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IUT du Havre
Département de Génie Electrique et Informatique Industrielle
Cours de Mathématiques (GEII 1 - MA11)
Gisella Croce - Dominique Soudière
29 octobre 2010
Table des matières
1 Révision des bases 7I - Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II - Rappels généraux sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12III - Les fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19IV - Transformations sur les graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Trigonométrie 45I - Les angles et le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II - Définition des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47III - Des formules importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51IV - Graphes des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Nombres complexes 62I - Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62II - Forme algébrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62III - Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66IV - Forme exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70V - Formules de Moivre et d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72VI - Equations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72VII -Racine n-ème d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75VIII -Transformations dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
A TPMA11 :Découverte de Maxima 78I - Introduction à Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78II - Fonctions à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81III - Programmation sous Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
B Exercices de révision 85
C Principales commandes de Maxima 86I - Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86II - Nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86III - Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87IV - Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87V - Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87VI - trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87VII - Calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87VIII - Polynômes - Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87IX - Fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87X - Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88XI - intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88XII - équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88XIII - Suites- Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88XIV - Transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89XV - Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89XVI - Programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1
D Corrigés des exercices 90I - Révision des bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90II - Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94III - Nombres Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97IV - Révisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2
Notes
Ce polycopié a été élaboré en partie à partir de➥ notes des cours initialement écrites par Adnan Yassine et Aziz Alaoui au Département de Génie Electriqueet Informatique Industrielle de l’IUT du Havre
➥ J-M. Monier, Analyse MPSI, Dunod, 2006➥ E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991➥ E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991➥ divers travaux de collègues de lycée dont Nathalie DAVAL et Michel GOSSE.Merci à Pierre Maréchal pour sa collaboration au sujet de l’utilisation des mathématiques dans les autres
disciplines de GEII.
Mode d’emploi
L’étudiant trouvera dans ce document un ensemble de cours et exercices de mathématiques conforme auprogramme du département GEII. En introduction sont indiquées quelques applications du chapitre auxmatières qui l’utilisent. Le cours est construit de façon à ce que l’étudiant complète les différents trouset ainsi assimile l’essentiel sans avoir à tout écrire. Le document complété sera ensuite mis en ligne parl’équipe enseignante sur le site universitaire EUREKA (cf. chapitre eureka) de façon à ce que l’étudiantcorrige ses erreurs de prise de note ou dispose du document en cas d’absence.
Il va sans dire que l’intérêt de la démarche repose sur la bonne volonté de l’étudiant et qu’elle n’auraitaucun intérêt si l’étudiant se contentait d’attendre le polycopié final. On ne saurait trop répéter que, àl’image d’une activité sportive,
il n’y a pas de réussite sans effort.
En résumé, l’étudiant modèle complète en séance le polycopié, le relit et le corrige. Il apprend certainsrésultats en particulier et surtout il travaille les exercices faits et ceux restant à faire. Il dispose sur lesite Eureka d’un forum sur lequel il peut poser des questions à l’enseignant en dehors du TD, ce quin’empêche pas de le faire en direct.
⇒ ⇒
3
Attention
L’adresse électronique des étudiants est de la forme [email protected] adresse sera la seule reconnue par l’institution universitaire. Les étudiants sont donc invités àl’utiliser pour tout courrier institutionnel et c’est par ce canal qu’il pourront recevoir une informationuniversitaire.
4
Retrouver ce cours sur le web : EUREKA
Eureka est un site Internet, où (e enntre autres) les enseignants de Mathématiques au Département de GénieElectrique et Informatique Industrielle de l’IUT du Havre ont mis les documents des cours de la première annéeet de la deuxième année : résumés des cours avec exercices (et corrigés), interrogations écrites, DS.Voici les cours de Mathématiques donnés en GEII que l’on peut trouver sur Eureka :➥ GEII mathématiques première année➥ GEII -Mathématiques Numériques (1ère année)➥ GEII mathématiques deuxième année➥ GEII-MCM3-Probabilités et Statistiques (module complémentaire 2ème année)
ACCES A EUREKA
➔ Les étudiants sont invités, lors de leur inscription à l’Université du Havre, à consulter l’Espace Numériquede Travail (ENT) (https ://ent.univ-lehavre.fr) pour prendre connaissance de cette adresse et valider leurcompte.
➔ Ils trouveront en particulier via cet espace l’accés à Eureka qui contient l’ensemble des supports de coursUne fois sur https ://eureka.univ-lehavre.fr entrer l’Identifiant et le mot de passe.
➔ Cliquer sur DUT. Cliquer sur un cours qu’on veut consulter (s’inscrire).
5
Glossaire
Alphabet grec
Minuscules : α β γ δ ε η θ ι κ λ μ ν ξ ω π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ωPrononciation : alpha, beta, gamma, delta, epsilon, eta, theta, iota, kappa, lambda, mu, nu, xi, omicron,pi, rho, sigma, tau, upsilon, phi, chi, psi, omegaCertaines majuscules(minuscules) :
Γ(γ), Δ(δ), Θ(θ), Λ(λ), Π(π), Σ(σ), Υ, Φ(ϕ), Ψ(ψ), Ω(ω)
Notations
∃ il existe
∃! il existe un(e) seul(e)
∀ pour tout
A =⇒ B l’affirmation A entraine l’affirmation B
A ⇐⇒ B l’affirmation A équivaut à l’affirmation B
A = B le calcul A donne le même résultat que le calcul B (ne pas confondre avec A ⇐⇒ B)
ssi si et seulement si
ie ou cad c’est à dire
cqfd ce qu’il fallait démontrer
6
Chapitre 1Révision des bases
SommaireI - Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II - Rappels généraux sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12III - Les fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19IV - Transformations sur les graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Le but de ce chapitre est la révision des méthodes de calcul vues dans la scolarité antérieure. En effet lesétudiants sont principalement en difficulté à cause des lacunes dans ce domaine (réductions, simplificationsd’expressions, priorités des opérations, propriétés de base des fonctions usuelles : puissances,exponentielles, fonctions inverses... ).
Il est fortement conseillé de bien maîtriser ce chapitre pour la suite.
7
Motivations
Plusieurs grandeurs physiques sont décrites par les fonctions suivantes :
1. L’énergie potentielle d’un corps de masse m0 à la hauteur h est définie par une fonction linéairede la hauteur : Epot = m0 g h. L’énergie cinétique est une fonction quadratique de la vitesse v du
corps : Ecin =12m0v
2.
2. Le module de la force d’attraction électrique existante entre deux charges Q1 et Q2 est inversementproportionnelle au carré de la distance r entre elles, comme l’affirme la loi de Coulomb : |F | =
kQ1Q2
r2. On observe cette dépendance dans la force d’attraction gravitationnelle entre deux corps
de masse m1 et m2 : |F | = Gm1m2
r2.
3. Divers phénomènes physiques suivent une loi exponentielle. Par exemple
(a) La différence de potentiel dans la charge d’un condensateur est donnée par (voir chapitreéquations différentielles) V (t) = E(1 − e−
tτ ) où E est une constante de même dimension que
V (t).
(b) La montée en température dans un four peut être caractérisée par une constante de temps τ
caractéristique du four : T (t) = T0(1 − e−tτ )
(c) Si un échantillon radioactif contient N0 noyaux radioactifs, au bout d’un temps T appelépériode, seulement N0/2 noyaux restent radioactifs ; au bout de deux périodes, seulement N0/4noyaux restent radioactifs et ainsi de suite. La loi de désintégration radioactive est alors donnée
par N(t) = N0e− t
T ln 2; en particulier on remarque que N(T ) =N0
2.
(d) On dépose une quantité d’argent A0 sur un compte d’épargne. Si le taux d’intérêt est α, alorsla quantité d’argent croit selon la loi exponentielle suivante : A(n) = A0(1 + α)n , où n est lenombre de mois passés à partir du dépôt.
4. Un exemple où intervient la fonction logarithme est le suivant. Un "diagramme de Bode" est utilisépour étudier le comportement fréquentiel d’un système. Si la réponse fréquentielle du système estH(iω), alors le gain en tension est 20Log10(|H(iω)|).
I - Ensembles de nombres
Les différents ensembles de nombres➔ N : ensemble de nombres entiers naturels
➔ Z : ensemble de nombres relatifs
➔ Q : ensemble de nombres rationnels
➔ R : ensemble de nombres réels
➔ C : ensemble de nombres complexes
On a que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Ex. guidé 1 : Placer les nombres ci-dessous dans leur ensemble respectif.
103;1
6; 1;−1;
13; 0;
√2;−1, 2;
√4
9; π;−0.008;
3
25; i =
√−1;−10025; 3, 14;
3106
;√
9; 1 + 2i; 1 + 0i; 2i;
√3
2
8
N
0
1 = 1 + 0 ∙ i
√9
103
63
Z −1
−√
4−37
−10025
Q 13
−1319
16
√49
0.008
−1.2
325
1106
R π1236π
√2
√3
2
−2π
3
C i 1 + 2i
2i
Remarque?? A partir de ce point nous travaillons dans R.
Rappels sur les fractions
➥ simplification :a × x
b × x=
a
b
➥ somme :a
b+
c
d=
ad + bc
bd
➥ produit :a
b×
c
d=
a × c
b × d
➥ quotient :
a
bc
d
=a
b×
d
c
Attention !
a + b
c + d6=
a
c+
b
d,
a
c + d6=
a
c+
a
d
Ex. guidé 2 : Les fractions A et B ci dessous sont-elles inverses l’une de l’autre ?
A =5
xy−
8
x; B =
xy
5−
x
8
A =5 − 8y
xy; B =
8xy − 5x
40. En conséquence,
1
B=
40
8xy − 5x6= A.
9
Ex. guidé 3 : Réduire les fractions suivantes :2
1
x+
1
y
,
2
31
x+ 2
.
a)2
1
x+
1
y
=2
y + x
xy
=2xy
x + y b)
2
31
x+ 2
=
2
31 + 2x
x
=2x
3(1 + 2x)
Rappels sur les inégalités
➔ Si x, y ∈ R alors on a soit x = y soit x < y soit x > y. Ceci ne sera pas vrai dans C (complexes).
➔ Si x, y, z ∈ R alors
x < y
y < z=⇒ x < z (transitivité)
➔ Si x, y, k ∈ R alors x < y =⇒ k + x < k + y
➔ Si x, y, k ∈ R alors
x < y
k > 0=⇒ kx < ky
➔ Si x, y, k ∈ R alors
x < y
k < 0=⇒ kx > ky
Ex. guidé 4 : Soient −1 < x < 1 et 2 < y < 3. Encadrer les expressions
1) xy ;
2) xy + 2x.
1.
−1 < x < 1
y>0=⇒ −y < xy < y
D’autre part −3 < −y < −2 . On obtient par transitivité −3 < xy < 3.
2. De plus −2 < 2x < 2. On obtient avec la question précédente −5 < xy + 2x < 5.
Rappels
Pour a, b ∈ R :
➔ ab = 0 si et seulement si a = 0 ou b = 0
➔ ab > 0 si et seulement a et b sont de mêmes signes
➔ ab 6 0 si et seulement a et b sont de signes opposés
➔ soit b 6= 0 ;a
b= 0 si et seulement si a = 0
➔ soit b 6= 0 ;a
b> 0 si et seulement si a et b sont de mêmes signes
➔ soit b 6= 0 ;a
b6 0 si et seulement si a et b sont de signes opposés
10
Ex. guidé 5 : Résoudre
a.3x
x + 1= 2 ;
b.x
x + 1=
12.
a.3x
x + 1= 2 est équivalent à 3x = 2x + 2, c’est-à-dire x = 2 ;
b.x
x + 1=
12est équivalent à 2x + 2 = x, c’est-à-dire x = −2.
Ex. guidé 6 : Résoudre
a. (5x − 3) (1 + 2x) = 0;
b. (5x − 3) (1 + 2x) < 0.
a. (5x − 3) (1 + 2x) = 0 ⇐⇒ x =3
5ou x = −
1
2
b.
x −∞ −12
35
+∞
5x − 3 − - − 0 +
1 + 2x − 0 + ? +
(5x − 3)(1 + 2x) + 0 − ? +
Par conséquent (5x − 3) (1 + 2x) < 0 ⇐⇒ x ∈
]
−1
2;3
5
[
.
Ex. guidé 7 : Résoudrex + 4
x − 26 0.
x −∞ −4 2 +∞
x + 4 − 0 + +
x − 2 − − 0 +
x + 4
x − 2+ 0 − ? +
Par conséquentx + 4
x − 26 0 ⇐⇒ x ∈ [−4; 2[.
Exercices
Exercice 1.1 Simplifier l’expression2x − 1x + 3
+x
2x − 7.
Exercice 1.2 Résoudre
1.x − 12x − 3
> 0 ;
2. (x + 4)(2x − π) 6 0.
Exercice 1.3 Résoudre
11
1.x + 4 − π
x − 21= 0 ;
2. (2x + 4)(3x − 5) = 0.
Exercice 1.4 Soit f(x) =c(x)t(x)
1 + c(x)t(x). Déterminer c(x) dans les cas suivants :
1. t(x) =0, 6
x − 0, 4; f(x) =
0, 6x − 0, 4
2. t(x) =0, 633
x − 0, 367; f(x) =
0, 865x − 0, 135
II - Rappels généraux sur les fonctions1. Définition de fonction
Définition 1:On appelle fonction numérique f de I ⊂ R dans R toute relation qui à un élément x de I associe auplus un élément de R noté f(x). On écrit symboliquement :
f :
I → R
x 7→ y = f(x)
➔ L’ensemble I est appelé domaine de définition de la fonction f . On le notera aussi Df .
➔ Le nombre f(x) est l’image de x par la fonction f .
➔ L’ensemble Im f = {f(x), x ∈ I} est l’ensemble image de f .
➔ Pour chaque y ∈ Im f un point x ∈ Df est appelé antécédent de y.
Ex. guidé 8 : Le relations f et g définies ci-dessous sont-elles des fonctions ? Pourquoi ?
f :
[−1; 1] → R
x 7→ y = x2et g :
[0, 1] → R
x 7→ y : y2 = x
f est une fonction puisque tout x ∈ [−1; 1] a au plus une image calculée par x2.g n’en est pas une car x = 1 par exemple a deux images : y = 1 et y = −1
2. Graphe d’une fonction
Définition 2:
Soit I un sous-ensemble de R. Soit une fonction f :
I → R
x 7→ y = f(x)L’ensemble {(x, y) ∈ R2 : x ∈ I, y = f(x)} est appelé graphe de f . Il est une courbe dans un repèreorthogonal.
Ex. guidé 9 : Représenter, grâce à un tableau de valeurs, les courbes de f et g de l’exemple précédent.
12
1
2
3
4
5
6
7
8
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
1 2−1−2−3x
y
O ~i
~j0
1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8x
y
O~i
~j
Quelques règles pratiques
➔ Soient f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df un point fixé. Alors dans le graphe de f il existe un seulpoint d’abscisse x0.Par conséquent pour savoir si une courbe est le graphe d’une fonction il suffit de vérifier qu’elle nepasse pas plus d’une fois par toute abcisse x0.
➔ Soit f : Df → R une fonction. Pour chaque y0 ∈ Im f il peut exister plusieurs antécédents. Leurnombre est donné par le nombre d’intersections de la droite y = y0 avec le graphe de f .
Equations et inéquations
➔ Résoudre l’équation f(x) = c revient à étudier les abscisses des points d’intersection entre le graphede la fonction x → f(x) et la droite y = c.
➔ Résoudre l’inéquation f(x) < (>)c revient à chercher les abscisses des points du graphe de f qui setrouvent en dessous (au dessus) de la droite y = c.
➔ Si f et g sont deux fonctions telles que f(x) < g(x) pour x ∈ I, alors graphiquement, dans I, legraphe de f se trouve en dessous du graphe de g.
13
Exemple 1 : Sur le dessin ci-dessous sont surlignés le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction.
~ı
~
O
(x; f(x)
)
Df
Im f
x
f(x)
antécédents
images
3. Composition de deux fonctions
Définition 3:Soient
g :
I → R
x 7→ g(x)f :
J → R
y 7→ f(y)
avec Im (g) ⊆ J .
Il est alors possible de construire la fonction notée f ◦ g de la façon suivante :
f ◦ g :
I → R
x 7→ f (g(x))
Exemple 2 : La fonction x → (x + 1)2 est la composition de la fonction g(x) = x + 1 et f(y) = y2.
Ex. guidé 10 : La fonction f : x →1
sin2(2x)est la composition de quelles fonctions ?
Soient f1(x) = 2x, f2(x) = sin(x), f3(x) =1xet f4(y) = y2. On a ainsi f = f4 ◦ f3 ◦ f2 ◦ f1.
Ex. guidé 11 : Soient f(x) = x2 + 4x et g(x) = 2x + 3. Calculer f(g(x)).
On écrit 2x + 3 à la place de x dans l’expression de f :f(g(x)) = (2x + 3)2 + 4(2x + 3) = 4x2 + 20x + 21.
14
Remarque?????
Pour comprendre la composition de fonctions f(g(x))on peut imaginer de travailler avec une calculette.On doit faire les opérations suivantes : x g(x) = y f(y)
4. Variations d’une fonction
Définition 4:Soit I un intervalle de R. Une fonction f : I → R est dite
➔ croissante si f(x1) 6 f(x2) pour tout x1 et x2 dans I tels que x1 6 x2 ;
➔ strictement croissante si f(x1) < f(x2) pour tout x1 et x2 dans I tels que x1 < x2 ;
➔ décroissante si f(x1) > f(x2) pour tout x1 et x2 dans I tels que x1 6 x2 ;
➔ strictement décroissante si f(x1) > f(x2) pour tout x1 et x2 dans I tels que x1 < x2.
Une fonction uniquement croissante ou décroissante est appelée monotone.
Exemple 3 : Voici les graphes de deux fonctions monotones :
x
y
O ~i
~jx1 x2
f(x1)
f(x2)
x
y
O ~i
~jx1 x2
f(x2)
f(x1)
Ex. guidé 12 : Déterminer les variations de la fonction x → x2.
On peut écrire x21 − x2
2 = (x1 − x2)(x1 + x2). Par conséquent :
➥ si x1 < x2 6 0 alors x21 − x2
2> 0 ⇒ x21>x2
2
➥ si x1 > x2 > 0 alors x21 − x2
2< 0 ⇒ x21>x2
2
Cette étude implique que f : x → x2 est strictement croissante sur [0, +∞[ et strictement décroissantesur ] −∞, 0].
15
5. Majorer, minorer, borner une fonction
Définition 5:➔ On dit que la fonction f : Df → R est « majorée » par M si pour tout x ∈ Df on a f(x) 6M .
M est appelé majorant.
➔ On dit que la fonction f : Df → R est « minorée » par m si pour tout x ∈ Df on a f(x) > m.m est appelé minorant
➔ On dit que la fonction f : Df → R est « bornée s’il existe M et m tels que pour tout x ∈ Df on am 6 f(x) 6M .
Règles pratiques
➔ Pour majorer f + g, on majore f et g, et on ajoute les majorants.
➔ Pour minorer f + g, on minore f et g, et on ajoute les minorants.
➔ Pour majorer f g, avec f et g positives, on majore f et g, et on multiple les majorants.
➔ Pour minorer f g, avec f et g positives, on minore f et g, et on multiple les minorants.
➔ Pour majorerf
g, avec f et g strictement positives, on majore f et on minore g par un nombre
strictement positif, et on divise le majorant trouvé par le minorant trouvé.
➔ Pour minorerf
g, avec f et g strictement positives, on minore f et on majore g par un nombre
strictement positif, et on divise le minorant trouvé par le majorant trouvé.
➔ Pour majorer −f , on minore f .
➔ Pour majorer une fonction croissante x 7−→ f(x) on majore x.
➔ Pour majorer une fonction décroissante x 7−→ f(x) on minore x.
➔ Pour majorer(minorer) f(x) on peut aussi étudier les variations de la fonction.
➔ Pour majorer(minorer) f(x) par une autre fonction g(x) on peut étudier la fonction f(x) − g(x).
Exemple 4 : Donner un majorant et un minorant des fonctions ci-dessous :
➥ f1(x) =1
1 + x2; 0 6 x 6 1
➥ f2(x) = x2 + 2 +x + 11 + x2
; 0 6 x 6 1
➥ f3(x) = x2 + 2 +x + 11 + x2
;−1 6 x 6 0
➥126
11 + x2
6 1
➥ 2 +126 x2 + 2 +
x + 11 + x2
6 3 + 2
➥ 2 6 x2 + 2 +x + 11 + x2
6 3 + 1
Exemple 5 : Utilisation pour les inégalités :Que deviennent les inégalités −2 < x < −1, x > 1 et −1 < x < 2 par application des fonctions
f1 :
R→ R
x 7→ x2, f2 :
R→ R
x 7→ x3,f3 :
R∗ → R
x 7→1x
?
On donne l’identité : a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
16
Il convient de vérifier si les variations changent sur l’intervalle de l’inégalité puis d’appliquer la propriétéprécédente. On a déjà vu qu f1 est croissante pour x > 0 et décroissante pour x 6 0.
x31 − x3
2 = (x1 − x2)(x21 + x1x2 + x2
2). Par conséquent si x1 et x2 sont de même signe alors x → x3 estcroissante . Si x1 < 0 < x2, alors x3
1 < 0 et x32 > 0. Par conséquent x3
1 < x32. Alors x → x3 est croissante
.fonction croissante1x1
−1x2
=x2 − x1
x1x2. Par conséquent f3 est décroissante sur R∗.
variations −2 < x < −1 x > 1 −1 < x < 2
f1 ↘ ↗ 1 < f1(x) < 4 f1(x) > 1 0 < f1(x) < 4
f2 ↗ −8 < f2(x) < −1 f2(x) > 1 −1 < f2(x) < 8
f3 ↘ −1 < f3(x) < −12
f3(x) < 1 ? ? ?
Exemple 6 : La fonction x → 3x+1, définie sur [0, 1], est bornée . En fait pour tout x ∈ [0, 1] on a 1 6 3x+1 6 4.
6. Fonctions paires ou impaires
Définition 6:➥ Une fonction f : Df → R est dite « paire » si pour tout nombre x ∈ Df , f(−x) = f(x).➥ Une fonction f : Df → R est dite « impaire » si pour tout nombre x ∈ Df , f(−x) = −f(x).
Ex. guidé 13 : Etudier la parité des fonctions
a. f1(x) = x4 − x2 + 1
b. f2(x) = x3 − x
c. f3(x) = x3 − x2 + 1
d. f4(x) =x2 + 1
x3 − x
On remarque tout d’abord que si les fonctionsfi sont définies en x, alors elles sont définies en −x aussi.
a. f1(−x) = (−x)4 − (−x)2 + 1 = x4 − x = x4 − x2 + 1 = f(x) donc f1 est paire
b. f2(−x) = (−x)3 − (−x) = −x3 + x = −f2(x) donc f2 est impaire
c. f3(−2) = −11 mais f3(2) = 5 ce qui contredit toute parité
d. f4(−x) =(−x)2 + 1
(−x)3 − (−x)=
x2 + 1
−x3 + x= −f4(x) donc f4 est impaire.
Propriété 1:➥ Le graphe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées .➥ Le graphe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à 0 .➥ Le domaine de définition d’une fonction paire ou impaire est symétrique par rapport à O, c’est-à-direque x,−x ∈ Df .
17
x
y
O ~i
~j−x x
f(−x) f(x)
(a) Fonction paire
O ~i
~j
x
y
−x
x
f(x)
−f(x)
(b) Fonction impaire
Définition 7: fonction périodiqueUne fonction f définie sur un ensemble Df est périodique de période T si pour tout
x ∈ Df f(x + T ) = f(x)
On admettra qu’il existe une plus petite valeur T > 0 et que les autres sont de la forme k ∙ T avec k ∈ Z.
Exercices
Exercice 1.5 Visualiser les solutions de f(x) = 0 où f est la fonction représentée dans l’exemple 1.
Exercice 1.6 Un cercle peut-il être le graphe d’une fonction ? Pourquoi ?
Exercice 1.7 Soit f(x) = x3 − 2x + x2. Etudier sa parité.
Exercice 1.8 La fonction x →√
(x − 2)2 + 1 est la composition de quelles fonctions ?
Exercice 1.9 Soient f(x) = x3 + 3x2 et g(x) =1
x + 1. Calculer f(g(x)).
Exercice 1.10 Montrer que la fonction f(x) =1
x2 + 1est bornée pour tout x ∈ R.
Exercice 1.11 Soit f : [0, 1] → R une fonction strictement positive et croissante. Quelle est la monotonie de
la fonction g(x) =1
f(x)?
Exercice 1.12 Bornerx + 1x + 2
etx2 + 1x − 2
sur [−1, 1].
18
III - Les fonctions usuelles
Attention !
Il est nécessaire d’avoir en tête une collection de courbes usuelles. L’étudiant devra être capable de lestracer rapidement à partir de quelques éléments caractéristiques.
1. Fonctions affines
Définition 8:Soient a, b deux réels. La fonction définie sur R par f(x) = ax + b est appelée fonction affine.
Propriété 2:Le graphe de la fonction affine y = ax + b est une droite.
➤ Le réel a est le coefficient directeur de cette droite.
a =Δy
Δx=
y1 − y2
x1 − x2pour (x1, y1) et (x2, y2) deux points de la droite.
➤ Le réel b est l’ordonnée à l’origine. (0, b) est un point de la droite.
Exemple 7 : Tracer les graphes des fonctions
a. f1(x) = y = x + 1
b. f2(x) = y = 2
c. f3(x) = y = −3x − 2
d. f5(x) = y =34x − 3
x
y
O ~i
~j
1
1
f2
f1
f3
f5
Remarque?? x = c, pour c ∈ R, est représenté par une droite (verticale), mais elle n’est pas une fonction !
Remarque????????????
Les seules fonctions qui vérifient :
1. f(x + y) = f(x) + f(y) pour tout x, y ∈ R
2. f(λx) = λf(x) pour tout x ∈ R et λ une constante réelle
sont de la forme f(x) = ax pour a constante réelle.
19
2. La fonction valeur absolue
Définition 9: La valeur absolue
Pour tout x ∈ R on définit la fonction |x| =
x si x > 0
−x si x 6 0
Propriété 3:➔ |x| > 0 pour tout x ∈ R
➔ |−x| = |x|
➔ |a − b| = |b − a|
➔ |a ∙ b| = |a| ∙ |b|
➔
∣∣∣∣∣a
b
∣∣∣∣∣=
|a|
|b|
➔ |an| = |a|n
➔ |a| = 0 si et seulement si a = 0
➔ en général |a + b| 6= |a| + |b| ...mais...|a + b| 6 |a| + |b| pour tout a, b ∈ R
➔ |a + b| >∣∣∣|a| − |b|
∣∣∣
➔ |x| = a si et seulement si x = a ou x = −a
➔ |x| 6 a si et seulement si −a 6 x 6 a
Remarque?? |a − b| représente, géométriquement, la distance entre a et b.
Ex. guidé 14 : Résoudre |x − 2| = r puis |x − 2| 6 r où r ∈ R+.
|x − 2| = r ⇐⇒ x = 2 − r ou r + 2.|x − 2| 6 r ⇐⇒ −r 6 x − 2 6 r ⇐⇒ 2 − r 6 x 6 2 + r
f(x) = |x|
➥ f(x) =
{x, x > 0
−x, x 6 0➥ Df = R➥ Im f = R+
➥ f est paire
2
4
6
−22 4 6 8−2−4−6−8
x
y
O ~i
~j
Ex. guidé 15 : Simplifier la fonction f(x) = |2x − 4| + 2 |x + 5|.
20
On construit un tableau :
x −∞ −5 2 +∞
|2x − 4| −2x + 4 −2x + 4 0 2x − 4
|x + 5| −x − 5 0 x + 5 x + 5
|2x − 4| + 2 |x + 5| −4x − 6 0 14 0 4x + 6
Exercices
Exercice 1.13 Résoudre les inéquations (on fera un petit schéma explicatif...)
1. |x − 3| 6 2
2.
∣∣∣∣x +
12
∣∣∣∣ 6 2
3. |1 − 2x| > 3
4. - 1 6 |3 + 2x| 6 1
Exercice 1.14 Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
1. |3 − 2x| 6 4.
2. |x − 5| = 4, en déduire la résolution de∣∣x2 − 5
∣∣ = 4.
3. Fonctions puissance
Définition 10:Soit n ∈ N.
Pour tout x ∈ R on définit xn commen︷ ︸︸ ︷
x ∙ x... ∙ x.
Pour tout x ∈ R \ {0} on définit x−n comme1xn.
Rappel sur les puissances entières
Soient n,m ∈ Z.
➔ (x y)n = xnyn
➔ xnxm = xn+m
➔ (xn)m = xn∙m
➔ (−1)n = 1 si n est pair ; (−1)n = −1 si n est impair
➔ (x + y)n 6= xn + yn en règle générale
Exemple 8 :
a.
(2
3
)11
.
(3
5
)12
.
(5
2
)10
=6
25
b.
(8−2
4−4
)3
= 26
c. −22 = −4
d. −2−2 = −1
4
21
a. Fonctions puissances positives
Fonctions puissance positive : f(x) = xn (n ∈ N, n 6= 0)
➥ Df = R
➥ Im f =
R+, si n est pair
R, si n est impair
➥ f est une fonction
paire, si n est pair
impaire, si n est impair
1
2
3
4
5
6
7
8
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6x
y
f(x) = xn pour n pair
f(x) = xm pour m impair
Propriété 4:➥ x2n > 0 pour tout x➥ x2n = y2n si et seulement si |x| = |y|➥ x2n < y2n si et seulement si |x| < |y|
Propriété 5:➥ x2n+1 > 0 si et seulement si x > 0➥ x2n+1 = y2n+1 si et seulement si x = y➥ x2n+1 < y2n+1 si et seulement si x < y
22
b. Une fonction particulière : le carré
Fonction carré : f(x) = x2
➥ Df = R➥ Im f = R+
➥ f est paire
2
4
6
8
10
12
14
16
−2
2 4 6−2−4−6−8x
y
O ~i
~j
Remarque???????????????
➔ Le graphe de la fonction f(x) = x2 est une parabole.
➔ Plus généralement, soient a, b, c ∈ R. Le graphe de f(x) = ax2 + bx + c est une parabole avec axede symétrie verticale.
➔ Si a > 0 le graphe de f(x) = ax2 + bx + c a la concavité vers le haut. Si a < 0 le graphe def(x) = ax2 + bx + c a la concavité vers le bas.
Les zéros de la fonction f(x) = ax2 + b x + c
Trouver les zéros de la fonction f(x) = ax2 + b x + c revient à résoudre l’équation de second degréax2 + bx + c = 0.Soit Δ = b2 − 4ac le discriminant. Les trois cas suivants peuvent se présenter :
➥ Δ < 0 : l’équation ax2 + bx + c = 0 n’a pas de solution réelle et on ne peut pas factoriser ax2 + bx + csur R.
➥ Δ = 0 : l’équation ax2 + bx + c = 0 a la solution double x0 = −b
2aet le trinôme se factorise sous la
forme a(x − x0)2.
➥ Δ > 0 : l’équation ax2 + bx + c = 0 possède 2 solutions réelles : x1 =−b −
√Δ
2aet x2 =
−b +√
Δ2a
;
le trinôme se factorise sous la forme a(x − x1)(x − x2).
Le trinôme a x2 + bx + c est du signe de a sauf entre ses racines lorsqu’elles existent.
23
1
2
3
−1
−2
−3
1 2−1−2x
y
O ~i
~j
Δ> 01
2
3
−1
−2
−3
1 2−1−2x
y
O ~i
~j Δ< 01
2
3
−1
−2
−3
1 2−1−2x
y
O ~i
~j
Δ= 0
Ex. guidé 16 : Pour chacun des polynômes P suivantsP1(x) = 2x2 − 7x + 3, P2(x) = x2 + x + 1, P3(x) = 6x2 − 12x + 6
a. résoudre dans R l’équation P (x) = 0 ;
b. déterminer, si elle existe, la forme factorisée de P ;
c. résoudre dans R l’inéquation P (x) < 0.
P (x) = ax2 + bx + c P1 P2 P3
Δ = b2 − 4ac 25 > 0 −3 < 0 0
x =− b ±
√Δ
2ax1 = 3; x2 =
1
2pas de racines x1 = x2 = 1
factorisation 2 (x − 3)
(
x −12
)
non factorisable 6 (x − 1)2
P (x) < 0 x ∈
]12; 3
[
∅ ∅
Astuce
➔ On peut vérifier les solutions avec leur produit et somme : S = x1 + x2 = −b
aet P = x1 ∙ x2 =
c
a.
➔ Inversement, les nombres x1 et x2 dont on connait la somme S et le produit P sont solutions dex2 − Sx + P = 0.
Ex. guidé 17 : Déterminer les deux nombres dont la somme fait 3 et le produit 2.
On résoud l’équation x2 − 3x + 2 = 0. On trouve : x1 = 1 et x2 = 2.
24
c. Une fonction particuliere : le cube
Fonction cube : f(x) = x3
➥ Df = R➥ Im f = R➥ f est impaire
2
4
6
−2
−4
−6
−8
2 4 6−2−4−6−8x
y
O ~i
~j
Exemple 9 : Résoudre
a. x3 − 64 = 0 ⇐⇒ x = 4
b. −1 < x3 < 8 ⇐⇒ −1 < x < 2
Rappel : identités remarquables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Le triangle de Pascal
p 0 1 2 3 4 5 . . .
n
0 1 (a + b)0 = 1
1 1 1 (a + b)1 = a1 + b1
2 1 2 1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 1 3 3 1 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
4 1 4 6 4 1 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
5 1 5 10 10 5 1... 1
......
......
... 1Les résultats du tableau s’obtiennent en additionnant les deux cases supérieures gauches de chaque position puisen complétant les extrémités de la ligne par 1.
25
d. Fonctions puissance négative
Fonction puissance négative : f(x) = x−n =1
xn(n ∈ N, n 6= 0)
➥ Df = R∗
➥ Im f =
R+∗, si n est pair
R∗, si n est impair
➥ f est une fonction
paire, si n est paire
impaire, si n est impaire
1
2
3
4
5
6
7
8
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
1 2−1−2−3x
y
O ~i
~j
f(x) = x−n pour n pairf(x) = x−m pour m impair
26
e. Deux fonctions particulières : la fonction inverse et la fonction homographique
f(x) =1
x= x−1
➥ Df = R∗
➥ Im f = R∗
➥ f est impaire
2
4
6
−2
−4
−6
−8
2 4 6−2−4−6−8x
y
O ~i
~j
Une courbe particulière : fonction homographique
Le graphe de la fonction y =ax + b
cx + dest une hyperbole, dont les axes de symétrie sont x = −
d
cet y =
a
c.
2
4
6
−2
−4
−6
−8
2 4 6−2−4−6−8x
y
O ~i
~j
y =a
c
x = −d
c
27
f. Fonction puissance inverse
Définition 11:La fonction puissance inverse est la fonction définie comme suit :
1. n pair : x → solution y positive de yn = x ;
2. n impair : x → solution y de yn = x ;
On dénote y par n√
x ou également par x1/n.
Fonction puissance inverse : f(x) = x1/n = n√
x (n ∈ N, n 6= 0)
➥ Df =
R+ si n est pair
R si n est impair
➥ Im f =
R+ si n est pair
R si n est impair
➥ f est une fonction
sans parité si n est pair
impaire si n est impair
➥(
n√
x)n
= x et n√
xn = x pour x ∈ Df
1
2
−1
−2
1 2 3 4−1−2−3x
y
O ~i
~j
f(x) = x1n pour n pair
f(x) = x1m pour m impair
Propriété 6:➥ x
1n = y
1n si et seulement si x = y
➥ x1n < y
1n si et seulement si x < y
➥ x12n > 0 pour tout x > 0
➥ x1
2n+1 > 0 si et seulement si x > 0
28
g. Une fonction particulière : la fonction racine
La fonction f(x) =√
x = x12
➥ Df = R+
➥ Im f = R+
➥ aucune parité➥
√x2 = |x|
2
4
−2
2 4 6−2x
y
O ~i
~j
Rappel sur les racines
1. x =√
a ⇐⇒{x2 = a et x > 0
}
2.√
a = a12 (deux écritures équivalentes)
3.√
x2 = |x|
4.√
a + b 6=√
a +√
b
5.√
ab =√
a√
b
6.
√a
b=
√a
√b
7.√
a2 = |a| ; (√
a)2 = a
Exemple 10 :
a.√
45√
5 = 15b.
(27
64
)2/3
=9
16
Rendre rationnel le dénominateur1√
a=
√a
a
1√
a +√
b=
√a −
√b
a − b(on multiplie par le "conjugué" du dénominateur)
1√
a −√
b=
√a +
√b
a − b(on multiplie par le "conjugué" du dénominateur)
Exemple 11 :a.
1 +√
3
1 −√
3= −2 −
√3
b.
(4√
a ∙ b3)2
√b
= b ∙√
a
Définition 12:
Soit p, q ∈ N. On définit apq par q
√ap ou également par
(q√
a)p.
29
h. Comparaisons des fonctions
1
2
3
4
5
6
7
8
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7−8x
y
O ~i
~j
f(x) = |x|
f(x) = x2
f(x) =1x
f(x) = x3
f(x) =√
x
Exemple 12 : Donner la position relative des graphes des fonctions x → |x|, x → x2 et x →√
x dans les intervalles[0, 1] et [1, +∞[.
Pour x ∈ [0, 1] on a√
x > x > x2 .Par contre pour x > 1 on a
√x 6 x 6 x2.
Exercices
Exercice 1.15 Résoudre en posant X = x2 l’équation x4 − 3x2 + 2 = 0.
Exercice 1.16 Résoudre les inéquations suivantes :
1.x − 1
x − 36
x − 2
x − 4
2.
{x2 − 16 6 0
3x + 2 > x + 3
Exercice 1.17 Développer l’expression (2x + 1)2 − 4 . Résoudre l’inéquation4x2 + 4x − 3
5 − 2x< 0.
Exercice 1.18 Evaluer sans calculatrice :
a.(√
2 −√
3)3
b.(21/22−1/3
)3
c.(
3√
4)2
∙(
3√
44)
30
d.3 +
√2
2 −√
2
Exercice 1.19 Résoudre2x2 − 5
x + 1> x − 1.
Exercice 1.20 Résoudre (x − 1) (2x + 1) − (x − 1)(x2 − 4x
)> 0.
Exercice 1.21 Deviner une expression possible de chacune des fonctions usuelles représentées ci-dessous. Jus-tifier la réponse. {
1x
, |x| ,√
x, x2, x3
}
1
2
3
4
5
6
7
8
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7−8x
yC1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
Exercice 1.22 En corrigeant la copie d’Emile Franc, élève de 2nde 24 bis, voici ce qu’a trouvé Frank Laroche(auteur du problème) :
Enoncé : Résoudre5x
1 − x6
10x
2x + 1.
Réponse d’Emile Franc
L’ensemble de définition est R−
{
−1 ; −12
}
.
Je passes tous à gauche :5x
1 − x−
10x
2x + 16 0
soit10x2 + 5x − 10x − 10x2
(1 − x)(2x + 1)6 0
et enfin−5x
(1 − x)(2x + 1)6 0
31
Je fais le tableaux de signes :
x −∞ −1/2 1 5 +∞
1 − x − − 0 + +
2x + 1 − 0 + + +
−5x + + + 0 −
quotient + 0 − 0 + −
Et je conclut : x ∈] − 1/2 ; 1[∪]5 ; +∞].
1. Trouvez les erreurs d’Emile y compris d’orthographe ?
2. Résoudre correctement l’inéquation5x
1 − x6
10x
2x + 1.
Exercice 1.23 Développer les expressions suivantes :
a. (x − 1)3
b. (2 − x)3
c. (x2 − πx + 1)(x2 + πx + 1)
Exercice 1.24 Factoriser les expressions suivantes :
a. x4 − 1
b. (2 − x)3 − 8
Exercice 1.25 Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes :
1.) x → x + x2 − x35 − 42
2.) x →√
3x − 7
3.) x →x
x2 + 2x + 1
4.) x → (x2 − 3x + 2)13
5.) x → (x2 − 3x + 2)14
6.) x →
√x
x2 − 1
4. Fonction logarithme et fonction exponentielle
Histoire de la fonction logarithme
➔ Le mot vient du grec « logos », proportion et « arithmos », nombre)
« En 1588, pour faciliter ses calculs, l’astronome suisse Jost Bürgi développa lepremier système logarithmique connu.Lorsqu’en 1614, John Napier publie son traité Mirifici Logarithmorum CanonisDescriptio, il ne songe pas qu’il est en train de créer de nouvelles fonctions,mais seulement des tables de correspondances entre deux séries de valeurs pos-sédant la propriété suivante : à un produit dans une colonne, correspond unesomme dans une autre. Ces tables de correspondances ont été créées initiale-ment pour simplifier les calculs trigonométriques apparaissant dans les calculsastronomiques et seront utilisées quelques années plus tard par Kepler. »
➔ Une application pratique outre la constitution de tables a été l’invention de la règle à calculs quipermettra gràce à l’addition de segments d’opérer une multiplication.cf. http ://pagesperso-orange.fr/calque/js/regle.html (une simulation de règle à calcul)
➔ Nous donnons ci-dessous la définition historique. Nous verrons une autre définition basée sur lanotion de dérivée et primitive.
32
Définition 13:Il existe une unique fonction f vérifiant f(x ∙ y) = f(x) + f(y) et f(1) = 0.On l’appelle fonction logarithme népérien, notée ln. On la définie sur R+∗.
Propriété 7:Soient a et b deux réels strictement positifs et n est un entier naturel. Alors
➔ ln(ab) = ln(a) + ln(b)
➔ ln
(1a
)
= − ln(a)
➔ ln(a
b
)= ln(a) − ln(b)
➔ ln(ar) = r ln(a)
➔ ln (a + b) 6= ln a + ln b
➔ il existe e ∈ R tel que ln(e) = 1(e ≈ 2, 718); e est appelé constante de Néper.
Remarque?????
En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quo-tients en différences et les puissances en multiplications.
Propriété 8:➥ ln(1) = 0➥ ln x > 0 si x> 1 et ln x < 0 si 0 < x< 1.➥ ln(x) = ln(y) ⇐⇒ x = y (pour chaque valeur dans l’image il n’y a qu’un antécédent)➥ ln(x) < ln(y) ⇐⇒ x < y (la fonction ln est croissante)
1
2
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5 6 7 8−1x
y
O ~i
~j
y = ln(x)
e
33
Définition 14:La fonction exponentielle est la fonction définie sur R à valeurs dans R+∗ comme suit :
x → solution y de l’équation x = ln(y) .
On dénote y par ex.
Conséquences
➥ e0 = 1➥ ex > 0➥ e1 = e➥ ln(ex) = x➥ eln x = x pour x > 0➥ x ∈ R et y = ex ⇐⇒ y ∈ R∗
+ et ln(y) = x
Propriété 9:Soient a et b deux réels et n est un entier relatif. Alors :
➔ ea+b = ea × eb
➔1ea
= e−a
➔ea
eb= ea−b
➔ (ea)n = ean
➔ eab 6= eaeb
Propriété 10:➥ ex = ey ⇐⇒ x = y (pour chaque valeur dans l’image il n’y a qu’un antécédent)➥ ex < ey ⇐⇒ x < y (la fonction exponentielle est croissante)
1
2
3
4
5
−11 2−1−2−3−4−5
x
y
O ~i
~j
y=
ex
e
Remarque?????
En résumé, l’exponentielle a la particularité de transformer les sommes en produits, les différences enquotients et les multiplications en puissances (au contraire du logarithme et à la manière des puissances !).
34
Ex. guidé 18 :
a. ln
(192108
)
= ln
(169
)
= ln(16) − ln(9) = ln(24) − ln(32) = 4 ln(2) − 2 ln(3).
b. ln(√
96) =12
ln(96) =12
ln(25 × 3) =12[5 ln(2) + ln(3)].
c. ln(x + 3) + ln(2x + 1) = ln[(x + 3)(2x + 1)] = ln(2x2 + 7x + 3)
pour x ∈
]
−12
; +∞
[
.
Ex. guidé 19 :
a. 2 ln x − 5 = 0 ⇔ ln x =52⇔ x = e
52
b. ln 5x = −3 ⇔ x =e−3
5
c. (ln 2x − 1)(2 ln x + 3) = 0 ⇔ ln 2x = 1 ou ln x = −32
D’où x =e
2et x = e−
32
d. 2(ln x)2 + 3 ln x − 2 = 0 ⇔ 2X2 + 3X − 2 = 0 avec X = ln x
On obtient X = −2 ou12d’où x = e−2 ou e
12
Ex. guidé 20 :
a. e2 × e3 ×1e4
× (e−2)−3 = e2+3−4+6 = e7
b. ex+3 × e2x+1 = e(x+3)+(2x+1) = e3x+4
c. (ex−2)2 = e2x−4
Ex. guidé 21 :
a. 2ex − 5 = 0
b. e2x − 5 = 0
c. (e3x − 5)(ex + 2) = 0
d. 2e2x − 7ex + 3 = 0
a. 2ex − 5 = 0 ⇔ ex =52⇔ x = ln
(52
)
b. e2x − 5 = 0 ⇔ 2x = ln 5 ⇔ x =ln 52
c. (e3x − 5)(ex + 2) = 0 ⇔ e3x = 5 ou ex = −2
ex > 0 donc la seule possibilité est donc x =ln 53
d. 2e2x − 7ex + 3 = 0 ⇔ 2X2 − 7X + 3 = 0 avec X = ex
On obtient X = 3 ou12soit x = ln X = ln 3 ou − ln 2
Ex. guidé 22 : Résoudre les équations
a. ln(x2 + x) = 1b. ln x + ln(x + 1) = 1c. e2x+1 = 1
d. e2x + ex − 2 = 0
e.2ex + 1
ex= 2e3 + e−x
35
a. ln(x2 + x) = 1 ⇔ x2 + x − 1 = 0 avec x ∈ ]−∞;−1[ ∪ ]0;+∞[
x =−1 +
√5
2ou
−1 −√
52
b. ln x + ln(x + 1) = 1 ⇔ x2 + x − 1 = 0 avec x > 0 soit x =−1 +
√5
2seulement
c. e2x+1 = 1 ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1
2d. e2x + ex − 2 = 0 ⇔ X2 + X − 2 = 0 avec X = ex
La résolution donne X = −2 ou 1 d’où x = 0
e.2ex + 1
ex= 2e3 + e−x ⇔
2X + 1
X= 2e3 +
1
Xavec X = ex
Aprés réduction on obtient 2X2 + 2e3X = soit X = 0 ou − e3
La condition X = ex > 0 empêche toute solution.
Ex. guidé 23 : Résoudre les inéquations suivantes :
a. ln x > ln(2x − 1)b. e2x > 1
c.ex + 3ex + 1
> 2 d. e2x+5 < e1−x
a. L’inégalité est définie si x > 0 et 2x − 1 > 0, ce qui nous donne x >12. Par la croissance de la fonction
t → ln t on a x > 2x − 1 ⇔ x < 1. Par conséquent12
< x < 1.
b. e2x > 1 ⇔ 2x > 0 soit x > 0
c.ex + 3ex + 1
> 2 ⇔X + 3
X + 1> 2 avec X = ex
On résoud X + 3 > 2(X + 1) soit X < 1 donc x < 0
d. e2x+5 < e1−x ⇔ 2x + 5 < 1 − x soit x < −4
3
Définition 15:On définit également les fonctions logarithmes de base a :
loga(x) =ln x
ln a
En particulier la notation log(x) est celle du logarithme de base 10.
Définition 16:Soit x un nombre réel. La fonction définie pour tout a ∈ R∗
+ par
ax = ex ln a
est une puissance généralisée appelée « exponentielle de base a ».
Exercices
Exercice 1.26 Résoudre les équations suivantes :
1. e2 ln(x) = 9
2. ln(y + 6) − ln(y + 2) + ln(y + 3) = 0
Exercice 1.27 Résoudre les équations suivantes
36
1. X2 − X − 2 = 0
2. ln2 x − ln x − 2 = 0
3. e2x − ex − 2 = 0
Exercice 1.28 Résoudre les inéquations suivantes
1. X2 − X − 2 < 0
2. ln2 x − ln x − 2 < 0
3. e2x − ex − 2 < 0
Exercice 1.29 Résoudre dans R
1. ln(4x + 1) ln(x + 2) − 2 ln(3x) = 0
2. 2 ln(x + 4) > ln(2 − x)
3. 2e2x + ex − 105 = 0
Exercice 1.30 Déterminer l’ensemble {x ∈ R : f(x) > 0} pour
a. f(x) =1 + ln x
xb. f(x) = ln x − 3(ln x)2 c. f(x) = ln
(2 + x
2 − x
)
Exercice 1.31 Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes :
1.) x 7→ x ln(x − 1)
2.) x 7→ ln(√
x2 + 1 − x)3.) x 7→ e
xx−1
4.) x 7→x + 2ex
5.) x 7→x2 + 3ex − 1
6.) x 7→ x − ln(1 − x) + 2x
5. Fonctions définies par intervalles
Définition 17:
On appelle fonction en escalier toute fonction constante par intervalles.
Exemple 13 : La fonction f(x) =
−2 si −8 6 x < −2
6 si −2 6 x 6 0
3 si 0 < x < 4
1 si 4 6 x
est constante par intervalles.
2
4
6
−2
2 4 6 8−2−4−6−8x
y
O ~i
~j
37
Définition 18:Soit E un sous-ensemble de R. La fonction dite « caractéristique » de l’ensemble E est définie par
χE(t) =
1 si t ∈ E
0 si t /∈ E
Exemple 14 : Tracer le graphe de la fonction χ[1.5,3].
1
2
−1
1 2 3 4−1−2x
y
χE(t)
Définition 19:
La fonction échelon unité est U(t) =
1 si t > 0
0 sinon.
Elle est la fonction caractéristique de l’ensemble [0, +∞[.
Propriété 11:
Une combinaison linéaire de fonctions en escalier est une fonction en escalier.
Propriété 12:
Toute fonction en escalier est combinaison linéaire de fonctions caractéristiques d’ensembles disjoints.
Ex. guidé 24 : Exprimer f(x) = χ[−4,1] + χ[−2,0] comme combinaison de fonctions caractéristiques d’ensemblesdisjoints.
38
On remarque que f est une combinaison linéaire de deux fonctions en escalier (χ[−4,1] et χ[−2,0]) et doncelle est une fonction en escalier.Elle est définie par des fonctions sur des ensembles non disjoints. On va donc étudier au cas par cas sesvaleurs.
x −∞ −4 −2 0 1 +∞
χ[−4,1] 0 1 1 1 1 1 1 1 0
χ[−2,0] 0 0 0 1 1 1 0 0 0
f(x) 0 1 1 2 2 2 1 1 0
Alors f(x) = χ[−4,2[ + 2χ[−2,0] + χ]0,1].
Ex. guidé 25 : Combien vaut la fonction 3χ[−2,4] ?
Elle vaut le triple de la fonction χ[−2,4]. Cela nous donne 3 pour x ∈ [−2, 4] et 0 ailleurs.
Ex. guidé 26 : Exprimer f(x) = −2χ[−8,−1[ +6χ[−4,0] +3χ]−6,4[ comme combinaison de fonctions caractéristiquesd’ensembles disjoints.
En utilisant un tableau on a f(x) = −2χ[−8;−6[ + χ[−6;−4[ + 7χ[−4;−1[ + 9χ[−1,0] + 3χ[0,4[.
Propriété 13:
χ[a,b[ = χ[a;+∞[ − χ[b;+∞[.
Propriété 14:
A l’aide des fonctions caractéristiques d’ensembles on peut exprimer des fonctions définies par intervalles.
Ex. guidé 27 : Ecrire à l’aide des fonctions caractéristiques d’ensembles la fonction f(x) qui vaut 3ex pour x > 0et 0 ailleurs.
f(x) = 3exχ[0,+∞[.
Exemple 15 : La fonction f(x) =
{x2, x > 1
ex, x < 1peut s’exprimer comme x2χ[1,+∞[ + exχ]−∞,1[.
Ex. guidé 28 : Expliciter la fonction f(x) = 3 + x4χ[−2,+∞[.
39
f vaut 3 + x4 sur l’intervalle [−2, +∞[ et 3 sur l’intervalle ] −∞,−2[, c’est-à-dire
f(x) =
{3 + x4, x > −2
3 x < −2
Ex. guidé 29 : Soit f(x) la fonction dont le graphe est le suivant. Exprimer f à l’aide des fonctions caractéristiquesd’ensembles.
2
4
6
−22 4−2−4−6−8−10
x
y
O ~i
~j
f(x) vautx
4+ 2 pour x < 0 et 2 − x pour 0 6 x 6 2. Par conséquent f(x) =
(x
4+ 2)
χ[−8,0] + (x − 2)χ[0,2].
Ex. guidé 30 : Ecrire la fonction f(x) = 2xχ[1,+∞[ − χ[−1,3[ à l’aide de fonctions caractéristiques d’intervalledijoints.
x −∞ −1 1 3 +∞
2xχ[1,+∞[ 0 0 0 2 2x 6 2x
−χ[−1,3[ 0 −1 −1 −1 −1 0 0
f(x) 0 −1 −1 1 2x − 1 6 2x
Par conséquent f(x) = −χ[−1,1[ + (2x − 1)χ[1,3[ + 2xχ[3,+∞[.
Exercices
Exercice 1.32 Représenter le graphe de la fonction f(x) = χ[−2,4] + 3χ[5,8[.
Exercice 1.33 Représenter le graphe de la fonction f(x) = 3χ[0,1] − 2χ[−2,4[.
Exercice 1.34 Exprimer la fonction f(x) = 3χ[0,1] − 2χ[−3,1] comme combinaison de fonction caractéristiquesd’intervalles infinis.
Exercice 1.35 Représenter le graphe de la fonction f(x) = xχ[0,1] − x2χ[−2,3] + ln xχ[1,+∞[.
40
Exercice 1.36 Exprimer chacun des signaux suivants à l’aide de fonctions caractéristiques d’intervalles infinis.
1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
f(t) = t3
1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
IV - Transformations sur les graphes
TranslationsSoit Cf le graphe d’une fonction f dans un repére (O;−→ı ,−→ ).
➔ Le graphe de x → f(x + d) s’obtient par translation de vecteur −d−→i de Cf .
➔ Le graphe de x → f(x) + c s’obtient par translation de vecteur c−→j de Cf .
x
y
O ~i
~jX
Y
(Cf ) : y = f(x)
y = f(x) + c
y = f(x + d)
c ∙−→j
A−d ∙
−→i
Remarque?????
Si d > 0 on fait une translation vers la gauche ; si d < 0 on fait une translation vers la droite.Si c > 0 on fait une translation vers le haut ; si c < 0 on fait une translation vers le bas.
Ex. guidé 31 : Comment peut-on obtenir le graphe de f(x) = (x + 2)2 + 3 à partir de celui de y = x2 ?
x2 (x + 2)2 (x + 2)2 + 3.Dans l’ordre on effectue :➥ une translation à gauche du graphe de la fonction x → x2
➥ une translation en haut du graphe de la fonction x → (x + 2)2.
Ex. guidé 32 : Quel est le graphe de la fonction t → U(t − 1) ?
41
On effectue une translation à droite du graphe de la fonction t → U(t− 1). Par conséquent U(t− 1) vaut1 pour t > 1 et 0 ailleurs.
Remarque?? On peut exprimer la fonction χ[a,b[ comme U(x − a) − U(x − b).
Symétries
Soit Cf le graphe d’une fonction f dans un repére (O;−→ı ,−→ ).
➔ Le graphe de x → f(−x) s’obtient par symétrie d’axe(O−→j)à partir de Cf .
➔ Le graphe de x → −f(x) s’obtient par symétrie d’axe(O−→i)à partir de Cf .
x
y
O ~i
~jX
Y
(Cf ) : y = f(x)
y = −f(x)
y = f(−x)
Ex. guidé 33 : Comment peut-on obtenir le graphe de f(x) = −e−x à partir de celui de y = ex ?
ex e−x −e−x.Dans l’ordre on effectue :➥ une symétrie par rapport à l’axe des y du graphe de la fonction x → ex
➥ une symétrie par rapport à l’axe des x du graphe de la fonction x → e−x
42
DilatationsSoit Cf le graphe d’une fonction f dans un repére (O;−→ı ,−→ ).
➔ Le graphe de la fonction x 7−→ f(kx) s’obtient par dilatation de de direction(O−→i)
de la courbe Cf .
➔ Le graphe de la fonction x 7−→ kf(x) s’obtient par dilatation de de direction(O−→j)
de la courbe Cf .
x
y
O ~i
~jX
Y
(Cf ) : y = f(x)
y = kf(x)
y = f(kx)
Ex. guidé 34 : Comment peut-on obtenir le graphe de f(x) = 3e2x à partir de celui de y = ex ?
ex e2x 3e2x.Dans l’ordre on effectue :➥ une dilatation en direction des x du graphe de la fonction x → ex
➥ une dilatation en direction des y du graphe de la fonction x → e2x
Ex. guidé 35 : Comment peut-on tracer le graphe de f(x) = 3√
x + 1 − 2 à partir de celui de y(x) =√
x ?
√x y1(x) =
√x + 1 y2(x) = 3
√x + 1 y(x) = 3
√x + 1 − 2
Dans l’ordre on effectue :➥ une translation à gauche du graphe de la fonction x →
√x
➥ une dilatation en direction des y du graphe de la fonction x →√
x + 1➥ une translation vers le bas du graphe de la fonction x → 3
√x + 1
Ex. guidé 36 : Comment peut-on tracer le graphe de y = f(ax + b) à partir de celui de y = f(x) ?
43
Première méthode : on effectue dans l’ordre :➥ une translation de vecteur −b~i du graphe de la fonction x → f(x)➥ une dilatation dans la direction des x du graphe de la fonction x → f(x + b).
Deuxième méthode : on observe que f(ax + b) = f
(
a
(
x +b
a
))
.
Par conséquent on effectue dans l’ordre :
➥ une dilatation dans la direction des x du graphe de la fonction x → f(x)
➥ une translation en direction des x de vecteur −b
a~i du graphe de la fonction x → f(ax).
Aurait-on pu tracer le graphe à travers une dilatation dans la direction des x de facteur a et ensuite unetranslation de vecteur −b~i ?
Application physiqueL’évolution de la différence de potentiel lors de la charge d’un condensateur est décrite par V (t) =
E(1 − e−t/τ ) où E et τ sont des constantes positives qui dépendent du condensateur et des conditionsinitiales.
Exemple 16 : Tracer le graphe de V (t) à partir de celui de y(t) = et dans le plan (t, y).
et y1(t) = et/τ y2(t) = e−t/τ y3(t) = −e−t/τ y4(t) = 1 − e−t/τ
y5(t) = E(1 − e−t/τ ) = V (t)Dans l’ordre on effectue :➥ une dilatation en direction des t du graphe de la fonction t → et
➥ une symétrie par rapport à l’axe des y du graphe de la fonction t → et/τ
➥ une symétrie par rapport l’axe des t du graphe de la fonction t → e−t/τ
➥ une translation le long des y de vecteur ~j du graphe de la fonction t → −e−t/τ
➥ une dilatation en direction des y du graphe de la fonction t → 1 − e−t/τ
Exercices
Exercice 1.37 Tracer le graphe des fonctions suivantes à partir de courbes usuelles :
a. f(x) = x2 + 3
b. f(x) = x3 + 5
c. f(x) = (x + 2)3
d. f(x) = ex−2
e. f(x) = 3x2
f. f(x) = −x4
g. f(x) = (−3x)3
h. f(x) = e−2x
i. f(x) = 3 ln(x)
j. f(x) = 2x2 + 3
k. f(x) = 3|x + 2| − 4
l. f(x) = e−2(x+3)
Exercice 1.38 Exprimer les signaux ci-dessus en utilisant des translations de la fonction echelon unité.
1
2
3
4
−1 1 2 3 4−1−2−3−4−5
f(t) = t21
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
f(t) = t2
44
Chapitre 2Trigonométrie
SommaireI - Les angles et le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II - Définition des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47III - Des formules importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51IV - Graphes des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
MotivationsUn signal périodique quelconque peut s’écrire sous la forme de combinaisons linéaires de sinus et decosinus :
∞∑
k=0
ak sin(2πfkt − ϕk) "série de Fourier" du signal
d’où l’importance d’étudier les fonctions sinus et cosinus en trigonométrie !
La trigonométrie est ainsi présente dans des matières comme l’électricité ou l’électronique, par exemple.
I - Les angles et le cercle trigonométrique
Définition 1:Dans un repère orthonormé (O;−→ı ,−→ ), le cercle trigonométrique est le cercle de centre Oet de rayon 1, muni d’une orientation. Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d’une montre.La mesure en radians de l’angle géométrique AOM est égale à la longueur de l’arc AM .On la notera « mes
(AOM
)».
On prendra cette unité par défaut, bien qu’il en existe d’autres (grades et degrés) :
180◦ = π rd(= 200gr)
45
A
M
1
α
0
+AM = α
Ex. guidé 1 : Compléter le tableau ci-dessous :
Mesure en degrés 180 30 45 60 90 360 x
Mesure en radians ππ
6π
4π
3π
22π
πx
180
Ex. guidé 2 : Retrouver les angles ci-dessous (en radians) par symétries
+
0
π
6
π
4
π
3
π
2
5π
6
3π
4
2π
3
π
7π
65π
4 4π
33π
2
11π
67π
45π
3
46
Ex. guidé 3 : Placer les angles suivants sur le cercle :25π
3;15π
4; 3720◦;
59π
2;−465π
6
+
25π
33720◦
π
−465π
6
59π
2
15π
4
II - Définition des fonctions trigonométriques1. Approche en géométrie non orientée
Formules du triangle rectangle
Hypothénuse
θAdjacent
Opposé
A
B
C
sin(θ) =AB
BC=
Opp
Hyp
cos(θ) =AC
BC=
Adj
Hyp
tan(θ) =AB
BC=
Opp
Adj
Théorème de Al-KashiSoient a, b, c les cotés d’un triangle quelconque.
Alors c2 = a2 + b2 − 2ab ∙ cos θ, si θ est l’angle entre les cotés a et b.
a
θb
c
A
B
C
47
La formule fondamentale de la trigonométrie
Le théorème de Pythagore donne AB2 + AC2 = BC2. On en déduit, en divisant par BC2, un résultatessentiel :
cos2(θ) + sin2(θ) = 1
Ex. guidé 4 : Soit un triangle (ABC) rectangle en A tel que mes(ACB
)=
π
3rd. A l’aide de ce triangle, calculer
les lignes trigonométriques deπ
3puis en déduire celles de
π
6.
π
3
B
ADC
π
6
triangle équilatéral
La somme des angles d’un triangle vaut π . Donc mes(ABC
)= π −
π
2−
π
3=
π
6On construit par symétrie
par rapport au segment AB le triangle BAD. Alors le triangle BDC est équilateral ce qui implique que
AC = AD =12BC. Avant de calculer les lignes trigonométriques on observe que les valeurs à obtenir
sont positives. On en déduit
cos
(π
3
)
=1
2
sin2
(π
3
)
= 1 − cos2(
π
3
)
=3
4⇒ sin
(π
3
)
=
√3
2
tan
(π
3
)
=
sin
(π
3
)
cos
(π
3
) =√
3
sin
(π
6
)
=1
2; cos
(π
6
)
=
√3
2et tan
(π
6
)
=1√
3
Ex. guidé 5 : Trouver les lignes deπ
4à l’aide d’un triangle rectangle isocèle.
π
4
B
A C
π
4
triangle rectangle isocèle
48
On a AC = AB et donc BC2 = 2AC2 ce qui implique queAB
BC=
AC
BC=
√2
2. On en déduit que
cos
(π
4
)
=1√
2
sin
(π
4
)
=1√
2
2. Approche en géométrie orientée
Définition 2:
Considérons le cercle trigonométrique dans le repére (O,~i,~j) du plan. Soient M un point du cercle etθ = mes(O~i,
−−→OM). On pose
➔ cos(θ) l’abscisse du point M
➔ sin(θ) l’ordonnée du point M
➔ tan(θ) =sin(θ)
cos(θ)pour θ tel que cos(θ) 6= 0.
+
r = 1
M A
BMx
My
θ
︸ ︷︷ ︸x = cos θ
y = sin θ
O
−→j
−→i
tan θ
Théorème 1:
➔ sin(θ + 2kπ) = sin(θ) ;
➔ cos(θ + 2kπ) = cos(θ) avec k ∈ Z ;
➔ sin2(θ) + cos2(θ) = 1 pour tout θ.
Remarque?????
Par similitude on peut montrer que tan θ est l’ordonnée du point d’intersection entre la droite x = 1 et ladroite par OM .
49
Remarque?????
Si on considere un cercle de centre l’origine et rayon r, alors les coordonnées de ses points P seront(r cos θ, r sin θ) ou θ est l’angle formé entre l’axe des x et la droite par OP.
Remarque?????
Pour des angles aigus on retrouve les notions de cosinus et sinus données avant dans des triangles rec-tangles.
Ex. guidé 6 : Soit x un nombre réel de l’intervalle [0, π] tel que cos x =3
5. Déterminer la valeur exacte de sin x.
On a cos2 x + sin2 x = 1 ⇒ sin x = ±√
1 − cos2 x.
Comme x ∈ [0, π] alors sin x > 0 et donc sin x =√
1 − cos2 x =4
5.
Théorème 2: Les arcs associés
sin(−θ) = − sin θ cos(−θ) = cos θ tan(−θ) = − tan θ
sin(π − θ) = sin θ cos(π − θ) = − cos θ tan(π − θ) = − tan θ
sin(π + θ) = − sin θ cos(π + θ) = − cos θ tan(π + θ) = tan θ
sin
(π
2− θ
)
= cos θ cos
(π
2− θ
)
= sin θ tan
(π
2− θ
)
= cot θ
sin
(π
2+ θ
)
= cos θ cos
(π
2+ θ
)
= − sin θ tan
(π
2+ θ
)
= − cot θ
0
θ
π
2− θ
π
2
π − θ
π
2+ θ
π
π + θ
θ +π
2 3π
2
−θ
θ −π
2
Exercices
Exercice 2.1 Soit x un nombre réel de l’intervalle [−π, 0] tel que cos x =3
5. Déterminer la valeur exacte de
sin x.
50
Exercice 2.2 Soit y(x) = mx. Soient A = (1, 0) et M = (1,m). Montrer que m = tan(θ), où θ = mes(MOA)(avec la convention de signe fixée dans le cercle trigonométrique).Suggestion : Montrer d’abord que |m| = | tan θ|.
Exercice 2.3 a. Sachant que sinπ
12=
√6 −
√2
4, calculer la valeur exacte de cos
π
12.
b. En déduire que tanπ
12.
c. En déduire les sinus et cosinus de a =11π
12et b =
23
12π.
Exercice 2.4 Calculer les valeurs :
1.) cos(5π)2.) sin(5π)
3.) cos
(65π
2
)
4.) sin
(65π
2
)
5.) cos
(77π
3
)
6.) sin
(77π
3
)
7.) cos
(145π
4
)
8.) sin
(145π
2
)
9.) tan
(145π
3
)
3. Une application : les coordonnées polaires
Les coordonnées polaires
Un point M du plan peut être représenté de façon unique par ses coordonnées cartésiennes (x, y) maiségalement par ses coordonnées polaires (r, θ).
θ = (Ox,−−→OM)
r =∥∥∥−−→OM
∥∥∥ =
√x2 + y2
{x = r cos θ
y = r sin θ
x
y
O −→i
−→j
−−→OM
θ
r =∥∥∥−−→OM
∥∥∥
M(x, y)
x
y
Ex. guidé 7 : Déterminer les coordonnées polaires du point A(√
3; 3)
.
r =√
x2 + y2 =√
12 = 2√
3{
x = r cos θ
y = r sin θ⇔
{√3 = 2
√3 cos θ
3 = 2√
3 sin θ⇔
cos θ =12
sin θ =
√3
2
⇒ θ =π
3
Les coordonnées polaires sont donc A =
[
2√
3;π
3
]
.
III - Des formules importantes
51
1. Equations trigonométriques
Théorème 3: Equations de base
En utilisant le cercle trigonométrique compléter trouver les solutions des équations suivantes :
➥ cos x = cos θ ⇔ x = ±θ + 2kπ➥ sin x = sin θ ⇔ x = θ + 2kπ ou x = π − θ + 2kπ➥ tan x = tan θ ⇔ x = θ + kπ
θ + 2kππ − θ + 2kπ
sin θ
θ + 2kπ
−θ + 2kπ
cos θ
Ex. guidé 8 : Résoudre :
a. cos x =
√3
2; b. sin 2x = −
1
2.
a. cos x =
√3
2⇔ cos x = cos
π
6⇔ x = ±
π
6+ 2kπ ;
b. sin 2x = −1
2⇔ sin 2x = sin
(
−π
6
)
⇔ x = −π
12+ kπ ou x =
7π
12+ kπ.
Ex. guidé 9 : Résoudre dans R : 3 cos2 x − 7 cos x + 2 = 0.
On pose X = cos x. On a 3X2 − 7X + 2 = 0 soit X = 2 ou X =13.
1. X = cos x = 2 : impossible.
2. X = cos x =13⇐⇒ x = ±α0 + 2kπ avec k ∈ Z si α0 est l’angle dans ]0, π[ tel que cos x =
13.
Ex. guidé 10 : Résoudre dans R : cos(2t − π/3) = cos 5π/6.
52
1. 2t −π
3=
5π
6+ 2kπ ⇐⇒ t =
7π
12+ kπ avec k ∈ Z
2. 2t −π
3= −
5π
6+ 2kπ ⇐⇒ t = −
π
4+ kπ avec k ∈ Z
Exercices
Exercice 2.5 Résoudre les équations suivantes (donner une approximation le cas échéant) :
1.) cos ϕ = 1/2
2.) sin x = 1/√
2
3.) sin2 t + 3 sin t + 2 = 0 (poser sin(t) = X)
4.) tan2 α + 2 tan α − 1 = 0
5.) sin(2x + π/3) = cos(2π/3)
6.) cos(2x + π/3) = − sin(5x − π/6)
7.) 3 sin x = 2 cos2 x
8.) 3 sin2 x + 7 cos x − 5 = 0
2. Inéquations trigonométriques
Résoudre l’inégalité sin x 6 a avec 0 < a < 1
Sur le cercle trigonométrique la droite y = a détermine deux angles tels que sin x = a.
x = α0 ∈ [0,π
2] et x = π − α0 ∈ [
π
2, π]
Les angles compris entre 0 et 2π vérifiant sin x 6 a sont les angles appartenant à ]0, α0[ et ]π − α0, 2π[.
0
y = a
Par 2π-périodicité les solutions de sin x 6 a sont alors ]0, α0[+2kπ et ]π − α0, 2π[+2kπ, avec k ∈ Z.
Résoudre l’inégalité sin x 6 a avec −1 6 a < 0
la droite y = a détermine deux angles tels que sinx = a :
x = β0 ∈] −π
2, 0[ et x = π − β0 ∈]π,
3π
2[
Les angles compris entre −π et π qui vérifient sin x 6 a sont alors les angles appartenant à ]π − β0, β0[.
0y = a
Par 2π-périodicité les solutions de sin x 6 a sont ]π − β0, β0[+2kπ, avec k ∈ Z.
Ex. guidé 11 : Résoudre sin x 612.
On obtient x ∈ [0, π/6] + 2kπ ou x ∈ [5π/6, 2π] + 2kπ avec k ∈ Z.
53
Résoudre l’inégalité cos x 6 a avec 0 < a < 1
Sur le cercle trigonométrique la droite x = a détermine deux angles tels que cos x = a :
x = ±α0 avec α0 ∈ [0, π/2]
Les angles compris entre 0 et 2π qui vérifient cos x 6 a sont les angles appartenant à ]α0, 2π − α0[.
0
x = a
Par 2π-périodicité les solutions de cos x 6 a sont ]α0, 2π − α0[+2kπ, avec k ∈ Z.
Résoudre l’inégalité cos x 6 a avec −1 6 a < 0
La droite y = a détermine deux angles tels que cos x = a :
x = ±β0 avec β0 ∈]π/2, π[
Les angles compris entre 0 et 2π qui vérifient cos x 6 a sont les angles appartenant à ]β0, 2π − β0[.
0
x = a
Par 2π-périodicité les solutions de cos x 6 a sont ]β0, 2π − β0[+2kπ, avec k ∈ Z.
Ex. guidé 12 : Résoudre cos x >1√
2.
Étudions d’abord l’intervalle [0, 2π]. Les angles x qui vérifient cos x >1√
2appartiennent au complémen-
taire de l’ensemble des solutions de cos x <1√
2.Par conséquent on trouve x ∈ [−π/4, π/4] + 2kπ avec
k ∈ Z.
3. Calcul des sommes et différences
Théorème 4: Les formules
➔ cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
➔ cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
➔ sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
➔ sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
➔ tan(a + b) =tan a + tan b
1 − tan a tan b
➔ tan(a − b) =tan a − tan b
1 + tan a tan b
54
Pourquoi sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b?
x
yC
E
BD
A
β
α
sin(a + b) =CD + ED
OC=
CD
OC+
ED
OC=
CD
OC
CB
CB+
ED
OC
OB
OB=
CB
OC
CD
CB+
ED
OB
OB
OC= sin b cos a + cos b sin a.Cela implique que sin(a − b) = sin(−b) cos a + cos(−b) sin a = − sin b cos a + cos b sin a.
Pourquoi cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b?
cos(a + b) = sin(a + b +
π
2
)= sin a cos(b +
π
2) + cos a sin(b +
π
2) = sin a(− sin b) + cos a cos b
= cos a cos b − sin a sin b.On en déduit que cos(a − b) = cos a cos(−b) − sin a sin(−b) = cos a cos b + sin a sin b.
Remarque??? En particulier cos(2x) = cos2 x − sin2 x; sin(2x) = 2 sin x cos x.
a. Le produit scalaire
Une application : le produit scalaire
A
a
B
b
0
a-b
Par définition−→OA ∙
−−→OB = xA ∙ xB + yA ∙ yB . Mais
xA ∙xB +yA ∙yB = ||OA|| cos a||OB|| cos b + ||OA|| sin a||OB|| sin b = ||OA||||OB||(cos a cos b + sin a sin b)
On a vu que cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. Par conséquent
−→OA ∙
−−→OB = ||OA||||OB|| cos(AOB)
Ex. guidé 13 : Soit −→u = (2, 3) et −→v = (1, 2). Calculer l’angle entre ces deux vecteurs.
55
On a que −→u ∙ −→v = 2 ∙ 1 + 3 ∙ 2 = 8 = ||u|| ∙ ||v|| cos(uv) =√
4 + 9√
1 + 4 cos(uv).
Par conséquent cos(uv) =8
√13
√5.
Exercices
Exercice 2.6 Vous avancez de 3m vers le sud, de 4m vers l’est, puis grimpez verticalement dans un arbre à 5mde haut. A quelle distance, de votre point de départ, vous retrouvez-vous ?Si vous disposiez d’une échelle pour effectuer le déplacement en ligne droite, quelle serait la mesure de l(angle
défini par l’échelle et le plan horizontal ?
4. Linéarisation
Linéariser une expression trigonométrique
Linéariser signifie « passer d’une expression composée de produits ou de puissances de sin ou cos ensommes de ces mêmes fonctions. »
Théorème 5: Linéarisation
➔ cos a cos b =1
2[cos(a + b) + cos(a − b)]
➔ sin a sin b =1
2[cos(a − b) − cos(a + b)]
➔ sin a cos b =1
2[sin(a + b) + sin(a − b)]
Ex. guidé 14 : Montrer les deux premières formules.
On sait que cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b et que cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. Si on fait lasomme et la différence membre par membre on acos(a + b) + cos(a − b) = 2 cos a cos b.cos(a + b) − cos(a − b) = 2 sin a sin b.
En on déduit : cos a cos b =1
2[cos(a + b) + cos(a − b)] et sin a sin b =
1
2[cos(a − b) − cos(a + b)].
Exemple 1 : Montrer la troisieme formule.
On sait que sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b et que sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b. Si on fait lasomme membre par membre on asin(a + b) + sin(a − b) = 2 sin a cos b.
Ex. guidé 15 : Linéariser cos2 x et sin2 x.
56
On sait que cos(2x) = cos2(x) − sin2(x) et 1 = cos2x + sin2 x. En effectuant la somme on obtient
cos2(x) =1 + cos(2x)
2
En effectuant la différence on obtient
sin2(x) =1 − cos(2x)
2
Ex. guidé 16 : Linéariser cos2 x ∙ sin x.
On sait que cos2 x =1 + cos 2x
2. Donc cos2 x ∙ sin x =
1
2(sin x + sin x cos 2x).
Or, sin a cos b =1
2[sin(a + b) + sin(a − b)], d’où
cos2 x ∙ sin x =1
2
(
sin x +1
2[sin(x + 2x) + sin(x − 2x)]
)
=1
4(sin x + sin 3x)
Exercices
Exercice 2.7 Montrer que
1.) 4 cos3 θ = 3 cos θ + cos 3θ 2.) 4 sin3 θ = 3 sin θ − sin 3θ
Théorème 6: Des formules utiles
Expressions rationnelles a Transformation de somme en produit
sin a =2t
1 + t2
cos a =1 − t2
1 + t2avec t = tan2 a
2
tan a =2t
1 − t2
cos p + cos q = 2 cosp + q
2cos
p − q
2cos p − cos q = −2 sin
p + q
2sin
p − q
2sin p + sin q = 2 sin
p + q
2cos
p − q
2sin p − sin q = 2 sin
p − q
2cos
p + q
2
A sin x + B cos x =√
A2 + B2 cos (x − α)
(où α tel que tan (α) =A
B)
a. Ces formules seront données en contrôles
Ex. guidé 17 : Résoudre : cos θ + cos(θ + π/3) > 0.
Grâce à la formule cos p + cos q = 2 cosp + q
2cos
p − q
2l’inégalité à étudier équivaut à
2 cos(θ +
π
6
)cos(π
6
)> 0 c’est-à-dire cos
(θ +
π
6
)> 0. On obtient alors θ ∈
]
−2π
3,π
3
[
+ 2kπ, avec
k ∈ Z.
57
IV - Graphes des fonctions trigonométriques1. Fonction sinus
Propriété 1:➥ Df = R➥ Im f = [−1, 1]➥ f est impaire : sin(−x) = sin(x)➥ f est de 2π-périodique
Construction de la fonction sinus
1
−1
−2
x
y
O ~i
~j
π
2π
1
−1
−2
x
y
O ~i
~j
π
2π
−π
2−π
1
−1
x
y
O ~i
~j
π
2π
−π
2−π−2π
−2π
2π
2. Fonction cosinus
Propriété 2:➥ Df = R➥ Im f = [−1, 1]➥ f est paire➥ f est de 2π-périodique
1
−1
x
y
O ~i
~j
π
2π−
π
2
−π
−2π −2π
2π
58
3. Fonction tangente
Propriété 3:
➥ Df = R \{π
2+ kπ, k ∈ Z
}
➥ Im f = R➥ f est impaire➥ f est π-périodique
1
2
3
−1
−2
−3
−4
x
y
O ~i
~j
y = tan x
y = tan x
y = tan x
π
2π−
π
2
−π
−2π −2π
Ex. guidé 18 : Tracer le graphe de f(x) =12
sin(2x).
On trace la courbe à travers les étapes suivantes :
➥ dilatation horizontale de12
➥ dilatation vertical de12.
−1
x
yπ
2
π
−π
2−π
π
Ex. guidé 19 : Représenter g(x) = cos(3x +
π
4
).
59
On trace la courbe à travers les étapes suivantes :➥ dilatation horizontale de 3
➥ translation de −π
12−→i .
ou sinon
➥ translation de −π
4−→i .
➥ dilatation horizontale de 3
−1
x
yπ
2
π
−π
2−π
2π/3Application à l’électricitéOn considère une intensité de courant i(t) = I cos(ωt+ϕi) et une tension u(t) = U cos(ωt+ϕu), avec
ϕi, ϕu, ω positifs. On définit le déphasage de i par rapport à u comme ϕ = ϕu − ϕi. Selon le signe de ϕ,dire si u est en phase, en avance ou en retard sur i.
On peut écrire i(t) = I cos(ω(t +
ϕi
ω
))et u(t) = U cos
(ω(t +
ϕu
ω
)). Dans les deux cas, ces courbes s’obtiennent
à partir du graphe de t → cos t à travers, en ordre :
1. une translation de vecteur −ϕi
ω~i ou −
ϕu
ω~i (translation à gauche le long de l’axe des x)
2. une dilatation de facteur1
ωle long de l’axe des x
3. une dilatation de facteur I ou U le long de l’axe des y.
Alors➥ si ϕi < ϕu, le graphe de u(t) se trouve à gauche du graphe de i(t), c’est-à-dire que u(t) est en avance sur i(t) ;➥ si ϕi > ϕu, le graphe de i(t) se trouve à gauche du graphe de u(t), c’est-à-dire que i(t) est en avance sur u(t) ;➥ si ϕi = ϕu, le graphe de i(t) se trouve en phase avec le graphe de u(t).
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8−1 x
y
O ~i
~j
Ico
s(ωt+
ϕ) t
y =cos
(t)
y = cos(ω
t)
y=
Ico
s(ωt)
−ϕ
ω~i
I
T
Ex. guidé 20 : Le graphe bleu ci-dessous correspond au graphe de la fonction f(t) = A sin(ωt + ϕ). DéterminerA, ω et ϕ.
60
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8−1
t
A sin(ωt + ϕ)
y=
sin(ω
t)∣∣∣∣∣ϕ
ω
∣∣∣∣∣
A
T
1. A = 3
2. f(t −
ϕ
ω
)= A sin(ωt). Par conséquent f(t) = A sin (ωt − |ϕ|) avec ω > 0.
3. La période2π
ωde A sin(ωt) vaut à 105mm sur la figure. Par conséquent ω =
2π
105
4. Sur la figure
∣∣∣∣∣ϕ
ω
∣∣∣∣∣= 40mm. Ainsi |ϕ| = 40ω = 40
2π
105.
Exercices
Exercice 2.8 Donner l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
1.) x 7→1
cos x
2.) x 7→ ex sin(2x)
3.) x 7→sin x + cos x
cos x − sin x
4.) x 7→ 2 cos2(3x +
π
3
)
Exercice 2.9 Les fonctions x → sin x et x → cos x, définies sur R, sont-elles bornées ?
Exercice 2.10 Tracer le graphe des fonctions suivantes à partir de fonctions usuelles :
a. f(x) = sin(x) − 2b. f(x) = sin(x − 1)c. f(x) = 2 sin(x)d. f(x) = −2 cos(x)
e. f(x) = sin(x
2
)
f. f(x) = cos(3x)
g. f(x) = tan(2x)
h. f(x) = cos(3x) + 2
i. f(x) = 3 tan(−2x) + 5
61
Chapitre 3Nombres complexes
SommaireI - Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62II - Forme algébrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62III - Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66IV - Forme exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70V - Formules de Moivre et d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72VI - Equations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72VII -Racine n-ème d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75VIII -Transformations dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
MotivationsLa notation complexe des grandeurs physiques comme le courant, la tension, l’impédance permet de lesmanier plus facilement (en particulier cela simplifie les opérations comme la somme, le produit, ou ladérivation ...).
I - Définition et propriétés
Définition 1:On définit l’ensemble C par
{x + iy ; (x, y) ∈ R2 ; i2 = −1
}.
➤ Ses éléments sont appelés nombres complexes.
➤ Il contient le nombre i vérifiant i2 = −1 .
Remarque????????????????
Les ensembles N,Z,Q,R sont inclus dans C :
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C .
Un peu d’histoire : La notation i fut introduite par Euler en 1777, puis reprise par Gauss au débutdu XIXème siècle. Cependant, le premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartesen 1637.
II - Forme algébrique d’un nombre complexe
62
1. Définition
Définition 2:Chaque élément z de l’ensemble C s’écrit de manière unique z = a + ib, a et b étant des réels.
➤ a est appelé partie réelle de z et est noté Re (z),
➤ b est appelé partie imaginaire de z et est noté Im (z).
Remarque????????
Nombres particuliers :➥ si b = 0, on a z = a, z est donc réel➥ si a = 0, on a z = ib, on dit que z est un imaginaire pur
Ex. guidé 1 : Dans chacun des exemples suivants, donner la partie réelle et la partie imaginaire :
z = 2 + 3i a = 2 b = 3
z = −1 +12i a = −1 b =
12
z = −i a = 0 b = −1
z = π a = π b = 0
z = 4i −13
a = −13
b = 4
2. Représentation graphique
Définition 3:
Soit (O;−→ı ,−→ ) un repère orthonormal direct. Au point M (au vecteur−−→OM) de coordonnées (a, b) on
peut associer le nombre complexez = a + ib. On dit que z = a + ib est l’affixe du point M (du vecteur
−−→OM).
Lorsqu’on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu’onse place dans le plan complexe.
x
y
0 −→i
−→j
−−→OM
M(z = a + ib)
a
b
63
Ex. guidé 2 : Placer dans le plan complexe les points Mi d’affixes zi :
z1 = 2 + 3i
z2 = 3 + i
z3 = −1 + 2i
z4 = 2 − i
z5 = i
z6 = −2i
z7 = −2
z8 = −i − 3
x
y
O 1
i
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
M8
Propriété 1:Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partieimaginaire :
z = z′ ⇔ a + ib = a′ + ib′ ⇔ a = a′ et b = b′.
En particulier z = 0 ⇔ a = b = 0.
3. Premiers calculs
Propriété 2:Soient z = a + ib, z′ = a′ + ib′ et k un réel. Alors
➔ z + z′ = (a + a′) + i(b + b′)
➔ z − z′ = (a − a′) + i(b − b′)
➔ kz = ka + ikb
➔ zz′ = (aa′ − bb′) + i(ab′ + a′b)
Ex. guidé 3 : Soient z = 2 + 3i et z′ = i − 5. On a :
➔ z + z′ = 2 + 3i + i − 5 = −3 + 4i
➔ z − z′ = 2 + 3i − (i − 5) = 2 + 3i − i + 5 = 7 + 2i
➔ 2z − 3z′ = 2(2 + 3i) − 3(i − 5) = 4 + 6i − 3i + 15 = 19 + 3i
➔ zz′ = (2 + 3i)(i − 5) = 2i − 10 + 3i2 − 15i = 2i − 10 − 3 − 15i = −13 − 13i
➔ z2 = (2 + 3i)2 = 22 + 2 × 2 × 3i + (3i)2 = 4 + 12i + 9i2 = 4 + 12i − 9 = −5 + 12i
Au contraire que dans R les inégalités entre nombres complexes n’ont pas de sens. Par exemple on ne dirapas que z = a + ib est positif ou négatif ou que z est supérieur à un autre nombre complexe.
64
4. Conjugué et inverse d’un complexe
Définition 4:On appelle conjugué du nombre complexe z = a + ib le nombre z = a − ib.
Géométriquement, si M1 est le point d’affixe z, le point M2 d’affixe z est le symétrique de M1 par rapportà l’axe des abscisses.
x
y
0 −→u
−→v
M1(z)
M2(z)
Ex. guidé 4 : Soient z = 3 + 5i et z′ = −2 + 3i. Alors
➔ z + z′ = (3 + 5i) + (−2 + 3i) = 1 + 8i
➔ z × z′ = (3 + 5i) × (−2 + 3i) = −6 + 9i − 10i + 15i2 = −6 − i − 15 = −21 − i
➔ z = 3 − 5i
➔ z′ = −2 − 3i
➔ z + z′ = (3 − 5i) + (−2 − 3i) = 1 − 8i
➔ z + z′ = 1 − 8i
➔ z × z′ = (3 − 5i) × (−2 − 3i) = −6 − 9i + 10i + 15i2 = −6 + i − 15 = −21 + i
➔ z × z′ = −21 + i
Propriété 3:Soient z et z′ deux nombres complexes. Alors :
➔ z + z′ = z + z′
➔ z × z′ = z × z′
➔ z = z
➔ z ∈ R⇐⇒ z = z
➔ z ∈ iR⇐⇒ z = −z
➔ Re (z) =12(z + z)
➔ Im (z) =12i
(z − z)
➔ z ∙ z ∈ R
Remarque?? Soit z = a + ib. Alors zz = a2 + b2.
65
Définition 5: inverse d’un nombre complexeSoit z = a + ib. On définit
1z
=z
zz=
z
a2 + b2=
a − ib
a2 + b2.
Ex. guidé 5 : Résoudre l’équation (3 + 2i)z = 1 + i.
On a z =1 + i
3 + 2i=
5 + i
13.
Ex. guidé 6 : ➔1
1 + i=
1 − i
(1 + i)(1 − i)=
1 − i
2=
12−
12i
➔1
2 − 3i=
2 + 3i
(2 − 3i)(2 + 3i)=
2 + 3i
13=
213
+313
i
➔2i
=2 ×−i
i ×−i=
−2i
1= −2i
➔2 + i
−3 + i=
(2 + i)(−3 − i)(−3 + i)(−3 − i)
=−6 − 2i − 3i + 1
10=
−5 − 5i
10= −
12−
12i
Propriété 4:Soit z et z′ deux nombres complexes, alors :
➔
(1z
)
=1z. ➔
( z
z′
)=
z
z′.
Exercices
Exercice 3.1 Résoudre les équations suivantes :
1.) (3 + 2i)z = 2 − i
2.) iz + 2 − 5i = 0
3.) 3 + 4iz = −3 + 2i
4.) 3i + 7z = 4
III - Forme trigonométrique d’un nombre complexe1. Module d’un nombre complexe
Définition 6:
Le module du complexe z = a + ib est le réel positif noté |z| tel que |z| =√
z z =√
a2 + b2.
Remarque????Soit M l’affixe du nombre complexe z. Le module de z est la distance entre M et O. La notion de moduledans C se confond avec la valeur absolue dans R.
66
Ex. guidé 7 : ➔ |3 + 4i| =√
32 + 42 =√
9 + 16 =√
25 = 5
➔ |1 − i| =√
12 + (−1)2 =√
1 + 1 =√
2
➔ |−5 − 2i| =√
(−5)2 + (−2)2 =√
25 + 4 =√
29
➔ |−5| = 5
➔ |9i| =√
02 + 92 =√
81 = 9
Propriété 5:➔ |z| = 0 ⇔ z = 0.
➔ |−z| = |z| et |z| = |z|.
➔ |z × z′| = |z| × |z′|.
➔
∣∣∣∣1z
∣∣∣∣ =
1|z|.
➔∣∣∣z
z′
∣∣∣ =
|z||z′|.
2. Argument d’un complexe non nul
Définition 7:Soit z = a + ib un nombre complexe et M le point d’affixe z.
➤ On appelle argument de z l’angle θ que le vecteur−−→OM forme avec l’axe des x.
➤ On note θ = arg(z).
x
y
0
M(z)
θ = arg(z)
Propriété 6:
Si z 6= 0 alors θ vérifie :
cos θ =a
√a2 + b2
sin θ =b
√a2 + b2
c’est-a-dire tan θ =b
a.
Propriété 7:Soit z = a + ib. Soit arg z ∈ [0; 2π[.
➔ Si a, b > 0 alors arg(z) ∈ ]0, π/2[.
➔ Si a < 0 et b > 0 alors arg(z) ∈ ]π/2, π[.
➔ Si a < 0 et b < 0 alors arg(z) ∈ ]π, 3π/2[.
➔ Si a > 0 et b < 0 alors arg(z) ∈ ]3π/2, 2π[.
Propriété 8:➔ arg(zz′) = arg(z) + arg(z′)
➔ arg
(1z
)
= arg(z) = − arg(z)
➔ arg( z
z′
)= arg(z) − arg(z′)
67
Exemple 1 : D’après l’exemple précédent, on obtient :
➔ arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) =π
4+
π
3=
7π
12
➔ arg
(1z1
)
= − arg z1 = −π
4
➔ arg
(z1
z2
)
= arg z1 − arg z2 =π
4−
π
3= −
π
12
Ex. guidé 8 : Soit ω un réel positif. Calculer le module et l’argument de
1. z =2
1 + 3iω;
2. z =1
(1 + 0, 5iω)2.
1. |z| =2
|1 + 3iω|=
2√
1 + 9ω2;
arg(z) = arg(2) − arg(1 + 3iω) = − arg(1 + 3iω) qui est l’opposé de l’angle dans [0, π/2] dont latangente vaut 3ω.
2. |z| =1
|(1 + 0, 5iω)2|=
1√
(1 − 0, 25ω)2 + ω2=
1√
1 + 1, 625ω2 − 0, 5ω;
arg(z) = −2 arg(1 + 0, 5iω) ou arg(1 + 0, 5iω) est l’angle dans [0, π/2] dont la tangente vaut 0, 5ω.
Exercices
Exercice 3.2 Soient z = 1 + i√
3 et z′ =√
3 + i. Déterminer le module et l’argument de z, z′, zz′ etz
z′.
Exercice 3.3 Soit ω un réel positif. Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants :
1. z =0, 5
iω(1 + 2iω)
2. z =1
(1 + 2iω)(1 + 3iω)
Exercice 3.4 Quel est l’ensemble des points M(x, y) du plan R2 dont l’affixe z vérifie : |z − 3| = 4 ?
Exercice 3.5 Déterminer l’ensemble des points M(x, y) du plan R2 dont l’affixe z vérifie : |z − 4| = |z + 2i|.
68
3. Ecriture trigonométrique
Définition 8:Tout nombre complexe non nul z = a + ib peut-être écrit sous la forme z = r(cos θ + i sin θ) avec :
➤ arg(z) = θ ∈ R est l’argument de z
➤ |z| = r ∈ R+∗ est le module de z
cette écriture s’appelle la forme trigonométrique de z.
x
y
0 −→u
−→vr =
√a2 + b2
M(z)
θ
a = r cos θ
b = r sin θ
La donnée du couple (r, θ) caractérise le point M . On observe que M est un point du cercle de centrel’origine et rayon r = |z|.
Passage d’une forme à l’autre
➔ Trouver la forme trigonométrique de a + ib : r =√
a2 + b2 et
cos θ =a
√a2 + b2
,
sin θ =b
√a2 + b2
.
➔ Trouver la forme algébrique de z = r(cos θ + i sin θ) :
{a = r cos θ
b = r sin θ
Ex. guidé 9 : Trouver la forme trigonométrique de z1 = 1 − i.
z1 = 1 − i :
|1 − i| =√
2
tan θ = −1
θ ∈ [−π
2, 0]
Donc r =√
2 et θ = −π
4.
En conclusion 1 − i =√
2[cos(−
π
4
)+ i sin
(−
π
4
)].
Ex. guidé 10 : En visualisant l’affixe des nombres complexes 1 et i calculer leur modules et arguments.
➔ 1 a pour module 1 et argument 0
➔ i a pour module 1 et argumentπ
2➔ −1 a pour module 1 et argument π
➔ −i a pour module 1 et argument −π
2
69
Exercices
Exercice 3.6 Trouver la forme trigonométrique de z =√
3 + i.
IV - Forme exponentielle d’un nombre complexe1. Définitions
Définition 9: Exponentielle d’un nombre complexe
Soit z = a + ib, a, b ∈ R. On définit ez = ea+ib = ea(cos b + i sin b).
Définition 10:Soit z = a + ib un nombre complexe non nul de module r = |z| et d’argument θ = arg(z).Alors z = r eiθ. Cette écriture est appelée notation exponentielle de z.
z = a + ib = reiθ = r (cos θ + i sin θ)
Ex. guidé 11 : Donner différentes écritures des nombres complexes suivants :
Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle
1 − i√
2[cos(−
π
4
)+ i sin
(−
π
4
)] √2 e−i π
4
√3 + i 2
[cos(π
6
)+ i sin
(π
6
)]2 ei π
6
Ex. guidé 12 : Trouver la forme algébrique de z = 4 ei 3π4 .
➔ z = 4
[
cos
(3π
4
)
+ i sin
(3π
4
)]
➔ z = 4
(
−
√2
2+ i
√2
2
)
➔ z = −2√
2 + 2i√
2.
Ex. guidé 13 : Trouver la forme algébrique de z1 = e3+i π4 et z2 = −e1+i.
➔ z1 = e3ei = e3(cos
π
4+ i sin
π
4
)
➔ z2 = e1ei(π+1) = e (cos(π + 1) + i sin(π + 1))
70
Application physique
Soient le signal sinusoïdal f(t) = A sin(ωt + ϕ) et le nombre complexe z = Aei(ωt+ϕ). Quelle est larelation entre f et z ?
Grâce à la définition d’exponentielle complexe
z = Aei(ωt+ϕ) = A cos(ωt + ϕ) + iA sin(ωt + ϕ)
Par conséquent f(t) est l’ordonnée de l’affixe du point z.La représentation du signal f(t) à travers le nombre complexe z est souvent utilisée en électricité.
x
y ∥∥∥~
OM
∥∥∥ =A
0 −→i
−→j
−−→OM
M(z = Aei(ωt+ϕ))
A cos(ωt + ϕ)
A sin(ωt + ϕ)
φ = arg(z)
2. Règles de calcul en notation exponentielle
Propriété 9:Pour tous θ, θ′ ∈ R, tous r, r′ ∈ R+
∗ , tout n ∈ N :
➔ r eiθ × r′ eiθ′
= rr′ ei(θ+θ′).
➔(r eiθ
)n= rn einθ.
➔r eiθ
r′ eiθ′ =r
r′ei(θ−θ′).
Remarque???????
Pour les calculs du type "somme" ou "différence" de deux nombres complexes, on utilisera la formealgébrique.On préférera la forme exponentielle pour les calculs de produits ou de quotients.
Ex. guidé 14 : Soient z1 = 2 ei π3 et z2 = 2
√3 ei π
6 . Alors
➔ z1z2 = 2 × 2√
3 ei(π3 + π
6 ) = 4√
3 ei π2
➔ z42 =
(2√
3)4
ei4 π6 = 144 e
2iπ3
➔z2
z1=
2√
32
ei(π6 −π
3 ) = 2 e−i π6
Exercices
Exercice 3.7 Combien vaut le module de z = 3ei π35 ?
Exercice 3.8 Soit z = 2 + i. Calculer le module de ez.
Exercice 3.9 Soit ω > 0. Calculer le module et l’argument de z =e−2iω
1 + 0, 5iω.
71
V - Formules de Moivre et d’Euler
Théorème 1: Formules de Moivre
Pour tout θ ∈ R et tout n ∈ N [r (cos θ + i sin θ)]n =(reiθ
)n= rneinθ = rn (cos(nθ) + i sin(nθ)).
Ou encore |zn| = |z|n et arg(zn) = n ∙ arg z
Remarque?????
Un peu d’histoire : Abraham de MOIVRE (1667-1754) est un mathématicien britannique d’originefrançaise.
Ex. guidé 15 : On peut retrouver les formules
cos(2θ) = cos2 θ − sin2 θ et sin(2θ) = 2 cos θ sin θ
à travers les formules de Moivre. En effet
➔ (cos θ + i sin θ)2 = cos(2θ) + i sin(2θ) d’après la formule de MOIVRE ;
➔ (cos θ + i sin θ)2 = cos2 θ + 2i cos θ sin θ − sin2 θ par développement.
Par identification on retrouve cos(2θ) = cos2 θ − sin2 θ et sin(2θ) = 2 cos θ sin θ.
Théorème 2: Formules d’Euler
Pour tout θ ∈ R : cos θ =eiθ + e−iθ
2et sin θ =
eiθ − e−iθ
2i.
Remarque?? Un peu d’histoire : Leonhard EULER (1717 − 1783) était un mathématicien et physicien suisse.
Ex. guidé 16 : Linéarisation de sin2 x :
sin2 x =
(eix − e−ix
2i
)2
=e2ix − 2 eix e−ix + e−2ix
−4=
−2 + e2ix + e−2ix
−4=
12
(
1 −e2ix + e−2ix
2
)
Par conséquent sin2 x =1 − cos(2x)
2.
Exercices
Exercice 3.10 Linéariser cos3 θ en utilisant les formules d’Euler.
VI - Equations du second degré
72
1. Une première équation : recherche des racines carrées d’un complexe
Méthode pour calculer√
a + ib
Il s’agit de chercher z ∈ C tel que z2 = a + ib. Soit z = x + iy.On a z2 = a + ib si et seulement si (x + iy)2 = a + ib si et seulement si
(x2 − y2
)+ 2ixy = a + ib.
On a également∣∣z2∣∣ = |a + ib| ⇐⇒
(√x2 + y2
)2
=√
a2 + b2.
On cherche alors les deux solutions du système
x2 + y2 =√
a2 + b2
x2 − y2 = a
2xy = b
Remarque??????????????????
Une astuce pour résoudre le système
x2 + y2 =√
a2 + b2
x2 − y2 = a
2xy = b
est la suivante :
➥ la somme de la première et de la deuxième équation nous donne 2x2 =√
a2 + b2 + a ;➥ la différence de la première et de la deuxième équation nous donne 2y2 =
√a2 + b2 − a ;
➥ le produit xy a le même signe que b.
Propriété 10:
Les racines carrées d’un nombre complexe a + ib sont deux nombres complexes opposés.
Ex. guidé 17 : Déterminer les racines de i.
On applique la méthode en encadré (a = 0; b = 1) :
x2 + y2 =√
02 + 12 = 1
x2 − y2 = a
2xy = b
x2 + y2 = 1
x2 − y2 = 0
2xy = 1
⇐⇒
x2 =12
y2 =12
2xy = 1
⇐⇒
x = ±1√
2
y = ±1√
22xy = 1 > 0
En constatant les signes identiques de x et y (xy > 0) on a
z =1√
2+ i
1√
2et −
1√
2− i
1√
2
Ex. guidé 18 : Calculer les racines carrées de 3 + 4i.
73
Les deux racines ±(x + iy) de 3 + 4i se calculent à travers le système
x2 + y2 =√
32 + 42 = 5
x2 − y2 = 3
2xy = 4
qui
équivaut à
x2 = 4
y2 = 1
xy = 2La dernière équation implique que x et y ont le même signe. Par conséquent les deux racines de 3 + 4isont ±(2 + i).
Ex. guidé 19 : Calculer les racines carrées de −16.
Dans ce cas particulier on peut ne pas utiliser la méthode précédente. En effet on voit tout de suite que−16 = (4i)2. Donc les racines de −16 sont 4i et −4i.
2. Equations quelconques
Théorème 3:
Soit az2 + bz + c = 0 une équation du second degré où a, b, c ∈ C avec a 6= 0.Les solutions de cette équation sont
z1 =−b +
√b2 − 4ac
2az2 =
−b −√
b2 − 4ac
2a.
Attention
On utilisera la méthode décrite dans le paragraphe précédent pour calculer les racines du nombre complexeΔ = b2 − 4ac.
Ex. guidé 20 : Résoudre z2 − 2z + 2 = 0.
Les solutions de z2 − 2z + 2 = 0 sont
➥ z1 =2 + 2i
2= 1 + i,
➥ z2 =2 − 2i
2= 1 − i.
Remarque?? Si a, b et c sont réels alors les solutions sont des complexes conjugués.
Ex. guidé 21 : Résoudre iz2 + (1 + 2i)z − 1 = 0.
74
z =−1 − 2i ±
√−3 + 8i
2i.
Les racines carrées de −3 + 8i sont données par ±(x + iy) où (x, y) est une solution du système
x2 + y2 =√
73
x2 − y2 = −3
2xy = 8
ce qui nous donne√−3 + 8i = ±
√√73 − 3
2+ i
√√73 + 3
2
Exercices
Exercice 3.11 Trouver les racines carrées de -36 , −15 − 8i et 4i − 3.
Exercice 3.12 Résoudre dans C :
1.) z2 − 5z + 7 = 0
2.) z2 + (2i − 3)z + 5 − i = 0
3.) z2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0
4.) z2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0
5.) iz2 + (1 − 5i)z + 6i − 2 = 0
6.) z2 + (4i − 1)z − 3 = 0
7.) z4 + 10z2 + 169 = 0
8.) z4 = 24i − 7
VII - Racine n-ème d’un complexe
Définition 11:Soit n un entier naturel non nul. On appelle racine n-ème du nombre complexe z, tout nombre r tel quern = z.Si z = r eiθ alors ses racines n-èmes sont les n nombres complexes
n√
r ∙ ei θ+2kπn avec k = 0, 1 . . . n − 1
Ex. guidé 22 : Soit x3 = 8. Dans C cette équation possède 3 solutions : x = 2, x = −1 − i√
3, x = −1 + i√
3.En effet, en posant z = r eiθ on a z3 = 8 ⇐⇒
(r eiθ
)3= 8e2ikπ. On obtient en identifiant modules
et arguments :{
r3 = 8
3θ = 2ikπ⇐⇒
r = 3√
8 = 2
θ =2ikπ
3
pour k = 0, 1 ou 3
Remarque : dans R l’équation x3 = 8 admet une seule solution : x = 3.
Ex. guidé 23 : Déterminer les racines quatrièmes de i.
75
z4 = i ⇐⇒(r eiθ
)4= ei(π
2 +2kπ)
On obtient en identifiant modules et arguments :
r4 = 1
4θ =π
2+ 2kπ
⇐⇒
r = 4√
1 = 1
θ =π
8+
kπ
2
pour k = 0, 1, 2 ou 3.
Les racines quatrièmes complexes de i sont donc
z1 = ei π8 ; z2 = ei 5π
8 = i; z3 = ei 9π8 = −1; z4 = ei 13π
8 = −i
VIII - Transformations dans le plan complexe
TranslationSoit M(x, y) le point d’affixe z = x + iy. Soit ~u le vecteur d’affixe u. Le point M ′ d’affixe z′ = z + u estl’image du point M par la translation de vecteur ~u.
x
y
0 −→i
−→j
−−−→OM ′
M ′(z′ = z + u)
M(z = x + iy)
~u(u)
RotationSoit M(x, y) le point d’affixe z. Soit θ0 un angle fixé. Le point M ′ d’affixe z′ = eiθ0 ∙ z est l’image dupoint M par la rotation de centre O et d’angle θ.
x
y
z′
zθ
0 −→i
−→j
76
Similitude de centre O
Soit M(x, y) le point d’affixe z. Soient θ0 un angle fixé et k une constante positive. Le point M ′ d’affixez′ = k eiθ ∙ z est l’image du point M par la similitude de centre O d’angle θ0 et de rapport k.
x
y
z′
zθ
0 −→i
−→j
En pratique on peut considérer que le vecteur−−−→OM ′ est "tourné" (rotation) puis agrandi ou rétréci d’un
rapport k (homothétie).
77
Annexe ATPMA11 :Découverte de Maxima
SommaireI - Introduction à Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78II - Fonctions à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81III - Programmation sous Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
MaximaMaxima a est un logiciel libre de calcul qui permet d’effectuer des calculs littéraux (développer,
factoriser, résoudre des équations, calculer des intégrales, . . .).Il peut aussi effectuer des calculs numériques.En version de base, il faut entrer toutes les commandes en ligne, mais l’utilisation de Wxmaximaimplémente une interface graphique très pratique.Il est téléchargeable à l’adresse http ://maxima.sourceforge.net/
a. http ://michel.gosse.free.fr/
Les principes de base
➔ Vous devez écrire toutes les opérations.
Par exemple, l’expression (2x + 3)(x + 1) s’écrira (2*x+3)*(x+3) et le calcul1
2√
2 + 3s’écrit 1/(2*sqrt(2)+3).
➔ Maxima peut évaluer le calcul algébrique x + x en répondant 2x.Scilab , un autre logiciel, « numérique » pour sa part, retournera une erreur car au contraire de Maximace n’est pas un logiciel de calcul « algébrique ».
Problèmes de précision
Dans un ordinateur les nombres ont une valeur absolue comprise entre environ 2, 2 ∙ ∙ ∙ × 10−308 et1, 8 ∙ ∙ ∙ × 10+308 en raison de la norme de stockage IEEE-754 appliquée aux ordinateurs 32-bits.2.220446049.10−16 détermine la plus petite précision relative que l’on puisse espérer dans le calcul, cequi donne donc environ 16 chiffres.
I - Introduction à Maxima
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1. Quelques opérateurs et commandes
+ addition float(valeur) donne un arrondi de valeur
− soustraction a : 2 met 2 dans la mémoire a
× multiplication kill(a) libère la mémoire a
/ division ratsimp(expr) simplifie la valeur de expr
∧ ou ∗∗ puissance is(expr) test de véracité′ empêche le calcul
Le symbole % représente le résultat du dernier calcul.%i5 représente l’expression entrée à la 5ecommande et %o5 le résultat de la cinquième commande.
2. Les constantes et fonctions
Pour définir une fonction f , on utilisera la syntaxe f(x) :=.
%i nombre complexe tel que i2 = −1 sqrt() la racine carrée,
%e nombre e (exponentielle) log() la fonction ln,
%pi le nombre π exp() la fonction exponentielle
%c une constante quelconque cos(),sin() et tan() les fonctions trigonométriques
3. Premiers pas avec Maxima
Tous les ordres passés à l’ordinateur se font dans les zones précédées de (%i...) Ces zones sont deszones d’entrée (input).Dans la nouvelle interface WxMaxima on écrit la formule directement sur la feuille.On peut faire appel aux menus pour éviter la lourdeur des écritures.On appuie sur les touches CTRL Entrée pour transmettre l’ordre au logiciel.Chaque ligne de commande doit se terminer par un point-virgule mais si on ne souhaite pas voirle résultat s’afficher, on termine la ligne de commande par $ au lieu de ;On peut rééditer la ligne de commande sur la feuille. CTRL R permet de relancer tous les calculsde la page.
1er exemple : pour calculer 5 + (23)−2 on entre :
>> 5+(2/3)^(-2);
réalisation du compte-rendu :
La session peut être sauvegardée en fichier texte dont l’extension sera « .wxm ». Seules les commandessont alors enregistrées ainsi que les commentaires. Il est possible de mettre des titres et des commentaires.
4. Maxima comme calculatrice
Le but de cette partie est de donner une idée rapide des différents types de commandes que vouspouvez utiliser afin de dialoguer avec Maxima.Il n’est pas question de faire une présentation exhaustive des différentes fonctions disponibles.Il s’agit plutôt de permettre le plus rapidement possible l’écriture de calculs simples.
>> 100!;
On ne voit pas tous les chiffres. Pour les faire tous apparaître, on entre :
>> set_display(ascii) $ 100! ; set_display(xml)$
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>> sqrt(4) ; sqrt(5);
Notez que la seconde racine est exprimée de manière symbolique : Maxima fait des calculs EXACTSsauf si on lui demande le contraire, avec la commande float par exemple.
>> float(%);
% permet de rappeler la dernière expression calculée.Pour affecter une valeur à une variable, Maxima utilise les deux points : et non pas le signe =Le signe = est utilisé pour réprésenter des équations
>> a : 5^2;
On peut ensuite utiliser la variable a dans d’autres calculs
>> sqrt(a)+1/a;
Enfin, il n’est pas nécessaire d’avoir affecté une variable pour l’utiliser dans des expressions.Par exemple
>> c:b^2 $ sqrt(c);
C’est cette possibilité de travailler symboliquement avec des noms de variables qui fait de Maximaun logiciel de calcul formel.Il faut savoir aussi que Maxima distingue les lettres minuscules des lettres MAJUSCULES.Ainsi les variables a et A ne sont pas les mêmes comme le montrent
>> a +A;
>> Exp(0);exp(0);
Pour terminer, signalons les constantes %pi, %e (base du logarithme népérien), %i (complexedont le carré vaut -1), inf (plus l’infini) et minf (moins l’infini)
>> log(%e);float(%pi);
5. Petits calculs algébriques
Développer, factoriser ou simplifier une expression
>> kill(a);y : (a+b)^4 ; expand(y);
>> factor(x^4-1);
Si on veut remplacer x par 3/z dans l’expression précedente, on utilise la fonction subst
>> subst(3/z,x,%);
La fonction ratsimp(f) développe f en multipliant les produits de sommes et les sommes expo-nentielles, en combinant les fractions sur un dénominateur commun, en supprimant le plus grandcommun diviseur du numérateur et du dénominateur, puis en découpant le numérateur (si c’estune somme) en ses termes respectifs divisés par le dénominateur.La fonction ratsimp écrira tout sur le même dénominateur
>> ratsimp(%);
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6. Equations et systèmes d’équations
>> solve(1+z+z^2=0,z);
On réinitialise la variable y avec la fonction kill.Puis on définit le système avec paramètre et on le résout :
>> kill(y) $ syst : [m*x+y=1 , x-m^2*y=m];
>> solve(syst,[x,y]);
Résolution approchée d’une équation en utilisant la commande :
find_root(équation,inconnue,borne_inf,borne_sup) ;
>> find_root(cos(x)=x,x,0,%pi);
II - Fonctions à une variable1. Définir une fonction
Il y a plusieurs manières de définir une fonction
>> f(x):=sin(x)-x;
>> define(h(x),sqrt(1+x^2)-2*x);
2. Fonctions définies par morceaux
>> U(t):=unit_step (t);>> f(x):=sin(x)*U(x+1)+cos(x)*U(x+5);
3. Représentation graphique
On utilise la fonction plot2d pour obtenir la courbe représentative d’une fonction f avec la com-mandeplot2d(f(x), [x,x_min,x_max], [y,y_min,y_max]) ;en ajoutant l’option [plot_format, gnuplot] ou [plot_format, openmath] la sortie graphiquese fera au travers des logiciels gnuplot ou openmath.La commande wxplot2d donnera un graphique intégré au document.
>> wxplot2d(f(x), [x,-2,4], [y,-1,2]);>> wxplot2d(U(x), [x,-2,4], [y,-1,2]);
Si on veut faire apparaître les axes du repère (et/ou un quadrillage) on précise un 4ème argumentoptionnel :
>> wxplot2d(h(x), [x,-2,4], [y,-5,1], [gnuplot_preamble, "set grid ;set zeroaxis"])$
Il est possible de faire tracer plusieurs courbes sur le même graphique :
>> wxplot2d( [g(x),x,x-x^3/6] , [x,-%pi,%pi] , [y,-1.5,1.5] ,[gnuplot_preamble, "set zeroaxis"]);
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On pourra pour s’entraîner tracer sur un même graphe et des couleurs différentes les courbes de
sin x, sinx
2, 3 cos x,
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cos x sin x + 4, sin(x + 4), sin x − 5, sin(x − 5)
>> wxplot2d( [sin(2*x),sin(x/2)] , [x,-12,12] , [y,-2,8] ,[style ,[lines,2,2] , [lines,1,1]] , [gnuplot_preamble , "set grid"] )$
4. Quelques options des graphiques
La fonction plot2d constitue la façon la plus simple de tracer une ou plusieurs courbes. Pourreprésenter graphiquement deux fonctions f et g dans le même repère, on utilise la syntaxe suivante :plot2d ( [f(x),g(x)] , [x,x_min,x_max] , [y,y_min,y_max] , [legend,"y=f(x)", "y=g(x)"] , [style, [lines,<largeur de ligne>,<couleur pour f>] ,[lines,<largeur>,<couleur pour g>], [gnuplot_preamble , "set zeroaxis"] )$
Le second paramètre de lines est un entier qui donne la couleur de la courbe : 1 (bleu), 2 (rouge),3 (magenta), 4 (turquoise), 5 (marron), 6 (vert clair) et 7 (bleu foncé)
Dans gnuplot_preamble, on peut faire apparaître les axes du repère avec "set zeroaxis" ou lagrille avec "set grid"
>> wxplot2d( [x^2,1/x,0] , [x,-2,3] , [y,-2,8] , [legend, "carré" , "inverse", "asymptote"] ,[style ,[lines,2,2] , [lines,1,1], [lines,1]] , [gnuplot_preamble , "set grid"],[xlabel , "axe des abscisses"] , [ylabel , "axe des ordonnées"])$
Pour tracer un cercle défini par une représentation paramétrée, on entre la commande :
>> wxplot2d ( [parametric , cos(t) , sin(t) , [t , 0 ,2*%pi]] , [x,-3,3] , [y,-2,2], [nticks,100])$
L’option nticks donne le nombre de points à placer sur la courbe paramétrée. Par défaut nticksvaut 10 (ce qui était insuffisant ici).
Il est enfin possible de représenter des points à partir de la liste de leurs coordonnées. On peut lesjoindre par des segments.
>> n:5 $ liste:makelist ( [cos(2*k*%pi/n) , sin(2*k*%pi/n)] , k , 0 , n) $
>> wxplot2d( [discrete, liste] , [x,-2,2] , [y,-4/3,4/3] , [style ,[linespoints , 1 , 5 , 5 , 9]] , [gnuplot_preamble , "set zeroaxis"])$
Le style linespoints accepte 4 paramètres : l’épaisseur de ligne (par défaut 1), le rayon des points(par défaut 1), la couleur et le type de point (1 : cercles pleins, 2 : cercles creux, 3 : signes plus +,6 : carrés pleins, 7 : carrés creux)
III - Programmation sous Maxima1. Fonctions et procédures
En réalité il n’y a pas lieu de distinguer fonctions et procédures. Plus précisemment une fonctionest un cas particulier de procédure.Il s’agit dans tous les cas d’un petit programme prenant des paramètres en entrée et qui effectueensuite un certains nombre d’instructions.Une procédure peut contenir des variables locales, servant aux calculs internes à la procédure ; cesvaleurs ne servent qu’à l’intérieur de celle-ci. Une procédure renvoie toujours un résultat : celui-cicorrespondant par défaut à la dernière instruction ou bien à l’argument de la commande return.
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MaximaLa syntaxe pour définir une procédure est la suivante :
nom(<paramètres d’entrée>) := block( [<variables locales>],<instruction1> ,<instruction2>,)$
>> a:0 $ b:1 $
>> essai(n):=block([a,k],a:2, k:3, a+b+k-n)$
>> essai(10);’a=a;’k=k;
2. Structure conditionnelle
La condition peut être définie à l’aide des trois opérateurs de base (<,=,>). Il existe trois typesd’opérateurs :➥ les opérateurs relationnels < , <= , >= , > et # (non égal)➥ les opérateurs de logique and , or , not➥ les fonctions booléennes qui renvoient TRUE ou FALSE
MaximaLa syntaxe est : if (condition1) then (<instruction1>,<instruction2>,...) elseif (condi-
tion2) then (<instruction3,<instruction4>) else (<instruction5>,...) ;Le programme suivant permet de tester si un nombre n est un entier parfait (un entier naturel est ditparfait s’il est égal à la somme des ses diviseurs positifs autres que lui-même)
>> parfait(n):=block(if n#floor(n) or n<0then print(n,"n’est pas un entier naturel")elseif n=divsum(n)-n then print(n,"est un entier parfait")
else print(n,"n’est pas parfait"))$
>> parfait(100) $ parfait(496)$
Pour définir une fonction à partir de conditions sur différents intervalles, on utilise le test if..then.. elseif.. else
>> d(x):=if x<0 then 0 elseif x<=1 then x^3 else 1;
3. La boucle Pour (boucle de parcours) : FOR
MaximaPour répéter une série d’instructions, on peut utiliser une boucle FOR à condition de connaître à
l’avance le nombre d’itérations à effectuer. La syntaxe estfor <indice> from <valeur_initiale> step <incrémentation> thru <valeur_finale> do(<instruction1>,<instruction2>,...)Exécute une boucle pour une variable <indice> allant d’une <valeur_initiale> à une <valeur_finale>avec un pas égal à <incrémentation>.
>> for k:1 thru 10 step 2 do(print(7*k));
>> S(n):=block(s:0,for k:1 thru n do(s:s+2^k), return(s));>> S(64);
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4. La boucle TantQue : WHILE
MaximaContrairement à la boucle de parcours où le nombre d’itérations est connu, la boucle TantQue répète
une suite d’instructions tant qu’une certaine condition est réalisée sans connaître à l’avance le nombred’itérations à effectuer. Attention aux boucles infinies !La syntaxe est : while (condition) do (<instruction1>,<instruction2>,...)
>> k:1;while k<10 do(print(7*k),k:k+1);
Exercices pour s’entrainerExercice A.1 Etudier sa parité de sin x, x2 − 1 et cos x + x2.
Exercice A.2 Soient f(x) = x2 + 1 et g(x) =1
x − 1. Calculer f(g(x)).
Exercice A.3 Evaluer :
a.(√
2 +√
3)4
b.(21/22−1/3
)4
Exercice A.4 Montrer que la fonction f(x) =1
x4 + 1est bornée pour tout x ∈ R.
Exercice A.5 Développer les expressions suivantes :
a. (x + 1)5
b. (x2 − x + 1)(x2 + x + 1)
Exercice A.6 Factoriser les expressions suivantes dans R :
a. x3 − 1
b. 2x2 + 3x + 1
Exercice A.7 Représenter le graphe de la fonction f(x) = 2xχ[−1,1] − x2χ[−2,4].On utilisera la fonction unit_step.
Exercice A.8
1. Définir la variable z =1 + i
1 − i.
2. Déterminer ses parties réelles et imaginaires.
3. Déterminer ses modules et arguments
4. Développer z2.
Exercice A.9
1. Définir la fonction f par f(x) = x3 − 4x2 + x + 1.
2. Calculer f(−2) ; f(37) ; f(
√5).
3. Tracer la fonction f sur [−3; 3].
4. Résoudre f(x) = 0.
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Annexe BExercices de révision
Exercice B.1 Calculer les valeurs :
1.) cos(25π/3)
2.) sin(19π/4)
3.) cos(37π/2).
Exercice B.2 Résoudre l’équation cos(3x) = sin x.
Exercice B.3 Montrer que cos4 x =18
cos(4x) +12
cos(2x) +38.
Exercice B.4 Calculer les solutions de z3 + (3 + i)z2 − iz = 0.
Exercice B.5 Calculer les racines troisièmes de −27i.
Exercice B.6 Calculer les racines quatrièmes de i.
Exercice B.7 Tracer le graphe de f(x) = 3 sin x + 2 à partir de celui de f1(x) = sin x.
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Annexe CPrincipales commandes de Maxima
I - Généralités
1. Le logiciel
Maxima est un logiciel de calcul formel libre etgratuit.Pour le télécharger, il faut aller sur le sitehttp ://maxima.sourceforge.net/ .Pour le lancer, il faut lancer le fichier wxMaxima.
2. Feuille de calcul
• Les commandes peuvent être écrites ou passées parmenus• « ; » terminaison d’une commande pour afficher lerésultat. Par exemple 1+2/3;• « $ » terminaison d’une commande sans afficher lerésultat. Par exemple a:2 $• « % » rappelle le dernier calcul effectué• kill(all) réinitialise le système• print("texte",a) imprime ici un texte et lecontenu de a• «’» placé devant une commande, permet l’affichagede celle-ci sans calcul
3. expressions littérales
Soit E une expression dépendant de X. Par exemplel’équation cos(X) = sin(X) • subst(a,X,E) remplaceX par a dans E• is(A=B) renvoit "True" si A = B sinon "False".• kill(all) réinitialise le système• Eq:xˆ 2+3*x+2=2*x+1) définit une équationnommée Eq• Eq+5 ajoute 5 membre à membre
4. Opérateurs
• les quatre opérations usuelles + , - , * , /• « ˆ » élévation à une puissance. xˆ 3 est x3
• « # » non égal à (ou différent de)forget pour la retirer • comparaison = , < , <= ,> , >=• affectation « : »
a:3 donne la valeur 3 à la variable a.• assume(x>a) pour fixer une condition sur lavariable a. forget(x>a) pour la retirer• ev(E) pour évaluer l’expression E.• « := » pour définir une fonction.Par exemple : f(x):=xˆ 3+1; définit la fonctionf(x) = x3 + 1. On peut ensuite calculer f(2)• « = » indique une équation dans Maxima.• « ! » factoriel d’un entier naturel,par exemple 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.• « . » multiplication de deux matrices.• subst(y,x,expr remplace x par y dans expr
5. Constantes
• %pi désigne π ≈ 3, 14159• %e désigne e = exp(1) ≈ 2, 7183• %i est l’imaginaire pur de module 1, d’argumentπ/2• true valeur "vrai"• false valeur "faux"• inf désigne +∞• minf désigne −∞• %phi désigne le nombre d’or
φ =1 +
√5
2≈ 1, 61803399...
II - Nombres entiersSoit a et b deux entiers. Soit n et p deux entiersnaturels.• divide(a,b) division euclidienne de a par b.Le résultat est une liste dont le premier élément est lequotient et le second élément le reste• divisors(a) ensemble des diviseurs positifs de a• mod(a,b) reste de la division de a par b• gcd(a,b) pgcd de a et b• load(functs) $ lcm(a,b) ppcm de a et b• primep(p) teste si p est premier• factor(n) décompose n en produit de facteurspremiers
• binomial(n,p) est le cefficient binomial
(n
p
)
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Mémento GEii ANNEXE C. PRINCIPALES COMMANDES DE MAXIMA
• random(n) renvoie un entier naturel, choisi auhasard entre 0 et n − 1 lorsque n ∈ N∗
III - Nombres réels1. fonctions usuelles
• abs(x) valeur absolue de x• floor(x) ou entier(x) partie entière de x• truncate(x) enlève la partie décimale de x• sqrt(x) racine carrée de x• sin(x) , cos(x) , tan(x) ,acos(x)...• exp(x) , log(x) ( logarithme népérien)
2. valeurs approchées
• float(x) fournit une valeur décimale approchée dex• bfloat(x) donne une valeur approchée de x ennotation scientifique• fpprec:20 fixe la précision donnée par bfloat(ici 20 chiffres affichés au lieu de 16 par défaut)
IV - Nombres complexesSoit z un nombre complexe.• %i désigne le complexe i• realpart(z) partie réelle de z• imagpart(z) partie imaginaire de z• conjugate(z) conjugué de z• abs(z) ou cabs(z) module de z• carg(z) argument de z (dans ] − π, π])• rectform(z) écrit z sous forme algébrique• polarform(z) écrit z sous forme exponentielle
V - Equations1. résolution d’équations
Résolution exacte dans l’ensemble C des complexes :• solve(xˆ 2+x=1,x)Résolution approchée dans R :• find_root(xˆ 5=1+x,x,1,2) solution dans [1, 2]
2. systèmes linéaires
Pour résoudre le système
{3x + 2y = 1
x − y = 2• S1:[3*x+2*y=1,x-y=2]• solve(S1,[x,y])
VI - trigonométrie• fonctions de base : sin(x) , cos(x) , tan(x)• acos(0.2) donne la mesure en radian de l’angledont le cosinus vaut 0,2• trigexpand(a) développe l’expression
trigonométrique a en utilisant les formules d’additionde cos et sin.Par exemple, trigexpand(cos(x+y))renvoie cos x cos y − sin x sin y• trigreduce(a) ou trigrat(a) permettent delinéariser un polynôme trigonométrique a.Par exemple, trigreduce(sin(x)ˆ 3) renvoie3 sin x − sin(3x)
4• trigsimp(a) simplifie l’expression trigonométriquea en utilisant la relation cos2 t + sin2 t = 1 et en
remplaçant tan t parsin t
cos t• demoivre(z) transforme z en expressiontrigonométrique avec les formules d’Euler• exponentialize(T) transforme T en expressioncomplexe avec les formules d’Euler• load(ntrig) charge le paquetage permettant lecalcul de valeurs exactes non usuelles (cos(π/5)...)
VII - Calcul vectoriel• u:[a,b,c]) définit le vecteur −→u par sescoordonnées• u+v renvoit le vecteur somme• u.v renvoit le produit scalaire −→u ∙ −→v• express(uv renvoit le produit vectoriel −→u ∧ −→v
VIII - Polynômes -Fractions
Soit P et Q deux polynômes.• expand(P) développe P• factor(P) factorise P• gfactor(P) factorise P dans l’ensemble C• rat(P,x) ordonne P suivant les puissancesdécroissantes• ratcoeff(P,xˆ n) donne le coefficient de xn
dans P• divide(P,Q,x) calcule le quotient et le reste dela divison de P par Q. Le résultat est une liste dont lepremier élément est le quotient et le second élément lereste• partfrac(P/Q,x) décompose la fonctionrationnelle P/Q (de la variable x) en éléments simples• ratsimp(expr) simplifie l’expression expr(en écrivant tout sur le même dénominateur)• subst(1/z,x,expr) remplace x par 1/z dansl’expression expr
IX - Fonctionsnumériques
1. définir une fonction
• f(x):=xˆ 2+2*x-3• define(f(x),xˆ 2+2*x-3)
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Mémento GEii ANNEXE C. PRINCIPALES COMMANDES DE MAXIMA
• f:lambda([x],xˆ 2+2*x-3)• f(x):=if x<0 then 0 else if x<1 then 1 elsex; définit la fonction par morceaux
f(x) =
0 si x < 0
1 si 0 6 x < 1
x sinon• unit_step(x) fonction échelon unité• delta(x fonction Dirac
2. limites, tangentes et asymptotes
• limit(sin(x)/x,x,0) limite en 0• limit(1/x,x,0,plus) limite à droite en 0• limit(1/x,x,0,minus) limite à gauche en 0• limit(x*exp(x),x,minf) limite en −∞• taylor(f(x),x,a,1) l’équation de la tangente •taylor(sqrt(1+xˆ 2),x,inf,2) asymptote en +∞
3. dérivation
• diff(f(x),x) calcule la dérivée f ′(x)• diff(f(x),x,2) calcule f ′′(x), dérivée seconde
4. courbes représentatives
Pour afficher les courbes Cf et Cg sur le mêmegraphique, dans la fenêtre [x1, x2] × [y1, y2], on entre :• plot2d([f(x),g(x)],[x,x1,x2],[y,y1,y2])
X - Développementslimités
• taylor(f(x),x,a,n) donne le DLn(a)Par exemple : taylor(sin(x),x,0,10);
XI - intégrales• integrate(f(x),x) calcule une primitive de lafonction f• integrate(f(x),x,a,b) calcule l’intégrale∫ b
a
f(x) dx
• changevar(e,f(x,u),u,x) changement devariable dans l’integrale eexemple : changevar(’integrate(log(x)/x,x),
u=log(x),u,x) donne∫
udu
• load(bypart) pour charger le paquetage de calculd’intégration par parties.• byparts(intégrande,variable,u,dv) intégrel’expression "intégrande" en utilsant dv comme partieà intégrer.• byparts(x*exp(x),x,x,exp(x)) renvoit x.ex − ex
• specint(f(x),x)intégration avec fonctionsspéciales
XII - équationsdifférentielles
Pour résoudre l’équation différentielley′′ + w2 y = sin x, on définit d’abord l’équation :• eqn:’diff(y,x,2)+wˆ 2*y=sin(x)On la résout :• sol:ode2(eqn,y,x)Pour trouver la solution satisfaisant aux conditionsinitiales y(0) = 1 et y′(0) = −1, on entre :• ic2(sol,x=0,y=1,diff(y,x)=-1)Pour trouver la solution satisfaisant aux conditionsy(0) = 1 et y(1) = 0, on entre :• bc2(sol,x=0,y=1,x=1,y=0)• rhs(sol) saisit le membre de droite de l’égalitésol obtenue ci-dessus.
XIII - Suites- Séries
1. Listes
Une liste est un type de données, qui tient compte del’ordre, accepte les répétitions d’éléments et estdélimité par les caractères [ et ]. Voici quelquesfonctions importantes concernant les listes :• L:makelist(kˆ 2,k,0,9) permet de créer la listedes carrés des 10 premiers naturels, k prenant toutesles valeurs entières de 0 jusqu’à 9.• L[2]:5 remplace le 2ème élément de la liste L par5.• length(L) donne le nombre d’éléments de la listeL.• first(L) ; second(L) ; last(L) renvoientrespectivement le premier, le second, le dernierélément de L.• member(x,L) vaut true si x appartient à la liste L(false sinon).• append([a,1,3],[2,7]) regroupe les deux listesen une seule liste [a, 1, 3, 2, 7].• join(l,m) crée une nouvelle liste constituée deséléments des listes l et m, intercalés. La liste obtenueest [l[1],m[1], l[2],m[2], l[3],m[3], . . .].• sort(L) permet de ranger les éléments de la liste Lpar ordre croissant.• map(f,L) permet d’appliquer la fonction f à tousles éléments de la liste L.
2. suites récurrentes
• load(solve_ rec charge le paquetage des suitesrécurrentes• solve_ rec(u(n)=n*u(n-1)/(1+n),u(n),u(1)=2)renvoie un en fonction de n
3. somme finie
• sum(1/kˆ 2,k,1,10) calcule la somme des inversesdes carrés des entiers compris entre 1 et 10.
88
Mémento GEii ANNEXE C. PRINCIPALES COMMANDES DE MAXIMA
4. produit fini
• product(sqrt(k),k,1,10) calcule le produit desracines carrées des entiers compris entre 1 et 10.
5. somme infinie
On peut montrer que la suite (un)n∈N∗ de terme
général un =n∑
k=1
1k2est convergente. Sa limite est
notée+∞∑
k=0
1k2. On peut demander sa valeur exacte
comme suit :• load(simplify_sum) $ sum(1/kˆ 2,k,1,inf) $simplify_sum(%)
XIV - Transformées deLaplace
• laplace(f(t),t,p) transforme la fonction f(t)• ilt(F(p),p,t) donne la transformée inverse• delta(x) fonction de Dirac• specint(f(x),x)intégration avec fonctionsspéciales
XV - MatricesSoit B une matrice de taille 3 × 3.
On définit la matrice A =
1 2 3
4 5 6
7 8 −9
ligne par ligne de la façon suivante :• A:matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9])• A+B somme des matrices A et B• 3*A produit de la matrice A par le réel 3• A.B produit des matrices A et B• A ˆ ˆ 3 matrice A élevée à la puissance 3• transpose(A) transpose la matrice A
• determinant(A) donne le déterminant de lamatrice A• invert(A) inverse A−1 de la matrice A• f[i,j]:=2*iˆ 2+3*j;A:genmatrix(f,4,5);crée une matrice A de taille [4; 5] avec une formule.• entermatrix(n,m) demande la saisie manuelle dela matrice de taille [n; m]• coefmatrix(syst,var crée une matrice descoefficients du système sys selon les variables var• augcoefmatrix(syst,var idem en ajoutant lesecond membre• addcol(M,cols) juxtapose les colonnes cols à lamatrice M• addrow(M,rows) idem pour des lignes ( voir join)• submatrix(i1,i2,...,M,j1,j2,... extrait unematrice en enlevant les lignes i et colonnes j citées.
XVI - Programmation
1. syntaxe d’une procédure
nom(paramètres en entrée) := block( [variableslocales],<instruction 1>, <instruction 2>, . . ./* ——-Commentaire—— */Exemple de procédure qui additionne deux nombres :• somme(a,b):=block([c], c:a+b, return(c))
2. structure conditionnelle
• if (condition)then (<instruction1> , <instruction2>)else (<instruction3> , <instruction4>)
3. structures itératives
Boucle For et affichage de la table de 7 :• for k from 1 thru 10 do( print("7 fois",k,"égale",7*k) )BoucleWhile et affichage de la table de 7 :• k:1 $ while k<11 do( print("7 fois",k,"égale",7*k) , k:k+1 )
89
Annexe DCorrigés des exercices
I - Révision des bases
Correction exercice 1.1 Résultat :5x2 − 13x + 7(x + 3)(2x − 7)
Correction exercice 1.2 1. Résultat : x >32∪x 6 1
2. Résultat : 4 6 xπ
2
Correction exercice 1.3 1. Résultat : x = π − 4
2. Résultat : il y a deux solutions : x = −2 ou x =53
Correction exercice 1.4 Si on multiplie à droite et à gauche par 1 + c(x)t(x) on a
f(x) + f(x)c(x)t(x) = c(x)t(x) ce qui nous donne c(x) =f(x)
t(x)(1 − f(x)). Par conséquent
1. c(x) =0,6
x−0,4
0,6x−0,4
(1 − 0,6
x−0,4
) =0, 6
x − 0, 4 − 0, 6=
0, 6x − 1
2. c(x) =0,865
x−0,135
0,633x−0,367
(1 − 0,865
x−0,135
) =0, 865
x − 0, 135x − 0, 367
0, 633x − 0, 135
x − 1=
x − 0, 367x − 1
0, 8650, 633
Correction exercice 1.5
~ı
~
OS2
(2, 0)
S1
(0, 0)
Correction exercice 1.6 Non. Il suffit de considérer le pole nord et le pole sud, deux points avec la mêmeabscisse.
90
Mémento GEii ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
Correction exercice 1.7 f n’est ni paire ni impaire. Il suffit de considérer f(1) et f(−1), qui valentrespectivement 0 et 2.
Correction exercice 1.8 Soient f1(x) = x − 2, f2(x) = x2, f3(x) = x + 1, f4(x) =√
x. Alorsf(x) = f4(f3(f2(f1(x)))).
Correction exercice 1.10 Surement f(x) > 0. D’autre part, on doit chercher une constante M telle que1
x2 + 16M . Cela est vérifié si et seulement si M(x2 + 1) > 1. Alors il suffit de choisir M = 1 !
Correction exercice 1.11 Soit x1 < x2. Alors f(x1) 6 f(x2) et donc1
f(x1)>
1f(x2)
, c’est-à-dire que
g(x1) > g(x2). Par conséquent g est décroissant.
Correction exercice 1.15 X2 − 3X + 2 = 0 si et seulement si X1 = 1 ou X2 = 2. Cela implique que x2 = 1ou x2 = 2 ce qui donne x = ±1 ou x = ±
√2.
Correction exercice 1.16 1.x − 1x − 3
6x − 2x − 4
⇔(x − 1)(x − 4)(x − 3)(x − 4)
−(x − 3)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
6 0 ⇔
x2 − 5x + 4 − x2 + 5x − 6(x − 3)(x − 4)
6 0 ⇔−2
(x − 3)(x − 4)6 0. Il faut donc que (x − 3)(x − 4) > 0, soit après
avoir fait le tableau de signes : x ∈] −∞ ; 3[∪]4 ; +∞[.
2.
{x2 − 16 6 0
3x + 2 > x + 3⇔
{(x − 4)(x + 4) 6 0
2x > 1⇔
{−4 6 x 6 4
x > 1/2⇔ x ∈
]12
; 4
]
.
Correction exercice 1.18 1.(√
2 −√
3)3
= 11√
2 − 9√
3
2.(21/22−1/3
)3
=√
2
3.(
3√
4)2
∙(
3√
44)
= 16
4.3 +
√2
2 −√
2=
8 + 5√
22
Correction exercice 1.20 On factorise par (x − 1) :(x − 1)
[(2x + 1) −
(x2 − 4x
)]> 0 si et seulement (x − 1)
(−x2 + 6x + 1
)> 0
Correction exercice 1.22 Outre les fautes d’orthographe (« je conclus..., je passe tout...,le tableau ... » ilreste les erreurs suivantes :
1. Erreur 1 :
L’ensemble de définition est R−
{
1 ; −12
}
. Je passe tout à gauche :5x
1 − x−
10x
2x + 16 0 , soit
Erreur 2 :10x2 + 5x − 10x + 10x2
(1 − x)(2x + 1)6 0, l’expression dont on cherche le signe est alors
− 5x + 20x2
(1 − x)(2x + 1)6 0.
On trouve trois erreurs dans le tableau :
➔ la valeur qui annule −5x est 0 et non 5
➔ 1−x est positif si x < 1 et négatif si x > 1
➔ il faut deux barres sous le 1.
x −∞ −1/2 1 0 +∞
1 − x + + 0 − −
2x + 1 − 0 + + +
−5x + + + 0 −
quotient − 0 + 0 − +
La conclusion est fausse : x ∈ [−1/2 ; 1[∪]5 ; +∞[.
91
Mémento GEii ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
2. l’inéquation5x
1 − x6
10x
2x + 1donne donc
−5x + 20x2
(1 − x)(2x + 1)6 0 ⇔
5x(4x − 1)(1 − x)(2x + 1)
6 0.
Correction exercice 1.25
1.) Df = R
2.) 3x − 7 >⇐⇒ Df = [73;+∞[
3.) 0 6= x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ⇐⇒ Df = R \ {−1}
4.) Df = R
5.) x2 − 3x + 2 > 0 si et seulement si(x − 1)(x − 2) 6 0 ⇐⇒ Df =] −∞; 1] ∪ [2, +∞[
6.)x
x2 − 1> 0; x − 1 6= 0 ⇐⇒ Df =] − 1; 0]
Correction exercice 1.26
1. e2 ln(x) = 9 ⇐⇒ 2 ln x = ln 9 ⇐⇒ ln x =12
ln 9 = ln√
9
d’où x = 3
2. L’équation est bien définie si y > −2. On aln(y + 6) − ln(y + 2) + ln(y + 3) = 0 ⇐⇒ ln(y + 6) + ln(y + 3) = ln(y + 2)⇐⇒ ln ((y + 6)(y + 3)) = ln(y + 2)L’égalité équivaut alors à y2 + 8y + 16 = (y + 4)2 = 0La seule solution y = −4 n’est pas acceptable. .
Correction exercice 1.27
1. X2 − X − 2 = 0 Solutions : X − 1 = −1 et X2 = 2
2. ln2 x − ln x − 2 = 0
cas 1 : ln x = X1 = −1 ⇐⇒ x = e−1
cas 2 : ln x = X1 = 2 ⇐⇒ x = e2
3. e2x − ex − 2 = 0
cas 1 : ex = X1 = −1 ne présente pas de solution.
cas 2 : ex = X1 = 2 ⇐⇒ x = ln 2
Correction exercice 1.28
1. X2 − X − 2 < 0 ⇐⇒ −1 < X < 2
2. ln2 x − ln x − 2 < 0 ⇐⇒ −1 < ln x < 2d’où e−1 < x < e2
3. e2x − ex − 2 < 0 ⇐⇒ −1 < ex < 2d’où −∞ < x < ln 2
Correction exercice 1.30 a.1 + ln x
x> 0 ⇔ ln x > −1 et x > 0 donc x > e−1
b. ln x − 3(ln x)2 > 0 ⇔ −3X2 + X > 0 avec X = ln x
X = ln(x) −∞ 0 1/3 +∞
x 0 1 e1/3 +∞
−3X2 + X − + 0 −
D’où x ∈]1; e1/3
[
c. ln
(2 + x
2 − x
)
> 0 ⇔2 + x
2 − x> 1 avec
2 + x
2 − x> 0 (redondant)
∙ ∙ ∙ ⇔2 + x
2 − x− 1 > 0 ⇔
2x
2 − x> 0 ⇔ x ∈]0; 2[
x −∞ 0 2 +∞
2x − 0 + +
2 − x + - -2x
2 − x+ 0 − +
Correction exercice 1.31
92
Mémento GEii ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
1.) x − 1 >⇐⇒ Df =]1;+∞[
2.)√
x2 + 1 − x > 0 ⇐⇒ Df = R
3.) x − 1 6= 0 ⇐⇒ Df = R− {1}
4.) Df = R
5.) ex − 1 6= 0 ⇐⇒ Df = R− {0}
6.) 1 − x > 0 ⇐⇒ Df =] −∞; 1[
Correction exercice 1.34f(x) = −2χ[−3,0[ + χ[0,1] = −2(χ[−3,+∞[ − χ[0,+∞[) + χ[0,+∞[ − χ]1,+∞[ = −2χ[−3,+∞[ + 3χ[0,+∞[ − χ]1,+∞[
Correction exercice 1.37
93
Mémento GEii ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
II - TrigonométrieCorrection exercice 2.4
1.) cos(5π) = cos(π) = −1
2.) sin(5π) = sin(π) = 0
3.) cos
(65π
2
)
= cos(32π +
π
2
)= cos
(π
2
)= 0
4.) sin
(65π
2
)
= sin(π
2
)= 1
5.) cos
(77π
3
)
= cos
(
24π + π +2π
3
)
= cos
(
π +2π
3
)
= − cos
(2π
3
)
ou encore cos(26π −π
3) = cos
(−
π
3
)=
12
6.) sin
(77π
3
)
= sin(−
π
3
)= −
√3
2
7.) cos
(145π
4
)
= cos(π
4
)=
√2
2
8.) sin
(145π
2
)
= sin(π
2
)= 1
9.) tan
(145π
3
)
= tan(48π +
π
3
)= tan
(π
3
)=
√3
Correction exercice 2.5
1.) cos ϕ = 1/2 ⇐⇒ cos ϕ = cos(π
3
)⇐⇒ ϕ = ±
π
3+ 2kπ, k ∈ Z
2.) sin x = 1/√
2 ⇐⇒ sin x = sin(π
4
)⇐⇒ x =
π
4+ 2kπ ou x = π −
π
4+ 2kπ, k ∈ Z
3.) sin2 t + 3 sin t + 2 = 0 ⇐⇒ X2 + 3X + 2 = 0 avec sin(t) = X. Les racines sont X = −2 et X = −1 d’où
(a) sin t = −2 : impossible
(b) sin t = −1 ⇐⇒ t = −π
2+ 2kπ, t = 3
π
2+ 2kπ, k ∈ Z
4.) tan2 α + 2 tan α − 1 = 0
On pose tan α = X et on résout X2 + 2X − 1 = 0. On trouve X = −1 ±√
2.
(a) tan α = −1−√
2 : soit α l’angle dans ]−π
2;π
2[ dont la tangente vaut −1−
√2. Alors α = α + kπ avec
k ∈ Z
(b) tan α = −1 +√
2 ⇐⇒ α = α0 + kπ avec k ∈ Z, si α0 est l’angle dans ] −π
2;π
2[ dont la tangente vaut
−1 +√
2
5.) sin(2x +π
3) = sin(
π
2−
2π
3) ⇐⇒ x = −
π
4+ kπ ou x =
5π
12+ kπ
6.) cos(2x + π/3) = − sin(5x − π/6) ⇐⇒ cos(2x + π/3) = cos(π
2+ 5x −
π
6)
(a) 2x + π/3 =π
2+ 5x −
π
6+ 2kπ ⇐⇒ x = 2kπ avec k ∈ Z
(b) 2x + π/3 = −π
2− 5x +
π
6+ 2kπ ⇐⇒ x = −2
π
21+
2kπ
77.) 3 sin x = 2 cos2 x ⇐⇒ 2X2 + 3X − 2 = 0 avec X = sin x et en remarquant cos2 x = 1 − X2
La résolution donne X =12ou 2.
Seule la deuxième est acceptable et conduit à x =π
6+ 2kπ ou x =
5π
6+ 2kπ
8.) 3 sin2 x + 7 cos x − 5 = 3(1 − cos2 x) + 7 cos x − 5
Correction exercice 2.6 Soient :A : le point de départB : le point situé à 3m au sud de AC : le point situé à 4m à l’est de BD : le point de l’arbre à 5m du sol.
94
Mémento GEii ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
• AD2 = AC2 + CD2 = AC2 + 25 et AC2 = AB2 + BC2
d’oùAD2 = 25 + AB2 + BC2 = 25 + 9 + 16 = 50
et AD = 5√
2• Calcul de l’angle :
cos(−→AC,
−−→AD) =
−→AC ∙
−−→AD
AC ∙ AD=
−→AC ∙ (
−→AC +
−−→CD
25√
2=
−→AC2 +
−→AC ∙
−−→CD
25√
2=
AC2
25√
2=
1√
2
D’où l’angle cherché est θ =π
4
Autre version :A partir du repère (A,
−→i ,
−→j ,
−→k ), on place les points B(3, 0, 0) , C ′3, 4, 0) et enfin D(3, 4, 5). On peut alors
calculer la distance AD =√
25 + 9 + 16 = 5√
2
Puis le produit scalaire−→AC.
−−→AD =
3
4
0
.
3
4
5
= 25 puis avec
−→AC∙
−−→AD =
∥∥∥−→AC∥∥∥ .∥∥∥−−→AD
∥∥∥ . cos(
−→AC,
−−→AD)
on obtient cos(−→AC,
−−→AD) =
1√
2
xy
z
A
B
C
D
Correction exercice 2.7
1.) 4 cos3 θ = 3 cos θ + cos 3θ.
4 cos3 θ = 2 cos θ(1 + cos 2θ)
= 2 cos θ + 2 cos θ cos 2θ
= 2 cos θ + cos 3θ + cos θ
= 3 cos θ + cos 3θ
on a utilisé la formule cos a ∙ cos b =12
[cos(a + b) + cos(a − b)]
2.) 4 sin3 θ = 3 sin θ − sin 3θ.
4 sin3 θ = 2 sin θ(1 − cos 2θ)
= 2 sin θ − 2 sin θ cos 2θ
= 2 sin θ − sin 3θ + sin θ
= 3 sin θ − sin 3θ
avec la formule sin a. cos b =12
[sin(a + b) + sin(a − b)]
Correction exercice 2.8
95
Mémento GEii ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
1.) cos x 6= 0 ⇐⇒ Df = R− {±π
2+ 2kπ; k ∈ Z}
2.) Df = R
3.) sin x − cos x 6= 0 ⇐⇒ Df = R− {π
4+ kπ; k ∈ Z}
4.) Df = R
Correction exercice 2.10 Voir Figures plus loin.
96
Mémento GEii ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
III - Nombres ComplexesCorrection exercice 3.1
1. z =2 − i
3 + 2i=
4 − 7i
132. iz = 5i − 2 et donc z = 5 + 2i
3. z = −64i
+24
=1 + 3i
2
4. z =4 − 3i
7
Correction exercice 3.2
1.∣∣∣1 + i
√3∣∣∣ = 2 et
cos θ =12
sin θ =
√3
2
d’où θ =π
3
2.∣∣∣√
3 + i∣∣∣ = 2 et
cos θ =
√3
2
sin θ =12
d’où θ =π
6
3. |zz′| = |z| |z′| = 4 ; arg(zz′) = arg z + arg z′ =π
3+
π
6=
π
2
4.∣∣∣z
z′
∣∣∣ =
|z||z′|
= 1 ; argz
z′= arg z − arg z′ =
π
6
Correction exercice 3.3 1. |z| =0, 5
ω|1 + 2iω|=
0, 5
ω√
1 + 4ω2; arg(z) = − arg(1 + 2iω) ou arg(1 + 2iω) est
l’angle appartenant a]0,
π
2
[dont la tangente vaut 2ω;
2. |z| =1
|1 + 2iω||1 + 3iω|=
1√
1 + 4ω2√
1 + 9ω2;
arg(z) = − arg(1 + 2iω) − arg(1 + 3iω) ou arg(1 + 2iω) est l’angle appartenant a]0,
π
2
[dont la tangente
vaut 2ω; de même arg(1 + 3iω) est l’angle appartenant a]0,
π
2
[dont la tangente vaut 3ω.
Correction exercice 3.4|z − 3| = 4 ⇐⇒ (x − 3)2 + y2 = 16 l’ensemble des points est donc le cercle de centre (3, 0) et de rayon 4.
Correction exercice 3.5 Première version :|z − 4| = |z + 2i| ⇐⇒ (x − 4)2 + y2 = x2 + (y − 2)2 ⇐⇒ −2x − y + 3 = 0. Il s’agit donc d’une droite.Deuxième version : en remarquant que |z − 4| = d(A,M) et |z + 2i| = d(B,M) avec A(4, 0) puisque d’affixezA = 4 et B(0,−2) puisque zB = −2i, on peut voir les solutions comme l’ensembles des points équidistants deA et B soit la médiatrice du segment [A,B].
Correction exercice 3.6
z2 =√
3 + i :
∣∣∣√
3 + i∣∣∣ = 2
cos θ =
√3
2sin θ =
12
⇒ r = 2 et θ =π
6
⇒√
3 + i = 2[cos(π
6
)+ i sin
(π
6
)]
Correction exercice 3.7 |z| = |3ei π35 | = 3|ei π
35 | = 3.
Correction exercice 3.8 ez = e2+i = e2(cos 1 + i sin 1). Par conséquent |ez| = e2.
Correction exercice 3.9 On a|z| =1
|1 + 0, 5iω|=
1√
1 + 0.25ω2. Pour l’argument
arg(z) = − arg(i) − arg(1 + 2iω) = −π
2− arg(1 + 2iω). On remarque que arg(1 + 2iω) est l’angle dans
]0,
π
2
[
dont la tangente vaut 2ω.
97
Mémento GEii ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
Correction exercice 3.10 Grâce aux formules d’Euler on a cos3 θ =
(eiθ + e−iθ
2
)3
. En utilisant l’identité
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 on obtient cos3 θ =18
e3iθ + e−3iθ
︸ ︷︷ ︸2 cos(3θ)
+3e2iθe−iθ + 3eiθe−2iθ
︸ ︷︷ ︸6 cos(θ)
d’où
cos3 θ =14
cos(3θ) +34
cos(θ).
Correction exercice 3.11
1. −36 = (6i)2 donc les racines de −36 sont 6i et −6i.
2. Pour trouver les solutions de (x + iy)2 = −15 + 8i on résout le système
x2 + y2 = r2
x2 − y2 = a
2xy = b
avec
r = |−15 + 8i| = 17; a = −15 et b = −8. On trouve alors x = ±1; y = ±4 et xy = −4. Les deux racinescarrées sont donc 1 − 4i et −1 + 4i.
3. On fait de même avec
x2 + y2 = |4i − 3| = 5
x2 − y2 = −3
2xy = 4Les racines sont ±(1 + 2i)
Correction exercice 3.12
1.) Les solutions sont z =5 ± i
√3
2
2.) Δ =(2i − 3)2 − 4(5 − i)
2= −15 − 8i a pour racine ±(1 − 4i). Les solutions de l’équation sont alors
−(2i − 3) ± (1 − 4i)2
= 2 − 3i ou 1 + i.
3.) Δ =(5 − 14i)2 + 8(5i + 12)
2= −75 − 100i a pour racine ±(5 − 10i). Les solutions de l’équation sont alors
5 − 12i ou −2i.
4.) Les solutions de l’équation sont 2 + 3i et 1 + i.
5.) Les solutions de l’équation sont 2 ou 3 + i.
6.) Les solutions de l’équation sont 1 − i ou −3i.
7.) On pose Z = z2 puis on résout Z2 + 10Z + 169. On obtient Z1 = −5 + 12i et Z2 = −5 − 12i. les solutionsde l’équation sont alors en cherchant les racines carrées de Z1 et de Z2 : −2 + 3i ; −2− 3i ; 2 + 3i et 2− 3i.
8.) On pose Z = z2 puis on cherche les racines carrées puis leurs propres racines carrées. On obtientZ = ±(3 + 4i). Les solutions de l’équation sont alors les racines de ±(3 + 4i) qui sont ±(2 + i), ±(1 − 2i).
98
IV - RévisionsCorrection exercice B.2 N.B. : il suffit d’écrire sin x = cos(π/2 − x)
Correction exercice B.318
cos(4x) +12
cos(2x) +38
=18[2 cos2(2x) − 1] −
12
+ cos2(x) +38
=14
cos2(2x) −18−
12
+ cos2(x) +38
=14(2 cos2 x − 1)2 −
18−
12
+ cos2(x) +38
= cos4(x)
Correction exercice B.4 Résultat : on a z = 0 et
z =−(3 + i) ±
√8 + 10i
2;
les racines de 4 + 5i sont
±(
√√41 + 4
2+ i
√√41 − 4
2)
Correction exercice B.5−27i = (−3)3i :
par conséquent il faut calculer les racines cubiques de i. Pour cela on remarque que
i = eiπ/2.
Les racines cubiques sont eiφ, où φ =π
6+
2kπ
3avec k = 0, 1, 2.
Correction exercice B.6i = eiπ/2 .
Par conséquent les racines quatrièmes sont eiφ, où φ =π
8+
kπ
2avec k = 0, 1, 2, 3.
99
x
y
O ~i
~j
f(x) = x2 + 3
(e)
x
y
O ~i
~j
f(x) = x3 + 5
(f)
x
y
O ~i
~j
f(x) = (x + 2)3
(g)
x
y
O ~i
~j
f(x) = ex−2
(h)O ~i
~j
x
y
f(x) = 3x2
(i)
x
y
O ~i
~j
f(x) = −x4
(j)
O ~i
~j
x
y
f(x) = (−3x)3
(k)
O ~i
~j
x
y
f(x) = e−2x
(l)
O ~i
~j
x
y
f(x) = 3 ln x
(m)
O ~i
~j
x
y
f(x) = 2x2 + 3
(n)
O ~i~j
x
y
f(x) = 3 |x + 2| − 4
(o)
O ~i~j
x
y
f(x) = e−2(x+3)
(p)
100
x
y
O ~i
~j
f(x) = sin(x) − 2
(q)
x
y
O ~i
~j
f(x) = sin(x − 1)
(r)
x
y
O ~i
~j
f(x) = 2 sin(x)
(s)
x
y
O ~i
~j
f(x) = −2 cos(x)
(t)
O ~i
~j
x
y
f(x) = sin(x
2)
(u)
x
y
O ~i
~j
f(x) = cos(3x)
(v)
O ~i
~j
x
y
f(x) = tan(2x)
(w)
O ~i
~j
x
y
f(x) = cos(3x) + 2
(x)
O ~i
~j
x
y
f(x) = 3 tan(−2x) + 1
(y)
101