III- Conducteurs en en équilibre

électrostatique

1) Dé�nition et propriétés

A) Dé�nition

Dans un conducteur les charges sont mobiles et peuvent se déplacer lors-qu'elles sont soumises à un champ électrique (électrons libres dans un métal,ions positifs ou négatifs dans un liquide ou dans un gaz ...). Dans un isolant, lescharges sont immobiles.

Un conducteur est dit en équilibre électrostatique lorsque les charges élec-triques à l'intérieur de ce conducteur ne se déplacent pas.

Cet état d'équilibre est atteind après que les charges se soient distribuéessur le conducteur puis immobilisées à partir d'un état initial. Cet con�gurationd'équilibre est unique.

B) Propriété 1 : Le champ est nul dans le conducteur

Le champ électrique ~E = ~0 en tout point intérieur d'un conducteur en équi-libre électrostatique.

En e�et, un champ électrique non nul mettrait les charges en mouvement encontradiction avec l'hypothèse faite de l'équilibre électrostatique et de l'immo-bilité des charges.

C) Propriété 2 : Le potentiel est constant dans le conduc-teur

Le potentiel à l'intérieur d'un conducteur en équilibre électrostatique estconstant. Le volume intérieur du conducteur est donc un volume équipotentiel.

En e�et, si on prend deux point (A et B) à l'intérieur du conducteur, l'inté-grale de chemin sur une courbe C joignant ces points :

VA − VB = −∫ A

B

~E · d~l = 0

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car ~E = ~0 sur ce chemin C (Propriété 1), donc on a bien que VA = VB àl'intérieur du conducteur.

D) Propriété 3 : ~E est perpendiculaire à la surface duconducteur

Sur la surface du conducteur, il faut que le champ électrique soit perpendi-culaire à la surface extérieur du conducteur.

En e�et, si le champ électrique a une composante tangentielle ~Et non nulle,les charges électriques peuvent se déplacer tangentiellement à la surface ce quiest contraire à l'hypothèse de l'équilibre électrostatique et de l'immobilité descharges.

E) Propriété 4 : La surface du conducteur est une ré-gion equipotentielle

Le champ électrique ~E est perpendiculaire à la surface extérieure du conduc-teur. Les lignes de champ quittent le conducteur en lui étant perpendiculaires,donc :

VA − VB = −∫ A

B

~E · d~l = 0

car ~E est toujours perpendiculaire au vecteur déplacement d~l sur la surfaceextérieure.

F) Propriété 5 : Toutes les charges se mettent à la sur-face du conducteur

Si le conducteur porte une charge électrique, cette charge se répartit sur lasurface extérieur du conducteur. Il n'y a pas de charges à l'intérieur du conduc-teur.

Ce résultat vient de l'application du théorème de Gauss à une surface ferméeSi intérieure au conducteur :

Φ =

∫∫©

Si

~E · d~S =Qi

ε0= 0

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car ~E = 0 à l'intérieur, donc Qi = 0 : il n'y a pas de charge dans le volumeintérieur au conducteur. Les charges portées par le conducteur ne peuvent êtreque sur la surface extérieur du conducteur.

Application : Générateur électrostatique de van de Graa�.

G) Valeur du champ électrique à la surface du conduc-teur

Une formule simple (théorème de Coulomb) donne le champ électrique auxpoints proches de la surface d'un conducteur.

Appliquons le théorème de Gauss à la surface fermée représentée sur la �gure(tube élémentaire perpendiculaire à la surface du conducteur).

Φ =

∫~E · ~ndS = EA =

σA

ε0donc : E =

σ

ε0

En désignant par ~un le vecteur unitaire normal à la surface, on aura donc :

~E =σ

ε0~un

H) Conducteur creux

On peut refaire les mêmes raisonnements que précédemment. Les charges serépartissent uniquement sur la surface extérieur du conducteur. Il n'y a pas decharges sur la surface intérieure.

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Application : Cage de Faraday, isolation d'antennes, ...

I) Distribution de charge sur un conducteur (E�et depointe)

Considérons deux conducteurs sphériques de rayons R1 et R2 portant descharges Q1 et Q2. Ces deux conducteurs sont placés à une distance r très grandedevant R1 et R2. Ils sont reliés par un �l conducteur portant une charge négli-geable, ils se trouvent donc au même potentiel électrique.

Le premier conducteur se trouve au potentiel :

V1 'Q1

4πε0R1+

Q2

4πε0r

Le second au potentiel :

V2 'Q2

4πε0R2+

Q1

4πε0r

V1 = V2 donne :Q1

Q2=R1

R2

(r −R2)

(r −R1)' R1

R2

� Si V1 = V2 = 0 alors Q1 = Q2 = 0.� Sinon, si σ1 et σ2 désignent les densités surfacique de charge sur lessphères : Q1 = 4πR2

1σ1 et Q2 = 4πR22σ2, on aura :

4πR21σ1

R1=

4πR22σ2

R2soit :

σ2

σ1=R1

R2

Et puisque E = σ/ε0, on voit que :

E2

E1=R1

R2

Puisque R1/R2 > 1, le champ au voisinage du second conducteur est plusintense que le champ au voisinage du premier conducteur.

Ce phénomème s'appelle e�et de pointe : le champ est plus important dans lesrégions du conducteur ayant des petits rayons de courbure. Lorsque le conduc-teur est sphérique, la densité de charge sera uniforme.

Application : Paratonnerre, ...

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J) Capacité d'un conducteur isolé

La charge Q d'un conducteur isolé (éloigné de tout autre conducteur) estproportionnelle à son potentiel V , on peut écrire :

Q = Ci V

Le coe�cient de proportionnalité Ci est appelé capacité de charge du conduc-teur isolé. Elle ne dépend que de sa géométrie et s'exprime en farads.

1 Farad correspond à une charge de 1 Coulomb quand le potentiel est de1 V olt. mais, on utilise plutôt des sous-multiples du Farad :

1µF (microfarad) = 10−6F

1nF (nanofarad) = 10−9F

1pF (picofarad) = 10−12F

Par exemple, pour un conducteur sphérique (on a choisit V (∞) = 0) :

V =1

4πε0

Q

Rce qui donne : Ci = 4πε0R

2) Cas de plusieurs conducteurs en équilibre

L'état d'équilibre électrostatique de n conducteurs est dé�ni par l'état sta-tionnaire de charge et de champ électrostatique qui existe après que les chargesse soient distribuées sur les conducteurs puis immobilisées. Cet état d'équilibreest unique.

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A) Système de deux conducteurs

Les charges dans le conducteur isolé (2) se séparent et se répartissent commele montre la �gure. Si le conducteur est neutre, on aura q1 + q2 = 0, s'il porteune charge q0, on aura q1 + q2 = q0.

B) Conducteurs en in�uence totale

Lorsque le conducteur isolé (2) entoure totalement le conducteur (1), on diraque les conducteurs sont en in�uence totale.

Ceci signi�e que toutes les lignes de champ issues du premier conducteuratteignent le second.

Les charges se répartissent comme le montre la �gure : +Q sur la surfaceextérieur du conducteur (1) et −Q sur la surface intérieur du conducteur (2).

C) Condensateurs

Dé�nition : On appelle condensateur un ensemble de 2 conducteurs A et B enin�uence totale. Ces deux conducteurs sont appelés armatures du condensateur.

Il apparaît un champ élecrique ~E dans l'espace compris entre les armatureset donc une di�érence de potentiel VA − VB entre A et B. On appelle capacitédu condensateur C la quantité :

C =Q

VA − VB

C ne dépend que de la géométrie du conducteur. L'unité de capacité est le Farad(F).

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Le symbole utilisé pour un condensateur est :

D) Calcul de capacité

Lorsque le système d'armatures possède une symétrie, on peut calculer lacapacité du condensateur comme suit :

� On suppose une charge positive Q sur l'armature A,� On calcule le champ ~E entre les armatures en s'aidant du théorème deGauss,

� On calcule la di�érence de potentiel : VA − VB = −∫ A

B~E · d~l,

� La capacité du condensateur est alors donnée par le rapport : C = QVA−VB

.Exemples� Condensateur planOn considère deux conducteurs plans in�nis chargés. La distance entre cesdeux plans est d. La densité de charge surfacique étant σ.

∆V = V+ − V− = −∫

~Ed~l = +

∫ d

0

E dx =σ

ε0d

Cette relation reste approximativement valable pour deux plans �nis desurface A et de charge totale Q, on a alors :

∆V =Qd

ε0A

qui donne :

C =ε0A

d

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� Condensateur sphérique

∆V = V+ − V− = −∫

~Ed~l = −∫ R1

R2

E dr = +

∫ R1

R2

1

4πε0

Q

r2dr

V+ − V− = − Q

4πε0

(1

R2− 1

R1

)=

Q

4πε0

(R2 −R1)

R1R2

C = 4πε0R1R2

(R2 −R1)

� Condensateur cylindrique

On suppose h très grand devant les rayons a et b.

E =Q

2πhε0

1

rd'où : C =

2πhε0

ln(ba

)E) Condensateurs en séries

Lorsque plusieurs condensateurs sont mis en séries, on peut les remplacerpar un condensateur équivalent C de la manière suivante :

VA − VB = (VA − VD) + (VD − VE) + (VE − VB) =Q

C1+

Q

C2+

Q

C3=Q

C

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d'où :1

C1+

1

C2+

1

C3=

1

C

Pour n condensateurs en séries :

1

C=

n∑i=1

1

Ci

Application : Diviseur de potentiel : VAD/VDE = C2/C1

F) Condensateurs en parallèles

Lorsque plusieurs condensateurs sont mis en paralléles, on peut les remplacerpar un condensateur équivalent C de la manière suivante :

VA − VB =Q1

C1=Q2

C2=Q3

C3=Q

C=

Q

C1 + C2 + C3

d'où :C = C1 + C2 + C3

Pour n condensateurs en paralléles :

C =

n∑i=1

Ci

Application : Diviseur de charges : Q1/Q2 = C1/C2

G) Circuits de condensateurs

Lorsqu'un circuit comporte plusieurs condensateurs, on peut le simpli�er enintroduisant des condensateurs équivalents.

Exemple 1 :

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Simpli�er le circuit pour :- I1 fermé- I1 fermé et I2 ferméExemple 2 : Ces condensateurs ne sont ni en série ni en paralléle, mais on

peut trouver un condensateur équivalent.

3) Energie emmagasinée dans un condensateur

A) Energie électrostatique

On peut charger un condensateur en branchant un générateur entre ses arma-tures. Ce générateur fait passer des charges d'une armature à l'autre. Il s'ensuitune augmentation de l'énergie potentielle électrostatique du condensateur.

Pour calculer cette énergie, on suppose que q est la charge du condensateur àun certain instant pendant la charge du condensateur. A cet instant, la di�érencede potentiel entre la deux armatures est ∆V = q/C.

La variation dU de l'énergie potentielle, lorsque la charge de l'armature (A)passe de la valeur q à la valeur très voisine q + dq est donnée par :

dU = ∆V dq =q

Cdq

L'énergie U emmagasinée dans le condensateur, lorsque la charge de l'ar-mature (A) passe de la valeur zéro (condensateur déchargé) à une valeur Q,s'obtient en faisant la somme des variations élémentaires dU :

U =

∫ Q

0

q

Cdq =

Q2

2C

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On peut exprimer cette énergie en fonction de la di�érence de potentielVA − VB entre les armatures, on a :

Q = C(VA − VB)

On obtient donc :

U =1

2C(VA − VB)2 =

1

2Q(VA − VB)

B) Densité d'energie

On peut considérer que l'énergie électrostatique d'un condensateur est em-magasinée par le champ électrique ~E dans le volume qu'il occupe dans l'espace.On introduit pour celà la densité d'énergie du champ électrique ~E par unité devolume :

uE =1

2ε0E

2

L'énergie électrostatique emmagasinée par le champ électrique sera :

U =

∫Tout l'espace

dV uE

Cette formule est toujours applicable quel que soit le champ électrique.Exemples

1. Condensateur plan : (surface A, écartement d entre les armatures)

Dans ce cas, le champ électrique (qui est approximativement) constantE = σ/ε0 occupe un volume A d.

Donc, l'énergie électrostatique emmagasinée sera :

U = (A d)1

2ε0

(σ

ε0

)2

= (A d)σ2

2ε0

qui est bien en accord avec :

U =Q2

2C

2. Conducteur sphérique isolé de rayon R portant une charge totale Q sur sasurface

Dans ce cas, le champ électrique radial est :

- pour r < R : ~E = ~0

- pour r > R : ~E = k Qr2 ~ur

Donc, l'énergie électrostatique emmagasinée sera :

U =

∫Espace

dV1

2ε0 E

2 =

∫ ∞r

(4π r2 dr)1

2ε0

(k Q

r2

)2

=Q2

2(4πε0 R)=Q2

2C

Ce qui est compatible avec la capacité C = 4πε0 R d'un conducteur sphé-rique isolé calculée précedemment (section 1.J).

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3. Faire le même calcul avec conducteur sphérique isolé de rayon R portantune charge totale Q uniformément distribuée sur son volume, on trouvera :

C =10

3πε0 R

C) Pression électrostatique

On considère un condensateur plan (surface A, écartement x entre les ar-matures). Les deux armatures étant chargés positivement et négativement, uneforce d'attraction électrique apparaît.

On veut calculer cette force d'attraction F entre les deux armatures de cecondensateur. Cette force est normale à la surface.

On ecarte les armatures d'une certaine distance in�nitésimale supplémen-taire dx (x → x + dx), le travail e�ectué sera dW = F dx qui sera égale à lavariation dU de l'énergie électrostatique du condensateur.

On sait que cette énergie électrostatique pour un condensateur plan est :

U =σ2

2ε0(A x)

donc la force d'attraction entre les deux armatures est donnée par :

F =dU

dx=

σ2

2ε0A

Elle peut être considérer comme une pression (force par unité de surface) quis'exerce sur les armatures :

p =F

A=

σ2

2ε0Cette pression s'appelle pression électrostatique.

4) Capacités avec diélectriques

Un diélectrique est un matériau non conducteur comme par exemple le verre,le caoutchouc, ...

Lorsqu'un diélectrique est inséré dans tout l'espace entre les armatures d'uncondensateur, la capacité du condensateur augmente, elle est multiplié par unfacteur κ appelé constante diélectrique du matériau :

C = κ C0

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C0 est la capacité du condensateur sans le diélectrique.κ varie d'un matériau à un autre, par exemple :

Matériau Constante diélectrique EMax(106 V/m)Vide 1

Air (sec) 1.00059 3Bakelite (sec) 4.9 24

Mylar 3.2 7Nylon 3.4 14

Porcelaine 6 12Verre Pyrex 5.6 14

Papier 3.7 16

On a aussi donné dans le tableau les valeurs du champ électrique maximaleEMax qui peut être supporté par le diélectrique.

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