i. système du 1 er ordre: 1.1 définition 1.2 exemples 1.3 etude temporelle réponse à un échelon...
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Automatique: les systèmes du 1er
et 2nd ordreI. Système du 1er ordre:
1.1 Définition1.2 Exemples1.3 Etude temporelleRéponse à un échelonRéponse à une rampe
II. Système du 2nd ordre:2.1 Définition2.2 Exemples2.3 Etude temporelle : Réponse à un échelon
III. Identification d’un système à partir de sa réponse indicielle
Système du premier ordreUn système physique est du 1er ordre, s’il
est régi par une équation différentielle du 1er ordre à coefficients constants :
Si les conditions initiales sont nulles , la fonction de transfert dans le domaine de Laplace s’écrit :
Soit sous forme canonique :
)()()(
teKtsdt
tds
K est le gain du système est la constante de temps
Exemple d’un système du 1er ordre : solide en rotation
)(.)(.)( tJtftC
Etude temporelleRéponse à un échelon unitaire – réponse indicielle
Etude temporelleRéponse à un échelon unitaire – réponse indicielle
Valeurs limites :
Tangente à l’origine :
Etude temporelleRéponse à une rampe
)(.)( tutte ²
1)(
ppE
p
K
ppS
.1.²
1)(
ppp
KpS.1
²
²
1.)(
)..()( t
etKtS
0)(lim0
tst
)()(lim
tKtst
t
eKts 1.)(' 0)('lim0
ts
t
Etude temporelleRéponse à une rampe
Etude temporelleRéponse à une rampe
Système du second ordreUn système physique est du 2nd ordre, s’il
est régi par une équation différentielle du 2nd ordre à coefficients constants :
Si les conditions initiales sont nulles , la fonction de transfert dans le domaine de Laplace s’écrit :
Soit sous forme canonique :
)(.)()(
..2)(²
.²
1
00teKts
dt
tdsz
dt
tsd
Exemple d’un système du 2nd ordre : suspension )(.)(.)()(. tyftyktFtyM
Etude temporelleRéponse à un échelon unitaire – réponse indicielle
)()( tute p
pE1
)( ²)...2².(
².
1..2
².²
1)(
00
0
00
pzpp
K
pz
pp
KpS
0)(.lim)(lim0
pSptspt
KpSptspt
)(.lim)(lim0
•Valeurs limites
•La décomposition de S(p) dépend des racines de l'équation caractéristique : 0²...2² 00 pzp
)1²².(.4².4²²..4 000 zz
Cas où z>1 : régime apériodiqueCas où z=1 : régime apériodique critiqueCas où z<1 : régime oscillatoire
Etude temporelleRéponse à un échelon unitaire – réponse indicielle
Cas où z>1 : régime apériodique
²)...2².(
².)(
00
0
pzpp
KpS
)).(.(
².)(
21
0ppppp
KpS
)1²(.01 zzp )1²(.02 zzp
11
1
p
22
1
p
2
12
2
1
12
1
1
1.
1
1.
1.)(
ppp
KpS
2
21
112
...)(
tt
eeK
Kts
Cas où z>1 : régime apériodique
La réponse indicielle d'un système du 2nd ordre caractérisé par z > 1 est comparable à celle d'un 1er ordre mise à part la tangente horizontale à l'origine.
Cas où z=1 : régime apériodique critique
)².(
².)(
0
0
pp
KpS
000
1.
)²(
1..)(
pK
pK
p
KpS
0
11
p
11
.)²1
(
1.1.)(
pK
pK
p
KpS
tt
et
eKts .1.)(
Cas où z+1 : régime apériodique critique
On retrouve le même type de réponse que précédemment : toujours pas de dépassement ; le système présente un meilleur temps de réponse.
Cas où z<1 : régime oscillatoire
²)...2².(
².)(
00
0
pzpp
KpS
²...2²
.)(
00
pzp
CpB
p
ApS
²...2²
2.)(
00
0
pzp
KzpK
p
KpS
²²².²²....2²
...2.)(
0000
0
zzpzp
zKpK
p
KpS
²²1.)².(
...2.)(
00
0
zzp
zKpK
p
KpS
²²1.)².(
²1.²1²²1.)².(
.1)(
00
0
00
0
zzp
z
z
z
zzp
zp
pKpS
tze
z
ztzeKts
tztz.²1.sin..
²1.²1.cos.1.)( 0
..0
.. 00
Cas où z<1 : régime oscillatoire
tzztzzz
eKts
tz
.²1.sin..²1.cos.²1.²1
1.)( 00
.. 0
On pose cos=z et sin= ²1 z
tzz
eKts
tz
.²1.sin.²1
1.)( 0
.. 0
z << 1 : réponse oscillante, temps de réponse à 5% grand.
z = 0,7 : dépassement faible, pas d'oscillations, temps de réponse à 5% le plus faible.
z = 1 : réponse sans dépassement le plus rapide.
z > 1 : réponse très amortie, sans dépassement, temps de réponse à 5% grand.
Cas où z<1 : régime oscillatoire
Recherche de la précision statique s(t) :
• La précision statique est définie par
• Pour calculer cette limite on peut passer dans le domaine symbolique de Laplace et utiliser le théorème de la valeur finale :
• On a donc seulement si
• De la même manière qu’un système du premier ordre, un second ordre ne possède pas d’erreur de position si son gain statique est égal à 1.
))()((lim)( tstett
s
)1())()(.(lim)(.lim)(lim00
KpSpEppsptpp
st
0s 1K
Cas où z<1 : régime oscillatoire
Rapidité
la meilleure performance est
obtenue pour une valeur de z environ égale à
0.7.
Cas où z<1 : régime oscillatoire
Dépassements en régime transitoire :
Les dépassements ont lieu lorsque 0)(' ts
.
tzz
eKts
tz
.²1.sin.²1
1.)( 0
.. 0
²)...2².(
².)(
00
0
pzpp
KpS
²)...2²(
².)0()(.
00
0
pzp
KSpSp
).²1.sin(..²1
.)(' 0
..0 0tze
z
Kts
tz
Cas où z<1 : régime oscillatoire
.
la date du premier maximum est
la date du premier minimum relatif est
la date du deuxième maximum est
t0t
..²1.0 ntz ²1.0
.
z
nt
²1.01
zt
²1.
.2
02
zt
²1.
.3
03
zt
Cette dérivée s’annule lorsque : : c’est le régime établi
: c’est la tangente à l’origine de la courbe (propriété importante des systèmes du 2nd ordre)
d’où ce qui nous donne les différentes dates des dépassements
Cas où z<1 : régime oscillatoire
Calcul de la valeur des Di
La valeur des dépassements relatifs vaut )(
)()(
s
stisDi
K
Ktzz
eK
tD
i
tz
i
i
.²1.sin.²1
1.
)(
0
.. 0
).sin(²1
)(²1
.
nz
etD
z
nz
i
).²1.sin(²1
0
.. 0
i
tz
tzz
ei
=
nz
zn
i etD )1.()( ²1
)sin().cos(²1
)(²1
..
nz
etD
z
nz
i
)sin(.)1.(²1
)(²1
.
nz
nz
iz
etD
²1)sin( z
Identification d'un système a partir de sa réponse indicielle
Dans la pratique, on se limite à l'identification des systèmes du 1er et du 2nd
ordre. Identifier un système c'est déterminer ses paramètres caractéristiques :
K et τ pour un système du 1er ordre; K, z et 0 pour un système du 2nd ordre.
Tangente à l'origine ≠ 0 ⇒ Système du 1er ordre. Asymptote finale ⇒ Gain statique K. Pente à l'origine (K/ τ) ou temps pour atteindre 0,63 K (τ) ou temps pour
atteindre 0,95 K (3τ) ⇒ Constante de temps τ. Tangente à l'origine = 0 ⇒ Système du 2nd ordre. Asymptote finale ⇒ Gain statique K. Pas de dépassement ⇒ z > 1. Si dépassement ⇒ z < 1 et déterminé à partir de l'amplitude du premier
dépassement. 0 déterminée par le temps du premier dépassement.