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Formulation of the Mesoscale Formulation du modèle deCompressible Community mésoéchelle compressible(MC2) model communautaire (MC2)

Guy Bergeron(1), René Laprise(1), Daniel Caya(1)

with the participation of / avec la participation de

André Robert(1), Michel Giguère(1),Robert Benoit(2), Yves Chartier(2)

February 1994 Février 1994

1) Sciences de l'atmosphère, Département de physique, UQAM2) Division de Recherche en Prévision Numérique, Environnement Canada

Cooperative Centre for Centre coopératif pour la recherche enResearch in Mesometeorology mésométéorologie

Acknowledgments Remerciements

The authors would like to thank M. Hedley,R. MacLaren, S. Bohme, G. Paraskevopoulosand D. Singleton, from the Institute forEnvironmental Chemistry, National ResearchCouncil, for providing access to model outputdata used to produce the front cover.

Les auteurs tiennent à remercier M. Hedley, R.MacLaren, S. Bohme, G. Paraskevopoulos etD. Singleton, de l'Institut de chimie del'environnement, Conseil national derecherche, pour nous avoir donné accès auxsorties du modèle qui ont servi à produire l apage couverture.

The cover picture shows the wind circulationas simulated by MC2, at the first momentumlevel of the model, superimposed over thetopography. The simulation domain is a 5 km110x110 grid, covering part of the West Coastof British Columbia. The view is from thesouth-east.

La page couverture montre la circulation duvent telle que simulée par MC2, au premierniveau momentum du modèle, superposée aurelief. Le domaine de la simulation est unegrille de dimension 110x110, à une résolution de5 km, couvrant une partie de la côte ouest de l aColombie Britannique. La vue est prise à partirdu sud-est.

The picture was produced with PV-WAVE. Cette image a été produite avec PV-WAVE.

To André Robert (1929-1993),

who contributed so much to numericalmodelling.

En hommage à André Robert (1929-1993),pour sa contribution à la modélisationnumérique.

Contents

I . Preface..................................................................................................................................... 1

II. Introduction.............................................................................................................................. 7

1. The Euler equations in generalized co-ordinates....................................................................... 10

1.1 Modified vertical co-ordinate ..................................................................................... 12

1.2 Vertical co-ordinate.................................................................................................... 14

2. Time discretisation................................................................................................................. 20

3. Spatial discretization ............................................................................................................ 34

3.1 Vertical discretization................................................................................................ 34

3.1.1 Discretization of equations.............................................................................. 36

3.1.1.1 Qy terms at time (t+Dt).................................................................... 37

3.1.1.2 Ry terms at time (t).......................................................................... 38

3.1.1.3 Py terms at time (t-Dt) .................................................................... 50

3.1.2 Helmholtz equation........................................................................................ 53

3.2 Horizontal discretization............................................................................................ 68

3.2.1 Discretization with respect to X ...................................................................... 75

3.2.2 Discretization with respect to Y ...................................................................... 76

3.2.3 Discretization of metric terms.......................................................................... 77

3.2.4 Horizontal discretization of equations............................................................. 79

3.2.4.1 Qy terms at time (t+Dt) ................................................................... 79

3.2.4.2 Ry terms at time (t).......................................................................... 82

3.2.4.3 Py terms at time (t-Dt) .................................................................... 86

3.2.5 Helmholtz equation........................................................................................ 89

3.2.6 The discrete equations....................................................................................102

4. Nesting the model .................................................................................................................109

4.1 Horizontal nesting .....................................................................................................110

4.2 Vertical nesting .........................................................................................................117

5. Time filter.............................................................................................................................118

6. Structure of the FORTRAN program.......................................................................................120

6.1 Treatment of prognostic equations ...............................................................................120

6.1.1 Dynamics part ...............................................................................................121

6.1.2 Process-splitting ............................................................................................123

6.2 Description of the program structure ...........................................................................124

6.2.1 Main program: MC2........................................................................................125

6.2.2 STEP4 subroutine............................................................................................128

6.2.2.1 UVGM3D subroutine........................................................................131

6.2.2.2 QSOLVE3 subroutine.......................................................................133

6.3 The metric terms g0, G0, G1 and G2 ..............................................................................135

6.3.1 HCCAL2 subroutine........................................................................................135

6.3.2 GIHOR3 subroutine ........................................................................................136

6.3.3 GIVER2 subroutine .........................................................................................136

A1. Vertical co-ordinate change for the continuity equation ..........................................................138

A2. Continuity equation and metric terms......................................................................................142

A3. Kinematic conditions .............................................................................................................144

A3.1 Gal-Chen co-ordinate..................................................................................................144

A3.2 Modified Gal-Chen co-ordinate...................................................................................146

A4. Details of the modifications to the Euler equations.................................................................148

A4.1 U equation .................................................................................................................148

A4.2 w equation .................................................................................................................149

A4.3 Continuity equation....................................................................................................151

A4.4 Thermodynamic equation ...........................................................................................152

A5. Updating fields via back-substitution method........................................................................153

A6. Hydrostatic approximation ...................................................................................................155

A7. Cubic interpolation (André Robert).........................................................................................158

References.......................................................................................................................................164

Table des matières

I . Préface..................................................................................................................................... 1

II. Introduction.............................................................................................................................. 7

1. Équations d’Euler en coordonnées généralisées .......................................................................... 10

1.1 Changement de coordonnée verticale............................................................................ 12

1.2 Coordonnée verticale................................................................................................... 14

2. Discrétisation temporelle ....................................................................................................... 20

3. Discrétisation spatiale........................................................................................................... 34

3.1 Discrétisation verticale .............................................................................................. 34

3.1.1 Discrétisation des équations ............................................................................ 36

3.1.1.1 Termes Qy au temps (t+Dt) ............................................................... 37

3.1.1.2 Termes Ry au temps (t) ..................................................................... 38

3.1.1.3 Termes Py au temps (t-Dt) ................................................................ 50

3.1.2 Équation d’Helmholtz..................................................................................... 53

3.2 Discrétisation horizontale .......................................................................................... 68

3.2.1 Discrétisation selon X...................................................................................... 75

3.2.2 Discrétisation selon Y...................................................................................... 76

3.2.3 Discrétisation des termes métriques ................................................................. 77

3.2.4 Discrétisation horizontale des équations.......................................................... 79

3.2.4.1 Termes Qy au temps (t+Dt ) .............................................................. 79

3.2.4.2 Termes Ry au temps (t) ..................................................................... 82

3.2.4.3 Termes Py au temps (t - Dt) ............................................................... 86

3.2.5 Équation d’Helmholtz..................................................................................... 89

3.2.6 Les équations discrètes....................................................................................102

4. Pilotage du modèle ................................................................................................................109

4.1 Le pilotage horizontal ...............................................................................................110

4.2 Le pilotage vertical ...................................................................................................117

5. Filtre temporel ......................................................................................................................118

6. Structure du programme FORTRAN........................................................................................120

6.1 Traitement des équations pronostiques.........................................................................120

6.1.1 La partie dynamique......................................................................................121

6.1.2 Les corrections successives...............................................................................123

6.2 Description de la structure du programme....................................................................124

6.2.1 Programme principal : MC2 ............................................................................125

6.2.2 Sous-programme STEP4 ..................................................................................128

6.2.2.1 Sous-programme UVGM3D..............................................................131

6.2.2.2 Sous-programme QSOLVE3. ............................................................133

6.3 Les métriques g0, G0, G1 et G2 .....................................................................................135

6.3.1 Sous-programme HCCAL2..............................................................................135

6.3.2 Sous-programme GIHOR3...............................................................................136

6.3.3 Sous-programme GIVER2................................................................................136

A1. Changement de coordonnée pour l’équation de continuité..........................................................138

A2. Équation de continuité et les termes métriques .........................................................................142

A3. Conditions cinématiques.........................................................................................................144

A3.1 Coordonnée Gal-Chen.................................................................................................144

A3.2 Coordonnée Gal-Chen modifiée ..................................................................................146

A4. Détail de la modification des équations d’Euler......................................................................148

A4.1 L’équation pour U.......................................................................................................148

A4.2 L’équation de w..........................................................................................................149

A4.3 L’équation de continuité..............................................................................................151

A4.4 L'équation thermodynamique .....................................................................................152

A5. Mise à jour des champs ...........................................................................................................153

A6. Approximation hydrostatique................................................................................................155

A7. Interpolation cubique (André Robert)......................................................................................158

Bibliographie.................................................................................................................................164

I. Preface I. Préface

This report documents the approach used inthe numerical formulation of the dynamics ofthe MC2 model, the community compressiblemesoscale model designed by the Co-operativeCentre for Mesoscale Research. The MC2 is thefruit of several years of work by Montréalresearchers, initiated by André Robert.

Le présent rapport décrit la démarche menantà la formulation numérique de la dynamique dumodèle MC2, le modèle de mésoéchellecompressible communautaire du Centrecoopératif pour la recherche en mésoéchelle.Ce modèle, à l'instigation d'André Robert,concrétise plusieurs années du travail dechercheurs montréalais.

The MC2 originated from a nested regionalhydrostatic model, one based on the“primitive” equations and integrated on alimited domain with lateral boundaryconditions provided by a global orhemispheric driving model. This regionalmodel was developed at the RPN (Rechercheen Prévision Numérique) Division of thefederal Atmospheric Environment Service byRobert et al. (1985), to show the advantages ofcombining the semi-Lagrangian method withthe semi-implicit scheme (Robert, 1969;Kwizak and Robert, 1971) already applied ina number of weather forecasting models. Thenesting technique employed in this model wasinspired by that proposed by Davies (1976),and was validated in the work of Robert andYakimiw (1986) and Yakimiw and Robert(1990).

À l’origine, MC2 était un modèlehydrostatique régional piloté. Ce modèle, basésur les équations “primitives”, est intégré surun domaine restreint où les conditions auxfrontières latérales sont fournies par un modèlepilote mondial ou hémisphérique. Ce modèlerégional a été développé à RPN (Division deRecherche en Prévision Numérique du Servicede l’Environnement atmosphérique canadien)par Robert et al . (1985) pour montrer lesavantages de la méthode semi-lagrangiennecombinée au schéma semi-implicite (Robert1969, Kwizak et Robert 1971) déjà employédans plusieurs modèles météorologiques. Latechnique de pilotage utilisée dans ce modèles'inspire de celle de Davies (1976); elle futvalidée dans les travaux de Robert etYakimiw (1986) et Yakimiw et Robert (1990).

Préface 2

Tanguay et al. (1990) eliminated thehydrostatic approximation from the originaldynamic formulation, designed for large-scaleapplications. The semi-Lagrangian semi-implicit scheme, based on the Euler equations,makes it possible to integrate the non-hydrostatic equations efficiently. Using fullyelastic equations (no approximations) meansthat the model can be used at all scales.Topography was later incorporated in themodel by Robert and Denis (1990), employingthe Gal-Chen co-ordinate (Gal-Chen andSomerville, 1975), and variable verticalresolution was later included as well (Robertand Trudel, Giguère and Laprise, 1992,unpublished). Tanguay et al . (1992) modifiedthe semi-implicit scheme to minimize aproblem that appeared with the use of longtimesteps combined with small-scaleorography. Robert and Desgagné (1993)extended the semi-Lagrangian transport to thevertical; it had previously been applied onlyin the horizontal.

Tanguay et al. (1990) élimine l'approximationhydrostatique de la formulation dynamiqueoriginale, conçue pour la grande échelle. Leschéma semi-lagrangien et semi-implicite,basé sur les équations d’Euler, permetd’intégrer efficacement les équations nonhydrostatiques. L’emploi d'équationspleinement élastiques (sans approximation)permet d'utiliser le modèle à toutes leséchelles. Robert et Denis (1990) introduisentensuite la topographie en employant l acoordonnée de Gal-Chen (Gal-Chen etSomerville 1975). Plus tard, une résolutionverticale variable est incorporée (Robert etTrudel, Giguère et Laprise, 1992, non publié).Tanguay et al . (1992) modifient le schémasemi-implicite afin de minimiser un problèmecausé par l’emploi de longs pas de temps enprésence d’orographie de fine échelle. Robertet Desgagné (1993) étendent à la verticale l etransport semi-lagrangien qui, jusqu’àmaintenant, n’était appliqué qu’àl’horizontale.

Experiments with small-scale convection(Robert 1992) and microscale shock waveshave been carried out with a variant of thismodel by André Robert. A parameterizationfor the microphysical processes of clouds isnow being developed for the MC2 by WandaSzyrmer (environmental sciences doctoralstudent at UQAM) and Isztar Zawadzki. Anumber of other projects related to this modelare also in progress.

Des expériences de convection à échelle fine(Robert 1992) et d’ondes de choc à microéchelleont été faites avec une variante du mêmemodèle par André Robert. Wanda Szyrmer(étudiante au doctorat en sciences del’environnement à l’UQAM) et IsztarZawadzki développent un ensemble deparamétrages des processus de microphysiquedes nuages pour MC2. Divers autres projetsreliés à ce modèle sont aussi en cours.

Préface 3

Work has been under way since 1991 to couplethis regional model with the secondgeneration of the Canadian general circulationmodel (GCM) (McFarlane et al., 1992; Boer e tal ., 1992). A team based at UQAM under thedirection of René Laprise (J.-P. Blanchet andA. Robert, of UQAM, as well as G.J. Boer andN.A. McFarlane, of the Canadian ClimateCentre) obtained a three-year strategic grantfrom NSERC to develop the resulting regionalclimate model (RCM). Doctoral research byDaniel Caya (environmental sciences studentat UQAM) consists of implementing all thephysics parameterizations of the CanadianGCM in the MC2. The RCM team also includesMichel Giguère, manager of the UQAMprogram library, and research assistant GuyBergeron, who prepared most of this document.

Depuis 1991, on a entrepris des travauxdestinés à coupler ce modèle régional avec l aseconde génération du modèle de circulationgénérale (MCG, GCM en anglais) canadien(McFarlane et al . 1992, Boer et al . 1992). Pourdévelopper le modèle régional du climat(MRC, RCM en anglais) qui résulte ducouplage, une équipe centrée à l’UQAM,dirigée par René Laprise (J.-P. Blanchet et A.Robert de l’UQAM; G. J. Boer et N. A.McFarlane du Centre climatologiquecanadien), a obtenu une Subvention Stratégiquedu CRSNG d'une durée de trois ans. Larecherche de Daniel Caya (étudiant audoctorat en sciences de l’environnement àl’UQAM) consiste à implanter l’ensemble desparamétrages physiques du MCG canadiendans le modèle MC2. L’équipe du MRCcomprend aussi Michel Giguère, responsable dela programmathèque à l’UQAM et GuyBergeron, adjoint de recherche, auteurprincipal de ce document.

The development of the MC2 model took off onMay 7, 1992, at a meeting of the CCRM (Co-operative Centre for Research inMesometeorology) modelling sub-group, heldat RPN. After a suggestion by IsztarZawadzki, it was decided to employ themodel developed by André Robert as the basisfor a community mesoscale model for theCCRM's modelling activities. The project tookconcrete shape with the agreement of MichelBéland, head of RPN, to assign researchers,meteorologists and programmers from hisgroup to the development of a complete model.Robert Benoit agreed to act as co-ordinator ofthe MC2 project at RPN; Michel Desgagné wasassigned as manager of the program libraryand users support; and Yves Chartier was to bethe resource person for the specializedcomputer aspects. Since then, researchers fromCanada (McGill University, UQAM) andother countries (Paul-Sabatier Université)have begun using the MC2 as a common basisfor their modelling research.

Le développement du modèle MC2 a vraimentpris son envol le 7 mai 1992, lors d’une rencontredu sous-groupe de modélisation du CCRM(Centre coopératif pour la recherche enmésoéchelle) tenue à RPN. À la sollicitationd’Isztar Zawadzki, il fut décidé que lesactivités de modélisation du CCRMutiliseraient le modèle développé par AndréRobert. Le projet se concrétisa lorsque MichelBéland, chef du RPN, approuva l’affectationde chercheurs, de météorologues etd’informaticiens de son groupe audéveloppement d’un modèle complet. RobertBenoit accepta d’agir comme coordinateur duprojet MC2 à RPN : Michel Desgagné futdésigné responsable de la programmathèque etdu service aux usagers, et Yves Chartier,responsable des aspects informatiquesspécialisés. Depuis, des chercheurs canadiens(McGill, UQAM) et étrangers (UniversitéPaul-Sabatier) utilisent le modèle MC2 commebase commune dans leurs recherches enmodélisation.

RPN’s commitment in the MC2 project is to L’engagement de RPN dans le projet MC2consiste à

•include all necessary features (such asnesting, boundary layer physics) needed forthe common applications

•inclure les fonctionnalités requises (telles quele pilotage, la physique de couche limite) pourles applications typiques

Préface 4

•provide an extensive user's guide document •fournir un guide de l’usager

•adapt the coding to current CMC-RPNprogramming standards

•adapter le code MC2 aux normes deprogrammation CMC-RPN

•maintain a central model library evolvingwith the computing environment.

•maintenir la programmathèque centrale duMC2 en suivant l’évolution des environnementsinformatiques.

The distribution of the actual software of theMC2 model to the research community is madefrom the RPN site. Requests for installationshould be directed to

Dr. Robert BenoitRecherche en Prévision NumériqueEnvironment Canada2121 Trans-Canada North, 5th floorDorval (Québec)Canada H9P 1J3

Telephone 514-421-4762Fax: 514-421-2106E-Mail [email protected]

La distribution informatique elle-même dumodèle MC2 à la communauté de recherche estfaite à partir de RPN. Les demandesd’installation doivent être adressées à

Dr. Robert BenoitRecherche en Prévision NumériqueEnvironnement Canada2121 Trans-Canada nord, 5è étageDorval (Québec)Canada H9P 1J3

Téléphone 514-421-4762Télécopieur (Fax) 514-421-2106E-Mail [email protected]

The development contribution of RPN leadingto the first delivery of MC2 early in 1994 hasconcerned primarily the stability of theFortran code, the composition of the libraries,the internal documentation of the modules, anomenclature of the variables, themanagement of temporary work space, a muchgreater flexibility of the input and outputprograms, a mechanism for external control ofthe model configuration, the restart routine,self-nesting directly on Gal-Chen surfaces andvery importantly, the interface to theparameterization of physical processes. W i t hthis interface, MC2 is coupled to the unifiedRPN/CMC physics library, which therefore isincluded in the delivery of the “version 3” ofMC2 to the community at the beginning of 1994.

Le développement apporté par RPN au modèleMC2 jusqu’à sa première mise en circulation audébut de 1994 concerne surtout la structurestable du code Fortran, la répartition deslibrairies, la documentation interne desmodules, la nomenclature des variables, l agestion des vecteurs de travail, la flexibilitédes programmes d’entrée et de sortie, l econtrôle externe de la configuration du modèle,le fonctionnement en reprise, l’auto-pilotage encoordonnée Gal-Chen et la très importanteinterface aux processus physiquesparamétrisés. Grâce à cette interface, MC2 aété couplé avec la librairie unifiée dephysique du RPN/CMC, qui se trouve donc àêtre incluse dans la livraison de la “version 3”de MC2 à la communauté au début de 1994.

Préface 5

In this way, scientists using MC2 have accessto physical parameterizations that are well-tested and also reasonably complete; thesecomprise particularly all of the physicsutilized on a daily basis by the operationalmodels of the Canadian Meteorological Centreof Environment Canada, i.e. the global SEFand the regional RFE models. Thedocumentation manual of the RPN/CMCphysics is supplied with the installation ofMC2. The physics interface was designedsufficiently general to allow scientists tointroduce in MC2 their own modules ofphysical processes, following examplesexisting in the “version 3”; they would thuscontribute to augment the community library ofMC2. The portability of MC2 to a large set ofcomputers was also ensured.

De cette façon, les chercheurs utilisant MC2ont accès à des paramétrages très éprouvés etraisonnablement complets qui incluent enparticulier toute la physique employéequotidiennement par les modèles enexploitation au Centre MétéorologiqueCanadien d’Environnement Canada, soit l emodèle EFR (régional) et le modèle SEF(mondial). Le manuel de documentation de l aphysique RPN/CMC est fourni avecl’installation du MC2. L’interface est assezgénérale pour que les chercheurs puissentintroduire dans MC2 leurs propres modules deprocessus physiques, en suivant les exemplesdes modules de la “version 3”, et ainsicontribuer à la librairie communautaire deMC2. On s’est aussi assuré que MC2 étaitportable vers une vaste gamme d’ordinateurs.

Another important function of RPN for theMC2 model is the users support. Early in 1993,an (Internet) e-mail address was created byRPN and since then, it has been widely used bythe growing number of model users. Thismailbox is routed to the MC2 model librarian,who ensures a prompt reply. All the MC2community is urged to avail from this supportby sending their electronic messages to

RPN assure aussi l’important rôle du supportaux usagers. Dès le début de 1993, RPN a crééune adresse (Internet) e-mail qui a toujours ététrès populaire auprès d’un nombre croissantd’usagers du modèle. C’est le responsable de l aprogrammathèque du MC2 qui reçoit cesmessages et offre une réponse rapide. Onencourage toute la communauté des modeleursMC2 de s’en prévaloir en envoyant leursmessages électroniques à

[email protected]

The Division de Recherche en PrévisionNumérique (RPN) has gratefully accepted tohave this report translated in English.Special thanks go to the group lead by RobertBenoit, especially to Yves Chartier, who hasformatted the bilingual version of thisdocument.

Nous remercions la Division de Recherche enPrévision Numérique (RPN) pour avoir financéla traduction en anglais du document, ainsi quele groupe dirigé par Robert Benoit, et plusparticulièrement Yves Chartier, pour la miseen page de la version bilingue du document.

The MC2 model is still evolving, and not a l laspects of the current version of the modelwere covered in this document. Hence thisdocument is the first of a series that will try tokeep abreast of the computer code. In the nextversion, a section written by André Robert onthe ADI (“alternating-direction implicit”)scheme will be included, along with otherchanges that are currently being tested in themodel.

Comme la modélisation est en constanteévolution et que nous n’avons pas couvert toutela matière contenue dans le modèle MC2, cedocument se veut en constante évolution aussi.Voici donc la première version d’une série.Dans une seconde version, nous introduironsentre autre, un texte écrit par André Robert surle schéma ADI (“alternating-directionimplicit” en anglais), ainsi que lesmodifications présentement en cours pouraméliorer le modèle.

Préface 6

Readers are asked to notify the authors of anyerrors that may have inadvertently occurredin the document, by contacting

Le lecteur est prié de faire part aux auteurs detoute erreur qui a pu se glisser dans le documentet d'adresser ses commentaires à

Prof. René LapriseEarth Sciences DepartmentUniversity of Québec at MontréalP.O. 8888, Station “Downtown”Montréal (Québec)Canada H3C 3P8

Telephone (514) 987-3000 #3302Fax (514) 987-7749E-Mail [email protected]

Prof. René LapriseDépartement des sciences de la terreUniversité du Québec à MontréalC. P. 8888, Succursale “Centre-ville”Montréal (Québec)Canada H3C 3P8

Téléphone 514-987-3000 #3302Télécopieur (Fax) 514-987-7749E-Mail [email protected]

II. Introduction II. Introduction

The atmosphere can be described by means ofdifferent variables such as temperature,horizontal and vertical velocities, pressure,humidity, and liquid water amount. There is aprognostic equation for each of thesevariables, that can be organized so as to bringtogether all the dynamic terms, then thediabatic forcing terms and, finally, otherterms used in numerical treatment. Theprognostic equations then take the followingform:

L’atmosphère peut être caractérisée pardifférentes variables, notamment l atempérature, la vitesse horizontale etverticale du vent, la pression, l’humidité et l aquantité d’eau liquide. Il existe une équationpronostique pour chacune d'elles, que l'on peutorganiser de manière à regrouper tous lestermes dynamiques, puis les termes de forçagediabatique et, enfin, d’autres termes relatifsau traitement numérique. Dans cet esprit, leséquations pronostiques prennent la formesuivante :

dty = LL y + RR y + EE y + PP y + HH y + TT y

where y represents one of the above variables,and dt is a substantial derivative. The right-hand side of the prognostic equation has beenbroken down into six separate parts. The firstterm, L(y), represents the linear part of thegravity and elastic waves. The second term,R(y), represents all the remaining dynamicterms. The P(y) term contains the physicalparameterization acting in the vertical. TheH(y) term represents horizontal diffusion,while the E(y) and T(y) terms are directlylinked to the numerical treatment. The E(y)term represents the nesting done to blend themodel's variables with the driving modelvalues near the lateral boundaries. Finally,the T(y) term represents Robert's time filter.

où y représente une des variablesprécédemment mentionnées et dt est unedérivée substantielle. Le côté droit del’équation pronostique a été séparé en sixparties distinctes. Le premier terme, L(y),représente la partie linéaire des ondes degravité et élastiques. Le deuxième terme,R(y), représente l’ensemble des termesdynamiques restant. Le terme P(y) contient l eparamétrage physique opérant à la verticale.Le terme H(y) représente la diffusionhorizontale. Quant aux termes E(y) et T(y),ils sont directement liés au traitementnumérique. Le terme E(y) représente l epilotage qui est effectué pour faire tendre lesvariables du modèle vers les valeurs du piloteau voisinage des frontières latérales. Enfin, l eterme T(y) représente le filtre temporel deRobert.

Introduction 8

It is possible to solve for y by considering onlythe dynamic terms of the prognostic equations(L(y) and R(y)) and then correcting the valueof y by successively adding the terms (E(y ),P(y), H(y) and T(y)). This method ofhandling equations, called the “processsplitting” method, is used for the MC2 model.We will be examining in detail the treatmentof the dynamic part of the prognostic equationsin the first three chapters. We will thenanalyse the two numerical terms tha trepresent the nesting and the time filter. Wewill not describe the physicalparameterization term nor the horizontaldiffusion term.

Il est possible d’obtenir une solution pour y enne considérant que les termes dynamiques deséquations pronostiques (L(y) et R(y)) puis encorrigeant la valeur de y par l'ajout successifdes termes (E(y), P(y), H(y) et T(y)). Cetteméthode de traiter les équations, dite de“corrections successives”, est celle qu'utilise l emodèle MC2. Nous examinons de façondétaillée le traitement de la partiedynamique des équations pronostiques dans lestrois premiers chapitres. Par la suite, nousanalysons les deux termes numériques quireprésentent le pilotage et le filtre temporel.Nous ne décrivons pas le terme de paramétragephysique et le terme de diffusion horizontale.

In the first chapter we present the Eulerequations expressed in generalized co-ordinates, describe the impact on the equationsof modifying the vertical co-ordinate, anddefine the vertical co-ordinate used.

Dans le premier chapitre, nous présentons leséquations d’Euler exprimées en coordonnéesgénéralisées. Nous y abordons aussi l'impactd’un changement de la coordonnée verticale surles équations et définissons la coordonnéeverticale utilisée.

In the second chapter, we describe the semi-Lagrangian and semi-implicit scheme used inintegrating the Euler equations. We explainthe decoupling of the system of equationsnecessary to obtain a Helmholtz equation andthe process of back-substitution to completethe time step.

Au deuxième chapitre, nous décrivons l eschéma semi-lagrangien et semi-impliciteutilisé dans l'intégration des équationsd’Euler. Nous expliquons le découplage dusystème d'équations nécessaire à l'obtentiond'une équation d’Helmholtz ainsi que la mise àjour complétant le pas de temps.

In Chapter 3, we look at how the spatialdiscretization is accomplished. We break i tdown into two parts, the first dealing withvertical discretization and the second, withhorizontal discretization. In both cases we notonly define the discretization used, but alsoclosely examine the impact of thisdiscretization on the different equations, theform of the discretized Helmholtz equation,and the handling of specific cases at theboundaries. This discussion completes thetreatment of the dynamic part of theprognostic equations.

Au troisième chapitre, nous voyons comments'effectue la discrétisation spatiale. Nous l aséparons en deux parties, la première traitantde la discrétisation verticale et la seconde, dela discrétisation horizontale. Dans les deuxcas, nous définissons non seulement l adiscrétisation utilisée, mais examinons endétail l’impact de la discrétisation sur lesdifférentes équations, la forme que prendl’équation d’Helmholtz discrétisée, et l etraitement des cas particuliers aux frontières.Cette discussion complète le traitement de l apartie dynamique des équations pronostiques.

In Chapter 4, we describe the nesting methodused in the model; Chapter 5 is devoted to thetime filter.

Dans le quatrième chapitre, nous décrivons l améthode de pilotage utilisée dans le modèleet, dans le cinquième, le filtre temporel.

Introduction 9

We conclude by linking the formalism and theFORTRAN code. We will describe only themain subroutines of the model. Thisdescription is sufficiently detailed for readersto gain a general idea of the model's structureand to understand which subroutines calculatethe different terms.

En dernier lieu, nous établissons le lien entre l eformalisme et le code FORTRAN. Nousdécrivons uniquement les principaux sous-programmes du modèle. Cette description,suffisamment détaillée, permet au lecteur dese faire une idée générale de la structure dumodèle et de savoir quel sous-programmecalcule les différents termes.

1. The Euler equationsin generalized co-ordinates

1. Équations d’Euler en coordonnées généralisées

The Euler equations describing a gaseous flowat the surface of a rotating sphere, takingaccount of the traditional approximations inmeteorology (Phillips, 1966), assume thefollowing form when they are expressed in aconformal projection (see Tanguay et al., 1990):

Les équations d’Euler décrivant un écoulementgazeux à la surface d’une sphère en rotation,compte tenu des approximationstraditionnelles en météorologie (Phillips1966), prennent la forme suivante lorsqu’ellessont exprimées dans une projection conforme(voir Tanguay et al. 1990) :

dUdt

= f V - K ∂S∂X

- R T ∂q

∂X + FX (1.0.1)

dVdt

= - f U - K ∂S∂Y

- R T ∂q

∂Y + FY (1.0.2)

dwdt

= - g - R T ∂q

∂z + Fz (1.0.3)

(1- a) dqdt

= - S ( ∂U

∂X + ∂V

∂Y ) -

∂w

∂z + L

T (1.0.4)

dTdt

= a T dqdt

+ L (1.0.5)

dMdt

= E(1.0.6)

dCdt

= B(1.0.7)

CHAPITRE 1 Équations d'Euler en coordonnées généralisées 11

The variables used in these equations are:q = ln(p/p0) with p for pressure and p0 aconstant; U, V, w, M, and C are respectivelythe wind components according to the X, Y andz co-ordinates, humidity and liquid watercontent; f is the Coriolis parameter; K isspecific pseudo kinetic energy K=(U2+V2)/2;S=m2 is the metric projection term, m=(1+sinj0)/(1+sinj) for a polar stereographicprojection; L represents the heat sources andsinks affecting temperature T; FX, FY and Fzcorrespond to sources or sinks of momentum,depending on their respective components; Eand B are the terms for sources and/or sinks ofmoisture M and liquid water content C,respectively. The constants are:

Voici les variables que renferment ceséquations : q = ln(p/p0), soit p la pression et p0une constante; U, V, w, M, C représententrespectivement les composantes du vent selonles coordonnées X, Y, z, l’humidité spécifiqueet le contenu en eau liquide; f est le paramètrede Coriolis; K est la pseudo énergie cinétiquespécifique, K=(U2+V2)/2; S=m2 est le termemétrique de projection, m= (1+sinj0)/(1+sinj)pour une projection stéréographique polaire; Lreprésente les sources et puits de chaleuraffectant la température T; FX, FY et Fzcorrespondent, selon leur composanterespective, aux sources et puits de quantité demouvement; E et B sont les termes de sources etpuits de l’humidité M et du contenu en eauliquide C, respectivement. Les constantes sont :

g: acceleration due to gravity g: l’accélération gravitationnelle

R: gas constant for air R: la constante des gaz pour l'air

a : = R/Cp a : = R/Cp

Cp: heat capacity at constant pressure Cp: la capacité calorifique à pressionconstante

m: map scale factor m: le facteur d'échelle

j: latitude j: la latitude

j0: reference latitude for the conformaltransformation

j0: la latitude de référence de l atransformation conforme.

The total derivative in conformal co-ordinatesis interpreted as follows (Haltiner andWilliams 1971, Chap. 1):

La dérivée totale en coordonnées conformess’interprète de la façon suivante (Haltiner etWilliams 1971, chap. 1) :

ddt

= ∂∂t

+ S U∂∂X

+ V∂∂Y

+ w∂∂z . (1.0.8)

where the (U, V) components of the imagewind are defined in terms of the (u, v)components of the horizontal wind speed,expressed in a local (x, y, z) Cartesianreference system:

où les composantes (U, V) du vent image sontdéfinies en fonction des composantes (u, v) dela vitesse horizontale exprimées dans unréférentiel cartésien local (x, y, z)

UV

= 1m

- sin l - cos l

cos l - sin l u

v (1.0.9)


The (X,Y) components of the polarstereographic co-ordinate are functions oflongitude l:

Les composantes (X, Y) de la coordonnéestéréographique polaire sont des fonctions dela longitude l :

dXdY

= m - sin l - cos l

cos l - sin l dx

dy . (1.0.10)

1.1 Modified vertical

co-ordinate

1.1 Changement de

coordonnée verticale

As we will see later, it is convenient to performa transformation of vertical co-ordinate tosimplify the implementation of topography inthe model. We will start by determining howthe equations are affected when we change thevertical co-ordinate.

Comme on le verra plus loin, il est commoded’effectuer une transformation de coordonnéeverticale afin de faciliter l’implantation durelief dans le modèle. Examinons d'abord dequelle façon les équations sont influencées parle changement de la coordonnée verticale.

Given a field A, a function of the independentvariables X, Y and z, we change the verticalvariable to introduce a new co-ordinate, Z,which must be a monotonic function of theoriginal co-ordinate z. Thus the partialderivatives, in accordance with the chain ruleof differentiation, will then take thefollowing form (see Kasahara, 1974):

Soit un champ A, fonction des variablesindépendantes X, Y et z. Changeons l avariable verticale pour introduire une nouvellecoordonnée Z qui doit être une fonctionmonotone de la coordonnée originale z. Parsuite du changement de variable, les dérivéespartielles, obéissant à la règle de dérivationen chaîne, prennent la forme suivante (voirKasahara 1974) :

∂A∂c z

= ∂A∂c Z

+ ∂A∂Z c

∂Z∂c z

(1.1.1)

∂A∂z

= ∂A∂Z

∂Z∂z

(1.1.2)

where c represents either the X co-ordinate,the Y co-ordinate or time t. It is worth notinghere that z is the former geometric heightvertical co-ordinate and is not to be confusedwith the new co-ordinate, Z. This new co-ordinate is defined in Section 1.2. In the aboveequations and the following ones, a partialderivative in parentheses indicates that thesubscript variable (z or Z) is maintainedconstant during the differentiation. Thus theEuler equations take the following form:

où c représente soit la coordonnée X, soit l acoordonnée Y, soit le temps t. Notons ici que zest l’ancienne coordonnée verticale de hauteurgéométrique, qu'il ne faut pas confondre avec l anouvelle, notée Z. Cette nouvelle coordonnéeest définie à la section 1.2. Dans les équationsprécédentes et celles qui suivent, une dérivéepartielle entre parenthèses indique que l avariable indicée (z ou Z) est gardée constantelors de la différentiation. Ainsi les équationsd’Euler prennent la forme suivante :


dUdt

= f V - K ∂S∂X Z

- R T ∂q

∂X Z

+ ∂q

∂Z X

∂Z

∂X z

+ FX (1.1.3)

dVdt

= - f U - K ∂S∂Y Z

- R T ∂q

∂Y Z

+ ∂q

∂Z Y

∂Z

∂Y z

+ FY (1.1.4)

dwdt

= - g - R T ∂q

∂Z ∂Z

∂z + FZ (1.1.5)

(1- a) dqdt

= - ∂z

∂Z

-1

ddt

∂z

∂Z - S

∂U

∂X Z

+ ∂V

∂Y Z

- ∂W

∂Z + L

T(1.1.6)

dTdt

= a T dqdt

+ L(1.1.7)

dMdt

= E(1.1.8)

dCdt

= B(1.1.9)

The details of the transformation of thevertical co-ordinate for the continuityequation (1.1.6) are given in Appendix 1. Thetotal derivative must now be interpreted asfollows:

L’annexe 1 présente les détails de l atransformation de coordonnée verticale pourl’équation de continuité (1.1.6). La dérivéetotale doit maintenant être interprétée commesuit :

ddt

= ∂∂t Z

+ S U∂∂X Z

+ V∂∂Y Z

+ W∂∂Z (1.1.10)

where the generalized vertical velocity inthis co-ordinate system is interpreted asfollows:

où la vitesse verticale généralisée dans cesystème de coordonnées s'interprète commesuit:

W = ∂Z∂t z

+ S U∂Z∂X z

+ V∂Z∂Y z

+ w∂Z∂z (1.1.11)


The modification in the vertical co-ordinatehas brought terms such as (∂Z/∂X)z, (∂Z/∂Y)zand (∂Z/∂z) in the Euler equations (1.1.3)-(1.1.10), and these terms will be referred to asvertical co-ordinate transformation factors. Tosolve this system of equations, we must definethe transformation factors. In the next sectionwe will describe the Z co-ordinate and definethese factors.

Le changement de coordonnée verticale a fa i tapparaître des termes du genre (∂Z/∂X)z,(∂Z/∂Y)z et (∂Z/∂z) dans les équations d’Euler(1.1.3)-(1.1.10). Il est convenu d’appeler cestermes les facteurs de transformation decoordonnée verticale. Pour solutionner cesystème d’équations, il faut définir les facteursde transformation. Dans la prochaine section,nous décrivons la coordonnée Z et définissonsles facteurs de transformation.

1.2 Vertical co-ordinate 1.2 Coordonnée verticale

We will now define the vertical co-ordinate Z so that it possesses the followingproperties:

Définissons maintenant une coordonnéeverticale Z de manière à ce qu’elle possède lespropriétés suivantes :

• at ground level, the surface Z=0 isterrain-following;

• qu'au sol, la surface Z = 0corresponde à la topographie(«terrain-following» en anglais);

• at the top of the atmosphere, theconstant surface Z=H corresponds toa constant surface z;

• qu'au sommet de l’atmosphère, l asurface Z = H constant corresponde àune surface z constant;

• the co-ordinate admits variablevertical resolution.

• qu'elle permette une résolutionvariable dans la verticale.

The Gal-Chen co-ordinate (Gal-Chen andSomerville, 1975) possesses these properties,and is defined with the following relation:

La coordonnée de Gal-Chen (Gal-Chen etSommerville 1975) définie par la relationsuivante :

z X,Y,z = z - h0 X,YH - h0 X,Y

H(1.2.1)

where H is the top of the model atmosphere, zis the height in Gal-Chen units of length andh0(X,Y) is the function that determines theheight of topography. The co-ordinate isdefined so that the surface z = 0 corresponds tothe topography z = h0 and the surface z = H isat a constant height of z = H.

possède ces propriétés. Dans cette équation, Hest la hauteur du sommet de l’atmosphère dumodèle, z est la hauteur en unité de longueurGal-Chen et h0(X,Y) est la fonction quidétermine la hauteur de la topographie. Cettecoordonnée est définie de façon que la surfacez = 0 corresponde à la topographie z = h0 etque la surface z = H soit à une hauteurconstante z = H.


This type of co-ordinate has the advantagethat the kinematic condition at the surface,expressed by the following relation in zco-ordinate form

Cette coordonnée a ceci d'avantageux que l acondition cinématique au sol, exprimée par l arelation suivante en coordonnée z

w(X, Y, z= ho, t) = V X, Y, z= ho, t ◊ —ho , (1.2.2)

takes the form of a homogenous condition inthe z co-ordinate:

prend la forme d’une condition homogène encoordonnée z :

z X, Y, z=0,t = dzdt

(X, Y, z=0, t)

= 0 .(1.2.3)

The treatment of boundary conditions isdiscussed in detail in Appendix 3.

L’annexe 3 présente le traitement détaillé desconditions aux frontières.

For purposes of generality, however, themodel uses a variant of the Gal-Chenco-ordinate. This vertical co-ordinate Z is ahybrid of the Gal-Chen co-ordinate frequentlyused in non-hydrostatic models, and isobtained by stretching or compressing the Gal-Chen co-ordinate vertically. The Zco-ordinate then becomes a function of the Gal-Chen co-ordinate z, i.e.:

Cependant, par souci de généralité, le modèleutilise une variante de la coordonnée de Gal-Chen. Cette coordonnée verticale Z est unhybride de la coordonnée de Gal-Chenfréquemment utilisée dans les modèles nonhydrostatiques. Elle s'obtient en étirant ou encomprimant, à la verticale, la coordonnée deGal-Chen. La coordonnée Z devient donc unefonction de la coordonnée de Gal-Chen z, c'est-à-dire

Z = Z z X,Y,z . (1.2.4)

The relationship Z(z) need not be defined inorder to define the transformation factors.Considering the partial derivatives tha tinclude Z, that is

Il n’est pas indispensable de définir la relationZ(z) pour définir les facteurs detransformation. Lorsqu’on considère les troisdérivées partielles faisant intervenir Z, c'est-à-dire

∂Z∂X z

, ∂Z∂Y z

and/et ∂Z∂z

,

these derivatives can be expressed in terms ofz, as follows:

on constate qu’elles peuvent être exprimées enfonction de z de la façon suivante :

∂Z∂X z

= ∂Z∂X z

+ ∂Z

∂z

∂zzzz∂X z

= ∂Z

∂z

∂zzzz∂X z (1.2.5)


∂Z∂Y z

= ∂Z∂Y z

+ ∂Z

∂z

∂zzzz∂Y z

= ∂Z

∂z

∂zzzz∂Y z (1.2.6)

∂Z∂z

= ∂Z

∂z

∂zzzz∂z

(1.2.7)

Since Z is a function of z only, the horizontalderivatives of Z on a surface of constant z areidentically zero. The derivatives of z withrespect to X, Y and z are easily obtained fromequation (1.2.1). When the new Z co-ordinateis specified as a function of z, then thetransformation factor

Comme Z n’est fonction que de z, les dérivéeshorizontales de Z, sur une surface z constant,sont identiquement nulles. Les dérivées de zpar rapport à X, Y et z s’obtiennent aisément del’équation (1.2.1). Quand la nouvellecoordonnée Z sera précisée en fonction de z,alors le facteur de transformation

∂Z

∂z

can be calculated. However, if we discretizethe transformation factor, i.e.

pourra être calculé. Par contre, si nousdiscrétisons le facteur de transformation, c'est-à-dire

∂Z

∂z @ DZ

Dz ,

the new discrete function Z(z) will be specifiedby choosing the number of levels in thevertical domain. This determines thethickness between the model levels (DZ) andgives a value at each Dz. It is the variabilityof Dz as a function of height that allows us tocompress or stretch the Gal-Chen co-ordinatein the vertical. Thus we are free to set thethickness between each level, for instance toobtain greater resolution close to the surface. I tis interesting to note here that the modifiedGal-Chen co-ordinate still offers the benefit ofa homogenous kinematic conditionW(X,Y,Z=0,t) = 0 at the surface (Appendix 3).At the top of the model atmosphere, ahomogenous kinematic condition is employedfor simplicity's sake.

la nouvelle fonction discrète Z(z) sera préciséeen choisissant le nombre de niveaux dans l edomaine vertical. Cela détermine l’épaisseurentre les niveaux du modèle (DZ) et donne unevaleur à chacun des Dz. C’est la variabilité deDz en fonction de la hauteur qui nous permet decomprimer ou d’étirer, à la verticale, l acoordonnée de Gal-Chen. Ainsi nous aurons toutle loisir de fixer l’épaisseur entre chacun desniveaux afin de permettre, par exemple, uneplus haute résolution dans la région près de l asurface. Il est intéressant de noter ici que l acoordonnée de Gal-Chen modifiée conservel’avantage d’avoir, au sol, une conditioncinématique homogène W(X,Y,Z=0,t) = 0(annexe 3). Au sommet de l’atmosphère dumodèle, une condition cinématique homogèneest employée par simplicité.


To compress the expression of the Eulerequations we will define what are called themetric terms of the modified co-ordinates.These terms obviously come from the partialderivatives of z and Z with respect to theindependent variables X, Y and z, and arecalculated as follows:

Pour comprimer l’expression des équationsd’Euler, nous allons définir ce qu’il est convenud’appeler les termes métriques de changementde coordonnées. Ces termes proviennentévidemment des dérivées partielles de z et Zpar rapport aux variables indépendantes X, Yet z. Calculons ces dérivées partielles ainsi :

∂z∂X z

= - H - zH - h0

∂h0

∂X z =

g1g0 (1.2.8)

∂z∂Y z

= - H - zH - h0

∂h0

∂Y z =

g2g0 (1.2.9)

∂z∂z

= HH - h0

= 1g0

.(1.2.10)

When these partial derivatives are insertedin equations (1.2.5) to (1.2.7), we obtain:

Lorsque ces dérivées partielles sont introduitesdans les équations (1.2.5)-(1.2.7), nous obtenons

∂Z∂X z

= ∂Z

∂z

∂z∂X z

= g1g0

∂Z

∂z =

G1

G0 (1.2.11)

∂Z∂Y z

= ∂Z

∂z

∂z∂Y z

= g2g0

∂Z

∂z =

G2G0 (1.2.12)

∂Z∂z

= ∂Z

∂z

∂z∂z

= 1g0

∂Z

∂z = 1

G0 (1.2.13)

where où

G 0 = g

0

∂z∂Z (1.2.14)

G1 = g1 (1.2.15)


G2 = g2 (1.2.16)

and et

g0 = H - h0

H (1.2.17)

g1 = - H - z

H∂h0

∂X z

(1.2.18)

g2 = - H - z

H∂h0

∂Y z . (1.2.19)

Now, if we replace the partial derivatives ofZ with respect to X, Y and z with theexpressions obtained in (1.2.11) to (1.2.13), theEuler equations take the following form:

Maintenant, si nous remplaçons les dérivéespartielles de Z par rapport à X, Y et z par lesexpressions obtenues en (1.2.11)-(1.2.13), leséquations d’Euler prennent alors la formesuivante :

dUdt

= f V - K ∂S∂X Z

- R T ∂q

∂X Z

+ G1G0

∂q

∂Z + FX

(1.2.20)

dVdt

= - f U - K ∂S∂Y Z

- R T ∂q

∂Y Z

+ G2G0

∂q

∂Z + FY

(1.2.21)

dwdt

= - g - R TG0

∂q

∂Z + FZ

(1.2.22)

(1- a) dqdt

= S F1U + F2V - S ∂U

∂X Z

+ ∂V

∂Y Z

- 1G0

∂G0W

∂Z + L

T(1.2.23)

dTdt

= a T dqdt

+ L(1.2.24)


W = S G1U + G2V + w

G0

(1.2.25)

dMdt

= E(1.2.26)

dCdt

= B(1.2.27)

where où

F 1= 1g0H

∂h0

∂X z

(1.2.28)

F 2= 1g 0H

∂ h0

∂Y z

(1.2.29)

The details of the algebraic manipulationsnecessary for the continuity equation (1.2.23)are given in Appendix 2. From this point on,since all the terms of the equations arecalculated in (X, Y, Z) co-ordinates, subscript Zwill be omitted for all partial derivatives tosimplify the notation.

Les détails des manipulations algébriquesnécessaires pour arriver à l’équation decontinuité (1.2.23) sont donnés à l’annexe 2.Comme tous les termes des équations sontcalculés dans la coordonnée (X, Y, Z), nousomettrons désormais l’indice Z à côté desdérivées partielles, et ce afin d'alléger l anotation.

2. Time discretisation 2. Discrétisation temporelle

This chapter describes the time discretizationof the Euler equations in their new vertical co-ordinate. Time integration is done by means ofa semi-Lagrangian and semi-implicit scheme.For purposes of applying the semi-implicitscheme the T and q fields are expressed in twoparts. Each of these fields consists of a basicstate (y*) and a perturbation with respect tothis basic state (y’). For our basic state we willuse an isothermal atmosphere in hydrostaticequilibrium. This allows us to express the Tand q fields as follows:

Le présent chapitre décrit la discrétisationtemporelle des équations d’Euler dans leurnouvelle coordonnée verticale. L’intégrationtemporelle se traite à l’aide d’un schéma semi-lagrangien et semi-implicite. Dansl'application du schéma semi-implicite, leschamps T et q sont exprimés en deux parties.Chacun de ces champs est constitué d’un état debase (y*) et d’une perturbation par rapport àcet état de base (y’). L’état de base choisiconsiste en une atmosphère isotherme enéquilibre hydrostatique. Cela permetd’exprimer les champs T et q de la façonsuivante:

T(X, Y, Z, t) = T* + T'(X, Y, Z, t) (2.0.1)

q(X, Y, Z, t) = q*(z(X, Y, Z)) + q’(X, Y, Z, t) (2.0.2)

where où

T* = constant(e) (2.0.3)

dq*

dz = -

g

R T* (2.0.4)

q*(z) = q0 - g z X, Y, Z

RT*(2.0.5)

q0 = constant(e) (2.0.3)

These expressions for T and q are inserted intothe Euler equations, and the terms responsiblefor the elastic and gravity waves are shiftedto the left-hand side to obtain the followingequations:

Ces expressions pour T et q sont introduites dansles équations d’Euler et, pour obtenir leséquations suivantes, on déplace les termesresponsables des ondes élastiques et de gravitédu côté gauche de l’égalité :

Chapitre 2 Discrétisation temporelle 21

dUdt

+ R T* ∂q'

∂X = f V - K

∂S∂X

- R T' ∂q'

∂X - R T G1

G0 ∂q'

∂Z + FX

(2.0.7)

dVdt

+ R T*∂q'

∂Y = - f U - K

∂S∂Y

- R T' ∂q'

∂Y - R T G2

G0 ∂q'

∂Z + FY

(2.0.8)

dwdt

+ RT*

G0 ∂q'

∂Z - g T'

T* = - RT'

G0 ∂q'

∂Z + FZ

(2.0.9)

(1- a) dq'

dt -

gw

RT* + S

∂U

∂X + ∂V

∂Y +

g0

G0 ∂G0W

∂Z = S F1U + F2V -

1 - g0

G0 ∂G0W

∂Z + L

T(2.0.10)

dT'

dt - a T*

dq'

dt +

agR

w = a T'

1 - a S F1U + F2V - S

∂U

∂X + ∂V

∂Y - 1

G0 ∂G0W

∂Z + L

T + L

(2.0.11)

w - G0W = - S G1U + G2V (2.0.12)

dMdt

= E(2.0.13)

dCdt

= B .(2.0.14)

The details of the algebraic manipulations areshown in Appendix 4. We have modified theequation for the vertical component ofmomentum (2.0.9), to obtain a form suited toimplementing the semi-implicit scheme. As ofthis point, the diabatic terms in the Eulerequations are omitted, as they are evaluatedin a module that handles the entire physicspackage once the inviscid adiabatic time stepis completed (this is called “processsplitting”).

Les détails des manipulations algébriques sontprésentés à l’annexe 4. L’équation de l acomposante verticale du momentum (2.0.9) aété modifiée de manière à obtenir une formefacilitant l’implantation du schéma semi-implicite. À partir d’ici, les termesdiabatiques contenus dans les équations d’Eulersont laissés de côté. Ceux-ci sont évalués àl’intérieur d’un module traitant la physiquelorsque le pas de temps adiabatique et nonvisqueux est complété («process splitting» enanglais).


We define the total derivative (D/Dt) so tha twe can later use a three-dimensional or two-dimensional horizontal semi-Lagrangianscheme:

Nous définissons la dérivée totale (D/Dt) defaçon à pouvoir utiliser ultérieurement unschéma semi-lagrangien tridimensionnel oubidimensionnel à l’horizontale :

DDt

= ∂∂t

+ S U∂∂X

+ V∂∂Y

+ mW∂∂Z

.

The µ coefficient is a switch that allows us tohave a three-dimensional total derivative(µ = 1) or a two-dimensional total derivative(µ = 0). In the three-dimensional case, thecoefficient is unity and the vertical advectionterm is included in the total derivative. In thetwo-dimensional case, the coefficient is niland the vertical advection term is on theright-hand side of the equations.

Le coefficient m est un commutateur qui nouspermet d’avoir une dérivée totaletridimensionnelle (m = 1) ou une dérivée totalebidimensionnelle (m = 0). Dans le castridimensionnel, le coefficient est unitaire et l eterme d’advection verticale est contenu dans l adérivée totale. Dans le cas bidimensionnel, l ecoefficient est nul et le terme d’advectionverticale se retrouve du côté droit deséquations.

Through implicit treatment of the terms tha tgenerate elastic and gravity waves, i.e. byapplying a time average to these terms duringthe Lagrangian displacement t , we obtainthe following system:

En traitant de façon implicite les termes quigénèrent les ondes élastiques et de gravité,c’est-à-dire en appliquant à ces termes unemoyenne temporelle au cours du déplacementlagrangien t , nous obtenons le systèmesuivant :

DUDt

+ R T* ∂q'

∂X

t

= RU

(2.0.15)

DVDt

+ R T* ∂q'

∂Y

t

= RV (2.0.16)

DwDt

+ R T* g0

G0 ∂q'

∂Z

t

- g T'

T*

t

= Rw (2.0.17)

(1- a) Dq'

Dt -

gw

RT*

t + S

∂U

∂X

t

+ ∂V

∂Y

t

+ g0

G0 ∂G0W

∂Z

t

= Rq

(2.0.18)


DT'

Dt - a T*

Dq'

Dt +

ag

Rw t = RT

(2.0.19)

w t- G0W

t= RW (2.0.20)

DMDt

= RM(2.0.21)

DCDt

= RC

(2.0.22)

where the right-hand terms have thefollowing meaning:

Les termes de droite ont la significationsuivante :

RU = f V - K ∂S∂X

- R T' ∂q'

∂X - R T G1

G0 ∂q'

∂Z - 1 - m W

∂U∂Z

(2.0.23)

RV = - f U - K ∂S∂Y

- R T' ∂q'

∂Y - R T G2

G0 ∂q'

∂Z - 1 - m W

∂V∂Z

(2.0.24)

Rw = R T* g0

G0 ∂q'

∂Z - R T

G0 ∂q'

∂Z - 1 - m W

∂w∂Z

(2.0.25)

Rq = S F1U + F2V - 1 - g0

G0 ∂G0W

∂Z - 1 - m 1 - a W

∂q'

∂Z(2.0.26)

RT = a T'

1 - a S F1U + F2V - S

∂U

∂X + ∂V

∂Y - 1

G0 ∂G0W

∂Z - 1 - m W

∂ T'-aT*q'

∂Z

(2.0.27)

RW = - S G 1U + G2V (2.0.28)

RM = - 1 - m W∂M∂Z

(2.0.29)


RC = - 1 - m W∂C∂Z (2.0.30)

In the above equations, the factor (1 - µ) actsas a switch to make it possible to integrate themodel in its three-dimensional (µ = 1) or two-dimensional (µ = 0) semi-Lagrangian version.

Dans les équations ci-dessus, le facteur (1 - m) sert de commutateur permettant d’intégrerle modèle dans sa version semi-lagrangiennetridimensionnelle (m = 1) ou bidimensionnelle(m = 0).

The time discretization is done by replacingthe analytical form of the derivative and ofthe time average with their discrete forms.We use a centred second-order timediscretization along the Lagrangian trajectorysuch that:

La discrétisation temporelle s'effectue enremplaçant la forme analytique de la dérivéeet de l'opérateur de moyenne temporelle parleur forme discrète. Nous utilisons unediscrétisation du second ordre dans le temps,centrée le long de la trajectoire lagrangienne,telle que

DyDt

= y X, Y, Z , t + Dt - y X-2a, Y-2 b, Z-2gm , t - Dt

2Dt(2.0.31)

and an offcentred time average in thefollowing form:

et un opérateur de moyenne temporelledécentrée de la forme suivante

y t = 1 + e y X, Y, Z , t + Dt + 1 - e y X-2a, Y-2 b, Z-2gm, t - Dt

2 (2.0.32)

where the e coefficient represents the degreeto which the average is offcentred. Thisapproach is used to eliminate problems ofinstability of topographic waves associatedwith rapid flows (Tanguay et al., 1992). They X, Y, Z function corresponds to the fieldson grid points and y X-2a, Y-2 b, Z-2gm isobtained by a third-order Taylor seriesdevelopment in (2+m) dimensions(Appendix 7). Since the positionsX-2a, Y-2 b, Z-2gm do not necessarily

correspond to grid points, the Lagrangiandisplacements (a , b, g ) are calculatediteratively, as follows:

où le coefficient e est utilisé pour décentrer l amoyenne. Cette approche est utilisée pouréliminer les problèmes d’instabilité associésaux écoulements rapides en présenced’orographie (Tanguay et al. 1992). La fonctiony X, Y, Z correspond aux champs sur lespoints de grille et y X-2a, Y-2 b, Z-2gms’obtient par un développement en série deTaylor du 3e ordre en (2+m) dimensions (annexe7). Puisque les positionsX-2a, Y-2 b, Z-2gm ne correspondent pas

nécessairement à des points de grille, lesdéplacements lagrangiens (a , b, g ) sontcalculés par itération de la façon suivante


a X, Y, Z , t = Dt SU X-a, Y- b, Z-gm , t (2.0.33)

b X, Y, Z , t = Dt SV X-a, Y- b, Z-gm , t (2.0.34)

g X, Y, Z, t = m Dt W X-a, Y- b, Z-gm, t (2.0.35)

Robert (1985) presents the formalism of thesolution of (2.0.33)-(2.0.35).

Robert (1985) présente le formalisme de l asolution de (2.0.33) - (2.0.35).

The non-linear (Ry) terms on the right-handside of the equations are evaluated as theaverage of their values at time t at the twoextremities of the Lagrangian trajectory(Tanguay et al., 1992). In other words, thespatial position of the two extremities of thetrajectory is projected at time t. Inmathematical terms, we obtain:

Les termes non linéaires (Ry) du côté droit deséquations s’évaluent comme la moyenne desvaleurs qu'ils avaient au temps t aux deuxextrémités de la trajectoire lagrangienne(Tanguay et al . 1992). C'est-à-dire qu'onprojette, au temps t, la position spatiale desdeux extrémités de la trajectoire.Mathématiquement, nous obtenons :

Ry traj

= 1 + e Ry X, Y, Z , t + 1 - e Ry X-2a, Y-2 b, Z-2gm , t

2 . (2.0.36)

If we take the equation of momentum withrespect to X as a specific case, inserting thedefinitions (2.0.31) to (2.0.36) into equation(2.0.15) leads to the following expression:

Prenons l’équation du momentum selon X commecas particulier. L’introduction des définitions(2.0.31) à (2.0.36) dans l'équation (2.0.15) mèneà l'expression suivante

Ut + Dt - Ut - Dt

2 Dt + RT*

2 1 + e

∂q'

∂X

t + Dt

+ 1 - e ∂q'

∂X

t - Dt

= RU traj

in which the terms generating the elastic andgravity waves are treated implicitly. B yregrouping the terms evaluated at the sametime, we obtain:

où les termes générant les ondes élastiques et degravité sont traités de façon implicite. Enregroupant les termes évalués aux mêmestemps, on obtient

Ut + Dt + 1 + e Dt RT* ∂q'

∂X

t + Dt

= Ut - Dt - 1 - e Dt RT* ∂q'

∂X

t - Dt

+ 2 Dt RU traj

which is an equation of the form qui est une équation de la forme

QU = PU + 2Dt RU traj


where où

QU = Ut + Dt + 1 + e Dt RT* ∂q'

∂X

t + Dt

PU = Ut - Dt - 1 - e Dt RT* ∂q'

∂X

t - Dt

and RU is given by (2.0.23). et RU est donné par (2.0.23).

Generally speaking, when the terms fromequations (2.0.15) to (2.0.22) are groupedtogether according to the different times, weobtain equations in the form

De façon générale, lorsque les termes deséquations (2.0.15) à (2.0.22) sont regroupésselon les différents temps, nous obtenons deséquations de la forme

Qy = Py + 2Dt Ry traj

(2.0.37)

where Py and Ry represent the termscalculated from dependent variables at time t -Dt and t, respectively. If we proceed in thesame way for the other equations, we have thefollowing system of equations for the Qy termsat time t+Dt:

où Py et Ry représentent respectivement lestermes calculés à partir de variablesdépendantes aux temps t-Dt et t. En procédantde la même façon pour les autres équations,nous obtenons le système d’équations suivantpour les termes Qy au temps t+Dt :

U + 1 + e Dt R T* ∂q'

∂X = QU

(2.0.38)

V + 1 + e Dt R T* ∂q'

∂Y = QV

(2.0.39)

w + 1 + e Dt R T* g0

G0 ∂q'

∂Z - 1 + e Dt g T'

T* = Qw

(2.0.40)

(1- a) q' - 1 + e Dt gw

RT* + 1 + e Dt S

∂U

∂X +

∂V

∂Y + 1 + e Dt

g0

G0 ∂G0W

∂Z = Qq

(2.0.41)


T' - a T* q' + 1 + e Dt agR

w = QT (2.0.42)

G0W - w = - QW

1 + e Dt

(2.0.43)

M = QM (2.0.44)

C = Q (2.0.45)

For the Ry terms at time (t), we have: Pour les termes Ry au temps t, nous avons :

RU = f V - K ∂S∂X

- R T' ∂q'

∂X - R T G1

G0 ∂q'

∂Z - 1 - m W

∂U∂Z

(2.0.46)

RV = - f U - K ∂S∂Y

- R T' ∂q'

∂Y - R T G2

G0 ∂q'

∂Z - 1 - m W

∂V∂Z

(2.0.47)

Rw = R T* g0

G0 ∂q'

∂Z - R T

G0 ∂q'

∂Z - 1 - m W

∂w∂Z

(2.0.48)

Rq = S F1U + F2V - 1 - g0

G0 ∂G0W

∂Z - 1 - m 1 - a W

∂q'

∂Z(2.0.49)

RT = a T'

1 - a S F1U + F2V - S

∂U

∂X + ∂V

∂Y - 1

G0 ∂G0W

∂Z - 1 - m W

∂ T'-aT*q'

∂Z (2.0.50)

RW = - S G1U + G2V (2.0.51)

RM = - 1 - m W∂M∂Z

(2.0.52)


RC = - 1 - m W∂C∂Z (2.0.53)

And finally, for the Py terms at time t-Dt weobtain:

Et finalement pour les termes Py au temps t-D t ,nous avons :

PU = U - 1 - e Dt R T* ∂q'

∂X (2.0.54)

PV = V - 1 - e Dt R T* ∂q'

∂Y

(2.0.55)

Pw = w - 1 - e Dt R T* g0

G0 ∂q'

∂Z + 1 - e Dt g T'

T*(2.0.56)

Pq = (1- a) q' + 1 - e Dt gw

RT* - 1 - e Dt S

∂U

∂X +

∂V

∂Y - 1 - e Dt

g0

G0 ∂G0W

∂Z (2.0.57)

PT = T' - a T* q' - 1 - e Dt agR

w (2.0.58)

PW = - 1 - e Dt w - G0W (2.0.59)

PM = M (2.0.60)

PC = C (2.0.61)


Equations (2.0.38) to (2.0.43) form a system ofcoupled equations for the dependent variablesat time (t+Dt). Since this system of equationsmust be uncoupled to solve it, we will begin byeliminating U and V from the continuityequation by generating an expression forhorizontal divergence, with the horizontalcomponents of the momentum equations. Thisdivergence expression consists of the sum of thepartial derivative with respect to X of the Ucomponent and the partial derivative withrespect to Y of the V wind component, that is:

Les équations (2.0.38) à (2.0.43) forment unsystème d’équations couplées pour lesvariables dépendantes au temps t+Dt; il fautdécoupler ce système d’équations pour l erésoudre. La première étape consiste à éliminerU et V de l’équation de continuité en générantune expression pour la divergence horizontaleà l’aide des composantes horizontales deséquations du momentum. Cette expression de l adivergence consiste en la somme de la dérivéepartielle par rapport à X de la composante Uet de la dérivée partielle par rapport à Y de l acomposante V du vent, c'est-à-dire

∂(2.0.38)∂X

+ ∂(2.0.39)

∂Y .

We then insert this expression for divergenceinto the continuity equation (2.0.41), to obtain

Par la suite, nous introduisons cette expressionde la divergence dans l’équation de continuité(2.0.41) pour obtenir

(1- a) - 1 + e 2 Dt2 RT*S —2 q' + 1 + e Dt

g0

G0 ∂G0W

∂Z -

1 - a g

RT* w = A4

(2.0.62)

where où

A4 = Qq - 1 + e Dt S ∂QU

∂X +

∂QV

∂Y (2.0.63)

The second step consists of eliminating T’ fromthe thermodynamic equation (2.0.42) by usingthe expression of T’ that we can extract fromthe vertical component of the momentumequation (2.0.40). We will begin by isolatingthe gDt(T’/T*) term on the right-hand side ofequation (2.0.40). Then, by multiplying thethermodynamic equation (2.0.42) by gDt/T* wegenerate a term gDt(T’/T*) within thisequation, which is replaced by the expressionobtained earlier from equation (2.0.40). Wethen group together the terms in w and in q’, toobtain the following equation:

La seconde étape consiste à éliminer T’ del’équation thermodynamique (2.0.42) enutilisant l’expression de T’ que nous pouvonsextraire de la composante verticale del’équation du momentum (2.0.40). Commençonspar isoler le terme gDt(T’/T*) du côté droit del’équation (2.0.40). Ensuite, en multipliantl’équation thermodynamique (2.0.42) pargDt/T*, nous générons un terme gDt(T’/T*) danscette équation, qui est remplacé parl’expression obtenue précédemment del’équation (2.0.40). Par la suite, nousregroupons les termes en w et en q’ pour obtenirl’équation suivante :


1 + 1 + e 2 Dt2 ag2

RT* w + 1 + e Dt RT* D1 q' = A5

(2.0.64)

where où

D1 q' = g0

G0 ∂q'

∂Z -

ag

RT* q'

(2.0.65)

and et

A5 = Qw + 1 + e Dt g

T* QT

(2.0.66)

We will now eliminate w from the equationsystem, using equation (2.0.43). The followingexpression for w

Maintenant, nous allons éliminer w du systèmed’équations à l’aide de l’équation (2.0.43).L’expression suivante pour w

w = G0W + QW

1 + e Dt

is inserted into equations (2.0.64) and (2.0.62)to give:

est introduite dans les équations de (2.0.64) et(2.0.62) pour obtenir

C1G0 W + 1 + e Dt RT* D1 q' = A1 (2.0.67)

(1- a) - 1 + e 2 Dt2 RT*S —2 q' + 1 + e Dt D2 G0W = A3 (2.0.68)

where où

C1 = 1 + 1 + e 2 Dt2

ag2

RT*

(2.0.69)

A1 = A5 - QW

1 + e Dt C1

(2.0.70)

A3 = A4 + QW 1 - a g

RT*

(2.0.71)


D2 G0W = g0

G0 ∂G0W∂Z

- g 1-aRT*

G0W . (2.0.72)

Then all that remains to obtain an equation inq’ is to eliminate W from the equation system.We isolate G0W on the left-hand side ofequation (2.0.67) and insert the results intoequation (2.0.68), giving the Helmholtzequation:

Pour obtenir une équation en q’, il ne reste plusqu’à éliminer W du système d'équations. Ainsi,on isole G0W du côté gauche de l’équation(2.0.67) et on introduit le résultat dansl’équation (2.0.68), ce qui donne l’équationd’Helmholtz :

C1 (1- a) - 1 + e 2 Dt2 RT*S —2 q' - 1 + e 2 Dt

2RT*D2 D1 q' = A2 (2.0.73)

where où

A2 = C1 A3 - 1 + e Dt D2 A1 . (2.0.74)

To recapitulate, to obtain the fields at time(t+Dt), we must first evaluate the followingterms:

Si nous récapitulons, pour obtenir les champsau temps (t + Dt ), il nous faut d’abord évaluerles termes suivants :

C1 = 1 + 1 + e 2 Dt2 ag2

RT* (2.0.75)

A5 = Qw + 1 + e Dt g

T* QT

(2.0.76)

A4 = Qq - 1 + e Dt S ∂QU

∂X +

∂QV

∂Y (2.0.77)

A3 = A4 + QW 1 - a g

RT*

(2.0.78)

A1 = A5 - QW

1 + e Dt C1

(2.0.79)

A2 = C1 A3 - 1 + e Dt D2 A1 . (2.0.80)


We then solve the Helmholtz equation toobtain q’ (2.0.73). Finally, we update the W ,w, T’, U and V fields using the followingrelations:

Par la suite, nous résolvons l’équationd’Helmholtz afin d’obtenir q’ (2.0.73). Etfinalement, nous effectuons la mise à jour deschamps W, w, T’, U et V à l’aide des relationssuivantes :

W = 1C1G0

A1 - 1 + e Dt RT*D1 q'

(2.0.81)

w = QW

1 + e Dt + G0W

(2.0.82)

T' = QT + aT*q' - 1 + e Dt agR

w(2.0.83)

U = QU - 1 + e Dt RT* ∂q'

∂X (2.0.84)

V = QV - 1 + e Dt RT* ∂q'

∂Y . (2.0.85)

The details of the back-sustitution process aregiven in Appendix 5. Then the C and Mvariables must be updated to complete thetime step, using relations (2.0.44) and (2.0.45).

Les détails de la mise à jour sont présentés àl’annexe 5. Pour compléter le pas de temps, i lne reste qu’à effectuer la mise à jour desvariables C et M en utilisant les relations(2.0.44) et (2.0.45).

Thus far we have performed the timediscretization of the equations and obtained aHelmholtz equation. But although we nowknow all the steps to be carried out to conduct atime step, since we know the values of the q’,W, w, T’, U and V fields only at discretepoints, we must evaluate the partial spatialderivatives of these fields by finitedifferences. This is the subject of the nextchapter.

Jusqu'à présent, nous avons effectué l adiscrétisation temporelle des équations et nousavons obtenu une équation d’Helmholtz. Nousconnaissons donc toutes les étapes à suivre pourréaliser un pas de temps. Comme nous neconnaissons les valeurs des champs q’, W, w, T’,U et V qu’en des points discrets, nous devonsévaluer les dérivées partielles spatiales de ceschamps par différences finies, ce qui constituel'objet du chapitre suivant.

3. Spatial discretization

3. Discrétisation spatiale

Before undertaking the discretization as such,we will define the type of grid used. Since weare using a staggered grid, it is essential tha twe know where the different fields arelocated before proceeding with thediscretization. Once the grid has been defined,we will be able to discretize the differentialoperators. And since all the fields of anequation must be available on the same gridpoints, we must define spatial interpolationoperators to correctly position the fields on thegrid.

Avant d’entreprendre la discrétisation pro-prement dite, nous allons définir le type degrille utilisée. Comme nous utilisons une grillede type décalé (« staggered »), il est impératifde savoir où sont positionnés les différentschamps avant d’effectuer la discrétisation.Une fois la grille définie, nous serons capablesde discrétiser les opérateurs différentiels. Deplus, parce que tous les champs d’une équationdoivent être disponibles sur les mêmes pointsde la grille, il faut définir des opérateurs d’in-terpolation spatiale pour positionner leschamps au bon endroit sur la grille.

Once the discretization has been defined, theEuler equations can be manipulated to obtain aHelmholtz equation. In particular, we will seehow the boundary conditions influence theseequations. The vertical and horizontaldiscretizations will be treated separately, toavoid unnecessarily complicated algebra.

Une fois la discrétisation définie, la manipu-lation des équations d'Euler permet d'obtenirune équation d’Helmholtz. Nous examinonsparticulièrement l'impact des conditions auxfrontières sur les équations. Le traitement desdiscrétisations verticale et horizontale estfait séparément pour ne pas alourdir le déve-loppement algébrique.

3.1 Vertical discretization 3.1 Discrétisation verticale

The vertical arrangement of the model levelsis represented in Figure 1. We have twovertical grids: the first is defined using the setof full k indices, and the second with the set ofhalf k-1/2 indices. The U, V and q’ fields arerepresented on the k levels, and the w, W, T’,M and C fields on the k-1/2 levels. The levelsindexed by full values of k are called“momentum” levels, while those indexed by k-1/2 are called “thermodynamic” levels. Foreach grid we have Nk levels, so the highestmomentum level is located at k=Nk, and thehighest thermodynamic level is a tk=k=Nk-1/2. An additional level, k=Nk+1/2,is used solely to apply the upper boundaryconditions where z=z=Z=H. No calculation isdone at this level.

La figure 1 présente la disposition verticaledes niveaux du modèle. Nous avons deux grillesverticales, la première est définie à l’aide del’ensemble des indices entiers k, et la seconde,par l’ensemble des indices k-1/2. Les champsU, V et q’ apparaissent sur les niveaux k tandisque les champs w, W, T’, M et C se trouvent surles niveaux k-1/2. Les niveaux avec l’indicepar k sont appelés niveaux momentum et lesniveaux avec l’indice k-1/2 sont appelés ni-veaux thermodynamiques. Nous avons pourchaque grille Nk niveaux. Ainsi, le plus hautniveau momentum est situé à k=Nk et le plushaut niveau thermodynamique, à k=Nk-1/2.Un niveau supplémentaire, soit k=Nk+1/2, sertuniquement à l'application des conditions à l afrontière supérieure où z=z=Z=H. Aucun calculn’est effectué sur ce niveau.

Chapitre 3 Discrétisation spatiale 34

w = 0 , W = 0

k = 1

k = Nk

k = 3/2

k = 1/2

w, W, M, CT',

W = 0, M, CT ',ws,

U, V, q '

kk = N +1/2

k = Nk -1/2

k = Nk-1U, V, q '

w, W, M, CT',

U, V, q '

FIGURE 1 Representation of the staggeredvertical grid, position of levels, location of fields andvertical boundary conditions.

FIGURE 1 Représentation de la grille verti-cale décalée, du positionnement des niveaux, de lalocalisation des champs et des conditions aux fron-tières à la verticale.

The vertical derivative ∂ZZZZ is discretized usinga second-order centred finite difference. Thusthe differential operator applied to a y fieldlocated on the momentum levels will give aresult on the thermodynamic level locatedbetween the two momentum levels and viceversa. We have indexed the differentialoperators to indicate the level on which theresult of the operator is located. Thus:

La discrétisation de la dérivée verticale ∂ZZZZ estfaite en utilisant une différence finie centréedu second ordre. Cette différence finie est cen-trée sur une longueur d’une maille. Ainsi, l’opé-rateur différentiel appliqué à un champ y si-tué sur les niveaux momentum donne un résultatsur le niveau thermodynamique situé entre lesdeux niveaux momentum, et vice versa.L’indice sur les opérateurs différentiels in-dique sur quel niveau se trouve le résultat del’opérateur. Ainsi,

∂Zy k ª dZy k = yk+1/2 - yk-1/2

DZ (3.1.0.1)

and et

∂Zy k-1/2 ª dZy k-1/2 = yk - yk-1

DZ (3.1.0.2)


represent the discretization of the partialderivative with respect to Z of the y field,whose results are located on a momentum leveland a thermodynamic level, respectively. Wealso define the vertical-average ( Z )operator:

représentent les discrétisations de la dérivéepartielle selon Z du champ y, dont lesrésultats apparaissent respectivement sur desniveaux momentum et thermodynamique. Nousdéfinissons aussi l’opérateur de moyenneverticale ( Z ) de la façon suivante :

y Zk-1/2 =

yk + yk-1

2 (3.1.0.3)

y Zk =

yk+1/2 + yk-1/2

2 (3.1.0.4)

These operators are used to interpolate amomentum-type field onto a thermodynamiclevel or a thermodynamic-type field onto amomentum level.

Ces opérateurs servent à interpoler un champd’un niveau de type momentum sur un niveau detype thermodynamique, ou encore un champd’un niveau de type thermodynamique sur unniveau de type momentum.

Each equation is applied to a specific type oflevel. The two horizontal components of themomentum equation and the continuityequation are applied to momentum-typelevels; the vertical component of themomentum equation, the thermodynamicequation and the equation defining W areapplied to thermodynamic-type levels. Al lthe variables appearing in an equation and notnaturally located on the same type of level asthe equation will be interpolated using thevertical average-operator.

Chaque équation est appliquée sur un type deniveau déterminé: les deux composantes hori-zontales de l’équation du momentum et l’équa-tion de continuité sont appliquées sur les ni-veaux de type momentum. La composante ver-ticale de l’équation du momentum, l’équationthermodynamique et l’équation qui définit Wsont appliquées sur des niveaux de type ther-modynamique. Toutes les variables qui appa-raissent dans une équation et qui ne sont pas na-turellement situées sur le même type de niveauque celui de l’équation sont interpolées à l’aidede l’opérateur de moyenne verticale.

3.1.1 Discretization of equations 3.1.1 Discrétisation des équations

Now that we know the type of level on whicheach equation is located and the type ofvertical discretization, we will express thetime- and vertically discretized Eulerequations. Each equation is expressed indiscrete form and takes account of specialboundary cases; the range of levels for whichthe equation is valid is specified.

Maintenant que les niveaux où se trouve chaqueéquation et que le type de discrétisation verti-cale sont connus, les équations d’Euler discréti-sées temporellement et à la verticale peuventêtre présentées. Chaque équation, expriméesous forme discrète, tient compte des cas spé-ciaux aux frontières, et la plage de niveauxpour lesquels l’équation est valable est préci-sée.


As we saw earlier, the time-discretized Eulerequations involve three time levels:

Comme nous l’avons vu précédemment, leséquations d’Euler sous forme discrète par rap-port au temps impliquent trois niveaux detemps :

Qy(t + Dt) = Py(t - Dt) + 2Dt Ry(t) traj . (3.1.1.1)

We will look at the vertical discretization foreach of these time levels individually.

Examinons séparément la discrétisationverticale de chacun de ces niveaux de temps.

3.1.1.1 Q y terms at time (t+Dt) 3.1.1.1 Termes Q y au temps (t+Dt)

Uk + 1+e Dt R T* ∂qk

'

∂X = QU k

1 £ k £ Nk (3.1.1.

Vk + 1+e Dt R T* ∂qk

'

∂Y = QV k

1 £ k £ Nk (3.1.1.

wk-1/2 + 1+e Dt R T* g0

G0 k-1/2 dZq' k-1/2 - 1+e Dt g

Tk-1/2'

T* = Qw k-1/2

2 £ k £ Nk (3.1.1.

1- a qk' - Dt

g wZk

RT* + 1+e Dt S

∂Uk

∂X +

∂Vk

∂Y + 1+e Dt

g0

G0 k dZG0W k = Qq k

1 £ k £ Nk (3.1.1.

Tk-1/2' - a T* q'Z k-1/2 + 1+e Dt

agR

wk-1/2 = QT k-1/2 1 £ k £ N

G0W k-1/2 - wk-1/2 = - QW k-1/2

1+e Dt 1 £ k £ Nk (3.1.1.

Mk-1/2 = QM k-1/2 1 £ k £ Nk (3.1.1.

Ck-1/2 = QC k-1/2 1 £ k £ Nk (3.1.1.


It is worth noting here that thethermodynamic equation (3.1.1.6) must bemodified slightly at level k=1/2 toapproximate q’ at the surface. We will returnto this point later in the chapter (3.1.1.45).Note also that the prognostic equation for w(3.1.1.4) is undefined at the surface, since it isthe boundary condition that prevails at thislevel. This lower boundary condition ws comesfrom the diagnostic equation for W (3.1.1.7),where W1/2 =0 is known.

Notons ici que l’équation thermodynamique(éq. 3.1.1.6) doit être légèrement modifiée auniveau k=1/2 pour approximer q’ au sol. Nous yreviendrons plus loin dans le chapitre(équation 3.1.1.45). Notons aussi que l’équationpronostique pour w (3.1.1.4) n’est pas définie ausol puisque c’est la condition à la frontière quiprévaut à ce niveau. Cette condition à l afrontière inférieure ws provient de l’équationdiagnostique de W (3.1.1.7), où l’on connaîtW1/2 =0.

3.1.1.2 R y terms at time (t) 3.1.1.2 Termes R y au temps (t)

The Ry terms at time (t) are presented in threeseparate blocks. The first block deals with theRy terms defined for k values such that 2 £ k £Nk, i.e. the general case. Secondly, we treatthe Ry terms at the surface and, finally, in thelast block, the Ry terms at the upper boundary.Breaking the Ry terms into three blocks isnecessary to highlight the special cases at theupper and lower boundaries.

Les termes Ry au temps (t) sont présentés entrois blocs séparés. Le premier traite destermes Ry définis pour les valeurs de k où 2 £ k£ Nk, soit le cas général. Dans le deuxième,nous traitons les termes Ry au sol et finalement,dans le dernier, les termes Ry à la frontièresupérieure. La séparation des termes Ry entrois blocs est nécessaire pour mettre enévidence les cas particuliers aux frontièressupérieures et inférieures.

General case : 2 £ k £ N k -1 Cas général : 2 £ k £ N k -1

RU k = f Vk - Kk ∂Sk

∂X - R T'Z

k ∂qk

'

∂X - R T G1

G0 dZq'

Z

k - 1-m W dZU

Zk

(3.1.1.10)

RV k = - f Uk - Kk ∂Sk

∂Y k - R T'Z

k ∂qk

'

∂Y - R T G2

G0 dZq'

Z

k - 1-m W dZV

Zk

(3.1.1.11)

Rw k-1/2 = R T* g0

G0 dZq'

k-1/2 - R T

G0 dZq'

k-1/2 - 1-m Wk-1/2 dZw

Zk-1/2

(3.1.1.12)

Rq k = S F1Uk + F2Vk - 1 - g0

G0 k dZG0W k - 1-m 1 - a WdZq'Z k

(3.1.1.13)

RT k-1/2 = a Tk-1/2

'

1 - a S F1U + F2V - S

∂U

∂X +

∂V

∂Y - 1

G0 dZG0W

Z

k-1/2


- 1-m Wk-1/2 dZ T'Z - aT*q' k-1/2 (3.1.1.14)

RW k-1/2 = - S G1U + G2V Z k-1/2 (3.1.1.15)

RM k-1/2 = - 1-m Wk-1/2 dZMZ

k-1/2 (3.1.1.16)

RC k-1/2 = - 1-m Wk-1/2 dZCZ

k-1/2 (3.1.1.17)

Case at the lowest level: k=1 Cas au plus bas niveau : k=1

At the surface, the Ry terms cannot all beevaluated as defined by the discretizedoperators. In some cases, the dZ and ( Z )operators require the use of fields located onlevels that are not part of the verticaldefinition domain. We must then estimate theundefined terms. We will see how to evaluatethe undefined terms for each of the Ry terms.

Au sol, il n’est pas possible d’évaluer tous lestermes Ry tels que définis par les opérateursdiscrétisés. Dans certains cas, les opérateurs dZet ( Z ) nécessitent l’utilisation de champssitués sur des niveaux qui ne font pas partie dudomaine vertical. Dans de tels cas, il faut es-timer les termes qui ne sont pas définis. Voyonscomment évaluer les termes non définis pourchacun des termes Ry.

RU Term Terme RU

In RU (3.1.1.10) we have three components tha temploy either the dZ or ( Z ) operator orboth. The vertical gradient term for q’ is aproblem. At the surface we have:

Dans RU (3.1.1.10), trois composantes fontintervenir soit l’opérateur dZ, soit l’opérateur( Z ), soit les deux. Le terme de gradientvertical de q’ pose un problème. Au sol,

dZq'Z 1 (3.1.1.18)

which requires that we know dZZZZq’ at the 1/2and 3/2 levels to satisfy the definition of( Z ). But the (dZZZZq’)1/2 field cannot beevaluated, because q’ does not exist at level 0.Thus we evaluate (dZZZZq’)1/2 using thehydrostatic approximation (Appendix 6), andthis gives us the following expression:

nécessite dZZZZq’ aux niveaux 1/2 et 3/2 poursatisfaire la définition de ( Z ). Or, l echamp (dZZZZq’)1/2 ne peut être évalué parce que q’n’existe pas au niveau 0. Nous évaluons donc(dZZZZq’)1/2 à l’aide de l’approximationhydrostatique (annexe 6) pour obtenirl’expression suivante :

dZq' 1/2 = g

RT*2 G0T'

1/2 .(3.1.1.19)


By inserting this expression into the verticalaverage of T(G1/G0)(dZZZZq’) at the surface, weobtain the following form:

En introduisant cette expression dans l amoyenne verticale de T(G1/G0)(dZZZZq’) au sol,nous obtenons la forme suivante :

T G1G0

dZq'Z

1 =

T G1G0

dZq'3/2

+ T1/2 G1G0 1/2

g

RT*2 G0T'

1/2

2 .

(3.1.1.20)

The other components of RU that call forvertical operators do not pose any problems.The horizontal gradient of the q’ terminvolves a vertical average on the T’ field.Since this field is known on thermodynamiclevels T’

1/2 and T’3/2, the ( Z ) operator

applied to T’ is defined for level k=1. In thelast term we have a vertical average appliedto the vertical advection of U, that is:

Les autres composantes de RU où interviennentles opérateurs verticaux ne posent pas deproblème. Le terme de gradient horizontal deq’ fait intervenir une moyenne verticale sur l echamp T’. Comme ce champ est connu sur lesniveaux thermodynamiques T’

1/2 et T’3/2,

l’opérateur ( Z ) appliqué à T’ est définipour le niveau k=1. Dans le dernier terme, nousavons une moyenne verticale appliquée àl’advection verticale de U, c'est-à-dire

W dZUZ

1 = WdZU 3/2 + WdZU 1/2

DZ .

The lower level (WdZZZZU)1/2 is not reallydifficult to evaluate, even though U0 does notexist, since W1/2=0 necessarily implies(WdZZZZU)1/2=0. Thus the vertical average of(WdZZZZU) evaluated at the lower momentumlevel (level 1) is fully defined (see Figure 2).

Le niveau inférieur (WdZZZZU)1/2 ne pose pasvraiment de problème malgré le fait que U0n’existe pas, parce que W1/2=0 implique obli-gatoirement (WdZZZZU)1/2=0. Ainsi, la moyenneverticale de (WdZZZZU) évaluée au niveau mo-mentum inférieur (niveau 1) est entièrementdéfinie (voir figure 2).

At the surface, the expression of RU (2.1.10)will have only the component representing thevertical gradient of q’ modified, to be replacedby equation (3.1.1.20).

Au sol, seule la composante représentant l egradient vertical de q’ dans l’expression de RU(2.1.10) est modifiée pour être remplacée parl’équation (3.1.1.20).


_ _ _ _ _ _ W5/2 dZU 5/2

_________

W5/2 dZU 5/2 + W3/2 dZU 3/2

2 = WdZU

Z2

_ _ _ _ _ _ W 3/2 dZU 3/2

_________

W3/2 dZU 3/2 + 02

= WdZUZ

1

_ _ _ _ _ _ W 1/2 = 0

FIGURE 2 Schematic representation of levels:momentum are shown as solid lines, thermodynamicas dashed lines. Position of the W(dZZZZU)k-1/2 fieldnear the lower boundary. Position and values of thevertical average of W(dZZZZU).

FIGURE 2 Représentation schématique desniveaux momentum en ligne continue etthermodynamique en ligne brisée. Positionnement duchamp W(dZZZZU)k-1/2 près de la frontière inférieure.Positionnement et valeurs de la moyenne verticale deW(dZZZZU).

RV Term Terme RV

The RV term (3.1.1.11) has components similarto those in RU. Thus by using an approachsimilar to that employed for the RU, term, weobtain the following expression for thevertical gradient of q’ at the surface:

L’expression pour RV (3.1.1.11) contient descomposantes semblables aux composantes deRU. Ainsi, avec une démarche similaire à celleutilisée pour le terme RU, nous obtenons l’ex-pression suivante pour le gradient vertical deq’ au sol :

T G2G0

dZq'Z

1 =

T G2G0

dZq'3/2

+ T1/2 G2G0 1/2

g

RT*2 G0T'

1/2

2 .

(3.1.1.21)

Rw Term Terme Rw

The Rw term (3.1.1.12) can remain undefined a tthe surface since we do not apply theprognostic equation for w there. At this levelthe kinematic condition (1.2.2) obtains.

Il n'est pas nécessaire de définir le terme Rw(3.1.1.12) au sol puisque l’équation pronostiquepour w au sol n'est pas utilisée; la conditioncinématique (1.2.2) prévaut à ce niveau.


Rq Term Terme Rq

In the expression for Rq (3.1.1.13) the averagevertical advection component for q’

Dans l’expression de Rq (3.1.1.13), l acomposante moyenne de l’advection verticalede q’

W dZq' Z1 =

WdZq' 3/2 + WdZq' 1/2

2

is evaluated as before. The lower boundarycondition, W1/2=0, zeroes the verticaladvection at level 1/2, that is (WdZZZZq’)1/2=0.

s’évalue comme précédemment. La condition àla frontière inférieure, W1/2=0, amène à zérol’advection verticale au niveau 1/2, c’est-à-dire (WdZZZZq’)1/2=0.

RT Term Terme RT

The vertical advection component in the RTterm (3.1.1.14) is nil at the surface, because ofthe lower boundary condition (W1/2=0), andwe have

Dans le terme RT (3.1.1.14), la composanted’advection verticale est nulle au sol à causede la condition à la frontière inférieure(W1/2=0) et nous avons

WdZ T'Z - aT*q' 1/2 = 0 . (3.1.1.22)

The three-dimensional divergence componentin this term is a problem at the surface.Because the component is defined on momentumlevels, the vertical average operator must beused to shift it to thermodynamic levels.However, at level (k=1/2) the verticalaverage of three-dimensional divergence isundefined. To overcome this problem, thevertical average of three-dimensionaldivergence is approximated with its value a tmomentum level k=1 (see Figure 3). This givesus:

Cependant, la composante de la divergencetridimensionnelle contenue dans ce terme poseun problème au sol. Parce qu'elle est définie surdes niveaux momentum, on doit utiliser l'opé-rateur de moyenne verticale pour la ramenersur des niveaux thermodynamiques.Cependant, la moyenne verticale de la diver-gence tridimensionnelle n’est pas définie auniveau (k=1/2). Afin de pallier ce problème, l amoyenne verticale de la divergence tridimen-sionnelle est approximée par sa valeur au ni-veau momentum k=1 (voir la figure 3). Celanous donne

S F1U + F2V - S ∂U

∂X +

∂V

∂Y - 1

G0 dZG0W

Z

1/2

ª

S F1U + F2V - S ∂U

∂X +

∂V

∂Y - 1

G0 dZG0W

1 (3.1.1.23)


At the surface, only the componentrepresenting three-dimensional divergence ismodified, and is replaced by equation(3.1.1.23).

Au sol, seule la composante représentant l adivergence tridimensionnelle est modifiée.Elle est remplacée par l’équation (3.1.1.23).

RW Term Terme RW

The problem of three-dimensional divergencerecurs in the expression for RW (3.1.1.15) at thesurface, since the (G1U+G2V) term is known onthe momentum levels. As before, weapproximate the vertical average of(G1U+G2V) at k=1/2 with the value of thisfield at level k=1 (see Figure 3):

Dans l’expression pour RW (3.1.1.15) au sol, onretrouve le problème de la divergencetridimensionnelle, le terme (G1U+G2V) étantconnu sur des niveaux de type momentum.Comme précédemment, nous approximons l amoyenne verticale de (G1U+G2V) en k=1/2 parla valeur de ce champ au niveau k=1 ( voir l afigure 3) :

G1U + G2V Z 1/2 ª G1U + G2V 1 (3.1.1.24)

_________ G1U + G2V 2

_ _ _ _ _ _

G1U + G2V 2 + G1U + G2V 1

2 = G1U + G2VZ

3/2

_________ G1U + G2V 1

_ _ _ _ _ _ G1U + G2V 1 ª G1U + G2VZ1/2

FIGURE 3 Schematic representation of levels:momentum are shown as solid lines, thermodynamicas dashed lines. Position of the (G1U+G2V)k fieldsnear the lower boundary. Position and values of thevertical average of (G1U+G2V)k including the specificcase at the surface.

FIGURE 3 Représentation schématique desniveaux momentum en ligne continue etthermodynamique en ligne brisée. Positionnement deschamps (G1U+G2V)k près de la frontière inférieure.Positionnement et valeurs de la moyenne verticale de(G1U+G2V)k comprenant le cas particulier au sol.

RM et RC Terms Terme RM et RC

The RM and RC terms ((3.1.1.16) and (3.1.1.17))both contain a vertical advection component.To comply with the lower boundary condition,W1/2=0, the vertical advection term vanish a tlevel k=1/2. This gives us the followingexpressions:

Les deux termes RM et RC (3.1.1.16 et 3.1.1.17)contiennent une composante d'advection verti-cale. En accord avec la condition à la frontièreinférieure W1/2=0, le terme d’advection verti-cale devient nul au niveau k=1/2. Nous avonsles expressions suivantes:


- 1-m W1/2 dZMZ

1/2 = 0 (3.1.1.25)

- 1-m W1/2 dZCZ

1/2 = 0 . (3.1.1.26)

Accordingly, at the lower thermodynamiclevel, we have the following identity for theRM and RC terms:

Ainsi, au niveau thermodynamique inférieur,l’identité suivante prévaut pour les termes RMet RC :

RM 1/2 = 0 (3.1.1.27)

RC 1/2 = 0 . (3.1.1.28)

Case at the uppermost level: k=N k Cas au plus hau t niveau : k=N k

At the upper model boundary, problems occurin using the ( Z ) operator on the lastmomentum-type level. At level Nk, thisoperator requires the field at levels Nk+1/2,where they are undefined. Aside from caseswhere the W field is involved, we mustevaluate the expression of the verticalaverage. In cases in which W is used, thecondition W=0 at Nk+1/2 implies that theterm containing W is identically nil at levelk = Nk+1/2. In Figure 4 we have given aschematic representation of the situationwhen the vertical advection term for U isaveraged near the upper boundary.

À la frontière supérieure du modèle, les pro-blèmes apparaissent lors de l’utilisation del’opérateur ( Z ) sur le dernier niveau detype momentum. En effet, au niveau Nk, cetopérateur nécessite les champs aux niveauxNk+1/2 où ils ne sont pas définis. Mis à part lescas où le champ W intervient, il faut évaluerl’expression de la moyenne verticale. LorsqueW intervient, la condition W=0 à Nk+1/2implique que le terme contenant W estidentiquement nul au niveau k = Nk+1/2 À l afigure 4, nous avons représenté schématique-ment la situation où le terme d’advection ver-ticale de U est évalué au voisinage de la fron-tière supérieure.


_ _ _ _ W Nk+1/2 = 0

______

0 + W Nk-1/2 dZU Nk-1/2

2 = WdZU

ZNk

_ _ _ _ W Nk-1/2 dZU Nk-1/2

______

W Nk-1/2 dZU Nk-1/2 + W Nk-3/2 dZU Nk-3/2

2 = WdZU

ZNk-1

_ _ _ _ W Nk-3/2 dZU Nk-3/2

FIGURE 4 Schematic representation of levels:momentum levels are shown as solid lines,thermodynamic as dashed lines. Position of theW(dZZZZU) terms near the upper boundary.

FIGURE 4 Représentation schématique desniveaux de type momentum en ligne continue et de typethermodynamique en ligne brisée, et position destermes W(dZZZZU) près de la frontière supérieure.

RU Term Terme RU

In the RU term (3.1.1.10), three components aremodified by a vertical-average operator:those containing the horizontal gradient of q’,the vertical gradient of q’ and verticaladvection of U. The vertical advectioncomponent presents no problem, as we havealready seen. In the horizontal gradientcomponent, the vertical average of T’ at levelNk cannot be evaluated, since T’ is undefined a tlevel Nk+1/2 (see Figure 5). We evaluate thisaverage by extrapolating the temperaturefrom level Nk-1/2 to level Nk as a constant

Dans le terme RU (3.1.1.10), trois composantessont modifiées par un opérateur de moyenneverticale. Il s’agit des composantes contenantle gradient horizontal de q’, le gradient verti-cal de q’ et l’advection verticale de U.L’advection verticale ne pose pas de problème,comme nous l’avons vu précédemment. Dans l acomposante du gradient horizontal, l amoyenne verticale de T’ au niveau Nk ne peutêtre évaluée puisque T’ n’est pas défini au ni-veau Nk+1/2 (voir la figure 5). Cette moyenneest évaluée en extrapolant de façon constantela température du niveau Nk-1/2 au niveau Nk:

T'ZNk = TNk-1/2

'(3.1.1.29)


_________ T Nk-1/2

' = T'ZNk

_ _ _ _ _ _ T Nk-1/2

'

_________

T Nk-1/2' + T Nk-3/2

'

2 = T'Z

Nk-1

_ _ _ _ _ _ T Nk-3/2'

FIGURE 5 Schematic representation of levels:momentum levels are shown as solid lines,thermodynamic as dashed lines. Position of the T’field near the upper boundary. Position of the verticalaverage of T’, and representation of the specific caseat the upper boundary.

FIGURE 5 Représentation schématique desniveaux de type momentum en ligne continue et de typethermodynamique en ligne brisée. Position du champT’ près de la frontière supérieure. Position de lamoyenne verticale de T’ et représentation du casparticulier à la frontière supérieure.

The vertical average of the T(G1/G0)dZZZZq’ termis obtained by assuming that (dZZZZq’) = 0 at levelNk+1/2 (see Figure 6), so that:

La moyenne verticale du terme T(G1/G0)dZZZZq’est obtenue en supposant que (dZZZZq’) = 0 auniveau Nk+1/2 (voir la figure 6), de sorte que

T G1G0

dZq'Z

Nk = 12

T G1G0

dZq'Nk-1/2 (3.1.1.30)


_________

T'G1G0

dZq'

Nk-1/2

2 = T'G1

G0 dZq'

Z

Nk

_ _ _ _ _ _ T'G1

G0 dZq'

Nk-1/2

_________

T'G1G0

dZq'

Nk-1/2 + T'G1

G0 dZq'

Nk-3/2

'

2 = T'G1

G0 dZq'

Z

Nk-1

_ _ _ _ _ _

T'G1G0

dZq'

Nk-3/2

'

FIGURE 6 Schematic representation of levels:momentum levels are shown as solid lines,thermodynamic as dashed lines. Position of theT’(G1/G0)dZq’ field near the upper boundary.

Position of the vertical average of T’(G1/G0)dZq’

and representation of the specific case at the upperboundary.

FIGURE 6 Représentation schématique desniveaux de type momentum en ligne continue et de typethermodynamique en ligne brisée. Position du champT’(G1/G0)dZq’ près de la frontière supérieure.

Position de la moyenne verticale de T’(G1/G0)dZq’ etreprésentation du cas particulier à la frontièresupérieure.

RV Term Terme RV

The RV term (3.1.1.11) at level Nk undergoesthe same modifications as the RU term.

Le terme RV (3.1.1.11) au niveau Nk subit lesmêmes modifications que le terme RU.

Rw Term Terme Rw

The Rw term (3.1.1.12) poses no problem, sinceall the fields are defined on either side oflevel Nk-1/2.

Le terme Rw (3.1.1.12) ne pose aucun problèmepuisque tous les champs sont définis de part etd’autre du niveau Nk-1/2.


Rq Term Terme Rq

The Rq term (3.1.1.13) can be fully evaluatedand requires no approximation at the uppermomentum level Nk. The first two componentsare entirely defined at level Nk, and the lastcomponent is evaluated with the upperboundary condition to obtain the (WdZZZZq’) termat level Nk+1/2.

Le terme Rq (3.1.1.13) peut être entièrementévalué et ne nécessite pas d’approximation auniveau momentum supérieur Nk. Les deuxpremières composantes sont entièrementdéfinies sur le niveau Nk. La dernière compo-sante s’évalue avec la condition à la frontièresupérieure pour obtenir le terme (WdZZZZq’) au ni-veau Nk+1/2.

RT Term Terme RT

The RT term (3.1.1.14) is defined onthermodynamic-type levels. All the vertical-average operations applied to fields onmomentum-type levels to shift them tothermodynamic-type levels are fully definedat level Nk-1/2, since there are momentumlevels on either side of Nk-1/2. The first groupof terms in RT thus poses no problem. InFigure 7 we have represented one of theseterms near the upper boundary.

Le terme RT (3.1.1.14) est défini sur les niveauxde type thermodynamique. Toutes lesopérations de moyenne verticale qu'on ap-plique aux champs de niveaux de type momen-tum pour ramener ceux-ci sur les niveaux detype thermodynamique sont entièrement défi-nies au niveau Nk-1/2, puisqu'un niveau mo-mentum existe de part et d’autre de Nk-1/2. Lepremier groupe de termes dans RT ne pose doncpas de problème. Nous avons représenté un deces termes au voisinage de la frontière supé-rieure à la figure 7.

______ F1U + F2V Nk

_ _ _ _ F1U + F2V Nk + F1U + F2V Nk-1

2 = F1U + F2VZ

Nk-1/2

______ F1U + F2V Nk-1

_ _ _ _ F1U + F2V Nk-1 + F1U + F2V Nk-2

2 = F1U + F2VZ

Nk-3/2

______ F1U + F2V Nk-2

FIGURE 7 Schematic representation of levels:momentum levels are shown as solid lines,thermodynamic as dashed lines. Position of the(F1U + F2V)k fields near the upper boundary. Positionof the vertical average of (F1U + F2V).

FIGURE 7 Représentation schématique desniveaux de type momentum en ligne continue et de typethermodynamique en ligne brisée. Positionnement deschamps (F1U + F2V)k près de la frontière supérieure etposition de la moyenne verticale de (F1U + F2V).


However, the vertical advection component Cependant, la composante d’advection verti-cale

- 1-m WdZ T'Z - aT*q'(3.1.1.31)

calls for special handling. The first member ofthe vertical advection component,

demande un traitement particulier. Le premiermembre de la composante d’advection verti-cale

WdZT'Z

causes a problem at the upper level Nk-1/2,because T’ is undefined at level Nk. Thevertical average of temperature T’ at level Nkis replaced by temperature T’ at level Nk-1/2with the procedure described in (3.1.1.29). Thesecond member, WdZZZZ(aT*q’), can be fullydefined at level Nk-1/2. At this level,dZZZZ(aT*q’) is fully defined since q’ is known a tNk and Nk-1. This situation is represented inFigure 8.

cause un problème au niveau supérieur Nk-1/2parce que T’ n’est pas défini au niveau Nk. Lamoyenne verticale de la température T’ du ni-veau Nk est remplacée par la température T’du niveau Nk-1/2 par la démarche décrite en(3.1.1.29). Le second membre WdZZZZ(aT*q’) peutêtre entièrement défini au niveau Nk-1/2. Eneffet, à ce niveau, dZZZZ(aT*q’) est entièrementdéfini puisque q’ est connu en Nk et Nk-1. Cettesituation est représentée à la figure 8.

______ q'Nk

_ _ _ _ q'Nk + q' Nk-1

DZ = dZq' Nk-1/2

______ q' Nk-1

_ _ _ _ q' Nk-1 + q' Nk-2

DZ = dZq' Nk-3/2

______ q' Nk-2

FIGURE 8 Schematic representation of levels:momentum levels are shown as solid lines,thermodynamic as dashed lines. Position of the q’

kfield near the upper boundary.

FIGURE 8 Représentation schématique desniveaux de type momentum en ligne continue et de typethermodynamique en ligne brisée. Positionnement duchamp q’

k près de la frontière supérieure.


RW Term Terme RW

The general expression for the RW term(3.1.1.15) is fully defined at level Nk-1/2.

L’expression générale du terme RW (3.1.1.15)est entièrement définie sur le niveau Nk-1/2.

RC et RM Terms Termes RC et RM

The RC and RM terms are treated in the sameway at upper level Nk-1/2. Both advectionterms are assumed equal to zero at levelNk-1/2. Thus the expressions for RC and RMtake the following form:

Les termes RC et RM sont traités de la mêmefaçon au niveau supérieur Nk-1/2. Ces deuxtermes d’advection sont mis à zéro au niveauNk-1/2. Ainsi, les expressions pour RC et RMprennent la forme suivante :

RC Nk-1/2 = - 1-m WdZC'ZNk-1/2 = 0 (3.1.1.32)

RM Nk-1/2 = - 1-m WdZM'ZNk-1/2 = 0 (3.1.1.33)

3.1.1.3 P y terms at time (t-Dt) 3.1.1.3 Termes P y au temps (t-Dt)

For the (Py)k terms at time (t-Dt) we have thefollowing equations:

Nous avons pour les termes (Py)k au temps(t-Dt) les équations suivantes :

PU k = Uk - 1- e Dt R T* ∂q'

∂X k1 £ k £ Nk (3.1.1.3

PV k = Vk - 1- e Dt R T* ∂q'

∂Y k1 £ k £ Nk (3.1.1.3

Pw k-1/2 = wk-1/2 - 1- e Dt R T* g0

G0 dZq' k-1/2 + 1- e Dt g T'

T*k-1/2

2 £ k £ N

Pq k = (1- a) q'k + 1- e Dt g

RT*w Z

k - 1- e Dt S ∂U

∂X k

+ ∂V

∂Y k

- 1- e Dt g0

G0 k dZG0W k 1 £ k £ Nk (3.1.1.3

PT k-1/2 = Tk-1/2' - a T* q'Z k-1/2 - 1- e Dt

agR

wk-1/2 1 £ k £ N


PW k-1/2 = - 1- e Dt wk-1/2 - G0Wk-1/21 £ k £ Nk (3.1.1.3

PM k-1/2 = M k-1/2 1 £ k £ Nk (3.1.1.4

PC k-1/2 = C k-1/2 1 £ k £ Nk (3.1.1.4

Only the PT term (3.1.1.38) is modified whenwe are at the surface. More specifically, thecomponent

Seul le terme PT (3.1.1.38) subit une mo-dification lorsque nous sommes au sol. Plus par-ticulièrement, c’est la composante

a T* q'Z 1/2 (3.1.1.42)

cannot be evaluated at level k=1/2 such as the( Z ) operator is difned. We manage tocircumvent this difficulty by extrapolatingthe q’ field downward, using the hydrostaticapproximation.

qui ne peut être évaluée au niveau k=1/2 telque l’opérateur ( Z ) est défini Nouscontournons la difficulté en extrapolant l echamp q’ vers le bas à l’aide de l’approxi-mation hydrostatique.

The hydrostatic approximation defined by(A6.10) is modified as follows: a centred finitedifference is used between the surface (k=1/2)and the first momentum level (k=1); thetemperature at the center of this layer (T’

3/4)is obtained by a linear interpolation. Henceequation (A6.10) take the following form :

L’approximation hydrostatique définie parl’équation (A6.10) est modifiée de la façonsuivante: nous utilisons une dérivée centréeentre le sol (k=1/2) et le premier niveaumomentum (k=1); nous interpolons de façonlinéaire la température au centre de cettecouche, soit en k=3/4. Ainsi, l’équation (A6.10)prend la forme suivante :

dZq'3/4 =

g

RT*2 T3/4

' G0 3/4 (3.1.1.43)

where où

dZq'3/4 =

q1' - q1/2

'

DZ/2-

T3/4' = 1

4 T3/2

' + 34

T1/2' .

Once the q’1/2 variable is isolated in equation

(3.1.1.43), the following relation is obtained:Une fois la variable q’ au niveau k=1/2 isoléedans l’équation (3.1.1.43), nous obtenons :


q1/2' = q1

' - gDZ

2RT*2 14

T3/2' + 3

4 T1/2

' G0 3/4 . (3.1.1.44)

At the surface, then, the expression (3.1.1.42)with (3.1.1.44) becomes:

Ainsi au sol, (3.1.1.42) avec (3.1.1.44) devient

a T* q'Z 1/2 ª a T* q1' -

gDZ

RT*2 1

8T3/2

' + 38

T1/2' G0 3/4 (3.1.1.45)

The relation we have just obtained (3.1.1.45) isalso used in equation (3.1.1.6) at the surface.

La relation que nous venons d’obtenir (3.1.1.45)est aussi utilisée dans l’équation (3.1.1.6) ausol.

We have now vertically discretized thealgebraic system of equations of the form

Nous venons d'exprimer, sous forme discrète àla verticale, le système algébrique d’équationsde la forme

Qy k = Py k + 2Dt Ry k traj

in which we defined: at time (t+Dt), the (Qy)kterms by equations (3.1.1.1)-(3.1.1.8); at time(t), the (Py)k terms by equations (3.1.1.34)-(3.1.1.41); and at time (t-Dt), the (Ry)k termsby equations (3.1.1.10)-(3.1.1.33). Now we willsee in the following section how to uncouplethis system of equations to obtain a verticallydiscretized Helmholtz equation.

où : au temps (t+Dt), les termes (Qy)k sont dé-finis par les équations (3.1.1.1) à (3.1.1.8); autemps (t), les termes (Py)k sont définis par leséquations (3.1.1.34) à (3.1.1.41); et au temps(t-D t), les termes (Ry)k sont définis par leséquations (3.1.1.10) à (3.1.1.33). La sectionsuivante présente la démarche permettant dedécoupler ce système d’équations afin d’obtenirune équation d’Helmholtz sous forme discrète àla verticale.


3.1.2 Helmholtz equation 3.1.2 Équation d’Helmholtz

We will use more or less the same approach asin Section 2 to obtain the verticallydiscretized Helmholtz equation. Here we willtake a closer look at the transformationsinvolving vertical operators, however, andpresent the discrete form of the equationsemployed to update fields at time (t+Dt). Theequation system to be solved at time (t+Dt) isas shown below :

Nous allons utiliser, à peu de chose près, l echeminement présenté dans la section 2 afind'obtenir l’équation d’Helmholtz discrétisée àla verticale. Cependant, cette section souligneles détails des transformations impliquant lesopérateurs verticaux et présente la formediscrète des équations utilisées pour faire l amise à jour des champs au temps (t+Dt). Lesystème d’équations à résoudre au temps (t+Dt)est le suivant :

Uk + 1+ e Dt R T* ∂qk

'

∂X = QU k

1 £ k £ Nk (3.1.2.1)

Vk + 1+ e Dt R T* ∂qk

'

∂Y = QV k

1 £ k £ Nk (3.1.2.2)

wk-1/2 + 1+ e Dt R T* g0

G0 k-1/2 dZq' k-1/2 - 1+ e Dt g

Tk-1/2'

T* = Qw k-1/2

2 £ k £ Nk (3.1.2.3)

(1- a) qk' - 1+ e Dt

g wZk

RT* + 1+ e Dt S

∂U

∂X k

+ ∂V

∂Y k

+ 1+ e Dt g0

G0 k dZG0W k = Qq

1 £ k £ Nk (3.1.2.4)

Tk-1/2' - a T* q'Z k-1/2 + 1+ e Dt

agR

wk-1/2 = QT k-1/2 1 £ k £ Nk (3.1.2.5)

G0W k-1/2 - wk-1/2 = - QW k-1/2

1+ e Dt

1 £ k £ Nk (3.1.2.6)

Mk-1/2 = QM k-1/2 1 £ k £ Nk (3.1.2.7)


Ck-1/2 = QC k-1/2 1 £ k £ Nk (3.1.2.8)

We eliminate the Uk and Vk fields from theequation system by generating an expression forthe divergence expression from the twohorizontal momentum equations. By taking thesum of the partial derivative with respect toX of the U equation (3.1.2.1) and the partialderivative with respect to Y of the V equation(3.1.2.2), we generate an expression forhorizontal divergence. Inserting thisexpression for divergence into the continuityequation (3.1.2.4) gives us:

Les champ Uk et Vk s'éliminent du systèmed’équations lorsqu'on génère une expression dedivergence à partir des deux composanteshorizontales de l’équation du momentum. Lasomme de la dérivée partielle selon X del’équation en U (3.1.2.1) et de la dérivéepartielle selon Y de l'équation en V (3.1.2.2)génère une expression de la divergencehorizontale. Une fois cette expression de l adivergence introduite dans l’équation decontinuité (3.1.2.4), nous obtenons

(1- a) - 1+ e Dt2 S RT*—2 qk

' + 1+ e Dt g0

G0 k dZG0W k -

(1- a)g

RT* wZ

k = A4 k

1 £ k £ Nk (3.1.2.9)

where où

A4 k = Qq k - 1+e Dt S ∂QU

∂X k +

∂QV

∂Y k . (3.1.2.10)

The second step consists of eliminating T’ fromthe thermodynamic equation (3.1.2.5) usingthe expression of T’ that we can obtain fromthe vertical momentum equation (3.1.2.3). I fwe isolate the (g(1+e)Dt/T*)T’ term ofequation (3.1.2.3) and insert it into thethermodynamic equation after multiplyingthe equation by a factor g(1+e)Dt/T*, we thenobtain, for the thermodynamic equation:

La seconde étape consiste à éliminer T’ del’équation thermodynamique (3.1.2.5) à l’aidede l’expression de T’ que nous pouvons obtenirde la composante verticale de l’équation dumomentum (3.1.2.3). On isole le terme(g(1+e)Dt/T*)T’ de l’équation (3.1.2.3) pourl'introduire dans l’équation thermodynamiquequ'on a multipliée par le facteur g(1+e)Dt/T*.L’équation thermodynamique devient alors :

1 + ag2 1+ e Dt

2

RT* wk-1/2 + 1+ e Dt RT* D1 q' k-1/2 = A5 k-1/2

2 £ k £ Nk (3.1.2.11)

where où

A5 k-1/2 = g 1+ e Dt

T* QT k-1/2 + Qw k-1/2 .

(3.1.2.12)


The D1(q')k-1/2 operator is defined as follows: L’opérateur D1(q')k-1/2 est défini de la façonsuivante :

D1 q' k-1/2 = g0

G0 k-1/2dZq' k-1/2 -

ag

RT* q'Z k-1/2 2 £ k £ Nk

Thirdly, we will eliminate the variablewk-1/2 from the continuity (3.1.2.9) andthermodynamic equations (3.1.2.11), using thediagnostic equation for W (3.1.2.6). B yisolating vertical velocity wk-1/2 in equation(3.1.2.6), we obtain:

La troisième étape consiste à éliminer l avariable wk-1/2 des équations de continuité(3.1.2.9) et thermodynamique (3.1.2.11) àl’aide de l’équation diagnostique de W(3.1.2.6). En isolant la vitesse verticale wk-1/2de cette équation, nous obtenons :

wk-1/2 = G0W k-1/2 + QW k-1/2

1+e Dt .

1 £ k £ Nk (3.1.2.13)

And by inserting this expression into thethermodynamic equation (3.1.2.11), we obtain:

Cette expression substituée dans l’équationthermodynamique (3.1.2.11) donne :

C1 G0W k-1/2 + 1+ e Dt RT* D1 q' k-1/2 = A1 k-1/2 1 £ k £ Nk (3.1.2.14)

where où

A1 k-1/2 = A5 k-1/2 - C1

1+ e Dt QW k-1/2

(3.1.2.15)

and et

C1 = 1 + ag2 1+ e 2D t

2

RT* . (3.1.2.6)


The continuity equation (3.1.2.9) containsvertical operators that are applied to the wand W variables. To analize the behaviour of see this equation near the lower and upperboundaries, we will discritize the operators dZand ( Z ), contained in the continuityequation and equation (3.1.2.13), explicitly.We have represented the part of thecontinuity equation (3.1.2.9) that is affected bythe vertical operators on the model levels (seeFigure 9). To simplify the schematicrepresentation, we will use a three-levelmodel, allowing us to see in detail what ishappening at the boundaries, without losingany information on the general case of a modelwith Nk levels. The momentum- andthermodynamic-type levels are represented bysolid and dashed lines, respectively. Weobtain the following configuration:

L’équation de continuité (3.1.2.9) renferme desopérateurs verticaux appliqués aux variablesw et W. Afin de voir le comportement de cetteéquation au voisinage des frontières inférieureet supérieure, exprimons de façon explicite lesopérateurs dZ et ( Z ) contenus dans cetteéquation et qui apparaissent également dansl’équation (3.1.2.13). La partie de l’équation decontinuité (3.1.2.9) modifiée par les opérateursverticaux est représentée sur les niveaux dumodèle (voir la figure 9). La représentationschématique est simplifiée par l'utilisationd'un modèle à trois niveaux. Ces trois niveauxpermettent de voir en détail ce qui se passe auxfrontières sans perdre d’information sur le casgénéral d’un modèle à Nk niveaux. Les lignescontinue et brisée représentent respectivementles niveaux de type momentum etthermodynamiques. Nous avons donc l aconfiguration suivante :


_ _ _ _ w7/2 = W7/2 = 0

______ g0

G0

dZ G0W - 1-a

RT* wZ

3

= g0

G0 3

G0W 7/2 - G0W 5/2

DZ - (1- a)g

RT* w7/2 + w5/2

2

_ _ _ _ w5/2 = G0W 5/2 + QW 5/2

1+e D t

______ g0

G0

dZ G0W - 1-a

RT* wZ

2

= g0

G0 2

G0W 5/2 - G0W 3/2

DZ - (1- a)g

RT* w5/2 + w3/2

2

_ _ _ _ w3/2 = G0W 3/2 + QW 7/2

1+e D t

______ g0

G0

dZ G0W - 1-a

RT* wZ

1

= g0

G0 1

G0W 3/2 - G0W 1/2

DZ - (1- a)g

RT* w3/2 + w1/2

2

_ _ _ _ w1/2 = G0W 1/2 + QW 1/2

1+e D t

FIGURE 9 Schematic representation of athree-level model (Nk=3). On thethermodynamic-type levels, we haverepresented the diagnostic equation (3.1.2.13)and, on momentum-type levels, the part of thecontinuity equation (3.1.2.9) affected by thevertical operators. The thermodynamic-typelevels are represented by dashed lines, andthe momentum-type levels, by solid lines.

FIGURE 9 Représentation schématiqued’un modèle à trois niveaux (Nk=3). Onretrouve l’équation diagnostique (3.1.2.13) surles niveaux de type thermodynamique et surles niveaux de type momentum, la partie del’équation de continuité (3.1.2.9) qui estmodifiée par les opérateurs verticaux . Lesniveaux de type thermodynamiques sont repré-sentés par la ligne brisée et les niveaux de typemomentum par la ligne continue.

Here we have expressed the differentialoperators as defined by relations (3.1.0.2) to(3.1.0.3). At the model top, the fields indexedwith 7/2 correspond to model level Nk + 1/2 ofthe general case. The fictitious level (7/2) isused to define conditions at the upperboundary, w7/2=0 and W7/2=0. At the surface,we have W1/2=0 as a boundary condition. Notethat to eliminate w from the continuityequation, w must be replaced with itsexpression as defined on thermodynamic-typelevels, by applying the boundary conditions asnecessary. Figure 10 shows the continuityequation on momentum-type levels.

Les opérateurs différentiels sont ici expriméstels que définis par les relations (3.1.0.2) à(3.1.0.3). Au sommet du modèle, les champsavec l’indice 7/2 correspondent au niveauNk + 1/2 du cas général. Le niveau fictif (7/2)est utilisé pour définir les conditions à la fron-tière supérieure w7/2=0 et W7/2=0. Au sol, nousavons comme condition à la frontière W1/2=0.On remarque ici que, pour éliminer w del’équation de continuité, il faut remplacer wpar son expression définie sur les niveaux detype thermodynamique en appliquant, au be-soin, les conditions aux frontières. La figure 10présente l’équation de continuité sur les ni-veaux de type momentum.


______ g0

G0

dZ G0W - 1-a

RT* wZ

3

= g0

G0 3

- G0W 5/2

DZ - (1- a)g

RT*

G0W 5/2

2 - (1- a)g

RT*

QW 5/2

2 1+e D t

_ _ _ _

______ g0

G0

dZ G0W - 1-a

RT* wZ

2

= g0

G0 2

dZG0W 2 - (1- a)g

RT* G0W

Z2 - (1- a)g

RT*

QWZ

2

1+e D t

_ _ _ _

______ g0

G0

dZ G0W - 1-a

RT* wZ

1

= g0

G0 1

G0W 3/2

DZ - (1- a)g

RT*

G0W 3/2

2 - (1- a)g

RT*

QWZ

1

1+e D t

_ _ _ _

FIGURE 10 Schematic representation of athree-level model (Nk=3). We haverepresented the part of the continuity equation(3.1.2.9) modified by the vertical operators,and from which we have eliminated thevariable w. The thermodynamic-type levelsare represented by dashed lines, and themomentum-type levels, by solid lines.

FIGURE 10 Représentation schématiqued’un modèle à trois niveaux (Nk=3). Onprésente la partie de l’équation de continuité(3.1.2.9) modifié par les opérateurs verticauxet de laquelle la variable w a été éliminée. Laligne continue représente les niveaux de typemomentum et la ligne brisée, les niveaux detype thermodynamique.

From these results, we can write the generalform of the continuity equation as follows:

Ces résultats permettent d'écrire, pour unmodèle à Nk niveaux, la forme générale del’équation de continuité comme suit :

At the uppermost level (k= N k ) Au plus haut niveau (k= N k )

(1- a) - 1 + e Dt2 S RT*—2 qNk

' + 1 + e Dt g0

G0 Nk

- G0W Nk-1/2

DZ -

(1- a)g

RT*

G0W Nk-1/2

2

A4 Nk + (1- a)g

RT* QW

2 Nk-1/2 (3.1.2.17)

In general ( 2 £ k £ N k -1) En général ( 2 £ k £ N k -1)

(1- a) - 1 + e Dt2 SRT*—2 qk

' + 1 + e Dt g0

G0 kdZG0W k -

(1- a)g

RT* G0WZ

k =

A4 k + (1- a)g

RT* QW

Zk

(3.1.2.18)


At the lowest level (k=1) Au plus bas niveau (k=1)

(1- a) - 1 + e Dt2 SRT*—2 q1

' + 1 + e Dt g0

G0 1 G0W 3/2

DZ -

(1- a)g

RT*

G0W 3/2

2 =

A4 1 + (1- a)g

RT*QW

Z1

(3.1.2.19)

Generally speaking, considering the boundaryconditions, we can express the continuityequation as follows:

De façon générale, en considérant les conditionsaux frontières, nous pouvons exprimerl’équation de continuité comme suit :

(1- a) - 1 + e Dt2 S RT*—2 qk

' + 1 + e Dt D2 G0W k = A3 k 1 £ k £ Nk (3.1.2.20)

where où

A3 Nk = A4 Nk + (1- a)g

RT* QW

2 Nk-1/2 k = Nk (3.1.2.21)

A3 k = A4 k + (1- a)g

RT* QW

Zk 1 £ k £ Nk - 1 (3.1.2.22)

where the D2 operator is defined as follows: et où l’opérateur D2 est défini comme suit :

D2 G0W k = g0

G0 k dZG0W k -

(1- a)g

RT* G0WZ

k 1 £ k £ Nk (3.1.2.23)

Note that the boundary conditions cause noproblems here, since D2 in (3.1.2.20) is appliedto W, which is known at the boundaries a tk=1/2 and k=Nk+1/2.

À noter que les conditions aux frontières neposent pas de problème ici parce que D2 en(3.1.2.20) est appliqué sur W qui est connu auxfrontières à k=1/2 et k=Nk+1/2.


Out of our initial system only two equationsnow remain, the thermodynamic equation(3.1.2.14) and the continuity equation(3.1.2.20), in which we find two independentvariables, W and q’. We will eliminate W bysubstituting the value obtained for it inequation (3.1.2.14) into the continuity equation(3.1.2.20), to obtain a Helmholtz equation interms of the variable q’. We eliminate W inthe same way as was done for w, i.e. byrepresenting the equations in discrete form onthe different types of levels. First we willdefine the differential operators D1 and D2 soas to combine fields with the same indices.When expressed discretely, D1 and D2 havethe following form:

De notre système d’équations, il ne reste plusque deux équations : l’équation thermodyna-mique (3.1.2.14) et l’équation de continuité(3.1.2.20) qui contiennent deux variables indé-pendantes, W et q’. Nous allons éliminer W ensubstituant sa valeur obtenue de l’équation(3.1.2.14) dans l’équation de continuité(3.1.2.20), pour obtenir une équation d’Helm-holtz en terme de la variable q’. On élimine Wcomme on a éliminé w, c’est-à-dire en représen-tant les équations sous forme discrète sur lesdifférents types de niveaux. Afin d’alléger l areprésentation algébrique des équations, défi-nissons d'abord les opérateurs différentiels D1et D2 de façon à regrouper les champs ayant lesmêmes indices. Les opérateurs D1 et D2, expri-més sous forme discrète, ont la forme suivante :

D1 y k-1/2 = g0

G0 k-1/2 yk - yk-1

DZ -

ag

RT* yk + yk-1

2

= 1DZ

g0

G0 k-1/2- agDZ

2RT*yk -

g0

G0 k-1/2+ agDZ

2RT*yk-1

= 1DZ

ak-1/2yk - bk-1/2yk-1(3.1.2.24)

and et

D2 y k = g0

G0 k yk+1/2 - yk-1/2

DZ -

(1- a)g

RT* yk+1/2 + yk-1/2

2

= 1DZ

g0

G0 k-

(1- a)gDZ

2RT*yk+1/2 -

g0

G0 k+

(1- a)gDZ

2RT*yk-1/2

= 1DZ

ckyk+1/2 - dkyk-1/2(3.1.2.25)

where où

ak-1/2 = g0

G0 k-1/2- agDZ

2RT* (3.1.2.26)


bk-1/2 = g0

G0 k-1/2+ agDZ

2RT* (3.1.2.27)

ck = g0

G0 k-

(1- a)gDZ

2RT* (3.1.2.28)

dk = g0

G0 k+

(1- a)gDZ

2RT* (3.1.2.29)

Figure 11 uses the expressions of D1 and D2defined with equations (3.1.2.24) and (3.1.2.25)to represent on the proper levels thethermodynamic equation and the(1+e) Dt D2(G0W)k term of the continuityequation. In Figure 11, the (G0W)k-1/2 term isisolated from the thermodynamic equation,i.e.:

Pour présenter l’équation thermodynamique etle terme (1+e) Dt D2(G0W)k de l’équation decontinuité sur leur niveau respectif, la figure 11utilise les expressions de D1 et D2 définies parles équations (3.1.2.24) et (3.1.2.25). Dans l afigure 11, le terme (G0W)k-1/2 est isolé del’équation thermodynamique, c'est-à-dire

G0W k-1/2 = - 1+ e Dt

DZ RT*

C1 ak-1/2 q' 3 - bk-1/2 q' 2 + A1

C1 k-1/2 .

We have once again used a three-layer modelfor simplicity.

Nous avons utilisé encore une fois un modèle àtrois couches pour simplifier la représentation.


_ _ _ _ W 7/2 = 0

______ 1+e Dt D2 G0W 3 =

1+e Dt

DZ c3 G0W 7/2 - d3 G0W 5/2

_ _ _ _ G0W 5/2 = -

1+e Dt

DZ RT*

C1 a5/2 q' 3 - b5/2 q' 2 + A1

C1 5/2

______ 1+e Dt D2 G0W 2 =

1+e Dt

DZ c2 G0W 5/2 - d2 G0W 3/2

_ _ _ _ G0W 3/2 = -

1+e Dt

DZ RT*

C1 a3/2 q' 2 - b3/2 q' 1 + A1

C1 3/2

______ 1+e Dt D2 G0W 1 =

1+e Dt

DZ c1 G0W 3/2 - d1 G0W 1/2

_ _ _ _ W 1/2 = 0

FIGURE 11 Schematic representation ofthe thermodynamic equation (3.1.2.14) and the(1+e) Dt D2(G0W) term of the continuityequation (3.1.2.20), on a three-level model(Nk=3). Thermodynamic-type levels arerepresented by dashed lines, and momentum-type levels by solid lines.

FIGURE 11 Représentation schématique,pour un modèle à trois niveaux (Nk=3), del'équation thermodynamique (3.1.2.14) et duterme (1+e) Dt D2(G0W) de l’équation decontinuité (3.1.2.20). Les niveaux de typethermodynamique sont représentés par uneligne brisée et les niveaux de type momentum,par une ligne continue.

Figure 12 shows the results of inserting theupper boundary condition W7/2=0 and theexpression for G0W, defined onthermodynamic-type levels, into the(1 + e) Dt D2(G0W) term.

La figure 12 présente les résultats de l'intro-duction de la condition à la frontière supé-rieure W7/2=0 et l’expression de G0W, définiesur les niveaux de type thermodynamique,dans le terme (1 + e) Dt D2(G0W).


______ 1+ e D t D2 G0W 3 =

1+ e D t

DZ

2

RT*

C1

d3 a5/2q3' - b5/2q2

' - 1+ e D t

DZ C1

d3 A1 5/2

_ _ _ _

______ 1+ e D t D2 G0W 2 = -

1+ e D t

DZ

2

RT*

C1

c2a5/2q3' - c2b5/2 + a3/2d2 q2

' + d2b3/2q1'

+ 1+ e D t

DZ C1

c2 A1 5/2 - d2 A1 3/2

_ _ _ _

______ 1+ e D t D2 G0W 1 = -

1+ e D t

DZ

2

RT*

C1

c1 a3/2q2' - b3/2q1

' + 1+ e D t

DZ C1

c1 A1 3/2

_ _ _ _

FIGURE 12 Schematic representation ofthe (1+e) Dt D2(G0W) term, after G0W hasbeen replaced by its expression, on a three-level model (Nk=3). Thermodynamic-typelevels are represented by dashed lines, andmomentum-type levels by solid lines.

FIGURE 12 Représentation schématique,pour un modèle à trois niveaux (Nk=3), duterme (1+e) Dt D2(G0W) avec G0W remplacépar son expression. Les niveaux de typethermodynamique sont représentés par uneligne brisée et les niveaux de type momentum,par une ligne continue.

From the above results (Figure 12), we cangeneralize for a model with Nk levels:

À partir des résultats obtenus ci-dessus (figure12), nous pouvons généraliser pour un modèle àNk niveaux :

At the uppermost level (k= N k ) Au plus haut niveau (k= N k )

C1 (1- a) - 1 + e Dt2SRT*—2 qNk

' + 1 + e Dt

DZ

2

RT*dNk a Nk-1/2 qNk' - b Nk-1/2 q Nk-1

' = A2 Nk

(3.1.2.30)


In general ( 2 £ k £ N k -1) En général ( 2 £ k £ N k -1)

C1 (1-a) - 1 + e Dt2SRT*—2 qk

'

- 1 + e Dt

DZ

2

RT* ckak+1/2qk+1' - ckbk+1/2 + ak-1/2dk qk

' + dkbk-1/2qk-1'

= A2 k(3.1.2.31)


C1 (1-a) - 1 + e Dt2SRT*—2 q1

' - 1 + e Dt

DZ

2

RT*c1 a 3/2 q2' - b 3/2 q 1

' = A2 1(3.1.2.32)

where où

A2 Nk = C1 A3 Nk + 1 + e Dt

DZ dNk A1 Nk-1/2

k =Nk

A2 k = C1 A3 k - 1 + e Dt

DZ ck A1 k+1/2 - dk A1 k-1/2

2 £ k £ Nk

A2 1= C1 A3 1 - 1 + e Dt

DZ c1 A1 3/2

k =1 (3.1.2.33)

The expression for the Helmholtz equation isshown here in a form valid for all values of ksuch that 1 £ k £ Nk, to allow us to make thelink with the literature (Tanguay et al . , 1990;Denis, 1989).

Pour faire le lien avec les publications deTanguay et al . (1990) et Denis (1989), on écritune expression de l’équation d’Helmholtz, sousune forme valide pour toutes les valeurs de kcomprises dans l'intervalle 1 £ k £ Nk :

C1 (1- a) - 1 + e Dt2 S RT*—2 qk

' - 1 + e Dt2 RT* D2 D1 q' k = A2 k (3.1.2.34)

where où

A2 k = C1 A3 k - 1 + e DtD2 A1 k (3.1.2.35)

with cNk = d1 = 0 avec cNk = d1 = 0


To recapitulate, if we wish to obtain the fieldsat time (t+Dt), we must first evaluate thefollowing terms:

Si nous récapitulons, pour obtenir les champsau temps (t+Dt), il faut d’abord évaluer lestermes suivants :

C1 = 1 + ag2 1 + e 2D t

2

RT*

(3.1.2.36)

A5 k-1/2 = g 1 + e Dt

T* QT k-1/2 + Qw k-1/2 2 £ k £ Nk (3.1.2.37)

A4 k = Qq k - 1 + e Dt S ∂QU

∂X k +

∂QV

∂Y k 1£ k £ Nk (3.1.2.38)

A3 Nk = A4 Nk + (1- a)g

RT* QW

2 Nk-1/2 k =Nk

A3 k = A4 k + (1- a)g

RT* QW

Zk 1£ k £ Nk-1 (3.1.2.39)

A1 k-1/2 = A5 k-1/2 - C1QW

Dt k-1/2 2 £ k £ Nk (3.1.2.40)

A2 Nk = C1 A3 Nk + 1 + e Dt

DZ dNk

A1C1 Nk-1/2 k =Nk

A2 k = C1 A3 k - 1 + e Dt

DZ ck A1 k+1/2 -dk A1 k-1/2

2 £ k £ Nk

A2 1= C1 A3 1 - 1 + e Dt

DZ c1 A1 3/2

k =1 (3.1.2.41)

We then solve the Helmholtz equation toobtain the q’

k field:Par la suite, nous résolvons l’équationd’Helmholtz afin d’obtenir le champ q’

k :

At the uppermost level ((k= N k ) Au plus haut niveau (k= N k )

C1 (1- a) - 1 + e Dt2 S RT*—2 qNk

'


+ 1 + e Dt

DZ

2

RT* dNk a Nk-1/2 qNk' - b Nk-1/2 q Nk-1

' = A2 Nk

In ge neral ( 2 £ k £ N k -1) En général ( 2 £ k £ N k -1)

C1 (1 - a) - 1 + e Dt2SRT*—2 qk

'

- 1 + e Dt

DZ

2

RT* ckak+1/2qk+1' - ckbk+1/2 + ak-1/2dk qk

' + dkbk-1/2qk-1'

= A2 k


C1 (1- a) - 1 + e Dt2 S RT*—2 q1

' - 1 + e Dt

DZ

2

RT* c1 a3/2q2' - b3/2q1

' = A2 1

(3.1.2.42)

Finally, we update the Wk-1/2, wk-1/2,T’

k - 1/2, Uk and Vk fields to complete the timestep. Appendix 5 explains how to update thefields. In this case we have used the sameapproach as in Appendix 5, but with thevertically discrete equations. Thus we obtainthe following relations:

Et finalement, nous effectuons la mise à jour deschamps Wk-1/2, wk-1/2, T’

k-1/2, Uk et Vk pourcompléter le pas de temps. L’annexe 5 présentela mise à jour des champs. Ici, la démarche del’annexe 5 est utilisée, mais cette fois avec leséquations sous forme discrète à la verticale.Les relations suivantes sont obtenues :

Wk-1/2 = 1C1

1G0 k-1/2

A1 k-1/2 - 1 + e Dt RT*D1 q' k-1/2 2 £ k £ Nk

W1/2 = 0 k=1 (3.1.2.43)

wk-1/2 = QW k-1/2

1 + e Dt + G0W k-1/2

2 £ k £ Nk

w1/2 = QW 1/2

1 + e Dt k=1 (3.1.2.44)

Tk-1/2' = QT k-1/2+ aT* q'Z k-1/2 -

ag 1 + e DtR

wk-1/2 2 £ k £ Nk


T1/2' =

QT 1/2 - ag 1 + e Dt

R w1/2 + aT*q1

' - agDZ

8 RT* G0 1/2T3/2

'

1 + 3 agDZ

8 RT* G0 1/2

k = 1 (3.1.2.45)

Uk = - 1 + e Dt RT* ∂qk'

∂X + QU k

1 £ k £ Nk (3.1.2.46)

Vk = - 1 + e Dt RT* ∂qk'

∂Y + QV k 2 £ k £ Nk (3.1.2.47)

We obtain the surface temperature (k=1/2) byextrapolating the q’ field hydrostatically tothe fictitious level of k=0, which completesthe vertical discretization of the Eulerequations. To obtain the fully discreteequations, we must proceed with horizontaldiscretization, which will be discussed in thenext section.

On obtient la température au sol (k =1/2) enextrapolant de façon hydrostatique le champq’ au niveau fictif k = 0, ce qui complète la dis-crétisation verticale des équations d’Euler.Afin d’avoir les équations sous une forme entiè-rement discrète, il faut faire la discrétisationhorizontale. La prochaine section présente l adiscrétisation horizontale des équations.


3.2 Horizontal discretization 3.2 Discrétisation

horizontale

Before proceeding with horizontaldiscretization, we will define the grid used.The horizontal representation of the discretefields is done on a staggered grid, shown inFigure 13. The grid consists of four types ofpoints, which we identify using the fieldsknown on each type. Type “f” points arerepresented by dots ( ), and the Coriolisparameter, f, and the scale factor, S, areknown on this type of point. “U”-type pointsare represented by squares ( ), and are thepoints on which velocity, U, is known. Pointsof type “V” are represented by triangles ( ) ,and the variable V is known on this kind ofpoint. Finally, we have “q”-type points,represented by , and on this type of point wehave the q', T', w, W, M and C fields.

Avant de réaliser la discrétisation horizon-tale, définissons la grille utilisée. La représen-tation horizontale des champs discrets se fa i tsur la grille décalée («staggered»), présentée àla figure 13. Cette grille est composée de quatretypes de points que nous désignons à l'aide deschamps connus sur chacun de ces types. Lespoints de type «f», représentés par des points

, supportent le paramètre de Coriolis f et l efacteur d’échelle S. Les points de type «U»,représentés par des carrés , reçoivent la vi -tesse U tandis que les points de type «V», re-présentés par des triangles , sont associés à l avariable V. Finalement, les points de type«q», représentés par des , supportent leschamps q', T', w, W, M et C.

Y

X

FIGURE 13 Schematic representation ofthe staggered grid used for horizontaldiscretization. The symbol represents “f”-type points, represents “q”-type points, represents “V”-type points, and represents“U”-type points.

FIGURE 13 Représentation schématiquede la grille décalée utilisée pour l adiscrétisation horizontale. Le symbole représente les points de type f, les points detype q, les points de type V, et représenteles points de type U.


The index i is used to index the positionaccording to the X axis, and j for the Y axis. Weuse a convention for indexing fields, so as torespect their positioning on the different typesof points. Points for which the indices arewhole numbers (i,j) are associated with thevariables q', T',w, W, M and C, located on “q”-type points. “U”-type points are defined by anindex (i-1/2) on the X axis and an index j on theY axis. “V”-type points, for their part, aredefined by an index i on the X axis and anindex (j-1/2) on the Y axis. Finally, “f”-typepoints are defined by indices (i-1/2) and (j-1/2). We have illustrated the indicesassociated with each type of point inFigure 14.

On utilise l’indice i pour la position sur l’axedes X et l'indice j sur l’axe des Y. On suit uneconvention pour les indices des champs, de fa -çon à respecter leur localisation sur les diffé-rents types de point. Les indices entiers (i, j)sont associés aux variables q', T',w, W, M et Csituées sur les points de type «q». Les points detype «U» sont définis par un indice (i-1/2) se-lon X et par un indice j selon Y. Les points detype «V», quant à eux, sont définis par un in-dice i selon X et par un indice (j-1/2) selon Y.Finalement, les champs sur les points de type«f» reçoivent les indices (i-1/2) et (j-1/2). Lafigure 14 présente les indices associées àchaque type de point.

(i, j)(i-1/2, j)

(i, j-1/2)(i-1/2, j-1/2)

FIGURE 14 Illustration of the indicesassociated with each type of point on thestaggered grid.

FIGURE 14 Présentation des indices asso-ciées à chaque type de point de la grilledécalée.


Each of these point types constitutes a setdefining the corresponding grid type. Thus theset of “f”-type points constitute the “f”-typegrid, etc. The total number of points for a gridvaries depending on the type of grid inquestion. The grid dimensions are definedaccording to the total number of points on the Xaxis (Ni) and the total number of points on theY axis (Nj). Thus for the “f”-type grid, wehave (Ni x Nj) grid points. The “U”- and “V”-type grids have (Ni x Nj-1) and (Ni-1 x Nj)grid points, respectively. The “q”-type gridhas (Ni-1 x Nj-1) grid points. Grid points oftype “f” are defined for values of i and j suchthat 1£i£Ni and 1£j£Nj, grid points of type “q”are defined for values of i and j such tha t1£i£Ni-1 and 1£j£Nj-1, while “U”-type gridpoints are defined for values of i and j suchthat 1£i£Ni and 1£j£Nj-1, and “V”-type gridpoints are defined for values of i and j suchthat 1£i£Ni-1 and 1£j£Nj. It is worth notingthat compared to “q”-type points, we have anextra grid point on the X axis for “U”-typepoints, and an extra grid point on the Y axis for“V”-type points.

Les points d'un certain type constituent un en-semble qui définit le type de la grille corres-pondante. Par exemple, l’ensemble des pointsde type «f» constitue la grille de type «f». Lenombre total de points d'un ensemble varie se-lon le type de grille considérée. Les dimensionsd’une grille sont définies à partir du nombre depoints selon X (Ni) et du nombre de points selonY (Nj). Ainsi, pour la grille de type «f», nousavons (Ni x Nj) points de grille. Les grilles detypes «U» et «V» possèdent respectivement(Ni x Nj-1) et (Ni-1 x Nj) points de grille et,finalement la grille de type «q» possède (Ni-1x Nj-1) points de grille. Les points de la grillede type «f» sont définis pour les valeurs de i etj telles que 1£i£Ni et 1£j£Nj; les points de l agrille de type «q» sont définis pour les valeurde i et j telles que 1£i£Ni-1 et 1£j£Nj-1; lespoints de la grille de type «U» sont définispour les valeurs de i et j telles que 1£i£Ni et1£j£Nj-1; et les points de la grille de type « V »sont définis pour les valeurs de i et j telles que1£i£Ni-1 et 1£j£Nj. Il est intéressant desouligner que nous avons un point de grille deplus selon X pour les points de type «U» et unpoint de plus selon Y pour les points de type«V», comparativement aux points de type «q».

The next step is to define the lateral boundaryconditions. At the lateral boundary we drivethe model variables using the global model,i.e. we impose to the y variables of themodel the values denoted [y], from a globalmodel. For a staggered grid, the position of thelateral boundary varies with the type ofpoint. Thus the lateral boundary extends overa band of sufficient width to take in all thekinds of points. This gives a boundary zone asshown in Figure 15 by the shadowed areaalong the edge of the staggered grid. Figure 15clearly shows which are the points making upthe boundary zone.

L’étape suivante consiste à définir les condi-tions aux frontières latérales. Sur les frontièreslatérales, nous pilotons les variables du mo-dèle à l’aide d'un modèle mondial; c’est-à-direque nous imposons aux variables y du modèleles valeurs, notées [y], provenant d'un modèlemondial. Pour une grille décalée, la position dela frontière latérale est fonction du type depoint. Ainsi, celle-ci s’étend sur une bande delargeur suffisante pour inclure chacun des typesde point. Cela donne lieu à la zone frontièrereprésentée, dans la figure 15, par la partieombrée bordant le contour de la grille décalée.Dans cette figure, nous pouvons clairement dé-terminer les points qui constituent la zone fron-tière.


9/247/235/223/211/2

9/2

4

7/2

3

5/2

2

3/2

1

1/2

i(N -1)

i(N -1/2)

(N -1) j

(N -1/2) j

FIGURE 15 Representation of the part ofthe staggered grid that is modified by thelateral boundary conditions. The shadowedpart contains all the points for which weimpose the [y] values from the driving modelon the y fields. The grid shown here is Ni=5and Nj=5.

FIGURE 15 Représentation de la portionde la grille décalée qui est modifiée par lesconditions aux frontières latérales. La partieombrée contient tous les points pour lesquelsnous imposons aux champs y les valeurs [y] dumodèle pilote. La grille utilisée dans cetexemple est de dimension Ni= 5 et Nj=5.

All the y fields located on the pointscontained in this zone are replaced by thedriving model [y] values. Within theboundary zone, no prognostic or diagnosticequations are applied. Thus the lateralboundary conditions for the different modelfields are as follows:

Tous les champs y situés sur les points de cettezone sont remplacés par les valeurs [y] du mo-dèle pilote. À l’intérieur de la zone frontière,aucune équation pronostique et diagnostiquen’est appliquée. Nous avons donc, pour les dif-férents champs du modèle, les conditions auxfrontières suivantes :


- X axis velocity component: - pour la composante de vitesse selon X :

U1/2,j,k = U1/2,j,k

UNi-1/2,j,k = UNi-1/2,j,k

Ui-1/2,1,k = Ui-1/2,1,k

Ui-1/2,Nj-1,k = Ui-1/2,Nj-1,k

" (i, j, k) Æ

1 £ i £ Ni

1 £ j £ Nj-1

1 £ k £ Nk

(3.2.0.1)

- Y axis velocity component: - pour la composante de vitesse selon Y :

V1,j-1/2,k = V1,j-1/2,k

VNi-1,j-1/2,k = VNi-1,j-1/2,k

Vi,1/2,k = Vi,1/2,k

Vi,Nj-1/2,k = Vi,Nj-1/2,k

" (i, j, k) Æ

1 £ i £ Ni-1

1 £ j £ Nj

1 £ k £ Nk

(3.2.0.2)

- other model fields: - pour les autres champs du modèle :

y1,j,k = y1,j,k

yNi-1,j,k = yNi-1,j,k

yi,1,k = y i,1,k

yi,Nj-1,k = yi,Nj-1,k

" (i, j, k) Æ

1 £ i £ Ni-1

1 £ j £ Nj-1

1 £ k £ Nk

(3.2.0.3)

where y can be replaced by q', T', w, W, M andC. With these restrictions on the lateralboundaries, the different fields are forecast bythe model on the following domains:

où y peut être remplacé par q', T', w, W, M etC. Avec ces restrictions sur les frontières laté-rales, les différents champs sont prévus par l emodèle sur les domaines suivants :

Ui-1/2,j,k " (i, j, k) Æ

2 £ i £ Ni-1

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk (3.2.0.4)

Vi,j-1/2,k " (i, j, k) Æ

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-1

1 £ k £ Nk (3.2.0.5)


qi,j,k' , Ti,j,k-1/2

' , Mi,j,k-1/2,

Ci,j,k-1/2, wi,j,k-1/2 " (i, j, k) Æ

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.0.6)

Wi,j,k-1/2 " (i, j, k) Æ

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

2 £ k £ Nk (3.2.0.7)

Now that we know the position of each field,its domain of definition and the lateralboundary conditions, we have to define thediscrete form of the horizontal differentialoperators. But first we will briefly digress, toexplain the link between the convention forthe indices and the representation of arrays inFORTRAN.

Maintenant que nous connaissons la position dechacun des champs, leur domaine de définitionet les conditions aux frontières latérales, i lreste à définir la forme discrète des opérateursdifférentiels horizontaux. Mais avant d’allerplus loin, il est nécessaire de faire le lien entrela convention des indices et la représentationdes tableaux dans le langage FORTRAN.

When we introduced the horizontal andvertical discretizations, we used full and h a l findices (eg, i and i-1/2) to represent therelative positioning of the variables on thestaggered grid. This approach was intended toeliminate any ambiguity concerning theposition of the different variables on thestaggered grid. Half indices cannot be used inFORTRAN arrays, however, so we cannotapply this convention in FORTRAN code.Instead, we have to rely on the variable itselfto determine the type of grid point it is locatedon. The variable indices are made tocorrespond to the associated table indices inFORTRAN by adding 1/2 to half indices.Table I shows the correspondence between theindices of analytical variables and theassociated array indices in FORTRAN code.

Lorsque les discrétisations horizontale et ver-ticale ont été introduites, nous avons utilisé desindices entier et entier moins une demie (i et i -1/2) pour représenter le positionnement relatifdes variables dans la grille décalée. Cette ap-proche permet d'éliminer toute ambiguïté surle positionnement des différentes variablesdans la grille décalée. La représentation destableaux dans le langage FORTRAN ne permetpas l'utilisation d'indices fractionnaires.Ainsi, à l’intérieur du code FORTRAN, notreconvention d’indice ne peut être appliquée.Plutôt, il faut se reporter à la variable poursavoir sur quel type de point de grille elle estsituée. La correspondance entre les indices desvariables et les indices des tableaux associésdans le langage FORTRAN se fait en ajoutant1/2 aux indices qui ne sont pas entiers. Le ta -bleau I donne la correspondance entre les in-dices des variables analytiques et les indicesdes tableaux dans le code FORTRAN.


FORTRAN

type de niveau

type of level

U(i, j, k)

Momentum

V(i, j, k) Momentum

w(i, j, k) Thermodyn.

W(i, j, k) Thermodyn.

q'(i, j, k) Momentum

T'(i, j, k) Thermodyn.

M(i, j, k) Thermodyn.

C(i, j, k) Thermodyn.

f(i, j )

S(i, j)

TEXTE

TEXT

Ui-1/2,j,k

Vi,j-1/2,k

wi,j,k-1/2

W i,j,k-1/2

qi,j,k'

Ti,j,k-1/2'

Mi,j,k-1/2

Ci,j,k-1/2

fi-1/2,j-1/2

Si-1/2,j-1/2

h0 i,j

type de point

type of point

U

V

q

q

q

q

q

q

f

f

qh0(i, j)

TABLE I Correspondence between theindices of the different variables and theindices of the arrays in FORTRAN code. Wehave also indicated on what kind of grid pointand type of level these variables are located.

TABLEAU I Correspondance entre les in-dices des différentes variables et les indicesdes tableaux dans le code FORTRAN. Nousavons aussi indiqué sur quels types de points degrille et quel type de niveaux se situent ces va-riables.


3.2.1 Discretization with respect to X 3.2.1 Discrétisation selon X

The discrete form of the partialderivative with respect to X is calculatedusing a centred finite difference (noted dX ) on agrid length DX. The differential operator dXapplied to a y field located on the grid pointsindexed by full values, i and i-1, will generatea result on the grid points indexed by i-1/2values, i.e.:

La forme discrète de la dérivée partielle selonX se calcule au moyen d’une différence finiecentrée (notée dX) sur une longueur de mailleDX. Ainsi, l’opérateur différentiel dX appliquésur un champ y situé sur des points de grilleayant des indices entiers, i et i-1, génère un ré-sultat situé sur un point de grille ayant un in-dice i-1/2, c'est-à-dire

dXy i-1/2,... = y i,... - y i-1,...

DX (3.2.1.1)

Similarly, the dX operator applied on a yfield located on grid points indexed by i-1/2values will generate a result on the grid pointsindexed by full i values. In mathematicalform, we have:

De la même façon, l’opérateur dX appliqué surun champ y situé sur des points de grille ayantdes indices i-1/2 génère un résultat sur un pointde grille ayant des indices i entiers. Sous formemathématique, nous avons

dXy i,... = y i+1/2,... - y i-1/2,...

DX (3.2.1.2)

The horizontal interpolation operators for X,which are useful for positioning the fields onthe appropriate grid points, are defined asfollows:

Les opérateurs d’interpolation horizontale se-lon X, servant à positionner les champs sur lespoints de grille appropriés, sont définis commesuit :

yX i,... =

y i-1/2,... + y i+1/2,...

2 + h

-y i-3/2,... + y i-1/2,... +y i+1/2,... -y i+3/2,...

16 (3.2.1.3)

yX i-1/2,... =

y i-1,... + y i,...

2 + h

-y i-2,... + y i-1,... +y i,... -y i+1,...

16 (3.2.1.4)

where the h coefficient is used to choosebetween linear interpolation (h=0) and cubicinterpolation (h=1), which is the currentdefault value. On the edge of the grid, onlylinear interpolation is possible.

où le coefficient h sert à choisir entre l'interpo-lation linéaire (h=0) et l'interpolation cubique(h=1), qui est la valeur implicite présente-ment. Sur le rebord de la grille, seule l'interpo-lation linéaire est possible.


3.2.2 Discretization with respect to Y 3.2.2 Discrétisation selon Y

The discrete form of the partial derivativewith respect to Y is also expressed using acentred finite difference dY on a grid lengthDY. This operator is used in much the sameway as the dX operator, i.e.:

La forme discrète de la dérivée partielle selonY est exprimée, elle aussi, à l’aide d’une diffé-rence finie dY centrée sur une longueur de mailleDY. Cet opérateur s'utilise essentiellement dela même façon que l'opérateur dX, c'est-à-dire

dYy ...,j-1/2,... = y ...,j,... - y ...,j-1,...

DY (3.2.2.1)

dYy . . . , j , . . . = y ...,j+1/2,... - y ...,j-1/2,...

DY (3.2.2.2)

The horizontal interpolation operators withrespect to Y are defined as follows:

Les opérateurs d’interpolation horizontale se-lon Y sont définis comme suit :

yY... , j , . . . =

y ...,j-1/2,... + y ...,j+1/2,...

2 + h

-y ...,j-3/2,... + y ...,j-1/2,... +y ...,j+1/2,... -y ...,j+3/2,...

16(3.2.2.3)

yY...,j-1/2,... =

y ...,j-1,... + y ...,j,...

2 + h

-y ...,j-2,... + y ...,j-1,... +y ...,j,... -y ...,j+1,...

16(3.2.2.4)


3.2.3 Discretization of metric terms 3.2.3 Discrétisation des termes métriques

Before giving the discrete form of theequations as such, we will define certain termsused in these equations. The metric terms G0,G1, G2 and g0 contain differential operators,and hence are modified when expressed indiscrete form.

Avant de donner la forme discrète deséquations proprement dites, nous allons définircertains termes qui sont utilisés dans celles-ci.Parce que les termes métriques G0, G1, G2 et g0contiennent des opérateurs différentiels, i lssont modifiés lorsque nous les exprimons sousforme discrète.

The metric term g0 (1.2.11) is known on«q»-type points and is solely a function of Xand Y; thus its discrete form is as follows:

Le terme métrique g0 (équation 1.2.17), définisur des points de type «q», est uniquement fonc-tion de X et Y. Sous forme discrète, il prend l aforme suivante :

g0 i, j = H - h0 i, j

H (3.2.3.1)

The metric term G0 (1.2.17) is a function of X, Yand Z. This term may be defined on boththermodynamic (k-1/2) and momentum (k)type levels. The horizontal dependence of thismetric term comes entirely from g0; G0 is knownon «q»-type points. The expressions for themetric term G0 on these two types of levels are:

Le termes métrique G0 (équation 1.2.14), lui, estfonction de X, Y et Z. Il est défini autant sur lesniveaux de type thermodynamique (k-1/2) quesur les niveaux de type momentum (k). La dé-pendance horizontale de ce terme métriqueprovient entièrement de g0; G0 est défini sur lespoints de type «q». Les expressions pour l eterme métrique G0, sur les deux types de ni-veaux, sont :

G0 i,j,k = g0 i,j Dz

DZ k (3.2.3.2)

G0 i,j,k-1/2 = g0 i,j Dz

DZ k-1/2 (3.2.3.3)

where DZZZZ = H/Nk is constant for all levels and(Dz) can vary according to k. Thus we can use aconfiguration with more physical levels nearthe surface, while maintaining a uniformarrangement of Z levels in the model. It isworth noting that the g0/G0 term is a functiononly of the vertical; for this reason, the g0/G0term is indexed only by k or k-1/2, asappropriate.

où DZZZZ = H/Nk est constant pour tous les ni-veaux, tandis que (Dz) peut varier selon k.Cela nous permet d'utiliser une configurationoù il y a plus de niveaux physiques près du soltout en gardant une disposition uniforme desniveaux ZZZZ du modèle. Il est intéressant de re-marquer que le terme g0/G0 est uniquementfonction de la verticale; pour cette raison, il estuniquement caractérisé par un indice k ouk-1/2, selon le cas.


The G1 and G2 metric terms ((1.2.18) and1.2.19)) are defined on “q”-type grid points onmomentum-type levels (i,j,k) and onthermodynamic-type levels (i,j,k-1/2). The G1and G2 metric terms are expressed in discreteform as follows on thermodynamic-typelevels:

Les termes métriques G1 et G2 (équations 1.2.18et 1.2.19) sont définis sur des points de types«q» sur les niveaux de type momentum (i, j, k )et sur les niveaux de type thermodynamique(i,j,k-1/2). Les termes métriques G1 et G2 sontexprimés sous forme discrète de la façon sui-vante sur les niveaux de typethermodynamique

G1 i,j,k-1/2 = - H - zk-1/2

H dXh0

Xi, j (3.2.3.4)

G2 i,j,k-1/2 = - H - zk-1/2

H dYh0

Yi, j (3.2.3.5)

and on momentum-type levels et sur les niveaux de type momentum

G1 i,j,k = - H - zk

H dXh0

Xi, j (3.2.3.6)

G2 i,j,k = - H - zk

H dYh0

Yi, j (3.2.3.7)

The horizontal interpolation operators areused in these expressions to shift the G1 and G2terms onto “q”-type points. It is more efficientto shift the metric term onto “q”-type pointswhile it is being calculated than to applyhorizontal average operators when the metricterms are used. Note that this is a totallyarbitrary choice, and was made for the sake ofefficiency only.

Les opérateurs d’interpolation horizontalesont utilisés, dans ces expressions, pour ramenerles termes G1 et G2 sur les points de types «q».Il est plus efficace de ramener le terme mé-trique sur les points de type «q» au moment deson calcul plutôt que d'appliquer les opérateursde moyenne horizontale lors de l'utilisationdes termes métriques. Notons que ce choix esttotalement arbitraire et n'est fait que par soucid'efficacité.

The Coriolis parameter, f, and the scalefactor, S, are both defined on “f”-type points.Both parameters are functions of latitude, andare expressed as follows:

Le paramètre de Coriolis f ainsi que le facteurd’échelle S sont tous deux définis sur les pointsde type «f». Ces deux paramètres sont desfonctions de la latitude s'exprimant commesuit:

fi-1/2,j-1/2 = 2 WWWW sin j i-1/2,j-1/2 (3.2.3.8)


Si-1/2,j-1/2 = 1+ sinj0

1+ sinj i-1/2,j-1/2 (3.2.3.9)

where a latitude value ji-1/2,j-1/2 correspondsto each grid point (i-1/2,j-1/2). Consequently,the use of either of these parameters on a gridpoint other than those of type “f” requires theuse of a horizontal interpolation operator.

où pour chaque point de grille (i-1/2,j-1/2)correspond une valeur de latitude ji-1/2,j-1/2.Ainsi, l'emploi de l’un ou l’autre de cesparamètres sur des points de grille autres queceux de type «f» nécessite l’utilisation d’unopérateur d’interpolation horizontale.

3.2.4 Horizontal discretization of equations

3.2.4 Discrétisation horizontale des équations

Now that the discrete forms of operators andmetric terms have been defined, we will insertthese forms into the Euler equations to obtain afully discretized system of equations. If we usethe operators defined in equations (3.2.1.1) to(3.2.2.4) on the domain of definition describedby (3.2.0.4) to (3.2.0.6) and with the lateralboundary conditions defined by (3.2.0.1) to(3.2.0.3), the Euler equations (3.1.1.1) to(3.1.1.41) take the following form:

En introduisant dans les équations d'Euler l aforme discrète des opérateurs et des termesmétriques maintenant définie, nous obtenons unsystème d’équations exprimées entièrementsous forme discrète. En utilisant les opérateursdéfinis par les équations (3.2.1.1) à (3.2.2.4) surle domaine de définition décrit par lesexpressions (3.2.0.4) à (3.2.0.6) et avec lesconditions aux frontières latérales dictées parles expressions (3.2.0.1) à (3.2.0.3), leséquations d’Euler (équations 3.1.1.1 à 3.1.41)prennent la forme suivante :

3.2.4.1 Q y terms at time (t+Dt) 3.2.4.1 Termes Q y au temps (t+Dt )

Ui-1/2,j,k + 1+e Dt R T* dXq' i-1/2,j,k = QU i-1/2,j,k

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N

Vi,j-1/2,k + 1+e Dt R T* dYq' i,j-1/2,k = QV i,j-1/2,k

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N


wi,j,k-1/2 + 1+e Dt R T* g0

G0 dZq'

i,j,k-1/2 -

1+e Dt g

T* Ti,j,k-1/2

' = QV i,jk-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

2 £ k £ Nk

(3.2.4.

(1- a) qi,j,k' -

g 1+e Dt

RT* wZ

i , j ,k + (1+e) Dt SXY i,j ,k dXU + dYV i,j,k

+ (1+e) Dt g0

G0 dZG0W

i,j,k = Qq i,j,k

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.4.

Ti,j,k-1/2' - a T* q'Z i,j,k-1/2 + (1+e) Dt ag

R wi,j,k-1/2 = QT i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N

where où

a T* q'Z i,j,1/2 = a T* q'i,j,1 - 18

Ti,j,3/2' + 3

8 Ti,j,1/2

' gDZ

RT* G0 i,j,1/2


G0W i,j,k-1/2 - wi,j,k-1/2 = - 1(1+e) Dt

QW i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

2 £ k £ N

where où

wi,j,1/2 = 1(1+e) Dt

QW i,j,1/2 (3.2.4.

Mi j k-1/2 = QM i j k-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.4.

Ci,j,k-1/2 = QC i j k-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.4.

It may be useful to remind readers of thegeneral form of the equations used in themodel:

Il peut être utile de rappeler la forme généraledes équations utilisées dans le modèle :

Qy i, j, k = Py i-2a, j-2b, k-2gm + 2Dt Rytraj (3.2.4.9)

where où

Rytraj =

1+e Ry i, j, k + 1-e Ry i-2a, j-2b, k-2g m

2 . (3.2.4.10)

The Lagrangian displacements are obtained asfollows:

Les déplacements lagrangiens s’obtiennent dela façon suivante :

ai, j, k = D t SYU X

i-a, j-b, k-g m (3.2.4.11)

bi, j, k = D t SXV Y

i-a, j-b, k-g m (3.2.4.12)


gi, j, k = m D t W Zi-a, j-b, k-g m . (3.2.4.13)

3.2.4.2 R y terms at time (t) 3.2.4.2 Termes R y au temps (t)

Before discussing the discrete representation ofRy terms, we will explain how the specificpseudo kinetic energy K is evaluated in the RUand RV terms. This pseudo kinetic energy mustbe known on “U” and “V” types of points. Thuswe must apply spatial interpolation operatorsto the different components of K to determinethis term on the appropriate grid point. Theway in which these operators are applied canlead to some confusion. To eliminate anyambiguity, we define a specific pseudo keneticenergy for each of the two types of grid point.The specific pseudo kenetic energyKi-1/2,j,kdefined on “U”-type grid points isexpressed as follows:

Avant de passer à la représentation discrètedes termes Ry, définissons comment est évaluéela pseudo-énergie cinétique spécifique K qu'onretrouve à l’intérieur des termes RU et RV.Comme cette pseudo-énergie cinétique doit êtredéfinie sur les types de point «U» et «V», i lfaut appliquer les opérateurs d’interpolationspatiale aux différentes composantes de K afinde les définir sur les points de grille appro-priés. L'application de ces opérateurs peut gé-nérer une certaine confusion. Afin d’éliminertoute ambiguïté, nous définissons une pseudo-énergie cinétique spécifique pour chacun desdeux types de point de grille. La pseudo-éner-gie cinétique spécifique Ki-1/2,j,k définie sur lespoints de grille de type «U» s’exprime commesuit:

Ki-1/2,j,k = Ui-1/2,j,k

2 + VXYi-1/2,j,k

2

2 (3.2.4.14)

and the specific pseudo kenetic energy definedon “V”-type grid points is defined as follows:

et la pseudo-énergie cinétique spécifiquedéfinie sur les points de grille de type « V »s’exprime comme suit :

Ki,j-1/2,k = UXY

i,j-1/2,k2 + Vi,j-1/2,k

2

2 (3.2.4.15)

Now that the definitions for Ki-1/2,j,k and Ki,j-1/2,k are given, we will define the Ry terms:

Maintenant que les définitions pour Ki-1/2,j,k etKi,j-1/2,k sont données, nous allons définir lestermes Ry :


RU i-1/2,j,k = fY VXYi-1/2,j,k - K dXSXY

i-1/2,j,k - R T'ZXdXq' i-1/2,j,k

- R T G1G0

dZq' XZ

i-1/2,j,k - 1-m WX dZU

Zi-1/2,j,k

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N

where où

T G1G0

dZq' XZ

i-1/2,j,1 = 1

2 T G1

G0 dZq'

...,3/2 + T G1

G0

g

RT*2 G0T'

...,1/2

X

i-1/2,j,1

and et

T G1G0

dZq' XZ

i-1/2,j,Nk = 1

2 T G1

G0 dZq'

X

i-1/2,j,Nk-1/2

T'ZXi-1/2,j,Nk = T'X

i-1/2,j,Nk-1/2

(3.2.4.16)

For more details on the approximations at theboundaries, readers may refer to Section 3.1.1.

Pour plus de détails sur les approximations auxfrontières, le lecteur peut se référer à l asection 3.1.1.


RV i,j-1/2,k = - fX UXYi,j-1/2,k - KdYSXY

i,j-1/2,k - R T'ZYdYq' i,j-1/2,k

- R T G2G0

dZq' YZ

i,j-1/2,k - 1-m WY dZV

Zi,j-1/2,k

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N

where où

T G2G0

dZq' YZ

i,j-1/2,1 = 1

2 T G2

G0 dZq'

...,3/2+ T G2

G0

g

RT*2 G0T'

...,1/2

Y

i,j-1/2,1

and et

T G2G0

dZq' YZ

i,j-1/2,Nk = 1

2 T G2

G0 dZq'

Y

i,j-1/2,Nk-1/2

T'ZYi,j-1/2,Nk = T'Y

i,j-1/2,Nk-1/2

Rw i,j,k-1/2 = RT* g0

G0 dZq'

i,j,k-1/2- R T

G0 dZq'

i,j,k-1/2- 1-m WdZw

Zi,j,k-1/2

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

2 £ k £ N

(3.2.4.1

Rq i,j,k = SXY F1UX + F2VYi,j,k -

1 - g0

G0 dZG0W

i , j ,k- 1-m 1 - a WdZq'Z i,j,k

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-1

1 £ k £ Nk

(3.2.4.1


RT i,j,k-1/2 = aTi,j,k-1/2

'

1 - a SXY F1UX+ F2VY - SXY dXU + dYV - 1

G0 dZG0W

Z

i,j,k-1/2

- 1-m W i,j,k-1/2 dZ T'Z - aT*q' i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N

where où

SXY F1UX + F2VY - SXY dXU + dYV - 1G0

dZG0W Z

i,j,1/2 =

SXY F1UX + F2VY - SXY dXU + dYV - 1G0

dZG0Wi , j ,1

and et

T'Zi,j,Nk = T'

i,j,Nk-1/2

RW i,j,k-1/2 = - SXY G1U X+ G2VYZi,j,k-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

2 £ k £ Nk

RW i,j,1/2 = - SXY G1U X+ G2VY i,j,1 (3.2.4.2

RM i,j,k-1/2 = - 1-m W i,j,k-1/2 dZMZ

i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

2 £ k £ Nk-1

and et

RM i j Nk 1/2 =0

RM i,j,1/2 =0 (3.2.4.2


RC i,j,k-1/2 = - 1-m W i,j,k-1/2 dZCZi,j,k-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

2 £ k £ Nk-1

and et

RC i,j,Nk-1/2 =0

RC i,j,1/2 =0 (3.2.4.2

3.2.4.3 P y terms at time (t-Dt) 3.2.4.3 Termes P y au temps (t - Dt)

PU i-1/2,j,k = Ui-1/2,j,k - (1-e) D t R T* dXq' i-1/2,j,k

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N

PV i,j-1/2,k = Vi,j-1/2,k - (1-e) D t R T* dYq' i,j-1/2,k

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N


Pw i,j,k-1/2 = w i,j,k-1/2 - (1-e) D t R T* g0

G0 dZq'

i,j,k-1/2 +

(1-e) Dt g

T* T'

i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

2 £ k £ Nk

(3.2.4.2

Pq i,j,k = (1- a) qi,j,k' + (1-e) Dt

g

RT*w Z

i , j ,k - (1-e) Dt SXY dXU + dYV i,j,k

- (1-e) Dt g0

G0 dZG0W

i , j ,k

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.4.2

PT i,j,k-1/2 = Ti,j,k-1/2' - a T* q'Z i,j,k-1/2 - (1-e) D t

agR

wi,j,k-1/2

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N

where où

a T* q'Z i,j,1/2 = a T*

2 q'i,j,1 - 1

4 Ti,j,3/2

' + 34

Ti,j,1/2'

gDZ

RT* G0 i,j,1/2

(3.2.4.2

PW i,j,k-1/2 = - (1-e) D t wi,j,k-1/2 - G0W i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N

PM i,j,k-1/2 = M i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.4.3


PC i,j,k-1/2 = C i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.4.3


3.2.5 Helmholtz equation 3.2.5 Équation d’Helmholtz

Now that the Euler equations fullydiscretized, we will uncouple the algebraicsystem defined by the relations(3.2.4.1)-(3.2.4.9). The approach used is moreor less the same as in Sections 2 and 3.1.2. Wewill pay specific attention to the horizontaloperators when uncoupling the equations. Fordetails on the vertical operators, readers mayrefer to Section 3.1.2.

Comme les équations d’Euler sont entièrementsous forme discrète, nous allons découpler l esystème algébrique défini par les relations(3.2.4.1)-(3.2.4.9). La démarche suivie est,grosso modo, la même que celle adoptée dansles sections 2 et 3.1.2. Nous allons porter uneattention particulière aux opérateurshorizontaux lors du découplage des équations.Pour ce qui est des détails concernant lesopérateurs verticaux, le lecteur peut se référerà la section 3.1.2.

We will first recapitulate the equations tha tmake up the algebraic system at time (t+Dt):

Rappelons les équations qui constituent l esystème algébrique au temps (t+Dt) :

Ui-1/2,j,k + 1+e Dt R T* dXq' i-1/2,j,k = QU i-1/2,j,k

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N

Vi,j-1/2,k + 1+e Dt R T* dYq' i,j-1/2,k = QV i,j-1/2,k

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N

wi,j,k-1/2 + 1+e Dt R T* g0

G0 dZq'

i,j,k-1/2 -

1+e Dt g

T* Ti,j,k-1/2

' = QV i,jk-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

2 £ k £ Nk

(3.2.5.


(1- a) qi,j,k' -

g 1+e Dt

RT* wZ

i , j ,k + (1+e) Dt SXY i,j ,k dXU + dYV i,j,k

+ (1+e) Dt g0

G0 dZG0W

i,j,k = Qq i,j,k

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.5.

Ti,j,k-1/2' - a T* q'Z i,j,k-1/2 + (1+e) Dt ag

R wi,j,k-1/2 = QT i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N

where où

a T* q'Z i,j,1/2 = a T* q'i,j,1 - 18

Ti,j,3/2' + 3

8 Ti,j,1/2

' gDZ

RT* G0 i,j,1/2

(3.2.5.

G0W i,j,k-1/2 - wi,j,k-1/2 = - 1(1+e) Dt

QW i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

2 £ k £ N

where où

wi,j,1/2 = 1(1+e) Dt

QW i,j,1/2 (3.2.5.6)

Mi j k 1/2 = QM i j k 1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.5.


Ci,j,k-1/2 = QC i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.5.

and et

Qy i, j, k = Py i-2a, j-2b, k-2gm + 2Dt Rytraj (3.2.5.9)

The first step consists of eliminating thevariables Ui-1/2,j,k and Vi,j-1/2,k contained inthe continuity equation (3.2.5.4). These twovariables are found in the horizontaldivergence term:

La première étape consiste à éliminer lesvariables Ui-1/2,j,k et Vi,j-1/2,k contenues àl’intérieur de l’équation de continuité (3.2.5.4).Ces deux variables se retrouvent dans le termede divergence horizontale :

(1+e) Dt SXY i,j ,k dXU + dYV i,j,k . (3.2.5.10)

This term has two parts: the first partcorresponds to divergence of U on the X axis,and the second, divergence of V on the Y axis.So as not to complicate the algebraunnecessarily, we will deal with the two partsof the horizontal divergence term separately.

Ce terme est constitué de deux parties : l apremière correspond à la divergence de U selonl’axe X et la seconde, à la divergence de Vselon l’axe Y. Pour ne pas compliquer l’algèbreinutilement, nous traitons les deux parties duterme de divergence horizontale séparément.

Figure 16 shows a row of grid points parallel tothe X axis, on which we show the momentumequation with respect to X on “U”-type points( ) and the divergence term on “q”-type points( ). Note that the differential operatorswith respect to X contained in these twoexpressions are expressed explicitly. We havealso represented the lateral boundaryconditions at the extremities of the row of gridpoints. The schematic representation has atotal number of grid points on the X axis ofNi=6.

La figure 16 présente une rangée de points degrille, parallèle à l’axe des X, sur lesquels nousprésentons l’équation du momentum selon X surles points de type «U» ( ) et le terme de di-vergence sur les points de type «q» ( ). Notonsque les opérateurs différentiels selon X conte-nus dans ces deux expressions sont exprimés defaçon explicite. Les conditions aux frontièreslatérales sont présentées aux extrémités de l arangée de points de grille. Cette représentationschématique comporte un nombre total depoints de grille selon X de Ni=6.


Figure 17 shows the results obtained when theexpressions for Ui-1/2,j,k and Ui+1/2,j,k areinserted into the divergence terms on the ( )points. Grid point i=3 shows the general case,and the specific cases at the two lateralextremities are represented at points i=2 andi=4. For the general case (i=3), we have theexplicit expression of the X component of thediscretized Laplacian of q'. We can see tha tthe expression of the X component of theLaplacian of q' near the boundary is notmodified by the lateral boundary condition.The only way that the lateral boundaryaffects the Laplacian of q' is through thedriving model value [q']. Thus the X componentof the Laplacian of q' is defined for all pointsin the domain of definition of the continuityequation, i.e. 2 £ i £ Ni-2.

La figure 17 présente les résultats obtenuslorsque les expressions pour Ui-1/2,j,k et Ui+1/2,j,ksont introduites dans les termes de divergencesur les points ( ). Le point de grille i=3illustre le cas général, tandis que les points i=2et i=4 présentent les cas particuliers aux deuxextrémités latérales. Pour le cas général (i=3),nous avons l’expression explicite de l acomposante selon X du laplacien sous formediscrète de q'. Remarquons que l’expression dela composante selon X du laplacien de q' auvoisinage de la frontière n’est pas modifiéepar la condition à la frontière latérale. En ef-fet, le seul impact qu'a la frontière latérale surle laplacien de q' provient de sa valeur pilotée[q']. Ainsi, la composante selon X du laplaciende q' est définie pour tous les points du domainede définition de l’équation de continuité, soit 2£ i £ Ni-2.

Once we have eliminated the variableUi-1/2,j,k, we proceed in the same fashion toreplace the variable Vi,j-1/2,k in the continuityequation (3.2.5.4). Figure 18 shows the sameapproach, but this time along the Y axis. Themomentum equation with respect to Y (3.2.5.2)appears on grid points of type “V” ( ), whilethe divergence component (3.2.5.10) is on “q”-type points ( ). The lateral boundaryconditions are represented at the twoextremities of the row. Finally, Figure 19shows the divergence term expressed entirelyas a function of the q' variable. Note that thedivergence term is fully defined for each gridpoint where the continuity equation is defined,i.e. 2 £ j £ Nj-2.

Maintenant que la variable Ui-1/2,j,k est él i -minée, nous procédons de la même façon pourremplacer la variable Vi,j-1/2,k de l’équation decontinuité (3.2.5.4). La figure 18 présente l amême démarche, mais cette fois faite selonl’axe des Y. L'équation du momentum selon Y(3.2.5.2) apparaît sur les points de grille detype «V» ( ), tandis qu'on retrouve la compo-sante de divergence (3.2.5.10) sur les points detype «q» ( ). Les conditions aux frontières l a -térales sont représentées aux deux extrémitésde la rangée. Sur la figure 19, on retrouve fina-lement le terme de divergence entièrement ex-primé en fonction de la variable q'.Remarquons que le terme de divergence est en-tièrement défini pour chaque point de grille oùl’équation de continuité est définie, soit2 £ j £ Nj-2.


11/2, j, k U11/2,j,k

5, j, k q'5,j,k

9/2, j, k

U9/2,j,k = - 1+e Dt R T* q'5,j,k - q'4,j,k

DX + QU 9/2,j,k

4 j k

dXU + dYV 4,j,k = U9/2,j,k - U7/2,j,k

DX + dYV 4,j,k

7/2, j, k

U7/2,j,k = - 1+e Dt R T* q'4,j,k - q'3,j,k

DX + QU 7/2,j,k

3, j, k

dXU + dYV 3,j,k = U7/2,j,k - U5/2,j,k

DX + dYV 3,j,k

5/2, j, k

U5/2,j,k = - 1+e Dt R T* q'3,j,k - q'2,j,k

DX + QU 5/2,j,k

2, j, k

dXU + dYV 2,j,k = U5/2,j,k - U3/2,j,k

DX + dYV 2,j,k

3/2, j, k

U3/2,j,k = - 1+e Dt R T* q'2,j,k - q'1,j,k

DX + QU 3/2,j,k

1, j, k q'1,j,k

1/2, j, k U1/2,j,k

FIGURE 16 Representation of a row of gridpoints along the X axis. “U”-type points arerepresented by and “q”-type points, by .We have represented the X component of themomentum equation on “U”-type points ( )and the horizontal component of divergence on“q”-type points ( ). We have also representedthe lateral boundary conditions by fieldsbetween [ ] at each extremity of the row. Thisrepresentation is valid for Ni=6.

FIGURE 16 Représentation d’une rangée depoints de grille le long de l’axe des X. Lespoints de type «U» sont représentés par des et les points de type «q» par des . Sur lespoints de type «U» ( ), nous retrouvons l acomposante selon X de l’équation du momentumet, sur les points de type «q» ( ), l acomposante horizontale de la divergence. Leschamps entre [ ] représentent les conditions auxfrontières latérales à chaque extrémité de l arangée. La représentation est valide pour Ni=6.


11/2, j, k

5, j, k

9/2, j, k

4 j k

dXU+dYV 4,j,k=

- 1+e Dt R T* q'5,j,k - 2q'4,j,k + q'3,j,k

DX2

+ dYV 4,j,k

+ QU 9/2,j,k - QU 7/2,j,k

DX7/2, j, k

3 j k

dXU+dYV 3,j,k=

- 1+e Dt R T* q'4,j,k - 2q'3,j,k + q'2,j,k

DX2

+ dYV 3,j,k

+ QU 7/2,j,k - QU 5/2,j,k

DX5/2, j, k

2 j k

dXU+dYV 2,j,k=

- 1+e Dt R T* q'3,j,k - 2q'2,j,k + q'1,j,k

DX2

+ dYV 2,j,k

+ QU 5/2,j,k - QU 3/2,j,k

DX3/2, j, k

1 j k

1/2, j, k

FIGURE 17 As in Figure 16, but Ui-1/2,j,kand Ui+1/2,j,k have been replaced by theirexpressions as a function of the q' variable.

FIGURE 17 Comme à la figure 16, sauf queUi-1/2,j,k et Ui+1/2,j,k sont remplacés par leursexpressions en fonction de la variable q'.


i, 11/2, k Vi,11/2,k

i 5 kq'

i,5,k

i, 9/2, k Vi,9/2,k = - 1+e Dt R T* q'i,5,k - q'

i,4,k

DX + QV i,9/2,k

i 4 k

dXU + dYV i,4,k= - 1+e Dt R T*

q'i+1,4,k - 2q'

i,4,k + q'i-1,4,k

DX2

+ Vi,9/2,k - Vi,7/2,k

DY + dXQU i,4,k

i, 7/2, k Vi,7/2,k = - 1+e Dt R T* q'

i,4,k - q'i,3,k

DX + QV i,7/2,k

i 3 k


q'i+1,3,k - 2q'

i,3,k + q'i-1,3,k

DX2

+ Vi,7/2,k - Vi,7/2,k

DY + dXQU i,3,k

i, 5/2, k Vi,5/2,k = - 1+e Dt R T* q'i,3,k - q'

i,2,k

DX + QV i,5/2,k

i 2 k


q'i+1,2,k - 2q'

i,2,k + q'i-1,2,k

DX2

+ Vi,5/2,k - Vi,3/2,k

DY + dXQU i,2,k

i, 3/2, k Vi,3/2,k = - 1+e Dt R T* q'i,2,k - q'

i,1,k

DX + QV i,3/2,k

i, 1, k q'i 1 k

i, 1/2, k Vi,1/2,k

FIGURE 18 Representation of a row of gridpoints along the Y axis. “V”-type points arerepresented by and “q”-type points by .We have represented the Y component of themomentum equation on “V”-type points ( )and the horizontal component of divergence on“q”-type points ( ). We have also representedthe lateral boundary conditions by fieldsbetween [ ] at each extremity of the row. Thisrepresentation is valid for Nj=6.

FIGURE 18 Représentation d’une rangée depoints de grille le long de l’axe des Y. Lespoints de type «V» sont représentés par des et les points de type «q» par des . Sur lespoints de type «V» ( ), nous retrouvons l acomposante selon Y de l’équation du momentumet, sur les points de type «q» ( ), l acomposante horizontale de la divergence. Leschamps entre [ ] représentent les conditions auxfrontières latérales à chaque extrémité de l arangée. La représentation est valide pour Nj=6.


i, 11/2, k

i, 5, k

i, 9/2, k

i 4 k

dXU + dYV i,4,k=

- 1+e Dt R T* q'

i+1,4,k - 2q'i,4,k + q'

i-1,4,k

DX2

+ q'

i,5,k - 2q'i,4,k + q'

i,3,k

DY2 + dXQU+dYQV i,4,k

i, 7/2, k

i 3 k

dXU + dYV i,3,k=

- 1+e Dt R T* q'

i+1,3,k - 2q'i,3,k + q'

i-1,3,k

DX2

+ q'

i,4,k - 2q'i,3,k + q'

i,2,k


i, 5/2, k

i 2 k

dXU + dYV i,2,k=

- 1+e Dt R T* q'

i+1,2,k - 2q'i,2,k + q'

i-1,2,k

DX2

+ q'

i,3,k - 2q'i,2,k + q'

i,1,k


i, 3/2, k

i 1 k

i,1/2, k

FIGURE 19 Representation of thehorizontal component of divergence once the Uand V variables have been eliminated andreplaced by the q' variable. Thisrepresentation is illustrated on “q”-type pointsalong a row of grid points on the Y axis. Wehave used a representation where Nj=6.

FIGURE 19 Représentation de l acomposante horizontale de la divergence danslaquelle les variables U et V ont été éliminéesau profit de q'. Cette représentation estprésentée sur les points de type «q» le longd’une rangée de points de grille parallèle àl’axe des Y. Nous avons utilisé unereprésentation où Nj=6.

The Y component of the Laplacian of q' takesno particular form near the lateral boundary.Here, too, the only effect of the lateralboundary on the expression of the Laplacian isrepresented by the driving model variable [q'].The expressions represented in Figure 19 allowus to generalize the divergence term (3.2.5.10)as follows:

La composante selon Y du laplacien de q' neprend pas de forme particulière lorsque noussommes au voisinage de la frontière latérale.Ici aussi, la seule manifestation de la frontièrelatérale sur l’expression du laplacien estexprimée par la variable pilotée [q']. Lesexpressions présentées à la figure 19permettent de généraliser le terme dedivergence (3.2.5.10) de la façon suivante :


(1+e) Dt SXY dXU + dYV i,j,k =

- (1+e)2 Dt2R T* SXY —2q' i,j,k + (1+e) Dt SXY dXQU + dYQV i,j,k

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.5.1

where the discretized Laplacian operator isdefined as follows:

où l’opérateur laplacien discret est définicomme suit :

—2q' i,j ,k= q'i+1,j,k - 2q'i,j,k + q'i-1,j,k

DX2

+ q'i,j+1,k - 2q'i,j,k + q'i,j-1,k

DY2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.5.1

Once we insert the expression of the divergenceterm (3.2.5.11) and the definition of thediscrete Laplacian operator (3.2.5.12) into thecontinuity equation (3.2.5.4), we obtain thefollowing relation:

Une fois l’expression du terme de divergence(3.2.5.11) et la définition de l’opérateurlaplacien discret (3.2.5.12) introduites dansl’équation de continuité (3.2.5.4), nous obtenonsla relation suivante :

(1- a) qi,j,k' -

g (1+e)Dt

RT* wZ

i , j ,k - (1+e)2 Dt2 R T* SXY —2q' i,j,k

+ (1+e)Dt g0

G0 dZG0W

i,j,k= A4 i,j,k

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.5.1

where the right-hand term is defined asfollows:

où le terme de droite est défini comme suit :

A4 i,j,k = Qq i,j,k - (1+e)Dt SXY dXQU + dYQV i,j,k


The second step consists of eliminating T' fromthe thermodynamic equation (3.2.5.5) withthe expression of T' obtained from the verticalcomponent of the momentum equation (3.2.5.3).If we isolate the (g(1+e)Dt/T*)T' term inequation (3.2.5.3), we can then insert it into thethermodynamic equation after multiplyingthe equation by a factor g(1+e)Dt/T*. Weobtain, for the thermodynamic equation:

La seconde étape consiste à éliminer T' del’équation thermodynamique (3.2.5.5) à l’aidede l’expression de T' provenant de l acomposante verticale de l’équation dumomentum (3.2.5.3). On commence par isoler l eterme (g(1+e)Dt/T*)T' de l’équation (3.2.5.3)qu'on introduit ensuite dans l’équationthermodynamique préalablement multipliéepar le facteur g(1+e)Dt/T*. Cette dernièredevient :

C1 wi,j,k-1/2 + (1+e)Dt RT* D1 q' i,j,k-1/2 = A5 i,j,k-1/2

pour

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

2 £ k £ N

where où

C1 =1 + ag2(1+e)2 Dt

2

RT*

and et

A5 i,j,k-1/2 = g(1+e)Dt

T* QT i,j,k-1/2 + Qw i,j,k-1/2

(3.2.5.16)

and the horizontally discretized operatorD1(q') is defined as follows:

L’opérateur D1(q') discret à l’horizontal estdéfini comme suit

D1 q' i,j,k-1/2 = g0

G0 k-1/2dZq' i,j,k-1/2 -

ag

RT* q'Z i,j,k-1/2

(3.2.5.17)

Thirdly, we will eliminate the variable wi,j,k-1/2 from equations (3.2.5.13) and(3.2.5.15), using the diagnostic equation for W(3.2.5.6). By isolating vertical velocitywi,j,k-1/2 in equation (3.2.5.6), we obtain thefollowing expression:

Dans un troisième temps, nous éliminons l avariable wi,j,k-1/2 des équations (3.2.5.13) et(3.2.5.15) à l’aide de l’équation diagnostiquede W (3.2.5.6). En isolant la vitesse verticale wi,j,k-1/2 dans l’équation (3.2.5.6), nous obtenonsl’expression suivante :

wi,j,k-1/2 = G0W i,j,k-1/2 + 1(1+e)Dt

QW i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.5.1


By inserting this expression into thethermodynamic equation (3.2.5.15), we obtain:

qui, une fois introduite dans l’équationthermodynamique (3.2.5.15), donne :

C1 G0W i,j,k-1/2 + (1+e)Dt RT* D1 q' i,j,k-1/2 = A1 i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N

where où

A1 i,j,k-1/2 = A5 i,j,k-1/2 - C1

(1+e)DtQW i,j,k-1/2 . (3.2.5.20)

We eliminate the wi,j,k-1/2 variable from thecontinuity equation (3.2.5.13) by inserting thisexpression we have just obtained in (3.2.5.18)into the continuity equation, giving us thefollowing relation:

Nous éliminons la variable wi,j,k-1/2 del’équation de continuité (3.2.5.13) enintroduisant l’expression (3.2.5.18) dans cettedernière, pour obtenir la relation suivante :

(1- a)qi,j,k' - (1+e)2 Dt

2RT* S XY —2q' i,j,k + (1+e)Dt D2 G0W i,j,k = A3 i,j,k

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.5.2

where où

A3 i,j,k =

A4 i,j,Nk + (1- a)g

RT* QW

2 i,j,Nk-1/2

A4 i,j,k + (1- a)g

RT* QW

Zi,j,k

1 £ k £ Nk-1 .

The D2(G0W) operator is defined as follows: L’opérateur D2(G0W) est défini comme suit :

D2 G0W i , j ,k = g0

G0 k dZG0W i , j ,k -

(1- a)g

RT* G0WZ

i , j ,k(3.2.5.23)

Now we only have to eliminate the G0Wvariable from the continuity equation(3.2.5.21), using the G0W term from thethermodynamic equation (3.2.5.19). This givesthe following expression for the continuityequation:

Il ne reste plus qu’à éliminer la variable G0Wde l’équation de continuité (3.2.5.21) à l 'aidedu terme G0W de l’équation thermodynamique(3.2.5.19). Cela donne l'expression suivantepour l’équation de continuité :


C1 (1- a)qi,j,k' - 1+e 2 Dt

2RT* SXY—2q' i,j ,k - 1+e 2 Dt

2RT* D2 D1 q' i,j,k = A2 i,j,k

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.5.2

where où :

A2 i,j,k = C1 A3 i,j,k - (1+e)Dt D2 A1 i,j,k (3.2.5.25)

Relation (3.2.5.24) is a three-dimensionalHelmholtz equation for q' shown in fullydiscrete form. Once the right-hand term A2(3.2.5.25) is calculated on the basis ofvariables known at (t-Dt) and (t), theHelmholtz equation for q' at (t+Dt) is resolvediteratively.

La relation (3.2.5.24) est une équationd’Helmholtz tridimensionnelle pour q'présentée sous forme entièrement discrète. Unefois le terme de droite A2 (3.2.5.25) calculé surla base de variables connues à (t-D t) et (t),l’équation d’Helmholtz pour q' à (t+Dt) serésout par une méthode itérative.

Throughout the development of the equationsin discrete form, we have applied a conventionthat does not agree completely with theequations in the model's FORTRAN code. Inthe next section, we will reconcile thesedifferences.

Tout au long du développement des équationssous forme discrète, nous avons utilisé uneconvention qui n’est pas exactement en accordavec les équations qu'on retrouve dans le codeFORTRAN du modèle. Dans la prochainesection, nous réconcilions les deux formulations.


3.2.6 The discrete equations 3.2.6 Les équations discrètes

The difference between the discrete equationswe have developed and the equations in theFORTRAN code lies in the expression of theHelmholtz equation. This difference is largelydue to the definition of the coefficients for thediscrete operator D2(D1(q')). The Ry terms a ttime (t) ((3.2.4.16) to (3.2.4.23)) and the Pyterms at time (t-Dt) ((3.2.4.24) to (3.2.4.31))are identical to those in the FORTRAN code,and are evaluated by the RHS3 and UVGP3subroutines, respectively. We will examinethe relationship between the Helmholtzequation (3.2.5.24) and the expression as codedin FORTRAN.

La différence qui existe entre les équations dis-crètes que nous avons développées et les équa-tions contenues dans le code FORTRAN résidedans l’expression de l’équation d’Helmholtz.Cette différence tient en grande partie dans l adéfinition des coefficients de l’opérateur dis-cret D2(D1(q')). Les termes Ry au temps ( t )(équations 3.2.4.16 à 3.2.4.23) et les termes Pyau temps (t-Dt) (équations 3.2.4.24 à 3.2.4.31)sont identiques à ceux apparaissant dans l ecode FORTRAN et sont évalués respectivementpar les sous-programmes RHS3 et UVGP3.Examinons le lien entre l’équation d’Helm-holtz (3.2.5.24) et l’expression dans le codeFORTRAN.

To obtain the q' field at time (t+Dt) we mustevaluate the Qy terms as defined in equation(3.2.5.9); this is done by the UVGM3Dsubroutine. Once the Qy terms are known, weuse the RHSLBM3 subroutine to evaluate theAm terms, defined as follows:

Ainsi, pour obtenir le champ q' au temps(t+Dt), il faut évaluer les termes Qy définispar l’équation (3.2.5.9), ce qu'effectue le sous-programme UVGM3D. Une fois les termes Qydéfinis, nous évaluons, dans le sous-programmeRHSLBM3, les termes Am définis comme suit :

A5 i,j,k-1/2 = g(1+e)Dt

T* QT i,j,k-1/2 + Qw i,j,k-1/2 2 £ k £ Nk (3.2.6.

A4 i,j,k = Qq i,j,k - (1+e)Dt SXY dXQU + dYQV i,j,k 1 £ k £ N

A3 i,j,k =

A4 i,j,Nk + (1- a)g

RT* QW

2 i,j,Nk-1/2

A4 i,j,k + (1- a)g

RT* QW

Zi,j,k

1 £ k £ Nk

A1 i,j,k-1/2 = A5 i,j,k-1/2 - C1

(1+e)DtQW i,j,k-1/2 2 £ k £ Nk (3.2.6.


A2 i,j,k =

C1 A3 i,j,Nk + (1+e)Dt 1DZ

g0

G0 Nk

+ 1-a g

2RT* A1 i,j,Nk

C1 A3 i,j,k - (1+e)Dt D2 A1 i,j,k

C1 A3 i,j,1 - (1+e)Dt 1DZ

g0

G0 1

- 1-a g

2RT* A1 i,j,1

2 £ k £ Nk

where où

C1 = 1 + ag2 1+ e 2D t

2

RT*(3.2.6.6)

and et

D2 A1 i,j,k = 1DZ

g0

G0 k -

(1- a)gDZ

2RT*A1 i,j,k+1/2 -

g0

G0 k +

(1- a)gDZ

2RT*A1 i,j,k-1/2

(3.2.6.

The horizontal domain of definition for theseequations is 2£ i £Ni-2 and 2£ j £Nj-2. We thenresolve the Helmholtz equation for q'iteratively.

Le domaine de définition horizontal de ceséquations est 2 £ i £ Ni-2 et 2 £ j £ Nj-2. Par l asuite, à l’aide d’une méthode itérative, nousrésolvons l’équation d’Helmholtz pour q'

C1 (1- a)qi,j,k' - (1+e)2 Dt

2RT* SXY—2q' i,j ,k - (1+e)2 Dt

2RT* D2 D1 q' i,j,k = A2 i,j,k

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

1 £ k £ Nk

(3.2.6.

where the differential operators are definedas follows:

où les opérateurs différentiels sont définiscomme suit :

—2q' i,j ,k= q'i+1,j,k - 2q'i,j,k + q'i-1,j,k

DX2

+ q'i,j+1,k - 2q'i,j,k + q'i,j-1,k

DY2

D2 D1 q' i,j,k = 1DZ

ckak+1/2qi,j,k+1' - ckbk+1/2+ak-1/2dk qi,j,k

' + dkbk-1/2qi,j,k-1'

with the coefficients ak-1/2, bk-1/2, ck and dkdefined as follows:

avec les coefficients ak-1/2, bk-1/2, ck et dk quisont définis comme suit :


ak-1/2 = g0

G0 k-1/2- agDZ

2RT* (3.2.6.11)

bk-1/2 = g0

G0 k-1/2+ agDZ

2RT* (3.2.6.12)

ck = g0

G0 k-

(1- a)gDZ

2RT*(3.2.6.13)

dk = g0

G0 k+

(1- a)gDZ

2RT*(3.2.6.14)

cNk ∫ d1 ∫ 0 (3.2.6.15)

In the FORTRAN code there is no real{D2(D1(q'))}i,j,k operator expressed in terms ofthe coefficients ck, dk, ak-1/2 and bk-1/2, butrather in terms of array czz(k,l). In arrayczz(k,l), the k values represent the indices oflevels and l takes a value of 1 to 4. Therelationship between array czz(k,l) and thecoefficient is:

À l’intérieur du code FORTRAN, nous ne re-trouvons pas exactement l’opérateur{D2(D1(q'))}i,j,k exprimé en fonction des coef-ficients ck, dk, ak-1/2 et bk-1/2, mais plutôt enfonction du tableau czz(k, l). Dans le tableauczz(k, l), les k représentent l’indice des ni-veaux et l prend une valeur de 1 à 4. La corres-pondance entre le tableau czz(k, l) et les coeffi-cients est la suivante :

czz(k,1) = ckak+1/2czz(k,2) = ckbk+1/2czz(k,3) = dkak-1/2czz(k,4) = dkbk-1/2 (3.2.6.16)

where où

czz(Nk,1) = 0

czz(Nk,2) = 0

czz(1,3) = 0

czz(1,4) = 0

Æ cNk ∫ d1 ∫ 0

(3.2.6.17)


These coefficients are evaluated by theFIXCNT2 subroutine. Once we have inserted{D2(D1(q'))}i,j,k expressed in terms of czz(k,l)into the Helmholtz equation (3.2.6.8) andmultiplied this equation by the factor

Ces coefficients sont évalués par le sous-pro-gramme FIXCNT2. Après avoir introduitl'opérateur {D2(D1(q'))}i,j,k exprimé en fonctionde czz(k,l) dans l’équation d’Helmholtz(3.2.6.8) et multiplié cette équation par le fac-teur

- DZ(1+e)Dt

21

RT* ,

we obtain three equations that break down thevertical domain as follows:

nous obtenons trois équations qui se partagent l edomaine vertical de la façon suivante :

At the uppermost level (k=N k ) : Au plus haut niveau (k=N k )

- DZ(1+e)Dt

2 C1 (1- a)

RT* q'i,j,Nk

+ DZ2C1 SXY

i,j,Nk q'i+1,j,Nk - 2q'i,j,Nk + q'i-1,j,Nk

DX2

+ q'i,j+1,Nk - 2q'i,j,Nk + q'i,j-1,Nk

DY2

+ -czz Nk,3 qi,j,Nk' + czz Nk,4 qi,j,Nk-1

' = - DZ(1+e)Dt

2 1RT*

A2 i,j,Nk

In general (2 £ k £ N k -1) : En général (2 £ k £ N k -1)

- DZ(1+e)Dt

2 C1 (1- a)

RT* q'i,j,k

+ DZ2C1 SXY

i,j,k q'i+1,j,k - 2q'i,j,k + q'i-1,j,k

DX2

+ q'i,j+1,k - 2q'i,j,k + q'i,j-1,k

DY2

+ czz k,1 qi,j,k+1

' - czz k,2 + czz k,3 qi,j,k' + czz k,4 qi,j,k-1

'

= - DZ(1+e)Dt

2 1RT*

A2 i,j,k


At the lowest level(k=1): Au plus bas niveau (k=1)

- DZ1+e Dt

2 C1 (1- a)

RT* q'i,j,1

+ DZ2C1 SXY

i,j,1 q'i+1,j,1 - 2q'i,j,k + q'i-1,j,1

DX2

+ q'i,j+1,k - 2q'i,j,1 + q'i,j-1,1

DY2

+ czz 1,1 qi,j,2' - czz 1,2 qi,j,1

' = - DZ1+e Dt

2 1RT*

A2 i,j,1

(3.2.6.2

where the horizontal domain of definition isalways defined as 2 £ i £ Ni-2 and 2 £ j £ Nj-2.The left-hand side of the Helmholtz equationand the coefficient of the first term on theright-hand side are evaluated in theMPYEQH2 subroutine.

où le domaine de définition horizontal est tou-jours défini comme suit : 2 £ i £ Ni-2 et2 £ j £ Nj-2. Le côté gauche de l’équationd’Helmholtz ainsi que le coefficient dupremier terme de droite sont évalués dans l esous-programme MPYEQH2.

The expressions (3.2.6.18) to (3.2.6.20) areidentical to the equations in the model'sFORTRAN code. This equation is solved in theRELAX3 subroutine. Remember thecorrespondence between the indices in thehorizontal, mentioned in Table I at thebeginning of Section 3.2.

Les expressions (3.2.6.18) à (3.2.6.20) sont iden-tiques à ce qu'on retrouve dans le codeFORTRAN du modèle. Cette équation est solu-tionnée à l’intérieur du sous-programmeRELAX3. Il ne faut pas oublier la correspon-dance entre les indices à l'horizontale, qui aété mentionnée dans le tableau I au début de l asection 3.2.

Once we have solved the Helmholtz equationfor q' at time (t+Dt), all that remains is toupdate the W, w, T', U and V fields. This isdone in the VARNEW3 subroutine, as follows:

Lorsque l’équation d’Helmholtz pour q' autemps (t+Dt) est solutionnée, il ne reste plusqu’à effectuer la mise à jour des champs W, w,T', U et V. Cette mise à jour, réalisée dans l esous-programme VARNEW3, se fait de la fa -çon suivante :


W i,j,k-1/2 = 1C1

1G0 k-1/2

A1 i,j,k-1/2 - (1+e)DtRT* D1 q' i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

2 £ k £ Nk

W i,j,1/2 = 02 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2(3.2.6.2

wi,j,k-1/2 = 1(1+e)Dt

QW i,j,k-1/2+ G0W i,j,k-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

2 £ k £ Nk

wi,j,1/2 = 1(1+e)Dt

QW i,j,1/22 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2(3.2.6.2

Ti,j,k-1/2' = = QT i,j,k-1/2+ aT* q'Z i,j,k-1/2 -

ag(1+e)DtR

wi,j,k-1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

2 £ k £ Nk

Ti,j,1/2' =

QT i,j,1/2 - ag(1+e)Dt

R wi,j,1/2 + aT*qi,j,1

' - agDZ

8 RT* G0 i,j,1/2Ti,j,3/2

'

1 + 3 agDZ

8 RT* G0 i,j,1/2

2 £ i £ Ni-2

2 £ j £ Nj-2

(3.2.6.2

Ui-1/2,j,k = - 1+e DtRT* qi,j,k' - qi-1,j,k

'

DX + QU i-1/2,j,k

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N

Vi,j-1/2,k = - 1+e DtRT* qi,j,k' - qi,j-1,k

'

DY + QV i,j-1/2,k

2 £ i £ Ni

2 £ j £ Nj

1 £ k £ N


This completes the spatial discretization ofequations. At time (t) the Ry terms are givenby equations (3.2.4.16) to (3.2.4.23) andevaluated by the RHS3 subroutine. At time (t-Dt) the Py expressions are given byequations (3.2.4.24) to (3.2.4.31) and evaluatedwith the UVGP3 subroutine. The Qm terms, fortheir part, are evaluated with equation(3.2.4.9) by the UVGM3D subroutine on a pointupstream of the Lagrangian trajectory,calculated by the TRACK3D subroutine with(2.0.33) and (2.0.34). Then the Am terms arecalculated with (3.2.6.1) to (3.2.6.7) by theRHSLBM3 subroutine, and we evaluate q' a ttime (t+Dt) by solving the Helmholtzequation, (3.2.6.18) to (3.2.6.20), in theRELAX3 subroutine. The time step iscompleted once the updating is finished, using(3.2.6.21) to (3.2.6.25) in the VARNEW3subroutine.

Ainsi se termine la discrétisation spatiale deséquations. Au temps (t), les expressions Ry sontdonnées par les équations (3.2.4.16) à (3.2.4.23)et évaluées par le sous-programme RHS3. Autemps (t-Dt), les termes Py, eux, sont donnés parles équations (3.2.4.24) à (3.2.4.31) et évaluéspar le sous-programme UVGP3. Quant auxtermes Qm, ils sont évalués avec l’équation(3.2.4.9) par le sous-programme UVGM3D surle point amont de la trajectoire, cette positionétant calculée à l'aide des équations (2.0.33) et(2.0.34) par le sous-programme TRACK3D. Parla suite, les termes Am sont calculés à l 'aidedes équations (3.2.6.1) à (3.2.6.7) par le sous-programme RHSLBM3 et nous évaluons q' autemps (t+Dt) en solutionnant l'équationd’Helmholtz, (3.2.6.18) à (3.2.6.20), dans l esous-programme RELAXE3. Le pas de temps estcomplété lorsque la mise à jour des champs estréalisée à l'aide des équations (3.2.6.21) à(3.2.6.25) dans le sous-programme VARNEW3.

4. Nesting the model 4. Pilotage du modèle

In this chapter we will explain how the modelvariables are nested. Horizontal nesting willbe presented first, followed by verticalnesting.

Dans le présent chapitre, nous décrivons l améthode utilisée pour effectuer le pilotage desvariables du modèle. Dans un premier temps,nous présentons le pilotage horizontal et dansun second temps, le pilotage vertical.

When we use a regional model, information onthe lateral boundaries and its time evolutionare obtained from a global or hemisphericmodel. This is tantamount to nesting a high-resolution limited area model inside a global,low-resolution model. Since the time evolutionof regional model variables is based on asystem of equations that can differ from thatof the global model, we have a problem ofinformation transfer between the two modelsat the boundaries, attributable to differencesin resolution and the equation systems.Information that cannot be transferred fromthe regional model to the global model isreflected back and can contaminate theregional model variables. This phenomenonleads to propagation of numerical noise, whichat integration time can grow from theboundaries inward toward the centre of theregional model.

Lorsque nous utilisons un modèle régional,l’information sur les frontières latérales et sonévolution temporelle sont obtenues à l’aided’un modèle mondial ou hémisphérique. Celaéquivaut à imbriquer un modèle de dimensionfinie dont la résolution est élevée à l’intérieurd’un modèle mondial à faible résolution.Comme l'évolution temporelle des variablesdu modèle régional repose sur un systèmed’équations qui peut différer de celui dumodèle mondial, nous avons aux frontières, unproblème de transfert d’information entre lesdeux modèles, attribuable aux différences dansla résolution et le système d’équations.L’information qui ne peut être transférée dumodèle régional au modèle mondial estréfléchie et peut contaminer les variables dumodèle régional. Ce phénomène se manifestepar la propagation de bruit numérique qui, lorsde l’intégration, peut s’étendre des frontièresvers le centre de la grille du modèle régional.

A simple and effective solution to this problemis to apply a “sponge” to the regional modelvariables close to the boundaries, andgradually modify the regional modelvariables to blend them with the global modelvalues. There is no longer an informationtransfer problem at the boundaries, since theinformation is no longer generated by theregional model but determined by the values ofthe global model.

Une façon simple et efficace de contourner ceproblème, c'est d’appliquer une éponge sur lesvariables du modèle régional à l'approche desfrontières. Ainsi, nous modifionsgraduellement les variables du modèlerégional de manière à les faire tendre vers lesvaleurs du modèle mondial. À la frontière,nous n’avons plus de problème de transfertd’information, puisque celle-ci n’est plusgénérée par le modèle régional, mais prescritepar les valeurs du modèle mondial.

Chapitre 4 Pilotage du modèle 108

4.1 Horizontal nesting 4.1 Le pilotage horizontal

The nesting method used is inspired by Davies(1976) and refined by Robert and Yakimiw(1986) and Yakimiw and Robert (1990).Nesting is carried out once the variables havebeen dynamically updated. The method is asfollows: over a given distance from the edgesof the lateral boundaries (called sponge zone,Figure 20), the variables from the integrationof the regional model are gently and graduallyblended with the those of the driving (global)model. By the time the lateral boundary isreached, the values of the driving variableare imposed. Throughout the rest of the grid(free zone) the variables of the regional modelare not affected by those of the global model.

La méthode de pilotage utilisée, inspirée deDavies (1976), a été développée par Robert etYakimiw (1986) et Yakimiw et Robert (1990).Le pilotage s’effectue une fois la mise à jourdynamique des variables réalisée. La méthodeest la suivante : sur une distance donnée (ditezone de pilotage, cf. figure 20), en bordure desfrontières latérales, on modifie les variablesprovenant de l’intégration du modèle régionalen les faisant tendre de façon douce etprogressive vers celles du modèle pilote(modèle mondial). À la frontière même, c’estla valeur de la variable pilote qui prévaut.Dans tout le reste de la grille (domaine libre),le modèle mondial n'influe pas sur lesvariables du modèle régional.

A variable resulting from the dynamic update,yD, known at time (t+Dt) and located withinthe sponge zone, is modified as follows:

Une variable issue de la mise à jour dynamiqueyD, connue au temps (t+Dt) et logée àl’intérieur de la zone de pilotage, est modifiéede la façon suivante :

yED X, Y, Z = yD X, Y, Z + P X, Y y X, Y, Z - yD X, Y, Z (4.1.1)

where yED is the resultant variable after thenesting step (nested variable), [y] is thevariable from the driving model (nestingvariable) and P is the attenuation function,which passes from a value of 0 in the free zoneto a value of 1 at the lateral boundary. Beforeexplicitly defining the attenuation function P,we must define the sponge zone on a staggeredgrid and see how to interpret the lateralboundary on such a grid.

où yED est la variable résultante après l epilotage (variable pilotée), [y] est la variableprovenant du modèle pilote (variable pilote)et P, est la fonction d’atténuation qui passed'une valeur nulle dans le domaine libre pouratteindre la valeur 1 à la frontière latérale.Avant de définir de façon explicite la fonctiond’atténuation P, nous devons préciser ce qu'onentend par zone de pilotage sur une grilledécalée et voir comment interpréter l afrontière latérale sur une telle grille.


The sponge zone is common to all variables,and is a band of given width around the insideof the grid (Figure 20). The width may varydepending on whether the band is parallel tothe X or Y axis. The width of the bandparallel to the Y axis is defined in terms of thenumber of DX on an “f”-type grid, and isdenoted LX. The width of the band parallel tothe X axis is defined in terms of the number ofDY on an “f”-type grid and is denoted LY.Figure 20 shows a situation where LX=2 andLY=1.

La zone de pilotage, commune pour toutes lesvariables, est une bande de largeur donnéeceinturant le pourtour de la grille (figure 20).Cette bande peut avoir une largeur différenteselon qu’elle est parallèle à l’axe des X ou àl’axe des Y. La largeur de la bande parallèle àl’axe des Y, notée LX, est définie en fonction dunombre de DX sur une grille de type « f » etcelle qui est parallèle à l’axe des X, définie enfonction du nombre de DY sur une grille de type« f », est notée LY. La figure 20 présente unesituation où LX = 2 et LY = 1.

Since we are using a staggered grid, the conceptof a lateral boundary may be ambiguous. Wedefine it as the row of points around the edgeof a grid. It can easily be seen that thedifferent types of grids making up thestaggered grid do not all have the samedomain of definition, since their lateralboundaries are not all located in the sameplace. For example, the lateral boundaryalong the X axis for « q »-type grids ends at adistance of DX/2 inside the lateral boundaryof the « f »-type grid. It can also easily be seenthat all the lateral boundaries are included ina band of width DX/2 along the X axis and ofDY/2 along the Y axis. The boundary of thestaggered grid is outside this band of widthd(d=DX/2=DY/2), called the boundary zone. Tocomply with the intent of the nesting method,we impose a value of 1 on the attenuationfunction inside the boundary zone.

Comme nous utilisons une grille décalée, l anotion de frontière latérale peut être ambiguë.Nous la définissons comme étant la rangée depoints situés en périphérie d’une grille. Il estaisé de voir que les différents types de grillecomposant la grille décalée n’ont pas le mêmedomaine de définition puisque leurs frontièreslatérales ne sont pas situées aux mêmesendroits. Par exemple, la frontière latérale l elong de l’axe X de la grille de type « q » setermine à une distance de DX/2 à l’intérieur dela frontière latérale de la grille de type « f » .De plus, il est facile de remarquer quel’ensemble des frontières latérales est comprisdans une bande de largeur égale à DX/2 le longde l'axe des X et de largeur égale à DY/2 l elong de l’axe des Y. La frontière de la grilledécalée se retrouve à l'extérieur de cette bandede largeur d (d=DX/2=DY/2) qu'on appelle l abande frontière. Pour respecter l’esprit de l améthode de pilotage, nous imposons, à l afonction d’atténuation, la valeur 1 à l’intérieurde la bande frontière.


L Y

L X

DX/2

DY/2

FIGURE 20 Schematic representation of thesponge zone. This zone, indicated by the shadowedsection, is defined on an “f”-type grid. LX is the widthof the sponge zone parallel to the Y axis, and LY is thewidth of the sponge zone parallel to the X axis. In thisexample we have used a grid of Ni=Nj=8, with LX=2and LY=1 for the width of the sponge zone.

FIGURE 20 Représentation schématique de lazone de pilotage. Cette zone, représentée par la partieombrée, est définie sur une grille de type «f». LX est lalargeur de la zone de pilotage parallèle à l’axe des Yet LY, celle qui est parallèle à l’axe des X. Dans cetexemple, une grille de dimension Ni=Nj=8 est utiliséeavec LX=2 et LY=1 comme largeur de zone de pilotage.

Now that the sponge zone and the treatment ofthe lateral boundaries are defined, we willturn to the attenuation function, P. Twosituations with different repercussions on theattenuation function may occur in the spongezone. The first situation occurs when the nestedpoints are close to a single boundary (far fromthe corners of the grid), whereas the secondsituation occurs when the points are close totwo lateral boundaries (in a corner of the grid).

Maintenant que la zone de pilotage et l etraitement des frontières latérales sontprécisés, définissons la fonction d’atténuationP. À l’intérieur de la zone de pilotage, il peutse produire deux situations qui se répercutentdifféremment sur la fonction d'atténuation. Lapremière situation se produit lorsque les pointspilotés se trouve dans le voisinage d’une seulefrontière (loin des coins de la grille), tandisque la seconde se produit lorsque les points auvoisinage de deux frontières latérales (dans uncoin de la grille).


We will begin by examining the first situation.Consider a case, on the left-hand side of thegrid, near the lateral boundary on the Y axis.When we are on a grid point located a distanceX from the boundary (see Figure 21), theattenuation function is expressed as follows:

Examinons d'abord la première situation.Considérons un cas, à gauche de la grille, auvoisinage de la frontière latérale parallèle àl’axe des Y. Lorsque nous sommes sur un point degrille situé à une distance X de la frontière(voir figure 21), la fonction d’atténuations’exprime alors de la façon suivante

P C0 =

1 X £ X1

cos2 p2

C0 X1 £ X £ XLX+1/2

0 X ≥ XLX+1/2

where où

C0 = X - X1XLX+1/2 - X1 , (4.1.2)

X1 represents the inside point of the boundaryzone, and XLX+1/2 corresponds to the insidepoint of the sponge zone. On the right-handside of the grid, the attenuation functiondisplays similar behaviour, which will not bedescribed here. Now consider a case at thebottom of the grid, near the lateral boundaryon the X axis, when we are on a grid pointlocated at a distance Y from the boundary. Theattenuation function is then expressed asfollows:

X1 représente le point intérieur de la bandefrontière et XLX+1/2 correspond au pointintérieur de la zone de pilotage. À droite de l agrille, la fonction d’atténuation possède uncomportement similaire qui ne sera pas décritici. Considérons maintenant un cas au bas de l agrille, au voisinage de la frontière latéraleparallèle à l’axe des X, lorsque nous sommes surun point de grille situé à une distance Y de l afrontière. La fonction d’atténuation s’exprimealors de la façon suivante

P C0 =

1 Y £ Y1

cos2 p2

C0 Y1 £ Y £ YLY+1/2

0 Y ≥ YLY+1/2

where où

C0 = Y - Y1YLY+1/2 - Y1 , (4.1.3)


Y1 represents the inside point of the boundaryzone and YLY+1/2 corresponds to the insidepoint of the sponge zone. At the top of the grid,the attenuation function displays similarbehaviour.

Y1 représente le point intérieur de la bandefrontière et YLY+1/2 correspond au pointintérieur de la zone de pilotage. En haut de l agrille, la fonction d’atténuation possède uncomportement similaire.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 / 2 3 / 2

P

5 / 2 7 / 2 9 / 21 2 3 4 5

i

FIGURE 21 Representation of the attenuationfunction P as a function of distance, along the X axis,from the edge of the grid. The i values correspond tothe indices associated with the grid points. In thiscase, the width of the sponge zone is LX = 4.

FIGURE 21 Représentation de la fonctiond’atténuation P en fonction de la distance, selon l’axedes X, de la bordure de la grille. Les valeurs de icorrespondent à l’indice associé aux points de grille.Ici, la largeur de la zone de pilotage est LX = 4.

The second situation occurs near twoboundaries, that is near the corners of the grid.We will analyse a case where the point inquestion is in the lower left-hand corner of thegrid. In this situation, the attenuation functiontakes the following form:

La deuxième situation se produit au voisinagede deux frontières, c'est-à-dire près des coinsde la grille. Analysons le cas où le pointconsidéré se trouve dans le coin inférieurgauche de la grille. Dans cette situation, l afonction d’atténuation prend la forme suivante:


P C0 =

1 1 £ X - X1XLX+1/2 - X1

2 + Y - Y1

YLY+1/2 - Y1

2

cos2 p2

C0 X - X1XLX+1/2 - X1

2 + Y - Y1

YLY+1/2 - Y1

2 £ 1

0 Y ≥ YLY+1/2 et X ≥ XLX+1/2

where où

C0 = X - X1XLX+1/2 - X1

2 + Y - Y1

YLY+1/2 - Y1

2

. (4.1.4)

Figure 22 uses isolines to show the attenuationfunction on a staggered grid. On the edge is ablack band corresponding to the part of thesponge zone where the attenuation function isconstant and unitary. The grey shadingrepresents the part of the sponge zone wherethe attenuation function is variable. In thecentre, in white, the attenuation function isnil.

La figure 22 représente, à l’aide d'isolignes, l afonction d’atténuation sur une grille décalée.On y retrouve en périphérie une bande noire quicorrespond à la partie de la zone de pilotage oùla fonction d’atténuation est constante etunitaire. Le dégradé dans les teintes de grisreprésente la partie de la zone de pilotage oùla fonction d’atténuation est variable. Aucentre, en blanc, la fonction d’atténuation estnulle.

In the FORTRAN code, nesting is done by theDAVIES3 subroutine, called by theVARNEW3 subroutine. The NDAVX andNDAVY arguments of the DAVIES3 subroutinedetermine the width of the sponge zone. Thefollowing are the correspondences between LXand NDAVX and between LY and NDAVY:

Dans le code FORTRAN, le pilotage se fa i tdans le sous-programme DAVIES3, appelé parle sous-programme VARNEW3. Les argumentsNDAVX et NDAVY du sous-programmeDAVIES3 régissent la largeur de la zone depilotage. Les correspondances entre LX etNDAVX et entre LY et NDAVY sont lessuivantes :

NDAVX = LX -1

NDAVY = LY -1.

These parameters are passed to theVARNEW3 subroutine through the commonblock nestpnt.cdk.

Ces paramètres sont passés au sous-programmeVARNEW3 par l'intermédiaire du «commonblock» nestpnt.cdk.


FIGURE 22 Representation of isolines of theattenuation function on a staggered grid. The part inblack represents the zone where the attenuationfunction is constant and unitary. The grey shadingrepresents the part of the sponge zone where theattenuation function varies. In the centre, in white, isthe free zone.

FIGURE 22 Représentation des isolignes de lafonction d’atténuation sur une grille décalée. Lapartie en noir représente la zone où la fonctiond’atténuation est constante et unitaire. Le dégradédans les teintes de gris représente la partie de la zonede pilotage où la fonction d’atténuation varie. Aucentre, en blanc on retrouve la zone libre.


4.2 Vertical nesting 4.2 Le pilotage vertical

The model is designed to allow verticalnesting, in the upper part of its domain, belowthe model lid. This is a valuable option whenconducting simulations at the meso-gammascale, for at this scale, in a simulation ofmountain waves for example, there may bestrong vertical propagation of wave energy .

Le modèle est construit de façon à permettre l epilotage à la verticale, dans la partiesupérieure de son domaine, sous le toit dumodèle. Cette possibilité est avantageuse lorsde simulations à l’échelle méso-gamma. Eneffet, à cette échelle, dans une simulationd’onde de relief par exemple, on peut retrouverune forte propagation d’énergie d’onde à l averticale.

The method used for vertical nesting is thesame as is used for horizonal nesting. Thus avariable yD, located inside the verticalsponge zone, is modified as follows:

La méthode employée pour le pilotage à l averticale est la même que celle utilisée àl’horizontale. Ainsi, une variable yD située àl’intérieur de la zone de pilotage vertical, estmodifiée de la façon suivante :

yEZD X, Y, Z = yD X, Y, Z + P Z y X, Y, Z - yD X, Y, Z (4.2.1)

where yEZD is the vertically nested variableand P is the vertical attenuation function,defined as follows:

où yEZD est la variable pilotée à la verticaleet P est la fonction d’atténuation verticaledéfinie comme suit :

P Z = a Z - H -LZ

LZ

2. (4.2.2)

In relation (4.2.2), the coefficient of adjustment(a) may take values of less than or equal tounity. The LZ term corresponds to the thicknessof the vertical sponge zone and H is the heightof the model lid.

Dans la relation (4.2.2), le coefficientd’ajustement (a) peut prendre des valeurs pluspetites ou égales à l’unité. Le terme LZcorrespond à l'épaisseur de la zone de pilotagevertical et H est la hauteur du toit du modèle.

The vertical nesting is done in the DAVVERT4subroutine, which is called by the VARNEW3subroutine. To disable vertical nesting, simplyset the EPAIS variable to 0. And to enablevertical nesting, the thickness of the spongezone is specified, in km, in the EPAISvariable.

Le pilotage vertical se fait dans le sous-programme DAVVERT4. Ce sous-programmeest appelé par le sous-programme VARNEW3.Pour interrompre le pilotage vertical, il suffitde mettre la variable EPAIS à 0. Pour activerle pilotage vertical, l'épaisseur de la zone depilotage est précisée, en km, dans cette mêmevariable.

5. Time filter 5. Filtre temporel

Once the dynamics time step is completed andthe diabatic processes of the physics modulehave been treated (“process splitting”), a timefilter is applied to the variables known a ttime (t). The purpose of this filter is to controlthe rapid oscillations (computational modes)generated during the leapfrog treatment of theequations. The time filter we use wasdeveloped by Robert (1966) and its numericalresponse was described by Asselin (1972).

Un filtre temporel est appliqué aux variablesconnues au temps (t) après l'achèvement du pasde temps dynamique et après le traitement desprocessus diabatiques du module physique(«process splitting»). Ce filtre sert à contrôlerles oscillations rapides (modes computation-nels) générées lors du traitement des équationspar la méthode saute-mouton. Le filtre tempo-rel développé par Robert (1966) est utilisé.Asselin (1972) en a analysé la réponse numé-rique.

The time filter is defined as follows: Le filtre temporel est défini de la façon sui-vante :

yn = yn + a yn+1 - 2yn + yn-1 (5.1)

where y represents one of the model variables(U, V, w, q’, T’, M, C and W), and a is thefilter coefficient. The n-1, n and n+1correspond to the t+Dt, t and t-Dt ,respectively. The variable yn represents thefiltered value at time t, and yn-1, the filteredvalue at the previous time step. The filtercoefficient is generally less than or equal to1/4. A value of 0.05 is currently used in themodel.

où y représente l’une des variables du modèle(U, V, w, q’, T’, M, C et W) et a est le coeffi-cient du filtre. Les n-1, n et n+1 correspondentaux t+Dt, t et t-Dt respectivement. La variableyn représente la valeur filtrée au temps t etyn-1 la valeur filtrée au pas de temps précé-dent. Le coefficient du filtre est en général in-férieur ou égal à 1/4. Actuellement, une valeurde a égal à 0.05 est utilisée dans le modèle.

Let us examine more closely how the timefilter is used in the model. For the nth timestep of integration, equation (5.1) takes thefollowing form:

Examinons de plus près l'utilisation du filtretemporel dans le modèle. Au pas de temps n del’intégration, l’équation (5.1) prend la formesuivante :

yn = 1 - 2a yn + a yn-1 + a yn+1,

= Gn + a yn+1 . (5.2)

The Gn term, evaluated at the preceding timestep (i.e. at n-1), allows us to obtain thefiltered value of the y variable at time step n,using relation (5.2). Once yn is known, weevaluate Gn+1 as follows:

Le terme Gn, évalué au pas de temps précédent(c'est-à-dire en n-1), permet d'obtenir la va-leur filtrée de la variable y au pas n à l’aidede la relation (5.2). Une fois yn connu, nousévaluons Gn+1 de la façon suivante :

Chapitre 5 Filtre temporel 117

Gn+1 = 1 - 2a yn+1 + a yn , (5.3)

which will be retained to calculate the timefilter at the next time step. At the first step,the Gn term is unknown; the time filter is notapplied, but instead the initial value of thevariable is used.

qui est conservé pour le calcul du filtre tempo-rel au prochain pas de temps. Lors du premierpas de temps, le terme Gn n’est pas connu; l efiltre temporel n'est pas appliqué et la valeurinitiale de la variable est utilisée.

The time filter is the last operation on thevariables, and completes the time step. Thevariables yn+1,yn and Gn+1 are retained andused at the next time step. The TFILT3subroutine is called directly from the MC2main program, and applies the time filter inthe FORTRAN code.

Le filtre temporel termine le pas de temps, dufait qu'il soit la dernière opération effectuéesur les variables. Les variables yn+1, yn etGn+1 sont conservées et utilisées pour le pro-chain pas de temps. Le sous-programmeTFILT3, appelé directement du programmeprincipal MC2, applique le filtre temporeldans le code FORTRAN.

A1. Vertical co-ordinate change for the

continuityequation

A1. Changement de coordonnée pour l’équation de continuité

Changing the vertical co-ordinate modifiesthe form of the mass continuity equation. Wewill now examine the detailed development ofthe algebra that follows from this change inco-ordinate. The continuity equation is

Lorsque nous effectuons le changement decoordonnée verticale, l’équation de continuitéest alors modifiée. Nous allons voir l edéveloppement détaillé de l’algèbrequ’engendre ce changement de coordonnée.L’équation de continuité est

(1- a) dqdt

= - S ∂U

∂X + ∂V

∂Y -

∂w

∂z . A1.1

We will deal with this equation in two parts.The first consists of the term containing thevertical velocity component, and the second,the horizontal divergence term.

Nous allons traiter cette équation en deuxparties, une première partie est constituée parle terme contenant la vitesse verticale et l aseconde est le terme de divergence horizontale.

By definition, we have for vertical motion, w,the following expression:

Par définition, nous avons pour la vitesseverticale w l’expression suivante

w ∫ dzdt

= ∂z∂t

+ S U∂z∂X

+ V∂z∂Y

+ w∂z∂z A1.2

when z is the geometric height vertical co-ordinate. By applying the chain rule fordifferentiation to the definition of w, weobtain the vertical motion, w, expressed in thenew X,Y,Z reference system:

lorsque z est la coordonnée verticale. Enappliquant la règle de dérivée en chaîne à l adéfinition de w, nous obtenons alors la vitesseverticale w exprimée dans le nouveauréférentiel X, Y, Z :

A1. Changement de coordonnée pour l’équation de continuité 120

w = ∂z∂t Z

+ ∂z∂Z

∂Z∂t z

+ S U∂z∂X Z

+U∂z∂Z

∂Z∂X z

+ V∂z∂Y Z

+ V∂z∂Z

∂Z∂Y z

+ w∂z∂Z

∂Z∂z

= ∂z∂t Z

+ S U∂z∂X Z

+V∂z∂Y Z

+ ∂z∂Z

∂Z∂t z

+ S U∂Z∂X z

+ V∂Z∂Y z

+ w ∂Z∂z

= ∂z∂t Z

+ S U∂z∂X Z

+ V∂z∂Y Z

+ W∂z∂Z A1

When we apply the chain rule fordifferentiation to the vertical gradient of wand then insert the expression for w obtainedin (A1.3) in the gradient expression, we obtain:

Lorsque nous appliquons la règle de dérivationen chaîne au gradient vertical de w et que, parla suite, nous introduisons l’expression de wobtenue en (A1.3) dans l’expression dugradient, alors nous obtenons :

∂w

∂z =

∂w

∂Z ∂Z

∂z

= ∂

∂Z ∂z∂t Z

+ S U∂z∂X Z

+ V∂z∂Y Z

+ W∂z∂Z

∂Z

∂z

= ∂

∂Z

∂z∂t

Z

+ S ∂

∂ZU

∂z∂X Z

+ V∂z∂Y Z

+ ∂

∂ZW

∂z∂Z

∂z

∂Z

-1


= ∂∂t

∂z

∂Z Z

+ S U∂∂X

∂z

∂Z Z

+ V∂∂Y

∂z

∂Z Z

+ W∂∂Z

∂z∂Z

∂z

∂Z

-1

+

S ∂U∂Z

∂z

∂X Z

+ ∂V∂Z

∂z

∂Y Z

+ ∂W

∂Z

∂z∂Z

∂z

∂Z

-1

= ddt

∂z

∂Z Z

∂z

∂Z

-1

+ S ∂U∂Z

∂z

∂X Z

+ ∂V∂Z

∂z

∂Y Z

∂z

∂Z

-1

+ ∂W

∂Z A1.4

Now we can simplify the second term on theright-hand side:

Maintenant, on peut simplifier le second termede droite

S ∂U∂Z

∂z

∂X Z

+ ∂V∂Z

∂z

∂Y Z

∂z

∂Z

-1

= S ∂U∂Z

∂Z

∂z

∂z

∂X Z

+ ∂V∂Z

∂Z

∂z

∂z

∂Y Z A1.5

since we know that sachant que

∂U∂Z

∂Z

∂z

∂z

∂X Z

= ∂U∂Z

∂Z

∂z ∂z

∂X z

- ∂z

∂Z

∂Z

∂X z

= - ∂U∂Z

∂Z

∂X z A1.6

and et

∂V∂Z

∂Z

∂z

∂z

∂Y Z

= ∂V∂Z

∂Z

∂z ∂z

∂Y z

- ∂z

∂Z

∂Z

∂Y z

= - ∂V∂Z

∂Z

∂Y z A1.7

The last equality in these two equations comesfrom the fact that

La dernière égalité de ces deux équationsdécoule du fait que

— z z

= 0

By inserting the results of equations (A1.6) and(A1.7) into (A1.5), which is in turn insertedinto (A1.4), we obtain the following expressionfor the vertical gradient of w:

En introduisant le résultat des équations (A1.6)et (A1.7) dans (A1.5) qui est à son tourintroduite dans (A1.4), nous obtenons alors pourle gradient vertical de w l’expression suivante:


∂w

∂z = d

dt∂z

∂Z

∂z

∂Z

-1

- S ∂U∂Z

∂Z

∂X z

+ ∂V∂Z

∂Z

∂Y z

+ ∂W

∂Z A1.8

By applying the chain rule for differentiationto the divergence term, we obtain:

D’autre part, en appliquant la règle de dérivéeen chaîne au terme de divergence, nousobtenons:

S ∂U

∂X + ∂V

∂Y

z

= S ∂U

∂X Z

+ ∂U

∂Z

∂Z

∂X z

+ ∂V

∂Y Z

+ ∂V

∂Z

∂Z

∂Y z

= S ∂U

∂X Z

+ ∂V

∂Y Z

+ S ∂U

∂Z

∂Z

∂X z

+ ∂V

∂Z

∂Z

∂Y z A1.9

Once equations (A1.8) and (A1.9) have beeninserted into the continuity equation (A1.1),the terms involving the vertical shear of thehorizonal wind cancel out, giving us thefollowing expression:

Une fois les équations (A1.8) et (A1.9)introduites dans l’équation de continuité(A1.1), il y a annulation entre les termes decisaillement vertical du vent horizontal, ce quinous donne l’expression suivante :

1 - a dqdt

= - ∂z

∂Z

-1

ddt

∂z

∂Z - S

∂U

∂X Z

+ ∂V

∂Y Z

- ∂W

∂Z A1.10

A2. Continuityequation and metricterms

A2. Équation de conti- nuité et les termesmétriques

In this section we will insert the vertical co-ordinate metric terms into the continuityequation (A1.10). Referring to the main text forthe definition of the metric term G0 (1.2.16),we can write:

Dans cette section nous introduisons les termesmétriques de changement de coordonnéeverticale dans l’équation de continuité (A1.10).En se référant aux texte principal pour l adéfinition du terme métrique G0 (1.2.16), il nousest permis d’écrire

∂z

∂Z

-1

ddt

∂z

∂Z = 1

G0 ddt

G0

= 1G0

∂

∂tG0

Z

+ SG0

U∂G0

∂X Z

+ V∂G0

∂Y Z

+ WG0

∂G0

∂Z A2.1

The first term on the right-hand side is nilbecause G0 is time-independent. The secondterm takes the following form:

Le premier terme à droite est nul parce que G0est indépendant du temps. Le second termeprend la forme suivante

1G0

∂G0

∂X Z

= 1G0

∂∂X

g0∂z

∂Z Z

= 1G0

∂z

∂Z

∂g0

∂XZ

+ g0∂∂X

∂z

∂Z Z A2.2

The last term on the right-hand sidedisappears because Z is a function only of z(1.2.4)

le dernier terme de droite disparaît parce queZ n’est fonction que de z (1.2.4)

1G0

∂G0

∂X Z

= 1G0

∂z

∂Z- 1

H ∂h0

∂X Z A2.3

and, finally, et, finalement

A2. Équation de continuité et les termes métriques 124

1G0

∂G0

∂X Z

= - 1g0H

∂h0

∂X Z= - F1 .

A2.4

Similarly, De la même façon,

1G0

∂G0

∂Y Z

= - 1g0H

∂h0

∂Y Z = - F2 .

A2.5

By inserting these results into the initialexpression (A2.1), we obtain:

En introduisant ces résultats dans l’expressioninitiale (A2.1), nous obtenons

∂z

∂Z

-1

ddt

∂z

∂Z

Z

= 1G0

ddt

G0Z = - S F1U + F2V + W

G0 ∂G0

∂Z . A2.6

Once the expression (A2.6) is inserted into thecontinuity equation (A1.10), this gives us:

Une fois l’expression (A2.6) introduite dansl’équation de continuité (A1.10), ceci nousdonne

(1- a) dqdt

= S F1U + F2V - S ∂U

∂X Z

+ ∂V

∂Y Z

- 1G0

∂G0W

∂Z

A2.7

where où

1G0

∂G0W

∂Z = W

G0 ∂G0

∂Z + ∂W

∂Z .

A2.8

A3. Kinematic conditions

A3. Conditions cinéma-tiques

A3.1 Gal-Chen co-ordinate A3.1 Coordonnée Gal-Chen

In this appendix, we set the condition at thelower boundary for vertical motion. We alsoanalyse the impacts of a change in variable onthis condition.

Dans cette Annexe, nous établissons l acondition à la frontière inférieure pour l avitesse verticale. De plus, nous analysons lesrépercussions d’un changement de variable surcette condition.

We will begin by establishing the kinematiccondition in the initial system of co-ordinates,i.e. the (X,Y,z) co-ordinates. The verticalmotion in this reference system is defined asfollows:

Commençons par établir la conditioncinématique dans le système de coordonnéesinitial, soit les coordonnées (X, Y, z). Lavitesse verticale dans ce référentiel est définiecomme suit

w = dzdt

= ∂z∂t

+ S U∂z∂X

+ V∂z∂Y

+ w∂z∂z

.A3.1.1

At the surface, the condition z=h0(X,Y), whereh0(X,Y) is the topography, must be respected.Thus vertical motion at the surface takes thefollowing form:

Au sol, la condition suivante z=h0(X, Y), oùh0(X, Y) est la topographie, doit êtrerespectée. Ainsi, la vitesse verticale au solprend la forme suivante

ws = ∂h0

∂t + S Us

∂h0

∂X + Vs

∂h0

∂Y + ws

∂h0

∂z A3.1.2

where Us and Vs are the horizontal X and Ycomponents of the surface wind, respectively.Since the topography varies only with the(X,Y) horizontal co-ordinates, the localtendency and vertical gradient of h0 areidentically nil, that is:

où Us et Vs sont, respectivement, lescomposantes horizontales selon X et Y du ventau sol. Comme la topographie est une fonctionuniquement des coordonnées horizontales (X,Y), la tendance locale et le gradient verticalde h0 sont identiquement nuls, c’est-à-dire

∂h0

∂t = 0

∂h0

∂z = 0 .

A3.1.3

This determines the kinematic condition a tthe surface, which is given by:

Ceci détermine la condition cinématique au solqui est donnée par:

A3. Conditions cinématiques 126

ws = S Us∂h0

∂X + Vs

∂h0

∂Y .

A3.1.4

This condition, expressed in vector form, takesthe following form:

Cette condition, exprimée sous formevectorielle, prend la forme suivante

w X,Y, z= h0, t = V X, Y, z= h0, t ◊ —h0 . A3.1.5

where V X, Y, z= h0, t is the horizontalvelocity vector at the surface.

où V X, Y, z= h0, t est le vecteur vitessehorizontale au sol.

When we change to the Gal-Chen co-ordinate(X,Y,z), the generalized vertical motion isexpressed as follows:

Lorsque nous passons en coordonnée de Gal-Chen (X, Y, z), la vitesse verticale s'exprimecomme suit :

z ∫ dzdt

= ∂z∂t

+ S U∂z∂X

+ V∂z∂Y

+ w∂z∂z

.A3.1.6

We arrive at this result by analogy with thedefinition of W (1.1.10), where Z has beenreplaced with z. Using the definition of z inthe partial derivatives of (A3.1.6) gives usthe following expressions:

On arrive à ce résultat par analogie avec l adéfinition de W (1.1.10) où Z a été substituépar z. L’utilisation de la définition de z dansles dérivées partielles de A3.1.6 débouche surles expressions suivantes :

∂z∂X

= ∂∂X

z - h0H - h0

H = -HH - h0

∂h0

∂X +

z - h0 H

H - h0 2 ∂h0

∂X A3.1.7

∂z∂Y

= ∂∂Y

z - h0H - h0

H = -HH - h0

∂h0

∂Y +

z - h0 H

H - h0 2 ∂h0

∂Y

A3.1.8

∂z∂z

=∂∂z

z - h0H - h0

H = HH - h0

A3.1.9

In this reference system, the surface z = h0(X,Y) corresponds to the z = 0 level. By replacingz with h0(X, Y) in equation (1.2.1), we obtainthe following form of equations (A3.1.7) and(A3.1.8) for z = 0:

Dans ce référentiel, le sol z = h0(X ,Y)correspond au niveau z = 0. En remplaçant zpar h0(X, Y) dans l’équation (1.2.1), nousobtenons la forme suivante des équations A3.1.7et A3.1.8 à z = 0 :


∂z∂X z=0

= -HH - h0

∂h0

∂X

A3.1.10

∂z∂Y z=0

= -HH - h0

∂h0

∂Y

A3.1.11

Then we go back to equation (A3.1.6) and insertthe results (A3.1.9) to (A3.1.11). The first termdisappears because the local tendency of z isnil, since z=z(z,h0) and neither z nor h0 aretime-dependent, giving the followingkinematic condition at the surface:

De retour à l’équation A3.1.6 où les résultats(A3.1.9)-(A3.1.11) sont introduits et où l epremier terme disparaît parce que la tendancelocale de z est nulle puisque z=z(z, h0) et que niz ni h0 ne dépendent du temps, on trouve l acondition cinématique suivante au sol

dzdt z=0

= -HH - h0

S Us ∂h0

∂X + Vs

∂h0

∂Y + ws

HH - h0

.A3.1.12

If we now insert the definition of ws (A3.1.4),we obtain:

Si on introduit maintenant la définition de ws(A3.1.4), nous obtenons

dzdt z=0

= -HH - h0

ws + wsH

H - h0 = 0 . A3.1.13

Thus the impervious surface kinematicboundary condition gives a homogenouscondition at the lower boundary whenexpressed in the Gal-Chen co-ordinate.

Ainsi la condition cinématiqued’imperméabilité du sol à l’écoulement setraduit par une condition homogène à l afrontière inférieure lorsqu’exprimée encoordonnée de Gal-Chen.

A3.2 Modified Gal-Chen

co-ordinate

A3.2 Coordonnée Gal-Chen

modifiée

When switching to the modified Gal-Chenvertical co-ordinate, that is the (X,Y,Z)reference system, we obtain, in accordancewith equation (1.1.10), the followingexpression for generalized vertical motion, W:

Lors du passage à la coordonnée verticale deGal-Chen modifiée, soit le référentiel(X, Y, Z), nous obtenons, en accord avecl’équation (1.1.10), l’expression suivante pourla vitesse verticale W :

W = ∂Z∂t z

+ S U∂Z∂X z

+ V∂Z∂Y z

+ w∂Z∂z A3.2.1


By applying the chain rule for differentiationto the local tendency, and since we know thatZ is solely a function of z, we obtain:

En appliquant la règle de dérivation en chaîneà la tendance locale et sachant que Z estuniquement fonction de z, nous obtenons :

∂Z∂t z

= ∂Z∂t z

+ ∂Z

∂z

∂z∂t z

= ∂Z

∂z

∂z∂t z A3.2.2

The partial derivatives of Z with respect to X,Y and z ((1.2.5) to (1.2.7)) are obtained in thesame way. Thus for W, we have:

Les dérivées partielles de Z selon X, Y et z(1.2.5 - 1.2.7) s’obtiennent de la même façon.Ainsi, nous obtenons pour W :

W = ∂Z

∂z

∂z∂t z

+ S U∂Z

∂z

∂z∂X z

+ V∂Z

∂z

∂z∂Y z

+ w∂Z

∂z

∂z∂z

= ∂Z

∂z ∂z∂t z

+ S U∂z∂X z

+ V∂z∂Y z

+ w ∂z∂z

Using equation (A3.1.6), we finally obtain thefollowing relation:

À l’aide de l’équation (A3.1.6), nous obtenonsfinalement la relation suivante :

W = ∂Z

∂z dzdt

A3.2.4

At the surface, that is at Z=0, we have: Au sol, c’est-à-dire en Z=0, nous avons

WZ=0 = ∂Z

∂z dzdt z=0

= 0A3.2.5

which is also a homogenous condition at thelower boundary.

qui est aussi une condition homogène à l afrontière inférieure.

A4. Details of the modifications to the Euler equations

A4. Détail de la modification des équations d’Euler

In this section we will see how the equationsare modified by the expression of thetemperature fields T and q in terms of the sumof a basic state and a perturbation with respectto this basic state. The T and q fields may berewritten as

Dans la présente section, nous allons voircomment les équations sont modifiées parl’expression des champs de température T et qen terme d’une somme d’un état de base et d’uneperturbation par rapport à cet état de base. Leschamps de T et q peuvent se réécrireS

T(X, Y, Z) = T* + T˙(X, Y, Z)

q = q*(z) + q’(X, Y, z(X, Y, Z))

where où

T* = constant(e)

q*(z) = q0 - gz/RT*

q0 = constant(e)

By inserting the decomposed expression of Tand q, we obtain:

En introduisant l’expression décomposée de T etq, nous obtenons :

A4.1 U equation A4.1 L’équation pour U

The momentum component with respect to X La composante du momentum selon X

dUdt

= f V - K ∂S∂X z

- R T ∂q

∂X z

A4.1.1

becomes, in the Z vertical co-ordinate, devient, dans la coordonnée verticale Z,

dUdt

= f V - K ∂S∂X Z

- R T ∂q

∂X Z

+ G1G0

∂q

∂Z .

A4.1.2

By inserting the decomposed expression of Tand q’, we obtain:

En introduisant l’expression décomposée de T etq’, nous obtenons :

A4. Détail de la modification des équations d’Euler 130

dUdt

= f V - K ∂S∂X Z

- R T* + T' ∂q*

∂X Z

+ G1G0

∂q*

∂Z +

∂q'

∂X Z

+ G1G0

∂q'

∂Z

A4.1.3

Using the chain rule for differentiation, wecan write

À l’aide de la règle de la dérivée en chaîne, onpeut écrire

∂q*

∂X Z

+ G1G0

∂q*

∂Z =

∂q*

∂X z

= 0 .A4.1.4

This equality is obtained because q* is solely afunction of z. Thus we have:

Cette dernière égalité est obtenue parce que q*est une fonction uniquement de z. Nous avonsainsi :

dUdt

= f V - K ∂S∂X Z

- R T* + T' ∂q'

∂X Z

+ G1G0

∂q'

∂Z

dUdt

= f V - K ∂S∂X Z

- R T* + T' ∂q'

∂X Z

- R T* + T' G1G0

∂q'

∂Z

dUdt

+ R T* ∂q'

∂X Z

= f V - K ∂S∂X Z

- R T' ∂q'

∂X Z

- R T G1G0

∂q'

∂Z

A similar approach is used to obtain the otherhorizontal component:

Une démarche analogue est suivie pour obtenirl’autre composante horizontale qui est

dVdt

+ R T* ∂q'

∂Y Z

= - f U - K ∂S∂Y Z

- R T' ∂q'

∂Y Z

- R T G2G0

∂q'

∂Z .

A4.2 w equation A4.2 L’équation de w

The w equation expressed in the (X,Y,Z) co-ordinate system is

L’équation de w exprimée dans le système decoordonnée (X, Y, Z) est


dwdt

= - g - R TG0

∂q

∂Z

A4.2.1

in which we insert the decomposed T and qfields to obtain:

dans laquelle nous introduisons les champsdécomposés de T et q pour obtenir

dwdt

= - g - RG0

T* + T' ∂ q* + q'

∂Z

dwdt

= - g - RG0

T* + T' ∂q*

∂Z - R

G0 T* + T'

∂q'

∂Z .

Since we know that Sachant que

∂q*

∂Z = -

g

RT* ∂z

∂Z = -

g

RT* G0 .

A4.2.3

(A4.2.2) becomes (A4.2.2) devient

dwdt

= - g - -g - g T'

T* - R

G0 T* + T'

∂q'

∂Z

dwdt

+ RT* G0

∂q'

∂Z - g T'

T* = - RT'

G0 ∂q'

∂Z .

A4.2.4

If the quantity Si la quantité

RT* g0

G0 ∂q'

∂Z

A4.2.5

is added on each side of (A4.2.4), we thenobtain the following form:

est ajoutée de chaque côté de (A4.2.4), nousobtenons alors la forme suivante


dwdt

+ RT* g0

G0 ∂q'

∂Z - g T'

T* = RT* g0

G0 ∂q'

∂Z - RT

G0 ∂q'

∂Z .

A4.2.6

A4.3 Continuity equation A4.3 L’équation de

continuité

The continuity equation in the (X, Y, Z)reference system takes the following form:

L'équation de continuité dans le référentiel(X, Y, Z) prend la forme suivante

(1- a) dqdt

= S F1U + F2V - S ∂U

∂X Z

+ ∂V

∂Y Z

- 1G0

∂G0W

∂Z

A4.3.1

If we decompose q and T, we obtain: En décomposant q et T, on obtient

(1- a) d q* + q'

dt = S F1U + F2V - S

∂U

∂X Z

+ ∂V

∂Y Z

- 1G0

∂G0W

∂Z

A4.3.2

where où

dq*

dt = d

dt q0 -

gz

RT* = -

gw

RT* A4.3.3

By inserting this expression for the totalderivative of q*, by adding on either side ofthe equality the quantity

En introduisant cette expression pour l adérivée totale de q*, en ajoutant de chaque côtéde l’égalité la quantité suivante

g0

G0

∂G0W∂Z

(1- a) dq'

dt -

gw

RT* = S F1U + F2V - S

∂U

∂X Z

+ ∂V

∂Y Z

- 1G0

∂G0W

∂Z

A4.3.4

and rearranging these terms, we obtain thefollowing form:

et en réarrangeant les termes, on obtient l aforme suivante


(1- a) dq'

dt -

gw

RT* + S

∂U

∂X Z

+ ∂V

∂Y Z

+ g0

G0 ∂G0W

∂Z =

S F1U + F2V - 1 - g0

G0 ∂G0W

∂Z

A4.3.5

which is suited to the implementation of thesemi-implicit scheme.

qui est adaptée à l’implantation du schémasemi-implicite.

A4.4 Thermodynamic

equation

A4.4 L'équation thermody-

namique

By inserting the decomposed T and q fields intothe thermodynamic equation

En introduisant les champs décomposés de T etq dans l’équation thermodynamique

dTdt

= a T dqdt

,A4.4.1

we obtain nous obtenons

d T* + T'

dt = a T* + T'

d q* + q'

dt A4.4.2

and, considering that T* is constant, we obtain: et, en considérant le fait que T* est constant,nous obtenons

dT'

dt - a T*

dq'

dt +

a gR

w = a T' dqdt

.A4.4.3

Finally, we use the continuity equation(A4.3.1) to replace the total derivative of theq field in the right-hand term to obtain:

Finalement, nous utilisons l’équation decontinuité (A4.3.1) pour remplacer la dérivéetotale du champ q dans le terme de droite pourobtenir :

dT'

dt - a T*

dq'

dt +

a gR

w = aT'

1 -a S F1U + F2V - S

∂U

∂X Z

+ ∂V

∂Y Z

- 1G0

∂G0W

∂Z A4.4.4

A5. Updating fields via back-substitution method

A5. Mise à jour des champs

Once the Qn and An terms have beenevaluated and the Helmholtz equation for q’at t+Dt has been solved, we must update theW, w, T’, U and V fields to complete the timestep. In this appendix, we will look at therelations used to update the fields. In generalterms, the approach resembles that used todecouple the system of equations, but this timein reverse.

Une fois que les termes Qn et An sont évalués etque l’équation d’Helmholtz pour q’ à t+Dt estrésolue, il faut, pour compléter le pas de temps,faire la mise à jour des champs W, w, T’, U etV. Dans cette Annexe, nous voyons quelles sontles relations utilisées pour effectuer la mise àjour des champs. Grosso modo, la démarcheressemble à celle utilisée pour découpler l esystème d’équations, mais cette fois en sens in-verse.

We will begin with the W field. Since weknow the q’ field at time (t+Dt), we canevaluate W with equation (2.0.67):

Commençons par le champ W. Connaissant l echamp q’ au temps (t+Dt), nous pouvonsévaluer W à l’aide de l’équation suivante(2.0.67) :

C1G0 W + 1+ e Dt RT* D1 q' = A1 A5.1

Thus, by dividing this equation by C1G0 andisolating W on the left-hand side of therelation, we obtain:

Ainsi, en divisant cette équation par C1G0 et enisolant W du côté gauche de la relation, nousobtenons :

W = 1C1G0

A1 - 1+ e Dt RT* D1 q' A5.2

which is the relation used to update the Wfield at time (t+Dt). Now that we know the Wfield, we can use relation (2.0.43)

qui est la relation utilisée pour effectuer l amise à jour du champ W au temps (t+Dt).Maintenant que nous connaissons le champ W ,il nous est possible à l’aide de la relation(2.0.43)

w - G0W = QW

1+ e DtA5.3

to evaluate the w field. Once the w field isisolated, we obtain the equation used toupdate the fields:

d’évaluer le champ w. Une fois le champ wisolé, nous obtenons l’équation qui nous sert pourfaire la mise à jour

formulation of the mesoscale formulation du modèle de ... · pdf filenesting the model...

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