1

Identification des lois de comportement élastoplastiques par essais inhomogènes

et simulations numériques

Ali KHALFALLAH

École Nationale d’Ingénieurs de MonastirFaculté des Sciences de Tunis

Directeur de Thèse: A.DoguiCo-Encadrement : H. Bel Hadj Salah

Laboratoire de Génie Mécanique

Soutenance de Thèse de Doctorat

14 Février 2004

2

Plan de l’exposéObjectif

Position du problème

Modèles de comportement considérés

Méthode numérique de calcul direct (MEF)Procédure d’optimisationBase de données expérimentales

Méthode de calcul Indicateur de sensibilité

Modèle isotrope transverseModèle quadratique orthotrope de HillModèle non quadratique de Barlat

Algorithme d’identification des modèles

Stratégies d’identification des modèles(Résultats numériques)

Analyse de sensibilité

Conclusions & perspectives

3

d’essais expérimentaux ( non homogènes)

méthode numérique d’identification (Expérience-Calcul).

Objectif

d’étudier l’influence de la fluctuation des paramètres sur la réponse simulée

de choisir l’essai dont la réponse est la plus sensible par rapport aux paramètres identifiés.

Établir une stratégie d’identification des paramètres

des lois de comportement élastoplastiques de tôles

destinées à l’emboutissage à partir :

Une analyse de sensibilité permettant :

4

Identification des paramètres de lois comportement élastoplastiques

à partir des essais expérimentaux réalisés au laboratoire.

Lois de comportement(grandeurs locales)Contrainte-Déformation

Mesures expérimentales(grandeurs globales)Force - Déplacement

Hypothèsesd’homogénéité

des essais

DémarcheClassiqued’identification

Position du problème

Calcul par la M.E.FCalcul par la M.E.F

Essais non homogènes

5

Traction Plane est un essai inhomogène [Gaaloul,93; Genevois,92]

Les contours d’isovaleurs du champs de contraintes(b) et déformations(a) (Nos simulations)

(b)

(a)

498

485479

0.35

0.33

0.3

6

ModModèèles les de comportementde comportement

7

Modèles de comportement considérés

Lois de comportement élastoplastiques en HPP

pe εεε ++++==== Décomposition de la déformation

Fonction de charge (seuil)

)( pA εεσ −−−−==== Loi élastique

σασ

αε∂∂∂∂

∂∂∂∂========

),(gp &&Loi d’évolution plastiqueg : fonction potentiel plastique

)(),( −−−−==== σσσσσασ 0)( ≤≤≤≤ασ sf

Variable interne d’écrouissage00,0 =α=α≥α f ,f &&&&

)(σσσσσ

)(ασ s Fonction d’écrouissage

Contrainte équivalente

8

Modèle isotrope transverse de Hill

212

222

211

22211

2

1

212)(

1

1)(

1σσσσσσ

r

r

rr

r

+

+++

++−

+=

p

p

r33

22

ε

ε

&

&=

Critère de Plasticité

et

(État de contraintes planes)

Modèle quadratique orthotrope de Hill

212

2222211

211

2 2)(2)( σσσσσσ NHFHHG +++−+=

Critère de Plasticité

Modèle non quadratique de Barlat Yld96Critère de Plasticité

mσ2 =mmm

ssssss ααα 213132321 −+−+−

9

S_i(i=1,2,3) : les valeurs propres de [ ] [ ][ ]DLs σ=

−−

−−

+−

=

yyxx ss

ccc

ccc

[s]

00

03

)(

03

)(

22113221126

12611222113

σσσσ

σσσσ

s : tenseur de contraintes modifié par l’opérateur linéaire [L]pour un état de contraintes planes

Les coefficients d’anisotropie sont:αi(i=1..3)c1, c2, c3 et c6

m : coefficient de forme du critère

αi=1c1= c2, c3 et c6

10

Algorithme Algorithme dd’’identificationidentification

11

Algorithme d’identification des modèles

Début

<P0>

Données Exp.Fexp-u

E(p)≤ε

M.E.FFcal(p)

Fin

M. Optim. E(p)=||Fcal-Fexp||

non

<Poptim.>

oui

<P1>À l’itération suivante

12

Méthode de calcul direct(MEF)

Calcul direct

Ω

dr

uΓ

fΓ

Ωsur 0 div =σ

fsur 0 n. Γ=r

σσσσ

Γsur ud

Uurr

=

).()( dtUtU drr

====

)(21 Tuu

rr+∇+∇+∇+∇∇∇∇∇====ε

0),( ≤≤≤≤ασf

σασ

αε∂∂∂∂

∂∂∂∂========

),(fp &&

Loi de

comportement

(H. BEL HADJ SALAH)

13

Solution du problème

s χr

et

Champs de contrainteset déplacements:

Solution du problème élastique

01 == p,U ε

);,( );,( txwtxr

rσ

Champs de contrainteset déplacement: Solutiondu problème élastique

donnée ;0 pε====U•Discrétisation par MEF•Formulation appropriée

∑+=b

pbabeadSdUd εσσ

(H. BEL HADJ SALAH)

Sab: dépend seulement de la géométrie de la structure

et de ses propriétés élastiques

)t,x(w)x(U)t,x(u += χ

)t,x()x(sU rσσ ++++====

14

La réponse calculée : Courbe (force, déplacement)

ΩΩ

d:U

F ∫= 1

εεεεσσσσ &&

PPV

F : module de la réaction suivant la direction d correspondant au déplacement imposé Ud

15

- Méthode d’optimisation directe (pas de gradient à calculer).- Convergence vers le minimum global.- Le simplexe est bien adapté pour l’optimisation des structures

où le nombre de paramètres n’est pas élevé.- Méthode relativement lente

Propriétés principales

Procédure d’optimisation (Méthode du simplexe)

16

Base de données expérimentales

Tôle 1 : D280 acier à haute limite élastiqueTôle 2 : IF acier sans interstitielsTôle 3 : ES acier extra doux

Trois tôles anisotropes

Des essais de traction Hors-axes : )( ψψ εσ

Les coefficients de Lankford : )()(

33

22

ψεψε

ψ&

&====r

Essais de traction plane : Courbe (effort de traction, ∆e)

17

L=295 mm ; b0=50 mma0=285 mm ; c0=30 mmR0 =25 mm

∆e

Effort de traction

Eprouvette de traction plane

18

StratStratéégies gies dd’’identificationidentification

19

Stratégies d’identification des modèles de comportement

Identification à partir des coefficients d’anisotropie expérimentauxIdentification Identification àà partir des courbes dpartir des courbes d’é’écrouissage (F,u)crouissage (F,u)

Identification de la fonction d’écrouissage σs(α) Identification des coefficients du critère de plasticité Identification des coefficients de la fonction potentiel plastique

On dispose des essais expérimentaux TS a (σψ,εψ) et rψ

TP a (F,∆e)

20

Fonction d’écrouissage σs(α)=K(ε0+α)n

Coef. de SwiftTôle K[MPa]

0ε n

Tôle 1 643 0,01 0,19Tôle 2 580 0,004 0,26Tôle 3 557 0,007 0,23

Identification des courbes d’écrouissage pour les tôles 1,2 & 3

Identification des coefficients de la fonction d ’écrouissage de Swift

Tôle 1

Tôle 2

Tôle 3

21

Modèle isotrope transverse de Hill (plasticité associée)

- Identification d’une fonction d’écrouissage: σs (α)- Identification du coefficient d’anisotropie: r

Essai de traction planehomogène

• Identification homogène

• Identification inhomogène= Minimiser l’erreur entre la courbe de TP simulée (MEF)

et la courbe expérimentale (F/S0,∆∆∆∆e/e0)

∑=

−N

iexp

i

exp

i

cal

i

F

F)p(F

N 1

21=)p(E

22

1.811.451.16Tôle 3

2.151.831.41Tôle 2

1.091.250.94Tôle 1

rexprinhomrhomoComparaison (homogène & Inhomogène)

23

Modèle isotrope transverse de Hill (plasticité non associée)

- Identification d’une fonction d’écrouissage: σs (α)- Identification du coefficient d’anisotropie r du critère plastique

- Identification du coefficient d’anisotropie r’ du potentiel plastique r’= rexp

• Identification inhomogène

= Minimiser l’erreur entre la courbe de TP simulée (MEF)

et la courbe expérimentale (F/S0,∆∆∆∆e/e0)

Essai de traction planeinhomogène

• Identification homogène

Essai de traction planehomogène

24

Modèle isotrope transverse de Hill (plasticité non associée)

RRéésultats obtenussultats obtenus

Identification inhomogène Identification homogène

Ce modèle permet de décrire l’anisotropie de la loi d’évolution plastique et l’anisotropie du critère de plasticité

Tôles r_inhomog r' r_homog r'

Tôle 1 1.21 1.09 0.93 1.09

Tôle 2 1.71 2.15 1.25 2.15

Tôle 3 1.19 1.81 1.05 1.81

25

La validation du modèle ITNA ne donne pas de bons résultats

Validation du modèle isotrope transverse non associé par l’essai EB

26

Identification du modèle quadratique ortho. de Hill (plasticité associée)

- Identification d’une fonction d’écrouissage: σs (α)- Identification des coefficients d’anisotropie (F,G,H et N)

σ = σ11 a (G+H=1) trois coefficients indépendants (a1,a2, a3) à identifier

(Comment ?)

27

Stratégies d’identification du modèle de Hill associé

h Identifier * a1,a2 à partir des courbes d ’écrouissage en traction Hors-axes* a3 d ’un autre essai (courbe d ’écrouissage en TP)

h Identifier

* a1,a2 à partir des courbes d ’écrouissage en traction Hors-axes

* a3 à partir des coefficients de Lankford expérimentaux

Essais de tractionHors axes

h Identifier

a1,a2, a3 à partir des coefficients de Lankford expérimentaux

28

• Identification homogène

• Identification inhomogène

a1 et a2

a3

a3

29L’identification inhomogène prévoit mieux les coefficients d’anisotropie

Résultats Obtenus

30

Identification du modèle quadratique orthotrope de Hill non associé

- Identification d’une fonction d’écrouissage: σs (α)

- Identification des coefficients d’anisotropie du critère (a1,a2 & a3)

- Identifier des coefficients d’anisotropie du potentiel plastique (a’1, a’2 & a’3)

Comment ?

31

Stratégies d’identification du modèle de Hill non associé

h Identification des coefficients d’anisotropie du critcritèèrere

* a1,a2 à partir des courbes d ’écrouissage en traction Hors-axes* a3 d ’un autre essai (courbe d ’écrouissage en TP)

a’1, a’2, a’3

h Identification des coefficients d’anisotropie du potentielpotentiel

* a’1,a’2 a’3 à partir des coefficients d’anisotropie expérimentaux r’(ψψψψ)

32

Evolution des coefficients expérimentaux et ceux

identifiés de Lankford en fonction de l’angle ψ

Une fonction « potentiel plastique »de forme quadratique est suffisantepour d’écrire l’évolution des déformations plastiques pour les 3 tôles

33

• Identification homogène

a1 et a2

a3

• Identification inhomogène

a3

34

Résultats ObtenusTôle 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 20 40 60 80 100ψψψψ°

r (ψ(ψ (ψ(ψ

)

r_homog

r_inhomog

r'=r_exp

Coefficients d'anisotrope du modèle de Hill non associé

Tôle 2

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

0 20 40 60 80 100ψψψψ°

r()

r_homog

r_inhomog

r '= r_exp

Tôle 3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 20 40 60 80 100ψψψψ°

r(ψψ ψψ

)

r_homog

r_inhomog

r'=rexp

Identification des coefficientsd’anisotropie du modèle

de Hill non associée pour lestrois tôles

35

Modèle non quadratique de Barlat Yld’96(Etat de contraintes planes)

A partir des courbes d’écrouissage en traction plane

- Identification d’une fonction d’écrouissage: σs (α)

- Identification des coefficients c1,c2, c3, c6 et m

TS00

1.811.8581.0481.1530.8370.837Tôle 3

2.152.1481.0581.1890.7980.798Tôle 2

rexprmc6c3c2c1Tôles

Ce modèle tient compte de l’anisotropie la loi d’évolution des déformations plastiques.

RRéésultats obtenussultats obtenus

36

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-∆∆∆∆e/eo

F/S

o(M

Pa

) experimental curve

BA Yld91

Tôle 3

Tôle 2

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12-∆∆∆∆e/e0

F/S

0(M

Pa

)

experimental curve

BA Yld91

Identification inversedu modèle de Barlat

Ce modèle tient comptede l ’anisotropie du critère

37

Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé

38

Analyse de sensibilité paramétrique

Analyse de sensibilité

Analyser la sensibilité de la réponse du modèle par rapport aux paramètres :

r∂

∂σσσσ

r

p

∂

∂εεεε&

Calcul de la variation de F par rapport aux paramètres

∫

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

Ω

Ωdr

::rUr

Fpεεεε

σσσσεεεεσσσσ &

&&

1 &

39

MMééthode de Calculthode de Calcul

∑+=b

pbabeadSdUd εσσ

r

)d(:S

r

)d(pb

b

ab

∂

∂=

∂

∂∑

εεεεσσσσ

σσσσααααεεεε

∂

∂=

fdd

p

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

σσσσαααα

σσσσαααα

εεεε f

rd

f)d(

rr

)d(p

)d(r

αααα∂

∂=A:(

r

)d(

∂

∂ σσσσ)

r∂

∂σσσσ + br∂

∂αααα

−

∑ =∂

∂

b

a

a

ab N)d(r

M σσσσ

Système d’équations linéaires à résoudre:

1

∂

∂

r

σσσσ

0

∂

∂

r

σσσσ

r

)d(

∂

∂ σσσσ= + Calcul incrémental

40

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

∆∆∆∆l/l0, -∆∆∆∆e/e0

dF

/dr df/dr inhom

df/dr homog

SensibilitSensibilitéé de la rde la rééponse en TP (Homo&ponse en TP (Homo& InhomoInhomo.) / .) / «« rr »»

41

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

-de/e0

dF

/dr

df/dr0

df/dr90

df/fr45

dF/dr0(Hom)

dF/dr90(Homog)

dF/dr45(Homog)

dF/dr0

dF/dr90

dF/dr45

SensibilitSensibilitéé de la rde la rééponse en TP (Homo.&ponse en TP (Homo.& InhomoInhomo) ) «« rrψψψψψψψψ »»

42

Analyse de sensibilité des essais/paramètres

Indicateur de Sensibilité

Pour exprimer la capacité d’un essai pour mieux identifier les coefficients d’anisotropie d’un matériau par rapport àun autre essai

∑∑

22

r

F/

dr

dFS= Indicateur de sensibilité

Traction plane

Expansion Equibiaxiale

Cisaillement Simple

S(r)

43

SensibilitSensibilitéé des essais (TP,EB,CS) / audes essais (TP,EB,CS) / au coefcoef. d. d’’anisotropie anisotropie «« rr »»

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3r

ind

ica

teu

r d

e S

en

sib

ilit

é

STP

SCS

SEB

44

Conclusions & perspectives

Définition et mise en œuvre des stratégies d’identification des loisde comportement des tôles anisotropes à partir d’essais inhomogènes.

Rendre plus systématique la stratégie d’identification et l’étendreà l’optimisation des procédés de mise en forme.

Une méthode quasi-analytique de calcul de sensibilité est présentée:

analyse de sensibilité paramétrique des différents essaisaux différents paramètres de la loi de comportement

- Une meilleure prédiction des coefficients d’anisotropie

- Une utilisation des essais expérimentaux sans hypothèses supplémentaires

Développer ces stratégies d’identification pour des modèles deComportement formulés en grandes transformations

45