Génération de courant dans les tokamaks

1. Les enjeux2. Les courants dans un plasma de tokamak3. Description cinétique de la génération de courant4. Revue des différentes méthodes (théorie/expérience/technologie)

Courant auto-généré (bootstrap) Courant inductif (Loi d’Ohm) Courant Radio-Fréquence (LH, EC) Courant par injection de particules (IdN)

5. Fonctionnement non-inductif du tokamak6. Vers le réacteur continu7. Techniques de mesure

- Les enjeux -

Les courants dans les plasmas de tokamak jouent un rôle majeur pour

• l’équilibre magnétique de la configuration• la stabilité MHD de la décharge• les performances fusion (critère de Lawson, ignition)

La maîtrise des courants dans les plasmas est donc au cœur de la physique de la fusion par confinement magnétique de type tokamak afin d’obtenir

• un fonctionnement continu (évite les fatigues mécaniques structurelles)• un réacteur économiquement viable.

• Confinement assuré par la combinaison de deux champs magnétiques :

– champ axial produit par les bobines toroïdales Bt

– champ poloïdal créé par le courant plasma B

• Forme hélicoïdale des lignes de champ évite la dérive verticale des particules

• Equilibre MHD: jxB = p• Rôle clé du courant plasma

Equilibre magnétique du tokamak

Stabilité du confinement

1.2

0.8

0.4

0.0

4

3

2

1

0

IpPLH

PICRH

#28204

3.0

2.0

1.0

0.020151050

Time (s)

Te0 (keV)

q0 [sim.]M.H.D. activity

Sawtooth

Loi d’échelle du confinement des tokamaks

Meilleures performances à fort courant plasma Ip

Gigantisme des machines pour atteindre l’ignition

TORE SUPRA

JET

ITER

Confinement standard de référence en absence de divertor: Mode L

D.C. Robinson, Phys. Plasma. Contr. Fusion, 35 (1993) B91

• contrôler le profil de courant à partir de paramètres externes

• minimiser la fraction de puissance recyclée pour générer du courant: efficacité J (MA)/P (MW)

L’enjeu, c’est à tout instant de

• La complexité du milieu: topologie, homogénéité et isotropie • Problème cinétique: description statistique du mouvement des particules dans l’espace des vitesses et des configurations avec des aspects délicat (interaction ondes/particules à la résonance)• Description électromagnétique pour les ondes RF• La description relativiste des collisions dans un plasma chaud• La non-linéarité du problème: le lieu où du courant est généré dépend de l’équilibre et vice-versa• Modélisation est très coûteuse sur le plan numérique (3-D): développement d’algorithmes complexes• La mise en œuvre instrumentale (problèmes technologiques)• La détermination locale de la valeur du courant

Les difficultés sont multiples:

- Les courants dans un plasma de tokamak -

Définition des référentiels

P

Bp

eϕ

e

eψ

eϕ

R

R0

B

eψ

.

eθ

eϕ

e⊥

e//

P.

ψ: fonction de flux poloïdal magnétique

Bϕ / B Bp / B−Bp / B Bϕ / B

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

reϕre

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

re/ /re⊥

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Matrices de transformation entre les référentiels

Bϕ / B −Bp / BBp / B Bϕ / B

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

re/ /re⊥

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

reϕre

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Equilibre magnétique: les surfaces de flux correspondent à des surfaces isobares et les lignes de champ sont également contenues dans ces surfaces.

rj ×

rB=

r∇p

rj ⋅

r∇p=0 et

rB⋅

r∇p=0

rj/ / =

rj ⋅

rB( )

rB / B2

rj⊥ =−

rj ×

rB( )×

rB / B2 Courant diamagnétique

Divergence non-nulle de j

Accumulation charges ()

Courant j//

∇⋅j ⊥ < 0

∇⋅j ⊥ > 0

j⊥

j⊥

Densité de courant poloïdale (projection):

€

j p =Bp

Bj// +

Bϕ

Bj⊥

Equilibre magnétique: rjp =

r∇f ×

r∇ϕ

rBp =

r∇ψ×

r∇ϕ

€

j p =dfdψ

Bp =f 'Bp

€

μ0 f ψ( )=RBϕ où f est la fonction de flux de courant.

€

j⊥ =1B

∇p =1B

dpdψ

∇ψ =RBp

Bdpdψ

=RBp

Bp'

€

j// =f 'B−μ0 fp'

B

et

avec

On en déduit:

A noter:

€

j p =Bp

Bj//

est le courant paramagnétique

Pour calculer j//, il faut déterminer f’. Il faut pour cela introduire une équation supplémentaire donnant j//. On considère les équations du transport collisionnel dans un milieu fortement magnétisé déterminé par Braginskii. Pour chaque espèce j, on a trois équations pour les conservations du nombre de particules, de l’impulsion et de l’énergie:

dn j

dt=−nj

r∇⋅

rvj

n jm j

drv j

dt=−

r∇⋅pj −

∂∂xβ

Π jαβ +njZjerE +

rvj ×

rB( ) +

rRj

3

2n j

dT j

dt=−pj

r∇⋅

rvj −

r∇⋅

rqj −Π jαβ

∂vjα

∂xβ

+Qj

où

€

pj =njT j

d

dt=∂∂t

+rvj ⋅

r∇et

notation de Dirac

€

Π jαβ :

€

Qj :

Tenseur de stress (anisotropie de pression)

€

Zje: Charge des particules

rRj : Taux de transfert d’impulsion entre espèces

Taux de transfert d’énergie entre espèces

rq j : Flux de chaleur

On considère le cas de deux espèces (électrons et ions), avec ne = ni = n, et dans la limite ee >> 1 et ii >> 1 où e et i sont les temps caractéristiques de collisions, le taux de transfert d’impulsion des ions vers les électrons vaut

rRei =

rRei

F +rRei

T

Force de friction

Force thermale

rRei

F =ne η/ /

rj/ / +η⊥

rj⊥( )

rRei

T =−0.71nr∇/ /Te−

32

ne e

re/ / ×

rB

(η: resistivité du plasma)

En projetant dans la direction parallèle, on peut trouver naturellement l’équation pour j//.

re/ / ⋅

rRei =neη/ / j/ / −0.71n∇/ /Te

En reportant dans l’équation de conservation de l’impulsion, après avoir sommé sur toutes les espèces et tenu compte de l’électro-neutralité, de la stationnarité et de l’incompressibilité du plasma considéré comme un fluide

r∇⋅p j +

∂

∂xβ

Πeiαβ = nerE +

rj ×

rB( ) +

rRei

r∇⋅p =

rj ×

rB

re/ / ⋅

∂∂xβ

Πeiαβ −nerE−

rRei

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=0

Puisqu’à l’équilibre, , on a alors

et en combinant les équations:

j/ / =1

neη/ /

re/ / ⋅

∂∂xβ

Πeiαβ −neE/ / −0.71n∇/ /Te

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Correction d’ordre 1

soit j/ / ≈

re/ / ⋅

∂∂xβ

Πeiαβ

neη/ /

−E/ /

η/ /

qui est la loi d’Ohm généralisée pour le courant circulant le long de la ligne de champ

Dans la limite de forte collisionnalité, l’anisotropie de pression est négligeable, et

rE =

rEp +

rEϕLe champ électrique valant

€

E// =Bp

BE p +

Bϕ

BEϕ

En l’absence de champ électrique induit par des bobinages externes (fonctionnement inductif), E =0, et on ne conserve que la composante poloïdale auto-cohérente Ep (liée à l’accumulation de charge poloïdalement)

€

η// j// =E//

après changement

de coordonnées:

r∇×

rE = −

∂B

∂t= 0 → Ep—∫ ds = 0

En régime stationnaire,

Si l’on pose

€

E p = E p∫ ds ds∫

car η// est constant sur une surface de flux: n(ψ) et T(ψ). On en déduit ainsi

€

j//

BBp

=0alors

€

f'=μ0 fp'1/Bp

B2 /Bp

et le courant de Pfirsch-Schlüter vaut:

€

j// =j// ps =−RBϕ p'1B

−1/Bp

B2 /Bp

B⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

(Stokes)

Le courant de Pfirsch-Schlüter existe toujours, puisqu’il provient de la condition d’écoulement des charges le long des lignes de champ:

r∇⋅

rj = 0

Il est cependant faible en général. Dans le cas d’une configuration tokamak circulaire avec grand rapport d’aspect ( r/R0 << 1):

€

Bϕ =Bϕ 0

1+ε cosθ

€

Bp =Bθ 1+εΛ r( )cosθ( )

€

Bp Bϕ ≈ε

€

j//ps r,θ( ) =−21Bθ

rR

dpdr

cosθ +O ε 2( )

€

j// ps =dθ2π

−π

+π

∫ j// ps r,θ( )=0Moyenne sur une surface de flux:

€

dψdr

=RBθ

A très faible collisionnalité, les effets d’anisotropie de pression peuvent devenir importants sur le courant j//.

€

j//

BBp

A partir du calcul de , on montre ainsi facilement que

le terme associé vaut:

j/ /b =

Bneη/ /

BBp

re/ / ⋅Πeiβ( )

B2

Bp

Et pour le cas d’une configuration de section circulaire à grand rapport d’aspect,

j/ /b =

Bneη/ /

Bre/ / ⋅Πeiβ( ) B2

Du fait de l’équilibre magnétique, le courant j// vaut donc:

€

j// =j// ps+j//b

=−RBϕ p '1

B−

1 / Bp

B2 / Bp

B⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+

B

neη / /

Bre/ / ⋅Πeiβ( ) B2

Le premier terme est presque toujours négligeable. Le second n’intervient que si le tenseur de pression n’est pas isotrope, donc lorsque la collisionnalité du plasma est très faible (forte température, faible densité). Le courant j//b est le courant de bootstrap. Sa valeur sera explicitée à partir de la théorie cinétique. A noter, que seul le terme lié à l’anisotropie de pression j//b est susceptible d’assurer l’équilibre magnétique sous certaines conditions, sinon, il faut donc créer directement une source de courant par des moyens externes j//ext.

Dans le cadre de la description fluide, ce rôle de source externe peut être joué par un champ électrique constant E induit par des conducteurs externes dans lesquels on fait circuler un courant (Loi de Lenz, bobines poloïdales), puisque formellement il s’agit du même mécanisme que pour le champ auto-cohérent Eps. Dans ce cas, on trouve par un calcul analogue que:

€

j//ext=j//Ω =B

η//

BϕEϕ

Bp

B2

Bp

et pour le cas d’une configuration de section circulaire à grand rapport d’aspect, le courant Ohmique ()

€

j//ext. =j//Ω =B

η //

BϕEϕ

B2

Mais la description fluide est très limitée pour décrire la physique de la génération de courant dans les plasmas de tokamak car il est nécessaire de spécifier les caractéristiques dynamiques des particules en jeu :

• électrons ou ions, circulants ou piégés• résonance onde-particules• la collisionnalité qui est fonction de l’énergie des particules• transfert d’impulsion (1D, 2D)• …

Description cinétique

- Description cinétique de la génération de courant -

Equation de Klimontovitch

Equation de Liouville

Equation de

Vlasov

Equation de

Fokker-Planck

Equation de

Boltzman

BBGKY

C(f,f’)=0 C(f,f’)≠0 C(f,f’)≠0

Champ moyen +Petites déflections +Fortes déflections

Génération de courant

(1/pe,Debye)

df j

dt=∂ fj

∂t+

r&x⋅r∇x fj +

r&p⋅r∇p fj = C fj , fj '( )

j '∑

où

rFj

rx,t( ) =Zje

rE

rx,t( ) +

rv×

rB

rx,t( )( )avec la force de Lorentz

r&x =

rv est la vitesse et la relation de la dynamique

rFj =

r&p

∂ f j

∂t+

rv ⋅

r∇ x f j + Z j

rE +

rv ×

rB( ) ⋅

r∇ p f j = C f j , f j '( )

j '

∑

f étant la fonction de distribution à une particule de type j

Pour pouvoir exploiter cette équation, il est nécessaire d’effectuer des moyennes éliminant ainsi les variations rapides dont la valeur moyenne est nulle et qui ne portent pas de ce fait d’information intéressante aux échelles de temps ou d’espace auxquelles on se place pour étudier la génération de courant. Cette procédure permet de réduire le nombre de dimensions du problème. Il convient donc d’étudier les caractéristiques du mouvement des particules dans un plasma de tokamak

Cette approche est essentielle pour pouvoir envisager une résolution numérique.

Plasma = Ensemble de particules fortement couplées

- Comportement collectif non-linéaire (problème à N corps)

- Turbulence et transport anormal

- Bifurcations et auto-organisation

- Corps noir

0

FCI

FCE

LH

10-100 MHz

1-10GHz

10-100 GHz

1-100 kHz MHD

Fréquence plasma100-1000 GHz ECE

UV

Visible

IR

X-mous

X-durs

IDN

Ch

auf

fage

s

Dia

gno

stics1-10 keV

10-1000 keV

> 1 MeV

Plasma = Ensemble de particules indépendantes

- Comportement particulaire

- Domaine du rayonnement

- Corps gris, transparent

>> Debye

<< Debye

≈ Debye

1-430 THz

430-750 THz

0.75-30 PHz

100 m)

(~ mm)

(~ cm)

(~ dm)

(~ m, taille machine)

700 nm)

00 nm)

10 nm)

1 )

Plasmas de tokamak: pe ~ ce

On ne considère que les processus physiques tels que l’équation puisse garder une forme conservative:

∂ f j

∂t+

r∇ ⋅

rS j = 0

où S est le flux de particules dans l’espace des phases. Ceci revient à faire l’hypothèse que la dynamique statistique étudiée peut être exprimée en termes diffusif (processus de Markov) ou convectif.Les processus « violents » sont exclus de ce modèle (effet d’avalanches, piégeage onde-particule à forte densité de puissance, transport de Lévy,…).

Cette formulation joue un rôle fondamentale pour la résolution numérique du problème de la génération de courant

Les quantités suivantes sont alors conservées:• la densité

• la quantité de mouvement

• l’énergie

∂∂t

f jd3 rp

V

∫ +rS j

A

∫ ⋅rnd 2A = 0

∂∂t

rpf jd

3 rp

V

∫ +rp

rS j

A

∫ ⋅rnd 2A = m

rS j

V

∫ d 3 rp

∂∂t

Ecj f jd3 rp

V

∫ + Ecj

rS j

A

∫ ⋅rnd 2A =

rp ⋅

rS j

V

∫ d 3 rp

où Ec est l’énergie cinétique et V est n’importe quel volume de l’espace des phases défini par sa frontière A, le vecteur étant localement normal au plan tangent à la surface A.

rn

A partir de la connaissance de la fonction de distribution f, il est possible de remonter aux quantités macroscopiques intéressantes (moments de f) pour la physique de la génération de courant comme:

• La densité de particules

• Le densité de courant

• La densité de puissance absorbée

n j

rx, t( ) = fj

rx,

rp,t( )d3 rp

V∫

rj

rx, t( ) =

j

∑ Zje fj

rx,

rp,t( )

rvd3 rp

V∫

Pj

rx, t( ) =

rp⋅

rSjd

3 rpV∫

Une des difficultés majeures de l’approche numérique est de calculer rapidement la limite asymptotique qui est généralement celle recherchée:

lim t→ +∞ fj

rx,t( ) = fj∞

rx( )

Sans champ magnétique

Avec champ magnétique

Plongées dans un champ magnétique B, les particules chargées ont un mouvement qui est caractérisé par une giration très rapide transverse à la direction de B de fréquence cyclotronique , et un déplacement longitudinal libre (centre-guide). Cette approche reste valable même lorsque B varie lentement dans l’espace et dans le temps, les invariants du mouvement restant le moment magnétique et l’énergie (théorie adiabatique):

€

μ j =p⊥2 2mjB

€

Ecj =p2 2mj

€

Ω j =Z jeB

mj

€

ρ jth =vjth

Ω j

€

Bmin

Bmax

≤p⊥0

2

p2Critère de piégeage (cône):

Du fait de la conservation du moment magnétique j et de l’énergie cinétique Ecj, il existe deux catégories de particules: celles qui sont circulantes et les piégées, ces dernières étant caractérisées par un point de rebroussement dans leur trajectoire le long de ligne de champ, lorsque p// change de signe:

Section poloïdale circulaire et :

€

ε =rR

<<1

€

v// ≤ εv⊥ ≈ εv jth

€

τbj =dsv//

∫ ~qRεv jth

avec

€

q≈rBϕ

RBθ

=εBϕ

BθTemps de rebond:

€

τtj = ετbjTemps de transit:

€

p// =sgnp//( ) 2mj Ecj −μ jB( )

Bmin

Z

R

B

celle-ci résultant de la courbure des lignes de champ et B. le temps de dérive radial est donné par

rvDj =

v/ /2 +v⊥

2 2( ) j

rB×

r∇B

B2

Le centre-guide a un lent mouvement de dérive verticale qui découle de la conservation de la composante toroidale que la quantité de mouvement canonique (axisymétrie):

Pϕ j =R

rp+Zje

rA( )ϕ

La vitesse de dérive cinétique vaut

La vitesse du centre-guide vaut rvcentre−guide =

rv/ / +

rvDj

r∇×

rA =

rBavec

€

τDj ≈a

vDj

Largeur de “banane”

€

wbj =τbj ×vDj ≈qρ jth

ε

€

∇BB

~1R

€

Ω j ~ZjeB

mj

€

vDj

v//

~ρ jth

R

€

ρ jth =vjth

Ω j

Sur la base des caractéristiques de la dynamique des particules chargées dans le plasma magnétisé du tokamak, on peut réécrire l’équation cinétique donnant la distribution sous la forme qui correspond à l’équation de dérive cinétique

∂ f j

∂t+

rvcentre−guide ⋅

r∇x f j +

Z je

m j

rE +

rv ×

rB( ) ⋅

r∇ p f j = C f j( )

soit

∂ f j

∂t+

rv/ / ⋅

r∇x f j +

rvDj ⋅

r∇x f j +

Z je

m j

rE +

rv⊥×

rB( ) ⋅

r∇ p f j = C f j( )

Comme les ions sont bien plus lourds que les électrons, sauf exception, il est d’usage de les considérer comme immobiles pour le problème de la génération de courant (par ondes) et de ne s’intéresser qu’à la dynamique des électrons: f = fe.

Dans les tokamaks, on a la hiérarchie suivante pour les temps caractéristiques de la dynamique des électrons:

€

1Ω

,1

ωrf

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ <<τb <τt <<τc <<τD

t

Comme l’on veut étudier le courant porté par les électrons à l’échelle temporelle indiquée, il est possible d’effectuer plusieurs moyennes, pour simplifier l’équation cinétique donnant la distribution. A noter que si >> rf dans la plupart des cas, ce n’est plus vrai lorsque l’on injecte une onde cyclotronique électronique. Il est donc préférable d’effectuer d’abord la moyenne sur les fluctuations périodiques de l’onde RF avant d’effectuer celle sur le mouvement cyclotronique.

f = f,

En posant

∂ f

∂t+ v/ /

re/ / ⋅

r∇ x f +

rvD ⋅

r∇ x f +

Z je

m j

E/ /

re/ / ⋅

r∇ p f +

r∇ p ⋅

rΓql = C f( )

et

€

˜ f =f −f

∂ %f∂t

+rv/ / ⋅

r∇ x

%f +rvD ⋅

r∇ x

%f +e

m

rv⊥×

rB( ) ⋅

r∇ p

%f =

ainsi que

r%E =

rE−

rE

r%B =rB−

rBet pour les champs fluctuants, on obtient

−

e

m

r%E +rv⊥×

r%B( ) ⋅r∇ p

%f

Où est le flux quasi-linéaire induit par l’onde RF qui vaut:

rΓql =

e

m

r%E +rv⊥×

r%B( )%f

φ,ω

rΓql

Dans l’équation en f, la dérivée temporelle n’est évidemment valable que pour des temps longs par rapport à 1/ et 1/ Le terme a été calculé pour tout type d’onde par Kennel et Engelman, pour un plasma infini et homogène (calcul complexe)

rΓql

A ce stade, la fonction de distribution est encore fonction de quatre variables: p//, p,ψ, , ce qui constitue un problème numérique formidable à résoudre. Dans la limite de faible collisionnalité, il est cependant possible de « gagner » une dimension, en effectuant une moyenne sur la trajectoire des électrons (piégées ou circulantes). C’est le régime « banane » où les électrons sont en mesure de parcourir pleinement leur orbites (fermée dans un plan poloïdal) avant d’être défléchis par les collisions

On résoud alors l’équation de dérive cinétique sur l’axe Bmin là où passent toutes les particules. Le problème est ainsi réduit à 3 dimensions:

€

f v//,v⊥,ψ( )Bmin

Z

R

B

On définit ainsi la moyenne sur la trajectoire sous la forme:

€

A{ }= A∫ dsv//

dsv//

∫que l’on peut exprimer sous forme d’uneintégrale sur l’angle poloïdal en raison de l’axisymétrie.

rvcentre−guide⋅∇f =C( f )

collisions

€

+ E( f )

Champ électrique

€

+ Q( f )

ondes

Simplification supplémentaire: seule la solution asymptotique stationnaire est recherchée,

€

∂f ∂t=0

rvcentre−guide =

rv/ / +

rvdavec

€

rvcentre−guide.

r∇f =v/ /

rBrB.r∇f +

rvD.

r∇ψ ∂f

∂ψoù ψ est le flux magnétique poloïdal•

• C(f): Opérateur Fokker-Planck interactions particules-particules

• Q(f): Opérateur quasilinéaire interactions ondes-particules

• E(f): Opérateur champ électrique constant

€

∂f∂t //

+∂f∂t D

=∂f∂t coll

+∂f∂t QL

+∂f∂t E

Chaque terme correspond à un temps caractéristique propre

(1) Mouvement parallèle :

€

∂ f

∂ t

⎛

⎝

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟

//

∝

δ f

t , b

€

t

∝ 2 π qR vth

, b

∝ t

( :t transi ,t b: rebond)

(2) Dérive :

€

∂ f

∂ t

⎛

⎝

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟

D

∝

δ f

D

€

D

∝ a vD so it

€

D

∝ t

a ρ( )

(3) Collision s :

€

∂ f

∂ t

⎛

⎝

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟

coll

∝

δ f

C

€

C

∝ 1 e,

€

d e t rapping

∝ C

() Diffusio n RF :

€

∂ f

∂ t

⎛

⎝

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟

QL

∝

δ f

QL

€

QL

∝ 1 DQL

*

e

( ) av ec

€

DQL

*

= DQL

e

pth

2

(5) Cha mp électriqu e :

€

∂ f

∂ t

⎛

⎝

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟

E

∝

δ f

E

€

E

∝ 1 E

*

e

( ) avec

€

E*

= E e

pth

e( )

= 0.3, R = 3m, Te = 5.11 keV, ne = 310+19 m-3, q = 3, Vloop = 0.5V

t ≈ 2s

b ≈ 3.6s

coll ≈ 64s

QL ≈ 64s (DQL* ≈ 1)

E ≈ 6.4 ms (E* ≈ 0.01)

D ≈ 28 ms

Pour résoudre l’équation de dérive cinétique, compte tenu du fait que D/b >> 1, on peut effectuer une approche perturbative afin de tenir compte des gradients. En effet, à cause de la vitesse de dérive, et des largeurs finies de banane, le calcul n’est plus local.

Approche perturbative: on développe f sous la forme: f = f0 + δf1 où δ ~ t,b/D.

• Ordre zéro:

f0 est déterminée par

€

C f0( )+Q f0( )+E f0( )[ ]∫ dsv//

=0

Equation locale de Fokker-Planck moyennée sur les orbites

v/ /

rBrB

.r∇f0 =0 régime “banane” et comme

rBrB

.r∇=

dds

f0 est constante sur une ligne de champ

• Ordre un:

Sachant que avec en

utilisant la relation de conservation de l’énergie

et l’expresssion rB =I ψ( )

r∇ϕ +

r∇ψ×

r∇ϕ

r∇ v/ /

2 + μ B m( ) = 0

rvD .

r∇ψ ≈

v/ /

I ψ( )

rB⋅

r∇

v/ /

B⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

€

I ψ( ) =RBϕ

€

C δf1( )+Qδf1( )+E δf1( )[ ]∫ dsv//

=0 la fonction g est déterminée par

€

C g( )+Q g( )+E g( )[ ]∫ dsv//

=− C ˜ f ( )+Q ˜ f ( )+E ˜ f ( )[ ]∫ dsv//

v/ /

rBrB

.r∇δ f1 +

rvD.

r∇ψ ∂f0

∂ψ=0 régime “banane”

€

δf1 = ˜ f +g=−v//

ΩI ψ( )

∂f0

∂ψ+g avec g constante sur

une ligne de champ

• f0 est symétrique en v// pour les électrons piégés (f0 constante sur la ligne de champ)

€

C g( )+Q g( )+E g( )[ ]dsv//piégés

∫ =0

• Il existe donc une solution gp, telle que gp = 0 dans le domaine piégé. En présence d’onde, la solution g = gp + cf0 est choisie pour assurer la conservation de la densité car

€

C gp +cf0( )+Q gp +cf0( )+E gp +cf0( )[ ]dsv//piégés

∫ =0

€

ne ψ( ) = d3pf0 =∫ d3p f0 +˜ f +gp +cf0( )∫

€

c =1

ne ψ( )d3p ˜ f +gp( )∫

• Par construction f est anti-symétrique en v// pour les électrons piégés. Comme b << coll , QL ,E , les opérateurs C,Q et E sont symétriques en v// pour les électrons piégés, d’où

~

€

C f0( )+Q f0( )+E f0( )[ ]∫ dsv//

=0

Résolution équation de Fokker-Planck moyennée sur les orbites en trois points de la grille radiale pour déterminer f0 en r-r, r, r+r:

Détermination de à la limite vD = 0

€

˜ f =−v//

Ωθ

∂f0

∂r

Détermination de la fonction g au point de grille r:

€

C g( )+Q g( )+E g( )[ ]∫ dsv//

=− C ˜ f ( )+Q ˜ f ( )+E ˜ f ( )[ ]∫ dsv//

Calcul de f = f0 + f + g au point de grille r~

Calcul de où Γi,// est la contribution ionique (modèle Hirschman)

Théorie néoclassique des électrons en présence d’onde

Moyenne sur la surface de flux

• Une telle approche nécessite une description complète de la dynamique électronique dans l’espace des impulsions p// et p.• Un calcul en différentes positions radiales pour évaluer un gradient local autour d’une position r.

Les modèles trop simplifiés ne peuvent pas prendre en compte toute la réalité physique de la génération de courant même s’ils peuvent saisir des éléments de celle-ci. L’avenir est donc a un traitement numérique efficace prenant en compte en plus la nature complexe de l’équilibre magnétique qui intervient sur les effets de trajectoires.

Code de dérive cinétique 3D

• Opérateur de collision de Belaiev-Budker couvrant de manière continue l’intervalle d’énergie classique/relativiste (divergence d’un flux dans l’espace des impulsions qui conserve la densité, l’impulsion et l’énergie)

• On prend en compte les collisions électron-électron et électron-ion

L’opérateur de collision décrit les échanges irréversibles entre particules. Il est donc indispensable à la production d’entropie. On s’intéresse à la génération de courant résultant de faibles perturbations autour de la solution Maxwellienne fM, en l’absence de toute contribution externe (champ électrique, ondes RF,….) important pour les calculs numériques:on prend la symétrie de cet opérateur

€

C f( )=C f e, fMe

( )+C f e, fMi

( )+C fMe, f e

( )

Dans le cas de l’opérateur linéarisé, on ne conserve plus l’énergie: formulation dédiée à la génération de courant uniquement

Forme conservative

€

C f0

( ){ }

+ Q f0

( ){ }

+ E f0

( ){ }

= 0 :

€

limt → ∞

∂ f0

loc

( )

∂ t

⎧

⎨

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎫

⎬

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

+ ∇ ⋅ S{ }

= 0

Coordonnée s sphériqu es car opérateu r d ecollisions diagonal (p, ξ) :

€

limt → ∞

∂ p

2

f0

loc

( )

∂ t

⎧

⎨

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎫

⎬

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

+

∂

∂ p

p

2

Sp( )

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

− p

∂

∂ ξ

1 − ξ

2

( )S

ξ

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

= p

2

Cee

fM

loc

, f0

loc

( ){ }

o ù

€

f0

loc

= f0

loc

p , ξ , r( )

e t

€

Sp

= Sp

coll

+ Sp

E

+ Sp

LH

+ Sp

EC

+ ...

Sξ

= Sξ

coll

+ Sξ

E

+ Sξ

LH

+ Sξ

EC

+ ...

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪

⎪

so ntle sflu x associé srespectivement

au x collisions, a uchamp électriqu e induit, e tau xond es RF

Equilibre magnétique de section circulaire, et grand rapport d’aspect << 1:

€

A{ }= Adsv//

∫ dsv//

∫

€

τb =dsv//

∫où

€

A{ }=1λ σ

∑⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

dθ2π

−θc

+θc

∫ ξξ 0

A avec

où est la période de rebond normalisée et

c = π pour les particules passantesc = t pour les particules piégées

T

€

θc =cos−1 1−2ξ 0

2

ξ0T2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ avec

€

ξ0T2 =

2ε1+ε

p//p⊥ξ0ξ0Tξ0ξ0Tξ

Définitions et paramètres de référence :

• Normalisation des profils :

€

Te

r( ) = Te

ref

Te

loc

r( ) , Tij

r( ) = Te

ref

Tij

loc

r( )

ne

r( ) = ne

ref

ne

loc

r( ) , nij

r( ) = ne

ref

nij

loc

r( )

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪

⎪

, (ions de type i, état j)

• Charge effective  :

€

Zeff

r( )

=

nij

loc

r( ) Zij

2

nij

loc

r( ) Zij

ij

∑=

1

ne

loc

r( )

nij

loc

r( ) Zij

2

ij

∑

•

€

t → t νe

, v →

v

pth

me

( )

, p →

p

pth

with

€

pth

me

= βth

=

Te

ref

me

c

2

= Θ

• Champ electric induit normalisé au champ de Dreicer:

€

E

ref

=

pth

ve

e

,

€

E r( )

= E

ref

Eloc

r( )

• Distribution Maxwell ienne relativiste

€

fM

loc

r , p( )

=

ne

loc

r( )

2 π( )

3 / 2

Te

loc

r( )[ ]

3 / 2

exp

− p

2

1 + γ( ) Te

loc

r( )[ ]

⎧

⎨

⎪

⎩ ⎪

⎫

⎬

⎪

⎭ ⎪

,

valide dans la limite Θ << 1 (Te ≤ 5-10 keV)

•

€

γ = 1 + βth

2

p

2 ,

€

p = γ v .

Termes  de collision:

€

C f0

loc

( )

⎧

⎨

⎪

⎩ ⎪

⎫

⎬

⎪

⎭ ⎪

=

∂

∂ p

p

2

Sp

coll

( )

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

+ p

∂

∂ ξ

1 − ξ

2

( )S

ξ

coll

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

+

∂

∂ p

p

2

Cee

( fM

loc

, f0

loc

( )

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

€

∂

∂ p

p

2

Sp

coll

( )

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

= −

∂

∂ p

p

2

A p , r( )

∂ f0

loc

∂ p

+ F p , r( ) f0

loc

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

€

p

∂

∂ ξ

1 − ξ

2

( )S

ξ

coll

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

= − Bt

p , r( )

1

ξ0

( )

∂

∂ ξ0

1 − ξ0

2

( ) ξ

0( ) 1 −

ξ0

( )

ξ0

2

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

∂ f0

loc

∂ ξ0

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

€

p

2

Cee

fM

loc

, f0

loc

( ){ } = − p

2

Ψ r , ( ) ξ{ }

I1

fM

loc

, fl = 1 , 0

loc

( )

•

€

f0

loc

= f0

loc

p , ξ0

, r( )

est calculée au minimum de B (θ = 0)

•

€

Δ ξ0

( ) = 1 −

1

Ψ r , θ( )

⎧

⎨

⎪

⎩ ⎪

⎫

⎬

⎪

⎭ ⎪

•

€

fl = 1 , 0

loc

=

3

2

ξ0

f0

loc

d ξ0

− 1

+ 1

∫

e/i + e/eMaxwellien

Ralentissement Diffusion angulaire

Terme d’évolution temporelle :

€

p

2∂ f

0

loc

∂ t

⎧

⎨

⎪

⎩ ⎪

⎫

⎬

⎪

⎭ ⎪

= p2

∂ f0

loc

{ }

∂ t

= p2

∂ f0

loc

∂ t

Terme s de cham p électrique :

€

∂

∂ p

p

2

Sp

E

( )

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

= ξ Ψ{ } Eloc

r( )

∂

∂ p

p

2

f0

loc

[ ]

€

p

∂

∂ ξ

1 − ξ

2

( )S

ξ

E

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

= pEloc

r( )

1

ξ0

( )

∂

∂ ξ0

ξ0

( )

Ψ ξ

ξ0

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

1 − ξ0

2

( )f

0

loc

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

Intégrale de rebond pour un plasma de section circulaire :

€

ξ0( )

=

d

2 π

ξ0

ξ

−

c

c

∫≈

2

π

J0

x( ) −

1

2

ξ0 T

2

J2

x( )

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

€

ξ0

2

> ξ0 T

2

( )⇒

J0

x( ) = K ξ0 T

2

ξ0

2

( )

J2

x( ) = ξ0 T

2

ξ0

2

( )K ξ

0 T

2

ξ0

2

( )− E ξ

0 T

2

ξ0

2

( )[ ]

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

€

ξ0

2

≤ ξ0 T

2

( )⇒

J0

x( ) = ξ0

ξ0 T

K ξ0

2

ξ0 T

2

( )

J2

x( ) = ξ0

ξ0 T

K ξ0

2

ξ0 T

2

( )− E ξ

0

2

ξ0 T

2

( )[ ]

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

o ùK e tE les intégrales elliptiques incomplètes d 1e er e t2nd typ erespectivement.

€

Ψ r ,( ) ξ{ }

=

1

ξ0

( )

1 +

1 −

H ξ0

− ξ0 T( )

ξ0

,

€

Ψ r ,( )

ξ

ξ0

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

=

1

ξ0

( )

1 +

1 −

H ξ0

− ξ0 T( )

€

ξ0( )

= 1 −

1

Ψ r , ( )

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

= −

ξ0 T

2

ξ0

( )

J2

−

1

2

ξ0 T

2

J

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟ , with

€

J

=

1

3

2 1 +

ξ0

2

ξ0 T

2

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

J2

−

ξ0

2

ξ0 T

2

J0

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

e tH la fonction d e Heaviside , H(x) = 1 pou r x > 0, 0 pou r x < 0.

Corrections néoclassiques

€

˜ f

0

loc

=˜ f

loc

θ = 0( )

=

ξ

Ψ r , θ( ) ξ0

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟˜

f

loc

= −

p ξ0

qBθ = 0

r( )

∂ f0

loc

∂ r

 :

€

˜ f

0

loc est antisymétrique en σ pour des

electrons piégés.

€

˜ f

loc

{ }=

1

λ ξ0

( )

1

1 + ε

H ξ0

− ξ0 T( )

˜ f

0

loc

Termes de collision :

€

C˜

f

loc ⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎧

⎨

⎪

⎩ ⎪

⎫

⎬

⎪

⎭ ⎪

= −

1

λ ξ0

( )

1

1 + ε

H ξ0

− ξ0 T( )

∂

∂ p

⎡

⎣

⎢p

2

A r , p( )

∂˜ f

0

loc

∂ p

+ F r , p( )

˜ f

0

loc

⎛

⎝

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟

€

+ B

t

( r , p )

∂

∂ ξ0

1 − ξ0

2

( )

∂˜ f

0

loc

∂ ξ0

−

ε − ε

2

2

1 + ε

1

ξ0

∂˜ f

0

loc

ξ0( )

∂ ξ0

⎛

⎝

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

€

+ p

2

H ξ0

− ξ0 T( )

1 − Ψ r , θ( ){ } 1 − ξ0

2

( )

ξ0

I

1

fM

loc

,˜

f 0 , l = 1

loc

( )

où l’intégrale de Legendre est prise à θ = 0,

€

˜ f

0 , l = 1

loc

=

3

2

ξ0

˜ f

0

loc

d ξ0

− 1

+ 1

∫

• Méthode de différence finie• Domaine de calcul : 0 ≤ p ≤ pmax, -1 ≤ ξ0 ≤ +1

• Grille numérique :

€

pi

= i Δ p , 0 ≤ i ≤ np

, Δ p =

pm a x

np

ξ0 j

= − 1 + j Δ ξ0

, 0 ≤ j ≤ nξ

0

, Δ ξ0

=

2

nξ

0

⎧

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪

• Les flux sont déterminés sur la grille entière (i,j) : il n’est pas nécessaire de connaîtreSp and Sξ en i = 0 et j = 0, et des opérateurs discontinus peuvent être utilisés• la fonction de distribution est f calculée sur la demi-grille fi+1/2,j+1/2 = f(pi+1/2,ξ0j+1/2)

• Interpolation entre les grilles :

€

fi , j + 1 / 2

= 1 − δi , j + 1 / 2( )

fi + 1 / 2 , j + 1 / 2

+ δi , j + 1 / 2

fi − 1 / 2 , j + 1 / 2

fi + 1 / 2 , j

=

1

2

fi + 1 / 2 , j + 1 / 2

+

1

2

fi + 1 / 2 , j − 1 / 2

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

, où

€

δ

i , j + 1 / 2

= g

cc

− Δ p

βi , j + 1 / 2

αi , j + 1 / 2

⎛

⎝

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟

,

€

S

p

∝ β f − α

∂ f

∂ p

,

€

g

cc

( x ) =

1

x

−

1

e

x

− 1

, gcc(0) = 0.5, est la fonction

de Chang et Cooper pour une grille uniforme. La Maxwellienne fM est solution exacte de laforme discrétisée de l’équation de Fokker-Planck

(i+1/2,j-1/2)(i-1/2,j-1/2)(i-1/2,j+1/2)(i+3/2,j+1/2)(i+3/2,j+3/2)(i+1/2,j+3/2)(i-1/2,j+3/2(i+1/2,j+1/2)(i+3/2,j-1/2)

• Forme discrète de l’équation de Fokker-Planck :

€

˜ a

i + 1 / 2 , j + 1 / 2

−

f

i − 1 / 2 , j − 1 / 2

0

+ ˜ a

i + 1 / 2 , j + 1 / 2

f

i + 1 / 2 , j − 1 / 2

0

+ ˜ a

i + 1 / 2 , j + 1 / 2

+

f

i + 3 / 2 , j − 1 / 2

0

€

+ ˜

b

i + 1 / 2 , j + 1 / 2

f

i − 1 / 2 , j + 1 / 2

0

+ ˜ c

i + 1 / 2 , j + 1 / 2

f

i + 1 / 2 , j + 1 / 2

0

+˜

d

i + 1 / 2 , j + 1 / 2

f

i + 3 / 2 , j + 1 / 2

0

€

+ ˜ e

i + 1 / 2 , j + 1 / 2

−

f

i − 1 / 2 , j + 3 / 2

0

+ ˜ e

i + 1 / 2 , j + 1 / 2

f

i + 1 / 2 , j + 3 / 2

0

+ ˜ e

i + 1 / 2 , j + 1 / 2

+

f

i + 3 / 2 , j + 3 / 2

0

= q

i + 1 / 2 , j + 1 / 2

p//p⊥E quivalent points135

ξ0 =ξ0T ξ0 =ξ0T∂f0

loc

∂ξ0=0

f0loc –ξ 0 =f0

loc ξ 0

ξ 0

2

Traitement implicite des flux dans le domaine piégé (b << c) pour le calcul de f0

(i+1/2,j3-1/2)(i-1/2,j3-1/2)(i-1/2,j3+1/2)(i+3/2,j3+1/2)(i+1/2,j3+1/2)(i+3/2,j3-1/2)(i-1/2,j1+1/2)(i+1/2,j1+1/2)(i+3/2,j1+1/2)(i+1/2,j3+3/2 = j5+1/2)(i+3/2,j3+3/2 = j5+1/2)(i-1/2,j3+3/2 = j5+1/2)000

(i+1/2,j1-1/2)(i-1/2,j1-1/2)(i-1/2,j1+1/2)(i+3/2,j1+1/2)(i+3/2,j1+3/2)(i-1/2,j1+3/2)(i+1/2,j1+1/2)(i+3/2,j1-1/2)(i-1/2,j3+1/2)(i+1/2,j3+1/2)(i+3/2,j3+1/2)(i+1/2,j1+3/2)

Matrice 15 diagonales à inverser pour le calcul de f0

p//p⊥ξ0 =ξ0T ξ0 =ξ0T

ξ 0

Traitement implicite pour le calcul de g (terme néoclassique)

Matrice 9 diagonales à inverser pour le calcul de g

Même si on cherche la solution asymptotique de f correspondant au régime stationnaire, on garde toujours le terme d’évolution temporelle, car numériquement il est stabilisant.

€

∂f∂t

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

→fi, j

loc n+1( ) −fi, jlocn( )

Δt

Approche implicite, inconditionnellement stable pour tout t (critère de Von Neuman). Donc on peut utiliser t >> 1 pour trouver rapidement la solution.

€

AX(n+1) =X(n)

€

M−IΔt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ f0

n+1( )=−IΔt

f0n( )+B f0

n( )( )

Crank-Nicholson (2nd ordre):

• Matrices de très grande taille mais creuses : (npnξ)2, np = 200→400, nξ = 100→200.

• Préconditonnement nécessaire pour améliorer la convergence.• Méthodes possibles :

o Décom position LU complète + inversion par méthode itérative (très lourd)o Décomposition LU incomplète généralisée ou spécifique + inversion par méthodeitérative (gradient conjugué,…) On garde la nature creuse de la matrice

• Critère de convergence :

€

∂ f0

∂ t

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

2

f0

p

2

dpd ξ0∫∫ f

0

p

2

dpd ξ0∫∫

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

0 . 5

< Rf

€

gn + 1

p

− gn

p

( )

2

g

p

p

2

dpd ξ0∫∫ g

n

p

p

2

dpd ξ0∫∫

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

0 . 5

< Rg

with Rf = Rg = 10-10. Pas temporelle d’intégration : Δt = 1000.

0 200 400 600 800 1000 1200

0

200

400

600

800

1000

1200

nz = 49621

np = 58, mξ=29

1.3696 Mo

0 200 400 600 800 1000 1200

0

200

400

600

800

1000

1200

nz = 11584

0.3707 Mo

LU complet LU incomplet

Seuil:10-3

0.50

0.45

0.40

0.35

0.30

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

Jrf Prf

BiConjugate Gradients Stabilized Method

np = 200nξ = 100

20

15

10

5

00.0001

2 3 5 6 70.001

2 3 5 6 70.01

Zero matrix coeffficient threshold level

3

2

1

0

(66.5 )Full LU method MB

Memory size Convergence rate

Calculs 3D implicites (rapide et stable) avec transport radial envisageables: étude du transport radial induit par les ondes, turbulence,…

Il reste à déterminer les termes de flux associés à chaque type de mécanisme: champ électrique induit, ondes RF (type, polarisation) ce qui permettra d’envisager de possibles synergies entre eux, et l’influence sur le courant de bootstrap de manière cohérente.

Pour connaître ces termes, il faut pour les ondes RF calculer la propagation et l’évolution conjointe de l’équilibre magnétique incluant les effets de diffusion radiale du courant (CRONOS)

Equation de dérive cinétique

Propagation ondes RF+ champ électrique induit

Equilibre magnétique

Diffusion résistive du courant

j, jboot