PCSI1 Lycée Michelet

BATTEMENTS

On ne se lasse pas de superposer les ondes. On a bien le droit, puisque l’équation qui régitleur propagation est linéaire (mais pour connaître cette équation il faudra attendre la deuxièmeannée).Par ce procédé, on a construit des ondes stationnaires, on a interprété le phénomène d’inter-férences. Dans ces ceux cas on a superposé des ondes de même fréquence.Dans ce chapitre on s’intéressera à la superposition d’ondes de fréquences différentes, maisproches.

I. Constatations expérimentales– Si on dispose de deux diapasons identiques dont l’un est un peu lesté (et donc vibre à unefréquence légèrement différente du premier) : quand on frappe les deux diapasons on entenddes variations d’intensité du son dont la période est de l’ordre de la seconde. C’est ce que l’onnomme un phénomène de battements.

– Pour obtenir un signal plus puissant, on peut utiliser deux haut-parleurs, alimentés par deuxGBF de fréquences très proches et d’amplitudes comparables. On perçoit alors une variationd’intensité du son, dont la période augmente quand on rapproche les deux fréquences.

- Avec deux sources ultrasonores (cf TP)

Lorsqu’on place un récepteur à égaledistance de deux émetteurs de fréquencesproches et que l’on observe le signal reçusur un oscilloscope, on constate que l’am-plitude des oscillations varie au cours dutemps. Si l’on rapproche le récepteur del’un des deux émetteurs, les battementsexistent toujours mais le mimimum desoscillations n’est plus nul.

En un point donné l’amplitude du signal résultant varie périodiquement au cours du temps.

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II. Interprétations. Calcul de la fréquence des battements.

1. Analyse du problème

Soit f1 la fréquence de la première onde.Soit f2 la fréquence de la seconde. On supposera f2 > f1.En un point donné, les signaux reçus seront de la forme :

s1(t) = a1 cos(ω1t+ ϕ1)

s2(t) = a2 cos(ω2t+ ϕ2)

avec ω1 = 2πf1 et ω2 = 2πf2.Par linéarité, le signal total perçu s(t) s’écrira :

s(t) = s1(t) + s2(t) = a1 cos(ω1t+ ϕ1) + a2 cos(ω2t+ ϕ2)

On peut définir une fréquence moyenne et une pulsation moyenne :

fm =f1 + f2

2et ωm = 2πfm =

ω1 + ω2

2

On note ∆f = f2 − f1, l’écart en fréquence. On peut vérifier que

f1 = fm −∆f

2f2 = fm +

∆f

2

On pourra considérer que les fréquences sont proches si leur écart relatif est inférieur à 10%∆f

fm< 0, 1.

2. Première interprétation : représentation de Fresnels

On note−→S 1 et

−→S 2 les vecteurs de Fresnel associés respectivement à chacun des deux signaux.

Le vecteur de Fresnel associé au signal résultant est−→S =

−→S 1 +

−→S 2.

Il tourne à une vitesse angulaire comprise entre ω1 et ω2 mais son amplitude varie au coursdu temps : elle est maximale lorsque

−→S 1 et

−→S 2 sont colinéaires de de même sens.

Supposons f2 > f1. Le vecteur−→S 2 tourne plus vite que le vecteur

−→S 1. Sa vitesse angulaire

par rapport à la direction de−→S 1 est ω = ω2 − ω1.

On peut suivre le mouvement relatif des deux vecteurs sur l’animation :

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/electri/repfresn.html

On peut choisir l’origine des temps t = 0 lorsque les deux vecteurs sont colinéaires (dans cecas ϕ1 = ϕ2). On peut choisir une origine des angles telle que ϕ1 = ϕ2 = 0.

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À t = 0, les deux vecteurs sont colinéaires, l’amplitude est maximale amax = a1 + a2.−→S 2

ayant une vitesse de rotation légèrement supérieure à celle de−→S 1, il va progressivement se

décaler jusqu’à atteindre une direction opposée à celle de−→S 1(l’amplitude est alors minimale

amin = |a2 − a1|) puis redevenir colinéaire et de même sens que−→S 1, ceci au bout d’un temps

Tb correspondant à la période de rotation de−→S 2 par rapport à la direction de

−→S1, soit :

Tb =2π

ω=

2π

ω2 − ω1

La fréquence fb des battements vaudra donc :

fb =ω

2π=ω2 − ω1

2π= f2 − f1

car ω1 = 2πf1 et ω2 = 2πf2.Ainsi, lorsqu’on additionne deux signaux sinusoïdaux de fréquences proches f1 et f2, la fré-quence des battements observés est égale à la valeur absolue de la différence des fréquencesdes deux signaux :

fb =1

Tb= |f2 − f1|

Conséquence : plus les fréquences f1 et f2 sont proches, plus la fréquence des battements estfaible et donc plus leur période est grande.

Quand les deux signaux ont même amplitude, ~S est suivant la bissectrice de l’angle (−→S1, ~S2) et

donc l’angle (~ux,−→S ) = ω1t+

(ω2−ω1)t2

= (ω2+ω1)2

t. ~S tourne uniformément à la vitesse angulaire(ω2+ω1)

2et on peut l’associer à un signal sinusoïdal de pulsation ωm = (ω2+ω1)

2et donc de

fréquence fm = f1+f22

.Quand les deux signaux sont d’amplitudes différentes, l’angle (

−→S1, ~S2) ne varie pas linéairement

au cours du temps. Cependant, la rotation de−→S est quasi-uniforme de vitesse angulaire

ωm = (ω2+ω1)2

. Le signal associé est donc quasi-sinusoïdal de pulsation ωm.

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Tracé dans le cas où a2 = 2a1

Tracé dans le cas où a1 = a2

Bilan :

La superposition de deux signaux sinusoïdaux de fréquences f1 et f2 voisines donne un signalquasi-sinusoïsal dont la fréquence est la moyenne fm = f1+f2

2des deux fréquences et dont

l’amplitude est modulée dans le temps à la fréquence

fb = |f2 − f1|

fb est appelée fréquence des battements.

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3. Deuxième interprétation.

On utilise les formules de trigonométrie.

s(t) = s1(t) + s2(t) = a1 cos(ω1t+ ϕ1) + a2 cos(ω2t+ ϕ2)

pour alléger un peu l’écriture on prend ϕ1 = ϕ2 = 0. On se place dans le cas où les deuxsignaux ont même amplitude a1 = a2 = a0, (sinon le calcul n’est pas possible).

s(t) = s1(t) + s2(t) = a0 (cos(ω1t) + cos(ω2t))

en utilisant la relation bien connue de tous cos p+ cos q = 2 cos p+q2

cos p−q2

on trouve

s(t) = 2a0 cos

(ω1 + ω2

2t

)cos

(ω1 − ω2

2t

)en posant ωm = ω1+ω2

2la pulsation moyenne, et ∆ω = ω2 − ω1, on obtient,

s(t) = 2a0 cos(ωm t) cos

(∆ω

2t

)avec, lorsque les fréquences sont proches, |∆ω| � ωm, ( et donc ωm ' ω1 ' ω2).

s(t) = 2a0 cos

(∆ω

2t

)︸ ︷︷ ︸

variation lente

cos(ωm t)︸ ︷︷ ︸variation rapide

la fonction cos(ωm t) est modulée en amplitude par la fonction 2a0 cos(

∆ω2t).

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La période des battements correspond à une demi-période de la fonction enveloppe 2a0 cos(

∆ω2t)

Tb =1

�2

2π∆ω

�2

=2π

ω2 − ω1

d’où la fréquence des battements :

fb =1

Tb=ω2 − ω1

2π= f2 − f1

on retrouve la relation :

fb =1

Tb= |f2 − f1|

Remarque : la méthode des battements est utilisée pour accorder certains instruments de mu-sique. Sur un piano, la même note peut être produite par deux ou trois cordes différentes. Siune des cordes est accordée, on peut accorder la deuxième écoutant les battements produit parla mise en vibration des deux cordes. On modifie la tension de la corde à accorder de manièreà augmenter leur période, jusqu’à ne plus les entendre (les cordes vibrent alors à l’unisson).

Pour visualiser et écouter les battements :http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/meca/battement.html

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