Guerino MazzolaGuerino MazzolaU & ETH Zürich U & ETH Zürich guerino@mazzola.ch guerino@mazzola.ch www.encyclospace.orgwww.encyclospace.org

Composition et AnalyseComposition et Analyse

PPOUROUR UNEUNE MUSICOLOGIEMUSICOLOGIE EXPERIMENTALEEXPERIMENTALE

Analyse/(re)synthèse de la sonate op.106 Analyse/(re)synthèse de la sonate op.106 „„Hammerklavier“ de Ludwig van BeethovenHammerklavier“ de Ludwig van Beethoven

''

op.3op.3xx''

coordonnéescoordonnéesanalytiquesanalytiques

MMmodèle modèle

analytiqueanalytique

oeuvresoeuvres

représentationsreprésentationsscientifiquesscientifiques

U

= = MM(x) (x) op.106op.106

xx

CrCr(U) = (U) = M M -1-1((U) fibre U) fibre créatricecréatrice du voisinage U de du voisinage U de

un geste boulezienun geste boulezien

Schéma de la forme sonateSchéma de la forme sonatepour le mouvement allegropour le mouvement allegro

dans op.106 dedans op.106 deLudwig van BeethovenLudwig van Beethoven !!

!!

!!

4:50

Modulation de type normal:Modulation de type normal: G G EE bb

Modulation de type „catastrophe“Modulation de type „catastrophe“: EE bb(3) (3) DD(3)(3)~~ bb(3) (3)

6:00

Thèses d‘Erwin Ratz (1973) et Jürgen Uhde (1974)Thèses d‘Erwin Ratz (1973) et Jürgen Uhde (1974)

Ratz: Ratz: La „sphère“ des tonalités de l‘op. 106 est polarisée dans un La „sphère“ des tonalités de l‘op. 106 est polarisée dans un „monde“ centré autour Si-bémol majeur, la tonalité principale„monde“ centré autour Si-bémol majeur, la tonalité principalede cette sonate, et un „antimonde“ autour de Si mineur. de cette sonate, et un „antimonde“ autour de Si mineur.

Uhde: Quand on change entre les mondes de Ratz - un événementUhde: Quand on change entre les mondes de Ratz - un événementqui a lieu deux fois dans le mouvement allegro -qui a lieu deux fois dans le mouvement allegro -alors les procès de modulation deviennent dramatiques. alors les procès de modulation deviennent dramatiques. Ils sont complètement differents d‘autres modulations, et Ils sont complètement differents d‘autres modulations, et Uhde les appelle „catastrophes“. Uhde les appelle „catastrophes“.

Si mineurSi mineurSi mineurSi mineurSi-bémol majeurSi-bémol majeurSi-bémol majeurSi-bémol majeur

Vieille tonalité degrés

neutres(IDo, VIDo)

degréspivots

(IIFa, IVFa, VIIFa)

Nouvelle tonalité degrés

de cadence(IIFa & VFa)

Arnold Schönberg: Arnold Schönberg: Harmonielehre (1911)Harmonielehre (1911)

• Que est le ensemble des Que est le ensemble des tonalitéstonalités??• Qu‘est-ce qu‘un Qu‘est-ce qu‘un degrédegré??• Qu‘est-ce qu‘une Qu‘est-ce qu‘une cadencecadence??• Quel est le Quel est le méchanisme de modulationméchanisme de modulation??• Comment ces structures Comment ces structures determinent-elles determinent-elles

les degrés pivotsles degrés pivots??

espace espace ŸŸ1212 des classes d‘hauteurs des classes d‘hauteurs

pour le tempérament égalpour le tempérament égal0

1

2

3

4

56

7

8

9

10

11

douze gammes diatoniques: douze gammes diatoniques: C, F, BC, F, Bb b , E, Eb b , A, Ab b , D, Db b , G, Gb b , B, E, , B, E, A, D, GA, D, G

gamme gamme = partie de = partie de ŸŸ1212 C

Do, Fa, SiDo, Fa, Sib b , Mi, Mib b , La, Lab b , Re, Reb b , Sol, Solb b , Si, Mi, La, , Si, Mi, La, Re, SolRe, Sol

I IV VII III VI VII

I

IV

II

VIV

III

VII

Ruban harmonique de la gamme majeure CRuban harmonique de la gamme majeure C(3)(3)

CC(3)(3)

FF(3)(3)

BBbb (3)(3)

EE bb(3)(3)

AAbb(3)(3)

DDbb(3)(3)

GGbb (3)(3)

BB(3)(3)

EE(3)(3)

AA(3)(3)

DD(3)(3)

GG(3)(3)

DiaDia(3)(3)

interprétationsinterprétationstriadiquestriadiques

SS(3)(3)

espace de paramètres de cadence

k1(SS(3)(3)) = {IIS, VS}k2(SS(3)(3)) = {IIS, IIIS}k3(SS(3)(3)) = {IIIS, IVS}k4(SS(3)(3)) = {IVS, VS}k5(SS(3)(3)) = {VIIS}

k

k(SS(3)(3))

SS(3)(3) TT(3)(3)

gluon

force forte

W+

force faible

force éléctromagnétique

graviton

gravitation

force = symétrie entreforce = symétrie entre SS(3)(3) et T et T(3)(3)

quantum = ensemble de quantum = ensemble de classes d‘hauteurs = Mclasses d‘hauteurs = M

k k

SS(3)(3) TT(3)(3)

k k

A et

et.A

et

modulation modulation SS(3) (3) TT(3) (3) = „cadence + symétrie “= „cadence + symétrie “ modulation modulation SS(3) (3) TT(3) (3) = „cadence + symétrie “= „cadence + symétrie “

SS(3)(3) TT(3)(3)

k k

Etant donnée une modulation k, g:Etant donnée une modulation k, g:SS(3) (3) (3)(3)Etant donnée une modulation k, g:Etant donnée une modulation k, g:SS(3) (3) (3)(3)

g

MM

Un Un quantumquantum pour la modulation (k,g) est un ensemble pour la modulation (k,g) est un ensemble MM de classes d‘hauteurs de sorte que:de classes d‘hauteurs de sorte que:

• la symétrie g est une symétrie de la symétrie g est une symétrie de MM, g(, g(MM) = ) = MM• les degrés dans k(les degrés dans k((3)(3))) sont contenus dans sont contenus dans MM• MM TT est rigide, i.e., n‘a pas de symétries non-triviales est rigide, i.e., n‘a pas de symétries non-triviales• MM est minimal avec les deux premières conditions est minimal avec les deux premières conditions

Theorème de modulation pour tempérament égalTheorème de modulation pour tempérament égal

Pour deux tonalités différentes Pour deux tonalités différentes SS(3)(3),, (3)(3) il existent il existent• une modulation (k,g) et une modulation (k,g) et • un quantum un quantum MM pour (k,g) pour (k,g) (= (= modulation quantiséemodulation quantisée))

De plus:De plus:• M M est l‘union des degrés dans est l‘union des degrés dans SS(3)(3),, (3)(3) contenus dans contenus dans M M

qui ainsi définissent l‘interprétation qui ainsi définissent l‘interprétation triadique Mtriadique M(3)(3) de de MM• les degrés communs de les degrés communs de (3)(3) et et MM(3)(3) sont appelés les sont appelés les

degrésdegrés de de modulation modulation de (k,g)de (k,g)• la modulation (k,g) est la modulation (k,g) est uniquementuniquement determinée par les determinée par les

degrés de modulation.degrés de modulation.

CC(3)(3) EE bb(3)(3)

MM(3)(3)VVEEbb

VIIVIIEEbb

IIIIEEbb

IIIIIIEEbbVC

IVC

VIIC

IIC

Theorème (cas 12-temperé) de modulation pour les gammes Theorème (cas 12-temperé) de modulation pour les gammes de 7 tons de 7 tons SS et interprétations triadiques et interprétations triadiques SS(3) (3) (Daniel (Daniel Muzzulini)Muzzulini)q-modulation = modulation quantiséeq-modulation = modulation quantisée

(1) (1) SS(3) (3) est rigide.est rigide.• Pour une telle gamme, il existe au moins une q-modulation.Pour une telle gamme, il existe au moins une q-modulation.• Le maximum de 226 q-modulations est atteint par la gammeLe maximum de 226 q-modulations est atteint par la gamme

mineuremineure harmoniqueharmonique #54.1, le minimum de 53 q-modulations #54.1, le minimum de 53 q-modulationsa lieu pour la gamme #41.1. a lieu pour la gamme #41.1.

(2) (2) SS(3) (3) n‘est pas rigide.n‘est pas rigide.• Pour les gammes #52 et #55, il y a des q-modulations excepté Pour les gammes #52 et #55, il y a des q-modulations excepté pourpour

t = 1, 11; t = 1, 11;pour #38 et #62, il y a des q-modulations excepté pour t = 5,7. pour #38 et #62, il y a des q-modulations excepté pour t = 5,7. Tous les 6 autre types ont au moins une q-modulation.Tous les 6 autre types ont au moins une q-modulation.

• Le maximum de 114 q-modulations a lieu pour la gamme Le maximum de 114 q-modulations a lieu pour la gamme mineure mineure

melodiquemelodique #47.1. Parmis les gammes avec q-modulations for #47.1. Parmis les gammes avec q-modulations for

tout t, la gamma tout t, la gamma majeuremajeure #38.1 en a un minimum de 26. #38.1 en a un minimum de 26.

prestopresto®

Classes de motifs à 3-éléments M Classes de motifs à 3-éléments M ŸŸ121222

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26

generiquegenerique

tempstemps

paramètres de percussionparamètres de percussion

62^62^

Rétro-Rétro-gradegradedede62^62^

62^62^

R(62^)R(62^)

3:18-5:48

12/812/8

M.1-6M.1-6m1m1 m1m1

m2m2m1m1m2m2m3m3

m1m1m2m2m3m3m4m4

m1m1m2m2m3m3m4m4m5m5

m1m1m2m2m3m3m4m4m5m5m6,m7m6,m7

M.7-12M.7-12m1m1m1m1

m2m2m1m1m2m2m3m3

m1m1m2m2m3m3m4m4

m1m1m2m2m3m3m4m4m5m5

m1m1m2m2m3m3m4m4m5m5m6,m7m6,m7

RR

M.13-24M.13-24

pivots de modulationpivots de modulation

22ndende tonique toniqueà 9/8 de m. 21à 9/8 de m. 21

22ndnd système système de mesures de mesures

Ludwig van Beethoven: op.130/Cavatina/Ludwig van Beethoven: op.130/Cavatina/# 41 # 41 InversionInversione e bb : EE bb(3) (3) BB(3)(3)

4:00

ee bb

EE bb(3)(3)

bb

BB(3)(3)

Inversion Inversion e e bb

InversionInversionddbb : GG(3) (3) EE bb(3)(3)

ddbb

gg

gg

#124 - 125 #126 - 1274:50

dodorere mi-bémolmi-bémolfafasolsollala

sisi

Do-mineur mélodiqueDo-mineur mélodique

remplace ton d‘uneremplace ton d‘uneoctave plus hautoctave plus haut

au lieu de ton de durée doubleau lieu de ton de durée double

pivotpivot

Gruppen und KategorienGruppen und Kategorienin der Musik, p.107in der Musik, p.107

CatastropheCatastrophe : EE bb(3) (3) DD(3)(3)~~ bb(3) (3)

6:00

CC(3)(3)

BBbb (3)(3)

EE bb(3)(3)

DDbb(3)(3)

GGbb (3)(3)

EE(3)(3)

AA(3)(3)

GG(3)(3)

Thèse:Thèse: La structure de modulation de l‘op. 106 est gouvernéeLa structure de modulation de l‘op. 106 est gouvernéepar les symétries de l‘accord de septième diminuée par les symétries de l‘accord de septième diminuée CC## -7-7 = {c = {c##, e, g, b, e, g, bbb} } dans le rôle des forces de modulation admises. dans le rôle des forces de modulation admises.

FF(3)(3)

AAbb(3)(3)

BB(3)(3)

DD(3) ~ (3) ~ bb(3) (3)

ExpositionExposition

RepriseReprise

DéveloppementDéveloppement

CodaCoda

CC(3)(3)

FF(3)(3)

BBbb (3)(3)

EE bb(3)(3)

AAbb(3)(3)

DDbb(3)(3)

GGbb (3)(3)

BB(3)(3)

EE(3)(3)

AA(3)(3)

DD(3)(3)

GG(3)(3)

Aut(Aut(CC## --

77))Aut(Aut(CC## --

77))

CC(3)(3)

BBbb (3)(3)

EE bb(3)(3)

DDbb(3)(3)

GGbb (3)(3)

EE(3)(3)

AA(3)(3)

GG(3)(3) FF(3)(3)

AAbb(3)(3)

BB(3)(3)

DD(3) ~ (3) ~ bb(3) (3)

ee-3 -3 UUg g * U * Ud/dd/d## * * UUbbbb UUa/aa/ab b ee3 3

Modulateurs dans op. 106/allegroModulateurs dans op. 106/allegro

ExpositionExposition RepriseReprise DéveloppementDéveloppement CodaCoda BBb b G G G G EEb b D/b D/b BBbbBBbbGGb b G G BBb b BBbb

symétries de transposition!symétries de transposition!

TranspositionTransposition-3-3: BBbb(3) (3) GG(3)(3)

VIIG

VIIG

Transpositions limitées à une tierce mineureTranspositions limitées à une tierce mineure

zigzag motiviquezigzag motivique

zigzag motivique dans op.106zigzag motivique dans op.106

m. 75-78m. 75-78

m. 79-80

L 3

''

op.3op.3xx''

coordonnéescoordonnéesanalytiquesanalytiques

MMmodèle modèle

analytiqueanalytique

oeuvresoeuvres

représentationsreprésentationsscientifiquesscientifiques

U

= = MM(x) (x) op.106op.106

xx

CrCr(U) = (U) = M M -1-1((U) fibre U) fibre créatricecréatrice du voisinage U de du voisinage U de

un geste boulezienun geste boulezien

Sonate für Klavier „AutSonate für Klavier „AutGG(Messiaen III)\DIA(Messiaen III)\DIA(3)(3) (1981) (1981)

Gruppen und Kategorien in der MusikGruppen und Kategorien in der MusikHeldermann, Berlin 1985Heldermann, Berlin 1985Construction sur 58 pagesConstruction sur 58 pages99 mesures, mètre 12/8, Do-majeur99 mesures, mètre 12/8, Do-majeur

L‘essence du bleuL‘essence du bleuAcanthus, Bern 2002Acanthus, Bern 2002CD: Patrizio MazzolaCD: Patrizio Mazzola

(Acanthus 2002) CD:(Acanthus 2002) CD:Patrizio Mazzola, piano Patrizio Mazzola, piano

Op. 106 Op. 3

Schéma globalSchéma global

tierce mineure tierce mineure gamme Messiaen 2gamme Messiaen 2„„transposition limitée“transposition limitée“

tierce majeure tierce majeure gamme Messiaen 3gamme Messiaen 3„„transposition limitée“transposition limitée“

AutAutŸŸ((CC## -7-7 ) = {) = {++1} 1} xx e e 33ŸŸ1212 AutAutŸŸ((CC## ++) = {) = {++1} 1} xx e e 44ŸŸ1212

BB bb(3)(3)

AAbb(3)(3)

EE(3)(3)

DD(3)(3) CC(3)(3)

GGbb(3)(3)

Thèse:Thèse: La structure de modulation de l‘op. 3 est gouvernéeLa structure de modulation de l‘op. 3 est gouvernéepar les symétries de la triade augmentée par les symétries de la triade augmentée CC## ++ = {c = {c##, f, a} , f, a} dans le rôle des forces de modulation admises. dans le rôle des forces de modulation admises.

GG(3)(3)

BB(3)(3) EEbb(3)(3)

FF(3)(3)

DDbb (3)(3)

AA(3) (3)

ExpositionExposition

RepriseReprise

DéveloppementDéveloppement

CodaCoda

C C BBbb G Gbb G Gbb AAb b E E E E F F F FCC

UUcc## ee-4-4 U Ua a ee-4-4 * e* e-4-4

**

Modulateurs dans op. 3Modulateurs dans op. 3

DéveloppementDéveloppementExpositionExposition RepriseReprise CodaCoda

Schéma de zigzag motiviqueSchéma de zigzag motivique

tierce mineure tierce mineure gammegammeMessiaen 2Messiaen 2„„transposition limitée“transposition limitée“

tierce majeure tierce majeure gammegammeMessiaen 3Messiaen 3„„transposition limitée“transposition limitée“

thème principalthème principal

CC CC

motif génériquemotif générique

début

Ruban motivique du zigzagRuban motivique du zigzag

6

7

4

1

9

82

5

3

(15)(15)

(15)(15)

(10)(10)

(11)(11)

(19)(19)(19)(19)

(20)(20)

(2)(2)

(16)(16)

Noyau du développementNoyau du développement

67

4

1

98 2

5

3

‘‘

UU22

AA BBCC

DDEE FF

A‘A‘B‘B‘

C‘C‘

D‘D‘E‘E‘ F‘F‘

ddbb

Matrice du noyauMatrice du noyau6 4 8 7 9 16 4 8 7 9 15 6 4 8 7 95 6 4 8 7 93 5 6 4 8 73 5 6 4 8 72 3 5 6 4 82 3 5 6 4 8

A B C D E FA B C D E F

ddbbffaa

DDrr

DDllA‘ B‘ C‘ D‘ E‘ F‘ A‘ B‘ C‘ D‘ E‘ F‘

DDrr

DDll

m. 33-38, m. 33-38, dans dans GGbb

4:36-5:13

DDrr

DDll

Modulation dans le noyau du développement (m. 39-44) Modulation dans le noyau du développement (m. 39-44) U Uaa: G: Gbb AAbb

UUaa

UUaa((DDll))

VVIIII (I)(I)

IVIV

VIIVIICC## ++

5:12-5:48

ruban harmoniqueruban harmonique

ruban motiviqueruban motivique

quantum de modulationquantum de modulation

KK

KKJJ

aa

dd

bb

cc

11

22

33

44

11

22

66

55

55

66

33

44

11

22

33

44

66

55

KKII

On a la construction universelle d‘une On a la construction universelle d‘une „résolution de K„résolution de KII““

res:res:KKII KKII

KKIIKKII

resres

11

22

33

44

66

55

KKII

66

55

22

33

4411

KKII

res