géométrie dans l’espace première partie · 2017-01-24 · geometrie dans l’espace premiere...
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GEOMETRIE DANS L’ESPACE PREMIERE PARTIE
Chapitre n+1 Géométrie dans l’espace 1ère partie
On va aborder dans ce chapitre les aspects non calculatoires
mais forts indispensables à la géométrie dans l’espace.
Géométrie dans l’espace Première partie
Géométrie dans l’espace Première partie
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I. POSITIONS RELATIVES DE DEUX DROITES DANS L’ESPACE
Définition d’un plan
Un plan est caractérisé par trois points non alignés. Ici par exemple (ADB’) est un plan.
• Deux droites de l’espace peuvent être coplanaires c’est-à-dire appartenir au même plan. Exemple : (AB) et (AD).
• Deux droites peuvent être sécantes : (AA’) et (AB). • Deux droites peuvent être parallèles, c’est-à-dire que les deux droites ont la même direction dans
l’espace. Attention la définition deux droites parallèles sont deux droites qui ne se touchent pas ne fonctionne pas ici : (AB) et (B’C’).
• Deux droites peuvent être non coplanaires, c’est-à-dire ne pas être dans le même plan : (AB) et (A’D’).
II. POSITION RELATIVES D’UNE DROITE ET D’UN PLAN. • Une droite et un plan peuvent être parallèles :
• Ou bien une droite et un plan peuvent être sécants :
Remarquez que l’intersection du plan et de la droite est un point.
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III. POSITION RELATIVES ENTRE DEUX PLANS • Deux plans peuvent être parallèles :
• Ou bien deux plans peuvent être sécants :
Remarquez ici que l’intersection de deux plans est une droite.
IV. PROPRIETES SUR LE PARALLELISME • Si une droite d est parallèle à une droite ∆ d’un plan 𝒫 alors d est parallèle à 𝒫 :
• Si deux droites 𝑑$ et 𝑑% sécantes d’un plan 𝒫$ sont parallèles à un plan 𝒫% alors 𝒫$ et 𝒫% sont parallèles :
• Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à la droite engendrée par l’intersection des deux plans :
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• Théorème du toit : Si deux plans 𝒫$ et 𝒫% sont sécants. Et si 𝑑$ et 𝑑% deux droites de ces plans sont parallèles alors 𝑑$ et 𝑑% sont parallèles à l’intersection des deux plans :
• Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes du premier plan sont parallèles à deux droites sécantes de l’autre plan :
V. ORTHOGONALITE DANS L’ESPACE • Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si elles se coupent perpendiculairement. • Deux droites sont orthogonales si leur direction est orthogonale.
Définition
On dit qu’une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan.