Jacques ParadisProfesseur

Formules de dérivation

2Département de mathématiques

Plan de la rencontre

Dérivée d’une fonction constante Dérivée de la fonction identité Dérivée d’un produit par un constante Dérivée d’une somme Dérivée d’une puissance Dérivée d’un produit Dérivée d’un quotient

3Département de mathématiques

Dérivée d’une fonction constante

Alors f (x) = 0

h 0

f(x + h) - f(x)Soit f (x) = limh

Si f(x) = k, où k IR

h 0 h 0

c - c= lim = lim0 = 0h

k k

On peut retenir (k)’ = 0

4Département de mathématiques

h 0

f(x +h) - f(x)Soit f (x) = limh

h 0

(x+h) - x= limh

Dérivée de la fonction identité

Si f(x) = xAlors f (x) =1

h 0 h 0

h= lim lim1 = 1h

On peut retenir (x)’ = 1

5Département de mathématiques

Dérivée du produit d’une constante par une fn

Si k IR et f(x) une fonction dérivabled[k f(x)] d f(x)Alors = k

dx dx

h 0

d kf(x) kf(x +h) - kf(x)Soit = limdx h h 0

k[f(x +h) - f(x)]= limh

h 0

[f(x +h) - f(x)]= k limh

df(x)= kdx

On peut retenir [kf(x)]’ = kf’(x)

6Département de mathématiques

Dérivée d’une somme de fonctions

Si f(x) et g(x) sont deux fonctions dérivables

d[f(x) g(x)] d f(x) dg(x)Alors =

dx dx dx

Si u = f(x) et v = g(x), on peut retenir : (u ± v)’ = u’ ± v’

Généralisation : page 140 (corollaire 2)

Démonstration :

7Département de mathématiques

Dérivée de xn

nSi f(x) x ,où n IN n 1Alors f (x) n x

Généralisation : Si f(x) = xr, où rIR, alors f’(x) = rxr-1

Exemple : Si f(x) = x5, alors f’(x) = 5x5-1 = 5x4

Exercice : Si f(x) = 1/x et g(x) = x trouver f’(x) et g’(x)

Démonstration :

8Département de mathématiques

Exemples Trouver la dérivée de f(x) = 4x3 +8x2 – 5x +7

Trouver h’(x) si h(x) = 8x3 – 7x2 + 4x +9

9Département de mathématiques

Dérivée d’un produit de fonctions

Si f(x) et g(x) sont deux fonctions dérivables

d[f(x) g(x)] d f(x) dg(x)Alors = g(x) f(x)

dx dx dx

Si u = f(x) et v = g(x), on peut retenir : (u v)’ = u’v + uv’

Généralisation : page 143 (corollaire 1)

Attention, on a donc que (uv)’ u’v’

10Département de mathématiques

Exemples Trouver la dérivée de f(x) = (x2 – 3) (3x – 5)

Trouver g’(x) si g(x) = 2x3 (3x2 – x)

11Département de mathématiques

Dérivée d’un quotient de fonctions

Si f(x) et g(x) sont deux fonctions dérivables

2

df(x) dg(x)f(x)d g(x) f(x)g(x) dx dxAlors =dx [g(x)]

2

u u'v -uv'v v

,Si u = f(x) et v = g(x), on peut retenir :

Remarques : g(x) 0 et (u/v)’ u’/v’

12Département de mathématiques

Exemples

3

2

2x - 4x +5

Trouver la dérivée de f(x) =

Trouver r’(x) si 3

2

x -1r(x) =x +1

13Département de mathématiques

Exemple

2 2(x +1)x

Trouver la dérivée de f(x) =

14Département de mathématiques

d du dvu v

dx dx dx

Résumé

dxdvuv

dxduuv

dxd

1 nn nxxdxd

2vdxdvuv

dxdu

vu

dxd

puissance produit

somme quotient

15Département de mathématiques

Devoir

Exercices 4.1, page 136, nos 1 à 4. Exercices 4.2, page 147, nos 1, 2 (sauf j),

3, 4, 6 (a à k), 7 (sauf e), 9 et 10.