généralité abaque de hall rapidité précision stabilité 2 ème année guillaume chapey - lycée...
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GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 1
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 2
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
(t)correcteur
e(t) s(t)Système
capteur
consigne
S(p)A(p)
B(p)
E(p)
H(p) = )p(B).p(A1
)p(A
Fonction de transfert
Structure généraleStructure généraleGénéralitéGénéralité

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 3
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Abaque de Halldans le plande Black
0dB
-10°
M
FTBO
-30°
M'-2dB
FTBO1
FTBO
AbaqueAbaquede Hallde Hall
isomodule
isophase
Pour une pulsation donnée

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 4
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Elle est définie par le temps de réponse du système soumis à un échelon d'amplitude e0.
En général, on prend le temps de réponse à 5%.le temps de réponse à 5%.
RapiditéRapidité
tr 5% tr 5%
RapiditéRapidité
95% de la valeur finale
5
%

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 5
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Pour un 1er ordre :
tr 5% = 3 T avec T : constante de temps
RapiditéRapidité
RapiditéRapidité
Pour un 2nd ordre :
tr 5% mini pour m = 0,69 si dépassements autoriséspour m = 1 sinon.
Si m = 0,69 alors tr 5% = 3 / ω0

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 6
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
e0
t
sss(t)
e(t)
t
vv
s(t)
Écart statique en position
notée ss e(t) = e0 u(t)
(p) = E(p) – B(p).S(p)
Écart statique en vitesse
notée vv e(t) = a t u(t)
(p) = E(p) – B(p).S(p)
Précision statiquePrécision statique
0tS
plim ( t ) lim p. ( p )
0tv
plim ( t ) lim p. ( p )
en régime permanent
PrécisionPrécision

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 7
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Précision statiquePrécision statique
PrécisionPrécision
La précision est caractérisée par l'écart entre la consigne et la sortie en régime permanent : elle augmente avec le gain statique de la FTBO
et est liée à la présence d'intégrateurs dans la BOBO.
e(t) E(p) écart statique = 0 = 1 2
u(t) 1/p s (en position) 1/(1+K) 0 0
t.u(t) 1/p2 v (en vitesse) 1/K 0
Classe de la FTBOClasse de la FTBO

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 8
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Condition sur les pôles de la Condition sur les pôles de la FTBFFTBF
StabilitéStabilité
Dans le cas d’une réponse impulsionnelle, l’équation de la sortie peut s’écrire : . avec pi les pôles et zi les zéros
Soit dans le domaine temporel :
La partie réelle des pôles doit donc être strictement négativespour que la réponse converge vers 0.
avec pi les pôles réels et ai ± j bi les pôles complexes conjugués

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 9
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
StabilitéStabilité
1n
3nn2n1n
a
aaaa
1n
5nn4n1n
a
aaaa
pn an an-2 an-4…
pn-1 an-1 an-3 an-5…
pn-2… …
Critère de RouthCritère de Routh
soit D(p) = an pn + … + a0 : dénominateur de la FTBFFTBF
Condition n°1 : Pour que le système soit stable, il faut que tous les ai soient de
même signe.
Condition n°2 : Le système est stable si tous les coefficients de la colonne des pivots sont positifs.
colonne colonne des pivotsdes pivots
++--
++
--++--
??

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 10
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
GdB
K
stable
instable
Plan de BlackPlan de Black
Le système est stableen boucle fermée si,en parcourant le lieu de transfert de la FTBOFTBO dans le sens des croissants,on laisse le point critique à droite.
Critère de ReversCritère de Revers
StabilitéStabilité
-180°

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 11
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
K
GdB
-180°
-180°
-180°
stable
Plan de BodePlan de Bode
Le système est stableen boucle fermée si,pour la pulsation correspondant à = -180°,
Critère de ReversCritère de Revers
StabilitéStabilité
instable
la courbe de gainde la FTBOFTBO passe audessous du niveau 0 dB.

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 12
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
-180°
-180°
-180°
MMgg -180°
MMgg
-1
1/M1/Mgg
Marge de gainMarge de gain
MMgg = - 20 log |H(j = - 20 log |H(j -180°-180°)|)|
On prend en général une marge de gain de 6 à 15dB.
StabilitéStabilité
Re(H(j)
GdB
GdB Im(H(j)
BodeBode BlackBlack NyquistNyquist

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 13
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
-180°
1
MM
-180°
MM
-1
MM
Marge de phaseMarge de phase
MM = 180° + arg (H(j = 180° + arg (H(j11)))) avec 1 telle que | H(j1)| = 1
On prend en général une marge de phase de 45°.
StabilitéStabilité
Re(H(j)
GdB
GdB Im(H(j)
BodeBode BlackBlack NyquistNyquist

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 14
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Influence des pôles sur la réponseInfluence des pôles sur la réponse
Les parties réelles des pôles (réels ou complexes) se retrouvent dans les termes exponentiels, et elles permettent de caractériser l’amortissement,
Les parties imaginaires des pôles complexes conjugués se retrouvent dans les pulsations des termes oscillants, et elles permettent de caractériser la rapidité (fréquence des oscillations).
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
Dans le cas d’une réponse impulsionnelle, l’équation de la sortie peut s’écrire :
avec pi les pôles réels et ai ± j bi les pôles complexes conjugués

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 15
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Influence des pôles sur la réponseInfluence des pôles sur la réponse
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 16
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Influence des pôles sur la réponseInfluence des pôles sur la réponse
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
La réponse d’un système linéaire est donc déterminée par la position de ses pôles dans le plan complexe :un système du 10ème ordre a 10 pôles, sa réponse comporte au maximum 10 termes.
e0
t
s(t)
Zone d’influencede tous les pôles
Zone d’influencedes pôles dominants
Re( ) 1 1Pôle Cste detps Les réponses lentes sont pénalisantes,
elles imposent donc la formede la réponse globale.

GénéralitéGénéralité
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RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 17
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
Un système d’ordre élevé a en général un ou deux pôles dominants et se comporte donc comme un 1er ou un 2nd ordre ; on peut donc simplifier la transmittance d’un système d’ordre élevé en ne conservant que le ou les pôles dominants.

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 18
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
(t)correcteur
e(t) s(t)Système
capteur
consigne
Structure généraleStructure générale
Les trois performances sont en général incompatibles : il faut donc faire des compromis. On corrige les systèmes asservis en ajoutant un correcteur (de fonction de transfert C(p)) dans la boucle ouverte.
3 types de correction sont au programme :
- Correction intégrale : p
p1)(
KpC
- Correction proportionnelle : KpC )(
- Correction dérivée : paτ
pτKC(p)
1
1
CorrectionCorrection

GénéralitéGénéralité
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RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 19
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
• Pour augmenter la rapidité et la précision, K > 1.
• Pour augmenter la stabilité, K < 1.
Correction proportionnelleCorrection proportionnelle
K n'influe pas sur la phase de la FTBO, ce correcteur génère une translation de la courbe de gain de 20 logK20 logK.
M donnée: = - 180° + M |K.H(j)| = 1 d'où K
Mg donnée: = - 180° 20 log ||K.H(j)| = - Mg d'où KCorrectionCorrection

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 20
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Correction intégraleCorrection intégrale
Comment augmenter la précision d'un système ? en introduisant un intégrateur dans la BO mais on risque ainsi de déstabiliser le système (en diminuant la phase de 90°) on choisit un correcteur qui modifie la phase uniquement pour les basses fréquences
p
p1K)p(C
GdB
-90°
1/
1/
Il faut faire attention à ne pas diminuer la phase à la pulsation critique éloigner 1/ de cette pulsation critique
En général, on place le correcteur une décade avant c soit :
10
1 c
En général, ce correcteur diminue la rapidité du système.
CorrectionCorrection

GénéralitéGénéralité
AbaqueAbaquede Hallde Hall
RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 21
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Correction dérivéeCorrection dérivéeQuand on diminue le gain de la BO pour stabiliser le système, on diminue la rapidité et la précision en général. Pour améliorer la stabilité, on peut aussi augmenter la phase donc ajouter un correcteur à phase positive (action dérivée). Un dérivateur pur n'étant pas physiquement réalisable, on utilise un correcteur à avance de phase :
pa1
p1K)p(C
a < 1
GdB
1/ a
maxi
20 log K1/a
90°
1/
20 log (K/a)
maxi pour n tel que :log n = (log (1/) + log (1/a))/2
1
.n
a
maxi = arc tan n - arc tan an a
ai
2
1tan max
Il faut modifier la FTBO au voisinage du point critique donc choisir n proche de c, ensuite on détermine a pour avoir une marge de phase correcte
CorrectionCorrection

GénéralitéGénéralité
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RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 22
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Correcteur PIDCorrecteur PID
CorrectionCorrection
Le correcteur PID théorique a une fonction de transfert :
En pratique, on prend :
avec a < 1.

GénéralitéGénéralité
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RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 23
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Compensation par retours dérivésCompensation par retours dérivés
CorrectionCorrection
+-
+-
+-
Consigne
positionRégulateurPosition
RégulateurVitesse
Régulateurcourant
Moteur MécaniquePosition
Capteurd'intensité
Capteurde vitesse
Capteurde position
Les techniques de compensation par retours dérivés consistent à créer des boucles internes sur les grandeurs dérivées de la grandeur commandée ;
par exemple, le système ci-dessus permet de réguler :en position,en vitesse,en courant (puissance moteur)

GénéralitéGénéralité
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RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 24
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Influence des perturbations sur la précisionsInfluence des perturbations sur la précisions
PerturbationPerturbation
ᵋentrée ᵋperturbation
Poursuite Régulation

GénéralitéGénéralité
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RapiditéRapidité
PrécisionPrécision
StabilitéStabilité
2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 25
InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles
CorrectionCorrection
PerturbationPerturbation
Influence des perturbations sur la précisionsInfluence des perturbations sur la précisions
PerturbationPerturbation
0( ) ( )i
ii
p KPosons P p et H p
p p
1
1 2
0 2
0 01 2
: lim . ( ) limpert pertp p
p K palors p p
p K K
1 20 2
1 2
0:1
0pertsip K
K K
10
11 2
0: lim0 pert
p
p psi
K
Besoin d’un intégrateur en amont de la perturbation