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RECHERCHE Identification des systèmes multivariables : méthodes des sous-espaces Partie 2 : applicabilité et intérêts Thierry Bastogne Alain Richard Patrick Sibille Centre de Recherche en Automatique de Nancy (CRAN), CNRS UPRESA 7039 Université Henri Poincaré, Nancy 1, BP 239, F-54506 Vandœuvre Cedex, France, Phone : (33) 3 83 91 20 69 - Fax : (33) 3 83 91 20 30 Mél.: {thierry.bastogne,patrick.sibille,alain.richard}@cran.u-nancy.fr Web: wwwi3s.unice.fr/{~chignoli, ~jf, ~lahire, ~rr} RÉSUMÉ. Dans le domaine de l’identification des systèmes, les méthodes des sous-espaces ou méthodes des projections sont apparues récemment comme une nouvelle alternative. L’objec- tif de cet article est d’examiner l’applicabilité de ces méthodes à l’identification des systèmes multivariables en vue de leur commande. Ce travail repose sur deux études distinctes. La pre- mière est une étude comparative avec des méthodes d’identification conventionnelles. Elle est fondée sur la simulation d’un échangeur de chaleur mal conditionné. La seconde concerne l’application des méthodes des sous-espaces à l’identification d’un système pilote d’entraîne- ment de bande sous traction. Les résultats d’ensemble montrent une reproduction satisfaisante du comportement multivariable dominant des systèmes étudiés, par des représentations d’état d’ordre réduit estimées par les méthodes des sous-espaces. Leur seul paramètre de synthèse effectif est l’ordre de la représentation d’état. Cette simplicité de mise en œuvre en fait des solutions pratiques face au problème de l’identification des systèmes multivariables. Un autre avantage de ces algorithmes est mis en valeur ; leur utilisation pour initialiser des algorithmes de programmation non linéaire comme ceux utilisés par la méthode du modèle appliquée à des formes d’état entièrement paramétrées. Les résultats observés dans cette étude convergent pour présenter les méthodes des sous-espaces comme des techniques d’identification permettant une approximation linéaire d’une qualité suffisante, des comportements multivariables d’un sys- tème, pour encourager leur utilisation en vue d’une application de commande. ABSTRACT. This paper deals with the linear multivariable system identification and the appear- ance of recent approaches called subspace methods. The aim of this article is to examine the applicability of these recent identification techniques in prospect of control applications. It is based on a comparative study of subspace methods and some ’classical’ methods from an experimental point of view. Two experimental problems are considered, a simulation issue based on an ill-conditioned heat-exchanger process and in application to a winding pilot plant. Results show a satisfactory reproduction of the multivariable behaviors by the reduced order state-space models estimated by the subspace methods. A great advantage of these techniques

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RECHERCHE

Identification des systèmes multivariables :méthodes des sous-espacesPartie 2 : applicabilité et intérêts

Thierry Bastogne — Alain Richard — Patrick Sibille

Centre de Recherche en Automatique de Nancy (CRAN), CNRS UPRESA 7039Université Henri Poincaré, Nancy 1,BP 239, F-54506 Vandœuvre Cedex, France,Phone : (33) 3 83 91 20 69 - Fax : (33) 3 83 91 20 30Mél. : {thierry.bastogne,patrick.sibille,alain.richard}@cran.u-nancy.frWeb : wwwi3s.unice.fr/{~chignoli, ~jf, ~lahire, ~rr}

RÉSUMÉ. Dans le domaine de l’identification des systèmes, les méthodes des sous-espaces ouméthodes des projections sont apparues récemment comme une nouvelle alternative. L’objec-tif de cet article est d’examiner l’applicabilité de ces méthodes à l’identification des systèmesmultivariables en vue de leur commande. Ce travail repose sur deux études distinctes. La pre-mière est une étude comparative avec des méthodes d’identification conventionnelles. Elle estfondée sur la simulation d’un échangeur de chaleur mal conditionné. La seconde concernel’application des méthodes des sous-espaces à l’identification d’un système pilote d’entraîne-ment de bande sous traction. Les résultats d’ensemble montrent une reproduction satisfaisantedu comportement multivariable dominant des systèmes étudiés, par des représentations d’étatd’ordre réduit estimées par les méthodes des sous-espaces. Leur seul paramètre de synthèseeffectif est l’ordre de la représentation d’état. Cette simplicité de mise en œuvre en fait dessolutions pratiques face au problème de l’identification des systèmes multivariables. Un autreavantage de ces algorithmes est mis en valeur ; leur utilisation pour initialiser des algorithmesde programmation non linéaire comme ceux utilisés par la méthode du modèle appliquée à desformes d’état entièrement paramétrées. Les résultats observés dans cette étude convergent pourprésenter les méthodes des sous-espaces comme des techniques d’identification permettant uneapproximation linéaire d’une qualité suffisante, des comportements multivariables d’un sys-tème, pour encourager leur utilisation en vue d’une application de commande.

ABSTRACT. This paper deals with the linear multivariable system identification and the appear-ance of recent approaches called subspace methods. The aim of this article is to examine theapplicability of these recent identification techniques in prospect of control applications. Itis based on a comparative study of subspace methods and some ’classical’ methods from anexperimental point of view. Two experimental problems are considered, a simulation issuebased on an ill-conditioned heat-exchanger process and in application to a winding pilot plant.Results show a satisfactory reproduction of the multivariable behaviors by the reduced orderstate-space models estimated by the subspace methods. A great advantage of these techniques

2 Technique et science informatiques. Vol. 15- no 6/1996

is the very small number of design parameters limited to the choice of the model order. Anotherapplication of these algorithms is emphasized in this paper ; it concerns the initialisationof non linear optimization algorithms in estimation methods as the output error method. Inconclusion, the interesting results observed in this study present the subspace methods aspromising identification techniques in the perspective of control applications.

MOTS-CLÉS : identification des systèmes, systèmes multivariables, modèles d’état linéaires, mé-thodes des sous-espaces, systèmes d’enroulement de bande.

KEY WORDS : system identification, multivariable systems, linear state-space models, subspacemethods, winding systems.

1. Introduction

L’identification des systèmes multivariables est un sujet de recherche d’actualitémais dont les applications industrielles demeurent ponctuelles. Jusqu’à présent, l’iden-tification de processus multivariables (MIMO) a généralement été traitée en appliquantdes techniques multi-entrées, mono-sortie (MISO : Multi Input Single Output) à cha-cune des sorties du système. Toutefois, plusieurs doutes ont été émis sur la capacitéd’une telle stratégie à retrouver toutes les caractéristiques propres d’un système mul-tivariable comme son conditionnement, caractéristique fondamentale [PAT 96], dontle lien avec les performances d’une commande est souligné dans [SKO 96]. Une tellestratégie peut, en outre, causer d’autres problèmes comme celle de la non minima-lité du modèle estimé. Des méthodes comme celles fondées sur l’erreur de prédiction[LJU 87] ou sur l’erreur de sortie [BAR 77] ont été étendues au cas des systèmes mul-tivariables. Plus récemment, les méthodes des sous-espaces (subspace methods) sontapparues comme une nouvelle solution au problème de l’identification directe d’uneforme d’état à temps discret [LAR 83], [DEM 87], [VER 94], [VAN 96]. A la diffé-rence des méthodes précédentes, les méthodes des sous-espaces identifient une réalisa-tion quelconque et non pas une forme canonique qui nécessiterait une paramétrisationau préalable du modèle. Une synthèse regroupant les fondements théoriques de base,communs à toutes ces méthodes, est proposée dans une première partie [BAS 98b].Cette seconde partie est essentiellement destinée à des utilisateurs potentiels en vued’applications industrielles ou pour des objectifs de formation et d’enseignement.

Aujourd’hui, plusieurs logiciels ou algorithmes généralement désignés sous lesigle 4SID (Subspace based State Space System IDentification) mettent en œuvre lesméthodes des sous-espaces [LJU 95], [MCK 95a], [LAR 96], [VAN 96] [HAV 97].Quelques applications ont accompagné leurs développements mais trop peu encorepour pouvoir juger de l’applicabilité et de l’apport de ces techniques. Par conséquent,les objectifs de cet article sont d’évaluer les performances et d’identifier les limites deces algorithmes à partir d’une étude comparative menée en simulation et en applicationà un système d’entraînement de bande. Pour juger de l’intérêt des algorithmes 4SID,leurs performances sont comparées à celles de méthodes «classiques» (méthodes del’erreur d’équation et de l’erreur de sortie) dont les algorithmes sont issus de la boîte

Exemple d’utilisation du style LATEX tsi�sty 3

à outils System Identification de Matlab [LJU 95].Le cas des systèmes mal conditionnés est important car il concerne un grand

nombre de procédés (échangeurs de chaleur, colonnes à distiller, systèmes de cuves).Leur identification et leur commande sont particulièrement difficiles. En outre, aucuneétude d’application des méthodes des projections à de tels cas n’a été traitée jusqu’àprésent. Par conséquent, la première partie de cette étude repose sur une étude com-parative entre un algorithme 4SID et des algorithmes de la méthode PEM (PredictionError Method) sur un benchmark de simulation d’un échangeur de chaleur proposépar Jacobsen et Skogestad [JAC 93]. Le problème du choix de l’ordre du modèle pourles techniques 4SID est aussi examiné. Les conséquences des erreurs d’identificationen boucle ouverte sur la simulation d’une commande en boucle fermée partielle del’échangeur de chaleur sont enfin comparées.

Une application de ces mêmes algorithmes à l’identification d’un système d’en-roulement de bande sous traction constitue la seconde partie qui a pour objectif dedétacher les remarques et conclusions précédentes du seul cadre de la simulation ainsique du cas particulier des systèmes mal conditionnés tout en illustrant la méthodologied’application de ces méthodes.

L’organisation de ce document est la suivante. Le paragraphe 2 vise tout d’abordà détailler l’ensemble des algorithmes utilisés dans cette étude. Les paragraphes 3et 4 sont consacrés à l’étude comparative menée sur le benchmark de simulation del’échangeur de chaleur et sur le système pilote d’entraînement de bande respective-ment.

2. Méthodes d’identification des systèmes multivariables : approches 4SID et PEM

2.1. Méthodes des sous-espaces ou algorithmes 4SID

2.1.1. Présentation

Un état de l’art de la théorie 4SID est établie dans une première partie associée àcet article [BAS 98b]. La famille des algorithmes 4SID identifie une réalisation quel-conque d’un modèle d’état linéaire discret et invariant représenté par les équations (1)et (2), à savoir estimer les matrices A, B, C et K, directement à partir de mesures surles entrées-sorties du système fuk� ykg.

xk�� � Axk �Buk �Kek (1)

yk � Cxk � ek� (2)

où xk � Rn , yk � R

m , uk � Rp , A � R

n�n , B � Rn�p , C � R

m�n etK � R

n�m sont respectivement le vecteur d’état à l’instant discret k, le vecteur desortie, le vecteur d’entrée, la matrice d’état, la matrice d’entrée, la matrice de sortie etla matrice de gain du filtre de Kalman. En supposant la présence d’un bloqueur d’ordrezéro sur les mesures, la matrice de couplage direct d’entrée-sortie D � R

m�p est

4 Technique et science informatiques. Vol. 15- no 6/1996

considérée comme nulle dans cette étude. ek � Rm est l’erreur d’innovation, supposéeêtre un bruit blanc gaussien.

La théorie 4SID repose sur une expression algébrique, explicitée par l’équation(3), de la représentation d’état précédente considérée pour tous les instants k � f�� � � � � N��g.

Yi � �iX �HdUi �HsEi� (3)

où Yi, Ui et Ei sont des matrices de Hankel formées respectivement des signauxéchantillonnés de sortie, d’entrée et du bruit.X est une matrice contenant les vecteursd’état du système sur l’horizon ��� j � ��.

Yi �

�BBBB�

y� y� � � � yj��

y�. . . � � � yj

......

yi�� � � � � � � yi�j��

�CCCCA (4)

X ��x� x� � � � xj��

�� (5)

Hd et Hs sont des matrices triangulaires inférieures de Toeplitz de dimensions�mi�pj et �mi�mj, composées des paramètres de Markov des parties déterministeet stochastique du système.

Hi �

�BBBBB�

D � � � � � � � �CB D � � � � �CAB CB D � � � �

......

CAi��B CAi��B � � � CB D

�CCCCCA Hs �

�BBBBB�

I � � � � � � � �CK I � � � � �CAK CK I � � � �

......

CAi��K CAi��K � � � CK I

�CCCCCA �

(6)

�i est la matrice d’observabilité étendue du système avec i � n.

�i �

�BBBBB�

CCACA�

...CAi��

�CCCCCA (7)

Tous les algorithmes 4SID respectent une même procédure résumée par le ta-bleau 1 (SVD désigne la décomposition en valeurs singulière). Les différences entreles principaux algorithmes des sous-espaces tels que N4SID (Numerical Subspace ba-sed State-Space System IDentification) [ALI 93], [VAN 96], CVA(Canonical Variate

Exemple d’utilisation du style LATEX tsi�sty 5

Analysis) [LAR 83], [LAR 96] et MOESP (MIMO Output-Error State sPace modelidentification) [VER 94], se situent au stade de l’étape 2. Cette dernière correspond autype de projection ou au type de matrice instrumentale utilisée pour estimer soit � i soitX . Une approche unificatrice proposée par Van Overschee et De Moor [VAN 94], rap-pelée dans [BAS 98b], montre que ces différences peuvent se ramener au seul choixde valeurs particulières de deux matrices de pondération, notées W � et W� dans unmême algorithme fondé sur le calcul d’une projection oblique notée O i.

Etape Opération Variables Outil

1 Construction des matrices de Hankel Ui et Yi2-a soit Calcul de la matrice d’observabilité étendue �i Factorisation QR2-b soit Calcul de la matrice d’état X et SVD3 Estimation de l’ordre n SVD4 Estimation des matrices de la représentation d’état A, B, C, D Estimateurs des

et K moindres carrés

TAB. 1: Procédure de base des algorithmes 4SID

2.1.2. Paramètres de synthèse

Le faible nombre de paramètres de synthèse est un des avantages des méthodesdes projections. On en compte au maximum trois : i l’indice passé/futur, j le nombrede colonnes des matrices de Hankel d’entrée-sortie et n l’ordre estimé de la représen-tation d’état. Des procédures automatiques, effectuées par la plupart des algorithmes,limitent généralement ce choix à celui de l’ordre n.

— Choix des indices i et j.L’indice i correspond au nombre de bloc-ligne des matrices de Hankel d’entrée-sortiealors que l’indice j est égal au nombre de colonnes de ces mêmes matrices. L’indicej est déduit du nombre d’échantillons (N � i � j � �) à disposition et du choix del’indice i. Ce dernier repose sur une condition de travail définie par l’équation (8) etissue de la formulation théorique de ces méthodes [BAS 98b].

j �� i � n� (8)

En pratique, certains algorithmes proposent une procédure de choix automatique del’indice i fondée sur l’équation (9).

i ��nmax

m� (9)

où nmax est l’ordre maximum, choisi a priori, du modèle à identifier et m le nombrede sorties du système.

6 Technique et science informatiques. Vol. 15- no 6/1996

— Sélection de l’ordre n.Cette sélection s’effectue, en théorie, en détectant une variation «significative» ausein du spectre de valeurs singulières de l’estimation de �i ou de X marquant ainsila séparation entre les sous-espaces bruit et système. En pratique, leur répartition estgénéralement trop régulière. Dans ce cas, le choix de l’ordre devient délicat et arbi-traire. Pour cette raison, des procédures d’aide au choix sont couramment utilisées.Ces dernières sont fondées sur l’optimisation de critères établis soit directement surle calcul de l’erreur de prédiction et de sortie (c’est le cas par exemple des fonctionsMatlab N4SID ou SUBID) ou sur des critères d’information du type AIC (AkaikeInformation Criterion) pour l’algorithme CVA [LAR 94].

Deux algorithmes compatibles avec le logiciel Matlab intitulés SUBID [VAN 96]et N4SID [LJU 95] sont utilisés dans cette étude.

2.2. Méthodes PEM

Parmi les méthodes dites «classiques» traitant de l’estimation d’une forme d’état,deux catégories se distinguent. La première, la plus connue, se fonde sur des formesd’état canoniques observables [LJU 87], [SöD 89] alors que la seconde repose sur desmodèles d’état entièrement paramétrés [MCK 95b]. Dans cette étude, les algorithmesde la famille des méthodes PEM appartenant à la boîte à outils System Identification deMatlab sont utilisés dans les deux cas. Les méthodes PEM visent à estimer le vecteurdes paramètres � � Rd en minimisant le critère VN �� de l’équation (11).

�N � argmin �VN �� (10)

VN �� ��

N

NXt��

k�k��k�� (11)

avec :

�k�� � H���q��� ��yk �G�q��� �uk

�(12)

yk � G�q��� �uk �H�q��� �ek� (13)

Dans le cas multivariable, G�q��� � et H�q��� � sont les matrices de trans-fert des parties déterministe et stochastique de dimensions respectives �m � p et�m � m. H���q��� � et H���q��� �G�q��� � sont supposés être asymptotique-ment stables. �k�� est l’erreur d’équation, équivalente à l’erreur de prédiction � k�� �yk � yk�k���� pour G��� � � � et à l’erreur de sortie pour H�q��� � � I . k � k re-présente la norme euclidienne (normeL�), q�� est l’opérateur retard, ek est un vecteurde bruits blancs et N le nombre d’échantillons d’estimation.

Exemple d’utilisation du style LATEX tsi�sty 7

2.2.1. Estimation d’une forme d’état canonique

Une première solution consiste d’abord à estimer une forme polynomialenG�q��� �� H�q��� �

opour la réécrire ensuite sous une forme d’état canonique observable. Les avantagesprincipaux des formes canoniques est leur identifiabilité globale [MCK 95a] et lenombre réduit de paramètres à estimer : d � np��nm. Deux structures polynomialessont considérées :

— Modèles ARMAX MISO. La première structure considérée est du type autoré-gressive à moyenne mobile et entrée externe. L’algorithme d’estimation paramétriqueassocié est fondé sur le principe du maximum de vraisemblance. Cette structure estlimitée au cas des systèmes MISO [LJU 95]. L’identification d’un système multiva-riable à m sorties nécessite alors l’estimation de m modèles ARMAX pour décrirechacune des sorties.

�����

A��q��y��k � B��q

��uk�nk� � C��q��e��k

...Am�q��ym�k � Bm�q��uk�nkm � Cm�q��em�k

� (14)

avec : uk ��u��k � � � up�k

�T, yk �

�y��k � � � ym�k

�Tet nki les vecteurs des

retards entre les sorties et les entrées. Ces modèles polynomiaux peuvent être regrou-pés sous la forme du modèle d’état suivant :

xk�� �

�B�F� �

. . .� Fm

�CAxk �

�B�G�

...Gm

�CAuk �

�B�K�

...Km

�CA�B�e��k

...em�k

�CA

yk �

�B�H� �

. . .� Hm

�CAxk �

�B�e��k

...em�k

�CA � (15)

où �F�� G�� H�� � � � � �Fm� Gm� Hm sont les modèles d’état canoniques observablesobtenus après conversion des m modèles ARMAX.

— Représentation par matrices polynomiales. La représentation sous forme dematrices polynomiales, équation (16), permet la description du comportement des sys-tèmes MIMO.

A�q��yk � B�q��uk�nk � vk � (16)

avec :

A�q�� � I �A�q�� � � � ��Anaq

�na Ai � Rm�m (17)

B�q�� � B� �B�q�� � � � ��Bnbq

�nb�� Bi � Rm�p � (18)

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où vk est le vecteur de bruit de sortie. Dans l’hypothèse d’un bruit blanc, ce modèlecorrespond à une structure de type autorégressive et dont l’estimation repose sur laméthode des moindres carrés (algorithme ARX). Dans le cas de bruits colorés, l’es-timateur des moindres carrés ne peut être utilisé directement. L’estimation des ma-trices polynomiales est alors fondée sur l’utilisation de l’algorithme IV4 fondé surune technique de variable instrumentale [LJU 95]. Ce dernier est structuré en quatreétapes. Dans la première, une estimation des paramètres est réalisée par la méthodedes moindres carrés. L’étape suivante engendre une variable instrumentale à modèleauxiliaire. En utilisant celle-ci, une nouvelle estimation des paramètres est réalisée.Dans l’étape 3, les résidus de l’estimation précédente sont modélisés par une structureAR (Auto-Régressive) d’ordre élevé dont les paramètres sont estimés par la méthodedes moindres carrés. L’étape finale réalise le filtrage des entrées-sorties grâce au filtreAR «long» de l’étape 3. Enfin, les paramètres du modèle initial, équation (16), sontestimés par la technique de la variable instrumentale appliquée aux variables d’entrée-sortie filtrées [LJU 87].

Selon le système identifié, la réalisation canonique peut mener à un mauvais condi-tionnement numérique du modèle et ainsi à une grande sensibilité de certains para-mètres au bruit sur les données. En outre, le concept d’identifiabilité globale est sur-tout important pour des applications de détection ou de modélisation, pour lesquellesles valeurs des paramètres est un objectif recherché. Dans le cadre de cette étude com-parative liée à des applications de commande, nous nous attacherons plus à la capacitéde reproduire le comportement externe du système qu’à la détermination de la valeurmême des paramètres. Dans ces conditions, il est possible d’estimer un modèle d’étatentièrement paramétré [MCK 95a].

2.2.2. Estimation d’une forme d’état entièrement paramétrée

Par opposition aux modèles d’état canoniques, une autre stratégie consiste à iden-tifier une représentation d’état entièrement paramétrée définie par les équations (1) et(2). Deux solutions sont possibles. La première correspond aux méthodes des sous-espaces : méthodes algébriques directes et sous-optimales alors que la seconde estune extension de la méthode PEM appliquée à une paramétrisation complète de la re-présentation d’état [MCK 95a], méthode notée PEMSS (Prediction Error Method forfully parametrised State-Space models). Les matrices estimées par cette approche sontnotées A��, B��, C�� et K�� où � est le vecteur des paramètres. Cette techniqueimplique une surparamétrisation avec n� paramètres supplémentaires par rapport àune forme canonique. De ce fait, elle perd la notion d’identifiabilité globale. De plus,à la différence des modèles de formes externes, il existe pour un même système uneinfinité de réalisations d’état équivalentes pour décrire son comportement.

L’avantage majeur de cette approche est identique à celui des méthodes des sous-espaces : il est inutile de rechercher une paramétrisation particulière et donc inutilede passer par une phase d’identification structurale. La surparamétrisation du modèled’état lui confère une structure «flexible» dans le sens où la réalisation estimée n’estpas figée au préalable. L’estimation paramétrique est fondée sur la minimisation du

Exemple d’utilisation du style LATEX tsi�sty 9

critère (11) avec une nouvelle expression du prédicteur à un pas donnée par :

yk�k���� �Wu�q� �uk �Wy�q� �yk� (19)

avec :

Wu�q� � � C�� �qI �A�� �K��C����

B�� (20)

Wy�q� � � C�� �qI �A�� �K��C����K��� (21)

en supposant queWu etWy soient stables. En imposantK�� � �, alorsH�q��� � �I , l’erreur de prédiction est égale à l’erreur de sortie et l’algorithme d’estimationPEMSS correspond à la méthode du modèle (OE) appliquée à une forme d’état en-tièrement paramétrée. L’estimation paramétrique d’une telle représentation repose surdes algorithmes de programmation non linéaire. En raison de la surparamétrisation dumodèle, il n’y a pas unicité de la solution � ce qui rend la minimisation de VN ��plus délicate et peut causer des problèmes de convergence pour des algorithmes fon-dés sur l’inversion du Hessien. L’algorithme de McKelvey utilisé dans cette étude estconstitué d’une procédure de régularisation du Hessien consistant à augmenter le cri-tère VN �� par un terme additif en vue d’obtenir un Hessien défini positif. Le nouveaucritère est défini par :

W �N �� � VN �� �

�k� � ��k�� (22)

où � � � est un nouveau paramètre de synthèse appelé degré de régularisation et�� correspond au vecteur des paramètres estimé à l’itération précédente [MCK 95a][MCK 95b]. L’algorithme d’optimisation est du type Gauss-Newton et le modèle es-timé après chaque itération est converti en une réalisation équilibrée. Les modèlesestimés par les méthodes des sous-espaces sont utilisés pour l’initialisation de l’algo-rithme PEMSS en configuration OE.

3. Benchmark de simulation : échangeur de chaleur

L’échangeur de chaleur proposé par Jacobsen et Skogestad [JAC 93], présenté àla figure 1, pose en premier lieu le problème de l’identification pour la commanded’un processus mal conditionné, un problème majeur en identification des systèmesmultivariables.

3.1. Modèle linéarisé de l’échangeur

L’échangeur de chaleur considéré est constitué de deux réservoirs contenant res-pectivement les liquides chaud et froid. En négligeant la chaleur accumulée par les

10 Technique et science informatiques. Vol. 15- no 6/1996

Qf

Tc

Tf

Qc

FIG. 1: Echangeur de chaleur

parois, un modèle linéarisé est donné par la matrice de transfert suivante :

y�s � G�su�s y�s ��Tf �s Tc�s

�Tu�s �

�Qf �s Qc�s

�T(23)

G�s ��

�� � ��s�� � ��s

k���� � �s k��

k�� k���� � �s

� (24)

où Tf et Tc (�C) sont les températures froide (circuit primaire) et chaude (circuitsecondaire), tandis que Qf et Qc �m

��min sont les débits respectifs de ces mêmescircuits. Les valeurs des paramètres sont données par le tableau 2. Ces valeurs corres-pondent à un régime autour d’un point de fonctionnement donné. Le modèle linéariséest d’ordre n � � et possède deux pôles doubles définis au sein du vecteur p donnépar :

p ������� ����� ����� �����

�� (25)

�� �� � k�� � �k�� k�� � �k��

���mn ����mn �� �mn ��� � � ��

TAB. 2: Paramètres du modèle linéarisé de l’échangeur

3.2. Caractéristiques principales du système

Une représentation usuelle des caractéristiques fréquentielles d’un système multi-variable est le tracé des réponses fréquentielles des valeurs singulières de la matrice detransfert G�j�. Le conditionnement du système est défini par l’équation (26) commele rapport des valeurs singulières extrêmes [PAT 96].

Exemple d’utilisation du style LATEX tsi�sty 11

�G�j� �max�j�

min�j�� (26)

avec :

G�j� � U�j���j�V T �j� et ��j� �

�BBB�

max�j� �. . . �

min�j�� �

�CCCA �

(27)

Avec un facteur de conditionnement élevé : �G�� � �� en régime établi, lemodèle de l’échangeur de chaleur est particulièrement mal conditionné. La présencede deux pôles doubles éloignés est en partie à l’origine de ce mauvais conditionne-ment. L’équation (28) montre que ce mauvais conditionnement implique une grandesensibilité de l’énergie de sortie kyk aux directions prises par le vecteur d’entrée.

min�j� �ky�j�k

ku�j�k� max�j� (28)

Cette caractéristique peut entraîner des gains faibles associés à certains pôles ouzéros du système ce qui les rend particulièrement difficile à identifier en boucle ou-verte. L’examen des valeurs singulières de Hankel du système, données par l’équation(29) et associées aux gramiens de commandabilité Wc et d’observabilité Wo équili-brés, permet d’affiner cette analyse énergétique au niveau des états.

�Wc � �Wo � ��������� ���� � ���� � � ���� � � ����

�T(29)

Cette équation met nettement en évidence deux pôles très mal sensibilisés sur leplan énergétique entrée-sortie et par conséquent très difficilement identifiables. Cesdeux pôles correspondent à la moitié des deux pôles doubles du modèle ou autrementdit aux deux derniers pôles du vecteur p, équation (25). Ces valeurs indiquent unesimplification possible du modèle avec une réduction de l’ordre de n � � à n � �. Leserreurs d’identification qui découlent de toutes ces caractéristiques peuvent conduire àdes erreurs importantes aussi bien sur le modèle identifié en boucle ouverte que sur lasimulation du schéma de commande en boucle fermée. Cela concerne principalementle cas des stratégies de commande partielles où toutes les sorties du système ne sontpas bouclées [JAC 93], [BAS 95]. L’objectif de ce paragraphe est d’analyser la qualitédes estimations 4SID comparée à celle de certains algorithmes «classiques» dans cetype de situation.

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3.3. Protocole d’étude

Le détail du programme de simulation de l’échangeur de chaleur est donné dans[JAC 93]. Par rapport à ce dernier, le bruit sur les entrées a été supprimé pour nelaisser que les bruits blancs ajoutés aux sorties avec un rapport signal sur bruit fixéà RSBy � �� dB. Le nombre d’échantillons et la période d’échantillonnage sontdonnés respectivement par : N � ��� et Te � �mn. Les données d’estimation sontprésentées à la figure 2. Les résultats présentés dans ce paragraphe sont issus de simu-lations de Monté Carlo fondées sur ��� réalisations de bruits.

0 20 40 60 80 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-3

temps (mn)

ampl

itude Qf

Qc

(a) Signaux d’entrée

0 20 40 60 80 100-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

temps (mn)

ampl

itude

(°C

)

Tf

Tc

(b) Signaux de sortie

FIG. 2: Données initiales

Dans un premier temps, pour juger de la qualité de chaque estimation indépen-damment du choix de l’ordre ou de la structure des modèles, l’ordre des modèlesd’état est fixé à n � �, tandis que le vecteur des indices structuraux est donné par

� ��� �

�Tpour les formes polynomiales. Le problème de l’estimation de l’ordre

n d’une forme d’état à partir des techniques 4SID est ensuite examiné. L’influenced’une sous-évaluation de l’ordre est également illustrée. Les effets du signal d’excita-tion (signal basses fréquences et signal binaire aléatoire) et du nombre d’échantillons(N � ��� etN � ���) sur le résultat de l’estimation 4SID sont aussi considérées. En-fin, les modèles estimés seront comparés dans le cadre de simulation d’une commandeen boucle fermée partielle afin de tester leur cohérence avec l’application finale. Lacomparaison des résultats est effectuée dans les plans fréquentiel, temporel ainsi quedans celui des pôles.

Exemple d’utilisation du style LATEX tsi�sty 13

3.4. Analyse fréquentielle des résultats

La figure 3 présente en trait plein les valeurs singulières du modèle simulé del’échangeur et en trait pointillé les deux valeurs singulières moyennes, � ��j� et���j�, des modèles estimés par chaque méthode sur 100 expériences. Les courbesreprésentées avec le symbole (+) correspondent aux réponses fréquentielles minimumet maximum des valeurs singulières estimées sur l’ensemble des réalisations bruitées.Elles sont un indicateur de la dispersion des résultats d’estimation de chaque méthode.

Au contraire des autres algorithmes, les résultats des estimations fondées sur lesmodèles ARMAX, présentés à la figure 3(a), illustrent l’incapacité des techniquesd’identification MISO à retrouver certaines caractéristiques de nature purement multi-variable comme le conditionnement d’un système. La variance des résultats de N4SID3(b) est supérieure à celle d’IV4. Ce résultat témoigne du caractère sous-optimal deces approches. En revanche, N4SID ne présente pas l’inconvénient de la fonction IV4à savoir fournir plus de � % de modèles instables, voir figure 4. Enfin, il faut souli-gner une amélioration significative des résultats N4SID en utilisant ces modèles pourinitialiser la méthode OE (PEMSS) dont les résultats finaux sont à la hauteur de ceuxd’IV4, mais sans présenter les mêmes taux de modèles instables.

3.5. Analyse des pôles estimés

Les figures 5(a), 5(b) et 5(d) indiquent une forte présence de modes résonantsdont certains sont instables. Ces modes correspondent à la mauvaise estimation desdeux pôles difficilement identifiables évoqués lors de l’analyse du modèle. En cequi concerne les méthodes fondées sur des techniques à variables instrumentales, lenombre de modèles instables estimés souligne une moindre sensibilité à ce genre deproblème de la part de N4SID par rapport à IV4. L’absence de modes résonants dansles résultats d’estimation d’une structure ARMAX est due à la double estimation desdeux modes dominants de l’échangeur. De par les interactions du modèle multiva-riable, les deux pôles dominants sont visibles sur les deux sorties. En fixant l’ordredes modèles ARMAX MISO à n � �, les deux modèles polynomiaux ne retiennentque les caractéristiques associées aux deux modes dominants mais ignorent totale-ment celles des modes difficilement observables et commandables, ce qui expliquel’absence des modes résonants. Ce défaut d’estimation est en partie à l’origine de lamauvaise reproduction du conditionnement du modèle.

Les résultats précédents ont été observés en supposant la connaissance de la struc-ture ou de l’ordre du modèle simulé. Dans le paragraphe suivant, le choix de l’ordredes modèles 4SID et son influence sur la qualité de l’estimation sont examinés.

14 Technique et science informatiques. Vol. 15- no 6/1996

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

104

pulsation (rd/mn)

vale

urs

sing

uliè

res

(a) ARMAX MISO

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

104

pulsation (rd/mn)

vale

urs

sing

uliè

res

(b) N4SID

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

104

pulsation (rd/mn)

vale

urs

sing

uliè

res

(c) IV4

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

104

pulsation (rd/mn)

vale

urs

sing

uliè

res

(d) N4SID+OE

FIG. 3: Réponses fréquentielles des valeurs singulières des modèles estimés

3.6. Estimation de l’ordre

L’estimation de l’ordre au sein des méthodes des sous-espaces équivaut à sélec-tionner un nombre n de valeurs singulières de la matrice �i. La figure 6(a) représentele spectre des valeurs singulières de la matrice d’observabilité � i et celui des valeurssingulières de ses estimations calculées par l’algorithme N4SID [VAN 96] dans les casdéterministe et stochastique. Dans ce dernier cas, il s’agit de la moyenne des valeurssingulières de �i sur 100 réalisations d’une simulation de Monté Carlo. Une erreur

Exemple d’utilisation du style LATEX tsi�sty 15

1 2 3 40

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

AR

MA

X M

ISO

x 2

N4S

ID

N4S

ID +

OE

IV4

algorithmes

mod

èles

sta

bles

FIG. 4: Stabilité des modèles estimés

significative sur les troisième et quatrième valeurs singulières apparaît entre le spectrede �i et celui de �i estimée en déterministe. Cette sous-estimation des deux dernièresvaleurs singulières du modèle simulé souligne la difficulté, y compris dans le cas dé-terministe, pour les algorithmes 4SID actuels à retrouver les deux derniers pôles dusystème. L’introduction du bruit sur les sorties ne fait qu’aggraver ce problème, ce quise traduit par une surestimation des valeurs singulières auparavant nulles. Cela a pourconséquence de noyer complètement les deux dernières valeurs singulières du modèleestimé en déterministe. Ce constat contribue à expliquer l’importante erreur d’esti-mation sur la moitié des pôles doubles transformés en modes fortement résonants.Les spectres de la figure 6(a) soulignent en outre la grande difficulté de séparationdes valeurs singulières en vue d’estimer l’ordre de la représentation d’état. Dans cesconditions, l’analyse de l’évolution des erreurs de simulation pour chaque sortie enfonction de l’ordre n constitue une approche alternative moins arbitraire. Le choixde l’ordre est alors fondé sur la minimisation des erreurs relatives de simulation (desortie), figure 6(b).

La minimisation de l’erreur de simulation implique visiblement une sous-estimationde l’ordre : n � � au lieu de �. Ce résultat s’explique par la grande difficulté d’obser-ver et d’exciter les deux autres pôles. Face à ce problème, l’augmentation de l’ordrea pour conséquence, ici, d’introduire des modes dominants ce qui augmente le niveaudes erreurs de simulation. Toutefois, cette présence de modes résonants ne suffit àexpliquer la tendance concernant l’augmentation de l’erreur de sortie avec celui del’ordre. Il s’agit d’une caractéristique générique des méthodes des sous-espaces, ob-servée dans plusieurs études de simulation et d’application. Dans notre cas, il fautnoter que les erreurs de simulation obtenues avec une approche de type erreur de sor-tie décroissent au contraire du résultat 4SID. Ce résultat peut être associé au caractèresous-optimal de ces approches. Toutefois, nous n’avons actuellement pas plus d’expli-cations sur l’origine de ce comportement. C’est un problème important car il est lié auchoix de l’ordre du modèle. Dans cette étude, cette tendance 4SID évite notamment

16 Technique et science informatiques. Vol. 15- no 6/1996

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Re

Im x x

(a) IV4

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Re

Im x x

(b) N4SID

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Re

Im x x

(c) ARMAX MISO

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Re

Im x x

(d) N4SID+OE

FIG. 5: Lieu des pôles estimés

une surestimation inutile de l’ordre du modèle. Il reste à déterminer l’origine de cettecaractéristique et à vérifier si ce résultat est généralisable pour toutes les méthodes dessous-espaces ainsi que pour tous les systèmes.

Une autre simulation de Monté Carlo, menée sur la base d’un modèle d’ordre �,a montré une disparition complète des modes résonants sans pour autant dégrader lesréponses fréquentielles des valeurs singulières. Ces résultats confirment que l’appari-tion des modes dominants est due à la difficulté d’identifier les deux derniers pôles du

Exemple d’utilisation du style LATEX tsi�sty 17

0 5 10 15 20

100

0.01

10-6

10-10

10-14

indice

vale

ur s

ingu

lière

0

cas déterministe

cas stochastique

σ �Γi� �

σ �Γi� �

σ Γi� �

(a) Spectres des valeurs singulières de �i etOi

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

14

ordre (n)

erre

urs

de s

imul

atio

n (%

)

es1

es2

min esi� �

(b) Spectres des erreurs de simulation, eis :i�eme sortie

FIG. 6: Techniques d’estimation de l’ordre du modèle

modèle de l’échangeur. La stratégie d’estimation de l’ordre du modèle 4SID fondée laminimisation de l’erreur de sortie semble donc être la plus avantageuse. Son estima-tion réduite de l’ordre est tout à fait en accord avec les valeurs singulières de Hankelqui justifient une réduction de l’ordre du modèle initial de n � � à n � �.

3.7. Influence du signal d’entrée et du nombre d’échantillons

Il n’existe pas, à notre connaissance, de travaux publiés sur la richesse mini-male des signaux d’excitation pour l’utilisation d’algorithmes d’estimation des sous-espaces. L’objectif de ce paragraphe est de souligner l’influence de l’excitation surl’estimation 4SID. Une simulation de Monté Carlo a été réalisée à partir d’un signalbinaire aléatoire avec une bande fréquentielle plus large que celle du signal d’excita-tion précédemment utilisé. Les résultats n’ont pas montré la disparition des modes ré-sonants mais une réduction significative de la variance de l’erreur d’estimation sur lesréponses fréquentielles des valeurs singulières du modèle. La plus grande largeur fré-quentielle de l’excitation permet de solliciter les deux constantes de temps éloignéesdu modèle initial. En outre, son caractère aléatoire est avantageux car une partie deséchantillons du signal d’entrée est utilisée au sein de l’algorithme 4SID pour consti-tuer la matrice instrumentale qui doit être la moins corrélée possible avec le bruit.L’augmentation du nombre d’échantillons, passant de N � ��� à N � ���, a permisd’observer les mêmes résultats. En revanche, la diminution de la période d’échan-tillonnage à Te � ���mn a augmenté le nombre de modèles estimés instables.

18 Technique et science informatiques. Vol. 15- no 6/1996

G s( )K

Qc

QfTfTf

*

Tc

+−

FIG. 7: Schéma de commande en boucle fermée partielle

3.8. Conséquence sur les performances d’une commande en boucle fermée partielle

Considérons un schéma de commande en boucle fermée partielle présenté à lafigure 7 où seule la première sortie est bouclée et dont la loi de commande est définiepar :

Qf � K�T �f � Tf � (30)

avec K � ������ et T �f est la consigne de régulation de la température froide. Lemodèle d’état continu du système en boucle fermée est donné par :

ABF BBF

CBF DBF

�A� B�K C�

�B�K B�

�C �

�uBF �

T �fQc

yBF �

TfTc

(31)

où A, B ��B�

B�

�, CT �

�CT�

CT�

�correspondent aux matrices du modèle

d’état continu de l’échangeur de chaleur. L’objectif de ce paragraphe est de présen-ter les conséquences des erreurs d’identification sur les sorties simulées du systèmeen boucle fermée. Les résultats sont exposés aux figures 8(a), 8(b). La figure 8(a)confirme les problèmes causés par l’identification d’un modèle multivariable à partirdes techniques MISO. En revanche, la figure 8(b) montre une reproduction satisfai-sante du comportement des sorties en boucle fermée obtenue à partir des techniquesN4SID pour des ordres n � � et n � �. Toutefois, le nombre de systèmes stables enboucle fermée pour 100 modèles estimés en boucle ouverte varie du simple au doubleet souligne l’intérêt dans ce cas de choisir : n � �. Ce résultat conforte la procédurede choix de l’ordre fondée sur la minimisation de l’erreur de simulation comme unesolution pragmatique en vue d’applications de commande.

4. Application à l’identification d’un système d’entraînement de bande

L’entraînement de bande sous traction est un procédé continu non linéaire utilisédans des installations industrielles telles que les laminoirs en métallurgie et les sé-cheries en papeterie [BAS 97], [BAS 98a]. Sa fonction principale est de permettre untransport régulier de la bande en évitant les problèmes liés aux frottements, aux glis-sements, aux vibrations et aux déformations. Dans ce but, un effort de traction doit

Exemple d’utilisation du style LATEX tsi�sty 19

0 20 40 60 80 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

temps (mn)

ampl

itude

(°C

)

Tc

�Tc

�Tf Tf

(a) ARMAX MISO n � �

0 20 40 60 80 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

temps (mn)

ampl

itude

(°C

)

Tc

�Tc

�Tf

Tf

n=2n=4

(b) N4SID n � � et n � �

FIG. 8: Comparaison des sorties de la commande en boucle fermée partielle : sortiessimulées en trait plein et sorties moyennes estimées sur 100 réalisations entrait pointillé

être maintenu sur l’ensemble de la bande en régulant différents niveaux de tensionsen plusieurs portions (brins) du film. Le processus pilote utilisé dans cette étude estun sous-système de base reproduisant les problèmes génériques des installations in-dustrielles du même type. Si en théorie le principe de l’entraînement de bande soustraction est simple, en pratique, les interactions entre les tensions, les vibrations, lesdéfauts de planéité et le patinage rendent la régulation de tension difficile à mettreau point. Un handicap supplémentaire concerne la variation au cours du temps de pa-ramètres physiques de l’installation comme les rayons des bobines enrouleuse et dé-rouleuse. L’installation pilote d’enroulement de bande est ici utilisée comme systèmetest en vue d’appliquer et de comparer les algorithmes 4SID avec d’autres méthodesconventionnelles.

4.1. Système d’entraînement de bande sous traction

Un schéma du système pilote d’entraînement de bande est présenté à la figure (9).Le premier niveau de l’installation est le processus d’enroulement composé des bo-bines enrouleuse et dérouleuse, d’un rouleau tracteur et d’une bande de mylar d’épais-seur ��� mm, de ��� m de long et de � cm de large . Les vitesses angulaires des bo-bines (S�), (S�) et du rouleau (S�), ainsi que les tensions d’enroulement (T�) et dedéroulement (T�) sont mesurées respectivement par des dynamos tachymétriques etdes jauges de contraintes. Le second niveau concerne le système électro-mécaniqueconstitué par les trois moteurs à courants continus et les réducteurs de vitesse couplés

20 Technique et science informatiques. Vol. 15- no 6/1996

ENROULEUR

DEROULEUR

TRACTEUR

T1

T3

I3*

I1*

S2*

S2

0 5 10 15 20 25 30-20

-10

0

10

temps (s)

ampl

itud

e (%

)

0 5 10 15 20 25 30

-4

0

4

temps (s)

ampl

itud

e (%

)

0 5 10 15 20 25 30

-4

0

4

temps (s)

ampl

itud

e (%

)0 5 10 15 20 25 30

-5

0

5

temps (s)

ampl

itud

e (%

)

0 5 10 15 20 25 30-15

-10

-5

0

5

10

temps (s)

ampl

itud

e (%

)

0 5 10 15 20 25 30

-5

0

5

temps (s)

ampl

itud

e (%

)

FIG. 9: Système pilote d’entraînement de bande

aux bobines. Les consignes des régulateurs de courant et de vitesse (I �� , S�� , I�� ) sontreliées à une plate-forme temps-réel constituée d’une carte dSPACE et d’un ordinateurdu type PC. Les vecteurs d’entrée-sortie du système sont les suivants :

yk �

T�T�

uk �

��I��S��I��

�A � (32)

4.2. Identifications du processus

4.2.1. Protocole expérimental

Deux séries de mesures, enregistrées autour du même point de fonctionnement,sont utilisées respectivement pour l’estimation et la validation des modèles estimésà partir des algorithmes d’identification déjà utilisés dans le cas de l’échangeur dechaleur. Le nombre d’échantillons dans les deux cas est d’environ N � ��� points

Exemple d’utilisation du style LATEX tsi�sty 21

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−5

0

5

temps (s)

ampl

itude

(%

)

(a) Signaux d’entrée : I �� en trait plein, S�� entrait mixte et I�� en trait pointillé

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−10

−5

0

5

10

temps (s)

ampl

itude

(%

)

(b) Signaux de sortie : T� en trait plein et T�en trait pointillé

FIG. 10: Données d’estimation

mesurés avec une période d’échantillonnage de Te � ��� ms. Les données d’esti-mation sont présentées aux figures 10(a) et 10(b). L’objectif est d’identifier une repré-sentation d’état du système évoluant autour d’un point de fonctionnement, représen-tation définie sous forme d’innovation par les équations (1) et (2). Un choix courantde l’indice de prédiction est de prendre i � �� ce qui autorise dans notre cas l’esti-mation d’un modèle d’ordre maximum nmax � im�� � ��. Etant donné le nombred’échantillons N � ��� de la série de mesure destinée à l’estimation du modèle,le nombre de blocs colonnes des matrices de Hankel d’entrée-sortie est donné parj � N � �i � � � ��. La matrice Ruu�i � UiU

Ti est ici de rang plein � ��

avec un conditionnement donné par � ���� et la plus petite valeur singulière égaleà min � ���e�� �� tol � ���e��� où tol est un seuil de tolérance fonction dela précision du calculateur. Ce résultat indique une excitation suffisamment riche dusignal d’entrée.

4.2.2. Choix de l’ordre

Le spectre des valeurs singulières calculées par les algorithmes 4SID, présenté àla figure 11(a), confirme la difficulté de la sélection de l’ordre du modèle sur un pro-cessus réel. La minimisation de l’erreur de simulation sur l’ensemble de deux sorties,figure 11(b), est un indicateur plus pratique qui conduit à choisir n � �. Une étudede modélisation fine du système a permis de mettre en évidence �� états au sein d’unmodèle non linéaire présenté dans [BAS 97].

22 Technique et science informatiques. Vol. 15- no 6/1996

0 5 10 15 20 25 30 35-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

Log

des

val

eurs

sin

guliè

res

o rd re

� ?n =

(a) Spectre des valeurs singulières de Oi

0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

ordre

erre

ur d

e si

mul

atio

n e Ts 1( )

e Ts 3( )

min es( )

(b) Erreurs de simulation sur les sorties

FIG. 11: Sélection de l’ordre

4.2.3. Modèles estimés

La représentation d’état estimée par l’algorithme N4SID, avec i � �� et n � � estdonnée par l’équation (33).

A �

�BB�

������ ���� �� ����� �������������� �� � � ��� �� �������������� ������ �� �� ��� �������� ���� � ����� �������

�CCA B �

�BB�������� ������� ������������ ������� ���� �������� ��� � ���������� ��� ������ �������

�CCA

(33)

C �

������ ����� � ������� ���� ��������� ������� ������ �������

K �

�BB�

������ �������������� �������������� ������������� ������

�CCA

4.2.4. Analyse de la qualité et comparaison des modèles

Une première étape de l’analyse de la qualité d’un modèle consiste à vérifier leshypothèses de départ à la fois sur le modèle et la méthode utilisés, notamment l’ab-sence de corrélation entre les entrées et le bruit. L’ensemble des figures 12(a), 12(b),12(c), 12(d), 12(e) et 12(f) présente les intercorrélations entre les entrées et les résidusd’estimation. La décorrélation à ��� observée dans presque tous les cas montre quele pouvoir explicatif issu des informations d’entrée-sortie via un modèle linéaire a étéfortement exploité.

Un autre point de validation consiste à examiner les capacités du modèle estimé

Exemple d’utilisation du style LATEX tsi�sty 23

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

re ta rd

(a) Fonction d’intercorrélationRe�I����

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

re ta rd

(b) Fonction d’intercorrélationRe�I����

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

re ta rd

(c) Fonction d’intercorrélationRe�S����

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

re ta rd

(d) Fonction d’intercorrélationRe�S����

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.1

-0.05

0

0.05

re ta rd

(e) Fonction d’intercorrélationRe�I����

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

re ta rd

(f) Fonction d’intercorrélationRe�I����

FIG. 12: Vérification de la décorrélation entre les entrées et les résidus

à reproduire les comportements des tensions sur une campagne de mesure différentede celle employée pour l’estimation. Les figures 13(a) et 13(b) donnent les évolutionsdes deux tensions mesurées et simulées et indiquent une reproduction satisfaisante ducomportement dynamique des tensions.

En matière de comparaison des performances entre les différents algorithmes d’es-timation, le tableau 3 indiquent des résultats très proches. Toutefois, ils soulignentque l’approche OE initialisée par N4SID offre les meilleurs résultats. Cette approcheprésente l’avantage d’allier la simplicité d’utilisation des algorithmes 4SID et la mi-

24 Technique et science informatiques. Vol. 15- no 6/1996

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−10

−5

0

5

10

temps (s)

ampl

itude

(%

)

(a) Tensions T� mesurée (trait plein) et simu-lée

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−10

−5

0

5

10

temps (s)

ampl

itude

(%

)

(b) Tensions T� mesurée (trait plein) et simu-lée

FIG. 13: Données de validation du modèle estimé par N4SID

nimisation de l’erreur de sortie. Le modèle 4SID de l’équation (33) a été validé par unecommande multivariable sur l’ensemble du procédé d’enroulement de bande [BAS 98a].

SUBID N4SID N�SID�OE IV �

�es 0.2302 0.2523 0.2249 0.2482

TAB. 3: Résultats des estimations

où �es représente la moyenne des erreurs normalisées, es�k � kyk���y�k�kkyk�k , sur

les deux sorties.

5. Conclusions et perspectives

Cet article traite de l’identification de modèles linéaires multivariables et présenteles résultats d’une étude comparative entre des techniques d’identification récentesintitulées méthodes des sous-espaces (ou algorithmes 4SID) et des méthodes conven-tionnelles, du type erreur de prédiction avec variable instrumentale et erreur de sortie,regroupées sous le nom de méthodes PEM [LJU 87]. L’objectif de ce travail est d’ap-porter un regard objectif sur l’applicabilité et l’intérêt des méthodes des sous-espacesdans le domaine de l’identification des systèmes. La procédure mise en oeuvre danscette étude repose sur une approche expérimentale permettant d’évaluer les perfor-mances, identifier les limites des algorithmes 4SID. Deux cas sont traités, le premierest mené dans un contexte de simulation particulier, celui des systèmes mal condition-

Exemple d’utilisation du style LATEX tsi�sty 25

nés, alors que le second concerne une application à un système pilote.La première étude souligne d’abord l’intérêt des approches d’identification mul-

tivariables par rapport aux stratégies fondées sur des décompositions multi-entréesmono-sortie (MISO). Ce résultat est notamment remarquable lorsque le système pos-sède un mode dominant qui, du fait des différentes interactions du système, est visiblesur l’ensemble des sorties. L’utilisation des techniques MISO a alors tendance à esti-mer autant de modes proches du mode dominant qu’il y a de sorties. Ce surnombre demodes dominants estimés peut conduire à la mauvaise estimation du conditionnementet/ou la non minimalité du modèle.

Le résultat majeur de cette étude concerne la capacité des méthodes des sous-espaces à réduire judicieusement l’ordre du modèle de l’échangeur à sa partie do-minante au sens des valeurs singulières de Hankel. Ce système possède deux pôlesdifficilement observables et commandables ce qui a pour effet d’engendrer d’impor-tantes erreurs d’estimation apparaissant sous la forme de modes fortement résonants.Ce résultat privilégie la technique d’estimation de l’ordre fondée sur la minimisationdes erreurs de sortie au sein des méthodes des sous-espaces. L’estimation du modèleà ordre réduit est celle qui offre les meilleurs résultats de simulation d’une commandeen boucle fermée partielle. Toutefois, la sous-estimation de l’ordre du modèle est àassocier à une caractéristique spécifique de l’estimation 4SID. En effet, cette étude amis en valeur une évolution de l’erreur de sortie en fonction de l’ordre radicalementdifférente de celle d’une approche fondée sur la méthode du modèle. Il apparaît quel’erreur de sortie est très sensible à une «surestimation» de l’ordre au sein de l’esti-mation 4SID. Les résultats observés montrent souvent une tendance à sous-estimerle choix de l’ordre si on se réfère à l’erreur de sortie. C’est un point de rechercheimportant pour le développement et l’application des méthodes des sous-espaces.

En présence de ces modes difficilement identifiables, l’estimation 4SID est vi-siblement plus robuste, environ ��� de modèles stables, que la méthode à variableinstrumentale traditionnelle, IV4, dont seulement ��� des modèles estimés étaientstables.

Les résultats de simulation et d’application ont aussi soulignés l’intérêt d’utiliserles méthodes 4SID comme techniques d’initialisation de méthodes optimales de typeerreur de sortie (OE). Dans ce cadre d’application, les méthodes des sous-espacesoffrent une solution intéressante en raison de leur simplicité de mise en oeuvre et deleur capacité à fournir rapidement une première estimation facilitant ainsi la tâched’algorithmes itératifs de type Gauss-Newton dont les résultats dépendent des condi-tions initiales et peuvent aboutir à des problèmes de divergence ou de minima locaux.Les résultats ont montré une amélioration sensible des estimations 4SID.

Une seconde partie de ce travail est dédiée à l’«applicabilité» des méthodes dessous-espaces à l’identification d’une représentation d’état d’un processus pilote d’en-traînement de bande sous traction. Cette étude détaille l’ensemble de la méthodologied’application de ces techniques. Les résultats soulignent à la fois une reproduction sa-tisfaisante du comportement multivariable en sortie et la simplicité de mise en oeuvrede ces algorithmes puisque l’utilisateur ne choisit qu’un seul paramètre, l’ordre du mo-dèle. Une autre étude [BAS 98a] confirme la qualité suffisante du modèle d’état 4SID

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pour une application de commande multivariable fondée sur une stratégie «classique»de type LQG (Linear Quadratic Gaussian).

En somme, les applications des méthodes des sous-espaces pour l’identificationdes systèmes multivariables en vue de leur commande offrent des résultats encou-rageants qui doivent à présent être confirmés par des applications industrielles. Lestechniques 4SID étant fondées sur l’estimation des prédictions de sortie à horizonsmultiples, il serait aussi intéressant d’étudier la faisabilité d’une méthodologie glo-bale intégrant méthode d’identification des sous-espaces et commande prédictive.

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Article reçu le 3 avril 1995.Versions révisées le 25 septembre 1995 et le 18 janvier 1996.Rédacteurs responsables : Amadeo Napoli et Jean-François Perrot.

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Thierry Bastogne est post-doctorant au Centre de Recherche enAutomatique de Nancy, à l’Université Henri Poincaré, Nancy 1.Avant d’obtenir un thèse en automatique en novembre 1997, il atravaillé en tant que chef de projet en automatismes industrielsen 1993. Ses travaux de recherche portent essentiellement surl’identification des systèmes multivariables en utilisant des ap-proches telles que les méthodes des sous-espaces.

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Patrick Sibille est post-doctorant au Centre de Recherche en Au-tomatique de Nancy, à l’Université Henri Poincaré, Nancy 1.Avant d’obtenir un thèse en automatique en novembre 1997, il atravaillé en tant que chef de projet en automatismes industrielsen 1993. Ses travaux de recherche portent essentiellement surl’identification des systèmes multivariables en utilisant des ap-proches telles que les méthodes des sous-espaces.

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Alain Richard est post-doctorant au Centre de Recherche en Au-tomatique de Nancy, à l’Université Henri Poincaré, Nancy 1.Avant d’obtenir un thèse en automatique en novembre 1997, il atravaillé en tant que chef de projet en automatismes industrielsen 1993. Ses travaux de recherche portent essentiellement surl’identification des systèmes multivariables en utilisant des ap-proches telles que les méthodes des sous-espaces.