généralité abaque de hall rapidité précision stabilité 2 ème année guillaume chapey - lycée...

GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 1

InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation



RapiditéRapidité







(t)correcteur

e(t) s(t)Système

capteur

consigne

S(p)A(p)

B(p)

E(p)

H(p) = )p(B).p(A1

)p(A

Fonction de transfert

Structure généraleStructure généraleGénéralitéGénéralité



RapiditéRapidité







Abaque de Halldans le plande Black

0dB

-10°

M

FTBO

-30°

M'-2dB

FTBO1

FTBO


isomodule

isophase

Pour une pulsation donnée



RapiditéRapidité







Elle est définie par le temps de réponse du système soumis à un échelon d'amplitude e0.

En général, on prend le temps de réponse à 5%.le temps de réponse à 5%.

RapiditéRapidité

tr 5% tr 5%

RapiditéRapidité

95% de la valeur finale

5

%



RapiditéRapidité







Pour un 1er ordre :

tr 5% = 3 T avec T : constante de temps

RapiditéRapidité

RapiditéRapidité

Pour un 2nd ordre :

tr 5% mini pour m = 0,69 si dépassements autoriséspour m = 1 sinon.

Si m = 0,69 alors tr 5% = 3 / ω0



RapiditéRapidité







e0

t

sss(t)

e(t)

t

vv

s(t)

Écart statique en position

notée ss e(t) = e0 u(t)

(p) = E(p) – B(p).S(p)

Écart statique en vitesse

notée vv e(t) = a t u(t)

(p) = E(p) – B(p).S(p)

Précision statiquePrécision statique

0tS

plim ( t ) lim p. ( p )

0tv

plim ( t ) lim p. ( p )

en régime permanent




RapiditéRapidité







Précision statiquePrécision statique


La précision est caractérisée par l'écart entre la consigne et la sortie en régime permanent : elle augmente avec le gain statique de la FTBO

et est liée à la présence d'intégrateurs dans la BOBO.

e(t) E(p) écart statique = 0 = 1 2

u(t) 1/p s (en position) 1/(1+K) 0 0

t.u(t) 1/p2 v (en vitesse) 1/K 0

Classe de la FTBOClasse de la FTBO



RapiditéRapidité







Condition sur les pôles de la Condition sur les pôles de la FTBFFTBF


Dans le cas d’une réponse impulsionnelle, l’équation de la sortie peut s’écrire : . avec pi les pôles et zi les zéros

Soit dans le domaine temporel :

La partie réelle des pôles doit donc être strictement négativespour que la réponse converge vers 0.

avec pi les pôles réels et ai ± j bi les pôles complexes conjugués



RapiditéRapidité








1n

3nn2n1n

a

aaaa

1n

5nn4n1n

a

aaaa

pn an an-2 an-4…

pn-1 an-1 an-3 an-5…

pn-2… …

Critère de RouthCritère de Routh

soit D(p) = an pn + … + a0 : dénominateur de la FTBFFTBF

Condition n°1 : Pour que le système soit stable, il faut que tous les ai soient de

même signe.

Condition n°2 : Le système est stable si tous les coefficients de la colonne des pivots sont positifs.

colonne colonne des pivotsdes pivots

++--

++

--++--

??



RapiditéRapidité







GdB

K

stable

instable

Plan de BlackPlan de Black

Le système est stableen boucle fermée si,en parcourant le lieu de transfert de la FTBOFTBO dans le sens des croissants,on laisse le point critique à droite.

Critère de ReversCritère de Revers


-180°



RapiditéRapidité







K

GdB

-180°

-180°

-180°

stable

Plan de BodePlan de Bode

Le système est stableen boucle fermée si,pour la pulsation correspondant à = -180°,

Critère de ReversCritère de Revers


instable

la courbe de gainde la FTBOFTBO passe audessous du niveau 0 dB.



RapiditéRapidité







-180°

-180°

-180°

MMgg -180°

MMgg

-1

1/M1/Mgg

Marge de gainMarge de gain

MMgg = - 20 log |H(j = - 20 log |H(j -180°-180°)|)|

On prend en général une marge de gain de 6 à 15dB.


Re(H(j)

GdB

GdB Im(H(j)

BodeBode BlackBlack NyquistNyquist



RapiditéRapidité







-180°

1

MM

-180°

MM

-1

MM

Marge de phaseMarge de phase

MM = 180° + arg (H(j = 180° + arg (H(j11)))) avec 1 telle que | H(j1)| = 1

On prend en général une marge de phase de 45°.


Re(H(j)

GdB

GdB Im(H(j)

BodeBode BlackBlack NyquistNyquist



RapiditéRapidité







Influence des pôles sur la réponseInfluence des pôles sur la réponse

Les parties réelles des pôles (réels ou complexes) se retrouvent dans les termes exponentiels, et elles permettent de caractériser l’amortissement,

Les parties imaginaires des pôles complexes conjugués se retrouvent dans les pulsations des termes oscillants, et elles permettent de caractériser la rapidité (fréquence des oscillations).


Dans le cas d’une réponse impulsionnelle, l’équation de la sortie peut s’écrire :

avec pi les pôles réels et ai ± j bi les pôles complexes conjugués



RapiditéRapidité











RapiditéRapidité









La réponse d’un système linéaire est donc déterminée par la position de ses pôles dans le plan complexe :un système du 10ème ordre a 10 pôles, sa réponse comporte au maximum 10 termes.

e0

t

s(t)

Zone d’influencede tous les pôles

Zone d’influencedes pôles dominants

Re( ) 1 1Pôle Cste detps Les réponses lentes sont pénalisantes,

elles imposent donc la formede la réponse globale.



RapiditéRapidité








Un système d’ordre élevé a en général un ou deux pôles dominants et se comporte donc comme un 1er ou un 2nd ordre ; on peut donc simplifier la transmittance d’un système d’ordre élevé en ne conservant que le ou les pôles dominants.



RapiditéRapidité







(t)correcteur

e(t) s(t)Système

capteur

consigne

Structure généraleStructure générale

Les trois performances sont en général incompatibles : il faut donc faire des compromis. On corrige les systèmes asservis en ajoutant un correcteur (de fonction de transfert C(p)) dans la boucle ouverte.

3 types de correction sont au programme :

- Correction intégrale : p

p1)(

KpC

- Correction proportionnelle : KpC )(

- Correction dérivée : paτ

pτKC(p)

1

1




RapiditéRapidité







• Pour augmenter la rapidité et la précision, K > 1.

• Pour augmenter la stabilité, K < 1.

Correction proportionnelleCorrection proportionnelle

K n'influe pas sur la phase de la FTBO, ce correcteur génère une translation de la courbe de gain de 20 logK20 logK.

M donnée: = - 180° + M |K.H(j)| = 1 d'où K

Mg donnée: = - 180° 20 log ||K.H(j)| = - Mg d'où KCorrectionCorrection



RapiditéRapidité







Correction intégraleCorrection intégrale

Comment augmenter la précision d'un système ? en introduisant un intégrateur dans la BO mais on risque ainsi de déstabiliser le système (en diminuant la phase de 90°) on choisit un correcteur qui modifie la phase uniquement pour les basses fréquences

p

p1K)p(C

GdB

-90°

1/

1/

Il faut faire attention à ne pas diminuer la phase à la pulsation critique éloigner 1/ de cette pulsation critique

En général, on place le correcteur une décade avant c soit :

10

1 c

En général, ce correcteur diminue la rapidité du système.




RapiditéRapidité







Correction dérivéeCorrection dérivéeQuand on diminue le gain de la BO pour stabiliser le système, on diminue la rapidité et la précision en général. Pour améliorer la stabilité, on peut aussi augmenter la phase donc ajouter un correcteur à phase positive (action dérivée). Un dérivateur pur n'étant pas physiquement réalisable, on utilise un correcteur à avance de phase :

pa1

p1K)p(C

a < 1

GdB

1/ a

maxi

20 log K1/a

90°

1/

20 log (K/a)

maxi pour n tel que :log n = (log (1/) + log (1/a))/2

1

.n

a

maxi = arc tan n - arc tan an a

ai

2

1tan max

Il faut modifier la FTBO au voisinage du point critique donc choisir n proche de c, ensuite on détermine a pour avoir une marge de phase correcte




RapiditéRapidité







Correcteur PIDCorrecteur PID


Le correcteur PID théorique a une fonction de transfert :

En pratique, on prend :

avec a < 1.



RapiditéRapidité







Compensation par retours dérivésCompensation par retours dérivés


+-

+-

+-

Consigne

positionRégulateurPosition

RégulateurVitesse

Régulateurcourant

Moteur MécaniquePosition

Capteurd'intensité

Capteurde vitesse

Capteurde position

Les techniques de compensation par retours dérivés consistent à créer des boucles internes sur les grandeurs dérivées de la grandeur commandée ;

par exemple, le système ci-dessus permet de réguler :en position,en vitesse,en courant (puissance moteur)



RapiditéRapidité







Influence des perturbations sur la précisionsInfluence des perturbations sur la précisions


ᵋentrée ᵋperturbation

Poursuite Régulation



RapiditéRapidité







Influence des perturbations sur la précisionsInfluence des perturbations sur la précisions


0( ) ( )i

ii

p KPosons P p et H p

p p

1

1 2

0 2

0 01 2

: lim . ( ) limpert pertp p

p K palors p p

p K K

1 20 2

1 2

0:1

0pertsip K

K K

10

11 2

0: lim0 pert

p

p psi

K

Besoin d’un intégrateur en amont de la perturbation

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