Habilitation à diriger les recherches

I.I. Milieux granulairesMilieux granulaires denses, denses,

gaz granulaires: gaz granulaires:

des systèmes modèles hors de l‘équilibre des systèmes modèles hors de l‘équilibre

II.II. Eléments d‘étude des réseaux complexesEléments d‘étude des réseaux complexes

A. Barrat, Laboratoire de Physique Théorique, Orsay16 mai 2005

• Brève description des travaux sur les matériaux granulaires

• Réseaux complexesRéseaux complexes: introduction

Cartographie des réseaux

Réseaux complexes valués

• Quelques perspectives

Plan

Matériaux granulaires

• hors d’équilibre, à température nulle

• toute dynamique=réponse à une injection d’énergie– « gaz » : granulaires fortement vibrés, forte injection d’énergie– plus dense, « liquide »– très dense, en compaction : faible injection d’énergie– « solide »

...de l’ingénierie à des questions fondamentales de physique statistique hors d’équilibre

Matériaux granulaires:granulaires denses

Collaboration avec

V. Colizza, G. D’Anna, J. Kurchan, V. Loreto, P. Mayor, F. Nori, M. Sellitto

1- Phénoménologie de la compaction des granulaires faiblement vibrés: étude numérique détaillée d’un modèle sur réseau

étude des relaxations lentes

importance des hétérogénéités: utilisation des profils de densité pour l’interprétation des résultats numériques(ex: réponse à un changement du forçage)

effets mémoire lors d’un changement du forçage

Matériaux granulaires:granulaires denses

2- Application de concepts thermodynamiques ?

Proposition de S. Edwards: description statistique des configurationséchantillonnées dynamiquement à temps longs lors de la compaction

exact dans certains modèles champ moyen

Investigation numérique sur plusieurs modèles schématiques en dimension finie, présentant la phénoménologie de la compaction granulaire

situations homogènescas plus réaliste, avec profil de densité

bonne approximation pour un certainnombre de modèles

Gaz granulairesCollaboration avec

T. Biben, J.N. Fuchs, E. Trizac, Z. Racz, F. van Wijland

Motivation: système modèle exhibant des états stationnaires hors d’équilibre,avec possibilité d’études expérimentales, numériques, analytiquesCadre théorique: sphères dures inélastiques

v1 v’1

v2v’2

Avant collision Après collision

la composante normale de la vitesse relative est réduite=>perte d’énergie

Gaz granulairesSujets d’étude:

•Distributions de vitesse, problème de l’universalité(modèle effectif avec coefficient de restitution aléatoire)

•Non- équipartition de l’énergie dans les mélanges binaires

•« Démon de Maxwell »

Méthodes

•Théorie cinétique: équation de Boltzmann

•Simulations numériques:•Monte-Carlo•Dynamique moléculaire

Réseaux complexes

Collaboration avec

I. Alvarez-Hamelin, M. Barthélemy, L. Dall’Asta, R. Pastor-Satorras,

A. Vázquez, A. Vespignani

Thématique interdisciplinaire, suivant plusieurs axes:

• Analyse et théorie: réseaux complexes valués• Cartographie des réseaux complexes• Dynamique sur réseaux: épidémiologie

Exemples de réseaux complexes

• Internet

• WWW

• Réseaux de transport

• Réseaux d’interaction de protéines

• Réseaux de transcription des gènes

• Réseaux sociaux

• ...sont, ou peuvent être modélisés par, des graphes: ensemblede N sites/noeuds/sommets et E liens, en général dilués i.e. E << N(N-1)/2

Principales caractéristiques

• Graphes « petit-monde »:diamètre croissant « lentement » avec la taille du

réseau N, i.e. log(N) ou encore plus lentementcaractéristique capturée par le paradigme du graphe

aléatoire

Graphes aléatoires: Erdös-Renyi (1960)

N sites, connectés avec proba p:

NB: distribution de Poissonpour le degré k=nombre de voisins

(p=O(1/N))

MAIS....MAIS....

Internet, systèmes autonomes

P(k) = probabilité qu’un site ait k voisins

P(k) ~ k - ( 3)

• <k>= const• <k2>

Divergence des fluctuations

•Internet et le Web;

•les réseaux d’interactions des protéines

•les réseaux métaboliques

•les réseaux sociaux

•...

sont des réseaux hétérogènes

Distribution des degrés

Absence d’échelle caractéristique

Comparaison imagéeDistribution de Poisson

Réseau homogène

Distribution en loi de puissance

Réseau sans échelle

Distribution hétérogène des degrés: Conséquences importantes, par exemple

• Propagation d’épidémies • Robustesse• Vulnérabilité• ...

Principales caractéristiques

• Graphes « petit-monde »• Graphes hétérogènes, avec des lois de distribution

larges pour le degré• Souvent: évolution dynamique, auto-organisation

Théorie des graphes aléatoires: graphes statiques, topologie ad-hoc...Nécessité de nouveaux paradigmesDéveloppement d’une activité de recherche intense

Un nouveau cadre

(1) Croissance: Ajout à chaque instant t d’un nouveau site, avec m liens (connectés aux sites déjà présents).

(2) Attachement préférentiel: la probabilité Π que le nouveau site va se lier au site i dépend du degré ki de ce site

A.-L.Barabási, R. Albert, Science 286, 509 (1999)

jj

ii k

kk

)(

P(k) ~k-3

Modèles de réseaux sans échelle

Barabási, Albert, 1999: croissance + attachement préférentiel

P(k) ~ k -3

Généralisations et variations:Non- linéarité : (k) ~ k

Attractivité initiale : (k) ~ A+k

Réseaux avec fort clusteringCaractères intrinsèques: (k) ~ iki

Réseaux plongés en 2 dimensions

Redner et al. 2000, Mendes et al. 2000, Albert et al. 2000, Dorogovtsev et al. 2001,

Bianconi et al. 2001, Barthélemy 2003, etc...

(....) => nombreux modèles

P(k) ~ k -

Caractérisation des divers modèles

• Distribution des degrés P(k)

=>Homogène vs. hétérogène

• Corrélations entre degrés de sites voisins

• « Clustering » (triangles)

• ...

=> Comparaison avec réseaux réels

Hétérogénéité des réseaux: constatée empiriquement

• réseaux sociaux: données variées, même type de résultats

• réseaux de transport: données fiables

• réseaux de nature biologique: incomplets

• Internet: cartographie résultant d’un échantillonnage incomplet

Fiabilité des données empiriques ?

Analyse statistique de la fiabilité d’un tel échantillonnage

Biais du processus d’échantillonnage

Traceroute:

Echantillonnage incompletConnectivité latérale mal estimée

=> arbre à partir de chaque source

• Sites et liens mieux échantillonnés près des sources• Mauvaise estimation de certaines propriétés ?

Les propriétés statistiques du graphe échantillonné pourraient différer des vraies propriétés

Lakhina et al. 2002

Clauset & Moore 2005

De Los Rios & Petermann 2004

Guillaume & Latapy 2004

Mauvaiséchantillonnage

?

Biais du processus d’échantillonnage

Comment évaluer ces biais ?

Graphe réel G=(V,E) (connu )

Graphe échantillonné G’=(V’,E’)

échantillonnage simulé

Analyse de G’, comparaison avec G

Notre démarche

I. modèle pour tracerouteII. approche analytique avec

approximations de type champ moyen => lien entre les propriétés topologiques du réseau et les biais du processus d’échantillonnage

III. validation numérique par l’échantillonnage simulé de graphes homogènes et hétérogènes

I-Modèle pour traceroute

G=(V, E)

Sources(NS)

Destinations(NT)

Première approximation: union de chemins les plus courts

G’=(V’, E’)

Modèle simple, qui permet d’obtenir un traitementanalytique et numérique

Première approximation: union de chemins les plus courts

I-Modèle pour traceroute

II-Analyse du processus de cartographie

1. Expression exacte pour la probabilité de découvrir un site ou un lien donné

2. Approximation de type champ moyen: on néglige les corrélations entre les différents chemins

3. Interprétation du résultat en termes de propriétés topologiques, en particulier de la centralité donnée par la « betweenness centrality »

Prédiction: sites et liens plus « centraux » sont mieux échantillonnés

Betweenness centrality b

pour chaque couple (l,m) de sites, il y alm plus courts chemins entre l et m

ijlm plus courts chemins passant par ij

bij est la somme de ijlm

/ lm sur tous les couples (l,m)

de façon similaire betweenness du site i bi

ij

kij: grande centralité

jk: faible centralité

NB: flux d’information si chaque site envoieun message à tous les autres sites

II-Conséquences de l’analyse

1. Graphes homogènes (ex: graphes aléatoires ER)• distributions piquées de k et b• gamme étroite de centralité (betweenness) prédiction: bon échantillonnage (uniforme) seulement pour un grand

nombre de sondes

2. Graphes hétérogènes (ex: modèle Barabási-Albert)• distributions larges de k et b ; b » k

• gamme étendue de valeurs prédiction: sites de grand degré toujours bien échantillonnés

Graphes homogènes

Mauvais échantillonnage pour toute la gamme de degrés

III-Simulations numériques

NS NT/N

Sites à fort degré bien échantillonnés

Graphes hétérogènes

III-Simulations numériques

Pas de distribution large,sauf....

•P*(k) large seulement pour NS = 1 (cf Clauset and Moore 2005)

• cut-off à <k>

• mauvais échantillonnage de P(k)

Graphes homogènes

NS=1

III-Simulations numériques

• bon échantillonnage, surtout à grand degré;

• inflexion à faibles degrés (sites moins centraux) => mauvaise évaluation des exposants.

Graphes hétérogènes

III-Simulations numériques

Fiabilité du processus de cartographie

Approche analytique du processus de type traceroute

Lien avec les propriétés topologiques

Bon échantillonnage des lois larges pour la distribution des degrés

Biais donnant un réseau échantillonné hétérogène à partir d’un réseau homogène:

seulement dans des cas très particuliers

<k> devrait être très grand (peu réaliste)

Fiabilité du processus de cartographie:

conclusion

Les propriétés d’hétérogénéité sont réelles dans le réseau Internet

mais

L’analyse quantitative peut être fortement biaisée (exposants mal mesurés...)

Au-delà de la topologie: réseaux complexes valués

• Internet• Emails• Réseaux sociaux• Réseaux économiques (Garlaschelli et al. 2003)

• Réseaux biologiques (Almaas et al. 2004)

• Réseaux de transport• ...

sont des réseaux valués, avec des poids hétérogènes sur les liens

i jwij

• Analyses empiriques de réseaux réels

• Définition de nouveaux outils de caractérisation, en particulier pour les corrélations

• Modélisation

Nos travaux

Outils pour la caractérisation des réseaux valués

•Généralisation du degré: si = j wij

=>étude des distributions de s, des corrélations entre s et k

•Généralisation de l’étude des corrélations:•triangles => « clustering » valué•corrélations à deux points

Nécessité de tenir compte des poids pour les corrélations

ciw > ci

Même degré, même coefficient de clustering (ki=4, ci=0.5)

ciw < ci

wij=1

wij=5ii

•Définition d’un coefficient de clustering valué ciw

•Comparaison avec le clustering topologique

511

11

i

Nécessité de peser les corrélations entre degrés

155

55

i

Même degré moyen des voisins

•Définition de l’affinité=degré moyen des voisins de i,pesé par les poids des liens versces voisins•Comparaison de l’affinité avec sonéquivalent topologique

Etudes empiriques

•Distributions hétérogènes des poids, des degrés

pondérés•Existence de corrélations entre poids et degrés•Comparaison des corrélations topologiques avec les

corrélations pondérées

=> informations supplémentaires sur les réseaux étudiés

Modèles de réseaux valués

Yook, Jeong, Barabási, Tu, Phys. Rev. Lett. (2001)Zheng et al. Phys. Rev. E (2003)Jezewski, Physica A (2004) Park et al., Phys. Rev. E (2004)Almaas, Redner, Phys. Rev. E (2005)Antal, Krapivsky, Phys. Rev. E (2005)

=>Poids statiques, avec ou sans corrélations avec la topologie, alors qu’en général les poids

●évoluent●sont couplés avec la topologie

Un nouveau mécanisme

• Croissance: ajout à chaque pas de temps d’un nouveau site avec m liens à connecter à des sites déjà existants

• Attachement Préférentiel: la probabilité de se connecter à un site donné est proportionnelle au degré pondéré du site

Attachement préférentiel déterminé par les poids

et...

Redistribution des poids:mécanisme de rétroaction

Nouveau site: n, attaché à iNouveau poids wni=w0=1Poids entre i et ses autres voisins:

si si + w0 + seul paramètre

n i

j

Le nouveau trafic n-i accroît le trafic i-jet le poids/l’attractivité de i

=>mécanisme de rétroaction

Résultats analytiques

Distributions en loi de puissance pour k, s and w:

P(k) ~ k ; P(s)~s

Corrélations topologie/poids:

wij ~ min(ki,kj)a , a=2/(2+1)

(N=105)

Résultats numériques

Extensions du modèle:

• Hétérogénéités des sites• Réseau dirigé• Contraintes spatiales• Renforcement des liens déjà existants• etc...

Conclusions: réseaux valués

• importance de l’étude des intensités des liens

• généralisation des corrélations => meilleure compréhension des réseaux

• nouveaux mécanismes de modélisation

Perspectives

1. Granulaires denses: expériences...2. Gaz granulaires:

• fluctuations de grandeurs globales• théorème fluctuation

3. Réseaux complexes• cartographie: influence des divers paramètres;

déploiement massif de sources...• influence des poids sur la dynamique• épidémiologie• réseaux dynamiques (ex: pair-à-pair)