 597 514 448 492-8,7% -13,9% -12,8% 9,8%

5 428 728 5 151 860 4 846 605 5 046 405 5 163 883-5,1% -5,9% 4,1% 2,3%

Données nationales AT/MP issues des bases annuelles SGE TAPR sur les 9 Comités techniques nationaux, non compris bureaux et sièges sociaux et autres catégories professionnelles particulières pour les accidents de travail, y

compris bureaux, sièges sociaux et catégories particulières pour les accidents de trajet.

Journées d'IT

Décès

Nouvelles IP

Accidents routiers en 1er règlement


1.1.1.7. Impact économique

Outre les drames humains qu’ils provoquent, les accidents de la route en mission ou en trajet domicile-travail représentent un coût de quelques dizaines de milliards d’euros pour les assurés, les assurances et les entreprises et peuvent également entraîner une responsabilité pénale pour celles-ci. Dans la prochaine section, nous reviendrons sur ce dernier point, pour aborder la responsabilité pénale de l’entreprise face à l’accident de circulation.

Suite aux accidents routiers, l’entreprisse supporte des coûts directs et indirects comme :

Coûts directs :

- Cotisation du travail ;

- Coût des assurances (cotisation d’assurance automobile, malus, franchises…) ;

- Indemnités de rupture du contrat de location ou leasing ;

- Réparations des véhicules, épaves ;

- Amendes pénales.

Coûts indirects :

- frais de personnels (perte de temps de travail, complément de salaire suite aux arrêts de travail, remplacement du personnel absent...) ;

- domaine commercial (désorganisation du planning, perte de marchés...) ;

- domaine financier (conséquences de la destruction d’un véhicule en cours d’amortissement…).

1.1.1.8. Responsabilité pénale de l’entreprise

Tout employeur a une obligation d’évaluation et de protection des risques professionnels à l’égard de ses salariés. Elle est contenue dans l’article L. 230-2 du Code du travail qui énumère les mesures que doit prendre l’employeur pour y répondre : actions de prévention, de formation, mise en place d’une organisation et de moyens adaptés.

Cette obligation de sécurité recouvre la conduite d’un véhicule pour des raisons professionnelles : adaptation du véhicule à la tâche, contrôle et entretien, temps nécessaire et rythme des déplacements, usage de moyens de communication, chargement. A défaut d’y satisfaire, l’employeur risque, en cas d’accident ayant entraîné un dommage corporel, de voir sa responsabilité mise en cause. Mais les fondements légaux permettant la recherche en responsabilité de l’employeur ou du responsable de l’activité des conducteurs dans l’entreprise ne se limitent pas au seul Code du travail. En effet, le code pénal, le code des assurances, le code de la sécurité sociale et le code la route peuvent également être les supports de la mise en cause.


Notons qu’en cas de recherche de responsabilité, la faute positive pourra être retenue (une décision qui a généré ou favorisé le risque) mais aussi une faute par abstention (avoir laissé conduire un salarié alcoolique ou avoir négligé d’informer les salariés sur les mesures de sécurité, etc.).

Pour toutes ces raisons, l’entreprise en mettant la thématique de l’insécurité routière au centre de ses actions, démontre qu’elle a conscience de sa responsabilité sociale. Les entreprises sont aidées dans ce sens par des associations de prévention routière mais aussi par les courtiers qui en plus du conseil font de la prévention auprès de leurs clients.


1.2. Analyse descriptive

Avant de présenter les statistiques descriptives du portefeuille flotte auto entreprise, nous allons apporter quelques commentaires sur l’ensemble de la base de données et les différents retraitements nécessaires.

Dans la suite du mémoire le terme RC désignera Responsabilité Civile.

1.2.1. Exploitation des données

Les redressements présentés ci-dessous permettent de disposer d’observations de coûts et de charges de sinistres à l’ultime et dans les conditions de décembre 2008.

1.2.1.1. Source de données

Verspieren en qualité de gestionnaire de contrats dispose d’un accès facile aux données statistiques sur la sinistralité des contrats flottes automobiles, santé et prévoyance. Le système de gestion met à disposition des tables statistiques accessibles via le langage SQL.

1.2.1.2. Outils d’analyse

Les outils informatiques retenus pour l’analyse sont Excel, Access et R Stat. L’outil Access reste parfaitement adapté pour le traitement des données car les bases de données ne sont pas très volumineuses. Concernant la partie tableaux et graphes, Excel offre une manipulation relativement intuitive avec un bon rendement. L’add-in XLStat permet de réaliser des analyses statistiques d’un bon niveau notamment la description et la représentation des données empiriques ou l’adéquation d’un échantillon empirique à des lois théoriques. Pour la partie analyse de corrélations, nous avons utilisé R Stat car la plupart des copules sont déjà implémentées dans ce logiciel.

1.2.1.3. Recherche d’anomalies

Nous avons choisi d’observer l’évolution de la sinistralité du portefeuille, alors il faut commencer par délimiter le cadre temporel de l’étude. Le choix de la période d’étude est important surtout pour les branches longues, comme c’est le cas en RC automobile car le montant « ultime » d’un sinistre peut n’être connu que longtemps après sa survenance. L’étude portera sur la sinistralité des cinq dernières années c’est-à-dire 2004, 2005, 2006, 2007 et 2008. Tous les sinistres survenus hors de cette période seront écartés afin de ne pas introduire de biais.

Le premier commentaire portera sur la qualité des données. Il faut noter l’existence de données manquantes. Par exemple, pour faire de la prévention routière auprès des


entreprises, il est important de déterminer les caractéristiques de la population à risque, donc faire une étude détaillée de la sinistralité du portefeuille en fonction de la nature (matériel, corporel, bris de glace, vol…), des circonstances de l’accident, de l’heure, du taux de responsabilité, de la catégorie du véhicule… Moins de 40 % des informations sont manquantes.

Une première solution consisterait à reprendre l’ensemble des sinistres et sensibiliser les gestionnaires sinistres et production dans la bonne saisie de l’information. Cette démarche reste envisageable pour de futures études sur le portefeuille. La solution retenue, pour la suite de l’analyse, est de corriger certaines données en fonction de notre connaissance du portefeuille et du marché. En effet, il est possible de corriger les données sans avoir le dossier en effectuant des tests de recherche d’anomalies sur le portefeuille.

L’analyse de l’impact d’un sinistre corporel sur les garanties santé et prévoyance, portera sur la variable charges des sinistres de chaque branche.

A la déclaration du sinistre, les gestionnaires affectent un coût du sinistre égal à la provision. Au cours de l’évolution, le montant des règlements croît tandis que la provision décroît. A la fin, le coût est uniquement constitué par le cumul des règlements. Ainsi, le coût du sinistre se compose essentiellement des règlements versés à la victime ou à l’assuré, et de la provision pour sinistre à payer (PSAP).

La PSAP comprend :

- Les provisions pour sinistres connus : les sinistres sont survenus mais non encore payés, le montant du sinistre est déterminé mais le paiement correspondant n’est pas encore totalement effectué.

- Les provisions pour sinistres inconnus (IBNR, Incurred But Not Reported) : le sinistre est survenu mais n’est toujours pas connu par l’assureur pour cause de déclaration tardive ou aggravation tardive.

Ces méthodes de calcul des provisions seront détaillées en annexe.

Notons que quelle que soit la nature des sinistres, dès que le dossier est clôturé, les valeurs de l’évaluation (règlements et réserves) sont automatiquement égales à 0. Pour obtenir le triangle des cadences de paiements des sinistres (ouverts et clôturés), il faut reconstituer l’historique des paiements pour les cinq dernières années.

Pou ce faire, des photographies du portefeuille à un instant t sont utilisées. Ces fichiers seront concaténés afin de reconstituer la base de données des sinistres avec les cadences de paiements.

La base des données des paiements des sinistres ainsi constituée contient à la fois le montant du règlement pour la partie matérielle et pour la partie corporelle. Pour distinguer ces deux paiements, il faut soit chercher individuellement les dossiers de départ du service gestion et distinguer la partie dommage matériel de la partie dommage corporel, mais ce serait fastidieux. Une autre solution est de supposer que le coût des dommages matériels est égal à la moyenne des coûts dommages automobile. Sur la base de la convention IRSA, le coût moyen retenu est égal à l’échange forfaitaire en 2008 qui est de 1 204 € pour un plafond maximum de 6 500 €. Rappelons que si une des deux entreprises n’adhère pas à la convention IRSA, on parle alors de Droit Commun (DC).


Les sinistres « sans suite » sont exclus de la base, car aucun montant n’a été réglé par la compagnie hormis d’éventuels frais de gestion.


1.2.2. Analyse exploratoire du portefeuille flotte automobile

1.2.2.1. Evolution de la sinistralité entre 2004 et 2008

Tableau 3 : Evolution de la sinistralité du portefeuille flottes automobiles


La première partie du tableau résume le nombre total de véhicules assurés par catégories de véhicules au cours des 5 dernières années. On constate une baisse du parc durant les 3 premières années. En effet, cette décroissance s’explique par la réduction de l’effectif des véhicules particuliers et véhicules utilitaires, contrairement aux autres catégories de véhicules qui ont enregistré une augmentation d’effectifs de plus de 20%. Au global sur les 5 années nous constatons une augmentation du parc de 23,6%.

La deuxième partie du tableau retranscrit l’évolution du nombre, de la fréquence et de la charge des sinistres RC corporels et matériels. Le nombre de sinistres matériels croit au cours des quatre dernières années de même que la fréquence.

La troisième partie du tableau concerne les sinistres dommages. Nous observons ici les mêmes phénomènes de variation de la fréquence et de la charge des sinistres que le portefeuille.

Dans la suite, les analyses effectuées ne concernent que les sinistres corporels.

1.2.2.2. Evolution des sinistres corporels

Tableau 4 : Evolution des sinistres corporels entre 2004 et 2008

2004 2005 2006 2007 2008

Responsabilité Totale 474 486 502 649 694Responsabilité Partagée 27 29 41 63 40Responsabilité Nulle 263 253 279 430 408Total Corporels 764 768 822 1142 1142

Fréquence 0,005 0,006 0,007 0,007 0,006

Responsabilité Totale 7 804 239 € 3 163 607 € 4 153 516 € 11 110 768 € 8 738 033 €Responsabilité Partagée 93 452 € 48 534 € 126 487 € 484 949 € 154 769 €Responsabilité Nulle 136 687 € 162 696 € 886 706 € 1 454 595 € 326 203 €

Total Corporels 8 034 378 € 3 374 837 € 5 166 710 € 13 050 312 € 9 219 004 €

Par véhicule 56 € 28 € 47 € 83 € 49 €

par sinistre 10 516 € 4 394 € 6 286 € 11 428 € 8 073 €Coût moyen

Corporels

Nombre

Charge

Contrairement aux données du marché, nous observons une croissance du nombre de sinistres corporels. Cette évolution de la sinistralité s’explique par l’augmentation du parc de véhicules assurés, toutefois, la fréquence des sinistres corporels est restée en moyenne égale à 0,64 %.


1.2.2.3. Répartition de la charge des sinistres corporels

Tableau 5 : Répartition de la charge des sinistres corporels

Année

Tranche de coûts 2004 2005 2006 2007 2008

]0;500[ 9,70% 6,98% 6,19% 6,70% 5,10%

]500;1 000[ 5,42% 6,70% 5,80% 6,26% 3,96%

]1 000;2 000[ 20,40% 19,83% 15,98% 14,66% 13,75%

]2 000;5 000[ 24,39% 27,37% 31,19% 33,69% 36,77%

]5 000;10 000[ 18,40% 18,44% 21,13% 20,38% 22,19%

]10 000;15 000[ 9,42% 8,38% 8,12% 8,58% 9,17%

]15 000;30 000[ 6,70% 7,12% 6,70% 5,27% 5,21%

Sous total 94,44% 94,83% 95,10% 95,53% 96,15%

]30 000;75 000[ 3,71% 3,49% 2,71% 2,59% 2,19%

]75 000;150 000[ 1,14% 1,40% 1,55% 1,61% 1,04%

>150 000 0,71% 0,28% 0,64% 0,27% 0,63%

Total 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00%

En moyenne 96 % des sinistres annuels ont une charge inférieure à 30 000 € et 75,6 % des sinistres ont un coût entre 1 000 € et 10 000 €, ce qui caractérise une population de sinistres moyens. 1,89% des sinistres annuels ont une charge supérieure à 75 000 €.

1.2.2.4. Segmentation par catégorie de véhicules

Tableau 6 : Segmentation par catégorie de véhicules

Catégorie véhicule% de

sinistres

Part de la

charge

% de sinistres

Part de la

charge

% de sinistres

Part de la

charge

% de sinistres

Part de la

charge

% de sinistres

Part de la

chargeVP & VUL * 78,81% 50,82% 78,33% 69,44% 78,46% 63,29% 73,67% 32,87% 76,30% 54,19%Tracteurs & Porteurs 20,20% 49,03% 18,63% 29,05% 18,73% 35,88% 22,82% 65,43% 19,40% 27,07%2 roues 0,79% 0,09% 1,90% 0,56% 1,31% 0,48% 2,49% 0,48% 1,69% 0,46%Engins 0,20% 0,06% 0,57% 0,02% 1,50% 0,35% 0,90% 1,21% 1,82% 17,91%Remorques & Semi 0,00% 0,00% 0,57% 0,93% 0,00% 0,00% 0,11% 0,00% 0,78% 0,36%Total 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00%* VP & VUL: Véhicules Particuliers & Véhicules utilitaires

2004 2005 2006 2007 2008

En moyenne par année 76,66 % des sinistres corporels concernent les véhicules particuliers et véhicules utilitaires pour une part de 50,59 % de la charge totale.

Par contre, 20,23 % des sinistres impliquent des tracteurs et porteurs et ils représentent 44,08 % de la charge totale des sinistres corporels. Cette catégorie de véhicules devrait être étudiée à part vue l’importance des coûts engendrés. Au regard des caractéristiques de ce type de véhicules et des dégâts qu’ils peuvent engendrés en cas d’accident de la circulation, ces montants s’expliquent.


1.2.2.5. Segmentation des sinistres corporels par circonstances

Tableau 7 : Segmentation des sinistres par circonstances

Circonstances% de

sinistresPart de

la charge% de

sinistresPart de

la charge% de

sinistresPart de

la charge% de

sinistresPart de

la charge% de

sinistresPart de

la charge

Dommages immobiliers 1,14% 0,49% 0,42% 1,08% 0,64% 0,66% 0,71% 0,60% 1,15% 0,50%Non respect d'une interdiction relative 13,41% 34,57%10,89% 6,36% 14,05% 10,19% 11,08% 7,30% 13,23% 6,16%Changement de file, véhicules sur deux files différentes 6,56% 1,91% 9,78% 9,50% 10,05% 7,16% 10,55% 7,00% 11,04% 4,39%Choc arrière 25,82% 7,54% 29,33% 17,05% 24,48% 7,86% 27,97% 8,92% 26,25%10,93%Frottement sans changement de file 1,00% 0,32% 0,98% 0,56% 1,03% 0,19% 1,07% 0,23% 0,63% 0,17%Cumul de responsabilités et cas indéterminés 0,71%0,34% 0,84% 0,33% 1,55% 0,59% 1,43% 0,46% 0,73% 0,39%Sens inverse 8,99% 6,84% 8,10% 10,35% 8,51% 6,95% 8,13% 14,42% 6,35% 7,97%Manoeuvre 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,13% 0,01% 0,36% 0,24% 0,31% 0,24%Circonstances inconnues 7,70% 24,55% 5,03% 8,59% 5,41% 11,88% 6,26% 13,53% 7,50% 21,59%Perte de contrôle 4,56% 8,59% 3,63% 9,61% 2,84% 4,81% 3,49% 2,76% 3,85% 3,78%En stationnement ou à l'arrêt irrégulier 2,71%1,33% 2,09% 1,77% 3,48% 2,46% 3,31% 1,58% 2,71% 0,61%Non respect d'une interdiction absolue 7,42% 2,65% 6,15% 6,27% 7,60% 9,50% 5,90% 3,67% 5,94% 3,13%Carambolage 8,27% 4,28% 11,59% 12,85% 10,82% 17,36% 11,71% 27,77% 11,46% 14,12%Opération de chargement ou de déchargement 0,43% 0,05% 0,70% 0,39% 0,52% 0,23% 0,18% 0,00% 0,31% 0,15%Autre cas 11,13% 6,55% 10,34% 15,28% 8,63% 20,13% 7,77% 11,49% 8,33% 25,82%Sans tiers 0,14% 0,00% 0,14% 0,01% 0,26% 0,02% 0,09% 0,03% 0,21% 0,06%Total 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00%

2006 2007 20082004 2005

Les principales causes d’accident de la circulation avec dommages corporels sont les suivantes :

- le choc arrière avec 26,83 % des sinistres pour 9,89 % de la charge totale,

- le non respect d’une interdiction relative avec12,45 % des sinistres et 12,94 % de la charge,

- le carambolage avec 10,91 % des sinistres et 16,20 % de la charge.

Le portefeuille flottes automobiles comporte 4 638 sinistres corporels pour la période de janvier 2004 à décembre 2008. Le terme de sinistre corporel regroupe l’ensemble des sinistres avec tiers ou sans tiers. Parmi ces 4 638 sinistres, nous ne conservons que les 1 833 sinistres corporels assurés c'est-à-dire les victimes qui sont assurées chez Verspieren.

Dans la suite, notre étude portera sur la sous-population d’individus victimes d’un accident de la circulation et ayant souscrit conjointement une assurance santé ou prévoyance. Le nouvel échantillon compte plus d’une centaine d’assurés.

Dans la prochaine section nous présenterons l’analyse descriptive du portefeuille santé et nous comparerons la consommation en frais de santé de notre échantillon par rapport à la consommation moyenne du portefeuille sur les 3 dernières années.


1.3. Analyse exploratoire du portefeuille santé

Le système dénombre 2 980 457 adhérents au 31 décembre 2008. Sur l’ensemble du portefeuille santé, nous constatons une augmentation des remboursements en frais de santé. Cette évolution s’explique par le désengagement croissant de la sécurité sociale dans la prise en charge de la couverture santé. Cette augmentation est plus forte pour les postes optique et dentaire avec respectivement 17,2% et 14,7% d’augmentation en 2008.

Tableau 8 : Evolution des remboursements par adhérent du portefeuille santé de 2006 à 2008

Portefeuille entierNature de l'acte 2006 2007 2008

Consultations - Visites 82,83 82,88 68,53Médecine courante 62,35 73,70 61,28Dentaire 158,64 111,95 91,52Optique 130,16 151,37 107,08Pharmacie 68,86 78,44 89,61Hospitalisation 47,05 21,96 77,57Autres postes 9,41 12,49 22,41

TOTAL 559,30 532,80 517,99Montants en Euros

Nous allons maintenant analyser l’évolution de la consommation en frais de santé des individus victimes d’un accident de la circulation.

Tableau 9 : Evolution des remboursements sur l’échantillon

EchantillonNature de l'acte 2006 2007 2008

Consultations - Visites 88,19 69,17 83,27Médecine courante 66,39 61,52 78,98Dentaire 168,91 93,44 77,99Optique 138,59 126,34 131,26Pharmacie 73,32 65,46 88,04Hospitalisation 50,10 18,33 87,87Autres postes 10,02 10,43 14,55

TOTAL 595,52 444,69 561,97Montants en Euros

A périmètre constant, nous constatons en moyenne une augmentation du montant des remboursements des frais de santé pour les assurés victimes d’un accident de la circulation par rapport aux autres. En effet,

- pour l’année 2006 une augmentation de 6% des remboursements pour l’échantillon par rapport au portefeuille entier,


- pour l’année 2007, la variation n’est pas significative,

- et pour 2008, l’augmentation est de 7.6% pour les assurés victimes d’un accident de la circulation par rapport au portefeuille.

En moyenne, nous observons une croissance du remboursement des frais de santé de tous les postes notamment les postes optique, pharmacie, hospitalisation, sauf le poste dentaire et les autres.

Ces résultats laissent supposer a priori l’existence d’une liaison positive entre les branches dommages corporels et santé. Pour confirmer ce résultat nous effectuerons dans la suite de ce mémoire des analyses de corrélations. Avant de déterminer la structure de dépendance entre les variables charges dommages corporels et santé, nous allons d’abord déterminer la loi de probabilité des charges de sinistres, pour pouvoir choisir l’outil mathématique le mieux adapté pour décrire cette liaison.


Méthodologie

L’objectif du mémoire est de déterminer l’incidence d’un accident de la circulation (avec dommages corporels) sur les garanties santé et prévoyance.

La méthodologie envisagée est la suivante :

Il faut d’abord définir la population étudiée ; il s’agit des individus victimes d’un accident de la circulation avec des dommages corporels qu’ils soient ou non responsables. La base de données exploitée contient tous les sinistres survenus de 2004 à 2008. Afin d’étudier les relations de dépendances entre les branches automobile (dommages corporels), santé et prévoyance, le portefeuille d’étude est restreint aux assurés avec un sinistre corporel automobile et qui ont souscrit conjointement une assurance santé et ou prévoyance. Il s’agit d’étudier les corrélations entre les montants des sinistres corporels automobiles, les dépenses de santé et les prestations en prévoyance ultérieures.

Ensuite, pour chaque assuré il faut calculer le coût ultime du sinistre qui est la variable d’étude pour l’analyse des dépendances. La branche dommages corporels automobile étant une branche longue, le montant final des sinistres est connu des années plus tard. Donc, avant toute estimation statistique du montant des sinistres individuels, les redressements suivants sont nécessaires :

- actualisation des données

- calcul de la charge ultime du sinistre en incorporant les IBNR.

Ainsi, nous disposons des vecteurs X, Y et Z correspondant respectivement aux paiements des sinistres automobiles, santé et prévoyance. Par exemple, pour un individu i, xi est le montant ultime du sinistre automobile, yi les dépenses en santé et zi les prestations en prévoyance.

Le coefficient de corrélation linéaire peut facilement être calculé pour les couples (X, Y) et (X, Z), mais ce coefficient n’est pertinent qu’en présence de distributions gaussiennes (voir partie 3).

Donc, la prochaine étape sera consacrée à la modélisation des coûts des sinistres. La détermination des lois univariées, permettra de calculer la loi jointe des variables.

Pour finir, la recherche de dépendances portera sur les relations entre les dommages corporels automobiles et la branche santé, et entre les dommages corporels automobiles et la branche prévoyance.


2. Modélisation univariée de la sinistralité

Cette partie est consacrée à la modélisation des lois univariées du coût des sinistres de la branche dommages corporels automobiles, santé et prévoyance. Avant de modéliser la charge des sinistres, nous devons définir le coût ultime d’un sinistre.

2.1. Calcul du coût d’un sinistre

2.1.1. Coût ultime d’un sinistre

La date d’étude est arrêtée au 31/12/2008, à cette date le coût final des sinistres survenus n’est pas totalement connu. Un calcul est effectué au niveau de chaque sinistre pour reconstituer cette vision à l’ultime du coût. Le montant ultime se définit de la façon suivante :

ReCoût ultime Réglements effectués Réserve cours= + −

Où :

- Règlements effectués correspondent à la somme de tous les paiements effectués depuis la survenance du sinistre jusqu’au moment du calcul.

- La réserve est la prévision à la fin 2008 du montant restant à payer au titre de ce sinistre.

- Le recours est la somme à récupérer auprès des personnes physiques ou morales (sociétés d’assurance, Etat, personnes responsables…).

2.1.2. Actualisation des variables

Nous disposons de données historiques de la sinistralité. La branche RC automobile est une branche à déroulement long, il est donc indispensable d’actualiser (ou indexer) les montants observés en montant « as if » avant toute analyse. Le montant « as if » d’un sinistre est le coût de celui-ci s’il survenait avec les mêmes caractéristiques mais dans les conditions actuelles, 1 € en 2004 ne vaut pas forcément 1 € en 2008.

Le choix des coefficients d’actualisation à appliquer est essentiel pour construire une base de données « as if » représentative. Il existe différents indices qui sont plus ou moins appropriés à un type de risque, mais, la façon la plus courante d’appréhender l’inflation est de considérer l’Indice des Prix à la Consommation (IPC).


Il permet d'estimer, entre deux périodes données, la variation moyenne des prix des produits consommés par l’ensemble des ménages français (y compris DOM-TOM) pour la branche assurance3. C'est une mesure synthétique de l'évolution de prix des produits, à qualité constante.

Indice et taux sont liés par la relation suivante : 1 (1 )t t tIndice Indice taux−= ⋅ + .

Soit ,k tM le coût d’un sinistre de l’année t actualisé en k (avec k>t) et tM le coût d’un

sinistre de l’année t, nous avons l’équivalence entre :

, ,1

(1 )k

kk t t i k t t

i t t

IndiceM M taux M M

Indice= +

= ⋅ + ⇔ = ⋅∏

A partir des données de l’INSEE, nous obtenons le tableau ci-dessous pour les taux de passage en euros de 2008 :

Tableau 11 : Taux de passage en euros 2008

AnnéeValeur de

l'IPC

Taux de passage

en euros 2008

2004 111,54167 1,06338

2005 113,50833 1,04496

2006 116,70333 1,01635

2007 119,04083 0,99639

2008 118,61167 1,00000

Source: INSEE, Identifiant de l'IPC: 000639122

Les sinistres survenus avant 2008 hormis ceux de l’année 2007, ont été légèrement augmentés. Par exemple, un sinistre survenu en 2004 avec un coût de 95 000 € vaudra 101021,51644 € en 2008 soit 95 000*1,06338. Par contre, un sinistre survenu en 2007 avec une charge de 95 000 € sera évalué à 94 657,51079 € (95000*0,99639), soit une légère baisse.

2.1.3. Calcul des réserves

Les réserves sont évaluées en utilisant les techniques statistiques de triangulation. Les méthodes déterministe et stochastique de détermination des provisions pour sinistres à payer sont développées dans l’annexe 1.

Nous disposons de l’estimation des réserves pour chaque sinistre. Ces montants sont incorporés aux règlements pour le calcul du coût final du sinistre.

3 www.Insee.fr, Identifiant de l’IPC : 000639122


2.2. Modélisation du montant de sinistres

Dans cette section, nous cherchons les lois de probabilités les mieux adaptées aux distributions des coûts unitaires des sinistres.

Avant de modéliser le montant d’un sinistre nous allons d’abord définir la notion de montant de sinistre. D’après le code des assurances, le montant d’un sinistre au 1er euro inclut l’indemnisation directe de la victime, les frais de gestion internes et externes afférents à ce sinistre. Un sinistre « non responsable » peut générer un montant non nul par intervention de frais. Nous nous limiterons cependant aux sinistres « responsables » comportant le versement d’une indemnisation. Seront exclus de l’analyse les sinistres « sans suite », n’entraînant aucun paiement pour la compagnie.

La charge d’un sinistre (estimée en euro) est une variable continue. Les lois continues sont caractérisées par leur fonction de densité et leur fonction de répartition. Le montant Z d’un sinistre est une variable aléatoire dont l’espérance E(Z) est appelée le coût probable moyen d’un sinistre.

Pour déterminer les fonctions de répartition, les données sont ventilées par tranches de coûts de sinistres.

Tableau 12 : Répartition par tranche de coûts

Tranche de coûts Nbre Montant

]0;10 000[ 1 716 3 832 967,84 €

]10 000;20 000[ 268 3 497 804,20 €

]20 000;30 000[ 28 672 621,62 €

]30 000;40 000[ 19 644 657,45 €

]40 000;50 000[ 6 275 683,15 €

]50 000;60 000[ 3 152 595,00 €

]60 000;70 000[ 3 196 975,60 €

]70 000;80 000[ 1 75 000,00 €

]80 000;90 000[ 1 85 371,00 €

]90 000;100 000[ 1 97 295,95 €

]100 000;110 000[ 4 418 792,97 €

]110 000;120 000[ 0 0,00 €

]120 000;130 000[ 1 129 999,74 €

]130 000;140 000[ 3 400 746,00 €

]140 000;150 000[ 5 715 353,04 €

> 150 000 33 16 739 913,60 €

Total 2 092 27 935 777,16 €

Les tranches de coût sont choisies en fonction des résultats obtenus dans la phase analyse exploratoire des données. Par la suite, nous procéderons si nécessaire à d’autres découpages plus fins pour mieux retranscrire la sinistralité de certaines sous catégories, par exemple les sinistres avec un faible montant ou les sinistres avec un coût élevé.

Commençons par rappeler les méthodes d’estimation des paramètres.


2.2.1. Estimation des paramètres

Les méthodes utilisées pour l’estimation des paramètres de la distribution sont celle du maximum de vraisemblance (MV) et celle des moments.

La méthode des moments consiste à chercher une estimation du paramètre par résolution de l’équation obtenue en égalant moment théorique et moment empirique correspondant. Cette méthode se justifie par les propriétés de convergence des moments empiriques vers les moments théoriques correspondants.

La méthode du maximum de vraisemblance consiste à rechercher la valeur du paramètre de la loi considérée qui rend le plus probable les réalisations des variables aléatoires étudiées.

Afin d’étudier l’adéquation de la répartition des coûts de sinistres observés aux lois, des tests statistiques sont mis en œuvre.

2.2.2. Statistiques de test

Pour aider à choisir la loi de probabilité la mieux adaptée à nos observations nous utilisons les représentations graphiques type histogramme, estimation de la densité observée et estimée. En plus de l’aspect visuel obtenu avec les graphes, nous effectuons des tests statistiques d’adéquation comme le test du Khi-deux et celui de Kolmogorov-Smirnov présentés ci-dessous.

2.2.2.1. Test d’adéquation du Khi deux

Le test du Khi-deux est un test non paramétrique qui permet de tester l'hypothèse H0 selon laquelle les données observées sont engendrées par un modèle faisant intervenir une loi ou une famille de lois de probabilité.

On définit une fonction discriminante Dn qui mesure l'écart entre les valeurs théoriques déduites du modèle et les valeurs observées dans l'échantillon.

( )2

1

ki i

ni i

N npD

np=

−=∑

où Ni est le nombre d’observations appartenant à la classe Ci.

Sous l’hypothèse H0, Dn suit asymptotiquement une loi du Khi-deux à ν degrés de liberté, avec ν = k – r – 1, r étant le nombre de paramètres estimés de la loi théorique.


2.2.2.2. Test de Kolmogorov-Smirnov

Le test de Kolmogorov-Smirnov est un test d’ajustement à une loi continue.

Etant donné une loi continue de fonction de répartition F0, nous cherchons à tester l’hypothèse nulle H0 : Fn = F0 contre Ha : Fn ≠ F0 pour un seuil α >0.

Le test s’appuie sur l’écart maximal observé entre la fonction de répartition de la distribution théorique et celle de la distribution empirique.

( )0 0, ( ) ( )n n nx

D F F Sup F x F x= − .

Pour des échantillons de taille suffisante (dès n>=40), nous utiliserons l’expression de la loi asymptotique de Dn sous H0 :

( ) ( ) 2 2

0

1 20

1

lim , 1 2 1 ek k x

H n nn

k

P n D F F x+∞

+ −

→∞ =

≤ = − − ∑

Pour un niveau α donné, l’hypothèse H0 est rejetée si la valeur observée Dn est supérieure au fractile c(1-α) et acceptée dans le cas contraire.

D’autres tests d’ajustement peuvent être utilisés, comme ceux d’Anderson-Darling et Cramer-Von Mises.

La statistique du test de Cramer-Von Mises mesure l’intégrale du carré de la différence entre les deux fonctions de répartition théorique et observée.

Le test d’Anderson-Darling utilise le fait que, si la loi empirique et la loi théorique coïncident, la transformée de la distribution observée par la fonction de répartition théorique suit une loi uniforme sur l’intervalle [0,1].


2.2.3. Lois testées

Pour tester les lois de probabilité, nous nous sommes restreints aux familles de lois prenant des valeurs positives car les coûts de sinistres ne peuvent pas être négatifs. Nous testerons l’adéquation des données dommages corporels, santé et prévoyance aux quatre lois énoncées ci-dessous.

2.2.3.1. Distribution Log Normale Log N(µ, σ2), µ∈ R et σ>0

C’est l’une des distributions continues les plus utilisées en assurance non-vie.

Soit X une variable aléatoire, coût d’un sinistre de loi log-normale, sa distribution dans R+ est la suivante :

- Fonction de répartition : ln( )

( )X

xF x

µσ

− = Φ

- Densité : 2

1 1 ln( )( ) exp

22X

xf x

x

µσσ π

− = −

- Moments : [ ] ( )2exp / 2E X µ σ= +

[ ] ( ) ( ) ( )2 2exp 2 exp exp( ) 1V X µ σ σ= ⋅ ⋅ −

Remarque : Contrairement aux notations classiques, µ et σ2 ne sont respectivement ni la moyenne ni la variance de X, mais celles de lnX.

Soit n réalisations xi de la variable aléatoire réelle X, nous obtenons par la méthode du maximum de vraisemblance les estimateurs de µ et σ suivants :

21 1log (log )i i i i

i

n X et n Xn n

µ σ µ= ⋅ = ⋅ −∑ ∑) )

Application

Le graphe des données issues des sinistres prévoyance laisse supposer que le coût des sinistres pourrait être modélisé par une loi log-normale.


Nous obtenons comme estimation de µ et σ :

Paramètre Valeurµ 7,016sigma 1,785

Les statistiques estimées à partir des données et calculées à partir des estimateurs des paramètres de la distribution log-normale sont les suivantes.

Statistique Données ParamètresMoyenne 4 338,256 2 721,513Variance 104 664 124,352 172 038 389,311

Comparaison entre les effectifs observés et théoriques :

Borne inférieure [

Borne supérieure [

EffectifFréquence empirique

Fréquence théorique

Effectif théorique

0 18000 2297 0,950 0,940 2272,95118000 36000 85 0,035 0,034 81,68236000 54000 20 0,008 0,011 26,42354000 72000 2 0,001 0,005 12,30372000 90000 5 0,002 0,003 6,83390000 108000 2 0,001 0,002 4,222

108000 126000 4 0,002 0,001 2,804126000 144000 1 0,000 0,001 1,962144000 162000 0 0,000 0,001 1,428162000 180000 1 0,000 0,000 1,073

Représentation graphique de l’adéquation du coût des sinistres en prévoyance à une loi log-normale de paramètres µ = 7.016 et σ = 1.785.

Fig. 1 : Fréquences empirique et théorique sur les données prévoyance

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

18 000 36 000 54 000 72 000 90 000 108 000 126 000 144 000

Fréq

uenc

e

Coût

Fréquences observées et théoriques

Fréquence empirique Fréquence théorique


L’application du test de Kolmogorov-Smirnov donne les résultats suivants.

D 0,023p-value 0,140alpha 0,05

Interprétation du test :

H0 : L'échantillon suit une loi Log Normale

Ha : L'échantillon ne suit pas une loi Log Normale

Etant donné que la p-value calculée est supérieure au niveau de signification seuil alpha=0.05, on peut valider l'hypothèse nulle H0.

Le risque de rejeter l'hypothèse nulle H0 alors qu'elle est vraie est de 14,03%.

2.2.3.2. Distribution Gamma γ (α, β), α>0 et β >0

Cette distribution est classique en assurance non-vie.

Soit X une variable aléatoire réelle de loi Gamma avec α le paramètre de forme et β le paramètre d’échelle, alors dans R+, sa fonction de densité est donnée par :

1

( )( )

x

X

e xf x

α β αβα

− −

=Γ

Rappelons la fonction Γ(x) ou Gamma d’Euler : 1

0

( ) x tx t e dt+∞

− −Γ = ∫

Pour k entier, nous avons :

( )( ) ( 1) ( 2) ... (1) , 1 1k k k avecΓ = − ⋅ − ⋅ ⋅Γ Γ =

1 11 2 ...

2 2 2 2 2

k k kavec π Γ = − ⋅ − ⋅ ⋅Γ Γ =

Espérance : [ ]E Xαβ

= Variance : [ ] 2V X

αβ

=

Soit n réalisations xi de la variable aléatoire réelle X, nous obtenons par la méthode des moments, les estimateurs de α et de β suivants :

[ ]2( ) ( )

( ) ( )

E x E Xet

V X V Xα β= =

))


Application

A partir des données issues de la sinistralité du portefeuille santé, nous obtenons les estimations de α et β suivantes:

Paramètre Valeuralpha 0,134bêta 290,572

Les statistiques estimées à partir des données et calculées à partir des estimateurs des paramètres de la distribution Gamma sont les suivantes.

Statistique Données ParamètresMoyenne 38,855 38,855Variance 11290,230 11290,230

Statistiques descriptives pour les tranches de coût:

Borne inférieure [

Borne supérieure [

Effectif empirique

Fréquence empirique


Effectif théorique

0 280 9 619 0,979 0,965 9 483,149280 560 133 0,014 0,026 259,720560 840 51 0,005 0,006 61,172840 1 120 13 0,001 0,002 17,205

1 120 1 400 6 0,001 0,001 5,2451 400 1 680 2 0,000 0,000 1,6751 680 1 960 1 0,000 0,000 0,5521 960 2 240 0 0,000 0,000 0,1862 240 2 520 0 0,000 0,000 0,0632 520 2 800 4 0,000 0,000 0,022

Représentation graphique de l’adéquation du coût des sinistres prévoyance à une loi Gamma de paramètres α = 0.134 et β = 290.572.


Fig. 2 : Fréquences empiriques et théoriques sur les données santé

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

280 560 840 1 120 1 400 1 680 1 960 2 240




D 0,527p-value < 0,0001alpha 0,05


H0 : L'échantillon suit une loi Gamma

Ha : L'échantillon ne suit pas une loi Gamma

Etant donné que la p-value calculée est inférieure au niveau de signification alpha=0,05, on doit rejeter l'hypothèse nulle H0, et retenir l'hypothèse alternative Ha.

Le risque de rejeter l'hypothèse nulle H0 alors qu'elle est vraie est inférieur à 0,01%.

2.2.3.3. La loi exponentielle ε(λ), λ >0

Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle. Sa distribution dans R+ est la suivante :

- Fonction de répartition : ( ) 1 xXF x e λ−= −

- Densité : ( ) xXf x e λλ −=

- Moments :


Le moment d’ordre k : !

k k

km

λ=

L’espérance : 1

( )E X mλ

= = La variance : 2

1( )V x

λ=

Nous disposons de n réalisations xi de la variable aléatoire réelle X, l’estimation du

paramètre par la méthode du maximum de vraisemblance est : 1

( )E Xλ =)

Remarque : La queue de distribution de la loi exponentielle, très légère ne permet pas de modéliser fidèlement les montants de sinistre de la plupart des garanties d’assurance non-vie. Toutefois sa simplicité l’impose dès qu’il s’agit de faire des calculs actuariels complexes.

Application

Le graphe des données des frais de santé laisse supposer que le coût des sinistres pourrait être modélisé par une loi exponentielle.

Nous obtenons comme estimation de λ :

Paramètre Valeurlambda 0,026

Les statistiques estimées à partir des données et calculées à partir des estimateurs des paramètres de la distribution exponentielle sont les suivantes.

Statistique Données ParamètresMoyenne 38,855 38,855Variance 11 290,230 1 509,727

Statistiques descriptives pour les tranches de coût:

Borne inférieure [

Borne supérieure [

EffectifFréquence empirique


Effectif théorique

0 280 9 619 0,979 0,999 9 821,707280 560 133 0,014 0,001 7,287560 840 51 0,005 0,000 0,005840 1 120 13 0,001 0,000 0,000

1 120 1 400 6 0,001 0,000 0,0001 400 1 680 2 0,000 0,000 0,0001 680 1 960 1 0,000 0,000 0,0001 960 2 240 0 0,000 0,000 0,0002 240 2 520 0 0,000 0,000 0,0002 520 2 800 4 0,000 0,000 0,000


Représentation graphique de l’adéquation du coût des frais de santé à une loi exponentielle de paramètres λ =0.026.

Fig. 3 : Fréquences empiriques et théoriques sur les données santé

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

280 560 840 1 120 1 400 1 680 1 960 2 240




D 0,231p-value < 0,0001alpha 0,05


H0 : L'échantillon suit une loi Exponentielle

Ha : L'échantillon ne suit pas une loi Exponentielle




2.2.3.4. Distribution Pareto P(α, θ), α>0, θ>0

Une variable aléatoire X est dite de loi de Pareto de paramètres α et θ, lorsque X admet la distribution suivante :

- Fonction de répartition : ( ) 1 , 0XF x si xx

αθ θ = − > >

- Densité : 1

( )Xf xx

α

ααθ

+=

- Moments :

Le moment d’ordre k : , , sink

k km si k on mk

αθ αα

= > = +∞−

L’espérance : ( ) , 11

E X mαθ α

α= = >

−

La variance : ( ) ( )

2

2( ) , 21 2

V xαθ α

α α= >

− −

Nous disposons de n réalisations xi de la variable aléatoire réelle X, l’estimation du

paramètre par la méthode du maximum de vraisemblance est :

1

ˆln

ni

i

nX

α

θ=

=

∑

Application

- Modélisation de la charge des sinistres corporels automobile

Avant de modéliser la loi du coût des sinistres, nous avons procédé à une mise « as if » des données. Les résultats des coûts ultimes de sinistres corporels sont présentés sur un box plot.


Fig. 5 : Boxplot des données dommages corporels

Coût sinistre corporel

Min. : 2

1st Qu.: 1 480

Médian : 3 778

Mean : 17 242

3rd Qu.: 9 466

Max. : 2 671 255

Le graphe obtenu met en évidence l’existence de valeurs extrêmes, qu’il est nécessaire de traiter. En effet, sur le total des sinistres corporels présents dans le portefeuille de 2004 à 2008, 98 % de ces sinistres ont une charge inférieure à 150 000 euros. Par ailleurs, la modélisation de l’ensemble des sinistres corporels par une seule et même loi n’a fourni aucun résultat concluant.

Il faut alors scinder la population en deux en écrêtant les valeurs extrêmes ; une première analyse portera sur les sinistres avec une charge inférieure ou égale à 150 000 euros et la seconde sur les sinistres avec un montant supérieur à 150 000 euros. Rappelons que pour les sinistres corporels en responsabilité civile automobile, l’existence de montant très élevés n’est pas aberrante, car les montants d’indemnisation des victimes peuvent être fixés


par décision judiciaire et il n’existe pas de limite pour la réassurance des garanties RC automobile.

- Sinistres avec un coût inférieur ou égal à 150 000 euros

Nous obtenons comme estimation de α et de θ :

Paramètre Valeuralpha 2,093théta 2839,751

Les statistiques estimées à partir des données et calculées à partir des estimateurs des paramètres de la distribution Pareto sont les suivantes.

Statistique Données ParamètresMoyenne 5 437,525 5 437,525Variance 151 646 024,390 151 646 024,390

Comparaison entre les effectifs observés et théoriques

Borne inférieure [

Borne supérieure [

Effectif empirique

Fréquence empirique


Effectif théorique

0 15 000 1 911 0,928 0,970 1 996,31215 000 30 000 101 0,049 0,024 48,38730 000 45 000 20 0,010 0,004 8,47345 000 60 000 8 0,004 0,001 2,86860 000 75 000 3 0,001 0,001 1,29575 000 90 000 2 0,001 0,000 0,69090 000 105 000 5 0,002 0,000 0,410

105 000 120 000 0 0,000 0,000 0,262120 000 135 000 3 0,001 0,000 0,178135 000 150 000 6 0,003 0,000 0,126

Pour choisir la loi la mieux adaptée à notre échantillon de données nous effectuons notre choix à l’aide des tests statistiques et des représentations graphiques.


Fig. 6 : Fréquences empiriques et théoriques sur les données dommages corporels

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

15 000 30 000 45 000 60 000 75 000 90 000 105 000 120 000




D 0,575p-value < 0,0001alpha 0,05

Interprétation du test

H0 : L'échantillon suit une loi Pareto

Ha : L'échantillon ne suit pas une loi Pareto



- Sinistres avec un coût supérieur à 150 000 euros

Nous disposons de très peu de sinistres extrêmes, pour pouvoir modéliser leurs coûts. Nous avons donc décidé de répartir la charge des sinistres identifiés en charge extrême sur les différentes classes de coûts inférieures.


2.2.3.5. Résultats

Pour chaque branche, nous avons testé l’adéquation des données aux quatre lois (Log-normale, Paréto, exponentielle et Gamma).

Pour la branche santé, la modélisation est faite en utilisant la somme de toutes les dépenses en santé sans distinguer les différents postes de remboursement. En testant nos quatre lois candidates, la conclusion du test nous amène à rejeter l’hypothèse d’adéquation à ces lois. Cependant, les résultats obtenus avec les lois théoriques Gamma, Exponentielle et Pareto sont de moins bonne qualité, nous avons donc retenu la loi log-normale pour la modélisation des frais de santé. L’échec de cette modélisation n’est pas dû à la méthode utilisée mais plutôt à un manque d’effectif pour distinguer les différents postes de consommation en frais de santé.

Pour la branche prévoyance, la modélisation est basée sur le coût total des prestations versées par l’assureur suite à un arrêt de travail ou au décès d’un assuré victime d’un accident de la circulation. La loi retenue pour la modélisation des arrêts de travail est la loi log-normale.

La loi log-normale est retenue pour la modélisation des sinistres corporels automobiles.

Dans cette partie nous avons déterminé les lois de probabilité des charges des sinistres des différentes branches. Ces lois sont univariées serviront dans la suite à définir une distribution jointe permettant de traduire la structure de dépendance entre les différentes branches tout en conservant les comportements des distributions marginales. La copule est l’outil permettant d’extraire la structure de dépendance d’une distribution jointe et ainsi de séparer dépendance et comportement marginal.


3. Dépendance et copules

Dans la théorie classique du risque, beaucoup de développements et résultats actuariels sont basés sur l’hypothèse d’indépendance de variables aléatoires (les montants de sinistres au sein d’un portefeuille homogène, le nombre et montant des sinistres dans le modèle collectif). Cependant, des exemples peuvent laisser penser que ce n’est pas le cas en pratique, il parait évident qu’un dommage corporel suite à un accident de la circulation peut engendrer des frais médicaux, des jours d’hospitalisation et d’arrêt de travail.

Dans la partie précédente, nous avons déterminé les distributions de probabilité du coût des sinistres par branche. Ces lois univariées seront utilisées par la suite pour déterminer la structure de dépendance entre les branches. Rappelons que notre objectif est de mettre en évidence l’incidence d’un sinistre corporel automobile sur le montant des charges en santé et prévoyance. Pour cela, il nous faut déterminer la structure de dépendance entre ces branches.

Après avoir rappelé la différence entre les notions de dépendance et de corrélation, nous étudierons les définition et propriétés fondamentales des copules en exposant quelques exemples de copules paramétriques, pour ensuite analyser leur mise en œuvre pratique.


3.1. Dépendance et corrélation

La corrélation mesure la relation linéaire entre deux variables. Commençons par rappeler que la corrélation et la dépendance sont deux notions différentes. En effet, si deux variables X et Y sont indépendantes, alors X et Y sont non corrélées ou ρ(X, Y) = 0. La réciproque est cependant fausse, sauf dans le cas où les variables sont gaussiennes car la dépendance est alors entièrement caractérisée par le coefficient de corrélation. Voici le contre-exemple le plus connu dans la littérature : soit X une variable aléatoire qui suit une loi N(0,1) et Y=X2 alors ( ), 0Cov X Y = .

Le coefficient de corrélation est régulièrement utilisé dans les travaux actuariels, parce qu’il est facile à calculer. Toutefois, un tel coefficient ne constitue qu’un indicateur de degré de dépendance mais il n’arrive pas toujours à rendre compte de la relation qui existe entre les variables étudiées. Ce coefficient est pertinent qu’en présence de dépendance linéaire ou de distributions elliptiques (distribution multivariée normale ou Student).

Notons qu’une corrélation n’est pas forcément une relation de causalité entre les deux phénomènes mesurés. En réalité, les deux phénomènes peuvent être corrélés à un même phénomène source c’est-à-dire une 3ème variable non mesurée et dont dépendent les deux autres.

Par ailleurs, si les distributions des variables sont non-gaussiennes alors le coefficient de corrélation linéaire de Pearson n’est pas adapté. Il est donc important d’utiliser un outil qui permet de modéliser la dépendance ; la copule répond à cet objectif.

Dans la suite, la dépendance entre les variables sera modélisée à l’aide des copules qui sont la forme mathématique la plus pertinente pour l’étude de la dépendance. Les indicateurs de dépendance (corrélation linéaire, tau de Kendall et rhô de Spearman) seront définis à partir des paramètres de la copule.


3.2. Théorie des copules4

3.2.1. Définition d’une copule

En réponse au problème concernant les espaces métriques aléatoires énoncés par Maurice Fréchet, Abe Sklar a introduit le concept de copule en 1959.

Une copule est une fonction de répartition n-dimensionnelle C définie sur l’hypercube [0 ; 1]n et dont les marginales sont uniformes sur [0 ; 1].

L’outil fondamental de la théorie des copules est le théorème de Sklar. Il établit le lien entre une fonction de répartition multivariée, ses marginales et une copule, permettant ainsi l’application des copules dans la modélisation statistique. L’énoncé du théorème est le suivant :

3.2.2. Théorème de Sklar

Soit F une fonction de répartition n-dimensionnelle ayant pour fonctions de répartition marginales F1,…, Fn, alors il existe une n-copule C telle que pour tout x de Rn, F(x1,…xn)=C(F1(x1),…,Fn(xn)). (1)

Si les distributions marginales F1, …, Fn sont continues alors la copule C est unique, sinon elle est déterminée de manière unique sur Im(F1)*…*Im( Fn).

Réciproquement si C est une copule et F1,…, Fn des distributions univariées alors la fonction F définie par (1) est la distribution conjointe dont les marges sont F1,…, Fn.

Cf. Sklar.

Dans le cas de lois marginales continues, pour tout U dans [0 ; 1]n on a :

( )1 11 1( ) ( ), ..., ( )n nC u F F u F u− −= (2) et

( )1 11

( ) ( ),..., ( ) ( )n

n n i ii

f x c F x F x f x=

= ∏ (3)

où c est la densité associée à C et les fi, les densités marginales de F.

4 Du latin copula, lien


Précisons que la densité c d’une copule C, si elle existe est définie comme suit :

( ) ( )1 11

,..., ,...,...

n

n nn

Cc u u u u

u u

∂=∂ ∂

La relation (1) permet de construire une loi jointe à partir de lois marginales et d’une copule, alors que la relation (2) permet de construire des copules à partir de lois jointes.

Ce théorème de Sklar est très important puisqu’il nous permet de séparer toute distribution multidimensionnelle en deux parties :

- les distributions marginales

- la copule, qui décrit complètement la structure de dépendance entre les différentes composantes.

3.2.3. Dépendance de queue

La dépendance de queue permet d’étudier la probabilité conditionnelle que deux marges excèdent un certain quantile sachant que c’est le cas pour l’une des marges.

Le coefficient de dépendance de queue inférieure ou lower tail dependence coefficient de

X et Y est : ( )1 1

0lim ( ) ( )L X yP X F Y F

αλ α α

+

− −

→= ≤ ≤ et le coefficient de dépendance de queue

supérieure ou upper tail dependence coefficient est :

( )1 1

1lim ( ) ( )U X yP X F Y Fα

λ α α−

− −

→= > >

Les expressions des dépendances de queues en termes de copule sont :

( )0

,limL

C u u

uαλ

+→=

( )0

1 2 ,lim

1U

u C u u

uαλ

+→

− +=

−


3.2.4. Mesure de concordance

Le coefficient de corrélation linéaire de Bravais-Pearson est performant lorsque la relation de dépendance est linéaire et que l’univers considéré est gaussien ; cas rare en assurance. Pour remédier à cela, il est possible de calculer d’autres indicateurs de dépendance se fondant sur les discordances et concordances observées sur l’échantillon. Nous utiliserons les coefficients de corrélation non linéaires et non paramétriques, comme le tau de Kendall ou encore le rhô de Spearman.

Commençons par rappeler la notion de concordance.

Soient( , )x y et( , )x y% % deux réalisations d’un vecteur aléatoire continu (X, Y) alors ( , )x y et ( , )x y% % sont dites concordantes si ( )( ) 0x x y y− − >% % et discordantes si( )( ) 0x x y y− − <% % .

Le tau de Kendall est défini comme suit :

Soit (X, Y) un couple de vecteurs aléatoires, le tau de Kendall est défini par :

( ) ( ) ( ){ } ( )( ){ }, Pr ' ' 0 Pr ' ' 0X Y X X Y Y X X Y Yτ = − − > − − − <

où (X’, Y’) est une copie indépendante de (X, Y).

Le tau de Kendall est ainsi la différence entre la probabilité de concordance et celle de discordance. Son expression en termes de copule est la suivante :

( ) ( ) ( )[ ]20,1

, 4 , , 1X Y C u v dC u vτ = −∫∫ .

Le rhô de Spearman est défini de la façon suivante :

Soit (X, Y) un couple de vecteur aléatoire alors, le rhô de Spearman est égal à :

( )( ) ; ( )S P X YF X F yρ ρ=

où FX et FY sont les fonctions de répartition respectives de X et Y et Pρ le coefficient

linéaire de Pearson.

Son expression en termes de copule est la suivante : ( ) ( )[ ]20,1

, 12 , 3S X Y u v dC u vρ = −∫∫

Application

Nous allons présenter les matrices de corrélation empiriques entre les charges de sinistres des différentes branches. La première ligne correspond à la valeur du coefficient de corrélation de Kendall (respectivement de Spearman) et la valeur en italique correspond à la p-valeur (le risque estimé) à un niveau de signification alpha=0,05.

Les valeurs affichées en gras sont significatives à un niveau de signification de 0,05. Cela signifie que le risque de se tromper en rejetant l'hypothèse nulle selon laquelle les


corrélations ne sont pas différentes de 0 est inférieur à 5%. Plus la p-valeur est faible, plus la corrélation est significativement différente de 0.

Les résultats présentés ci-après sont les matrices de corrélations empiriques au sens de Kendall et de Spearman entre les charges de sinistres auto et santé.

Matrice de corrélation (Kendall) : Matrice de corrélation (Spearman) :

Variables Santé Corporel Auto Variables Santé Corporel Auto

Corporel Auto

0,093340 0,100247

1Corporel

Auto0,132028 0,222359

1

Santé 10,093340 0,100247

Santé 10,132028 0,222359

Nous n’avons pas observé de liaison significative entre les sinistres corporels automobiles et les frais de santé car les coefficients de corrélation calculés ne sont pas significativement différents de zéro.

Ce résultat est assez surprenant car une relation semble aller de soi. Toutefois, ce résultat pourrait s’expliquer soit par un manque d’effectifs sur le portefeuille étudié ou par les caractéristiques de la population. Nous ne disposons pas de données du marché permettant de conforter ces résultats.

Pour le couple auto et prévoyance, les coefficients de corrélation sont les suivants :

Matrice de corrélation (Kendall) : Matrice de corrélation (Spearman) :

Variables Prévoyance Corporel Auto Variables PrévoyanceCorporel Auto

Corporel Auto

0,363636 0,049909

1Corporel

Auto0,496503 0,101398

1

Prévoyance 10,363636 0,049909

Prévoyance 10,496503 0,101398

Le coefficient de corrélation de Kendall est différent de zéro à un niveau de signification alpha=0.5, contrairement au coefficient de corrélation de Spearman. La corrélation entre les sinistres corporels automobiles et la garantie prévoyance est significativement différent de zéro.

Rappelons que le coefficient de Kendall peut être interprété en termes de probabilité comme étant la différence entre la probabilité pour que les variables varient dans le même sens et la probabilité pour qu’elles varient dans le sens contraire.


3.3. Copules usuelles

Il existe plusieurs familles de copules. Nous nous limiterons dans ce mémoire à l’étude des copules bivariées, dont les résultats sont aisément généralisables dans la plupart des cas.

3.3.1. Copules de référence

Nom C(u, v)

Copule indépendante C┴ uv

Copule monotone C+ Min(u ; v)

Copule anti-monotone C- Max(u+v-1 ; 0)

Les copules C+ (dépendance parfaite positive) et C- (dépendance parfaite négative, uniquement en dimension 2) sont essentielles car elles définissent les copules extrémales de toute copule, que l’on appelle bornes de Fréchet.

Le graphe suivant représente 1500 simulations de la copule d’indépendance en dimension deux. Par la suite, nous comparerons ce graphe avec le nuage de points obtenu avec les données.

Fig. 9 :1500 simulation de la copule indépendance

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x[,1]

x[,2

]


3.3.2. Copules elliptiques

3.3.2.1. Copule gaussienne (normale)

Elle est construite à partir de distributions normales multivariées et est définies de la façon suivante :

( ) ( ) ( )( )1 1, ; ,C u v u vρρ − −= Φ Φ Φ

où Φ désigne la fonction de répartition d’une distribution normale centrée réduite et Φρ est la distribution normale bivariée standard de matrice de corrélation ρ.

Le graphe suivant représente 1500 simulations de la copule normale en dimension deux et de paramètre ρ= 0,5.

Fig. 10 : Copule gaussienne, ρ= 0,5.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y[,1]

y[,2

]

La copule gaussienne ne permet pas de modéliser la dépendance de queue.

3.3.2.2. Copule de Student

Comme la copule gaussienne, la copule Student est extraite de la même façon, mais cette fois à partir de la distribution de Student bivariée. Elle se définit comme suit :

( ) ( ) ( )( )1 1,, ; , ,k k kC u v k T T u T vρρ − −=

où Tk est la fonction de répartition d’une distribution de Student à k degrés de liberté et Tk,ρ désigne la distribution de Student bivariée standard de matrice de corrélation ρ et de degré de liberté k.


Le graphe suivant représente 500 simulations de la copule de Student en dimension deux de paramètre ρ= 0,5. Par la suite, nous comparerons ce graphe avec le nuage de points obtenu avec les données.

Fig. 11 : Copule de Student, ρ= 0,5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

z[,1]

z[,2

]

3.3.3. Copules archimédiennes

Les copules archimédiennes sont définies de la manière suivante :

Soit φ une fonction convexe5, continue, strictement décroissante de [0 ;1] dans [ ]0;+∞

telle que ( ) ( )1 0 0etϕ ϕ= = +∞ alors ( ) ( ) ( )( )1,C u v u vϕ ϕ ϕ−= + est une copule

archimédienne stricte et φ est appelée générateur strict de C.

Pour les copules archimédiennes, le tau de Kendall τ est égal à : 1

0

( )1 4

'( )

udu

u

ϕτϕ

= + ⋅∫

5 φ fonction convexe si φ’(u) < 0 et φ’’(u) > 0


Le tableau suivant présente les caractéristiques des copules archimédiennes les plus utilisées dans la pratique :

Copule Générateur φ(u) Copule bivariée C(u,v) λL λU τa

Clayton ( )1, 0

aua

a

− −> ( )

1

1a a au v−− −+ −

1

2 a−

0 2

a

a +

Gumbel ( )ln , 1a

u a− ≥ ( ) ( )1

exp ln lna a a

u v − − + −

0 1

2 2a− 11 a−

Frank 1

ln , 01

au

a

ea

e

−

−

−− ≠ −

( )( )( )

1 11ln 1

1

au av

a

e e

a e

− −

−

− − − +

−

0 0 ( )14 1 ( )

1D a

a

−−

*

λL est le coefficient de dépendance de queue inférieur et λU est le coefficient de dépendance de queue supérieur.

Le paramètre a mesure le degré de dépendance entre les risques ; plus il est élevé plus la dépendance est forte de même une valeur positive de a indique une dépendance positive.

Les figures 12, 13 et 14 représentent respectivement 1000 simulations de la copule de Clayton, la copule de Gumbel et la copule de Frank en dimension deux de paramètre a=4.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

v[,1]

v[,2

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a[,1]

a[,2

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

e[,1]

e[,2

]

Fig. 12 Fig. 13 Fig. 14

La copule de Frank permet de modéliser la dépendance symétrique, mais il n’existe pas de dépendance de queue. Comme dans la formule ci-dessus * le tau de Kendall s’exprime en fonction de a en utilisant la fonction de Debye définie par :


( )0 1

x k

k k t

k tD x dt

x e=

−∫ .

La copule de Gumbel ne permet de modéliser que les dépendances positives. Elle possède la caractéristique de pouvoir représenter la dépendance asymétrique et la dépendance de queue à droite.

La copule de Clayton permet de modéliser les dépendances positives comme la copule de Gumbel, mais contrairement à celle ci, elle permet de rendre compte de la dépendance de queue à gauche.

Présentons la copule HRT (Heavy Right Tail) introduite par Venter [2001] et qui précisons le, n’appartient pas à la famille des copules archimédiennes. La copule HRT permet de modéliser la dépendance sur des événements extrêmes de forte intensité. C’est en fait, la copule de survie de Clayton et présente une structure de dépendance inversée :

( ) ( ) ( )( )1

, 1 1 1 1a a aC u v u v u v

−− −= + − + − + − −

Choix de la famille de copules

En général, les copules archimédiennes sont bien adaptées en dimension deux car leurs expressions sont simples et elles permettent de décrire des structures de dépendance très diverses. Cependant, leur manipulation est complexe en dimension n.

Nous travaillons ici en dimension deux, alors la famille de copules qui nous semble la plus adaptée est la famille des copules archimédiennes.

Une fois la famille des copules choisies, il faut déterminer la copule la mieux adaptée aux données parmi les copules archimédiennes en utilisant les méthodes d’inférence statistiques.


3.4. Méthodes d’inférence statistique

Nous supposons avoir un échantillon de n couples de données dont nous tentons d’estimer la dépendance. Dans cette section, nous présentons quelques méthodes d’estimation des paramètres de la copule, puis nous déterminerons les outils graphiques d’ajustement.

3.4.1. Méthode des moments

La méthode des moments est exposée dans la partie 2. Dans le cas des copules, on se donne une mesure de concordance, dans la pratique l’estimateur empirique du tau de Kendall est le plus souvent utilisé, et on considère que la valeur du paramètre a est celle qui égalise la valeur théorique à la valeur empirique.

3.4.2. Méthode du maximum de vraisemblance

La méthode du maximum de vraisemblance classique peut aussi être utilisée. Rappelons l’expression de la log-vraisemblance :

Soient { }1 2 1, , ,

T

t t nt tx x x

=⋅ ⋅ ⋅ notre échantillon d’observations de taille T et θ le vecteur de tous

les paramètres des marginales et de la copule à estimer, la log-vraisemblance s ‘exprime

alors : ( ) ( ) ( )1 1 2 21 1 1

ln ( ), ( ), , ( ) lnT T n

t t n nt k ktt t k

l c F x F x F x f xθ= = =

= ⋅⋅⋅ +∑ ∑∑ .

L’estimateur du maximum de vraisemblance MLθ est obtenu : ( )ML ArgMax lθ

θ θ∈Θ

= .

Cet estimateur vérifie la propriété de normalité asymptotique :

( ) ( )( )10 0

ˆ 0,MLT θ θ θ−− → Ν Ι avec I(θ0) la matrice d’information de Fisher.

Remarque : La méthode du maximum de vraisemblance exposée ci-dessus peut être coûteuse en temps de calculs dans le cas d’une grande dimension car elle nécessite d’estimer conjointement les paramètres de la structure de dépendance.

Il existe d’autres méthodes d’estimation comme la méthode IFM (Inference Functions for Margins) et la méthode CML (Canonical maximum Likelihood).


3.4.3. Méthode IFM

La méthode IFM ou méthode des fonctions d’inférence des marginales a été proposé par Joe et Xu [1996]. Cette méthode d’estimation permet de découper le problème en deux étapes : l’estimation des paramètres des marginales et l’estimation du paramètre de la copule.

On estime d’abord les paramètres de chaque marginale, soit : ( )kkt

T

tkk xf θθ ;lnmaxargˆ

1∑

=

=

On introduit alors ces estimateurs dans la partie copule de la fonction log-vraisemblance,

ce qui conduit à : ( ) ( )( )axFxFca nntnt

T

t

;ˆ,,...,ˆ,lnmaxarg 1111

θθ∑=

=

Cette méthode présente l’avantage de reposer sur des calculs plus légers que ceux de la méthode du maximum de vraisemblance.

3.4.4. Méthode CML

Cette méthode est appelée Canonical Maximum Likelihood. Cette méthode, voisine de la méthode IFM, présente le grand avantage de procéder à l’estimation des paramètres de la copula sans spécifier de forme paramétrique pour les distributions marginales. Pour cela,

les observations { }1 2 1, , ,

T

t t nt tx x x

=⋅ ⋅ ⋅ sont transformées en uniformes {û1t,…, ûnt}

Tt=1 en

utilisant les fonctions de répartition empirique univariées et en estimant le paramètre

comme suit : ( )∑=

=T

tntt auuca

11 ;ˆ,...,ˆlnmaxargˆ

De plus, cette méthode génère des temps de calcul limités.

3.4.5. Outils graphiques d’ajustement

Pour l’évaluation de l’ajustement d’une copule à la structure de dépendance d’un échantillon, nous pouvons comparer les densités empiriques et théoriques en 3 dimensions, sous forme de courbe de niveaux ou utiliser le dépendogramme.

Le dépendogramme (voir figure 9-14) représente la structure de dépendance sous la forme d’un nuage de points des marges. Le dépendogramme de la copule empirique issue de l’échantillon est comparé à celui d’autres copules théoriques. Ce graphique permet d’observer le caractère plus ou moins simultané des observations issues de l’échantillon. En présence de simultanéité forte au niveau des queues, il sera alors nécessaire de calibrer sur notre échantillon une copule avec une dépendance de queue.


Nous avons choisi d’utiliser les outils graphiques pour évaluer l’ajustement de la copule à la structure de dépendance de l’échantillon. Toutefois, il faut noter que la sélection de la meilleure copule pourrait s’appuyer sur un test statistique comme pour ajuster les distributions univariées (voir partie II). Les tests d’adéquation pour les copules sont relativement récents. Il faut noter qu’on retrouve peu d’articles sur le sujet, mais le domaine est en constant développement. Par exemple, la méthode statistique de sélection d’une copule à partir du test d’adéquation du Khi-deux est développée dans l’article de Cadoux et Loizeau [2004].


3.5. Mise en place et résultats

Cette section est consacrée à l’aspect pratique de notre étude de dépendance. La recherche de dépendance porte essentiellement sur les dépendances existantes entre les différentes branches. Avant de présenter les résultats, rappelons la structure du portefeuille d’étude.

Les données sont celles de différentes sociétés d’assurances pour lesquelles Verspieren est le gestionnaire. La période d’étude s’étend de janvier 2004 à décembre 2008. Nous nous intéressons à l’étude de la structure de dépendance entre les sinistres corporels et la branche santé d’une part et d’autre part entre les sinistres corporels automobiles et la branche prévoyance. L’application se limite au seul risque de variation de la charge de sinistres. Il s’agit de voir l’incidence des sinistres corporels automobiles sur les charges santé et prévoyance. En d’autres termes, une variation de la charge des sinistres corporels automobiles implique-t-elle une variation des charges santé et prévoyance ?

Nous cherchons à modéliser une copule bivariée, alors la famille de copules qui nous semble la plus appropriée est la famille des copules archimédiennes (les copules de Gumbel, de Clayton et de Frank). Les graphiques permettent d’appréhender la forme de dépendance existant et de choisir la copule la mieux adaptée parmi la famille des copules archimédiennes.

Rappelons les résultats obtenus à l’étape de calcul des coefficients de corrélation. Les mesures de concordance du tau de Kendall et du rho de Spearman calculées dans le chapitre 2 mettent en évidence une liaison positive significative entre les sinistres corporels automobiles et la prévoyance, mais la liaison n’est pas significative entre les sinistres corporels automobiles et les dépenses en santé.

Les différentes étapes d’estimation et d’observation sont effectuées à l’aide du logiciel d’analyse statistique R.


- Dépendance entre les dommages corporels automobiles et les dépenses en santé

L’analyse de la significativité des mesures de concordance nous amène à ne pas retenir le couple dommages corporels et santé. Toutefois, nous allons poursuivre la modélisation de la structure de dépendance pour vérifier ce résultat.

Fig. 16 : Nuage des points des données santé et dommages corporels

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Sant

é

Corporels Auto

Le nuage de points est proche de l’axe des abscisses. Nous constatons un ensemble de points proches de la première bissectrice, ce qui laisse supposer une dépendance positive entre la charge des sinistres corporels automobiles et la charge en santé c'est-à-dire que les charges des sinistres dommages corporels varient dans le même sens que celles des frais de santé. La queue de distribution inférieure est très concentrée. Nous avons comparé ce graphe avec les dépendogrammes obtenus pour les différentes copules. La copule de Clayton a été retenue pour appréhender cette structure de dépendance.

La méthode des moments a été choisie pour l’estimation du paramètre âmoments de la copule de Clayton en retenant l’estimateur empirique du tau de Kendall.

En utilisant la relation τ = 2

a

a +entre le tau de Kendall et le paramètre a de la copule de

Clayton, nous déduisons l’estimation deτ

τ−

=1

2a .

Le test de Cramer-von Mises a été utilisé pour tester l’ajustement de la copule empirique à celle de Clayton de paramètre âmoments=0,205898. La statistique de test de Cramer-von Mises est égale à 0,025953 pour une p-value de 0,293206. La copule de Clayton est retenue.


xis

yis

zmat

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

prev[,1]

pre

v[,2

]

Copule de Clayton a=0,205898

Le paramètre a de la copule étant faible, nous pouvons dire que la relation de dépendance entre les branches Auto et santé est aussi faible ce qui rejoint les résultats obtenus avec le coefficient de Kendall. Par ailleurs, la copule de Clayton sélectionnée suppose une dépendance de queue inférieure. Ce cas de figure n’est pas très intéressant en assurance car elle associe des probabilités élevées aux survenances de charges de sinistres basses dans les deux branches.

- Dépendance entre les dommages corporels automobiles et la garantie prévoyance

Le coefficient de corrélation de Kendall (tau =0,363636 et p-valeur=0,0499909) calculé est significativement différent de zéro au niveau 5%. Nous allons comparer le nuage des points des données dommages corporels et prévoyance aux graphes des simulations des différentes copules.

Fig. 17 : Nuage de points des données Prévoyance et dommages corporels

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

Prév

oyan

ce

Corporels Auto


Le nuage de points est proche de l’axe des abscisses avec une tendance proche de la première bissectrice. La dépendance entre la charge des sinistres corporels automobiles et la charge en prévoyance est positive. La queue de distribution inférieure est moins concentrée par rapport à la figure 16. De même, nous constatons une concentration de points plus marquée sur la partie supérieure contrairement à la figure 16. Nous testons la copule de Gumbel, qui a la caractéristique de représenter la dépendance asymétrique et la dépendance de queue à droite.

Pour le cas de la copule de Gumbel l’estimation par la méthode des moments du paramètre

â se fait en utilisant la relation entre a et le tau de Kendall. En effet,a

11−=τ , nous en

déduisons l’estimation de τ−

=1

1a .

Le test de Cramer-von Mises a été utilisé pour tester l’ajustement de la copule empirique à celle de Gumbel de paramètre âmoments=1.571428.

xis

yis

zmat

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

prev[,1]

pre

v[,2

]

Copule de Gumbel a=1,571428

Nous avons mesuré la corrélation entre les charges des sinistres corporels automobiles et prévoyance, pour un portefeuille restreint aux assurés ayant souscrit conjointement ces deux garanties. Pour mesurer l’impact réel d’un accident de la circulation sur la garantie prévoyance, nous allons étendre notre étude au portefeuille entier et comparer les résultats.

Pour mesurer les dépendances entre les garanties sur le portefeuille entier, on agrège les coûts individuels de sinistres par mois de survenance, nous obtenons ainsi 60 mois de charges pour la garantie dommages corporels automobile et la garantie prévoyance.


La matrice des corrélations (tau de Kendall) sur le portefeuille entier est la suivante :

Matrice de corrélation (Kendall) :

Variables Prévoyance Corporel Auto

Corporel Auto

0,047906 0,262032

1

Prévoyance 10,047906 0,262032

Sur le portefeuille entier, la liaison entre les sinistres corporels automobiles et les prestations en prévoyance n’est pas significative car le coefficient de corrélation de Kendall n’est pas significativement différents de zéro.

Rappelons les résultats obtenus avec le portefeuille restreint aux assurés victimes d’un accident de la circulation et ayant conjointement souscrit les deux garanties.

Matrice de corrélation (Kendall) :

Variables Prévoyance Corporel Auto

Corporel Auto

0,363636 0,049909

1

Prévoyance 10,363636 0,049909

Nous constatons que sur le portefeuille restreint la dépendance entre les garanties dommages corporels et prévoyance (tau de Kendall= 0,363636, p-valeur=0,049909) est plus forte que sur le portefeuille entier (tau de Kendall=0,047906, p-valeur=0,262032) : la corrélation est significativement différente de zéro.

La restriction du portefeuille permet d’observer une relation positive entre les garanties auto et prévoyance avec une faible dépendance de queue à droite. Toutefois, cette liaison reste relativement faible car le coefficient de corrélation de Kendall =0,363636 et le paramètre de la copule de Gumbel a=1,571428 sont peu élevés. Au vue de ces résultats, nous pouvons conclure que les accidents de la circulation ont un impact limité sur la charge de la garantie prévoyance.


Conclusion

Au cours de ce mémoire nous avons voulu étudier l’impact d’un accident de la circulation avec dommages corporels sur la charge des garanties santé et prévoyance. Pour cela, nous avons utilisé les copules qui sont un outil mathématique approprié pour étudier la structure de dépendance entre des variables aléatoires.

Dans la première partie, nous avons présenté l’environnement de l’étude. Après avoir présenté les données de l’accidentologie, nous avons ciblé les accidents de la circulation dans le cadre des déplacements professionnels au sein de l’entreprise ou des trajets domicile-travail. En effet, il faut noter que la prévention des accidents routiers liés au travail constitue un axe important de la politique des entreprises qui sont aidées dans ce sens par les associations et les courtiers en assurance. Nous avons poursuivi par une étude exploratoire du portefeuille.

Dans une deuxième partie, nous avons modélisé la sinistralité des garanties dommages corporels, santé et prévoyance. Ces lois unidimensionnelles nous ont permis par la suite de déterminer la loi jointe des variables. La variable aléatoire de notre étude est la charge de sinistres. Pour la garantie prévoyance et les dommages corporels, nous avons retenu la loi log-normale. En santé, les tests d’adéquation des données empiriques aux lois théoriques n’étaient pas concluants. Toutefois, nous avons retenu la loi log-normale qui s’approchait le plus de nos données.

Dans une dernière partie, nous avons modélisé les structures de dépendance entre les différentes branches. Pour le couple dommages corporels et santé, le coefficient de corrélation n’est pas significatif, ce résultat est assez surprenant car une relation semble aller de soi. Pour avoir des résultats plus significatifs, les développements futurs pourraient porter sur une étude de la dépendance entre les dommages corporels et les différentes garanties santé en modélisant les charges par poste de remboursements sur un effectif plus important d’assurés.

A l’inverse, la dépendance entre les dommages corporels et la prévoyance a pu être modélisé par la copule de Gumbel qui possède la caractéristique de pouvoir représenter la dépendance asymétrique et la dépendance de queue supérieure. Il serait intéressant de voir dans quelles mesures cette dépendance peut-elle affecter la solvabilité d’un assureur non-vie.

Cette question a été traitée dans le cadre de mémoires et articles sur le calcul du besoin en fonds propres des assureurs. Cadoux et Loizeau concluent dans leur article « que la prise en compte à l’aide des copules de dépendances positives entre charge de sinistres augmente sensiblement le besoin en fonds propres d’un assureur non-vie ». Sur la base de leur analyse et des résultats de notre étude de dépendance nous pouvons dire qu’un accident de la circulation aura un impact sur le calcul des provisions et par conséquence sur la tarification en réassurance. Dans le cas de notre portefeuille d’étude, l’incidence d’un accident de la circulation sur les garanties santé et prévoyance est moindre.


Bilan

Ce stage nous a permis de travailler sur 3 branches différentes de l’assurance : la branche automobile, la branche santé et la branche prévoyance. Nous avons eu l’opportunité de travailler sur les contrats flottes d’entreprises. La définition de l’ensemble du vocabulaire des chargés d’études nous a permis de comprendre la problématique des contrats flottes automobiles, et de définir les caractéristiques de la population de référence pour notre étude. Nous avons par ailleurs pu travailler sur l’accident de trajet ou de mission et voir l’importance de la prévention routière dans le système de gestion de risque d’une entreprise.

Une des difficultés rencontrée concerne, le nombre de branches concernées. Dans un premier temps nous avons étudié les caractéristiques de chaque branche (flottes automobiles, santé et prévoyance) et ensuite nous avons défini les spécificités de notre population.

La population de l’étude est constituée des assurés victimes d’un accident de la circulation et ayant souscrit conjointement la garantie santé et ou prévoyance. Avec le portefeuille restreint, l’effectif de données est très réduit. Ainsi, nous avons rencontré des difficultés pour tester l’adéquation de nos données à des lois théoriques.

Ce stage a donc été une bonne occasion de mettre en pratique nos connaissances théoriques acquises tout au long de ma formation d’actuaire. Cela nous a permis d’utiliser nos connaissances statistiques pour modéliser la charge des sinistres, et les structures de dépendances en utilisant la théorie des copules. Toutefois, il faut noter la difficulté à appliquer la théorie aux cas pratiques, mais il existe des méthodes comme la simulation pour aboutir à des résultats.

Ce stage nous a aussi permis de développer sur Excel un outil de calcul des provisions non-vie. Cet outil qui est fonctionnel, permet de calculer les provisions techniques non-vie en utilisant les méthodes déterministes de provisionnement (Chain Ladder, London Chain, Taylor), mais aussi les méthodes stochastiques (méthode du Bootstrap, Mack). Cet outil est présenté dans l’annexe 1.

Ce stage au sein du cabinet Verspieren a été une expérience enrichissante d’un point de vue humain et professionnel.


Bibliographie

� Bagarry M. [2004], « Solvency 2, un modèle interne non-vie utilisant des copules elliptiques de dimension n pour évaluer le capital économique. », Mémoire ISUP.

� Bedoui R., Ben Dbabis M. [2008], « Copules et mesures du risque bidimensionnelles : application pratique aux hedge funds », université Paris X

� Cadoux D., Loizeau J.M [2004], « Copules et dépendances ; application pratique à la détermination du besoin en fonds propres d’un assureur non vie », !!!mémoire IA-CEA.

� Clauss P. [2008], « Théorie des Copules », Cours ENSAI

� Embrechts P., Lindskog F., McNeil A. [2001], « Modelling dependence with copulas and applications to risk management », Department of mathematics, ETHZ.

� Faivre F. [2003], « Copula : A new vision for economic capital and application to a four line of business company », ASTIN Topic : Risk control

� Gillet A., Serra B.,[2002], « Effets de la dépendance entre différentes branches sur le calcul des provisions », Thème ASTIN : Contrôle des risques.

� Guillou A. [2009], « Valeurs extrêmes », Cours ULP

� Maummy M. [2009], « Analyse de données », Cours ULP

� Partrat C., Besson J.L [2005], « Assurance Non Vie, Modélisation, Simulation », Paris : Economica.

� Raghoonundun K., [2008], « Tarification en assurance flotte automobile », Mémoire ULP.

� Sklar A. [1959], « Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges », Publications de l'Institut de Statistique de Paris, 8, 229-231.

� http://www.scribd.com/doc/16950295/Marche-Assurances-en-2008

� http://www.preventionroutiere.asso.fr/accident_route_agir.aspx

� http://www.risquesprofessionnels.ameli.fr/fr/accidents_de_trajet_2


Abréviations

AT/MP : Accident du travail/ Maladies professionnelles

CNAMTS/DRP : Caisse nationale d’Assurance Maladie des Travailleurs salariés / Direction des risques professionnels

CML: Canonical maximum Likelihood

IDA : Indemnisation Directe de l’Assuré

IFM: Inference Functions for Margins

IP : Incapacité permanente

IPC : Indice des prix à la consommation

IT : Indemnité de travail

PSAP : Provision pour sinistres à payer


Annexes

1. Calcul des provisions

1.1. Triangle de liquidation

Les triangles de liquidation, encore appelés triangles de run off reflètent la dynamique des sinistres. Ils permettent de suivre la vie d’un sinistre en analysant par exemple, année par année le niveau des règlements qui ont été versés ou encore le niveau de la charge. Les sinistres sont rapportés à des périodes : année, semestre, trimestre, mois.

- Notation :

Avec un triangle dont les sinistres se déroulent sur (n+1) années, nous retenons les notations suivantes :

� i correspond à l’indice des années de survenance i = 0, …, n.

� j correspond à l’indice des années de développement j = 0, …, n.

� jix , est le paiement incrémental pour l’année d’origine i durant l’année de

développement j.

� ∑=

=j

hhiji xX

0,, est le paiement cumulé pour l’année d’origine i durant l’année de

développement j.

� niX , est la charge ultime de l’année d’origine i.

� La provision à constituer pour l’année d’origine i est ininii XXR −−= ,,

� La provision globale est ∑=

=n

iiRR

1

Exemple d’un triangle de liquidation pour les paiements cumulés :

Tableau : Triangle de liquidation

montants en euro

Année Année de développement jd'origine i 0 1 2 3 4 5 6 7

0 85 263 135 379 265 361 488 537 69 606 399 640 29 024 504 531 1_2005 40 947 24 358 51 287 53 812 402 481 138 771 121 185 2_2005 12 062 39 247 62 753 159 898 41 271 183 156 1_2006 27 635 26 571 113 736 75 969 264 086 2_2006 26 008 109 799 246 418 94 158 1_2007 7 826 99 506 33 020 2_2007 42 902 32 678 1_2008 20 611


Le montant total de sinistres réglés pour une année calendaire correspond à la somme des

éléments d’une diagonale. Ainsi, le montant réglé pour l’année calendaire n est∑=+ nji

jix , .

1.2. Méthode déterministe de Chain Ladder

Plusieurs modèles permettent de faire une évaluation déterministe des provisions. Nous présenterons la méthode de Chain Ladder standard qui est le modèle déterministe le plus couramment employé et le plus connu.

La méthode Chain Ladder repose sur les deux hypothèses suivantes :

� Les années de survenance sont indépendantes entre elles.

� Les années de développement sont les variables explicatives du comportement des sinistres futurs.

Formellement, ces 2 hypothèses se traduisent de la manière suivante :

Pour tout j = 0,…, n les ratios , 1

,

i j

i j

X

X+ sont indépendants de l’année d’origine i.

L’application du modèle se fait par la formule

1

, 10

, 1 , 1

,0

n j

i ji

i j j i j j n j

i ji

XX X où

X

λ λ

− −

+∧=

+ − −

=

= ⋅ =∑

∑

).

Les jλ∧

représentent les coefficients de passage entre les différentes années de

développement.

Une fois les coefficients calculés, la partie inférieure du triangle peut être complétée, puis il est possible de trouver la valeur de la provision par année de survenance. Enfin, nous trouvons la provision totale pour sinistres à payer.

Ainsi, pour i + j > n, nous avons que1

, ,ˆ

j

i j i n i kk n i

X X λ−

−= −

= × ∏)

.


1.3. Méthode stochastique du Bootstrap

Nous parlerons brièvement des méthodes de simulation de Monte Carlo avant de présenter la méthode Bootstrap qui a pour objectif d’estimer les erreurs commises lors de l’évaluation des réserves par la méthode de Chain Ladder.

1.3.1. Méthodes de simulation de Monte Carlo

La simulation de Monte Carlo est une technique qui tire son nom de la roulette de Monaco, et est considérée comme un mécanisme simple capable de tirer des nombres au hasard. Cette procédure permet d’étudier un grand nombre de scénarii ou trajectoires possibles, à partir d’un tirage de nombres pseudo-aléatoires, afin d’estimer ensuite les caractéristiques la loi de probabilité de ce processus (ici le montant des provisions).

Il faut noter que plus le nombre de trajectoires est important, plus la distribution empirique est proche de la véritable loi de probabilité : loi des Grands Nombres.

Dans l’article intitulé « L’utilisation des méthodes de simulation en assurance », F. Planchet et J. Jacqueminn présentent les travaux effectués sur les méthodes de simulation.

1.3.2. Bootstrap6

Le Bootstrap est une technique statistique qui permet de remplacer les déductions théoriques en analyse statistique par des simulations de type Monte-Carlo. L’intérêt de cette méthode est qu’elle ne repose sur aucune distribution statistique préalablement définie, ce qui rend sa mise en œuvre assez simple.

Le principe du Bootstrap consiste à rééchantillonner des données plusieurs fois afin d’obtenir à chaque fois un nouveau jeu de données. Il s’agit de créer de nouveaux échantillons à l’aide de tirages aléatoires avec remise et ce, à partir d’un échantillon originel unique. Ces nouveaux échantillons sont, alors, constitués de données « pseudo-historiques » ayant la même loi sous-jacente. Ce processus étant répété un grand nombre de fois, il est alors possible d’approcher la distribution de la mesure statistique étudiée et d’estimer la précision ou l’incertitude liée au modèle.

L’hypothèse sur laquelle repose le Bootstrap est l’indépendance (d’où le tirage avec remise) ainsi que la distribution identique des lois de chacun des éléments composants l’échantillon.

Dans notre cas, ni les charges, ni les règlements cumulés et ni les facteurs de développement ne sont i.i.d. (indépendant identiquement distribué) dans la mesure où ils n’ont pas la même espérance et même dans certains cas ne sont pas indépendants.

6 Méthode Bootstrap proposée par P. England et R. Verral dans l’article « Analytic and bootstrap of prediction errors in claims reserving », 1999


La solution consiste à rééchantillonner les résidus plutôt que les données elles-mêmes, et à recréer une table de pseudo-données à partir des résidus rééchantillonnés.

Les résidus que nous étudierons sont les résidus de Pearson, qui sont définis de la manière suivante :

( ), ,

,

,

ˆ

ˆ

i j i jpi j

i j

xr

V

µ

µ

−=

où xi,j est la valeur observée et ,ˆ i jµ la valeur prévue par le modèle.

Nous supposons ( ), ,ˆ ˆi j i jV µ µ= dans le modèle de Poisson7 qui conduit aux résultats de

Chain Ladder.

Nous obtenons alors : , ,,

,

ˆ

ˆi j i jp

i j

i j

xr

µµ−

=

Mise en place de la méthode

L’application de la méthode du Bootstrap se déroule en plusieurs étapes

1- Le point de départ est l’application de Chain Ladder au triangle de développement des valeurs cumulées (Xi,j),

2- Estimation des valeurs prédites par le modèle ,ˆ i jµ pour la partie supérieure du

triangle en procédant par récursion arrière,

3- Calcul des résidus de Pearson,p

i jr ,

4- Rééchantillonnage des résidus par permutations aléatoires avec remise,

5- Reconstitution pour chaque triangle de résidus, le triangle de paiements par la

formule : , , , ,ˆ ˆpi j i j i j i jX rµ µ= + ⋅ ,

6- Application de la méthode de Chain Ladder pour chaque triangle obtenu et pour finir détermination des montants des réserves.

7 Renshaw et al, 1998


1.4. Développement de l’outil de calcul des provisions techniques non-vie

Nous avons développé sous Excel un outil de calcul des provisions. Cet applicatif permettra de calculer les réserves en utilisant les méthodes déterministes (Chain Ladder, London Chain, Taylor) et les méthodes stochastiques (Mack, Bootstrap).

L’outil se présente comme suit :

La première feuille est la feuille notice à l’attention des utilisateurs. Elle contient les boutons pour activer les différentes macros pour le calculer les provisions.

Une fois les macros lancées, les résultats s’afficheront dans les feuilles « Chain Ladder », « London Chain », « Taylor », « Mack » et « Bootstrap » correspondant à la méthode de calcul choisie. La dernière colonne de chaque tableau correspond au montant des réserves de l’année de développement. Voici deux exemples de résultats :


London Chain :

Méthode Bootstrap


2. Mesure de la liaison entre deux variables

- Le coefficient de corrélation de Pearson

C’est le coefficient de corrélation le plus communément utilisé car bien adapté aux données quantitatives continues. Sa valeur est comprise entre -1 et 1, et il mesure le niveau de relation linéaire entre deux variables. Le coefficient de Pearson au carré, appelé R², donne une idée de la proportion de variabilité d’une variable explicable par l’autre.

Le coefficient de corrélation linéaire entre les variables X et Y est défini par :

( ) ( ) ( ) [ ] [ ]{ }ov ,, , ( ) ( )

X Y

C X YX Y avec Cov X Y E X E X Y E Yρ

σ σ= = − ⋅ −

⋅

Pour un échantillon aléatoire simple d’effectif n, l’estimateur non biaisé de ρ(X,Y) s’écrit :

( )( )( )

( ) ( )∑∑

∑

==

=

−−

−−=

n

ii

n

ii

n

iii

yyxx

yyxxYX

1

2

1

2

1,ρ .

- Le coefficient de corrélation de Spearman (rho)

Ce coefficient utilise les rangs des observations et non leur valeur en tant que telle. Ce coefficient est donc adapté aux données ordinales. Comme pour le coefficient de Pearson, on peut aussi interpréter ce coefficient en termes de variabilité expliquée. Ici, il s’agit bien entendu de la variabilité des rangs.

La statistique de Spearman s’écrit : ( )( )

( ) ( )∑∑

∑

==

=

−−

−−=

n

ii

n

ii

n

iii

n

QQRR

QQRRS

1

2

1

2

1

Où Ri est le rang de Xi dans (X1,…, Xn) et Qi est le rang de Yi dans (Y1,…, Yn).

- Le coefficient de corrélation de Kendall (tau)

Comme pour le coefficient de Spearman, ce coefficient est bien adapté aux variables ordinales car aussi basé sur les rangs. Il est cependant conceptuellement très différent. Il peut être interprété comme en termes de probabilité : c’est la différence entre la probabilité pour que les variables varient dans le même sens et la probabilité pour qu’elles varient dans le sens contraire.

La statistique de Kendall s’écrit : ( ) ( )ji

n

i ijji YYsigneXXsigne

nn−⋅−

−= ∑∑

= >1)1(

2τ .


Table des matières

Résumé............................................................................................................................... 3 Abstract.............................................................................................................................. 3 Remerciements................................................................................................................... 4 Sommaire........................................................................................................................... 5 Introduction........................................................................................................................ 6

1. Environnement de l’étude.................................................................................. 7 1.1. Situation du marché de l’assurance ............................................................. 7

1.1.1. Etat du marché de l’assurance flotte automobile ..................................... 8 1.1.1.1. L’assurance flotte automobile en France ........................................... 8 a. Définition d’un contrat flotte.................................................................... 8 b. Pourquoi un contrat flotte ?...................................................................... 8 c. Situation du marché de l’assurance flotte d’entreprise ............................ 9 d. La sinistralité des flottes automobiles ...................................................... 9

1.1.1.2. Les sinistres corporels suite à un accident de la circulation .............. 9 a. Les données de l'accidentologie ............................................................. 10 b. Cadre législatif ....................................................................................... 10 c. Indemnisation du dommage corporel..................................................... 11

1.1.2. Les acteurs de l’assurance santé et prévoyance ..................................... 13 1.1.1.3. La Sécurité sociale ........................................................................... 13 1.1.1.4. L’assurance complémentaire ........................................................... 14 a. Assurance santé ...................................................................................... 14 b. Assurance prévoyance............................................................................ 15

1.1.1.5. Les ménages et le courtage .............................................................. 16 1.1.3. Accident du travail et risque routier....................................................... 16

1.1.1.6. Sinistralité des accidents routiers du travail .................................... 17 1.1.1.7. Impact économique.......................................................................... 18 1.1.1.8. Responsabilité pénale de l’entreprise............................................... 18

1.2. Analyse descriptive.................................................................................... 20 1.2.1. Exploitation des données........................................................................ 20

1.2.1.1. Source de données ........................................................................... 20 1.2.1.2. Outils d’analyse ............................................................................... 20 1.2.1.3. Recherche d’anomalies .................................................................... 20

1.2.2. Analyse exploratoire du portefeuille flotte automobile.......................... 23 1.2.2.1. Evolution de la sinistralité entre 2004 et 2008................................. 23 1.2.2.2. Evolution des sinistres corporels ..................................................... 24 1.2.2.3. Répartition de la charge des sinistres corporels............................... 25 1.2.2.4. Segmentation par catégorie de véhicules......................................... 25 1.2.2.5. Segmentation des sinistres corporels par circonstances .................. 26

1.3. Analyse exploratoire du portefeuille santé ................................................ 27 2. Modélisation univariée de la sinistralité..........................................................30

2.1. Calcul du coût d’un sinistre ....................................................................... 30 2.1.1. Coût ultime d’un sinistre........................................................................ 30 2.1.2. Actualisation des variables..................................................................... 30


2.1.3. Calcul des réserves ................................................................................. 31 2.2. Modélisation du montant de sinistre.......................................................... 32

2.2.1. Estimation des paramètres......................................................................33 2.2.2. Statistiques de test .................................................................................. 33

2.2.2.1. Test d’adéquation du Khi deux........................................................ 33 2.2.2.2. Test de Kolmogorov-Smirnov ......................................................... 34

2.2.3. Lois testées ............................................................................................. 35 2.2.3.1. Distribution Log Normale Log N(µ,σ2), µ∈ � et σ>0 ..................... 35 2.2.3.2. Distribution Gamma γ (α, β), α>0 et β >0 ....................................... 37 2.2.3.3. La loi exponentielle ε(λ), λ >0 ......................................................... 39 2.2.3.4. Distribution Pareto P(α, θ), α>0, θ>0............................................... 42 2.2.3.5. Résultats........................................................................................... 46

3. Dépendance et copules .................................................................................... 47 3.1. Dépendance et corrélation.......................................................................... 48 3.2. Théorie des copules ................................................................................... 49

3.2.1. Définition d’une copule.......................................................................... 49 3.2.2. Théorème de Sklar ................................................................................. 49 3.2.3. Dépendance de queue............................................................................. 50 3.2.4. Mesure de concordance..........................................................................51

3.3. Copules usuelles ........................................................................................ 53 3.3.1. Copules de référence .............................................................................. 53 3.3.2. Copules elliptiques ................................................................................. 54

3.3.2.1. Copule gaussienne (normale)........................................................... 54 3.3.2.2. Copule de Student............................................................................54

3.3.3. Copules archimédiennes.........................................................................55 3.4. Méthode d’inférence statistique................................................................. 58

3.4.1. Méthode des moments............................................................................58 3.4.2. Méthode du maximum de vraisemblance............................................... 58 3.4.3. Méthode IFM.......................................................................................... 59 3.4.4. Méthode CML........................................................................................ 59 3.4.5. Outils graphiques d’ajustement.............................................................. 59

3.5. Mise en place et résultats ........................................................................... 61 Conclusion....................................................................................................................... 66 Bilan................................................................................................................................. 67 Bibliographie................................................................................................................... 68 Abréviations..................................................................................................................... 69 Annexes........................................................................................................................... 70

1. Calcul des provisions........................................................................... 70 1.1. Triangle de liquidation.................................................................. 70 1.2. Méthode déterministe de Chain Ladder ........................................ 71 1.3. Méthode stochastique du Bootstrap .............................................. 72 1.4. Développement de l’outil de calcul des provisions techniques non-vie ....................................................................................................... 74

2. Mesure de la liaison entre deux variables ........................................... 76 Table des matières........................................................................................................... 77

impact d’un accident de la circulation sur les garanties ... · periode de stage du 30/03/2009 au...

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