henri poincaré et l’espace-temps conv .philosophie conventionnaliste de henri poincaré. ernst

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  • Henri Poincar et lespace-temps conventionnel

    Scott Walter

    Cahiers de philosophie de lUniversit de Cn 45/2008, 87119

    IntroductionLhistoire de la philosophie des sciences du XXe sicle a t marque en profondeur par laphilosophie conventionnaliste de Henri Poincar. Ernst Cassirer, Moritz Schlick et Hans Rei-chenbach ont subi son influence dans les annes 1910 et 1920, Philipp Frank, Ernest Nagel etAdolf Grnbaum dans les annes 1950 et 1960, Lawrence Sklar, Hilary Putnam, David Mala-ment, Michael Friedman, Jerzy Giedymin et dautres dans les annes 1970, comme le montre lelivre de Ben-Menahem (2006). La plupart de ces philosophes ont mis en question le caractreconventionnel de la simultanit dans la thorie de la relativit restreinte. Poincar lui-mmesest peu exprim sur ce point, mme sil sintressait la dfinition du temps physique et auproblme de lespace physique de Riemann-Helmholtz-Lie. A la fin de sa vie, Poincar a ralisune synthse brillante de ces deux problmatiques. travers une nouvelle analyse du principede relativit, quil interprta non plus comme une loi de la nature mais comme une convention,Poincar accorda la mcanique relativiste une valeur pistmique aussi fondamentale quecelle de la mcanique classique. Le prsent article propose une reconstruction, selon les troistapes suivantes, du chemin intellectuel suivi par Poincar dans ce cadre : 1) llaboration dela doctrine de lespace physique (18801900) ; 2) linterfrence entre la doctrine et la thoriede llectron (1905) ; 3) la dernire confrence sur la relativit, intitule Lespace et le temps(1912), o Poincar met en uvre la nouvelle physique des systmes de rfrence inertiels.

    1 La doctrine de lespace physiqueLa philosophie de la gomtrie de Poincar prend forme lors des dbats des annes 1870 pro-pos de la cohrence logique et la signification physique de la gomtrie non euclidienne. Alorsque la rvaluation des fondements de la gomtrie des annes 1820 et 1830 na pas t luvrede gomtres franais, toutefois les ides avances dans ce domaine par Bernhard Riemann, Eu-genio Beltrami, et Hermann Helmholtz ont trouv en France des partisans et des opposants. En1869 au plus tard, llite des mathmaticiens franais dans sa grande majorit reconnaissaitlexistence des gomtries non euclidiennes. Cette anne l, lAcadmie des sciences publiait pour la dernire fois, et malgr lopposition des membres de la section de gomtrie une dmonstration de laxiome des parallles. Lauteur de la dmonstration, Joseph Bertrand,lui-mme membre de la section de gomtrie, occupait la chaire de physique gnrale et ma-thmatique au Collge de France, et la chaire danalyse lcole polytechnique. Le scandale

    scott.walter [at] univ-lorraine.fr

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  • public qui sensuivit la contraint dadmettre que sa dmonstration ne convainquait pas tout lemonde (Pont 1986, 637 ; Gispert 1987, 80). La gomtrie non euclidienne a gagn alors Parisle droit de cit.La statut pistmique de la gomtrie non euclidienne est un sujet de dbat dans la France desannes 1870 jusquau dbut du XXe sicle. Les changes les plus vifs ont lieu chez les phi-losophes, o lempirisme dun Paul Tannery rencontre lopposition des no-kantiens CharlesRenouvier et Louis Couturat. Selon ces derniers, lintuition spatiale ne sous-tend que la go-mtrie euclidienne, ce qui fait delle la seule gomtrie objective, la fois science idale etexemplaire de la connaissance synthtique a priori (Panza 1995).Les annes 1870 sont galement celles de la formation scientifique et des premiers travauxmathmatiques de celui qui allait devenir le plus brillant des mathmaticiens franais : HenriPoincar (18541912). tudiant lcole polytechnique, Poincar suit les cours de CharlesHermite, Henri Rsal, et Alfred Cornu. Il intgre ensuite lcole nationale des mines, o lejeune Henry Le Chatelier enseigne la chimie gnrale (Bellivier 1956, 172), et obtient sondiplme dingnieur en 1878. Lanne suivante Poincar soutient une thse sur la thorie go-mtrique des quations diffrentielles partielles, et assure, pendant huit mois, linspection desmines dans la rgion autour de Vesoul, avant dobtenir un dtachement pour enseigner lanalyse luniversit de Caen (Rollet 2001). Caen, Poincar entame sa carrire denseignant, tout en poursuivant ses recherches en ma-thmatiques. Il participe au concours du Grand Prix des sciences mathmatiques de lAcadmiedes sciences, qui invite les chercheurs perfectionner en quelque point important la thorie desquations diffrentielles linaires une seule variable indpendante (Comptes rendus hebdo-madaires de lAcadmie des sciences 90, 1880, 850). Son mmoire nest pas couronn, malgrsa dcouverte dune classe de fonctions automorphes, appeles par lui fonctions fuchsiennesen hommage au mathmaticien allemand Lazarus Fuchs.Les fonctions fuchsiennes se trouvent aux fondements de la philosophie de la gomtrie dePoincar. Des manuscrits de Poincar publis en 1997 montrent que ds 1880, il comprenait lagomtrie comme une application de la thorie des groupes. Poincar a ralis que les fonctionsfuchsiennes sont invariantes par rapport laction dune certaine classe de transformations for-mant un groupe, et que ltude du groupe en question se rduit celle du groupe de translationde la gomtrie hyperbolique. 1 Le jeune Poincar dfinit alors la gomtrie dans ces termes :

    Quest-ce en effet quune Gomtrie ? Cest ltude du groupe doprations formpar les dplacements que lon peut faire subir une figure sans la dformer. Dansla Gomtrie euclidienne ce groupe se rduit des rotations et des translations.Dans la pseudo-gomtrie de Lobachevski il est plus compliqu. (Poincar 1997,35)

    Une telle rduction de la gomtrie la thorie des groupes fait songer au clbre ProgrammedErlangen de Flix Klein, mais il semble que Poincar nait pas eu connaissance de ce pro-gramme. 2 Do lui vient donc cette ide ? Il disposait de plusieurs sources sur la gomtrie noneuclidienne, notamment les traductions franaises des travaux de Beltrami et de Helmholtz. Il

    1. Pour dfinir la nouvelle classe de fonctions, Poincar se demande comment le quotient z de deux solutionsindpendantes de lquation diffrentielle de deuxime ordre d2y/dx2 = Qy dfinit par inversion une fonctionmromorphe de x et z. Il trouve quune condition en est linvariance par rapport aux transformations z = (az +b)/(cz + d), o a, b, c, d sont rels, et ad bc = 1 ; voir Gray & Walter (1997b), et Gray (2000). Pour uneexploration des connections internes entre les fonctions fuchsiennes et la philosophie conventionnaliste de lagomtrie, voir Zahar (1997).

    2. Voir Gray (2000, 360). Klein et Poincar ont chang 26 lettres dans lespace de 15 mois, partir du moisde juin 1881 ; voir lanalyse de Rowe (1992).

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  • se peut par ailleurs que Poincar ait emprunt ses professeurs (Hermite, Darboux, Jordan)lide selon laquelle les dplacements dun corps rigide forment un groupe. Son expos du mo-dle de la gomtrie hyperbolique ressemble celui de Beltrami ; les deux modles font appel la figure du cercle et la gomtrie diffrentielle, et le seul nom quils mentionnent est celuide Lobachevski. Le travail de Beltrami a d linfluencer, mme si Poincar ne mentionne passon influence (Gray & Walter 1997b).La dcouverte prodigieuse des fonctions fuchsiennes et celle de la thorie qualitative des qua-tions diffrentielles placent Poincar au sommet des mathmatiques franaises. 3 En 1886, ilest lu prsident de la Socit mathmatique de France, et nomm la chaire de physiquemathmatique et calcul des probabilits la Sorbonne, en remplacement du physicien GabrielLippmann. Lanne suivante, Poincar est propos en premire ligne par la section de gomtrie lAcadmie des sciences pour succder Edmond Laguerre (Charle & Telkes 1989, 232).Une fois install lAcadmie des sciences, Poincar publie un premier mmoire sur les fon-dements de la gomtrie, qui montre linfluence des travaux de Sophus Lie. A cette occasion,il rflchit sur la relation entre la gomtrie, dune part, et lespace physique, dautre part :

    [I]l existe dans la nature des corps remarquables quon appelle les solides et lex-prience nous apprend que les divers mouvements possibles de ces corps sont lis fort peu prs par les mmes relations que les diverses oprations du groupe [eu-clidien]. [. . .] Ainsi les hypothses fondamentales de la Gomtrie ne sont pas desfaits exprimentaux ; cest cependant lobservation de certains phnomnes phy-siques qui les fait choisir parmi toutes les hypothses possibles. (Poincar 1887,91)

    Selon Poincar, la gomtrie euclidienne est une science abstraite par essence, puisquelle ren-voie ltude les transformations du groupe euclidien. Certes, lobservation du dplacementdes solides nous suggre ces mmes transformations, mais il ne sagit l que dun fait contin-gent. Concernant le rle de lexprience, Poincar (1903, 424) observera plus tard que celle-cina jou quun seul rle, elle a servi doccasion. 4

    Les remarques de Poincar cernent le statut formel de la gomtrie, sans tirer dautres cons-quences pistmologiques. Il rserve lexpos de ces consquences un essai philosophiquesur les gomtries non euclidiennes, publi dans la Revue gnrale des sciences pures et ap-pliques. Traduit en anglais (Poincar 1892a), cet article fondateur de la philosophie conven-tionnaliste tend la renomme de Poincar bien au-del de la communaut mathmatique, et lervle comme un philosophe des sciences du premier plan.Dans cet essai Poincar tire de la nature abstraite de la gomtrie euclidienne (et de toute autregomtrie) une premire consquence, qui concerne notre connaissance de la gomtrie delespace physique. Il met en avant lintrt, pour la stabilit des connaissances scientifiques,dune science gomtrique coupe du monde sensible :

    Si la gomtrie tait une science exprimentale, elle ne serait pas une scienceexacte, elle serait soumise une continuelle rvision. Que dis-je ? Elle serait dsaujourdhui convaincue derreur puisque nous savons quil nexiste pas de soliderigoureusement invariable. (Poincar 1891, 773)

    Selon une philosophie emp

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