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PROGRAMME 2010BAC PRO 3 ANS

BACPRO1re

GROUPEMENTS

A-B

Ouvrage dirigé par

ALBERT HUGON

Yves BertholetJean-Luc DianouxMuriel DorembusNicole Odermatt

Livre du professeur

Édition : Clarisse Léon-Darras/Alexandra FouillerouxCoordination artistique : Isabelle JalfreFabrication : Maria PauliatComposition et schémas : JPM

Nathan – 25 avenue Pierre de Coubertin – 75013 Paris – 2010ISBN : 978-2-09-161157-0

3

Sommaire

6

1 Vecteurs ........................................................................................................................................................... p. 15

1. Éléments caractéristiques d’un vecteur ...................................................................................... p. 16

2. Somme de deux vecteurs et produit d’un vecteur par un nombre réel .................................. p. 18

3. Coordonnées de vecteurs ................................................................................................................ p. 110

4. Vecteurs, parallélogramme, milieu d’un segment ..................................................................... p. 112

5. Colinéarité de vecteurs, alignement de points et parallélisme de droites ............................ p. 114

Corrigés des exercices et problèmes ....................................................................................................... p. 116

COMME À L’ÉCRAN ........................................................................................................................... p. 122

Évaluation ............................................................................................................................................. p. 123

2 Trigonométrie ........................................................................................................................................... p. 125

1. Cercle trigonométrique ................................................................................................................... p. 128

2. Cosinus et sinus d’un nombre réel ................................................................................................ p. 130

3. Nombres dont on connaît le cosinus ou le sinus ........................................................................ p. 132

4. Fonction sinus ; radians .................................................................................................................. p. 134


COMME À L’ÉCRAN ........................................................................................................................... p. 138

Évaluation ............................................................................................................................................. p. 139

3 Suites numériques .............................................................................................................................. p. 141

1. Suites numériques ........................................................................................................................... p. 142

2. Suites arithmétiques ........................................................................................................................ p. 144

3. Suites géométriques ........................................................................................................................ p. 146


COMME À L’ÉCRAN ........................................................................................................................... p. 151

Évaluation ............................................................................................................................................. p. 152

4 Indicateurs statistiques ................................................................................................................. p. 154

1. Mode ou classe modale ................................................................................................................... p. 157

2. Moyenne et écart type ...................................................................................................................... p. 159

3. Médiane et écart interquartile ........................................................................................................ p. 161


COMME À L’ÉCRAN ........................................................................................................................... p. 166

Évaluation ............................................................................................................................................. p. 167

5 Fonctions de la forme f + g ou kf .......................................................................................... p. 169

1. Fonctions : Racine carrée, Inverse et Cube .................................................................................. p. 170

2. Fonctions f + g ................................................................................................................................... p. 172

3. Fonctions kf ........................................................................................................................................ p. 174

4. Résolutions graphiques d’inéquations ......................................................................................... p. 176


COMME À L’ÉCRAN ........................................................................................................................... p. 182

Évaluation ............................................................................................................................................. p. 183

6 Fonctions et équations du second degré .................................................................... p. 885

1. Fonctions polynômes du second degré......................................................................................... p. 186

2. Équations du second degré ............................................................................................................. p. 188

3. Signe de f (x), où f est une fonction polynôme du second degré .............................................. p. 190


COMME À L’ÉCRAN ........................................................................................................................... p. 197

Évaluation ............................................................................................................................................. p. 198

7 Fluctuation d’une fréquence, probabilités .............................................................. p. 100

1. Moyenne de fréquences sur une série d’échantillons ............................................................... p. 103

2. Intervalle de fl uctuation ................................................................................................................... p. 105


COMME À L’ÉCRAN ........................................................................................................................... p. 109

Évaluation ............................................................................................................................................. p. 110

Approche d’une courbe avec des droites, nombre dérivé ..................... p. 112

1. Approximations affi nes d’une fonction ......................................................................................... p. 113

2. Tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction ............................................. p. 115

3. Nombre dérivé ................................................................................................................................... p. 117


COMME À L’ÉCRAN ........................................................................................................................... p. 121

Évaluation ............................................................................................................................................. p. 122

4 47

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Vecteurs

13

Échauffez-vous !

1 Cochez la case correspondant à la réponse exacte.

a) Dans la fi gure de gauche, la direction de la force exercée parle personnage est : horizontale verticale autre

b) Dans la fi gure de droite, la direction de la force exercée parle personnage est : horizontale verticale autre


Mouvement

Mouvement

a) Dans la fi gure de gauche, le sens de la force exercée parle personnage est vers : la gauche la droite

b) Dans la fi gure de droite, le sens de la force exercée parle personnage est vers : la gauche la droite

3 Reliez chaque fi gure avec la phrase qui lui correspond.

Mouvement

Mouvement

• • •La valeur de la force exercée par le personnage semble forte

•La valeur de la force exercéepar le personnage semble faible

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1 Éléments caractéristiques d’un vecteur

14

1. Distinguer la direction, le sens et la norme d’un vecteur

Un vecteur ru non nul se représente par une fl èche joignant un point origine à un point extrémité.Il est caractérisé par sa direction (celle de la droite � et de ses parallèles), son sens (de l’origine vers l’extrémité) et sa norme (longueur), notée �� ru ��.Le vecteur ru peut se représenter en choisissant :– n’importe quel point du plan pour origine (par exemple, A) ;– n’importe quel point du plan pour extrémité (par exemple, B’).On écrit ru = IAA � = IBB� et on a �� ru �� = AA� = BB�.

Le vecteur nul, noté r0, est le vecteur dont la norme (longueur) est nulle. Pour tout point M, OMM = r0.

Activité 1

1. Rayez les encadrés inexacts.

Parmi les vecteurs ci-contre :a) ru et rv / rv et uw / uw et rz ont même direction et même sens ;

b) ru et rv / rv et uw / uw et rz ont même direction et des sens opposés ;

c) ru et rv / rv et uw / uw et rz ont même norme.

2. Complétez, à partir de la fi gure ci-contre.

a) Les vecteurs EAB et EAC ont même origine, le point A.

b) Les vecteurs EBC et EAC ont même extrémité, le point C.

c) Le point B est à la fois l’origine du vecteur EBC et l’extrémité du

vecteur EAB.

2. Reconnaître des vecteurs égaux et des vecteurs opposés

Des vecteurs ru et rv non nuls sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même norme. On écrit ru = rv .

Deux vecteurs ru et rv non nuls sont opposés lorsqu’ils ont la même direction, la même norme et des sens opposés.On écrit rv = – ru . Pour tous points M et N, INM = – IMN .

Activité 2

Rayez les encadrés inexacts. Parmi les vecteurs ci-contre :

a) ru et rt / rv et uw / rz et rt sont égaux ;

b) ru et rt / rv et uw / rz et rt sont opposés.

tutv

tz

iw

B

C

tu

tv

iw

A

tu

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tv

tu

tz

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tu

A

A′

BB′

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7CHAPITRE 1 • VECTEURS 15

3. Comment construire un vecteur yu à partir de ses éléments caractéristiques ?

Méthode 1

La direction (ici celle de la droite (BM)), le sens (ici celui du vecteur TBM )et la norme n de ru, ainsi que l’origine A sont donnés.Étape 1 Tracer la droite � passant par A et parallèle à (BM).Étape 2 Placer sur la droite � le point D tel que AD = n, et tel que le sens de TAD soit celui donné sur (BM).Étape 3 Tracer le vecteur TAD = ru.

Construisez ci-contre, en prenant A pour origine, le vecteur ru, de même direction et même sens que ceux du vecteur UBM, et de norme 2�� UBM��.

Solution

Étape 1 On trace la droite � passant par A et parallèle à (BM).Étape 2 On place sur la droite � le point D tel que AD = 2||EBM|| ,avec RAD qui a pour sens celui du vecteur RBM .Étape 3 On trace le vecteur EAD, qui est égal au vecteur tu.

4. Comment obtenir des égalités de vecteurs sur une fi gure ?

Méthode 2

Une fi gure géométrique est donnée.Étape 1 Repérer dans cette fi gure un parallélogramme ABCD.Étape 2 Écrire les quatre égalités correspondantes :

RAB = TDC ; RAD = TBC ; RBA = TCD ; RDA = RCB.

Sur la fi gure ci-contre, les droites (AF) et (CH) sont parallèles et les droites (BG) et (DE) sont parallèles.Écrivez quatre égalités de vecteurs à partir de cette fi gure.

Solution

Étape 1 On repère sur la fi gure le parallélogramme EFGH.Étape 2 On peut donc écrire :

ZEF = EHG ;

EFG = EEH ;

ZFE = EGH ;

EGF = EHE.

7

BM

�tuA

D

A

B

D

C

MB

A

�

tuD

C

G

FB

E

H

A

D

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2 Somme de deux vecteurs et produit d’un vecteur par un nombre réel

1. Construire la somme en plaçant les vecteurs bout à bout

Soit ru et rv des vecteurs et A un point quelconque du plan. B et C sont les points tels que RAB = ru et TBC = rv .Le vecteur somme ru + rv est le vecteur TAC :TAC = TAB + TBC .

ru et rv non nuls, de directions différentes :

A B

Ctu + tv

tvtu A

BC

tu + tv

tv

tu

ru et rv non nuls, de même direction :

AB Ctu

tu + tv

tv

A BCtu + tv tv

tu

On constate que ru + r0 = ru et ru + (– ru ) = r0.

Activité 1

Sur la fi gure, la direction de ru et de uw est celle de la droite �.

1. Construisez sur la fi gure le vecteur TAC = ru + rv . Pour cela :– placer les points B et C tels que TAB = ru et TBC = rv ;– tracer le vecteur TAC .

2. Construisez sur la fi gure le vecteur TAD = ru + uw . Pour cela :– placer le point D tel que TBD = uw ;– tracer le vecteur TAD .

2. Construire la somme avec un parallélogramme

Soit ru et rv des vecteurs non nuls de directions différentes et A un point quelconque du plan.B et D sont les points tels que EAB = ru et TAD = rv .C est le point tel que ABCD est un parallélogramme.Le vecteur somme ru + rv est le vecteur TAC .On constate que ru + rv = rv + ru .

Activité 2

La vitesse rv d’un avion par rapport au sol est la somme rv1 + rv2 de sa vitesse propre rv1 par rapport à l’air et de la vitesse rv2 de l’air.

Construisez sur la fi gure le vecteur TAC = rv . Pour cela :

– placer les points B et D tels que TAB = rv1 et TAD = rv2;– placer le point C tel que ABCD soit un parallélogramme ;– tracer le vecteur TAC .

A

tutv

iw

�

tu + uw

C

B

tu + tvtv

D

A B

CD

tu

tu + tvtv

A

BCD

tu

tu + tv

tv

A

tv1

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B

C

D

tv1 + tv2

tv1

tv2

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3. Construire le produit d’un vecteur par un nombre réel

Soit tu un vecteur et k un nombre réel.

A est un point quelconque du plan et B est le point tel que EAB = tu.

a) Cas où tu ≠ t0 et k ≠ 0Soit C le point de la droite (AB) tel que :

lorsque k > 0,EAC et EAB sont de même direction, de même sens et ��EAC�� = k��EAB��.

A

B

C

tu

ktu

lorsque k < 0,EAC et EAB sont de même direction, de sens opposés et ��EAC�� = – k��EAB��.

C ktu A Btu

Le vecteur produit ktu du vecteur tu par le réel k est le vecteur EAC.

b) Cas où tu = t0 ou k = 0 Le vecteur produit ktu est alors le vecteur nul t0.

L’opposé du vecteur ktu est le produit de tu par le nombre – k : – ktu = (– k)tu.

Activité 3

1. a) Construisez sur la fi gure le vecteur TAC = 2tu . Pour cela :– tracer la droite �1 passant par A et de même direction que tu ;– placer sur �1 le point C tel que TAC soit de même sens que tu et ��EAC �� = 2�� tu �� ;– tracer le vecteur TAC . b) Construisez sur la fi gure le vecteur TAD = – 2tu . Pour cela :– placer sur �1 le point D tel que TAD et tu soient de sens opposéset ��RAD �� = 2�� tu �� ;– tracer le vecteur TAD .

2. a) Construisez sur la fi gure le vecteur TBE = 0,5tv . Pour cela :– tracer la droite �2 passant par B et de même direction que tv ;– placer sur �2 le point E tel que TBE soit de même sens que tv et ��RBE �� = 0,5��tv �� ;– tracer le vecteur TBE . b) Construisez sur la fi gure le vecteur TBF = – 0,5tv . Pour cela :– placer sur �2 le point F tel que TBF et tv soient de sens opposés et ��RBF �� = 0,5�� tv �� ;– tracer le vecteur TBF .

tu

A

C

2tu

�1D

–2tu

tvB

F

0,5tv

�2

E

–0,5tv

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3 Coordonnées de vecteurs

1. Utiliser un repère formé avec des vecteurs

Un point origine O et deux vecteurs ei et ej non nuls et de direc-tions différentes forment un repère du plan, noté (O ; ei , ej ). On dit qu’il est orthogonal lorsque ses axes sont perpendicu -laires et on dit qu’il est orthonormal lorsque, de plus, �� ei �� = �� ej �� = 1.Lorsqu’on utilise un repère (O ; ei , ej ), on dit que le plan est rap-porté à ce repère, ou encore qu’il est muni de ce repère.

Activité 1

1. Complétez les coordonnées : A(0,5 ; –1) ; B(1,5 ; 1).

2. Placez sur la fi gure les points C(– 1 ; 0) ; D(– 0,5 ; 1).

2. Déterminer les coordonnées d’un vecteur et représenter un vecteur de coordonnées données

Le plan est rapporté à un repère (O ; ei , ej ).Soit ru un vecteur et A(xA ; yA) et B(xB ; yB) des points tels que TAB = ru .Les coordonnées (a ; b) de ru sont a = xB – xA et b = yB – yA.Ce sont donc aussi celles du point U tel que IOU = ru .On écrit : ru (a ; b).

Activité 2

1. Complétez toutes les coordonnées à partir de la fi gure.A(1 ; 2) ; B(–1 ; 1).TOA(1 ; 2) ; ri (1 ; 0) ; rj (0 ; 1) ; TAB (–2 ; –1).

2. Tracez sur le graphique le vecteur yu (– 2 ; 1) :a) avec O comme origine ; b) avec B comme origine.

3. Calculer les coordonnées d’une somme de vecteurs et du produit d’un vecteur par un réel

Le plan est rapporté à un repère (O ; ei , ej ).Si des vecteurs ru et ru � ont pour coordonnées (a ; b) et (a� ; b�), alors : ru + ru � a pour coordonnées (a + a� ; b + b�) ; kru (où k est un réel) a pour coordonnées (ka ; kb).

Activité 3

On donne ru (0,5 ; 2) et ru � (– 1 ; – 3). Entourez la réponse exacte.

1. Les coordonnées du vecteur ru + ru � sont : (– 0,5 ; – 1) ; (1,5 ; 5) ; (– 1,5 ; – 5).

2. Les coordonnées du vecteur – 3ru sont : (1,5 ; 6) ; (6 ; 1,5) ; (– 1,5 ; – 6).

ti

tj

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1

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xM

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4. Comment calculer les coordonnées (a ; b) d’un vecteur EAB ? Méthode 3

Étape 1 Déterminer les coordonnées (xA ; yA) et (xB ; yB) des deux points A et B.Étape 2 Calculer les coordonnées (a ; b) de EAB :a = xB – xA et b = yB – yA . (Pour se souvenir de ces égalités, penser à « extrémité moins origine ».)Lorsque A est l’origine du repère, les coordonnées de EAB sont donc celles de B.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; ei , ej ). Soit O(0 ; 0), A(– 2,5 ; 3) et B(1 ; – 2,5).Calculez les coordonnées de ROB et de RAB.

Solution

Étape 1 Les coordonnées de A et de B sont données par l’énoncé. Étape 2 Pour ROB : O est l’origine, donc ROB(1 ; –2,5).

Pour EAB : xB – xA = 1 – (–2,5) = 3,5 et

yB – yA = –2,5 – 3 = –5,5,

donc EAB(3,5 ; –5,5).

5. Comment calculer la norme d’un vecteur ru à partir de ses coordonnées dans un repère orthonormal ?

Méthode 4

Étape 1 Déterminer les coordonnées (a ; b) de ru (voir Méthode 3).Étape 2 Calculer ��ru�� = 8a2 + b2.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; ei , ej ).Soit A(– 0,5 ; 2) et B(– 3 ; 4).

Calculez ��ROB�� et ��RAB ��.

Solution

Étape 1 On calcule les coordonnées de ROB et de RAB (voir méthode 3) :

0 est l'origine, donc ROB (–3 ; 4) ;

xB – xA = –3 – (– 0,5) = –2,5 et yB – yA = 4 – 2 = 2, donc RRAB (–2,5 ; 2).

Étape 2 Pour ROB : ��ROB�� = 9(–3) 2 + 42 = 525 = 5.

Pour RAB : ��EAB �� = 0(–2,5) 2 + 2 2 = 910,25.

Ainsi, à 0,1 près, ��EAB �� ≈ 3,2.

O

B

tu

tj

ti

A

yByy

xBxxAx

yAyy

O

A

x

y

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O

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20

4 Vecteurs, parallélogramme, milieu d’un segment

12

1. Relier égalité de vecteurs et parallélogramme

Si l’une des deux égalités suivantes est vraie, ce quadrilatère ABCD est un parallélogramme : EAB = TDC ; RAD = EBC.

Activité 1

Sur la fi gure ci-contre, RFE = EAB et EFE = TDC.

1. Complétez. On en déduit que TAB = TDC.Le quadrilatère ABC D est donc un parallélogramme.

2. Tracez ce parallélogramme sur la fi gure.

2. Relier égalité de vecteurs et milieu d’un segment

Le milieu d’un segment [AB] est le point I tel que ZAI = pIB.

Activité 2

Sur la fi gure ci-contre, EAB = TDC et EBE = YDC.

Complétez. On déduit des données que EAB = RBE.

Donc le point B est le milieu du segment [AE].

3. Comment déterminer, à partir de leurs coordonnées, si deux vecteurs yu et yu� sont égaux ou non ?

Méthode 5

Étape 1 Déterminer les coordonnées (a ; b) et (a� ; b�) de ru et ru � .Étape 2 Conclure : si a = a’ et b = b’, alors ru = ru � ; sinon, ru ≠ ru � .

Soit A(4 ; 1), B(3 ; 4), C(– 1 ; 3) et D(– 2 ; 3).Déterminez si les vecteurs suivants sont égaux. a) TOA et TCB ; b) TOA et TDB.

Solution

a) Étape 1 Après calculs (voir méthode 3 p. 19) : EOA(4 ; 1) et ECB(4 ; 1).Étape 2 Puisque leurs coordonnées sont égales, EOA = ECB.

b) Étape 1 Après calculs (voir méthode 3 p. 19) : EOA(4 ; 1) et

EDB(5 ; 1).

Étape 2 Puisque leurs coordonnées sont diff érentes, EOA ≠ EDB.

DC

AB

B

E

A

F

C

D

ABI

A

D

B

C

E

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4. Comment déterminer, avec les coordonnées de vecteurs, si un quadrilatère est un parallélogramme ou non ?

Méthode 6

Les coordonnées des sommets d’un quadrilatère ABCD sont données.Étape 1 Réaliser une fi gure si elle n’est pas fournie.Étape 2 Calculer les coordonnées de EAB et TDC (ou de RAD et RBC).Étape 3 Conclure : si ces coordonnées sont égales, ABCD est un parallélogramme, sinon il ne l’est pas.

Soit E (1 ; 1), F(3 ; 2) , G(1 ; 3) et H(– 1 ; 2).Le quadrilatère EFGH est-il un parallélogramme ?

Solution

Étape 1 Tracez le quadrilatère EFGH sur la fi gure. Étape 2 Le vecteur EEF a pour coordonnées (3 – 1 ; 2 – 1), soit (2 ; 1). Le vecteur THG a pour coordonnées (1 – (–1) ; 3 – 2), soit (2 ; 1).Étape 3 Les coordonnées des vecteurs EEF et THG sont égales,

donc le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.

5. Comment calculer les coordonnées du milieu d’un segment ?

Méthode 7

Soit P(a ; b) et P�(a� ; b�) deux points. I est le milieu du segment [PP’].

Étape 1 Calculer a + a �2

et b + b �2

.

Étape 2 Conclure :

les coordonnées de I sont �a + a �2

; b + b �2 �.

Soit A(0,5 ; 3), B(2 ; 1) et C(– 0,5 ; 2).1. Placez A, B et C sur la fi gure et calculez les coordonnées : a) du milieu I du segment [AB] ; b) du milieu J du segment [OC].2. Placez les points I et J sur la fi gure.

Solution

1. a) Étape 1 On calcule 0,5 + 22

= 1,25 et 3 + 12

= 2.

Étape 2 Les coordonnées de I sont donc (1,25 ; 2).

b) Étape 1 On calcule 0 + (–0,5)2

= –0,25 et 0 + 22

= 1.

Étape 2 Les coordonnées de J sont donc (–0,25 ; 1).2. On complète la fi gure.

tj

O ti

D

C

A

B

tj

O ti

H F

E

G

O

P′

a′a

b′

b

b + b′2

tj

ti

P

I

a + a′2

tj

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A

B

IC

J

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5 Colinéarité de vecteurs, alignement de points et parallélisme de droites

14

1. Reconnaître des vecteurs colinéaires

Deux vecteurs ru et ru � non nuls sont dits colinéaires lorsqu’ils ont même direction. Cela revient à dire que l’un est le produit de l’autre par un nombre

réel : il existe un nombre réel k tel que ru � = kru .C’est-à-dire, avec les coordonnées (a ; b) et (a� ; b�) de ru et de ru �dans un repère : il existe un nombre réel k tel que a� = ka et b� = kb.Le nombre k est égal à

a�a

si a ≠ 0 et à b�b

si b ≠ 0.

Activité 1

Cochez la case correspondant à la réponse exacte.1. a) ru et rv sont colinéaires ru et rv ne sont pas colinéairesb) ru et ru � sont colinéaires ru et ru � ne sont pas colinéaires

2. a) ru � = – 2ru ru � = – 0,5ru ru �= – 0,2rub) ru = – 2ru � ru = – 0,5ru � ru = – 0,2ru �

3. a) ru (2 ; 4) et rv (– 1 ; – 3) ru (2 ; 4) et rv (1 ; 3)

b) ru (2 ; 4) et ru � (1 ; 2) ru (2 ; 4) et ru � (– 1 ; – 2)

2. Comment déterminer, à partir de leurs coordonnées, si des vecteurs sont colinéaires ou non ?

Méthode 8

ru (a ; b) et ru � (a’ ; b’) sont des vecteurs non nuls. Produits « en croix » :

(a ; b)

(a� ; b�) Étape 1 Calculer ab� et ba�. Étape 2 Conclure : si ab� = ba�, ru et ru � sont colinéaires, sinon ils ne le sont pas.

Déterminez si les vecteurs suivants sont colinéaires ou non.a) ru (1 ; – 0,8) et ru�(5 ; – 4). b) ru (2 ; 1,5) et ru�(– 3 ; – 4).

Solution

a) Étape 1 On calcule 1× (–4) et (–0,8) ×5.

Étape 2 On constate que 1× (–4) = (–0,8) ×5, donc ru et ru � sont

colinéaires.b) Étape 1 On calcule 2 × (–4) et 1,5 × (–3) .

Étape 2 On constate que 2 ¥ (–4) ≠ 1,5 ¥ (–3),

donc ru et ru � ne sont pas colinéaires.

tu

tu′

tu′

tu

tj

O ti

tu′

tv

tu

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3. Comment déterminer si les trois points distincts A, B et C sont alignés ou non, à partir de leurs coordonnées ?

Méthode 9

Étape 1 Calculer les coordonnées des vecteurs EAB et EAC (voir méthode 3 page 19). Étape 2 Déterminer si EAB et EAC sont colinéaires ou non (voir méthode 8 page 22).Étape 3 Conclure : si EAB et EAC sont colinéaires, les points A, B et C sont alignés, sinon ils ne le sont pas.

Soit P(1 ; 2,5), Q(2 ; 1) et R(4 ; – 2). Ces points sont-ils alignés ?

Solution

Étape 1 On calcule les coordonnées des vecteurs TPR et TPQ .TPR : (4 – 1 ; –2 – 2,5), soit (3 ; –4,5).

TPQ : (2 – 1 ; 1 – 2,5), soit (1 ; –1,5).Étape 2 On calcule les produits « en croix » 3 × (–1,5) = –4,5 et – 4,5 × 1 = –4,5.Ces produits sont égaux, donc TPR et TPQ sont colinéaires.Étape 3 Donc les points P, Q et R sont alignés.

4. Comment déterminer si des droites (AB) et (A�B�) sont parallèles ou non, à partir des coordonnées de A, B, A� et B� ?

Méthode 10

Étape 1 Calculer les coordonnées des vecteurs EAB et OA�B� (voir méthode 3 page 19). Étape 2 Déterminer si EAB et OA�B� sont colinéaires ou non (voir méthode 8 page 22).Étape 3 Conclure : si EAB et OA�B� sont colinéaires, les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles, sinon elles ne le sont pas.

Soit P(2,1 ; 3), Q(– 3 ; 1) , R(– 1 ; – 1) et S(4 ; 0,9).Les droites (PQ) et (RS) sont-elles parallèles ?

Solution

Étape 1 On calcule les coordonnées des vecteurs TPQ et RRS.TPQ : (–3 – 2,1 ; 1 – 3), soit (–5,1 ; –2) ;

RRS : (4 – (–1) ; 0,9 – (–1)), soit (5 ; 1,9).Étape 2 On calcule les produits « en croix » –5,1 × 1,9 = –9,69et –2 × 5 = –10.Ces produits sont diff érents, donc TPQ et RRS ne sont pas colinéaires.Étape 3 Donc les droites (PQ) et (RS) ne sont pas parallèles.

A B C

AB

A′B′

15

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26 16

1 a) ru, rv et rt ont même direction et même sens .b) ru et uw ont même direction et des sens opposés ; rv et uw ont même direction et des sens opposés ; rt et uw ont même direction et des sens opposés .c) ru et rv ont même norme ; uw, rt et rz ont même norme.d) ru et rv sont égaux.e) uw et rt sont opposés.

2 1. EAA ou EBB.

2. EBA ou – EAB.

3 tutv

tutv ACB

4

F1 F2

12

5 1. EAB = ZDC, car ABCD est un parallélogramme.EAB = AEF, car ABFE est un parallélogramme.2. On en déduit que ZDC = AEF.

6 a) tu tvtu + tvA

B

C

b)

tu

tv

B

tu + tvC

A

7 a)

tu

tv

B

tu + tv CA

D

b)

tutv

B

tu + tvC

A

D

8 1.

C

B

A

2. a) EAB = EAC + ECB.

b) EBC = EBA + EAC ; ECA = ECB + EBA.

9 1. et 2.

B

Atu

tv

twC

3.

tu + tvA

tu

tv B

C

P

10 1., 2. et 3.

iw

iw

tu

BD

C

A ( tu + tv) + iwtu + tv

tv

11 1., 2. et 3. a).

A

B

C

iw

iw

rvtu

rv

ru + tv

tu

3. b) ( ru + rv) + uw = r0, car les vecteurs ru + rv et uw sont des vecteurs opposés.

12 Échelle 12

.

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BC

A

D

13

P23

iw

– 2 iw

rv

rv

tu

5 tu

14 EOA(2 ; 1), EOB(– 1,5 ; – 1) et EOC(3 ; 0).

15 ru(2 ;1), rv(– 4 ; – 1), uw(6 ; – 1), ai(1 ; 0) et aj(0 ; 1) .

16

A

O zi

tv

tv

tu

tu

zj

17 a) rru + rv(4 ; 3), – rv(– 3 ; – 4),3 ru(3 ; – 3), 2 rv(6 ; 8) et 3 ru + 2 rv(9 ; 5).b) rru + rv(1,5 ; 1), – rv(– 4,5 ;– 0,5),3 ru(– 9 ; 1,5),2 rv(9 ; 1) et 3 ru + 2 rv(0 ; 2,5).

18 a) EAB(2 ; 1), �EAB� = 922 + 12 = 25 ≈ 2,24.b) EAB(– 2 ; 5), �EAB� = 9(– 2)2 + 52 = 529 ≈ 5,39.c) EAB(1 ; – 3,5), �EAB� = 912 + (– 3,5)2 = 913,25 ≈ 3,64.

19 1. EAB(6 ; 4), ZCD(– 0,5 ; 2), 2 EAB(12 ; 8),ZDC(0,5 ; – 2) et 2 EAB + ZDC(12,5 ; 6).

2. � ZCD � = 9(– 0,5)2 + 22 = 74,25 ≈ 2,06.�2 EAB � = 9122 + 82 = 6208 ≈ 14,42.� ZDC� = 90,52 + (– 2)2 = 74,25 ≈ 2,06.�2 EAB + ZDC � = 912,52 + 62 = 9192,25 ≈ 13,87.

20 1. a) et b) CD

A BE

F

2. EAD = EBC , donc ABCD est un parallélogramme.ZAE = ZCD , donc ACDE est un parallélogramme.ZDE = ZAF , donc AFED est un parallélogramme.

21 1.

C

O

D

B

A

zi

zj

2. EAB(-1-(-2,5) ; 3-1), soit EAB(1,5 ; 2).ZDC(1 – (– 0,5) ; 2 – 0), soit ZDC(1,5 ; 2).EAB = ZDC, donc ABCD est un parallélogramme.

22 1.

T

O

Q

R

S

zizj

2. RQR(–1 – 0 ; 3 – 1), soit RQR(–1 ; 2).ZTS(1,5 – 2,4 ; 4 – 2), soit ZTS(– 0,9 ; 2).RQR ≠ ZTS, donc QRST n’est pas un parallélogramme.

23 a) I �5 – 32

; – 3 + 32 �, soit I(1; 0).

b) I �– 1 – 22

; – 3 + 12 �, soit I(– 1,5; – 1).

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28 18

c) I �0,5 + 2,52

; – 0,5 – 12 �, soit I(1,5, – 0,75).

24 Soit I le milieu de [AB] , I�1 + 22

; 0,5 + 1,52 � , donc

I(1,5 ; 1).On en déduit que les points I et M sont confondus. M est donc le milieu de [AB].

25 1.

O

B

I

C

A

zizj

2. EOB(3 ; 1). ECA(4 – 1 ; – 2– (– 3)), soit ECA(3 ; 1).EOB = ECA, donc OBAC est un parallélogramme.

3. Le milieu de [OA] a pour coordonnées �0 + 42

; 0 – 22 �, soit

(2 ; –1). C’est donc le point I.

Le milieu de [BC] a pour coordonnées �3 + 12

; 1 – 32 �, soit

(2 ; – 1). C’est donc le point I.

26 Les vecteurs uw et rz sont colinéaires.Les vecteurs ru et rv sont colinéaires.Les vecteurs ra et rb sont colinéaires.

27 rv = – 2 ru ; uw = 3 ru ; rt = 23

uw ; ru = 12

rt.

28 1.

v

f

2. Les vecteurs rf et rv sont colinéaires, car le vecteur rf est le produit de rv par le réel – 1

6 ou encore parce que les vecteurs

rf et rv ont même direction.

29 1. ABCD est un parallélogramme, donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles.Le point E appartient à la droite (AE), donc la droite (AE) est parallèle à la droite (BC). On en déduit que les vecteurs EBC et EAE ont même direction, donc qu’ils sont colinéaires.2. ABCD est un parallélogramme, donc EAD = EBC. E est le point tel que EAE = 3 EAD, d’où EAE = 3 EBC. On en déduit que k = 3.

30 a) 3 × 1= – 2 × (– 1,5), donc les vecteurs ru et rv sont colinéaires. Le réel k tel que rv = kru est le réel k = – 1,5

3 = – 0,5.

b) 2 × (– 2) ≠ 5 × 0,8, donc les vecteurs ru et rv ne sont pas colinéaires.

31 1. EAB(3 – 2 ; – 3 – 5), soit EAB(1 ; – 8).ECD(– 1 – 1 ; 4 + 4), soit ECD(– 2 ; 8).2. 1 × 8 ≠ – 8 × (–2), donc les vecteurs EAB et ECD ne sont pas colinéaires.

32 1. Échelle 12

.

O

C

B

A

zizj

2. On calcule les coordonnées des vecteurs EAB et EAC.EAB(– 5 – 0 ; – 3 – 2), soit EAB(– 5 ; – 5).EAC(4 – 0 ; 6 – 2), soit EAC(4 ; 4).– 5 × 4 = – 5 × 4, donc les vecteurs EAB et EAC sont coli-néaires.Les vecteurs EAB et EAC sont colinéaires, donc les points A, B et C sont alignés.

3. Le réel k tel que EAC = k EAB est égal à 4– 5

= – 0,8.

33 1.

O

C

A

B

zi

zj

2. On calcule les coordonnées des vecteurs EAB et EAC.EAB(– 2 – 1 ; 2 – 3,5), soit EAB(– 3 ; – 1,5).EAC(– 0,5 – 1 ; 2,8 – 3,5), soit EAC(– 1,5 ; – 0,7).– 3 × (– 0,7) ≠ – 1,5 × (– 1,5), donc les vecteurs EAB et EAC ne sont pas colinéaires.Les vecteurs EAB et EAC ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

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34 1.

O

A

B

D

C

zi

zj

2. On calcule les coordonnées des vecteurs EAB et ZCD.EAB(– 1 – 1 ; – 7 – (– 1)), soit EAB(– 2 ; – 6).ZCD(0,5 – 2 ; 2 – 6,5), soit ZCD(– 1,5 ; – 4,5).– 2 × (– 4,5)= – 6 × (– 1,5), donc les vecteurs EAB et ZCD sont colinéaires.Les vecteurs EAB et ZCD sont colinéaires, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

3. Le réel k tel que ZCD = k EAB est égal à – 1,5– 2

= 0,75.

35 1.

O A

CB

zi

zj

2. On calcule les coordonnées des vecteurs EAB et ECO.EAB(6 – 3 ; – 1 – 0), soit EAB(3 ; – 1).EOC(2 ; – 0,75), donc ECO(– 2 ; 0,75).

3 × 0,75 ≠ – 1 × (– 2), donc les vecteurs EAB et ECO ne sont pas colinéaires.Les vecteurs EAB et ECO ne sont pas colinéaires, donc les droites (AB) et (CO) ne sont pas parallèles.

36

uR

uF

uP

uF + uP

RF + P

37 1. a) pBI = EBA + oAI.b) pID = oIC + ECD.2. a) oAI = oIC, car I est le milieu du segment [AC].b) EBA = ECD, car ABCD est un parallélogramme.3. a) En utilisant les questions précédentes,pBI = EBA + oAI = ECD + oIC = oIC + ECD = pID.b) pBI = pID, donc I est le milieu de [BD].

38 1.

OD

B

C

A

zi

zj

2. On calcule les coordonnées des vecteurs EAB et EDC.EAB(0 – (– 2) ; 3 – 1), soit EAB(2 ; 2).EDC (1 – (– 1) ; 2 – 0), soit EDC(2 ; 2).Ces deux vecteurs ont leurs coordonnées égales, donc ils sont égaux.EAB = EDC, d’où ABCD est un parallélogramme.3. a) AB = � EAB� = 922 + 22 = 28 = 222.Le vecteur EAD a pour coordonnées (– 1 – (– 2) ; 0 – 1), soit (1 ; – 1), d’où AD = � EAD� = 912 + (– 1)2 = 22.Le vecteur EBD a pour coordonnées (– 1 – 0 ; 0 – 3), soit (– 1 ; – 3), d’où BD = � EBD� = 9(– 1)2 + (– 3)2 = 510.

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20

b) AB2+ AD2 = 8 + 2 = 10 et BD2 = 10, donc AB2 + AD2 = BD2. On en déduit que le triangle BAD est un triangle rectangle en A et que l’angle jBAD est droit.4. Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ayant un angle droit, c’est donc un rectangle.

39 1. et 2.

iw tu

tv

3. a) ru et rv sont des vecteurs colinéaires, de même sens et tels que �rv� = 3 �ru�, d’où rv = 3 ru.

b) uw et rv sont des vecteurs colinéaires, de sens contraire et tels que �uw� = 1

6�rv�, d’où uw = – 1

6 rv.

c) Sur le graphique, on lit que uw = – 12

ru.

40 1.

O

B

C

D

A

zi

zj

2. a) On calcule les coordonnées des vecteurs EAB et ZDC.EAB(– 1 – (– 1) ; 3,5 – 1), soit EAB(0 ; 2,5).ZDC(1 – 1 ; 2 – (– 0,5)), soit ZDC(0 ; 2,5).Ces deux vecteurs ont leurs coordonnées égales, donc ils sont égaux.EAB = ZDC, d’où ABCD est un parallélogramme.b) Le milieu I du segment [AC] a pour coordonnées

�– 1 + 12

; 1 + 22 �, soit (0 ; 1,5).

Le milieu J du segment [BD] a pour coordonnées

�– 1 + 12

; 3,5 – 0,52 �, soit (0 ; 1,5).

c) I et J ont leurs coordonnées égales, donc I = J.

3. a) � EAB� = 902 + 2,52 = 76,25 = 2,5.

Le vecteur EBC a pour coordonnées (1 – (– 1) ; 2 – 3,5), soit (2 ; – 1,5).� EBC� = 922 + (– 1,5)2 = 76,25 = 2,5.b) ABCD est un parallélogramme qui a deux côtés consécu-tifs de même longueur, donc ABCD est un losange.

41 1. Échelle 12

.

O

A B

DC

E

zi

EAD + EAE

EAB + EAC

zj

2. a) Voir fi gure.b) On lit que D(4 ; 2,5).c) On note D(xD ; yD). Le vecteur EAD a pour coordonnées (xD – 1 ; yD –1). Le vecteur EAB a pour coordonnées (2 – 1 ; 1,5 – 1), soit (1 ; 0,5).D’où le vecteur 3 EAB a pour coordonnées (3 × 1 ; 3 × 0,5), soit (3 ; 1,5).EAD = 3 EAB, donc xD — 1 = 3 et yD – 1 = 1,5.On en déduit que xD = 4 et yD = 2,5.

3. a) Voir fi gure.b) On lit que E(2,5 ; 4).c) On note E(xE ; yE). Le vecteur EAE a pour coordonnées (xE – 1 ; yE – 1). Le vecteur EAC a pour coordonnées (1,5 – 1 ; 2 – 1), soit (0,5 ; 1).D’où le vecteur 3 EAC a pour coordonnées (3 × 0,5 ; 3 × 1), soit (1,5 ; 3).EAE = 3 EAC, donc xE – 1 = 1,5 et yE – 1 = 3.On en déduit que xE = 2,5 et yE = 4.

4. a) Le vecteur EAB + EAC a pour coordonnées (1 + 0,5 ; 0,5 + 1), soit (1,5 ; 1,5).Le vecteur EAD + EAE a pour coordonnées (3 + 1,5 ; 1,5 + 3), soit (4,5 ; 4,5).b) Voir fi gure.c) 4,5 = 3 × 1,5, donc EAD + EAE = 3( EAB + EAC).On en déduit que les vecteurs EAD + EAE et EAB + EAC sont coli-néaires.

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42 1. et 2. a)

E

D

A C

B

b) EDA = EAB, donc A est le milieu de [BD]. EEA = EAC, donc A est le milieu de [CE].3. EED = EEA + EAD ; EBC = EBA + EAC.4. a) EED = EEA + EAD = EAC + EBA = EBA + EAC = EBC.b) EED = EBC, donc BCDE est un parallélogramme.c) ECD = EBE, car BCDE est un parallélogramme.

43 1. a), b) et c)

A

S

A'B'

C' R B

C

2. a) A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(0 ; 1). A' est le milieu de [BC] donc A' �1 + 0

2 ; 0 + 1

2 �, soit A' �12

; 12�.

B' est le milieu de [AC], donc B' �0 + 02

; 0 + 12 � , soit

B' �0 ; 12�.

C' est le milieu de [AB] donc C' �0 + 12

; 0 + 02 �, soit C' �1

2 ; 0�.

b) Le vecteur EBC' a pour coordonnées � 12

– 1 ; 0 – 0� ,

soit �– 12

; 0�.

EBR = 12

EBC', donc EBR�12

× �–12 � ; 1

2 × 0�, soit EBR�– 1

4 ; 0�.

En notant R(x ; y), EBR(x – 1 ; y – 0), d’où

x – 1= – 14

et y = 0, soit x = – 14

+ 1 = 34

et y = 0.

D’où R�34

; 0�.

c) RA'B a pour coordonnées �1 – 12

; 0 – 12�, soit �1

2 ; – 1

2�.

EBS = RA'B, donc EBS �12

; – 12�.

En notant S(x ; y), EBS(x – 1 ; y – 0), d’où

x – 1= 12

et y = – 12

, soit x = 12

+1 = 32

et y = – 12

.

D’où S �32

; – 12�.

d) On calcule les coordonnées des vecteurs RB'R et RB'S.

RB'R�34

– 0 ; 0 – 12�, soit RB'R�3

4 ; – 1

2�.

RB'S�32

– 0 ; – 12

– 12�, soit RB'S�3

2 ; – 1�.

34

× (– 1) = – 12

× 32

, donc les vecteurs RB'R et RB'S sont coli-

néaires. On en déduit que les points B', R et S sont alignés.

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COMMEÀ L’ÉCRAN

30

Coordonnées de points et de vecteurs, normes

Avec le logiciel GeoGebra, le repère (O ; ei, ej) étant orthonormal, on a placé les points A, B, C, D et K, puis tracé les vecteurs ru = EAB,

rv = RAC, uw = RAD et rs = EAB + RAC, ce dernier avec O pour origine.Une copie de l’écran obtenu fi gure ci-contre (le logiciel ne place pas les fl èches au-dessus des vecteurs).

1. Calculez les coordonnées du milieu du segment [AD] et vérifi ez en utilisant le côté de gauche de l’écran qu’il s’agit du point K.Le milieu du segment [AD] a pour coordonnées ( –1 + 2

2 ; 1 + 42 ), soit

(0,5 ; 2,5). Ce sont les coordonnées du point K, donc K est le milieu de [AD].

2. a) À l’aide du côté gauche de l’écran, cochez la case des coordonnées de chaque vecteur.ru : (2 ; 1) (3 ; 3) (1 ; 2)rv : (2 ; 1) (3 ; 3) (1 ; 2)uw : (2 ; 1) (3 ; 3) (1 ; 2)rs : (2 ; 1) (3 ; 3) (1 ; 2)

b) Avec le bouton , on obtient l’annonce « ».Utilisez la question précédente pour justifi er cette égalité.

Les coordonnées de yw et rs sont égales, donc les vecteurs yw et rs sont égaux.

c) En déduire que RAD = EAB + EAC.

yw = rs, donc RAD = RAB + RAC.

3. a) À l’aide du côté gauche de l’écran, cochez la case correspondant à chaque norme. ��EAB�� : 15 ≈ 2,24 418 ≈ 4,24��EAC�� : 15 ≈ 2,24 418 ≈ 4,24��EAB + EAC �� : 15 ≈ 2,24 418 ≈ 4,24

b) Calculez la somme des valeurs arrondies de ��EAB�� et de ��EAC ��.La somme des valeurs arrondies de || RAB || et de || RAC || est égale à 4,48.c) Comparez le résultat obtenu en b) à la valeur arrondie de ��EAB + EAC ��.Le résultat obtenu en b) est supérieur à la valeur arrondie de || RAB + RAC ||.

22

23

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23CHAPITRE 1 • INFORMATION CHIFFRÉE : PROPORTIONNALITÉ, ÉCHELLES

Évaluation

CHAPITRE 1 • VECTEURS 31

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Nom

Prénom

Classe

Date

Exercice 1 3 points Les deux questions sont indépendantes.

1. Représenter sur la fi gure les vecteurs ru et – ru (opposé de ru), avec A comme origine.

AA

tuutuu

–– tu

2. ABCD est un parallélogramme et B est le milieu de [AE].Citer :

a) un vecteur égal à RAD : RBC.

b) deux vecteurs égaux à EAB : RDC, RBE.


1. Ajouter sur chacune des deux fi gures le vecteur ru + rv.

ttuu

tvttu +u + ttv

ttuu

tvtu +u + ttvv

2. Représenter les vecteurs – 2ru, 23 uw et –

12 rv, avec la même origine A.

tvttuu

ppwwA

–2–2tuu

–– – tvv122

– ttww2233

23

E

D

A

C

B

24

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32

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Exercice 3 8 points

Le repère (O ; zi, zj ) est orthonormal.On considère les vecteurs ru(3 ; 3) et rv(3 ; 4).r1. a) Compléter les coordonnées du point A et du vecteur ROA, en les lisant sur la fi gure :A(3 ; 3 4) ; 44 ROA(3 ;3 4).44b) Les vecteurs ru etr ROA sont-ils égaux ? (Justifi er.)

Les vecteurs zu et z ROA ne sont pas égaux, car leurs coordonnées ne sont pas égales.c) Les vecteurs rv et r ROA sont-ils égaux ? (Justifi er.)

Les vecteurs zv et z ROA sont égaux, car leurs coordonnées sont égales.d) Représenter les vecteurs ru etr rv sur la fi gure, en prenant r B comme origine.

2. a) Calculer les coordonnées du vecteur ru +r rv.

zu + zv a pour coordonnées (3 + 3 ; 3 + 4), soit (6 ; 7)z .b) Calculer les coordonnées du vecteur – 2rv.

– 2zv a pour coordonnées (–2 z ¥ 3 ; –2 ¥ 4), soit (–6 ; –8).3. a) Calculer ��rv��.|| zv || = z 999999999 =9 5 = 5.55b) Calculer la valeur exacte et la valeur arrondie à 0,01 près de ��ru��.|| zu || = z 999999999 =9 5 ≈ 4,24.554. Calculer les coordonnées du milieu I du segment [I AB[[ ].

Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées (( 3 + 22 ; 4 + 0

2 ),

soit (( 52 ; 2).


1. a) Sur la fi gure, deux vecteurs ru etr rv sontrcolinéaires.Marquer ru et r rv sur cette fi gure.rb) Compléter l’égalité par le nombre qui

convient : rv = – 12 ru (r ou zv = – 2z zu en cas de permutation de z zu et z zv).z

2. Le plan est rapporté à un repère.On considère les points A(– 5 ; 9), B(4 ; 10), A’(– 4 ; 7) et B’(6 ; 8).

a) Calculer les coordonnées des vecteurs EAB et OA�B�.

RAB (4 – (–5) ; 10 – 9), soit RAB (9 ; 1) ; YA’B’ (6 – (–4) ; 8 – 7), soit YA’B’ (10 ; 1).b) Déterminer si les vecteurs EAB et OA�B� sont colinéaires ou non.

9 ¥ 1 ≠ 1 ¥ 10, donc les vecteurs RAB et YA’B’ ne sont pas colinéaires.

c) En déduire si les droites (AB(( ) et (A(( �B�) sont parallèles ou non.

Les vecteurs RAB et YA’B’ ne sont pas colinéaires, donc les droites (AB) et(A’B’) ne sont pas parallèles.

24

tu

tv

OBB

A

tj

ti

tu

tv

25

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25

Trigonométrie

33

Échauffez-vous !

2

Aide

La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.

Aide

La longueur d’un cercle de rayon R est égale à 2πR.

1 Cochez la case correspondant à la réponse exacte.a) Un triangle ABC est rectangle en A. L’angle qA est égal à :

100° 90° 60°b) Un triangle ABC est rectangle en A et qB = 45°.L’angle qC est égal à :

45° 90° 135°c) Un triangle MNP est tel que qM = 42° et qN = 23°. L’angle qP est égal à :

19° 65° 115°

2 Cochez la case correspondant à la réponse exacte.a) La longueur d’un demi-cercle de rayon 1 est :

π 3,14 0,5

b) La longueur d’un quart de cercle de rayon 1 est environ : 0,50 1,50 1,57

c) Le nombre − π est égal à :

− 3,14 – 22

7 π − 2π

d) Le nombre – π2

est égal à :

3

2

π

− 2π

π4

− π6

π2

− 2π

e) Le nombre – 3

2

π est égal à :

– π2

– 2π − 4,7 π2

− 2π

f) Le nombre − 7

2

π est égal à :

− π2

− 4π π2

− 2π π2

− 4π

26

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2634

Échauffez-vous !

3 Complétez chacune des égalités.Le triangle ABC est rectangle en A.

a) cos(qB) = côté adjacent à l'angle qB

hypoténuse =

ABBC ;

sin(qB) = côté opposé à l'angle qB

hypoténuse = ACBC

.

b) cos(qC) = côté adjacent à l'angle qC

hypoténuse = ACBC

;

sin(qC) = côté opposé à l'angle qC

hypoténuse = ABBC

.

4 Le triangle ABC est rectangle en A et isocèle (c’est-à-dire qB = qC).AB = AC = 1.Rayez les encadrés inexacts et complétez.

a) Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A, donc qB = 60° / 45° .

b) Le triangle ABC est rectangle en A, donc, d’après Pythagore,BC2 = AB2 + AC2 = 1 + 1 = 2 .Ainsi BC = 32 .

c) Le triangle ABC est rectangle en A,

donc cos(qB) = BA

BC /

AB

AC =

1

1 /

1

2 = 1 /

1 2

2 2

××

,

d’où cos (45 °) = 1 / 2

2.

5 Le triangle ABC est équilatéral (c’est-à-dire qA = qB = qC).AB = BC = CA = 1.Le point H est le pied de la hauteur issue de C.Rayez les encadrés inexacts et complétez.

a) Le triangle ABC est équilatéral,

donc qA = 60° / 45° .

b) Le pied H de la hauteur issue de C est aussi le milieu du segment [AB], donc AH = 0,5 / 1 .

c) Le triangle AHC est rectangle en H,

donc cos(qA) = AH

AC /

AC

AH ,

d’où cos (60 °) = 0,5 / 2 .

AB

C

A

1

1B

C

A 1

1 1

B

H

C

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2727CHAPITRE 2 • TRIGONOMÉTRIE 35

6 Le triangle ABC est équilatéral(c’est-à-dire qA = qB = qC).AB = BC = CA = 2.Le point H est le pied de la hauteur issue de C.Complétez.a) Le triangle ABC est équilatéral,donc qA = 60 °.Le triangle AHC est rectangle en H,donc qH = 90 °.La somme des angles d’un triangle est égale à 180 °, donc, dans le triangle AHC, 60° + 90° + qC = 180 ° ,d’où qC = 180 ° − 150 ° = 30 °.b) Le triangle AHC est rectangle en H, donc, d’après Pythagore,HC2 = AC2 – AH2 = 2 2 – 1 2 = 3 , d’où HC = 33 .

c) Le triangle AHC est rectangle en H,

donc cos(qC) = CHCA

= 332

,

d’où cos(30 °) = 332

.

7 Cochez la case correspondant à la réponse exacte (utilisez les résultats des exercices 4, 5 et 6).a) Le cosinus d’un angle mesurant 60° est :

1

2

2

2

3

2b) Le cosinus d’un angle mesurant 45° est :

1

2

2

2

3

2c) Le cosinus d’un angle mesurant 30° est :

1

2

2

2

3

2

8 Le plan est rapporté au repère orthonormal (O ; pOI , pOJ).(Voir chapitre 1 page 18).On a tracé sur la fi gure le cercle � de centre O et de rayon 1.Complétez.a) Le cercle � coupe l’axe des abscisses en deux points : I et I �.b) Les points I et I� ont la même ordonnée, égale à : 0.c) Le point I a pour abscisse : 1.d) Le point J est un point d’intersection du cercle � et de l’axe des ordonnées.e) Les points J et J� ont la même abscisse, égale à : 0.

A 2

2 2

B

H

C

J

O– 1

– 1

1

1

Ix

y

J ′

I ′

�

1 Cercle trigonométrique

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1. Déterminer quelques longueurs sur le cercle trigonométrique

Une voiture télécommandée peut parcourir, dans les deux sens, un circuit circulaire �, de centre O et de rayon 1 m.Sur la fi gure sont placés des points I, J, U, I’ et J’ du cercle.La voiture part toujours du point I. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’ori-

gine O, on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1. Le sens contraire des aiguilles d’une montre est appelé sens positif du cercle trigo-

nométrique (l’autre sens est appelé sens négatif).

Activité 1

Les longueurs sont exprimées en mètres. Cochez la case correspondant à la réponse exacte.

a) La longueur d’un tour complet du circuit est : 2π ≈ 6,28 π ≈ 3,14 2

b) La plus petite longueur parcourue pour aller de I à J dans le sens positif est :

1 π2

≈ 1,57 0,25

c) La plus petite longueur parcourue pour aller de I à J dans le sens négatif est :

0,75 π2

≈ 1,57 3

2

π ≈ 4,71

d) La plus petite longueur parcourue pour aller de I à U dans le sens positif est : 1 2 3

2. Associer un point du cercle trigonométrique à un nombre réel

Exemple

Les nombres π2

; π2

+ 2π ; π2

+ 4π ; π2

+ 6π ; … correspondent à une

longueur parcourue sur le cercle, en partant de I et en s’arrêtant à J, éventuelle-ment après plusieurs tours, dans le sens positif (nombres positifs) ;

les nombres – 3

2

π =

π2

– 2π ; – 3

2

π – 2π =

π2

– 4π ; – 3

2

π – 4π =

π2

– 6π ; …

correspondent à une longueur parcourue sur le cercle, en partant de I et en s’ar-rêtant à J, éventuellement après plusieurs tours, dans le sens négatif (nombres négatifs).

On dit que le point J est l’image de chacun de tous ces nombres. De la même façon, à tout nombre a appartenant à ]– π ; π], on associe un point

P du cercle trigonométrique, qui est l’image de a. Ce point P est aussi l’image de chacun des nombres a + 2π, a + 4π, a + 6π, …, a – 2π, a – 4π, a – 6π, … .

1 +

– 1

– 1 1 x

y

O

J

U

J ′

II ′

�

29

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Activité 2

La voiture part du point I pour s’arrêter au point J.

1. La voiture tourne dans le sens positif. Complétez.Le nombre positif correspondant à la longueur parcourue entre I et J est :

a) p2

lorsque la voiture s’arrête immédiatement au point J ;

b) p2

+ 2p = 5 p2

lorsque la voiture fait un tour complet avant de s’arrêter

au point J ;

c) p2

+ 4p = 9 p2

lorsqu’elle fait deux tours complets avant de s’arrêter au point J.

2. La voiture tourne dans le sens négatif.

Cochez la case correspondant à la réponse exacte.Le nombre négatif correspondant à la longueur parcourue entre I et J,

a) lorsque la voiture s’arrête immédiatement au point J, est :

– 3

2

π

=

π2

− 2π – π2

= π2

− π – 0,75

b) lorsque la voiture fait un tour complet avant de s’arrêter au point J, est :

– 3

2

π

− 2π =

π2

− 4π – π2

– 2π = π2

− 3π – 0,75 − 2π

3. Repérer les points qui sont images de nombres particuliers

Dans le tableau suivant fi gurent des nombres et les points du cercle trigonométrique qui sont leurs images.

Nombres 0 et 2ππ2

π et – π3π2

et – π2

π6

π4

π3

Point image I J I� J� K L M

Activité 3

Il s’agit de constater quelques résultats donnés dans le tableau.La voiture part du point I. Rayez les encadrés inexacts.

a) En tournant dans le sens positif, la voiture s’arrête immédiatement au point I�.

La longueur parcourue est 0 / π , donc le point I� est l’image de 0 / π .

b) En tournant dans le sens négatif, la voiture s’arrête immédiatement au point I�.

La longueur parcourue est π / π2

, donc le point I� est aussi l’image de – π / –π2

.

c) En tournant dans le sens positif, la voiture s’arrête immédiatement au point J�.

La longueur parcourue est 3

2

π / 2π , donc le point J� est l’image de

3

2

π / 2π .

J

O 1

1

Ix

y

�

J MLK

O– 1

– 1

1

1

Ix

y

J ′

I ′

�

2 Cosinus et sinus d’un nombre réel

30

1. Déterminer le cosinus et le sinus d’un nombre réel

On considère un nombre réel a. L’image de a sur le cercle trigonométrique est le point noté M.Le cosinus du nombre a, noté cos(a), est l’abscisse de M dans le repère (O ; ROI ; EOJ ).Le sinus du nombre a, noté sin(a), est l’ordonnée de M

dans le repère (O ; ROI ; EOJ ).Le cosinus et le sinus de a vérifi ent :−1 � cos(a) � 1 ; −1 � sin(a) � 1 ; cos2(a) + sin2(a) = 1.Attention : (cos(a))2 et (sin(a))2 sont souvent notés cos2(a) et sin2(a).

Activité

1. Cochez la case correspondant à la réponse exacte.

a) L’image du nombre 0 sur le cercle est le point :

I� O I

b) cos(0), c’est-à-dire l’abscisse du point image du nombre 0, est donc égal à : − 1 0 1

c) sin(0), c’est-à-dire l’ordonnée du point image du nombre 0, est donc égal à : − 1 0 1

2. Complétez le tableau des cosinus et sinus de nombres particuliers, en vous appuyant sur le cercle trigonométrique.

Nombre p 0π2

ππ6

π4

π3

– π2

– π

Point image I J I � J � I �

cos(p) 1 0 –1 132

122

12 0 –1

sin(p) 0 1 0 12

122

132

–1 0

3. Complétez.

a) cos� π6 � =

332

≈ 0,87 , donc – 1 � cos � p6 � � 1.

b) sin� π4 � =

322

≈ 0,71 , donc – 1 � sin � p4 � � 1.

c) cos� π3 � =

12 , donc le carré de cos� π

3 � est cos2� π3 � = � 1

2 �2

= 14

;

sin� π3 � = 33

2, donc le carré de sin� π

3 � est sin2� π3 � = � 33

2 �2

= 34 .

Ainsi, cos2� π3 � + sin2� π

3 � = 14 +

34 =

44 = 1 .

J M

O– 1

– 1

1

1

Ix

y

J ′

I ′

sin(a)

cos(a)

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3038

31

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2. Comment déterminer, à la calculatrice, une valeur approchée du cosinus ou du sinus d’un nombre donné ?

Méthode 1

Étape 1 Mettre la calculatrice en mode radian.

Modèle Casio : MENU → RUN → EXE , SET UP, choisir Rad sur la ligne Angle → EXE .

Modèle TI : MODE , choisir Radian → QUIT .

Étape 2 Effectuer le calcul.

Modèle Casio : cos ( nombre ) → EXE ou sin ( nombre ) → EXE .

Modèle TI : cos nombre ) → ENTER ou sin nombre ) → ENTER .

1. Déterminez la valeur décimale arrondie à 0,01 près de cos� π8 �.

2. Déterminez la valeur décimale arrondie à 0,01 près de sin(5).

Solution

1. Étape 1 et Étape 2 • Modèle Casio : On tape cos ( π ÷ 8 ) → EXE .

• Modèle TI : On tape cos π ÷ 8 ) → ENTER .On obtient cos� π

8 � ≈ 0,92.

2. On obtient de même sin(5) ≈ – 0,96.

3. Comment calculer le cosinus (ou le sinus) d’un nombre a dont on connaît le sinus (ou le cosinus) ?

Méthode 2

Étape 1 Placer sur le cercle trigonométrique le point image du nombre a et en déduire le signe de cos(a) (ou de sin(a)).

Étape 2 Calculer cos(a) (ou sin(a)) à l’aide de l’égalité cos2(a) + sin2(a) = 1.

On donne π2

� a � π et sin(a) = 0,4.

Calculez la valeur décimale arrondie à 0,01 près de cos(a).

Solution

Étape 1 L’ordonnée du point image de a est sin(a) = 0,4.Deux points du cercle ont cette ordonnée : K et L.

Or, π2

� a � π, donc le point image de a est L.

On constate que l’abscisse de ce point est négative, donc cos(a) est unnombre négatif.

Étape 2 cos2(a) + sin2(a) = 1, donc cos2(a) + 0,4 2 = 1, c'est-à-dire cos2(a) = 1 – 0,16 = 0,84.

Ainsi, cos(a) = – 80,84 ou cos(a) = 80,84.Or, cos(a) est un nombre négatif, donc cos(a) = – 80,84.La valeur décimale arrondie à 0,01 près de cos(a) est – 0,92.

J

KL

O– 1

– 1

1

1

I

J ′

I ′0,4

3 Nombres dont on connaît le cosinus ou le sinus

32

1. Déterminer a � [0 ; p] tel que cos(a) = k, avec – 1 � k � 1

k étant un nombre tel que – 1 � k � 1, il existe un seul nombre a appartenant à l’intervalle [0 ; π] tel que cos(a) = k. Exemple

π3

est le seul nombre a appartenant à [0 ; π] tel que cos(a) = 0,5.

Activité 1

1. Rayez les encadrés inexacts. Soit a un nombre appartenant à [0 ; π] tel que cos(a) = 0,5.

a) a � [0 ; π], donc le point A, image de a, est situé sur le demi-cercle

rouge / bleu .

b) cos(a) = 0,5, donc l’ abscisse / ordonnée de A est 0,5.

2. a) Placez A sur la fi gure.

b) Rayez les encadrés inexacts. Pour placer A, il y a eu une seule possibilité / plusieurs possibilités ,

donc il existe une seule valeur / plusieurs valeurs pour a.

3. À l’aide du tableau de la page 38, donnez la valeur de a : a = p3

.

2. Déterminer a � [– p2

; p2 ] tel que sin(a) = k, avec −1 � k � 1

k étant un nombre tel que – 1 � k � 1, il existe un seul nombre a appartenant

à l’intervalle �– π2

; π2 � tel que sin(a) = k.

Exemple

π6

est le seul nombre a appartenant à �–

π2

; π2 � tel que sin(a) = 0,5.

Activité 2

Soit a un nombre appartenant à �– π2

; π2 � tel que sin(a) = 0,5.


a) a � �– π2

; π2 �, donc le point A, image de a, est situé sur le demi-cercle

rouge / bleu .

b) sin(a) = 0,5, donc l’ abscisse / ordonnée de A est 0,5.

2. a) Placez A sur la fi gure.

b) Rayez les encadrés inexacts. Pour placer A, il y a eu une seule possibilité / plusieurs possibilités ,

donc il existe une seule valeur / plusieurs valeurs pour a.

3. À l’aide du tableau de la page 38, donnez la valeur de a : a = p6

.

J

O– 1

– 1

1

1

I

J ′

I ′0,5

0,5

A

J

O– 1

– 1

1

1

I

J ′

I ′0,5

0,5

A

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3240

33

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333341CHAPITRE 2 • TRIGONOMÉTRIE

3. Comment déterminer, à la calculatrice, une valeur approchée de a� [0 ; p]tel que cos(a) = k, avec – 1 � k� 1 ?

Méthode 3

Étape 1 Mettre la calculatrice en mode radian (voir méthode 1 page 39).

Étape 2 Modèle Casio : taper SHIFT cos k → EXE .

Modèle TI : taper 2nde cos k → ENTER .

Déterminez la valeur décimale arrondie à 0,01 près :a) de a � [0 ; π], tel que cos(a) = 0,95 ; b) de b � [0 ; π], tel que cos(b) = − 0,28.

Solution

a) Étape 1 et Étape 2

Modèle Casio : On tape SHIFT cos 0 , 9 5 → EXE .

Modèle TI : On tape 2nde cos 0 , 9 5 → ENTER .

La calculatrice donne comme résultat 0,317…,

donc la valeur décimale arrondie à 0,01 près de a est 0,32.

b) Étape 1 et Étape 2

Modèle Casio : On tape SHIFT cos (–) 0 , 2 8 → EXE .

Modèle TI : On tape 2nde cos (–) 0 , 2 8 → ENTER .

La calculatrice donne comme résultat 1,854…,

donc la valeur décimale arrondie à 0,01 près de b est 1,85.

4. Comment déterminer, à la calculatrice, une valeur approchée de a�[– p2

; p2 ]

tel que sin(a) = k, avec – 1 � k� 1 ?

Méthode 4

Étape 1 Mettre la calculatrice en mode radian (voir méthode 1 page 39).

Étape 2 Modèle Casio : taper SHIFT sin k → EXE .

Modèle TI : taper 2nde sin k → ENTER .

Déterminez la valeur décimale arrondie à 0,01 près de a � �– π2

; π2 �,

tel que sin(a) = – 13

.

Solution

Étape 1 et Étape 2

Modèle Casio : taper SHIFT sin ( (–) 1 / 3 ) → EXE .

Modèle TI : taper 2nde sin (–) 1 / 3 ) → ENTER .

La calculatrice donne comme résultat –0,339…,

donc la valeur décimale arrondie à 0,01 près de a est –0,34.

4 Fonction sinus ; radians

34

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3442

1. Aborder la fonction sinus et sa courbe représentative

La fonction sinus, notée sin, associe à tout nombre réel x le sinus de x : x � sin(x). Une partie de sa courbe représentativeest tracée ci-contre.

Activité 1

Rayez les encadrés inexacts.Pour obtenir le point P de coordonnées

�− π3

; sin�− π3 �� de la courbe représentative

de la fonction sinus dans le repère (O� ; ri, rj) :

– on a placé sur le cercle trigonométrique le point A, image de −

π3

/ π3

;

– on a ensuite reporté la longueur π3

de l’arc �IA sur l’axe des abscisses, à partir

de l’origine O� et à gauche, car −

π3

/ π3

est un nombre négatif ;

– on a enfi n reporté l’ordonnée du point A, qui est égale à cos�−

π3 � / sin�−

π3 � .

2. Mesurer un angle en radians

Soit P un point du cercle trigonométrique et a le nombre appartenant à ]– π ; π] dont le point P est l’image sur le cercle. La mesure en radians de l’angle hIOP est égale à :a si a � 0 et – a si a < 0. On note hIOP = a ou hIOP = – a.Les mesures en degrés et en radians d’un angle sontproportionnelles (π radians valent 180°).Le symbole du radian est rad.

Activité 2

Rayez les encadrés inexacts.

1. Le point J est l’image de π2

/ π , donc, en radians, hIOJ = π2

/ π .

D’autre part, hIOJ = 45° / 90° , donc π2

rad / π rad valent 45° / 90° .

2. Le point I� est l’image de 0 / π , donc, en radians, hIOI� = 0 / π .

D’autre part, hIOI� = 90° / 180° , donc 0 rad / π rad valent 90° / 180° .

π2

O x

y

1

1

π– π

J

J ′

II ′O O′

rj

ri

1

1

A P

J P

O– 1

– 1

1

1

Ix

y

J ′

I ′ a

35

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3. Comment déterminer la mesure d’un angle en radians (ou en degrés) quand on connaît sa mesure en degrés (ou en radians) ?

Méthode 5

Étape 1 Traduire l’énoncé sous forme d’un tableau de proportionnalité.

Radians πDegrés 180

Étape 2 Écrire l’égalité des produits en croix et en déduire le nombre cherché.

1. Déterminez la mesure a en radians d’un angle de 40°.

2. Déterminez la mesure b en degrés d’un angle de 3p5

radians.

3. Déterminez la mesure c en degrés d’un angle de 1 radian. Donnez la valeur décimale arrondie à 0,1 près de cette mesure.

Solution

1. Étape 1

Tableau de proportionnalité :

Radians π a

Degrés 180 40

Étape 2

π × 40 = 180 × a, donc a = π × 40

180 =2π9 .

La mesure en radians d’un angle de 40° est 2π9

.

2. Étape 1


Radians π 3π5

Degrés 180 b

Étape 2

π × b = 180 × 3π5

, c’est-à-dire π × b = 108 × π, donc b = 108.

La mesure en degrés d’un angle de 3π5

radians est 108.

3. Étape 1


Radians π 1

Degrés 180 c

Étape 2

π × c = 180 × 1, donc c = 180π .

La mesure en degrés d’un angle de 1 radian est 180π .

La valeur décimale arrondie à 0,1 près de cette mesure est 57,3.

36

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Exercices et problèmes

45

1 a)J

O– 1

– 1

1

1

Ix

y

J ′

I ′

�

b) sin(a) � 0.

2 a)J

O– 1

– 1

1

1

Ix

y

J ′

I ′

�

b) cos(a) � 0.

3 1. et 2.J

O– 1

– 1

1

1

Ix

y

J ′

I ′

� A

4 1. a), b) et 2.

J

O– 1

– 1

1

1

Ix

y

J ′

I ′

� AB0,5

0,5

5 1. a).

O– 1 1II ′

J

– 1

1

J ′

x

y

�

0,2

B

A

b) sin(a) � 0.c) cos2(a) + sin2(a) = 1, c’est-à-dire 0,22 + sin2(a) = 1,soit 0,04 + sin2(a) = 1.

On obtient sin2(a) = 0,96, d’où, puisque sin(a) � 0, sin(a) = 70,96.Ainsi, sin(a) ≈ 0,98.2. a) Voir fi gure.b) sin(b) � 0.c) cos2(b) + sin2(b) = 1, c’est-à-dire 0,22 + sin2(b) = 1,soit 0,04 + sin2(b) = 1.On obtient sin2(b) = 0,96, d’où, puisque sin(b) � 0, sin(b) = − 70,96.Ainsi, sin(b) ≈ − 0,98.

6 a)

O– 1 1II ′

J

– 1

1

J ′

x

y

�

–0,6

M

b) sin(a) � 0.c) cos2(a) + sin2(a) = 1, c’est-à-dire (−0,6)2 + sin2(a) = 1,soit 0,36 + sin2(a) = 1.On obtient sin2(a) = 0,64, d’où, puisque sin(a) � 0, sin(a) = 70,64 = 0,8.

7 cos(3) = − 0,99 à 0,01 près.cos(− 2) = −0,42 à 0,01 près.

cos� π7 � = 0,90 à 0,01 près.

8 sin(3) = 0,14 à 0,01 près.sin(− 2) = −0,91 à 0,01 près.

sin� π7 � = 0,43 à 0,01 près.

9 a) a = 1,27 à 0,01 près.b) a = 1,42 à 0,01 près.c) a = 2,35 à 0,01 près.d) a = 1,66 à 0,01 près.

10 a) a = 0,30 à 0,01 près.b) a = 0,15 à 0,01 près.c) a = − 0,78 à 0,01 près.d) a = − 0,09 à 0,01 près.

37

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3746

14 a) π6

; b) π4

; c) π3

; d) π2

; e) 2π3

; f) π20

.

15 a) 90 ; b) 30 ; c) 45 ; d) 60 ; e) 40 ; f) 36.

16 a) L’équation a deux solutions.b) Les solutions sont à peu près égales à − 0,4 et − 2,7.

17 1. a) L’ordonnée de A est sin� π4 � = 22

2.

b) π4

– 2π = – 7π4

et π4

+ 2π = 9π4

.

c) sin�– 7π4 � = sin�9π

4 � = 222

.

2. Les points M, N et P ont pour ordonnée 222

.

18 1. a) L’ordonnée de A est sin� π6 � =

12

.

b) L’ordonnée de B est égale à celle de A, c’est-à-dire 0,5.2. a) Les abscisses des points d’intersection sont à peu près égales à 0,5 et 2,6.

b) Les abscisses des points d’intersection sont π6

et 5π6

.

c) L’ensemble des nombres réels x appartenant à [0 ; 2π]

tels que sin(x) � 0,5 est � π6

; 5π6 �.

19 1. b), 2. c), 3. b), 4. a), 5. c).

11

Point O A B

Abscisse x 0π2

π

Ordonnée sin(x) 0 1 0

Point C D

Abscisse x3π2

2π

Ordonnée sin(x) –1 0

12

Point M N P

Abscisse xπ6

π4

π3

Ordonnée sin(x) 0,5 222

232

13 1.

O x

y

π

1

1 2

A B

2. a) L’ordonnée de A est sin(1) ≈ 0,84 et celle de B est sin(2) ≈ 0,91.b) A et B ont des ordonnées diff érentes.

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COMMEÀ L’ÉCRAN

48

On a tracé à l’aide du logiciel GeoGebra un triangle TOU, rectangle en U. L’angle kTOU est noté α. On a calculé cos(α) avec GeoGebra.On a ensuite tracé le cercle trigonométrique de centre O ; il coupe la demi-droite [OT) en M. On a enfi n tracé le triangle MOH, rectangle en H.Une copie de l’écran obtenu fi gure ci-dessous.

1. a) Cochez la réponse exacte. Dans le triangle MOH, l’angle α est :

kMOH kOHM kHMO

b) Donnez la formule permettant de calculer le cosinus de l’angle α dans le triangle

rectangle MOH : cos(α) = OHOM .

c) Complétez.Le point M appartient au cercle trigonométrique de centre O, donc OM = 1.

d) Effectuez le calcul de cos(α) avec la longueur OH donnée dans la colonne de gauche de l’écran et contrôlez dans cette colonne la valeur obtenue.

cos (α) = OHOM = 0,6

1 = 0,6. On lit sur l’écran : cos (α) = 0,6.

2. Le point M est le point image d’un nombre réel a.Lisez l’abscisse du point M dans la colonne de gauche de l’écran : xM = 0,6.Déduisez-en le cosinus du nombre a : cos(a) = 0,6.

3. Rayez la réponse inexacte.Les questions 1. et 2. permettent de constater que cos(α) et cos(a) ont / n'ont pas la même valeur.

4. Dans GeoGebra, en sélectionnant le radian pour unité d’angle, on obtient 0,93 rad comme mesure décimale arrondie à 0,01 près de l’angle α.Donnez la valeur décimale arrondie à 0,01 près du nombre a : a � 0,93.

Lien entre le cosinus d'un nombre et le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle

38

39 CHAPITRE 2 • TRIGONOMÉTRIE

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Évaluation

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Nom

Prénom

Classe

Date

Exercice 1 5 points

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.Cocher la réponse exacte.Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève 0,5 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.Si le total des points est négatif, la note attribuée à l’exercice est ramenée à 0.

On a représenté ci-contre un cercle trigonométrique et des points sur ce cercle.

1. Les points du quart de cercle �J�I sont les images des nombres appartenant à

l’intervalle :

�0 ; π2 � �−

π2

; 0� �− π2

; π2 �

2. L’image de − π3

sur le cercle trigonométrique est le point de coordonnées :

�cos�− π3 � ; sin�−

π3 �� sin�−

π3 � ; cos�−

π3 �� − 0,5 ;

3

2 �3. L’image de −

π3

sur le cercle trigonométrique est le point :

A B C

4. Il est impossible que le sinus d’un nombre a soit égal à : 0,000 001 − 0,989 898 1,000 001

5. La valeur décimale arrondie à 0,01 près de sin(4) est : 0,07 − 0,76 4,00

Exercice 2 2 points

1. Donner la valeur décimale arrondie à 0,1 près du nombre a appartenant à

�− π2

; π2 � tel que sin(a) = 0,22.

a � 0,2.

2. Donner la valeur décimale arrondie à 0,1 près du nombre b appartenant à [0 ; π] tel que cos(b) = − 0,15.

b � 1,7.

J AA

BBCC

O– 1

–– 1

1

1

Ix

y

J ′

I ′

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Exercice 3 5 points

1. Surligner l’arc du cercle trigonométrique constitué

des points images des nombres de l’intervalle � π2

; π�.2. Placer sur le cercle trigonométrique le point image A du nombre a appartenant à l’intervalle

� π2

; π� tel que sin(a) = 0,6.

3. a) Donner le signe de cos(a).

cos (a) est négatif.

b) En déduire, à l’aide de l’égalité cos2(a) + sin2(a) = 1, la valeur de cos(a).

cos2 (a) + sin2 (a) = 1, donc cos2 (a) + 0,62 = 1 d’où cos2 (a) = 0,64.

Ainsi, cos (a) = – 70,64 ou cos (a) = 70,64.

Or, cos (a) � 0, donc cos (a) = – 70,64 = – 0,8.

Exercice 4 2 points

Degrés 45 15

Radiansπ4

π12

Compléter le tableau de conversion ci contre.

Exercice 5 6 points

Compléter le tableau, en écrivant :– dans chaque case de la ligne « Point qui est l’image de p », l’un des points I, I�, J, A, B ou C ;– dans chaque case des lignes « cos(p) » et « sin(p) », la valeur exacte du cosinus ou du sinus (utiliser éventuellement l’égalité cos2(p) + sin2(p) = 1).

Nombre p 0π6

π4

π3

π2

π

Point qui est l'image de p I C B A J I�

cos(p) 1 132

122

12 0 –1

sin(p) 012

122

132 1 0

111

– –– 111

–– 111 111 xxx

yyy

OOO

JJJ

JJJ ′′′

IIIIII ′′

��AAAA 0,00,0 66666

J A BC

O– 1

– 1

1

1

Ix

y

J ′

I ′

�

40

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Suites numériques

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Échauffez-vous !

3

Vocabulaire

un se lit « u indice n ».


a) Le nombre qui suit logiquement 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 est : 10 11 12

b) Le nombre qui suit logiquement 2 ; – 2 ; 2 ; – 2 ; 2 est : 2 0 – 2

c) Le nombre qui suit logiquement 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 est : 17 25 100

2 Complétez chaque ligne logiquement par deux nombres.

a) 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18.

b) 1 ; – 2 ; 3 ; – 4 ; 5 ; –6 ; 7.

c) 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64.

3 Soit f la fonction défi nie pour tout réel x par f (x) = 2x2 + 1.On pose u0 = f (0), u1 = f (1), … , et, plus généralement, pour tout entier naturel n, un = f (n). Complétez le tableau.

u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6

1 3 9 19 33 51 73


3

2

y

x

1

0– 2– 1 1 2

A

B

C

a) Le point A a pour abscisse : – 2 3

b) Le point A a pour ordonnée : – 2 3

c) Le point A a pour coordonnées : (– 2 ; 3) (3 ; – 2)

d) Le point d’abscisse 0 est : B C

e) Le point d’ordonnée 0 est : B C

1 Suites numériques

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1. Découvrir ce qu’est une suite

Léon a débuté depuis 7 jours dans un emploi où il perçoit des pourboires. Le graphique représente les pourboires qu’il a reçus le 1er jour, le 2e jour, etc.Par exemple, le point de coordonnées (6 ; 3) indique que Léon a eu 3 € de pourboire le 6e jour.

5

10 1 2 3 4 5 6 7 x

y

10

15

La suite numérique 7,5 ; 10 ; 15 ; 12,5 ; 10 ; 3 ; 9 est la liste des pourboires, en euros, perçus par Léon, écrite dans l’ordre des jours successifs.Notons (un) cette suite, dont le terme initial est u1 = 7,5, terme de rang 1.u2 = 10 ; u2 est le terme de rang 2 de la suite (un). u3 = 15 ; u3 est le terme de rang 3 de la suite (un). Etc.(On numérote donc à partir de 1 les différents pourboires.)

Activité

1. Complétez le tableau.

u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7

7,5 10 15 12,5 10 3 9


a) Le pourboire perçu le 5e jour est : u5 = 10 u6 = 3

b) Le terme de rang 3 de la suite est : u3 = 15 u6 = 3

c) u4 et u5 sont tels que : u5 = u4 – 2,5 u5 = u4 + 2,5

d) u1 et u3 sont tels que : u3 = 3u1 u3 = 2u1


a) Les points représentant u3, u4 et u5 sont / ne sont pas alignés.

b) Les points représentant la suite (un) sont / ne sont pas alignés.

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4343CHAPITRE 3 • SUITES NUMÉRIQUES 53

2. Comment calculer des termes d’une suite ?

Méthode 1

Étape 1 Repérer comment est défi nie la suite : graphiquement, par une phrase, …Étape 2 Calculer les termes demandés, à partir de cette défi nition.

On considère la suite (vn) défi nie par : v0 = 1 ; v1 = 1 ; à partir de v2 , chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent.(Le terme initial est v0 = 1, terme de rang 0 : on numérote ici à partir de 0.)Calculez v2, v3, v4 et v5 (termes de rangs 2, 3, 4, et 5).

Solution

Étape 1 La suite est défi nie par v0 = 1, v1 = 1 et, à partir de v2 , chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent.Étape 2 Les deux termes qui précèdent v2 sont v1 et v0 , donc, d’après la défi nition,

v2 = v1 + v0 = 1 + 1 = 2.

Les deux termes qui précèdent v3 sont v2 et v1, donc, d’après la défi nition,

v3 = v2 + v1 = 2 + 1 = 3.

De même, v4 = v3 + v2 = 3 + 2 = 5.

De même, v5 = v4 + v3 = 5 + 3 = 8.

3. Comment représenter graphiquement une suite (un) ?

Méthode 2

Étape 1 Déterminer les valeurs des premiers termes de la suite et donner les coordonnées des points représentant ces termes.

Étape 2 Sur un graphique, placer le point U0(0 ; u0) si le terme initial est u0, placer le point U1(1 ; u1), puis les points U2(2 ; u2), U3(3 ; u3), etc.

On reprend la suite (vn) du paragraphe 2 précédent.Représentez graphiquement les 6 premiers termes de cette suite.

Solution

Étape 1

Terme v0 = 1 v1 = 1 v2 = 2 v3 = 3 v4 = 5 v5 = 8Point V0(0 ; 1) V1(1 ; 1) V2(2 ; 2) V3(3 ; 3) V4(4 ; 5) V5(5 ; 8)

Étape 2 Complétez le graphique.

5

10

10 1 2 3 4 5 x

V0

V4

y

V5

V3V2V1

2 Suites arithmétiques

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1. Aborder les suites arithmétiques

Exemple

En 2005, un institut de formation a recruté 45 élèves.Depuis, le nombre d’élèves recrutés augmente de 15 par an.On note u0 le nombre d’élèves recrutés en 2005, u1 le nombre d’élèves recrutés en 2006, u2 le nombre d’élèves recrutés en 2007, etc.

La suite (un) est arithmétique. Cela signifi e que, pour passer de n’importe quel terme un au terme suivant un+1, on ajoute toujours le même nombre r, appelé raison de la suite. Ainsi, un+1 = un + r. Graphiquement, les points représentant une suite arithmétique sont alignés,

c’est-à-dire tous situés sur une même droite.

Activité

1. Complétez.

a) Le nombre d’élèves recrutés en 2005 est :

u0 = 45.

b) Le nombre d’élèves recrutés en 2006 est :

u1 = u0 + 15 = 45 + 15 = 60.

c) Le nombre d’élèves recrutés en 2007 est :

u2 = u1 + 15 = 60 + 15 = 75.

d) Le nombre d’élèves recrutés en 2008 est :

u3 = u2 + 15 = 75 + 15 = 90.

2. Complétez.

Chaque terme de la suite est égal à la somme du terme précédent et de 15,

donc la suite est arithmétique, de raison 15 et de terme initial u0 = 45.

3. a) Placez en rouge les points représentant u1, u2 et u3.

0

15

45

6075

1

30

90

2 3 x

y

b) Rayez l’encadré inexact.

Les points en rouge sur le graphique sont / ne sont pas alignés.

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2. Comment reconnaître par le calcul si une suite est arithmétique ou pas ?

Méthode 3

Étape 1 Calculer les différences entre chaque terme et le terme précédent.Étape 2 Conclure sur la nature de la suite :

• lorsque les différences sont toutes égales, la suite est arithmétique ;• sinon, la suite n’est pas arithmétique.

On donne les nombres successifs u1 , u2 , …, u6 suivants.

Montrez que u1, u2, …, u6 sont des termes d’une suite arithmétique.

Solution

Étape 1 Complétez le tableau (si on utilise un tableur, on entre la formule =B2–A2dans la cellule B3, puis on recopie jusqu’à la cellule F3).

u2 – u1 u3 – u2 u4 – u3 u5 – u4 u6 – u5

– 1,6 –1,6 –1,6 –1,6 –1,6Étape 2 Toutes les différences sont égales à –1,6, donc u1, u2, …, u6 sont des termes d’une suite arithmétique, de terme initial u1 = 5 et de raison r = –1,6.

3. Comment reconnaître graphiquement si une suite est arithmétique ou pas ?

Méthode 4

Étape 1 Placer sur un graphique les points représentant la suite.Étape 2 Conclure sur la nature de la suite :

• lorsque les points sont alignés, la suite est arithmétique ;• sinon, la suite n’est pas arithmétique.

Le graphique ci-contre a été obtenu avec un grapheur.1. Les points bleus représentent-ils une suite arithmétique ?2.Les points rouges représentent- ils une suite arithmétique ?

Solution

Étapes 1 Voir la fi gure.

Étapes 2 Les points bleus sont alignés, donc ils représentent une suite

arithmétique.

Les points rouges ne sont pas alignés, donc ils représentent une suite

qui n’est pas arithmétique.

3 Suites géométriques

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1. Aborder les suites géométriques

Exemple

Une population de 100 bactéries double toutes les heures.On note u0 le nombre initial de bactéries, u1 le nombre de bactéries au bout d’une heure, u2 le nombre de bactéries au bout de deux heures, etc.

La suite (un) est géométrique. Cela signifi e que, pour passer de n’importe quel terme un au terme suivant un+1, on multiplie toujours par le même nombre q (q > 0), appelé raison de la suite. Ainsi un+1 = q × un. Graphiquement, les points représentant une suite géométrique sont situés sur une

courbe dite exponentielle. Pour q ≠ 1, cette courbe n’est pas une droite.

Activité

1. Complétez.

a) Le nombre de bactéries initial est u0 = 100 .

b) Le nombre de bactéries au bout d’une heure est u1 = u0 × 2 = 200.

Le nombre de bactéries au bout de deux heures est u2 = u1 × 2 = 400.

Le nombre de bactéries au bout de trois heures est u3 = u2 × 2 = 800.

2. Complétez.

Chaque terme de la suite est égal au produit du terme précédent par 2, donc

la suite est géométrique , de raison 2 et de terme initial u0 = 100.

3. a) Complétez le graphique pour représenter la suite (un). y

x

1 600

1500

1 400

1 300

1 200

1 100

1 000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0 1 2 3 4

U2

U3

U1

U0

U4

b) Rayez l’encadré inexact.

Les points représentant la suite (un) sont / ne sont pas alignés.

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2. Comment reconnaître par le calcul si une suite est géométrique ou pas ?

Méthode 5

Étape 1 Calculer les quotients de chaque terme par le terme précédent.Étape 2 Conclure sur la nature de la suite :

• lorsque les quotients sont tous égaux, la suite est géométrique ;• sinon, la suite n’est pas géométrique.

1. On donne les nombres successifs u1, u2, …, u6 suivants.

Montrez que u1, u2, …, u6 sont des termes d’une suite géométrique.

2. On donne les nombres successifs v1, v2, …, v6 suivants.

Montrez que v1, v2, …, v6 sont des termes d’une suite qui n’est pas géométrique.

Solution

1. Étape 1 Complétez le tableau (si on utilise un tableur, on entre la formule =B2/A2

dans la cellule B3, puis on recopie jusqu’à la cellule F3).

u

u2

1

u

u3

2

u

u4

3

u

u5

4

u

u6

5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Étape 2 Tous les quotients sont égaux à 0,5, donc u1, u2, …, u6 sont des termes d'une suite géométrique, de terme initial u1 = 640 et de raison q = 0,5.

2. Étape 1 Complétez le tableau (si on utilise un tableur, on entre la formule =B2/A2 dans la cellule B3, puis on recopie jusqu’à la cellule F3).

v

v2

1

v

v3

2

v

v4

3

v

v5

4

v

v6

5

4 4 4 3,75 4

Étape 2 On a v

v5

4

= 3,75 et v

v6

5

= 4 , donc v

v5

4

≠ v

v6

5

.

Ainsi, v1, v2, …, v6 sont des termes d’une suite qui n’est pasgéométrique.

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4848CHAPITRE 3 • SUITES NUMÉRIQUES

Exercices et problèmes

59

1

u0 u1 u2 u3 u4

–1 – 2 2 0 1

2 1. a) Le 4e jour : 2,5 km.b) Le 6e jour : 0 km.2. a) La distance parcourue n’a pas augmenté chaque jour : elle a en eff et baissé entre le 4e et le 5e jour.b) La distance parcourue n’a pas diminué chaque jour : elle a en eff et augmenté entre le 1er et le 2e jour.

3 1. a) Le nombre d’habitants de la ville en 2000 corres-pond à u0 .b) Le nombre d’habitants de la ville en 2000 est u0 = 1 000.2. a) Le nombre d’habitants de la ville en 2009 correspond à u9 .b) Le nombre d’habitants de la ville en 2009 est u9 = 4 500.3. a) Oui. b) u4 � 3 000 et u5 � 3 000, donc c’est en 2000 + 5 = 2005 que le nombre d’habitants a dépassé 3 000.

4 1. a) t0 = 0(0 + 1) = 0.b) t1 = 1(1 + 1) = 2.2. t2 = 2(2 + 1) = 6.t3 = 3(3 + 1) = 12.3. t4 = 20 ; t5 = 30 ; t6 = 42 ; t7 = 56 ; t8 = 72 ; t9 = 90 ; t10 = 110.

5 1. u1, u2, u3, u4, u5 sont des termes successifs d’une suite arithmétique, car u2 − u1 = u3 − u2 = u4 − u3 = u5 − u4 = 12.2. v2 − v1 = − 40 et v3 − v2 = − 30. v2 − v1 ≠ v3 − v2 , donc v1 , v2, v3, v4, v5 ne sont pas des termes successifs d’une suite arithmétique.

6 a) Les nombres 0 ; 2,5 ; 5 ; 7,5 ; 10 ; 12,5 ; 15 ; 17,5 sont, dans cet ordre, des termes successifs d’une suite arithmétique. b) Les nombres – 4 ; – 2 ; 0 ; 4 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 5 ne sont pas, dans cet ordre, des termes successifs d’une suite arithmé-tique.

7 u12 = u11 + 5 = −10 + 5 = −5.u13 = u12 + 5 = −5 + 5 = 0.

8 v9 = v8 + 3, donc v8 = v9 − 3 = −1.

9 w5 = w4 + r, donc r = w5 − w4 = − 2.

10 1. Le nombre d’auditeurs à la fi n de l’année 2009 était :u1 = 2 000 000 − 10 000 = 1 990 000. 2. Le nombre d’auditeurs à la fi n de l’année 2010 était :u2 = 1 990 000 − 10 000 = 1 980 000.3. a) On passe d’un terme de la suite au suivant en ajoutant −10 000.b) La suite (un) est donc arithmétique de raison −10 000 et de terme initial u0 = 2 000 000.

11 1. u1 = 0,5 ; u2 = 0,5 + 1 = 1,5 ; u3 = 1,5 + 1 = 2,5.2. On passe d’un terme de la suite au suivant en ajoutant 1. La suite (un) est donc arithmétique, de raison 1 et de terme initial u1 = 0,5.

12 1. u1 = 0 ; u2 = 4 ; u3 = 8. 2.

y

x0– 2

1 2 3

8

4

12

– 4 U0

U1

U2

U3

13 1. et 3. a) et b).

2. a) u10 = 79.b) u28 = 205.3. c) On a représenté les termes de rangs 0 à 12.

14 1. Les points représentant u1, … , u4 sont alignés, donc u1, … , u4 sont des termes successifs d’une suite arithmé-tique. 2. a) u1 = 5 et u2 = 3.b) La raison de la suite est 3 – 5 = − 2.

15 1. a) Le point W4 représentant w4 a pour abscisse 4.b) La suite est arithmétique, donc les points W2, W4 et W5 sont alignés. Le point W4 est donc sur la droite (W2W5).

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b) y

x

8

5

1

0 1 2 3 4

Cas v0 = 0,5 et q = 2a) v1 = 1, v2 = 2, v3 = 4, v4 = 8.b) y

x

8

5

1

0 1 2 3 4

24 1. et 3. a) et b).

2. a) u20 ≈ 2,69.b) u66 ≈ 215,76.3. c) On a représenté les termes de rangs 0 à 69.

25 1. c), 2. b), 3. c), 4. c).

26 1. a) La raison est r = 4 000 000.b) Au bout de 2 heures, il y aura 9 000 000 de bactéries.2. a) La raison est q = 5.b) Au bout de 2 heures, il y aura 25 000 000 de bactéries.

c)

– 2

– 3

0 1 2 3 4 5 x

y

– 1

1

2

3

W2

W5

W4

2. w4 = − 1.

16 1. u1, u2, u3, u4, u5 sont des termes successifs d’une

suite géométrique, car u2u1

= u3u2

= u4u3

= u5u4

= 9.

2. v2v1

= 5 et v3v2

= 4.

v2v1

≠ v3v2

, donc v1, v2, v3, v4, v5 ne sont pas des termes successifs d’une suite géométrique.

17 a) Les nombres 1 ; 4 ; 16 ; 64 ; 256 sont, dans cet ordre, des termes successifs d’une suite géométrique. b) Les nombres 0,5 ; 1 ; 2 ; 4 ; 6 ;12 ne sont pas, dans cet ordre, des termes successifs d’une suite géométrique.

18 u8 = 0,8 × u7 = 0,8 × 5 = 4.u9 = 0,8 × u8 = 0,8 × 4 = 3,2.

19 v15 = 7 × v14, donc v14 = v157

= 17,57

= 2,5.

20 w21 = w20 × q, donc q = w21w20

= 1040

= 0,25.

21 1. a) Pour obtenir le loyer mensuel de 2009, il faut mul-tiplier le loyer mensuel de 2008 par 1 + 2 % = 1,02.b) Le loyer de 2009 est 1,02 × 400 = 408 €.2. a) Pour obtenir le loyer mensuel de 2010, il faut multiplier le loyer mensuel de 2009 par 1 + 2 % = 1,02.b) Le loyer de 2010 est 1,02 × 408 = 416,16 €.3. a) Pour obtenir un + 1, il faut multiplier un par 1 + 2 % = 1,02.b) La suite (un) est donc géométrique, de raison 1,02 et de terme initial u0 = 400.

22 1. a) v1 = 18 000 × (1 − 20 %) = 18 000 × 0,8 = 14 400 €.b) v2 = 14 400 × 0,8 = 11 520 €.2. a) Pour obtenir vn + 1, il faut multiplier vn par 0,8.b) La suite (vn) est donc géométrique, de raison 0,8 et de terme initial v0 = 18 000.

23 Cas v0 = 8 et q = 0,5a) v1 = 4, v2 = 2, v3 = 1, v4 = 0,5.

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27 1. a) et b) La suite arithmétique est représentée par des points alignés, donc par les points bleus. On constate que le point d’abscisse 1 a pour ordonnée 2 000, donc la suite est (un), qui représente les ventes de REVMENS.2. a) Les deux revues ont eu à peu près le même nombre de ventes au cours des mois 2, 3 et 11, c’est-à-dire février, mars et novembre.b) Les autres mois où la revue REVMENS a eu plus de ventes que la revue MENSUREVE sont les mois d’avril à octobre.

28 1. L’intensité du son mesurée après la traversée de la plaque est 100 × (1 – 10 %) = 100 × 0,9 = 90 dB.2. a) u2 = u1 × 0,9 = 90 × 0,9 = 81.u3 = u2 × 0,9 = 81 × 0,9 = 72,9.b) Le premier point dont l’ordonnée est inférieure à 30 a pour abscisse 12. Il faut donc placer au minimum 12 plaques pour que l’intensité du son mesurée soit inférieure à 30 dB.

29 Partie 11. Une rangée de tubes a une hauteur de 2 cm. Quatre ran-gées ont donc une hauteur de 8 cm et cinq rangées ont une hauteur de 10 cm. La hauteur de la boîte étant de 9 cm, on peut mett re au maximum 4 rangées en hauteur.

2. Il y a 102

= 5 tubes par rangée, donc on peut mettre

4 × 5 = 20 tubes dans une boîte A.3. La hauteur d’une boîte B est 10 cm, donc on peut mett re 5 rangées en hauteur. Il y a 5 tubes par rangée, donc on peut mett re 5 × 5 = 25 tubes dans une boîte B.Partie 21. Il y a :a) 5 tubes dans la 1re rangée ;b) 4 tubes dans la 2e rangée ;c) 5 tubes dans la 3e rangée ;d) 4 tubes dans la 4e rangée.2. Une rangée de tubes a une hauteur de 2 cm.3. a) AH = 1 et AC = 2 × 1 = 2.D’après l’égalité de Pythagore dans le triangle rectangle AHC, HC2 = AC2 – AH2 = 4 – 1 = 3, donc HC = 23.b) IJ = IH + HC + CJ = 1 + 23 + 1 = 2 + 23.

4. a) D’après les questions 2. et 3. b), u1 = 2 et u2 = 2 + 23. La raison de la suite (un) est 2 + 23 – 2 = 23.b)

u1 u2 u3 u4 u5 u6

Valeur 2 2 + 13 2+2132+3132+4132+513Valeur

arrondie à 0,1 près

2 3,7 5,5 7,2 8,9 10,7

5. a) La hauteur est 9 cm. On peut donc mett re au maximum 5 rangées de tubes en hauteur dans une boîte A.b) Le nombre total de tubes dans une boîte A est donc 5 + 4 + 5 + 4 + 5 = 23.c) La hauteur est 10 cm. On peut donc mett re au maximum 5 rangées de tubes en hauteur dans une boîte B.Le nombre total de tubes dans une boîte B est donc 5 + 4 + 5 + 4 + 5 = 23.Partie 3

a) Si on utilise une boîte A, on range plus de tubes s’ils sont en quinconce.b) Si on utilise une boîte B, on range plus de tubes s’ils sont à la verticale.

30 1. a) T1 = (1 – 11 %) × T0 = 0,89 × 220 = 195,8 °C.b) La suite (Tn) a pour raison q = 0,89. 2. T8 ≈ 86,6 et T9 ≈ 77,1, donc la température du moule devient inférieure à 80 °C au bout d’environ 5 × 9 = 45 secondes.

31 1. a) u0 est impair, donc u1 = 3u0 + 1 = 3 × 5 + 1 = 16.

b) u1 est pair, donc u2 = u12

= 162

= 8.

c) u2 est pair, donc u3 = u22

= 82

= 4.

d) u4 = 2, u5 = 1, u6 = 4, u7 = 2, u8 = 1, u9 = 4. On constate qu’à partir du rang 3, les termes de la suite sont successivement égaux à 4, puis 2, puis 1, puis 4, puis 2, puis 1, etc. 2. b) Oui.3. a) b) c) À partir d’un certain rang, qui n’est pas toujours le même, les termes de la suite sont successivement égaux à 4, puis 2, puis 1, puis 4, puis 2, puis 1, etc.

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COMMEÀ L’ÉCRAN

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Amédée est un artisan qui a reçu une commande qui se renouvellera chaque année.La même année, il a signé un contrat de location de son local professionnel.Ce contrat précise que le montant un du loyer (exprimé en euros) qu’il paiera la n-ième année est tel que la suite (un) est arithmétique, de terme initial u1 = 10 000 et de raison 2 000.La commande lui rapportera chaque année une somme vn (exprimée en euros) telle que la suite (vn) est géomé-trique, de terme initial v1 = 14 500 et de raison 1,075.Amédée est satisfait, car il pense que, chaque année, le loyer sera payé par la somme que lui rapporte cette com-mande.Mais il a eu une surprise quand il a lu la feuille de calcul ci-contre.

1. a) Quelle formule a été écrite dans la cellule B3, puis recopiée vers le bas ?

=10000+2000 =B2+2000 =$B$2+2000 =B2*1,2

b) Quelle formule a été écrite dans la cellule C3, puis recopiée vers le bas ?

=C2+1087,5 =14500*1,075 =C2*1,075 =$C$2*1,075

c) Quelle formule a été écrite dans la cellule D2, puis recopiée vers le bas ?

=C2 – B2 .

2. a) Quelle formule a été écrite dans la cellule E2, puis recopiée vers le bas ?

=si(D2<0;n ;"") =si(D2<0;A2 ;"") =si(D2>0;A2 ;"")

b) Au cours de quelles années le loyer ne sera-t-il pas couvert par la somme que rapportera la commande ?

9e, 10e et 11e années.c) Jusqu’à la 10e année, l’écart vn – un diminue. À partir de la 11e année, vn – unaugmente et devient de plus en plus grand.Peut-on penser que cet écart va continuer à grandir (calculer, par exemple, v16 – u16) ?

Oui, car les vn augmentent « plus vite » que les un.

Comparaison de la vitesse de croissance de deux suites

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52CHAPITRE 6 • STATISTIQUES 52

Évaluation

CHAPITRE 3 • SUITES NUMÉRIQUES 65

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Nom

Prénom

Classe

Date

Exercice 1 4 points

1. On considère la suite arithmétique (un), de terme initial u0 = 4,5 et de raison r = – 3,5. Calculer u1 et u2.

u1 = u0 + r = 4,5 – 3,5 = 1.

u2 = u1 + r = 1 – 3,5 = –2,5.

2. On considère la suite géométrique (vn), de terme initial v1 = 10 et de raison q = 0,6. Calculer v2 et v3.

v2 = q ¥ v1 = 0,6 ¥ 10 = 6.

v3 = q ¥ v2 = 0,6 ¥ 6 = 3,6.

Exercice 2 4 points

1. Les ordonnées des points placés sur le graphique suivant sont les termes de rangs 1 à 6 d’une suite (un).

y

x0 11 22 33 44 55 66

11

22

–– 11

–– 22

–– 33

V44V

V55V

V11

a) La suite (un) est-elle arithmétique ? Expliquer pourquoi.

Non, car les points ne sont pas alignés.b) Donner, par lecture graphique, la valeur de u1.

u1 = –1.

2. On considère la suite arithmétique (vn) telle que v1 = 2 et v4 = – 1.

a) Placer sur la fi gure les points V1 et V4 représentant v1 et v4.

b) Tracer la droite (V1V4) et placer le point V5 représentant v5.

c) Donner, par lecture graphique, la valeur de v5.

v5 = –2.

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Exercice 3 4 points

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.Entourer cette réponse exacte.Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève 0,5 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.Si le total des points est négatif, la note attribuée à l’exercice est ramenée à 0.

1. Les nombres 1 ; – 1 ; 2 ; – 2 sont, dans cet ordre, des termes successifs d’une suite :a) arithmétique ; b) géométrique ; c) ni arithmétique ni géométrique.

2. Les nombres 12 ; 7 ; 2 ; – 3 sont, dans cet ordre, des termes successifs d’une suite : a) arithmétique ; b) géométrique ; c) ni arithmétique ni géométrique.

3. Les nombres 3 ; 10 ; 17 ; 24 sont, dans cet ordre, des termes successifs d’une suite : a) arithmétique ; b) géométrique ; c) ni arithmétique ni géométrique.

4. Les nombres 80 ; 8 ; 0,8 ; 0,08 sont, dans cet ordre, des termes successifs d’une suite : a) arithmétique ; b) géométrique ; c) ni arithmétique ni géométrique.

Problème 8 points

Une entreprise fabrique un modèle de batterie dans deux usines, A et B.En 2008, chaque usine a produit 100 000 batteries.La direction de l’entreprise fi xe comme objectifs d’augmenter la production, de 10 000 par an dans l’usine A et de 8 % par an dans l’usine B.On note an et bn les nombres de batteries produites par les usines A et B en (2008 + n). Ainsi, a0 = b0 = 100 000.

1. a) Calculer le nombre a1 de batteries que devra produire l’usine A en 2009.

a1 = 100 000 + 10 000 = 110 000.

b) Calculer le nombre b1 de batteries que devra produire l’usine B en 2009.

b1 = 100 000 ¥ 1,08 = 108 000.

2. Barrer les encadrés inexacts.

a) La suite (an) est arithmétique /

géométrique de raison 10 000 /

1,08 / 0,08 .

b) La suite (bn) est arithmétique /

géométrique de raison 10 000 /

1,08 / 0,08 .

3. Utiliser le graphique pour ré-pondre aux questions suivantes.

a) En 2012, laquelle des deux usines aura la plus grosse pro-duction ? Justifi er graphiquement.

L’usine A.b) À partir de quelle année la production de l’usine B dépas-sera-t-elle celle de l’usine A ? Justifi er graphiquement.

2008 + 7 = 2015.

yyy

xxx

110 000110 0000110 000110 000110 000

100 000100 00100 000100 000100 000

120 000120 0000120 000120 000120 000

130 000130 0000130 000130 000130 000

140 0001440 0000140 000140 000140 000

150 000150 0000150 000150 000150 000

160 000160 0000160 000160 000160 000

170 000170 0000170 000170 000170 000

180 000180 0000180 000180 000180 000

suitesuitesuitesuu te (((((aaaannnn)))))

suitesuitesuitesuu te (((((bbbbnnnn)))))

0 10 10 1 222 333 444 555 666 777 888

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Indicateursstatistiques

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Échauffez-vous !

Vocabulaire

Indicateurs de tendance centrale Moyenne et médiane.

MédianeNombre Me qui découpe la liste des valeurs du caractère, rangées en ordre croissant, en deux listes d’effectifs égaux :

Me

50 % 50 %

Indicateurs de dispersion Quartiles et étendue.

1er et 3e quartilesNombres Q1 et Q3 qui découpent chacun la liste des valeurs du caractère, rangées en ordre croissant, en deux listes selon la répartition suivante :

Q1

Q3

25 %

25 %

75 %

75 %

ÉtendueDifférence entre la plus grande et la plus petite des valeurs du caractère.

1 Le tableau statistique suivant indique la durée individuelle (en heures) passée devant un écran (télévision, ordinateur, console de jeux vidéos, …) un samedi pour 250 lycéens.

Durée (en heures), xi Nombre de lycéens, ni

0,5 4

1 35

1,5 42

2 38

2,5 36

3 40

3,5 30

4 12

4,5 8

5 5

Total 250

Pour répondre aux deux questions suivantes, utilisez la calculatrice (voir rabats de couverture).

a) Reliez chaque indicateur de tendance centrale à sa valeur.

Moyenne xx • • 2,4

Médiane Me • • 2,5

b) Reliez chaque indicateur de dispersion à sa valeur.

1er quartile Q1 • • 33e quartile Q3 • • 4,5

Étendue • • 1,5

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Échauffez-vous !

2 On a entré les valeurs d’une série statistique dans une feuille de calcul d’un tableur.

a) Complétez le tableau de données à l’aide de la feuille de calcul.

Valeur du caractère, xi 8 9 10 15 16 17 20Effectif, ni 5 6 3 2 1 2 1

b) Reliez chaque indicateur statistique à la formule du tableur qui lui correspond, puis complétez les pointillés à l’aide de la feuille de calcul.

Troisième quartile Q3 • • =MOYENNE(A3 : G8)

Médiane • • =QUARTILE(A3 : G8 ; 3)

Moyenne • • =QUARTILE(A3 : G8 ; 1)

Premier quartile Q1 • • =MEDIANE(A3 : G8)

3 En début d’année, on a relevé dans un collège les poids des élèves.Certains indicateurs (en kg) sont portés dans le tableau suivant.

Filles Garçons

Minimum 36 40

Premier quartile Q1 42 55

Médiane Me 47 61

Moyenne 48 65

Troisième quartile Q3 54 71

Maximum 69 82

Étendue 69 − 36 = 33 82 – 40 = 42

a) Complétez le tableau par le calcul des deux étendues.

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5656CHAPITRE 4 • INDICATEURS STATISTIQUES 69

b) Pour les garçons, reliez chaque phrase à l’indicateur qui lui correspond.

Environ 25 % ont un poids inférieur ou égal à 55 kg • • Médiane

Environ 50 % ont un poids inférieur ou égal à 61 kg • • Moyenne

Environ 75 % ont un poids inférieur ou égal à 71 kg • • Premier quartile

Le poids moyen est égal à 65 kg • • Troisième quartile

c) Pour les fi lles, complétez chacune des phrases.

• Le poids minimal est 36 kg et le poids maximal est 69 kg.

• Environ 25 % ont un poids inférieur ou égal à 42 kg.



• Le poids moyen est égal à 48 kg.

d) Rayez les encadrés inexacts.

L’étendue est plus petite / grande pour les fi lles que pour lesgarçons.

Cela traduit une moins / plus grande dispersion des poids pour lesfi lles que pour les garçons.

e) On a représenté, pour les poids des fi lles, le minimum, le premier quartile, la médiane, le troisième quartile et le maximum sur la droite graduée suivante.

Filles :

30

Min MaxMeQ1 Q3

32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82

Complétez, sur le même modèle, la droite graduée pour les poids des garçons.

Garçons :

30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82

Min MaxMeQ1 Q3

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Mode ou classe modale

1. Déterminer le (ou les) mode(s) d’une série statistique

Exemple

Le tableau suivant donne les volumes de téléchargement du mois dernier, exprimés en giga-octets, de 27 élèves de première d’un lycée :

Volumes, en Go 1 2 3 4 5 6 7 8 Total

Effectif 1 0 2 2 4 9 5 4 27

Le mode de cette série est la valeur du caractère qui a le plus grand des effectifs.

Activité 1

1. Cochez la case correspondant à la bonne réponse.

a) L’effectif le plus grand est : 4 5 9

b) Il y a donc un seul mode, qui est : 6 7 8

2. Cela signifi e que le volume de téléchargement le plus fréquent de ces élèves est :

6 Go 7 Go 8 Go

3. Cette série statistique peut être illustrée par un diagramme en bâtons.

a) Complétez le graphique.

01

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Effectif

Volumes, en Go2 3 4 5 6 7 8

b) Rayez les encadrés inexacts.Pour déterminer graphiquement le mode de cette série, on repère le bâton dont la

hauteur est la plus petite / grande , puis on lit la valeur correspondante sur l'axe

des abscisses / ordonnées .

c) Entourez, sur l’axe des abscisses du graphique, la valeur correspondant au mode de cette série.

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2. Déterminer la (ou les) classe(s) modale(s) d’une série statistique

Exemple

Le tableau suivant donne les volumes de téléchargement du mois dernier, exprimés en giga-octets, des 200 élèves du lycée :

Volumes, en Go [0 ; 2[ [2 ; 4[ [4 ; 6[ [6 ; 8] Total

Effectif 5 35 90 70 200

La classe modale de cette série est la classe de valeurs du caractère qui a le plus grand des effectifs.

Activité 2


a) L’effectif le plus grand est : 70 90 200

b) Il y a donc une seule classe modale, qui est : [4 ; 6[ [6 ; 8] [0 ; 8]

2. Cela signifi e que la classe des volumes de téléchargement les plus fréquents de ces élèves est :

[4 ; 6[ [6 ; 8] [0 ; 8]

3. Cette série statistique peut être illustrée par un histogramme. a) Complétez le graphique.

Volumes, en Go

0 1

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110Effectif

2 3 4 5 6 7 8 9

b) Rayez les encadrés inexacts.Pour déterminer graphiquement la classe modale de cette série, on repère le rectangle

dont la hauteur est la plus petite / grande , puis on lit la valeur / la classe

correspondante sur l’axe des abscisses / ordonnées .

5959

Moyenne et écart type

1. Évaluer la dispersion d’une série avec l’écart type

Voici le relevé des trois notes de mathématiques de Théa, Hector et Basile au cours du premier trimestre. L’écart type d’une série statistique,noté �, indique la dispersion des valeurs de la série autour de leur moyenne : un grand écart type correspond à une grande dispersion ; un petit écart type correspond à une petite dispersion.

Activité 1

1. Calculez la note moyenne de chacun des élèves et complétez le tableau.


a) Les moyennes des notes des trois élèves sont égales. Vrai Faux

b) L’écart type des notes de Théa est le plus petit, c’est donc elle dont la dispersion des notes est la plus petite. Vrai Faux

c) La dispersion des notes de Hector est plus grande que celle des notes de Basile. Vrai Faux

2. Aborder la courbe de Gauss

Un laboratoire d’analyses biologiques

078

5101520253035404550

8082

8486

8890

9294

9698

100102

104106

108

0 14

913

28

35

45

36

1913

106

1 0

étudie les taux de calcium (en mg/L) de 220 personnes. Les résultats sont repré-sentés par un histogramme, sur lequel la courbe tracée visualise l’allure de la série. Cette courbe, en forme de cloche, est appelée courbe de Gauss.Pour une telle série :■ les valeurs sont réparties à peu près symétriquement autour de leur moyenne ;■ environ 95 % d’entre elles appartiennent à l’intervalle � xx − 2� ; xx + 2��.

Activité 2

Les moyenne et écart type de la série des taux de calcium, en mg/L, sont :xx ≈ 93 et � ≈ 4,5.

1. Calculez. xx − 2� ≈ 93 – 2 ¥ 4,5 = 84 ; xx + 2� ≈ 93 + 2 ¥ 4,5 = 102 .


a) Sur le graphique, on constate que le nombre de personnes dont le taux, en mg/L, est compris entre 84 et 102 est : 160 208

b) Le laboratoire indique que les valeurs sont comprises entre 84 mg/L et 102 mg/L pour 95 % des sujets.

La réponse à la question a) est-elle cohérente avec cette affi rmation ?

Oui Non 208220

≈ 95 % (Justifi ez avec un calcul.)

Théa 11 09 10 xx = 10 σ ≈ 0,8

Hector 07 15 08 xx = 10 σ ≈ 3,6

Basile 11 03 16 xx = 10 σ ≈ 5,4

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3. Comment déterminer, à la calculatrice, la moyenne et l’écart type d’une série statistique ?

Méthode 1

Étape 1 Entrer les valeurs xi du caractère dans la liste 1, puis les effectifs dans la liste 2.• Modèle Casio : MENU → STAT → EXE.• Modèle TI : STAT → ENTER.

(Si les valeurs du caractère sont regroupées en classes, entrer les centres des classes comme valeurs xi.)

Étape 2 Utiliser dans le menu Calc l’instruction 1VAR et chercher sur l’écran la moyenne xxet l’écart type � (noté x�n sur CASIO et �x sur TI).

• Modèle Casio : CALC → SET, choisir List1 sur la ligne 1Var XList et List2 sur la ligne 1Var Freq (ou 1 sur la ligne 1Var Freq si tous les effectifs sont 1) → 1VAR.

• Modèle TI : CALC → 1VAR et écrire L1, L2 s’il y a 2 listes (écrire L1 s’il y a une seule liste) → ENTER.

Voici le relevé des notes de français de 25 élèves d’une classe :

Note, xi 5 8 9 10 11 12 13 15

Nombre d’élèves, ni 1 3 5 6 5 3 1 1

Déterminez, à la calculatrice, la moyenne xx et l’écart type � de cette série.

Solution

Étapes 1 et 2 On obtient xx = 10,12 et � ≈ 1,92.

4. Comment déterminer, sur tableur, la moyenne et l’écart type d’une série statistique ?

Méthode 2

Étape 1 Ouvrir une feuille de calcul → Entrer les valeurs xi dans les colonnes successives → Dans chaque colonne, utiliser la poignée de remplissage pour répéter la valeur le nombre de fois égal à son effectif. (Si les valeurs du caractère sont regroupées en classes, entrer les centres des classes comme valeurs xi.)

Étape 2 Entrer dans une cellule la formule =MOYENNE( : ) et dans une autre la

formule =ECARTYPEP( : ) , en sélectionnant les valeurs.

Voici les prix (en €) des menus du déjeuner proposés par 15 brasseries :

Prix, xi 10 15 18 20 25

Nombre de brasseries, ni 4 7 1 2 1

Déterminez, à l'aide du tableur, la moyenne xx et l’écart type � de cette série.

Solution

Étape 1 Les valeurs correspondent à la plage A1:E7. Étape 2 On entre la formule =MOYENNE(A1:E7) dans la cellule A9. On obtient xx = 15,2 .

On entre la formule =ECARTYPEP(A1:E7) dans la cellule B9. On obtient � ≈ 4,15 .

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Médiane et écart interquartile

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1. Évaluer la dispersion d’une série avec l’écart interquartile

Une infi rmière scolaire a relevé le nombre moyen d’heures de sommeil quotidien de chaque fi lle et chaque garçon d’un lycée. Certains résultats (en heures), pour les garçons, sont portés dans le tableau suivant.

Minimum 1er quartile Q1 Médiane 3e quartile Q3 Maximum

Garçons 6 h 15 7 h 15 8 h 15 8 h 30 9 h 15

Filles 6 h 45 8 h 15 8 h 45 9 h 00 9 h 45L’écart interquartile d’une série statistique est le nombre Q3 − Q1.Il indique la dispersion des valeurs de la série autour de leur médiane : un grand écart interquartile correspond à une grande dispersion ; un petit écart interquartile correspond à une petite dispersion.

Activité 1

Cochez la case correspondant à la bonne réponse.

1. L’écart interquartile de la série associée aux garçons est : 1 h 15 3 h 00

2. Le pourcentage de garçons qui ont un nombre moyen d’heures de sommeil quotidien compris entre 7 h 15 et 8 h 30 est environ 50 %. Vrai Faux

2. Lire un diagramme en boîte

Les deux diagrammes en boîte « à mous-taches » ci-contre représentent les résul-tats du nombre d’heures de sommeil quotidien des filles et des garçons du lycée précédent :chaque « boîte » est délimitée par les pre-mier et troisième quartiles, et les « mous-taches » par les valeurs minimale et maximale de la série associée.La médiane est marquée par le segment vertical à l’intérieur de la boîte.

Activité 2

1. Complétez le tableau de l’encadré du paragraphe 1, en lisant sur le diagramme correspondant aux fi lles la médiane, les 1er et 3e quartiles, les valeurs minimale et maximale.

2. Complétez. Pour la série associée aux fi lles, on lit sur le 2e diagramme que l’écart

interquartile est égal à 45 minutes et que l’étendue est égale à 3 heures.

3. Rayez les encadrés inexacts.En regardant la longueur de chacune des deux boîtes, on constate que l’écart

interquartile est plus petit / grand pour les fi lles que pour les garçons, donc

que la dispersion de la série est plus petite / grande pour les fi lles que pour les garçons.

6 7 8 9 10

Filles

Garçons

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3. Comment déterminer, sur tableur, la médiane et l’écart interquartile d’une série statistique ?

Méthode 3

Étape 1 Ouvrir une feuille de calcul → Entrer les valeurs xi dans la colonne A.

Étape 2 Entrer dans une cellule la formule =MEDIANE( : ) en sélectionnant les valeurs.

Étape 3 Entrer dans une autre cellule la formule=QUARTILE( : ;3)–QUARTILE( : ;1) en sélectionnant à nouveauces valeurs.

Voici les relevés des prix (en €) d’une baguette de pain dans 16 boulangeries d’une ville :

1,10 0,70 0,80 1,00 0,90 0,75 0,90 1,00

1,00 0,90 0,95 0,80 1,00 0,90 0,80 0,90

Déterminez, à l'aide du tableur, la médiane et l’écart interquartile de cette série.

Solution

Étape 1 On entre les différents prix dans la colonne A.Ces valeurs correspondent à la plage A1:A16.

Étape 2 On entre la formule =MEDIANE(A1:A16) dans une cellule, par exemple C1.

On obtient la médiane : Me = 0,9 .

Étape 3 On entre la formule =QUARTILE(A1:A16;3)–QUARTILE(A1:A16;1)

dans une cellule, par exemple C2.

On obtient l’écart interquartile : Q3 – Q1 = 0,2 .

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1 1. Le mode de cette série est 1, car l’effectif le plus grand est 120.2. a) Diagramme en bâtons.

b) La hauteur du bâton la plus grande est 120, ce qui cor-respond sur l’axe des abscisses à la valeur 1. Le mode de la série est bien égal à 1.

2 1. La classe modale de cette série est la classe [50 ; 55[, car l’eff ectif le plus grand est 48.2. a) Histogramme.

b) La hauteur du rectangle la plus grande est 48, ce qui correspond sur l’axe des abscisses à la classe [50 ; 55[. La classe modale de la série est bien égale à l’intervalle [50 ; 55[.

3 1. Les deux modes de cett e série sont 28 et 30, car la hauteur de ces deux bâtons est la plus grande.

2. a) Tableau statistique.

Durées de déchargement (en min)

Nombre de camions

25 2

26 5

27 12

28 40

29 38

30 40

31 10

32 3

Total 150

b) L’effectif le plus grand est 40, ce qui correspond aux valeurs 28 et 30. Les deux modes de cett e série sont bien 28 et 30.

4 1. La classe modale de cette série est la classe [40 ; 60[, car la hauteur de ce rectangle est la plus grande.2. a) Tableau statistique.

Durée(en min) Nombre de tâches à exécuter

[0 ; 20[ 2

[20 ; 40[ 4

[40 ; 60[ 6

[60 ; 80[ 3

[80 ; 100] 1

Total 16

b) L’eff ectif le plus grand est 6, ce qui correspond à la classe [40 ; 60[. La classe modale de cett e série est bien [40 ; 60[.

5 1. Tri croissant des valeurs de cett e série statistique :16 ; 16,1 ; 16,4 ; 16,5 ; 16,9 ; 17 ; 17,1; 17,2 ; 17,2 ; 17,2 ; 17,3 ; 17,4 ; 17,6 ; 17,8 ; 17,8 ; 17,9 ; 17,9 ; 17,9 ; 18 ; 18 ; 18,1 ; 18,2 ; 18,3 ; 18,5 ; 18,5 ; 18,7 ; 19,2 ; 19,3 ; 19,6 ; 20,4. 2. • Les deux modes sont 17,2 et 17,9, car l’eff ectif le plus grand est 3.• La calculatrice ou le tableur donne : wx = 17,8 et Me = 17,85.

6 • Les deux modes sont 5 et 7, car l’eff ectif le plus grand est 7.• La calculatrice ou le tableur donne : wx = 5,9 et Me = 6.

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7 1. Tableau statistique.

Classe de consommation

électrique

Centre de la classe

Nombre delave-linge

[0,7 ; 0,9[ 0,8 8

[0,9 ; 1,1[ 1 15

[1,1 ; 1,3[ 1,2 24

[1,3 ; 1,5[ 1,4 9

[1,5 ; 1,7] 1,6 4

2. La classe modale est la classe [1,1 ; 1,3[.3. La calculatrice ou le tableur donne : wx ≈ 1,15 et Me = 1,2.

8 1. Tableau statistique.

Classe Centre de la classe

Nombre de concerts

[0 ; 20[ 10 1

[20 ; 40[ 30 12

[40 ; 60[ 50 8

[60 ; 80[ 70 7

[80 ; 100] 90 2

2. La classe modale est la classe [20 ; 40[.3. La calculatrice ou le tableur donne : wx = 48 et Me = 50.

9 1. L’étendue de cett e série est 40 − 5 = 35.2. a) La calculatrice ou le tableur donne : σ ≈ 9 ; Q1 = 20 et Q3 = 30.b) L’écart interquartile de cett e série est Q3 − Q1 = 30 − 20 = 10.

10 1. Tableau.

Minimum 1er

quartile Médiane 3e

quartile Maximum

17 21 25 27 31

2. Étendue : 31 − 17 = 14. Écart interquartile : 27 − 21 = 6.

11 1. a) Classe de 1re A.

Minimum Maximum Médiane 1er

quartile3e

quartile

2 9 4 3 5

Classe de 1re B.

Minimum Maximum Médiane 1er

quartile3e

quartile

1 8 3 2 5

b) • Classe de 1re A.Étendue : 9 − 2 = 7. Écart interquartile : 5 − 3 = 2.• Classe de 1re B.Étendue : 8 − 1 = 7. Écart interquartile : 5 − 2 = 3.2. On constate une plus grande dispersion du temps moyen consacré à naviguer sur Internet pour la classe de 1re B.

12 1. La calculatrice ou le tableur donne : • épreuve 1 : wx ≈ 9,13 et σ ≈ 3,15 ; • épreuve 2 : wx = 10,3 et σ ≈ 3,33.2. a) La meilleure moyenne est obtenue à l’épreuve 2.b) Les notes sont les moins dispersées à l’épreuve 1.

13 1. wx − 2σ = 119,6 et wx + 2σ = 120,4. [wx − 2σ ; wx + 2σ] = [119,6 ; 120,4].2. a) Environ 95 % de tables produites ont un diamètre appartenant à cet intervalle.b) Cela correspond à 180 × 0,95 = 171 tables produites.

14 1. La calculatrice ou le tableur donne : wx ≈ 8,01 et σ ≈ 0,92.2. a) [ wx − 2σ ; wx + 2σ] ≈ [6,2 ; 9,9]. b) Il y a 44 arrêts dont la durée est dans l’intervalle [6 ; 10[, ce qui correspond à 44

47 ≈ 94 % des arrêts.

c) Dans l’intervalle [6 ; 10[, il y a environ 94 % des arrêts, donc dans [ wx − 2σ ; wx + 2σ], qui est inclus dans [6 ; 10[, il n’y aura pas plus de 94 % des arrêts.Ainsi, pour cett e course, les mécaniciens n’ont pas été effi -caces.

15 Partie A 1. Station U : Médiane : 5 ; écart interquartile : 6 − 4 = 2 ; étendue 8 − 3 = 5.Station I : Médiane : 5 ; écart interquartile : 11 − 2 = 9 ; étendue 13 − 0 = 13.2. a) La dispersion des mesures a été la plus grande pour la station I (étendue).b) 50 % des mesures ont été inférieures ou égales à 5 μg/m3 d’air pour les stations U et I (médiane).c) Au moins 75 % des mesures au moins ont été inférieures ou égales à 6 μg/m3 d’air pour la station U (3e quartile). Partie B 1. Les trois modes de cett e série sont 72, 76 et 77.2. Valeur minimale : 54 ; valeur maximale : 79 ; médiane : 72 ; premier quartile : 65 ; troisième quartile : 76.3. Le diagramme du dessous (en vert) représente les résul-tats précédents.

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16 1. • Affi rmation A : on ne peut pas trancher. • Affi rmation B : vraie. • Affi rmation C : vraie. • Affi rmation D : fausse. 2. a) 50 % de ces composants ont une masse inférieure ou égale à 6,25 g. b) Aucun composant n’a une masse inférieure ou égale à 6 g, donc l’entreprise est en règle.

17 Partie A Valeur minimale : 5 ; premier quartile : 45 ; médiane : 55 ; troisième quartile : 62,5 ; valeur maximale : 75. Partie B 1. Le mode de cett e série est 40.2. a) La valeur minimale de la série est 2 et la valeur maxi-male 60.b) La calculatrice affi che : médiane : 33 ; premier quartile : 14 ; troisième quartile : 40.3. La comparaison des diagrammes précédents montre que, pour la journée de promotion, les clients apparaissent avoir dépensé plus que pour une journée ordinaire, contrairement à l’affi rmation du message publicitaire.

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COMMEÀ L’ÉCRAN

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6682

Une étude est réalisée par une association de consommateurs auprès des services d’assistance téléphonique (« hotlines ») de plusieurs fournisseurs d’accès à Internet. Pour l’un de ces fournisseurs, 50 appels ont été passés. L’objectif est d’étudier le temps d’attente avant d’avoir un télé-conseiller en ligne.La feuille de calcul de tableur présentant les résultats, exprimés en minutes et arrondis à l’unité, est donnée ci-contre.

1. a) Dans quelle colonne sont portés les temps d’attente de 3 minutes ? de 10 minutes ?

Dans la colonne C et dans la colonne J.

b) Quel est le nombre d’appels correspondant à une attente de 4 minutes ?

7 appels correspondent à une att ente de 4 minutes.

c) Quelle colonne permet de lire le temps d’attente le plus fréquent ?

On lit le temps d'att ente le plus fréquent dans la colonne F : 6 minutes.En déduire le mode de la série.

Le mode de la série est donc 6.

2. On a obtenu les valeurs de la moyenne, de l’écart type, de la médiane, du premier quartile et du troisième quartile à l’aide du tableur.Ces valeurs, obtenues dans cet ordre dans les cellules K1 à K5, sont données dans le tableau suivant.

Valeurs (en min) Formules

Moyenne 6 = MOYENNE (A1:J9)

Écart type 2,12 (à 0,01 près) = ECARTYPEP (A1:J9)

Médiane 6 = MEDIANE (A1:J9)

Premier quartile 5 = QUARTILE (A1:J9;1)

Troisième quartile 7,75 = QUARTILE (A1:J9;3)

Écart interquartile 2,75 =7,75 – 5 ou =K5 – K4a) Complétez le tableau précédent par cinq formules que l’on peut utiliser sur le tableur pour obtenir ces valeurs.

b) Calculez la valeur de l’écart interquartile de la série et reportez le résultat dans le tableau précédent. Notez dans le tableau une formule à entrer dans une cellule de la feuille de calcul pour l’obtenir.

Utiliser les données d’une série statistique

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6767CHAPITRE 4 • INDICATEURS STATISTIQUES

Évaluation

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Nom

Prénom

Classe

Date

Exercice 1 10 points

En cours de fabrication, un contrôle de l’épaisseur de 500 raquettes de tennis de table a donné les résultats suivants.

Épaisseur (en mm) Centre de la classe, xi Nombre de raquettes, ni

[9,86 ; 9,90[ 9,88 13

[9,90 ; 9,94[ 9,92 55

[9,94 ; 9,98[ 9,96 96

[9,98 ; 10,02[ 10 167

[10,02 ; 10,06[ 10,04 100

[10,06 ; 10,10[ 10,08 57

[10,10 ; 10,14] 10,12 12

1. Déterminer la classe modale de cette série statistique. Donner sa signifi cation.

L’eff ectif le plus grand est 167, donc la classe modale est [9,98 ; 10,02[.

La classe des épaisseurs les plus fréquentes des raquett es est [9,98 ; 10,02[.

2. Compléter le tableau précédent.

3. À l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, déterminer, arrondis au millième,

a) la moyenne xx : 10 ; b) l’écart type � : 0,053.

4. La fabrication est jugée satisfaisante lorsqu’au moins 95 % de ces raquettes ont leur épaisseur dans l’intervalle [ xx − 2� ; xx + 2�].Dans le cas contraire, un réglage des machines est impératif.

a) Calculer xx − 2� et xx + 2�, puis écrire l’intervalle [ xx − 2� ; xx + 2�].(Arrondir les résultats au centième.)

xx − 2� ≈ 10 – 2 ¥ 0,053 ≈ 9,89 et xx + 2� ≈ 10 + 2 ¥ 0,053 ≈ 10,11.

[ xx − 2� ; xx + 2�] = [9,89 ; 10,11].

b) Déterminer le nombre, puis le pourcentage de raquettes dont l’épaisseur est située dans l’intervalle [9,90 ; 10,10[.

Il y a 475 raquett es, soit 475500

= 0,95 = 95 % des raquett es.

c) Vérifi er que l’intervalle [9,90 ; 10,10[ est inclus dans l’intervalle [ xx − 2� ; xx + 2�]. En déduire quelle sera la décision de l’entreprise.

[9,90 ; 10,10[ est inclus dans [9,89 ; 10,11]. Ainsi, [9,89 ;10,11] contient

au moins 95 % des raquett es et le réglage des machines est satisfaisant.

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Les autorités d’une île ont décidé d’installer une éolienne. L’éolienne choisie ne fonctionne que pour un vent de 8 nœuds à 48 nœuds. Pour choisir l’implantation, entre le site M (montagne) et le site F (falaise), on mesure avec un anémomètre la vitesse du vent chaque jour sur chacun de ces sites, pendant un mois (30 jours).

1. Étude sur le site MPour le site M, on présente les résultats dans un tableau. On peut y lire par exemple que pendant 3 jours, on a mesuré une vitesse de 22 nœuds.

a) Calculer le nombre de jours du mois étudié où l’éolienne n'aurait pas fonctionné.

L’éolienne n’aurait pas fonctionné

pendant 1 + 2 = 3 jours.

b) À quel pourcentage des 30 jours ce nombre correspond-il ?

330

= 0,1 = 10 %, soit 10 % des 30 jours.

c) À l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, compléter le tableau suivant.

Minimum 1er quartile Médiane 3e quartile Maximum Étendue Écart interquartile

7 18 26 37 50 50–7=4337–18=19

2. Étude sur le site FPour le site F, on résume les résultats avec un diagramme en boîte. À l’aide du diagramme, compléter le tableau suivant.

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Site Sit F

Minimum 1er quartile Médiane 3e quartile Maximum Étendue Écart interquartile

8 20 23 27 46 46–8=3827–20=7

3. Comparaison des sites Les diagrammes en boîte ci-contre résument les résultats pour les deux sites.On sait aussi que l’éolienne choisie a un rendement optimal pour une vitesse de vent aux alentours de 23 nœuds. 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Site Sit F

SiteSit MM

a) À partir des diagrammes, choisir le site qui paraît le plus intéressant pour

l’implantation de cette éolienne. Il s’agit du site F.

b) Pour justifi er le choix de ce site, rayer les encadrés inexacts :

la médiane est satisfaisante / non satisfaisante vis-à-vis du rendement optimal ;

il y a une petite / grande dispersion des vitesses du vent autour de cette médiane ;

il existe des / il n’existe aucune vitesse(s) empêchant l’éolienne de fonctionner.

Vitesse du vent, en nœuds

Effectif, en jours

7 114 216 318 320 122 326 528 132 237 444 350 2

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Fonctions de la forme f + g ou kf

85

Échauffez-vous !

5

On donne les courbes représentatives de fonctions c, i, k, f et g.

c

– 2 – 1 1 2 x

y

6

4

2

0– 2

– 4

– 6

– 8

if

k

g

1 Associez à chaque fonction son expression algébrique.

c • • x

i • • x²

k • • – 4x + 4

f • • 1

g • • 2x – 3

2 À l’aide du graphique, cochez la case correspondant à la réponse exacte.

a) Les solutions de l’équation x² = 1 sont : 1 et 2 0 et 1 – 1 et 1 (–1 ; 1)

b) La droite d’équation y = – 4x + 4 est située au-dessus de l’axe des abscisses pour :

x � 0 x � 1 x � 1 x � 4

c) La courbe d’équation y = x² est située au-dessous de la droite d’équation y = x pour :

x � 0 0 � x � 2 0 � x � 1 x � 1

1 Fonctions : Racine carrée, Inverse et Cube

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1. Déterminer le sens de variation d'une fonction à l'aide de sa courbe représentative

Fonction r : x � 1x Fonction « Racine carrée » : l’image de tout nombre positif est égale à sa racine carrée.

Fonction s : x � 1x

Fonction « Inverse » : l’image de tout nombre non nul est égale à son inverse.

Fonction q : x � x3

Fonction « Cube » : l’image de tout nombre est égale à son cube.

• On désigne par f l’une des fonctions r, s ou q et J un intervalle.f est strictement croissante sur J signifi e que la courbe représentative de f « monte » pour les abscisses x appartenant à J ; f est strictement décroissante sur J signifi e que la courbe représentative de f « descend » pour les abscisses x appartenant à J.• Dans un tableau de variation, la stricte croissance est représentée par une fl èche qui « monte » et la stricte décroissance est représentée par une fl èche qui « descend ».

Activité

1. À l’aide des courbes, reliez chaque fonction à sa (ou ses) propriété(s).

r • • strictement croissante sur �

• strictement décroissante sur ]− ∞ ; 0[s • • strictement décroissante sur ]0 ; + ∞[

q • • strictement croissante sur [0 ; + ∞[

2. Complétez les tableaux de variation avec « r(x) », « s(x) » et « q(x) ».

x – ∞ 0 + ∞

s(x)

x 0 + ∞

r(x) 0

x – ∞ + ∞

q(x)

3. À l’aide des courbes, complétez en utilisant l’un des signes � , = ou � .

a) q(– 2) < q(3) ; b) r(2) < r(3) ;

c) s(– 3) > s(– 1) ; d) s(2) > s(3).

4. On considère des nombres réels a et b, tels que a � b.À l’aide des courbes, complétez en utilisant l’un des signes � ou � .

a) q(a) < q(b).

b) Lorsque a et b appartiennent à [0 ; + ∞[, r(a) < r(b).

c) Lorsque a et b appartiennent à ]– ∞ ; 0[, s(a) > s(b).

d) Lorsque a et b appartiennent à ]0 ; + ∞[, s(a) > s(b).

0 x

y

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7171CHAPITRE 5 • FONCTIONS DE LA FORME f + g OU kf 87

2. Comment obtenir un encadrement de la solution d'une équation f(x) = c avec la calculatrice ?

Méthode 1

Dans l’équation f (x) = c, c est un nombre réel.Étape 1 Tracer sur l’écran la courbe représentative � de f et la droite d’équation y = c.Étape 2 Déterminer « à vue » (éventuellement en utilisant un zoom) le nombre entier n tel que l’intervalle [n ; n + 1[ contient l’abscisse du point d’intersection de � et de la droite.Étape 3 Affi cher un tableau de valeurs de f sur l’intervalle [n ; n + 1].• Modèle Casio : MENU → TABLE → RANG. Sur la ligne Strt, entrer n ; sur la ligne End, entrer n + 1 ; sur la ligne ptch, entrer la précision de l’encadrement (par exemple 0,1 ou 0,01) → EXE → TABL.• Modèle TI : 2nde déf table.Sur la ligne DébTable=, entrer n ; sur la ligne PasTable=, entrer la précision de l’encadrement (par exemple 0,1 ou 0,01) ; pour Valeurs et Calculs, sélectionner Auto → 2nde table.

Étape 4 Chercher dans la colonne Y1 les deux valeurs successives inférieure à c et supérieure à c ; les valeurs correspondantes de la colonne X donnent l’encadrement cherché.

Déterminez un encadrement à la précision 0,1 de la solution de l’équation x³ = 3.

Solution

Étape 1 On trace sur l’écran la courbe d’équation y = x3 et la droite d’équation y = 3.

Étape 2 L’abscisse du point d’intersection de la droite et de la courbe est comprise entre 1 et 2 (ici, n = 1 et n + 1 = 2).

Étape 3 Pour la précision 0,1, on obtient le tableau de valeurs suivant (valeurs de la 2e ligne données à 0,001 près).

x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

x3 1 1,331 1,728 2,197 2,744 3,375

x 1,6 1,7 1,8 1,9 2

x3 4,096 4,913 5,832 6,859 8

Étape 4 Dans la 2e ligne du tableau, on peut lire que la plus grande valeur de x³inférieure à 3 est 2,744 et que la plus petite valeur de x³ supérieure à 3 est 3,375.Les valeurs correspondantes de la 1re ligne sont 1,4 et 1,5.On en déduit un encadrement de la solution x0 de l’équation x³ = 3 :1,4 � x0 � 1,5.

x

�

n n + 1

y = c

2 Fonctions f + g

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1. Examiner une fonction f + g

On donne des fonctions f et g, défi nies sur un intervalle I.La fonction somme f + g associe, à tout x de l’intervalle I, le nombre f (x) + g(x).

Activité

Le tableau suivant donne des valeurs de fonctions f et g, défi nies sur [0 ; 10].

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f (x) 18 11 6 3 2 3 6 11 18 27 38

g(x) 15 11,5 10 16,5 20 15 8 4,7 4 7 12

f (x) + g(x) 33 22,5 16 19,5 22 18 14 15,7 22 34 50

1. a) Calculez l’image par la fonction f + g :du nombre 2 : f(2) + g(2) = 6 + 10 = 16 ;

du nombre 6 : f(6) + g(6) = 6 + 8 = 14 .

b) Complétez le tableau précédent.

c) Donnez un (ou des) antécédent(s) par la fonction f + g :

du nombre 19,5 : 3 ;

du nombre 22 : 4 et 8.

2. Sur le graphique ci-contre sont tracées les courbes représentatives des fonctions f, g et f + g.

a) À l’aide du graphique, complétez par des fl èches le tableau de variation suivant.

x 0 2 4 6 8 10

f (x)

g (x)

f (x) + g(x)

b) En utilisant le tableau, cochez la case correspondant à la réponse exacte.

• Sur un intervalle où f et g sont toutes deux strictement croissantes, f + g est : strictement croissante strictement décroissante

• Sur un intervalle où f et g sont toutes deux strictement décroissantes, f + g est : strictement croissante strictement décroissante

40

30

20

10

0 2 4 6 8 x

y

10

g

f

f + g

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2. Comment tracer la courbe représentative d'une fonction f + g ?

Méthode 2

On considère deux fonctions f et g, défi nies sur un intervalle I.Étape 1 Se positionner sur un point P(a ; f (a)) de la courbe représentative de f.Étape 2 Placer le point P�(a ; f (a) + g(a)), qui est un point de la courbe représentative de f + g.Étape 3 Reprendre les étapes 2 et 3 avec d’autres points.Étape 4 Tracer la courbe représentative de la fonction f + g.

On donne un tracé des courbes représentatives de fonctions f et g.Pour chaque cas, tracez la courbe représentative de la fonction f + g.

a) f et g sont défi nies sur [– 2 ; – 0,1] par f (x) = x² et g(x) = 1x .

– 8

– 6

– 4

– 20

2

4 y

x– 0,2 0,2– 0,4– 0,6– 0,8– 1– 1,2– 1,4– 1,6– 1,8– 2

b) f et g sont défi nies sur [– 2 ; 2] par f (x) = –2x – 3 et g(x) = x³.

– 8

– 6

– 4

– 2

2

4

6

8

– 2 – 1,5 – 1 – 0,5 0 0,5 1 1,5

y

x

Solution

a) Étape 1 On se positionne sur le graphique en P(– 2 ; 4).

Étape 2 g(– 2) = – 0,5, donc P�(– 2 ; 4 + (–0,5)), c’est-à-dire P�(– 2 ; 3,5).

Étape 3 On reprend avec les points Q, R, S et T d’abscisses – 1,6 ; – 1 ; – 0,5 et – 0,1.Q(–1,6 ; 2,56), donc Q�(–1,6 ; 1,935) ; R(–1 ; 1), donc R�(–1 ; 0) ; S(–0,5 ; 0,25), donc S�(–0,5 ; –1,75) ; T(–0,1 ; 0,01), donc T�(–0,1 ; –9,99).

Étape 4 On trace la courbe représentative de la fonction f + g.

b) Étape 1 On se positionne sur le graphique en P(– 2 ; 1).

Étape 2 g(– 2) = – 8, donc P�(– 2 ; 1 + (–8)), c’est-à-dire P�(– 2 ; –7).

Étape 3 On reprend avec les points Q, R, S et T d’abscisses – 1 ; 0 ; 1 et 2.Q(–1 ; –1), donc Q�(–1 ; –2) ; R(0 ; –3), donc R�(0 ; –3) ; S(1 ; –5), donc S�(1 ; –4) ; T(2 ; –7), donc T�(2 ; 1).

Étape 4 On trace la courbe représentative de la fonction f + g .

3 Fonctions kf

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1. Examiner des fonctions kf

On donne un nombre réel k et une fonction f, défi nie sur un intervalle I.La fonction kf associe, à tout x de l’intervalle I, le nombre kf (x).

Activité

Le tableau suivant donne des valeurs d’une fonction f, défi nie sur [0 ; 10].

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f (x) 0,6 0,115 0,008 0,051 0,088 0,035 – 0,12 – 0,317 – 0,424 – 0,237 0,52

2f (x) 1,2 0,23 0,016 0,102 0,176 0,07 – 0,24 – 0,634 – 0,848 – 0,474 1,04– 1,5f (x) –0,9 – 0,1725 – 0,012 – 0,076 – 0,132 – 0,0525 0,18 0,4755 0,636 0,3555 – 0,78

1. a) Calculez l’image par la fonction 2f :du nombre 2 : 2f(2) = 2 ¥ 0,008 = 0,016 ; du nombre 6 : 2f(6) = 2 ¥ (–0,12) = –0,24 .

b) Calculez l’image par la fonction – 1,5f :du nombre 2 : –1,5f(2) = –1,5 ¥ 0,008 = –0,012 ; du nombre 6 : –1,5f(6) = –1,5 ¥ (–0,12) = 0,18.

c) Complétez le tableau précédent.

2. Sur le graphique ci-contre sont tracées les courbes représentatives des fonctions f, 2f et – 1,5f.

a) À l’aide du graphique, complétez par des fl èches le tableau de variation suivant.

x 0 2 4 8 10

f (x)

2f (x)

– 1,5f (x)

b) En utilisant le tableau, cochez la case correspondant à la réponse exacte.

• Sur un intervalle où f est strictement croissante,2f est : strictement croissante strictement décroissante – 1,5f est : strictement croissante strictement décroissante

• Sur un intervalle où f est strictement décroissante,2f est : strictement croissante strictement décroissante – 1,5f est : strictement croissante strictement décroissante

02 4 6 8 10

2 f

f

– 1,5 f

1

– 1

y

x

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2. Comment tracer la courbe représentative d'une fonction kf ?Méthode 3

On considère une fonction f, défi nie sur un intervalle I, et un nombre réel k.Étape 1 Se positionner sur un point P(a ; f (a)) de la courbe représentative de f.Étape 2 Placer le point P�(a ; kf (a)), qui est un point de la courbe représentative de kf.Étape 3 Reprendre les étapes 2 et 3 avec d’autres points.Étape 4 Tracer la courbe représentative de la fonction kf.

On donne un nombre k et un tracé de la courbe représentative d’une fonction f.Pour chaque cas, tracez la courbe représentative de la fonction kf. a) k = 0,5 ; f est défi nie sur [– 2 ; 2] par f (x) = x³.

7y

x

531

– 1– 3– 5– 7– 9

– 2 – 1,5 – 1 – 0,5 0,5 1 1,5 20

T �

S �Q �

P �

R �

b) k = –2 ; f est défi nie sur [– 2 ; – 0,2] par f (x) = 1x .

y

x

– 5– 3– 113579

– 0,2 0– 0,4– 0,6– 0,8– 1– 1,2– 1,4– 1,6– 1,8– 2

T �

S �

Q �P �

R �

Solution

a) Étape 1 On se positionne sur le graphique en P(– 2 ; – 8).

Étape 2 P�(– 2 ; 0,5 × (– 8)), c’est-à-dire P�(– 2 ; –4) ; on place P�.

Étape 3 On reprend avec les points Q, R, S et T d’abscisses – 1 ; 0 ; 1 et 2.Q(–1 ; –1), donc Q�(–1 ; –0,5) ; R(0 ; 0), donc R�(0 ; 0) ; S(1 ; 1), donc S�(1 ; 0,5) ; T(2 ; 8), donc T �(2 ; 4).

Étape 4 On trace la courbe représentative de la fonction 0,5f.

b) Étape 1 On se positionne sur le graphique en P(–2 ; –0,5).

Étape 2 P�(– 2 ; – 2 × (– 0,5)), c’est-à-dire P�(– 2 ; 1) ; on place P�.

Étape 3 On reprend avec les points Q, R, S et T d’abscisses – 1,6 ; – 1 ; – 0,5 et – 0,2.Q(–1,6 ; –0,625), donc Q�(–1,6 ; 1,25) ; R(–1 ; –1), donc R�(–1 ; 2) ; S(–0,5 ; –2), donc S�(–0,5 ; 4) ; T(–0,2 ; –5), donc T �(–0,2 ; 10).

Étape 4 On trace la courbe représentative de la fonction – 2f.

4 Résolutions graphiques d’inéquations

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1. Observer la position relative de deux courbes

Une entreprise fabrique une substance en poudre. La fonction C, de courbe �, donne le coût total de production et la fonction R, de courbe �, donne la recette totale (en euros) pour x tonnes fabriquées et vendues, pour 0 � x � 35.

Activité

1. Sur le graphique :

a) marquez en noir les points d’intersection des deux courbes ;

b) surlignez en rouge la partie de la courbe � située au-dessus de la courbe � ;

c) surlignez en bleu la partie de la courbe � située au-dessous de la courbe �.


a) Les abscisses x des points en noir sont telles que R(x) = C(x) / R(x) ≠ C(x) ,

ce qui correspond à une recette égale au coût / une recette différente du coût .

b) Les abscisses x des points en rouge sont telles que R(x) � C(x) / R(x) � C(x) ,

ce qui correspond à une recette supérieure au coût / une recette inférieure au coût .

c) Les abscisses x des points en bleu sont telles que R(x) � C(x) / R(x) � C(x) ,

ce qui correspond à une recette supérieure au coût / une recette inférieure au coût .

3. Pour chaque proposition, entourez la réponse exacte (Vrai ou Faux).

a) L’entreprise perd de l’argent pour 4 tonnes vendues.

Vrai Faux

b) L’entreprise gagne de l’argent pour 28 tonnes vendues.

Vrai Faux

c) L’entreprise gagne de l’argent entre 6 et 24 tonnes vendues .

Vrai Faux

y

x

1 5001 4001 3001 2001 1001 000

900800700600500400300200100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

�

�

Rouge

�

�

Bleu

Bleu

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2. Comment résoudre graphiquement une inéquation f(x) � 0 (ou f(x) � 0, ou f(x) � 0, ou f(x) � 0) ?

Méthode 4

On considère une fonction f, défi nie sur un intervalle I.Étape 1 Tracer la courbe représentative �f de f, si un graphique n’est pas fourni.Étape 2 Observer la position de cette courbe par rapport à l’axe des abscisses : • pour les abscisses x des points d’intersection de �f avec cet axe, f (x) = 0 ;• pour les abscisses x pour lesquelles �f est au-dessus de cet axe, f (x) � 0 ;• pour les abscisses x pour lesquelles �f est au-dessous de cet axe, f (x) � 0.

�f est la courbe représentative d’une fonction f défi nie sur [– 2 ; 3].Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) > 0.

Solution

Étape 1 Un graphique est fourni.

Étape 2 La courbe �f coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 2 et est située au-dessus de cet axe pour les abscisses x telles que 2 � x � 3.Les solutions de l’inéquation f (x) � 0 sont donc les nombres appartenant à l’intervalle ]2 ; 3].

3. Comment résoudre graphiquement une inéquation f(x) � g(x)(ou f(x) � g(x), ou f(x) � g(x), ou f(x) � g(x)) ?

Méthode 5

On considère des fonctions f et g, défi nies sur un intervalle I. Étape 1 Tracer les courbes représentatives �f et �g de f et de g , si un graphique n’est pas fourni.Étape 2 Observer la position de la courbe �f par rapport à la courbe �g : • pour les abscisses x des points d’intersection de �f et de �g , f (x) = g(x) ;• pour les abscisses x pour lesquelles �f est au-dessus de �g , f (x) � g(x) ;

• pour les abscisses x pour lesquelles �f est au-dessous de �g , f (x) � g(x).

�f et �g sont les courbes représentatives de fonctions f et g défi nies sur [– 2 ; 3].Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) � g(x).

Solution

Étape 1 Un graphique est fourni.

Étape 2 La courbe �f est située au-dessus de la courbe �g pour les abscisses x telles que –1 � x � 3.Les solutions de l’inéquation f (x) � g(x) sont donc les nombres appartenant à l’intervalle ]–1 ; 3].

– 1

20

468

10

– 8– 6– 4– 2 1 2

y

x

�f

�g

– 1 02468

10y

x

– 8– 6– 4– 2 1 2

�f

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1 1. et 2. Tracé des courbes représentatives de f, g et f + g sur [0 ; 2].

– 10

– 8

– 6

– 4

– 2

2

4

6

8

0– 0,5 0,5 1 1,5 2

y = f(x) y = g(x) y = f(x) + g(x)

2 1. et 2. Tracé des courbes représentatives de f, g, h et f + h sur [0 ; 4].

15

10

5

– 5

– 0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

– 10

0

y = f(x) y = g(x) y = h(x)y = f(x) + h(x)

3 1. et 2. Tracé des courbes représentatives de f, g, h et f + h sur [0,5 ; 3].

0,50

– 1

– 3

– 5

5

3

9

7

1

1 1,5

y = f(x) y = g(x) y = h(x) y = f(x) + h(x)

2 2,5 3

3. a) f et h sont strictement croissantes sur [0,5 ; 3]. b) On en déduit que f + h est strictement croissante sur [0,5 ; 3].

4 1. et 2. Tracé des courbes représentatives de f, g, h et f + h sur [– 2 ; – 0,1].

10

8

6

4

2

0

y = f(x) y = f(x) + h(x)y = g(x) y = h(x)

– 2,2 – 2 – 1,8 – 1,6 – 1,4 – 1,2 – 1 – 0,8 – 0,6 – 0,4 – 0,2– 2

– 4

– 6

– 8

– 10

– 12

3. a) f et h sont strictement croissantes sur [– 2 ; – 0,1].b) On en déduit que f + h est strictement croissante sur [– 2 ; – 0,1].

5 • La courbe en rouge est la courbe représentative de la fonction g.• La courbe en vert est la courbe représentative de la fonc-tion h.• La courbe en bleu est la courbe représentative de la fonc-tion j.• La courbe en violet est la courbe représentative de la fonction k.

6 1. Sur la fi gure, la courbe en bleu est celle de la fonc-tion f et la courbe en rouge celle de la fonction g.2. a) La courbe �f coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 0 et est située au-dessus de cet axe pour les abscisses x telles que 0 � x � 2.Les solutions de l’inéquation f(x) � 0 sont donc les nombres appartenant à l’intervalle ]0 ; 2].b) La courbe �g est située au-dessus de la courbe �f pour les abscisses x telles que − 2 � x � 1.Les solutions de l’inéquation g(x) � f(x) sont donc les nombres appartenant à l’intervalle [− 2 ; 1[.3. a) On pose x0 � x1. • L’abscisse x0 du point d’intersection de l’axe des abs-cisses et de la courbe est comprise entre − 2 et − 1 (ici n = − 2 et n + 1 = − 1).• L’abscisse x1 du point d’intersection de la droite et de la courbe est comprise entre 1 et 2 ( ici n = 1 et n + 1 = 2).b) On établit un tableau de valeurs avec la précision 0,1. • Sur l’intervalle [− 2 ; − 1[, on lit que la plus grande valeur de g(x) inférieure à 0 est − 0,25 et que la plus petite valeur de g(x) supérieure à 0 est 0,04. Les valeurs correspondantes de x sont − 1,5 et − 1,4.On en déduit un encadrement de la solution x0 de l’équation g(x) = 0 :−1,5 � x0 � −1,4. • Sur l’intervalle [1 ; 2[, on lit que la plus petite valeur de g(x)

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supérieure à 0 est 0,04 et que plus grande valeur de g(x) inférieure à 0 est − 0,25. Les valeurs correspondantes de x sont 1,4 et 1,5.On en déduit un encadrement de la solution x1 de l’équation g(x) = 0 :1,4 � x1 � 1,5.

7 1. a) La courbe �g coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses − 2 et 2 ; elle est située au-dessous de cet axe pour les abscisses x telles que −2 � x � 2.Les solutions de l’inéquation g(x) � 0 sont donc les nombres appartenant à l’intervalle ]− 2 ; 2[.b) La courbe �f est située au-dessus de la courbe �g pour les abscisses x telles que − 1 � x � 2,5.Les solutions de l’inéquation f(x) � g(x) sont donc les nombres appartenant à l’intervalle ]− 1 ; 2,5].2. a) La courbe �f coupe l’axe des abscisses en x0 tel que 1 � x � 2 (ici n = 1 et n + 1 = 2).b) On établit un tableau de valeurs avec la précision 0,1. On lit que la plus grande valeur de f(x) inférieure à 0 est − 0,272 et que la plus petite valeur de f(x) supérieure à 0 est 0,197. Les valeurs correspondantes de x sont 1,2 et 1,3.On en déduit un encadrement de la solution x0 de l’équation f(x) = 0 :1,2 � x0 � 1,3.

8 1. a) La courbe �f coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 0,5 et est située au-dessus de cet axe pour les abscisses x telles que 0,1 � x � 0,5.Les solutions de l’inéquation f(x) � 0 sont donc les nombres appartenant à l’intervalle [0,1 ; 0,5[.b) La courbe �f est située au-dessus de la courbe �g pour les abscisses x telles que 0,1 � x � 1,5.Les solutions de l’inéquation f(x) � g(x) sont donc les nombres appartenant à l’intervalle [0,1 ; 1,5[.2. a) On trace la droite d’équation y = – 6.L’abscisse du point d’intersection de cett e droite et de la courbe est comprise entre 0 et 1 (ici n = 0 et n + 1 = 1).b) On établit un tableau de valeurs avec la précision 0,1. On lit que la plus grande valeur de g(x) inférieure à − 6 est − 6,666 et que la plus petite valeur de g(x) supérieure à − 6 est − 5.Les valeurs correspondantes de x sont 0,3 et 0,4.On en déduit un encadrement de la solution x0 de l’équation g(x) = −6 :0,3 � x0 � 0,4.

9 On note �f la courbe représentative de f.1. La courbe �f coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 2 ; elle est située au-dessus de cet axe pour les abscisses x telles que 2 � x � 3.Les solutions de l’inéquation f(x) � 0 sont donc les nombres appartenant à l’intervalle ]2 ; 3].2. La courbe �f coupe l’axe des abscisses au point d’abs-cisse 4 ; elle est située au-dessus de cet axe pour les abscisses x telles que 0 � x � 4.

Les solutions de l’inéquation f(x) � 0 sont donc les nombres appartenant à l’intervalle [0 ; 4[.3. La courbe �f coupe l’axe des abscisses au point d’abs-cisse 0,5 ; elle est située au-dessus de cet axe pour les abs-cisses x telles que 0 � x � 0,5.Les solutions de l’inéquation f(x) � 0 sont donc les nombres appartenant à l’intervalle ]0 ; 0,5[.4. La courbe �f coupe l’axe des abscisses au point d’abs-cisse 2 ; elle est située au-dessus de cet axe pour les abs-cisses x telles que 2 � x � 5.Les solutions de l’inéquation f(x) � 0 sont donc les nombres appartenant à l’intervalle ]2 ; 5].

10 On note �f et �g les courbes représentatives de f et de g.1. La courbe �f est située au-dessus de la courbe �g pour − 2 � x � − 1 et pour 0 � x � 2.Les solutions de l’inéquation f(x) � g(x) sont donc les nombres appartenant à l’ensemble [− 2 ; − 1[ ∪ ]0 ; 2].2. La courbe �f est située au-dessus de la courbe �g pour − 1 � x � 0 et pour 1 � x � 5 .Les solutions de l’inéquation f(x) � g(x) sont donc les nombres appartenant à l’ensemble ]− 1 ; 0[ ∪ ]1 ; 5].3. La courbe �f est située au-dessus de la courbe �g pour 0 � x � 1.Les solutions de l’inéquation f(x) � g(x) sont donc les nombres appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[.

11 1. a) Tracé sur l’écran d’une calculatrice.b) L’abscisse du point d’intersection de la droite d’équation y = 2 et de la courbe représentative de f est comprise entre 1 et 2 (ici n = 1 et n + 1 = 2).c) On établit un tableau de valeurs avec la précision 0,1. On lit que la plus grande valeur de f(x) inférieure à 2 est 1,375 et que la plus petite valeur de f(x) supérieure à 2 est 2,096. Les valeurs correspondantes de x sont 1,5 et 1,6.On en déduit un encadrement de la solution x0 de l’équation f(x) = 2 : 1,5 � x0 � 1,6.2. a) Tracé sur l’écran d’une calculatrice.b) L’abscisse du point d’intersection de la droite d’équation y = − 5 et de la courbe représentative de f est comprise entre − 1 et 0 (ici n = − 1 et n + 1 = 0).c) On établit un tableau de valeurs avec la précision 0,1. On lit que la plus petite valeur de f(x) supérieure à − 5 est − 4,5 et que la plus grande valeur de f(x) inférieure à − 5 est − 5,4. Les valeurs correspondantes de x sont − 0,5 et − 0,4.On en déduit un encadrement de la solution x0 de l’équation f(x) = − 5 : − 0,5 � x0 � − 0,4.3. a) Tracé sur l’écran d’une calculatrice.b) L’abscisse du point d’intersection de la droite d’équation y = 3 et de la courbe représentative de f est comprise entre 2 et 3 (ici n = 2 et n + 1 = 3).c) On établit un tableau de valeurs avec la précision 0,1. On lit que la plus grande valeur de f(x) inférieure à 3 est 2,961 et que la plus petite valeur de f(x) supérieure à 3 est 4,048. Les valeurs correspondantes de x sont 2,1 et 2,2.

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On en déduit un encadrement de la solution x0 de l’équation f(x) = 3 : 2,1 � x0 � 2,2.

12 1. Tracé des courbes représentatives des fonctions f, g et f + g.a) y = f(x) y = g(x) y = f(x) + g(x)

– 2,5 – 2 0

4

– 2

2

– 1,5 – 1

– 4– 6– 8

– 10

– 0,5

b) y = f(x) y = g(x) y = f(x) + g(x)8

6

4

2

0 0,5 1 1,5 2 2,5

– 6

– 8

– 2– 2,5 – 2 – 1,5 – 1 – 0,5

– 4

2. Tracé des courbes représentatives des fonctions f et kf.a) y = f(x) y = 0,5f(x)

10

8

6

4

2

0

– 2– 2,5 – 2 – 1,5 – 1 – 0,5 1,50,5 1 2,52

– 4

– 6

– 8

– 10

b) y = – 2f(x)y = f(x)12

108

64

2

0– 2– 4

– 6

– 2,5 – 2 – 1,5 – 1 – 0,5

13 1. les courbes représentatives des fonctions C et R se coupent aux points d’abscisses 30 et 60. Les solutions de l’équation R(x) = C(x) sont 30 et 60.2. a) La courbe représentative de R est située au-dessus de la courbe représentative de C pour les abscisses x telles que 30 � x � 60.Les solutions de l’inéquation R(x) � C(x) sont donc les nombres appartenant à l’intervalle ]30 ; 60[.

b) Pour réaliser un bénéfi ce, l’entreprise doit vendre entre 31 et 59 moteurs.

14 1. a) Tableau de valeurs et tracé de la courbe.

C(x)

600

500

400

300

200

100

0 5 10 15 20 25 30 35

b) Ajout du tracé de la courbe représentative de R.

C(x)R(x)

600

500

400

300

200

100

5 10 15 20 25 30 350

2. La courbe représentative de R est située au-dessus de la courbe représentative de C pour les abscisses x telles que 4 � x � 26.

Les solutions de l’inéquation R(x) �C(x) sont donc les nombres appartenant à l’intervalle ]4 ; 26[.

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Cela signifi e que l’artisan est bénéfi ciaire (les recett es sont supérieures aux coûts) lorsqu’il fabrique et vend entre 5 et 25 pièces.3. a) Ajout du tracé de la courbe représentative de B.

C(x)R(x)B(x)

600

500

400

300

200

100

0

– 100

5 10 15 20 25 30 35

b) La courbe représentative de B est située au-dessus de l’axe des abscisses pour les abscisses x telles que 4 � x � 26.Les solutions de l’inéquation B(x) � 0 sont donc les nombres appartenant à l’intervalle ]4 ; 26[.On retrouve bien les résultats de la question 2.c) Le bénéfi ce est maximal pour 15 pièces vendues. Ce béné-fi ce maximal est égal à B(15) = 60,5, soit 60,50 €.

15 Partie A

1. et 2. Tracé des courbes représentatives de f, g et k.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5

y = f(x) y = g(x) y = k(x)

3. Graphiquement, le minimum de la fonction k est 2, att eint pour l’abscisse 0,5.4. • On trace la droite d’équation y = 4 sur la fi gure et on pose x0 � x1. • L’abscisse x0 du point d’intersection de la droite et de la courbe est comprise entre 0 et 1.On établit un tableau de valeurs avec la précision 0,1.Sur l’intervalle [0 ; 1], on lit que la plus petite valeur de k(x) supérieure à 4 est 5,2 et que la plus grande valeur de k(x) inférieure à 4 est 2,9.

Les valeurs correspondantes de x sont 0,1 et 0,2.On en déduit un encadrement de la solution x0 de l’équation k(x) = 4 : 0,1 � x0 � 0,2.• L’abscisse x1 du point d’intersection de la droite et de la courbe est comprise entre 1 et 2.On établit un tableau de valeurs avec la précision 0,1.Sur l’intervalle [1 ; 2], on lit que la plus grande valeur de k(x) inférieure à 4 est 3,9 environ et que la plus petite valeur de k(x) supérieure à 4 est 4,1 environ. Les valeurs correspondantes de x sont 1,8 et 1,9.On en déduit un encadrement de la solution x1 de l’équation k(x) = 4 : 1,8 � x1 � 1,9.

Partie B

1. On a l’égalité � × h = 0,5, équivalente à � = 0,5h

. 2. La longueur du contour intérieur de la section est égale à 2h + 0,5

h = k(h), où k est la fonction de la partie A.

3. On en déduit que, pour obtenir le frottement minimal,

h = 0,5 m et � = 0,50,5

= 1 m.

4. D’après la partie A., l’équation k(h) = 4 possède deux solutions, dont les valeurs approchées à 0,1 près par défaut sont h = 0,1 et h = 1,8.Les valeurs de � correspondantes sont � = 5 et � = 0,3.

16 Partie A.1. et 2. Tracé des courbes représentatives de f, g, k et 2k.

0

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5

y = f(x) y = g(x) y = k(x) y = 2k(x)

Partie B1. On note V le volume, en dm³, de la boîte. V = x × x × h = x2h.2. On note S la surface totale, en dm², de la boîte. S = 2x2 + 4xh.3. On suppose que la boîte est de volume fi xé V = 1 dm³.

a) On a l’égalité x2h = 1, équivalente à h = 1x2 .

On en déduit que S(x) = 2x2 + 4x1x2 ,

soit S(x) = 2�x2 + 2x � ou encore S(x) = 2k(x).

b) La surface de la boîte est minimale pour x = 1.

c) Pour x = 1, h = 1

12 = 1.

d) La boîte a la forme d’un cube.

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COMMEÀ L’ÉCRAN

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f est la fonction défi nie sur [–2 ; 3] par f (x) = x².

1. Quelle formule a-t-on écrite dans la cellule B2, puis recopiée jusqu’en B12 pour obtenir les valeurs de f(x) ?

On a écrit la formule =A2^2.

2. Dans la cellule C2, on a écrit la formule =A2^3 , puis on l’a recopiée jusqu’en C12. Dans la cellule D2, on a écrit la formule = – 0,5*C2 , correspondant à une fonction g, puis on l’a recopiée jusqu’en D12.Écrivez g(x) en fonction de x.

On a g(x) = –0,5x3.

3. Dans la cellule E2, on a écrit la formule =B2+D2 , correspondant à une fonction h, puis on l’a recopiée jusqu’en E12.

Écrivez h(x) en fonction de x.

On a h(x) = x2 – 0,5x3.

4. Parmi les formules suivantes, cochez celle qui aurait permis d’obtenir les mêmes valeurs de h(x) dans la colonne E.

=A2^3+0,5*A2^2 =A1^2+0,5*A1^3 =A2^2+0,5*A2^3

=B2^2–0,5*B2^3 =A2^2–0,5*A2^3 A2^2–0,5*A2^3

5. Déterminez graphiquement les solutions de l’équation h(x) = 0.Dans quelles cellules du tableau les lit-on ?

Les solutions de l’équation h(x) = 0 sont 0 et 2.On les lit dans les cellules A6 et A10.

Courbes représentativesdes fonctions kf et f + g

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83CHAPITRE 8 • FLUCTUATION D'UNE FRÉQUENCE, PROBABILITÉS 83

Évaluation

CHAPITRE 5 • FONCTIONS DE LA FORME f + g OU kf 99

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Nom

Prénom

Classe

Date


1212

y

x

1010

88

66

44

22

0

– 22

– 44

0,50– 0,500,5– 11 1,51– 1,511,51

On donne ci-dessus les courbes représentatives des fonctions f (en violet)

et g (en rouge), défi nies sur [– 2 ; – 0,2] par f (x) = x³ + 3 et g(x) = – 2x

.

1. Tracer sur ce graphique la courbe représentative de la fonction f + g.

2. Donner le sens de variation des fonctions f et g, sur [– 2 ; – 0,2].

f et g sont strictement croissantes sur [–2 ; –0,2].

En déduire celui de la fonction f + g.f et g sont strictement croissantes sur [–2 ; –0,2],donc f + g est strictement croissante sur [–2 ; –0,2].

3. a) Déterminer, à l’aide du graphique, un encadrement à la précision 0,1 de la solution x0 de l’équation f (x) = 0.

La courbe représentative de f coupe l’axe des abscisses au point d’abscissex0 tel que –1,5 < x0 < –1,4.

b) Déterminer, à l’aide la calculatrice, un encadrement à la précision 0,01 de x0 .

On crée un tableau à la calculatrice ; la plus grande valeur de f(x) inférieureà 0 est –0,049 et la plus petite valeur de f(x) supérieure à 0 est 0,014. Les valeurs de x correspondantes sont –1,45 et –1,44, donc –1,45 < x0 < –1,44.

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Problème 10 points

Chaque jour, une petite entreprise fabrique x centaines de pièces pour l’industrie automobile (0 � x � 12). Le coût total de fabrication, en euros, de ces pièces est exprimé par une fonction C, dont on donne la courbe représentative.

700

y

xx

600

500

400

300

200

100

0

– 100

– 200

111 22222 44444 55555 66666 77777 88888 99999 0011 1111

��CC

��RR

��BB

33333333333

1. Déterminer le coût total de fabrication de 800 pièces.Le coût de fabrication de 800 pièces est 275 euros.2. On suppose que toute la production est vendue, au prix de 50 € les 100 pièces. La recette totale, en euros, est donc donnée par la fonction R défi nie sur [0 ; 12] par R(x) = 50x.

a) Quelle est la nature de la courbe représentative de la fonction R ?C’est une droite qui passe par l’origine du repère.b) Tracer cette courbe sur le graphique précédent.

3. a) Résoudre graphiquement l’inéquation R(x) � C(x) en laissant les traits utiles.La courbe représentative de la fonction R est située au-dessus de la courbereprésentative de la fonction C pour les abscisses x telles que 4 < x < 11.Les solutions de l’inéquation sont les nombres réels de l’intervalle ]4 ; 11[.b) Interpréter le résultat obtenu (gain ou perte pour l'entreprise).L’entreprise réalise un gain (la recett e est supérieure au coût) pour 4 < x < 11 ;c’est-à-dire lorsqu’elle fabrique et vend entre 401 et 1099 pièces.4. On note B la fonction défi nie sur [0 ; 12] par B(x) = R(x) – C(x).

a) Tracer sur le même graphique la courbe représentative de la fonction B.

b) Résoudre graphiquement l’inéquation B(x) � 0.La courbe représentative de la fonction B est située au-dessus de l’axedes abscisses pour 4 < x < 11. Les solutions de l’inéquation B(x) > 0 sontles réels de l’intervalle ]4 ; 11[.c) Retrouver les résultats de la question 3.L’entreprise est bénéfi ciaire lorsque B(x) > 0, soit quand elle fabrique et vend entre 401 et 1099 pièces. On retrouve ainsi les résultats de la question 3., l’inéquation R(x) > C(x) étant équivalente à l’inéquation B(x) > 0.

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Fonctions et équations du second degré

101

Échauffez-vous !

6

Vocabulaire

Résoudre une équation (ou une inéquation) à une inconnue xconsiste à trouver toutes les valeurs de x telles que l’égalité (ou l’inégalité) correspondante soit vraie.Ces valeurs sont appelées solutions de l’équation (ou de l’inéquation).

1 Cochez la case correspondant à la bonne réponse.a) La solution de l’équation – 5x + 10 = 0 est :

0 2 – 2 0,5 – 5

b) L’ensemble des solutions de l’inéquation –x + 3 > 0 est : ]− ∞ ; 3] ]3; + ∞[ [3 ; + ∞[ ]− ∞ ; 3[

2 Cochez la ou les cases correspondant à une bonne réponse.a) Une solution de l’équation x2 − 9 = 0 est :

0 3 – 3 9 – 9

b) Une solution de l’inéquation x2 − 9 > 0 est : 0 3 – 3 9 – 9

3 On a tracé sur tableur la droite d’équation y = – 2x + 3.

a) Utilisez le graphique pour relier le début de chaque phrase à la fi n qui lui correspond.La droite coupe l’axe des abscisses pour • • x � 1,5

La droite est située au-dessus de l’axe des abscisses pour • • x = 1,5

La droite est située au-dessous de l’axe des abscisses pour • • x � 1,5

b) Entourez le tableau de signe de –2x + 3.

x – ∞ 1,5 + ∞ x – ∞ 1,5 + ∞– 2x + 3 + 0 – – 2x + 3 – 0 +

1 Fonctions polynômes du second degré

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1. Se familiariser avec ces fonctions

• Une fonction polynôme du second degré f est une fonction qui s’exprime, pour x réel, sous la forme f (x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels, avec a ≠ 0.(« Second degré » parce que l’exposant le plus grand de x est 2.)• La courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal est une parabole, orientée « vers le haut » lorsque a > 0, « vers le bas » lorsque a � 0.Elle présente une symétrie par rapport à la droite passant par son sommet et parallèle à l’axe des ordonnées. Exemple

On lance verticalement une balle. La hauteur, en mètres, atteinte par la balle est donnée en fonction du temps x � 0, en secondes, par f (x) = − 5x² + 15x + 1,55.

Activité

1. Tracez sur l’écran d’une calculatrice la parabole représentative de la fonction f défi nie dans l'exemple, pour les abscisses dans l’intervalle [0 ; 3,1] (voir rabat de couverture sur les calculatrices).

2. Rayez l’encadré inexact.

a) La parabole est orientée vers le haut / bas , car a � / � 0.

b) La fonction f a un minimum / maximum en x = 1,5.

c) La fonction f est strictement croissante / décroissante sur [0 ; 1,5].

d) La fonction f est strictement croissante / décroissante sur [1,5 ; 3,1].

3. Complétez le tableau de valeurs de f.

x 0 0, 5 1 1,5 2 2,5 3,1

f (x) 1,55 7,8 11,55 12,8 11,55 7,8 0

4. a) Quelle est la valeur du maximum de f sur l’intervalle [0 ; 3,1] ? 12,8

b) Vérifi ez qu’il est atteint pour x = − b

a2, c’est-à-dire x = −

15

2 (– 5)×.

–152 ¥ (–5)

= –15–10

= 1,5. Le maximum est bien att eint en x = –b2a

.

5. Utilisez le graphique ou le tableau de valeurs pour relier chaque début de phrase à la fi n qui lui correspond.

La balle est lancée d’une hauteur de • • 12,8 mètres

La hauteur atteinte par la balleau bout de 1 seconde est • • 1,55 mètre

La hauteur maximale atteintepar la balle est • • 3,1 secondes

La balle commence à redescendreau bout de • • 11,55 mètres

La balle atteint la hauteur 0au bout de • • 1,5 seconde

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2. Comment étudier une fonction polynôme du second degré et tracer sa courbe représentative ?

Méthode 1

Soit f la fonction polynôme du second degré, telle que, pour x réel, f (x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels, avec a ≠ 0.

Étape 1 Calculer x0 = −b

a2 et y0 = f (x0).

Étape 2 Déterminer le signe de a, puis dresser le tableau de variation de f :• a � 0 x x0

f (x) y0

La fonction f est strictement décroissante pour x � x0, strictement croissante pour x � x0, et présente un minimum en x0.

• a � 0 x x0

f (x) y0

La fonction f est strictement croissante pour x � x0, strictement décroissante pour x � x0, et présente un maximum en x0.

Étape 3 Établir un tableau de valeurs de la fonction.Étape 4 Tracer la courbe représentative de f ; contrôler ce tracé sur la calculatrice.

Soit f et g les fonctions défi nies sur [− 2 ; 1,5] par f (x) = x² + x − 2 et g(x) = − 2x² + x + 1.Étudiez les fonctions f et g, puis tracez leurs courbes représentatives dans le plan rapporté à un repère.

Solution

Étape 1 • Pour la fonction f : x0 = −

12 ¥1

= – 12

et y0 = f (x0) = – 94

.

• Pour la fonction g : x0 = −

12 ¥ (–2)

= 14

et y0 = g(x0) = 98

.

Étape 2 On dresse les tableaux de variation de f et de g.

• Pour f : a = 1, donc a > 0 • Pour g : a = –2, donc a < 0

x – 2 1,5 x – 2 1,5

f (x) – 94g(x)

98

Étape 3 On établit un tableau de valeurs de f et de g à l’aide de la calculatrice.

x f (x) g(x)

− 2 0 –9 − 1,5 –1,25 –5− 1 –2 –20 –2 1

0,5 –1,25 11 0 0

1,5 1,75 –2

Étape 4 On trace les courbes représentatives de f et de g.

y

x10

1

�f

�g

CHAPITRE 6 • FONCTIONS ET ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

14– 1

2

2 Équations du second degré

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1. Aborder ce type d’équations

• Une équation du second degré, d’inconnue x, est une équation qui se ramène à la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres réels, avec a ≠ 0.Soit f la fonction polynôme du second degré défi nie par f (x) = ax² + bx + c.• Le nombre Δ = b² − 4ac est appelé discriminant de la fonction et de l’équation.• Les solutions de l’équation ax² + bx + c = 0 sont les abscisses des points d’in-tersection de la parabole représentative de f et de l’axe des abscisses.Le nombre de solutions d’une telle équation est donc soit 2, soit 1, soit 0.Exemple

8642

0– 2– 4– 6– 8

– 10

– 3 – 2 – 1 1 2 3 4

y

x

Sur le graphique ci-contre sont tracées les paraboles �f , �g et �h, représentatives des fonctions f , g et h défi nies par :

f (x) = − x² + x + 2 ; g(x) = 2x² + 4x + 2 ; h(x) = − x² + 2x – 2.

Activité

1. Cochez la case du nombre de solutions de chaque équation, en utilisant le graphique.

− x² + x + 2 = 0 0 1 2

2x² + 4x + 2 = 0 0 1 2

− x² + 2x – 2 = 0 0 1 2

2. Pour chaque équation, calculez le discriminant D et reliez l’équation au signe de D, puis reliez ce signe au nombre de solutions de l’équation en utilisant les résultats de la question précédente.

− x² + x + 2 = 0 • • Δ � 0 • • 2 solutions

2x² + 4x + 2 = 0 • • Δ � 0 • • 1 solution

− x² + 2x – 2 = 0 • • Δ = 0 • • 0 solution

3. Complétez chaque ligne du tableau par « aucune » ou par la (ou les) solution(s) de l'équation correspondante, lues sur le graphique.

Fonction Équation Solutions

f − x² + x + 2 = 0 –1 et 2g 2x² + 4x + 2 = 0 –1h − x² + 2x – 2 = 0 aucune

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8989CHAPITRE 6 • FONCTIONS ET ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ 105

2. Comment résoudre une équation du second degré ?

Méthode 2

Étape 1 Écrire l’équation sous la forme ax² + bx + c = 0, où a ≠ 0.Étape 2 Déterminer la valeur de chacun des coeffi cients a, b et c.Étape 3 Calculer le discriminant Δ = b² − 4ac.Étape 4 En déduire les éventuelles solutions de l’équation :

• lorsque Δ � 0, l’équation a deux solutions, x1 = − −b

a

Δ2

et x2 =− +b

a

Δ2

;

• lorsque Δ = 0, l’équation a une solution, x0 = −b

a2;

• lorsque Δ � 0, l’équation n’a pas de solution.

Note : un tracé sur calculatrice de la parabole représentative de la fonction associée permet de contrôler dans lequel des trois cas se situe l’équation.

Résolvez chacune des équations suivantes.a) x² = − x + 2 ; b) − x² + 2x − 3 = 0 ; c) 4x² + 4x + 1 = 0 ; d) − 2x² + x + 3 = – x.

Solution

a) Étape 1 x² = − x + 2 équivaut à x² + x − 2 = 0, de la forme ax² + bx + c = 0.

Étape 2 a = 1 ; b = 1 et c = − 2.

Étape 3 Δ = b² − 4ac = 1² − 4 × 1 × (–2) = 1 + 8 = 9.

Étape 4 Δ > 0, donc l’équation a deux solutions :

x1 =– 1 – 19

2 × 1 = –4

2 = –2 ; x2 = – 1 + 19

2 × 1 = 2

2 = 1.

Les solutions de l’équation sont –2 et 1.

b) Étape 1 L’équation −x² + 2x − 3 = 0 est déjà sous la forme ax² + bx + c = 0.Étape 2 a = –1 ; b = 2 et c = –3.

Étape 3 Δ = b² − 4ac = 2² − 4 × (–1) × (–3) = 4 − 12 = –8.

Étape 4 Δ < 0, donc l’équation n’a pas de solution.

c) Étape 1 L'équation 4x² + 4x + 1 = 0 est déjà sous la forme ax² + bx + c = 0.Étape 2 a = 4 ; b = 4 et c = 1.

Étape 3 Δ = b² − 4ac = 4² − 4 × 4 × 1 = 16 – 16 = 0.

Étape 4 Δ = 0, donc l’équation a une solution :

x0 = –42 ¥ 4

= –48

= – 12

. La solution de l’équation est – 12

.

d) Étape 1 − 2x² + x + 3 = – x équivaut à − 2x² + 2x + 3 = 0.Étape 2 a = –2 ; b = 2 et c = 3.

Étape 3 Δ = b² − 4ac = 2² − 4 × (–2) × 3 = 4 + 24 = 28.

Étape 4 Δ > 0, donc l’équation a deux solutions :

x1 = –b – 1Δ2a

= –2 – 528–4

= –2 – 217–4

= –2 (1 + 17)–4

= 1 + 172

.

x2 = –b + 1Δ2a

= –2 + 528–4

= –2 + 217–4

= –2 (1 – 17)–4

= 1 – 172

.

3 Signe de f(x), où f est une fonction polynôme du second degré

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1. Faire le lien entre le signe de f(x) et la position de la parabole représentative de f

Soit f une fonction polynôme du second degré.Le signe de f (x) est déterminé par la position de la parabole représentative de f par rapport à l’axe des abscisses.Exemple

Un artisan d’art réalise et vend des objets d’un modèle donné ; il estime que le bénéfi ce réalisé pour la vente de x unités est égal, en centaines d’euros, àB(x) = – x² + 30x – 125, pour 0 � x � 35.Voici un tracé de la courbe représentative de la fonction B :

100500

– 50– 100– 150– 200– 250– 300– 350

5 10 15 20 25 30

y

x

(bleu)(bleu)

(vert)

Activité

1. Sur le graphique :a) marquez en noir les points de la courbe situés sur l’axe des abscisses ;b) surlignez en bleu les points de la courbe situés au-dessous de cet axe ;c) surlignez en vert les points de la courbe situés au-dessus de cet axe.


a) Les points en noir ont des ordonnées nulles / non nulles , donc, pour leurs

abscisses x, B(x) = 0 / B(x) ≠ 0 .

b) Les points en bleu ont leurs ordonnées positives / négatives , donc, pour tout

nombre réel x de [0 ; 5[ ou de ]25 ; 35], B(x) � 0 / B(x) � 0 .

c) Les points en vert ont leurs ordonnées positives / négatives , donc, pour tout

nombre réel x de ]5 ; 25[, B(x) � 0 / B(x) � 0 .

3. Complétez le tableau de signe suivant avec les signes – ou + .

x 0 5 25 35

B(x) – 0 + 0 –

4. Pour chaque proposition, entourez la réponse exacte (Vrai ou Faux).

a) L’artisan est défi citaire pour les 3 premières unités vendues : Vrai Faux

b) L’artisan est défi citaire pour les 7 premières unités vendues : Vrai Faux

c) L’artisan est bénéfi ciaire des 6 aux 24 premières unités vendues : Vrai Faux

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2. Comment déterminer le signe de ax² + bx + c (a π 0 ; x réel) ?Méthode 3

Étape 1 Tracer sur calculatrice ou sur tableur la parabole d’équation y = ax² + bx + c (voir rabats de couverture).

Étape 2 Dans le cas où la parabole a des points d’intersection avec l’axe des abscisses, résoudre l’équation ax² + bx + c = 0, pour déterminer les abscisses de ces points.

Étape 3 Observer la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses et résumer les résultats dans un tableau de signe :

• pour les abscisses x pour lesquelles la parabole coupe cet axe, ax² + bx + c = 0 ; • pour les abscisses x pour lesquelles la parabole est au-dessus de l’axe,

ax² + bx + c � 0 ; • pour les abscisses x pour lesquelles la parabole est au-dessous de l’axe,

ax² + bx + c � 0.

a) Réalisez un tableau de signe de x² – 4,6x – 2.b) Réalisez un tableau de signe de – 2x² + x − 1.

Solution

a) Étape 1 On trace sur calculatrice la parabole

d’équation y = x2 – 4,6x – 2 (tracé ci-contre).

Étape 2 Cette parabole coupant l’axe des abscisses, on résout l’équation x² – 4,6x – 2 = 0 :

Δ = (–4,6)2 – 4 ¥ 1 ¥ (–2) = 21,16 + 8 = 29,16. Les solutions sont :

x1 = 4,6 – 929,16

2 = 4,6 – 5,4

2 = –0,8

2 = –0,4.

x2 = 4,6 + 929,16

2 = 4,6 + 5,4

2 = 102 = 5.

Étape 3 En observant la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses, on complète le tableau de signe suivant.

x − ∞ –0,4 5 + ∞

x² – 4,6x – 2 + 0 – 0 +

b) Étape 1 On trace sur calculatrice la parabole d’équation y = –2x2 + x – 1.

On reproduit sommairement ce tracé ci-contre.

Étape 2 Cette parabole ne coupant pas l’axe des abscisses, il n’y a pas d’équation à résoudre.

Étape 3 En observant la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses, on complète le tableau de signe suivant.

x − ∞ + ∞

– 2x² + x − 1 –

0

y

x

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1 a) • Tracé de la courbe sur l’écran d’une calculatrice.

• Tableau de variation

x – 4 1 5

f (x)16

− 9

7

b) • Tracé de la courbe sur l’écran d’une calculatrice.


x – 3 1 3

f (x)–35

− 3

–11

c) • Tracé de la courbe sur l’écran d’une calculatrice.


x – 1 2 3

f (x)–9

0

–1

d) • Tracé de la courbe sur l’écran d’une calculatrice.


x – 5 – 1 3

f (x)–14

2

–14

2 1. L’arc � de parabole représentatif de f est orienté vers le haut puisque a � 0.

2. L’abscisse du sommet de � est

x0 = − 82 × 2

= − 2.

3. Tableau de valeurs

x – 3 – 2 – 1 0 1

f (x) − 7 − 9 − 7 − 1 9

4. Tableau de variation

x – 3 –2 1

f (x)–7

− 9

9

5. Tracé de �.

3 1. Δf = (− 1)2 − 4 × 1 × 4 = 1− 16 = − 15.Δg = (− 1)2 − 4 × (− 2) × 1 = 1 + 8 = 9.Δh = 1,52 − 4 × 1 × (−1) = 2,25 + 4 = 6,25.Δk = (−1,5)2 − 4 × (−1) × (−8) = 2,25 − 32 = −29,75.2. • La courbe représentative de f est en bleu (a � 0, donc l’arc de parabole représentatif de la fonction est orienté vers le haut ; de plus Δf � 0 indique que la courbe ne coupe pas l’axe des abscisses).• La courbe représentative de g est en rouge (a � 0, donc l’arc de parabole représentatif de la fonction est orienté vers le bas ; de plus Δg � 0 indique que la courbe coupe l’axe des abscisses en deux points).• La courbe représentative de h est en vert (a � 0, donc l’arc de parabole représentatif de la fonction est orienté vers le haut ; de plus Δh � 0 indique que la courbe coupe l’axe des abscisses en deux points).• La courbe représentative de k est en violet (a � 0, donc l’arc de parabole représentatif de la fonction est orienté vers le bas ; de plus Δk � 0 indique que la courbe ne coupe pas l’axe des abscisses).

4 a) a � 0, puisque la parabole est orientée vers le haut.Δ = 0, car la parabole coupe une seule fois l’axe des abscisses.L’abscisse du sommet de � est x0 = − 3.b) Tableau de variation

x – ∞ –3 +∞

f (x)

0

7

a) a � 0, puisque la parabole est orientée vers le bas.Δ � 0, car la parabole coupe deux fois l’axe des abscisses.

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L’abscisse du sommet de � est x0 = 2.b) Tableau de variation

x – ∞ 2 +∞

f (x)1 7

a) a � 0, puisque la parabole est orientée vers le bas.Δ � 0, car la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses.L’abscisse du sommet de � est x0 = 1.b) Tableau de variation

x – ∞ 1 +∞

f (x)–1 7

a) a � 0, puisque la parabole est orientée vers le haut.Δ � 0, car la parabole coupe deux fois l’axe des abscisses.L’abscisse du sommet de � est x0 = 2.b) Tableau de variation

x – ∞ 2 +∞

f (x)

–2

7

5 1. Faux, la parabole est orientée vers le haut.2. Vrai.3. Faux, le minimum de f est att eint en − 3.4. Vrai.5. Vrai.6. Faux, le discriminant Δ de f est strictement positif.7. Vrai.

6 1. Vrai.2. Vrai.3. Faux, f est strictement croissante sur ]– ∞ ; 1] et stric-tement décroissante sur [1 ; + ∞[.4. Vrai.5. Faux, l’équation f(x) = 0 n’admet aucune solution.

7 a) Δ = (−2)2 − 4 × 1 × (− 15) = 64.Δ � 0, donc l’équation x2 – 2x – 15 = 0 a deux solutions :

x1 = 2 – 5642 × 1

= − 3 ; x2 = 2 + 5642 × 1

= 5.

Les solutions de l’équation sont − 3 et 5.b) Δ = 1,52 − 4 × (−1) × 1 = 6,25.Δ � 0, donc l’équation – x2 + 1,5x + 1 = 0 a deux solutions :

x1 = – 1,5 – 76,252 × (– 1)

= 2 ;

x2 = – 1,5 + 76,252 × (– 1)

= − 0,5.

Les solutions de l’équation sont − 0,5 et 2.c) Δ = 12 − 4 × 2 × 5 = − 39.Δ � 0, donc l’équation 2x2 + x + 5 = 0 n’a pas de solution.d) Δ = 202 − 4 × 1 × 100 = 0.Δ = 0, donc l’équation x2 + 20x + 100 = 0 a une solution :x0 = − 20

2 × 1 = − 10.

La solution de l’équation est −10.

8 a) Δ = 12 − 4 × (− 2) × (− 3) = − 23.Δ � 0, donc l’équation − 2x2 + x − 3 = 0 n’a pas de solution.b) Δ = 02 − 4 × (− 9) × 1 = 36.Δ � 0, donc l’équation 1 − 9x2 = 0 a deux solutions :

x1 = 0 – 5362 × (– 9)

= 13

; x2 = 0 + 5362 × (– 9)

= − 13

.

Les solutions de l’équation sont − 13

et 13

.(Autre méthode de résolution :L’équation 1 – 9x2 = 0 est successivement équivalente à (1 − 3x)(1 + 3x) = 0 ; 1 − 3x = 0 ou 1 + 3x = 0 ; x = 1

3 ou

x = − 13

.)

c) Δ = 02 − 4 × 2 × 5 = − 40.Δ � 0, donc l’équation 2x2 + 5 = 0 n’a pas de solution.Autre méthode de résolution : pour tout x, 2x2 + 6 � 6, donc 2x2 + 6 > 1.On en déduit que l'équation 2x2 + 6 = 1 n'a pas de solution.d) Δ = (− 5)2 − 4 × (− 3) × 2 = 49.Δ � 0, donc l’équation – 3x2 – 5x + 2 = 0 a deux solutions :

x1 = 5 – 5492 × (– 3)

= 13

; x2 = 5 + 5492 × (– 3)

= – 2.

Les solutions de l’équation sont − 2 et 13

.

9 a) Δ = 232 − 4 × (−2) × (− 30) = 289.Δ � 0, donc l’équation –2x2 + 23x − 30 = 0 a deux solutions :

x1 = – 23 – 72892 × (– 2)

= 10 ; x2 = – 23 + 72892 × (– 2)

= 1,5.

Les solutions de l’équation sont 1 ,5 et 10.b) Δ = 02 − 4 × (− 9) × 16 = 576.Δ � 0, donc l’équation 16 − 9x2 = 0 a deux solutions :

x1 = 0 – 75762 × (– 9)

= 43

; x2 = 0 + 75762 × (– 9)

= – 43

.

Les solutions de l’équation sont − 43

et 43

.

(On peut aussi factoriser 16 – 9x2, qui est équivalent à (4 − 3x)( 4 + 3x).)c) Δ = 02 − 4 × (− 2) × (− 5) = − 40.Δ � 0, donc l’équation − 2x2 − 5 = 0 n’a pas de solution.Autre méthode de résolution : pour tout x, – 2x2 – 5 � – 5, donc l'équation – x2 – 5 = x2, équivalente à – 2x2 – 5 = 0 n'a pas de solution.d) Δ = 102 − 4 × 1 × 25 = 0.

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Δ = 0, donc l’équation x2 + 10x + 25 = 0 a 1 solution :x0 = − 10

2 × 1 = − 5.

La solution de l’équation est − 5.

10 1. Tracé sur l’écran d’une calculatrice.2. Des valeurs approchées des solutions de l’équation f(x) = 0 sont − 0,5 et 3.3. Δ = 32 − 4 × (−1) × 1 = 13.Δ � 0, donc l’équation f(x) = 0 a deux solutions :

x1 = – 3 – 5132 × (– 1)

= 3 + 5132

≈ 3,3 ;

x2 = – 3 + 5132 × (– 1)

= 3 – 5132

≈ – 0,3.

Les valeurs exactes des solutions de l’équation sont 3 – 513

2 et 3 + 513

2.

11 1. • Δ = (− 7)2 − 4 × 4 × (− 2) = 81.Δ � 0, donc l’équation f(x) = 0 a deux solutions :

x1 = 7 – 5812 × 4

= − 0,25 ; x2 = 7 + 5812 × 4

= 2.

Les solutions de l’équation sont − 0,25 et 2.• Δ = (− 1)² − 4 × 1 × (− 6) = 25.Δ � 0, donc l’équation g(x) = 0 a deux solutions :

x1 = 1 – 5252 × 1

= − 2 ; x2 = 1 + 5252 × 1

= 3.

• Δ = (− 1)2 − 4 × (− 1) × 2 = 9.Δ � 0, donc l’équation h(x) = 0 a deux solutions :

x1 = 1 – 292 × (– 1)

= 1 ; x2 = 1 + 292 × (– 1)

= − 2.

Les solutions de l’équation sont − 2 et 1.• Δ = 62 − 4 × (− 1) × (− 9) = 0.Δ = 0, donc l’équation k(x) = 0 a une solution :

x0 = – 6

2 × (– 1) = 3.

La solution de l’équation est 3.2. • La courbe représentative de f est tracée en noir.• La courbe représentative de g est tracée en violet.• La courbe représentative de h est tracée en vert.• La courbe représentative de k est tracée en rouge.

12 1. Δ = (−11)2 − 4 × (−4) × 3 = 169.Δ � 0, donc l’équation f(x) = 0 a deux solutions :

x1 = 11 – 61692 × (– 4)

= 0,25 ; x2 = 11 + 61692 × (– 4)

= − 3.

Les solutions de l’équation sont − 3 et 0,25.2. Tracé sur l’écran d’une calculatrice.3. a) Les abscisses des points en lesquels � coupe l’axe des abscisses sont − 3 et 0,25.b) Pour tout nombre réel x de ]− 3 ; 0,25[, la courbe � est située au-dessus de l’axe des abscisses.c) Pour tout nombre réel x de ]− ∞ ; − 3[ ou de ]0,25 ; + ∞[, la courbe � est située au-dessous l’axe des abscisses.

d) Tableau de signe

x – ∞ –3 0,25 + ∞

f (x) – 0 + 0 –

13 1. � coupe l’axe des abscisses aux deux points d’abs-cisses 0,5 et 3,5.Les solutions de l’équation f(x) = 0 sont 0,5 et 3,5.2. • Pour tout nombre réel x de [− 2 ; 0,5[, la courbe � est située au-dessus de l’axe des abscisses, donc f(x) � 0.• Pour tout nombre réel x de ]0,5 ; 3,5[, la courbe � est située au-dessous de l’axe des abscisses, donc f(x) � 0.• Pour tout nombre réel x de ]3,5 ; 5,5], la courbe � est située au-dessus de l’axe des abscisses, donc f(x) � 0.

14 a) L’équation f(x) = 0 n’a pas de solution.L’équation f(x) = 0 a une solution : − 2. L’équation f(x) = 0 a deux solutions : 0 et 3. L’équation f(x) = 0 n’a pas de solution.

b) Tableau de signe

x – ∞ + ∞

f (x) +

Tableau de signe

x – ∞ –2 + ∞

f (x) + 0 +

Tableau de signe

x – ∞ 0 3 + ∞

f (x) – 0 + 0 –

Tableau de signe

x – ∞ + ∞

f (x) –

15 1. Δ = (− 9)2 − 4 × 2 × (− 5) = 121.Δ � 0, donc l’équation 2x2 – 9x – 5 = 0 a deux solutions :

x1 = 9 – 71212 × 2

= − 0,5 ; x2 = 9 + 71212 × 2

= 5.

Les solutions de l’équation sont − 0,5 et 5.2. Tracé sur l’écran d’une calculatrice de la courbe d’équation y = 2x2 – 9x – 5. 3. • Pour tout nombre réel x de ]− ∞ ; − 0,5[ et de ]5 ; + ∞[, la courbe est située au-dessus de l’axe des abscisses, donc 2x2 – 9x – 5 � 0.• Pour tout nombre réel x de ]− 0,5 ; 5[, la courbe est située au-dessous de l’axe des abscisses, donc 2x2 – 9x – 5 � 0.

16 a) Tracés sur l’écran d’une calculatrice.b) 1. Δ = 42 − 4 × 4 × 1 = 0.Δ = 0, donc l’équation P(x) = 0 a une solution :x0 = − 4

2 × 4 = −0,5.

La solution de l’équation est − 0,5.

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2. Δ = 42 − 4 × (− 2) × (− 5) = − 24.Δ � 0, donc l’équation P(x) = 0 n’a pas de solution.3. P(x) = 25 – x2 = (5 − x)(5 + x).Les solutions de l’équation sont − 5 et 5.4. Δ = 152 − 4 × 1 × 50 = 25.Δ � 0, donc l’équation P(x) = 0 a deux solutions :

x1 = – 15 – 5252 × 1

= − 10 ; x2 = – 15 + 5252 × 1

= − 5.

Les solutions de l’équation sont − 10 et −5.c) 1. Tableau de signe

x – ∞ – 0,5 + ∞

P (x) + 0 +

2. Tableau de signe

x – ∞ + ∞

P (x) –

3. Tableau de signe

x – ∞ – 5 5 + ∞

P (x) – 0 + 0 –

4. Tableau de signe

x – ∞ – 10 – 5 + ∞

P (x) + 0 – 0 +

17 L’aire du carré est x2 et l’aire du rectangle est 2(x + 7,5).On résout l’équation x2 = 2(x + 7,5), équivalente à x2 − 2x − 15 = 0.Δ = (− 2)2 − 4 × 1 × (− 15) = 64.Δ > 0, donc l’équation a deux solutions :

x1 = 2 – 5642 × 1

= − 3 ; x2 = 2 + 5642 × 1

= 5.

Les solutions de l’équation sont − 3 et 5.On rejett e la solution négative, car x est une longueur.Finalement, x égale 5 cm.

18 1. Δ = (− 1)2 − 4 × 1 × (− 1) = 5.Δ � 0, donc l’équation a deux solutions :

x1 = 1 – 252

; x2 = 1 + 252

.

La valeur exacte de ϕ est 1 + 252

, soit ϕ ≈ 1,62.

2. a) L’égalité ABBC

= BCBJ

est successivement équivalente à

x + 1x

= x1

; x + 1= x2 ; x2 – x – 1 = 0.

b) Le côté x étant un nombre positif, on en déduit que x = ϕ, c’est-à-dire AB

BC = BC

BJ = ϕ.

19 1. On résout l’équation f(t) = 0. Δ = 102 − 4 × (−5) × 2,2 = 144.Δ � 0, donc l’équation f(t) = 0 a deux solutions :

t1 = – 10 – 71442 × (– 5)

= 2,2 ; t2 = – 10 + 71442 × (– 5)

= − 0,2.

Les solutions de l’équation sont − 0,2 et 2,2. On ne retient que la solution positive (t � 0).La boule retombera au sol au bout de 2,2 secondes.2. Le maximum de f est att eint pour

t0 = – 10

2 × (– 5) = 1

et f(1) = − 5 × 12 + 10 × 1 + 2,2 = 7,2. La hauteur maximale att einte par la boule est 7,2 mètres.3. a) Δ = 102 − 4 × (−5) × (− 4,2) = 16.Δ � 0, donc l’équation − 5t2 + 10t – 4,2 = 0 a deux solutions :

t1 = – 10 – 5162 × (– 5)

= 1,4 ; t2 = – 10 + 5162 × (– 5)

= 0,6.

Les solutions de l’équation sont 0,6 et 1,4.b) L'équation f(t) = 6,4 est équivalente à – 5t 2 + 10t – 4,2 = 0.La boule atteint la hauteur de 6,4 mètres au bout de 0,6 seconde (en montant) et de 1,4 seconde (en descendant).

20 Partie A.1. Δ = 0,282 − 4 × 0,01 × (− 183) = 7,398 4.Δ � 0, donc l’équation f(x) = 0 a deux solutions :

x1 = – 0,28 – 97,398 42 × 0,01

= − 150 ;

x2 = – 0,28 + 97,398 42 × 0,01

= 122.

Sur [0 ; 200], la seule solution de l’équation est 122.2. Tracé sur tableur

3. Tableau de signe

x 0 122 200

f (x) – 0 +

4. f(x) � 0 sur [0 ; 122[.

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96CHAPITRE 6 • FONCTIONS ET ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

Partie B1. L’inéquation d(x) � 183 est équivalente à 0,01x2 + 0,28x � 183, soit0,01x2 + 0,28x − 183 � 0, c’est-à-dire, f(x) � 0.2. On en déduit que la vitesse maximale du véhicule pour que sa distance d’arrêt soit inférieure à 183 mètres doit être inférieure à 122 km/h.

21 1. Tracé sur tableur

2. L’abscisse du sommet de la parabole est

x0 = – 0,6

2 (– 0,04) = 7,5

et h(7,5) = − 0,04 × 7,52 + 0,6 × 7,5 +1,8 = 4,05. (Lecture de ces valeurs sur la ligne 17 de la feuille de calcul.)La hauteur maximale att einte par la balle durant le service est 4,05 mètres.

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COMMEÀ L’ÉCRAN

112

Lecture de tableaux de calculs sur tableurSoit f une fonction défi nie sur [− 4 ; 2] par f (x) = x² + 2x + c, où c est un nombre réel.

L'abscisse x0 = – 22 × 1

du minimum de f est toujours égale à −1.

Les tableaux suivants ont été obtenus sur tableur pour trois valeurs de c. 1er cas 2e cas 3e cas

1. On s’intéresse au 1er cas.

a) Quelle formule a-t-on écrite dans la cellule D2, puis recopiée jusqu’en D14 pour obtenir les valeurs de f (x) ?

On écrit la formule =C2^2+2*C2–3 .b) Donnez la valeur du minimum de f, en indiquant la ligne utilisée.

Le minimum de f est –4, valeur lue sur la ligne 8.c) Donnez les valeurs des deux solutions de l’équation f (x) = 0, en indiquant les lignes utilisées.

Les solutions sont –3 et 1, valeurs lues sur les lignes 4 et 12.

2. On s’intéresse au 2e cas.

a) Donnez la valeur du minimum de f, en indiquant la ligne utilisée.

Le minimum de f est 0, valeur lue sur la ligne 8.b) Donnez la valeur de la seule solution de l’équation f (x) = 0, en indiquant la ligne utilisée.

La solution est –1, valeur lue sur la ligne 8.

3. On s’intéresse au 3e cas.

a) Donnez la valeur du minimum de f, en indiquant la ligne utilisée.

Le minimum de f est 2, valeur lue sur la ligne 8.b) Expliquez pourquoi l’équation f (x) = 0 n’a aucune solution.

Le minimum de f étant 2, on a f(x) � 2 pour tout x.

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98CHAPITRE 6 • STATISTIQUES 98

Évaluation

CHAPITRE 6 • FONCTIONS ET ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ 113

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Nom

Prénom

Classe

Date

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Exercice 1 6 points

Résoudre chacune des équations suivantes.

1. 2x² + 9x – 5 = 0.Δ = 92 – 4 × 2 × (–5) = 81 + 40 = 121. Δ > 0, donc l'équation a

deux solutions : x1 = –9 – 71214 = –9 – 11

4 = –204 = –5 et

x2 = –9 + 71214 = –9 + 11

4 = 24 = 1

2 .

2. – 16x² + 8x = 1.L'équation équivaut à –16x2 + 8x – 1 = 0. Δ = 64 – 4 × (–16) × (–1).Δ = 0. L'équation a une seule solution : x0 = –8

2 × (–16) = –8–32 ,

soit x0 = 14 .

3. x + 4 = 3x².L'équation équivaut à 3x2 – x – 4 = 0. Δ = (–1)2 – 4 × 3 × (–4).

Δ = 1 + 48 = 49. L'équation a deux solutions : x1 = 1 – 72 × 3 = –6

6 = –1

et x2 = 1 + 72 × 3

= 86

= 43

.

Exercice 2 4 points

1. a) Tracer sur l’écran d’une calculatrice la courbe d’équation y = – x² + x + 6.

b) Indiquer les solutions de l’équation – x² + x + 6 = 0 lues sur l’écran.Les solutions lues sont –2 et 3.

c) Vérifi er par le calcul que les nombres précédents sont bien solutions de l’équation – x² + x + 6 = 0.– (–2)2 + (–2) + 6 = –4 – 2 + 6 = –6 + 6 = 0 ;–32 + 3 + 6 = –9 + 3 + 6 = 0.

2. a) Déduire des questions précédentes le signe de – x² + x + 6, selon les valeurs du réel x. Pour x = –2 et pour x = 3, –x2 + x + 6 = 0.Pour x ∈ ]– ∞ ; –2[ ∪ ]3 ; + ∞[, –x2 + x + 6 < 0.Pour x ∈ ]– 2 ; 3[, –x2 + x + 6 > 0.

b) Résumer les résultats en complétant le tableau de signe suivant.

x – ∞ –2 3 + ∞

– x² + x + 6 – 0 + 0 –

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Problème 10 points

A

4

x

B

E F

D GC

ABCD et EFGC sont des carrés. Les longueurs sont en cm et les aires en cm².

1. Expliquer pourquoi CG = 4 – x.

ABCD est un carré, donc AD = DC = x.CG = DG – DC = 4 – x.

2. Montrer que l’aire du polygone ABEFGD est égale à f(x), où f est la fonction défi nie sur [0 ; 4] par f (x) = 2x² – 8x +16.

L'aire du carré ABCD est égale à x2; l'aire du carré EFGC est égale à(4 – x)2, soit 16 – 8x + x2.L'aire du polygone ABEFGD est donc égale àx2 + (16 – 8x + x2) = x2 + 16 – 8x + x2 = 2x2 – 8x + 16 = f(x).

3. a) Déterminer l’abscisse du minimum de la fonction f.

L'abscisse du minimum de f est – – 82 × 2 = 8

4 = 2.

b) En déduire la valeur de x pour laquelle l’aire du polygone ABEFGD est minimale. Donner cette aire.

L'aire du polygone est donc minimale pour x = 2 ; l'aire minimale, en cm2, est égale à f(2) = 2 × 22 – 8 × 2 + 16 = 8.

c) Indiquer comment se situent alors les points B et E l’un par rapport à l’autre.

Les points B et E sont confondus.

4. a) Compléter le tableau de valeurs suivant.

x 0 1 2 3 4

f(x) 16 10 8 10 16

b) Tracer la courbe représentative de la fonction f.

0 1

2

4

6

8

10

12

14

16

2 3 4 x

y

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Fluctuation d’une fréquence, probabilités

Échauffez-vous !

7

Vocabulaire

Expérience aléatoireExpérience dont l’issue est liée au hasard.

Échantillon de taille n d’une expérience aléatoireEnsemble des issues obtenues pour n réalisations de l’expérience.

1 Azra a obtenu un échantillon du lancer d’un jeton, dont les faces sont numérotées 0 et 1, en réalisant 15 fois le lancer.Le jeton est tombé 12 fois sur la face « 0 ».Cochez la case correspondant à la bonne réponse.a) Le lancer du jeton est une expérience aléatoire qui a :

1 issue 2 issues plus de 2 issues

b) La taille de l’échantillon obtenu par Azra est : 1 2 12 15

c) Cet échantillon peut être 100000000000011 Vrai Faux

d) Pour cet échantillon, l’effectif de l’issue « 0 » est : 1 2 12 15

e) Pour cet échantillon, la fréquence de l’issue « 0 » est :

1

2 = 0,5

12

15 = 0,8

12

100 = 0,12

15

100 = 0,15

2 Maxence a constitué quatre échantillons de lancers d’un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6.a) Déterminez la taille de chacun de ces échantillons.

• 3461124516 est un échantillon de taille 10.




b) Calculez pour chacun la fréquence de « 5 ».

• La fréquence de « 5 » dans l’échantillon 3461124516 est 1

10 = 0,1.


5 = 0,8.


3 = 0.


6 = 0,5.

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Échauffez-vous !

3 Cochez la case correspondant à la bonne réponse.a) En utilisant avec le tableur la formule =ALEA() , on obtient un nombre décimal aléatoire de l’intervalle :

[0 ; 1[ [0 ; 10[ [0 ; 1] [0 ; 10]

b) En utilisant avec le tableur la formule =ALEA()+0,2, on obtient un nombre décimal aléatoire de l’intervalle :

[0,2 ; 1,2[ [0,2 ; 10,2[ [0,2 ; 1,2] [0,2 ; 10,2]

c) En utilisant avec le tableur la formule =ENT(ALEA()+0,2) , on obtient :

le nombre 0 avec la probabilité 0,8, ou le nombre 1 avec la probabilité 0,2

le nombre 0 avec la probabilité 0,2, ou le nombre 1 avec la probabilité 0,8

4 a) Reliez chacune des populations au caractère qui convient.

Familles d’une ville • • Marque

Chaussures en vente • • Diamètre en mm

Voitures dans un parking • • Pointure

Billes dans un sac • • Nombre d’enfants

b) Reliez chacun de ces caractères à la valeur qui convient.

Marque • • 2

Diamètre en mm • • 38

Pointure • • Renault

Nombre d’enfants • • 17

5 Rayez l’encadré inexact.a) Un échantillon de 100 habitants de la population d’une très grande ville, prélevé sans remise, peut / ne peut pas être assimilé à un

échantillon prélevé avec remise.

b) Un échantillon de 2 boules parmi les 5 boules d’une urne, prélevé sans remise, peut / ne peut pas être assimilé à un échantillon prélevé avec remise.

6 Parmi les 1 250 salariés d’une entreprise, 475 sont des hommes.Cochez la case correspondant à la bonne réponse.

a) La fréquence p des hommes dans cette entreprise est : 0,38 0,62

b) Lorsqu’on prélève au hasard un salarié de cette entreprise, la probabilité d’obtenir un homme est égale à p :

Vrai Faux

Tableur

La formule =ENT(ALEA()+p) ,où p est un nombre réel appartenant à [0 ; 1]permet d’obtenir le nombre 0 avec la probabilité 1 − p, ou le nombre 1 avec la probabilité p.

Vocabulaire

Population statistiqueEnsemble d’êtres vivants, d’objets, …, appelés individus, dans lequel on réalise une étude statistique sur une ou plusieurs valeurs de certains caractères.

Échantillon de taille nd’une population Ensemble de n individus prélevés dans la population.L’échantillon est aléatoire lorsque le prélèvement se fait au hasard.

Prélèvement d’un échantillon de taille nOn prélève n individus dans la population.• Avec remiseOn remet chacun dans la population avant le prélèvement du suivant.• Sans remiseOn ne remet aucun individu dans la population avant le prélèvement des suivants.Lorsque la population est suffi samment grande,on peut assimiler un prélèvement sans remise à un prélèvement avec remise.

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c) On simule sur tableur le prélèvement aléatoire d’un salarié de l’entreprise, avec affi chage du nombre 1 si c'est un homme et du nombre 0 sinon, en utilisant la formule :

=ENT(ALEA()+0,38) =ENT(ALEA()+0,62)

d) En réalisant n fois la simulation précédente, on simule sur tableur le prélèvement, avec remise, d’un échantillon aléatoire de taille n des salariés de l’entreprise, avec affi chage de 1 pour les hommes et de 0 sinon :

Vrai Faux

7 Le dernier recensement réalisé dans un pays a permis de constater que 22 % des habitants ont plus de 55 ans. Rayez l’encadré inexact.

a) On simule sur tableur le prélèvement dans la population du pays de 10 échantillons aléatoires de taille 1 000. On obtient les 10 fréquences d’habitants de plus de 55 ans indiquées sur le graphique suivant.

La fréquence des habitants de plus de 55 ans fl uctue / ne fl uctue passelon l’échantillon.

b) On simule sur tableur le prélèvement dans la population du pays de 10 échantillons aléatoires de taille 1 000, 3 000, 5 000, …, 19 000. On obtient les 10 fréquences d’habitants de plus de 55 ans indiquées sur le graphique suivant.

• La fréquence des habitants de plus de 55 ans fl uctue / ne fl uctue passelon la taille de l’échantillon.

• Cette fréquence se stabilise vers 0,220 / ne se stabilise pas lorsque la taille de l’échantillon augmente.

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1 Moyenne de fréquences sur une série d’échantillons

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1. Observer, sur des séries d’échantillons de même taille, la moyenne des fréquences d’une valeur d’un caractère

Une fabrique produit en grande quantité des jouets en bois, de couleurs différentes, dont 60 % sont rouges. On simule sur tableur la prise de 6 échantillons aléatoires de 100 jouets dans la production. Voici les fréquences de jouets rouges obtenues :

La moyenne des fréquences est le rapport Somme des fréquences

Nombre d’échantillons.

Activité 1

Cochez la case correspondant à la bonne réponse, et complétez s’il y a lieu.1. a) La fréquence p de jouets rouges dans la production est égale à :

0,4 0,6 b) La fréquence f5 de jouets rouges obtenue avec l’échantillon numéro 5 est égale à :

0,4 0,6 Autre : 0,7

2. a) La moyenne des fréquences des 6 échantillons est égale à p :

Vrai Faux, car 0,68 + 0,58 + 0,7 + 0,72 + 0,7 + 0,526

= 0,65.

b) Avec de nouvelles séries de 6 échantillons aléatoires de taille 100, on constaterait que la moyenne des fréquences de jouets rouges fl uctue :

Vrai Faux

2. Visualiser la stabilisation de la moyenne des fréquences, lorsque la taille des échantillons augmente

On simule sur tableur la prise de 6 échan-tillons aléatoires de jouets, cette fois de taille 200, puis 6 échantillons aléatoires de taille 300, etc.Le graphique indique l’évolution de la moyenne des fréquences de jouets rouges des 6 échantillons, selon leur taille.

Activité 2

Rayez l’encadré inexact.a) La moyenne des fréquences de jouets rouges fl uctue / ne fl uctue pas selon la taille des 6 échantillons.

b) Lorsque la taille des 6 échantillons augmente, la fl uctuation de la moyenne des 6 fréquences de jouets rouges est moins / plus grande.

c) Lorsque la taille des 6 échantillons devient très grande, cette moyenne se stabilise / ne se stabilise pas vers la fréquence p.

d) Le nombre p est / n’est pas la probabilité d’obtenir un jouet rouge lors du prélèvement aléatoire d’un jouet dans la production de l’entreprise.

0,610

0,605

0,600

0,595

0,5900 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Taille des 6 échantillons

Moyenne des fréquences de jouets rouges

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3. Comment simuler, sur tableur, une prise d’échantillons de taille n et calculer une moyenne de fréquences obtenues sur ceux-ci ?

Méthode 1

La fréquence p d’une valeur V du caractère étudié dans une population est connue.Étape 1 Repérer cette fréquence p dans l’énoncé.Étape 2 Simuler l’obtention aléatoire de la valeur V pour un individu de la population, en entrant la formule =ENT(ALEA()+p) dans la cellule A1 : 1 s’affi che si la valeur V est obtenue et 0 sinon. Étape 3 Simuler le prélèvement d’un échantillon aléatoire de taille n, relatif à la valeur V, en recopiant la formule de la cellule A1 à la cellule An.Simuler le prélèvement d’autres échantillons aléatoires de taille n, en sélectionnant les cellules de A1 à An, puis en utilisant la poignée de remplissage vers la droite.Étape 4 Calculer, pour chaque échantillon, la fréquence de 1 (c’est-à-dire la fréquence de la valeur V), en utilisant la formule =NB.SI(…:…; "1")/n .Étape 5 Calculer la moyenne des fréquences de 1 (c’est-à-dire de la valeur V) obtenues pour les différents échantillons, avec la formule =MOYENNE(…:…) .

Dans un lycée, 16 % des élèves portent des lunettes correctrices.Simulez sur tableur le prélèvement de 5 échantillons aléatoires de 40 élèves, relatif au port de lunettes correctrices, et calculez la moyenne des fréquences des élèves qui en portent, obtenue pour ces 5 échantillons.

Solution

Étape 1 16 % des élèves du lycée portent ces lunettes, donc p = 0,16.

Étape 2 On entre la formule

=ENT(ALEA()+0,16) dans la cellule A1 :

1 s’affi che s’il y a port de ces lunettes et 0 sinon.

Étape 3 On recopie cette formule vers le bas jusqu’à la cellule A40 pour obtenir le premier échantillon, puis vers la droite jusqu’à la colonne E pour obtenir les 4 autres échantillons.

Étape 4 On entre la formule

=NB.SI(A1:A40;"1")/40 dans la cellule

A41 pour obtenir la fréquence d’élèves qui portent ces lunettes dans le premier échantillon, puis on recopie cette formule vers la droite jusqu’à la colonne E.

Étape 5 On entre la formule =MOYENNE(A41:E41) dans la cellule F41

pour calculer la moyenne des 5 fréquences précédentes.

On obtient : 0,2 + 0,075 + 0,075 + 0,175 + 0,1755

= 0,14.

105

2 Intervalle de fl uctuation

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120

1. Interpréter des fréquences calculées sur une population et des échantillons de cette population

En 2007, la population française comptait 63 578 000 personnes, dont 15 901 940 avaient moins de 20 ans. On simule sur tableur un prélèvement de 50 échantillons aléatoires de 200 personnes de la population française et on calcule pour chacun la fréquence des personnes de moins de 20 ans :

Activité 1

1. Cochez la case correspondant à la bonne réponse et complétez.a) La fréquence p des moins de 20 ans dans la population française, arrondie à 0,01,

est 0,25 : Vrai Faux car 15 901 94063 578 000

≈ 0,25.

b) On en déduit qu’en choisissant au hasard 100 personnes dans la population, exactement p parmi elles ont moins de 20 ans : Vrai Faux

2. Complétez le tableau.

Fréquence des moins de 20 ans 0,15 0,19 0,2 0,21 0,22 0,23 0,24

Nombre d’échantillons 1 1 1 1 5 6 10

Fréquence des moins de 20 ans 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,31 0,33

Nombre d’échantillons 9 1 6 4 2 2 1

2. Déterminer l’intervalle de fl uctuation des fréquences pour des échantillons de taille n et comprendre sa signifi cation

La fréquence d’une valeur du caractère étudié dans une population est p. Lorsque n � 30, np � 5 et n(1 − p) � 5 :la probabilité que la fréquence de cette valeur pour un échantillon aléatoire de taille n

pris dans la population soit dans l’intervalle de fl uctuation pn

pn

− +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 1; est

supérieure à 0,95.

Activité 2

On s’intéresse à la population française de l’activité 1.1. Complétez. On a p = 0,25 et n = 200.

Ainsi, pn

pn

− +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 1; = 0,25 0,25;− +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1

200

1

200 ≈ [0,18 ; 0,32].

2. Rayez les encadrés inexacts et complétez.

Il y a 1 / 2 / 3 échantillons parmi les 50 pour lesquels la fréquence n’est pas dans l’intervalle de fl uctuation. Pour ces 50 échantillons, le pourcentage des fréquences qui

appartiennent à cet intervalle est / n’est pas supérieur à 95 %, car 4850

= 96 %.

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3. Comment utiliser un intervalle de fl uctuation ? Méthode 2

Une valeur V du caractère étudié dans une population a pour fréquence p.On s’intéresse à un échantillon de taille n prélevé dans cette population.Étape 1 Repérer ou calculer la fréquence p, puis la fréquence f de la valeur V du caractère, dans l’échantillon.

Étape 2 Déterminer l’intervalle de fl uctuation I = pn

pn

− +p⎡

⎣⎢⎡⎡

⎣⎣

⎤

⎦⎥⎤⎤

⎦⎦

1 1; .

Étape 3 Conclure. Si la fréquence f, dans l’échantillon :– appartient à I, elle n’est pas « signifi cativement différente » de p , au niveau 95 % ;– n’appartient pas à I, elle est « signifi cativement différente » de p, au niveau 95 %.

Le taux de chômage dans la population active française fi n 2008 était 7,7 %. A cette même période, pour deux villes françaises, on relevait :

Ville 1 Ville 2

Effectif de la population active 5 530 98 100

Taux de chômage 8,9 % 8,9 %

Le taux de chômage de la ville 1 est-il signifi cativement différent de celui de la popu-lation française, au niveau 95 % ? Et celui de la ville 2 ?

Solution

• On s’intéresse à la ville 1.Étape 1 Les fréquences sont données dans l’énoncé :la fréquence p du nombre de chômeurs en France est p = 0,077 ;la fréquence f1 du nombre de chômeurs dans la ville 1 est égale à f1 = 0,089.

Étape 2 On détermine l’intervalle de fl uctuation, avec p = 0,077 et n = 5 530 :

pn

pn

− +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 1; = 0,077

5 530; 0,077

5 530− +

1 1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ≈ [0,064 ; 0,090].

Étape 3 On conclut : f1 appartient à cet intervalle, donc le taux de chômage de la ville 1 n’est pas signifi cativement différent de celui de la population française, au niveau 95 %.

• On s’intéresse à la ville 2.Étape 1 Les fréquences sont données dans l’énoncé :la fréquence p du nombre de chômeurs en France est p = 0,077 ;la fréquence f2 du nombre de chômeurs dans la ville 2 est égale à f2 = 0,089.

Étape 2 On détermine l’intervalle de fl uctuation, avec p = 0,077 et n = 98 100 :

pn

pn

− +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 1; = 0,077

98 100; 0,077

98 100− +

1 1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ≈ [0,074 ; 0,080].

Étape 3 On conclut : f2 n’appartient pas à cet intervalle, donc le taux de chômage de la ville 2 est signifi cativement différent de celui de la population française, au niveau 95 %. (On peut donc être amené à s’interroger, et remarquer d’abord que la population active d’une ville ne constitue pas un échantillon aléatoire de la population active française.)

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107CHAPITRE 7 • FLUCTUATION D’UNE FRÉQUENCE, PROBABILITÉS 123

1 1. a) p = 63 753 000497 566 000

≈ 0,13.

b) Cett e probabilité est 0,13. 2. La formule est =ENT(ALEA()+0,13) .

2 1. a) p1 = 1230

= 0,4 et p2 = 1530

= 0,5.

b) Cett e probabilité est 0,4. 2. a) La formule est =ENT(ALEA()+0,4) . b) La formule est =ENT(ALEA()+0,5) .

3 1. p = 3781 400

= 0,27.

2. La moyenne de ces fréquences est 0,25 + 0,29 + 0,24 + 0,32

4 = 1,1

4 = 0,275.

4 1. Échantillonnuméro

Vivant chez leurs parents, ni

Fréquence, fi

1 589 0,589

2 578 0, 578

3 618 0, 618

4 573 0, 573

5 556 0, 556

2. La moyenne de ces fréquences est 0,589 + 0,578 + 0,618 + 0,573 + 0,556

5= 2,914

5

= 0,582 8.

5 1. a) p = 0,82.b) Cett e probabilité est 0,82.2. a) Oui, cett e moyenne fl uctue selon la taille des échantillons. b) Cett e moyenne semble se stabiliser vers 0,82.c) Cett e moyenne semble se stabiliser vers 0,82 qui est la fréquence p déterminée à la question 1. b).

6 1. �p – 11n

; p + 11n �

= �0,77 – 16300

; 0,77 + 16300� ≈ [0,71 ; 0,83].

2. La probabilité que la fréquence des étudiants non fumeurs de l’échantillon soit dans l’intervalle de fl uctuation est supé-rieure à 0,95.

7 1. �p – 11n

; p + 11n �

= �0,53 – 16100

; 0,53 + 16100� = [0,43 ; 0,63].

2. Non, ce n’est pas certain. On peut seulement dire que la probabilité que la fréquence des électeurs prêts à voter pour Icks appartienne à cet intervalle est supérieure à 0,95.

8 1. a) La fréquence de boules noires dans l’urne est p = 400

1 000 = 0,4.

b) �p – 11n

; p + 11n � = �0,4 – 1

6100 ; 0,4 + 1

6100�

= [0,3 ; 0,5].

2. a) Ce pourcentage est 7780

= 0,962 5.

b) Ce pourcentage est supérieur à 0,95.

9 1. p = 3 401 5093 754 620

≈ 0,906.

2. a) �p – 11n

; p + 11n �

= �0,906 – 182 118

; 0,906 + 182 118 � ≈ [0,88 ; 0,93].

b) La fréquence d’entreprises de moins de 10 salariés de cett e ville est 0,98, nombre qui n’appartient pas à l’intervalle de fl uctuation [0,88 ; 0,93]. Cett e fréquence présente donc une diff érence signifi cative avec la fréquence p, au niveau 95 %.

10 1. a) b) c) d) e) f) et 2. a)

On obtient par exemple :

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b) Oui, la moyenne fl uctue.c) Les moyennes observées ne sont pas toutes très proches les unes des autres, car la taille des échantillons n’est pas suffi samment grande.

11 1. a) b) c) Simulation sur tableur.2. On obtient :

3. a) On obtient par exemple :

b) Oui, pour ces échantillons, ce pourcentage est supérieur à 95 %.c) Oui, pour d’autres séries de 50 échantillons aléatoires, ce pourcentage est supérieur à 95 %.(On peut tout de même obtenir, très rarement, un pourcen-tage inférieur à 95 %.)

12 1. On a p = 0,04 et n = 800.

�p – 11n

; p + 11n �

= �0,04 – 16800

; 0,04 + 16800� ≈ [0,005 ; 0,075].

2. a) Tableau

Jour Nombre de billes défectueuses, ni

Fréquence, fi

1 15 0,019

2 10 0,013

3 36 0,045

4 63 0,079

5 75 0,094

6 72 0,090

7 29 0,036

b) Un réglage de la machine a été eff ectué à l’issue des 4e, 5e et 6e jours.c) Le réglage n’a été effi cace qu’à l’issue du 6e jour.

13 1. Tableau

Mois Fréquence de pièces A

Intervalle de fl uctuation

1 0,444 [0,353 ; 0,447]

2 0,424 [0,366 ; 0,434]

3 0,433 [0,359 ; 0,441]

4 0,410 [0,368 ; 0,432]

5 0,436 [0,357 ; 0,443]

6 0,350 [0,376 ; 0,424]

2. a) La fréquence de pièces A n’appartient pas à l’intervalle de fl uctuation pour le 6e mois. De ce point de vue, le responsable de l’atelier a raison de se plaindre pour ce mois.b) La fréquence de pièces A appartient à l’intervalle de fl uc-tuation pour chacun des autres mois. Pour ceux-ci, le respon-sable de l’atelier a tort de se plaindre.

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COMMEÀ L’ÉCRAN

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Fluctuation de la moyenne de fréquences selon les échantillons

Au delà d’un son de 85 décibels, l’oreille humaine peut subir des lésions irréversibles.On estime à 8 % la fréquence des personnes de la population qui risquent de souffrir de perte d’audition permanente parce qu’elles écoutent de la musique à un volume sonore trop élevé (personnes à risque).On simule, à l’aide d’un tableur, le prélèvement dans la population de 6 séries de 4 échantillons aléatoires de tailles successives 20, 50, 100, 250, 350 et 500, en cal-culant pour chaque échantillon la fréquence des personnes à risque (colonnes H à K), ainsi que la moyenne des fréquences pour chaque série (colonne L).Voici un extrait de la feuille de calcul et la représentation graphique de la moyenne des fréquences en fonction de la taille des échantillons.

1. Cochez la formule entrée dans la cellule A1 pour simuler l’obtention aléatoire d’une personne à risque : 1 s’affi chant si la personne est à risque et 0 sinon.

=ENT(ALEA()+48) =ENT(ALEA()+0,08) =ENT(ALEA()+0,92)

2. Pour chacune des affi rmations suivantes, entourez la (ou les) case(s) correspondant à une bonne réponse.

a) Une formule que l'on peut entrer dans la cellule H2, puis recopier jusqu’en K2 pour obtenir les fréquences des 4 échantillons de taille 20 est :

=NB.SI(A1:A20;"1")/20 =NB.SI(A1:A20;"1")/G$2 =NB.SI(A1:A20;"1")/G2

b) Une formule que l'on peut entrer dans la cellule L2, puis recopier jusqu’en L7 pour obtenir la moyenne des fréquences de chacune des 6 séries d’échantillons est :

=SOMME(H2:K2)/20 =MOYENNE(H2:K2)/4 =MOYENNE(H2:K2)

3. À l’aide du graphique, pour chacune des affi rmations suivantes, cochez la case correspondant à la bonne réponse.a) La moyenne des fréquences fl uctue selon la taille des échantillons :

Vrai Faux b) Cette moyenne se rapproche de 0,08 lorsque la taille des échantillons aug-mente : Vrai Faux

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Évaluation

CHAPITRE 7 • FLUCTUATION D'UNE FRÉQUENCE, PROBABILITÉS 127

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Nom

Prénom

Classe

Date


On estime que 12,5 % des élèves d’un quartier utilisent le vélo pour se rendre à leur établissement scolaire.

1. On simule sur tableur le prélèvement de 8 échantillons aléatoires de 25 élèves de ce quartier, en calculant pour chaque échantillon la fréquence des élèves utilisant le vélo. Les résultats sont les suivants.

Échantillon numéro 1 2 3 4 5 6 7 8

Nombre d’élèves utilisant le vélo 3 1 2 2 3 3 3 4

Fréquence des élèves utilisant le vélo 0,12 0,04 0,08 0,08 0,12 0,12 0,12 0,16

a) Compléter le tableau précédent par ces 8 fréquences.

b) Calculer la moyenne de ces 8 fréquences.

0,12 + 0,04 + 0,08 + 0,08 + 0,12 + 0,12 + 0,12 + 0,168

= 0,105.

2. On simule maintenant le prélèvement de 6 autres séries de 8 échantillons aléatoires de tailles successives 50, 100, 200, 300, 600 et 800, en calculant pour chaque série, comme dans la question 1., la moyenne des fréquences des élèves utilisant le vélo. Les résultats, arrondis à 0,001 près, sont les suivants.

Série de 8 échantillons, numéro 1 2 3 4 5 6

Taille des 8 échantillons 50 100 200 300 600 800

Moyenne des fréquences des élèves utilisant le vélo 0,135 0,140 0,131 0,133 0,128 0,126

a) La moyenne des fréquences fl uctue-t-elle selon la taille des échantillons ?

Oui, la moyenne des fréquences fl uctue selon la taille des échantillons.

b) Lorsque la taille des échantillons augmente, la fl uctuation de la moyenne est-elle plus grande ou moins grande ?

Lorsque la taille des échantillons augmente, la fl uctuation de la moyenne est moins grande.

c) Pour quelle taille des échantillons la moyenne des fréquences est-elle la plus proche de la fréquence 0,125 ?

C’est pour les échantillons de taille 800 que la moyenne des fréquences est la plus proche de la fréquence 0,125.

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Un constructeur d’automobiles fait fabriquer en grande quantité une pièce de moteur chez quatre sous-traitants.

En théorie, cette pièce doit avoir un diamètre de 30 mm. Les contraintes de fabrication font qu’elle ne mesure pas toujours précisément 30 mm. Le constructeur contrôle la qualité de fabrication de ses quatre sous-traitants en prélevant dans chaque livraison un échantillon aléatoire de ces pièces et en mesurant leur diamètre avec une machine automatique. Il détermine, pour l’échantillon, l’intervalle de fl uctuation correspondant à la fréquence 2 %, c'est-à-dire 0,02.Il rejette toute la livraison s’il constate que la fréquence de pièces défectueuses dans l’échantillon dépasse la borne supérieure de cet intervalle.

Voici le relevé de ses derniers contrôles :

Sous-traitant Taille de l’échantillon Nombre de pièces défectueuses, ni

Collier 3 000 72

Briveau 5 000 221

Martel 4 000 84

Soudé 6 000 89

1. Pour chaque sous-traitant, compléter le tableau suivant par :

– l’intervalle de fl uctuation pn

pn

− +p⎡

⎣⎢⎡⎡

⎣⎣

⎤

⎦⎥⎤⎤

⎦⎦

1 1; correspondant à cette fréquence 2 %

et à la taille de l’échantillon (arrondir les bornes à 0,001) ;– la fréquence de pièces défectueuses dans l’échantillon (arrondir à 0,001).

Sous-traitant Intervalle de fl uctuation Fréquence de pièces défectueuses, fi

Collier 0 021

3 0000 02

1

3 0000 002 0 038, –02 ; ,0 , ;002 ,+

⎡

⎣⎢⎡⎡

⎣⎣

⎤

⎦⎥⎤⎤

⎦⎦= ⎡⎣⎡⎡ ⎤⎤⎦⎤⎤⎤⎤ 0,024

Briveau[0,02 – 1

95 000 ; 0,02 + 1

95 000]

= [0,006 ; 0,034]0,044

Martel[0,02 – 1

94 000 ; 0,02 + 1

94 000]

= [0,004 ; 0,036]0,021

Soudé[0,02 – 1

96 000 ; 0,02 + 1

96 000]

= [0,007 ; 0,033]0,015

2. Quel est le sous-traitant dont la livraison est rejetée ?

La livraison du sous-traitant Briveau est rejetée, car la fréquence de pièces défectueuses dépasse 0,034 (borne supérieure de l’intervalle de fl uctuation).

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Approche d’une courbe avec des droites, nombre dérivé

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Échauffez-vous !

8

Vocabulaire

Fonction affi neFonction f de la forme f (x) = ax + b, pour tout nombre réel x, où a et b sont des nombres réels donnés.Dans le plan rapporté à un repère, la courbe représentative de f est la droite � d’équationy = ax + b, où a est le coeffi cient directeur et b l’ordonnée à l’origine.� « monte » pour a � 0 et � « descend » pour

a � 0.L'équation y = ax + b est appelée équation réduite de la droite.

1 Entourez les expressions des fonctions affi nes.f (x) = 2x – 1 g(x) = 51x + 1 u(x) = 3x h(x) = x2 – 4 v(x) = – 2

2 Reliez chaque expression de fonction affi neà l’équation réduite de sa droite représentative.f (x) = – x + 1 • • y = 4 g(x) = – 5x • • y = – x + 1h(x) = 4 • • y = – 5x

3 a) Rayez les encadrés inexacts. Soit �1 la droite d’équation réduite y = 3x – 4.Le coeffi cient directeur de �1 est 4 / 3x / 3 / – 4 .

La droite �1 monte / descend , car ce coeffi cient directeur

est positif / négatif .

L’ordonnée à l’origine de �1 est 4 / 3x / 3 / – 4 .

b) Rayez les encadrés inexacts. Soit �2 la droite d’équation réduite y = – 2x + 1.Le coeffi cient directeur de �2 est – 2 / – 2x / 1 / 2x .

La droite �2 monte / descend , car ce coeffi cient directeur

est positif / négatif .

L’ordonnée à l’origine de �2 est – 2 / – 2x / 1 / 2x .

c) Entourez les points qui appartiennent à la droite �1 .A(1 ; – 1) B(0 ; 3) C(0 ; – 4) D(– 1 ; 3)

d) Entourez les points qui appartiennent à la droite �2 .A(1 ; – 1) B(0 ; 3) C(0 ; – 4) D(– 1 ; 3)

e) Tracez ci-contre les droites �1 et �2 .

21

1234 y

x– 1 0

– 1– 2– 3– 4– 5– 6– 7

�1

�2

113

1 Approximations affi nes d’une fonction

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1. Observer quelques approximations affi nes

Soit f une fonction défi nie sur un intervalle I et xA un nombre appartenant à I. Une approximation affi ne de f en xA est une fonction affi ne g telle que :

g(xA) = f (xA) ; g(x) est « proche » de f (x), pour x dans le voisinage de xA . Cela signifi e que la droite représentative de g passe par le point A de coordon-

nées (xA ; f (xA)) et est « proche » de la courbe représentative de f au voisinage du point A.

Activité 1

On a obtenu sur tableur la courbe représentative de la fonction carré c (en rouge) et les droites représentatives de cinq fonctions affi nes (en bleu, vert, rose, orange et violet).

Trois de ces cinq fonctions peuvent être considérées comme étant des approximations affi nes de la fonction c en 1 (ici xA = 1).

1. Quelles sont les droites représentatives de ces trois fonctions ? Cochez les cases correspondantes.

Droite bleue Droite verte Droite rose

Droite orange Droite violette

2. Cochez la case correspondant à la droite qui vous paraît la plus « proche » de la courbe représentative de la fonction c au voisinage du point A(1 ; 1).

Droite bleue Droite verte Droite rose

Droite orange Droite violette

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2. Évaluer l’erreur commise en remplaçant les valeurs d’une fonction par celles d’une approximation affi ne

Soit f une fonction défi nie sur un intervalle I et xA un nombre appartenant à I.g est une approximation affi ne de f en xA .Pour x dans le voisinage de xA , l’erreur commise en remplaçant f (x) par g(x) est égale à f (x) – g(x).

Activité 2

Pour 0,9 � x � 1,1, on reprend la fonction carré c de l’activité 1, ainsi que ses trois approximations affi nes en 1, notées h, k et l :c(x) = x2 ; h(x) = 1,5x – 0,5 ; k(x) = 2x – 1 ; l(x) = 2,5x – 1,5.

Les courbes représentatives de ces quatre fonctions ont été obtenues sur tableur : celle de c en rouge, celle de h en bleu, celle de k en vert et celle de l en rose.Un tableau de calculs a aussi été dressé.

1.Cochez la case correspondant à la réponse exacte et complétez.

a) La lecture du graphique ci-dessus confi rme-t-elle la réponse donnée à la dernière question de l’activité 1 ? Oui Non

b) À l’examen du tableau, la fonction affi ne qui paraît la meilleure de ces trois approximations affi nes de la fonction c en 1 est la fonction :

h k l

c) La réponse à la question b) confi rme-t-elle celle donnée à la question a) ?

Oui Non

car la droite de couleur verte est la droite représentative de la fonction k.

2. a) Reliez chaque valeur de gauche à l’erreur commise en la remplaçant par c (0,9).

h(0,9) • • 0,01

k (0,9) • • 0,06

l(0,9) • • – 0,04

b) Reliez chaque valeur de gauche à l’erreur commise en la remplaçant par c(1,1).

h (1,1) • • 0,01

k (1,1) • • 0,06

l (1,1) • • – 0,04

CHAPITRE 8 • APPROCHE D'UNE COURBE AVEC DES DROITES,NOMBRE DÉRIVÉ

115

2 Tangente en un point à la courbereprésentative d’une fonction

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1. Associer tangente et meilleure approximation affi ne

Soit f une fonction défi nie sur un intervalle I et � sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère.La tangente à � au point A d’abscisse xA appartenant à I est la droite représentative de la « meilleure » approximation affi ne t de la fonction f en xA.Pour x dans le voisinage de xA, lorsqu’on remplace f (x) par t (x), on commet une erreur négligeable.

Activité

Sur l’intervalle [0,5 ; 1,5], on considère les fonctions :

– carré c, défi nie par c(x) = x2, de courbe représentative notée � ;

– racine carrée r, défi nie par r(x) = 1x , de courbe représentative notée � ;

– inverse s, défi nie par s(x) = 1x

, de courbe représentative notée �.

Pour chacune de ces trois courbes, on se place au voisinage du point A d’abscisse 1. On note � la tangente en A, droite représentative de la fonction affi ne notée t.

Fonction carré c Fonction racine carrée r Fonction inverse s

Équation de la tangente � en A :

y = 2x – 1


y = 0,5x + 0,5


y = – x + 2

(Pour chaque tableau, la dernière ligne comporte les résultats arrondis à 0,01.)

1. Cochez la case correspondant à la bonne réponse.Pour les trois courbes, l’ordonnée du point A est 1. Vrai Faux

2. Reliez chaque fonction à l’expression de sa meilleure approximation affi ne en 1.

c • • t(x) = – x + 2

r • • t(x) = 2x – 1

s • • t(x) = 0,5x + 0,5


Pour x dans l’intervalle [0,9 ; 1,1], pour laquelle des trois fonctions c, r ou s commet-on l’erreur la plus faible en remplaçant c(x), r(x) ou s(x) par t(x) ?

c r s

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116133CHAPITRE 8 • APPROCHE D'UNE COURBE AVEC DES DROITES,

NOMBRE DÉRIVÉ

2. Comment déterminer graphiquement le coeffi cient directeur d’une tangente ?

Méthode 1

On considère la tangente en un point A à la courbe représentative d’une fonction. On note a le coeffi cient directeur de cette tangente.

Étape 1 Se positionner en un point M de la tangente.Étape 2 Se déplacer horizontalement d’une unité vers la droite. A

M 1aÉtape 3 Se déplacer verticalement pour atteindre la tangente :

a est égal au nombre d’unités verticales nécessaires (positif si on se déplace vers le haut, négatif si on se déplace vers le bas).

La courbe � (en rouge) est la courbe représentative d’une fonction. La droite �1 (en vert) est la tangente à � au point d’abscisse 3.La droite �2 (en violet) est la tangente à � au point d’abscisse – 2.

1 2 3 4

�1

�

�2

1234567

– 1– 2– 3– 4– 5 0– 1– 2

x

y

PQ

M

Déterminez le coeffi cient directeur de la droite �1.(Faites apparaître les tracés utiles sur la fi gure.)

Solution

Étape 1 On se positionne par exemple au point M(1 ; –1).Étapes 2 et 3 Après s’être déplacé vers la droite de 1 unité, on atteint �1

en montant de 2 unités. Le coeffi cient directeur de �1 est donc a = 2.

Méthode 2

On considère la tangente en un point A à la courbe représentative d’une fonction.On note a le coeffi cient directeur de cette tangente.

Étape 1 Repérer deux points P et Q de la droite, dont les A

O

yxxPx

yPyyyQ

xQ

QPPcoordonnées sont simples à lire.

Étape 2 Calculer a avec l’égalité a = yQ – yP

xQ – xP.

Reprendre le graphique de l’énoncé précédent.Déterminez le coeffi cient directeur de la droite �2.(Faites apparaître les tracés utiles sur la fi gure.)

Solution

Étape 1 On choisit, par exemple, les points P(0 ; 1) et Q(2 ; 0).

Étape 2 Le coeffi cient directeur de �2 est a = yQ – yP

xQ – xP = 0 – 1

2 – 0 = – 12

.

117

3 Nombre dérivé

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1. Déterminer un nombre dérivé

Soit f une fonction défi nie sur un intervalle I et � sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère. xA est l’abscisse d’un point A de �.Le nombre dérivé de f en xA , noté f �(xA), est le coeffi cient directeur de la tangente à � au point A.

Exemple

� est la courbe représentative d’une fonction f défi nie sur �. On a tracé deux tangentes à la courbe.

�

– 1– 1– 2

1

3

5

7

9

– 3

– 5

– 7

– 9

x

y

10 2 3 4

Activité

1. Cochez la case correspondant à la réponse exacte.a) Quelle est la tangente à � au point d’abscisse 1 ?

La droite violette La droite verte

b) Quel est le coeffi cient directeur de cette droite ? 1 3 0 2 – 1

c) Le nombre dérivé de f en 1 est donc : f �(1) = 1 f �(1) = 3 f �(1) = 0 f �(1) = 2 f �(1) = – 1

2. Cochez la case correspondant à la réponse exacte.a) Quelle est la tangente à � au point d’abscisse 3 ?

La droite violette La droite verte

b) Quel est le coeffi cient directeur de cette droite ? 1 3 0 2 – 1

c) Le nombre dérivé de f en 3 est donc : f �(3) = 1 f �(3) = 3 f �(3) = 0 f �(3) = 2 f �(3) = – 1

3. a) Tracez sur la fi gure la tangente à � au point d’abscisse 0.b) Rayez les encadrés inexacts.On lit que le coeffi cient directeur de cette droite est 0 / 1 / 2 / 3 / 6 , donc

le nombre dérivé de f en 0 est f ’(0) = 0 / 1 / 2 / 3 / 6 .

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118118135CHAPITRE 8 • APPROCHE D'UNE COURBE AVEC DES DROITES,

NOMBRE DÉRIVÉ

2. Comment déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative d’une fonction f au point A(xA ; f(xA)) ?

Méthode 3

Étape 1 Déterminer f �(xA), graphiquement (voir méthodes 1 et 2 page 133) ou avec les données de l’énoncé.

Étape 2 Écrire la forme de l’équation cherchée : y = f �(xA)x + b. Étape 3 Résoudre l’équation f �(xA)xA + b = f (xA), d’inconnue b, puis donner l’équation

réduite de la tangente.

On donne un tracé de la courbe � (en rouge) repré-sentative d’une fonction f défi nie sur [0,3 ; 3] et de sa tangente � (en vert) au point d’abscisse 0,5.Déterminez l’équation réduite de �.

Solution

Étape 1 On lit f �(0,5) = – 4.Étape 2 L’équation de � est donc de la forme y = – 4 x + b.Étape 3 On lit f (0,5) = 2.On résout l’équation – 4 × 0,5 + b = 2, d’où b = 2 + 4 × 0,5 = 4.L’équation réduite de � est y = – 4x + 4.

3. Comment tracer la tangente à la courbe représentative d’une fonction f au point A(xA ; f(xA)), connaissant f �(xA)) ?

Tracez sur le graphique de la méthode 3 la tangente à � au point d’abscisse 1, sachant que f �(1) = – 1.

Solution

Étape 1 On se positionne au point de coordonnées (1 ; 1).Étape 2 On trace la droite passant par ce point et de coeffi cient directeur –1.(On se décale de 1 unité vers la droite, puis on descend de 1 unité(s) ; ce deuxième point permet de tracer la tangente.)

0,5 1 1,5 2 2,5

– 4– 3– 2– 1

0

123

x

y

�

�

Méthode 4

Étape 1 Se positionner sur la courbe au point A de coordonnées (xA ; f (xA)).

Étape 2 Tracer la droite passant par ce point et de coeffi cient directeur f �(xA) : se décaler de 1 unité vers la droite, puis monter (si f �(xA) > 0) ou descendre (si f �(xA) � 0) de f �(xA) unités.

AA

11

f �(x(( Ax ) < 0pp p

f �(xA) � 0

AA11

f �(x(( Ax ) > 0

pp

p

f �(xA) � 0

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119CHAPITRE 8 • APPROCHE D’UNE COURBE AVEC DES DROITES, NOMBRE DÉRIVÉ 137

1 f ’(0) = 1 et f ’(1) = 4.

2 f ’(– 2) = − 3, f ’(– 0,5) = 0 et f ’(1) = 3.

3 1. Tracé sur l’écran d’une calculatrice.2. a) Il s’agit de la droite �2.b) Le coefficient directeur de la droite �2 est 0,5, donc r ’(1) = 0,5.

4 1. Le coefficient directeur de cette tangente est – 2 – 31 + 2

= − 53

.

2. f ’(– 2) est le coeffi cient directeur de cett e tangente, donc f ’(– 2) = − 5

3.

5 1. c). 2. b). 3. a) et 4. b).

6 1. Tracé de la tangente τ. 0,5

0,25

00– 1– 2– 3

2. a) L’erreur commise (à 0,000 1 près) est égale à 0,000 6.b) Le maximum de l’erreur commise (à 0,000 1 près) est égal à 0,002 8.

7 1. q ’(– 1) = 3, q ’(1) = 3 et q ’( 0) = 0.2. • Comme q ’(− 1) = 3, l’équation de τ1 est de la forme y = 3x + b. On lit l’ordonnée à l’origine, soit b = 2. L’équation réduite de τ1 est y = 3x + 2.• Comme q ’(1) = 3, l’équation de τ2 est de la forme y = 3x + b. On lit l’ordonnée à l’origine, soit b = −2. L’équation réduite de τ2 est y = 3x − 2.• La droite τ3 est l’axe des abscisses, donc l’équation réduite de τ3 est y = 0.

8 1. f(2) = 2 2 – 4 = 0.2. Tracé sur l’écran d’une calculatrice.3. Comme f ’(2) = 4, l’équation réduite de τ est de la forme y = 4x + b. On résout l’équation f ’(2) × 2 + b = f(2), équivalente à 4 × 2 + b = 0, soit b = − 8. L’équation réduite de τ est y = 4x − 8.4. Tracé sur l’écran d’une calculatrice.

9 1. Faux, � passe par le point de coordonnées (0 ; – 4).2. Vrai.3. Vrai.

4. Faux, la tangente à � au point d’abscisse 1 a un coeffi cient directeur égal à – 1.5. Vrai.6. Faux, l’équation réduite de la tangente à � au point d’abs-cisse 2 est y = x – 8.

10 1. et 2. Tracé de � et de sa tangente

x

y

32

�

1– 1– 2 – 10

– 2– 3– 4– 5– 6– 7

76

98

54321

3. Comme c ’(1,5) = 3, l’équation réduite de la tangente est de la forme y = 3x + b. On a c (1,5) = 1,52 = 2,25 et on résout l’équation c ’(1,5) × 1,5 + b = c(1,5), équivalente à 3 × 1,5 + b = 2,25, soit b = − 2,25. L’équation réduite de la tangente est y = 3x − 2,25.

11 1. c(1) = 12 = 1. 2. Pour x = 1, y = m + (1 – m) = 1.3. Sur tableur.4. a), b), c) et d) Sur tableur.5. Tracé de la courbe � et de la droite τ

40

30

20

– 10

– 20

– 30

02

c(x) = x^2y = mx + (1 – m)

4 6 8– 4 – 2

10

6. a) et b) Sur tableur.

120120120

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c) Pour m = 2, la droite τ est tangente à � au point A.d) On en déduit c ’(1) = 2.7. c ’(2) = 4. 8. c ’(–1,5) = − 3.

12 1. d’(2) = 20.2. a) d(2) = 5 × 22 = 20, soit 20 mètres.b) d’(2) = 20 m/s ou 72 km/h.

13 1. a) 40 × 20 – 25 = 775, donc τ1 passe par le point de coordonnées (20 ; 775).2. a) 60 × 5 – 225 = 75, donc τ2 passe par le point de coordonnées (5 ; 75).1. b), 2. b)

10 15 200

200

400

600

800

�

5 t

y �2

�1

3. d’(5) est le coeffi cient directeur de τ1, donc d’(5) = 40 ; d’(15) est le coeffi cient directeur de τ2, donc d’(15) = 60 .4. a) d(5) = 52 + 30 × 5 = 175, soit 175 m. d(15) = 152 + 30 × 15 = 675, soit 675 m. b) d’(5) = 40 m/s ou 144 km/h.d’(15) = 60 m/s ou 216 km/h.

14 1. a) À l’instant t = 0, la température du conducteur est égale à 0 °C.b) Au bout de 7 secondes, la température du conducteur est égale à 10 °C.2. La température du conducteur att eint 16 °C au bout de 16 secondes.3. Lorsque t augmente, le coefficient directeur des tan-gentes à � diminue ; c’est-à-dire que f’(t) diminue.Ainsi, la vitesse d’échauffement diminue en fonction du temps.

15 Partie A1. Tracé sur tableur

– 150– 100

– 50 2 4 6 8 100

50100150200250300350

v(x)

1 3 5 7 9

2. La droite est tangente à la courbe au point d’abscisse a = 5.Partie B1. On résout sur [0 ; + ∞[ l’équation f(t) = 0, successivement équivalente à 125 – 5t2 = 0 ; t2 = 25 ; t = 5. L’objet att eint le sol au bout de 5 secondes.2. La vitesse instantanée de l’objet, en m/s, à l’instant t = 5 est g’(5). Or g’(5) est le coeffi cient directeur de la tangente à la courbe représentative de g au point d’abscisse 5, donc on a g’(5) = 50.À l’impact au sol, l’objet a une vitesse égale à 50 m/s ou encore 180 km/h.

121

COMMEÀ L’ÉCRAN

Retrouver l’équation réduite d’une tangente à la courbe représentative d’une fonction

Le tableau de valeurs et le graphique suivants ont été obtenus sur tableur.La courbe rouge est la courbe représentative � d’une fonction f défi nie sur[0,2 ; 2,6]. La droite verte est la tangente � à � au point A d’abscisse 1.Dans la colonne C fi guraient les valeurs correspondant à la tangente �.

1. En utilisant le tableau de valeurs, répondez aux questions suivantes.

a) Dans quelle cellule lit-on l’ordonnée du point A ? La cellule B6.

b) Complétez la cellule C6 par la valeur qu’elle contenait.

2. En utilisant le graphique, cochez la case correspondant à la réponse exacte.a) Le coeffi cient directeur de � est :

positif négatifb) L’ordonnée à l’origine de la tangente � (c’est-à-dire l’ordonnée du point de �d’abscisse 0) est :

0 1 – 2 – 3

3. a) À l’aide des réponses aux questions 1.a) et 2.b), déterminez le coeffi cient direc-teur de � (c’est-à-dire f �(1)).

� passe par les points (0 ; – 2) et (1 ; – 3). Son coeffi cient directeurest –3 – (–2)

1 – 0 = –1.

b) En déduire l’équation réduite de �.

L’ordonnée à l’origine de � est – 2 et son coeffi cient directeur est –1.

Son équation réduite est donc y = –x – 2.c) Quelle formule avait-on écrite dans la cellule C2, puis recopiée jusqu’à la cellule C14, pour obtenir les valeurs correspondant à la tangente � ?

On avait écrit la formule =–1*A2–2 .

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122CHAPITRE 9 • APPROCHE D'UNE COURBE AVEC DES DROITES, NOMBRE DÉRIVÉ 122

Évaluation

CHAPITRE 8 • APPROCHE D'UNE COURBE AVEC DES DROITES, NOMBRE DÉRIVÉ 141

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Nom

Prénom

Classe

Date


La courbe rouge est la courbe représentative � d’une fonction f défi nie sur [– 2,5 ; 2,5].La droite �1 est la tangente à � au point d’abscisse 0 ; les tangentes �2 et �3 à � aux points d’abscisses – 1 et 1 sont parallèles à l’axe des abscisses.

0– – 11– 1 –1 0,500 500,5– 0,5,0 50,5 11111 1,5,1 51,5 22222 2,5,2, 1,51– 1 511,5– 22– 2,522,5

1122333445566778899

101011111212

– 22– 33– 44– 55– 66

x

yy

��11�� 4�

1. Déterminer les nombres dérivés suivants : f �(–1), f �(0) et f �(1).

�2 et �3 sont parallèles à l’axe des abscisses, donc f �(–1) = f �(1) = 0.f �(0) est le coeffi cient directeur de �1, on lit f �(0) = – 3.

2. Déterminer l’équation réduite de �1 .

L’équation réduite de �1 est de la forme y = – 3x + p.Son ordonnée à l’origine est 3, donc son équation réduite est y = – 3x + 3.

3. Déterminer les équations réduites de �2 et de �3 .

�2 et �3 sont parallèles à l’axe des abscisses. L’ordonnée à l’origine de �2 est 5, donc, son équation est y = 5. L’ordonnée à l’origine de �3 est 1, donc, son équation est y = 1.

4. a) Tracer sur le graphique la tangente �4 à � au point d’abscisse – 2, sachant que f ’(– 2) = 9.

b) Déterminer l’équation réduite de �4 .

L’équation réduite de �4 est de la forme y = 9x + p. �4 passe par le pointde coordonnées (– 2; 1), donc on résout l’équation 1 = 9 × (– 2) + p, soit p = 1 + 18 = 19.Ainsi, l’équation réduite de �4 est y = 9x + 19.

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Problème 10 points

On lâche verticalement une balle de tennis d'une hauteur de 76 mètres.On admet que la distance d (en mètres) parcourue par la balle est donnée en fonction du temps t (en secondes) par d(t) = 4,5t² + t, pour 0 � t � 4.La courbe � est la courbe représentative de la fonction d. La droite �1 est la tangente à � au point d’abscisse 1.La tangente � 2 à � au point d’abscisse 3 a pour équation y = 28t – 40,5.

– 20– 20

– 10– 10

1010

2020

3030

4040

5050

6060

7070

0– 0,50,50 0,50,5, 111 1,51,5, 222 2,52,5, 333 3,53,5,

��

��1��

�22��

y

t

1. a) Quelle est la distance parcourue par la balle au bout de 1 seconde ?d(1) = 5,5. La balle a parcouru 5,5 m au bout de 1s.b) Quelle est la distance parcourue par la balle au bout de 3 secondes ?d(3) = 43,5. Au bout de 3 s, la balle a parcouru 43,5 m.c) Vérifi er que la balle atteint le sol au bout de 4 secondes.d(4) = 76. La balle étant lâchée d’une hauteur de 76 m, elle att eintdonc le sol au bout de 4 s.

2. On admet que la vitesse instantanée de la balle à l’instant t est égale, en mètres par seconde, à d�(t).a) Lire sur le graphique la valeur de d�(1). d�(1) = 10.En déduire la vitesse instantanée de la balle au bout de 1 seconde (exprimer le résultat en mètres par seconde, puis en kilomètres par heure).Au bout de 1 s, la vitesse instantanée de la balle est de 10 m/s, soit 36 km/h.b) Donner d�(3). Le coeffi cient directeur de �2 est 28, doncd�(3) = 28.

En déduire la vitesse instantanée de la balle au bout de 3 secondes (exprimer le résultat en mètres par seconde, puis en kilomètres par heure).Au bout de 3 s, la vitesse instantanée de la balle est de 28 m/s, soit 100,8 km/h.

123

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