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TRANSFORMÉE DE FOURIER
Ing. Poly. Elmoukhtar Ebi El Maaly
• Idée de la représentation fréquentielle des
signaux
• Définition de la transformée de Fourier (ou
TF) d’un signal
• Une liste de propriétés de base de TF plus
quelques transformées
• Spectre, spectrogramme, et signal à bande
limitée
• Pourquoi la transformée de Fourier rapide ou
FFT
INTRODUCTION
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REPRÉSENTATION FRÉQUENTIELLE
3
Pour tout signal de représentation temporelle s(t), on
sait trouver une représentation en fréquence
équivalente, ou spectre S(f).
Origine de la représentation fréquentielle
Pour résoudre l’équation de propagation de la
chaleur sur un intervalle de temps T, Joseph Jean-
Baptiste Fourier (19ème siècle) a imaginé de remplacer le
second membre s(t) de cette équation par une série de
Fourier, somme de sinusoïdes ci-dessous, sachant que la
solution pour s(t) sinusoïdale était connue :
0
)2
cos()(n
nn ntT
cts
Le signal carré s(t) dessiné ci-dessous peut être décomposé sur la durée d’une période (ici T=1/440s) en série de Fourier (voir à droite) :
4
0 12
))12(4402cos()(
n n
tnts
D’où la représentation fréquentielle de s(t) à compléter
:
T
s(t)
t
)12(440 nfn
1/31/5
1/9
)( nn fc
f
440
REPRÉSENTATION FRÉQUENTIELLE
DÉFINITION DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
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dtetssts tiTF )()(~)(
destss tiTF )(~
2
1)()(~ 1
dtetsfSts ftiTF 2)()()(
dfefStsfS ftiTF 2)()()(1
)(~)( sfS
Avec la pulsation :
Quand T tend vers l’infini, la définition de la série de
Fourier tend vers la transformée de Fourier ci-
dessous (i2= - 1) :
QUELQUES PROPRIÉTÉS DE TF
1. TF est linéaire:
6
2. TF[produit de convolution] = produit et inversement
)()()())(*()( fEfHfStehts TF
dtehdethtehts )()()()())(*()(
3. Dualité de TF et TF-1 (on permute t et f, et on fait
apparaître –f )
dtetXfxdfefXtx tfifti 22 )()()()(
)]([)()( 2 tXTFdtetXfx fti
)]([)]([)]()([ tfbTFtsaTFtbftasTF
QUELQUES TRANSFORMÉES DE FOURIER
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• La transformée de l’impulsion de Dirac est la fonction unité :
1)()( 02 dttedtet fti
• La transformée d’un peigne de Dirac est un peigne de Dirac
TF
T nTttPeigne )()(
nT
T
nf
TfPeigne
T)(
1)(
11
)(t
t0
0lim
0)0(
1)(
t
t
dtt
t0 T T2 T3T
)(tPeigneT
Impulsion de Dirac Peigne de Dirac
la transformée du cosinus est constituée de deux raies :
8
TFtfitfi
eetfts
2)2cos()(
00 22
0
2
))()(()( 00 ffff
fS
• La transformée d’un rectangle est un sinus
cardinal
221)()(
Tet
Tentre
T
tts
fT
fTTfTcTfS
)sin()(sin)(
TF
t0 2/T2/T
)/( TtLa fonction
rectangle
Compléter :f
1
QUELQUES TRANSFORMÉES DE FOURIER
COMMENT PROUVER LES ÉGALITÉS SUIVANTES ?
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)(]1[ fTF
)(][ 0
2 0 ffeTFtif
)(0f
f)](sin[ 00 tfcfTF
)]([)]([ 2 tfTFeTtfTF fTi